OKUL MATEMATĐĞĐ VĐZYONU · matematiksel başlıklar hakkında bilgi sahibi oluyorlar, bazen de matematiği farklı yollarla gösteriyorlar. Öğretmenler, öğrencilere matematik

Hacettepe Üniversitesi Đlköğretim Matematik Eğitimi Anabilim Dalı www.imo.hacettepe.edu.tr

OKUL MATEMATĐĞĐNĐN

PRENSĐPLERĐ VE STANDARTLARI *

ÜNĐTE 1

OKUL MATEMATĐĞĐ VĐZYONU

Çev: Oylum AKKUŞ

Bir sınıf ya da bir okul hayal edin. Öyle bir okul ki; tüm öğrenciler matematikle meşgul oluyorlar, yüksek kalitede matematik öğrenimi görebiliyorlar. Bilgili öğretmenler işlerini desteklemek için yeterli kaynağa sahipler ve sürekli kendilerini geliştirebiliyorlar. Müfredat matematik açısından zengin, öğrencilere matematiksel kavramları ve süreçleri anlayarak öğrenme şansı verilmekte. Teknoloji de bu çevrenin önemli bir bileşeni. Öğrenciler, öğretmenleri tarafından dikkatlice seçilmiş karmaşık matematiksel etkinliklerle meşgul oluyorlar. Bazen aynı probleme farklı matematiksel açılardan yaklaşılırken bazen çeşitli matematiksel başlıklar hakkında bilgi sahibi oluyorlar, bazen de matematiği farklı yollarla gösteriyorlar. Öğretmenler, öğrencilere matematik yapma, bağlantılar kurma, muhakeme ve kanıtlama teknikleriyle ilgili yardım ediyorlar. Öğrenciler öğretmenlerin yetenekli rehberlikleri sayesinde esnekler ve problem çözebiliyorlar. Yalnız ya da grupla ve teknolojiye erişimli halde üretken ve yansıtıcı olarak öğreniyorlar. Sözel ya da sayıyla, öğrenciler fikirlerini ve bunun sonuçlarını etkili olarak paylaşabiliyorlar, matematiğe değer veriyorlar ve onu öğrenmede aktif olarak yer alıyorlar. Kuşkusuz bütün bunlar herkes için çok büyük istekler.

“Okul Matematiği Đçin Prensipler ve Standartlar” adlı bu kitapta belirtildiği gibi matematik eğitimcilerin vizyonu hırs dolu. Buna ulaşmak için; matematik programlar kendine güvenli ve bilgili öğretmenleri, öğrenmeyi destekleyen ve zenginleştiren eğitim politikalarını, teknolojiye erişimi hazır sınıfları ve eşitlik ve mükemmelliğe ulaşmayı prensip haline getirmeyi gerektirir. Bu iddia çok büyüktür ama günümüzde bu şartlarla buluşmak ta gereklidir. Öğrencilerimiz mümkün olan en iyi matematik eğitimini hak ederler ve gereksinim duyarlar. Bu eğitim de onları değişen dünyada tam donanımlı insan yapmak için gereklidir.

NCTM’ye göre, 1989’da yayımlanan “Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics” adlı kitabı matematik eğitimi standartlarını belirlemede önemli rol oynamıştır. Bu organizasyon matematik öğretmenlerini temsil ederken, bunun yanında öğrencilerle, okul yöneticileriyle, ailelerle kaliteli matematik eğitimi için işbirliği yapmaktadır. Amaç ise yeni yüzyıla yeni matematik anlayışı ile meydan okumaktır. Bu amaca göre öğrenme anlayarak olursa anlamlıdır ve öğrenme ortamı teknoloji ile donatılmalıdır.

* Principles and Standarts for School Mathematics, NCTM, 2000


Değişen dünyadaki matematik gereksinimleri Sıradan olmayan ve sürekli değişen bir dünyada yaşamaktayız. Yeni bilgiler, araçlar,

matematiği yapmanın ve iletişim kurmanın yolları sürekli değişmekte ve bu değişim sürmektedir. Örneğin hesap makinelerinin 18. yy da kullanımı çok pahalıydı ama şimdi hem ucuz, hem yaygın hem de oldukça yararlıdır. Đstatistiksel bilgilere birkaç yıl önce sadece belli sayıda insan erişebiliyordu ama zamanla popüler medya araçları sayesinde bu erişim düzeyi arttı.

Günlük yaşamda ve iş yaşamında matematiği kullanabilmek ve anlayabilmek gereksinimi gitgide önem kazanmakta ve bu gereksinim sürekli artmaktadır. Örneğin; � Yaşam için matematik: Matematik bilmek insanı kişisel olarak tatmin eder. Günlük

yaşamın tüm ayrıntılarında matematik ve teknoloji vardır. Örneğin; alışveriş yaparken verilen kararlarda, sağlık ve sigorta planlarını seçerken ve sayısal bilgilere dayalı işler yaparken…

� Kültürel mirasın bir parçası olarak matematik: Matematik insanın yaptığı en büyük kültürel ve entellektüel iştir, bu nedenle insanlar bu işin gelişimine ve bizzat bu işe saygı duymalı, takdir etmelidirler. Matematik içinde kültürel ögeleri ve estetiği de barındırır.

� Đş yaşamında matematik: Her türlü çalışma alanında sağlıktan grafiğe kadar matematik bilen, matematiksel düşünen ve problem çözme yetisine sahip olan insanlara gereksinim vardır. Her iş için temel matematik bilgilerine gereksinim duyulsa da, bazıları matematiğe çok daha fazla gereksinim duyarlar. Bu insanlar matematiği kendi eğitim çizgileri olarak benimserler. Örneğin; matematikçiler, bilim insanları, mühendisler ve istatistikçiler.

Değişen bu dünyada, matematiği anlayan ve matematik yapan, geleceğini

şekillendirmede daha fazla seçeneğe ve şansa sahip olacaktır. Matematik alanındaki yeterlik üretken geleceğin kapısını açmaktadır. NCTM, matematiğin sadece belli bir azınlık için olduğu fikrine meydan okur. Tam tersine, herkesin matematiği anlayabileceğini savunur. Her öğrencinin matematiği anlaması için şansı olmalıdır. Mükemmellik ve eşitlik arasında çatışma yoktur.

“Prensipler ve Standartlar” kitabı tüm öğrenciler tarafından öğrenilecek olan temel matematik içindir. Ancak bu yaklaşım tüm öğrencilerin aynı olduğu anlamına gelmez. Öğrencilerin matematikle ilgili farklı yetenekleri, erişileri, gereksinimleri ve ilgileri vardır. Bunun yanısıra, tüm öğrenciler yüksek kaliteli matematik öğretim programlarına erişim hakkına sahip olmalıdırlar. Matematiğe derin ilgi duyanların ilgileri ve yeteneklerinin üzerine gidilmelidir. Bunun yanısıra, özel eğitime gereksinim duyan çocuklar desteklenmeli, onlar için gerekli olan uygun öğrenme ortamları yaratılmalıdır.

Matematik eğitiminin sürekli gelişimi için duyulan gereksinim Birçok kaynaktan elde edilen bilgilere göre, çoğu öğrenci gereksinim duyduğu

matematiği ya da öğrenmeleri beklenen matematiği öğrenememektedirler. Bunun birçok nedeni vardır. Örneğin; öğrencilerin matematiği öğrenmek için şansları olmamıştır. Ya da uygulanan müfredat onlara uygun nitelikte değildir. Bazen öğrencilerde öğrenme isteği oluşmaz. Matematik öğretiminin niteliği değişken ve çeşitlidir.

Standartlar gelişim sürecinde merkezi rol oynayabilir. 1989, 1991, 1995 NCTM standartları, merkezi standartları ve müfredatları da etkilemiştir. Ayrıca; öğretmen


eğitimini, öğretim materyallerini de etkilemektedir. Standartlar farklı biçimlerde yorumlanmış ve bunların farklı alanlara uygulamaları yapılmıştır.

Standartların Rolü ve Amacı 1989 da yayınlanan “Yetişek ve Değerlendirme Standartları”nda standartların

belirlenmesi için 3 sebep belirtilmiştir: kaliteden emin olmak, amaçları belirtmek, değişikliği sağlayabilmek… Standart dokümanlarının bu amaçlara yardım etmesinin bir yolu da matematik eğitimi konuşmalarını şekillendirmesidir. Önceki NCTM standartlarında da olduğu gibi, “Đlkeler ve Standartlar” insanları üretken diyaloglar ile meşgul edecek ortak dil, örnekler ve tavsiyeler önerir. Matematik eğitimindeki tüm düşüncelerde bir fikir birliğine varılmamış olunmasına rağmen, Standartlar öğrencilerin okuldaki matematik eğitimini geliştirmek için bir kılavuz oluştururlar. Prensipler ve Standartlar yetişekteki özel durumlara değinmeden genel bir görüş ve kılavuzluk sağlar. Bu doküman şunları içerir;

� Önümüzdeki 10 yıl için okul öncesinden 12. seviyeye kadar uyumlu ve kapsamlı amaçlar

ortaya koymak, � Matematik eğitimi programlarının kalitesini inceleyen ve geliştiren kaynak öğretmen,

eğitim lideri ve eğitim politikasını belirleyici olarak hizmet etmek, � Yetişek, değerlendirme ve eğitimsel araç-gereçlerin gelişimine kılavuzluk etmek, � Öğrencilerin matematiği daha iyi anlayabilmeleri için nasıl yardım edebiliriz konusundaki

fikirleri ve ulusal, yerel ve eyaletsel olarak süren tartışmaları uyarmak.

Prensipler ve Standartlara Genel Bakış Prenspler ve Standartlar daha önceki standartların üzerine kurulmuş ve ondan aldığı

mesajları sağlamlaştırmıştır. Bu doküman aşağıda sıralanan bölümlere ayrılmıştır;

� Okul matematiği için prensipler (ünite 2) � Okul öncesinden 12. seviyeye kadar matematik eğitimi standartlarına genelbakış (ünite 3) � Dört farklı seviyede standartlar: okul öncesinden 2. sınıfa (ünite 4), 3-5 seviyeler (ünite

5), 6-8 seviyeler (ünite 6), ve 9-12 seviyeler (ünite 7) � Prensipler ve Standartlardaki bir üst seviyeye çıkmaya yardımcı basamakları tartışmak

(ünite 8)

Prensipler yüksek matematik eğitiminin temel hükümlerini yansıtırlar. Đkinci ünitede prensiplerin alt yapısını oluşturan varsayımlar, değerler ve ipuçları yer almıştır. Prensipler okul matematiğini etkileyecek önemli bir perspektiftir. NCTM'in herkes için matematik taahhütü Eşitlik Prensibinde yer alır. Yetişek prensibinde, yetişek okul matematiğini geliştirmek için önemli bir yön olarak işlenir. Öğretme prensibi yetenekli öğretmenler kılavuzluğunda önemli matematiğin öğretilmesi fırsatını yaratır. Dokümanın temeli olan öğrenme bakış açısı Öğrenme Prensibinde işlenir. Okul matematik programlarında önemli rolü olan değerlendirme ve teknoloji ise Değerlendirme ve Teknoloji Prensibinde tartışılmıştır.

Ünite 3-7de tüm öğrenciler için kapsamlı standartlar oluşturulmuştur. Standartlar hangi matematiksel öğretimin öğrencinin neyi bilmesi ve neyi yapmasını sağlaması gerektiğini tanımlayan, okul matematik eğitiminde neyin değerli olduğunu belirleyen cümlelerdir. Bu kitaptaki 10 standartın her biri anaokul öncesinde 12. sınıfa kadar bütün yetişeği tararlar.


Đlk beş Standart sayılar ve işlemler, cebir, geometri, ölçme, veri analizi ve olasılık konularındaki matematiksel içeriği betimler. Sonraki beş Standart ise problem çözme, nedensellendirme ve ispat, ilişkiler, iletişim yer almaktadır.

Bu dokümanın bir amacı öğretmenlere, yetişek geliştiricilere, yetişek çerçevesinin oluşturulmasından sorumlu insanlara yetişeğe odaklanmak için bir yol önermektedir. Okul matematik programı her sene tüm konulara hitap edemez. Bunun yerine öğrenciler belli kavramsal düzeylere ulaşırlar ve yetişeğin belli noktalarından geçerler. Öğretmenler ders planlarını yaparken öğrencilerin bazı anlama seviyelerinde olduklarını ve hangi noktaları bitirmiş olduklarını düşünmelidirler.

ÜNĐTE 2 OKUL MATEMATĐĞĐNĐN PRENSĐPLERĐ

Çev: Asuman DUATEPE

Öğretmenler, okul idarecileri ve profesyonel eğitimcilerin okul matematiğinin içeriği ve karakteri hakkında aldığı kararların hem öğrenciler hem de toplum üzerinde önemli sonuçları vardır. Bu kararlar akıllıca profesyonel bakış açısı üzerine kurulmalıdır. Okul Matematiği Đçin Đlkeler ve Standartlar böyle bir kılavuzluğu amaç edinmiştir. Prensipler yüksek kaliteli matematik eğitiminin belli özelliklerini gösterirler. Standartlar ise öğrencinin öğrenmesi gereken matematiksel içerik ve süreçleri betimlerler. Prensipler ve standartlar birlikte eğitimcilere sınıflarda, okullarda ve eğitim sistemlerinde matematik eğitiminde sürekli bir gelişme sağlamak için çalışırken kılavuzluk ederler.

Okul matematiği ile ilgili olarak altı prensip vardır;

� Eşitlik: Matematik eğitimindeki fırsat eşitliği bütün öğrenciler için yüksek beklenti ve kuvvetli destek gerektirir.

� Yetişek: Yetişek bir araya gelmiş etkinliklerin ötesinde bir şeydir, ahenkli bir uyum içermeli, önemli matematiğe odaklanmalı, düzeylere göre iyi ayarlanmalıdır.

� Öğretme: Etkili matematik öğretimi öğrencinin ne bildiği, neyi bilmeye ihtiyacı olduğunu anlamayı ve sonra da onları iyi bir şekilde öğrenmekleri için kışkırtmayı ve desteklemeyi gerektirir.

� Öğrenme:Öğrenciler matematiği anlayarak, yeni bilgileri eskilerin üzerine inşaa ederek öğrenmelidirler.

� Değerlendirme: Değerlendirme hem öğretmen hem de öğrenci için önemli matematiğin öğrenilmesini desteklemeli ve gerekli bilgileri sağlamalıdır.

� Teknoloji: Teknoloji matematiğin öğretilmesi ve öğrenilmesi için önemlidir, öğretilen matematiği etkiler ve öğrencilerin öğrenmesini geliştirir.

Daha sonra tartışılacak bu altı prensip belli matematik içerik ve süreçlerini referans

almaz yani standartlardan oldukça farklıdır. Bu prensipler sadece okul matematiğine özgü değillerdir ama okul matematiği ile oldukça ilgilidirler. Yetişeğin belirlenmesini, yetişek araçlarının seçilmesini, öğretim ünitesi ve derslerinin planlanması, değerlendirme şeklini ve sınıfta alınacak kararları etkiler.


Her prensip ayrı ayrı değerlendirilir ama prensiplerin gücü birbirleriyle olan ilişkilerinden gelir. Prensipler hep birlikte kullanılırlarsa tümüyle hayata geçirilmiş olurlar.

EŞĐTLĐK (ADALET) PRENSĐBĐ

Matematik eğitimindeki fırsat eşitliği, bütün öğrenciler için yüksek beklenti ve kuvvetli destek gerektirir.

Prensipler ve Standartları tüm öğrenciler için gündeme getirmek, ana okul öncesinden 12. sınıfa kadar tüm seviyeler için önemli bir amaçtır. Bu amaca ulaşmak, öğrencilerin öğrenmeleri için beklentileri yükseltmek, tüm öğrencilerin öğrenmesi için etkili öğretim yöntemleri geliştirmek, öğrenci ve öğretmenlere ihtiyacı olan kaynakları sağlamaktır.

Eğitimde fırsat eşitliği bu görüşün temel taşıdır. Tüm öğrenciler kişisel özelliklerinden, alt yapılarından ya da fiziksel zorluklarından bağımsız olarak matematik çalışmak ve öğrenmek için eşit fırsatlara sahip olmalıdırlar. Eşitlik diğer prensiplerle de ilişkilidir. Tüm öğrenciler her sene yetenekli ve iyi desteklenmiş öğretmenlerden iyi düzenlemiş yetişeklerle eğitilmelidirler. Ayrıca öğrencilerin öğrenmeleri ve başarıları ayrı bir dikkatle değerlendirilmeli ve rapor edilmelidir. Teknoloji eşitliğe ulaşmak için yardımcı olabilir, bu yüzden bütün öğrenciler teknolojiye ulaşabilmelidir.

Eşitlik herkese yüksek beklentiler ve fırsatlar vermeyi gerektirir. Matematik eğitiminde fırsat eşitliği görüşü Kuzey Amerika'daki matematik öğrenmede

yalnızca bazı öğrencilerin başarılı olabileceği yönündeki yaygın inanca karşı çıkmıştır. Bu inanç bazı öğrencilerin erişilerine karşı düşük beklenti içinde olmayı içerir. Genellikle fakir ailelerden gelen, anadilinin konuşulmadığı okullarda okuyan, bedensel engelli öğrenciler düşük beklenti kurbanıdırlar. Beklentiler yükseltilmelidir; matematik tüm öğrenciler tarafından öğrenilebilir ve öğrenilmelidir.

Eşitlik prensibine göre matematik öğreniminde herkes için yüksek beklentiler öğrencilere sözlü ve eylemsel olarak ifade edilmelidir. Öğretmenler sınıftaki etkinlikler sırasında, öğrencinin ödev ya da sınav kağıtlarında, bu beklentiyi öğrencilere iletebilirler. Sınıf dışı etkinliklerde öğrenciyi başka sınıf ya da yetişeklere dahil ederek de bu beklentiler yansıtılır, ayrıca bu yolla öğrenciye daha ileri öğrenmeler için fırsatlar tanınmış olur. Okullar öğrencilere matematik öğrenmelerine yardım edecek kuvvetli eğitim programları dayatırlar. Yüksek beklentiler ancak bu programların öğrencilere ilginç gelmesi, kendisine yardımcı ve gelecek çalışmaları için gerekli bulması ile sağlanabilir.

Eşitlik, herkesin matematik öğrenmesi için farklı olanlara yardım etmeyi gerektirir. Yüksek beklentiler gereklidir fakat tüm öğrencilerin eşit düzeyde matematik öğrenimini

sağlamakta yetersizdir. Bütün öğrenciler iyi ve eşit öğrenmelerine olanak verecek destekçi, önceki bilgilerine, zekalarına ve kişisel ilgilerine uygun olarak düzenlenmiş matematik programını alabilmelilerdir.

Bazı öğrencilerin ileri matematik beklentilerine ulaşabilmeleri için daha fazla yardıma gereksinimleri olabilir. Örneğin anadili devam ettiği okuldaki eğitim dili ile aynı olmayan çocuklara sınıftaki tartışmalara katılabilmesi için ayrı bir ilgi gösterilmesi gerekir. Eğer bu


çocukların matematiksel yeterliliği ana dilleri olmayan dille ölçülüyor ise doğru bir şekilde ölçülmüş sayılmaz.

Bedensel engelli çocuklarda ödevleri tamamlamak için daha fazla zamana ihtiyaç duyabilirler. Bazı durumlarda bedensel engelli bir çocuğun ödevlerini yazılı olarak değil sözlü olarak yapması yerinde olur. Matematikte sorunları olan bir öğrenci daha fazla yardımcı kaynaklara ihtiyaç duyabilir. Özel ilgileri olan ya da özel yetenekli çocuklar da daha zengin kaynak ve programlara ihtiyaç duyabilirler. Okullar bu özel durumlara cevap verirken diğer öğrencileri de unutmamalıdırlar.

Teknoloji, sınıfta eşitliğin sağlanmasına yardımcı olabilir. Örneğin teknolojik aletler ve ortam tüm öğrencilere karmaşık matematik problemleri ve fikirlerini keşfetmek, beceriler üzerinde pratik yapmak, ekstra ilgiye ihtiyacı olan öğrencilere yardımcı olmak gibi fırsatlar sağlarlar. Ses tanıyabilen ya da ses yaratabilen bilgisayarlar başka şekilde düşüncelerini paylaşamayan öğrenciler için oldukça yararlı olurlar. Ayrıca teknoloji öğrencilerin dikkatini çekerek onları güdüler. Tüm öğrencilerin ilginç ve matematiksel fikirleri edinmek için teknolojiyi uygun şekilde kullanabilme şansını yakalaması da önemlidir. Yani teknolojiye ulaşma, eğitimdeki eşitsizliğin başka bir boyutu olmamalıdır.

Eşitlik bütün sınıflar ve öğrenciler için kaynak ve desteği gerektirir. Bir çok araştırma göstermiştir ki öğrenmelerine yardımcı olacak yüksek kalite eğitim

programlarına ulaşabilen her öğrenci matematik öğrenebilir (Campbell 1995; Griffin, Case ve Siegler 1994; Knapp 1995; Silver ve Stein 1996).

Eşitliğe ulaşmak önemli ölçüde sınıftaki ve okuldaki insan kaynakları ve araç gereçleri sağlanmasına bağlıdır. Diğer bir önemli bileşen ise öğretmenlerin profesyonel gelişimidir. Öğretmen, farklı dil ve kültür alt yapısına sahip, özel problemleri olan ya da matematiğe karşı özel yetenek ve ilgisi olan öğrencilerin kuvvetli ve eksik yönlerini fark etmelidirler. Öğrenciler arasındaki farklılıkların etkili ve duyarlı bir şekilde üstesinden gelebilmek için öğretmenin önce kendi inanç ve önyargılarıyla yüzleşmesi ve onları aşması gerekir.

YETĐŞEK PRENSĐBĐ

Yetişek etkinliklerin bütününden daha büyük bir şeydir; uyumlu, önemli matematiği odak almış ve düzeylere göre iyi düzenlenmiş olmalıdır.

Matematik yetişeği öğrencilerin okulda neyi öğrenme fırsatlarının olduğu ve ne öğrendiklerinin önemli bir belirleyicisidir. Öğrencinin daha derinliğine anlaması ve becerilerini matematiğin daha geniş alanlarına uygulaması için matematiksel fikirler birbiriyle bağlantılıdır ve birbirinin üzerine kurulmuştur. Etkili bir matematik eğitimi “önemli matematiğe” odaklanır. Önemli matematik öğrenciyi okulda, evde ve iş hayatında karşılaşılacak çeşitli problemleri çözmeye hazırlayan matematiktir. Đyi düzenlenmiş bir yetişek öğrencinin çalışmaları ilerledikçe daha sofistike bir şekilde öğrenmesine yardım eder.

Matematik Yetişeği Uyumlu Olmalıdır. Matematik geometri, cebir gibi birbirinden farklı ama birbiriyle oldukça ilişkili

konulardan oluşur. Konuların birbiriyle ilişkisi yetişekte ve öğretim araç-gereçlerinde gösterilmelidir. Uyumlu bir yetişek, öğrencinin önemli matematiksel fikirleri diğer fikirlerle


ilişkilendirmesini, konuları birbirinin üzerine inşaa ederek öğrenebilmesini, böylece yeni anlayışlar ve beceriler geliştirebilmesini etkili bir şekilde sağlayabilecek durumda organize edilmelidir.

Her bir dersi planlarken, öğretmen temel konuları bütün ile entegre etmeye çalışmalıdır. Terminolojiler, tanımlar, kavramlar, gösterimler ve beceriler tüm konular incelenirler tutarlı bir şekilde sunulmalıdır. Konuların üniteler halinde yıl boyu verilme sırası da iyi düzenlenmesi gereken diğer bir unsurdur. Ayrıca öğretmen gerektiğinde konuların yerini değiştirme ya da beklenmeyen bir yöne doğru ilerlemesi durumlarına karşı da esnek olmalıdır.

Matematik Müfredatı Önemli Matematiğe Odaklanmalıdır. Okul matematiği öğrencilerin zamanını ve dikkatini harcamaya değecek konulara

odaklanmalıdır. Matematik konuları diğer matematik düşüncelerinde kullanılması, matematiğin diğer alanları ile ilgisi, öğrencinin matematiği bir disiplin ve insan yaratımı olarak anlamasına yardım etmesi gibi çeşitli sebeplerle önemli sayılabilir.

Basamak değeri, eşitlik, orantı, fonksiyon ve değişim oranı konuları matematik yetişeğinde önemli bir yer tutmalıdır çünkü bu konular öğrencilerin diğer matematik konularını anlamalarına ve farklı matematik düşünceleri arasında bağlantı kurmalarına yardımcı olurlar. Matematiksel düşünme ve akıl yürütme becerisi, çıkarım yapma, dedüktif argümanlar geliştirme, yeni anlama yeteneği geliştirme ve ileri çalışmalara taban oluştururlar. Simetri ve genelleme yapma gibi matematiksel kavram ve süreçler ise matematiğin doğası ve güzelliği ile ilgili anlam kazanmasına yardımcı olur. Ayrıca yetişek, öğrencinin modellemelerin ve matematiğin günlük yaşam olaylarını tahmin etmedeki gücünü anlamasını sağlayacak tecrübeler içermelidir. Yetişek öğrencilerin niceliksel okur yazarlığını destekleyecek matematiksel süreç ve becerilere ağırlık vermelidir. Modern toplum insanları iddiaları, ipuçlarını ve riskleri değerlendirebilecek, eksiklikleri fark edebilecek durumda olmalıdırlar.

Matematik Yetişeği Seviyelere Uygun Olarak Düzenlenmelidir. Matematik öğrenmek, fikirleri biriktirmek, düzenli şekilde inşaa etmek ve daha rafine

anlayıştan oluşur. Matematik yetişeği öğretmenin öğrencileri daha üst seviyelerde düşünmesine yardım edecek ve daha derin bilgi seviyesi sağlayacak şekilde bir harita oluşturmalıdır. Öğretmenin öğrencilere yapacağı bu yardım seviyelere göre uygun şekilde düzenleme gerektirir. Örneğin öğrenciler K - 2 seviyelerinde iki boyutlu şekillerin benzerlik ve farklılıklarını incelerler. 3 – 5 seviyelerinde ise çeşitli dörtgenlerin özelliklerini tanıyabilirler. 6 - 8 seviyelerinde belli dörtgenleri çalışabilir ve bunlardan genellemeler yapabilirler. 9 - 12 sevilerinde belli poligonlarla ilgili çıkarımları desteklemek için argümanlar oluşturabilirler. Üst sınıflara geçtikçe, öğrenciler daha derin matematiksel fikirlerle uğraşırlar.

Eğer yetişek iyi bir şekilde düzenlenmezse uğraşılar tekrarlanmak ve gereksiz tekrarlar yapılmak zorunda kalınabilinir.


Çev: Oylum AKKUŞ

ÖĞRETME PRENSĐBĐ

Etkili matematik öğretimi, öğrencilerin ne bildiği, neyi öğrenme ihtiyacı olduğunu anlamayı, sonra da onları iyi öğrenmeleri için kışkırtmayı ve desteklemeyi gerektirir gerektirir. Öğrenciler matematiği öğretmenlerin sağladığı deneyimler ile öğrenirler. Böylece, öğrencilerin matematiği anlayışları, bunu problem çözmede kullanma yetileri, kendilerine güvenleri, matematiğe karşı tutumları okulda karşılaştıkları öğretimlerle şekillenir. Tüm öğrenciler için matematik eğitiminin gelişimi, sınıf ortamlarındaki etkili matematik öğretimini gerektirir.

Matematiği iyi öğretmek karışık bir iştir, bu nedenle tüm öğrencilerin öğrenmesine yardımcı olacak ya da tüm öğretmenlerin etkin olmasını sağlayacak bir reçete yoktur. Ama etkili matematik öğretimi ile ilgili çoğu şey bilinmekte ve bu bilgi profesyonel etkinlik hazırlamada rehber olabilmektedir. Etkili olmak için, öğretmenler öğrettikleri matematiği derinlemesine anlamak ve bilmek zorunda olup bu bilgilerini öğretim aşamasında kullanabilmelidirler. Öğrencileri matematik öğrenicileri olarak görmenin yanısıra insan olarak ta görmeli, öğrencilerin gereksinim duyduğu değerlendirme ve pedagojik stratejileri de kullanmalıdırlar. Buna ek olarak, etkili öğretim gelişimi yakalamak için, sürekli çabayı gerektirir. Öğretmenlerin kendi bilgilerini tazelemek ve zenginleştirmek için iyi kaynaklara gereksinimleri vardır.

Matematik Öğretimi için Profesyonel Standartlar (NCTM, 1991) kitabında matematik öğretimi için sunulan 6 standart:

1. Yararlı matematiksel işler/etkinlikler(task)

2. Anlatımlarda öğretmenin rolünün önemi 3. Anlatımlarda öğrencinin rolünün önemi

4. Diyalogları zenginleştirme araçları 5. Öğrenme ortamı

6. Öğretme ve öğrenmenin analizi

Öğretmenler farklı çeşitlerde matematiksel bilgiye gereksinim duyarlar. Örneğin;

müfredat amaçları hakkında esnek bilgilere ve bu amaçların sınıf düzeyi ile örtüşmesine, bilgilerin sınıf ortamında etkili olarak nasıl öğretileceğine ve bu bilgilerin anlaşılıp anlaşılmadığının nasıl değerlendirileceğine gereksinim duyarlar. Bu bilgiler öğretmene sağlıklı değerlendirme yapma, öğrencilerin sorularına cevap verme ve sonrasını planlama konularında yardımcı olur. Pedagojik bilgi ise, en gereklisidir. Öğretme işi, pratik yaptıkça şekillenir. Öğretmenler, matematiği anlamaya çalışmalı ve matematiği ilişkili bir konu olarak sunabilmelidirler. Kararları ve sınıftaki hareketleri bu bilgilere dayanmalıdır çünkü öğretmenle ilgili herşey öğrencinin matematiği öğrenmesini etkiler. Öğretmenlerin


öğrencilerin genellikle güçlük çektiği konuları belirleme ve yanlış anlamalarını gidermek için köprü kurma yolları bulmaya gereksinimleri vardır.

Etkili matematik öğretimi, öğrencilerin matematik anlamalarının gelişiminin takibini gerektirir. Çünkü öğrenciler eski bilgilerle yenileri arasında bağlantılar kurarak öğrenirler, yani öğretmenler öğrencilerin ne biliyor olduklarını bilmek durumundadırlar. Etkili öğretmen, nasıl soru soracağını, dersi nasıl planlayacağını bilir. Kendi deneyimlerini derse nasıl adapte edeceğini, bu deneyimler üzerine bilgiyi nasıl kuracağını da bilir.

Öğretmenler matematiksel düşüncenin öğrenciler tarafından öğrenilmesine yardım ederken farklı stratejiler ve teknikler kullanırlar, çünkü öğretmenin tek bir yolu yoktur. Etkili öğretmenler verdikleri kararların öğrencilerin matematiksel çözümlemelerini ve onların öğrenmeye yönelik zengin olanaklara sahip olacaklarının farkındadırlar. Uygun öğretim materyallerinin seçimi ve kullanımı, uygun öğretim tekniklerinin kullanımı sürekli gelişime önem vermek, iyi öğretmenlerin hergün yaptıkları etkinliklerdendir.

Matematik öğretmenin karmaşıklıklarından biri, amaçlı ve planlı sınıflar ile öğretmenin öğrencilerinin durumu karşısında hazırlanmamış anında etkinliklerin devreye sokulması ( ki bu etkinlikler yanılgıları gidermeye yönelik olacaktır) olayının dengede tutulmasıdır. Đyi matematik öğretmek; yaratma, zenginleştirme, sürdürme, koruma, matematiksel amaçlara uygun olarak öğretimi kaydırma, öğrencilerin ilgisine yönelik olma ve öğrencileri matematiksel anlamalarını inşa etmek için yüreklendirme şeklinde olmalıdır.

Etkili öğretim iddialı ve destekleyici sınıf öğretim ortamlarını gerektirir. Öğretmenler, hergün öğrenme ortamının nasıl yapılandırılacağı ve hangi matematiğin

aşılanacağı ile ilgili birçok seçim yaparlar. Bu kararlar genel olarak öğrencilerin ne öğreneceğini belirler. Etkili öğretme, her öğrencinin matematiği anlayabileceğini yayan bir görüşe sahiptir. Bu nedenle her biri amaca ulaşmak için gösterdikleri çabada desteklenmelidirler.

Öğretmenler, matematik öğrenme ortamlarını verdikleri kararlar doğrultusunda, yarattıkları fiziksel oturumlarla kurarlar ve beslerler. Öğretmenler öğrencileri yüreklendirmek için, onları düşündürür, sorular sorar, problem çözdürür ve fikirlerini, stratejilerini çözümlerini tartıştırır. Öğretmen ciddi matematiksel düşünmenin şart olduğu entelektüel ortamları yaratmaktan sorumludur. Sıralarda, tahtadan masadan oluşturulmuş fiziksel bir ortamın yanında öğrencilerin matematik öğrenmeye değer vermelerini sağlayan iletişimler de kurulmalıdır. Öğrencilerin tartışmaları ve işbirlikli çalışmaları desteklendi mi? Öğrenciler düşüncelerini kanıtladılar mı? Eğer öğrenciler ilişki kurma, problem çözmenin farklı yaklaşımlarını deneme, matematiksel tartışmaları yapılandırma ve diğer argümanlara cevap verme durumunda ise, bu etkinliklerin desteklendiği ortamlar yaratılmalıdır.

Etkili öğretmede, değerli matematiksel etkinlikler, önemli matematiksel düşünceleri tanıtmada, çocukları entelektüel açıdan zorlamada kullanılmalıdır. Đyi seçilmiş etkinlikler, öğrencilerin merakını canlandırır ve matematik yaptıklarında övünmelerini sağlar. Bu etkinlikler, öğrencilerin gerçek dünya deneyimleriyle ilintili olabilir ya da sadece matematiksel olabilir. Bağlam dikkate alınarak, değerli etkinlikler geliştirilmeli, öğrencilere meydan okuyacak ve öğrenciler arasında tartışmalara neden olacak işler yapılmalıdır. Bu gibi işler birden fazla yollarla yaklaştırılmalı, örneğin; aritmetik sayma yaklaşımını kullanma, geometrik bir diagram çizme ve cebirsel denklemleri kullanma gibi şeylerle öğrencilerin eski bilgilerini kullanmalarını sağlayacak etkinlikler verilmiş olur.


Sadece değerli etkinlikler vermek etkili öğretim için yeterli değildir. Öğretmenler ayrıca etkinliğin hangi yönünün önemli olduğuna, bunu nasıl organize edeceklerine ve öğrencilerin çalışmalarını nasıl organize edeceklerine, çeşitli düzeylerde öğrencilere nasıl meydan okuyucu sorular soracaklarına, onların düşünme süreçlerini üstüne almadan, onları düşünme sürecinden uzaklaştırmadan nasıl destekleyeceklerine de karar vermelidirler.

Etkili öğretim sürekli gelişimi aramayı gerektirir. Etkili öğretim öğrencileri gözlemlemeyi, onların düşüncelerini ve açıklamalarını

dikkatlice dinlemeyi, matematiksel amaçlara sahip olmayı ve bilgiyi öğretimsel kararlar vermek için kullanmayı içerir. Bu şekilde pratikler yapan öğretmen öğrencilerini matematiksel düşünme, usavurma ve öğrencilere tüm anlama düzeyinde meydan okuyan öğrenme fırsatları verecek şekilde yüreklendirir. Etkili öğretme, öğrenme ve gelişim için sürekli çabayı gerektirir. Bu çabalar, matematik ve pedagojiyle ilgili öğrenmeyi, iş arkadaşları ve öğrenciler arasındaki etkileşimlerden yararlanmayı ve devamlı profesyonel gelişim ve kendi kendine yansıtma içinde bulunmayı içerir.

Matematik öğretmenlerini geliştirmek için, öğretmenler kendilerinin ve öğrencilerinin ne yaptıklarını analiz etmek ve bu hareketlerin öğrencilerin öğrenmelerini nasıl etkilediklerini düşünebiliyor olmak zorundadırlar. Çeşitli teknikler kullanarak öğretmenler öğrencilerinin kapasitelerini, durumlarını analiz etme yetilerinin artışını, problem kurma ve çözme becerilerini, matematiksel kavramları ve süreçleri anlamlandırmalarını gözlemelidirler. Bu bilgiyi de öğrencilerin gelişimini değerlendirmek ve matematiksel görevin nasıl işlediğini anlamak ve takdir etmek, sınıf ortamının öğrencilerin öğrenimini nasıl etkilediğini görmek için kullanabilirler.

Yansıtma ve analiz genellikle bireysel etkinliklerdir ama deneyimli işi arkadaşlarıyla çalışılınca ya da yeni mezun bir öğretmenle ya da bir öğretmen grubuyla, bu daha da zenginleştirilebilir. Amerikan okullarında öğretmenlerin düzenli olarak takım çalışması yapıp, gözlemeleri, analiz etmeleri ve öğretimi ve öğrencilerin düşüncelerini tartışmaları ya da "ders çalışması" yapmaları çok güçlü bir profesyonel gelişim biçimi olarak uygulanmaktadır. Öğretmenlerin çalışmaları için okul içi zamanları da buna göre ayarlanır.

ÖĞRENME PRENSĐBĐ

Öğrenciler matematiği anlayarak deneyimleri kullanarak, eski bilgilerden yeni bilgiyi etkin olarak kurarak öğrenmek zorundadırlar. "Prensipler ve Standartlar" adlı kitaptaki okul matematiği vizyonu, öğrencilerin matematiği anlayarak öğrenmesi temeline dayanır. Maalesef, matematiği anlayamadan öğrenme okul matematik öğretiminin uzun yıllar boyunca genel bir çıktısı olmuştur. Aslında anlamadan öğrenme 1930'lardan beri gelen bir problemdir ve eğitimciler-psikologlar arasında yıllarca tartışılan araştırma yapılan bir konu olmuştur. Matematik öğrenme, anlamayı, kavramları uygulamayı gerektirir. 21. yy da tüm öğrencilerin matematiği anlayabilmesi ve uygulayabilmesi beklenmelidir.


Matematiği anlayarak öğrenmek gereklidir. Son yüzyılda, matematik gibi kompleks konular üzerine olan psikoloji ve eğitim

araştırmaları önemli rol oynamaya başlamıştır. Karışık konularda, yeterli olmak için bilgiyi esnekçe kullanmak, öğrenilenleri bir oturumdan diğerine uygulayabilmek gerekir. Araştırmaların en güçlü bulgularından biri, kavramsal anlamanın yeterliğin en önemli bileşenlerinden olduğudur.

Bilgi, yeterlik ve kavramsal anlama iyi bir şekilde kullanılırsa çok güçlüdür. Kavramları anlamadan ezberleyen öğrenciler bildiklerini ne zaman ve nasıl kullanacaklarından genellikle emin değildirler ve bu tip öğrenmeler daha çabuk unutulur. Anlayarak öğrenme sonraki öğrenmeleri de kolay kılar. Öğrenciler eğer yeni bilgi ile varolan bilgi arasında bir anlam bağı kurarlarsa matematik anlamlanır ve hatırlanması uygulaması kolaylaşır. Đyi bağlantılı, kavramsal temelli düşünceler yeni durumlar için kullanılmaya uygundur (Skemp, 76).

Đş dünyası içinde sayısal bilgi kullanılmaktadır. Problemlerle baş etmek için kavramsal anlama önemlidir. Bunun yanısıra, süreçler ve işlem hamallığı sürekli gelişen şu dünyada hergün kolaylaşmaktadır ama kavramlar tam oturmalıdır. Örneğin; çoğu aritmetik ve cebirsel süreçler okul matematiğinde artık hesap makinesiyle yapılmaktadır.

Hayattaki herşey değişim halindedir, o halde anlayarak öğrenme öğrencilerin öğrendiklerini kullanmaları ve gelecekte karşılaşacakları durumlar için problem çözme yetisi kazanmaları için daha büyük önem taşımaktadır.

Okul matematik programının temel amacı, kendi kendini idare edebilen öğrenenler yetiştirmektir. Anlayarak öğrenme de bu amacı destekler. Öğrenciler amaçlarını belirleyip kendi gelişimlerini izlediklerinde öğrenmenin kontrolünü ellerine alırlar ve böylece daha iyi ve daha planlı öğrenebilirler. Đyi seçilmiş kışkırtıcı etkinliklerle, öğrenciler güç problemlerle başedebilme yeteneğine sahip olabilirler, matematiksel düşünceleri ve değişik çözüm yollarını keşfedebilirler. Etkili öğretmenler, kendi öğrenmelerini yansıtma ve yanlışlarından öğrenmenin gerekliliğini farkederler. Öğrenciler zor matematiksel araştırmalar karşısında pes edeceklerine onlara meydan okuyabilmelidirler. Matematiksel bir görev zor olsa da çocuklar için meşgul edici ve ödüllendirici olabilir. Öğrenciler zor bir problemi çözmek ya da zor bir düşünceyi anlamak için çok çalışırlarken, başarı duygusunu da tadarlar ve bu onlara devam etmek için istek verir, onların matematikle olan meşguliyetlerini genişletir.

Öğrenciler matematiği anlayarak öğrenirler Küçük yaşlardan beri çocuklar matematiksel düşünceler içindedirler. Günlük hayat

deneyimleri boyunca, sayılar örüntüler şekiller miktarlar veriler ve boyutlar hakkında birçok informal düşünceyi okullarından önce de geliştirirler ve bunların çoğu doğrudur. Böylece çocuklar okula gelmeden önce birçok matematiksel düşünceyi doğal yollarla öğrenmiş olurlar. Eski öğrenmeler üzerine yeni öğrenmeleri ve deneyimleri inşa etme işi erken ve sürekli tekrar içinde olmalıdır, genellikle bu iş okul yıllarında yapılır. Her yaştaki çocukların üzerlerine kurulabilecek belli bir miktar bilgisi vardır, bu bilgi hem okuldaki öğretimle kazanılanları, hem de günlük yaşamdan edinilen deneyimleri içerir.

Öğrencilerin öğrenmelerinin genişliği ve kalitesini hesaplamada öğretmenlerin sağladığı deneyimlerin rolü önemlidir. Eğer öğrenciler okulda iyi etkinliklerle ve deneyimlerle meşgul edilirlerse ki bu deneyimler bilgiler arası bağlantıları kurabilecek nitelikte olmalıdır, öğrencilerin matematiksel düşünceleri anlamaları okul yılları boyunca sağlanabilir.


Anlayarak öğrenme, sınıf içi etkileşimlerle zenginleştirilebilir çünkü öğrenciler matematiksel fikirleri ve bağlantıları önererek, kendi öğrenmelerini değerlendirerek matematiksel akıl yürütme yetilerini geliştirerek anlarlar. Sınıf içi diyaloglar ve sosyal etkileşimler, fikirler arasındaki bağlantıların ve bilginin tekrar organize edilmesinin farkına varılışının aktarılması için kullanılabilir. Öğrencilerle onların formal olmayan stratejileri hakkında konuşmak, öğretmenlerin onların farkında olmasına yardımcı olur, onların net olmayan informal bilgilerini yapılandırır.

Çev: C. Harun BÖKE DEĞERLENDĐRME PRENSĐBĐ

Değerlendirme hem öğretmen hem de öğrenci için önemli matematiğin öğrenilmesini desteklemeli ve gerekli bilgileri sağlamalıdır. Değerlendirme matematik eğitiminin tamamlayıcı bir parçası olduğunda tüm öğrencilerin matematik öğrenimine belirgin bir biçimde katkıda bulunacaktır. Standartlara bağlı kalınarak tartışıldığında öğrencilerin hedeflere ne kadar ulaşılabildiğini anlamak için sınavlara odaklanılsa da, aslında değerlendirmenin başka önemli amaçları vardır. Değerlendirme, verilen eğitimin sonunda öğrencilerin belli koşullar altında ne kadar başarılı olduklarını gösterecek bir sınavdan çok, öğretmene bilgi vermeye ve verdiği eğitimle ilgili kararlarını etkilemeye yönelik, eğitimin tamamlayıcı bir parçası olmalıdır. Değerlendirme öğrenciye karşı yapılmamalıdır, öğrenci için yapılmalıdır.

Değerlendirme öğrencinin öğrenmesini arttırmalıdır Değerlendirmenin öğrenmeyi arttırması ifadesi şaşırtıcı olabilir. Sonuç olarak, eğer

değerlendirme öğrencinin konuyu ne kadar öğrendiğini ve verilen problemleri ne ölçüde yapabildiğini gösteriyorsa, öğrenmenin arttırılmasıyla ilgili olumlu sonuçları olabilir mi? Araştırmalar değerlendirmenin sınıf içi çalışmalarda tamamlayıcı bir rol almasıyla öğrenmenin artması arasında olumlu bir ilişki olduğunu göstermektedir. Black ve William (1998) 250 kadar araştırmanın sonuçlarını inceledikten sonra, değerlendirmenin tamamlayıcı etkisiyle öğrencilerde öğrenmenin olumlu yönde geliştiğini bulguladıklarını ifade etmişlerdir.

Đyi değerlendirme öğrenmeyi çeşitli yollar yardımıyla arttırabilir. Öncelikle, bir değerlendirmede kullanılacak etkinlikler öğrencilere hangi matematik bilgi ve uygulamalarının değerli olduğunu gösterebilir. Bu da, öğrencinin çalışmak için çaba sarf edip sarf etmemesi yönünde vereceği kararı olumlu olarak etkiler. Dolayısıyla değerlendirmenin bu şekilde kullanımı, öğrencinin dikkati ve zamanı açısından önem taşır. Öğretmenler gözlem, sohbet, öğrencilerle görüşme ya da karşılıklı etkileşimli günlükler gibi değerlendirme tekniklerini kullanmaya başladıkları zaman, öğrenciler düşüncelerin açıkça ifade edebilme ve öğretmenin sorularını yanıtlama süreçlerini öğrenmeye başlayacaklardır.

Değerlendirme etkinliklerinden alacakları geri bildirim, öğrencilere kendi öğrenmelerinin sorumluluğunu üstlenmeleri ve giderek daha bağımsız öğrenciler olmaları yolunda yardımcı olacaktır. Örneğin puan rehberleri ya da talimatlar, öğretmenlerin öğrencilerin karmaşık etkinliklere verdikleri tepkileri belirleme ve çözümlemelerine, ayrıca öğrencilerin ustalık düzeylerini belirlemelerine yardımcı olabilir. Ayrıca öğrenciler tam ve


doğru yanıtların karakteristik özelliklerini anlama olanağı bulurlar. Benzer bir biçimde, öğrencilerin karmaşık bir problemin çözümü için değişik yaklaşımlar sundukları ve değerlendirdikleri sınıf tartışmaları, öğrencilerin mükemmel bir yanıt ile vasat bir yanıt arasındaki farkı anlamalarını da sağlar. Đyi etkinliklerin kullanılması ve iyi yanıtların tartışılması, öğrencilerin kendi kendini değerlendirme ve bu değerlendirmelerini -ve arkadaşlarının değerlendirmelerini- işlerine yansıtma kapasitelerini geliştirir. Kendi kendine değerlendirme ve akran-değerlendirmesinin öğrencilerin öğrenmesine olumlu etkisi olduğu bilinmektedir.

Değerlendirme öğretimle ilgili kararlar için değerli bir araçtır Tüm öğrencilerin yüksek nitelikli ve derin öğrenmesini sağlamak için değerlendirme

öğrenimle öyle bir kaynaştırılmalıdır ki, dersin bölünmesinden çok sıradan bir etkinliği haline gelmelidir. Bu şekilde değerlendirme öğretmenin de öğretimiyle ilgili uygun kararlar verebilmesine yardımcı olur. Testler ve küçük sınavlar gibi bildik değerlendirmeler dışında, öğretmenler sürekli olarak sınıfta soru sorma, öğrencilerle bireysel konuşmalar yapma vb yollarla da öğrencileri hakkında bilgi toplamalıdır.

Öğretmenler öğrencilerinin ne öğrendikleri hakkında işe yarar bir bilgiye sahip olduklarında, öğrencilerin matematiksel hedefler doğrultusunda ilerlemelerini destekleyebilirler. Öğretimle ilgili kararlar da -eski konuların nasıl ve ne zaman gözden geçirileceği, zor bir konunun nasıl tekrar anlatılacağı vb-, öğrencilerin ne bildikleri ve neyi öğrenmeleri gerektiği ile ilgili sonuçlara bakılarak alınabilir. Değerlendirme, bu sonuçların birincil kaynağıdır ve öğretmenlerin verdikleri kararların niteliği de buna bağlıdır.

Değerlendirme öğrencilerin bilmeleri gereken ve bilebilecekleri matematiği yansıtmalı, öğrencinin sıralı komutları uygulama becerilerinin yanı sıra, matematiği anlamalarına da odaklanmalıdır. Öğretmenlerin ne öğretebileceği ve ne öğrenebileceği konusunda kesin bilgileri olmalı ve değerlendirme öğretmenlerin öğretim hedeflerine uygun olarak düzenlenmelidir. Değerlendirme öğrencilerin bireysel ve grup içi ilerlemeleri hakkında bilgi sağlayarak her öğrencinin üretici bir şekilde aynı yönde ilerlediğini gösterebilir.

Etkili kararlar verebilmek için öğretmenler değişik kaynaklar kullanmalıdır. Bildik değerlendirmeler ancak belirli koşullarda belli bir açıdan öğrenciye bakabilmektedir -bireysel olarak verdikleri ve zamanla sınırlı sınavlar. Bu değerlendirmelere, öğrencilerin performansının eksik ve bozuk bir portresini verdiğinden fazlaca güvenmek doğru değildir. Her öğrenci bildiğini ve yapabildiğini farklı yollarla gösterebilir, dolayısıyla değerlendirmeler bir çok yaklaşıma izin vermelidir. Böylece her öğrencinin -güçlü ve zayıf yanlarıyla- tam bir resmi ortaya çıkacaktır.

Matematik öğretmenleri bir çok değerlendirme tekniği kullanabilirler, açık-uçlu sorular, yanıt-oluşturmaya yönelik etkinlikler, çoktan seçmeli sorular, performans etkinlikleri, gözlemler, sohbetler, günlükler ve portfolyolar. Bu yöntemlerin tümü sınıf içi değerlendirmede kullanılabilir.

Đyi uygulandığında öğretmenlerin içerik ya da öğretimin formuyla ilgili kararlarında etkili olan değerlendirme, öğrencilerin becerilerin değerlendirmek amacıyla da kullanılabilir.

Öğretmenler matematiksel hedeflerini derinlemesine anlamış olmalı, öğrencilerinin matematik hakkında ne düşünebileceklerini bilebilmeli, öğrencilerin bilgisini değerlendirmenin değişik anlamlarını kavramalı ve farklı kaynaklardan gelen değerlendirme sonuçlarını yorumlama yeteneğini geliştirmiş olmalıdır.


TEKNOLOJĐ PRENSĐBĐ

Teknoloji matematiğin öğretilmesi ve öğrenilmesi için önemlidir, öğretilen matematiği etkiler ve öğrencilerin öğrenmesini geliştirir. Elektronik teknolojiler -hesap makineleri ve bilgisayarlar- matematiği öğretmek, öğrenmek ve matematik yapmak için temel araçlardır. Bu araçlar matematiksel ifadelerin görsel imajlarını yaratma, verileri düzenleme ve çözümleme, etkili ve tam hesap yapma olanağı sağlarlar. Öğrencilerin matematiğin her alanında araştırma yapmalarına destek olurlar. Teknolojik araçlar kullanıldığında öğrenciler karar verme, yansıtma, usa vurma ve problem çözme becerileri üzerinde odaklanabilirler.

Teknolojinin uygun kullanımı söz konusu olduğunda öğrenciler daha çok matematiği daha derinlemesine öğrenebilirler. Teknoloji şu an geçerli olan temel anlayışların ve kuralların yerine geçmekten çok, bu anlayışları geliştirmek amacına hizmet etmelidir. Matematik öğretiminde teknoloji, öğrencilerin öğrenmelerini geliştirmek amacıyla yaygın bir biçimde kullanılmalıdır.

Teknolojinin varlığı, çok amaçlılığı ve gücü, öğrencilerin en iyi şekilde nasıl öğreneceklerinin yanı sıra, ne öğrenmeleri gerektiği konusunun da yeniden değerlendirilmesini olanaklı, hatta gerekli kılar. Bu kitapta belirtilen matematik sınıfı ortamında her öğrencinin matematiği öğrenmesini kolaylaştırmak için, konusuna hakim bir öğretmenin yardımıyla teknolojiyi kullanma şansı olmalıdır.

Teknoloji matematik eğitimini geliştirir Teknoloji öğrencilerin matematik öğrenmelerine yardımcı olabilir. Örneğin hesap

makineleri ve bilgisayarlarla öğrenciler kağıt kalemle yapılamayacak problemlerin üzerinde çalışabilirler. Teknolojik araçların çizimsel (grafik) gücü, öğrencilerin tek başlarına yapamayacakları görsel modellerin oluşturulmasını kolaylaştırır. Teknolojik araçların hesaplama kapasiteleri öğrencilerin uğraşabilecekleri problemlerin türünü arttırır. Ayrıca sıradan hesaplamaların çabucak ve eksiksiz olarak yapılmasını sağlar. Böylelikle modelleme ve kavramsallaştırmaya daha çok zaman kalır.

Öğrencilerin soyut matematiği kavramaları teknolojiyle daha kolaylaşır. Teknoloji öğrencilerin matematiksel düşüncelere olan yaklaşımlarının niteliğini arttırır.

Teknoloji öğretmenlere öğretimi öğrencinin özel ihtiyaçlarını karşılamak için uyumlulaştırılması şansını verir. Đlgisi çabuk dağılan öğrenciler bilgisayar etkinlikleriyle ilgilerini canlı tutabilirler.

Teknoloji etkili matematik öğretimini destekler Teknolojinin matematik dersinde etkili kullanımı öğretmene bağlıdır. Teknoloji her

şeyin çözümü değildir. Diğer öğretim araçları gibi iyi veya kötü kullanılabilir. Öğretmenler teknolojiyi öğrencilerin öğrenme fırsatlarını zenginleştirecek matematiksel etkinlikler seçecek ya da yaratacak şekilde kullanmalıdırlar. Örneğin benzetim (simulation) yazılımları yardımıyla öğrencilere teknoloji olmaksızın yaratılması zor deneyimler yaşatılabilir ya da veri bankaları veya internet kullanılarak bir takım etkinlikleri tamamlamaları sağlanabilir.

Teknoloji matematik öğretmenlerinin yerini almayacaktır. Öğrenciler teknolojik araçları kullanırlarken öğretmenden bağımsızmış gibi görünürler, ancak bu tamamen doğru


değildir. Öğretmen teknolojiyle zenginleştirilmiş sınıfta öğrencilerin öğrenmelerini etkileyecek birçok önemli karar verir. Öğretmen öncelikle teknolojiyi kullanıp kullanmayacağına, ne zaman ve nasıl kullanacağına karar vermelidir. Öğrenciler sınıfta hesap makinesi ya da bilgisayar kullanırken öğretmen de öğrencilerin düşünme yöntemlerine odaklanabilir. Öğrenciler teknolojiyle çalıştıkça, matematik üzerine düşünmenin yeni yöntemlerini geliştirirler -ki başka koşullarda pek de olası değildir bu. Dolayısıyla teknoloji değerlendirmeye yardımcı olur diyebiliriz.

Teknoloji hangi matematiğin öğretildiğine etki eder Teknoloji sadece matematiğin nasıl öğretildiği konusunda değil, hangi bölümlerin

öğretilmesi gerektiği konusunda da etkilidir. Öğrenciler teknolojinin yardımıyla büyük sayılarla işlem yapmayı veya bir çok veriyi düzenlemeyi ve çözümlemeyi daha erken yaşlarda öğrenebilirler. Đlköğretim ikinci kademe öğrencileri doğrusal denklemler veya eğimle ilgili çalışmaları bilgisayar laboratuarlarında yapabilirler. Lise öğrencileri benzetim yazılımları kullanabilirler, ayrıca cebir yazılımları yardımıyla geleneksel matematik yetişeğinde öğretilmesi amaçlanan tüm hesaplamaları yapabilirler.

Teknoloji öğretmenlere öğrencilerin matematiği anlayışını daha geniş anlamda geliştirecek becerileri öğrencilere aktarma şansı verir. Teknolojik araçların varlığı, hesap yapma, denklem çözme gibi amaçların önemini kaybedip öğrencilerin genelleme ve soyut düşünme becerilerinin gelişmesi amaçlarını ön plana çıkarmaktadır. Teknoloji sayesinde matematiğin sınıfta öğretilen bir çok konusu yeni bir önem kazanmakta, matematiksel alanın sınırları değişmektedir.

ÜNĐTE 3

Anaokulu öncesinden 12. sınıfa kadar OKUL MATEMATĐĞĐ ĐÇĐN STANDARTLAR

Çev: C. Harun BÖKE

Öğrenciler okula devam ettikleri sürece matematikten hangi konuları öğrenmelidir? "Okul Matematiği Đçin Đlke ve Standartlar" (Principles & Standards for School Mathematics), "Matematik Öğretmenleri Ulusal Konseyi"nin (NCTM) okul matematiği eğitiminde nelere önem verilmesi gerektiğiyle ilgili önerisini sunmaktadır. Matematiksel düşünebilen ve işe yarar matematiksel bilgi ve becerileri geliştirmiş bir topluma ulaşabilmek için yüksek standartlar gereklidir. Bu bölümde verilen on standart, matematiksel anlayış ve yeteneği tamamlamada yardımcı olacaktır. Standartlar, matematik eğitiminin öğrencilere ne öğreteceğinin ve onların ne yapabileceğinin tanımlarıdır. Öğrencilerin anaokulu öncesinden 12. sınıfa kadar kavramaları gereken anlayış, bilgi ve becerileri belirtirler. Đçerik Standartı -sayı ve işlemler, cebir, geometri, ölçme, veri çözümlemesi ve olasılık- açıkça öğrencilerin öğrenmesi gereken içeriği


tanımlar. Süreç Standartı -problem çözme, usavurma ve gösterim, iletişim, bağlantılar ve sunma- içerikte yer alan bilgiyi kavrama ve kullanmanın yollarıdır. Sınıf Sınıf Büyüme: Anlaşılırlığa ve Odaklanmaya Doğru Bu on standartın her biri anaokulu öncesinden 12. sınıfa kadar tüm sınıflarda uygulanabilir. Standartlar, fırsatı olan her öğrencinin öğrenebileceği türden matematik önerir. Her standart her sınıfa uygulanacak az sayıda hedefi içerir. Öğrenciler konularda belli bir anlayış derinliğine ve yetişekte belirtilen prosedürleri uygulamada belirli bir akıcılığa sahip olacaktır. Böylelikle öğretimin bir sonraki aşaması bu anlayış ve akıcılık üzerine bina edilebilecektir. Bu on standarttan her biri her sınıfa uygulanabilmektedir, ancak ağırlık sınıflar arasında değişmektedir. Örneğin Sayılar konusuna verilen ağırlık anaokulu öncesinden en üst düzeyde iken 9. - 12. sınıflarda neredeyse en alt düzeydedir. Ayrıca her sınıfın belirli ihtiyaçları nedeniyle matematik eğitimindeki toplam zamanın bölünmesi de farklılaşmaktadır. Örneğin orta sınıflarda, öğretim zamanının büyük çoğunluğunu cebir ve geometri almaktadır. Bu on standart okul matematik yetişeğini birbirinden ayrı parçalar şeklinde ayırmaz. Bir disiplin olarak matematik yüksek düzeyde karşılıklı ilişkili alanlardan oluştuğundan, standartların birbirlerini tekrarladığı ve tamamladığı görülür. Süreçler Đçerik Standartı dahilinde, içerik de Süreçler Standartı dahilinde öğrenilebilir. Standartlar arasında zengin bağlantı ve kesişmeler vardır. Örneğin sayılar matematiğin her alanına yayılmışlardır. Veri çözümlemesindeki bazı konular ölçme konusunun bir parçası sayılabilir. Örüntüler ve fonksiyonlar geometride boy gösterebilirler. Usavurma, gösterim, problem çözme ve sunuş süreçleri matematiğin her alanında görülürler. Bu standartlara göre düzenlenecek yetişeğin anlamlı matematiksel içerik ve süreçlerin tutarlı bir organizasyonu olması önerilmektedir. Soyut Matematik Nerede? 1989'daki "Okul Matematiği için Yetişek ve Değerlendirme Standartları", 9. - 12. sınıflar için Soyut Matematik Standartını getirmiştir. "Đlkeler ve Standartlar" soyut matematiğin ana konularını içermektedir, ancak standartlar arasında dağıtılmış bir haldedir ve anaokulu öncesinden 12. sınıfa kadar tüm sınıfları kapsar. Buna ek olarak, matris konusu da 9.-12. sınıfların yetişeğinde olmalıdır. Kombinasyon sistemli saymanın matematiğidir. Sıralı, aşama aşama bir değişim için tekrar yöntemi kullanılmıştır. Belirli sayıda nesneler arasındaki ilişki, ağ ve yolları içeren problemleri çözmek için grafikler kullanılmıştır.


SAYILAR VE ĐŞLEMLER Sayı ve Đşlemler Standartı sayma, sayılar, aritmetik, sayı sistemleri ve okunuşlarının derin ve temel anlayışını tanımlar. Temel aritmetiğin algoritmaları ve konuları, sayı kuramının başlangıcı olan sayı sınıflarının olduğu kadar, sayı ve işlemlerin bir parçasıdır. Bu standartın merkezinde sayı kavramının geliştirilmesi vardır -sayıları çözümleme, 100 ya da 1/2 gibi belirli sayıları kullanabilme, aritmetik işlemlerinin arasındaki ilişkileri kullanarak problem çözme, onluk sayı sistemini anlama vb. Tarihsel olarak sayı tüm matematik yetişeğinde bir yapıtaşı olmuştur. Anaokulu öncesinden 12. sınıfa kadar tüm sınıfların matematiğinin sayıdan temellenmesi önerilmiştir. Cebirdeki denklem çözme ilkeleri, sayı sistemlerindeki yapısal özelliklerle aynıdır. Geometri ve ölçmede nitelikler sayılarla tanımlanır. Tüm veri çözümleme alanı sayı kavramından temellenmiştir. Problem çözme sürecinde öğrenciler sayı anlayışlarını keşfeder ve somutlaştırırlar. Küçük çocukların matematiksel usavurmaları daha çok sayıların durumlarıyla ilgilidir, ve matematiksel ifadeleri sayılarla olacaktır. Araştırmalar sayı ve işlemleri öğrenmenin çocuklar için karmaşık bir süreç olduğunu göstermiştir. Bu standartlarda sayı ve işlemler, sayı kavramını geliştirme ve aritmetik hesaplarda akıcılık kazanma ilk sınıfların matematik eğitiminin temelini oluşturmaktadır. Öğrenciler anaokulundan 12. sınıfa doğru ilerledikçe sayılarla ilgili zengin bir anlayışa ulaşmalıdırlar -sayıların ne oldukları, nesnelerle, rakamlarla ya da sayı çizgisinde nasıl gösterildikleri, birbirleriyle nasıl ilişkili oldukları, sayıların özellikleri ve yapıları olan sistemlere nasıl gömüldükleri ve problem çözmede sayıların ve işlemlerin nasıl kullanıldıkları vb. Tek basamaklı toplama ve çarpma yapılacak sayı çiftleri ve bunların bölme ve çıkarmadaki eşleri gibi temel sayı birleşimlerini bilmek önemlidir. Hesaplamada akıcılık -hesaplamanın yöntemlerini etkili ve tam olarak bilme ve kullanmada aynı derecede önemlidir. Akıcılıktan kasıt, özellikle büyük sayıları kullanırken mantıksal stratejilerin karışımının kullanılması, kağıt kalemle hesap yapılması ve hızlı bir şekilde tam sonuçlar bulmaktır. Öğrenciler kullandıkları yöntemi açıklayabilmelidir, böylelikle birçok yöntemin varlığını fark edip hangilerinin etkili, tam ve genel olduğunu anlayabilirler. Hesaplama akıcılığı işlemlerin rolü ve anlamının anlaşılmasıyla birlikte gelişmelidir. Hesap makineleri büyük sayılarla yapılan işlemlerde kullanılmalıdır. Ancak öğretmenler öğrencilere hesapla ilgili algoritmaları öğretirken hesap makineleri bir kenara bırakılmalıdır. Bugün hesap makinesi sınıf dışında yaygın bir biçimde kullanılmaktadır ve artık sınıflarda da kullanılmaya başlanmıştır. Sayıları, Sayıları Gösterme Yollarını, Sayılar Arası Đlişkileri ve Sayı Sistemlerini Anlama Sayıların kavranması anaokulu öncesinden 2. sınıfa kadar olan dönemi kapsar. Öğrenciler bu dönemde saymayı ve bir kümede "kaç" eleman olduğunu bulmayı öğrenirler. Bir anahtar düşünce, bir sayının birden fazla çözümlemesinin bulunmasıdır. Örneğin 24 sayısı 2 onluk 4 birlik olarak çözümlenebileceği gibi, 2 12'lik olarak da çözümlenebilir. 10 sayısını hem 1 onluk, hem de 10 birlik olarak görebilmek, onluk sistemi anlayabilmelerinde öğrencilerin kavramaları


gereken ilk basamaktır. Đlk sınıflarda öğrenciler sayı sınıflarını -tek, çift, asal, kare sayılar vb- ve karakteristik özelliklerini öğrenebiliriler. Tam sayıların öğrenciler tarafından kavranmasından sonra, basit kesirlere giriş yapılabilir; bir kekin 1/2'si ya da pizzanın 1/8'i gibi, ve bu kesirler bir bütünün parçaları olarak tanıtılmalıdır. Öğretmenler öğrencilerin kesirleri sayıların birbirine bölünmesi olarak algılamalarına yardımcı olmalıdır. Daha sonraki sınıflarda oran ve orantının bir parçası olarak öğrenciler kesirleri sayı olarak somutlaştırmalıdırlar. Sayıların somut bir biçimde kavranmasıyla orta okulda öğrenciler sayıları temsilen değişkenleri kullanabileceklerdir. Đlk sınıfların matematik derslerinde giriş olarak sayıları göstermek amacıyla somut materyaller kullanılmalıdır. Daha sonraki sınıflarda öğrenciler sayıların birçok farklı biçimde yazılabildiğini anlamalıdırlar. Böylece, örneğin 1/4, 0.25 ve %25 ifadelerinin aynı sayıyı nitelediğini görebilirler. Öğrencilerin anlayışları ve usavurmaları kesir ve ondalık sayıları fiziksel materyaller ve sayı çizgisi kullanarak geliştirecektir. Öğrenciler sayıları ve nasıl göstereceklerini anladıkça, sayılar arasındaki ilişkileri de anlamaya başlayacaklardır. 3. sınıftan 5. sınıfa kadar öğrenciler 1/2 gibi temel kesirleri karşılaştırmayı öğrenebilirler. Sayı kavramına hakim oldukça 1/2 + 3/8 toplamının 1'den küçük olacağını, çünkü her iki kesrin de 1/2'ye eşit ya da 1/2'den küçük olduğunu açıklayabilirler. 6-8. sınıflarda öğrencilerin eşit kesirler, ondalıklar ve yüzdelerle çalışabilmeleri çok önemlidir. Böylelikle kesirli sayıları karşılaştırma ve sıralama becerilerini geliştirebilirler. Lise öğrencileri de değişkenleri ve fonksiyonları sayı kümeleri arasındaki ilişkileri göstermek için kullanabilirler. Diğer matematik konuları 9.-12. sınıflarda sayılardan daha ağırlıklı olarak verilmesine karşın, bu sınıflarda öğrenciler sayı sistemlerini daha geniş bir açıyla görmelidirler. Sayı sistemleri arasındaki farkları öğrenmeli ve bir sistemden diğerine geçişte hangi özelliklerin korunup hangilerinin kaybolduğunu görebilmelidirler. Đşlemlerin Anlamını ve Birbirleriyle Olan Đlişkilerini Anlama Đlk sınıflar boyunca öğrenciler toplama ve çıkarma için bir anlam çeşitlemesiyle karşılaşırlar. Araştırmacılar ve öğretmenler öğrencilerin; "Bob 2 kek aldı. Şimdi 5 keki var. Bob'un başta kaç keki vardı?" gibi basit aritmetik problemlerine yaklaşımlarında işlemleri nasıl algıladıklarını öğrenmişlerdir. Öğrenciler bu problemi çözmek için toplama kullanarak parmaklarıyla ikiden beşe kadar sayabilirler. Ya da problemi bir çıkarma durumu olarak algılayıp 5 - 2 = 3 işlemini yapabilirler. Buna benzer düşünme stratejilerini keşfetmek veya 7 + 8'in 7 + 7 + 1 ile aynı olduğunu anlamak öğrencilerin işlemlerin anlamını görmelerini sağlar. Bu ve benzeri keşifler öğrencilerin ne düşündüğünü anlamaya yardımcı olur. Çarpma ve bölme işlemleri de öğrencilerin anaokulu öncesinden 2. sınıfa kadarki dönemde anlayabilecekleri işlemlerdir. Öğrenciler bir çanta dolusu şekeri eşit olarak nasıl paylaşacakları gibi problemleri çözerlerken çarpma ve bölmeye aşina olmaya başlarlar.


3.-5. sınıflardaki öğrencilerde tam sayılarla çarpma ve bölmenin anlamını geliştirmeye çalışmak esas hedef olmalıdır. Diyagram ya da somut nesnelerle çarpma ve bölme üzerinde çalışmak, öğrencilerin iki işlem arasındaki ilişkiyi anlamalarını sağlayabilir. Öğrenciler bir problemin çözümünde hangi işlemi yapacaklarına karar verebilmelidir. Bunun için herhangi bir işlemin sonucunda ne çıkacağını tahmin edebilmeleri gerektiğini anlamalıdırlar. 6.-8. sınıflarda kesirli sayılarla işlemler vurgulanmalıdır. Öğrencilerin işlemlerle ilgili sezgileri daha geniş sayı sistemlerine uyumlu hale getirilmelidir. Örneğin bir tam sayıyla 0 ve 1 arasındaki bir kesirli sayıyı çarptığımızda sonuç tam sayıdan küçük olur. Bu sonuç, öğrencilerin daha önceki çarpma deneyimlerine terstir; onlara göre iki sayı çarpıldığında sonuç çarpılan iki sayıdan da büyük olur. Standartların lisede odaklandığı konu oran ve orantıdır. Öğrencilerin, aşağıda verilen problemin benzerleri üzerinde çalışırken sayı çiftlerini karşılaştırmak için oran ve orantıyı kullanmada ustalaşmaları gerekir; "Üç paket kakaodan on beş bardak sıcak çikolata yapılabiliyorsa altmış bardak sıcak çikolata için kaç paket kakaoya ihtiyaç vardır?" Bu düzeydeki öğrenciler tam sayılarla işlemleri de öğrenmek zorundadır. 9.-12. sınıflarda öğrenciler vektörlerle matrisleri aritmetik olarak birleştirmeyi öğrenirlerken, yeni özellik ve örüntülere sahip farklı sayı sistemleriyle ilgili deneyim kazanacaklardır. Akıcı Hesaplama ve Mantıklı Kestirimlerde Bulunma Akıcılığı geliştirmek, hesaplamadaki ustalıkla kavramsal anlayış arasında bir denge ve bağlantı gerektirir. Bir taraftan öğrencilerin anlamaktan çok tekrara dayalı olarak ezberledikleri hesaplama yöntemleri ya unutulmakta, ya da yanlış hatırlanmakta, diğer taraftan akıcılık olmadan anlama da problem çözme sürecini engelleyebilmektedir. Anasınıfından 2. sınıfa kadar öğrenciler sayma sayılarıyla ve toplama çıkarma işlemleriyle ilgili anlayışlarını geliştirdikçe, öğretim hesaplama yöntemlerine doğru kayabilir. Öğrenciler ilginç ve yararlı stratejiler geliştirebilirler. 2. sınıfın sonunda öğrenciler temel toplama ve çıkarma kombinasyonlarını bilmeli, iki basamaklı sayıları akıcı bir biçimde toplayabilmeli ve iki basamaklı sayılarda çıkarma işlemi için yöntemleri olmalıdır. 3.-5. sınıflarda öğrenciler çarpma ve bölmede temel sayı kombinasyonlarını geliştirirken, aritmetik problemlerini etkili ve tam olarak çözebilmek için güvenilir algoritmalar geliştirmeleri gerekir. Bu yöntemler akıcılığı kazanmak amacıyla daha büyük sayılarla uygulanmalıdır. Araştırmacılar ve deneyimli öğretmenler, ilk sınıflardaki öğrencilerin bir başkasının problem çözme yöntemini geliştirme, kaydetme, açıklama ve eleştirmelerinin birçok değişik ve önemli öğrenmelere yol açtığını bulgulamışlardır. Birçok yöntemin etkililiği tartışılabilir. Genellenebilirlikleri de tartışılabilir; bu yöntem her sayı için geçerli midir, yoksa sadece bazıları için mi geçerlidir? Deneyimler göstermiştir ki, yöntemlerin geliştirilip tartışıldığı sınıflarda birçok standart algoritma kendiliğinden ortaya çıkabilir. Önemli olan öğrencilerin aritmetik hesabında akıcı olmalarıdır -sayı ve işlemlerin anlaşılmasına dayalı etkili ve güvenilir


yöntemlere sahip olmalıdırlar. Aritmetik hesap için standart algoritmalar bu akıcılığı kavramak için varolan yolardan birisidir. 3.-5. sınıflarda kesirli sayı kavramının geliştirilmesi en önemli hedeftir. Örneğin 1/4 + 1/2 gibi bir işlem kolaylıkla akıldan çözülebilmelidir, öğrenciler 1/2 ile 1/4'ü şematize edebilirler, ya da 1/2'yi 1/4 + 1/4 şeklinde ifade edebilirler. Bu düzeylerde ondalıklarla hesaplama yöntemleri geliştirilmeli ve uygulanmalıdır, ve 6.-8. sınıflarda öğrenciler kesirli ve ondalık sayılarla işlem yaparken akıcı olmalıdırlar. 12/13 + 7/8 işleminin sonucunu kestirmeleri istendiğinde 13 yaşındaki öğrencilerin sadece %24'ü yanıtın 2'ye yakın olacağını belirtebilmiştir. Çoğunluk yanıt olarak 1, 19, ya da 21 sayılarını vermiştir ki, bu yanıtlar kesirlerle ilgili işlemleri anlamamak ve hesaplama yanlışı yapmaktan kaynaklanmaktadır. Öğrenciler kesirlerin toplanmasını anlamış olsalar ve sayı kavramları gelişmiş olsa bu yanlışlıklar olmazdı. Tamsayıların anlamını ve gösterilişini anlamalarını geliştirmekle beraber, öğrenciler aynı zamanda tam sayılarla hesap yöntemlerini de geliştirmelidirler. 9.-12. sınıflarda öğrenciler gerçel (reel) sayılarla akıcı bir biçimde hesap yapabilmeli ve vektörlerle matrislerde de deneyimleri olmalıdır. Akıcı hesaplamanın bir parçası da, hangi araçların ne zaman kullanılacağı konusunda akıllı seçimler yapmaktır. Öğrenciler akıldan hesap, kağıt kalem yöntemleri, kestirme ve hesap makinesi arasından bir seçim yapmayı öğrenecek deneyimler yapmalıdırlar. O anki durum, problem ve problemdeki sayılar bu seçimde rol oynar. Sayılar akıldan hesap yapmaya elverişli mi? Kestirmeye mi ihtiyaç var? Problem birçok hesap yapmayı mı gerektiriyor? Öğrenciler hangi yöntemi ve araçları kullanacaklarına kara vermek için sayı sezgilerini de kullanarak karar verebilmeli ve verdikleri kararlar için neden gösterebilmelidirler.

CEBĐR Cebir tarihsel köklerini denklem çözmenin genel yöntemlerine uzatır. Cebir standartı, fonksiyonlar dahil, miktarlar arası ilişkileri, matematiksel ilişkileri gösterme yöntemlerini ve değişimin çözümlenmesini vurgular. Fonksiyonel ilişkiler simgesel gösterimle (notasyon) ifade edilebilir, böylelikle karmaşık matematiksel düşünceler kısaca ifade edilebilir. Bugün cebirin yöntem ve düşünceleri birçok alanda matematiksel çalışmaları desteklemektedir. Örneğin dağıtım ve iletişim ağları, fizik kanunları, topluluk modelleri ve istatistiksel yöntemler cebirin simgesel diliyle ifade edilebilir. Buna ek olarak cebir, soyut yapılar ve bu yapıların ilkelerini simgelerle ifade edilmiş problemleri çözmektir. Cebirin simgesel ve yapısal öneminin büyük bölümü öğrencilerin sayılarla ilgili deneyimlerinin üzerine bina edilebilir. Cebir ayrıca geometri ve veri çözümlemeyle de ilişkilidir. Cebir standartında bulunan düşünceler okul matematik yetişeğinin en önemli parçasını oluşturur. Cebirde yeterlilik yetişkin yaşamında, hem iş dünyasında hem de yüksek öğrenime hazırlanırken önemlidir. Tüm öğrenciler cebir öğrenmelidir. Cebiri anaokulundan itibaren yetişekte bir temel gibi görürsek, öğretmenler, öğrencilerin orta sınıflarda ve lisedeki daha üst düzey cebire hazırlanması amacıyla anlayış ve deneyimin


somut bir yapısını oluşturmalarına yardım edebilirler. Örneğin örüntülerle ilgili planlı bir deneyim fonksiyonları anlamaya yardımcı olabilir, ve sayılarla ve özellikleriyle ilgili deneyimler de simgeler ve cebirsel ifadelerle çalışmada rol oynayabilir. Durumların sıklıkla matematik kullanarak ifade edilebildiğini öğrenen öğrenci, yavaş yavaş matematiksel modellemenin temel bilgilerini öğrenmeye başlar. Çoğu yetişkin cebiri simgelerle işlem yapmayla bir tutar (karmaşık denklemleri çözmek ve cebirsel ifadeleri sadeleştirmek). Gerçekten de cebirsel simgeler ve onlarla çalışmak matematiksel çalışmalarda önemli yer tutar. Ancak cebir sembolleri eşitliğin bir yanından diğer yanına geçirmekten öte bir şeydir. Öğrenciler cebir konularını anlamalı, simgelerin kendilerinin düşünceleri kaydetmek için kullanılabildiğini görmelidirler. Bilgisayar teknolojileri bugün fonksiyon grafiklerini çizebiliyor, simgelerle işlemler yapabiliyor ve sütunlarca veri üzerinde anında hesap yapabiliyorlar. Öğrencilerin şimdi teknolojik araçların verdiği sonuçları yorumlamayı ve teknolojiyi etkili ve akıllıca kullanmayı öğrenmeleri gerekir. Ortaokul ve lisedeki cebir derslerinin önerilmesine kadar cebir okul matematik yetişeğinde açıkça yer almıyordu (ABD'de ortaokullardaki matematik dersi Cebir ve Analiz diye ayrılır). "Đlkeler ve Standartlar" ortaokul ve lise için değişik yetişek olasılıklarını desteklemektedir. 6.-8. sınıflar için standartlar cebire belirli bir önem verirler, aynı şekilde geometri de normalden daha fazla ders saatini kapsar, ki iki alanın birbirini tamamlamasına -Analitik Geometriye- geçiş yapılabilsin. 9.-12. sınıflar için standartlar, cebirin güçlü bir yapıya 8. sınıfın sonunda kavuşturulduğu var sayılarak, cebir, geometri ve veri çözümlemesi ve istatistiğinde bir program tanımlar, ayrıca bu alanlar arasındaki bağlantılara ve birbirini tamamlamalarına da önem verir. - Örüntüleri, Bağlantıları ve Fonksiyonları Anlama Küçük çocuklar için nesnelerin sınıflandırılması ve sıralanması doğal ve ilginç bir deneyimdir. Öğretmenler öğrencilerin kırmızı-mavi-mavi-kırmızı-mavi-mavi sıralamasının bir kırmızı-mavi-mavi dizisiyle devam ettirilebileceğini, ya da 12. nesnenin mavi olacağını tahmin etmelerine yardımcı olabilirler. Đlk başta öğrenciler örüntüleri matematiksel simgelerden çok sözel olarak ifade etme eğilimindedirler. 3.-5. sınıflarda örüntüleri tanımlamak ve genişletmek için değişkenleri ve cebirsel ifadeleri kullanmaya başlarlar. Lisenin bitiminde ilişkileri tanımlamak için fonksiyonları rahatlıkla kullanabilmeleri gerekir. Küçük sınıflarda öğrenciler 2, 4, 6, 8, .... gibi örüntüleri, bir terimin bir öncekinden nasıl elde edilebileceğine odaklanarak tanımlayabilirler -bu örnekte bir önceki terime iki eklenmektedir. Bu tekrarlı düşünmenin başlangıcıdır. Öğrenciler daha sonra en iyi tekrarlama ile tanımlanmış başka dizilerle çalışabilirler; örneğin Fibonacci Serisi gibi. Tekrarlayan diziler birçok alanda vardır ve teknoloji kullanılarak çalışılabilirler. Öğrenciler okul öncesinden ilkokul ikinci kademeye doğru ilerlerken birçok fonksiyondan oluşan bir repertuar geliştirmelidir. Orta sınıflarda öğrenciler doğrusal ilişkilerin anlaşılmasına odaklanmalıdır. Son sınıflarda repertuarlarını genişletmeli ve yeni fonksiyon tiplerini öğrenmelidirler.


Çoğu öğrenci fonksiyonu bir kural ya da formül olarak algılar. Orta sınıflarda öğrenciler tablo, grafik ve simgeler arasındaki ilişkileri anlamalı ve yorumlayabilmelidirler. Fonksiyonların birçok farklı gösterimiyle -sayısal, çizimsel ve simgesel- çalıştıkça öğrenciler daha geniş bir fonksiyon anlayışı geliştirebileceklerdir. - Cebirsel simgeler kullanarak matematiksel durum ve yapıları çözümleme ve gösterme Öğrencilerin sayıların özelliklerini anlamaları okul öncesinden liseye gittikçe gelişir. Küçük çocuklar ikişer sayma yaparken sayıların 0, 2, 4, 6 ve 8 ile bittiğini fark edebilirler. 3.-5. sınıflarda öğrenciler örneğin 18 x 14 çarpımını akıldan 18 x 10 ve 18 x 4 çarpımlarının toplamı şeklinde yapabileceklerini görürler. Araştırmalar öğrencilerin değişkenlerle ilgili birçok zorlukla karşılaştığını bulgulamıştır, bu yüzden değişkenleri anlamak önemlidir. Đlk sınıflarda öğrenciler değişkeni belirli bir sayının yerine konulan bir çizgi olarak algılarlar, örneğin __ + 2 =11. Daha sonraları, örneğin 3x + 2 = 11 denklemindeki değişken x'i öğrenmek zorundadırlar. Ayrıca 3x + 2 = 11 ve A = Yr2 gibi ifadelerdeki x ve r değişkenlerinin kullanımlarının farklılığını da görmelidirler. Değişkenleri tüm yönleriyle öğrenmek zaman alır, ve çok deneyim gerektirir. Eşitlik konusu yetişekte geliştirilmesi gereken bir konu olarak yerini almalıdır. Aldıkları eğitim uyarınca küçük öğrenciler "=" işaretini işlemle ilgili olarak; yani "bir şey yapmanın" işareti olarak algılarlar. "=" işaretinin eşitlik ve dengeyi simgelediği gerçeğini görmelidirler. Öğrenciler orta sınıflarda eşit ifadeleri üretme ve doğrusal denklemleri çözme becerilerini -hem akıldan hem kağıt-kalemle- geliştirmeye başlamalıdırlar. Simgelerle işlem yapma becerilerinde de -kağıt-kalem, akıldan yada bilgisayar teknolojileri yoluyla- akıcılık kazanmalıdırlar. Genel anlamda eğer öğrenciler somut bir yapı oluşturmadan simgelerle çalışmaya başlarlarsa, yaptıkları mekanik hesaplamalardan öteye gitmez. Böyle bir yapı zaman yayılarak oluşturulmalıdır. - Sayısal ilişkileri anlamak ve göstermek için matematiksel modeller kullanma Matematiğin en önemli kullanımlarından biri de olguların matematik modellemesinin yapılabilmesidir. Her düzeydeki öğrenci kendi düzeyine uygun bir biçimde bir takım olguları matematiksel olarak modelleyebilmelidir. Đlk sınıflarda öğrenciler nesneleri, resimleri ve simgeleri toplama ve çıkarmayı modellemek için kullanabilirler. Öğrenciler "Ahmet'in 4 elması vardı, Leyla ona 5 elma daha verdi" durumunun gösterimini sayı çubuklarını düzenleyerek yaptıklarında modellemeye başlamışlar demektir. 3.-5. sınıflarda öğrenciler modellerini kestirimde bulunmak, sonuç çıkarmak ya da sayısal durumları daha iyi anlayabilmek için kullanmalıdırlar. Modellerin bu şekilde kullanımı giderek daha üst düzey olacaktır. Örneğin meyve suyu kokteyli yapmakla ilgili bir problemde orta sınıflardaki öğrenciler şöyle bir tanımlamaya gidebilirler; P = (8 / 3) x J


Burada P kokteyl kupalarının sayısını, J ise meyve suyu şişelerinin sayısını göstermektedir. Bu matematiksel model yardımıyla, örneğin 50 şişe meyve suyundan kaç kupa meyve kokteyli yapılabileceği bulunabilir. Lise öğrencileri fonksiyonlar bilgisine sahip olduklarından birçok model geliştirebilmelidirler -örneğin bir durumun 1. dereceden veya 2. dereceden bir fonksiyonla nasıl en iyi şekilde modellenebileceğine karar vermek gibi-, ve modeli çözümleyecek sonuçlar çıkarabilmelidirler. Bilgisayar teknolojisi öğrencilere modellemede büyük kolaylık sağlar. - Birçok yönden değişimi çözümleme Değişimi anlamak fonksiyonları anlamanın temelidir. Matematiksel değişim analizde öğrenciler türev ile karşılaştıklarında kendini gösterir. Araştırmalara göre öğrenciler daha sonraki analiz derslerini alsalar dahi bu konuyu derinlemesine öğrenememektedirler. Eğer değişimle ilgili düşünceler öğrencilere daha erken sınıflarda verilirse öğrenciler analiz dersine daha güçlü bir temel edinmiş olarak girerler. Örneğin anaokulu öncesinden 2. sınıfa kadarki dönemde öğrenciler önce niteliksel değişimi öğrenirler -yaz boyunca boyum uzadı-, sonraları niceliksel değişimi öğrenirler -yaz boyunca 4 cm uzadım. 3.-5.sınıflarda öğrenciler grafik ve tablolar yardımıyla değişimi fark eder ve tarif etmeye çalışırlar, örneğin bir bitkinin büyümesini "yavaş büyüyor, sonra hızlı büyüyor, sonra yine yavaşlıyor" gibi. Dizilerle karşılaştıkça aritmetik büyümeyle geometrik büyümeyi de ayırt etmeyi öğrenirler. Orta sınıflarda doğrusallığa odaklanılarak öğrencilerin eğimin sabit değişim hızı olduğunu öğrenmeleri sağlanır, ve sabit olmayan değişim hızını da öğrenmeye hazırlıklı olurlar.

GEOMETRĐ Geometri dersinde öğrenciler geometrik şekil ve yapılarla bunların karakteristik özelliklerini ve birbirleriyle olan ilişkilerini öğrenirler. Uzamsal görselleştirme (spatial visualization) -bir geometrik şekli iki veya üç boyutlu uzayda akıldan oluşturabilmek ve değişik açılardan bakabilmek- geometrik düşünmenin en önemli parçasıdır. Geometri öğrencilerin usavurma ve yargılama becerilerini geometrik teoremleri kanıtlayarak geliştirebilecekleri doğal bir alandır. Geometrik modelleme ve uzamsal usavurma fiziksel ortamları yorumlama ve betimlemede işe yarar, ayrıca problem çözmede de yararlı araçlardır. Geometrik düşünceler gerçek hayatla ilgili durumlarda ve matematiğin diğer alanlarında gösterim ve problem çözmede kullanışlıdır, bu yüzden geometriyle diğer alanlar arasında mümkün olduğunca çok bağ kurulmalıdır. Geometrik gösterimler öğrencilerin alan ve kesirleri anlamalarına yardımcı olur, verilerin gösteriminde kullanılan histogram ya da tekerlek grafik vb.nde işe yarar, ayrıca koordinat grafikleri geometri ile cebiri birleştirmede yardımcıdır. Somut modeller ve çizimler kullanarak öğrenciler geometrik düşüncelerle etkin bir biçimde meşgul olurlar. Đyi planlanmış etkinlikler, uygun araçlar ve öğretmen desteğiyle öğrenciler geometriyle ilgili kuralları yeniden keşfederler, geometrik düşünceleri usavurmayı öğrenirler. Geometri tanımlardan öte bir alandır; ilişkileri tanımlama ve usavurmadır. Geometri uzun bir süredir öğrencilerin usavurmayı öğrendikleri ve matematiğin belitsel (axiomatic) yapısını gördükleri bir ders olarak okul matematik yetişeğindedir. Geometri


Standartı dikkatli usavurmanın geliştirilmesine ve tanım ve gerçeklerden yola çıkarak kanıt yapılmasına odaklanır. Teknolojinin geometri öğrenimi ve öğretiminde önemli bir yeri vardır. Teknoloji kullanarak öğrenciler kuralları keşfetmek / oluşturmak amacıyla birçok örnek ortaya koyabilirler, ancak örnek vermenin bir kanıt olmadığını bilmeleri gerekir. - Đki ve üç boyutlu geometrik şekillerin özelliklerini çözümleme ve geometrik ilişkilerle

ilgili matematiksel argümanlar geliştirme Küçük öğrenciler kendiliğinden geometrik şekilleri gözlemlemeye, tarif etmeye ve özelliklerini fark etmeye başlarlar. Şekilleri tanımak önemlidir ama özellikleri ve özellikler arasındaki ilişkiler daha önemli olmalıdır. Anaokulu öncesinden 2. sınıfa kadarki dönemde öğrenci örneğin dikdörtgenin iyi bir şekil olduğunu fark eder, çünkü dikdörtgenin dört dik açısı vardır. Bu düzeylerde öğrenciler geometrik şekilleri böyle öğrenirler. Daha üst sınıflarda şekillerin özellikleri daha soyut bir biçimde ele alınır. Daha sonraki sınıflardaysa öğrenciler şeklin açıları ve kenarları y ada diğer özellikleri üzerinde odaklanıp tartışma yapabilirler. Orta sınıflardan liseye doğru öğrenciler benzerlik ve eşlik gibi konular gördükçe akıl yürütme ve daha teknik kanıtlama yöntemleri kullanmalıdırlar. Problem çözümünde her düzeydeki öğrenci çözüm yolu için inandırıcı bir açıklama yapmak zorundadır. Tanımların, belitlerin (axiom) ve teoremlerin rolünü anlayıp kendi kanıtlarını oluşturmalıdırlar. - Koordinat geometri ve gösterim sistemleri aracılığıyla konumsal ilişkileri tanımlama ve

yer gösterimi Öğrenciler ilk başta göreceli konumları öğrenirler -yukarı, aşağı, yanında, arasında vb-, daha sonra noktaların yerlerini belirlemeyi ve noktalar arası uzaklığı bulmayı vb öğrenirler. Koordinat sistemi ile ilgili problemler çözmek, orta sınıflarda ve lisede geometrik şekilleri anlayabilmek açısından iyi bir deneyim oluşturur. Đlk sınıflarda sayıları sayı çizgisinde gösterebilmekle başlayan bu deneyimler, daha sonraki yıllarda sayı çizgisini işlemleri göstermek için kullanma şeklinde devam eder. Daha sonra daha karmaşık problemlerle uğraşılabilir; örneğin öğrenciler bir ambulansın hastaneye ulaşabileceği en kısa yol hesaplanabilir vb. Lise öğrencileri benzer problemleri koordinat ekseninde de çalışabilirler. - Matematiksel durumları çözümlemek amacıyla dönüşümleri uygulayıp simetriyi

kullanma Küçük çocuklar okula şekillerin hareketleriyle ilgili sezgilerle gelirler. Daha sonra dönüşümlerle ilgili bilgiler daha sistematikleşir. Şekillerin kaydırılması, dönmesi gibi hareketlerle ilgili bilgiler daha resmi bir yolla aktarılır. Bir şekli döndürmek için orta sınıflardaki öğrencilerin dönme merkezi, dönme yönü, dönme açısı vb ile çalışması gerekmektedir. Lise öğrencileri dönüşümü fonksiyonlar veya matrisler kullanarak vb yollarla göstermeyi öğrenirler. Ayrıca dönüşümlerin birleşimlerini de öğrenmelidirler. Tüm düzeylerde öğrenciler düzeylerine uygun olarak simetrinin matematik ve sanatla olan ilişkisini görmelidirler.


Problemleri çözmek için görselleştirme, usavurma, ve geometrik modellemeyi kullanma Okulun ilk yıllarında itibaren öğrenciler çeşitli geometrik nesnelerin ve teknolojinin kullanımıyla görselleştirme becerilerini geliştirmeye başlamalıdırlar. Daha sonra nesnelerin çözümlemesini yapma, perspektifi anlama, şekillerin ve nesnelerin parçalarını görme gibi becerilerini de geliştirmelidirler. Öğrenciler eşlik, benzerlik, ve dönüşümlerle ilgili anlayışlarını geliştirdikçe yer değiştirme, oryantasyon, nesnelerin ölçüleri gibi şeyleri fiziksel ve akılsal olarak sistematik bir şekilde öğrenmelidirler.

ÖLÇME Ölçülebilecek bir becerinin ne olduğunu anlama konusuna Standartlar önemli bir yer ayırmıştır. Öğrenciler anaokulu öncesinden 8. sınıfa kadar ölçme araçları, yöntemleri ve formüllerini kullanmada ustalaşmalıdır. Ölçme öğrencilerin öğrenme düzeylerini öğrenmek açısından önemli olduğu kadar, matematiğin uygulanması ya da matematik sosyal bilimler, sanat vb matematik dışı alanlar arasında bağlantı kurması açısından da önemlidir. Öğrencilerin fiziksel nesneler olmadan ölçmeyi anlamaları olanaklı değildir, dolayısıyla ölçme en iyi fiziksel nesnelerin kullanımı ile öğretilebilir. Ölçme konuları basitten karmaşığa doğru verilmeli ve her düzeydeki yetişekte aynı konular bulunmamalıdır. - Nesnelerin ölçülebilir özelliklerini ve ölçmenin birimlerini, sistemlerini ve süreçlerini

anlama Bir nesnenin ölçülebilir özelliği, onu sayılarla ifade edilebilen bir karakteristiğidir. Doğru parçalarının uzunluğu, düzlemlerin alanı ve fiziksel nesnelerin kütlesi vardır. Anaokulu öncesinden liseye kadar ölçmeyle ilgili bilgi ve deneyimler basamak basamak artmalıdır. Đlk sınıflarda öğrenciler nesnelerin ölçülebilir özelliklerinin olduğunu görebilmelidirler. Nesneleri "kısa-uzun" vb özelliklerini değerlendirerek sıralayabilmelidirler. Uzunluk, önemle üzerinde durulması gereken bir özelliktir, ancak ağırlık, zaman ve hacim de keşfedilmelidir. 3.-5. sınıflarda öğrenciler çevre, hacim, sıcaklık ve açı ölçülerini öğrenmelidir. Ayrıca yine bu düzeylerde öğrenciler bu özelliklerin formüllerle hesaplanabildiğini görmelidir. 5.-8. sınıflarda öğrenciler bu özelliklere ek olarak hız gibi, nesnelerin diğer özellikleriyle tanımlanan özelliklerin ölçülmesine çalışmalıdır. Lisede öğrenciler birimlerin değişiminin ölçmeyi nasıl etkilediğini görmelidir. Öğrenciler düzeyleri ilerledikçe sadece nesnelerin ölçülebilir özelliklerini değil, aralarındaki ilişkileri de öğrenmelidir. Örneğin 5.-8. sınıflarda hacim sabit olduğu halde bir dikdörtgenler prizmasının yüzey alanının değişebileceği işlenebilir. Öğrencilerin ölçme için kullandıkları birimler de düzey ilerledikçe genişlemelidir. Anaokulu öncesinden 2.ç sınıfa kadar öğrenciler karış, parmak, kalem gibi standart dışı birimler kullanarak ölçme yapar. Yavaş yavaş, farklı öğrencilerin karışlarıyla bir nesnenin boyunun ölçüsünün farklılaşabildiği gösterilmeli ve kullanılan ölçü birimlerine geçilmelidir. Farklı özellikleri farklı birimlerle ölçmek düşüncesi öğrenciler tarafından kolayca kavranamayabilir.


Örneğin öğrenciler uzunluk ölçmek için kullandıkları doğrusal nesneleri alan ölçmek için neden kullanamadıklarını, ya da neden farklı bir biçimde kullandıklarını algılayamayabilirler. Öğrencilerin görmesi gereken, uzunluk için bir uzunluk birimi (30 cm'lik cetvel), alan için bir kare (kare bir karton), hacim için bir küp (küp şeklindeki herhangi bir nesne) kullanmak gerektiğidir. Ayrıca öğrencilerin doğru birimi kullanmalarının yanı sıra, uygun birimi de seçmeleri gerekir. Bir futbol sahasının uzunluğu cm ile ifade edilebilir, ancak bu sonuç yorumlanabilir y ada kullanılabilir olmaktan uzaktır. Ölçme sistemiyle çalışmak, herhangi bir birimde ifade edilmiş bir miktarı başka bir birime çevirmek vb, öğrencilerin onluk sistemdeki deneyimlerini arttırır. Öğrencilerin ölçmenin yaklaşık bir değer belirleme olduğunu görmeleri kolay olmayabilir. Ancak herhangi bir nesneyi ölçüp de diğerlerinin ölçüm sonuçlarıyla karşılaştırıp, birçok farklı ölçme sonucu olduğunu gördüğünde bunu anlaması kolaylaşır. - Ölçümleri belirlemek için uygun teknik, alet ve formülleri kullanmak Ölçme teknikleri, ölçümü belirlemek için sayma, kestirme, formül ve araçlardan yararlanma gibi yöntemlerdir. Anaokulu öncesinden 2. sınıfa kadar öğrenciler özellikle sayma ve kestirme yöntemlerini ve cetvel, saat gibi araçları öğrenmelidirler. Daha sonraki sınıflardaysa bunlara yenileri eklenmelidir. Alan formülleri, hacim formülleri vb işin içine girmelidir. Bu formüller ilk sınıflarda keşfedilmeye başlanmalı, sonraki sınıflarda formüle edilmelidir. Bu aşamada öğrencilerin ne yaptıklarını anlamaları için öğretmenler devreye girip formüllerle geometrik şekiller arasındaki bağlantıyı göstermelidir. Lisede öğrenciler birimlerin değişken gibi davrandığını ve hesaplamalarını cebirsel bir temelde yapabileceklerini görmelidirler. Kestirme de önemli bir ölçme aracıdır. Öğrenciler ilk yıllardan bu araca hakim olmayı öğrenmelidir. Kestirme anaokulundan 2. sınıfa kadar öğrencilerde ölçmeyi ve ölçü birimlerini anlamayı sağlayabilir. Daha sonraki sınıflarda öğrenciler, örneğin öğretmenin boyunun öğrencilerinkinden 1 ila 1,5 kat fazla olduğu şeklinde karşılaştırmalar yaparak kestirme becerilerini geliştirebilirler.

VERĐ ANALĐZĐ VE OLASILIK ???????


PROBLEM ÇÖZME

Problem çözme, çözüm yolunun bilinmediği bir durumla meşgul olmaktır. Öğrenciler bir çözüm bulabilmek için bilgilerini kullanmalıdır, böylelikle süreç boyunca yeni matematiksel anlayışlar geliştirirler. Problem çözme matematiğin tek amacı değildir, ama matematiğin çoğu problem çözmedir, çünkü bu sayede öğrenciler sistemli bir şekilde problem çözmeyi ve problem çözerkenki düşüncelerini ortaya koymayı öğrenirler. Yeni yeni düşünme yolları bulurlar ve tüm bunlar hayatta tanıdık olmadıkları olaylarla karşılaştıklarında kendilerine güven duymalarını sağlar. Problem çözme matematiğin tamamlayıcı bir parçasıdır, o yüzden matematiğin konularından ayrı düşünülmemelidir. Problemlerin yapısı da öğrencilerin yaşamlarındaki bildik olaylardan okuldaki etkinliklere kadar değişik konulardan oluşturulabilir. Đyi problemler belirli bir matematik ve birçok konuyu içinde toplamalıdır. - Problem Çözme yardımıyla yeni matematik bilgisi oluşturma Đyi problemler öğrencilere bildiklerini somutlaştırma ve arttırma şansı verir. Küçük öğrencilerde matematik konularının çoğuna yaşamlarındaki bir olaydan kaynaklanan bir problemle giriş yapılabilir. Örneğin ikinci sınıf öğrencileri sınıfta kızların mı erkeklerin mi çok olduğu problemini çözmek için bilgi toplamayı, verileri kaydetmeyi vb öğrenmelidirler. Đlköğretim ikinci kademede ve lisede de birçok konuya problem ile giriş yapıp konunun özünü yakalamak amacıyla tartışma yürütülebilir. Problem çözme, öğrencilerin becerilerini geliştirmeye yöneliktir. Örneğin aşağıdaki problemi ele alalım; "Cebimde 25 bin liralık, 50 bin liralık ve 100 bin liralık bozukluklar var. Cebimden üç bozukluk alırsam, kaç lira almış olabilirim?" Bu problemi çözmek için bilgiye ihtiyaç vardır -bozuklukların değerleri bilgisi ve toplama anlayışı. Bu problemin çözümü toplamaya hakim olmayı gerektirir, ancak asıl önemlisi, öğrencilerin sistemli bir biçimde olasılıklarla ilgilenip düşüncelerini kaydedebilmeleri ve problemi düzenli bir düşünceyle çözmeleridir. Problem seçmek öğretmenin önemli görevlerinden biridir. Seçilen problemlerin gerçek hayatla bağlantısına, ilgi çekiciliğine ve konuyu / tartışmayı ilerletmesine dikkat edilmelidir. Bir problem gayet ilginç olabilir, ancak konunun anlaşılmasına yararı yoksa bu problemin yanlış bir seçim olduğu söylenebilir. Problemleri akıllıca seçmek ve öğretim amaçlarına uygun hale getirmek matematik öğretmenin zor yanlarından biridir. - Matematikte ve diğer yapılarda ortaya çıkan problemleri çözme


Dünyayı matematiksel olarak algılayan insanların "matematiksel görüş"leri olduğu söylenir. Đyi problem çözücüler doğal olarak durumları matematiksel terimlerle ifade etmeye eğilimlidirler. Daha karmaşık durumlardan ziyade ilk olarak basit durumları göz önüne alırlar. Örneğin, orta sınıf öğrencileri için hazırlanmış bir etkinlikte iki ambulans şirketi ile ilgili veriler sunulmakta ve hangi şirketin daha güvenilir olduğu sorulmaktadır. Şirketlerin ambulanslarının gidiş-gelişlerinin ortalama sürelerine bakarak hızlı bir yanıt vermek yanıltıcı olabilir. Daha dikkatli bir şekilde, şirketlerin gelen aramalara göre harekete geçme zamanlarının matematiksel çözümlemesinin yapılması değişik bir yanıt sunabilir. Bu etkinlikte daha derin matematiksel çözümleme, durumun daha iyi anlaşılmasına ve doğru yanıta yol açar. Öğretmenler sorularıyla öğrencileri kendi yaşamlarından bu etkinliktekine benzer problemler oluşturmaları ve bu problemlerle ilgilenmeleri konularında yönlendirebilirler. Küçük çocuklarda problem oluşturma kendiliğinden ortaya çıkar; 1 milyona kadar saymak ne kadar sürer? Okul binasını doldurmak için kaç kola kutusuna ihtiyaç vardır? Öğretmenler ve anne-babalar bu durumdan yararlanıp matematiksel problemler oluşturabilirler. Öğretmenler öğrencilerin problem çözme becerisini geliştirmelerinde öğrencilerin keşfetmelerine, risk almalarına, başarı ve başarısızlıkları paylaşmalarına ve birbirlerini sorgulamalarına uygun sınıf ortamı yaratıp korumak yoluyla önemli bir rol oynarlar. Böyle bir ortamda öğrenciler kendi becerilerine güven ve problemleri keşfedip çözmekle meşgul olma isteği geliştirirler. - Problemleri çözmek için birçok uygun yöntemi uyumlu hale getirmek ve uygulamak Problem çözme yöntemlerinin bazıları Polya'nın çalışmasında bulunabilir. Bunlar arasında diyagram kullanma, örüntü arama, tüm olasılıkları sıralama, özel değerleri ya da durumları deneme, tersine çalışma, tahminde bulunma ve kontrol etme, eldekine denk bir problem yaratma, ve eldekinden basit bir problem yaratma sayılabilir. Açık olan soru, bu yöntemlerin nasıl öğretileceğidir. Özel bir dikkat mi göstermeli, ve bu yöntemleri matematik yetişeğine nasıl entegre edeceğiz? Öğrencilerin bu yöntemleri öğrenmelerini istiyorsak, öğretimde bu yöntemlere önem vermeliyiz. Đlk sınıflarda öğretmenler öğrencilerin kendi yöntemlerini açıklama, sınıflama ve karşılaştırmalarına yardımcı olurlar. Daha sonraki sınıflarda öğrenciler hangi durumlarda hangi yöntemleri nasıl kullanacaklarının farkına varabilmelidirler. Orta okulda öğrenciler birçok yöntemi öğrenmiş, hangisinin kullanılacağına karar verebilme becerisine sahip, ve yöntemleri kullanma, değiştirme, ve yenilerini bulmaya yetkin olmalıdırlar. Küçük öğrencilerin matematikle ilgili ilk deneyimleri problem çözmeyle olur. Öğrenciler değişik problemlerle karşılaştıkça farklı yöntemleri öğrenmek zorunda kalacaklardır. Öğrenciler bu yeni yöntemlerle karşılaştıkça öğretmenin de desteğiyle bu yöntemleri öğreneceklerdir. Örneğin bir öğrenci problemin çözüm yolunu açıkladıktan sonra öğretmen "öyle görünüyor ki çözümü bulmak için düzenli listeleme yapmışsın. Problemi farklı bir çözüm yoluyla çözen var mı?1 Bu şekilde dile getirerek öğretmen öğrencilerin ilk öğrencinin ne yaptığını anlamalarına ve ortak bir ifadeyi -düzenli listeleme- öğrenip kullanmalarına yardımcı olur. - Matematiksel problem çözme sürecini kontrol etmek ve yansıtmak


Etkili problem çözücüler sürekli yaptıklarını kontrol eder ve ayarlamalar yaparlar. Problemi anladıklarından emin olurlar. Eğer problem yazılı olarak sunulmuşsa dikkatle okurlar, sözel yolla aktarılıyorsa, problemi anlayana kadar soru sorarlar. Etkili problem çözücüler sıklıkla plan yaparlar. Đçinde bulundukları süreci inceleyip doğru yolda olup olmadıklarından emin olurlar. Bir ilerleme kaydetmedikleri kanaatine varırlarsa, seçenekleri göz önüne almayı bırakırlar ve değişik bir yaklaşımı ele almazlar. Araştırmalar göstermiştir ki, öğrencilerin problem çözmedeki başarısızlıklar matematiksel bilgilerinin eksikliğinden değil, bu bilgiyi etkili olarak kullanamamaktan kaynaklanmaktadır. Đyi problem çözücüler ne yaptıklarının farkındadırlar, sürekli kendilerini denetlerler ve gerekli ayarlamaları yaparlar. Bu yansıtıcı beceriler uygun sınıf ortamında geliştirilebilir. Öğretmenler bu yansıtıcı becerilerin geliştirilmesinde "devam etmeden önce, buraya kadar olan kısmı anladık mı?", "seçenekleriniz nelerdir?", "planımız var mı?", "bir ilerleme kaydediyor muyuz, yoksa yaptıklarımızı yeniden gözden geçirmeli miyiz?", "bunun doğruluğunu nereden biliyoruz?" vb sorular sorarak önemli bir rol oynarlar. Bu ve benzeri sorular öğrencilere yaptıklarını kontrol etme alışkanlığı kazanmalarında yardımcı olur.

USAVURMA VE KANITLAMA

Matematiksel usavurma ve kanıtlama çok geniş bir olaylar yelpazesi hakkında iç görüleri geliştirip ifade etmenin güçlü yollarını ortaya koyarlar. Çözümlemeci düşünebilen ve usavuran insanlar gerçek yaşamdaki olaylardaki ya da simgesel nesnelerdeki örüntülere, yapıya ya da kurallara dikkat ederler; tüm bu örüntülerin kazara mı yoksa belli bir nedenden dolayı mı ortaya çıktığını sorarlar; ve bağlantı kurup kanıtlarlar. Matematiksel kanıt, usavurma ve yargılamanın formel yollarla ifade edilmesidir. Matematiği anlayabilmek için usavurma becerisi esastır. Öğrenciler düşünceler geliştirdikçe, keşifler yaptıkça, sonuçları değerlendirdikçe, tüm matematiksel alanlarda matematik önermeler kullandıkça, matematiğin anlamlı olduğunu göreceklerdir. Öğretmenler öğrencilerin usavurma becerilerini geliştirmede yardımcı olmalıdır. Ortaokulun bitiminde öğrenciler matematiksel ispatları anlayabilmeli ve yapabilmelidirler, ve böyle argümanların değerini görebilmelidirler. Usavurma ve kanıtlama sadece mantık konusunun içinde ya da geometride "ispat teknikleri" adı altında işlenerek öğretilemez. Đspat öğrenciler için gayet zor bir alandır. Bu yüzden usavurma ve kanıtlama öğrencilerin anaokulundan 12. sınıfa kadar öğrenecekleri matematiğin bir parçası olmalıdır. - Usavurma ve kanıtlamayı matematiğin temel yönleri olarak görme Çocukların matematikle olan en erken deneyimlerinde matematikteki her şeyin bir nedeninin olduğu vurgulanmalıdır. "Neden bunun doğru olduğunu düşünüyorsun?" ya da "Yanıtın farklı olduğunu düşünen var mı, ve neden bu şekilde düşünüyorsun?" gibi sorular öğrencilerin önerdikleri yanıtları desteklemeleri gerektiğini öğrenmelerini sağlar. "Ablam söyledi" ve benzeri "destekler" öne sürülebilir, ancak öğrenciler matematik dersindeki bir tartışmada nelerin geçerli destekler olduğunu öğrenmelidirler.


Matematikte ilginç şeyler olduğunda öğrencilerin ilgisi artar. Örneğin aşağıdaki sihirli hileyi ele alırsak;

"Yaşınızı yazın. 5 ekleyin. Bulduğunuz sayıyı 2'yle çarpın. 10 ekleyin. Bu sayıyı 5'le çarpın. Sonucu söyleyin. Size yaşınızı söyleyebilirim."

Yanıtı bulmak için izlenmesi gereken prosedür; verilen sayıdan bir sıfır silip on çıkarmaktır, çıkan sonuç o kişinin yaşıdır. Bu prosedür neden işlemektedir? Öğrenciler bunun nedenini keşfedebilirler. - Matematiksel varsayımda bulunma ve araştırma Matematik yapmak keşfi de içerir. Varsayım keşifteki en önemli bölümdür. Öğretmenler ve araştırmacılar öğrencilerin varsayım üretip test etmeyi ilkokulda öğrenebilecekleri kanaatindedirler. Đlk yıllarda öğretmenler öğrencilerin varsayımlarda bulunmayı öğrenmelerine yardımcı olmak amacıyla soru sormaya teşvik edebilir; bir sonraki aşamada ne olacağını düşünüyorsun? Örüntü nedir? Her zaman doğru mudur? Öğrencilere verilen ödevlerde de basit değişiklikler, onların varsayımda bulunmayı öğrenmelerini sağlayabilir. Örneğin öğretmen “veri kümesindeki tüm verilerin değerleri iki katına çıkarıldığında verilerin ortalama değerinin de iki katına çıkacağını gösterin” demek yerine, “bir örnek kümedeki tüm değerlerin iki katına çıktığını düşünün, örnek kümenin ortalama değerinde, varsa, ne gibi bir değişiklik olur? Neden?” demesi olasıdır. Öğrencilerin varsayımlar oluşturabilmesi için birçok fırsata ve zengin içerikli metinlere ihtiyaçları vardır. Küçük öğrenciler varsayımlarını kendi cümleleriyle ifade ederler ve varsayımlarını araştırırken somut materyal ve örneklerden yararlanırlar. Her düzeydeki öğrenci herhangi bir varsayımın doğruluğunu araştırma yollarını öğrenmeli ve düzey yükseldikçe varsayımın ifade edilmesi de matematiksel simgelerle olmalıdır. Öğretmenler öğrencilerin bilinen varsayımları yeni durumlarla tekrar gözden geçirmeye teşvik etmelidir. Örneğin “çarpım sayıyı büyültür” varsayımı, 1’den büyük doğal sayılarla çalışan öğrenciler için uygundur. Kesirleri öğrendiklerinde bu varsayım yeniden gözden geçirilmelidir. - Matematiksel iddiaları ve kanıtlarını geliştirme ve değerlendirme Varsayımları oluşturur ve araştırırken öğrenciler “neden işe yarıyor?” sorusunun yanıtını bulmayı da öğrenmelidirler. Đlk sınıflardaki öğrenciler genel varsayımları özel durumları inceleyerek değerlendirirler. Örneğin öğrenciler 9 sayısını aşağıdaki şekildeki gibi gösterirler ve “tek sayı, ikili gruplandığında hep 1 kalanını veren sayıdır” şeklinde bir genellemeye ulaşırlar. Öğrenciler daha sonra iki tek sayının toplamının çift olduğunu, çünkü her iki tek


sayıda olan fazlalıkların bir ikili edeceğini gösterebilirler. Daha sonraki sınıflarda öğrenciler daha genel ifadelerle ispat yapmalıdırlar. Öğrenciler usavurma ve ispatı birbirlerinin iddialarını sınıfta tartışarak da öğrenebilirler. Örneğin “eğer bir sayı 6’ya ve 4’e tam bölünebiliyorsa, 24’e de tam bölünebilir” önermesi birçok değişik şekilde irdelenebilir. 12’nin 6 ve 4’e bölündüğü halde 24’e bölünmediği karşı-örnek olarak gösterilebilir. Tersinin düşünülüp gösterilmesi de mümkündür. Benzer bir varsayım asal sayılarla kurulup ispatlanabilir. Tüm bunlar sınıfta bir tartışma ortamı doğurur. Öğrencilerin düşüncelerini açıkladığı, ve birbirlerinin düşüncelerini tartışıp değerlendirdiği sınıflar matematiksel usavurmanın öğrenilebileceği zengin ortamlardır. - Çeşitli usavurma ve kanıt yöntemlerini seçip kullanma Öğrencilerin ilk sınıflardayken öğrendikleri ve kullandıkları usavurma matematikçinin kullandığından farklıdır. Yıllar geçtikçe öğrenciler usavurmayı, kanıtlama yöntemlerini ve matematiksel gösterimi öğrenirler. Küçük öğrenciler bildiklerinden neden-sonuç ilişkisi çıkarmaya teşvik edilmelidir. Kullandıkları bilgi hakkında tartıştıkça bilgiyi daha açık ve anlaşılır yapabilirler. Öğrencilerin ilk değerlendirme ve usavurma çabaları deneme-yanılma yönteminden ya da olası seçeneklerin rasgele denenmesinden oluşacaktır. Bir miktar yönlendirmeyle öğrenciler sistemli değerlendirme yöntemlerini keşfedecek ve kullanacaklardır.

ĐLETĐŞĐM Đletişim matematik ve matematik eğitiminin önemli bir parçasıdır. Düşünceleri paylaşma ve anlama, onları belirginleştirmenin bir yoludur. Đletişimle fikirler birer yansıtma, iyileştirme, tartışma ve düzeltme nesneleri haline gelir. Đletişim süreci yanı zamanda fikirlerin anlam kazanması ve kalıcı hale gelerek kamulaştırılmasını sağlar. Öğrenciler matematik hakkında düşünmeye ve düşündüklerini sözlü ya da yazılı olarak ifade etmeye teşvik edildiklerinde açık ve ikna edici olmayı öğrenirler. Matematiksel fikirlerin birden fazla bakış açısıyla tartışıldığı konuşmalar katılımcıların fikirlerini keskinleştirmelerini ve bağlantılar kurmalarını sağlar. Sonuçların ve çözüm yollarının karşılaştırıldığı tartışmalara katılan öğrenciler –özellikle anlaşmazlık karşısında- çalışma grubundaki arkadaşlarını ikna etmeye çalışırken daha iyi bir matematik anlayışı kazanacaklardır. Böyle bir etkinlik aynı zamanda öğrencilere matematiksel fikirleri ifade etmekte kullanılan bir dil geliştirmeyi ve bu dilde olması gereken hassaslığı takdir etmeyi öğretecektir. Matematik sınıflarında konuşma, yazma, okuma ve dinleme için fırsatı, cesareti ve desteği olan öğrenciler bu durumdan iki fayda görür; matematik öğrenmek için iletişim kurarlar, ve matematiksel olarak iletişim kurmayı öğrenirler. Matematik çoğu zaman semboller ile aktarıldığından, matematiksel düşünceler hakkında sözlü ve yazılı iletişim her zaman için matematik eğitiminin önemli bir parçası sayılmaz. Öğrenciler matematik hakkında çok konuşamaz ve öğretmenler bunun nasıl yapılacağını öğretmek ihtiyacı duyabilirler. Öğrenciler sınıf olarak ilerledikçe iletişim konusu olarak matematik de daha


karmaşık hale gelmektedir. Öğrencilerin iletişim kurma yöntemleri ve iletişimi destekleyen matematik mantıkları da olduğunca ileri düzeye gelmelidir. Öğrenci için destek yaşamsaldır. Öğrenciler tartışmaya değer matematiksel ödevlerde çalışmaya ihtiyaç duyar. Đyi geliştirilmiş algoritmik yaklaşımların uygulandığı prosedüre dayalı görevler bunun için iyi adaylar değildirler. Matematiksel olarak “bir yerlere giden” ilginç problemler zengin tartışmalar için katalizör olarak görev yapabilirler. Teknoloji iletişim için başka bir iyi temeldir. Öğrenciler hesap makinesi ya da bilgisayar ekranındaki nesne ve sayılarla karşılaştıkça matematiksel fikirleri için tartışmalara ortak bir referans noktası elde ederler. - Öğrencilerin matematiksel düşüncelerini iletişim ile organize edin ve sıkılaştırın Öğrenciler problem çözme yöntemlerini sunarken, bir sınıf arkadaşına ya da öğretmenine mantıklarını açıklarken, ya da kendilerine karışık gelen bir soruyu formüle ederken, düşüncelerine dair bir görüş kazanırlar. Đletişim öğrencilerin bir durumu anlatırken, çizerken, yazarken ve açıklarken, yani matematiksel kavramları öğrenmelerine destek olabilir. Yanlış kavramlar belirlenmelidir. Bir yan faydası ise, onlara sınıftaki öğrenmenin sorumluluğunu öğretmen ile paylaştıklarını hatırlatmasıdır. Yansıma ve iletişim matematik eğitiminde birbirine sıkı sıkıya bağlı işlemlerdir. Öğretmenlerin açık dikkat ve planlaması ile, yansıma amaçlı iletişim matematik eğitiminin doğal bir parçası olabilir. Küçük sınıflardaki öğrenciler, cevaplarını ve stratejilerini açıklamayı öğrenebilir. Küçük öğrencilerden “yüksek sesle düşünmeleri” istenebilir ve öğretmenleri ya da arkadaşları tarafından sorulacak mantıklı sorular düşünme biçimlerini gözden geçirmelerini sağlayabilir. Deneyimle öğrenciler düşünmelerini düzenlemekte yeterlik kazanacaktır. Yazmak da öğrencilerin düşüncelerini sağlamlaştırmada yardımcı olabilir, çünkü yazmak sınıfta geliştirilen düşünceler hakkındaki düşüncelerini açıklaştırmayı ve yansıtmayı gerektirir. Daha sonraları kendi düşüncelerini tekrardan okumak yardımcı olabilir. - Matematiksel düşünceleri anlamlı ve açık bir şekilde diğerlerine aktarma Bir matematiksel sonucun doğru olarak kabul edilmesi için teklif edilen ispatın profesyonel matematikçiler tarafından onaylanması gerekir. Öğrenciler düşüncelerinin anlaşılırlığını ve ikna ediciliklerini sınıf gibi bir matematik toplumunda test edebilirler. Böylesi düşünceler toplum içinde çalışılırsa, öğrenciler tartışmanın bir parçası olmaktan yarar sağlayabilirler ve öğretmenler onları gözlemleyebilir. Sınıf çalışmalarını etkili bir şekilde yürütebilmek için öğretmenler öğrencilerin düşüncelerini rahatça dile getirebilecekleri bir ortam yaratmalıdırlar. Küçük sınıflardaki öğrenciler düşüncelerini diğerlerinin rahat anlayabileceği bir şekilde aktarabilmek için öğretmenlerin yardımına ihtiyaç duyar. Bu sınıflarda, konuları diğerlerinin bakış açısından görebilmeyi öğrenmek öğrenciler için bir fırsattır. Düşük sınıflardan başlayarak öğrenciler, sınıf tartışmalarında yer almayı ve birbirleriyle doğrudan düşünce alışverişinde bulunmayı


öğrenmeye başlamalıdır. Bu sayede dinlemek, özetlemek, soru sormak ve başkalarının fikirlerini aktarmak konusunda daha iyi olabilirler. Bazı öğrenciler için sınıf tartışmalarına katılmak bir fırsattır, örneğin orta sınıflardaki öğrenciler grup çalışmalarına karşı çekingendir. Buna karşın öğretmenler zengin bir tartışma ortamı yaratabilir. Öğrenciler liseden mezun olana kadar diyalog ve tartışma standartlarını içselleştirmiş olmalıdır ki her zaman açık ve belirli bir noktayı görebilsinler ve gerektiğinde onun üzerinde daha çok çalışabilsinler. Modelleme ve dikkatli seçilmiş sorular öğrenci çalışmalarında yaşlarına uygun beklentilerin açıklanmasında yardımcı olur. Yazılı iletişim de buna benzer sürdürülmelidir. Öğrenciler okula pek az yazma yeteneği ile başlar. Đlk sınıflarda resim çizmek gibi diğer iletişim araçlarına güvenirler. 3.-5. Sınıflarda yazıları daha yeterli olmalıdır. Orta sınıflarda yazdıklarını bir dinleyici topluluğu ve amaç göz önüne alarak yazabilmelidirler. Bazı amaçlar için düşüncelerini daha resmi olmayan biçimlerde açıklamak öğrenciler için daha uygun olabilir, fakat orta sınıflardan itibaren daha resmi ve klasik matematiksel biçimler ile iletişimi öğrenmelidirler. Lise yıllarının sonuna kadar öğrenci iyi düzenlenmiş matematiksel konuları resmi bir şekilde yazabilmeyi öğrenmiş olmalıdır. Matematiksel yazımın açık ve sorunlu kısımlarını incelemek ve tartışmak tüm sınıflarda faydalıdır. Matematiksel yazmayı öğrenme prosedürü diğer konuları yazmayı öğrenmek ile aynıdır. Rehberlik edilen bir pratik yapma süreci önemlidir. Aynı zamanda matematiksel konunun özellikleri ve açıklama ile ispatın sunum standartlarına da önem verilmelidir. Öğrenciler iletişimi öğrendikçe kendilerini daha açık ve anlaşılır ifade edebilmelidirler. Aynı zamanda matematiksel tartışma şekillerini de öğrenmelidirler. Sınıflar büyüdükçe tartışmaları daha da bütünleşmeli ve sınıftaki ortak bilgilere dayanmalıdır. Zamanla öğrenciler matematik sınıflarında düşüncelerini açıkladıkça dinleyicilerine karşı daha sorumlu olmalıdır. Kendilerinin yeterince ikna edici olup olmadığını ve düşüncelerinin anlaşılıp anlaşılmadığının farkında olmayı öğrenmelidirler. Öğrenciler olgunlaştıkça iletişim yolları, prosedürlerini ve sonuçlarını açıklayacak değişik yolları yansıtabilmelidir. Küçük sınıflarda birkaç örnek ya da ampirik deliller sunmak yeterli olabilir. Daha sonraları, öğrencilerin önceden edinilmiş bilgilerle sonuca ulaşması umulmalıdır. Orta sınıflarda ve lisede açıklamalar matematiksel açıdan açık olmalı ve öğrenciler tartışma konusunda kullandıkları matematiksel özellikleri belirtebilmelidir. - Başkalarının matematiksel düşünce ve stratejilerinin analizi ve değerlendirilmesi Problemler üzerinde diğer öğrencilerle beraber çalışma sırasında çalışanlar birkaç fayda edinebilir. Sıklıkla, bir öğrenci problemi başka bakış açılarından görmeyi öğrenebilir. Örneğin aşağıdaki problemi cebirsel olarak çözmeye çalışan öğrenciler denklemleri kurmakta zorluk çekebilir ve problemi görsel tanımlamalarla çözmeyi seçen öğrencilerin düşüncelerinden yararlanabilirler. "Sayısı belli olmayan tavşan ve kafesler vardır. Her kafese bir tavşan konursa, bir tavşan açıkta kalmaktadır. Eğer her kafese iki tavşan konursa

bir kafes boş kalmaktadır. Kaç tavşan ve kafes vardır?"


Öğrenciler için diğerlerinin düşünce şekillerini değerlendirmek, özellikle grup arkadaşları kendi matematik anlayışlarını geliştirmeye çalışıyorsa, zordur. Küçük öğrencilerin arkadaşlarının stratejilerini paylaşma ve anlamaları için iyi bir yol, öğrencilerin kendi buldukları stratejilerin tartışma konusu olduğu aritmetik problemlerin çözümü olabilir. Aynı zamanda öğrenciler arkadaşlarının düşünce tarzını tam gelişmemiş düşünceleri açıklığa kavuşturmak amacıyla sorgulamayı da öğrenmelidirler. Tüm yöntemler aynı olmadığı için öğrenciler diğerlerinin yöntemlerini ve düşüncelerini -gücü ve sınırlamalarını belirleyebilmek için- incelemeyi öğrenmelidir. Başkaları tarafından anlatılanları dikkatlice dinleyerek ve üzerinde düşünerek öğrenciler matematiksel düşünmeyi öğrenirler. - Matematiksel düşüncelerin hassas ifadesi için matematik dili kullanımı Küçük sınıflarda öğrenciler matematiksel anlayışlarını günlük, resmi olmayan dil ile dile getirirler. Bu, resmi matematik diline bağlantı olacak bir temel oluşturur. Öğretmenler, benzeri faktör, alan, fonksiyon gibi günlük sözcüklerin matematikte farklı ya da daha kesin anlamları olduğunu öğrencilere gösterebilir. Bu gözlem, matematiksel tanımların kavramlarını anlamakta bir temel oluşturur. Öğrencilere matematik dilinin gücü ve kesinliğini takdir etmeyi öğretecek deneyimler sunmak önemlidir. Orta sınıfların başından itibaren öğrenciler matematiksel tanımların rolünü anlamalı ve matematiksel işlerde kullanabilmelidir. Bu durum lisede daha etkin hale gelmelidir. Yine de, öğrencilere gereğinden önce resmi matematik dilini empoze etmekten kaçınmalıdır; öğrenciler öncelikle bu kesin tanımları takdir etmeyi öğrenmeli ve kendi günlük dilleri ile iletişim kurmalıdırlar. Öğrencilere kendi düşüncelerine sahip olma ve onları kendi resmi olmayan dilleri ile açıklama konusunda izin vermek, gelişmeyi sağlayan etkili bir yol olabilir. Teknoloji, diğer fırsatları ile dilin çözümlemesini sağlayabilir. Bir çalışma kağıdında kullanılan simgeler, aynı olmamakla birlikte, cebirsel simgelere benzerlik gösterebilir. Öğrenciler standart matematiksel terimlerde kullanılan ve çalışma kağıtlarında ya da hesap makinesi gibi popüler araçlarda kullanılan terimlerin karşılaştırılmasını gerektiren deneyimlerden yarar sağlayacaktır.

BAĞLANTILAR

Öğrenciler matematiksel düşünceler arasında bağlantı kurabilirse, konuyu daha iyi kavrarlar ve akıllarına daha iyi yerleşir. Öğrenciler, matematiksel bağlantıları, matematik konuları arasındaki etkileşimde, matematiğin başka konularla ilişkisinde ve kendi ilgi ve deneyimlerinde görebilirler. Matematiksel düşüncelerin arasındaki bağlantıların öğretilirken uygulanması sayesinde öğrenciler sadece matematiği değil, matematiğin yararlarını da öğrenirler. Matematik ayrı ayrı parça ya da standartların bir bileşimi değildir; her ne kadar bu şekilde bölünüp sunulsa bile. Aslında matematik bütünleşmiş bir alandır. Matematiği bir bütün olarak görmek, disiplinler arasındaki bağlantıyı düşünmek ve üzerinde çalışmak için bir gerekliliğin önemini vurgular. Bu, gerek belli bir sınıf düzeyinde, gerekse düzeyler arasındaki yetişekte de görülür. Bu bağlantıları vurgulayabilmek için, öğretmenin öğrencilerinin ihtiyaçlarını bilmesi ve ayrıca daha önceki sınıfta ya da bundan sonraki sınıflarda matematik ile ilgili ne gördüklerini bilmesi gerekir. Öğrenme Đlkesi'nin de vurguladığı gibi, öğrenmek ve kavramak,


bağlantı kurabilmeyi gerektirir. Öğretmenler, öğrencilerin daha önceki bilgileri üzerine yeni bilgiler katmalı, öğrencilerin önceden edindikleri bilgileri tekrarlamamalıdırlar. Bu yaklaşım, öğrencilerin öğrendiklerinden kendilerinin sorumlu olmasını ve yeni bilgilerin anlaşılıp özümsenmesi için öğrendikleri bilgileri kullanmalarını gerektirir. - Matematiksel konular arasındaki bağlantıyı görüp kullanabilmek Matematiksel bağlantıları vurgulamakla öğretmenler öğrencilerinin matematiği birbirinden bağımsız ayrı parçalar olarak değil de, matematiksel problemleri çözerken bu bağlantıların bir düzen oluşturduğunu görmelerini sağlayabilirler. Bu düzen öğretmenin soracağı yönlendirici sorularla oluşturulabilir, örneğin "bugün benzer üçgenlerle yaptığımız çalışmayla geçen hafta ölçek çizimi üzerine yaptığımız tartışma arasında ne gibi benzerlikler var?". Öğrenciler matematiksel bağlantıların açıkça farkında olmalıdır. Matematiksel düşüncelerin bağlantılı olduğu düşüncesi, okuldaki tüm düzeylerde yayılmalıdır / hissedilmelidir. Okula yeni başlayan çocuklarda matematik bilgileri kategorilere ayrılmamıştır ve matematiğin değişik alanlardaki bu bütünlüğü okul öğrenimi süresince devam etmelidir. Çocuklar, söyledikleri şarkıların ritminde matematiksel kalıpları öğrenebilir, arı peteğinin altıgen şeklini fark edebilir, ve kaç kere ip atladıklarını sayabilirler. Öğrenciler 3.-5. sınıfa geçtiğinde matematiksel etkinlikleri daha soyut alanlara yayılmalıdır. Yine bu sınıflarda öğrenciler aritmetik problemlerde işlemlerin birbirleriyle ilişkisini görmeye başlarlar, örneğin çarpmanın nasıl toplamanın tekrarlanması olduğunu anlarlar. 6.-8. sınıflarda öğrenciler matematiği birbiriyle ilişkili bir alan olarak görebilmelidirler. Orta sınıflarda matematik konuları zaten birbiriyle yakından ilişkilidir ve kesirli sayılarla oran ve doğrusal ilişkiler, onların matematiksel ve günlük etkinliklerinde sıkça rastlanır. 9.-12.sınıflarda öğrencilerden sadece bu bağlantıları öğrenmeleri değil, bunlardan yararlanmaları da beklenir. Bütün K-12 dönemi öncesi, öğrenciler rutin olarak kendilerine şu soruyu sormalıdırlar; "bu problem veya matematik konusuyla daha önce öğrendiklerim arasında ne gibi bir ilişki var?" Bağlantılar açısından bakılırsa, yeni konular daha önce öğrenilen matematiğin bir uzantısı olarak görülür. Öğrenciler daha önceki bilgilerini yeni durumlar karşısında kullanmayı öğrenirler. Đlk sınıflardaki çocuklar tam sayılarda çıkarma işlemi hakkında bildiklerini ondalıklı ve kesirli sayılarda çıkarma işlemi yaparken kullanırlar. Orta sınıflarda öğrenciler aynı matematik konusunun birçok şekilde ifade edilebileceği bağlantısını kurarlar; örneğin değişimi gösteren oran ve doğrunun eğimi konuları. Lise öğrencileri de cebir ve geometri arasında bağlantı kurarlar -analitik geometri. Bazı etkinlikler özellikle matematiksel bağlantıları belirtmek için faydalı olabilir. Örneğin bir dairenin çevresi ve çapı arasındaki ilişki, değişik boyutlardaki dairesel cisimlerin çevrelerini ve çaplarını ölçerek gösterilebilir. Orta sınıflardaki öğrenciler dairenin çevresi ve çapı hakkında bilgi toplayıp bunu grafikte gösterebilirler. Çevreyi "c", çapı da "d" değişkeniyle gösterdiklerinde grafiğin vereceği "c/d" oranı yaklaşık 3,1 ile 3,2 arasında olacaktır. Y sayısının değerini bulmayla ilgili olan bu problem ölçme, bilgi çözümlemesi, geometri, cebir ve sayılar konularında bilgi sahibi olmayı gerektirir.


- Matematiksel konuların nasıl kesiştiğini ve tutarlı bir bütün oluşturmak için nasıl birbiri üzerine bindiğini anlama

Öğrencilerin okulda gördükleri matematik konuları artıkça aynı matematik yapısının farklı alanlarda kullanıldığını daha iyi görürler. Anaokulu öncesinden 2. sınıfa kadar olan çocuklar, sayma, rakamlar ve şekiller konusunda, 3.-5, sınıf öğrencileri aritmetik problemlerde ve 6.-8. sınıf öğrencileri de kesirli sayılar, orantı ve doğrusal ilişkiler konularındaki örnekleri incelerler. Lise öğrencileri karşılaştıkları birçok matematik konuları arasındaki ilişkileri ararlar. Öğrenciler matematiği birbiriyle ilişkili bir bütün halinde görmeye başladıkça, matematiksel beceri ve örüntüleri ayrı ayrı görmeyi bırakacaklardır. Okullarda matematik öğretiminde bu örüntülerin ve prosedürlerin bir bütünlük kazanmasına birinci derecede önem verilmelidir. - Matematiği matematik dışındaki alanlarda algılayıp uygulamak Okullarda her düzeyde öğretilen matematik, matematik dışı alanlarda oluşabilecek problemler üzerinde çalışmak için fırsat yaratmalıdır. Bu ilişkiler başka derslerle olabileceği gibi, öğrencilerin günlük yaşamlarıyla da ilgili olabilir. Anaokulu öncesinden 2. sınıfa kadar olan çocuklar, matematiği çoğunlukla gerçek hayatla olan ilişkisi sayesinde öğrenirler. 3.-5. sınıflarda öğrenciler önemli matematik konularını başka derslerde uygulayabilmeyi öğrenmelidirler. Bu konular 6.-8. sınıflarda daha da genişlemeli ve 9.-12. sınıflarda öğrenciler matematiği rahatlıkla dış dünyadaki karmaşık uygulamaları açıklamak için kullanabilmelidirler. Öğrencilerin matematiği bir bağlamda incelemeleri önemlidir. Matematik bilimde, sosyal bilimlerde, tıpta ve ticarette kullanılmaktadır. Matematik ile bilim arasındaki ilişki sadece içerik olarak değil, aynı zamanda yöntem olarak da mevcuttur. Bilimin içeriği ve yöntemi matematikte bir problem çözme yaklaşımına ilham olabilir. Ulusal Bilim Eğitimi Standartları'nda (National Science Education Standards), hava durumu hakkında tüm yıl süren bir ilkokul fen etkinliği anlatılmıştır. Bu etkinlikte matematikle olan ilişkiler oldukça önemlidir; öğrenciler hava durumunu ölçmek için çeşitli aletler tasarlamakta ve bulgularını nasıl düzenleyeceklerini planlamaktadırlar. Bulguların çözümlenmesi ve istatistikler, öğrencilerin kendi özel hayatlarıyla ilgili konulara açıklık getirmede yardımcı oluyor. Anaokulu öncesinden 2. sınıfa kadar olan öğrenciler takvim etkinliğiyle hava durumu hakkında bulgular edinebilirler. Bunu, havanın yağmurlu, güneşli ya da bulutlu olduğunu kaydederek yaşayabilirler. Edindikleri verileri kaydedebilir, günleri sayabilir, genellemeler yapabilir, ve gelecek hakkında tahminlerde bulunabilirler. 3.-5. sınıflardaki öğrenciler asit yağmurları, ağaçlandırma ve diğer konularda diğer sınıflardaki öğrencilerle internet üzerinden iletişim kurup, veri toplayıp analiz edebilirler. 9.-12. sınıfa gelene kadar öğrencilerin veri çözümlemesi ve matematiksel modelleme hakkında edindikleri bilgileri, toplumsal konuları ve iş problemlerini derinlemesine anlamakta kullanmaları beklenilebilir.

Documents

OKUL MATEMATĐĞĐ VĐZYONU · matematiksel başlıklar hakkında bilgi sahibi oluyorlar, bazen de matematiği farklı yollarla gösteriyorlar. Öğretmenler, öğrencilere matematik