Univerzitet u Novom Sadu

Prirodno-matematicki fakultet

Departman za matematiku i informatiku

Seminarski rad

Aksiomatsko zasnivanjeeuklidske geometrije

Student:Jelena Vasic, 346m/13

Profesor:Dr. Sinisa Crvenkovic

maj 2015, Novi Sad

Sadrzaj

1 Uvod 2

2 Aksiome euklikske geometrije ravni 32.1 Aksiome incidencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Aksiome poretka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Aksiome metrike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Aksiomi simetrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Posledice aksioma poretka 7

4 Aksioma paralelnosti 9

5 Aksiomi euklidske geometrije prostora 135.1 Prve posledice aksioma stereometrije . . . . . . . . . . . . . . 14

6 Zakljucak 19

Literatura 20

1

1 Uvod

Geometrija kao naucna disciplina ima svoju veoma dugu i bogatu istoriju.Zaceta vec u najstarijim ljudskim civilizacijama, ona se vekovima razvijalakao induktivna nauka, nauka u kojoj se empirijskim putem, pomocu culai opita, dolazilo do pojedinacnih saznanja iz kojih su se zatim indukcijomizvodila opsta tvrdenja.Takva je bila geometrija drevnih Egipcana, Sume-rana, Vavilonaca, Indijaca, Kineza i drugih. Kada su negde u VI veku prenove ere vodecu ulogu u nauci i kulturi preuzeli Grci, geometrija pocinjeda se razvija jednim potpuno novim putem koji ce vremenom da se odrazii u drugim naucnim oblastima. Induktivan metod nalazenja geometrijskihtvrdenja bio je zamenjen novim tzv. deduktivnim metodom kojim se naj-pre ustanovljuju opsta tvrdenja da bi se zatim iz njih dobila pojedinacnasaznanja. Kao i svaka druga deduktivna teorija, geometrija se zasniva naizvesnim pojmovima koje smatramo poznatim te ih ne definisemo i na iz-vesnim tvrdenjima koje smatramo poznatim te ih ne dokazujemo. Da jetakav pristup neminovan sledi otuda sto se nijedan geometrijski pojam nemoze definisati bez drugih unapred poznatih geometrijskih pojmova, a ni-jedno geometrijsko tvrdenje ne moze dokazati bez drugih unapred poznatihgeometrijskih tvrdenja. Te polazne pojmove koje prihvatamo bez definicijanazivamo osnovnim geometrijskim pojmovima, a polazna tvrdenja koja pri-hvatamo bez dokazivanja nazivamo osnovnim geometrijskim tvrdenjima iliaksiomama geometrije. Pojmove koje definisemo u geometriji nazivamo izve-denim geometrijskim pojmovima, a tvrdenja koja dokazujemo u geometrijinazivamo izvedenim geometrijskim tvrdenjima ili teoremama geometrije.

2

2 Aksiome euklikske geometrije ravni

Euklidska ravan je skup M ciji su elementi tacke koje obelezavamo veli-kim latinicnim slovima A,B,C, ..., a njene istaknute podskupove nazivamopravama koje obelezavamo sa malim latinskim slovima a, b, c, ... Ta dva tipaobjekata zadovoljavaju aksiome ravanske geometrije. Prema prirodi tih za-konitosti, aksiome geometrije razvrstavamo u pet grupa, to su:

I. Aksiome incidencije (cetiri aksiome)

II. Aksiome poretka (dve aksiome)

III. Aksiome metrike(cetiri aksiome)

IV. Aksiome simetrije (dve aksiome)

V. Aksiome paralelnosti (jedna aksioma)

2.1 Aksiome incidencije

Osnovni objekti ravanske geometrije, tj. tacke, prave raspolazu izve-snim medusobnim odnosima koje u teoriji skupova izrazavamo poznatim re-lacijama ,,pripadai ,,sadrzi, te relacije u geometriji nazivamo jednim ime-nom relacijama incidencije. Stoga i aksiome prve grupe kojima se obrazlazuosnovna svojstva tih relacija nazivamo aksiomama incidencije. Ovu grupuaksioma autori cesto nazivaju i aksiomama veze nastojeci na taj nacin daukazu na ulogu koju imaju te aksiome u zasnivanju teorije uzajamnih od-nosa medu likovima. Pre uvodenja aksioma incidencije ustanovimo pojamkolinearnih tacaka.

Definicija 1. Za tri ili vise tacaka A,B,C, ... kaze se da su kolinearne akopostoji prava koja ih sadrzi. Ako takva prava ne postoji, za pomenute tackese kaze da su nekolinearne.

Grupu aksioma incidencije cine sledece cetiri aksiome:

I.1. Svaka prava sadrzi najmanje dve tacke A i B.

I.2. Postoji najmanje jedna prava koja sadrzi dve tacke A i B.

I.3. Postoji najvise jedna prava koja sadrzi razne tacke A i B.

I.4. Svaka ravan sadrzi najmanje tri nekolinearne tacke A, B i C.

Ova grupa aksioma se jos naziva i planimetrijske aksiome incidencije. Iz ovegrupe aksioma proizilaze mnoge teoreme, mi cemo pokazati jednu od njih.

3

Teorema 2.1. Postoji jedna i samo jedna prava koja sadrzi dve razne tackeA i B.

Dokaz. Prema aksiomi I.2. postoji prava p koja sadrzi tacke A i B. A premaaksiomi I.3. postoji najvise jedna takva prava. Stoga postoji jedna i samojedna prava p koja sadrzi tacke A i B.

2.2 Aksiome poretka

II.1. Na svakoj pravi u ravni postoji tacno dva medusobno suprotna linearnauredenja.

II.2. (Pasch-ova1 aksioma) Ako prava sece jednu stranicu trougla, i ne prolazini kroz jedno teme te stranice, onda ona sece bar jos jednu stranicu.

Aksiom II.1. omogucava da se definise pojam ,,lezati izmedui pomocinjega pojam duzi i poluprave. Oznacicemo uredenje iz ove aksiome sa i .Relacija uredenja je refleksivna, antisimetricna i tranzitivna. Ako su A i Bdve razlicite tacke ravni, onda prema Teoremi 2.1 postoji jedinstvena pravap kojoj one pripadaju. Za tacku C te prave cemo reci da lezi izmedu tacakaA i B ako vazi ili A C B ili A C B. Skup svih tacaka koje lezeizmedu tacaka A i B prave p nazivamo duz i oznacavamo sa AB, a tackeA i B krajevima te duzi. Poluprava kojoj je A pocetna tacka (vrh), i kojaprolazi jos kroz tacku B 6= A je skup tacaka T prave p za koje vazi da jeA T B ili A B T .Definicija 2. Skup K M , gde je M skup ciji su elementi tacke euklidskeravni, je konveksan, ako vazi:

A,B K = AB K.

Slika 1: Levo je primer konveksnih skupova, a desno nekonveksnih skupova

1Moritz Pasch (1843-1930) - nemacki matematicar

4

Iz svojstva tranzitivnosti uredenja odmah sledi da su duz, poluprava i pravakonveksni skupovi.

Neka je S M bilo koji skup tacaka. Tada je konveksna ljuska od S,u oznaci convS, presek svih konveksnih skupova iz M koji sadrze S. Kakoje presek svih konveksnihh skupova opet konveksan skup, to je i konveksnaljuska opet konveksan skup. Npr. za S = {A,B}, je convS = AB. Za 4 ={A,B,C}, gde su A,B,C tri nekolinearne tacke, conv4 zovemo trougao.Tacke A,B,C su temena trougla, a duzi AB,BC,AC su stranice trougla.Trougao sa temenima A,B,C se najcesce obelezava sa 4ABC.

Slika 2: Trougao 4ABC

2.3 Aksiome metrike

Neka je zadata funkcija d : M M R. Funkciju d zovemo metrika ilifunkcija rastojanja ako vaze sledece aksiome:

III.1. d(A,B) 0, A,B M , d(A,B) = 0 A = B;III.2. d(A,B) = d(B,A), A,B M ;III.3. (nejednakost trougla) d(A,B) d(A,C) + d(C,B), A,B,C M , i

pri tome jednakost vazi akko C AB;III.4. Za svaku polupravu (Ou), sa pocetnom tackom u O, i svaki realan

broj x > 0 postoji (jedinstvena) tacka T na toj polupravoj takva da jed(O, T ) = x.

Kaze se da je uredeni par (M,d) sa osobinama III.1-3. metricki prostor.Broj d(A,B) zovemo duzinom duzi AB, ili rastojenje izmedu tacaka A i

B. Nejednakost trougla se sada moze definisati i na sledeci nacin: Zbir duzinabilo koje dve stranice trougla je uvek veci od duzine trece stranice. Ume-sto duzina stranice, mozemo kratko reci stranica, pa onda definicija izgledaovako: Zbir dve stranice trougla je uvek veci od trece stranice.

5

Pojam rastojanja nam omogucava definisanje izometrije ravni. Preslika-vanje f : M M je izometrija ravni M ako vazi:

d(f(A), f(B)) = d(A,B),A,B M.

Mozemo uociti da je izometrija injektivno preslikavanje. To je neposrednaposledica aksioma III.1. Moze se pokazati da je ona takode i sirjektivnopreslikavanje, dakle i bijektivno. Takode vazi da izometrija preslikava duz naduz, polupravu na polupravu, pravu na pravu itd.

2.4 Aksiomi simetrije

IV.1. Za svaku pravu p M postoji jedinstvena izometrija sp : M Mrazlicita od identicne funkcije, za koju je sp(T ) = T , T p. Taizometrija zove se osna simetrija u odnosu na pravu p. Prava p senaziva osa simetrije.

Slika 3: Primer ose simetrije

IV.2. Za svaki ureden par (Ox,Oy) polupravih sa pocetnom tackom u Opostoji bar jedna prava p takva da je sp(Ox) = Oy.

Prava iz aksiome IV.2. je jedinstvena.

6

3 Posledice aksioma poretka

Teorema 3.1. Prava ravni M koja ne prolazi ni kroz jedno teme 4ABC,ne sece sve tri stranice tog trougla.

Dokaz. Pretpostavimo da prava p sece stranicu BC trougla 4ABC u tackiP , CA u tacki Q, a AB u R, i ne prolazi ni kroz jedno teme A,B,C (Slika4).Tada su tacke P,Q i R medusobno razlicite i, odredenosti radi, uzmemo daP lezi izmedu ostale dve. Prava BC sece duz QR u tacki P , ali ne sece nijednu od duzi AQ i AR, sto je u kontradikciji sa Pasch-ovom aksiomom za4AQR i pravu BC.

Slika 4: Prava p na prolazi ni kroz jedno teme 4ABCTeorema 3.2. Za svaku pravu p M , definisemo binarnu relaciju R naMp sa:

ARB AB p = . (1)Relacija R je relacija ekvivalencije, koja Mp razbija na dve klase ekviva-lencije koje se zovu poluravni definisane sa p.

Dokaz. Refleksivnost i simetricnoct relacije R su ocigledni. Tranzitivnost jeekvivalentna sa:

Ako su A,B,C M tri tacke iz M , takve da je ABp = i BC p = ,onda je i AC p = .

Ova kontrapozicija je ekvivalentna Pasch-ovoj aksiomi II.2.

Slika 5

7

Dalje, mozemo konstruisati dve tacke A1, A2 Mp, tako da je A1A2 p = {P}. Uzmemo tacku P p i povucemo neku pravu q(6= p) i primenimoaksiomu III.4. za konstrukciju tacaka A1, A2 q sa razlicitih strana tacke P ,takvih da je d(P,A1) = d(P,A2) = 1 (Slika5). Ako je T Mp, onda pravap ne prolazi ni kroz jedno teme 4TA1A2. Kako p sece A1A2, sledi da secesamo jednu od duzi TA1, TA2, tj. T pripada ili klasi od A1 ili klasi od A2.Dakle, relacija R definise samo dve klase ekvivalencije.Pokazacemo sada da je svaka prava iz ravni M izometricna sa pravom realnihbrojeva R. Prava p M je orijentisana ako smo na njoj izabrali jednu oddve relacije uredenja.

Teorema 3.3. Za svaku orijentisanu pravu p i svaku tacku O p postojijedinstvena rastuca funkcija f : p R koja je bijekcija, i za koju je f(O) = 0i

| f(B) f(A) |= d(A,B),A,B p.Dokaz. Neka je (Ox), (odnosno (Ox)) poluprava sa pocetkom u O cije tackeleze ,,posle(odnosno ,,pre) O s obzirom na odabrano uredenje. Lako se vidida je jedinstvena funkcija s navedenim svojstvima zadata formulom f(T ) =d(O, T ) za T (Ox) i f(T ) = d(O, T ) za T (Ox).

Realni broj f(T ) se naziva apscisa tacke T na orijentisanoj pravoj.

Teorema 3.4. Za svaki par A,B M razlicitih tacaka postoji jedinstvenatacka C na pravoj koja sadrzi tacke A i B za koju je d(A,C) = d(B,C). Tatacka lezi izmedu tacaka A i B i zove se polovina duzi AB.

Dokaz. Iz aksioma III.3. sledi da A ne moze lezati izmedu B i C, niti Bizmedu A i C. Stoga, C lezi izmedu A i B. Ako orijentisemo pravu kojasadrzi tacke A i B, onda je tacka C definisana (iz Teoreme 3.3) jednakoscu

d(A,C) =1

2d(A,B).

Ako je A = B, reci cemo da je polovina duzi AA tacka A.

8

4 Aksioma paralelnosti

Od ranije je poznato da kroz datu tacku T van prave p prolazi bar jednaprava q koja ne sece p. Mnogo je slozenije pitanje da li iz do sada navede-nih aksioma sledi da je takva prava q jedinsvena. To se zahteva posebnomaksiomom, koja se naziva aksioma paralelnosti. Prave p i q nazivamo pa-ralelne prave ako se poklapaju, ili se ne seku, u oznaci p || q. Uocavamoda je relacija paralelnosti, relacija ekvivalencije na skupu svih pravih jedneravni. Formulisacemo sada aksiom paralelnosti.

V. (Aksiom paralelnosti) Kroz zadatu tacku T van prave p prolazi najvisejedna prava q koja je paralelna sa p.

Sada je prava q jedinstvena.Ovako formulisana aksioma paralelnosti zove se Playfair-ov2 oblik Euclid-

ovog petog postulata paralelnosti.Prvu sistematsku aksiomatiku o geometriji razvio je starogrcki mate-

maticar Euclid koji je ziveo oko 300-te godine p.n.e. i koji je napisao cuvenodelo ,,Elementiu 13 knjiga. U tim knjigama su planimetrija i stereometrijaprvi put sistematicno i aksiomatski izlozene i sluzile su kao uzor zasnivanjamatematickih (a i ostalih) disciplina kroz gotovo 2000 godina.

Slika 6

On je osnovne istine od kojih se polazi delio na aksiome i postulate. Po-stulati su bili tvrdenja gemetrijske prirode, a aksiomi tvrdenja opste prirode(npr. njegov prvi aksiom glasi: objekti koji su jednaki istom objektu su imedusobno jednaki, ili osmi aksiom: celina je veca od dela itd.). Poznatje njegov peti postulat (osnosno Euclid-ov peti postulat) koji je on ovakoformulisao:

2J. Playfair (1748-1819) - engleski matematicar, katkad se Playfair-ova aksioma nazivai Proklosova aksioma, prema starogrckom matematicaru Proklosu

9

(E0) Ako se dve poluprave Ax, By nalaze sa iste strane prave koja sadrzitacke A i B i ako je zbir uglova ]xAB + ]yBA strogo manji odopruzenog ugla, onda se te poluprave seku (Slika6)

Lako se moze primetiti da je peti postulat (E0) ekvivalentan sa aksiomomparalelnosti.

U poredenju sa ostalim Euclid-ovim postulatima (svega ih je bilo pet),cinilo se da je tvrdenje petog postulata vrlo slozeno, pa se smatralo da onnije nezavisan od ostalih, vec da se iz ostalih postulata moze izvesti. Dru-gim recima, mislilo se da je on teorema, a ne aksiom. Mnogo je eminentnihmatematicara pokusalo dokazati peti postulat, ali u tome nisu bili uspesni.Pokazalo se, naime, da je on nezavisan od ostalih, pa je to najpre dovelodo zasnivanja geometrije bez petog postulata. To je tzv. apsolutna geo-metrija. Kasnije su nezavisno jedan od drugog Gauss, Lobacevski, Bolyairazvili geometriju u kojoj su peti postulat zamenili postulatom koji kaze dakroz tacku van prave prolaze bar dve prave koje su paralelne sa tom pra-vom. taj postulat se zove hiperbolicki postulat paralelnosti. To je dovelo dootkrica tzv. hiperbolicke geometrije. Kasnije su se proucavale i drugegeometrije koje su se razvile na osnuvu aksiome, da kroz tacku van zadateprave ne prolazi nijedna prava koja ne sece zadatu pravu. Tako je nastalatzv. Riemann-ova elipticka geometrija.

Pokazuje se da je Euclid-ov peti postulat, tj. Playfair-ova aksioma para-lelnosti ekvivalentan sa sledecim tvrdenjima:

(E1) U ravni postoji bar jedan pravougaonik (tj. cetvorougao sa cetiri pravaugla).

(E2) Zbir uglova u svakom trouglu jednak je opruzenom uglu.

(E3) Postoji par neizometricnih trouglova 4ABC i 4ABC takvih da suim uglovi jednaki (tj. = , = i = ). Drugim recima postojedva slicna, a nepodudarna trougla. Ovaj aksiom zove se Wallis-ova3

aksioma

(E4) Za svake tri tacke koje ne leze na istoj pravoj postoji (jedinstvena)kruznica koja ih sadrzi. Ova aksioma se zove F. Bolyai-ova4 aksioma.

(E5) Postoji funkcija povrsine p : P R na skupu P svih poligona ravni,razlicita od nula fukcije, tako da je p() 0, P , p je aditivnaza poligone koji se seku samo u temenima i stranicama, a p(4ABC)zavisi samo od osnove i visine trougla 4ABC.

3John Wallis (1616-1703) - engleski matematicar4Farkas Bolyai (1775-1856) - madarski matematicar, otac J. Bolyai-a

10

Ako su zadate dve razlicite paralelne prave p i q, onda se svaka pravat koja sece prave p i q zove transverzala pravih p i q (slika). Uglovi i1, i1, i 1, i 1 zovu se saglasni uglovi, i 1, i 1 su unutrasnjinaizmenicni, i 1, i 1 su spoljasnji naizmenicni.

Teorema 4.1. Paralelne prave sa svakom transverzalom obrazuju jednakesaglasne, jednake naizmenicne i suplementarne uglove. Vazi i obrnuto, tj.ako dve prave p i q presecemo trecom pravom t, i ako je = 1 onda suprave p i q paralelne. Slicno vazi ako je = 1, odnosno ako je +1 opruzenugao, tj. ako su i 1 suplementni uglovi.

Ova teorema se katkad naziva i Teorema o uglovima na transverzalisve paralelne prave. Sada cemo dokazati teoremu o zbiru uglova u trouglu.

Slika 7: Uglovi na transverzali

Teorema 4.2. Zbir unutrasnjih uglova u trouglu jednak je opruzenom uglu,tj. 180 (pi radijana).

Slika 8

Dokaz. Neka je 4ABC zadati trougao. Kroz tacku C povucemo pravu pparalelnu sa pravom koja sadrzi tacke A i B. Ta paralela postoji i jedinstvenaje, sto sledi iz V. aksiome paralelnosti. Iz teoreme 4.1. za transverzaleAC i BC paralelnih pravih AB i p sledi da je = , = . Stoga + + = + + = 180. Time je teorema dokazana.

11

Trougao nazivamo tupougli ako ima jedan tup ugao. Ocito je da svakitrougao ima najvise jedan pravi ili tup ugao. Trougao koji nije ni pravougli,ni tupougli zovemo ostrougli trougao. U njemu su sva tri ugla ostra. Ujednakostranicnom trouglu su sva tri ugla (zbog ,,pons asinorum) jednaka iiznose 60.

Odmah se vidi da je teorema i zbiru uglova u trouglu ekvivalentna V.aksiomi paralelnosti. Isto vazi i za teoremu o spoljasnjem uglu trougla.

Teorema 4.3. Svaki spoljasnji ugao trougla jednak je zbiru dva njemu nesu-sedna unutrasnja ugla tog trougla.

Dokaz. Kao u dokazu teoreme 4.2 imamo da je + = 180, pa zbog + + = 180 oduzimanjem dobijamo da je = .

Ovde cemo napomenuti samo da je ova teorema tipicna teorema euklidskegeometrije, tj. geometrije u kojoj prihvatamo V. aksiomu paralelnosti kaoistinitu. U hiperbolickoj geometriji se pokazuje da je zbir uglova u trouglumanji od 180, dok u eliptickoj pokazujemo da je taj zbir veci od 180. Jedanod modela na kojima vazi elipticka geometrija je geometrija na sferi. Akotackom te geometrije nazovemo par dijametralno suprotih tacaka na sferi,a pravama velike kruznice te sfere onda dobijamo model elipticke geome-trije. Postoji jednostavan model i hiperbolicke geometrije koji mi nazivamoPoincare-ov5 model.

Slika 9: Pioncare-ov model hiperbolicne geometrije

Uzmemo u euklidskoj ravni pravu g i otvorenu poluravanH koja je ogranicenatom pravom. Tacke te poluravni H zovemo tackama tog modela hiperbolickegeometrije, a prave te geometrije su polukruznice iz H sa centrom na g i po-luprave iz H normalne na g. Lako se vidi da u tom modelu vazi hiperbolickaaksioma o paralelama, tj. da za zadatu tacku T van zadate prave p, postojebar dve prave q1 i q2 koje su paralelne sa p (slika).

5Jules Henri Pioncare (1854-1912) - francuski matematicar, jedan od osnivaca topologije

12

5 Aksiomi euklidske geometrije prostora

Euklidskim prostorom (ili krace prostorom) zovemo skup M3 ciji suelementi tacke, a neki istaknuti podskupovi prave i ravni. Tacke cemooznacavati velikim latinskim slovima A,B,C, ..., prave malim latinskim slo-vima a, b, c, ..., a ravni grckim slovima , , , ....

Pri tome tacke i prave zadovoljavaju aksiome planimetrije i tim aksi-omama dodajemo jos tri aksioma geometrije i aksiom S4 kojim se uvodimetrika.

(S1) Za svaku ravan M3 postoje tacke prostora koje joj pripadaju i kojejoj ne pripadaju, tj. je pravi podskup prostora M3. Kaze se jos da sadrzi te tacke, ili da je ravan incidentna da tim takcama, a akotacka ne pripada ravni kaze se da ta tacka nije incidentna sa ravni .

(S2) Ako dve razlicite ravni imaju zajednicku jednu tacku, onda oni imajuzajednicku i celu pravu. (Kaze se jos da se dve razlicite ravni seku upravoj.)

(S3) Ako dve razlicite prave imaju zajednicku tacku, onda postoji jedna isamo jedna ravan koja sadrzi te prave. (Kaze se jos da je ra ravanodredena tim pravama.)

(S4) Postoji funkcija d : M3 M3 R takva da je:1. d(A,B) 0 , A,B M3, d(A,B) = 0 A = B2. d(A,B) = d(B,A), A,B M33. d(A,B) d(A,C) + d(C,B), A,B,C M3 i pri tome jednakost

vazi ako i samo ako je C AB.U daljem tekstu umesto d(A,B) koristicemo oznaku |AB|. Drugim recima,

M3 metricki prostor. Funkcija d zove se udaljenost ili metrika.Prema tome sistem aksioma sastoji se od aksioma planimetrije i dosdatnih

aksioma S1S4. Pri tome treba naglasiti da aksiome planimetrije I1 i I3 trebapreformulisati. Naime, aksiom I1 kaze da kroz svake dve tacke ravni prolazijedinstvena prava. Odavde ne sledi da je to tacno za svake dve razlicite tackeprostora. Slicno je i sa aksiomom I3. Zato cemo te aksiome preformulisatiovako:

(P1) Kroz svake dve tacke prostora prolazi jedna i samo jedna prava.

(P2) Za svaku pravu postoje tacke koje joj pripadaju i postoje tacke kojejoj ne pripadaju.

13

Sada se, analogno geometriji ravni, geometrija prostora razvija polazeciod sistema aksioma. Istaknimo jos samo da smo sisem aksioma mogli idrugacije odabrati. Mogli smo, npr. umesto aksioma S1 S3 uzeti ekvi-valentan sistem:

S 1 Ako su date tri tacke, onda postoji bar jedna ravan koja sadrzi te tacke.

S 2 Postoje cetiri tacke koje ne pripadaju istoj ravni.

S 3 = S3

Ali u tom slucaju nema potrebe da se I1 preformulise, vec je P1 posledicatakvog sistema aksioma.

5.1 Prve posledice aksioma stereometrije

Teorema 5.1. Postoji jedinstvena ravan incidentna sa zadatom pravom itackom van nje.

Slika 10

Dokaz. Drugim recima, ako imamo zadatu pravu i tacku van nje, onda oneodreduju ravan. Prvo cemo dokazati egzistenciju takve ravni. Neka je pzadata prava i T tacka van nje. Prema P2 na pravoj p postoje dve razlicitetacke A i B (slika).

Kako je T 6= A, prema P1 postoji prava q kroz tacke A i T . Prave pi q su razlicite i imaju zajednicku tacku A, pa prema S3 postoji ravan koja sadrzi te prave. Ovim je egzistencija ravni koja sadrzi pravu p i tackuT dokazana. Naglasimo samo da aksioma S3 kaze da je ravan odredenapravama p i q jedinstvena, ali to ne znaci da je ravan koja sadrzi p i Tjedinstvena. Mi smo na p umesto tacaka A i B izabrati drugi par tacaka A

i B i niko nam ne garantuje da cemo ovom konstrukcijom dobiti istu ravan. Stoga je neophodno da se dokaze i jedinstvenost. Dokaz jedinstvenostise radi kontradikcijom. Pretpostavimo da postoji druga ravan koja sadrzipravu p i tacku T . Prema aksiomi S2 ravni i

se seku po pravoj. Sledida i tacka T mora lezati na pravoj p, a to je kontradikcija sa izborom tackeT .

14

Primetimo da se u formulaciji aksiome P2 kaze da postoje tacke prostora kojeleze na nekoj zadatoj pravoj. Ako ta prava lezi u nekoj ravni, onda ne znamopostoji li u toj ravni tacka koja ne lezi na toj pravoj. Dokazacemo da takvetacke postoje.

Teorema 5.2. Ako je ravan i p prava koja lezi u njoj, onda postoje tackeravni , koje ne leze na p.

Dokaz. Odaberemo na p bilo koju tacku P i neka je Q tacka koja ne lezi na. Prava p i tacka Q prema Teoremi 5.1. obrazuju jedinstvenu ravan . Nekaje R tacka koja ne lezi u , a takva postoji zbog S1. Opet prema Teoremi5.1. postoji ravan odredena pravom koja sadrzi tacke P i Q i tackom R.

Slika 11

Ravni i seku se u pravoj q koja prolazi kroz P i razlicita je od prave p.Tacke prave q razlicite od P zadovoljavaju uslove teoreme (Slika11).

Sada cemo izvesti uslov da prava lezi u ravni.

Teorema 5.3. Ako dve tacke neke prave leze u ravni, onda citava prava leziu toj ravni.

Dokaz. Neka je p prava i neka njene dve tacke A i B leze u ravni . Premaaksiomi P2 postoji tacka C koja ne lezi na p. Prema Teoremi 5.1. postojiravan oredena tackom C i pravom p (Slika12). Ako se ravni i poklapaju,onda p lezi u i tvrdenje je dokazano.

15

Slika 12

Ako su i razlicite ravni, onda se one seku u nekoj pravoj q koji sigurnolezi u . Prava q prolazi kroz tacke A i B, pa p i q imaju dve zajednicketacke, pa prema aksiomi P1 te se prave poklapaju. Sledi da prava p lezi u.

Posledica 5.3.1. Ako prava ne lezi u nekoj ravni, onda ona s tom ravni imaili jednu ili nijednu zajednicku tacku.

Dokaz. Sledi direktno iz Teoreme 5.3.

Ako prava ima s ravni samo jednu zajednicku tacku, onda kazemo da onapravi prodor na ravni. Ako prava i ravan nemaju zajednickih tacaka, ondakazemo da je prava paralelna sa ravni. Da je prava p paralelna sa ravni oznacavamo sa p||.Posledica 5.3.2. Ako se dve razlicite prave seku, onda sve prave koje sekui jednu i drugu pravu i ne prolaze kroz njihovu presecnu tacku leze i ravniodredenoj sa te dve prave.

Dokaz. Takode sledi it Teoreme 5.3.

Teorema 5.4. Postoji jedinstvena ravan odredena sa tri nekolinearne tacke.

Dokaz. Egzistencija. Neka su A, B i C tri nekolinearne tacke. Tada sup = AB i q = AC dve razlicite prave, koje se seku u tacku A, pa premaS3 postoji ravan koja sadrzi te prave. Ta ravan je ocigledno incidentna satackama A, B i C. Jedinstvenost. Svaka ravan koja sadrzi tacke A, B i Cprema Teoremi 5.3 sadrzi i prave p = AB, q = AC, pa je takva ravan premaS3 jedinstvena.

16

Za ravan koja je incidentna sa tri nekolinearne tacke kazemo da je odredenasa te tri tacke.

Napomena 1. Lako se vidi da postoji ravan incidentna s tri kolinearnetacke, ali takva ravan nije jednoznacno odredena.

Neja je zadata ravan i T tacka prostora koja ne lezi u . Razbijemoskup svih tacaka prostora na dve klase. Za tacku X reci cemo da pripadaprvoj klasi ako duzina TX nema zajednicku tacku sa , ako i TX imajuzajednicku tacku, onda kazeo da X pripada drugoj klasi. Prema tome svakatacka prostora, koja ne lezi u , pripada samo jednoj od tih klasa. Svaku odtih klasa zovemo otvorenim poluprostorom odredenim sa ravni . Daklesvaka ravan deli prostor na dva otvoren poluprostora.

Uniju poluprostora i ravni zovemo zatvorenim poluprostorom.Za tacke koje pripadaju istom poluprostoru odredenom sa ravni kazemo

da su sa iste strane ravni . Za tacke razlicitih poluprostora kazemo dasu sa razlicitih strana ravni .

Da ova definica ne zavisi od izbora tacke T pokazacemo tako sto cemodokazati teoremu:

Teorema 5.5. (O poluprostoru) Ako tacke X i Y pripadaju istom otvo-renom poluprostoru s obzirom na neku ravan , onda duzina XY nema za-jednicku tacku sa , a ako su X i Y iz razlicitih poluprostora, onda XY praviprodor kroz ravan .

Dokaz. Zaista, pretpostavimo da tacke X i Y pripadaju prvom poluprostoru,tj. TX i TY nemaju zajednickih tacaka sa . Neka je ravan odredenatackama T , X i Y . Ako ne sece , onda XY nema zajednickih tacaka sa i tvrdenje je dokazano. Ako sece , onda je presek neka prava p, jer su i razlicite ravni (Slika13).

Slika 13

Prava p deli ravan na dve poluravni. Tacke X i Y su u onoj od tih poluravniu kojoj lezi T , pa stoga XY ne sece p, pa ni .

17

Ako tacke X i Y pripadaju drugom poluprostoru, onda TX i TY imajuzajednickih tacaka sa , pa sece i stoga X i Y leze u drugoj poluravni(slika), pa opet XY ne sece p, pa ni .

Ako su X i Y u razlicitim poluprostorima, onda sece i X i Y su uraznim poluravnima od , pa XY sece .

Drugim recima, poluprostor je konveksan skup.

18

6 Zakljucak

Moze nam se uciniti cudnim da se u matematici izucavaju dve teorije,euklidska geometrija i geometrija Lobacevskog koje su u suprotnosti jedna sadrugom. Za modernu matematiku je medutim od najvece vaznosti da su obeodredene sistemima aksioma koji su neprotivrecni i potpuni. Na pitanje: kojaod te dve geometrije vazi, nema smisla traziti odgovor u okviru matematike.Naime, to bi se svodilo na pitanje koje aksiome vaze, ali njih prihvatamo bezdokaza. Naravno, pitanje moze glasiti kakva je geometrija prostora u fizickomsmislu i kako nju mozemo sto bolje opisati aksiomama. Radi odgovora nato pitanje potrebna je fizicka interpretacija osnovnih geometrijskih pojmova.Npr. pravu je najprirodnije interpretirati kao svetlosni zrak. U tom smislupokazuje se da fizicki prostor nije euklidski. On nije odreden ni geometri-jom Lobacevskog. Pojavom Einstein-ove6 teorije relativiteta pocetkom ovogveka, pokazalo se da je u kosmickom prostoru pogodnije koristiti neeuklid-sku geometriju sa promenljivom zakrivljenoscu. Tako mozemo reci, da segeometrijavasione lokalno menja, u zavisnosti od blizine neke mase i njenekolicine.

Iako je sistem aksioma euklidske geometrije u to vreme, krajem XIX ipocetkom XX veka, bio skoro potpuno izgraden, prvi korektan potpun sistemdao je nemacki matematicar David Hilbert(1862-1943) u svojoj cuvenoj knjizi,,Osnovi geometrijeobjavljenoj 1899. godine. Moramo na kraju istaci darazvoj geometrije ovim nikako nije zavrsen. Naprotiv, nasuprot uobicajenojpredstavi, geometrija i matematika uopste se u ovom veku razvijaju u josbrzem tempu nego ranije. I danas su mnogi problemi u matematici, a ugeometriji posebno iz oblasti neeuklidskih geometrija, jos uvek otvoreni zaresavanje.

6A. Einstein (1879-1955), nemacki fizicar

19

Literatura

[1] Boris Pavkovic, Darko VeljanElementarna matematika 1 Zagreb, 2004.

[2] Boris Pavkovic, Darko VeljanElementarna matematika 2 Zagreb, 1995.

[3] Dragomir Lopandic Geometrija 2009.

20