Kapitel 1

Planintegraler

Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og op-gaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik for Ingeniører,bd.2.

Vi skal nu se, hvorledes man kan indføre et integralbegreb, som tillader en at integrere funktioneraf to variable. Dette vil ske i fuldkommen analogi til det allerede i gymnasiet indførte bestemte in-tegral, hvor man kan integrere kontinuerte funktioner over et begrænset interval [a,b]. Som bekendtkan et sadant integral tolkes som et areal (selv om der i mange sammenhænge ikke er knyttet dennetolkning til anvendelsen). Vi vil saledes ogsa i dette kapitel udelukkende beskæftige os med kon-tinuerte funktioner - men altsa nu funktioner af to variable - og integrationsmængden bliver her etbegrænset omrade i planen (dette præciseres lidt senere). Integralet af funktioner af 2 variable (somkaldes planintegralet) defineres nu pa en made, der gør, at det kan tolkes som et volumen helt ianalogi med det 1-dimensionale integralbegreb. Vi tilstræber ikke at give en i matematisk henseendehelt stringent fremstilling - hvilket ville være en ganske omstændelig affære. Indførelsen af det nyeintegralbegreb vil derfor i en vis udstrækning have intuitiv karakter. Saledes vil vi eksempelvis i ar-gumentationen udelukkende se pa funktioner, der ikke er negative. Dette sker kun i den indledendefase, og resultaterne vil have almen gyldighed.

y

y = f (x)

Areal =

∫ b

af (x)dx

x

a b

ω

y

z

x

z = f (x,y)

Figur 1.1:

1

2 KAPITEL 1. PLANINTEGRALER

Af figur 1.1 fremgar, at planintegralet vil betyde volumenet mellem et omrade i xy-planen og denderover beliggende del af fladen givet ved ligningen z= F(x,y). Dette pa samme made, som integraletaf en funktion af en variabel betyder arealet mellem et interval pa x-aksen og den derover beliggendedel af grafen givet ved ligningen y = f (x).

1.1 Planintegral - definitionVi ser nu pa et givet omrade ω i xy-planen, om hvilket vi forudsætter, at det er begrænset af en lukket,sammenhængende kurve, der ikke har dobbeltpunkter udover, hvad der ligger i, at kurven er lukket.Det er saledes herunder forudsat, at omradet har et bestemt areal Areal(ω) = A. Endvidere lader viF(x,y) være en funktion, hvis definitionsmængde indeholder ω som delmængde, og som er begræn-set pa ω . Vi interesserer os for den mængde i rummet, der nedadtil er begrænset af ω , til siderneer begrænset af den lodrette cylinderflade, der gar gennem randen af ω , og opadtil er begrænset afden del af fladen, der afskæres af denne cylinderflade. Denne mængde kaldes Ω, og vi skal nu se,hvorledes vi kan tillægge Ω et volumen V .

Vi inddeler ω i n delomrader ω1,ω2, · · · ,ωn, hvis arealer vi kalder A1,A2, · · · ,An. Lad os tage del-omrade nr. i ud (i ∈ 1,2, · · · ,n) og se pa den mængde Ωi i rummet, der - dannet pa samme made,som vi gjorde for ω - ligger over ωi. Vi sammenligner nu mængden Ωi med to lodrette cylindre, derbegge har ωi som grundflade. Højderne i de to cylindre er henholdsvis den mindste værdi gi og størsteværdi Gi af de funktionsværdier for F , der fas, nar (x,y) ligger inden for ωi.

y

x

ωi

Areal Aiωi

y

z

x

gi

Gi

Figur 1.2:

Da volumenet af en cylinder er ”højde gange grundflade”, bliver volumenet af de to cylindre hen-holdsvis giAi og GiAi. Det er oplagt, at hvis vi skal tillægge Ω et volumen V , sa ma der om dettegælde

n

∑i=1

giAi ≤ V ≤n

∑i=1

GiAi (1.1)

Man kan nu forestille sig, at man ved at foretage en finere og finere inddeling af ω vil fa en bedre ogbedre tilnærmelse til V , idet de to summer i (1.1) vil nærme sig hinanden mod en fælles værdi V . Dette

1.2. UDREGNING AF PLANINTEGRAL I RETVINKLEDE KOORDINATER 3

er ogsa korrekt, hvis funktionen F(x,y) er kontinuert. Hvis man imidlertid frafalder dette krav, kanman finde eksempler pa, at de to summer nok nærmer sig mod hinanden, men at der uanset hvilkeninddeling af ω man vælger, er en grænse for, hvor tæt de kan komme hinanden. I sadanne tilfældekan volumenet ikke defineres. Vi fastholder imidlertid her kravet om kontinuitet, og den fælles værdi,som summerne i dette tilfælde nærmer sig mod, kaldes funktionen F’s planintegral over omradet ω

og dette betegnes ∫

ω

F(x,y)dσ

Vi sammenfatter ovenstaende i følgende boks:

Planintegralet er defineret, hvis der findes netop et tal, der er større end eller lig enhver sakaldtundersum ∑n

i=1 giAi og mindre end eller lig enhver oversum ∑ni=1 GiAi (svarende til alle muli-

ge inddelinger af omradet ω). I sa fald siges funktionen F at være integrabel over ω og detpagældende tal kaldes planintegralet af F over ω .

Hvis specielt F er kontinuert i ω , sa er F integrabel over ω .

Det skal uden bevis nævnes, at der for integrable funktioner gælder sætninger, vi kender fra integraleraf funktioner af en variabel. Saledes har man for eksempel;

∫

ω

(F1(x,y)+F2(x,y))dσ =∫

ω

F1(x,y)dσ +∫

ω

F2(x,y)dσ

∫

ω

k ·F(x,y)dσ = k ·∫

ω

F(x,y)dσ

Nu er det store spørgsmal sa: Hvorledes beregner vi planintegralet? I det foregaende har vi set, hvor-ledes det defineres, men der er ikke meget hjælp at hente til en umiddelbar beregning i et konkrettilfælde. Dette drejer de to næste afsnit sig om. Vi vil afslutte dette afsnit ved at bemærke, at man kanfinde arealet A(ω) af ω som planintegralet over ω af funktionen F(x,y) = 1. Dette svarer til, at enskive med tykkelsen 1 og grundfladearealet A har volumenet 1 ·A = A.

1.2 Udregning af planintegral i retvinklede koordinaterVi ser nu pa sadanne plane omrader ω , der er begrænset af linierne x = a og x = b samt kurverne givetved y = f (x) og y = g(x). Her er de to funktioner f og g kontinuerte pa [a,b], og det forudsættes, atder inden for dette interval gælder f (x)≤ g(x), se figur 1.3Hvis F(x,y) er en funktion, der er givet at være kontinuert pa mængden ω , kan man vise, at der omplanintegralet af F over ω gælder det vigtige udtryk;

∫

ω

F(x,y)dσ =∫ b

a

(∫ g(x)

f (x)F(x,y)dy

)dx (1.2)

Integralet pa højre side kaldes et dobbeltintegral, og det udregnes, saledes som skrivemaden angiver.Først udregnes det inderste integral i parantesen. Dette bliver en funktion af x. Derefter udføres denanden integration. Vi skal om lidt se, hvorledes (1.2) er nem at forsta (og opskrive), nar man tolkerplanintegralet som et volumen. Forinden vil vi se pa en konkret udregning ved brug af formlen.

4 KAPITEL 1. PLANINTEGRALER

y

x

y = f (x)

y = g(x)

ω

a b

Figur 1.3:

Eksempel 1.1. Lad ω være den plane punktmængde, der er afgrænset af ulighederne

0≤ x≤ 1 ; x≤ y≤√

x2 +1

saledes som vist pa figur 1.4, og lad funktionen F være givet ved udtrykket F(x,y) = xy.

∫

ω

F(x,y)dσ =∫ 1

0

(∫ √x2+1

xxydy

)dx

=∫ 1

0

[x · 1

2y2]y=√

x2+1

y=xdx

=12

∫ 1

0

(x(x2 +1)− x3)dx

=14[x2]1

0 =14

y

x

y = x

y =√

x2 +1

ω

1

1

Figur 1.4:

1.2. UDREGNING AF PLANINTEGRAL I RETVINKLEDE KOORDINATER 5

Vi vil nu se nærmere pa (1.2) og gennem figur 1.5 give en intuitiv forklaring pa formlen. Det pa figur1.5a viste fremhævede snit har arealet

A(x) =∫ y=g(x)

y= f (x)F(x,y)dy

og den pa figur 1.5b viste skive af tykkelsen dx far da (tilnærmelsesvis) volumenet

A(x)dx =(∫ y=g(x)

y= f (x)F(x,y)dy

)dx

Integrationen med hensyn til x summerer da alle disse skivevolumener op til hele det samlede volu-men. Nar vi pa denne made deler en mængde Ω i rummet op i skiver og derefter benytter betragt-ningsmaden ovenfor til at bestemme volumenet af Ω, sa siger vi, at vi har brugt skivemetoden.

(a) (b)

x

y

z

b

x

aAreal A(x)

x

y

z

dxx+dx

x

Figur 1.5:

Beregningerne i eksempel 1.1 svarer til, at der er foretaget en opdeling i skiver, der er parallelle medyz-planen. Ofte kan man imidlertid med fordel dele Ω op i skiver, der er parallelle med xz-planen.Det afhænger dels af mængden ω og dels af selve funktionen, hvilken opdeling, der er at foretrække.I givet fald vil ω være beskrevet ved ω = (x,y) | c ≤ y ≤ d ∧ h(y) ≤ x ≤ k(y). Vi vil i denneforbindelse knytte følgende kommentar til selve maden at skrive dobbeltintegralet pa. Almindeligvisanvendes en anden skrivemade for dobbeltintegralet end den, der er vist i (1.2) og benyttet i eksempel1.1, nemlig;

∫

ω

F(x,y)dσ =∫ b

adx∫ g(x)

f (x)F(x,y)dy (opdeling i skiver parallelle med yz-planen)

∫

ω

F(x,y)dσ =∫ d

cdy∫ k(y)

h(y)F(x,y)dx (opdeling i skiver parallelle med xz-planen)

(1.3)

En sadan skrivemade gør det formentlig lettere at aflæse, hvilke integrationsgrænser der knytter sigtil hver af de to variable. Det er naturligvis vigtigt at fremhæve, at der ikke er tale om et produkt mel-lem de to integraler. Man udregner dobbeltintegralerne i (1.3) ”fra højre mod venstre”. Vi vil benytte

6 KAPITEL 1. PLANINTEGRALER

denne skrivemade i eksempel 1.3 nedenfor, sa man kan gøre sig fortrolig med formuleringen.

Eksempel 1.2. Lad A være den mængde i planen som er givet ved:

−1≤ x≤ 1 ; −2x−1≤ y≤ x+2.

Vi ønsker at beregne:∫

Af (x,y)dσ , hvor f (x,y) = x+2y+ xy.

Vi far:

∫

Af (x,y)dσ =

∫ 1

−1dx∫ x+2

−2x−1(x+2y+ xy)dy

=∫ 1

−1

([xy+ y2 +

12

xy2]x+2y=−2x−1

)dx

=∫ 1

−1

(x(x+2)(x+22)+

12

x(x+2)2)−(x(−2x−1)+(−2x−1)2 +

12

x(−2x−1)2)dx

=∫ 1

−1

12(−3x4 +3x2 +6x+6

)dx

=12[− 3

5x5 + x3 +3x2 +6x

]1−1

=325

Eksempel 1.3. Lad ω være den plane punktmængde, der er afgrænset af ulighederne

0≤ x≤ 1 ; x2 ≤ y≤ 1

saledes som vist pa figur 1.6, og lad funktionen F være givet ved udtrykket F(x,y) = xey2. Hvis

vi her vælger en opdeling med skiver, der er parallelle med yz-planen, kan planintegralet skrivessom ∫

ω

F(x,y)dσ =∫ 1

0dx∫ 1

x2xey2

dy

Da vi imidlertid ikke kan udregne integralet af ey2prøver vi med en opdeling med skiver parallelle

med xz-planen. Vi formulerer da mængden ω som de (x,y) der tilfredsstiller ulighederne

0≤ y≤ 1 ; 0≤ x≤√y

1.3. UDREGNING AF PLANINTEGRAL I POLÆRE KOORDINATER 7

Med denne formulering fas

∫

ω

F(x,y)dσ =∫ 1

0dy∫ √y

0xey2

dx

=∫ 1

0

[12

x2]x=√

y

x=0ey2

dy

=12

∫ 1

0yey2

dy , som ved brug af substitutionen y2 = t , 2ydy = dt giver∫

ω

F(x,y)dσ =14

∫ 1

0etdt =

14[et]1

0 =e−1

4

x

y = x2y

x 1

x2

1

ω

x

x =√

yy

√y 1

y

1

ω

Figur 1.6:

1.3 Udregning af planintegral i polære koordinaterUndertiden har funktionen F eller integrationsomradet ω en sadan form, at man i stedet for at benyttede retvinklede koordinater x og y med fordel kan ga over til polære koordinater r og θ , saledes som vistpa figur 1.7a. Integrationsomradet forudsættes nu begrænset dels af to linier, der i polære koordinaterhar ligningerne θ =α og θ = β , og dels af to kurver, der i polære koordinater har ligningerne r = φ(θ)og r =ψ(θ). Vi minder om, at de retvinklede og polære koordinater er forbundet ved ligningerne

x = r cosθ

y = r sinθ(1.4)

Endvidere tænkes der ligesom tidligere at foreligge en funktion F(x,y), der er kontinuert i ω . Det kanda vises, at der om planintegralet af F over ω gælder følgende vigtige formel:

∫

ω

F(x,y)dσ =∫

β

α

dθ

∫ψ(θ)

φ(θ)F(r cosθ ,r sinθ)rdr (1.5)

8 KAPITEL 1. PLANINTEGRALER

Dette er den polære udgave af (1.2). Dette dobbeltintegral kan igen tolkes som et volumen, og (1.5)er intuitivt let forstaelig, nar man sammenholder med figur 1.7b. Da en cirkelbue med radius r ogsvarende til en abningsvinkel v har buelængden rv, vil den med mørke raster viste mængde tilnærmel-sesvis være et rektangel med arealet rdrdθ . Volumenet af den søjle, der star herpa og strækker sig optil grafen for F bliver da tilnærmelsesvis F(r cosθ ,r sinθ)rdrdθ . Den første integration med hensyntil r giver da volumenet over det med raster viste omrade, hvorefter integrationen med hensyn til θ

giver det samlede volumen. (Igen skal det pointeres, at selv om planintegralet kan fortolkes som etvolumen, sa er der i mange sammenhænge ikke knyttet en sadan tolkning til anvendelsen).

r = ψ(θ)

r = φ(θ)θ = α

θ = β

βα

ω

(a)

θ

dθ rdr

rdθ

(b)

areal ≈ rdθ ·dr

Figur 1.7:

Eksempel 1.4. Lad f (x,y) = x+2y og lad B være mængden, som i polære koordinater er givetved:

1≤ r ≤ 2 ; 0≤ θ ≤ π

4Vi ønsker at (a) tegne B og at (b) beregne

∫B f (x,y)dσ .

(a):Mængden B er skitseret i figur 1.8.(b):Da x = rcos(θ) og y = rsin(θ) fas, idet dσ = rdrdθ :

1.3. UDREGNING AF PLANINTEGRAL I POLÆRE KOORDINATER 9

∫

Bf (x,y)dσ =

∫ 2

1dr∫ π

4

0

(rcos(θ)+2rsin(θ)

)rdθ

=∫ 2

1dr∫ π

4

0r2(cos(θ)+2sin(θ)

)dθ

=∫ 2

1r2[sin(θ)−2cos(θ)

]θ= π

4θ=0 dr

=∫ 2

1(2−

√2

2)r2dr

= (2−√

22

)[1

3r3]2

1

= (2−√

22

)73

1 2

B

1

2 y=x

Figur 1.8:

Eksempel 1.5. Lad ω være den plane punktmængde, der er afgrænset af ulighederne

0≤ θ ≤ π

4; θ ≤ r ≤ 2

Det overlades til læseren at skitsere dette integrationsomrade. Der foreligger yderligere funktio-nen F givet i retvinklede koordinater som

F(x,y) =√

x2 + y2

10 KAPITEL 1. PLANINTEGRALER

Planintegralet kan nu udregnes som

∫

ω

F(x,y)dσ =∫ π

4

0dθ

∫ 2

θ

√r2 cos2 θ + r2 sin2

θ rdr

=∫ π

4

0dθ

∫ 2

θ

r2dr

=13

∫ π

4

0(8−θ

3)dθ

=13

[8θ − 1

4θ

4] π

4

0=

2π

3− π4

3072

Eksempel 1.6. For omradet ω givet pa polær form saledes som beskrevet ovenfor kan vi finde etsimpelt udtryk for arealet A(ω) ved en reduktion af planintegralet pa følgende made:

A(ω) =∫

ω

1 ·dσ =∫

β

α

dθ

∫ψ(θ)

φ(θ)rdr =

12

∫β

α

(ψ(θ)2−φ(θ)2)dθ

I det specifikke tilfælde fra eksempel 1.5 har vi α = 0, β = π

4 , φ(θ) = θ , og ψ(θ) = 2.

1.4 TyngdepunktI mange anvendelser spiller begrebet tyngdepunkt en vigtig rolle. Vi vil her begrænse spørgsmalet til atse pa en tynd skive, idet vi lader omradet ω repræsentere denne, og vi behandler saledes spørgsmaletsom et plant problem. Der foreligger desuden en massetæthedsfunktion m(x,y), hvorved forstas enfunktion med den egenskab, at massen af en hvilken som helst (passende pæn) delmængde D af ω

kan udregnes som planintegralet af m over D. Saledes er den samlede masse af skiven givet som:

M =∫

ω

m(x,y)dσ (1.6)

Herefter vælger vi i planen en vilkarlig linie l og definerer momentet med hensyn til l som:

Sl =∫

ω

r(x,y)m(x,y)dσ (1.7)

hvor r betegner afstanden fra linien til punktet (x,y) regnet med fortegn.

Linien deler skiven i to dele, hvor alle punkter i den ene del (som man selv vælger) bidrager positivt,og de øvrige punkter bidrager negativt til momentet. Vi vil nu stille os følgende spørgsmal: Findesder et punkt i ω med den egenskab, at det for enhver linie gennem punktet gælder, at momentet medhensyn til linien er nul? For at undersøge dette vælger vi et punkt (ξ ,η) og ser pa en linie l gennemdette punkt. Liniens vinkel med x-aksen betegnes θ .Idet der for et vilkarligt punkt (x,y) gælder, at afstanden r(x,y) kan skrives som

r(x,y) = (x−ξ )sinθ − (y−η)cosθ

1.4. TYNGDEPUNKT 11

x

y

l

(ξ ,η) θx−ξ

y−η

(x,y)

θ

r(y−η)cosθ

(x−ξ )sinθ

ω

Figur 1.9:

kan Sl skrives som

Sl =∫

ω

((x−ξ )sinθ − (y−η)cosθ)m(x,y)dσ

= sinθ

∫

ω

(x−ξ )m(x,y)dσ − cosθ

∫

ω

(y−η)m(x,y)dσ

(1.8)

Af dette udtryk fremgar, at Sl er nul for enhver værdi af θ , hvis og kun hvis de to planintegraler beggeer nul (sæt først θ = 0 og sa θ = π

2 ). Vi har altsa

0 =∫

ω

(x−ξ )m(x,y)dσ =∫

ω

xm(x,y)dσ −∫

ω

ξ m(x,y)dσ =∫

ω

xm(x,y)dσ −ξ ·M

0 =∫

ω

(y−η)m(x,y)dσ =∫

ω

ym(x,y)dσ −∫

ω

ηm(x,y)dσ =∫

ω

ym(x,y)dσ −η ·M

Det fundne punkt kaldes skivens tyngdepunkt, og dets koordinater er da givet ved

ξ =1M

∫

ω

x ·m(x,y)dσ

η =1M

∫

ω

y ·m(x,y)dσ

(1.9)

Det bemærkes til sidst, at da momentet med hensyn til en linie er uafhængigt af det valgte koordinat-system, sa er ogsa tyngdepunktets placering uafhængigt af koordinatsystemet.

12 KAPITEL 1. PLANINTEGRALER

Eksempel 1.7. Vi ser pa en tynd skive, der har form af en halvcirkel med radius ρ (tegn selv!)

ω = (r,θ) | 0≤ θ ≤ π ∧0≤ r ≤ ρ

Idet det er givet, at der er konstant massetæthed m, fas ved udregning af planintegralerne i polærekoordinater

Mξ =∫

π

0dθ

∫ρ

0r cosθ ·mrdr = m · ρ

3

3

∫π

0cosθdθ = 0

Mη =∫

π

0dθ

∫ρ

0r sinθ ·mrdr = m · ρ

3

3

∫π

0sinθdθ = m · 2ρ3

3= m · πρ2

2· 4ρ

3π

Arealet af skiven er πρ2

2 , saledes at der med konstant massetæthed m fas: M = m · πρ2

2 . Tyngde-punktet har altsa koordinaterne

(ξ ,η) =

(0,

4ρ

3π

)(1.10)

1.5. OPGAVER 13

1.5 OpgaverOpgave 1.1Beregn i hvert af de følgende tilfælde planintegralet over den skraverede mængde S.

1)∫

S(2x+ y)dσ

2)∫

Sxydσ

3)∫

S(x2− y2)dσ

14 KAPITEL 1. PLANINTEGRALER

4)

∫

S

2y(x+3)(1+ x2)

dσ

5)

∫

S(x+2y)dσ

Opgave 1.2 (Areal)Find i hvert af de følgende tilfælde arealet af den skraverede mængde S.

1)

1.5. OPGAVER 15

2)

Opgave 1.3 (masse)Beregn i hvert af de følgende tilfælde massen af det skraverede plane legeme S med den 2-dimensionale massetæthed f (x,y) malt i Kg

m2 . Alle mal er i meter.

1)

f (x,y) = 2x+ y

2)

f (x,y) = xy

16 KAPITEL 1. PLANINTEGRALER

3)

f (x,y) = x2 + y

Opgave 1.4 (tyngdepunkt)Beregn i hvert af følgende tilfælde tyngdepunktet for det skraverede plane legeme S med den 2-dimensionale massetæthed f (x,y) malt i Kg

m2 . Alle mal er i meter.

1)

f (x,y) = 1

2)

f (x,y) = 1

3)

f (x,y) = 5(y2 + x)

1.5. OPGAVER 17

4)

f (x,y) = 1

Opgave 1.5 (fordampning)

Fordampning fra den skraverede plane fladeS er pa stedet (x,y) givet vedx − y malt i Kg

hm2 . Hvor mange kg fordam-per fra hele S pa 1 time? Alle mal er i me-ter.

Opgave 1.6 (befolkningstal)En cirkelrund by har en befolkningstæthed, der i punktet (x,y) er 500√

x2+y2+1000indbyggere/m2, hvor

(0,0) er byens centrum, og x,y males i meter.Beregn antallet af indbyggere inden for en radius pa 1000 m.