II. Modulių, apimančių matematikos išplėstinio kurso veiklos sritį

Kalba netaisyta

1

P R O J E K T A S VP1-2.2-ŠMM-04-V-01-001

„MOKYMOSI KRYPTIES PASIRINKIMO GALIMYBIŲ DIDINIMAS 14 –19 METŲ MOKINIAMS, II ETAPAS: GILESNIS MOKYMOSI

DIFERENCIJAVIMAS IR INDIVIDUALIZAVIMAS, SIEKIANT UGDYMO KOKYBĖS, REIKALINGOS ŠIUOLAIKINIAM DARBO

PASAULIUI“

Medžiagą parengė:

Ekspertų grupės vadovė

Regina Rudalevičienė

Ekspertai: Juozas Juvencijus Mačys,

Rūta Švelnikienė

II. Modulių, apimančių matematikos išplėstinio kurso veiklos sritį „Geometrija. Vektoriai“, programai įgyvendinti

reikalinga metodinė medžiaga

Planavimo pavyzdžiai

Modulio „Geometrija“ planavimo pavyzdys [1]

Tikslas:

Apibendrinti geometrijos pagrindinio ugdymo žinias.

Plėtoti matematinę kompetenciją, taikant plokštumos ir erdvės geometriją matematinių ir praktinių problemų sprendimui.

Uždaviniai:

Plėtoti turimas žinias apie plokštumos ir erdvines figūras.

Mokyti taikyti geometrinių figūrų savybes ir trigonometriją, sprendžiant matematines ir praktines problemas, įrodant teiginius.

Kalba netaisyta

2

Vertinimas:

Formuojamasis: diagnostinė užduotis modulio pradžioje, siekiant įvertinti mokinių turimą patirtį taikyti erdvės ir plokštumos geometrijos figūrų

savybes; diagnostinė užduotis modulio gale, sudarant galimybę mokiniams įsivertinti naujai įgytą patirtį taikyti naujai išmoktas geometrinių

plokštumos ir erdvės figūrų savybes sprendžiant praktines ir matematines problemas; neformalus mokinio pasiekimų vertinimas skatinamuoju žodžiu.

Kaupiamasis vertinimas: savarankiški darbai, teorijos atsiskaitymai vertinami taškais, surinkti taškai konvertuojami pažymiu.

Apibendrinamasis vertinimas: kontrolinis darbas pabaigus ir susisteminus modulio medžiagą, vertinamas pažymiu.

Mokymo ir mokymosi turinys:

Gebėjimai Žinios ir supratimas Turinys Vertinimas Pastabos

I ciklas. Plokštumos geometrija ( 8 pamokos)

Įvadas: modulio tikslų, uždavinių turinio apimties, vertinimo kriterijų pristatymas Diagnostinė užduotis

modulio pradžioje

5.1. Taikyti žinias

apie plokštumos

figūras sprendžiant

nesudėtingus

įvairių plokštumos

figūrų, jų dalių ir

junginių elementų

ilgio, kampų

didumo, perimetro

ir ploto skaičiavimo

uždavinius, įrodant

teiginius.

5.1.1. Įžiūrėti apskritime atitinkamus

centrinį ir įbrėžtinį kampą, žinoti, kaip

rasti vieno jo didumą, kai žinomas kito

didumas, žinoti, kad įbrėžtiniai kampai,

kurie remiasi į tą patį lanką, yra lygūs.

5.1.2. Nusakyti įbrėžtojo į trikampį ir

apibrėžtojo apie trikampį apskritimo

savybes, įrodyti ir žinoti įbrėžtojo į

apskritimą ir apibrėžto apie apskritimą

keturkampio pagrindines savybes.

Paaiškinti įbrėžtojo į apskritimą

taisyklingojo daugiakampio ir apibrėžto

apie apskritimą taisyklingojo

daugiakampio

sąvokas.

5.1.3. Remtis figūrų lygumu ir panašumu

sprendžiant nesudėtingus praktinio ir

matematinio turinio uždavinius. Mokėti

įrodyti Talio teoremą ir jai atvirkštinę

teoremą.

Įbrėžtinis kampas. Centrinis kampas.

Pusiaukampinės savybė. Geometrinio

vidurkio savybių taikymas nagrinėjant

statųjį trikampį.

Lygiosios ir panašiosios figūros. Talio

teorema. Simetriškosios figūros.

Įbrėžtųjų į apskritimą ir apibrėžtųjų

apie apskritimą daugiakampių

sąvokos. Įbrėžtųjų į apskritimą ir

apibrėžtųjų apie apskritimą

taisyklingųjų daugiakampių

(trikampių, keturkampių, šešiakampių)

savybės.

Savarankiškas darbas

ciklo gale.

Kalba netaisyta

3

II ciklas. Trigonometrijos taikymas geometrijoje (6 pamokos)

5.2. Taikyti

trigonometrijos

žinias sprendžiant

paprastus

geometrinius

(praktinio ir

matematinio

turinio) uždavinius.

5.2.1. Žinoti smailiojo kampo kotangento

apibrėžimą ir taikyti

jį stačiojo trikampio elementams rasti.

5.2.2. Įrodyti ir žinoti kosinusų teoremą ir

sinusų teoremą, trikampio ploto formulę

, taikyti šias žinias trikampio,

keturkampio ir taisyklingųjų daugiakampių

elementams ir plotui rasti.

5.2.3. Suvokti, kad atskirais atvejais

taikydami trigonometriją trikampio

uždaviniams spręsti negauname

vienareikšmio atsakymo.

Smailiojo kampo kotangento

apibrėžimas.

Trigonometriniai sąryšiai bet kokio

trikampio elementams apskaičiuoti.


ciklo gale.

Smailiojo trikampio sinusas,

kosinusas ir tangentas.

http://mkp.emokykla.lt

/imo/lt/ mo/287/

III ciklas. Erdvės geometrija (16 pamokų)

5.3. Taikyti žinias

apie erdvės figūras

sprendžiant

nesudėtingus

erdvės figūrų, jų

dalių ir

junginių elementų

ilgio, kampų

didumo, paviršiaus

ploto ir tūrio

skaičiavimo

uždavinius,

įrodant teiginius.

5.3.1. Atpažinti, apibūdinti ir pavaizduoti

nupjautinę piramidę ir nupjautinį kūgį.

Vaizduoti erdvinių figūrų paprastuosius

pjūvius (lygiagrečius su pagrindu, ašinius)

ir išklotines.

5.3.2. Apibrėžti ir taikyti kampo tarp tiesės

ir plokštumos sąvoką.

5.3.3. Apibrėžti ir taikyti kampo tarp

prasilenkiančiųjų tiesių sąvoką.

5.3.4. Apibrėžti ir taikyti tiesės ir

plokštumos statmenumo požymį.

5.3.5. Apibrėžti ir taikyti kampo tarp

plokštumų (dvisienio kampo) sąvoką.

5.3.6. Apibrėžti ir taikyti atstumo tarp

prasilenkiančiųjų tiesių erdvinėse figūrose,

atstumo tarp lygiagrečiųjų plokštumų,

atstumo tarp tiesės ir lygiagrečios su ja

plokštumos sąvokas.

5.3.7. Taikyti ir įrodyti trijų statmenų

teoremą ir jai atvirkštinę teoremą.

5.3.8. Nesudėtingais atvejais apskaičiuoti

Erdviniai kūnai (ir paprastosios jų

dalys). Jų paviršiaus plotas ir tūris.

Išklotinės (išskyrus sferą). Nupjautinė

piramidė ir nupjautinis kūgis.

Tiesių tarpusavio padėtis,

susikertančiosios, lygiagrečiosios ir

prasilenkiančiosios tiesės.

Kampai tarp tiesių, statmenos tiesės.

Plokštumų tarpusavio padėtis:

susikertančiosios ir lygiagrečiosios

plokštumos.

Dvisieniai kampai, statmenos

plokštumos.

Tiesės ir plokštumos konkrečiame

geometriniame objekte.

Tiesės ir plokštumos statmenumo

požymis.

Stačiakampio gretasienio ir

taisyklingosios piramidės dvisieniai

kampai.

Trijų statmenų teorema.


ciklo gale.

Teorijos

atsiskaitymas.

Tiesių ir plokštumų tarpusavio

padėtys.

http://mkp.emokykla.lt/

imo/lt/mo/304/

Dvisienis kampas.

http://mkp.emokykla.lt/

imo/lt/mo/317/

Nupjautinė piramidė.


/imo/lt/mo/272/

Sukiniai.


/imo/lt/mo/268/

Taisyklingoji keturkampė

prizmė, pjūviai.

http://mkp.emokykla.lt/imo

/lt/mo/278/

Taisyklingoji trikampė ir

keturkampė piramidė.


/imo/lt/mo/256/

http://mkp.emokykla.lt/%20imo/lt/mo/304/




http://mkp.emokykla.lt/imo%20/lt/mo/278/

http://mkp.emokykla.lt/imo%20/lt/mo/278/

Kalba netaisyta

4

erdvinių figūrų elementus, šoninio ir viso

paviršiaus plotą, tūrį ir paprastų jų dalių

paviršiaus plotą, tūrį, paprastųjų pjūvių

plotą.

Taisyklingoji trikampė ir

keturkampė prizmė.


/imo/lt/mo/257/

Modulio medžiagos sisteminimas Diagnostinė užduotis

modulio gale

3 pamokos

Apibendrinamasis darbas 2 pamokos

Modulio „Vektoriai. Geometrijos žinių sisteminimas“ planavimo pavyzdys [2]

Modulio trukmė 35 valandos

Tikslas: atskleisti geometrijos teorinių žinių svarbą, šių žinių taikymą sprendžiant matematinius uždavinius ir argumentuojant sprendimo eigą.

modeliuojant teiginių įrodymus.

Uždaviniai: suvokti vektoriaus sąvoką, vektorių taikymo svarbą sprendžiant teorines ir praktines problemas. Ugdyti supratimą, kad sudėtingesnės

problemos yra sprendžiamos skaidant jas į paprastesnes ir taikant žinomas formules.

Vertinimas

Moksleivių pažangos ir pasiekimų vertinimas yra integrali ugdymo proceso dalis. Pagrindinė vertinimo paskirtis – skatinti moksleivio asmenybės

brandą, ugdyti jo gebėjimą racionaliai vertinti savo poreikius, polinkius, galimybes ir remiantis tuo kelti sau prasmingus ateities tikslus.

Diagnostinis vertinimas – vertinimas, kuriuo naudojamasi siekiant išsiaiškinti mokinio pasiekimus ir padarytą pažangą baigus temą ar kurso dalį, kad

būtų galima numatyti tolesnio mokymosi galimybes, suteikti pagalbą įveikiant sunkumus.

Formuojamasis vertinimas – nuolatinis vertinimas ugdymo proceso metu, kuris padeda numatyti mokymosi perspektyvą, pastiprinti daromą pažangą,

skatina mokinius mokytis analizuoti esamus pasiekimus ar mokymosi spragas, sudaro galimybes mokiniams ir mokytojams geranoriškai

bendradarbiauti.

Kalba netaisyta

5

Apibendrinamasis vertinimas – vertinimas, naudojamas baigus programą, kursą, modulį. Jo rezultatai formaliai patvirtina mokinio pasiekimus

ugdymo programos pabaigoje. (Mokinių pažangos ir pasiekimų vertinimo samprata. Patvirtinta Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 2004

m. vasario 25 d. įsakymu Nr. ISAK-256)

Modulio metu taikoma vertinimo sistema:

• Formuojamasis vertinimas – nuolat.

• Diagnostinis vertinimas - diagnostinės užduotys modulio pradžioje, modulio pabaigoje, neformalus vertinimas.

• Kaupiamasis vertinimas – savarankiški darbai, apimantys atskirus modulio ciklus, vertinami taškais, surinkti taškai konvertuojami pažymiu.

• Apibendrinamasis vertinimas – kontrolinis darbas, vertinamas pažymiu, išnagrinėjus ir susisteminus visą modulio medžiagą.

• Galutinis modulio įvertinimas: .

Mokinių pasiekimų vertinimo kriterijai:

Gebėjimai: Naudotis vektoriaus sąvoka ir veiksmų savybėmis sprendžiant paprastus bei įrodymo uždavinius.

9.1.1. Apibrėžti vektorių kaip

plokštumos (erdvės) kryptinę

atkarpą. Išreikšti vektorių

koordinatėmis ( ( ), ; ( ),

),

apskaičiuoti jo ilgį.

Žino vektorių kaip kryptinę atkarpą.

Užrašo vektoriaus , pavaizduoto

koordinačių plokštumoje,

koordinates. Pavaizduoja vektorių

koordinačių plokštumoje, kai

žinomos vektoriaus koordinatės.

Žino vektoriaus ilgio sąvoką. Moka

apskaičiuoti vektoriaus ilgį, kai


Sprendžia paprasčiausius uždavinius.

Apibrėžia vektoriaus sąvoką. Supranta

sąvokas koordinatinis vektorius, nulinis

vektorius, vietos vektorius.

Apskaičiuoja vektoriaus koordinates, kai

žinomos vektoriaus pradžios ir galo taškų

koordinatės.

Supranta vektoriaus ilgį kaip atkarpos ilgį.

Erdvinėje koordinačių sistemoje

pavaizduoja vektorių.

Sprendžia paprastus uždavinius.

Laisvai operuoja sąvokomis: vektorius,

vektoriaus koordinatės, vektoriaus ilgis.

Sprendžia nesudėtingus uždavinius.

9.1.2. Žinoti, kaip atliekami

vektorių veiksmai grafiškai

(plokštumoje arba erdvėje) ir

kaip užrašomi veiksmai

koordinatėmis. Mokėti

užrašyti ir taikyti vektorių

Grafiškai vaizduoja kolinearius

vektorius. Grafiškai pavaizduoja

vektorių sudėtį pagal lygiagretainio

ar trikampio taisyklę.

Žino, kaip užrašomi veiksmai

koordinatėmis ir moka juos atlikti.

Grafiškai pavaizduoja vektorių atimtį.

Supranta sąvokas kolinearieji vektoriai,

vienakrypčiai vektoriai, preišpriešiniai

vektoriai, priešingieji vektoriai, lygūs

vektoriai.

Supranta ir taiko vektorių kolinearumo

Formuluoja vektorių sumos, skirtumo

taisykles.

Formuluoja ir pagrindžia vektorių

kolinearumo sąlygą.


Kalba netaisyta

6

lygiagretumo (kolinearumo)

sąlygą.

Sprendžia paprasčiausius uždavinius. sąlygą.

Sprendžia paprastus uždavinius.

9.1.3.Žinoti vektorių

skaliarinės sandaugos

savybes, taikyti jas

paprastiems praktinio ir

matematinio turinio

uždaviniams spręsti.

Žino vektorių skaliarinės sandaugos

apibrėžimą ir paprasčiausiais atvejais

moka jį taikyti. Žino skaliarinės

sandaugos savybes, taiko jas

paprastiems uždaviniams spręsti.

Moka apskaičiuoti vektorių ,

išreikštų koordinatėmis, skaliarinę

sandaugą.

Sprendžia paprasčiausius uždavinius.

Apibrėžia kampą tarp vektorių.

Formuluoja vektorių skaliarinės

sandaugos apibrėžimą ir teoremą.


Moka įrodyti vektorių skaliarinės sandaugos

teoremą. Argumentuotai pagrindžia veiksmų

su vektoriais, pateiktais koordinatėmis,

taisykles.

9.1.4.Taikyti vektorius

nesudėtingiems skaičiavimo

ir įrodymo uždaviniams

spręsti.

Taiko vektorius nesudėtingiems skaičiavimo

ir įrodymo uždaviniams spręsti. Kūrybingai ir

originaliai pasirenka strategijas, sprendžia

uždavinius.

Gebėjimai: Taikyti plokštumos geometrijos žinias stereometrijoje. Taikyti trigonometriją geometrijoje

9.2.1. Nesudėtingais atvejais

taikyti liestinės savybę,

įbrėžtinio ir apibrėžtinio

trikampio / taisyklingojo

daugiakampio savybes.

9.2.2. Pagrįsti figūrų lygumą

ir panašumą.

9.2.3. Taikyti panašumo

sąvoką sprendžiat įvairius

nesudėtingus uždavinius,

pagrindžiant ar įrodant

nesudėtingus teiginius.

9.2.4. Remtis Talio teoremos

įrodymo schema sprendžiant

įvairius nesudėtingus

uždavinius, pagrindžiant ar

Žino ir taiko figūrų perimetro ir

ploto savybes sprendžiant

uždavinius.

Žino ir taiko trikampio kampų

sumos, Pitagoro, sinusų ir kosinusų

teoremas.

Apibrėžia trikampių lygumą,

panašumą bei taiko trikampių

lygumo ir panašumo požymius


Žino ir taiko trikampio ploto

formules išreiškiant jį pagrindu ir

aukštine arba dviem kraštinėm ir

kampu tarp jų.

Įrodo trikampio kampų sumos, Pitagoro,

sinusų ir kosinusų teoremas.

Taiko įbrėžto į trikampį ir apibrėžto apie

trikampį apskritimo savybes uždaviniams

spręsti.

Įrodo Pitagoro, sinusų ir kosinusų teoremas.

Įrodo trikampio ploto formules išreiškiant jį

pagrindu ir aukštine arba dviem kraštinėmis

ir kampu tarp jų.

Įrodo: trikampio kampų sumos teoremą,

Pitagoro teoremą ir jai atvirkštinę teoremą,

trikampio vidurio linijos savybes,

pusiaukraštinių savybes.

Žino ir taiko trikampio ploto

formules išreiškiant jį pagrindu ir

Žino įbrėžto į apskritimą ir apibrėžto apie

apskritimą keturkampio pagrindines

Įrodo pagrindines stačiakampio, kvadrato,

lygiagretainio, rombo ir trapecijos savybes.

Kalba netaisyta

7

įrodant nesudėtingus

teiginius.

9.2.5. Paprastais atvejais

nustatyti/apskaičiuoti

erdvinėje figūroje kampo

tarp tiesės ir plokštumos,

kampo tarp dviejų

plokštumų, didumą.

9.2.6. Taikyti trijų statmenų

teoremą pagrindžiant

teiginius apie dvisienius

kampus ir remtis šios

teoremos įrodymo etapais

sprendžiant įvairius

nesudėtingus uždavinius.

9.2.7. Paprastais atvejais

pavaizduotose erdvinėse

figūrose

nustatyti/apskaičiuoti

atstumą tarp prasilenkiančių

tiesių, kampo tarp

prasilenkiančių tiesių

didumą, atstumą tarp tiesės ir

jai lygiagrečios plokštumos,

atstumą tarp lygiagrečių

plokštumų.

9.2.8. Apskaičiuoti

Bendrosiose programose

apibrėžtų erdvinių figūrų

lygiagrečių / ašinių pjūvių

plotus.

9.2.9. Taikyti erdvinių figūrų

junginių paviršiaus ploto ir

tūrio formules.

aukštine arba dviem kraštinėmis ir

kampu tarp jų. Žino ir taiko

pagrindines lygiagretainio, rombo,

stačiakampio, kvadrato ir trapecijos

savybes ir plotų formules.

savybes ir taiko uždaviniams spręsti.

Įrodo lygiagretainio, trapecijos plotų

formules.

Žino ir paprastais atvejais taiko

įbrėžtinių kampų, centrinių kampų,

apskritimo liestinių savybes.

Įrodo, kad įbrėžtinių kampų,

besiremiančių į tą patį lanką, didumai yra

lygūs.

Supranta ir nesudėtingais atvejais taiko

įbrėžtinių kampų, apskritimo stygų,

liestinių savybes.

Argumentuoja ir taiko apskritimo liestinių ir

kirstinių savybes.

Žino tiesės ir plokštumos

lygiagretumo, tiesės ir plokštumos

bei plokštumų statmenumo, kampo

tarp tiesės ir plokštumos sąvokas,

atstumo tarp taškų, tarp tiesių, tarp

lygiagrečių plokštumų sąvokas,

atstumo tarp taškų, tarp tiesių, tarp

lygiagrečių plokštumų sąvokas, žino

jų savybes ir moka jas taikyti

sprendžiant paprastus uždavinius.

Apibrėžia tiesės ir plokštumos

lygiagretumo, tiesės ir plokštumos bei

plokštumų statmenumo, kampo tarp tiesės

ir plokštumos sąvokas, atstumo tarp taškų,

tarp tiesių, tarp lygiagrečių plokštumų

sąvokas, supranta jų savybes ir moka jas

taikyti sprendžiant nesudėtingus

uždavinius.

Įrodo trijų statmenų teoremą ir jai atvirkštinę

teoremą.

Taiko trijų statmenų ir jai atvirkštinę

teoremas pagrįsdamas uždavinių sprendimą.

Paprastais atvejais apskaičiuoja

prizmių, piramidžių, kūgių, ritinių,

rutulių paviršių plotus ir tūrius.

Apskaičiuoja erdvinių kūnų ir

paprasčiausių jų kombinacijų paviršių

plotus ir tūrius.

Pavaizduoja įvairių kūnų paprastus pjūvius

sprendžiant nesudėtingus uždavinius.

Teisingai pasirenka reikalingas strategijas,

atrenka ir įvertina duomenis, nuosekliai ir

išsamiai argumentuoja užduoties sprendimą.

Kalba netaisyta

8

Mokymo ir mokymosi turinys:

Įvadas: modulio tikslų, uždavinių turinio apimties, vertinimo kriterijų pristatymas ir aptarimas Diagnostinė užduotis modulio pradžioje (1 pamoka)

Gebėjimai Žinios ir supratimas Ciklas, turinys Vertinimas Pamokų

skaičius

Pastabos

Vektorių algebra 7

9.1. Naudotis

vektoriaus

sąvoka ir

veiksmų

savybėmis

sprendžiant

paprastus bei

įrodymo

uždavinius.

9.1.1. Apibrėžti vektorių kaip plokštumos (erdvės)

kryptinę atkarpą. Išreikšti vektorių koordinatėmis

( ( ), ; ( ),

), apskaičiuoti jo ilgį.

9.1.2. Žinoti, kaip atliekami vektorių veiksmai grafiškai

(plokštumoje arba erdvėje) ir kaip užrašomi veiksmai

koordinatėmis. Mokėti užrašyti ir taikyti vektorių

lygiagretumo (kolinearumo) sąlygą.

9.1.3. Žinoti vektorių skaliarinės sandaugos savybes,

taikyti jas paprastiems praktinio ir matematinio turinio


9.1.4. Taikyti vektorius nesudėtingiems skaičiavimo ir

įrodymo uždaviniams spręsti.

Vektoriaus sąvoka ir

žymenys.

2

Vektorių veiksmai:

daugyba iš skaičiaus,

sudėtis ir atimtis.

2 Parodyti, kad vektorių

algebra turi daug

panašumų su įprastine

algebra.

Skaliarinė dviejų

vektorių daugyba.

2

Savarankiškas

darbas ciklo

pabaigoje.

1

Vektoriaus

koordinatės

7

Vektoriai koordinačių

plokštumoje. Vektoriaus

koordinatės.

1

Vektoriaus ilgis.

Veiksmai su vektoriais.

1

Skaliarinė vektorių

daugyba.

2 Skatinti mokinius

palyginti veiksmų su

vektoriais, pateiktais

kryptinėmis atkarpomis

ir koordinatėmis,

pranašumus ir trūkumus,

taikymo galimybes.

Kalba netaisyta

9

Vektoriai erdvėje. 2 Pasiūlyti mokiniams

parinkti kuo įvairesnių

pavyzdžių,

iliustruojančių vektorių

taikymą.

Savarankiškas

darbas ciklo

pabaigoje.

1

Geometrijos žinių

sisteminimas

15

9.2. Taikyti

plokštumos

geometrijos

žinias

stereometrijoje.

9.2.1. Nesudėtingais atvejais taikyti liestinės savybę,

įbrėžtinio ir apibrėžtinio trikampio / taisyklingojo

daugiakampio savybes.

9.2.2. Pagrįsti figūrų lygumą ir panašumą.

9.2.3. Taikyti panašumo sąvoką sprendžiat įvairius

nesudėtingus uždavinius, pagrindžiant ar įrodant

nesudėtingus teiginius.

9.2.4. Remtis Talio teoremos įrodymo schema

sprendžiant įvairius nesudėtingus uždavinius,

pagrindžiant ar įrodant nesudėtingus teiginius.

9.2.5. Paprastais atvejais nustatyti/apskaičiuoti erdvinėje

figūroje kampo tarp tiesės ir plokštumos, kampo tarp

dviejų plokštumų, didumą.

9.2.6. Taikyti trijų statmenų teoremą pagrindžiant

teiginius apie dvisienius kampus ir remtis šios teoremos

įrodymo etapais sprendžiant įvairius

nesudėtingus uždavinius.

9.2.7. Paprastais atvejais pavaizduotose erdvinėse

figūrose nustatyti/apskaičiuoti atstumą tarp

prasilenkiančių tiesių, kampo tarp prasilenkiančių tiesių

didumą, atstumą tarp tiesės ir jai lygiagrečios

plokštumos, atstumą tarp lygiagrečių plokštumų.

9.2.8. Apskaičiuoti Bendrosiose programose apibrėžtų

erdvinių figūrų lygiagrečių / ašinių pjūvių plotus.

9.2.9. Taikyti erdvinių figūrų junginių paviršiaus ploto ir

Planimetrija.

Trikampiai.

3

Planimetrija.

Keturkampiai.

3

Planimetrija.

Apskritimas, skritulys.

1

Erdvės geometrija.

1

Erdviniai kūnai. 3

Kalba netaisyta

10

tūrio formules.

9.3. Taikyti

trigonometriją

geometrijoje

9.3.1. Įrodyti kosinusų teoremą, sinusų teoremą,

trikampio ploto formulę

.

9.3.2. Remtis kosinusų, sinusų teoremų įrodymo

idėjomis sprendžiant įvairius nesudėtingus uždavinius,

pagrindžiant ar įrodant nesudėtingus teiginius.

Trikampiai. Savarankiškas

darbas ciklo gale.

3

Keturkampiai.

Erdvinės figūros.

Diagnostinė

užduotis

modulio gale.

1

Modulio medžiagos sisteminimas 3 pamokos

Apibendrinamasis darbas 2 pamokos

Kalba netaisyta

11

Modulio pradžioje ir pabaigoje siūlomos diagnostinės užduotys, padedančios įvertinti mokinio daromą pažangą (dalykines ir

bendrąsias kompetencijas) bei įsivertinti

Diagnostinės užduoties modulio „Geometrija“ pradžioje pavyzdys [1]

Trukmė: 45 minutės

Tikslas:

Išsiaiškinti mokinių turimų žinių, gebėjimų ir įgūdžių lygį iš geometrijos srities.

Uždaviniai:

Sudaryti galimybę mokiniams įsivertinti turimų žinių, susiformuotų gebėjimų ir įgūdžių lygį:

taikyti žinias apie trikampį, keturkampius ir apskritimą paprastiems ir nesudėtingiems uždaviniams spręsti, nesudėtingiems teiginiams pagrįsti

ar paneigti;

apskaičiuoti žinomų figūrų junginių perimetrą, plotą;

taikyti lygumo, panašumo, ašinės ir centrinės simetrijos sąvokas sprendžiant paprastus uždavinius;

taikyti trigonometrinius ryšius stačiojo trikampio elementams rasti;

taikyti žinias apie erdvės figūras sprendžiant paprastus erdvės figūrų, jų dalių ir junginių elementų ilgio, kampų didumo, paviršiaus ploto ir

tūrio skaičiavimo uždavinius.

Užduotys:

1. Tiesės a ir b lygiagrečios. Raskite kampą x.

2 taškai

Kalba netaisyta

12

2. Aitvaro korpusą sudaro aštuonios dalys. Kvadrato A plotas 36 . SB : SA = 1 : 4.

Koks kvadrato B plotas?

Apskaičiuokite aitvaro perimetrą.

Apskaičiuokite figūros plotą.

Atsakymus pateikite: b) centimetro, c) kvadratinio centimetro tikslumu, skaičiavimams naudokite

.

10 taškų

3. Pagrįskite trikampių KLM ir BLC panašumą. Remdamiesi brėžinio duomenimis ir geometrinių figūrų

savybėmis, apskaičiuokite KM ir BC ilgį.

4 taškai

4. Trikampio ABC pusiaukraštinė AN statmena pusiaukraštinei CM. AN = 2,1 cm, CM = 2,4 cm.

Apskaičiuokite trikampio ABC plotą.

6 taškai

Kalba netaisyta

13

5. Brėžinyje keturkampio kraštinės yra apskritimo liestinės. Nurodyti kraštinių atkarpų iki lietimosi taškų

ilgiai. Apskaičiuokite keturkampio perimetrą.

2 taškai

6. Apskaičiuokite trapecijos plotą (CB || DA), kai jos vidurinė linija 2,4 cm.

3 taškai

7. Brėžinyje nurodyti taisyklingosios piramidės matmenys centimetrais. Apskaičiuokite kampo, kurį su

pagrindu sudaro piramidės šoninė briauna, dydį 1º tikslumu. Apskaičiuokite piramidės viso paviršiaus

plotą ir tūrį.

3 taškai

Kalba netaisyta

14

8. Stalo teniso kamuoliuko skersmuo yra 40 mm. Trys kamuoliukai supakuoti dėžutėje, kaip parodyta

paveiksle. Kokie dėžutės matmenys?

3 taškai

9. Medinis žaisliukas sudarytas iš ritinio ir kūgio. Ritinio pagrindo spindulys 4 cm, o aukštis 2 cm. Kūgio

tūris lygus ritinio tūriui. Apskaičiuokite kūgio aukštį.

3 taškai

Vertinimo instrukcija

Užd.

Nr.

Sprendimas/Atsakymas Taš

kai Vertinimas

1.

, 2 = 130 .

x = 2 = 130 .

2 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą x.

Kalba netaisyta

15

2.

, ;

Aitvaro perimetras √ .

Figūros plotas

10

1 taškas už teisingai apskaičiuotą kvadrato B plotą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotus kvadratų kraštinių ilgius.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą pusskritulių lankų ilgį (bent už

vieną).

1 taškas už teisingai apskaičiuotą trikampės krašto dalies ilgį.

1 taškas už teisingai apskaičiuotas išpjovų dalies lankų ilgius.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą perimetrą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą pusskritulių plotą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą trikampės dalies plotą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą išpjovų dalies plotą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą figūros plotą.

3.

Trikampiai panašūs pagal du atitinkamai

lygius kampus: L bendras, KML =

BCL, nes statieji.

KML statusis, L = 30 , todėl KM =

4,5.

BCL statusis, CL = 16,

√ .

4

1 taškas už trikampių panašumo pagrindimą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą KM ilgį.

1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą CB ilgį.

4.

AN ir CM pusiaukraštinės, todėl AO : ON = 2 : 1,

CO : OM = 2 : 1. 2,52 cm².

AN ir CM pusiaukraštinės , todėl taškai M ir N –

ABC kraštinių vidurio taškai, o MN – ABC

vidurinė linija. MNB ABC, panašumo

koeficientas k = 2. Iš čia

.

; ; .


1 taškas už teisingai pritaikytą trikampio pusiaukraštinių savybę.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą keturkampio AMNC plotą.

1 taškas už teisingai pritaikytą panašiųjų trikampių plotų savybę.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą MNB plotą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą ABC plotą.

5. Pasinaudoję liestinių , išeinančių iš vieno taško savybe, randame keturkampio

kraštinių ilgius: BC = 2 cm, CD = 1,7 cm, AD = 3cm, AB = 3,3 cm. 2 1 taškas už apskritimo liestinių, išeinančių iš vieno taško, savybės

pritaikymą;

Kalba netaisyta

16

1 taškas už teisingai apskaičiuotą keturkampio perimetrą.

6.

Trapecijos vidurinė linija

cm.

CHD – statusis, CDH = 60 ,

CH = 2sin60 = √ cm.

= 2,4√ cm².

3 1 taškas už teisingai apskaičiuotą trapecijos aukštinę.

1 taškas už trapecijos vidurinės linijos apibrėžimo taikymą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą trapecijos plotą.

7.

SAO ieškomasis.

ABC statusis, AC = 10√ .

AOS statusis,

√

.

Iš čia SAO 62 .

3 1 taškas už teisingai nurodytą kampą, kurį sudaro šoninė briauna

su pagrindo plokštuma.


1 taškas už teisingai surastą kampą.

8.

Dėžutės plotis toks, koks

kamuoliuko skersmuo 40 mm.

Dėžutės aukštis 40 + AH.

ABH statusis, √ mm.

Dėžutės aukštis 40 + √ .


1 taškas už teisingai apskaičiuotą AH ilgį.

1 taškas už teisingai surastus dėžutės matmenis.

9.

.

,

, iš čia H = 6 cm.

3

1 taškas už teisingai apskaičiuotą ritinio tūrį.

1 taškas už teisingai sudarytą lygtį

1 taškas už teisingai apskaičiuotą kūgio aukštį

Užduočių taškų paskirstymas pagal mokinių kognityvinių gebėjimų grupes

Kalba netaisyta

17

Mokinio įsivertinimo lentelė (pildo mokinys)

Užduočių

pasiskirstymas pagal

pasiekimų lygius

Žinios ir supratimas Taikymas Problemų sprendimas

35% 45% 20% Iš viso taškų

Užduočių numeriai ir taškai Užduočių numeriai ir taškai Užduočių numeriai ir taškai

Patenkinamas lygis

30%

1 – 2 taškai

2a – 1 taškas

2b – 3 taškai,

2c – 2 taškai

5 – 2 taškai 9 – 3 taškai

13 (32,5 )

Pagrindinis lygis

40%

2b – 2 taškas,

2c – 1 taškas

7 – 1 taškas

3 – 2 taškai

4 – 2 taškai

6 – 3 taškai

7 – 2 taškai

7 – 3 taškai

16 (40 )

Aukštesnysis lygis

30%

2c – 1 taškas

4 – 1 taškas

3 – 2 taškai

7 – 1 taškas

8 – 3 taškai

4 – 3 taškai

11 (27,5 )

14 (35 ) 17 (42,5 ) 9 (22,5 ) 40

Kalba netaisyta

18

Užduotis Pagrindinės sąvokos

ar veiksmai, kuriuos

reikia žinoti

Atlikau

savarankiškai

Ieškojau

informacijos

matematikos

žinyne

Reikėjo

mokytojo

pagalbos

Ką turiu pakartoti?

1. Tiesės a ir b lygiagrečios. Raskite kampą x.

2. Aitvaro korpusą sudaro aštuonios dalys. Kvadrato

A plotas 36 dm2. SB : SA = 1 : 4.

Koks kvadrato B plotas?

Apskaičiuokite aitvaro perimetrą.

Apskaičiuokite figūros plotą.

Atsakymus pateikite: b) centimetro, c) kvadratinio

centimetro tikslumu, skaičiavimams naudokite

.

3. Pagrįskite trikampių KLM ir

BLC panašumą. Remdamiesi

brėžinio duomenimis ir

geometrinių figūrų savybėmis,

apskaičiuokite KM ir BC ilgį.

4. Trikampio ABC

pusiaukraštinė AN statmena

pusiaukraštinei CM. AN = 2,1

cm, CM = 2,4 cm.

Apskaičiuokite trikampio ABC

plotą.

Kalba netaisyta

19

5. Brėžinyje keturkampio

kraštinės yra apskritimo

liestinės. Nurodyti kraštinių

atkarpų iki lietimosi taškų

ilgiai. Apskaičiuokite

keturkampio perimetrą.

6. Apskaičiuokite trapecijos

(CB || DA) plotą, kai jos

vidurinė linija 2,4 cm.

7. Brėžinyje nurodyti

taisyklingosios piramidės

matmenys centimetrais.

Apskaičiuokite kampo, kurį su

pagrindu sudaro piramidės

šoninė briauna, dydį 1º

tikslumu. Apskaičiuokite

piramidės viso paviršiaus plotą

ir tūrį.

8. Stalo teniso kamuoliuko

skersmuo yra 40 mm. Trys

kamuoliukai supakuoti

dėžutėje, kaip parodyta

paveiksle. Kokie dėžutės

matmenys?

9. Medinis žaisliukas sudarytas

iš ritinio ir kūgio. Ritinio

pagrindo spindulys 4 cm, o

aukštis 2 cm. Kūgio tūris lygus

ritinio tūriui. Apskaičiuokite

kūgio aukštį.

Kalba netaisyta

20

Diagnostinės užduoties modulio „Geometrija“ pabaigoje pavyzdys [2]

(parengtas remiantis projekte dalyvaujančių mokytojų patirtimi)

Tikslas:

Įvertinti mokinių pasirengimą rašyti modulio apibendrinamąjį darbą.

Įsivertinti individualius pasiekimų rezultatus, nustatyti spragas, numatyti jų likvidavimo planą iki apibendrinamojo darbo.

Uždavinys:

Atlikdami užduotis mokiniai įsivertins įgytų žinių ir supratimo, susiformuotų įgūdžių ir gebėjimų lygį:

taikyti žinias apie plokštumos figūras sprendžiant nesudėtingus įvairių plokštumos figūrų, jų dalių ir junginių elementų ilgio, kampų didumo, perimetro

ir ploto skaičiavimo uždavinius, įrodant teiginius;

taikyti trigonometrijos žinias sprendžiant paprastus geometrinius (praktinio ir matematinio turinio) uždavinius;

taikyti žinias apie erdvės figūras sprendžiant nesudėtingus erdvės figūrų, jų dalių ir junginių elementų ilgio, kampų didumo, paviršiaus ploto ir tūrio

skaičiavimo uždavinius, įrodant teiginius.

Užduotys:

1. Remdamiesi brėžinio duomenimis, apskaičiuokite kampo x dydį.

(1 taškas)

Kalba netaisyta

21

1. Apskaičiuokite trikampio nežinomą kraštinės ilgį ir trikampio plotą.

(2 taškai)

3. Kvadrato kraštinės ilgis 6 cm. Apskaičiuokite į kvadratą įbrėžto apskritimo ilgį.

(2 taškai)

4. Duota kūgio formos taurė, kai pagrindo spindulys 4 cm, o sudaromoji 5 cm.

a) Apskaičiuokite taurės aukštį (nekreipdami dėmesio į kojelės aukštį).

(1 taškas)

b) Apskaičiuokite taurės tūrį.

(1 taškas)

c) Kiek mililitrų sulčių tilps į taurę? (

(1 taškas)

5. Trikampio kraštinių ilgiai yra 5 cm, 6 cm ir 9 cm. Apskaičiuokite apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulio ilgį.

(3 taškai)

6. Duota: AC lygiagreti DE, DE : AC = 4 : 7, AD = 8. Rasti BD.

(2 taškai)

7.

8.

Į apskritimą, kurio spindulys lygus 15 cm, įbrėžtas taisyklingasis trikampis. Apskaičiuokite įbrėžto taisyklingojo trikampio perimetrą.

(3 taškai)

Dvisienis kampas lygus 600. Vienoje jo sienoje duotas taškas, nutolęs nuo kitos sienos per √ cm. Apskaičiuokite šio taško atstumą iki dvisienio kampo

Kalba netaisyta

22

9.

briaunos.

(2 taškai)

Lygiakraščio trikampio kraštinė 6 cm. Iš vienos jo viršūnės iškeltas 13 cm ilgio statmuo trikampio plokštumai. Raskite šio statmens galų atstumus iki

kraštinės, esančios prieš tą kraštinę.

(3 taškai)

10. Įbrėžtinio keturkampio ABCD B = 70 , o C = 110 . Tada:

A A = 70 , D = 110 ;

B A = 110 , D = 70 ;

C A = D = 70 ;

D C = D = 110 ;

E A = D – bet kokie.

(1 taškas)

11. Bokštą sudaro taisyklingoji keturkampė nupjautinė piramidė, kurios pagrindų kraštinės

lygios 12 m ir 10,5 m, o aukštinė 3,8 m. Ant jos pastatyta piramidė, kurios aukštinė 3,4 m.

a) Apskaičiuokite nupjautinės piramidės tūrį.

(2 taškai)

b) Kiek skardos reikėtų visam bokštui padengti, jei atliekoms skiriama 20 % paviršiaus

ploto? Gautą rezultatą pateikite vienetų tikslumu.

(6 taškai)

Kalba netaisyta

23


Užd.

Nr.

Sprendimas/Atsakymas Taškai Vertinimas

Patenkinamas lygis

1 1 Už teisingą atsakymą.

2

, x = 14

√

√

1

1

Už teisingą atsakymą.


3 r = 6 : 2 = 3 arba už pastebėjimą, kad d = a = 6

C = 2 3 = 6.

1

1



4 a) √

b)

c)

1

1

1




Pagrindinis lygis

5. p = 10 cm;

√

Atsakymas. √

cm arba

√ cm.

3 1 taškas už teisingo sprendimo būdo pasirinkimą (nurodyti

formulę).

1 taškas už teisingai apskaičiuotą trikampio plotą.

1 taškas už teisingą atsakymą.

6.

Taikome apibendrintąją Talio teoremą:

. Kadangi

. BD =

x, sudarome lygtį

, kurią išsprendę randame, kad

.

Atsakymas.

.

2

1 taškas už teisingo sprendimo būdo pasirinkimą;

1 tašką už teisingai apskaičiuotą atkarpos ilgį.

Kalba netaisyta

24

7. Atsakymas.

√ cm ir 14 cm

3 1 taškas už teisingai nubrėžtą brėžinį (trijų statmenų

teorema arba kt.)

Po 1 tašką už teisingai apskaičiuotus atstumus.

8. √ cm

Atsakymas. √ cm.

3 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą (sinusų

teoremą);

1 taškas už teisingai apskaičiuotą trikampio kraštinę;

1 taškas už teisingai apskaičiuotą trikampio perimetrą.

9. Atsakymas. 12 cm. 2 1 taškas už teisingai nubrėžtą brėžinį.

1 taškas už teisingą atsakymą.

10. Atsakymas. A ir D 1 1 taškas už teisingą atsakymą.

Aukštesnysis lygis

11. a)

Apskaičiuojame pagrindų plotus:

,

.

( √ )

.

1

1

Už bent vieno nupjautinės piramidės pagrindo ploto

apskaičiavimą.

1 taškas už teisingą nupjautinės piramidės tūrio

apskaičiavimą (jei mokinys padarė skaičiuodamas plotus

klaidą, tai tikrinti su jo gautais skaičiais).

b)

Apskaičiuojame piramidės šoninį paviršių:

√ √

√ m

√ √

Apskaičiuojame reikiamos skardos plotą √

.

3

3

1 taškas už brėžinio nubraižymą arba argumentavimą.

1 taškas už apotemos apskaičiavimą.

1 taškas už Sšon. apskaičiavimą.

1 taškas už 20% Sšon suradimą.

1 taškas už reikiamos skardos ploto suradimą.

1 taškas už gautą atsakymą.

Iš viso 30 taškų

Kalba netaisyta

25


Užduočių pasiskirstymas

pagal pasiekimų lygius




Patenkinamas lygis

30%

1 – 1 taškas

4 a – 1 taškas

2 – 2 taškai

4 b – 1 taškas

3 – 2 taškai

4c – 1 taškas 8 (26,7)

Pagrindinis lygis

40%

5 – 3 taškai

6 – 2 taškai

7 – 3 taškai

8 – 3 taškai

9 – 2 taškai

10 – 1 taškas 14 (46,7)

Aukštesnysis lygis

30%

11 a – 2 taškai 11 b – 5 taškai 11 b – 1 taškas 8 (26,7)

9 (30) 16 (53,3 ) 5 (16,7) 30

Kalba netaisyta

26

Diagnostinės užduoties modulio ,,Vektoriai. Geometrijos žinių sisteminimas“ pradžioje pavyzdys [3]

Trukmė: 30 minučių.

Pastaba. Diagnostinės užduoties metu naudotis literatūra, internetu.

1. Iš formulės išreikškite cosα. 1 taškas

2. Taškas C atkarpą AB dalija santykiu 3:5 skaitant nuo taško A. Išreikškite atkarpos AC ilgį atkarpos AB ilgiu 1 taškas

3. Plokštumoje pažymėti du taškai ( ) ir ( ).

3.1. Apskaičiuokite atstumą tarp plokštumos taškų A(−3; 0) ir B(1; −3 ). Raskite atkarpos vidurio taško koordinates.

3.2. Įrodykite, kad atstumas tarp plokštumos taškų A ir B skaičiuojamas pagal formulę √( ) ( ) .

2 taškai

1 taškas

4. Piramidės SABCD pagrindas − stačiakampis. Šoninė briauna SA statmena pagrindo kraštinėms AB ir AD.

4.1. Įrodykite, kad kampas SAC – status.

4.2. Įrodykite, kad piramidės siena SDC − statusis trikampis

2 taškai

2 taškai

5. Nubraižykite stačiakampį gretasienį . Brėžinyje pažymėkite:

5.1. kampą α − kampą tarp įstrižainės ir šoninės sienos .

5.2. kampą β − kampą tarp tiesių ir .

5.3. kampą γ − kampą tarp šoninės sienos ir pagrindo plokštumos .

1 taškas

1 taškas

1 taškas

6. Apie taisyklingos trikampės prizmės pagrindą apibrėžto apskritimo spindulys lygus 12 cm. Prizmės šoninė briauna lygi 20 cm.

6.1. Įrodykite, kad prizmės pagrindo plotas lygus √ .

6.2. Raskite prizmės tūrį.

2 taškai

1 taškas

7. Medinis rutulys, kurio spindulys 26 cm, perpjautas plokštuma, nutolusia nuo rutulio centro 10 cm atstumu. Abi gauto rutulio

dalys nudažytos. Koks nudažyto paviršiaus plotas?

5 taškai

Kalba netaisyta

27


Užduočių


pasiekimų lygius




Patenkinamas lygis

30%

1 ‒ 1 taškas

3.1. – 1 taškas

7 – 3 taškai

6.2. – 1 taškas

6

(28,57%)

Pagrindinis lygis

40%

2 – 1 taškas

4.1. ‒ 1 taškas

5 (c) – 1 taškas

6.1. – 1 taškas

3.2. – 2 taškas

4.1. ‒ 1 taškas

6.1. – 1 taškas

7 ‒ 1 taškas

9

(42,86%)

Aukštesnysis lygis

30%

7 – 1 taškas 3.1. – 1 taškas

4.2. – 2 taškai

5 (a) ‒ 1 taškas

5 (b) – 1 taškas

6

(28,57%)

Iš viso taškų: 7 (33,33%) Iš viso taškų: 10 ( 47,62%) Iš viso taškų: 4 ( 19,05%) 21


Užd.

Nr.


1.

1 taškas Už teisingą atsakymą.

Kalba netaisyta

28

2.

1 taškas Už teisingą atsakymą.

3.1. AB = 5.

( –1; –1,5).

1 taškas

Už teisingą atstumo AB apskaičiavimą ir atkarpos vidurio

taško koordinačių radimą.

3.2. Stačiojo trikampio statinių ilgiai lygūs .

Remiantis Pitagoro teorema

( ) ( )

, √( ) ( )

.

1 taškas

1 taškas

Už teisingo sprendimo būdo pasirinkimą.

(pavyzdžiui: taškų A ir B pažymėjimą koordinačių

plokštumoje, stačiojo trikampio pastebėjimą ir trikampio

statinių ilgių išraiškas ).

Už pagrįstai gautą išvadą.

4.1.

, , todėl

.

AC priklauso plokštumai ABCD,

todėl pagal tiesės ir plokštumos

statmenumo apibrėžimą .

Vadinasi, kampas SAC − status.

1 taškas

1 taškas

Už išsamų uždavinio sąlygos pavaizdavimą brėžiniu.

Už pagrįstą tiesės ir plokštumos statmenumo apibrėžimo

pritaikymą.

4.2. SD − pasviroji į plokštumą ABCD, AD − pasvirosios projekcija plokštumoje,

CD − plokštumos ABCD tiesė, einanti per pasvirosios pagrindą.

(gretimos stačiakampio kraštinės), todėl remiantis trijų statmenų

teorema . Vadinasi, piramidės siena SDC − statusis trikampis.

1 taškas

1 taškas



5. a) α − kampas A1DB1;

b) β − kampas DB1B arba D1DB1;

1 taškas

1 taškas

už brėžinyje teisingai pažymėtą kampą α.

už brėžinyje teisingai pažymėtą kampą β.

Kalba netaisyta

29

c) γ − kampas AA1B1 arba kampas DD1C1.

1 taškas

už brėžinyje teisingai pažymėtą kampą γ.

6.1. Duota: taisyklingoji trikampė prizmė, pagrindo spindulys R = 12 cm, šoninė

briauna ‒ 20 cm.

Įrodyti: √ .

Vienas iš galimų sprendimo būdų:

Trikampį ABC sudaro trys lygūs lygiašoniai trikampiai, todėl

√

.

1 taškas

1 taškas


Už teisingai apskaičiuotą pagrindo plotą.

6.2. Taisyklingos prizmės šoninė briaunos ir aukštinės ilgiai lygūs, todėl

H = 20 cm.

√ √ .

1 taškas Už teisingai apskaičiuotą tūrį.

7.

1 taškas Už uždavinio sąlygos pavaizdavimą brėžiniu.

Kalba netaisyta

30

Duota: rutulys, R = OA = 26 cm, OC = 10

cm, .

Rasti: S + 2Spj. (S − rutulio paviršiaus

plotas, Spj. − pjūvio plotas).

Iš stataus ∆AOC pagal Pitagoro teoremą AC = 24 cm.

( ).

( ).

( ).

1 taškas

1 taškas

1 taškas

1 taškas

Už rutulio pjūvio spindulio ilgio arba spindulio ilgio

kvadrato teisingą apskaičiavimą.

Už pjūvio ploto teisingą apskaičiavimą.

Už rutulio paviršiaus ploto teisingą apskaičiavimą.

Už nudažyto ploto teisingą apskaičiavimą.

Kalba netaisyta

31

Modulio „Vektoriai. Geometrijos žinių sisteminimas“ diagnostinės užduoties pavyzdys [4]

(Atlikti iš kiekvieno uždavinio po vieną dalį)

Darbo trukmė: 45 minutės

1 uždavinys

1.1. Remdamiesi brėžiniu, pavaizduokite vektorius:

; ; ; ; ; ; .

7 taškai


; ; ; ; ; ;

.

9 taškai


; ;

;

; ;

;

.

10 taškų

Kalba netaisyta

32

2 uždavinys ABCDA1B1C1D1 − kubas.

2.1. Remdamiesi paveikslu, nurodykite porą vektorių,

kurie būtų:

lygūs;

priešingi;

kolinearūs.

3 taškai

2.2. Remdamiesi paveikslu, raskite vektorių sumas:

;

;

. 5 taškai

2.3. Remdamiesi paveikslu, nurodykite porą vektorių,

kurių:

suma lygi ;

skirtumas lygus ;

suma lygi ;

skirtumas lygus . 6 taškai

3 uždavinys

3.1. Taškas M − atkarpos AB vidurio taškas, O − bet

kuris erdvės taškas. Įrodykite, kad

.

5 taškai

3.2. Taškas M − atkarpos AB taškas, O − bet kuris

erdvės taškas,

AM : MB = 3 : 4. Įrodykite, kad

.

6 taškai

3.3. Tetraedro OABC sienos ABC pusiaukraštinės

susikerta taške M. AA1 − trikampio ABC

pusiaukraštinė.

3.3.1. Įrodykite, kad

.

2 taškai

3.3.2. Įrodykite, kad

.

3 taškai

3.3.3. Vektorių išreikškite vektoriais ,

, .

2 taškai

Kalba netaisyta

33

4 uždavinys

4.1.

Duotas trikampis ABC, AB = 5 cm, ∠A = 45°, ∠C =

30°. Raskite .

3 taškai

4.2.

Trikampio ABC kraštinė

√ cm, ∠B = 120°,

∠C = 45°. Raskite .

4 taškai

4.3.

Duotas trikampis ABC, AC = 10 cm, BC = 6 cm, ∠C

− smailus,

. Raskite .

5 taškai

5 uždavinys

5.1. Duota trikampė prizmė ABCA1B1C1. Nurodykite

vektorių , kurio pradžia ir pabaiga yra prizmės

viršūnės, ir .

3 taškai

5.2.

Vektoriai ir bei ir yra kolinearūs. Įrodykite,

kad vektoriai ir taip pat kolinearūs.

3 taškai

5.3.

Žinoma, kad | | , | | .

5.3.1. Išanalizuokite galimas vektorių ir

tarpusavio padėtis ir įvertinkite vektoriaus ilgį

| |. 4 taškai

5.3.2. Kuris iš skaičių 2, 5, 7, 10, 12, 17 negali būti

lygus vektoriaus ilgiui | |?

1 taškas


Pasiekimų lygiai




Kalba netaisyta

34

Patenkinamas lygis

1.1. ‒ 7 taškai

3.1. – 1 taškas

2.1. − 3 taškai

3.1. – 3 taškai

4.1. − 2 taškai

5.1. – 1 taškas

3.1. – 1 taškas

4.1. − 1 taškas

5.1. – 2 taškai

21

38,10% 42,86% 19,05%

Pagrindinis lygis

1.2. – 7 taškai

3.2. – 1 taškas

4.2. − 2 taškai

1.2. – 2 taškai

2.2. – 4 taškai

3.2. – 3 taškai

4.2. ‒ 1 taškas

5.2. – 1 taškas

2.2. – 1 taškas

3.2. – 2 taškai

4.2. ‒ 1 taškas

5.2. – 2 taškai

27

37,04% 40,74% 22,22%

Aukštesnysis lygis

1.3. – 7 taškai

3.3.2. – 2 taškai

3.3.3. – 1 taškas

4.3. ‒ 1 taškas

1.3. – 3 taškai

2.3. – 6 taškai

3.3.1. – 1 taškas

3.3.2. – 1 taškas

3.3.3. – 1 taškas

4.3. – 3 taškai

3.3.1. – 1 taškas

4.3. – 1 taškas

5.3. – 5 taškai

33

33,33% 45,45% 21,21%

Vertinimas pažymiu

Patenkinamas lygis

Surinkta

taškų (%)

0 - 8 9 - 17 18 - 28 29 - 39 40 - 49 50 - 58 59 - 68 69 - 79 80 - 90 91 - 100

Surinkta

taškų

0 - 2 3 - 4 5 - 6 7 - 8 9 - 10 11 - 12 13 - 14 15 - 17 18 - 19 20 - 21

Pažymys 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Kalba netaisyta

35

Pagrindinis lygis

Surinkta

taškų (%)

0 - 8 9 - 17 18 - 28 29 - 39 40 - 49 50 - 58 59 - 68 69 - 79 80 - 90 91 - 100

Surinkta

taškų

0 - 2 3 - 5 6 - 8 9 - 11 12 - 13 14 - 16 17 - 18 19 - 21 22 - 24 25 - 27

Pažymys 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Aukštesnysis lygis

Surinkta

taškų (%)

0 - 8 9 - 17 18 - 28 29 - 39 40 - 49 50 - 58 59 - 68 69 - 79 80 - 90 91 - 100

Surinkta

taškų

0 - 3 4 - 6 7 - 9 10 - 13 14 - 16 17 - 19 20 - 22 23 - 26 27 - 30 31 - 33

Pažymys 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Kalba netaisyta

36


Užd.

Nr.


Patenkinamas lygis

1.1.

7 taškai Po vieną tašką už kiekvieną teisingai

pavaizduotą vektorių sumą.

2.1.

3 taškai Po 1 tašką už nurodytą lygių, priešingųjų ir

kolinearių vektorių porą.

3.1.

,

( ),

.

. Įrodyta.

1 taškas

1 taškas

1 taškas

1 taškas

1 taškas


Už vektoriaus OM išreiškimą iš trikampio

OAM.

Už vektoriaus OM išreiškimą iš trikampio

OBM.

Už pastebėjimą, kad vektorių AM ir BM suma

lygi nuliui.


Kalba netaisyta

37

4.1.

| | | | .

Remiantis sinusų teorema

, √ .

1 taškas

1 taškas

1 taškas

Už pastebėjimą, kad vektorių sumos ilgis lygus

trikampio kraštinės ilgiui.


Už gautą teisingą atsakymą.

5.1.

.

1 taškas

1 taškas

1 taškas



Už sprendimo pagrindimą.

Pagrindinis lygis

1.2.

7 taškai

1 taškas

1 taškas

Po 1 tašką už kiekvieną teisingai pavaizduotą

vektorių sumą.

Už bent vieną pavaizduotą skaičiaus 2 ir

vektoriaus sandaugą (pavyzdžiui, 2 ).

Už bent vieną pavaizduotą kokiam nors

vektoriui priešingą vektorių (pvz., ).

Kalba netaisyta

38

2.2.

;

;

.

1 taškas

2 taškai

2 taškai

Už teisingą pirmąją vektorių sumą.

Už pagrįstai gautą antrąją vektorių sumą.

Už pagrįstai gautą trečiąją vektorių sumą.

3.2.

,

( ),

,

( ),

. Įrodyta.

1 taškas

1 taškas

1 taškas

1 taškas

1 taškas

1 taškas


Už vektoriaus išreiškimą iš trikampių OAM

ir OBM.

Už vektoriaus išreiškimą vektoriumi

arba .

Už vektoriaus išreiškimą vektoriumi

arba .

Už vektoriaus arba išreiškimą vektoriais

ir .


4.2.

| | | | .

Remiantis sinusų teorema

√

, √ (cm).

1 taškas

1 taškas

1 taškas

1 taškas

Už pastebėjimą, kad vektorių skirtumo ilgis

lygus trikampio kraštinės ilgiui.


Už lygties sprendimą.


5.2. , kur k ir l − skaičiai.

2 ( ) , (2k − l) − skaičius.

Vadinasi, vektoriai 2 ir yra kolinearūs.

1 taškas

1 taškas

1 taškas

Už dviejų vektorių kolinearumo sąlygos

taikymą.

Už teisingą išvadą.


Kalba netaisyta

39

Aukštesnysis lygis

1.3.

10 taškų

Po 2 taškus už vektorių

pavaizdavimą.

Po 1 tašką už kiekvieno iš likusių vektorių

pavaizdavimą.

2.3.

1 taškas

1 taškas

2 taškai

2 taškai

Už teisingai nurodytą porą vektorių, kurių suma

lygi .

Už teisingai nurodytą porą vektorių, kurių

skirtumas lygus .

Už teisingai nurodytą porą vektorių, kurių suma

lygi . Už teisingai nurodytą porą vektorių, kurių

skirtumas lygus .

3.3. 3.3.1.

.

1 taškas

1 taškas


Už pagrįstą išvadą.

Kalba netaisyta

40

3.3.2.

AM : MA1 = 2 : 1 (trikampio pusiaukraštinių savybė).

.

1 taškas

1 taškas

1 taškas

Už trikampio pusiaukraštinių savybės taikymą.


Už pagrįstą išvadą.

3.3.3.

Remiantis 3.3.2. dalimi

.

Remiantis 3.3.1. dalimi

(

) .

.

1 taškas

1 taškas



4.3.

| | | | .

Jei C – smailusis ir

.

Remiantis kosinusų teorema AB = 8 (cm).

1 taškas

1 taškas

1 taškas

1 taškas

1 taškas

Už pastebėjimą, kad vektorių skirtumo ilgis

lygus trikampio kraštinės ilgiui.


Už cosC radimą.



5.3. 5.3.1.

Jei , tai | | .

Jei , tai | | .

Jei nėra kolinearūs, tai, remiantis trikampio nelygybe, | | .

1 taškas

3 taškai

Už bent dviejų vektorių tarpusavio

padėčių nurodymą.

Po 1 tašką už kiekvienos vektorių tarpusavio

padėties atveju įvertintą vektoriaus ilgį

| |.

5.3.2.

17 negali būti lygus vektoriaus ilgiui | |.

1 taškas


Kalba netaisyta

41

Apibendrinamųjų užduočių, orientuotų į dalykines ir bendrąsias kompetencijas, pavyzdžiai, jų vertinimo kriterijai

(mokytojui ir mokiniui)

Modulio „Geometrija“ apibendrinamojo darbo pavyzdys [1]

Trukmė: 90 minučių

Patenkinamas lygis Pagrindinis lygis Aukštesnysis lygis

1 užduotis

Lankas BC = 40º. Apskaičiuokite O ir A.

EDC = 70º. EA ir DC apskritimo skersmenys.

Apskaičiuokite kampą ABC.

Apskritimo stygos AB ir CD susikerta taške E.

Įrodykite, kad AE·BE = CE·ED.

2 užduotis

Nubrėžkite smailųjį, statųjį ir bukąjį trikampius. Apie

kiekvieną jų apibrėžkite apskritimą. Kokia yra tų

apskritimų centrų padėtis trikampio kraštinių

atžvilgiu?

Apskaičiuokite keturkampio perimetrą:

Į lygiašonę trapeciją įbrėžtas skritulys. Lietimosi

taškas šoninę kraštinę dalija į dvi atkarpas, kurių

ilgiai m ir n. Apskaičiuokite trapecijos plotą.

3 užduotis

3,6 m ilgio kopėčios stovėjo atremtos į sieną. Užlipęs

jomis du trečdalius ilgio, dažytojas netyčia išmetė

teptuką, kuris nukrito 0,3 m nuo sienos. Koks atstumas

Trikampio KLP vidurinė linija MN lygiagreti

kraštinei PL. Figūros MNLP plotas 48 cm2.

Apskaičiuokite trikampio KLP plotą.

Įrodykite teiginį: „Jei dvi lygiagrečios tiesės kerta

kampo kraštines, tai atkirstos kampų kraštinių

atkarpų poros yra proporcingos“.

Kalba netaisyta

42

nuo sienos ligi kopėčių pagrindo? (Apskaičiuokite

centimetro tikslumu.)

4 užduotis

Žinoma, kad trikampio kraštinė a = 6 cm, o du jo

kampai α = 41°, β = 79°.

Apskaičiuokite kitus to trikampio elementus. Kraštinių

ilgius pateikite šimtųjų tikslumu.

ABCD lygiagretainis, kurio AB = 4,9 cm, BC = 5,4

cm, AC = 8,8 cm. Raskite įstrižainės DB ilgį

milimetrų tikslumu, kampų BCD ir ABC didumus

laipsnio tikslumu.

Trikampio plotas lygus 16 dm2, dvi kraštinės 5 dm ir

8 dm. Apskaičiuokite trečiosios kraštinės ilgį.

5 užduotis

Kampas tarp pasvirosios ir plokštumos 60º,

pasvirosios ilgis 10 cm. Aprašytą situaciją

pavaizduokite brėžiniu. Raskite pasvirosios projekcijos

ilgį.

Stačiojo trikampio statiniai 30 cm ir 40 cm. Iš šio

trikampio stačiojo kampo viršūnės iškeltas 70 cm

statmuo trikampio plokštumai. Apskaičiuokite

atstumą nuo statmens galo, nesančio plokštumoje,

iki ilgiausios trikampio kraštinės. Aprašytą situaciją

pavaizduokite brėžiniu.

Du lygiašoniai trikampiai KLM ir KMV turi bendrą

pagrindą KM, kurio ilgis 16 cm. Trikampių

plokštumos sudaro 60º kampą, KL= LM = 17 cm, KV

VM, A – atkarpos KM vidurio taškas.

a) Įrodykite, kad LAV = 60º.

b) Apskaičiuokite VM ilgį.

c) Apskaičiuokite atstumą tarp viršūnių L ir V.

6 užduotis

Iš stačiakampio gretasienio formos akvariumo, kurio

pagrindas kvadratas su 25 cm kraštine, o vandens lygis

30 cm, vanduo perpiltas į naują akvariumą. Naujojo

akvariumo ilgis 50 cm, o plotis 20 cm. Koks vandens

lygis naujame akvariume? Atsakymą parašykite 1 cm

tikslumu.

Iškastas ritinio formos 30 km ilgio tunelis, kurio

skersmuo 6 m. Apskaičiuokite kiek kubinių metrų

grunto buvo iškasta ( ).

Kokio aukščio kūgio formos kalną, kurio pagrindas

20 ha, būtų galima supilti iš šio grunto? Atsakymą

parašykite 1 m tikslumu.

Ritinio šoninio paviršiaus išklotinė yra kvadratas.

Raskite kampo, kurį sudaro šio ritinio ašinio pjūvio

įstrižainė su pagrindo plokštuma, dydį.


Užduočių


pasiekimų lygius




Patenkinamas lygis

30

1 – 2 taškai

2 – 3 taškai

3 – 1 taškas

4 – 2 taškai

3 – 1 taškai

4 – 2 taškai

5 – 1 taškas

5 – 1 taškas

3 – 2 taškas

5 – 1 taškas

6 – 1 taškas

18 (30)

Kalba netaisyta

43

5 – 1 taškas

Pagrindinis lygis

40

1 – 2 taškai

2 – 2 taškai

4 – 1 taškas

3 – 1 taškas

4 – 2 taškai

5 – 2 taškai

6 – 2 taškai

3 – 2 taškai

5 – 3 taškai

6 – 2 taškai

19(31,66)

Aukštesnysis lygis

30

4 – 1 taškas

5b – 1 taškas

5c – 2 taškai

6 – 1 taškas

1 – 2 taškai

2 – 3 taškas

3 – 2 taškai

4 – 2 taškai

5a – 3 taškai

5c –2 taškai

6 – 1 taškas

1 – 2 taškai

3 – 1 taškas

6 – 1 taškas

23(38,3)

19 (31,67) 27(45) 15(25) 60

Vertinimas pažymiu

Surinkta taškų (%) 0 - 8 9 - 17 18 - 28 29 - 39 40 - 49 50 - 58 59 - 68 69 - 79 80 - 90 91 - 100

Surinkta taškų 0-5 6-10 11-17 18-23 24-29 30-35 36-41 42-47 48-54 55-60

Pažymys 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Kalba netaisyta

44


Užd.

Nr.

Sprendimas/Atsakymas Taš

kai Vertinimas

Patenkinamas lygis

1.

O = BC = 40 ;

A =

BC = 20 .

2 1 taškas už teisingai pritaikytą centrinio kampo

savybę.

1 taškas už teisingai pritaikytą įbrėžtinio kampo

savybę.

2.

3 Po 1 tašką už teisingai nubrėžtą brėžinį ir teisingai

nurodytą apskritimo centro vietą trikampio kraštinių

atžvilgiu.

3.

= 2,4 m,

ABC EBD pagal du kampus,

,

, CB = 0,9 m.


1 taškas už teisingai apskaičiuotą BE ilgį.


1 taškas už gautą teisingą atsakymą.

Kalba netaisyta

45

4.

γ = 180 – α – β = 60 ,

Trikampiui ABC taikome sinusų teoremą:

,

4 1 taškas už teisingai apskaičiuotą nežinomą kampą.


1 taškas už teisingai apskaičiuotą kraštinę AC.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą kraštinę AB.

5.

AB – pasviroji, AC statmuo į

plokštumą, todėl BC pasvirosios

projekcija.

ABC = 60 , ABC statusis, todėl BC

=

AB = 5 cm.

2 1 taškas už teisingai brėžinyje nurodytą kampą tarp

plokštumos ir pasvirosios.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą pasvirosios

projekcijos ilgį.

6.

,

,

.

Iš čia h =18750 : 1000 = 18,750 cm.

Vandens lygis antrajame akvariume

19 cm.

3 1 taškas už teisingai apskaičiuotą vandens tūrį

pirmame akvariume.


1 taškas už teisingai apskaičiuotą vandens lygį

antrame akvariume.

Kalba netaisyta

46

Pagrindinis lygis

1.

EDC = 70 , todėl EC = 140 ;

CA = 180 - 140 = 40 .

ABC =

CA = 20 .


1 taškas už teisingai apskaičiuotą kampo ABC

didumą.

2.

KL + MN = LM + KN,

x = 4.

P = 18.

2 1 taškas už teisingai pritaikytą apibrėžtinio

keturkampio savybę.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą keturkampio

perimetrą.

3.

MN vidurinė linija, todėl MN || PL, MN =

.

KLP KNM pagal du kampus, panašumo

koeficientas k = 2.

Remiantis panašiųjų trikampių plotų savybe,

turime:

.


1 taškas už panašiųjų trikampių plotų santykio

pritaikymą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą trikampio KLP

plotą.

Kalba netaisyta

47

4.

ABC taikome kosinusų teoremą:

, ABC

= 117 . Tada BCD = 63 .

ABD taikome kosinusų teoremą ir

gauname BD² = 28,9, BD 5,4 cm.

3 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą

nežinomiems kampams apskaičiuoti.

1 taškas už teisingai apskaičiuotus lygiagretainio

kampus.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą įstrižainę DB.

5.

Ilgiausia stačiojo trikampio kraštinė yra

įžambinė. CH – ABC aukštinė, CH – MH

projekcija trikampio plokštumoje. Pagal trijų

statmenų teoremą MH AB, todėl rodo

atstumą nuo M iki AB.

ABC CHA pagal du kampus, todėl

CA² = AB·AH, AH = 18 cm.

ACH statusis, tai CH = 24 cm.

MCH statusis, iš čia MH = 74 cm.

5 1 taškas už teisingai nubrėžtą brėžinį.

1 taškas už teisingai nurodytą ilgiausią kraštinę.

1 taškas už atstumo nuo statmens galo, nesančio

plokštumoje, iki ilgiausios kraštinės pagrindimą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą CH ilgį.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą atstumą MH.

6.

Kasant ritinio formos tunelį, iškasta grunto:

V = ·3²·30000 847800 m³.

20 ha = 200000 m².

Kūgio formos grunto krūvos aukštis H:

V =

, iš čia H 1272 m.

4 1 taškas už iškasto grunto tūrio apskaičiavimą.

1 taškas už teisingą matavimo vienetų keitimą.

1 taškas už sprendimo būdo parinkimą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą grunto krūvos

aukštį.

Kalba netaisyta

48

Aukštesnysis lygis

1.

Sujunkime taškus A ir C, bei B ir D.

ACD = ABD, nes įbrėžtiniai ir remiasi į tą

patį lanką AD;

AEC = BED, nes kryžminiai.

Iš to seka, kad ACE DBE pagal du

atitinkamai lygius kampus.

Tada trikampių atitinkamos kraštinės

proporcingos:

, iš čia AE · EB = CE · ED.

4 1 taškas už pastebėjimą, kad įbrėžtiniai kampai lygūs.

1 taškas už pagrindimą, kad trikampiai panašieji.

1 taškas už panašumo panaudojimą proporcingoms

kraštinės surašyti.

1 taškas už gautą teisingą išvadą.

1. 2.

3. 4.

2.

Remiantis liestinių, išeinančių iš vieno

taško savybe: CE = CN = m ir BM = BE

= m; DN = DF = n ir AF = AM = n.

ABCD lygiašonė trapecija, todėl HD =

.

CHD – statusis:

( ) ( ) ,

CH = 2√ .

( )√


1 taškas už teisingai apskaičiuotą trapecijos aukštinę.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą trapecijos plotą.

Kalba netaisyta

49

3.

AE || BD

AC kirstinė, tai CBD = CAE, nes

atitinkamieji;

CE kirstinė, tai CDB = CEA, nes

atitinkamieji.

Tada BCD ACE pagal du atitinkamai

lygius kampus.

Iš trikampių panašumo:

, o tai reiškia, kad atkirstos

atkarpos proporcingos.

3 1 taškas už pasirinktą sprendimo būdą.


1 taškas už atkarpų proporcingumo pagrindimą.

4.

,

sinα = 0,8.

Pritaikę pagrindinę trigonometrinę

tapatybę, gauname: cosα = 0,6 .

Pritaikę kosinusų teoremą, gauname:

AC = 7 arba AC = √ .

3 1 taškas už trikampio ploto panaudojimą kampo

sinusui apskaičiuoti.

1 taškas už teisingai surastą kampo kosinuso

reikšmes.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą kraštinės AC ilgį

(abu atvejai).

Kalba netaisyta

50

5.

a) A – KM vidurio taškas,

KML lygiašonis, tai LA KM;

KVM lygiašonis, tai VA KM;

A – dvisienio kampo (LKMV) briaunos

taškas.

Iš viso to seka, kad LAV = (LKMV) =

60 .

b) KVM statusis, lygiašonis KM = 16

cm, todėl VM = √ .

c) Iš KVM: AV = 8 cm,

Iš KML: AL = 15 cm.

LAV taikome kosinusų teoremą:

LV² = 15² + 8² - 2·15·8cos 60 = 169,

LV = 13 cm.

7 a) 2 taškai už pagrindimą, kad dvisienio kampo

tiesinis kampas LAV.

b) 1 taškas už teisingai surastą kraštinę VM.

c) 1 taškas už teisingai parinktą sprendimo būdą

1 taškas už teisingai apskaičiuotą atkarpos AV

ilgį.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą atkarpos AL

ilgį.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą atstumą tarp

viršūnių L ir V.

6.

Ritinio ašinis pjūvis yra stačiakampis, kurio

matmenys AB × AD.

AB = a . Ritinio pagrindo krašto ilgis taip

pat a.

· AD = a, AD =

.

ADC statusis, taikome tangento

apibrėžimą:

tg CAD =

= , iš čia CAD = arctg .

3 1 taškas už pjūvio apibūdinimą.

1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo

būdą.

1 taškas už teisingai apskaičiuotą kampą, kurį

sudaro pjūvio įstrižainė su pagrindo

plokštuma.

Kalba netaisyta

51

Vertinimo kriterijai mokiniui

Pasiekimų lygiai

Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis

Taikyti žinias apie plokštumos figūras sprendžiant nesudėtingus įvairių plokštumos figūrų, jų dalių bei junginių elementų ilgių, kampų dydžių,

perimetrų ir plotų, skaičiavimo uždavinius, įrodant teiginius.

Pavaizduoti centrinį ir įbrėžtinį kampą,

apskaičiuoti įbrėžtinį kampą, kai žinomas

centrinis ir atvirkščiai.

Gebėti taikyti centrinio ir įbrėžtinio kampo

apibrėžimus, įbrėžtinio kampo savybes paprastiems


Įrodyti įbrėžtinio kampo teoremą, ir kitas

įbrėžtinio kampo savybes. Argumentuotai

pagrįsti pasirinktą sprendimą.

Gebėti pavaizduoti apibrėžtinius ir

įbrėžtinius trikampį ir keturkampį. Taikyti

įbrėžto ir apibrėžto keturkampio savybes

paprasčiausiems uždaviniams spręsti.

Taikyti įbrėžtinio ir apibrėžtinio trikampio ir

keturkampio apibrėžimus, savybes nesudėtingiems

geometrijos ir praktinio turinio uždaviniams spręsti.

Žinoti kaip nustatoma įbrėžto į trikampį ir apibrėžto

apie trikampį apskritimo centras.

Įrodyti įbrėžto į apskritimą ir apibrėžto apie

apskritimą keturkampio pagrindines

savybes.

Analizuoti pateiktą geometrinio turinio

tekstą, argumentuoti pasirinktą sprendimo

strategiją.

Taikyti figūrų lygumą ir panašumą,

sprendžiant paprastus praktinio ir

matematinio turinio uždavinius.

Taikyti figūrų lygumą ir panašumą, sprendžiant

nesudėtingus praktinio ir matematinio turinio

uždavinius.

Įrodyti Talio ir jai atvirkštinę teoremą.

Taikyti trigonometrijos žinias sprendžiant paprastus geometrinius (praktinio bei matematinio turinio) uždavinius.

Užrašyti stačiojo trikampio smailiųjų

kampų kotangentus.

Gebėti taikyti smailiojo kampo kotangento apibrėžimą

stačiojo trikampio elementams rasti..

Gebėti analizuoti kotangento ir kitų stačiojo

trikampio smailiojo kampo trigonometrinių

funkcijų sąsajas.

Žinoti trikampio ploto formulę

. Gebėti ją taikyti paprasčiausiems


Taikyti sinusų ir kosinusų teoremas trikampio,

keturkampio ir taisyklingųjų daugiakampių

elementams rasti.

Taikyti sinusų ir kosinusų teoremas

matematinėse ir praktinėse situacijose.

Argumentuotai komentuoti užduoties

sprendimą.

Analizuojant užduoties tekstą, atrasti, kad

atskirais atvejais taikant trigonometriją

trikampio uždaviniams spręsti negauname

vienareikšmiško atsakymo.

Kalba netaisyta

52

Taikyti žinias apie erdvės figūras sprendžiant nesudėtingus erdvės figūrų, jų dalių bei junginių elementų ilgių, kampų dydžių, paviršiaus plotų bei

tūrio skaičiavimo uždavinius, įrodant teiginius.

Atpažinti nupjautinę piramidę ir nupjautinį

kūgį.

Pavaizduoti nupjautinę piramidę ir nupjautinį kūgį.

Gebėti pavaizduoti erdvinių kūnų ašinius pjūvius,

pjūvius lygiagrečius pagrindui.

Gebėti pavaizduoti erdvinių kūnų

išklotines.

Pavaizduoti dvisienį kampą . Gebėti taikyti dvisienio kampo sąvoką,

sprendžiant uždavinius.

Gebėti taikyti atstumo tarp prasilenkiančių tiesių

erdvinėse figūrose, atstumo tarp lygiagrečių

plokštumų, atstumo tarp tiesės ir jai lygiagrečios

plokštumos sąvokas.

Nuosekliai, tiksliai, aiškiai, argumentuotai

aprašyti uždavinio sprendimą.

Taikyti trijų statmenų ir jai atvirkštinę teoremą

paprastoms užduotims atlikti.

Įrodyti ir taikyti trijų statmenų ir jai

atvirkštinę teoremą įvairiose praktinėse ir

matematinėse situacijose. Argumentuoti

sprendimą.

Taikyti erdvinių kūnų paviršiaus ploto ir

tūrio radimo sąryšius paprasčiausiai

atvejais.

Gebėti nesudėtingais atvejais apskaičiuoti erdvinių

figūrų elementus, šoninio ir viso paviršiaus plotą, tūrį

bei paprastų jų dalių paviršiaus plotą, tūrį, paprastų

pjūvių plotus.

Argumentuotai, nuosekliai ir tiksliai

aprašyti užduoties sprendimą .

Kalba netaisyta

53

Modulio „Vektoriai. Geometrijos žinių sisteminimas“ apibendrinamojo darbo pavyzdys [2]

Trukmė: 90 minučių

1. Duoti vektoriai . Nubrėžkite vektorius, , ir .

(3 taškai)

2. Suprastinkite .

(1 taškas)

3. Duotas lygiagretainis ABCD, , . Apskaičiuokite lygiagretainio kraštinių ilgį.

(4 taškai)

4. Taškai L ir E yra trikampio ABC kraštinėse AB ir BC. Be to, LA = LB, BE : EC = 3 : 5 ir .

4. 1. Įrodykite, kad

. (4 taškai)

4. 2. Išreikškite vektorių vektoriais ir . (2 taškai)

5. Duoti taškai A(3; 5; 4), C(6; −2; 1) ir D(5; −3; 0). Ar taškai A, C ir D yra vienoje tiesėje?

(2 taškai)

6. Apskaičiuokite kampą tarp vektorių ir , kai | | , | | ir √

.

(2 taškai)

7. Su kuriomis m ir n reikšmėmis vektoriai ( ) ir ( ) yra statmeni, jei | | ?

(3 taškai)

Kalba netaisyta

54

8. Apskritimo, kurio centras taške O(0; 0), spindulio ilgis lygus 4 cm. Taškas A priklauso apskritimui, AOB = 120°. Tiesė DE yra apskritimo

liestinė taške A.

8.1. Įrodykite, kad = 30°.

(1 taškas)

8.2. Apskaičiuokite taško D koordinates.

(1 taškas)

8.3. Apskaičiuokite užbrūkšniuotos dalies DCA plotą.

(3 taškai)

8.4. Įrodykite, kad trikampiai DAO ir

OAE yra panašūs, ir raskite panašumo koeficientą.

(2 taškai)

9. Iš taško A, kurio atstumas AD nuo plokštumos lygus √ nuleistos dvi pasvirosios AB ir

AC. Kiekviena pasviroji su plokštuma sudaro 45° kampą, o kampas tarp pasvirųjų 60°.

9.1. Raskite atstumą BC tarp pasvirųjų pagrindų.

(2 taškai)

9.2. Įrodykite, kad trikampis BDC yra statusis.

(1 taškas)

9.3. Apskaičiuokite dvisienio kampo tarp plokštumų ABC ir BDC didumą 1° tikslumu.

(3 taškai)

10. Kūgio pagrindo spindulys lygus pusrutulio spinduliui. Kiek kartų kūgio aukštinė H turi būti

ilgesnė už pusrutulio spindulį R, kad abu kūnai būtų lygiatūriai?

(2 taškai)

11. Turime stačiakampio gretasienio formos medinę kaladėlę. Jos aukštis 8 cm, o pagrindas kvadratas, kurio kraštinė 10 cm.

Kalba netaisyta

55

11.1. Kaladėlėje statmenai pagrindui išgręžiama ritinio formos skylė. Ritinio pagrindo

spindulys − r cm. Kaladėlės su skyle tūris sudaro 56 % viso stačiakampio gretasienio tūrio.

Apskaičiuokite r.

(2 taškai)

11.2. Laikydami, kad

, apskaičiuokite kaladėlės su skyle paviršiaus plotą.

(2 taškai)

12. Taškas E yra kubo briaunos vidurio taškas. Taikydami vektorius, raskite kampo tarp prasilenkiančių tiesių AE ir BD

kosinusą.

(4 taškai) Užduočių taškų paskirstymas pagal mokinių kognityvinių gebėjimų grupes

Užduočių pasiskirstymas

pagal pasiekimų lygius

Žinios ir supratimas Matematikos taikymas Problemų sprendimas

35% 45% 20% Iš viso

taškų

Užduočių numeriai ir

taškai

Užduočių numeriai ir taškai Užduočių numeriai ir taškai

Patenkinamas lygis

30%

1 3 taškai,

2 1 taškas,,

8.2 – 1 taškas

4.2 – 2 taškai

10 – 2 taškai

11.1 – 2 taškai

3 – 3 taškai 14

(31,81 )

Kalba netaisyta

56

Pagrindinis lygis

40%

4.1 – 1 taškas

6 2 taškai

8.3 – 3 taškai

9.1 – 2 taškai

4.1 – 3 taškai

5 – 2 taškai

11.2 – 2 taškai

9.3 – 3 taškai 18

(40,90 )

Aukštesnysis lygis

30%

8.1 – 1 taškas

9.2 – 1 taškas

3 – 1 taškas

7 – 3 taškai

8.4 – 2 taškai

12 – 1 taškas

12 – 3 taškai

12

(27,27 )

15 (34,09 ) 20 (45,45 ) 9 (20,45 ) 44

Vertinimo instrukcija (vertinimo kriterijai mokytojui)

Užduoties Nr. Vertinimas Sprendimas

1. 3

1 taškas už vektoriaus pavaizdavimą;

1 taškas už vektoriaus pavaizdavimą;

1 taškas už vektoriaus pavaizdavimą.

2. 1

1 taškas už sumos vektoriaus radimą.

3. 4

1 taškas už teisingo sprendimo būdo parinkimą;

1 taškas už vektoriaus koordinačių radimą;

1 taškas už vektoriaus koordinačių radimą;

1 taškas už kraštinių ilgių radimą.

{

= (1; −1; 9);

Kalba netaisyta

57

= (3; −7; 5);

√ , AD = √ .

4. 6

4. 1. 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą;

1 taškas už išsamų pagrindimą;

1 taškas už vektoriaus išreiškimą vektoriais ;

1 taškas už pagrįstai suformuluotą išvadą.

4. 2. 1 taškas už išsamų pagrindimą;

1 taškas už pagrįstai suformuluotą išvadą.

{

Sudėję, gauname:

.

,

Iš čia

;

.

5. 2

1 taškas už vektorių pritaikymą;

1 taškas už pagrįstai suformuluotą teisingą išvadą.

= (3; −7; −3), = (−1; −1; −1).

Vektoriai nekolinearūs, todėl taškai nėra vienoje

tiesėje.

6. 2

1 taškas už vektorių skaliarinės sandaugos formulės pritaikymą;


√

, kur α − kampas tarp vektorių

.

Kampas tarp vektorių lygus 45°.

7. 3

1 taškas už statmenų vektorių savybės pritaikymą;

Kalba netaisyta

58

1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą;

1 taškas už gautą teisingą atsakymą. ;

{

m = 2, n = 2, arba m = 10, n = −2.

8. 7

8.1. 1 taškas už gautą teisingą išvadą.

8.2. 1 taškas už gautą teisingą atsakymą.

8.3. 2 taškai už išsamų sprendimo užrašymą;


8.4. 1 taškas už įrodymą, kad trikampiai panašūs;

1 taškas už apskaičiuotą panašumo koeficientą.

AOF = 120°, todėl AOD = 60°; ADO −

statusis, tada ADO = 30°;

DO = 2AO (statinio prieš 30° kampą savybė), DO

= 8, D(−8; 0).

S∆DAO = 0,5∙8∙4∙sin 60° = √ cm2,

Sišpj.

cm

2;

Snuspalv. √

cm

2.

D

D −

DAO ir OAE yra panašūs pagal du lygius

kampus;

Iš stataus trikampio DAO turime: DA √ ,

panašumo koeficientas lygus

√

√ .

9. 6

9.1. 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą;


9.2. 1 taškas už teisingai pritaikytą atvirkštinę Pitagoro teoremą.

9.3. 1 taškas už teisingai pavaizduotą dvisienio kampo tiesinį kampą

α.


AB = 10, AC = 10,

BAC lygiakraštis,

BC = 10.

BD² + DC² = BC².

Kalba netaisyta

59

1 taškas už gautą teisingą atsakymą. Iš stačiojo trikampio AHD gauname:

tg α = √ ;

α = 54,73...° ≈ 55°.

10. 2

1 taškas už teisingos lygybės sudarymą;

1 taškas už gautą teisingą išvadą. ;

2 kartus.

11. 4

11.1. 1 taškas už ritinio formos skylės tūrio apskaičiavimą;

1 taškas už skylės spindulio radimą.

11.2. 1 taškas už teisingai pasirinktą sprendimo būdą;


;

√

.

S = 2∙10∙10 + 4∙10∙8 – 2∙π∙r2 + 2πr∙8 cm

2;

√ cm2.

12. 4

1 taškas už kubo pavaizdavimą koordinačių sistemoje.

1 taškas už taškų A, E, B, D koordinačių radimą.

1 taškas už vektorių koordinačių radimą.


a − kubo briaunos ilgis,

α − kampas tarp tiesių AE ir BD.

A(a; 0; 0), E(0,5a; 0; a), B(0; 0; 0), D(a; a; 0).

( ), ( ).

√

.

Kalba netaisyta

60

Vertinimo kriterijai mokiniui

Pasiekimų lygiai

Patenkinamas Pagrindinis Aukštesnysis

Naudotis vektoriaus sąvoka ir veiksmų savybėmis sprendžiant paprastus bei įrodymo uždavinius.

Užrašyti vektoriaus, pavaizduoto koordinačių

plokštumoje, koordinates. Pavaizduoti vektorių

koordinačių plokštumoje, kai žinomos

vektoriaus koordinatės.

Mokėti apskaičiuoti vektoriaus ilgį, kai


Apskaičiuoti vektoriaus koordinates, kai žinomos

vektoriaus pradžios ir galo taškų koordinatės.

Grafiškai vaizduoti kolinearius vektorius.

Grafiškai pavaizduoti vektorių sudėtį pagal

lygiagretainio ar trikampio taisyklę.

Žinoti, kaip užrašomi veiksmai koordinatėmis

ir mokėti juos atlikti sprendžiant

paprasčiausius uždavinius.

Grafiškai pavaizduoti vektorių atimtį.

Taikyti vektorių kolinearumo sąlygą sprendžiant

paprastus uždavinius.

Taikyti vektorių kolinearumo sąlygą


Žinoti vektorių skaliarinės sandaugos

apibrėžimą ir paprasčiausiais atvejais mokėti jį

taikyti. Mokėti apskaičiuoti vektorių, išreikštų

koordinatėmis, skaliarinę sandaugą,

sprendžiant paprasčiausius uždavinius.

Žinoti skaliarinės sandaugos savybes, taikyti jas

paprastiems uždaviniams spręsti. Mokėti taikyti

vektorių, išreikštų koordinatėmis, skaliarinę sandaugą.

Argumentuotai taikyti veiksmų su vektoriais,

pateiktais koordinatėmis, taisykles.

Taikyti vektorius nesudėtingiems

skaičiavimo ir įrodymo uždaviniams

spręsti. Kūrybingai ir originaliai

pasirinkti strategijas sprendžiant

uždavinius. Argumentuoti uždavinio

sprendimą.

Taikyti žinias apie plokštumos ir erdvės figūras sprendžiant nesudėtingus figūrų, jų dalių bei junginių elementų ilgių, kampų dydžių, plotų bei

tūrio skaičiavimo uždavinius, įrodant teiginius.

Žinoti ir taikyti figūrų perimetro ir ploto

savybes sprendžiant uždavinius.

Taikyti įbrėžto į trikampį ir apibrėžto apie trikampį

apskritimo savybes uždaviniams spręsti.

Įrodyti trikampio ploto formules

išreiškiant jį pagrindu ir aukštine arba

Kalba netaisyta

61

Žinoti ir taikyti trikampio kampų sumos,

Pitagoro, sinusų ir kosinusų teoremas.

Taikyti trikampių lygumo ir panašumo

požymius uždaviniams spręsti.

dviem kraštinėm ir kampu tarp jų.

Mokėti įrodyti: trikampio kampų

sumos teoremą, Pitagoro teoremą ir

jai atvirkštinę teoremą, trikampio

vidurio linijos savybes,

pusiaukraštinių savybes.

Žinoti ir taikyti trikampio ploto formules

išreiškiant jį pagrindu ir aukštine arba dviem

kraštinėm ir kampu tarp jų. Žinoti ir taikyti

pagrindines lygiagretainio, rombo,

stačiakampio, kvadrato ir trapecijos savybes ir

plotų formules.

Žinoti įbrėžto į apskritimą ir apibrėžto apie apskritimą

keturkampio pagrindines savybes ir taikyti jas


Įrodyti pagrindines stačiakampio,

kvadrato, lygiagretainio, rombo ir

trapecijos savybes.

Įrodyti lygiagretainio, trapecijos

plotų radimo formules.

Žinoti ir paprastais atvejais taikyti įbrėžtinių

kampų, centrinių kampų, apskritimo liestinių

savybes.

Įrodyti, kad įbrėžtinių kampų, besiremiančių į tą

patį lanką, didumai yra lygūs. Suprasti ir nesudėtingais atvejais taikyti įbrėžtinių

kampų, apskritimo stygų, liestinių savybes.

Argumentuoja ir taiko apskritimo

liestinių ir kirstinių savybes.

Žinoti tiesės ir plokštumos lygiagretumo, tiesės

ir plokštumos bei plokštumų statmenumo,

kampo tarp tiesės ir plokštumos sąvokas,

atstumo tarp taškų, tarp tiesių, tarp lygiagrečių

plokštumų sąvokas, žinoti jų savybes ir mokėti

jas taikyti sprendžiant paprastus uždavinius.

Mokėti taikyti tiesės ir plokštumos lygiagretumo,

tiesės ir plokštumos bei plokštumų statmenumo,

kampo tarp tiesės ir plokštumos sąvokas, atstumo tarp

taškų, tarp tiesių, tarp lygiagrečių plokštumų sąvokas


Taikyti trijų statmenų ir jai

atvirkštinę teoremas uždavinių

sprendimams argumentuoti.

Paprastais atvejais apskaičiuoti prizmių,

piramidžių, kūgių, ritinių paviršių plotus ir

tūrius (rutulio tūrį).

Apskaičiuoti erdvinių kūnų ir paprasčiausių jų

kombinacijų paviršių plotus ir tūrius.

Pavaizduoti įvairių kūnų paprastus

pjūvius sprendžiant nesudėtingus

uždavinius.

Gebėti atrinkti ir įvertinti duomenis,

nuosekliai ir išsamiai argumentuoti

užduoties sprendimą.

Vertinimas pažymiu

Kalba netaisyta

62

Taškai (%) < 35 35 44 45 54 55 64 65 74 75 84 85 94 95 100

Surinkta taškų 15 16 19 20 24 25 28 29 33 34 37 38 41 42 44

Pažymys neįskaityta 4 5 6 7 8 9 10

Documents

II. Modulių, apimančių matematikos išplėstinio kurso veiklos sritį