Upload
leadyourlife
View
386
Download
10
Embed Size (px)
Citation preview
| A l j a b a r L i n e a r
STKIP SINGKAWANG
2014
ALJABARLINEARRISTIA APRINA
J L . S T K I P , K E L . N A R A M , K E C . S I N G K AW A N G U T A R A , K A L ‐ B A R
A l j a b a r L i n e a r | i
DAFTAR ISI
BAB I: Sistem Persamaan Linear ……………………………………………… 1
Sistem Persamaan Linear …………………………………………………. 1
Latihan Soal 1 ……………………………………………………………………… 3
Matriks dan Operasi Matriks ……………………………………………… 4
Jenis-jenis Matriks ………..……………………………………………….. 5
Penjumlahan dan Pengurangan Matriks ………..…………………………. 6
Perkalian Matriks …………..……………………………………………… 7
Bahan Diskusi 1…………...……………………………………………… 8
Latihan Soal 2……………………………………………………………………… 8
Nilai variabel pada Sistem Persamaan Linear 1 ………………………….. 9
Operasi Baris Elementer ………………………………………………….. 9
Sistem Persmaan Linear Homogen ………………………………………. 12
Latihan Soal 3 ……….……………………………………………………………. 14
BAB II: Transpose, Determinan, Invers ………………………………………. 15
Transpos ………………………………………………………………….. 15
Latihan Soal 4 ……… ……………………………………………………………. 17
Determinan ……………………………………………………………….. 18
Metode Sarrus ……………………………………………………………. 18
Reduksi Baris …………………………………………………………….. 20
Bahan Diskusi 2 ………………………………………………………….. 22
Ekspansi Kofaktor ………………………………………………………... 23
Latihan Soal 5 ……………………….…………………………………………….. 25
Invers ……………………………………………………………………… 26
Bahan Diskusi 3 ………………………………………………………….. 27
Invers dengan Determinan dan Adjoin …………………………………… 28
Bahan Diskusi …………………………………………………………….. 28
A l j a b a r L i n e a r | ii
Invers dengan Mereduksi Baris …………………………………………… 2
Bahan Diskusi 4 …………………………………………………………… 30
Nilai Variabel Pada Persamaan Linear 2 ………………………………….. 31
Menggunakan Invers ………………………………………………………. 31
Aturan Cramer …………………………………………………………….. 32
Tugas ………………………………………………………………………. 33
BAB III: Vektor di Ruang -2 dan Ruang-3 ………………………………………… 34
Penjumlahan Vektor ……………………………………………………….. 34
Pengurangan Vektor ……………………………………………………….. 35
Vektor R2 …………………………………………………………………… 36
Vektor R3 …………………………………………………………………… 37
Latihan Soal 6 ……… ………………………………………………………………. 40
Norma Suatu Vektor, Aritmatika Vektor …………………………………... 41
Latihan Soal 7 …….. ………………………………………………………………. 43
Perkalian Titik, Proyeksi …………………………………………………… 44
Perkalian Titik dari Vektor ……………………………………………….... 44
Rumus Komponen Untuk Perkalian Titik …………………………………. 44
Mencari Sudut Antar Vektor ………………………………………………. 45
Vektor-vektor Ortogonal ……………………………………………………. 45
Proyeksi Ortogonal ………………………………………………………….. 46
Latihan Soal 8 ………….…………………………………………………………….. 48
Perkalian Silang ……………………………………………………………… 49
Interpretasi Geometrik dari Perkalian Silang ………………………………… 51
Interpretasi Geometrik Determinan ………………………………………….. 53
Independensi Perkalian Silang dan Koordinat ………………………………. 54
Latihan Soal 9 …………….…………………………………………………………... 55
1 | A l j a b a r L i n e a r
BAB I
SISTEM PERSAMAAN LINIER
Tujuan umum:
Mahasiswa dapat memahami konsep sistem persamaan linear, grafik persamaan linear, sistem persamaan dalam matriks.
Tujuan khusus
1. Menuliskan konsep persamaan linear. 2. Dapat mengubah bentuk sistem persamaan linear ke dalam bentuk matriks. 3. Memahami operasi baris elementer dalam penyelesaian sistem persamaan linear.
MATERI Suatu persamaan linear yang mengandung n peubah x1, x2 ,…,xn dinyatakan dalam
bentuk ax1 + a2x2 + … + an xn = b dengan a1, a2, …, an , b adalah konstanta real. Dalam hal ini, peubah yang dimaksud bukan merupakan fungsi trigonometri, fungsi logaritma ataupun fungsi exponensial. Contoh x + 2y = 6 Persamaan linier 2 peubah
2x – 3y = 2z +1 persamaan linear dengan 3 peubah
y = x + 3z + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .
x + 3y2 = 7 . . . . . . . . . . .. . . . . .
x1 – 2x2 – 3x3 + x4 = 7 . . . . . . . . . . . . . . . .
y – sin x = 0 Bukan persamaan linier
3x + 2y – z + xz = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistem persamaan linear ( SPL )
Definisi Sistem persamaan linear adalah himpunan berhingga dari persamaan linear Contoh
a.) x + y = 2 b.) x – y + z = 4 2x + 2y = 6 x + y = 0
A l j a b a r L i n e a r | 2
Tidak semua sistem persamaaan linear memiliki penyelesaian ( solusi ) , sistem persamaan linear yang memiliki penyelesaian memiliki dua kemungkinan yaitu penyelesaian tunggal dan penyelesaian banyak. Secara lebih jelas dapat dilihat pada diagram berikut :
SPL
Pada sistem persamaaan linear dengan dua peubah, secara geometris SPL mempunyai
tiga kemungkinan penyelesaian sebagai berikut:
Grafiknya berupa dua garis yang saling sejajar, maka tidak ada perpotongan dan akibatnya tidak ada penyelesaian terhadap sistem tersebut.
Grafiknya memiliki sebuah titik hasil perpotongan dua garis, maka sistem tersebut tepat memiliki satu penyelesaian.
Grafiknya berupa dua buah garis lurus yang berimpit, maka terdapat tak hingga titik potong dan akibatnya ada banyak penyelesaian untuk sistem tersebut.
Secara lebih jelas dapat dilihat pada gambar berikut: l2
y y l1 l2 y
l1 dan l2 l1 x x x Contoh
a.) x + y = 2 Grafiknya : 3 2x + 2y = 6 2 2 3
Grafik tersebut menunjukkan bahwa kedua garis sejajar sehingga tidak ada penyelesaian yang memenuhi sehingga disimpulkan bahwa SPL tidak konsisten. b.) x – y = 2 Grafiknya : x + y = 2 2 2
-2
Tidak mempunyai
penyelesaian
Mempunyai satu
penyelesaian
Mempunyai tak
hingga penyelesaian
A l j a b a r L i n e a r | 3
Grafik tersebut menunjukkan bahwa himpunan penyelesaian dari SPL adalah titik potong antara x – y = 2 dan x + y = 2 yaitu titik ( 2,0 ). Jadi penyelesaian dari SPL adalah tunggal yaitu x = 2 dan y = 0. c.) x + y = 2 Grafiknya : 2x + 2y = 4 2 2
Grafik diatas bahwa x + y = 2 dan 2x + 2y = 4 saling berhimpit sehingga hanya terlihat seperti satu garis saja. Himpunan penyelesaian dari SPL semua titik yang terletak disepanjang garis tersebut. Misalkan diambil x = 0 maka didapatkan y = 2 yang memenuhi persamaan, jika x = 1 maka nilai y = 1 adalah nilai yang memenuhi . Secara matematis dapat dituliskan sebagai: {(x,y) | x = 2 – y , xR ,yR} Untuk kasus sistem persamaan linear dengan menggunakan dua peubah, pembuatan grafik untuk menentukan himpunan penyeleaian seperti ini masih memungkinkan, hanya saja untuk jumlah peubah yang lebih banyak hal ini sulit dilakukan.
Latihan Soal 1! 1. Manakah dari persamaan berikut ini yang merupakan persamaan linear dalam x1, x2 dan
x3?
a. 125 321 xxx c. 23 3121 xxxx e. 321 37 xxx
b. 58 322
1 xxx d. 42 325
3
1 xxx f. 31
331 73
12 xxx
2. Carilah matriks yang diperbesar untuk setiap sistem persamaan linear berikut:
a.
17
25
12
43
532
5421
xx
xxx
xxxx b.
3
2
1
3
2
1
x
x
x
3. Cari suatu sistem persamaan linear yang berpadanan dengan matiks yang diperbesar di bawah ini.
a.
110
043
002
b.
1
5
04
31
21
27 c.
4
3
2
7
1000
0100
0010
0001
A l j a b a r L i n e a r | 4
MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS
Tujuan umum:
Mahasiswa dapat memahami bagian-bagian dari matriks beserta jenis matriks, serta mahasiswa dapat melakukan operasi hitung yang digunakan pada matriks.
Tujuan khusus:
1. Mengenal entri dan ordo. 2. Dapat menyebutkan contoh dari setiap ordo. 3. Memahami jenis-jenis matriks. 4. Menyelesaikan penjumlahan matriks. 5. Menyelesaikan pengurangan matriks. 6. Menyelesaikan perkalian matriks.
Definisi. Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan.
Bilangan- bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.
A =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
...
...
atau nmija
Sebuah matriks dengan m baris dan n kolom dinamakan matriks kuadrat berordo m x n,
dengan entri-entrinya a11, a22, ….., amn.
Contoh:
41
03
21 3012
53
12
314
211
316
Ordo … x … Ordo … x … Ordo … x … Ordo … x …
A l j a b a r L i n e a r | 5
6000
5100
4010
3001
4
3
1
043
012
Ordo … x … Ordo … x … Ordo … x … Ordo … x …
Jenis-jenis Matriks
1. Jenis matriks ditinjau dari banyaknya baris dan kolom
Matriks baris
Contoh:
Matriks kolom
Contoh:
Matriks persegi
Contoh:
2. Jenis matriks persegi ditinjau dari elemen-elemen penyusunannya
Matriks diagonal
Contoh:
Matriks segitiga bawah dan segitiga atas
Contoh:
A l j a b a r L i n e a r | 6
Matriks identitas
Contoh:
Matriks simetris
Contoh:
Operasi Matriks
1. Penjumlahan & Pengurangan Matriks
Definisi. Jika A dan B adalah matriks-matriks dengan ukuran yang sama, maka jumlah A +
B adalah matriks yang diproleh dengan menjumlahkan entri-entri pada B dengan
entri-entri yang bersesuain pada A dan selisih A – B adalah matriks yang diperoleh
dengan mengurangkan entri-entri pada A dengan entri-entri yang bersesuaian pada
B. Matriks dengan ukuran yang berbeda tidak dapat dijumlahkan atau
dikurangkan.
Penulisan notasi matriks, jika A = ija dan B = ijb memiliki ukuran yang sama, maka (A +
B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij
(A – B)ij = (A)ij – (B)ij = aij - bij
Contoh:
875
352
324
A
543
231
420
B
2502
3753
0142
C
.........
.........
........
BA
.........
.........
.........
BA
Apakah A + C, B + C, A – C dan B – C terdefinisi?
Jelaskan........................................................................
A l j a b a r L i n e a r | 7
2. Perkalian matriks
Definisi. Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x n maka hasil kalinya AB
adalah matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sebgai berikut. Untuk mencari
entri pada baris i dan kolom j dari Ab, pisahkanlah baris i dari matriks A dan
kolom j dari matriks B. Kalikan entri-entri matriks bersesuain dari baris dan kolom
tersebut dan kemudian jumlahkan hasil yang diperleh.
Penulisan notasi matriks, jika A = rmija
dan B= nrijb
maka AB=C dengan C = rmijc
Contoh:
875
352
324
A
543
231
420
B
25
41
32
C
...)(......)(......)(......)(......)(......)(......)(......)(......)(...
...)(......)(......)(......)(......)(......)(......)(......)(......)(...
...)(......)(......)(......)(......)(......)(......)(......)(......)(...
543
231
420
875
352
324
BA
25
41
32
543
231
420
CB
Bagaimana C x B dan C x A terdefinisi?
Jelaskan...........................................................
A l j a b a r L i n e a r | 8
Bahan Diskusi 1
Tunjukkan dengan contoh apabila terdapat bentuk matriks berikut:
mmnmnmm
n
n
b
b
b
a
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
Apakah bentuk AX = B dan XA = B hasil matriksnya akan sama?
Latihan Soal 2!
1. Misalkan A dan B adalah matriks-matriks 4x5 dan misalkan C, D dan E berturut-turut
adalah matriks-matriks 5x2, 4x2, dan 5x4. Tentukanlah yang mana di antara pernyataan
matriks berikut yang didefiniskan. Untuk matriks-matriks yang didefinisikan, berikanlah
ukuran matriks yang dihasilkan.
a. BA c. AC + D e. AE + B
b. E(A + B) d. E(AC) f. AB + B
2. Tinjaulah matriks-matriks berikut
423
101
251
20
14
314
211
316
5
2
13
41
11
21
03
DB
ECA
Hitunglah
a. AB c. D – E e. ED
b. D + E d. DE f. -7B
3. Buatlah contoh soal dengan membuat dua buah matriks masing-masing ordo 3x3 dan
lakukan penjumlahan dan perkaliannya.
A l j a b a r L i n e a r | 9
Nilai Variabel pada Sistem Persamaan Linear 1
Tujuan umum:
Mahasiswa dapat memahami menentukan nilai suatu variabel pada sistem persamaan linear, dan memahami konsep bentuk dari sistem linear homogen.
Tujuan khusus
1. Menyelesaikan SPL dengan menggunakan Eliminasi Gauss Jordan. 2. Menyelesaikan SPL dengan menggunakan Eliminasi Gauss. 3. Menyelesaikan SPL dengan menggunakan Substitusi Balik. 4. Memahami bentuk sistem dari sistem linear homogeny. 5. Memahami bentuk penyelesaian dari sistem linear homogen
1. Operasi Baris Elementer
Ketika dihadapi masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear terutama yang menggunakan banyak peubah, maka hal pertama yang dapat digunakan untuk menyederhanakan permasalahan adalah dengan mengubah sistem persamaan linear yang ada ke dalam bentuk matriks. Suatu persamaan linear biasanya juga tidak didapatkan secara langsung tetapi melalui penyederhanaan dari permasalahan yang terjadi dalam kehidupan sehari – hari. Setelah diubah ke bentuk matriks, maka matriks tersebut diubah ke bentuk matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi untuk mendapatkan penyelesaian dari SPL. Prosedur untuk mendapatkan matriks eselon baris tereduksi biasa disebut sebagai eliminasi Gauss– Jordan . Pada proses eliminasi tersebut operasi – operasi yang digunakan disebut operasi baris elementer.
Dalam operasi baris elementer ini ada beberapa operasi yang dapat digunakan , yaitu : a. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol b. Mempertukarkan dua buah baris c. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.
Dengan menggunakan operasi baris elementer , maka matriks eselon baris tereduksi yang didapatkan akan ekuivalen dengan matriks awalnya sehingga penyelesaian untuk matriks eselon baris tereduksi juga merupakan penyelesaian untuk matriks awalnya. Matriks awal yang dimaksud adalah matriks diperbesar (augmented matrix). Untuk melihat secara lebih mudah definisi dari matriks diperbesar akan ditunjukkan berikut ini :
A l j a b a r L i n e a r | 10
Diketahui SPL dengan m buah persamaan linear dan n peubah dapat ditulis sebagai berikut:
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111
Dari bentuk SPL di atas dapat di ubah dalam bentuk matriks yang diperbesar, sebagai berikut:
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
2
1
21
22221
11211
...
...
...
Setelah membuat matriks yang diperbesar, maka selanjutnya kita akan melakukan
operasi baris elementer dengan ketiga ketentuan sebelumnya, sehingga bentuk dari matriksnya menjadi sebagai berikut:
l
n
m
ccc
bbb
aaa
321
321
321
l
n
m
100
010
001
Contoh
a. 68
6352
132
zx
zyx
zyx
b.
0563
1342
92
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Matriks diperbesar
6
6
1
801
352
321
Matriks diperbesar
...
...
...
.........
.........
.........
Operasi baris elementer pada contoh di atas sebagai berikut: Contoh a:
31
212
BB
BB
7
4
1
520
310
321
32
21
2
2
BB
BB
1
4
7
100
310
901
1
4
7
100
310
901
32
31
3
9
BB
BB
1
1
2
100
010
001
‐B3
A l j a b a r L i n e a r | 11
Dari bentuk eselon baris tereduksi maka di proleh nilai x = 2, y = 1 dan z = -1
Untuk melihat apakah jawaban tersebut benar ataukah tidak, kita dapat memasukkan nilai-nilai tersebut pada persamaan awalnya.
Contoh b: Pemahaman konsep, lakukan dengan Eliminasi Gauss-Jordan.
Jadi nilai x1 = . . . . ., x2 = . . . . . dan x3 = . . . . .
Contoh: Selesaikan sistem persamaan berikut dengan menggunakan Eliminasi Gauss.
68
6352
132
zx
zyx
zyx
Penyeleasian Setelah melakukan operasi baris elementer diperoleh bentuk matriksnya:
1
4
7
100
310
901
Sehingga diperoleh sistem yang berpadanan adalah x1 + 9x3 = -7 x2 – 3x3 = 4 x3 = 1
A l j a b a r L i n e a r | 12
selain proses diatas dapat dilakukan juga dengan penyelesaian Substitusi Balik, sebagai berikut:
substitusi x3 = 1 ke persamaan kedua, diperoleh: x2 – 3x3 = 4 x2 – 3(…) = 4
x2 = …
substitusi x3 = 1 ke persamaan pertama, diperoleh: x1 + 9x3 = -7 x1 + 9(1) = -7 x1 = ….
Dengan substitusi balik dapat ditentukan jawab dari SPL, yaitu x1 = …., x2 = …., dan x3 = … Contoh: Selesaikan contoh berikut dengan menggunakan Eliminasi Gauss.
0563
1342
92
zyx
zyx
zyx
Penyelesaian
2. Sistem Persamaan Linear Homogen
Suatu sistem persamaan linear dikatakan Homogen jika semua konstantanya adalah nol; yaitu, jika sistem tersebut mempunyai bentuk.
A l j a b a r L i n e a r | 13
0...
0...
0...
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
Setiap sistem persamaan linear homogen mempunyai sifat konsisten, sehingga memiliki
penyelesaian:
Penyelesaian Trivial; suatu pemecahan dari suatu persamaan linear yang hasilnya 0.
Penyelesaian Tak Trivial; jika ada pemecahan lain. Contoh Penyelesaian Trivial:
0
02
032
32
21
321
xx
xx
xxx
0
0
0
110
021
312
Penyelesaian:
B1 tukar B2
...
...
...
.........
.........
.........
B2 tukar B3
...
...
...
.........
.........
.........
-2B1+B3
...
...
...
.........
.........
.........
-3B2+B3
...
...
...
.........
.........
.........
36
1B
...
...
...
.........
.........
.........
0
)0(2
2
02
0
...
...
1
1
11
21
2
32
32
3
x
x
xx
xx
x
xx
xx
x
Jadi x1= x2= dan x3=
Contoh Penyelesaian Tak Trivial:
A l j a b a r L i n e a r | 14
0
02
032
022
543
5321
54321
5321
xxx
xxxx
xxxxx
xxxx
....
....
....
....
....
....
....
....
................
................
................
................
Penyelesaian: Dengan menggunakan matriks ini menjadi bentuk eselon baris tereduksi, dieroleh
....
....
....
....
....
....
....
....
................
................
................
................
Sistem persamaan yang berpadanan adalah Menyelesaikan untuk peubah utama menghasilkan Jadi, penyelesaian umunya adalah
Latihan Soal 3: 1. Apa perbedaan eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan? 2. Selesaikan sistem berikut ini dengan eliminasi Gauss.
5366
2363
032
cba
cba
cb
3. Selesaikan soal diatas dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan. 4. Selesaikan sistem persamaan linear homogen berikut ini dengan sembarang metode, dan
tentukan bentuk penyelesaiannya.
A l j a b a r L i n e a r | 15
a. 05
03
4321
4321
xxxx
xxxx b.
0232
032
03
0422
zyxw
zyxw
zyw
zyx
15 | A l j a b a r L i n e a r
BAB II
TRANSPOSE, DETERMINAN, INVERS
Tujuan Umum:
Mahasiswa dapat memahami konsep transpose, menentukan nilai suatu determinan, serta menentukan invers suatu matriks.
Tujuan khusus
1. Memahami konsep transpose. 2. Dapat mengubah bentuk suatu matriks menjadi transpose matriksnya. 3. Memahami pengertian determinan. 4. Memahami jenis-jenis determinan. 5. Dapat menentukan nilai suatu determinan dengan menggunakan metode sarrus. 6. Dapat menentukan nilai suatu determinan dengan menggunakan metode reduksi
baris. 7. Dapat menentukan nilai suatu determinan dengan menggunakan minor dan kofaktor. 8. Dapat menentukan nilai suatu adjoin dari matriks. 9. Dapat menentukan nilai suatu invers dengan menggunakan determinan dan adjoin . 10. Dapat menentukan nilai suatu invers dengan mereduksi baris.
Transpos
Definisi. Jika A adalah sebarang matriks m x n, maka transpos A dinyatakan oleh At dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A, dan seterusnya.
Contoh:
342414
332313
322212
312111
34
24
14
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
A
a
a
a
aaa
aaa
aaa
A t
tBB
65
41
32
A l j a b a r L i n e a r | 16
tCC 531
DDt
712
145
253
Teorema. Jika ukuran matriks seperti operasi yang diberikan dapat dilakukan, maka
a. (At)t = A b. (A + B)t = At + Bt c. (kA)t = kAt, dimana k adalah sebarang scalar d. (AB)t = Bt At
Contoh:
2364
10
51
04
31
23
baCBA
Dengan menggunakan matriks diatas tunjukkan keempat teorema diatas.
Catatan:Sebuah transpos sebuah hasil kali matriks sama dengan hasil kali transposnya dalam urutan kebalikannya.
A l j a b a r L i n e a r | 17
Latihan Soal 4!
1.
67
18
423 dacd
cbbaTentukan nilai a, b, c dan d.
2. Buktikan bahwa det(A) = det(At) untuk
a.
52
31A b.
823
601
721
A
3. Apakah matriks berikut dapat dibalik
a.
663
127
127
b.
230
110
570
4. Selesaikan bentuk matriks di bawah ini dengan menggunakan keempat teorema transpos
di atas.
a.
412
540
312
A b.
953
471
320
B
A l j a b a r L i n e a r | 18
Determinan
a. Metode Sarrus
Definisi. Misalkan A adalah matriks kuadrat. Fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan kita definisikan det(A) sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A, jumlah det(A) kita namakan determinan A.
Pemahaman konsep:
(i) 21122211
2221
1211det aaaaaa
aa
(ii)
3231
2221
1211
333231
232221
131211
det
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
=
Contoh:
Hitunglah determinan-determinan dari
24
13A dan
987
654
321
B
Penyelesaian:
det(A) =
det(B) =
Menghitung Determinan Dengan Reduksi Baris
Sifat-sifat Determinan
1. Jika Amxn maka det(A) = det(At) Contoh:
)det(
)det(24
21
tt AA
AA
Catatan: Untuk pengerjaan determinan diatas tidak berlaku dilakukan untuk matriks 4 x 4 atau matriks yang lebih tinggi.
A l j a b a r L i n e a r | 19
2. Jika Anxn dan k konstanta sehingga det(kA) = kndet(A), dengan n adalah banyak baris. Contoh:
Diketahui sebuah matriks dengan k = 3 dan
24
21A seingga diperoleh;
24
213kA
det(kA) = Atau det(kA) = kndet(A) =
3. det(A'') = det(A') + det(A) Contoh: Baris
32
31
22
31AA
det(A") = det(A') + det(A)
detdet............
31det
..... = ..... + .....
Contoh: Kolom
53
32
23
32BB
det(B") = det(B') + det(B')
detdet......3
......2det
..... = ..... + ..... 4. det(AB) = det(A)det(B)
Contoh:
ABBA
85
31
12
13
det(A) = det(B) = det(AB) =
det(AB) = det(A)det(B)
5. Suatu matriks tidak dapat dibalik jika determinanya sama dengan nol.
A l j a b a r L i n e a r | 20
Contoh: Karena baris pertama dan baris ketiga dari
642
101
321
A
Sebanding maka det(A) = 0. Jadi, A tidak dapat dibalik.
b. Reduksi Baris
Contoh:
a.)
532
000
321
atau
203
302
501
b.)
987
654
321
A
TA
Pemahaman Konsep:
Catatan: Jika A dapat dibalik, maka )det(
1)det( 1
AA
Teorema: Misalkan A adalah matriks bujursangkar jika A memiliki suatu baris nol atau kolom nol, maka a. det (A) = 0 b. det (A) = det (AT)
Teorema:
Jika A adalah matriks segitiga n x n (segitiga atas, segitiga bawah atau diagonal), maka det(A) adalah perkalian entri-entri pada diagonal utamanya det (A) = a11a22 … ann
A l j a b a r L i n e a r | 21
332211
33
2322
131211
333231
232221
131211
)det(
00
0 aaaA
a
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
atau
232211
333231
2221
11
333231
232221
131211
)det(0
00
aaaA
aaa
aa
a
aaa
aaa
aaa
A
Contoh:
987
654
321
A
det(A) =
162
963
510
B
det(B) =
151239
4185
2526
5413
C
det(C) =
8411
5193
8462
4231
D
det(D) =
A l j a b a r L i n e a r | 22
Contoh:
Kita akan mereduksi A menjadi bentuk eselon baris (yaitu segitiga atas) dan menerapkan teorema di atas.
.....................................
2
17)2(
2
2
225
142
031
)det(
A
Bahan Diskusi 2
Hitunglah determinan matriks A pada contoh di atas dengan mereduksi A menjadi bentuk eselon baris (yaitu segitiga bawah) dengan menerapkan teorema di atas.
c. Ekspansi Kofaktor
Teorema: Misalkan A adalah matriks n x n, maka: a. Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika satu baris atau satu
kolom dari dari A dikalikan dengan suatu scalar k, maka det(B) = k det(A).
b. Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika dua baris atau dua kolom dari A di pertukarkan, maka det(B) = -det(A).
c. Jika B adalah matriks yang diperoleh ketika kelipatan dari satu basris A ditambah ke baris lainnya atau ketika kelipatan dari satu kolom ditambahkan ke kolom yang lain, maka det(B) = det(A).
A l j a b a r L i n e a r | 23
Definisi: Jika A matriks bujursangkar, maka minor dari entri aij, dinyatakan sebagai Mij dan di definisikan sebagai determinan dari submatriks yang tersisa setelah baris ke-I dan kolom ke-j dihilangkan dari A. Bilangan (-1)i+jMij dinyatakan sebagai Cij dan disebut seabgai kofaktor dari entri aij.
Contoh:
841
652
413
A
.......)1(
......84
65
841
652
413
1111
11
11
MC
M
Tentukan:
M12 =
C12 =
M13 =
C13 =
M21 =
C21 =
M22 =
C22 =
M23 =
C23 =
M31 =
C31 =
A l j a b a r L i n e a r | 24
M32 =
C32 =
M33 =
C33 =
Setelah mencari minor dan kofaktor diatas maka untuk mencari determinan dilanjutkan dengan ekspansi kofaktor.
........
.))(........4((........)1(.......)3
)4(13
841
652
413
A
Contoh: Hitunglah det(A) menggunakan OBE dan eskpansi kofaktor dimana
3573
5142
1121
6253
A
Penyelesaian:
)det( A
Teorema:
Determinan dari matriks Anxn dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri pada sebarang baris (kolom) dengan kofaktor-kofaktor dan menjumlahkan hasilkali-hasilkali yang diperoleh, dimana untuk setiap 1 ≤ I ≤ n dan 1≤ j ≤ n
det(A) = a1jC1j + a2jC2j + . . . +anjCnj (ekspansi kofaktor kolom ke-j)
det(A) = ai1Ci2 + ai2Ci2 + . . . + ainCin (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-j)
A l j a b a r L i n e a r | 25
.........
)1(
Latihan Soal 5! Tentukan determinan dari matriks berikut dengan menggunakan metode sarrus, reduksi baris, dan ekspansi kofaktor.
a.
82
41 b.
321
673
321
c.
3210
0120
1101
1312
A l j a b a r L i n e a r | 26
Invers
Definisi. Jika A adalah matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (ivertible) dan B dinamakan invers (inverse) dari A.
Contoh:
Matriks
21
53B adalah invers dari
31
52A
Karena IAB
21
53
31
52
Dan IBA
31
52
21
53
Suatu matriks A dapat dibalik, maka inversnya akan dinyatakan dengan simbol A-1.
AA-1 = I dan A-1A = I
Pemahaman Konsep:
dc
baA
Jika ad – bc ≠ 0, maka
bcad
a
bcad
cbcad
b
bcad
d
ac
bd
bcadA
11
Teorema. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan yang ukurannya sama, maka:
a. AB dapat dibalik b. (AB)-1 = B-1A-1
A l j a b a r L i n e a r | 27
Pemahaman Konsep:
ABBA
22
23
31
21
111 )(ABBA
11 AB
Maka, (AB)-1= B-1A-1
Adjoin
Bentuk suatu adjoin matriks apabila berordo 2x2, yaitu Contoh:
12
43)(
32
41AadjA
Bentuk suatu adjoin matriks apabila berordo lebih dari 2x2 yaitu hubungan antara
kofaktor dari suatu matriks dengan transpos maka akan menghasilkan suatu adjoin matriks. Contoh:
841
652
413
A
Matriks kofaktor =
)(Aadj
Bahan diskusi 3
Carilah nilai adjoin dari B =
3573
5142
6253
1121
A l j a b a r L i n e a r | 28
a. Invers dengan determinan dan adjoin
Contoh 1:
Carilah nilai invers matriks dari D =
83
12
Penyelesaian: det(D) = adj(D) =
maka ................................
1 11
AA
Contoh 2:
Carilah nilai invers matriks dari G =
801
352
321
Penyelesaian: det(G) = adj(G) =
maka ................................
1 11
AA
Bahan Diskusi 4:
Carilah nilai invers dari E =
3573
5142
6253
1121
Teorema: Invers matriks dengan menggunakan adjoinnya
Jika A adalah matriks invertable, maka
)()det(
11 AadjA
A
A l j a b a r L i n e a r | 29
b. Invers dengan mereduksi baris
Untuk mencari invers dari matriks A yang dapat dibalik, kita harus mencari suatu urutan
opersi baris elementer yang mereduksi A menajdi identitas dan melakukan urutan
operasi yang sama terhadap In untuk memperoleh A-1.
Untuk melakukannya, sandingkan matriks identitas ke sisi kanan A, sehingga
menghasilkan matriks berbentuk [A|I].
Terapkan OBE pada matriks A sampai ruas kiri tereduksi menjadi I, OBE ini akan
membalikkan ruas kanan dari I menjdi A-1, sehingga matriks akhir berbentuk [I|A-1].
Contoh 1:
Cari invers matriks A =
83
12
Penyelesaian: [A|I]
10
01
83
12
Contoh 2:
Carilah invers matriks B =
801
352
321
Penyelesaian: [A|I]
2132
31
323
13
12
233
2
2
100
010
001
801
352
321
bbbbbb
bbb
bbbb
A l j a b a r L i n e a r | 30
Jadi inversnya adalah A-1 =
Bahan Diskusi 5:
Carilah invers matriks berikut dengan mereduksi baris H =
3573
5142
6253
1121
A l j a b a r L i n e a r | 31
NILAI VARIABEL PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR 2
Setelah sebelumnya kita mempelajari mengenai Eliminasi Gauss maupun Eliminasi
Gauss Jordan untuk mendapatkan nilai suatu variabel dalam Sistem Persamaan Linear.
Maka selanjutnya kita akan mencari nilai suatu variabel pada SPL dengan menggunakan
cara lainnya, yaitu:
1. Menggunakan Invers
BAX
BAX1
2
11
b
bA
y
x
Contoh
1537
1925
yx
yx
Penyelesaian
...
......
15...)19...(
...
......
15...)19...(
...
...
......
......
...
...
......
......
......
1
1
.....
.....
......
......
1
y
y
y
x
x
x
y
x
y
x
Bac
bd
bcadX
BAX
BA
Jadi x = … dan y = …
A l j a b a r L i n e a r | 32
2. Aturan Cramer
2222
1211
aa
aa
y
x=
2
1
b
b
)det(
)det(
A
AX x
)det(
)det(
A
AY y
222
121
ab
abAx
221
111
ba
baAy
Contoh
1537
1925
yx
yx
Penyelesian
...
...
......
......
y
x
.........)7...()15...(
......
......
.........)2...()3...(
......
......
.........)2...()3...(
......
......
y
y
x
x
A
A
A
A
A
A
.............
......
)det(
)det(
x
x
A
Ax x
.............
.......
)det(
)det(
y
y
A
Ay y
Jadi x = … dan y = …
A l j a b a r L i n e a r | 33
TUGAS!!! 1. Tania membeli dua buah buku dan tiga buah pensil di koperasi sekolah dengan total
harga belanjanya Rp 7.000,00. Sedangkan Rani membeli 4 buku dan 4 pensil dengan total harga yang harus di bayar Rp 12.000,00. Berapakah harga satu buah buku dan satu buah pensil yang di jual oleh koperasi sekolah. (carilah penyelesainnya persoalan tersebut dengan matriks)
2. Jika diketahui SPL berikut:
0563
1342
92
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Carilah penyelesaian dari: c. a. Buatlah matriks diperbesarnya. b. Tentukan transpose dari matriks koefisien. c. Tentukan nilai determin dari matriks koefisien. d. Tentukan adjoin dari matriks koefisien. e. Tentukan invers dari matriks koefisien. f. Tentukan nilai variabelnya dengan menggunakan Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss
Jordan, Menggunakan Invers, dan Aturan Cramer.
3. Buatlah satu contoh soal SPL yang memuat bentuk 4 variabel dan 4 persamaan, kemudian carilah nilai variabelnya dengan menggunakan aturan cramer dan invers matriks.
Catatan:
Untuk no 3, setiap mahasiswa TIDAK boleh memiliki soal yang dibuat dalam bentuk SPL yang sama, jika ada terdapat mahasiswa yang sama maka tugas ini akan di kembalikan dan di perbaiki kembali.
A l j a b a r L i n e a r | 34
BAB III Vektor-vektor di Ruang – 2 dan Ruang – 3
Vektor bisa disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3. Arah panah menentukan arah vektor. Panjang panah menentukan besar vektor. A B Definisi. Jika v dan w adalah skalar sebarang dua vektor, maka jumlah v + w adalah vektor
yang ditentukan sebagai berikut. Tempatkanlah vektor w sehingga titik awalnya berimpit dengan titik terminal v. Vektor v + w dinyatakan oleh panah dari titik awal v terhadap titik terminal w.
Operasi Vektor 1. Penjumlahan Vektor
Contoh 1: Jadi, Jadi,
Definisi. Jika v dan w adalah sebarang dua vektor, pengurangan w dan v disedinisikan
oleh v – w = v + (-w)
Vektor: ..........................................................................................................................................
Besaran Vektor: ............................................................................................................................
Skalar:............................................................................................................................................
A : titik pangkal vektor
B : titik ujung vektor
A l j a b a r L i n e a r | 35
2. Pengurangan Vektor Contoh 2:
sehingga diperoleh Maka diperoleh Amati gambar berikut dan berikan keterangannya
Definisi. Jika v adalah vektor taknol dan k bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv
didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya | | kali panjang v dan arahnya sama seperti arah v jika k > 0 dan berlawanan dengan arah v jika k < 0. Kita drfinidiksn kv = 0 jiks k = 0 atau v = 0.
Contoh 3:
2 3
A l j a b a r L i n e a r | 36
Vektor R2
Ruang dimensi-2 atau ruang-2 ( 2) adalah himpunan pasangan bilangan berurutan ( , ), di mana x dan y adalah bilangan-bilangan real. Pasangan bilangan ( , ) dinamakan titik (point) dalam 2, misal suatu titik P dapat ditulis ( , ). Bilangan x dan y disebut koordinat dari titik P.
Untuk menggambarkan titik-titik di 2 secara geometris, koordinat x dan y dianggap berada pada dua garis bilangan yang berbeda yang membentuk suatu sistem koordinat. Garis bilangan tersebut dinamakan sumbu koordinat. Sumbu koordinat tersebut digambarkan saling tegak lurus dan membentuk suatu sistem yang disebut sistem koordinat siku-siku. Pada 2 sistem ini dinamakan sistem koordinat-xy atau sistem koordinat kartesius (Cartesian system) yang dibangun oleh :
Sumbu x (x-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (x, 0).
Sumbu y (y-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat (0, y). Suatu titik yang berada tepat di kedua sumbu dinamakan titik asal (origin point)
ditulis O(0, 0). Titik ini adalah titik di mana sumbu x dan y saling berpotongan. v = (v1, v2) dan w = (w1, w2) maka v + w = (v1 + w1, v2 + w2) Contoh 4: Gambarlah vektor dari titik berikut ini:
a. C (3, 4) b. B (-2, 3) c. A (2, 3) dan B (1,6) d. P (3, -1) dan Q (3, 4)
Penyelesaian:
y
x
A l j a b a r L i n e a r | 37
Setelah membahas contoh soal diatas pada vektor ruang – 2, maka kadang-kadang vektor ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya tidak mempunyai titik asal. Jika
vektor mempunyai titik awal P1(x1, y1, z1) dan titik terminal P2(x2, y2) maka
),,( 12121221 zzyyxxPP
Yakni, komponen-komponen kita dapatkan dengan mengurangkan koordinat
titik awal dari koordinat titik terminal. Vektor adalah selisih vektor dan vektor
sehingga
),(),(),( 12121122 yyxxyxyx
Contoh 5:
Jika titik asal P1(4, 1) dan P2(2,0) maka koordinat adalah ..... Penyelesaian: Vektor R3
Ruang dimensi-3 atau ruang-3 ( 3 adalah himpunan tripel bilangan berurutan , , , di mana x, y, dan z adalah bilangan-bilangan real. Tripel bilangan , , dinamakan titik (point) dalam 3, misal suatu titik P dapat ditulis , , . Bilanganx, y, dan z, disebut koordinat dari titik P.
Seperti halnya 2, 3 memiliki sistem koordinat siku-siku yaitu sistem koordinat-xyz, dengan titik asal (0,0,0 , yang dibangun oleh :
Sumbu x (x-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat ,0,0 .
Sumbu y (y-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat 0, ,0 .
Sumbu z (z-axis) yaitu garis tempat semua titik yang mempunyai koordinat 0,0, .
A l j a b a r L i n e a r | 38
Contoh 6: Gambarlah vektor dari titik berikut ini:
a. Titik (2, 4, 5) b. Titik (3, -4, -2) c. Titik (-3, 2, 4)
Penyelesaian:
A l j a b a r L i n e a r | 39
Jika v = (v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3) adalah dua vektor di ruang – 3, maka argumen yang serupa dengan argumen yang digunakan untuk vektor-vektor di sebuah bidang dapat digunakan untuk menghasilkan hasil-hasil berikut: v dan w ekuivalen jika dan hanya jika v1 = w1, dan v2 = w2 dan v3 = w3 v + w = (v1 + w2, v2 + w2, v3 + w3) kv = (kv1, kv2, kv3) dimana k adalah sebarang skalar Contoh 7: Jika v = (1, -3, 2) dan w = (4, 2, 1) Maka v + w = (5, -1, 3) 2v = (2, -6, 4) -w = (-4, -2, -1) v – w = v + (-w) = (-3, -5, 1) kadang-kadang vektor ditempatkan sedemikian rupa titik awalnya tidak mempunyai
titik asal. Jika vektor mempunyai titik awal P1 (x1, y1, z1) dan titik terminal P2 (x2, y2, z2), maka
, ,
Yakni, komponen-komponen kita dapatkan dengan mengurangkan koordinat titik awal dari koordinat titik terminal. Hal ini dapat dilihat dengan menggunakan Gambar
dibawah, vektor adalah selisih vektor dan vektor , sehingga
),,(),,(),,( 121212111222 zzyyxxzyxzyx
z
21PP P2(x2, y2, z2)
P1(x1,y1,z1)
1OP 2OP
y x Contoh 8: Komponen-komponen vektor v = P1P2 dengan titik awal P1(2, -1, 4) dan titik terminal P2(7, 5, -8) adalah Penyelesaian: v = (.....– ....., ..... – ....., ..... – .....) = (....., ....., .....)
A l j a b a r L i n e a r | 40
Latihan Soal 6! 1. Carilah komponen-komponen vektor yang mempunyai titik awal P1 dan titik terminal P2.
a. P1(3, 5), P2(2, 8) b. P1(7, -2), P2(0,0) c. P1(6, 5, 8), P2(8, -7, -3) d. P1(0, 0, 0), P2(-8, 7, 4)
2. Carilah vektor dengan titik awal P(2, -1, 4) yang mempunyai arah sama seperti v = (7, 6, -3)
3. Carilah vektor yang diarahkan berlawanan terhadap v = (-2, 4, -1) yang mempunyai titik terminal Q(2, 0, -7)
4. Misalkan u = (1, 2, 3), v = (2, -3, 1) dan w = (3, 2, -1). Carilah komponen-komponen dari a. u –w d. -3v – 8w b. 3(u – 7v) e. –w + v c. 7v + 3w f. 2v – (u + w)
5. Misalkan u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam soal 4. Carilah komponen-komponen vektor x yang memenuhi 2u – v + x = 7x + w.
6. Misalkan u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam soal 4. Carilah skalar c1, c2, dan c3 sehingga c1u + c2v + c3w = (6, 14, -2).
A l j a b a r L i n e a r | 41
3.1 Norma Suatu Vektor, Aritmatika Vektor Norma Suatu Vektor
Panjang suatu vektor u sering disebut sebagai norma u dan nyatakan sebagai u .
Dari teorema Phythagoras kita dapatkan bahwa norma suatu vektor u = (u1, u2) dalam ruang dimensi 2 adalah
22
21 uuu
Anggap u = (u1, u2, u3) adalah vector dalam ruang dimensi 3. Dengan gambar
dibawah dan dua penerapan teorema phythagoras, maka diperoleh.
23
22
21
222
222
)()()(
)()(
uuu
RPOSOQ
RPORu
Jadi 23
22
21 uuuu
Suatu vektor bernorma 1 disebut suatu vektor satuan. Jika P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2) adalah dua titik dalam ruang dimensi 3, maka jarak d antara kedua titik tersebut adalah
norma vektor 21PP karena ),,( 12121221 zzyyxxPP , maka diperoleh
Teorema 3.1.1. Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 dan k dan l adalah skalar, maka hubungan berikut ini berlaku.
a. u + v = v + u e. k(lu) = (kl)u b. (u + v) + w = u + (v + w) f. k(u + v) = ku + kv c. u + 0 = 0 + u = u g. (k + l)u = ku + lu d. u + (-u) = 0 f. lu = u
y
(u1, u2)
u u2
U1
Z
P(u1, u2, u3)
u
x
A l j a b a r L i n e a r | 42
212
212
212 )()()( zzyyxxd
Demikian juga, jika P1(x1, x1) dan P2(x2, y2) adalah titik-titik dalam ruang dimensi 2, maka jarak antara kedua titik tersebut diberikan oleh.
212
212 )()( yyxxd
Contoh 1:
1. Norma vektor u = (-3, 2, 1) adalah
Penyelesaian:
....................... u
2. Jarak d antara titik P1(2, -1, -5) dan P2(4, -3, 1) adalah
Penyelesaian:
..................................... d
A l j a b a r L i n e a r | 43
Latihan Soal 7!
1. Cari norma v
a. v = (4, -3) c. v = (-7, 2, -1)
b. v = (-5, 0) d. v = (0, 6, 0)
2. Cari jarak antara P1 dan P2.
a. P1(-3, 6), P2(-1, -4)
b. P1(7, -5, 1), P2(-7, -2, -1)
c. P1(3, 3, 3), P2(6, 0, 3) 3. Anggap u = (2, -2, 3), v = (1, -3, 4), w = (3, 6, -4). Pada masing-masing bagian
hitunglah ekspresi yang ditunjukkan.
a. vu c. uu 22 e. ww
1
b. vu d. wvu 53 f. ww
1
4. Anggap v = (-1, 2, 5). Cari semua scalar k sedemikian sehingga 4kv
A l j a b a r L i n e a r | 44
3.2 Perkalian Titik, Proyeksi Perkalian Titik dari Vektor
Anggap u dan v adalah dua vektor tak nol dalam ruang dimensi 2 atau ruang dimensi 3, dan anggap vektor-vektor ini telah diposisikan sehingga titik-titik pangkalnya berimpitan. S sedngkan yang dimaksudkan sudut antara u dan v adalah sudut θ yang ditentukan oleh u dan v yang memenuhi 0 ≤ θ ≤ π.
Contoh 2: Sudut antara vektor u = (0, 0, 1) dan v = (0, 2, 2) adalah 450. Penyelesaian:
cosvuvu = ................................................................................................................
Rumus Komponen Untuk Perkalian Titik
Anggap u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah dua vektor tak nol. θ adalah sudut antara u dan v, maka hukum cosinus mengahsilkan
cos2222
vuvuPQ
222
2
1cos uvvuvu
atau
222
2
1uvvuvu
Dengan mensubstitusikan 23
22
21
2uuuu 2
322
21
2vvvv
Dan 233
222
211
2)()()( uvuvuvuv
Setelah menyederhanakannya, kita mendapatkan
332211 vuvuvuvu
Definisi. Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang dimensi 2 atau dimensi 3 dan θ adalah sudut antara u dan v, maka perkalian titik atau perkalian dalam Euclidies u·v didefinisikan sebagai
u·v =
0
cosvu Jika u ≠ 0 dan v ≠ 0
Jika u = 0 dan v = 0
A l j a b a r L i n e a r | 45
Jika u = (u1, u2) dan v = (v1, v2) adalah dua vektor dalam ruang dimensi 2, maka
rumus yang perpadanan adalah u·v = u1v1 + u2v2
Mencari Sudut Antar Vektor
Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol, maka rumus sebelumnya dapat ditulis sebagai berikut.
vu
vu cos
Contoh 3: Tinjaulah vektor-vektor u = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2). Carilah u·v dan tentukan sudut θ di antara u dan v. Penyelesaian: u·v = ……………………………………………………………………………………….. cos θ = ……………………………………………………………………………………... Contoh 4: Jika u = (1, -2, 3), v = (-3, 4, 2) dan w = (3, 6, 3) maka.... Penyelesaian: u·v =....................................................................................................................................... v·w = ..................................................................................................................................... u·w = ..................................................................................................................................... Vektor-vektor Ortogonal
Vektor-vektor yang tegak lurus disebut juga vektor-vektor ortogonal. Berdasarkan Teorema 3.2.1b, dua vektor tak nol ortogonal jika dan hanya jika perkalian titiknya bernilai nol. Jika kita sepakat untk menggap u dan v tegak lurus ketika salah satu atau kedua vektor ini adalah 0, maka kita dapat menyatakan tanpa perkecualian bahwa dua vektor u dan v
Teorema 3.2.1. Anggap u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang dimensi 2 atau dimensi 3.
a. v·v = 2v ; yaitu v = (v·v)1/2
b. jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dan adalah sudut antara kedua vektor tersebut, maka: θ lancip jika dan hanya jika u·v > 0 θ tumpul jika dan hanya jika u·v < 0 θ = π/2 jika dan hanya jika u·v = 0
A l j a b a r L i n e a r | 46
ortogonal (tegak lurus) jika dan hanya jika u·v = 0. Untuk menunjukkan bahwa u dan v adalah vektor-vektor yang ortogonal kita tuliskan u v. Contoh 5: Tunjukkan bahwa dalam riang dimensi 2 vektor tak nol n = (a, b) tegak lurus dengan garis ax + by + c= 0 Penyelesaian: Anggap P1(x1, y1) dan P2(x2, y2) adalah titik-tititk yang berbeda pada garis tersebut, sedemikian sehingga ax1 +by1 + c = 0 ax2 + by2 + c = 0
karena vektor ),( 121211 yyxxPP ada pada garis tersebut, kita hanya perlu menunjukkan
bahwa n dan 21PP tegak lurus. Akan tetapi, dengan mengurangkan persamaan-persamaan di
atas, maka diperoleh a (x2 – x1) + b(y2 –y1) = 0 yang dapat dinyatakan dalam bentuk
(a, b)·(x2 – x1, y2 – y1) = 0 atau n· 21PP = 0
Jadi, n dan 21PP adalah tegak lurus
ax +by+ c = 0 P1(x1, y1)
21PP P2(x2, y2)
Teorema 3.2.2. jika u, v dan w adalah vektor-vektor dalam ruang dimensi 2 atau 3 dan k adalah suatu skalar, maka:
a. u·v = v·u b. u·(v+w) = u·v + u·w c. k(u·v) = (ku)·v = u·(kv) d. v·v > 0 jika v ≠ 0, dan v·v = 0 jika v = 0
A l j a b a r L i n e a r | 47
Proyeksi Ortogonal Contoh 6: Anggap u = (2, -1, 3) dan a = (4, -1, 2). Carilah komponen vektor dari u sepanjang a dan komponen vektor u yang ortogonal terhadap a. Penyelesaian:
u·a =............................................................................................................................ 2
a = ...........................................................................................................................
Jadi, komponen vektor u sepanjang a adalah proy au = ....................................................................................................................
dan komponen vektor u yang ortogonal terhadap a adalah u – proy au = ..............................................................................................................
Suatu rumus untuk panjang komponen vektor u sepanjang a dapat diperoleh dengan menuliskan
aa
au
aa
au
aa
auuproya
2
2
2
Yang menghasilkan a
auuproy a
Teorema 3.2.3. jika u dan a adalah vektor-vektor dalam ruang dimensi 2 atau ruang dimensi 3 dan jika a ≠ 0, maka
proy au = aa
au2
(komponen vektor u sepanjang dengan a)
u – proy au = u - aa
au2
(komponen vektor u yang ortogonal terhadap a)
A l j a b a r L i n e a r | 48
Jika θ menyatakan sudut antara u dan a, maka u·a = au cosθ, sehingga dapat juga ditulis
sebagai cosuuproya
Contoh 7: Cari suatu rumus untuk jarak D antara titik P0(x0, y0) dan garis ax + by + c = 0 Penyelesaian: Anggap Q(x1, y1) adalah sembarang titik pada garis tersebut dan letaknya vektor
n = (a, b) sedemikian sehingga titik pangkalnya berada di Q.
Dari contoh 5, vektor n tegak lurus terhadap garis, sebagaimana yang ditunjukkan
dalam gambar tersebut, jarak D sama dengan panjang proyeksi orthogonal dari 0QP terhadap
n; jadi diperoleh
n
nQPQPproyD n
0
0
Tetapi ),( 10100 yyxxQP
)()( 10100 yybxxanQP
22 ban
Sedemikian sehingga
22
1010 )()(
ba
yybxxaD
Karena titik Q(x1, y1) terletak pada garis tersebut, maka koordinatnya memenuhi persamaan garis tersebut sehingga ax1 + by1+ c = 0
A l j a b a r L i n e a r | 49
atau c = -ax1 – by1
dengan mensubstitusikan bentuk diatas maka akan mendapatkan rumus
22
00
ba
cbyaxD
Contoh 8: Tentukan jarak D dari titik (1, -2) ke garis 3x + 4y -6 = 0 adalah Penyelesaian:
.......
.......
...............
.................
.....................
..........................................................................D
Latihan Soal 8! 1. Cari u·v.
a. u = (2, 3), v = (5, -7) b. u = (-2, 2, 3), v = (1, 7, -4)
2. pada soal no.1 cari cosinus sudut θ antara u dan v. 3. tentukan u dan v membentuk suatu sudut lancip, tumpul, atau orthogonal
a. u = (6, 1, 4), v = (2, 0, -3) c. u = (3, 1, -7), a = (1, 0, 5) b. u = (-1, -2), a = (-2, 3) d. u = (1, 0, 0), a = (4, 3, 8)
4. cari proyeksi ortogonal dari u terhadap a. a. u = (6, 2), a = (3, -9) c. u = (3, 1, -7), a = (1, 0, 5) b. u = (-1, -2), a = (-2, 3) d. u = (1, 0, 0), A = (4, 3, 8)
5. Dari soal no.4 cari komponen vektor dari u yang orthogonal terhadap a.
6. Pada setiap bagian cari uproya
a. u = (1, -2), a = (-4, -3) c. u = (5, 6), a = (2, -1) b. u = (3, 0, 4), a = (2, 3, 3) d. u = (3, -2, 6), a = (1, 2, -7)
7. anggap u = (5, -2, 1), v = (1, 6, 3) dan k = -4. Periksa Teorema 3.2.2 untuk nilai-nilai tersebut.
8. (a) tunjukkan bahwa v = (a, b) dan w = (-b, a) adalah vektor-vektor ortogonal. (b) gunakan hasil pada bagian (a) untuk mencari dua vektor yang orthogonal terhadap v =
(2, -3). (c) cari dua vektor satuan yang orthogonal terhadap (-3, 4)
9. Anggap u = (3, 4), v = (5, -1) dan w = (7, 1). Hitunglah ekspresi-ekspresi berikut ini.
a. u·(7v+w) b. wwu )( c. )( wvu d. wvu )(
10. Hitunglah jarak antara titik dan agar garis berikut ini. a. 4x + 3y + 4 = 0; (-3, 1) b. y = -4x + 2; (2, -5) c. 3x + y = 5; (1, 8)
A l j a b a r L i n e a r | 50
3.3 Perkalian Silang Perkalian silang vektor-vektor Contoh 1: Cari u × v, dengan u = (1, 2, -2) dan v = (3, 0, 1) Penyelesaian:
.....
.....
............
...........
u × v =
..........
..........,
..........
..........,
...........
..........
= ( ......, ......, ......) □
Contoh 2: Tinjau vektor-vektor u = (1, 2, -2) dan v = (3, 0, 1) Penyelesaian: Dengan menggunakan cara seperti contoh 1, maka diperoleh
u × v = ( ......., ......, ......) karena u·(u×v) = ................................................................................................................... dan v·(u×v) = ....................................................................................................................
Definisi. Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah vekto-vektor dalam ruang dimensi 3, maka perkalian silang u × v adalah vektor-vektor yang didefinisikan sebagai
u × v = (u2v3 – u3v2, u3 v1 – u1v3, u1v2 – u2v3)
atau dalam notasi determinan
u × v =
21
21
31
31
32
32 ,,vv
uu
vv
uu
vv
uu
Teorema 3.3.1. Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang dimensi 3, maka: a. u·(u × v) = 0 (u × v ortogonal terhadap u) b. v·(u × v) = 0 (u × v ortogonal terhadap v)
c. 2222vuvuvu (identitas Lagrange *)
d. wvuvwuwvu )()()( (hubungan antara perkalian silang dan
perkalian titik) e. uwvvwuwvu )()()( (hubungan antara perkalian silang dan
perkalian titik)
A l j a b a r L i n e a r | 51
Sehingga dapat dilihat bahwa u × v ortogonal terhadap u dan v sebgaimana yang dikatakan pada Teorema 3.3.1 □ Contoh 3: Cari suatu vektor yang ortogonal terhadap u dan v. u = (-6, 4, 2) dan v = (3, 1, 5) Penyelesaian: Sifat-sifat aritmatika utama dari perkalian silang ditampilkan pada teorema berikut ini. Interpretasi Geometrik dari Perkalian Silang Berdasarkan teorema 3.3.1, menyatakan bahwa
2222vuvuvu
Jika θ menyatakan sudut antara u dan v, maka u·v = cosθvu sedemikian sehingga bentuk
rumusa diatas dapat ditulis ulang sebagai berikut.
Teorema 3.3.2. Jika u, v, dan w adalah sembarang vektor dalam ruang dimensi 3 dan k adalah sembarang skalar, maka:
a. u × v = -(v × u) b. u × (v + w) = (u × v) + (u × w) c. (u + v) × w = (u × w) = (v × w) d. k(u × v) = k(u) × v = u × (ku) e. u × 0 = 0 × u = 0 f. u × u = 0
A l j a b a r L i n e a r | 52
θsinvu
θ)cos(1vu
θcosvuvuvu
222
222
222222
Karena 0 ≤ θ ≤ π, maka sin θ ≥ 0 sehingga ini dapat ditulis ulang sebagai,
sinθvuvu
Akan tetapi, sinθv adalah ketinggian jajaran genjang yang ditentukan oleh u dan v.
Sehingga Luas jajarangenjang di atas, jika dihubungkan dengan rumus diatas yaitu:
LA = (alas)(tinggi) = vusinθvu
Contoh 4: Cari luas jajaran genjang yang dibentuk oleh u dan v. u = (1, -1, 2) dan v = (0, 3, 1) Penyelesaian:
Hasil ini benar bahkan jika u dan v koliner karena jajaran genjang yang di tentukan oleh u dan v mempunyai luas nol dan dari rumus di atas kita dapatkan u × v = 0 karena θ = 0 dalam kasus ini. Jika, kita mendapatkan teorema berikut ini. Contoh 5: Cari luas segitiga yang dibentuk oleh titik-titik P1(2, 2, 0), P2(-1, 0, 2) dan P3(0, 4, 3).
Teorema 3.3.3. Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang dimensi 3, maka vu
sama dengan luas jajaran genjang yang ditentukan oleh u dan v.
A l j a b a r L i n e a r | 53
Penyelesaian:
Luas A segitiga = 2
1 × luas jajaran genjang
yang dibentuk oleh vektor 21PP dan 31PP , Dengan menggunakan metode yang didiskusikan
sebelumnya. Sehingga diperoleh;
21PP ..........................................................................................................................
31PP ..........................................................................................................................
3121 PPPP .................................................................................................................
Oleh karena itu,
Luas segitiga = .......................2
1
2
13121 PPPP
Perkalian Skalar Ganda Tiga Contoh 6: Hitunglah perkalian skalar ganda tiga u·(v × w) dari vektor-vektor u = 3i – 2j – 5k v = i + 4j – 4k w = 3j + 2k Penyelesaian: u·(v × w) =
Interpretasi Geometrik Determinan
Definisi. Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang dimensi 3, maka u·(v × w) disebut perkalian skalar ganda tiga dari u, v, dan w
Teorema 3.3.4
a. Nilai mutlak determinan
21
21detvv
uu
Sama dengan luas jajaran genjang dalam ruang dimensi 2 yang di bentuk oleh vektor u = (u1, u2) dan v = (v1, v2).
b. Nilai mutlak determinan
321
321
321
det
www
vvv
uuu
Sama dengan volume paralelepidum dalam ruang dimensi 3 yang dibentuk oleh vektor u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3).
A l j a b a r L i n e a r | 54
Sehingga untuk menghitung volume paralelepidum yaitu:
V = (luas alas)·(tinggi) = w)(vuwv
w)(vuwv
Sehingga untuk volume paralelepidum
V =
321
321
321
www
vvv
uuu
det
Contoh 7: Cari volume paralelepidum dengan sisi-sisi u, v, dan w. u = (2, -6, 2), v = (0, 4, -2) dan w = (2, 2, -4) Penyelesaian:
Independensi Perkalian Silang dan Koordinat Contoh 8: Apakah vektor di bawah ini memiliki titik pangkal yang berimpitan. u = (-1, -2, 1), v = (3, 0, -2), w = (5, -4,0) Penyelesaian:
Teorema 3.3.5. Jika vektor-vektor u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), dan w = (w1, w2, w3) mempunyai titik pangkal yang sama, maka ketiganya terletak pada bidang yang sama jika dan hanya jika
0)(
321
221
321
www
vvv
uuu
wvu
A l j a b a r L i n e a r | 55
Latihan soal 9! 1. Anggap u = (3, 2, -1), v = (0, 2, -3) dan w = (2, 6, 7). Hitunglah
a. v × w c. u × (v×w) e. (u × v) × w b. (u × v) × (v ×w) d. u × (v – 2w) f. (uv) – 2w
2. Cari suatu vektor yang ortogonal terhadap u dan v u = (-2, 1, 5) dan v = (3, 0, -3)
3. Cari luas jajaran genjang yang dibentuk oleh u dan v. a. u = (3, -1, 4) dan v = (6, -2, 8) b. u = (2, 3, 0) dan v = (-1, 2, -2)
4. Cari luas segitiga yang mempunyai titik-titik sudut P, Q, dan R a. P(2, 6, -1), Q(1, 1, 1) dan R(4, 6, 2) b. P(1, -1, 2), Q(0, 3, 4) dan R(6, 1, 8)
5. Buktikan Teorema 3.3.1 untuk vektor-vektor u = (4, 2, 1) dan v = (-3, 2, 7). 6. Buktikan Teorema 3.3.2. untuk u = (5, -1, 2), v = (6, 0, -2) dan w = (1, 2, -1) dan k =
-5. 7. Cari perkalian skalar ganda tiga u·(v × w).
a. u = (-1, 2, 4), v = (3, 4, -2), w = (-1, 2, 5) b. u = (3, -1, 6), v = (2, 4, 3), w = (5, -1, 2)
8. Anggap u·(v × w) = 3. Cari a. u·(w × v) b. (v × w)·u c. w·(u×v)
9. Cari volume paralelium dengan sisi-sisi u, v, dan w. u = (3, 1, 2), v = (4, 5, 1), w = (1, 2, 4)
10. Tetukan apakah u, v, dan w terletak pada bidang yang sama jika diposisikan sedmikian sehingga titik-titik pangkalnya berimpitan. a. u = (5, -2, 1), v = (4, -1, 1), w = (1, -1, 0) b. u = (4, -8, 1), v = (2, 1, -2), w = (3, -4, 12)