Rizik i Povrat Portfolija

1 / 21

RIZIK I POVRAT PORTFOLIJA

Uvod

Investicija = odricanje od novčanih sredstava na neko vrijeme kako bi se ostvarili budući povrati koji će kompenzirati investitora za

· vrijeme na koje su novčana sredstva uložena · očekivanu stopu inflacije · nesigurnost budućih isplata

Moderna teorija portfolija pretpostavlja da su investitori averzni prema riziku (risk averse) što znači da ako mogu odabrati dvije investicije jednakog očekivanog prinosa, odabrat će onu manje rizičnu. Teorija portfolija bazira se na dva principa:

· maksimizirati očekivane prinose · minimizirati rizik

Budući da investitori 'zahtijevaju' nagradu za preuzimanje rizika, bilo bi logično očekivati da rizičnija ulaganja imaju i veće prinose. Razlika između očekivanog prinosa rizične investicije i 'bezrizične' investicije zove se premija za rizik (risk premium). Postoje optimalni kompromisi između očekivanih prinosa i rizika. Pokazat ćemo kako je moguće maksimizirati očekivani prinos uz (gornju) ogradu na rizik ili kako minimizirati rizik uz (donju) ogradu na očekivani prinos. Osnovni koncept u takvim razmatranjima je smanjivanje rizika pomoću diverzifikacije portfolija vrijednosnica. Portfolio je kombinacija dva ili više vrijednosnih papira, valuta, nekretnina ili neke druge aktive u posjedu pojedinca ili kompanije. Cilj kreiranja portfolia je minimiziranje rizika kroz diverzfikaciju plasmana. Dakle, portfolio vrijednosnih papira čine dva i/ili više vrijednosnih papira u koje investitor ulaže novac u specifičnim omjerima s ciljem reduciranja rizika. Diverzifikacija rizika se postiže uspješnim kombinovanjem vrijednosnih papira. Uspješno kombinovanje vrijednosnih papira se postiže tako što se odabiru vrijednosni papiri koji su svaki sa svakim slabo korelirani, odnosno čiji se prinosi kreću inverzno. Odnosno, koristi od diverzifikacije u smislu smanjivanja rizika postoje sve doktle dok vrijednosnice nisu savršeno, pozitivno korelirane. Pored rizičnih vrijednosnica postoje vrijednosnice bez rizika (riskfree). To su vrijednosnice čiji je prinos poznat sa izvjesnošću za vrijeme razdoblja držanja. Smatra se da su kratkoročne državne vrijednosnice takav instrument jer država npr. može povećati poreze da bi ispunila obaveze preuzete po emitiranim kratkoročnim vrijednosnicama. Teorijske osnove moderne portfolio analize je razvio 50-tih godina 20.vijeka američki profesor ekonomije Harry Markowitz, dobitnik Nobelove nagrade za otrkića u oblasti upravljanja investicijama. Markowitzev model1 prvi je model koji je uspio kvantitativno opisati rizik. Dva važna doprinosa:

· pokazao je da vrijedi diverzificirati · pokazao je kako optimizirati rizik

1 Osnovni portfolio model koji je razvio Harry Markowitz (1952, 1959), je definisao očekivanu stopu povrata za portfolio,

kao i mjeru očekivanog rizika.

2 / 21

Osnovne pretpostavke:

· Investitori razmatraju svaku investicionu alternativu kao raspored vjerovatnoća očekivanih prinos tokom nekog vremenskog perioda

· Investitori nastoje da maksimiziraju očekivanu korisnost u određenom periodu i njihove krive korisnosti pokazuju opadajuću marginalnu korisnost bogatstva

· Investitori smanjuju rizik na osnovu varijabilnosti očekivanih prinosa · Investitori donose odluke isključivo na osnovu očekivanog prinosa i rizičnosti · Za određeni nivo rizika, investitori preferiraju veći prinos od manjega. Obratno, za dani

očekivani prinos, investitori preferiraju manju rizičnost

Kada su ove pretpostavke ispunjenje za pojedinu vrijednosnica ili portfolio, kažemo da su efikasni ako ne postoji druga vrijednosnica ili portfolio koji imaju veći očekivani povrat uz isti ili niži nivo rizika ili niži rizik za isti ili veći očekivani prinos.2

Očekivana stopa povrata portfolija vrijednosnica

Očekivani prinos portfolija je vagana ili ponderisana sredina očekivanih prinosa pojedinih investicija koji čine taj portfolio, gdje su ponderi udjeli novca uloženi u svaki pojedinačni vrijednosni papir. Pretpostavimo da se portfolio sastoji od n različitih vrijednosnih papira (investicija),tada je:

�(��) = � � × �(�)��

E(RP)=očekivani prinos portfolija wi= udio novca uložen u i-ti vrijednosni papir u portfoliju, i=1, …, n Ri=mogući prinos ulaganja i E(Ri)=očekivani prinos ulaganja i Primjer 1.

Pretpostavimo da se portolio vrijednosnica sastoji od 2 vrijednosnice:

· Vrijednosnice 1, V1, s udjelom od 40% · Vrijednosnice 2, V2, s udjelom od 60% (100% - udio V1)

te da su očekivani prinosi vrijednosnice 1 i vrijednosnice 2, 15% i 6% redom. Koliki je očekivani prinos za portfolio?

Udio u portfoliju

(wi)

Očekivani prinos

E(Ri)

Očekivani prinos za portfolio

E(Rp)

Investicija 1 40% 15% 6%

Investicija 2 60% 6% 3,6%

Portfolio 100% 9,6%

Očekivani prinos za portfolio po gore navedenoj formuli iznosi: E(Rp)=0,4 x 0,15 + 0,6 x 0,06 = 0,096 = 9,6%

2 Harry Markowitz je u svom djelu „Portfolio Selection“ razvio proceduru odabira efikasnih portfolija

tj.portfolija koja dominiraju nad drugim mogućim portfolijima. Efikasnim smatramo ona portfolija koja za poznati prinos imaju najmanji rizik, odnosno ona portfolija koja za poznati rizik imaju najveći prinos.

3 / 21

Rizik portfolija i važnost korelacije

Rizik portfolija se kao i kod individualnih vrijednosnih papira izražava varijansom, odnosno standardnom devijacijom prinosa. Međutim, rizik portfolija nije jednostavno vagana sredina standardnih devijacija pojedinačnih vrijednosnih papira, jer rizik portfolija ne ovisi samo o rizičnosti vrijednosnih papira koji čine portfolio, nego i o vezama koje postoje između tih vrijednosnih papira. Dakle, rizik portfolija odnosno standardna devijacija portfolija (��) zavisi o:

• Vrijednosnim udjelima pojedinačnih vrijednosnica

• Varijansama pojedinačnih vrijednosnica, te o

• Korelacijama tj.kovarijansama između različitih parova vrijednosnica (koje su presudne kod velikih portfolia)

Postoje dva načina za izračunavanje standardne devijacije portfolija (��):

1. preko distribucije vjerovatnoće portfolia

2. iz matrice kovarijansi I način: Preko distribucije vjerovatnoće portfolia

�� = ��(�(�) − �(��))� × ��

�

E(Rp)=očekivani prinos portfolija Ri(p)=mogući prinos portfolija koji se dobiva kao vagana sredina prinosa pojedinih vrijednosnih papira pri čemu su ponderi udjeli novca uloženi u pojedinačna vrijednosni papir Pi=pripadajuća vjerovatnoća n=ukupan broj vjerovatnoća

Primjer 2.1.:

Data su dva vrijednosna papira A i B sa slijedećim vjerovatnoćama događaja i mogućim prinosima:

Stanje Vjerovatnoća Pi

Mogući prinosi za VP A Ri(A)

Mogući prinosi za VP B Ri(B)

Uzlet 0,20 22% 15%

Prosječno stanje 0,30 15% 13%

Recesija 0,50 -2% -3%

Ako je za VP A uloženo 60%novca, a u VP B 40% novca, izračunati:

• a)očekivani prinos portfolija

• b)standardnu devijaciju portfolija

• c)vjerovatnoću da će prinos biti pozitivan Rješenje: wA=60% wB=40%

a) Prvo računamo očekivani prinos portfolija.To možemo uraditi na dva načina: I način izračunavanja očekivanog prinosa portfolija se bazira na osnovu mogućeg prinosa portfolija:

4 / 21

�(��) = � �(�) × ��

n=broj mogućih stanja


Mogući prinosi Za VP A

Ri(A)

Mogući prinosi za VP B

Ri(B)

Mogući prinos na portolio Ri(p)

Uzlet 0,20 22% 15% 0,22x0,6+0,15x0,4=19,2%

Prosječno stanje 0,30 15% 13% 0,15x0,6+0,13x0,4=14,2%

Recesija 0,50 -2% -3% (-0,02)x0,6+(-0,03)x0,4=-2,4%

E(Rp)=0,192 x 0,20 + 0,142 x 0,3 + (-0,024) x 0,50 = 0,069 = 6,9% II način izračunavanja očekivanog prinosa portfolija se bazira na osnovu očekivanih prinosa vrijednosnih papira:

�(��) = � � × �(�)��

n=broj vrijednosnih papira E(Rp)=E(RA) x wA + E(RB) x wB E(RA)=0,20 x 0,22 + 0,30 x 0,15 + 0,50 x (-0,02) = 0,079 = 7,9% E(RA)=0,20 x 0,15 + 0,30 x 0,13 + 0,50 x (-0,03) = 0,054 = 5,4% E(Rp)=0,079 x 0,6 + 0,054 x 0,4 = 6,9% b) ��=?

�� = ��(��(�) − �(��))� × ��

��

�� = �(0,192 − 0,069)� × 0,2 + (0,142 − 0,069)� × 0,3 + (−0,024 − 0,069)� × 0,5

= �0,008949 �� = 0,0946 = 9,46%

c) vjerovatnoću da će prinos biti pozitivan , = � − �(�)�

- = 0 − 0,0690,0946 = −0,73

U tablicama očitavamo da je za ovu vrijednost Z vjerovatnoća 23,27% da će prinos biti manji ili jednak 0. Vjerovatnoća je onda 1-0,2327=0,7673 = 76,73% da će stvarni prinos biti pozitivan.

5 / 21

Portfolio dionica koji se sastoji 60% dionica A i 40% dionica B ima čekivani prinos 6,9% te standardnu devijaciju 9,46%. II način

3: Iz matrice kovarijansi

�� = �� / × � × 012(�, �/)��

�/�

wj=udio ukupnih sredstava investiranih u vrijednosnicu j wi=udio ukupnih sredstava investiranih u vrijednosnicu i Cov(Ri,Rj)=kovarijansa između prinosa i-tog i j-tog vrijednosnog papira Kako je za pravilan odabir vrijednosnih papira i njihovo pravilno kombinovanje važna njihova korelacija u portfolio analizi se uzimaju statističke mjere koje nastoje odraziti disperziju distrobucija vjerovatnoće povrata pojedinačnih vrijednosnih papira i samog portfolia kao i povezanosti među cikličkim kretanjima povrata pojedinačnih vrijednosnica. Dvije su ključne mjere disperzije efekata u portfoliu: kovarijansa i koeficijent korelacije.

Kovarijansa između povrata i-tog i j-tog vrijednosnog papira, koja nam pokazuje do kojega stepena povrati vrijednosnica se kreću zajedno. Pozitivna vrijednost znači da se, u prosjeku, one kreću u istom smjeru, doka je negativna za one vrijednosnice čije se povrati kreću obrnuto. Ako je jedna od investicija bez rizika kovarijansa sa drugom će biti jednaka nuli.

Kovarijansa između povrata i-tog i j-tog vrijednosnog papira se računa slijedećim jednačinama:

012(�, �/) = � ��

� × 3�() − �(�)4 × (�(/) − �(�/))

012(�, �/) = ∑ 3�() − �(�)4 × (�(/) − �(�/))��

012(�, �/) = 6(�, �/) × � × �/ gdje je: 7(��, �8) = koeficijent korelacije između prinosa za vrijednosnicu i i j i Koeficijent korelacije je relativna mjera zajedničkog kretanja dviju varijabli. Njegov raspon ide od -1,0 (savršeno negativne korelacije) preko 0 (nema korelacije) do +1,0 (savršeno pozitivne korelacije) 6(�, �/) = 012(�, �/)� × �/

Dakle, rizik portfolija odnosno standardna devijacija portfolija (��) zavisi o:

• Varijansama pojedinačnih vrijednosnica, te o

3 Detaljno objašnjenje formule se nalazi na str.220 u knjizi Zaimović A., Alibegović Dž. (2010) Primijenjeni

finansijski menadžment,Ekonomski fakultet u Sarajevu

6 / 21

• Kovarijansama između različitih parova vrijednosnica (koje su presudne kod velikih portfolia) Broj varijansi je jednak broju vrijednosnica u portfoliju, dok broj kovarijansi ubrzano raste s brojem vrijednosnica u portfoliju. Naime, kako broj vrijednosnica postaje vrlo veliki, varijansa potpuno nestaje a kao detreminata standarardne devijacije portfolija ostaje samo kovarijanca. Tim zaključujemo da, što je broj vrijednosnih papira u portfoliju veći, to kovarijansa ima presudan i dominantan uticaj na standardnu devijaciju portfolija. Ovo dokazuje da se diversifikacijom u velikom portfoliju diversificira samo varijansa dok kovarijansa ostaje kao neizbježivi, sistematski rizik. Cilj uspješne diverzifikacije je kombinovanje vrijednosnih papira koji su svaki sa svakim slabo ovisni, (što se mjeri kovarijansom i korelacijom)odnosno čiji se prinosi kreću inverzno. Efekat diverzifikacije je prisutan kada je 7(��, �8) ≠ 1, a maksimalan učinak diverzifikacije imamo kada je 7(��, �8) = −1. Standardna devijacija portfolija sačinjenja od dva rizična vrijednosna papira: �� = :� �� + �� ( − � )012 ,� + ( − � )��

Ukoliko se jedan rizičan vrijednosni papir kombinira sa nerizičnim, tada je standardna devijacija portfolija jednostavno proizvod standardne devijacije rizičnog vrijednosnog papira �; i udjela novca

uloženog u taj vrijednosni papir <;. : �� = �; × <;

Primjer 2.2.:

Data su dva vrijednosna papira A i B sa slijedećim vjerovatnoćama događaja i mogućim prinosima:


Mogući prinosi za VP A Ri(A)

Mogući prinosi za VP B Ri(B)

Uzlet 0,20 22% 15%


Recesija 0,50 -2% -3%

Ako je za VP A uloženo 60%novca, a u VP B 40% novca, izračunati:

• a)standardnu devijaciju portfolija

• b)koeficijent korelacije između prinosa na ova dva vrijednosna papira

Rješenje: wA=60% wB=40%

E(Rp)=E(RA) x wA + E(RB) x wB E(RA)=0,20 x 0,22 + 0,30 x 0,15 + 0,50 x (-0,02) = 0,079 = 7,9% E(RB)=0,20 x 0,15 + 0,30 x 0,13 + 0,50 x (-0,03) = 0,054 = 5,4% E(Rp)=0,079 x 0,6 + 0,054 x 0,4 = 6,9%

a) ��=?

7 / 21

�� = �� <8 × <� × >?@(��, �8)��

�;��

�A = :<B��B� + +2<B<C>?@(�B, �C) + <C��C�

�B� =(0,22-0,079)2 x 0,2 + (0,15-0,079)2 x 0,3 + (-0,02-0,079)2 x 0,5 = 0,010389 �C� = (0,15-0,054)2 x 0,2 + (0,13-0,054)2 x 0,3 + (-0,03-0,0054)2 x 0,5 = 0,007104

>?@3�B,�C4 = � ��

�� × 3��(B) − �(�B)4 × (��(C) − �(�C))

>?@3�B,�C4 =(0,22-0,079) x (0,15-0,054) x 0,2 + (0,15-0,079) x (0,13-0,054) x 0,3 + (-0,02-0,079) x

(-0,03-0,0054) x 0,5 = 0,008484 �� = �0,6� × 0,010389 + 2 × 0,6 × 0,4 × 0,008484 + 0,4� × 0,007104

= �0,008949 �� = 0,0946 ≈ 9,46%

b) 73�B,�C4 =? 73�B,�C4 = >?@3�B,�C4�B × �C

�B = ��B� = √0,010389 = 0,101926444 ≈ 10,19% �C = ��C� = √0,007104 = 0,08428523 ≈ 8,43% 73�B,�C4 = G,GGHIHIG,�G�J�KIII×G,GHI�HL�M=0,987557 ≈ 0,988

Komentar:

Kombinirajući vrijednosni papir A čija je standardna devijacija 10,19% i vrijednosni papir B čija je standardna devijacija 8,43% u omjeru 60:40, kreirali smo portfolio čija je standardna devijacija 9,46%. Učinak diverzifikacje gotovo da i nije prisutan zbog gotovo savršeno pozitivne korelacije tj. koeficijent korelacije je 0,988. Primjer 3:

Pretpostavimo da se portfolio vrijednosnica sastoji od 2 vrijednosnice • Vrijednosnice 1, V1, s udjelom od 40% • Vrijednosnice 2, V2, s udjelom od 60% (100% - udio V1) te da su očekivani prinosi vrijednosnice 1 i vrijednosnice 2 15% i 6% respektivno. Pretpostavimo nadalje da su standardne devijacije vrijednosnica V1 i V2 0.2 i 0.15 te da vrijednosnice nisu korelirane, odnosno da je njihov koeficijent korelacije jednak 0. Izračunajte rizičnost portfolija.

8 / 21

Udio o portfoliju (wi)

Očekivani prinos E (Ri)

Standardna devijacija �� V1 40% 15% 20%

V2 60% 6% 15%

Portfolio 100%

Pošto vrijednosnice nisu korelirane, odnosno 6(� ��) = N, rizičnost portfolija računamo: �� = :� �� + �� = �0,4�0,2� + 0,6�0,15� = 0,120416 ≈ 12,04 %

Primjer 4:

Pretpostavimo da se portfolio vrijednosnica sastoji od 2 vrijednosnice • Vrijednosnice 1, V1, s udjelom od 50% • Vrijednosnice 2, V2, s udjelom od 50% (100% - udio V1) te da su očekivani prinosi vrijednosnice 1 i vrijednosnice 2 30%. Pretpostavimo nadalje da su standardne devijacije vrijednosnica V1 i V2 0.15 te da su vrijednosnice korelirane i to na sljedeći način a. 7(��)= −1 (savršeno negativno korelirane) b. 7(��)= 0 (nekorelirane) c. 7(��)= 0.5 d. 7(��)= 1 (savršeno korelirane) Izračunajte očekivani prinos i rizičnost portfolija za sve četiri moguće koreliranosti.




V2 50% 30% 15%

Portfolio 100%

Portfolio 7(��) Očekivani prinos portfolija

E(Rp)

Standardna devijacija portfolija ��

Portfolio 1 −1 30% 0%

Portfolio 2 0 30% 10,61%

Portfolio 3 0,5 30% 13,00%

Portfolio 4 1 30% 15,00%

E(Rp)=E(R1) x w1 + E(R2) x w2

E(Rp)=0,30 x 0,5 + 0,30 x 0,5 = 30% O. 6(� ��)= −1 �� = P� � − �� P = |0,5 · 0,15 − 0,5 · 0,15| = 0 = 0%

Perefektna diverzifikacije rizika se postiže ukoliko je vrijednost korelacijskog koeficijenta jednaka -1. b. 7(��)= 0 �A = �<�� + <�� = �0,5�0,15� + 0,5�0,15� = 0,01061 ≈ 10,61%

9 / 21

c. 7(��)= 0,5 >?@(��) = 7(��) × �� × �� >?@(��) = 0,5 × 0,15 × 0,15 = 0,01125 �A = �0,5�0,15� + 2 × 0,5 × 0,5 × 0,01125 + 0,5�0,15�=�0,016875 = 0,1299 ≈ 13%

d. 6(� ��)= 1 �� = � � + �� = 0,5 · 0,15 + 0,5 · 0,15 = 0,15 = 15%

Primjer 5:

Pretpostavimo da se portfolio vrijednosnica sastoji od 2 vrijednosnice • Vrijednosnice 1, V1, s udjelom od 50% • Vrijednosnice 2, V2, s udjelom od 50% (100% - udio V1) te da su očekivani prinosi vrijednosnice 1 i vrijednosnice 2 10% i 20%.Pretpostavimo nadalje da su standardne devijacije vrijednosnica V1 i V2 0.15 i 0.3 te da su vrijednosti korelirane i to na sljedeći način: a. 7(��)= −1 (savršeno negativno korelirane) b. 7(��)= 0 (nekorelirane) c. 7(��)= 0.5 d. 7(��)= 1 (savršeno korelirane) Izračunajte očekivani prinos i rizičnost portfolija za sve četiri moguće koreliranosti.




V2 50% 20% 30%

Portfolio 100%

Portfolio 7(��) Očekivani prinos portfolija

E(Rp)

Standardna devcijacija portfolija ��

Portfolio 1 −1 15% 7,50%

Portfolio 2 0 15% 16,77%

Portfolio 3 0,5 15% 19,84%

Portfolio 4 1 15% 22,50%

E(Rp)=E(R1) x w1 + E(R2) x w2

E(Rp)=0,10 x 0,5 + 0,20 x 0,5 = 15% O. 7(��)= −1 �A = P<� �� − <� �� P = |0,5 · 0,15 − 0,5 · 0,3| = 0,075 = 7,5%

Perefektna diverzifikacije rizika se postiže ukoliko je vrijednost korelacijskog koeficijenta jednaka -1. b. 7(��)= 0 �A = �<�� + <�� = �0,5�0,15� + 0,5�0,3� = 0,01677 ≈ 16,77%

10 / 21

c. 7(��)= 0.5 >?@(��) = 7(��) × �� × �� >?@(��) = 0,5 × 0,15 × 0,30 = 0,0225 �A = �0,5�0,15� + 2 × 0,5 × 0,5 × 0,0225 + 0,5�0,3�=�0,039375 =0,1984≈19,84%

d. 7(��)= 1 �A = <� �� + <� �� = 0,5 · 0,15 + 0,5 · 0,3 = 0,225 = 22,5%

Primjer 6:

Pretpostavimo da se portfolio vrijednosnica sastoji od dvije vrijednosnice čiji se udio u portfoliju mijenja i to na sljedeći način: a. w1=0 (odnosno w2=100%) b. w1=25% c. w1=50% d. w1=75% e. w1=100% (odnosno w2=0%) Pretpostavimo nadalje da su očekivani prinosi vrijednosnice 1 i vrijednosnice 2 14% i 8% te da su standardne varijacije vrijednosnica V1 i V2, 0.2 i 0.15. Pretpostavimo da vrijednosnice nisu korelirane, odnosno da je njihov koeficijent korelacije jednak 0. Izračunajte očekivane prinose i rizičnost portfelja u navedenih pet slučajeva.



Standardna devijacija �� V1 0%,25%,50%,75%,100% 14% 20%

V2 100%,75%,50%,25%,0% 8% 15%

Portfolio 100%

Portfolio w1 Očekivani prinos portfolija

E(Rp)

Standardna devijacija portfolija ��

Portfolio 1 0% 8% 15%

Portfolio 2 25% 9,5% 12,3%

Portfolio 3 50% 11,1% 12,5%

Portfolio 4 75% 12,5% 15,5%

Portfolio 5 100% 14,0% 20%

a. w1=0 (odnosno w2=100%) E(Rp)=E(R1) x w1 + E(R2) x w2

E(Rp)=0,14 x 0 + 0,08 x 1 = 8% �A = :<�� + <�� = �0�0,20� + 1,0�0,15� = 0,15 ≈ 15%

b. w1=25% E(Rp)=E(R1) x w1 + E(R2) x w2

E(Rp)= 0,14 x 0,25 + 0,08 x 0,75 = 9,5%

11 / 21

�A = :<�� + <�� = �0,25�0,20� + 0,75�0,15� = 0,123 ≈ 12,3%

c. w1=50% E(Rp)=E(R1) x w1 + E(R2) x w2

E(Rp)= 0,14 x 0,50 + 0,08 x 0,50 = 11,1% �A = :<�� + <�� = �0,50�0,20� + 0,50�0,15� = 0,125 ≈ 12,5%

d. w1=75% E(Rp)=E(R1) x w1 + E(R2) x w2

E(Rp)= 0,14 x 0,75 + 0,08 x 0,25 = 12,5% �A = :<�� + <�� = �0,75�0,20� + 0,25�0,15� = 0,155 ≈ 15,5%

e. w1=100% (odnosno w2=0%) E(Rp)=E(R1) x w1 + E(R2) x w2

E(Rp)= 0,14 x 1,0 + 0,08 x 0 = 14,0% �A = :<�� + <�� = �1,0�0,20� + 0�0,15� = 0,20 ≈ 20,0%

.

Portfolio sa tri vrijedonosna papira

Portfolio uključuje tri dionice sa sljedećim podacima:



Standardna devijacija �� A 15% 15% 18%

B 35% 19% 16%

C 50% 10% 20%

Koeficijenti korelacije između prinosa na dionice su: 7(�B�C) = 0,6 7(�C�S) = −0,2 7(�B�S) = 0,1 Izračunati očekivani prinos i standardnu devijaciju kreiranog portfolija? E(Rp)=E(RA) x wA + E(RB) x wB+ E(RC) x wC

E(Rp)= 0,15 x 0,15 + 0,19 x 0,35 + 0,10 x 0,50 = 13,9%

12 / 21

�� = �� <8 × <� × >?@(��, �8)��

�;��

�� = T<B��B� + <C��C� + <S��S� + 2<B<C>?@(�B�C) + 2<B<S>?@(�B�S) + 2<C<S>?@(�C�S)U1/2

>?@(�B�C) = 7(�B�C) × �B × �C >?@(�B�S) = 7(�B�S) × �B × �S >?@(�C�S) = 7(�C�S) × �C × �S >?@(�B�C) = 0,6 × 0,18 × 0,16 = 0,01728 >?@(�B�S) = 0,1 × 0,18 × 0,2 = 0,0036 >?@(�C�S) = −0,2 × 0,16 × 0,2 = −0,0064 �� = T0,15�0,18� + 0,35�0,16� + 0,5�0,2� + 2 × 0,15 × 0,35 × 0,01728 + 2 × 0,15 × 0,5 ×0,0036 + 2 × 0,35 × 0,5 × (−0,0064)U1/2 �� = �0,014 = 0,1188 ≈ 11,82%

13 / 21

Zadaci za vježbanje:

1.Imamo dvije investicijske mogućnosti sa slijedećim distribucijama vjerovatnoće:

Investicija A Investicija B

Očekivani prinos 12% 10%

Standardna devijacija 18% 14%

Koja je investicija rizičnija? 2.U tabeli ispod se nalaze podaci o tržišnim vrijednostima dionica koje držite u svom portfoliju kao i njihove očekivane stope povrata.

Dionice Tržišna vrijednos (u $ mil) E(Ri)

Philips 15.000 0,14

Starbucks 17.000 -0,04

International Paper 32.000 0,18

Intel 23.000 0,16

Walgreens 7.000 0,12

Izračunati očekivani prinos ovog portfolija! 3.U tabeli ispod imate podatke o mjesečnim stopama povrata za dvije dionice(A i B) za period od 6 mjeseci:

Mjesec Dionica„A“ Dionica „B“

1 -0,04 0,07

2 0,06 -0,02

3 -0,07 -0,10

4 0,12 0,15

5 -0,02 -0,06

6 0,05 0,02

Izračunati: a.prosječnu mjesečnu stopu povrata za svaku dionicu b.standardnu devijaciju za svaku dionicu c.kovarijansu d.koeficijent korelacije Koji nivo korelacije ste očekivali? Koliko se razlikuju vaša očekivanja sa izračunatom korelacijom?Da li ove dvije dionice predstavljaju dobru kombinaciju za diverzifikaciju? 4.Imamo dva vrijednosna papira sa slijedećim vjerovatnoćama događaja i mogućim prinosima:

Stanje Pi RiA RiB

Uzlet 0,25 15% 6%


Recesija 0,25 3% 8%

U oba vrijednosna papira su uložene jednake količine novca. Izračunati očekivani prinos i standardnu devijaciju portfolija.

14 / 21

5.Dionice A imaju očekivani prinos 15% i standarddnu devijaciju 11%, a dionice B imaju očekivani prinos 10% i standardnu devijaciju 19%. Kovarijansa mogućih prinosa od dva VP iznosi 0,00418. Ako su investirane jednake količine novca u oba VP, izračunati očekivani prinos i standardnu devijaciju portfolija? 6.Razmatrate dvije dionice sa sljedećim karakteristikama:



Standardna devijacija �� A 0,5 0,15 0,10

B 0,5 0,20 0,20

Izračunati očekivani prinos i standardnu devijaciju kreiranog portfolija ako je koeficijent korelacije 0,40 i ako je taj koeficijent -0,60? Nacrtajte ta dva portfolija i ukratko objasnite rezultate 7. Pretpostavimo da se portfolio vrijednosnica sastoji od 2 vrijednosnice • Vrijednosnice 1, V1, s udjelom od 60% • Vrijednosnice 2, V2, s udjelom od 40% (100% - udio V1) te da su očekivani prinosi vrijednosnice 1 i vrijednosnice 2 10% i 15%.Pretpostavimo nadalje da su standardne devijacije vrijednosnica V1 i V2 0,03 i 0,05 te da su vrijednosnice korelirane i to na sljedeći način:

a. 7(��)= 1 b. 7(��)= 0,75 c. 7(��)= 0,25 d. 7(��)= 0,00 e. 7(��)= -0,25 f. 7(��)= -0,75 g. 7(��)= -1

Izračunajte očekivani prinos i rizičnost portfolija za sve četiri moguće koreliranosti. 8. Pretpostavimo da se portfolio vrijednosnica sastoji od dvije vrijednosnice čiji se udio u portfoliju mijenja i to na sljedeći način: a. w1=100% b. w1=75% c. w1=50% d. w1=25% e. w1=5% Pretpostavimo nadalje da su očekivani prinosi vrijednosnice 1 i vrijednosnice 2 12% i 16% te da su standardne varijacije vrijednosnica V1 i V2, 0,04 i 0,06. Pretpostavimo da je njihov koeficijent korelacije jednak 0,70. Izračunajte očekivane prinose i rizičnost portfolija u navedenih pet slučajeva. Grafički predstavite rezultate. Bez računanja, nacrtajte kako bi kriva izgledala da je koeficijent korelacije 0,00 a zatim da je -0,70. 9.U tabeli su date mjesečne procentualne promjene cijena za četri tržišna indeksa:

Mjesec DJIA S&P 500 Russell 2000 Nikkei

1 0,03 0,02 0,04 0,04

2 0,07 0,06 0,10 -0,02

3 -0,02 -0,01 -0,04 0,07

4 0,01 0,03 0,03 0,02

5 0,05 0,04 0,11 0,02

6 -0,06 -0,04 -0,08 0,06

15 / 21

Izračunati: a.prosječnu mjesečnu stopu povrata za svaki indeks b.standardnu devijaciju za svaki indeks c.kovarijansu između sljedećih indeksa:

• DJIA- S&P 500

• S&P 500 –Russell 2000

• S&P 500-Nikkei

• Russell 2000- Nikkei d.koeficijent korelacije za te iste četri kombinacije e.koristeći dobivene podatke iz a.b. i d. izračunajte očekivani povrat i standardnu devijaciju dva portfolija.Prvi se sastoji iz jednakih udjela S&P 500 i Russell 2000 a drugi iz jednakih udjela S&P 500 i Nikkei. Prokomentarišite ta dva portfolija. 10.Standardna devijacija Dionice A je 19%. Standardna devijacija Dionice B je 14%. Kovarijansa između ove dvije dionice je 100. Koliko onda iznosi koeficijent korelacije? 11.Portfolio uključuje tri dionice sa sljedećim podacima:




B 25% 11% 15%

C 25% 8% 15%

Koeficijenti korelacije između prinosa na dionice su: 7(�B�C) = 0,1 7(�C�S) = 0,8 7(�B�S) = −0,5 Izračunati očekivani prinos i standardnu devijaciju kreiranog portfolija?

EFIKASAN I OPTIMALAN PORTFOLIO

Efikasan portfolio (Efficient portfolio)

Portfolio investicija se može sastaviti raznim kombinacijama njihovih udjela u ukupnom portfoliju.

Sve te različite kombinacije investicija predstavljaju njihove

Za uspješno upravljanje portfoliom trebalo bi iz bezbroj mogućih portfolija izdvojiti određen njihov

broj koji bi bio bolji od drugih kombinacija investicija.

Dominantan portfolio onaj koji je kao kombinacija dvije ili više invest

kombinacijama sa stajališta povrata ili sa stajališta rizika.

Efikasan portfolio je onaj koji između svih kombinacija koje obećavaju isti povrat ima najniži rizik

odnosno između svih kombinacija istog rizika obećava najviši prinos.

Harry Markowitz, laureat Nobelove nagrade, razvio je bazne koncepte moderne portfolio teorije. U svom djelu iz 1952, godine „Portfolio Selection“ razvio je proceduru odabira portfolija koja dominiraju nad drugim mogućim portfolij S obzirom na pretpostavke moderne teorije portfolija, za neki portfolio se ne može reći da je efikasan ako postoji ijedan drugi portfolio koji ima:

• veću očekivanu stopu povrata i manju standardnu devijaciju

• veću očekivanu stopu povrata i

• istu očekivanu stopu povrata i manju standardnu devijaciju

16 / 21

EFIKASAN I OPTIMALAN PORTFOLIO

portfolio (Efficient portfolio)

može sastaviti raznim kombinacijama njihovih udjela u ukupnom portfoliju.

Sve te različite kombinacije investicija predstavljaju njihove moguće portfolije (attainable portfolios).


broj koji bi bio bolji od drugih kombinacija investicija.

onaj koji je kao kombinacija dvije ili više investicija superioran drugim

kombinacijama sa stajališta povrata ili sa stajališta rizika.

je onaj koji između svih kombinacija koje obećavaju isti povrat ima najniži rizik

odnosno između svih kombinacija istog rizika obećava najviši prinos.

Harry Markowitz, laureat Nobelove nagrade, razvio je bazne koncepte moderne portfolio teorije. U svom djelu iz 1952, godine „Portfolio Selection“ razvio je proceduru odabira efikasnih portfolija

portfolija koja dominiraju nad drugim mogućim portfolijima.

moderne teorije portfolija, za neki portfolio se ne može reći da je efikasan ako postoji ijedan drugi portfolio koji ima:

veću očekivanu stopu povrata i manju standardnu devijaciju

veću očekivanu stopu povrata i istu standardnu devijaciju

istu očekivanu stopu povrata i manju standardnu devijaciju

može sastaviti raznim kombinacijama njihovih udjela u ukupnom portfoliju.

(attainable portfolios).


icija superioran drugim

je onaj koji između svih kombinacija koje obećavaju isti povrat ima najniži rizik

Harry Markowitz, laureat Nobelove nagrade, razvio je bazne koncepte moderne portfolio teorije. U efikasnih portfolija tj.

moderne teorije portfolija, za neki portfolio se ne može reći da je efikasan

17 / 21

Određivanje efikasnih portfolija sa dva vrijedonosna papira

Primjer: Ako je poznato sljedeće:




B 70% 12% 14%

Portfolio 100%

a. nacrtati skup mogućih portfolija za ulaganje u ove dvije dionice ako je koeficijent korelacije

između ova dva vrijednosna papira 0,25. Odredite grafički efikasna portfolija b. nacrtati skup mogućih portfolija za ulaganje u ove dvije dionice ako je koeficijent korelacije

između ova dva vrijednosna papira 0. Odredite grafički efikasna portfolija c. nacrtati skup mogućih portfolija za ulaganje u ove dvije dionice ako je koeficijent korelacije

između ova dva vrijednosna papira -1. Odredite grafički efikasna portfolija Rješenje:

Prvo ćemo predstaviti grafički set investicijskih prilika za portfolio od navedene dvije dionice. Na x

osi je standardna devijacija portfolija (��) a na y osi je očekivani povrat portfolija �3��4. Set investicijskih prilika kod ulaganja u dvije dionice je omeđen sa tri prave linije koje prolaze tačkama A,B i C.

Tačka A predstavlja situaciju da ulažemo samo u dionicu A ⇒ (0,08; 0,1).

Tačka B predstavlja situaciju da ulažemo samo u dionicu B ⇒ (0,14; 0,12). Tačku C predstavlja situaciju da je rizik odnosno standardna devijacija 0 a koeficijent korelacije jednak (-1). Kako bi standardna devijacija portfolija bila jednaka 0 određujemo udjele: 7(��) = −1 → �� = <� �� − <� �� = 0 → <� = �� + �� <� = �� + �� <� = 0,140,08 + 0,14 = 0,6363 � <� = 0,080,08 + 0,14 = 0,3637

Na bazi određenih udjela izračunavamo očekivani povrat portfolija: E(Rp)=E(R1) x w1 + E(R2) x w2 = 0,1 × 0,6363 + 0,12 × 0,3637 = 0,1073 ≈10,73%

Dakle tačka C ima koordinate (0; 0,1073). Sada možemo kreirati grafikon:

18 / 21

Za sve vrijednosti koeficijenta korelacije između -1 i 1, set investicijskih prilika je kriva koja se proteže unutar prostora koji je omeđen pravim linijama koje korespondiraju vrijednostima koeficijenta korelacije 1 i -1. Ako ulažemo samo u dionicu A, tada naša investicija ima očekivni prinos 10% i standardnu devijaciju 8% (Tačka A), a ako ulažemo samo u dionicu B, naš očekivani prinos iznosi 12% a standardna devijacija 14% (Tačka B). Ako kombinujemo ova dva vrijednosna papira, dobijamo neku liniju koja spaja tačke A i B ovisno o koeficijentu korelacije između prinosa na dionicu A i dionicu B. Ako su prinosi dionica A i B perfektno pozitivno korelirani,odnosno 7(�B�C) = 1, skup mogućih portfolija kod ulaganja u ove dvije dionice je prava linija između tačaka A i B. U ovom slučaju nema diverzifikacije. Ako je koeficijent korelacije manji od 1, odnosno 7(�B�C) < 1,imamo učinak diverzifikacije, odnosno imamo koristi od kreiranja portfolija i ovaj efekat nazivamo Markowitzevom diverzifikacijom. Ako je 7(�B�C) < 1 , standardna devijacija portfolija je manja od ponderisane sredine standardnih devijacija vrijednosnih papira koje čine portfolio. Čak šta više, ako je 7(�B�C) ≤ 0 moguće je kreirati portfolio čija je standardna devijacija manja od standardne devijacije bilo kojeg od pojedinačnih vrijednosnih papira. Ako je koeficijent korelacije jednak -1, odnosno 7(�B�C) = − 1,učinak diverzifikacije je maksimalan. U tom slučaju skup mogućih portfolija kod ulaganja u dionice A i B je predstavljen linijama između tačaka A i C, te C i B. Za svaku konkretnu vrijednost korelacijskog koeficijenta moguće je kreiriati niz portfolija (na temelju različitog vrijednosnog udjela) što se grafički se predočuje pravcem. Dio pravca koji povezuje

portfolija, počevši od portfolija s minimalnom varijansom4 odnosno standardnom devijacijom pa

4 Portfolio sa najnižim rizikom: <B = YZ (YZ[\]ZY])Y]_YZ[�\]ZY]YZ

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16

B

C

A

Rp

σp

19 / 21

do portfolija s maksimalno očekivamo stopom povrata se naziva efikasan skup (efficient frontier). Ovaj skup uključuje portfolija za koje su investitori zainteresovani. Naime ni jedan investitor nije zainteresovan za ulaganja u portfolio s nižom stopom povrata od portfolija s minimalno varijansom odnosno standardnom devijacijom jer ta portfolija imaju nižu stopu povrata i višu standardnu devijaciju u odnosu na portfolio s minimalnom varijansom. Investitor zatim izabire različita portfolija

iz efikasnog skupa odnosno s pravca efikasnosti ovisno o vlastitim preferencijama. a. 7(��)= 0,25 Za crtanje skupa mogućih portfolija kod ulaganja u dvije dionice, A i B, trebamo izračunati očekivani prinos i standardnu devijaciju portfolija varirajući udjele uložene u jedan i drugi vrijednosni papir. Dakle računamo očekivani prinos i standardnu devijaciju za nekoliko proizvoljnih portfolija:

Portfolio wa wb E(Rp) ��

1 1 0 10,00 % 8,00 %

2 0,8 0,2 10,40 % 7,60 %

3 0,6 0,4 10,80 % 8,24 %

4 0,4 0,6 11,20 % 9,71 %

5 0,2 0,8 11,60 % 11,70 %

6 0 1 12,00 % 14,00 %

Grafički predstavljamo dobijene rezultate:

Dakle, efikasna su ona portfolija koja se nalaze između portfolija sa minimalnim rizikom (7,6%) i portfolija sa maksimalno očekivanim prinosom (14%) tj. između dvije istaknute tačke na grafikonu. Dio seta mogućih portfolija koji ima negativan nagib tj. ispod portfolija s minimalnim rizikom nije efikasan. Efekat diverzifikacije vidimo u zakrivljenosti seta mogućih portfolija. b. 7(��)= 0 (nekorelirane)


1 1 0 10,00 % 8,00 %

2 0,8 0,2 10,40 % 6,99 %

3 0,6 0,4 10,80 % 7,38 %

4 0,4 0,6 11,20 % 8,99 %

5 0,2 0,8 11,60 % 11,31 %

6 0 1 12,00 % 14,00 %

20 / 21

Efikasan skup sada čine portfolija koja se nalaze na liniji između portfolija sa minimalnim rizikom (6,9%) i portfolija sa maksimalno očekivanim prinosom (14%). S obzirom da je koeficijent korelacije nula imamo veću učinak diverzifikacije u u odnosu na prethodni slučaj pa je i kriva mogućih portfolija pomjerena ulijevo. c. 7(��)= -1 (savršeno nekorelirane)


1 1 0 10,00 % 8,00 %

2 0,8 0,2 10,40 % 3,60 %

3 0,6 0,4 10,80 % 0,80 %

4 0,4 0,6 11,20 % 5,20 %

5 0,2 0,8 11,60 % 9,60 %

6 0 1 12,00 % 14,00 %

Pošto je koeficijent korelacije -1, imamo maksimalni učinak diverzifikacije. Efikasan skup čine portfolija između portfolija sa minimalni rizikom (0%) i portfolija s maksimalno očekivanim prinosom (14%)

Slučaj više vrijedonosnih papira: Isti principi primjenjeni kod portfolija od dva vrijedonosna papira se

primjenju i kod portfolija sa N vrijednosnica.

σp

21 / 21

OPTIMALAN PORTFOLIO

Optimalan portfolio pojedinačnog ulagača bit će onaj koji predstavlja tangentu njegove krivulje indiferencije na efikasnu granicu portfolija. Izbor optimalnog portfolija se temelji na teoriji korisnosti i principu dominacije portfolija. To znači da se izabire samo efikasan portfolio, a to je onaj s efikasne granice. Pri tome, da bi bio optimalan, to mora biti portfolio koji će za investitora osigurati maksimalnu korisnost. To je upravo onaj portfolio koji se ostvaruje kao tangenta krivulje indiferencije investitora na efikasnu granicu. Tako je ostvaren izbor najviše korisnosti jer uz višu krivulju indiferencije nema raspoloživih investicija, dok bi uz nižu krivulju indiferencije birali investicije manje korisnosti.

12

IB2 IB1

IA2IA1

Optimal PortfolioInvestor A

Optimal PortfolioInvestor B

Risk σσσσp

ExpectedReturn, rp

Optimal Portfolios

Zadatak 1: Grafički prikažite efikasan skup odnosno pravac efikasnosti i odredite portfolio s minimalnom varijansom odnosno standardnom devijacijom za dionice X i Y za koje je poznato: E(Rx)=15% E(Ry)=8% Cov(Rx,Ry)=-0,0052 �` = 10,5% �a = 12,96% 73�`�b4 = −0,382128

Analiziraju se sljedeći portfoliji: Portfolio B=40% vrijednosnice X i 60% vrijednosnice Y Portfolio C=10% vrijednosnice X i 90% vrijednosnice Y Portfolio D=90% vrijednosnice X i 10% vrijednosnice Y

Documents

Rizik i Povrat Portfolija