master teza Lj. Popovic.pdf

Matematiki fakultet

Univerzitet u Beogradu

Ljubica Popovi

PRIMENA RAUNARA U NASTAVI MATEMATIKE Master rad

lanovi komisije: dr Milan Boi, mentor

dr Zoran Petrovi

dr Miroslav Mari

2012. godina

Zahvaljujem mentoru, dr Milanu Boiu, na podrci, savetima i razumevanju,

lanovima komisije, dr Zoranu Petroviu i dr Miroslavu Mariu, kao i svima koji

su mi pomogli pri izradi ovog rada

1

SADRAJ

SADRAJ ......................................................................................................................................................... 1

UVOD ............................................................................................................................................................. 3

1. INFORMACIONO DOBA I SAVREMENA NASTAVA ...................................................................................... 4

1.1. Pojam informacionog doba ............................................................................................................... 4

1.2. Znaaj informacione pismenosti ..................................................................................................... 5

1.3. Povezanost savremene nastave sa informacionim tehnologijama ................................................... 7

2. NASTAVA MATEMATIKE I SAVREMENA TEHNOLOGIJA ........................................................................... 11

2.1. Matematika kao nauka .................................................................................................................... 11

2.2. Tradicionalna nastava matematike i modernizacija nastave matematike uvoenjem raunara .... 13

2.3. Uloga nastavnika u osavremenjenoj nastavi matematike ............................................................ 15

2.4. Uticaj raunara na poloaj uenika u osavremenjenoj nastavi ........................................................ 16

3.PRIKAZ MOGUIH PRIMENA RAUNARA U NASTAVI MATEMATIKE ...................................................... 18

3.1. Raunar u slubi pisanja potrebnih materijala za nastavu ............................................................. 18

3.1.1. Primer jednog programa koji se moe koristiti u praksi ........................................................... 18

3.2. Korienje Internet sadraja u nastavi matematike ........................................................................ 22

3.2.1. Primer jedne Internet stranice koja se moe primeniti u nastavi matematike ......................... 24

3.3. Primena multimedija u nastavi matematike ................................................................................... 26

3.3.1. Ilustracija jednog asa matematike odranog primenom multimedijalne prezentacije .......... 30

3.4. Matematiki softveri kao alat za nastavu i uenje .......................................................................... 35

3.4.1. Primer jednog softvera koji prati nastavni plan i program predmeta matematika ............... 35

3.4.2. Program Geogebra alat za uenje matematike ..................................................................... 37

4. ELEKTRONSKO UENJE U NASTAVI MATEMATIKE .................................................................................. 40

4.1. Istorijat elektronskog uenja ........................................................................................................... 40

4.2. LMS sistem........................................................................................................................................ 42

4.3. Softverski paket Moodle .................................................................................................................. 43

4.4. Prikaz primene programa Moodle ................................................................................................... 46

4.4.1. Motivacija za izradu e-uionice ................................................................................................. 46

Primena raunara u nastavi matematike

2

4.4.2. Cilj izrade e-uionice .................................................................................................................. 46

4.4.3. Sadraj e-uionice ...................................................................................................................... 47

5. ILUSTRACIJA POKAZATELJA ..................................................................................................................... 52

MOTIVISANOSTI UENIKA ZA PRIMENU RAUNARA U NASTAVI MATEMATIKE ........................................ 52

5.1. Opis upitnika .................................................................................................................................... 52

5.2. Rezultati upitnika .............................................................................................................................. 54

ZAKLJUAK ................................................................................................................................................... 55

LITERATURA ................................................................................................................................................. 56

3

UVOD

Pv runr u blsti mtmtikg brzvnja donela je sa sobom ptimizm za

obogaivanje nastavnog procesa dodavanjem nove dimenzije uenja matematike. Samo

prisustvo informaciono-komunikacionih tehnologija nije preduslov kvalitetne upotrebe u

nastavi. U prirodi uenika, kao aktivnog subjekta nastavnog procesa, je da sa lakoom prihvata

tehnoloke inovacije, jer su one ve prisutne u njegovom svakodnevnom ivotu. U prirodi

uenika ogleda se radoznalost, aktivnost, brzina, kratkotrajna panja, elja za novim

informacijama, izvoenje vie aktivnosti odjednom, tako da bi raunar kao nain i vid rada

mogao zadovoljiti njihove potrebe. No, realativno rigidan kolski sistem, koji svoje temelje nosi

od Jan Amosa Komenskog, dovodi nae uenike u stanje pasivnosti, stanje zasienja kolom,

pojave otpora prema koli i uenju. Nastavni sistemi koji danas postoje veoma su tromi i sporo

reaguju na pojavu novih alata i obrazovnih tehnologija, kao i na njihovu primenu u procesu

pouavanja i uenja.

Iz tog razloga je vano da i nastavnici dele isti optimizam i postanu inicijatori aktivnog

savremenog nastavnog procesa. Adekvatno konstruisana i koriena savremena nastavna

sredstva omoguuju potpuniju intelektualnu aktivizaciju uenika pri uenju. Nastavnike funkcije

se ne umanjuju uvoenjem savremenih tehnologija ve naprotiv, njihova uloga postaje jo

znaajnija i odgovornija. Nastavnici bi trebalo da kombinacijom tradicionalnog i savremenenog

pristupa pouavanja matematike ne dozvole da uenici matematiku doivljavaju kao suvoparan i

dosadan predmet . Jer kao to je rekao Blaise Pascal :

Matematika je suvie ozbiljna, i zbog toga ne treba propustiti nijednu priliku da se

uini zanimljivom.

4

1. INFORMACIONO DOBA I SAVREMENA NASTAVA

1.1. Pojam informacionog doba

Oblast ljudskog drutva koja je doivela najveu stopu razvoja u istoriji ljudske civilizacije

jeste oblast razvoja informacionih tehnologija. Za ovo doba, kojem smo i mi svedoci, koriste se

razni nazivi: informaciono doba, digitalna revolucija, ekonomija znanja, drutvo znanja.

Informaciono doba je nastupilo posle industrijskog doba, a u svom uem znaenju odnosi

se na period nakon 70-tih godina prolog veka. U informacionoj eri se nalazimo vie od trideset

godina i ta era jo uvek traje. Njegova glavna odrednica je raspostranjenost informacione

tehnologije koja poveava brzinu i efikasnost prenosa informacija. Njegova glavna obeleja,

upotreba informaciono komunikacionih tehnologija (IKT-a) i Interneta, prodiru u sve sfere

ivota, dakle i u obrazovni sistem.

Napredak u informacionim tehnologijama i komunikacijama menja i na nain ivota :

utie na to kako radimo i poslujemo, kako obrazujemo , kako samostalno uimo , kako

provodimo slobodno vreme. Informacije se kreu bre nego to se odvija fiziko kretanje. Tako

se uz pomo raunara i Interneta iz svoje sobe moemo druiti sa nekim ko je hiljadama

kilometara daleko, moemo obavljati novane transakcije bez odlaska u banku, moemo

kupovati odeu bez odlaska u prodavnicu, moemo da se kolujemo bez prisustva kolskim

asovima. Koliko se informacije brzo prikupljaju govori podatak da je za poslednje tri decenije

prikupljeno vie informacija nego u proteklih pet hiljada godina.

U irem smislu, zaetkom informacionog doba se smatra pronalazak telegrafa 1837.

godine, a zatim se razvio itav niz ureaja ija je svrha bila obrada i prenos informacija.

Informaciono doba je svoj procvat doivelo pojavom personalnih raunara ( personal computer

-PC) 80-ih godina prolog veka i uspostavljanjem globalne mree ( www-world wide web).

Personalni raunari su u poetku u kolama imali ulogu da olakaju administrativne poslove, a

tek kasnije su uvedeni u nastavu. U nastavu nisu uvedeni zato to je raunar trend u modernom

drutvu , ve iz razloga to su nali iroku kvalitetnu primenu.


5

Jedna od tekovina informacionog doba jeste i Internet. Internet je smeten u privatnu

sferu 90-tih godina prolog veka i moe se rei da je ubrzo pronaena i korist od primene

Interneta u nastavi, jer omoguava nove oblike komunikacije ( nastavnik-uenik, uenik

uenik) i nove oblike uenja. Internet je u svojoj osnovi demokratska tekovina , jer svako moe

biti autor sadraja na Internetu, to ima svoje dobre i loe strane.

1.2. Znaaj informacione pismenosti

U dananje vreme je ljudima dostupno obilje informacija, pre svega preko Interneta, koji

nam omoguuje da meusobno komuniciramo i dolazimo do razliitih saznanja. Vetina

operisanja informacijama ini sutinu informacione pismenosti, koju treba razvijati sistematino

i kontinuirano, posebno tokom kolovanja, kroz sadraje i aktivnosti razliitih nastavnih

predmeta, ukljuujui i nastavu matematike. Informaciona pismenost je vana odlika pojedinca

za kvalitetno funkcionisanje u prostoru informacija i treba da bude u tesnoj vezi sa formiranjem

kritikog miljenja.

Sticanje informatike pismenosti je aktivan proces , koji zahteva traganje za

informacijama iz vie izvora, a ne pasivno primanje i reprodukovanje injenica. U tom smislu i

tradicionalna uloga nastavnika se menja; ona evoluira od davaoca znanja u neku vrstu

inspiratora i vodia. Cilj je od najranijeg doba pripremiti uenike da naue kako se ui , tako da

mogu postati samostalni tragai za informacijama tokom itavog ivota. Jedan od naina za

razvijanje vetina rada sa informacijama jeste davanje uenicima vee odgovornosti prilikom

uenja to podrazumeva da uenici to vie koriste izvore znanja koje e i kasnije koristiti u

svakodnevnom ivotu knjige, asopise, televiziju, Internet .

Uenik koji je ovladao informacionom pismenou poseduje sledee sposobnosti i vetine:

1. Informacije procenjuje efikasno i uspeno : svestan je potrebe za tanom informacijom,

formulie pitanja koja su mu potrebna da doe do odgovarajuih saznanja, a osposobljen

je i da identifikuje razliite potencijalne izvore informacija.


6

2. Evaluira informaciju kritiki i kompetentno : ispituje njihovu tanost i relevantnost; pravi

razliku izmeu injenica i miljenja; identifikuje informacije koje mogu da dovedu u

zabludu.

3. Koristi informacije efektivno i kreativno: organizuje ih za praktinu primenu, koristi ih u

reavanju problema, a uz to produkuje i alje informacije na odgovarajua odredita.

Preteom informacione pismenosti smatra se biblioteka pismenost. Ona se ostvaruje

kroz upuivanje i poduavanje o korienju biblioteke, njenih usluga i izvora. Danas se

obrazovne aktivnosti u bibliotekama sve vie razvijaju prema informacionoj pismenosti, kako bi

se korisniku omoguilo usvajanje vetina pristupa i korienja izvora informacija bez obzira na to

gde se oni nalaze.

Informaciona pismenost nije isto to i kompjuterska pismenost (informatika

pismenost), koja se odnosi na vetine upotrebljavanja informacionih tehnologija - raunara,

softverskih aplikacija, baza podataka, raunarskih mrea itd. Dok se informaciona pismenost

odnosi na sadraj, kompjuterska pismenost se odnosi na tehnologiju. Da bi pojedinac danas bio

informaciono pismen, mora biti i kompjuterski pismen, i to zbog koliine informacija koje su

dostupne u elektronskom obliku. Meutim, poznavanje kompjuterskih vetina ne znai nuno

informacionu pismenost. Pojedinac moe biti izvanredan strunjak za raunare i tehnoloki

kompetentan, a da mu istovremeno treba pomo i savet kod procenjivanja kvaliteta i validnosti

neke informacije . Kompjutersku pismenost valja u koli razvijati ne samo putem nastave

strunih informatikih predmeta nego i u nastavi ostalih predmeta. Pri tom treba nastojati da

uenici ovladaju svim informacionim tehnolokim alatima, ukljuujui i Internet, da uvebavaju

postupke korienja tih alata i da steknu sposobnost prepoznavanja situacija u kojima se

informacione tehnologije mogu adekvatno upotrebljavati za reavanje odreenih problema.

Pored kompjuterske pismenosti postoje i medijska i digitalna pismenost, koje su tesno

povezane sa informacionom pismenou . Medijska pismenost se odnosi na sposobnost

konzumiranja i kritikog razmiljanja o informacijama koje se dobijaju putem masovnih

medija kao to su televizija, radio, novine i Internet. Digitalna pismenost se pak odnosi na

sposobnost itanja i razumevanja teksta, slike, zvuka u digitalnom obliku. Za razliku od digitalne

pismenosti, informaciona pismenost obuhvata ceo univerzum informacija, obuhvatajui i one u

tampanom obliku. U tom smislu je informaciona pismenost iri pojam od digitalne pismenosti,

budui da sve informacije nisu jo uvek u elektronskom obliku, a raspon dostupnog digitalnog

sadraja je skroman u odnosu na koliinu tampanih izvora.


7

Vidimo da nov koncept pismenosti za 21.vek predstavlja itav skup meusobno

isprepletanih pismenosti koje ine informacionu pismenost . Uz znanje itanja, pisanja i

raunanja, i informaciona pismenost se poinje smatrati elementarnom pismenou. Ba iz tog

razloga kolski sistem ne sme izostaviti informacione tehnologije iz procesa obrazovanja, a one

su osnov i klju za doivotno uenje pojedinca za samoobrazovanje.

1.3. Povezanost savremene nastave sa informacionim tehnologijama

Nastava se definie na razliite naine. Nju i nije lako definisati, jer tokom godina

doivljava sve bre i sve vee promene. Nastava predstavlja jedan od mnogih vidova vaspitanja

(shvaenog u irem smislu te rei), tj. jedan od mnogih vidova intencionalnog (namernog)

uticaja na razvitak linosti , a ona je i oblik uenja, oblik usvajanja tekovina kulture [9].

Danas u razvijenim zemljama ivi jedna nova generacija. To su oni koji su rodjeni nakon

1981.godine. Nazivaju ih Generacija Y ili Milenijumska generacija . Karakterie ih

poznavanje i poveana upotreba komunikacija, medija i digitalnih tehnologija u svakodnevnim

aktivnostima. To je generacija koja je odrasla uz raunare i Internet, koja intenzivno koristi

potencijale umreenih medija SMS-a, instant poruka, bloga, vikija(wiki), servisa za drutveno

umreavanje kao to je Facebook itd. Meutim, ono to pripadnici drugih generacija smatraju

novim tehnologijama, ova generacija uopte ne doivljava kao inovaciju, jer su se oni na nju ve

toliko navikli da je ni ne primeuju. Pripadnike ove generacije vie zanimaju aktivnosti koje su

omoguene savremenim tehnologijama nego same te tehnologije.

Da li dananja generacija ui drugaije od prethodnih generacija, da li je karakteriu neke

sprecifinosti? Kada je re o uenju, nekoliko bitnih stavki karakterie novu generaciju [1]:

1. Aktivnosti su vanije od znanja. Porast i prednosti tehnologija su uticali na ovu

generaciju u smislu da se mnogo manje oslanjaju na informacije koje pamte u glavi, a

mnogo vie na pronalaenje odredjenih injenica u momentu kad je to potrebno. Znanje

nije vie krajnji cilj, aktivnosti se vie vrednuju od memorisanja injenica.


8

2. Potreba za neposrednou(brzinom). Bitno je informaciju dobiti odmah i iz nekoliko

razliitih izvora, pri emu preciznost tih informacija nije toliko vana, koliko brzina u

njihovom prikupljanju. Jo uvek nije jasno da li je to zbog toga to ova generacija ne

brine o tome koliko su informacije validne ili zbog toga to se pretpostavlja da su sve

informacije koje se mogu pronai precizne . U tom smislu bi nastavnici trebalo da

poduavaju kako pronai izvore informacija na koje se moe osloniti.

3. Metoda pokuaja i pogreaka kod reavanja problema. Kako akumulacija injenica nije

presudna za ovu generaciju, vie ih interesuje problemsko uenje. To je kao kod igara na

kompjuteru, gde se reavaju problemske situacije i donose odluke kroz konstantne

pokuaje i poraze sve do konane pobede. Svaki poraz se smatra jednim iskustvenim

uenjem.

4. Nizak prag tolerancije za dosadu kao i kratkotrajna panja. To je posledica savremenog

naina ivota, u kojem se nema vremena da se posveti panja nekoj aktivnosti

dugotrajno i temeljno.

5. Izvodjenje vie zadataka odjednom. Ova generacija je najproduktivnija kada je

istovremeno angaovana u vie aktivnosti, kao na primer sluanje muzike, unos teksta i

pisanje. To je njihov nain ivota.

6. Vizuelni, nelinearni nain uenja. Veliki procenat mladih preferira vizuelni nain uenja.

To je generacija koja odrasta uz mnogo vizuelnih simulacija ,to je u suprotnosti sa

tradicionalnim stilovima poduavanja nastavnika samo tabla i kreda.

7. Saradniko uenje. Vrednuje se interakcija, umreavanje, aktivno uee i povezivanje-

bilo kad i bilo gde. Ne mora se poduavati samo u izolovanom prostoru kakav je kola. To

je stil uenja u kojem se ui kroz diskusiju i saradnju, a ne pukim sluanjem drugih.

Da bi se ovome izalo u susret , potrebno je ugraditi navedene specifinosti u organizaciju, u

planiranje i u realizaciju nastave- ukoliko je elimo nazvati savremenom.

Jo dok su u osnovnoj koli, uenici treba da usvoje osnovna znanja o korienju

raunara i da stiu vetinu savremenog oblika racionalnog uenja i to samostalnijeg

istraivanja. Znanje koje se svodi na golo reprodukovanje podataka dobijenih od nastavnika i

autora udbenika u gotovom obliku zamenjuje se osposobljavanjem za to samostalnije

pronalaenje podataka, njihovo sutinsko razumevanje i aktivnu, stvaralaku primenu. To valja

ostvarivati kroz sve predmete, a ne samo kroz usko specijalizovane informatike predmete.

Samo takva nastava moe sluiti unapreivanju drutvene zajednice.


9

Primena raunara utie na sledee segmente nastave [2]:

- Na okruenje u kojem se ui. - U kolama postoje digitalne uionice- raunarski kabinet

sa umreenim raunarima koji imaju pristup Internetu, ime se svakom ueniku omoguava

korienje raunara i kad ga on kod kue nema. Uz kolske biblioteke sada imamo

medijateke, a u nekim uionicama se osim tradicionalne kolske opreme nalazi video

projektor, raunar ,pa i interaktivna tabla.

- Na nastavnike. - Nastavnici podiu kvalitet svojih izlaganja i koriste nove materijale za

pripremu asa, ime im predavanja postaju zanimljivija. Takoe se struno usavravaju kroz

razne odgovarajue obuke i seminare.

- Na nastavne planove i razvojne programe obuke. - Ve od prvog razreda osnovne kole,

pa sve do etvrtog, uenicima se nudi predmet Od igrake do raunara, i to kao izborni. U

viim razredima osnovne kole uenici imaju mogunost izbora predmeta Informatika i

raunarstvo. Gradivo iz oblasti informatike ui se i kroz ostale predmete, jer nastavnici

uvruju upotrebu raunara u svoje dnevne pripreme. Od strane nadlenih organa

obezbeuju se programi strunog usavravanja nastavnika iz oblasti korienja IKT u

nastavi.

- Na uenike. - Podstie se aktivno uee uenika u nastavi, to poveava nivo njihove

motivisanosti za rad i uenje. Uz to se neguju saradniki odnosi, insistira se na samostalnom

uenju, zahteva se i sticanje znanja van uionica. Neguje se kreativnost ,istraivaki duh i

kritiko miljenje.

Sledea ema prikazuje poloaj informaciono komunikacionih tehnologija u nastavi ,

odnos sa ostalim faktorima procesa obrazovanja i meusobne uticaje


Sledea ema prikazuje poloaj informaciono komunikacionih tehnologija u nastavi ,

odnos sa ostalim faktorima procesa obrazovanja i meusobne uticaje.

Slika 1.


10

Sledea ema prikazuje poloaj informaciono komunikacionih tehnologija u nastavi , njihov

11

2. NASTAVA MATEMATIKE I SAVREMENA TEHNOLOGIJA

2.1. Matematika kao nauka

Tokom vekova ljudi su razmiljali o matematici i definisali je na razliite naine. Tako

moemo nai definiciju da je matematika nauka o koliinama, strukturi, prostoru i promenama

(koje prouavaju njene grane- aritmetika, algebra, geometrija i analiza). Matematika se opisuje i

kao nauka koja prouava strukture koje sama stvara ili koje potiu iz drugih nauka ( najee

fizike, ali i iz drugih prirodnih i drutvenih nauka) i opisuje osobine tih struktura. Re matematika

je grkog porekla () i znai uenje, prouavanje , znanje. Matematika se neprekidno

razvija, a ipak bi matematika od pre 2000 ili, recimo, 4000 godina izgledala poznato ueniku

dvadeset prvog veka.

Za neke ljude i to ne samo matematiare , sutina matematike je u njenoj lepoti i

intelektualnom izazovu. Za druge, ukljuujui mnoge naunike i inenjere, glavna vrednost

matematike je u mogunosti njene uspene primene u radu kojim se bave.

Matematika se razvila iz potrebe za raunanjem i merenjem i prouavanjem oblika i

objekata iz realnog sveta. Kroz upotrebu apstrakcije i principa logikog razmiljanja, matematika

je evoluirala u sistematsko prouavanje veliina, oblika i prostora i njihovih meusobnih

odnosa. Najranija primena matematike bila je u trgovini, merenju zemljita, slikanju i tkanju po

emama . Sloenija matematika se pojavila oko 3000. godine pre nove ere, kada su Vavilonci i

Egipani poeli da koriste aritmetiku, algebru i geometriju za oporezivanje i druge finansijske

proraune, za izgradnju i za astronomiju.

Matematiku odlikuje trajnost, univerzalnost i nezavisnost od vremena i okruenja u

kojem se izuava. Centralna ideja istraivanja u matematici je, u svakoj oblasti prouavanja,

identifikovanje male grupe osnovnih ideja i pravila iz kojih se sve ostale zanimljive ideje i pravila

iz te oblasti mogu logiki izvesti. Matematiari su posebno zadovoljni kada se za prethodno

nepovezan deo matematike utvrdi da se moe izvesti iz neke druge teorije matematike. Za

mnoge matematiare lepota matematike ne lei u pronalaenju sloenosti, ve naprotiv, u

pronalaenju jednostavnih prikaza i reenja. Kako je matematika napredovala, sve vie su


12

pronalaene veze izmeu njenih delova koji su se posebno razvijali na primer izmeu

simbolikog predstavljanja algebre i prostorne predstave geometrije. Ove meusobno

isprepletane veze izmeu delova jaaju veru u ispravnost i jedinstvo cele strukture.

Matematika, u svom najistijem obliku, jeste sistem koji je nezavisan i celovit sam po

sebi, bez obzira na to da li je koristan ili istinit u onom smislu u kojem ovek definie istinu. To

je stoga to se matematika istina ne zasniva na iskustvu ve na doslednosti unutar sistema.

Ipak, u isto vreme, matematika ima mnogo vanih praktinih primena u svakom aspektu ivota ,

ukljuujui informacione tehnologije, inenjering, ekonomiju, trgovinu, medicinu. U prolosti su

praktine primene motivisale razvoj matematikih teorija, koje su potom postale predmet

studije iste matematike, pri emu se uglavnom razvijala matematika sama po sebi. Teorijska

matematika i primenjena matematika neraskidivo su isprepletane. Na primer, matematiari su

znali za binarni sistem, koristei samo cifre 0 i 1, godinama pre nego to je ovo znanje postalo

praktian rad na kompjuteru. Igre na sreu su doprinele razvoju zakona verovatnoe . Potreba

za prikupljanjem podataka, njihovom analizom i tumaenjem doprinela je razvoju statistike.

Dakle, matematika se razvija zato to je potrebna kao jezik za opisivanje stvarnog sveta , a jezik

matematike dovodi do praktinog razvoja u stvarnom svetu.

Matematika ima svoja pravila igre. Jedno od pravila matematike jeste da poseban

problem- pitanje ima svaki put isti odgovor. Kod dva odgovora na isti problem moe se

razlikovati oblik, ali vrednost oba odgovora mora biti identina ukoliko su oba odgovora tana.

Drugo pravilo je doslednost. Ako se uvodi novo pravilo u matematici, ono ne sme biti u

suprotnosti (ili dovoditi do razliitih rezultata) sa bilo kojim ve ustanovljenim pravilom.

Takoe, matematika ima svoja unutranja pravila za proveru da li je neko tvrenje validno, to

znai da ta validnost ne zavisi od miljenja ili okolnosti.

Matematika se slui svojim posebnim matematikim jezikom, koji ine brojevi i simboli

koji ne podleu jezikim barijerama. On se ui kao i svaki drugi jezik. Ipak, razumevanje

matematike zahteva sloen, skoncentrisan rad i strogo logiko razmiljanje, bez mnogo mesta za

greke. Tajnovitost je neizbean deo matematike , matematika je i dalje puna pitanja bez

odgovora, koji daleko nadmauju poznate teoreme i rezultate.


13

2.2. Tradicionalna nastava matematike i modernizacija nastave

matematike uvoenjem raunara

Nauno zasnovana metodika nastave matematike neprekidno traga za sve racionalnijim i

efikasnijim postupcima izvoenja te znaajne nastave, kako bi mladi ovladavali sve kvalitetnijim

matematikim znanjima i umenjima.

Nastava matematike ima svoje ciljeve. Cilj oznaava oekivano, zamiljeno budue stanje

koje elimo postii odreenim aktivnostima i sadrajima. Ciljevima se formuliu oekivane

promene, koje e nastati kod uenika nakon to savlada sadraje u odreenom ciklusu

kolovanja. Cilj nastave matematike u osnovnoj koli jeste da se osigura da svi uenici steknu

jeziku i matematiku pismenost i da napreduju ka realizaciji odgovarajuih Standarda

obrazovnih postignua; da se osposobe da reavaju probleme u nepoznatim situacijama; da

izraze i obrazloe svoje miljenje i diskutuju sa drugima; da stiu motivisanost za uenje i

zainteresovanost za predmetne sadraje; da usvoje elementarna matematika znanja koja su

potrebna za shvatanje pojava i zakonitosti u prirodi i drutvu; da se osposobljavaju za primenu

usvojenih matematikih znanja u reavanju raznovrsnih zadataka iz ivotne prakse; da stiu

osnovu za uspeno nastavljanje matematikog obrazovanja i za samoobrazovanje. Sem toga,

nuno je da ta nastava doprinosi razvijanju uenikih mentalnih sposobnosti , formiranju

njihovog naunog pogleda na svet i svestranom razvitku njihove linosti [14].

Sadraj nastave matematike je sloen , mnogim uenicima esto vrlo teak, budui da

razumevanje tih sadraja zahteva sloene misaone procese, sistematsku usresreenost i

temeljnu zainteresovanost. Matematiki sadraji su apstraktni, pa je potrebna odgovarajua

metodika kvalifikovanost da bi se uenicima omoguilo da ih putem povezivanja sa realnom

stvarnou temeljno shvate i usvoje. Takoe, matematiki sadraji su meusobno najtenje

povezani, pa nerazumevanje jednog dela gradiva dovodi do tekoa u savladavanju svih sadraja

koji se na njega nadovezuju. To zahteva posebnu brigu nastavnika da uenik ne bude lien

nijedne karike lanca celovitih matematikih znanja. Matematiki nain razmiljanja treba

usmereno razvijati jo od predkolskog uzrasta, pa tokom itavog kolovanja, jer postaje sve

neophodniji u svetu koji se oblikuje uticajem novih tehnologija .

U tradicionaloj nastavi uenik je uglavnom samo objekat nastavnog procesa. Njemu

nastavnik daje gotova znanja, uz zahtev da ih to temeljnije zapamti i , kad zatreba, ume to

preciznije da ih reprodukuje. Nastava matematike, u izvoenju pedagoki kvalifikovanih i

savesnih nastavnika, nikad nije bila bez ikakvog nastavnikog insistiranja na tome da uenici


14

razumski usvoje matematika znanja, ba kao ni bez ikakvog uenikog samostalnog rada u

kome se zahtevalo primenjivanje steenih znanja u odogovarajuoj praksi, u reavanju

odgovarajuih matematikih zadataka. Zato se za nju ne moe tvrditi da je ikada stavljala

uenika iskljuivo u poloaj objekta nastavnog procesa. Ali i tu nastavu je i potrebno i mogue

uiniti savremenijom i efikasnijom.

Ono to karakterie inovativnu, modernu, razvijajuu nastavu jesu uslovi u kojima uenik

postaje subjekat nastavnog procesa, a njena sutinska usmerenost je ka razvoju mentalnih,

posebno misaonih sposobnosti i celovite linosti uenika . Uenikov razvoj postaje glavni cilj ne

samo nastavnika ve i samog uenika. Kada uenik oseti potrebu i sposobnost za usavravanje i

motiv za samorazvoj - nastavni proces za njega dobija jasno odreenu svrhu, a ta svrha je njegov

vlastiti sveobuhvatni razvitak. U ovakvoj nastavi kod uenika je prisutna snana motivacija, pa

nastavnik u njoj ima ulogu organizatora uspene saradnje, konsultanta i rukovodioca

saznavalakog i razvojnog procesa .

Da bi se dostigao ideal savremene nastave matematike, neprekidno treba tragati za

metodama koje e rezultirati veim odgovarajuim interesovanjem uenika, aktivnijim i

svestranijim ueem u nastavnom procesu i uistinu solidnim i trajnim usvajanjem znanja,

umenja i navika. Kvalitet nastave matematike postaje sve vaniji inilac osavremenjenog

obrazovnog procesa. Ono to uslovljava svaki nastavni proces, ukljuujui i nastavu matematike,

jeste organizacija rada uenika na asu. Definiui cilj nastave matematike i zadatke vezane za

njen sadraj, uoava se da je nastava matematike naroito podesna za primenu raunara u

nastavnom procesu. Za nastavu, recimo, filozofije ili fizikog vaspitanja to se ne moe rei.

Nastavnici tih predmeta mogu u primeni raunara pronai samo izvesnu pomo u radu, pripremi

za as, pisanju planova , usavravanju. Ali ne i onoliko mogunosti za konkretnu primenu u

nastavi kao kod matematike.

Upotrebom raunara u nastavi matematike procesi pouavanja i uenja podiu se na vii

nivo. Kroz odgovarajue i zanimljive sadraje i nastavnici matematike i uenici mogu postii ak i

maksimalne rezultate uenja. U dananje vreme, kada smo okrueni digitalnom televizijom,

kompjuterima, Internetom, digitalnim fotoaparatima, mobilnim telefonima i mnogim drugim

produktima informacionih tehnologija, jasno je da proces izvoenja nastave matematike mora

doivljavati promene i prilagoavati se zahtevima savremenog drutva. Raunari uenicima nisu

strani, oni su prisutni u njihovom svakodnevnom ivotu, pa na tom planu nije teko usaglasiti

njihov ivot i rad u koli i van kole. Time se znaajno umanjuje zaostajanje kole iza drutva u

celini u pogledu korienja moderne tehnologije.


15

Raunar u nastavi matematike nikako ne bi trebalo upotrebljavati samo kao prostu

zamenu za tablu i kredu (u smislu da se umesto na tabli sadraji nastavne jedinice prikau

pomou raunara). Ali sa upotrebom raunara u nastavi svakako ne valja ni preterivati. Raunar

ne treba da se koristi po svaku cenu, na svakom asu, ve samo u odreenim prilikama.

Upotreba raunara ne sme da postane svrha samoj sebi. Na nastavniku matematike je da odredi

u kojim situacijama e raunar rad na asu uiniti boljim i efikasnijim.

2.3. Uloga nastavnika u osavremenjenoj nastavi matematike

Neosporno je da linost nastavnika ima znaajnu ulogu u kompleksnom procesu nastave

i u jo kompleksnijem procesu razvoja linosti. Veina kolovanih ljudi rado se sea nekih svojih

nastavnika koji su dostigli ili se bar pribliili idealu dobrog nastavnika. Ti nastavnici su pre svega

odnosom prema svojoj profesiji umeli da im omile odreeni nastavni predmet i razviju kod njih

pozitivan odnos prema tom predmetu. Poto je nastavni predmet matematika po sutini teak

te ga se veina uenika pribojava uloga nastavnika je najverovatnije presudna za otklanjanje

odbojnosti, razvijanje interesovanja, pa ak i stvaranje ljubavi prema ovom predmetu.

Ni najbolje osmiljen nastavni plan i program, veoma kvalitetni udbenici i odline zbirke

iz predmeta matematika nisu jemstvo uspenog usvajanja sadraja matematike. Najpresudnije

je to kako je i koliko je nastavnik osposobljen da uenike zainteresuje za matematiku i uini je

dostupnom svakom pojedincu. Pokazalo se da je nastava uspena samo ako se ostvaruje

raznovrsnim metodama, u raznovrsnim oblicima i pomou raznovrsnih nastavnih sredstava, jer

se na taj nain ostvaruju najbolja postignua kod uenika. Zato raunar otvara velike didaktike

mogunosti. Kao nastavno sredstvo, daje nesluene perspektive matematikom obrazovanju

uenika. Pri tom nastavnik ne mora obavezno biti informatiki ekspert; dovoljna je i solidna

kompjuterska pismenost.

Mnogi nastavnici se jo uvek bore sa zadatkom da efikasno koriste tehnologiju za

nastavu i uenje matematike. Jedan od razloga za to jeste i to to korienje tog sredstva

zahteva dosta vremena za pripremu odgovarajuh materijala za as. Meutim , taj uloeni trud i

napor kasnije se viestruko isplati, jer je vei deo materijala koji nastavnici pripremaju za as

takav da se i nadalje moe upotrebljavati u nastavi i moe uveliko olakati kasniju pripremu za


16

asove. Nije irelevantno ni to to mnogi nastavnici nisu tokon svog kolovanja osposobljavani za

korienje raunara u nastavi, pa je to za njih sasvim novo iskustvo. Problem je i to to se kod

nas izdaje veoma mali broj strunih matematikih asopisa (bilo u tampanom ili u digitalnom

obliku) posveen ovoj tematici i to se nastavnicima matematike retko nude smernice za

upotrebu raunara u nastavi. Znaajan izuzetak predstavlja elektronski asopis za nastavnike

Partner u uenju [16] , u kojem se nastavnici ohrabruju i podstiu da koriste raunarske

aplikacije u nastavi. No , za praenje tog asopisa neophodno je da nastavnici poseduju bar

osnovne vetine korienja raunara.

U cilju podrke nastavnicima u izazovu da uspeno integriu raunare u nastavi i uenju

matematike, nastavnicima se nude mogunosti profesionalnog usavravanja putem

akreditovanih strunih seminara, na kojima se obrauje upravo ta tematika. Na ovaj nain oni

saznaju o novim pristupima primene raunara u nastavi i postaju spremniji za njihovu

integraciju u svoju nastavnu praksu. Pored toga, nastavnici mogu da naue kako da selektivno

koriste softver u svojim uionicama i kako da poboljaju uspeh uenika obezbeivanjem nove i

efikasnije mogunosti za uenje. Meutim, samo obezbeivanje novih tehnologija za

nastavnike ne garantuje njihovu uspenu upotrebu u nastavi i uenju matematike. Potrebno je

obezbediti i odgovarajui profesionalni razvoj u cilju podrke nastavnicima, ne samo za

korienje novih softverskih alata, ve i za njihovo uvoenje u metode o tome kako da efikasno

koriste raunar u svojoj nastavnoj praksi. Osim toga, nastavnici moraju biti spremni za sve

sloenosti ovakvog okruenja koje definitivno stvara vie izazova i za nastavnike i za uenike od

tradicionalne nastave matematike.

2.4. Uticaj raunara na poloaj uenika u osavremenjenoj nastavi

Krinj runr d strn unik uti n razvoj niza njihovih psihmtrnih i

kgnitivnih spsbnsti: spsbnsti rvnj prblm, pstrktng milnj, lgikg

rasuivanja i intuitivng sznvanja i iskustv; lkv snlnj u svtu simbl ; uti n

rzv krdinci pkrt, vtin itnj i pisnj, krtivnst, kmunikciu i mtivciu.

Vlik zintrsvnst unik z rd n runru m s bsniti unutrnjm mtivcim,

ku kd dc pdsti krinj nv thnlgi.


17

Rd n runru z unik prdstvl psbn blik unj. Unici u nstvi

mtmtik t d rzumu i vldu nim t z njih im psbn smis i znnj.

Rvui mtmtik zdtk primnm runr unici utvruu stn i usvu nv

znnj i pstu svsni nvih iskustv. Uz primnu runr unik im mgunst d

nprdu p spstvn uzlzn linii, spstvnim tmpm, zdvlvui pri tm sv

ptrb i intrs[18].

Rd n runru unik ktivni ukluu u prcs primnj infrmci, im s

stvr rln snv z trni i fiksni krinj usvnih mtmtikih pmv.

vm vano pt s zn d tmln funkci runr u nstvi mtmtik uprv u tm

d se angauje t vi prcptivnih spsbnsti unik (vizulnih, kustikih, udivizulnih i

sl.) kako bi s sigurl kvlittni usvnj mtmtikih prdstv i pmv. Prcs

sticnj mtmtikih znnj primnm runr, sim prcpci i prdstv stnih

psmtrnjm, ukluu i vm intnzivn intlktuln ktivnsti (pstrktn milnj),

mu trb vditi run uklik lim d primn runr u nstvi mtmtik bud

uspn. Uptrb runr e biti u funkcii rzv mtmtikg milnj i uspng

usvnj mtmtikih pmv samo k sigur i pdstkn dgvru misn

ktivnsti unik. Rdm n runru unici usvu drn prcptivn pdtk, a njih je

potrebno transformisati u odgovarajue pojmovne sadraje to se moe obavljati iskljuivo

misaonim putem. Prilikm plnirnj krinj runr d strn unik u nstvnm

prcsu bitn uviti individuln mtmtik , ba kao i opte intelektualne spsbnsti

unik.

18

3.PRIKAZ MOGUIH PRIMENA RAUNARA U NASTAVI MATEMATIKE

Imajui u vidu karakteristike informacionog doba u kojem ivimo (a koje je opisano u

poglavlju 1.1.) , a uz to i osobenosti dananjih generacija koje sede u kolskim kupama (na ta je

ukazano u poglavlju 1.3.), shvatljivo je zato je postalo neophodno osavremenjavanje nastavnog

procesa primenom savremenih nastavnih sredstava.

3.1. Raunar u slubi pisanja potrebnih materijala za nastavu

Meu poslove nastavnika matematike spada i pripremanje materijala za rad na asu

nastavnih listia na kojima se nalaze zadaci i pripremanje zadataka za pismenu proveru znanja

uenika. Naalost, znatan deo nastavnika matematike testove jo uvek priprema piui ih

olovkom. Rukopis nastavnika esto nije dovoljno itljiv, pa su brojevi sadrani u zadacima

ponekad nejasno napisani, to dovodi do zabune pri reavanju zadataka.

Nastavnikove pripreme za asove podlone su stalnim promenama. Budui da savesni

nastavnici matematike kontinuirano analiziraju svoje asove, neprekidno postavljajui sebi

pitanje ta bi sve trebalo promeniti u pripremi da bi as bio to kvalitetniji - bilo bi mnogo

praktinije imati pripreme u elktronskom obliku. Jednom napisana priprema za as na raunaru

moe se dopunjavati nekim novim sadrajima, menjati i kao takva sauvati u elektronskom

obliku i po potrebi odtampati. Time bi se izbeglo ponovno pisanje onih sadraja koji se

zadravaju u dnevnim pripremama.

3.1.1. Primer jednog programa koji se moe koristiti u praksi

Microsoft Word je jedan od najee korienih editora za obradu teksta. U tom

programu se mogu kucati i matematiki sadraji, kao to su stepeni, razlomci, integrali,

kvadratni koren , i dr. Do pojave Microsoft Word 2003 ubacivanje matematikih formula u

dokumente bio je mukotrpan posao. Sada je taj proces znatno olakan za korisnike . U verziji


19

Microsoft Word 2003 ve je ugraen dodatak za pisanje matematikih izraza Microsft Equation

Gallery i nije ga potrebno posebno instalirati. U novijim verzijama Microsoft Word 2007 i

Microsoft Word 2010 , uz pomenuti matematiki alat koji je ugraen u sistem, posebno se moe

instalirati softverski dodatak Microsoft Math Add-In1. Tu se na raspolaganju nalazi velika

kolekcija matematikih simbola i struktura koje mogu biti deo matematikih izraza (najee

korieni nalaze se i u ve pomenutoj Equation Gallery). Po uspeno zavrenoj instalaciji,

pojavljuje se tab (kartica) Mathematics. Ovde nee biti rei o instalaciji tog dodatka, samo treba

napomenuti da instalacija nije komplikovana iole vetijim korisnicima raunara.

Slika 2.

Ne samo da se matematiki izrazi mogu bez problema ubacivati u tekst nego je

omogueno i izraunavanje matematikih izraza direktno u dokumentima. Microsoft

Mathematics Add-In se moe iskoristiti za izraunavanje standardnih matematikih funkcija kao

to su trigonometrijske funkcije, koren ili logaritam, operacije nad matricama i kompleksnim

brojevima, izraunavanje statistikih funkcija, izraunavanje odreenih integrala, rastavljanje

polinoma na inioce , crtanje 2D grafova i 3D grafova u Dekartovom koordinatnom sistemu i dr.

Slika 3.

Do seta alata simbola i matematikih funkcija koji omoguavaju olakano unoenje

matematikih izraza dolazi se na Mathematics kartici klikom na Equation dugme. Pre nego to

1 Pomenuti program se moe besplatno preuzeti sa Internet adrese http://www.microsoft.com/download


20

se pone sa unosom izraza treba obratiti panju da li su u kartici Mathematics izabrani za unos

realni ili kompleksni brojevi i da li je unos uglova predvien u stepenima, radijanima ili

gradijanima.

Na primer, brojevni izraz 3 + ( ) najlake se pravi pomou galerije izraza, a znaci

za raunske operacije unose se preko tastature, pa se klikom na dugme Compute-->Calculate

dobija rezultat :

direktno u dokumentu .

Slika 4.

Drugi primer korienja ovog dodatka jeste grafiki prikaz obrnute proporcionalnosti

= . Nakon unosa i obeleavanja formule klikne se na Graph i izabere opcija Plot in 2D (ako se ukljui opcija Trace, moe se videti kako se menjaju vrednosti zavisnosti pri promeni

promenljive x):

Slika 5.

Microsoft Mathematics Add

njihovom grafikom prikazu. P

Kada oznaimo te dve jednaine i iz kontekstnog menija izaberemo opciju

x,y , dobijamo reenje sistema jednaina:

izaberemo opcije Graph-->Plot in 2D

Slika 6.

Pomou dodatka Microsoft Mathematics Add

slike. Na primer paraboloid ija je jednaina

Graph--> Plot in 3D:


athematics Add-In ima znaajnu primenu u reavanju sistema jednaina i

Pomou alatke Equation unesemo dve jednostavne jednaine:

2x 3y = 4 x + 2y = 0

Kada oznaimo te dve jednaine i iz kontekstnog menija izaberemo opciju

amo reenje sistema jednaina: = , = a ako iz kontekstnog menija >Plot in 2D, dobijamo grafik obe funkcije.

Slika 7

Microsoft Mathematics Add-In mogu se prikazati i trodimenzionalne

paraboloid ija je jednaina = + grafiki se prikazuje pomou opcije

Slika 8.


21

primenu u reavanju sistema jednaina i

unesemo dve jednostavne jednaine:

Kada oznaimo te dve jednaine i iz kontekstnog menija izaberemo opciju Compute-->Solve for

a ako iz kontekstnog menija

Slika 7.

mogu se prikazati i trodimenzionalne

prikazuje pomou opcije


22

Ovde su kao primeri bile navedene samo neke od mogunosti koje nudi programski

dodatak Microsoft Mathematics Add-In. One mogu predstavljati doprinos pripremanju

kvalitetnih materijala za nastavu matematike - kako testova, kontrolnih i pismenih zadataka ,

nastavnih listia , tako i nastavnikove pripreme za as ili bilo kakvih drugih digitalnih materijala

koji se koriste u matematici.

3.2. Korienje Internet sadraja u nastavi matematike

Na asovima matematike od koristi moe biti i pretraivanje sadraja po Internetu, i to

onih sadraja koji su u vezi sa gradivom koje se trenutno obrauje ili koje je na bilo koji nain

povezano sa matematikom. Sada ve moemo na Internetu pronai tekstove, slike, video zapise

ili animacije skoro o svim matematikim sadrajima koji su predmet izuavanja u koli. Takvi

asovi, koji mogu imati neobaveznu formu, mogu predstavljati predah od uobiajene,

konvencionalne strukture standardnih asova matematike.

U cilju pregledanja i pretraivanja Internet sadraja u nastavi, korisno bi bilo da se

nastavnik prethodno pripremi za tu vrstu aktivnosti, tj. da pripremi adrese Internet stranica koje

e se pregledati na asu, ali je takoe korisno i da nastavnik ostavi prostora uenicima za

samostalno istraivanje. To mogu biti stranice iji je sadraj strogo vezan za gradivo, ali i

Internet stranice iji je sadraj vie zabavnog karaktera - kao na primer one na kojima se nalaze

matematike i logike igre, matematike ale, i sl. (slika 9 i slika 10). Nije samo strogo

matematiki sadraj pogodan za zajedniku analizu i diskusiju sa uenicima. I kompjuterske

matematiko-logike igre, pa ak i ale mogu se analizirati u smislu odgovora gde se tu krije

matematika .

Slika 9. Slika 10.


23

Sledee stranice su primeri stranica kvalitetnog matematikog sadraja:

http://www.mislisa.rs/ ,

http://www.odrazi-se.org/,

http://www.matematika.ba/,

http://www.ixl.com/ , http://www.bbc.co.uk/skillswise/ , http://www.primaryresources.co.uk/maths,

www.dms.org.rs/kengur .

Osim korienja sadraja Interneta na asu, uenicima se moe zadati istraivaki domai

zadatak koji ukljuuje pronalaenje informacija na Internetu. Domai rad moe obuhvatiti

pronalaenje odgovarajuih matematikih lanaka, slika geometrijskih objekata, istorijskih

podataka vezanih za matematiku , podataka o ivotu i radu velikih matematiara, i sl. Materijali

do kojih se dolo prezentuju se na asu tako to enici pripremaju izlaganje zadate teme po

grupama ili samostalno.

Nastavnici vetiji u korienju kompjutera mogu sami izraditi Internet stranicu [20] ,

recimo pomou programa Google Sites . Da bi se pristupilo izradi stranice u ovom programu,

dovoljno je da nastavnik ima otvoren nalog na Google poti. U prilog tome da program Google

Sites nije previe zahtevan i da se osnovne vetine korienja programa mogu savladati u

relativno kratkom roku govori podatak da je za obuku izrade akreditovanim seminarom

predvidjeno 24 asa.

Slika 11.


24

Na sopstvenoj stranici nastavnik moe postaviti sve sadraje koje smatra vanim i koji e

biti od koristi uenicima - od istorijskih injenica do zadataka za vebanje i samostalnu izradu.

Nastavnik sadraj moe urediti po obimu i sloenosti upravo tako da tu stranicu mogu sa

lakoom da koriste i uenici koji pohaaju dopunsku nastavu, kao i uenici koji se pripremaju za

takmienje. Takvi sadraji e pomoi ne samo u savladavanju gradiva nego i u vebanju

upotrebe Interneta u uenju matematike .

Korienje sadraja Interneta u obrazovne svrhe ima vie prednosti. Naime, ovim se utie

se na kvalitetniju organizaciju slobodnog vremena uenika. Poznato je da uenici provode

previe vremena na Internetu, i to bez nadzora. To je negativna posledica naglog razvoja

informacionih tehnologija. Ni roditelji ni nastavnici nisu u mogunosti da kontroliu koliinu

vremena provedenog u igranju on-line igara i u gledanju neprimerenih sadraja. Nastavnici

mogu imati vanu ulogu u reavanju tih problema. Upoznavanjem uenika sa obrazovnim on-

line igrama, upuivanjem da na Internetu pronau sadraje kao deo domaeg zadatka,

podravanjem uenika u pisanju i objavljivanju Internet tekstova, nastavnici pomau u

drugaijoj, boljoj i kvalitetnijoj organizaciji slobodnog vremena. Osim toga, time se podstie

obrazovanje uenika i kad ne pohaaju nastavne asove. Zatim, uenik koji pristupa Internetu

u potrazi za informacijama angaovan je ne samo u donoenju odluka o tome kojoj Internet

stranici da pristupi, koje informacije da prikuplja , kako da ih prikuplja,nego i u validaciji

informacija. Potreba da se ocenjuje validnost informacija nije nita novo, ali sve donedavno

moglo se oekivati samo to da veina uenika koristi za nastavu udbenike i zbirke i druge

akreditovane tekstove. Prilikom korienja informacija sa Interneta kritino je to to na njemu

mogu biti objavljene informacije koje nisu bile podvrgnute standardnoj ureivakoj politici, tj.

nikakvoj injeninoj proveri i potvdi . Stoga je vano uenike obuiti ne samo da imaju

sposobnosti da umeju odabirati pouzdane informacije nego i da se tite od informacija koje po

svom kvalitetu, etikom i vrednosnom sadraju ne odgovaraju pedagokim standardima.

3.2.1. Primer jedne Internet stranice koja se moe primeniti u nastavi matematike

Wolfram Alpha2 je besplatan online servis koji generie odgovore na upite korisnika koristei svoju internu bazu znanja. Po tome se razlikuje od Internet pretraivaa koji na korisnikov upit kao rezultat pretrage nude spisak dokumenata ili web stranica koji bi mogli da sadre odgovore. Britanski fiziar, matematiar, preduzetnik i publicista Stephen Wolfram je zajedno sa svojim timom nakon estogodinjeg rada pruio globalnom Internetskom

2 http://www.wolframalpha.com/

auditorijumu svoj onlajn (onlineScience ga je proglasio najveom inovacijom u oblasti raunara 2009. godine. smatralo da e novi servis imati veu vanostnije dogodilo.

Servis obezbeuje i prua sveobuhvatne odgovore na pitanja iz skorodrutvenijh i prirodnih naukaobuhvata stotine grupa podataka , ukljuujui statistikih podataka, konverziju valuta, i mnoge druge. nastavljaju da proiruju bazu podatakanee biti zavrena, a svoj e puni potencijal dosegnuti tek daljim popunjavanjem baze.

U servisu Wolfram Alphamatematikih upita korisnici moraju voditi rauna o sintaksi instrukcije na enleskom jezikurazliku od drugih izvora za pretraguengleskim jezikom jer Wolfram Alphase prikazuju odgovori i odgovarajue vizuelizacije iz baze jezgra znanja i stru(slika 12). Wolfram Alpha se pre svega bavi matematikom i statistikom i prua sve brojane podatke o svim pitanjima iz matematike koja se postavljaju.


online) servis Wolfram Alpha maja 2009. godine proglasio najveom inovacijom u oblasti raunara 2009. godine.

smatralo da e novi servis imati veu vanost od pretraivaa Google, ali se to

Servis obezbeuje i prua sveobuhvatne odgovore na pitanja iz skoroprirodnih nauka i, izmeu ostalog , iz matematike. Baza podataka trenutno

obuhvata stotine grupa podataka , ukljuujui analize nekog trita, komparativn, konverziju valuta, i mnoge druge. Stephen Wolfram

nastavljaju da proiruju bazu podataka, kako bi zadovoljili sve korisnike. nee biti zavrena, a svoj e puni potencijal dosegnuti tek daljim popunjavanjem baze.

Wolfram Alpha korisnici unose upite preko tekstualnog polja.matematikih upita korisnici moraju voditi rauna o sintaksi koja se koristi

na enleskom jeziku ( factor- rastavi na inioce, solve- rei, plot- od drugih izvora za pretragu, korisnici mogu da postavljaju pitanja

Wolfram Alpha razume jezik svakodnevne ljudske komunikacijeodgovori i odgovarajue vizuelizacije iz baze jezgra znanja i stru

se pre svega bavi matematikom i statistikom i prua sve brojane podatke o svim pitanjima iz matematike koja se postavljaju.

Slika 12.


25

maja 2009. godine . asopis Popular proglasio najveom inovacijom u oblasti raunara 2009. godine. U poetku se

ali se to , barem zasada,

Servis obezbeuje i prua sveobuhvatne odgovore na pitanja iz skoro svih oblasti Baza podataka trenutno

nekog trita, komparativne analize raznih Stephen Wolfram i njegov tim

kako bi zadovoljili sve korisnike. Wolfram Alpha nikada nee biti zavrena, a svoj e puni potencijal dosegnuti tek daljim popunjavanjem baze.

preko tekstualnog polja. Prilikom unosa koja se koristi, kao i da znaju

skiciraj grafik i sl.) . Za korisnici mogu da postavljaju pitanja i jednostavnim

razume jezik svakodnevne ljudske komunikacije. Na upite odgovori i odgovarajue vizuelizacije iz baze jezgra znanja i struktuiranih podataka

se pre svega bavi matematikom i statistikom i prua sve brojane

Wolfram Alpha prua znatno ire mogunosti u nastavi matematike od prezentovanja

gotovih informacija, to ga i razlikuje

enciklopedije Wikipedije. Uenici mogu da koriste ovaj program i kao alat za razmiljanje. U

servisu Wolfram Alpha mogue

podataka kreiraju izlazne informacije. Na prime

stranica u trouglu [20], nastavnik moe kreirati program koji crta trougao na

duina stranica (slike 13a i 13b

unetih brojeva trougao . Uenici belee unete podatke, organizuju ih

samostalnom zakljuivanju o

tehnologija nastavnik e je najbolje povezati sa matematikim obrazovanjem.

Slika 13.a

3.3. Primena multimedija

U nastavnom procesu mogue

programa. Multimedija je naziv za one medi

upotrebu zvuka, slike, videa, govora i teksta.

doivljaj . Po nainu percepcije

najirem smislu , to je protok

omoguavaju da se na nov nain osmisli i razradi metodologija pogodna za obuavanje uenika i

da se realizuju nove i raznovrsne metode u nastavnom procesu.

Multimedije moe i treba

korisniku moe biti data mogunost da utie na tok prezentacije sadraja.

prezentaciju ini interaktivnom je


prua znatno ire mogunosti u nastavi matematike od prezentovanja

to ga i razlikuje od pretraivaa kakav je Google ili od

. Uenici mogu da koriste ovaj program i kao alat za razmiljanje. U

mogue je praviti jednostavne programe (widget),

podataka kreiraju izlazne informacije. Na primer, kad se obrauje nastavna jedinica

nastavnik moe kreirati program koji crta trougao na

3b). Koristei ovu aktivnost, uenici e primetiti da ne ine sve trojke

unetih brojeva trougao . Uenici belee unete podatke, organizuju ih,

samostalnom zakljuivanju o odnosu stranica u trouglu. Ovakvim pristupom upotrebi

najbolje povezati sa matematikim obrazovanjem.

Slika 1

ultimedija u nastavi matematike

U nastavnom procesu mogue je upotrebiti vie razliitih medija pomou razliitih

Multimedija je naziv za one medije koji su kombinacija vie medija i koji objedinjavaju

upotrebu zvuka, slike, videa, govora i teksta. Dakle, multimedije karakterie multimedijalni

nainu percepcije i po nainu prenosa, to je viestruk, simultan , snaan doivljaj. U

irem smislu , to je protok raznih informacija izmeu izvoaa i publike.

da se na nov nain osmisli i razradi metodologija pogodna za obuavanje uenika i

da se realizuju nove i raznovrsne metode u nastavnom procesu.

i treba da karakterie i interaktivnost. Pri upotrebi multimedija

data mogunost da utie na tok prezentacije sadraja.

tivnom jeste mogunost odabira sadraja i manipulacija sadraje


26

prua znatno ire mogunosti u nastavi matematike od prezentovanja

pretraivaa kakav je Google ili od Internet

. Uenici mogu da koriste ovaj program i kao alat za razmiljanje. U

, koji na osnovu unetih

, kad se obrauje nastavna jedinica Odnos

nastavnik moe kreirati program koji crta trougao na osnovu unetih

). Koristei ovu aktivnost, uenici e primetiti da ne ine sve trojke

a nastavnik ih vodi ka

ica u trouglu. Ovakvim pristupom upotrebi Internet

najbolje povezati sa matematikim obrazovanjem.

Slika 13.b

upotrebiti vie razliitih medija pomou razliitih

je koji su kombinacija vie medija i koji objedinjavaju

karakterie multimedijalni

viestruk, simultan , snaan doivljaj. U

nformacija izmeu izvoaa i publike. Multimediji

da se na nov nain osmisli i razradi metodologija pogodna za obuavanje uenika i

Pri upotrebi multimedija

Ono to multimedijsku

aja i manipulacija sadrajem u

razliitim aspektima. Interaktivnost obuhvata glasovne komande, kontrolu miem, unos teksta,

uestvovanje uivo , ta ako scenario i sl.

Prilikom pripreme za as, nastavnik treba da se odlui koje medije eli da koristi na asu :

tekst, sliku , zvuk, video ili multimedijalnu prezentaciju sa integracijom

je u matematici dovoljno koristiti samo tekst , saet kao podse

koje se ui, koji prati nastavnikovo izlaganje. U tom sluaju, upotreba raunara se ne razlikuje

mnogo od krede i table, u krajnjem sluaju dobar bi bio i grafoskop sa grafofolijama. Ukoliko

nastavnik eli da iskoristi m

primeni. Efekti koji se postiu

prezentacije.

Animacija predstavlja niz neznatno razliitih slika koje se prikazuju jedna za drugom

dovoljnom brzinom da se time stvori utisak kretanja.

programa Gif Animator , koji je jednostavan za korienje i besplatan, ili se mogu preuzeti sa

Interneta. Izraena animacija moe se zatim ugraditi u Power Point prezentacij

Slika 14.a

Slika 14.c


Interaktivnost obuhvata glasovne komande, kontrolu miem, unos teksta,

uestvovanje uivo , ta ako scenario i sl.


tekst, sliku , zvuk, video ili multimedijalnu prezentaciju sa integracijom vie

je u matematici dovoljno koristiti samo tekst , saet kao podsetnik na najvanije delove gradiva



nastavnik eli da iskoristi mogunosti savremene tehnologije, mora biti kreativ

Efekti koji se postiu isplatie nastavnikov uloeni trud i vreme z

predstavlja niz neznatno razliitih slika koje se prikazuju jedna za drugom

ljnom brzinom da se time stvori utisak kretanja. Animacije se mogu praviti pomou

, koji je jednostavan za korienje i besplatan, ili se mogu preuzeti sa

Izraena animacija moe se zatim ugraditi u Power Point prezentacij

Slika 14

c Slika 1


27

Interaktivnost obuhvata glasovne komande, kontrolu miem, unos teksta,


vie medija. Retko kada

tnik na najvanije delove gradiva



ogunosti savremene tehnologije, mora biti kreativniji u njenoj

astavnikov uloeni trud i vreme za pripremu

predstavlja niz neznatno razliitih slika koje se prikazuju jedna za drugom

Animacije se mogu praviti pomou

, koji je jednostavan za korienje i besplatan, ili se mogu preuzeti sa

Izraena animacija moe se zatim ugraditi u Power Point prezentaciju (slike 14a-14d).

Slika 14.b

Slika 14.d

Korienje slika, animacija ili prezentacija

primenu u predstavljanju sadraja nastave matematike. Bez primene vizuelnih predstava

nastavnik matematike ulae znaajne napore da aktivira ueniku matu

predstavlilo ono o emu im se govori. Nast

objasniti izvesne matematike pojmove i odnose koristei samo objanjavanje i skiciranje na

tabli. Recimo, nisu svi uenici vini da zamisle nastanak kupe rotacijom pravouglog trougla oko

svoje katete ili popreni presek ravni i lopte. Ovim vizuelnim doaravanjem matematikih

pojmova najbolje je zadovoljen nastavni princip oiglednosti. Uenici u saznavanju matematikih

istina treba da idu od ivog opaanja ka apstraktnom miljenju a od ovoga ka praksi. Na

nain se pravi veza izmeu opaanja, miljenja i praktine primene.

Za izradu multimedijalnih prezentacija

Point, koji predstavlja deo Microsoft Office

prezentaciju, on mora prethodno da prikupi materijal

animacije u zavisnosti od potreba izlaganja. Materijal nastavnik moe pronai na

moe ga i samostalno izraditi.

slika, video zapisa i sl. potrebno je obratiti panju na autorska prava.

Sama izrada prezentacije u programu

realizacija dodavanja slajdova sa elementima prikupljenog materijala

mogunosti kreativnim nastavnicima ne samo za prikazivanje gradiva matematike koje se

obrauje nego i za pravljenje interaktivnih testova, kvizova , asocijacija (

Slika 15.


Korienje slika, animacija ili prezentacija koje sve to objedinjavaju nalazi znaajnu


nastavnik matematike ulae znaajne napore da aktivira ueniku matu

ono o emu im se govori. Nastavnici matematike znaju koliko je teko uenicima



popreni presek ravni i lopte. Ovim vizuelnim doaravanjem matematikih


istina treba da idu od ivog opaanja ka apstraktnom miljenju a od ovoga ka praksi. Na

nain se pravi veza izmeu opaanja, miljenja i praktine primene.

Za izradu multimedijalnih prezentacija najee se koristi program

Microsoft Office paketa. Da bi nastavnik izradio multimedijalnu

zentaciju, on mora prethodno da prikupi materijal - tekst, zvuk, slike, video priloge ili

animacije u zavisnosti od potreba izlaganja. Materijal nastavnik moe pronai na

moe ga i samostalno izraditi. Naravno, prilikom korienja sadraja prezentacija drugih autora,

slika, video zapisa i sl. potrebno je obratiti panju na autorska prava.

Sama izrada prezentacije u programu Power Point vrlo je jednostavna

realizacija dodavanja slajdova sa elementima prikupljenog materijala . Program nudi znaajne


obrauje nego i za pravljenje interaktivnih testova, kvizova , asocijacija (slike 15 i 16


28

koje sve to objedinjavaju nalazi znaajnu


nastavnik matematike ulae znaajne napore da aktivira ueniku matu da bi se njome

avnici matematike znaju koliko je teko uenicima



popreni presek ravni i lopte. Ovim vizuelnim doaravanjem matematikih


istina treba da idu od ivog opaanja ka apstraktnom miljenju a od ovoga ka praksi. Na taj

koristi program Microsoft Power

Da bi nastavnik izradio multimedijalnu

tekst, zvuk, slike, video priloge ili

animacije u zavisnosti od potreba izlaganja. Materijal nastavnik moe pronai na Internetu, a

ezentacija drugih autora,

jednostavna - to je tehnika

. Program nudi znaajne


slike 15 i 16) i sl.

Slika 16.

U korienju razliitih medija u

tehniki savrene prezentacije ne ispune nastavnikova oekivanja, ve naprotiv, mogu izazvati

suprotan efekat kod uenika.

sadraja u elji da se u prezentaciju integrie to vie razliitih medija. U fokusu prezentacije

mora biti sutina nastavnog sadraja

bude usmerena na bitne sadraje, da se uticajem na to vie u

uee, razumevanje i motivacija za uenjem.

Nastavnici ne moraju sami izraivati prezentacije za potrebe nastave. Na

moe pronai mnotvo prezentacija matematikog sadraja koje se mogu koristiti na asu

prilagoavanja ili ak bez izmena.

unapreivanje obrazovanja i vaspitanja

koje su izradili drugi nastavnici. Na pomenutoj

raznih oblasti sa kojima su nastavnici uestvovali na nagradnom konkursu koje se odrava svake

godine, a koji su proli proveru kvaliteta i kao takvi postavljeni za slobodno korienje u nastavi.

I video materijali nalaz

zapisi pouavanja i uputstava u reavanju konkretnih zadataka

uenici mogu samostalno pregledati

savladavanju gradiva matematike


itih medija u Power Point prezentaciji ne treba preterivati.


suprotan efekat kod uenika. Mora se voditi rauna da se uenicima ne skree panja sa


mora biti sutina nastavnog sadraja matematike koji se prezentuje. Cilj je da panja uenika

bude usmerena na bitne sadraje, da se uticajem na to vie ula kod uenika podstiu aktivno

uee, razumevanje i motivacija za uenjem.

Nastavnici ne moraju sami izraivati prezentacije za potrebe nastave. Na

moe pronai mnotvo prezentacija matematikog sadraja koje se mogu koristiti na asu

bez izmena. Sa stranice [22] koja je otvorena u saradnji

unapreivanje obrazovanja i vaspitanja i Microsoft-a mogu se besplatno preuzimati prezentacije

koje su izradili drugi nastavnici. Na pomenutoj Internet stranici Baza znanja


a koji su proli proveru kvaliteta i kao takvi postavljeni za slobodno korienje u nastavi.

nalaze svoju primenu u nastavi matematike. To su uglavnom

uavanja i uputstava u reavanju konkretnih zadataka iz matematike

uenici mogu samostalno pregledati i pratiti, a koji im pruaju pomo u

matematike.

Slika 17.


29

prezentaciji ne treba preterivati. Nekad i


Mora se voditi rauna da se uenicima ne skree panja sa bitnog


se prezentuje. Cilj je da panja uenika

la kod uenika podstiu aktivno

Nastavnici ne moraju sami izraivati prezentacije za potrebe nastave. Na Internetu se

moe pronai mnotvo prezentacija matematikog sadraja koje se mogu koristiti na asu nakon

koja je otvorena u saradnji Zavoda za

besplatno preuzimati prezentacije

za znanjanalaze se radovi iz


a koji su proli proveru kvaliteta i kao takvi postavljeni za slobodno korienje u nastavi.

To su uglavnom video

iz matematike (slika 17) koje

im pruaju pomo u uspenijem


30

3.3.1. Ilustracija jednog asa matematike odranog primenom multimedijalne prezentacije

1. Metodiki podaci o asu

Prdmt:tmtik

Nstvn tema : Cli brvi [22]

Nastavna jedinica : Uporeivanje celih brojeva

Tip asa : Obrada novog gradiva

Razred: sti rzrd

Uvnj nvina

Nvin s gldu u:

- Uptrbi svrmn thnlgi, u prvm rdu runr, u priprmi i rlizcii

nstvng sdr

- Primni svrmnih mtd i blik rd

- Znnj s usvu z srzmrn kr vrm

- U prilgnm tmpu rd unik prm njihvim psihfizikim mgunstim

tivci

Motivacija za ovakav as je prvlnj iskrk iz trdicinln nstv u cilu

brg i lkg rzumvnj nvdnih nstvnih sdr, krz vizulni divl unik.

Cil d s vizulnim zpnjm, ztim umnim, unici pdstknu n tkrivnj

mtmtikih istin.

Obrazovni standardi :

Uenik ume da: proita i zapie cele brojeve ( MA 1.1.1.) , uporedi po veliini

brojeve istog zapisa , pomaui se slikom kad je to potrebno ( MA 1.2.3.), odredi

suprotan broj i apsolutnu vrednost broja ( MA 2.1.2.)


31

2. Plnirnj i rgnizci s

brzvni cil:

- Usvnj pm pslutn vrdnsti clg br; - Usvajanje pm suprtnog bra; - Usvnj prvil z uprivnj celih brojeva; - Prktin primn znnj clim brvim u rznim zdcim.

Vspitni cil:

- Pdsticnj unik n izvnj drnih id i zkluk n snvu pnj im s rzvi lgik milnj i zkluivnj;

- tivci unik n smstln istrivnj; - Rzvinj prcs smvrdnvnj krz prvru tnsti rnj; - Pdsticnj n smstln krinj rznih izvr znnj ;

Zdci :

- usvnj nvih sdr - prvrvnj klik su i kk usvni nvi sdri - pvzivnj i uvrivnj brnih sdr - rzvinj misnih prci i lgikg milnj - spsblvnj z zkluivnj - rzvinj sttskih s ( urdnst, prgldnst i sistmtinst) - pvzivnj s ivtm - rzvinj intrsvnj z mtmtiku

rgnizci s (tk s)

Uvodni deo asa

Planirani

sadraj rada

Aktivnost

nastavnika

Aktivnost

uenika

Planirano

vreme u

minutima

Metode i

oblik

rada

Nain

praenja

rada

uenika

Oekivani

efekti

Uvod u

uporeivanje

celih brojeva

kroz

razgovor

Razgovorom

inicira

ueniku

aktivnost

Uestvuju u

razgovoru

Pokazuju nivo

informisanosti

o temi

Oko pet

minuta

Dijaloka

Kolektivni

rad

Sluanje

Razgovor

Uvoenje u

temu

razgovorom


32

Glavni deo asa I deo

Planirani

sadraj rada

Aktivnost

nastavnika

Aktivnost

uenika

Planirano

vreme u

minutima

Metode i

oblik

rada

Nain

praenja

rada

uenika

Oekivani

efekti

Usvajanje i

razumevanje

pravila za

uporeivanje

celih brojeva

Usvajanje

pojma

apsolutne

vrednosti

broja

Puta

slajdove

(slika 18 i

19)

Inicira

razgovor,

diskusiju i

odgovore

na pitanja

koja

postavlja

Navodi

uenike na

izvoenje

zakljuaka

Sve vreme

uestvuju u

radu,

gledaju

slajdove,

objanjavaju

vieno,

zakljuuju

Oko

dvadeset

minuta

Demon

strativna

Dijaloka

Kolektivni

rad

Nadgledanje

toka rada

Sluanje

Razgovor

Da uenici

razumeju

nain

uporeivanja

celih brojeva

Da razumeju

rastojanje

broja od nule

Slika 18. Slika 19.


33

Glavni deo asa II deo

Planirani

sadraj

rada

Aktivnost

nastavnika

Aktivnost

uenika

Planirano

vreme u

minutima

Metode i

oblik rada

Nain

praenja

rada

uenika

Oekivani

efekti

Reavanje

zadataka

sa

nastavnog

listia

(slika 20)

Daje

pojanjenja

postavke

zadataka,

daje

uputstva za

rad

Nadgleda

rad

Reavaju

zadatke sa

radnog

listia

Oko

deset

minuta

Tekst

metoda

Individualni

Posmatranje

Da uenici

prepoznaju

i urade vei

broj

zadataka

sa

nastavnog

listia

Slika 20.


34

Zavrni deo asa

Planirani

sadraj rada

Aktivnost

nastavnika

Aktivnost

uenika

Planirano

vreme u

minutima

Metode i

oblik rada

Nain

praenja

rada

uenika

Oekivani

efekti

Pregledanje

listia

pomou

odtampanih

reenja

Ukazuje na

pogreke u

reavanju

zadataka

Daje

dodatna

objanjenja

za reenja

zadataka

Uenici

sami

pregledaju

listie

pomou

dobijenih

reenja

Oko

pet minuta

Tekst

metoda

Dijaloka

Individualni

Razgovor

Samovredno

vanje

uenika

Primenljivost

usvojenih

znanja

Domai zadatak

Unicim s zdu zdci iz zbirke koji prate nastavnu jedinicu. k je unicim

prprun d n intrntu pst strnic na kojima mgu provebavati nun

sdr krz igr (unicim s dtmpu v drs i pdl).

vluci Lini dpdnj

Prd kr s s n tbli ili n vm ppiru ncrt brvn prv k izgld vk:

s mi s ni dp 0 s mi s dp

Unici prilz i stvlu crtu n brvn prvi k pkzu klik im s s dp ili im s

ni dp. t crt vi dsn d nul t im s s vi dp t crt vi lv d nul

t im s s mnj dp ( vim s prikzu intnzitt dpdnj).


35

3.4. Matematiki softveri kao alat za nastavu i uenje

Meu softverima koji mogu da se koriste za uenje matematike razlikujemo one koji

prate nastavni plan i program predmeta matematika i one koji slue kao matematiki alati , tj.

kao pomo pri izraunavanju, crtanju grafika, crtanju geometrijskih objekata i sl. U dananje

vreme se uoava nedovoljna ponuda , tj. veoma mali broj, obrazovnih softvera namenjenih za

nastavu matematike koji prate plan i program tog predmeta. I kod programirane nastave, koja je

prethodila ovim savremenim metodama upotrebe raunara u nastavi, takoe se kao problem

iskazivao nedovoljan broj gotovih materijala koji bi nastavnici mogli koristiti u nastavi.

3.4.1. Primer jednog softvera koji prati nastavni plan i program predmeta matematika

Meu malobrojne softvere koji prate nastavni plan i program spada i edukativni softver

Mati (softverske kue Kvark Media) sa multimedijalnim interaktivnim sadrajem osmiljen

prema zvaninom nastavnom programu za matematiku od treeg do osmog razreda osnovne

kole. Osim to prate nastavni plan i program odgovarajueg razreda, programi unose u uenje i

elemente zabave i igre, ime svakako doprinose poveanju aktivnosti uenika i stvaranju

posebne motivacije kod njih. Programi mogu biti od pomoi nastavnicima i u pripremi i tokom

izvoenja nastave. Svaki program je podeljen u pet modula predvanje, veba, test,

matematike igre i Kefalo.

Slika 21.


36

Gradivo koje se obrauje podeljeno je po nastavnim temama (npr. tema razlomci), a

teme dalje na nastavne podteme i nastavne jedinice (npr. podtema uporeivanje, proirivanje,

sabiranje razlomaka,jednaine itd.). Svaku nastavnu jedinicu objanjava narator pomou

animacija i teksta( slika 21) . Iako je tok lekcije dinamian, svaka se moe zaustaviti i nastaviti,

vratiti na poetak i ponoviti koliko god puta korisnik eli. Deo programa koji sadri zadatke za

vebanje moe se pozvati iz svake lekcije, kako bi se kroz nekoliko primera provebalo gradivo te

lekcije (ovladalo terminologijom, definicijama, principima i nainima reavanja lakih i neto

teih zadataka). Vebanje je propraeno zvunim efektima i komentarima reenja, najpre se

daju sugestije, a potom i tano reenje postavljenog problema. Modul sa testovima omoguava

ueniku da dobije objektivnu ocenu iz svake nastavne oblasti ( slika 22). Baza pitanja i zadataka

dovoljno je obimna, pa je na taj nain uenicima omogueno da testove ponavljaju vei broj

puta bez bojazni da e uenici zadatke nauiti napamet i da tako nee biti zadrana objektivnost

ocene . Ocene dobijene u testovima, i prouenim i provebanim lekcijama, program belei i

pamti, te korisnik ima uvid u dotignut nivo znanja.

Slika 22.

Modul sa matematikim igrama sadri po pet zabavnih i veoma korisnih igara (Hanojska

kula, slagalica...) koje uenici reavaju posredno, kroz igru, u nameri da dou do to boljeg

reenja. Deo programa Kefalo ima za cilj da zabavi korisnika kroz niz zanimljivih logikih

problema na vie nivoa teine. Problemi koji se u programu predstavljaju (logiki, psiholoki,

problemi vizuelnog pamenja, moi procene, zapaanja...) po teini i tipu su rasporeeni na

deset nivoa, a cilj je motivisati uenika da stigne do to vieg nivoa. Kao i kod testova, i ovde je

baza problema vrlo iroka, tako da se kroz test moe proi bez opasnosti od ponavljanja istih

zadataka.


37

3.4.2. Program Geogebra alat za uenje matematike

Jedan od najee korienih programa koji mogu da se koriste za nastavu i uenje

matematike jeste Geogebra3. To je besplatan softver koji u sebi obuhvata geometriju, algebru i

analizu i zaista predstavlja veliku podrku u povezivanju matematikih pojmova. Njen tvorac ,

Markus Hohenwarter , pokrenuo je projekat 2001. godine na Univerzitetu u Salcburgu,

nastavljajui ga sada na Univerzitetu u Lincu, uz pomo programera i prevodilaca u celom svetu.

Nakon objavljivanja na Internetu 2002. godine,neoekivano veliki broj nastavnika je kotaktiralo

Markusa Hohenwartera da podele svoje oduevljenje zbog mogunosti korienja softvera

Geogebra u uionicama. Nakon neizmernih pozitivnih povratnih informacija od nastavnika

usledilo je nekoliko nagrada za edukativni softver, ukljuujui i nagradu European Academic

Software Award 2002. godine .

Geogebra ima tri razliita prikaza matematikih objekata : grafiki prikaz, algebarski

prikaz i tabelarni prikaz (slika 23). Pri tome su svi naini prikaza istog objekta dinamiki povezani

i automatski se prilagoavaju svakoj promeni koja se izvri u bilo kojem prikazu, nezavisno od

naina na koji su objekti nastali. Geometrijske konstrukcije se prave u grafikom prikazu ,

pomou mia i alata za konstrukcije. U polje za unos se direktno unose algebarski izrazi, a

njihova grafika prezentacija e automatski biti prikazana u grafikom prozoru.

Slika 23.

3 http://www.geogebra.org/


38

Moe se rei da je za nastavnike matematike Geogebra veoma jednostavna za

korienje. To je stoga to nastavnici razumeju matematike ideje i logiku koja stoji iza alata koje

nudi Geogebra. Meutim, bilo bi od velike koristi uputiti i uenike na korienje ovog programa

za reavanje matematikih problema kao i za istraivanje matematikih odnosa. Izgradnja

matematikih modela pomou softvera moe se uiti istovremeno sa matematikom. Ovde su

prikazani samo neki primeri za korienje programa Geogebra u nastavi, a mogunosti za

primenu su zaista daleko ire.

Mo vizuelizacije i matematiku pozadinu programa Geogebra nastavnici mogu koristiti

kao sredstvo za razvoj teorijskih znaenja geometrijskih pojmova, i to ve u ranoj fazi uvoenja

geometrijskih pojmova. Geogebra podrava matematiki adekvatan razvoj odgovarajuih

geometrijskih koncepta. Kada se uvodi pojam prave , uenik crta pravu liniju koristei olovku i

lenir. Korienjem ovih alata uenik ne mora da mnogo razmilja o preduslovima za odreenost

prave. Kada uenik koristi program Geogebra za crtanje prave, najpre mora da postavi taku.

Onda se prava pojavljuje, ali se njen pravac pomera kursorom. Pravac se bira izborom druge

take (slika 24). Dve razliite take odreuju tano jednu pravu uenik moe da usvoji teoriju

prilikom crtanja prave u programu Geogebra.

Slika 24. Slika 25.

Slino vai i kad se crta krug. Prvi Geogebra alat za crtanje kruga zahteva da se izabere

taka (centar kruga) i udaljenost centralne take do take na krugu (slika 25). Drugi Geogebra

alat za crtanje kruga zahteva da se izabere taka (centar kruga) i odabere duina poluprenika.

Dakle, ovim pristupom konstrukcije uenik razvija svest o tome da je krug odreen centrom

kruga i konstantnim rastojanjem od centra kruga do take na krivoj (poluprenik).

Kako je u osnovi programa Geogebra koordinatni sistem , ovaj program moe nai

izuzetnu primenu u upoznavanju koordinatnog sistema i njegovog korienja. ak ta vie,

nastavnik matematike ne mora prvobitno da pouava uenike kako da ucrtavaju take u


39

koordinatnom sistemu i kako da oitavaju koordinate taaka na papiru. as se moe tako

organizovati da se u isto vreme uenici upoznaju sa koordinatnim sistemom, ali i sa alatima za

crtanje koje prua program Geogebra (slika 26).

Slika 26.

Jedna od glavnih karakteritika programa Geogebra jeste dinaminost prikaza. Za razliku

od skice na papiru, koja predstavlja statiki model, u Geogebri je mogue menjati odreene

parametre u grafikom prozoru. U samom postupku konstrukcije matematikih objekata

odreeni parametri se definiu da budu primenljivi na ekranu. Ovo je omogueno upotrebom

klizaa. Dinaminost programa Geogebra naroito je pogodna za zapaanje i vizuelno

predstavljanje zavisnosti pojedinih matematikih objekata od odreenih parametara. Recimo,

kada se obrauje nastavna jedinica Zavisnost linearne funkcije y=kx+n od parametara k i n,

prilikom crtanja grafika funkcije u programu Geogebra parametri k i n mogu da se definiu da

budu promenljivi na slici putem klizaa (slika 27). Tako e uenik moi da prati promenu izgleda

grafika funkcije u zavisnosti od pomenutih parametara i da bude podstaknut na samostalno

izvoenje zakljuaka.

Slika 27.

40

4. ELEKTRONSKO UENJE U NASTAVI MATEMATIKE

Posebna panja u ovom radu posveena je elektronskom uenju kao savremenom, i kod

nas relativno novom, obliku uenja i pouavanja u naim kolama.

4.1. Istorijat elektronskog uenja

Elektronsko uenje, poznatije kao uenje na daljinu (Distance Learning), relativno je

skoranja pojava u uenju i pouavanju, aktuelna u poslednjih dvadesetak godina. Danas se

elektronsko uenje iroko koristi i postaje uobiajena praksa u obrazovnim institucijama irom

sveta koji u svojim virtuelnim uionicama pruaju veliki izbor raznovrsnih akreditovanih

akademskih kurseva. U Australiji, recimo, deca koja ive na farmama imaju mogunost da

dnevno, putem Interneta, dobiju sve lekcije koje su tog dana obraivane na asu, da dobiju

domai zadatak, a za sve nejasnoe mogu da se konsultuju sa nastavnikom. I kod nas su mnoge

obrazovne institucije ve napravile manji ili vei korak u primeni virtuelnih uionica.

Elektronsko uenje se zasniva na principima slobodnog uenja, korienjem raunara u

obrazovnim programima i moderne telekomunikacije (Internet) za predavanje. To je takva vrsta

edukacije u kojoj se obrazovni materijal isporuuje korisniku u elektronskoj formi.

Komunikacija izmeu predavaa i studenta moe da podrazumeva, ali ne mora, razdvojenost

predavaa od studenta u prostoru i vremenu.

Uenje na daljinu datira jo iz prve polovine devetnaestog

veka. Englez Isaac Pitman, uitelj po profesiji, potanskim

sistemom je pouavao stenografiji polaznike kursa davne 1840.

godine. Uenici su pouavani da prepisuju kratke pasuse iz Biblije, a

materijal su vraali na ocenjivanje potanskim sistemom.

Anna Eliot Ticknor je 1873. godine osnovala u Bostonu

udruenje koje je imalo za cilj da pomogne uenje od kue ena

svih socijalnih nivoa. Za 24 godine koliko je postojalo, udruenje je

korespondiralo sa vie od deset hiljada korisnika. To je bila prva

dopisna kola u Sjedinjenim Amerikim Dravama. Slika 28. Isaac Pitman


41

Prvi oblici uenja na daljinu svodili su se iskljuivo na dopisne kurseve. Obrazovna

institucija je materijal za kurs (kompletnu literaturu) slala potom studentu. Student je uio sam

i vraao reene testove potom. Komplentna korespondencija izmeu mentora i studenta

odvijala se u pisanoj formi, razmenom klasine pote. Zavrni test polagao se u ispitnom centru

koji je odredila obrazovna institucija.

Ovakav oblik uenja egzistirao je sve do pojave novih tehnologija. Pojavom radija i filma

uvedeni su u sistem uenja na daljinu novi mediji. Radio je uneo novu mogunost u sistem

dopisnih kurseva. Predavanja su se sluala preko radija. Male radio-stanice omoguile su po prvi

put dvosmernu komunikaciju izmeu studenata i mentora. Koristio se civilni frekvencijski opseg.

Dvosmerna komunikacija radio vezom mentor-student bila je u nekim oblastima (Australija,

Kanada, SAD) jedini nain za obrazovanje.

Documents

master teza Lj. Popovic.pdf