Beograd, 2020.

Sva autorska prava autora prezentacije i/ili video snimaka su zaštićena. Snimak ili prezentacija se mogu koristiti samo za nastavu na daljinu studenta Građevinskog

fakulteta Univerziteta u Beogradu u školskoj 2020/2021 i ne mogu se koristiti za druge svrhe bez pismene saglasnosti autora materijala.

Univerzitet u Beogradu – Građevinski fakultet

www.grf.bg.ac.rs

Studijski program: G E O D E Z I J A

Modul: Osnovne studije / BSC

Godina/Semestar: III godina / V semestar

Naziv predmeta (šifra): INŽENJERSKA GEODEZIJA 1 (Б2Г3И1)

Nastavnik: Zagorka Gospavić

Naslov predavanja: Analitička razrada projekta – prelazne krivine Datum : 28.10.2020.

2

Primer situacije

3

Nadvišenje spoljne ivice puta

iLLh tg

a - razmak točkova

P - centrifugalna sila

Q - težina vozila

m - masa vozila

- poluprečnik krivine

L

CC

gi

aV

giL

aVV

g

aiL

V

g

aV

g

Q

Qah

V

g

QVmP

Q

Paaah

2

22

22

22

1

tgsin

konstanta CL

Prelazne krivine - prelaznice

4

Tipovi prelaznih krivina

klotoida - kod puteva kubna parabola - kod železnica

5

Klotoida

• U svakoj tački je konstantan proizvod poluprečnika krivine i dužine prelaznice od početka prelazne krivine do posmatrane tačke:

• Poluprečnik krivine se smanjuje od do , dok se istovremeno dužina prelaznice povećava od 0 do

CLii

RL

6

Klotoida – lučna radoida

konstanta CL

R

Jednačina

klotoide

7

2ALRC "2

"2

C

LNl

Vrednost A predstavlja linearni parametar koji definiše veličinu klotoide.

Njegovom promenom menja se i veličina klotoide.

A - predstavlja razmeru krive.

Postoji samo jedan oblik krive, a različite veličine.

Ugao tangiranja se menja od tačke do tačke krive, proporcionalno dužini krive L.

Krug poluprečnika R=1, takozvani "jedinični krug", tako i klotoida

čiji je parametar A=1 je "jedinična klotoida".

Jedinična klotoida je osnovni oblik klotoide iz koga se izvode

manji ili veći oblici, množenjem pojedinih veličina klotoide parametrom A.

Klotoida – lučna radoida

8

l

l

l

R – poluprečnik kružnog luka

L – lučna dužina prelazne

krivine

l - apcisna dužina prel. krivine

yl – ordinata tačke prel. krivine

d – udaljenost PPK od

teoretskog početka KK

ΔR – krugov pomak

e – dužina subtangente u

konačnoj tački prelaznice

- ugao tangente konačne

tačke prelaznice sa

tangentom u PPK

- ugao koji čini vizura

početne i krajnje

tačke prelaznice sa

tangentom u PPK

- ugao koji čini vizura

krajnje i početne

tačke prelaznice sa

tangentom u KPK

9

ll

x, y = ? – za bilo koju tačku prelaznice

Za usvojenu apcisu x

...

205951,0

207887,0

211838,0

222857,01

6

82

62

42

223

C

x

C

x

C

x

C

x

C

xy

10

Ako je: Tada postoje uslovi:

- regularne prelaznice sa kružnim lukom,

- regularne prelaznice ali bez kružnog luka,

- mora se menjati ili R ili oboje zajedno.

l 2

l 2

l 2

Moguću slučajevi

11

Računanje glavnih elemenata simetrične prelaznice oblika klotoide - 1

R

PKK

O

SKKKK

KPK2

Tn

Tn+1Tn-1

PPK1

l 2

L

l

ly

l

LLL 21 Kod simetrične prelaznice ( ) u

opštem slučaju važi:

(postoji kružni luk između dve prelaznice)

Dato: - poluprečnik kružnog luka

- dužina prelaznice

- skretni ugao

Nepoznato : - apscisa krajnje tačke

prelaznice

- ordinata krajnje tačke

prelaznice

- ugao između pravca

tangente u PPK1 i pravca tangente u PKK

12

Računanje glavnih elemenata simetrične prelaznice oblika klotoide - 2

...-2216

1

210

11

42

R

L

R

LLl

PKK

O

SKKKK

KPK2

Tn

Tn+1Tn-1

PPK1

...-2440

1

214

11

6

422

R

L

R

L

R

Lyl

"206265" ,"2

"

R

Ll

lRld sin

ll ctgye

n

n

n

n

T

T

T

T 1

1

ll RyR cos1

13

Računanje glavnih elemenata simetrične prelaznice oblika klotoide - 3

lll

PKK

O

SKKKK

KPK2

Tn

Tn+1Tn-1

PPK1

180

dtgRRTg 2

LRDo

l

2180

2

l

yarctg l

l

RRR

Bs

2cos

14

PKK

O

SKKKK

KPK2

Tn

Tn+1Tn-1

PPK1

Računanje koordinata glavnih tačaka simetrične prelaznice oblika klotoide

1

1

1

1cos ,sin n

nn

n

nn

T

TTPPKT

TTPPK TgXXTgYY

, , , , , , , ,1111

LRXYXYXYnnnnnn TTTTTT

, , , ,1111 KPKKPKPPKPPK XYXY

Dato:

sračunati glavni elementi simetrične prelaznice

oblika klotoide

Nepoznato:

90coscos1111

n

n

n

n

T

TlT

TPPKPKKKPK ylXXX

22 , , , PPKPPKKKKKKK XYXY

, , , , SKSKPKKPKK XYXY

OOKPKKPK XYXY , , ,22

90sinsin1111

n

n

n

n

T

TlT

TPPKPKKKPK ylYYY

15

PKK

O

SKKKK

KPK2

Tn

Tn+1Tn-1

PPK1

Računanje koordinata glavnih tačaka simetrične prelaznice oblika klotoide - 2

1

2

1

2cos ,sin n

nn

n

nn

T

TTKPKT

TTKPK TgXXTgYY

90sinsin111

n

n

n

n

T

T

T

TPPKO RRdYY

90coscos1122

n

n

n

n

T

TlT

TKPKKKKPPK ylXXX

90sinsin1122

n

n

n

n

T

TlT

TKPKKKKPPK ylYYY

OTTSK

OTTSK nnnn

BsXXBsYY cos ,sin

90coscos111

n

n

n

n

T

T

T

TPPKO RRdXX

U poslednjim jednačinama može biti i +90° (predznak zavisi od toga kako je orijentisana krivina)

Dato:

sračunati glavni elementi i koordinate glavnih tačaka simetrične

prelaznice oblika klotoide

Nepoznato:

16

Računanje koordinata detaljnih tačaka za ortogonalno obeležavanje

, , , , , , , ,1111

LRXYXYXYnnnnnn TTTTTT

...-

2440

1

214

11

6

42223

C

L

C

L

C

Ly iii

i

90coscos ,90sinsin nnnn TPPKi

TPPKiPPKi

TPPKi

TPPKiPPKi yxXXyxYY

,...,n,iXY ii 21 , ,

...-

2216

1

210

11

4222

C

L

C

LLx ii

ii

Različite dužine prelaznica ( )

U opštem slučaju važi (postoji kružni luk između dve prelaznice)

17

Asimetrična prelaznica oblika klotoide

21 LL

PKK=KPK1

PPK1

KKK=PPK2

KPK2

Tn

Tn

A

B

Tn+1Tn-1

21 ll

Jednake dužine prelaznica ( )

Ne postoji kružni luk između dve prelaznice ( )!

18

Temena simetrična prelaznica oblika klotoide

LLL 21

l 2

SK

Tn

Tn+1Tn-1

PPK1 KPK2

Različite dužine prelaznica ( ) !

Ne postoji kružni luk između dve prelaznice ( ) !

19

Temena asimetrična prelaznica oblika klotoide

21 LL

21 ll

KPK1=PPK2

Tn-1

PPK1

Tn+1

KPK2

Tn

Kubna parabola 3mxy

Ima smisla do tačke u kojoj je ugao tangente parabole i ose X ,

dok za veće vrednosti parabola se skoro pretvara u pravac. ''41'0524

Maks Hefer “popravljena “ jednačina

Najjednostavnija jednačina kubne parabole:

- radijus krivine

- dužina projekcije prelaznice na glavnu tangentu, tj. apscisa krajnje tačke prelaznice

- apscisa proizvoljne tačke na prelaznici

- ordinata proizvoljne tačke na prelaznici (za usvojeno )

- parametar kubne parabole

Navedena jednačina važi za kraće prelaznice ( )

22

Kubna parabola

ClR

333

6

1

6xmx

lRC

xy

R

l

x

y

m

x

5.3

RL

Heferova jednačina kubne parabole:

Navedena jednačina važi za duže prelaznice( )

23

Kubna parabola

3

2

32

6

21

xlR

R

l

y

5.3

RL

24

Dato: - poluprečnik kružnog luka

- dužina prelaznice

- skretni ugao

Nepoznato : - ugao između glavnih tangenti krivine

- apscisa krajnje tačke

prelaznice

- ordinata krajnje tačke

prelaznice

- ugao između pravca

tangente u PPK1 i pravca tangente u PKK

Računanje glavnih elemenata prelaznice oblika kubne parabole

R

L

ly

PKKSK

KKK

KPK2

Tn

Tn+1Tn-1

PPK1

l

l

25

Nepoznato : - udaljenost početka prelaznice od

teoretskog početka odmaknutog kružnog luka

- pomak kružnog luka zbog umetanja prelaznice

- dužina tangente krivine

- ukupna dužina luka

- dužina bisektrise krivine

Računanje glavnih elemenata prelaznice oblika kubne parabole - 1

a

f

D

Tg

Bs

26

Računanje glavnih elemenata prelaznice oblika kubne parabole - 2

180

2

210

R

LLLl

2

2

32

6

21

lR

R

l

yl

R

l

R

larctgl 22

12

32

n

n

n

n

T

T

T

T 1

1

PKKSK

KKK

KPK2

Tn

Tn+1Tn-1

PPK1

27

Računanje glavnih elemenata prelaznice oblika kubne parabole - 3

ll Ryf cos1

atgfRTg 2

LRDo

l

2180

2

RfR

Bs

2cos

lRla sin

PKKSK

KKK

KPK2

Tn

Tn+1Tn-1

PPK1

PKKSK

KKK

KPK2

Tn

Tn+1Tn-1

PPK1

28

Računanje koordinata glavnih tačaka prelaznice oblika kubne parabole

1

1

1

1cos ,sin n

nn

n

nn

T

TTPPKT

TTPPK TgXXTgYY

, , , , , , , ,1111

LRXYXYXYnnnnnn TTTTTT

, , , ,1111 KPKKPKPPKPPK XYXY

Dato:

sračunati glavne elemente prelaznice oblika kubne

parabole

Nepoznato:

90coscos1111

n

n

n

n

T

TlT

TPPKPKKKPK ylXXX

22 , , , PPKPPKKKKKKK XYXY

, , , , SKSKPKKPKK XYXY

OOKPKKPK XYXY , , ,22

90sinsin1111

n

n

n

n

T

TlT

TPPKPKKKPK ylYYY

29

Računanje koordinata glavnih tačaka prelaznice oblika kubne parabole - 2

1

2

1

2cos ,sin n

nn

n

nn

T

TTKPKT

TTKPK TgXXTgYY

90sinsin111

n

n

n

n

T

T

T

TPPKO fRaYY

90coscos1122

n

n

n

n

T

TlT

TKPKKKKPPK ylXXX

90sinsin1122

n

n

n

n

T

TlT

TKPKKKKPPK ylYYY

OTTSK

OTTSK nnnn

BsXXBsYY cos ,sin

90coscos111

n

n

n

n

T

T

T

TPPKO fRaXX PKKSK

KKK

KPK2

Tn

Tn+1Tn-1

PPK1

U poslednjim jednačinama može biti i +90° (predznak zavisi od toga kako je orijentisana krivina)

Dato:

sračunati glavne elemente i koordinate glavnih

tačaka prelaznice oblika kubne parabole

Nepoznato:

30

Računanje koordinata detaljnih tačaka - za polarno ili ortogonalno obeležavanje

, , , , , , , ,1111

LRXYXYXYnnnnnn TTTTTT

5.3,

6

1

63

3R

LxlRC

xy i

ii

za

90coscos ,90sinsin nnnn TPPKi

TPPKiPPKi

TPPKi

TPPKiPPKi yxXXyxYY

,...,n,iXY ii 21 , ,

2

210

R

LLLx ii

ii

5.3,

6

21

3

2

32

RLx

lR

R

l

y ii

za

31

Okretnica - serpentina

32

Kontrakrivina - S-krivina

33

Složena krivina iz dva dela bez prelaznica

34

Složena krivina iz tri dela bez prelaznica

35

I za kraj...