Pert-07 Aljabar Boolean, K-Map, Dan MEV Bag-1 20110205

CS2624CS2624 COMPUTERCOMPUTERCS2624 CS2624 -- COMPUTER COMPUTER ORGANIZATION & ARCHITECTURE ORGANIZATION & ARCHITECTURE

(COA)(COA)(COA)(COA)

ALJABAR BOOLEAN,ALJABAR BOOLEAN,,,KK--MAP, DAN MEVMAP, DAN MEV

b i 1b i 1bagian 1bagian 1

Februari 2011

Pokok BahasanPokok BahasanPokok BahasanPokok Bahasan

•• Fungsi BooleanFungsi Boolean•• Prinsip dualitasPrinsip dualitas•• Prinsip dualitasPrinsip dualitas•• Konversi fungsi BooleanKonversi fungsi BooleanKonversi fungsi BooleanKonversi fungsi Boolean•• Bentuk standar/kanonikBentuk standar/kanonik•• Penyederhanaan fungsi Boolean:Penyederhanaan fungsi Boolean:

Dengan aljabarDengan aljabar–– Dengan aljabarDengan aljabar–– Dengan Peta KarnoughDengan Peta Karnoughg gg g–– Dengan MEVDengan MEV

20090312 #1

Representasi Fungsi BooleanRepresentasi Fungsi BooleanRepresentasi Fungsi BooleanRepresentasi Fungsi Boolean

20090312 #2

Prinsip DualitasPrinsip DualitasPrinsip Dualitas Prinsip Dualitas T 1 (Id t )• Teorema 1 (Idempoten)Untuk setiap elemen a, berlaku: a + a = a dan a . a = a

• Teorema 2Teorema 2Untuk setiap elemen a, berlaku: a + 1 = 1 dan a . 0 = 0

• Teorema 3 (Hukum Penyerapan)Untuk setiap elemen a dan b, berlaku: a + a . b = a

dan a . (a+b) = a• Teorema 4 (Hukum de Morgan)• Teorema 4 (Hukum de Morgan)

Untuk setiap elemen a dan b, berlaku: (a . b)’ = a’ + b’dan (a + b)’ = a’.b’

• Teorema 50’ = 1 dan 1’ = 0

• Teorema 6• Teorema 6 Jika suatu Aljabar Boolean berisi paling sedikit dua elemen yang berbeda, maka 0 1

20090312 #3

Fungsi BooleanFungsi BooleanFungsi BooleanFungsi BooleanMisalkan x x x x merupakan variabel variabel• Misalkan x1, x2, x3, … , xn merupakan variabel-variabel aljabar Boolean

• Fungsi Boolean dengan n variabel adalah fungsi yang dapat• Fungsi Boolean dengan n variabel adalah fungsi yang dapat dibentuk dari aturan-aturan berikut:

–fungsi konstanfungsi konstanf(x1, x2, x3, … , xn) = a

–fungsi proyeksifungsi proyeksif(x1, x2, x3, … , xn) = xi i = 1, 2, 3, … , n

–fungsi komplemenfungsi komplemeng(x1, x2, x3, … , xn) = (f(x1, x2, x3, … , xn))’

–fungsi gabunganfungsi gabunganh(x1, x2, x3, … , xn) = f(x1, x2, x3, … , xn) + g(x1, x2, x3, … , xn)h(x1, x2, x3, … , xn) = f(x1, x2, x3, … , xn) . g(x1, x2, x3, … , xn)

20090312 #4

Bentuk Fungsi BooleanBentuk Fungsi BooleanBentuk Fungsi BooleanBentuk Fungsi Boolean• Suatu fungsi Boolean dapat dinyatakan dalam

bentuk yang berbeda tetapi memiliki arti yang y g p y gsama

• Contoh:• Contoh:f1(x,y) = x’ . y’f2(x,y) = (x + y)’

• f1 dan f2 merupakan bentuk fungsi Boolean yangf1 dan f2 merupakan bentuk fungsi Boolean yang sama, yaitu dengan menggunakan Hukum De MorganMorgan

20090312 #5

Nilai FungsiNilai FungsiNilai FungsiNilai Fungsi• Fungsi Boolean dinyatakan nilainya pada setiap

variabel yaitu pada setiap kombinasi (0,1)y p p ( , )

C h F i B l• Contoh: Fungsi Booleanf(x,y) = x’y + xy’ + y’f(x,y) x y xy y

20090312 #6

Cara RepresentasiCara RepresentasiCara RepresentasiCara Representasi1. Dengan Aljabar

Contoh: f(x y z) = xyz’Contoh: f(x,y,z) = xyz

2. Dengan menggunakan tabel kebenaran

20090312 #7

Minterm dan MaxtermMinterm dan Maxterm (1)(1)Minterm dan Maxterm Minterm dan Maxterm (1)(1)

Minterm dan Maxterm 2 variabel:

20090312 #8

Minterm dan MaxtermMinterm dan Maxterm (2)(2)Minterm dan Maxterm Minterm dan Maxterm (2)(2)

Minterm dan Maxterm 3 variabel:

20090312 #9

Konversi Fungsi BooleanKonversi Fungsi Boolean (1)(1)Konversi Fungsi Boolean Konversi Fungsi Boolean (1)(1)

SOP (Sum of product)1). f1(x,y,z) = x’y’z + xy’z’ + xyz

Contoh 1:1). f1(x,y,z) x y z + xy z + xyz

= m1 + m4 + m7f1’ = selain f1:f ’( ) ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’f1’(x,y,z) = x’y’z’ + x’yz’ + x’yz + xy’z + xyz’

POS (Product of sum) POS (Product of sum)2). f2(x,y,z) =

( )( ’ )( ’ ’)( ’ ’)( ’ ’ )(x+y+z)(x+y’+z)(x+y’+z’)(x’+y+z’)(x’+y’+z)

= (f1’(x,y,z))’( 1 ( ,y, ))= M0 M2 M3 M5 M6

F M M M M20090312 #10

F = m1 + m 4 + m7 = M0 . M2 . M3 . M5 . M6


1) f (x y z) = x’y’z’ + x’y’z + x’yz’ + x’yz + xy’z’ +

Contoh 2:1). f1(x,y,z) = x y z + x y z + x yz + x yz + xy z +

xyz’ SOP= m0 + m1 + m2 + m3 + m4 + m60 1 2 3 4 6

f1’ = selain f1:f1’(x y z) = xy’z + xyzf1 (x,y,z) = xy z + xyz

2). f2(x,y,z) = (x’ + y + z’)(x’ + y’ + z’) POS= (f1’(x,y,z))’= M5 M7

F = m0 + m1 + m2 + m3 + m4 + m6 = M5 . M7

20090312 #11


1) f ( ) ’ ’ ’ ’ SOP

Contoh 3:

1). f1(x,y,z) = x’yz’ + x’yz + xyz’ + xyz SOP= m2 + m3 + m6 + m7

f1’(x,y,z)= x’y’z’ + x’y’z + xy’z’ + xy’z

2) f (x y z)= (x + y + z)(x + y + z’)(x’ + y + z)2). f2(x,y,z)= (x + y + z)(x + y + z )(x + y + z)(x’ + y + z’) POS

= (f1’(x,y,z))’= M0 M1 M4 M5

F = m2 + m3 + m6 + m7 = M0 . M1 . M4 . M5

20090312 #12

Bentuk Standar/KanonikBentuk Standar/KanonikBentuk Standar/KanonikBentuk Standar/Kanonik• Jika f adalah fungsi Boolean satu variabel maka untuk semua

nilai x berlaku:f (x) = f (0) . x’ + f (1) . x

• Jika f adalah fungsi Boolean dua variabel maka untuk semua il i b l knilai x berlaku:f(x,y) = f(0,0) . x’y’ + f(0,1) . x’y + f(1,0) . xy’ + f(1,1) . xy

• Jika f adalah fungsi Boolean tiga variabel maka untuk semuanilai x berlaku:f(x,y,z) = f(0,0,0) . x’y’ z’ + f(0,0,1) . x’y’z + f(0,1,0) . x’yz’ +

f(0,1,1) . x’yz + f(1,0,0) . xy’z’ + f(1,0,1) . xy’z’ +f(1,1,0) . xyz’ + f(1,1,1) . xyz

20090312 #13

Konversi ke Bentuk Standar/KanonikKonversi ke Bentuk Standar/Kanonik (1)(1)Konversi ke Bentuk Standar/Kanonik Konversi ke Bentuk Standar/Kanonik (1)(1)

1 Cari bentuk standar dari f(x y) x’1. Cari bentuk standar dari f(x,y) = xJawab:Bentuk SOP-nya = ..........f(x,y) = x’ . 1 identitas

= x’ . (y+y’) komplemen= x’y + x’y’ distributify y= x’y’ + x’y diurutkan

Bentuk Standar: f(x,y) = x’y’ + x’yBentuk Kanonik: f(x y) = m(0 1)Bentuk Kanonik: f(x,y) m(0, 1)

Bentuk POS-nya = ..........Dengan mj’ = Mj f(x y) = x’ f’(x y) = xDengan mj = Mj f(x,y) = x f (x,y) = xf’(x,y) = x . 1 identitas

= x .(y+y’) komplemen’ di t ib tif= xy + xy’ distributif

(f’(x,y))’ = (xy + xy’)’ = (xy)’ (xy’)’= (x’+y’)(x’+y) = (x’+y)(x’+y’)

20090312 #14

Bentuk Standar: f(x,y) = (x’+y)(x’+y’)Bentuk Kanonik: f(x,y) = M(2, 3)


2. Cari bentuk standar dari f(x,y,z) = y’ + xy + x’yz’Jawab:Bentuk SOP-nya = ..........f(x,y,z) = y’ + xy + x’yz’

= y’(x+x’)(z+z’) + xy(z+z’) + x’yz’ = (xy’ + x’y’)(z+z’) + xyz + xyz’ + x’yz’( y y )( ) y y y

f(x,y,z) = xy’z + xy’z’ + x’y’z + x’y’z’ + xyz + xyz’ + x’yz’= m5 + m4 + m1+ m0 + m7 + m6 + m2 m5 m4 m1 m0 m7 m6 m2

Bentuk Standar: f(x y z) = x’y’z’ + x’y’z + x’yz’ + xy’z’ +Bentuk Standar: f(x,y,z) x y z + x y z + x yz + xy z +xy’z + xyz’ + xyz

Bentuk Kanonik: f(x y z) = m(0 1 2 4 5 6 7)

20090312 #15

Bentuk Kanonik: f(x,y,z) = m(0, 1, 2, 4, 5, 6, 7)


Bentuk POS-nya = ..........f(x,y,z) = y’ + xy + x’yz’ff’(x,y,z) = (y’ + xy + x’yz’)’

= y (xy)’ (x’yz’)’ = y(x’+y’)(x+y’+z)( ’ ’) ( ’ ) ’ ’ ’= (yx’+yy’) (x+y’+z) = yxx’+yy’x+yx’z

= x’yz(f’(x y z))’ (x’yz)’ x + y’ + z’(f’(x,y,z))’ = (x’yz)’ = x + y’ + z’

Bentuk Standar: f(x,y,z) = x + y’ + z’ Bentuk Kanonik: f(x y z) = M(3)Bentuk Kanonik: f(x,y,z) = M(3)Cara lain = ..........f’(x y z) = yang tidak ada pada bentuk standar f(x y z) yaitu m3 =f (x,y,z) = yang tidak ada pada bentuk standar f(x,y,z), yaitu m3 =

x’yzBentuk Standar: f(x y z) = x + y’ + z’

20090312 #16

Bentuk Standar: f(x,y,z) x + y + z Bentuk Kanonik: f(x,y,z) = M(3)


Latihan:1 Cari bentuk standar dari:1. Cari bentuk standar dari:

a. f(x,y,z) = x + za. f(x,y,z) x + zb. f(x,y,z) = z’

2 C i b t k K ik d i2. Cari bentuk Kanonik dari: a f(x y) = x’y + xy’a. f(x,y) = x y + xyb. f(x,y,z) = x’y’z + xy’z’ + xyz

20090312 #17

Konversi ke Bentuk SOPKonversi ke Bentuk SOP (1)(1)Konversi ke Bentuk SOP Konversi ke Bentuk SOP (1)(1)

1. Nyatakan Fungsi Boolean f(x,y,z) = x + y’z dalam SOPJawab :Lengkapi literal untuk setiap suku agar samaLengkapi literal untuk setiap suku agar samaf(x,y,z) = x . (y+y’) . (z+z’) + (x+x’) . y’z

= (xy+xy’) (z+z’) + xy’z + x’y’z= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + x’y’z= m7 + m6 + m5 + m4 + m1 m7 + m6 + m5 + m4 + m1

= m(1, 4, 5, 6, 7)

20090312 #18


2. Nyatakan Fungsi Boolean f(x,y,z) = x’y’z + xz + yz dalam SOPJawab:Lengkapi literal untuk setiap suku agar samaLengkapi literal untuk setiap suku agar samaf(x,y,z) = x’y’z + xz + yz

’ ’ + ( + ’) + ( + ’)= x’y’z + x. (y+y’) . z + (x+x’) . yz= x’y’z + xyz + xy’z + xyz + x’yz= m1 + m3 + m5 + m7

= m(1, 3, 5, 7)( , , , )

20090312 #19


3 N t k F i B l f( )3. Nyatakan Fungsi Boolean f(w,x,y,z) = wxy + yz + xy dalam SOPJawab:Jawab:Lengkapi literal untuk setiap suku agar samaf(w,x,y,z) = wxy + yz + xy( , ,y, ) y y y

= wxy . (z+z’) + (w+w’)(x+x’) . yz + (w+w’) . xy . (z+z’)

= wxyz + wxyz’ + (wx+wx’+w’x+w’x’)yz +(wxy+w’xy)(z+z’)wxyz + wxyz’ + wxyz + wx’yz + w’xyz += wxyz + wxyz’ + wxyz + wx yz + w’xyz +w’x’yz + wxyz + wxyz’ + w’xyz + w’xyz’

= wxyz + wxyz’ + wx’yz + w’xyz + w’x’yz + w’xyz’ wxyz + wxyz + wx yz + w xyz + w x yz + w xyz= m15 + m14 + m11 + m7 + m3 + m6

= m(3, 6, 7, 11, 14, 15)

20090312 #20

m(3, 6, 7, 11, 14, 15)

Konversi ke Bentuk POSKonversi ke Bentuk POS (1)(1)Konversi ke Bentuk POS Konversi ke Bentuk POS (1)(1)

1 N t k F i B l f( ) ’ d l POS1. Nyatakan Fungsi Boolean f(x,y,z) = xy + x’z dalam POSJawab: Bentuk fungsi ke POSf(x y z) = xy + x’z a+bc = (a+b)(a+c); a=xy; b=x’; c=zf(x,y,z) = xy + x z a+bc = (a+b)(a+c); a=xy; b=x ; c=z

= (xy + x’)(xy + z) distributif a= x’ dan z; b=y; c=x= (x + x’)(y + x’)(x + z)(y + z) (x x )(y x )(x z)(y z) = (x’ + y)(x + z)(y + z) komplemen, identitas

Lengkapi literal untuk setiap suku agar samaSuku-1 x’ + y = x’ + y + zz’ a+bc = (a+b)(a+c); a=x’+y; b=z; c=z’

( ’ + + ) ( ’ + + ’)= (x’ + y + z) (x’ + y + z’)Suku-2 x + z = x + z + yy’

= (x + y + z) (x + y’ + z)= (x + y + z) (x + y + z)Suku-3 y + z = xx’ + y + z

= (x + y + z) (x’ + y + z)

20090312 #21

( y ) ( y )

Konversi ke Bentuk POSKonversi ke Bentuk POS (2)(2)Konversi ke Bentuk POS Konversi ke Bentuk POS (2)(2)

f( ) ( ’ )( ’ ’)( )( ’ )( )f(x,y,z) = (x’+y+z)(x’+y+z’)(x+y+z)(x+y’+z)(x+y+z)(x’+y+z)

= (x’+y+z) (x’+y+z’) (x+y+z) (x+y’+z)= (x +y+z) (x +y+z ) (x+y+z) (x+y +z) = M4 . M5 . M0 . M2= M(0 2 4 5)= M(0, 2, 4, 5)

2. Nyatakan Fungsi Boolean f(x,y,z) = (x+z)(y’+z’) dalam POSy g ( ,y, ) ( )(y )Jawab :Fungsi Boolean asumsi sudah dalam bentuk POSf(x,y,z) = (x+z)(y’+z’) lengkapi literal pada tiap suku

= (x+yy’+z)(xx’+y’+z’) Identitas, Komplemen( + + )( + ’+ )( + ’+ ’)( ’+ ’+ ’) di t ib tif= (x+y+z)(x+y’+z)(x+y’+z’)(x’+y’+z’) distributif

= M0 . M2 . M3 . M7

M(0 2 3 7)

20090312 #22

= M(0,2,3,7)

XOR dan EQVXOR dan EQV (1)(1)XOR dan EQV XOR dan EQV (1)(1)

XOR E l i OR EQV E i lXOR = Exclusive OR EQV = Equivalen

Hasil = 1, Hasil = 1, ,jika XY

,jika X=Y

KebalikanKebalikan dari XOR

X Y = X’Y + XY’ X Y = X’Y’ + XY

P insip d alitas• Prinsip dualitas:XOR EQV

X 0 = X X 1 = XX 0 = X X 1 = XX 1 = X’ X 0 = X’X X = 0 X X = 1

20090312 #23

X X’ = 1 X X’ = 0COA/Endro Ariyanto/


• Hukum Asosiatif:(X Y) Z = X (Y Z) = X Y Z(X Y) Z X (Y Z) X Y Z(X Y) Z = X (Y Z) = X Y Z

• Hukum Komutatif:X Y Z X Z Y Z X YX Y Z = X Z Y = Z X Y = ...X Y Z = X Z Y = Z X Y = ...

• Hukum Pemfaktoran:• Hukum Pemfaktoran:(X . Y) (X . Z) = X . (Y Z)

• Hukum Distributif:• Hukum Distributif:(X + Y) (X + Z) = X + (Y Z)

• Hukum Absortif:• Hukum Absortif:X . (X’ Y) = X . Y X.X’ X.Y = 0 X.Y = X.YX + (X’ Y) = X + Y X+X’ X+Y = 1 X+Y = X+Y

20090312 #24

( )

COA/Endro Ariyanto/


• Hukum DeMorgan:(X Y)’ = X’ Y’ = X Y(X Y)’ = X’ Y’ = X Y

• Relasi lainnya:X’ Y = X Y’ = (X Y)’ = X YX’ Y = X Y’ = (X Y)’ = X YF = X Y Z F’ = X Y’ Z

= X Y Z = X Y’ Z= X Y’ Z = X Y Z= X’ Y Z’ = X Y Z

...... ......

20090312 #25COA/Endro Ariyanto/

Penyederhanaan Fungsi BooleanPenyederhanaan Fungsi BooleanPenyederhanaan Fungsi BooleanPenyederhanaan Fungsi Boolean• Asumsi yang dipakai dalam penyederhanaan:• Asumsi yang dipakai dalam penyederhanaan:

– Bentuk fungsi Boolean paling sederhana adalah SOP– Operasi yang digunakan adalah operasi penjumlahan (+), p y g g p p j ( ),

perkalian (.) dan komplemen (‘)

• Terdapat tiga cara dalam penyederhanaan fungsi Boolean:• Terdapat tiga cara dalam penyederhanaan fungsi Boolean:1. Cara Aljabar

Bersifat trial and error (tidak ada pegangan)( p g g ) Penyederhanaan menggunakan aksioma-aksioma dan

teorema-teorema yang ada pada aljabar Boolean2 Peta Karnaugh2. Peta Karnaugh

Mengacu pada diagram Venn Menggunakan bentuk-bentuk peta Karnaugh

3. Metoda Quine-McCluskey Penyederhanaan didasarkan pada hukum distribusi Eliminasi Prime Implicant Redundant

20090312 #26

Eliminasi Prime Implicant Redundant

Penyederhanaan Dengan AljabarPenyederhanaan Dengan Aljabar (1)(1)Penyederhanaan Dengan Aljabar Penyederhanaan Dengan Aljabar (1)(1)

1 S d h k l h f i B l1. Sederhanakanlah fungsi Booleanf(x,y) = x’y + xy’ + xy

Jawab:f(x y) x’y + xy’ + xyf(x,y) = x y + xy + xy

= x’y + x . (y’+y) Distributif= x’y + x 1 Komplemen= x y + x . 1 Komplemen= x’y + x Identitas= (x’+x)(x+y) Distributif= (x +x)(x+y) Distributif= 1 . (x+y) Komplemen= x+y Identitas x+y Identitas

20090312 #27


2 S d h k l h f i B l di b h i i2. Sederhanakanlah fungsi Boolean di bawah ini:f(x,y,z) = x’y’z’ + x’y’z + x’yz + x’yz’ + xy’z’ + xyz’Jawab:Jawab:f(x,y,z) = x’y’z’ + x’y’z + x’yz + x’yz’ + xy’z’ + xyz’

= x’ . (y’z’+y’z+yz+yz’) + x . (y’z’+yz’) Distributif(y y y y ) (y y ) st but= x’.((y’(z+z’) + y(z+z’)) + x.((y’+y)z’) Distributif= x’. (y’ . 1 + y . 1) + x.( 1 . z’) Komplemen= x’ . (y’+y) + xz’ Identitas= x’ . 1 + xz’ Komplemen

’ + ’ Identitas= x’ + xz’ Identitas= (x’+x)(x’+z’) Distributif= 1 (x’+z’) Komplemen= 1 . (x +z ) Komplemen= x’ + z’ Identitas

20090312 #28


3 S d h k l h f i B l f( ) ’ ’3. Sederhanakanlah fungsi Boolean : f(x,y) = x + xy’ + y’

Jawab:Jawab:f(x,y) = x + xy’ + y’

= x . (1 + y’) + y’ Distributif( y ) y st but= x . 1 + y’ Teorema 2= x + y’ Identitas

atauf(x,y) = x + xy’ + y’

+ (x + 1) ’ Dist ib tif= x + (x + 1) . y’ Distributif= x + 1 . y’ Teorema 2= x + y’ Identitas= x + y Identitas

20090312 #29


4 Sederhanakanlah fungsi Boolean : f(x y z) xy + xy’z + y(x’+z) + y’z’4. Sederhanakanlah fungsi Boolean : f(x,y,z) = xy + xy’z + y(x’+z) + y’z’Jawab:f(x,y,z) = xy + xy’z + y(x’+z) + y’z’

= x(y+y’z) + y(x’+z) + y’z’ Distributif ( a+bc=(a+b)(a+c) )= x((y+y’)(y+z)) + x’y + yz + y’z’ Distributif= x( 1 . (y+z)) + x’y + yz + y’z’ Komplemen( (y )) y y y p= x . (y+z) + x’y + yz + y’z’ Identitas= xy + xz + x’y + yz + y’z’ Distributif= y(x+x’) + xz + yz + y’z’ Distributif= y(x+x ) + xz + yz + y z Distributif= y . 1 + xz + yz + y’z’ Komplemen= y + xz + yz + y’z’ Identitas= (y+y’)(y+z’) + xz + yz Distributif= (y+y )(y+z ) + xz + yz Distributif= 1.(y+z’) + xz + yz Komplemen= y + z’ + xz + yz Identitas

(1 ) ( ’)( ’) Di ib if= y (1 + z) + (x+z’)(z+z’) Distibutif= y . 1 + (x+z’)(z+z’) Teorema 2= y + (x+z’)(z+z’) Identitas

20090312 #30

= y + (x + z’) . 1 Komplemen= x + y + z’ Identitas

Peta Karnaugh (KPeta Karnaugh (K Map)Map) (1)(1)Peta Karnaugh (KPeta Karnaugh (K--Map) Map) (1)(1)

20090312 #31

Peta Karnaugh (KPeta Karnaugh (K Map)Map) (2)(2)Peta Karnaugh (KPeta Karnaugh (K--Map) Map) (2)(2)

20090312 #32

Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--MapMapy gy g pp2 Variabel2 Variabel (1)(1)

Sederhanakanlah persamaan: (lihat soal no.1 penyederhanaan dengan aljabar)

f(x,y) = x’y + xy’ + xy = m1 + m2 + m31 2 3

Jawab:• Sesuai dengan bentuk minterm maka 3 kotak dalam• Sesuai dengan bentuk minterm, maka 3 kotak dalam

K-Map 2 dimensi, diisi dengan 1:

1

1

1

1

20090312 #33

1 1

Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--MapMapy gy g pp2 Variabel2 Variabel (2)(2)

• Selanjutnya kelompokkan semua 1 yang ada dengan membuat kumpulan kotak atau persegi panjang dengan jumlah sel bujursangkar kecil sebanyak 2ny

– n = 0, 1, 2, 3, dst

• Buat kelompok yang sebesar-besarnyaBuat kelompok yang sebesar besarnya

AAB

20090312 #34

Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--Map Map y gy g pp2 Variabel2 Variabel (3)(3)

• Cara menentukan bentuk sederhana dari hasil pengelompokan adalah:– Carilah variabel yang memiliki nilai yang sama (tidak

berubah) dalam kelompok tersebut, sebagai contoh: Pada kelompok A adalah variabel y dengan nilai 1 Pada kelompok B adalah variabel x dengan nilai 1

– Tentukan bentuk hasil pengelompokanKelompok A adalah y, dan kelompok B adalah x, sehingga hasil b t k d h d i t h di tbentuk sederhana dari contoh di atas:

f(x,y) = x’y + xy’ + xy = kelompok A + kelompok B = y + x

20090312 #35


1 S d h k l h b ik t1. Sederhanakanlah persamaan berikut: (lihat soal no.2 penyederhanaan dengan aljabar)

f( ) ’ ’ ’ + ’ ’ + ’ + ’ ’ + ’ ’ + ’f(x,y,z) = x’y’z’ + x’y’z + x’yz + x’yz’ + xy’z’ + xyz’Jawab:

X’ Z’X’

20090312 #36


2 S d h k l h f i B l b ik t d2. Sederhanakanlah fungsi Boolean berikut dengan menggunakan K’Map : f(x,y,z) = xyz + xyz’ + xy’z + x’yz + x’yz’ +

xy’z’ + x’y’z’Jawab:

z’z’

y

xx

20090312 #37


3. Sederhanakanlah fungsi Boolean: f(w x y) = m(0 1 3 5 7)f(w,x,y) = m(0, 1, 3, 5, 7)

Jawab:

’ ’w’x’y

20090312 #38


1. Sederhanakanlah fungsi Boolean berikut:f(w,x,y,z) = m(0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14)( , ,y, ) ( , , , , , , , , , , , , )Jawab:

x’x

z’

20090312 #39wy’


2. Sederhanakanlah fungsi Boolean: f(w,x,y,z) = wxy’z’ + wxy’z + wxyz + wx’yz + w’x’yz + ( , ,y, ) y y y y y

w’x’yz’ + w’xyz’ + w’xy’z’ + w’xy’zJawab: (alternatif 1)

’ ’( )

w’x’y

xy’ w’yz’

f(w,x,y,z) = xy’ + ( , ,y, ) y

w’x’y + wyz + w’yz’

20090312 #40

wyz


Jawab: (alternatif 2) x’yz

w’yz’xy’

w yz

wxz

f(w,x,y,z) = xy’ + ( , ,y, ) y

wxz + x’yz + w’yz’

20090312 #41


Jawab: (alternatif 3)

’ ’w’x’y

’ z’w’xz’

f(w,x,y,z) = xy’ + ( , ,y, ) y

wyz + w’xz’ + w’x’yxy’

wyz

20090312 #42

wyz


t b b d3. Contoh: urutan berbeda B’D’

A’BD

Mi lMisal isinya

don’t ca e bisa 0 bisa 1

SOP berdasarkan

x = don’t care, bisa 0 bisa 1, tergantung kebutuhan

C

20090312 #43

SOP berdasarkan bit-bit 1 f(A,B,C,D) = C + B’D’ + A’BD

Don’t CareDon’t Care (1)(1)Don t Care Don t Care (1)(1)

Nil i b h d ’t tid k di hit k l h• Nilai peubah don’t care tidak diperhitungkan oleh fungsinya

• Nilai 1 atau 0 dari peubah don’t care tidak berpengaruh• Nilai 1 atau 0 dari peubah don t care tidak berpengaruh pada hasil fungsi

• Semua nilai don’t care disimbolkan dengan X, d, atau g , , • Bentuk SOP:

– Nilai X yang masuk ke dalam kelompok akan bernilai 1– Nilai X yang tidak masuk ke dalam kelompok akan

bernilai 0• Bentuk POS:• Bentuk POS:

– Nilai X yang masuk ke dalam kelompok akan bernilai 0– Nilai X yang tidak masuk ke dalam kelompok akanNilai X yang tidak masuk ke dalam kelompok akan

bernilai 1

20090312 #44


• Contoh 1:f(w,x,y,z) = Σm(1,3,7,11,15)( , ,y, ) ( , , , , )

don’t care = d(w,x,y,z) = Σm(0,2,5)Bentuk SOP:Bentuk SOP:

w’z Hasil penyederhanaan:

yzw z

f(w,x,y,z) = yz + w’z

20090312 #45


• Contoh 1:f(w,x,y,z) = Σm(1,3,7,11,15)( , ,y, ) ( , , , , )

don’t care = d(w,x,y,z) = Σm(0,2,5)Bentuk POS:Bentuk POS:

z

w’+y Hasil penyederhanaan:w +yf(w,x,y,z) = z(w’+y)

20090312 #46

Don’t CareDon’t Care (4)(4)a b c d f(a,b,c,d)

Don t Care Don t Care (4)(4)

C t h 2

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0• Contoh 2: 0 0 1 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 0 10 1 0 0 1

0 1 0 1 1

0 1 1 0 00 1 1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 x1 0 0 0 x

1 0 0 1 x

1 0 1 0 x1 0 1 0 x

1 0 1 1 x

1 1 0 0 x1 1 0 0 x

1 1 0 1 x

1 1 1 0 xc’d’ bd

bd

20090312 #47

1 1 1 1 xf(a,b,c,d) = c’d’+bd+bd


B’+C+DPOS berdasarkan bit bit 0:

B’+C+D

bit-bit 0:B+C+D’

A’+B’

don’t ca e bisa 0 bisa 1

A’+B’

x = don’t care, bisa 0 bisa 1, tergantung kebutuhan

20090312 #48

f(A,B,C,D) = (A’+B’)(B’+C+D)(B+C+D’)

Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--Map Map 4 V i b l4 V i b l4 Variabel4 Variabel (7)(7)

4. f(A,B,C,D) = m( 0,2,4,5,7,10,11,14,15)A’BC’Alternatif I:

ACSOP:

f(A B C D)f(A,B,C,D) = AC+BCD+A’BC’+A’B’D’

20090312 #49

BCDA’B’D’


f(A,B,C,D) = m( 0,2,4,5,7,10,11,14,15)Alternatif II:

A’BD

A’C’D’

ACSOP:

f(A B C D)

B’CD’

f(A,B,C,D) = AC+A’BD+A’C’D’+B’CD’

20090312 #50

B’CD’


f(A,B,C,D) = m( 0,2,4,5,7,10,11,14,15)Bentuk POS:

A’+C

A+B+D’ POS:

f(A B C D)

A+B’+C’+D

f(A,B,C,D) = (A’+C)(A+B+D’)(A+B’+C’+D)

20090312 #51

A+B’+C’+D

Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--Map Map y gy g pp5 Variabel 5 Variabel (1)(1)

1. f(A,B,C,D,E) = {2,3,6,7,9,13,18,19,22,23,24,25,29}Dengan model planar:

ABD’EA’BD’Eg p

0 4 12 8 16 20 28 24ABC’D’

1 5 13 9 17 21 29 25

3 7 15 11 19 23 31 27

A’B’D AB’D2 6 14 10 18 22 30 26

f(A B C D E) A’B’D + AB’D + A’BD’E + ABD’E + ABC’D’

A’B’D AB D

20090312 #52

f(A,B,C,D,E) = A’B’D + AB’D + A’BD’E + ABD’E + ABC’D’

= B’D + BD’E + ABC’D’

Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--Map Map y gy g pp5 Variabel 5 Variabel (2)(2)

00 01 11 10BC

00 01 11 10BC00 01 11 10

00DE

1

00 01 11 10

00DE

0 4 12 8 16 20 28 24

1 1 01 1 1 011

0

5 13 9 17

16

21 29 25

1 1

1 1

11

10

1 1

1 1

11

103

6

7

14

15

10

11 19

22

23

30

31

26

27

1 1 10 1 1 10

A=0 A=1

2 6 14 10 18 22 30 26

Dengan model stack:

f(A B C D E) = B’D + BD’E + ABC’D’

20090312 #53

f(A,B,C,D,E) = B D + BD E + ABC D

Penyederhanaan Dengan KPenyederhanaan Dengan K--Map Map y gy g pp6 Variabel6 Variabel

1 1

00 01 11 10

00

CDEF

1 1

00 01 11 10

00

CDEF

1 1

00

01 1

00

01

1 1

1 1

11

10

1

1 1

11

10AB=00 AB=01

00 01 11 10CDEF 00 01 11 10CD

EF

AB=00 AB=01

1 1

1

00

01

EF1 1

1

00

01

EF

1

1

01

11

1

1

01

11

20090312 #54

1 1 10 1 1 10AB=10 AB=11

Map Entered Variables (MEV)Map Entered Variables (MEV)Map Entered Variables (MEV)Map Entered Variables (MEV)• Penyederhanaan dengan K-Map hanya praktis untuk

maksimum 4 variabel !!!• Bagaimana jika jumlah variabel lebih dari 4 ?

– Dengan Map Entered Variables (MEV)– Satu variabel atau lebih dimasukkan ke dalam tabel

20090312 #55

MEV:MEV: 2 Variabel Menjadi 1 Variabel2 Variabel Menjadi 1 VariabelMEV: MEV: 2 Variabel Menjadi 1 Variabel2 Variabel Menjadi 1 Variabel

• Contoh 1: f(A,B) = A’B + AB’ + AB• Variabel B akan dimasukkan ke mapp

20090312 #56

MEV:MEV: 3 Variabel Menjadi 2 Variabel3 Variabel Menjadi 2 Variabel (1)(1)MEV: MEV: 3 Variabel Menjadi 2 Variabel 3 Variabel Menjadi 2 Variabel (1)(1)

• Contoh 1: f(A,B,C) = m(2,5,6,7)• Variabel C akan dimasukkan ke mapp

20090312 #57

MEV:MEV: 3 Variabel Menjadi 2 Variabel3 Variabel Menjadi 2 VariabelMEV: MEV: 3 Variabel Menjadi 2 Variabel 3 Variabel Menjadi 2 Variabel (2)(2)

• Kompresi dari 3 variabel (x1, x2, dan x3) menjadi 2 variabel• Contoh 2: x3 dimasukkan (entered)3 ( )

1.x3 + 0.x’3 = x3

1.x3 + 1.x’3 = 10.x3 + 1.x’3 = x’3

0.x3 + 0.x’3 = 0

20090312 #58


• Contoh 3: x2 dimasukkan (entered)

0.x’2 + 1.x2 = x2 0.x2 + 1.x’2 = x’21.x’2 + 0.x2 = x’2

1.x’2 + 0.x2 = x’2

2 2 2

20090312 #59


• Contoh 4: x1 dimasukkan (entered)

0.x’1 + 1.x1 = x1 0.x1 + 0.x’1 = 01.x’1 + 1.x1 = 1

0.x1 + 1.x’1 = x’1

1 1

20090312 #60

Documents

Pert-07 Aljabar Boolean, K-Map, Dan MEV Bag-1 20110205