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一. 电阻电路
iRu
2.3 单一参数的正弦交流电路
1.电流、电压的关系 u
i
R
+
_
tUu sin2设:
tR
U
R
ui sin2则: tI sin2
结论: u、i同频率
)( mm IRU IRU
u、i同相位
用相量表示:
U I
u
i
R
+
_
0jUeU
0jIeI
用相量图表示:
IRU
ω t u
i 波形图表示:
2. 电阻电路中的功率
(1) 瞬时功率p:
(2) 平均功率(有功功率)P:
TT
dtiuT
dtpT
P00
11
T
dttUIT 0
2sin21
单位:瓦、千瓦 (W、kW)
tUIiup 2sin2
RURIUI /22
T
dttUIT 0
)2cos1(1
ω t u
i
p
ω t
dt
diLu
cos 2 t L I dt
di L u 则
) 90 sin( 2 o
+ t U
) 90 sin( 2 o
+ t I XL
二.电感电路
1.电流、电压的关系
令:U=IXL ,其中: XL= L 称感抗 ,
i
u L
+
_
tIi sin2设:
单位:欧姆(Ω)
) 90 sin( 2 o + t IωL
波形图表示:
i
u L
+
_
结论: u 超前 i 90 °
)( mLm IXU IXU L
i
u
t90
用相量表示:
90jUeU
0jIeI
用相量图表示:
IjXU L
U
I
tIi sin2
)90sin(2 o+ tUu
u、i同频率
感抗(XL =ωL )是频率的函数, 表示电感电路
中电压、电流有效值之间的关系,且只对正弦量有效。
LL XIU
ω = 0 时
XL = 0
关于感抗的讨论
u
+
_ L R
直流
U +
_
R
对直流电,电感相当于短路。?
tUIttUIiup 2sincossin2
(1)瞬时功率 p :
2. 电感电路中的功率 i
u L
+
_ tIi sin2
)90sin(2 + tUu
u i
t
P <0 P >0 P <0 P >0
可逆的 能量转换
过程
储存 能量
释放 能量
(2)平均功率 P (有功功率)
0)2(sin1
1
0
0
dttIUT
dtpT
P
T
T
结论:纯电感不消耗能量,只和电源进行能量
交换(能量的吞吐)
tUIuip 2sin瞬时功率
无功功率等于瞬时功率达到的最大值。
(3) 无功功率 Q
L
LLX
UXIUIQ
22
tωUIp sin2所以
单位:乏(var)
为了衡量电感与电源之间能量交换的规模大小,把
电感与电源之间能量交换的最大值,称为无功功率。
tIi sin2
)90sin(2 + tUu 则:
例1: 将一0.1H的线圈接到f=50Hz,U=10V的正
弦交流电源的电流多大?若U不变,改变
f=5000Hz,电流多大?
i
u L
+
_
☆
电流与电压的变化率成正比。
t
uCi
d
d
1.电流与电压的关系
则:
)90sin(2 + tωCωU
tωωUCt
uCi cos2
d
d
三 . 电容电路
u
i
C
+
_ 设: tωUu sin2
) 90 sin( 2 o
+ t I
令: U=IXC ,其中: XC=1/ C 称容抗
单位:欧姆(Ω)
i
tω
u i
90
u
波形图:
结论: u 滞后 i 90 °
)( mCm IXU IXU C
u
i
C
+
_ 用相量表示:
0jUeU
90jIeI
用相量图表示:
IjXU C
U
I
tUu sin2
)90sin(2 o+ tIi
u、i同频率
CXIU 则:
容抗(Ω) 定义: CfπCω
XC2
11
所以电容C具有隔直通交的作用
CfπXC
2
1
XC
直流: XC ,电容C视为开路 交流:f
2.功率关系
(1) 瞬时功率
u
i
C
+
_ )90(sin2 + tωX
1Ui
C
tωUu sin2由
)90sin(sinmm +
ωtωtIU
uip
tωUI 2sin
tωIU
2sin2
mm u i
o tω
u,i
p >0
充电
p <0
放电
p >0 p <0
(2) 平均功率 P
0d)(2sin
d1
0
ttωUIT
1
tpT
P
T
0
T C是非耗能元件
结论:
纯电容不消耗能量,只
和电源进行能量交换(能
量的吞吐)。
同理,无功功率等于瞬时功率达到的最大值,为与电感无功功率相区别,其取负值。
(3) 无功功率 Q
C
CCX
UXIUIQ
22
p UI ωt所以 sin2
单位:乏(var)
为了同电感电路的无功功率相比较,这里也设
u U ω t 2 sin
i I ω t + 2 sin ( 90 )则:
例2: 电容器C=0.5μF,外加交流电压U=10V,
φ=30°,ω=106rad/s,求i。
u
i
C
+
_
(1)相量图法:先画相量图,
分别求I、 φ。
解:
30°
UI
6 610 10 0.5 10 51
C
U UI A
XC
ooo 1209030 +i Ati )12010sin(25 6 o+
例2: 电容器C=0.5μF,外加交流电压U=10V,
φ=30°,ω=106rad/s,求i。
u
i
C
+
_
(2)复数(相量)法: 解:
Ati )12010sin(25 6 o+
VeUeUjj oo 301010 30 由已知:
6 6
1 12
10 0.5 10CX
C
Aee
e
jX
UI
j
j
j
C
oo
o
o 12055
2
10 120
90
30
有:
单一参数交流电路中的基本关系 小 结
iRu U
IRIU
dt
diLu U
I)( LXjIU
dt
duCi
U
I)( CXjIU
0Q
RURIUIP 22 (w、kw)
0P
LLL XUXIUIQ 22
(var、kvar)
相量式 相量图 功率 瞬时式 电路图
R i
u
L
i
u
C
i
u0P
CCC XUXIUIQ 22
(var、kvar)
LX L
CXC
1
一、电流、电压的关系
2.4 RLC串联交流电路
分析方法:(1)相量图法
u
Ru
Lu
Cu
+
_
+
_
+
_
+
_ R
L
C
i ?sin utIi m 求,已知:
o 0jIeI 设:
CLR uuuu ++
CLR UUUU ++复数式:
(1)用相量图法分析:
先画出参
考相量
CU
ULU
IRU
CL UU +
(设 ) CL XX >
u
Ru
Lu
Cu
+
_
+
_
+
_
+
_ R
L
C
i
o 0jIeI
CLR UUUU ++
U
CL UU
RU
CU
RU
ULU
CL UU +
I
(设 ) CL XX >
电压三角形
R
XXarctg
U
UUarctg CL
R
CL
22)( CLR UUUU +
ZI
XXRI CL
+ 22 )(
22 )( CL XXRZ +阻抗:
电压与电流的相位差:
CLCL IXIXUU
IRUR
Z
R
CL XX
阻抗三角形
阻抗角
R
XXarctg CL
22 )( CL XXRZ +
阻抗:
U
CL UU
RU
电压三角形 R
XXarctg
U
UUarctg CL
R
CL
电压与电流的相位差:
Z
R
CL XXX
阻抗三角形
阻抗角
R
XXarctg CL
22 )( CL XXRZ +
阻抗:
当 时, , u 超前 i --电路呈电感性 CL XX 0
CL XX 0当 时, , u 、i同相 --电路呈电阻性
CL XX 0当 时, , u 落后 i --电路呈电容性
ZIXXjRI
jXIjXIRIU
CL
CL
+
++
则 RIUR
0II设 (参考相量)
复阻抗+ )( CL XXjRZ
(2)用复数解析法分析:
u
Ru
Lu
Cu
+
_
+
_
+
_
+
_ R
L
C
i
CLR UUUU ++
LL jXIU
CC jXIU
二、 RLC串联交流电路的功率
)2cos(cos
sin)sin(2
+
+
tUIUI
ttUIiup
u
Ru
Lu
Cu
+
_
+
_
+
_
+
_ R
L
C
i 由: tIi sin2
)(sin2 + tUu
(1) 瞬时功率
cos1
0IUdtp
TP
T
其中 称功率因数 cos
RIIUIUP R
2cos
u
Ru
Lu
Cu
+
_
+
_
+
_
+
_ R
L
C
i 设: tIi sin2
)(sin2 + tUu
(2) 平均功率 P
U
CL UU
RU
)2cos(cos + tUIUIp
u
Ru
Lu
Cu
+
_
+
_
+
_
+
_ R
L
C
i
设: tIi sin2
)(sin2 + tUu
(3) 无功功率 Q
sinIUQ
CLCL XIXIIUU 22)(
CL QQ +
,感性,, 00sin0 Q
,容性,, 00sin0 Q
,谐振,, 00sin0 Q
u
Ru
Lu
Cu
+
_
+
_
+
_
+
_ R
L
C
i (4) 视在功率 S
ZIIUS 2 22 QP +
单位:伏安(VA)
有些电器设备的容量是不能用有功功率来表示的,如
发电机和变压器。因为其所带负载的功率因数是未知的,
所以用视在功率来表示容量。它表示最大可能输出的功率。
把电压有效值和电流有效
值的乘积,叫做视在功率。
u
Ru
Lu
Cu
+
_
+
_
+
_
+
_ R
L
C
i (4) 视在功率 S
ZIIUS 2 22 QP +
sinIUQ cosIUP
Z
R
CL XX
S
P
Q
阻抗三角形
U
RU
CL UU
电压三角形 功率三角形
除以I 乘以I
+ ZjXRZ iu
1. R-L串联电路
R-L-C串联交流电路中的特例
2. R-C串联电路
u
Ru
Lu
+
_
+
+ _
_ R
L
i
u Ru
Cu
+
_
+
_ +
_ R
C
i
R-L串联电路相量式表示
U
I
LU
RU
ZIjXRIUUU LLR ++ )(
阻抗角,电压超前电流的相位角
0II设:
LR UUU +u
Ru
Lu
+
_
+
+ _
_ R
L
i
+ ZjXRZ L
22
LXRZ +
R
Xarctg L
LR UUU +向量图
U
I
LU
RU
U UL
UR
|Z| XL
R
S Q
P
电压三角形 阻抗三角形 功率三角形 22
LR UUU + 22
LXRZ +22 QPS +
cos称为功率因数
电压三角形、阻抗三角形
功率三角形
coscos UISP
2 R-C串联电路中电压电流的相量图
以I为参考相量 I UR
UC U
CR UUU +
ZIUUU CR +22有效值关系:
22
CXRZ +
R
Xtg C
1 <0
u Ru
Cu
+
_
+
_ +
_ R
C
i