Integral de Duhamel (Pag.17)

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SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

5.1 INTRODUCCIN

Para el estudio de la vibracin de sistemas estructurales es necesario hacer uso de algunos conceptos relativos a la respuesta de sistemas de un grado de libertad (1 GDL) que son aplicables a sistemas de muchos grados de libertad como son las estructuras de edificios por lo que es imprescindible comenzar por una revisin de estas ideas.

La utilidad de un sistema tan simple reside en que permite establecer de manera muy directa y sencilla diversos conceptos tiles en la comprensin de sistemas dinmicos ms complejos. Asimismo muchas estructuras simples pueden ser representadas razona-blemente como un sistema de 1 GDL. La solucin de sistemas complejos puede obtenerse reduciendo el problema a uno de 1 GDL, as como ser parte de la solucin de problemas con mayor nmero de variables que pueden reducirse a una combinacin de sistemas de un GDL.

"Un sistema de un grado de libertad (1 GDL) se define como aquel en que slo es posible un tipo de movimiento, o sea, la posicin del sistema en cualquier instante puede ser definida por la de una sola coordenada" [ Ref. 1 ]

El sistema idealizado de una masa concentrada y un resorte sin peso, aunque sencillo, es una herramienta muy conveniente.

Las [ Ref. # ] indican las referencias bibliogrficas listadas al final de cada Captulo.

2 CAP. 5: SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

INGENIERA SISMORRESISTENTE

5.2 MODELOS

La viga simplemente apoyada o el prtico de un piso, que se muestran en la Fig. 5.1 pueden ser representados aproximadamente por un sistema de masa concentrada y resorte con una sola componente de desplazamiento, o sea 1 grado de libertad (GDL).

Fig. 5.1 Sistemas de un grado de libertad (1 GDL)

Se han desarrollado, inclusive, mtodos modernos para el anlisis inelstico simplificado de estructuras de edificios en que estos se reducen a sistemas de 1 GDL cuyo resorte presenta caractersticas fuerza-deformacin inelsticas y multilineales [ Ref. 10 ].

5.3 ECUACIN DE MOVIMIENTO

La ecuacin diferencial del movimiento de un sistema de 1 GDL puede obtenerse de mltiples maneras:

a) Aplicando la 2da. Ley de Newton F = m.a b) Usando el Principio de D'Alembert y aplicando las ecuaciones de equilibrio. c) Aplicando los principios de trabajos (desplazamientos) virtuales. d) Aplicando el Principio de Hamilton o conservacin de la energa del sistema.

En cualquiera de los sistemas mostrados en la Fig. 5.1 se puede apreciar que la masa est sometida a una fuerza F(t), que vara con el tiempo. El resorte es elstico, as que la fuerza interna es siempre igual al producto de k.u .

Ntese que no se incluye el peso ya que u es siempre medido desde la posicin neutra tal como se puede ver en la Fig. 5.2 . En dicha figura se ve que equivale a suponer inicialmente una masa sin peso.

La ley de Newton indica que la fuerza resultante es igual a la masa por la aceleracin imprimida. O sea:

F = m.a (5.1)

u

u

u

u

m

m m

m

)(.)( tfFtF =

)(.)( tfFtF =

k

k

SECC. 5.3: ECUACIN DE MOVIMIENTO 3

Dr. JAVIER PIQU DEL POZO

F(t) - k.u = m. (5.2)

Normalmente es ms conveniente usar el principio de D'Alembert de acuerdo al cual el equilibrio dinmico puede ser enforzado en cualquier instante aadiendo a las fuerzas externas e internas una fuerza de inercia igual al producto de la masa por la aceleracin, m., que se opone al movimiento, o sea orientada en el sentido negativo del desplazamiento. De esta forma el equilibrio ser: (Fig. 5.3)

a) Posicin de Reposo b) Equilibrio Esttico c) Equilibrio Dinmico

Fig. 5.2 Diagrama de cuerpo libre

Fig. 5.3 u es siempre medido desde la posicin neutra por ello no se incluye el .................. peso

F(t) - k.u - m. = 0 (5.3)

m. + k.u = F(t) = F.f(t) (5.4)

Esta ecuacin relaciona la aceleracin (d 2 u / d t 2), la fuerza en el resorte, y la fuerza aplicada en cualquier instante en el tiempo. Corresponde a una ecuacin diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes. La solucin da la respuesta del sistema, o sea, la variacin de u con el tiempo. Esta puede ser escrita como

um &&

ku

)(tF um &&u&&

u&&)(tFku

m m

um

k

m

m

k k

estticou estticou

dinmicou

F )(.)( tfFtF =

PosicinNeutra

mgk =

kFuFmguk

est

est

/)(

=+=+

F.f(t) F(t) k.u m. 0 m. -k.u - F(t)==+

=



la suma de la solucin general de la ecuacin homognea (segundo miembro cero), que involucra dos constantes de integracin, y cualquier solucin particular de la ecuacin completa o general. Las constantes de integracin se determinan imponiendo las condiciones iniciales (desplazamiento u y velocidad du/dt) en el origen del tiempo t = to (normalmente to = 0 ).

5.4 VIBRACIN LIBRE

Cuando la fuerza F(t) es igual a cero estamos ante el caso de la vibracin libre. Esta puede producirse debido a ciertas condiciones iniciales (t=0) impuestas al sistema que resultan -a pesar de no haber fuerza excitadora- en un impulso inicial que se traduce en una vibracin. La ecuacin de movimiento es en este caso una ecuacin homognea cuya solucin corresponde a la solucin general de la ecuacin diferencial. En este caso la solucin de:

t mk cos B + t

mk senA =u es0 k.u m. =+ (5.5)

Haciendo mk = y los desplazamientos y velocidad iniciales:

0

0

u = 0)=(t uu = 0)=(tu &&

Evaluando las condicione iniciales se consigue:

t u + t sen)u( =u 00 cos& (5.6)

SECC. 5.5: RESPUESTA A EXCITACIONES SIMPLES 5


b) Velocidad incial

a) Desplazamiento inicial

Amplitud

Amplitud

Fig. 5.4 Vibracin libre de un grado de libertad (1 GDL)

La Ec. (5.6) da la respuesta, el desplazamiento, en cualquier instante debido a un desplazamiento inicial, o velocidad, o ambos. Como se observa en la Fig. 5.4 el movimiento es peridico, o sea se repite cada cierto tiempo, o lo que es lo mismo podemos llamarlo armnico con una frecuencia natural o perodo dados por:

Frecuencia natural circular o angular ( ):

mk = , radianes/segundo (s- 1) (5.7)

Frecuencia natural ( f ):

mk

=

f =

21

2 , Hertz (Hz) o (5.8)

Perodo natural (T ):

km =

f = T 21 , segundos (s) (5.9)

5.5 RESPUESTA A EXCITACIONES SIMPLES

Es til analizar la respuesta de un sistema de 1 GDL a algunas excitaciones simples, que tienen una solucin analtica, a fin de ganar familiaridad con el comportamiento del sistema y con la influencia del perodo en la respuesta.

ou

ou

ou&

ou&

u

u

ciclos/segundo



La solucin de la Ec. (5.4) consta de dos partes: la solucin homognea uh, que corresponde a la solucin general de la vibracin libre vista en la seccin anterior; ms la solucin particular, up -que es cualquier solucin que satisface la ecuacin diferencial- y que por lo general corresponde a una que tiene la misma forma matemtica que la funcin excitadora.

u = up + A sen t + B cos t (5.10) Considrese el caso de una fuerza aplicada sbitamente y mantenida

indefinidamente.

En este caso up = constante. Reemplazando en la ecuacin de movimiento up = F1/k (donde lgicamente F1 es constante). Suponiendo que el sistema est inicialmente en reposo (desplazamiento y velocidad iniciales iguales a cero).

)t cos - ( kF

=u 11 (5.11)

En la Fig. 5.5 se observa la variacin de la respuesta con el tiempo. Partiendo de cero, la respuesta alcanzar un mximo de 2F1/k.

2FAD

Fig. 5.5 Carga constante. Factor de amplificacin dinmica

5.5.1 Factor de Amplificacin Dinmica ( FAD )

Una forma conveniente de adimensionar la respuesta consiste en expresarla en trminos de un factor de amplificacin dinmica, FAD en forma resumida. El FAD es la relacin (cociente) entre la respuesta y la deformacin (desplazamiento) esttica que sera causada por F1, o sea:

kF

u,uu

uu

kFuFAD est

estesttico

1

1==== (5.12)

Por consiguiente para el caso anterior, de la fuerza aplicada sbitamente:

u mx = 2 u est (5.13)

1F

SECC. 5.5.1: FACTOR DE AMPLIFICACIN DINMICA ( FAD ) 7


La fuerza en el resorte ser 2 F1. Para este caso entonces, la variacin en el tiempo del FAD ser:

FAD (t) = 1 - cos t y u = u est FAD (t) (5.14) Cualquier fuerza aplicada sbitamente y que se mantiene constante sobre un sistema

da como resultado, como mximo una amplificacin de 2. (Veremos ms adelante sin embargo que cuando la fuerza vara en el tiempo despus de su aplicacin inicial pueden presentarse amplificaciones mayores).

5.5.1.A) Pulso Finito.- Si la fuerza mostrada en la Fig. 5.5 es aplicada por un cierto tiempo td , la solucin tiene que obtenerse en dos tramos. Uno hasta que t td y otro cuando t > td. Para el primer caso la solucin anterior es aplicable. Pero cuando t > td ya la fuerza no est actuando y se tiene vibracin libre con las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad que haban en el instante t = td :

t)cos- (kF

u= 11 , para t td (5.15)

)tt(sentsenkF

)+t(t-cos)tcos-(kF

u= dddd 11 1 , para t > td (5.16) simplificando la Ec. (5.16):

t]cos - )t-(tcos[ kF

=u d 1 , para t > td (5.17)

El FAD para ambos casos, Ecs. (5.15) y (5.17), con T 2= , son los correspondientes a las Ecs. (5.18) y (5.19), es decir:

t)- = (FAD cos1

Tt- FAD= 2cos1 , para t td (5.18)

t - )t-(t = d coscosFAD

Tt ) -

Tt-

Tt( = FAD d 2cos2cos , para t > td (5.19)

Es conveniente adimensionar el parmetro tiempo como se indica en las ecuaciones anteriores, donde T es el perodo natural. Esto tambin sirve para enfatizar el hecho que



la razn del tiempo de duracin a perodo natural, td /T -ms que el valor real de cualquiera de esas cantidades- es el parmetro importante.

De la Ec.(5.11) y de la Fig. 5.5 podemos visualizar que el valor mximo del FAD=2 slo se alcanzar si td es igual a T/2 y en este caso no importa cuanto ms dure la aplicacin de la fuerza puesto que el mximo seguir siendo 2. Si td < T / 2, entonces el FAD ser < 1. En la Fig. 5.6 se observa la respuesta tpica para dos casos de td. En ambos casos el efecto del perodo es muy significativo. Veamos a continuacin que sucede cuando el periodo es relativamente largo o corto:

- Si el perodo es relativamente corto, lo cual es carcterstico de un sistema rgido, el sistema responde rpidamente, alcanzando la mxima respuesta antes de que la aplicacin de la fuerza se detenga, resultando el FAD > 1. Ello es lgico puesto que antes de que alcanze td ya habr sobrepasado T/2 y por ende alcanzado el mximo no importando cuanto mas dure la carga.

- Por otro lado, si el perodo es relativamente largo, lo cual es caracterstico de un sistema flexible, la respuesta mxima ocurre despus de que se ha detenido la fuerza, y el efecto de la misma disminuye, y el FAD < 1.

Fig 5.6 Pulso rectangular finito

5.5.1.B) Carga Rampa.- Lo constituye una carga que vara linealmente hasta alcanzar todo su valor en un tiempo tr (este tipo de carga es otro caso de inters). La respuesta debe ser obtenida en dos etapas, o sea:

)t sen - (t ktF

=u r

1 , para t tr (5.20)

SECC. 5.6: EXCITACIN SSMICA. MOVIMIENTO DE LA BASE 9


t] sen- t

)t - (tsen + [1 kF =u

r

r 1 , para t > tr (5.21)

En la Fig. 5.7 se muestran dos casos. Veamos:

- Cuando la relacin del tiempo de subida de la fuerza al perodo es grande ( tr / T = 5 / 2 ), el sistema vibra relativamente rpido y la respuesta simplemente sigue a la curva esttica de carga. Por consiguiente la mxima respuesta dinmica difiere muy poco de la respuesta esttica a F1 ( FAD = 1).

- Por otro lado, si la relacin es pequea ( tr / T = 1 / 4 ) el sistema responde lentamente debido al perodo largo. Esto resulta en un primer retraso, y despus en un "sobrepasar" a la curva esttica de carga. La respuesta dinmica es considerablemente mayor que la esttica. Esta es una observacin importante, ya que los esfuerzos en un sistema resistente son proporcionales al Factor de Amplificacin Dinmica.

Fig 5.7 Carga constante con incremento triangular inicial (rampa)

5.6 EXCITACIN SSMICA. MOVIMIENTO DE LA BASE

Un sismo produce un movimiento de la base de apoyo del sistema. En este caso la ecuacin del movimiento para el sistema de la Fig. 5.8 es aquella que relaciona la fuerza inercial del sistema m. y la fuerza que se produce en el resorte k.y, es decir:

m. + k.y = 0 (5.22)

donde:

, es la aceleracin absoluta requerida para el clculo de la fuerza inercial



y , es el desplazamiento relativo de la masa con respecto al terreno, o sea la distorsin del resorte requerida para el clculo de la fuerza producida en el resorte al ocurrir el movimiento en la base de apoyo del sistema.

Fig. 5.8 Sistema de 1 GDL sometido a movimiento de la base

m

k

um &&

ky

Guuy =

)(.)( tfutu GoG =

u

m m

yuu)t(y)t(u)t(u

G

G

&&&&&& +=+=

:cumpleseluego

SECC. 5.7: AMORTIGUAMIENTO. TIPOS 11


El movimiento de la base est definido por uG(t). Por facilidad podra descomponerse en una constante arbitraria uGo multiplicada por una funcin adimensional del tiempo, f(t). Por otro lado los desplazamientos absolutos y relativos se relcionan mediante y = u - uG (ver Fig. 5.8), la cual al ser sustituida en la Ec. (5.22) resulta:

m. + k.(u - uG) = 0 (5.23)

m. + k.u = - k uGo f(t) (5.24)

Esta ecuacin es idntica a la Ec. (5.4) en donde F(t) ha sido reemplazada por k.uG(t) o F1 por k.uGo. Por consiguiente las soluciones analticas obtenidas para fuerzas aplicadas pueden usarse directamente en este caso.

Es interesante analizar los casos lmite(Fig. 5.9). Veamos el comportamiento para:

- Sistemas muy flexibles(Fig. 5.9a), en este caso el suelo alcanzar su mximo desplazamiento antes de que la masa tenga tiempo de reaccionar y por consiguiente el desplazamiento relativo mximo ser igual al mximo desplazamiento de la base (ymx.=uGo). Al mismo tiempo, la aceleracin mxima de la masa ser muy pequea comparada con la aceleracin de la base.

- Por otro lado, para sistemas muy rgidos(Fig. 5.9b), la masa simplemente sigue a la base resultando en una aceleracin mxima de la masa igual a la mxima aceleracin de la base y el desplazamiento relativo es prcticamente cero.

Fig. 5.9 Casos lmites

m

m m

Sistemas Flexibles

( a )

( b )

Sistemas Rgidos

0kT

k0T

Gomx. uyu ==

0 uu

G

&&&&

u

Guu &&&& =



El desplazamiento relativo es posiblemente la variable ms importante ya que es indicativo del esfuerzo en el resorte (o sea la estructura). Es comn especificar el movimiento de la base en trminos de aceleracin ms que de desplazamiento, ya que los sismos son precisamente registrados de esta manera. Ms an, la solucin en este caso da el desplazamiento relativo en vez de la respuesta del desplazamiento absoluto. Al derivar la expresin que relaciona los desplazamientos relativos y absolutos se obtiene = + G la cual al ser sustituida en la ecuacin de movimiento (5.22) nos da: m. + k.y = - m G (t) = - m Go f(t) (5.25)

dividiendo entre m:

+ 2.y = - G (t) = - Go f(t) (5.26) La Ec. (5.25) es nuevamente la ecuacin de movimiento normalmente usada en que

la fuerza aplicada es -m.G(t), y la incgnita representa un desplazamiento relativo (y) en vez de uno absoluto. Para el caso de un sismo G(t) no sigue una funcin analtica simple y ser necesario recurrir a procedimientos de integracin numrica para conocer la respuesta del sistema (esto se ver en la Secc. 5.11).

Existe una relacin importante entre los valores mximos de la aceleracin absoluta y el desplazamiento relativo. Observando la Fig. 5.8 y la ecuacin de movimiento, Ec..(5.22), es evidente que los valores mximos de m. y k.y deben ocurrir simultneamente. Es decir:

m.mx + k.ymx = 0 (5.27)

)y.(mk - = u mxmx&& (5.28)

mx = - 2.ymx (5.29) Esta es una expresin general que siempre se cumple excepto cuando hay

amortiguamiento en que hay un ligero error. Indica que la fuerza mxima en el resorte puede ser calculada, a partir la fuerza de inercia (m.mx) o de la distorsin del resorte (k.ymx).

5.7 AMORTIGUAMIENTO. TIPOS

En toda la discusin anterior se ha ignorado la presencia del amortiguamiento. La mayora de las estructuras y suelos presentan amortiguamiento, pequeo en las estructuras, mayor en los suelos. Su efecto, sin embargo, no es importante para respuestas de corta duracin, o sea cuando la respuesta mxima ocurre en uno o dos ciclos de vibracin. Sin embargo, para respuestas de larga duracin que se extienden por varios ciclos puede ser extremadamente importante. Este es precisamente el caso de las excitaciones ssmicas.

SECC. 5.7.1: AMORTIGUAMIENTO VISCOSO 13


El amortiguamiento se manifiesta como una disminucin de la amplitud del movimiento en cada ciclo debido a la disipacin de energa.

5.7.1 Amortiguamiento Viscoso

Matemticamente la forma ms simple de considerar el amortiguamiento corresponde a la existencia de un amortiguador viscoso con una resistencia proporcional a la velocidad de deformacin (Fig. 5.10). La ecuacin de movimiento se convierte en:

F(t) =k.u + uc. + um. &&& (5.30)

donde c es la constante de amortiguamiento.

F(t)k

Mc

u

F(t)ku

M

-Mcu.

Fig 5.10 Sistema de 1 GDL con amortiguamiento viscoso

La solucin de la ecuacin homognea es de la forma:

u = e -t (A sen Dt + B cos Dt) (5.31)

donde: 2D - 1 = ; mk = (5.32)

k

c = mc =

kmc =

2221

La diferencia entre la frecuencia no amortiguada, , y la frecuencia amortiguada D depende de . Para estructuras normales este valor es pequeo y la diferencia puede ser ignorada. Por ejemplo para = 0.05 segn la Ec. (5.32) se tiene D = 0.9987 .

En la Secc. 5.7.2 se mostrarn expresiones para cuando el movimiento es libre amortiguado. A continuacin slo se mostrarn como es que vara pero de una manera general para que as se pueda entender con claridad el concepto del mencionado coeficiente de amortiguamiento.

Basado en lo dicho en el prrafo anterior se tiene que:

m

um &&

ku

)(tF

u

k

c

m)(tFuc &



- debe ser < 1: Para que exista la vibracin (o sea para que D sea un nmero real en las Ec. (5.32)). Ese es el caso de un sistema sub-amortiguado. La respuesta a una perturbacin inicial (Fig. 5.11) todava ser un movimiento armnico pero multiplicado por una exponencial decreciente, te , que es el efecto del amortiguamiento. Este tipo de sistemas es el de mayor inters en la dinmica de sistemas sometidos a sismos.

Fig 5.11 Vibracin libre con desplazamiento y amortiguamiento

- Cuando = 1 u = e t- (A + Bt) (5.33)

El valor de c en el que = 1 se denomina el amortiguamiento crtico por consiguiente el sistema est crticamente amortiguado. No hay vibracin ya que de la Ec. (5.32) D = 0.

- Cuando > 1 t) h B + t senh(A e =u DDt- 'cos' (5.34)

1' 2 -= D En este caso el sistema est sobre-amortiguado (Fig. 5.12). Tampoco habr movimiento vibratorio. La masa retornar a su posicin original monotnicamente con velocidad decreciente.

u

ou

ou t

o eu.

SECC. 5.7.1.2: AMORTIGUAMIENTO HISTERTICO O ESTRUCTURAL 15


Fig 5.12 Sistema sobre amortiguado. No hay vibracin

Es conveniente expresar la variable como una fraccin del amortiguamiento crtico: k m = ccrt 2 (5.35)

cc = crt

(5.36)

Para estructuras el valor equivalente de puede estar entre 0,01 y 0,05; para suelos puede alcanzar entre 0,10 y 0,20, o para grandes deformaciones a veces ms.

En realidad el amortiguamiento viscoso y el concepto de viscosidad estn asociados con el comportamiento de los fludos (o flujo plstico en materiales estructurales). Bajo condiciones normales las estructuras presentan una cantidad insignificante de viscosidad. Las prdidas de energa bajo movimientos cclicos se debern principalmente a la friccin y al comportamiento inelstico (no lineal) de los materiales.

5.7.1.1 Amortiguamiento por Friccin o de Coulomb

Este tipo de amortiguamiento se introduce en la ecuacin de movimiento, agregando una fuerza de friccin R, con el signo apropiado, dependiendo de la direccin del movimiento.

m. + ku R = F(t) (5.37)

m. + ku R = 0 (para el caso de vibracin libre) (5.38)

La solucin de esta ecuacin es un poco ms complicada porque es necesario seguir

la fuerza de friccin R que depende del signo de la velocidad. Por ejemplo para el caso de un desplazamiento inicial uo cuando t = to y no hay velocidad inicial, la respuesta sera [ Ref. 2 ] :

u

ou



( )

+

+=

kRTntt

kRnuu oo

n

2cos12)1( (5.39)

El movimiento se detendr cuando t = nT/2 donde n es el entero ms pequeo que

hace R kuo/2n+1. En la Fig. 5.13 se muestra esquemticamente la variacin del desplazamiento con el tiempo para este caso.

Fig 5.13 Amortiguamiento por friccin o de Coulomb [ Ref. 3 ]

5.7.1.2 Amortiguamiento Histertico o Estructural

La prdida de energa por el comportamiento nolineal de un resorte con caractersticas fuerza-deformacin inelsticas resultar, bajo movimientos cclicos, de la existencia de ciclos de histresis. (Fig. 5.14). El rea encerrada por cada lazo representa la energa disipada por ciclo. Para introducir este tipo de amortiguamiento en el anlisis sera necesario escribir una ecuacin de movimiento nolineal de la forma:

m. + k(u) . u = F(t) (5.40) donde k(u) representa la rigidez secante del resorte para el desplazamiento u.

k

F

k

F

k

F

a) b) c)

uu u

Fig 5.14 Resortes inelsticos

u

ou

ou

Tt

kRuu o 4=

SECC. 5.7.1.2: AMORTIGUAMIENTO HISTERTICO O ESTRUCTURAL 17


Interpretar las prdidas histerticas en la forma de un amortiguamiento equivalente es difcil para el caso de la vibracin libre. Por ejemplo, se tiene que:

- Para el resorte elstico-perfectamente plstico, an si el desplazamiento inicial uo fuera mayor que el desplazamiento de fluencia uy, la respuesta , mostrada en la Fig. 5.15a, permanecera elstica con la masa oscilando entre uo y uo - 2uy sin ninguna prdida de energa.

- Para un resorte con caractersticas fuerza deformacin bilineal, si uo > uy habr un nmero finito de ciclos o lazos de histresis de ancho decreciente y el movimiento se estabilizar eventualmente permaneciendo elstico alrededor de una posicin deformada permanentemente. Lo dicho se observa en la Fig. 5.15b.

- Un comportamiento similar al caso anterior, mostrado el la Fig. 5.15c, puede esperarse para una curva fuerza deformacin curvilnea genrica.

a)

ouu

F

b)

F

uou

c)

F

u

Fig. 5.15 Comportamiento inelstico

5.7.2 Casos de Amortiguamiento Viscoso y definicin del trmino Decremento Logartmico.

La razn por la cual en la seccin anterior no se trataron algunos casos que se desprenden al variar el comportamiento de la fuereza en la Ec. (5.30) es debido a que se pretenda que en dicha seccin el lector entienda de manera clara y concisa el significado del Amortiguamiento Viscoso. A continuacin presentaremos la vibracin libre con amortiguamiento (Secc. 5.7.2.1), definiendo a su vez el trmino decremento logartmico (Secc. 5.7.2.1.1); luego, presentaremos la vibracin forzada con amortiguamiento, cuando la fuerza es constante (Secc..5.7.2.2). 5.7.2.1 Vibracin Libre con Amortiguamiento

m

um &&

ku

u

k

c

muc &



Fig 5.16 Vibracin libre amortiguada

Recordando que el amortiguamiento viscoso al ser considerado como una resistencia proporcional a la velocidad de deformacin es matemticamente la forma ms simple, procedemos a plantear la ecuacin diferencial que define el movimiento del sistema mostrado en la Fig. 5.16:

0=++ kuucm & (5.41)

la solucin general supuesta y sus derivadas son:

trCeu = (5.42)

trerCu =& (5.43)

trerCu 2=&& (5.44)

donde C es una constante distinta a la constante c de amortiguamiento.

Al reemplazar las Ecs. (5.42), 5.43) y (1.44) en la Ec. (5.41) se tiene:

0)( 2 =++ trCekcrmr (5.45)

donde: 02 =++ kcrmr (5.45a)

022 =++ rmcr (5.45b)

La Ec. (5.45) nos indica que en realidad la solucin general sera la dada por la Ec..(5.46) y no como se supuso(Ec.(5.42)):

trtr eCeCu 21 21 += (5.46)

donde r1 y r2 son las races de la Ec. (5.45), en la que la constante Ci es distinta de cero ya que se desea una solucin distinta de la trivial, desprendiendose as la

SECC. 5.7.2.1: VIBRACIN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO 19


Ecs..(5.45a) y (5.45b). Luego al resolver esta ltima, la cual es una ecuacin polinmica de segundo grado, se tiene:

+= 1

22

2

1 mc

mcr (5.47)

= 1

22

2

2 mc

mcr (5.48)

reemplazando estas ecuaciones en la Ec. (5.46) y luego factorizandola, se tiene la solucin general de la vibracin libre amortiguada:

+=

tmct

mc

tmc

eCeCeu1

2

2

12

12

22

(5.49)

En la seccin anterior crticoccmc == 2 fue definido. Entonces segn esto, la Ec..(5.49) quedara como se muestra en la Ec. (5.49a):

+=

ttt eCeCeu1

2

1

1

22 (5.49a)

A continuacin veremos las ecuaciones que definen el movimiento de vibracin libre amortiguada como resultado del comportamiento de .

a) Sub Amortiguamiento (



pero como 1 , races reales)

Como



thsenthe DDtD ''cos' = (5.66)

la Ec. (5.64) quedara expresada como se muestra a continuacin:

[ ]thBsenthAeu DDt ''cos += (5.67) Las constantes A y B de la Ec. (5.67) quedan definidas cuando en ella se evaluan

las condiciones iniciales ooo uuyuut && === ,0 . Entonces se tendra: 21 CCA += (5.68) 21 CCB = (5.69)

donde:

12

1

2

2

1

++=

oo uuC

& (5.70)

12

1

2

2

2

+=

oo uu

C&

(5.71)

Finalmente se recuerda al lector que tampoco habr movimiento vibratorio retornando la masa a su posicin original monotnicamente con velocidad decreciente como se indico en la seccin anterior.

5.7.2.1.1 Decremento Logartmico ( D.L. ). El decremento logartmico es el logaritmo neperiano de la relacin entre dos picos o amplitudes mximas sucesivas. O sea:

)(

)(..DTttu

ttuLnLD +=== (5.72)

donde TD es el periodo natural amortiguado.

Para la vibracin libre amortiguada y con



Fig 5.17 Vibracin libre amortiguada. Amplitudes sucesivas.

Adems, como el seno y coseno son funciones periodicas, con periodo amortiguado TD , tal como se aprecia en la Fig 5.17, la expresin anterior queda reducida de la siguiente manera:

( )( )

=

++

++= +

+

)Tt(

t

DD

ooDo

)Tt(

DD

ooDo

t

D

De

eLntsenuutcosue

tsenuutcosueLn.L.D

&

&

al seguir simplificando esta ltima expresin se tiene:

[ ]DD

TTt

t

eLnee

eLnLD

=

=

...

la cual finalmente, para el caso de las vibraciones libres amortiguadas y con



Fig. 5.19 Fuerza constante ( F1 ) aplicada al sistema con amortiguamiento.

Considerando el amortiguamiento viscoso de manera similar que en la Secc. 5.7.2.1, solo que en este caso el sistema es forzado, la ecuacin diferencial que define el movimiento esquematizado en la Fig. 5.18 estara dada por:

1Fkuucm =++ & (5.81)

la solucin general de la Ec. (5.81) sera la suma de la solucin homogenea, hu , (igual a la de la Secc. 5.7.2.1, Ec.(5.55)) ms la suma de una solucin particular, pu , que la satisfaga. Es decir:

ph uuu += (5.82)

siendo:

[ ]tBsentAeu DDth += cos (5.83) y k/Fu p 1= (5.84)

luego, el movimiento , reemplazando las Ecs. (5.83) y (5.84) en la Ec. (5.82), quedara definido como sigue:

[ ] k/FtBsentcosAeu DDt 1++= (5.85) Las constantes A y B de la Ec. (5.85) quedan definidas cuando en ella se evaluan

las condiciones iniciales. Veamos cuando se tiene las siguientes condiciones iniciales 00,0 ===== ooo uuyuut && , es decir cuando se parte del reposo.

Entonces:

)(tF

1F

t

SECC. 5.8: VIBRACIONES ARMNICAS. F1.sen t. 27


kFBB

kF)t(u 1100 =+=== (5.86)

kF..AAB)t(u

DD

100 =+===& (5.87)

Finalmente, al reemplazar las Ec. (5.86) y (5.87) en la Ec. (5.88) se tiene:

+= tsen.tcose.

kF

u DD

Dt

11 (5.88)

La grfica que representara a la Ec. (5.88) vendra a ser la Fig 5.20 :

Fig. 5.20 Fuerza constante( F1 ) aplicada al sistema con amortiguamiento. 5.8 VIBRACIONES ARMNICAS. F1.sent. Pudo bien haberse tratado a los sistemas sometidos a fuerzas dinmicas F(t) de la forma F1isen t como un caso particular de los sistemas forzados amortiguados en la Secc..5.7.2, pero por ser las vibraciones armnicas un caso de particular inters, por ello es que se prefiri recin tratarlas en esta seccin. Los sistemas sometidos a fuerzas dinmicas F(t) de la forma F1isen t corresponden a las excitaciones dinmicas impuestas por mquinas rotatorias con alguna excentricidad (diseo de cimentaciones de mquinas). F1 , constante al igual que en la seccin anterior, ser proporcional al peso desbalanceado y representa la frecuencia circular, o velocidad de la mquina. Tambin es de utilidad para interpretar el caso de sismos en que un movimiento puede

u

estu2

estu

t



ser considerado como la superposicin de muchas ondas armnicas de diferentes amplitudes y frecuencias.

Considerando la ecuacin de movimiento incluyendo amortiguamiento viscoso:

t sen F =k.u + uc. + um. 1&&& (5.89)

La solucin estar constituida por la suma de dos trminos, u=uh + up. La solucin de uh es la solucin general de la Ec. (5.31). La solucin particular up es de la forma:

+

-

tcostsen

-

.kF

=)t(=uu pp

2

22

2

2 2

2

2

1

41

21

(5.90)

Sumando las Ecs. (5.31) y (5.90) se tiene la solucin completa:

+

-

tcostsen

-

.kF

t)+sent+Bcos (Aeu= DDt-

2

22

2

2 2

2

2

1

41

21

(5.91)

en la que falta determinar las constantes de integracin, lo que se logra imponiendo las condiciones iniciales. Con ello, si u(0) = uo , y Ouu && =)0( las constantes seran: A = uo - up(0)

(5.92)

)]}0([)0({1 popoD

-uu+u-uB = &&

Previo al anlisis de la Ec. (5.91) es conveniente que sta sea rescrita de una manera adecuada para as poder identificar la amplitud de la solucin particular con facilidad. Rescribindola se tiene la Ec. (5.93):

[ ]tcos.sentsen.cos+

-

.kFt)+sent+Bcos (Aeu=

DDt-

2

22

2

2 21

41

1

Amplitud de la solucin particualr o del movimiento armnico

......(5.93)

SECC. 5.8: VIBRACIONES ARMNICAS. F1.sen t. 29


donde:

Dicha ecuacin escrita de otro modo, Ec. (5.93), nos indica que la solucin completa del movimiento esta compuesta de:

FORZADAARMNICAVIBRACINAAMORTIGUADLIBREVIBRACIN uu=u + (5.94)

Recordemos que esta ltima expresin, Ec. (5.94), o sea, la solucin completa de la Ec. (5.89), fue el resultado de sumar las contribuciones ligadas a cada tipo de vibracin, o sea el conjunto de las expresiones Ec. (5.91) ms la Ec. (5.92). Luego de la Ec. (5.94):

- El primer trmino representa un movimiento con la frecuencia natural amortiguada del sistema, D (recurdese que para valores de de inters prctico, 21-=D es casi idntica a , vese la Secc. 5.7.1 ). La amplitud de este movimiento es una funcin de las condiciones iniciales pero decae exponencialmente(ver Fig. 5.11). Por consiguiente si hay algo de amortiguamiento en el sistema, despus de algn tiempo su contribucin a la respuesta total ser despreciable.

- El segundo trmino, que es la solucin particular, representa un movimiento armnico con la frecuencia de la fuerza excitadora . Su amplitud permanecer con un valor constante igual a:

+

-

.kF

(t) = u p

2

22

2

2 2

1

41

1

(5.95)

El primer trmino de la Ec. (5.91) es tambin referido como la contribucin de la vibracin libre a la respuesta mientras que el segundo representa la vibracin forzada.

+

-

2

22

2

2 2

41

-

2

2

1

2

224



Durante el tiempo en que el primer sumando todava contribuye significativamente al movimiento, se dice que de la solucin (Ec. (5.91), la suma de ambos trminos representa un movimiento transitorio tal como lo indica la Ec. (5.94). Una vez que esta contribucin se ha hecho insignificante, el segundo sumando (parte forzada de la respuesta) se dice que representa la respuesta estacionaria (permanente) o el estado estacionario de la respuesta, en otras palabras ahora la Ec. (5.94) quedar expresada como sigue:

FORZADAARMNICAVIBRACINIAESTACIONAR uuu =

[ ]tcos.sentsen.cos+

-

kF

=u IAESTACIONAR

2

22

2

2 2

1

41

1

Luego, esta ltima ecuacin puede expresarse como:

FAD.uu ESTTICOIAESTACIONAR = (5.96) donde F1 / k es el valor de la amplitud si la fuerza se aplicara estticamente, y el FAD

est expresado tal como puede apreciarse en la Fig. 5.21 :

+

-

FAD =

2

22

2

2 2

41

1

(5.97)

Puede observarse en la Fig. 5.21 lo siguiente:

- Si el sistema es rgido, o cuando los valores de / son pequeos en que la carga tiene una variacin lenta en relacin al perodo natural del sistema, el factor de magnificacin ( FAD ) es casi uno y la respuesta es controlada por la rigidez del resorte (la carga puede considerarse como esttica).

- Si el sistema es muy flexible, o cuando los valores de / son grandes de manera que la carga vara rpidamente en relacin al perodo natural del sistema, ste no tiene tiempo de reaccionar y la aceleracin de la masa se acerca a cero de manera que el factor de amplificacin ( FAD ) tiene valores menores que la unidad y la respuesta es controlada por la inercia del sistema.

- Hay un rango intermedio, cuando la frecuencia de la excitacin est cercana a la del sistema , donde el factor de amplificacin ( FAD ) puede alcanzar

SECC. 5.8.1: RESONANCIA. MXIMA AMPLIFICACIN 31


valores muy altos. La respuesta en este rango est primariamente controlada por la magnitud del amortiguamiento del sistema.

(

F

A

D

)

1.00

1.0

3.0

2.0

4.0

/2.0

=1.0

3.0

=0.2=0.3

=0.5

8.0

m

x

5.0

6.0

7.0

10.0

9.0

=0.1

=0.05

Fig. 5.21 Factor de amplificacin dinmica . Cargas sinusoidales

5.8.1 Resonancia. Mxima Amplificacin

La condicin = se refiere normalmente como resonancia. Al reemplazar dicha condicin en la Ec. (5.47) se obtiene el factor de amplificacin ( FAD ) es 1/2 y la



espueista es casi la mxima. Puesto que el FADmximo = ) - /( 22121 ocurre realmente cuando 221 - = .

Probar lo anterior es muy sencillo, ya que se obtiene al derivar el FAD respecto de para as poder calcular el FADmximo . Es decir:

( )

+

-

dd =

dFADd 0

41

1

2

22

2

2 2=

luego al despejar el valor de que hace mximo el FAD se tiene:

221 - = Valor que al ser reemplazado en la Ec. ( 5.97) da el valor antes mencionado:

) - /(FADMXIMO 22121= Para amortiguamientos tpicos del 5% ( = 0,05) la mxima amplificacin es del

orden de 10 tal como se puede apreciar en la Fig. 5.21. Adems en el diseo de cimentaciones de mquinas normalmente lo deseable es que la frecuencia fundamental de la cimentacin est lo ms alejada que sea posible de la frecuencia de operacin de la mquina .

5.9 EXCITACIN ARBITRARIA. INTEGRAL DE DUHAMEL

La solucin particular para la respuesta de un sistema de un grado de libertad sometido a un excitacin arbitraria est dada por la integral de Duhamel. Esta puede deducirse considerando la fuerza excitadora, )t(f.F)t(F 1= , como una serie de pequeos impulsos actuando en un instante que producen una velocidad inicial, e integrando la respuesta para este caso (velocidad inicial) desde ese instante cualquiera hasta t.

d)t(sene)(f

mF)t(y

t

D)t(

Dp =

0

1 (5.98)

Otra forma de expresar la Ec. (5.98), tambin conocida como la solucin estacionaria, es haciendo la aceleracin ssmica m/)(fF)(uG 1=&& , luego se tendr:

SECC. 5.9: EXCITACIN ARBITRARIA. INTEGRAL DE DUHAMEL 33


dtseneuty

t

Dt

GD

p )()(1)(

0

)( = && (5.98a) La integral de Duhamel es llamada tambin integral de convolucin, la cual nos

proporciona la respuesta en el dominio del tiempo de un sistema de un solo grado de libertad (1 GDL) correspondiente a la ecuacin diferencial en desplazamientos relativos, es decir y :

)()()(2)( 2 tutytyty G&&&&& =++ (5.99) Cabe resaltar que el efecto de las condiciones iniciales no es considerado por la

respuesta, debido a que se trata de la solucin particular(para mayor informacin ver [.Ref. 11 ]). Entonces para tener la solucin completa la que incluir necesariamente las constantes A y B, se har necesario agregar la solucin homogenea uh, es decir, la solucin general de la Ec. (5.31) correspondiente a la vibracin libre amortiguada. La solucin completa es denominada solucin general del sistema amortiguado sometido a una accin ssmica compuesta por:

( )

+ dtseneut)sent+B (Aey=

t

Dt

GD

DDt- )()(1cos

0

)(&& (5.100)

Las mencionadas constantes A y B si toman en cuenta las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad, as como la solucin particular evaluada en el tiempo to inicial. Dicho de otra forma, para cuando el sistema no parta del reposo al aplicarse la excitacin )(tuG&& , la solucin completa dada por la Ec. (1.100) es calculada en base a las condiciones iniciales y(0) = yo , y oy)(y && =0 .

Al observar la Ec. (5.100) vemos que si la excitacin ssmica se aplica durante un tiempo prolongado, debido al amortiguamiento(por ser pequeo para el caso de las estructuras), desaparece el efecto de la vibracin libre, siendo por ella denominada solucin transitoria. Quedando de esta manera, la respuesta del sistema reducida al trmino de vibracin forzada ( solucin estacionaria ) luego de algn tiempo de iniciado el movimiento. Es apartir de este instante en el que la frecuencia forzada coincide prcticamente con la frecuencia predominante de la excitacin ( Newmark y Rosenblueth 1971 ).

La integral de Duhamel tiene solucin analtica para un grupo muy limitado de funciones que describen la excitacin. Por elllo para propsitos prcticos, por ejemplo para un terremoto, la integral debe ser evaluada por mtodos numricos. Sin embargo, el

Solucin General de la vibracin libre amortiguado

o solucin transitoriaSolucin Particular o

estacionaria o permanente



procedimiento preferido es aplicar el anlisis numrico directamente a la ecuacin de movimiento.

A continuacin veremos los casos cuando se tienen la solucin exacta y cuando se emplean soluciones numricas:

i ) Solucin Exacta

La solucin general dada por la Ec. (5.100) puede efectuarse de forma directa al evaluar la solucin particualr definida por la Integral de Duhamel, o sea haciendo uso de la Ec. (5.98a). Supongamos que se tiene un registro de aceleraciones producto de un sismo, tal como se muestra en la Fig. 5.22. Ahora, si la aceleracin ssmica )(tuG&& es definida a trozos y adems lineal en cada uno de los intervalos de tiempo desiguales es posible realizar un anlisis por tramos tal como muestra la Fig. 5.23, ello significara que la integral de Duhamel posee primitiva y por consiguiente podr obtenerse la solucin anlitica de la ecuacin del movimiento.

Fig. 5.22 Registro de aceleraciones producto de un sismo.

)(tuG&&

)(Gu&&)( iG tu&&

)( 1iG tu&&

1it itt

)()( 1 iGiG tutu &&&&

1 ii tt

)(tuG&&

t

Ver detalle en la Fig. 5.23



Fig. 5.23 Funcin de excitacin o Aceleracin lineal del registro de la figura anterior. Suponiendo adems que son nulas las condiciones iniciales del sistema, el problema

se reduce al clculo de la primitiva de la integral de Duhamel de la Ec. (5.100). Segn Craig 1981; Barbat y Miguel Canet 1994 la integral de duhamel queda convenientemente expresada si en la Ec. (5.98a) se desarrolla la diferencia de senos, es decir

)( tsen D . Finalmente al ordenar cada miembro de manera conveniente dicha ecuacin, la Ec..(5.98a), queda expresada como sigue:

t)osctQtsentP (ey= DDD

t-

)()( (5.101)

donde:

deutP Dt

G cos)()(0= && (5.102)

dseneutQ Dt

G=0

)()( && (5.103)

De la Fig. 5.23, en el intervalo (ti-1, ti) las Ecs. (5.102) y (5.103) quedan redefinidas en el mencionado intervalo de tiempo por las Ecs. (5.104) y (5.105) respectivamente:

deutPtP Dt

tGii

i

i

cos)()()(1

1

= && (5.104)

dseneutQtQ Dt

tGii

i

i

= 1

)()()( 1 && (5.105)

y adems ya que )(tuG&& en la Fig. 1.23 esta definido por una recta en dicho intervalo, es expresada como:

( )11

11

)()()()(

+= i

ii

iGiGiGG ttt

tututuu &&&&&&&& (5.106)

o tambin: ( )11 )()( += iiGG tstuu &&&& (5.107)



siendo s la pendiente de la recta que define )(tuG&& .

Haciendo uso de la Ec. (5.107), a travs de su reemplazo en las Ecs. (5.104) y (5.105), se obtiene al integrar por partes y ordenar de manera adecuada, las Ecs..(5.108) y (5.109) respectivamente:

( )( ) ( ) ii

t

tDG

DDGii sensusu

etPtP1

2)(cos21)()()( 221

+++=

&&&&

.... ( 5.108 )

( )( ) ( ) ii

t

tDG

DDGii susu

etQtQ1

cos2)(cos21)()()( 221

++=

&&&&

.... ( 5.109 )

De manera anloga a lo hecho para la obtencin de la Ec. (5.100) se consigue tambin la respuesta exacta para la velocidad )(ty& y la aceleracin )(ty&& .

Luego, siendo )()( tQytP los mismos a los de la Ec. (5.101),al derivar la integral de Duhamel obtenemos:

)()(cos)()( tyt)sentQttP (e=ty DDt- +& (5.110) )()(2)()( 2 tutyty=ty G&&&&& (5.111)

Por ltimo, cabe resaltar que en los errores de redondeo se encuentra la nica fuente de error.

ii ) Mtodos Numricos

Se requiere que la excitacin sea discretizada a intervalos de tiempos constantes para poder usar mtodos numricos, puesto que es caracterstico de cada mtodo. Para el clculo numrico de la respuesta de un grado de libertad ( 1 GDL ) dos grupos de procedimientos numricos son usados. Al hacer uso del primer grupo de procedimientos numricos, se refiere a que se integra directamente la Ec. (5.99). En este caso los mtodos de Newmark, de Wilson, de las diferencias centrales, etc, son usados con frecuencia(Wilson 1986; Barbat y Miquel Canet 1994). Por otro lado, el segundo grupo requiere de la evaluacin de la integral de Duhamel puesto que parte de la resolucin de la Ec. (5.100).

Los mtodos numricos a diferencia del mtodo exacto, como es lgico, introducen errores debido al proceso de discretizacin.



Por ltimo es de suma importancia el que los intervalos sean lo suficientemente pequeos para as poder asegurar la estabilidad y presicin de la respuesta que vendra la representar al correcta discretizacin de la seal ssmica.

5.10 TIEMPO- HISTORIA

El anlisis tiempo-historia o anlisis numrico es un procedimiento mediante el cual la ecuacin diferencial de movimiento se resuelve paso a paso (tambin llamado as por esa razn) comenzando en el tiempo cero, cuando el desplazamiento y la velocidad son supuestamente conocidos. La escala de tiempo se divide en intervalos discretos, en los que se conoce la aceleracin del suelo y se progresa extrapolando sucesivamente el desplazamiento de un intervalo de tiempo al siguiente. Hay muchos mtodos para ejecutar este procedimiento [ Ref. 8 ].

5.11 SISMOS, REGISTROS Y ESPECTRO DE RESPUESTA

La solicitacin ssmica que proviene del evento de un terremoto se cuantifica mediante el registro de las aceleraciones que se producen en el suelo. Este mismo suelo servir de sustentacin a las edificaciones que se cimienten encima y por consiguiente dicho suelo puede volver a estar sometido a movimientos similares.

En la costa del Per los sismos tienen origen tectnico, es decir en el movimiento de las placas que constituyen el fondo del ocano y nuestro continente. El movimiento de subduccin, o sea de hundimiento de la placa de Nazca bajo la placa Sudamericana, da origen a la mayor cantidad de los sismos registrados. Estas caractersticas geofsicas condicionan tambin la naturaleza de los registros de sismos peruanos.



En la Fig. 5.24 se muestra el registro de aceleraciones de una de las componentes

del sismo del 17 de Octubre de 1966 registrado en el local del Instituto Geofsico del Per en Lima. Este registro muestra una aceleracin mxima del suelo de 0.27g.

Como cada terremoto tienen caractersticas particulares, sobretodo en cuanto a su contenido de frecuencias se refiere, es til conocer como amplifica un sismo dado determinadas frecuencias. Recordemos que los edificios tienen frecuencias de vibracin propias que pueden ser excitadas mayor o menormente por el sismo si ste trae ms energa en dicho rango.

Una forma de apreciar el contenido de frecuencias de un sismo, a travs de su registro de aceleraciones, es calculando su Espectro de Fourier. Este no es sino una transformada del registro de aceleraciones en una sumatoria de senos y cosenos y luego el clculo de las mximas amplitudes para una frecuencia dada. Como cubre un rango de frecuencias, al grfico de estos valores se le denomina "espectro".

En la Fig. 5.25 se presenta el espectro de Fourier del mismo sismo del 17 de Octubre del 66 mostrado en la Fig. 5.24.

Fig. 5.24 Registro de aceleraciones. Sismo 17 Octubre de 1966, Lima.

SECC. 5.10: TIEMPO - HISTORIA 39


Una herramienta muy til y comn en el anlisis dinmico sismorresistente es el espectro de respuesta de un terremoto. Este espectro viene a ser el lugar geomtrico de las mximas respuestas de un sistema de 1 GDL sometido a la excitacin de un sismo en la base. Dichas respuestas para una frecuencia natural y amortiguamiento especificados puede obtenerse por integracin numrica (en el dominio del tiempo o de frecuencias) de la ecuacin de movimiento.

(t)u m. + k.y = -yM. + ym. G&&&&& 2 (5.112a)

(t)u.y = - + y. + y G&&&&& 22 (5.112b)

Repitiendo estos clculos para un juego completo de osciladores con la misma cantidad de amortiguamiento y para "un espectro" de frecuencias naturales, , es posible graficar los diferentes parmetros de la respuesta contra la frecuencia o el perodo.

Basados en la Ref. [11] mostraremos como es que se obtiene los Espectros Ssmicos de Respuesta y lo que se obtiene como resultado luego de algunas simplificaciones, es decir los Seudo-Espectros Ssmicos de Respuestas. Sabemos que la solucin general de

Fig. 5.25 Espectro de Fourier. Sismo 17 Octubre de 1966, Lima.



la Ec..(5.112a) (5.112b) viene dada por la solucin particular, o sea la integral de Duhamel o solucin permanente, ya que luego de un tiempo relativamente corto la solucin transitoria se hace insignificante debido al trmino exponecial que la acompaa. Lo dicho se confirma al observar la Ec. (5.100). Luego la integral de Duhamel referida a un sistema de 1GDL, funcin de , y uG&& , se expresa como sigue:

dtseneu=tytyty

t

Dt

GD

pGENERAL )()(1)()()(

0

)( = && (5.113)

al derivar esta ltima ecuacin respecto del tiempo obtendremos la historia de la respuesta en velocidades. Al realizar la derivacin se debe tener en cuenta que se esta derivando respecto a t y no a (que se considera como constante), por consiguiente slo los trminos que contiene la variable tiempo sern derivados (en este caso seran el producto de la funcin exponecial por la funcin seno). Entonces se tendra:

( ) dtetseneu=dtdyt

DDt

Dt

GD

+ 0

)()( )(cos)()(1 && (5.114)

ordenado:

t t

Dt

GDt

GD

dteudtseneu=ty0 0

)()( )(cos)()()(1)( &&&&&

...... (5.115)

finalmente la historia de respuesta en velocidades:

)()(cos)()(0

)( tydteu=tyt

Dt

G &&& (5.116) de manera anloga, para poder obtener la respuesta en aceleraciones totales,

debemos derivar con respecto del tiempo la Ec. (5.116). Luego:

)()()()()()()( 20

)( tytydtseneu=tutyt

Dt

GDG + &&&&&&& (5.117) como es sabido las Ecs. (5.113), (5.116) y (5.117) representan, dado un cierto

acelerograma, las respuestas de desplazamiento relativo, velocidad relativa y la aceleracin absoluta respectivamente. Sus correspondientes valores mximos de los .Espectros de desplazamiento relativo, velocidad relativa y aceleracin absoluta, funciones de y ,estan dados por las Ecs. (5.118), (5.119) y (5.120):

Integral de Duhamel o solucin permanente

y(t)

SECC. 5.11: SISMOS, REGISTROS Y ESPECTRO DE RESPUESTA 41


mxd

tyS )(),( = (5.118)

mxvtyS )(),( &= (5.119)

mxGa

tutyS )()(),( &&&& += (5.120) reemplazando las Ecs. (5.113), (5.116) y (5.117) en estas ltimas se tiene:

mx

t

Dt

GD

d dtseneuS )()(1),(

0

)( = && (5.121)

mx

t

Dt

Gv tydteuS )()(cos)(),(0

)( = && (5.122)

mx

t

Dt

GDa tytydtseneuS )()()()()(),(2

0

)( = &&& (5.123) Por practicidad y basados en que es pequeo para lo que se pretende en

Ingeniera Civil (ver tabla al final de la Secc. 5.7.2.1.1)los trminos afectados por dicho coeficiente de amortiguamiento pueden eliminarse por ser insignificativos y adems, ya que se pretende hallar el valor mximo del espectro de velocidad, se puede intercambiar la funcin coseno por la del seno sin que ocurran cambios importantes [ Ref. 11 ]. Es preciso mencionar, segn Barbat y Miquel 1994, que debido a la aleatoriedad de las aceleraciones del terreno Gu&& , las aproximaciones realizadas a las Ecs. (5.122) y (5.23), resultando las Ecs. (5.125) y (5.26), son vlidas en el rango usual de frecuencias que aparecen en el diseo ssmico, dejando de cumplirse, por supuesto, para periodos muy elevados. Finalmente son dichas aproximaciones las que nos permiten definir el trmino Seudo Espectros de Respuestas. Siendo:

el Espectro de desplazamiento Relativo:

mx

t

Dt

GD

d dtseneuS )()(1),(

0

)( = && (5.124) el Seudo-Espectro de velocidad Relativa:

mx

t

Dt

Gv dtseneuS 0

)( )()(),( && (5.125)

y el Seudo-Espectro de Aceleracin Absoluta:



mx

t

Dt

GDa dtseneuS 0

)( )()(),( && (5.126 )

Las Ecs. (5.125) y (5.126) como puede apreciarse nos permiten calcular en funcin de dS los Seudo espectros vS y aS . Lo dicho se expresa as:

dv SS = (5.127 ) da SS

2= (5.128 ) Estas dos ltimas relaciones dadas por las Ecs. (5.127) y (5.128) pueden ser

dibujadas en una misma grfica mediante el uso de una escala trilogartmica. Un ejemplo de este tipo de grfica puede ser visto en la Fig. 5.28.

Es necesario remarcar que los Espectro Ssmico de Respuestas, Ecs. (5.113), (5.116) y (5.117), son interesantes solamente desde un punto de vista histrico y terico. En cambio, en Ingeniera, la gran importancia prctica de los Seudo-Espectros Ssmicos, Ecs..(5.124), (5.125) y (5.126), hacen de ellos herramientas usadas ampliamente en el diseo ssmico de las estructuras. Para simplificar la terminologa y debido al gran uso de los Seudo-Espectros, en el campo de la Ingeniera Civil, estos son denominados solamente Espectros.

La Ec. (5.124) vista nos indica que un grfico de ymx contra frecuencia natural nos da lo que se llama un espectro de respuesta de desplazamiento relativo de un terremoto dado para el amortiguamiento especificado.

En las Fig. 5.26 y 5.27 se presentan los espectros de respuesta de aceleraciones absolutas y desplazamientos relativos para el mismo sismo anterior, en escala aritmtica y variando en funcin de los perodos naturales no amortiguados (recordemos que el perodo o frecuencia amortiguado y no amortiguado son prcticamente iguales).



Es importante sealar tambin que para amortiguamiento cero la mxima aceleracin absoluta es -2ymx, o como slo interesa el valor absoluto, el espectro de aceleraciones puede obtenerse multiplicando el de desplazamientos relativos por 2. Por otro lado, para sistemas amortiguados esta relacin ya no es vlida, pero para los valores de inters de la diferencia es despreciable, tal como se mencion anteriormente. La mxima velocidad relativa es tambin cercana a veces el mximo desplazamiento relativo, excepto para valores pequeos de .

Luego comnmente se define:

Espectro de desplazamiento relativo Sd (,) = mx (en t) de y(t) Espectro de seudo-velocidad relativa Sv (,) = Sd (,) Espectro de seudo-aceleraciones absolutas Sa (,) = 2 Sd (,)

Fig. 5.26 Espectro de respuesta de aceleraciones



Adems tambin se dijo que a causa de estas relaciones directas entre los tres espectros, es costumbre graficar el espectro de seudo-velocidades como funcin del perodo o frecuencia en un papel con escalas logartmicas triples.

De la escalas logartmicas triples:

- Las lneas horizontales corresponden a valores constantes de la seudo-velocidad.

- Lneas inclinadas a 45 con pendiente positiva representan valores constantes de la seudo-aceleracin.

- Lneas inclinadas a 45 con pendiente negativa representan valores constantes del desplazamiento relativo. (si las abscisas son frecuencias las pendientes son inversas).

Fig. 5.27 Espectro de respuesta de desplazamientos



La Fig. 5.28 muestra un espectro graficado usando estas coordenadas logartmicas. De este nico grfico se pueden leer los valores de los tres efectos para cualquier sistema de un grado de libertad (1 GDL).

A continuacin haremos una sntesis de lo visto en esta seccin. Veamos el sistema de 1GDL libre amortiguado sometido a un sismo )t(uG&& (Fig. 5.29):

m

k

)t(uG&&

c

Fig. 5.29 Sistema de 1GDL libre amortiguado sometido a un sismo

um &&

y.k

Guuy =

)t(uG

u

m

yuu)t(y)t(u)t(u

G

G

&&&&&& +=+=

:cumplese

m

y.c &

Fig. 5.28 Espectro de respuestas de desplazamientos



la ecuacin de movimiento en coordenadas relativas para el sistema de 1GDL sometido a un sismo sera:

(t)u m. + k.y = -y + c.ym. + k.y = y + c.um. G&&&&&&&& 0

escrito de otra manera: (t)u.y = - + y. + y G&&&&& 22

Dicho sismo es el que produce un registro de aceleraciones tal como se muestra en la Fig. 5.30:


A su vez el registro de aceleraciones del mencionado sismo produce los Espectros Ssmicos. Aunque en realidad lo que se usa son las simplificaciones de los Espectros, es decir los Seudo-Espectros Ssmicos. Lo dicho se puede apreciar en Fig. 5.31:


)(tuG&&

t

)(ty

)(ty&

)()()( tytutu G &&&&&& +=

dmx Sy =

vmx Sy =&

amx Su =&&



Y debido a que hay una relacin directa entre los Seudo-Espectros, los cuales representan el lugar geomtrico de las Respuestas Mximasde un sistema de 1GDL sometido a un sismo, pueden representarse los tres en una misma grfica en escala trilogartmica. Esto es:

Fig. 5.32 Lugar geomtrico de las respuestas mximas de un sistema de 1 GDL sometido a un sismo

Finalmente, para culminar con el presente captulo se har un breve comentario de la Norma Peruana de Diseo Sismorresistente E-030, en lo que concierne a espectros. El Espectro de Diseo de la Norma es una curva suavizada que resulta de normalizar con respecto a la aceleracin mxima de la base los espectros de respuestas de sismos registrados en un determinado lugar (la Normalizacin se hace usando mtodos estadsticos). Dicho de otra manera, todas las curvas que representan a los sismos registrados de una determinada zona se llevan a la mxima aceleracin (ver Fig. 5.33). En el caso de la Norma Peruana define 3 zonas al territoio Peruano. Luego para la Zona 3 cooresponde una aceleracin de 0,4g , para la Zona 2 cooresponde una aceleracin de 0,3g y para la Zona 3 cooresponde una aceleracin de 0,15g. En el ao 74 en Per se tuvo 0,20g.

(Periodo) a

v

d

SSS

avd SSS ,,

T

Espectros de respuestas de sismos registradosen el sitio.

Espectros de diseo o curva suavizada producto de una normalizacin hecha con respecto a la aceleracin mxima de la base.

T

DiseomxGu&&

nAceleraci



Fig. 5.33 Espectros de respuestas de sismos registrados y el espectro de diseo (curva suavizada)



El Espectro de Aceleraciones de la Fig. 5.33 llamado Espectro de Pseudo Aceleraciones segn Norma Peruana de Diseo Sismorresistente E-030 esta definido por:

gR

ZUSCS a= Espectro que debe ser empleado para cada una de las dirreciones analizadas. Para

el anlisis en la direccin vertical podr usarse un espectro con valores iguales a los 2/3 del espectro empleado para las direcciones horizontales. La descripcin de cada trmino puede ser vista en la Norma la cual se encuentra en el apndice.

Es necesario resaltar que las caractersticas del suelo influyen en la traduccin de la onda, esto puede verse en la Fig. 5.34:

Fig. 5.34 Influencia del tipo de sueloen la traduccin de la onda.

En la Fig. 5.34, C es el coeficiente de amplificacin ssmica. Los dems trminos

se definen a continuacin en la Tabla N2 correspondiente a la Norma Peruana E-030:

Tabla N2 Parmetros del Suelo

Tipo de Suelo Descripcin Tp (s) S

S1 Roca o suelos muy rgidos 0,4 1,0

S2 Suelos intermedios 0,6 1,2

S3 Suelos flexibles o con estratos de gran espesor 0,9 1,4

S4 Condiciones excepcionales * *

)4,1(3 =SS)2,1(2 =SS)0,1(1 =SS

50,200,3503,

CS

T4,0=pT 9,0=pT

6,0=pT



P 5-01) Se tiene un sistema masa-resorte (sin amortiguamiento) de un grado de libertad sometido a la fuerza excitadora F(t) = F1 x f(t). En la figura se muestra la variacin de f(t) con el tiempo. Se pide determinar la mxima amplitud de la vibracin en el tramo t > td. El tiempo td = 1.0 s . F1 = 1.579 t. El perodo del sistema es de 1 s y la rigidez K es 157.91 t/m. Debe justificar debidamente su respuesta.

Solucin.-

> dtt Vibracin Libre ( ) ( )dodo ttUttUU += sencos

&

1er Tramo:

( ) ( ) ( )tmttkFU cos101,0cos1

91,157579,1cos11 ===

212 ===T

( )tU 2cos101,0 = stt d 1== ( ) 02cos101,0 == U ( )tsenxU 2201,0=& st 1= ( ) 02201,0 == senxU& ( )[ ] ( ) 0022 +=

+= UUUU d

d

ttmx

& 0=U

P 5-02) Determine la ecuacin de movimiento y el perodo natural de vibracin del sistema de un grado de libertad, compuesto por una viga ( I = 4 000 cm4) con un peso concentrado de 500 kg. y una varilla de 5/8 de dimetro en uno de sus extremos, tal como se muestra en la figura 3. Ambos elementos son de acero (E = 2 100 000 kg/cm2 ). La viga se puede considerar sin masa.

td

1

f(t)

t

M

K

F(t)

L = 4m

L = 3m

PROBLEMAS 51


Solucin .- Modelo:

P 5-03)

Se tiene un tanque elevado como el que se muestra en la figura adjunta. Se desea calcular su periodo natural de vibracin para una excitacin ssmica. Suponga que todos los espesores son de 20cm. La cuba y el fuste son cilndricos. Si se lo somete a una fuerza bruscamente aplicada de 20 t. calcular cul es el mximo desplazamiento que puede producirse. Usted debe modelar la masa y la rigidez a considerar, explique sus criterios. (E = 230 000 kg/cm2 ).

Solucin.- Lo que se desea calculares el U mx debido a una fuerza aplicada sbitamente. Luego de la

teora concluimos que:

Del modelo entonces debemos calcular:

298.18"5

cmA ==

cmskg

scmkg

gPm

kgP2

2

51.0981

500500

====

m

m

sTKmT

:perodo el tanto lo PortfFuu

tFkuum:movimiento de ecuacin la Luego

cmkgK

xxxK

hEA

LEIKKK

T

CABLEVIGA

038.07.14253

51.022

)(7.1425351.0)(

7.14253138607.393

30098.12100000

400400021000003

3

1

3

3

===

=+=+

=+=

+=

+=+=

&&&&

tFconKFUmx 202 11 ==

8m

4m

15m3m

Cuba

Fuste



Calculando m=P/g

Peso de la Tapa y Fondo: Muros:

Fuste: Agua:

Por lo tanto:

sTT 57.08.3542

11.292 ==

P 5-04) Calcular Sa: aceleraciones absolutas. Para un movimiento en la base definido por: 22 s/cm)t(senaU oG =&&

Duracin indefinida. Graficar solamente para un rango del periodo entre 0 y 2 segundos. (Considerar %5= y la solucin permanente o estacionaria)

Solucin.-

De la forma tsenatsentsenUyyy GG ====++ )2(100))2(100(2 2 &&&&& [ forma conocida ]

cmxU

:mximo entodesplazami el LuegomtKxxK

Entonces

mIDDI

hEIK

mx

ie

13.11008.3542

202

8.354215

733.123000003:

733.164

)6.23(64

)(

3

3

44444

3

==

==

===

=

Para el clculo del periodo:

KmT 2=

P = 285.579 t

mstm

2

111.29 =

Mod

-Tapa y fondo -Muros -Fuste -Agua

De

Di

e=0.20m

Vista de Planta del Fuste

m

15m

txxxxtxxtxxxtxxx

313.1631)2.024()4/)22.08((667.312.04.2)2/15()2.03(344.422.04.2)2.024()2.08(255.4824.22.0)4/8(

2

2

====

PROBLEMAS 53


Solucin permane mxy nte:

)2()2()1(

12222

++= tsenrray G ,

=r

dG

mx Srr

ay =+

=2222 )2()1(

1

ddmx SSaSy2== relacin de espectros para %5=

222 )2()1( rraS Ga +=

Reemplazando: 2/100 scmaG = , srad /2 = , T/2 = , 05.0= TTr === )/2/()2(/

222 )2()1( rr

aS Ga +=

T (s) Sa (cm/s 2 )0 100

0.25 106.630.5 133.04

0.75 225.291 1000

1.25 175.541.5 79.43

1.75 48.312 33.26

Sa (cm/s2)

0200400600800

10001200

0 0.5 1 1.5 2



REFERENCIAS

1. Biggs, J.M., "Dynamic Analysis of One-Degree Systems" en Notas del curso Fundamentals of Earthquake Engineering for Buildings . Massachusetts Institute of Technology. Cambridge, Massachusetts. 1972

2. Resset, J.M. "Structural Dynamics". Notas de clase. Massachusetts Institute of Technology. Cambridge, Mass. 1974.

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5. Clough, R.W. & Penzien, J. Dynamics of Structures. McGraw-Hill. New York. 1975

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12. Bazn, E., Meli, R. Diseo Ssmico de Edificios, Editorial Limusa. Balderas, Mxico. 2002

13. Piqu, J.R., "Anlisis Dinmico de Sistemas de un grado de libertad" en Notas del curso de Ingeniera Antissmica . Universidad Nacional de Ingeniera. Lima, Per. 1998

Documents

Integral de Duhamel (Pag.17)