AOWb08J6qu10w t60l6WOW

Euqw A9'1J8 89' q686t 6'oq!U9" JC1q9'86 blA! bnr 8fJ8l60 89' E,6lW9'0-

!A I!,EH'WVOAV b02rED111V J,EOH'EWV

J

U608tA9'l6U9"

19'J9'U9'b0J16 ! bl61'A9'l9'J9'rr blg:iT ~019' 16' W6qfJ+!W' fJA6~ 08t9'19'J9'

W9'+!9JC1U9'6'9'q9'U19'!~ ~JfJp9' n ~OW6 86 0~fJbJ19'1fJbLOl68OL!bLOP!-

1'6W9'+!99'L!8b6~fJH89'H ~O P! wo6'9'O ?t9' 19'qm' bOU6JC1qP! 86 W9't6-

E,6lW9'OA01b08J6qu101 t6OL6W! 968j'O 86 bl!99'J9' fJS 99'1 qo~ 8fJ W9'-

W9't6W9'+!9~06' bLOPJ6W9" .L9'p6 bl!96 U!8fJ PH6 U60P!9U6' bl!99' 0

19'+! l6?6U16W E,6lW9'OA6b08J6qu16 t60l6W6' 8A6t8~! u9'1bo~u9'1'!1G6'

bO?t9' brsjco IUt6LU6t9' U9'6'OA6?t9'A9'J9'16 qs «6 bl6q9'A9'U16 ~fJJW!U!-

A68t! 8fJ b096J6 qs 86 bLOIJ086 bl6tIJOqIJ06' q9'IJ9" EJ6HLOIJ8JC1

86 096~!A9'JOq9' «6 pm !8+!IJ8~!!81'0ln8~! qo6'9'Q9'1'

16 bl6~l!A9'J9' t9'PJII" 081'9'1'~ 16 pro rrr p8tO JC108A6qo~ OIJOW6?1'0

W6A9'J9'rr bOl'bfJU08+! 6'fJ8l'fJW6?9'A!IJfJ6'l9~!P 8!WPOJ9'! 9'J6'6pl6 ~019'

W9't6W9'+!99'l9' 86q6JO 16 fJ~096UO' 29'WO 96tAl+!IJ9' oq U1!p 16 19'~fJ-

mJo 16 to U9'1A9'~IJn6W9'1'6W9'+!9~0bl6q9'A9'U16 A6JC1' DA6 81'0+!IJ6

sa: llJIJ J883l K6llJPL!q~

C' H" H9'lq!

'\s(J),~()\)S\'~(J'\s'aS\''S(J ill(J ~t(J ~t() ().\S(J ill()*~ 'S'\s(JI1.~t~'

ill()*~ ~St~ ~ill~~'\s(J L~I1.\ (J\S fl~L()fl(Jt.\S() ill(Jt~ill(Jt~I1.(JL Sill(J

~t() )~'Ssc~ S\'ill~LS\'\(J ill(Jt~ill(Jt~I1.Y:~ ~q~)~ .\s~' \"B~~illLt.\S()~t\

'fL\l'Sill~q(J ((~ ~~ ~~(((Jt~ Y:(Jq(J"R~\l'S\(J ~S\'qS\' 'S(J~()L(Jflm 'S(Jt()

~~WP~J!IJJ qg ~ll OAq6 afgf!~~

J

2 FERMAOVA POSLED JA TEOREMA 1. "Mislim da cu ovde stati"

Ovoga puta prica je bila drugacija, Jedan postdiplomac saKernbridza je toliko verovao u pricu da je bez daha otrcao u kla-dionicu da ulozi 10 funti za opkladu da ce Fermaova poslednjateorema biti resena u roku od sedam dana. Medutim, covek kojije primao uplate nesto je posumnjao i odbio je da prihvati njegovulog. Ovo je bio peti student koji mu se obracao tog dana trazecida se kladi na istu stvar. Fermaova poslednja teorema je zaoku-pljala najvece umove na planeti citava tri stoleca, pa su sada caki kladionicari poceli da predosecaju da je na ivici resenja.

Tri table su bile prepune racuna i predavanje je zastalo. Zatimje prva tabla bila obrisana i ponovo se otpocelo sa algebrom. Svakalinija matematike izgledala je kao jedan mali pomak ka resenju,ali posle trideset minuta predavanja predavac jos uvek nije bioobjavio resenje. Profesori su bili stisnuti u prvim redovima nestr-pljivo ocekujuci zakljucak. Studenti, koji su stajali pozadi, gledalisu u starije ne bi li dobili neki znak 0 tome sta ce biti na kraju.Da li oni to prate kompletan dokaz Fermaove poslednje teoremeili je predavac sarno priblizno predstavljao jedan nekompletan do-kaz koji ce ih razocarati? Predavac je bio Endru Vajls, uzdrzaniEnglez koji je emigrirao u Ameriku 1980. i postao profesor nauniverzitetu Prinston gde je zadobio reputaciju jednog od najta-lentovanijih matematicara svoje generacije. Medutim, poslednjihgodina nije se pojavljivao na godisnjim konferencijama i semina-rima i kolege su pocele da smatraju da je sa Vajlsom gotovo. Nijebilo neobicno za briljantne mlade talente da pros to "izgore", kaosto je matematicar Alfred Adler primetio: "Maternaticki zivotmatematicara je kratak. Rad retko napreduje posle dvadeset peteili tridesete. Ako je malo do tada postignuto, uvek ce malo i bitipostignuto."

"Mladi ljudi bi trebalo da dokazuju teoreme, stari bi trebaloda pisu knjige", zapazio je G. H. Hardi u svojoj knjizi A Mathe-matician's Apology. "Nijedan matematicar nikada ne bi trebalo dazaboravi da je matematika, vise nego bilo koja druga nauka, igra

mladih ljudi. Radi ilustracije, prosecne godine izabranih u Kra-ljevsko drustvo su najnize za matematicare." Njegov najbriljan-tniji student Srinivasa Ramanujan izabran je u Kraljevsko drustvou svojoj trideset prvoj godini, napravivsi seriju otkrica u mlado-sti. Uprkos tome sto je formalno bio slabo obrazovan u rodnomselu Kumbakonam u juznoj Indiji, Ramanujan je mogao da kreirateoreme i resenja koja su izmakla matematicarima na Zapadu. Umatematici, iskustvo koje dolazi sa godinama izgleda da je manjevazno nego intuicija i smelost koje ima mladost. Kada je poslaosvoje rezultate Hardiju, profesor sa Kembridza je bio toliko im-presioniran da ga je pozvao da napusti posao nizeg cinovnika kojije imao u juznoj Indiji i da pohada Triniti Koledz, gde je mogaoda bude u kontaktu sa nekim od vodecih svetskih naucnika u teo-riji brojeva. Nazalost, ostre zime istocne Engleske nisu bile dobreza Ramanujana. Dobio je tuberkulozu i umro u trideset trecojgodini.

I drugi maternaticari su imali podjednako briljantne ali kratkekarijere. Norvezanin iz devetnaestog veka Nils Henrik Abel daoje svoj najveci doprinos matematici sa devetnaest godina i umroje u s~romastvu, sarno osam godina kasnije, takode od tuberku-loze. Sarl Ermit je za Abela rekao: "Ostavio je matematicarimanesto sto ce ih drzati zaposlenima sledecih pet stotina godina" izaista je istina da Abelova otkrica jos uvek imaju snazan uticaj~a danasnje matematicare iz oblasti teorije brojeva. Abelov pod-jednako talentovan savremenik Evarist Galoa je takode napraviosvoj proboj kao mladic i umro sa sarno dvadeset jednom godinom.

Ovim primerima nismo imali nameru da pokazemo da mate-~a~icari umiru prerano i tragicno nego da su njihove najdubljeidejs zacets jos dok su mladi i, kako je Hardi jednom rekao: "Jane z~am za primer nekog znacajnog matematickog otkrica koje jedao covek posle pedesete." Srednjovekovni matematicari cesto sus~ p.o:,laCili i provodili svoje preostale godine u poducavanju dru-gih III obavljanju administrativnih poslova radije nego da nastave

3

4 FERMAOVA POSLEDNJA TEOREMA

da se bave naukom. U slucaju Endrua Vajlsa nista ne bi moglo bitidalje od istine. Iako je dostigao starije doba - cetrdesete godine,proveo je poslednjih sedam godina radeci u kompletnoj tajnosti,pokusavajuci da resi najveci problem matematike. I dok su drugipretpostavljali da je njegovo proslo, Vajls je napravio izvanrednepomake otkrivsi nove tehnike i alate koje je sada bio u stanjuda prikaze. Njegova odluka da radi u apsolutnoj izolaciji bila jestrategija visokog rizika i bez presedana u istoriji matematike.

Bez otkrica koje bi se moglo patentirati, maternaticki fakul-tet svakog univerziteta je zapravo najmanje tajanstven. Ponosi seotvorenom i slobodnom razmenom ideja, a pauze za caj su pre-tvorene u dnevne rituale gde se, uz keks i Erl Grej, razmenjuju idiskutuju nove ideje. Kao rezultat toga, veoma je cesta pojava dase i radovi objavljuju od strane vise koautora ili Citavog tima ma-tematicara, pri cemu se i slava deli na jednake delove. Medutim,ako bi profesor Vajls zaista otkrio kompletan i tacan dokaz Fer-maove poslednje teoreme, onda bi najpozeljnija nagrada u istorijimatematike bila njegova i samo njegova. Cena koju je morao daplati zbog rada u tajnosti je ta sto je, prethodno ne proverivsi i nerazmotrivsi ni jednu od svojih ideja sa ostalim matematicarima,postojala velika sansa da je napravio fundamentalnu gresku.

Vajls je zeleo da posveti vise vremena svom radu sto bi muomogucilo da potpuno proveri svoju finalnu verziju. Ali, tada sepojavila jedinstvena prilika da se rad obelodani u Institutu IsakNjutn u Kembridzu, tako da je odustao od opreznosti. Jedini ciljpostojanja ovog instituta je da okupi na jednom mestu najvecesvetske umove na nekoliko nedelja da bi odrzali seminare u vezisa najaktuelnijim naucnim istrazivanjima. Dislocirana od uni-verziteta, podalje od studenata i ostalih uznemiravanja, zgrada

. instituta je specijalno dizajnirana da pcdstice akademike da sekoncentrisu na saradnju i "brain storming". Ne postoje "slepi"hodnici za skrivanje, a sve prostorije gledaju na centralnu saluza okupljanje. Ideja je u tome da matematicari provode najveci

1. "Mislim da cu ovde stati"

deo vremena u ovom otvorenom prostoru i podstaknuti su da nezatvaraju vrata svojih kancelarija. Saradnja je moguca prakticnona svakom mestu u institutu - cak i lift, koji putuje samo trisprata, ima ugradenu tablu za pisanje. U stvari, svaka prostorijau zgradi ima bar jednu tablu, a to vazi i za toalet. Ovom prilikomje seminar u Institutu Isak Njutn bio pod naslovom "L-funkcijei aritmetika". Svi najpoznatiji svetski matematicari koji se baveteorijom brojeva sastali su se da bi diskutovali probleme vezaneza ovu visoko specijalizovanu oblast ciste matematike, ali je je-dino Vajls shvatio da L-funkcije mogu sadrzati kljuc za resenjeFermaove poslednje teoreme.

I mada je bio privucen sansorn da otkrije svoj rad takvoj emi-nentnoj publici, glavni razlog za objavljivanje rada u InstitutuIsak Njutn bio je taj sto je institut u njegovom rodnom gradu,Kernbridzu. To je mesto u kome je Vajls roden, gde je odrastaoi razvio svoju strast za brojevima, a u Kembridzu se i susreo saproblemom koji ce dominirati ostatkom njegovog zivota.

Poslednji problem

Kada je imao deset godina, 1963. godine, Endru Vajls je vec biofasciniran matematikom. "Obozavao sam da resavam problemeu s~oli; poneo bih ih kuci i pravio sopstvene probleme. Ali naj-b?IJ~ problem koji sam ikad nasao, otkrio sam u svojoj lokalnojblbhoteci" .

Jednog dana, dok se vracao kuci iz skole, mladi Vajls je odlucioda poseti biblioteku u ulici Milton. Bila je siromasnija od biblio-teka na koledzu, ali je uprkos tome imala sjajnu kolekciju knjiga sazag?netkama i problemima, a to je upravo bilo ono sto je cesto pri-vlac~l~ Endruovu paznju. Ove knjige su bile prepune svakojakihna_uc~lh problema i matematickih zagonetaka i za svako pitanjere~enJe bi postojalo negde na nekoliko poslednjih stranica knjige.Ali, ovog puta, Endru je bio privucen knjigom .koja je u sebi imala

5

6 FERMAOVA POSLEDNJA TEOREMA

sarno jedan problem, ali ne i resenje.Bila je to knjiga Poslednji problem Erika Templa Bela, istorija

matematickog problema koji ima svoj koren u antickoj Crckoj,ali koji je dostigao svoju "zrelost" u sedamnaestom veku. Bilo jeto tada kada je veliki francuski maternaticar Pjer de Ferma ne-namerno postavio problem kao izazov ostatku sveta. Jedan zadrugim, veliki maternaticari bivali su osramoceni Fermaovom za-ostavstinom i za trista godina niko nije uspeo da resi problem.Postoji jos neresenih pitanja u matematici, ali ono sto cini Fer-maov problem izuzetnim je njegova jadnostavnost koja zavarava.Trideset godina posle prvog citanja Belove knjige, Vajls mi je is-pricao kako se osecao u trenutku kada se upoznavao sa Fermaovomposlednjom teoremom: "Izgledalaje tako jednostavna, pa ipak sviveliki matematicari u istoriji nisu mogli da je dokazu. Tu je stajaoproblem koji i ja, desetogodisnjak, mogu da razumem i znao samda ga od tog trenutka necu pustiti. Morao sam da ga resim" .

Problem je izgledao vrlo jednostavno zato sto je baziran najednom delu matematike koje se svako moze podsetiti, Pitagorinojteoremi:U pravouglom trouglu, to zna svako dete,kvadrat nad hipotenuzom jednak je zbiru kvadrata nad obe katete.Zahvaljujuci ovoj Pitagorinoj jednostavnoj "pesmici", teorema seurezala u milione ako ne i u milijarde ljudskih mozgova. To jeosnovna teorema koju i svako naivno skolsko dete mora da nauci.Ali, uprkos cinjenici da je moze razumeti i desetogodisnjak, Pi-tagorina kreacija je bila inspiracija za problem koji je frustriraonajvece rnatematicke umove tokom istorije.

Pitagora sa Samosa je bio jedan od najuticajnijih umova u ma-tematici, ali i veoma misteriozna licnost. Posto ne postoje spisi'iz prve ruke' njegov zivot i rad su obavijeni mitom i legendom,ucinivsi tako teskocu istoricarima da razdvoje cinjenice od fikcije.Ono sto je izvesno je to da je Pitagora razvio ideju numericke 10-.gike i da mu pripadaju zasluge za prvu zlatnu eru matematike. Za-

1. "Mislim da cu ovde stati"

hvaljujuCi njegovom geniju, brojevi nisu vise bili korisceni sarno zaprebrojavanje i racunanje, nego su postali postovani sami za sebe.On je proucavao osobine pojedinih brojeva, odnose medu njima,kao i pravila koja oni formiraju. Shvatio je da brojevi postoje ne-zavisno od opipljivog sveta, te da zbog toga njihovo proucavanjeostaje nezaprljano greskama percepcije. Ovo je znacilo da je bio ustanju da otkrije istine koje su bile nezavisne od rnisljenja ili pre-dubedenja i koje su bile 'apsolutnije' od bilo kakvog prethodnogznanja.

ZiveCi u sestom veku p.n.e. Pitagora je stekao svoje mate-maticko umece na putovanjima kroz anticki svet. Pojedine pricegovore da je putovao cak do Indije i Britanje, ali ono sto je viseverovatno je da je sakupio puno matematickih tehnika i alatkiod Egipcana i Vavilonaca. Oba ova anticka naroda bila su otislapreko granica pros tog brojanja i bili su sposobni da izvode slozeneracune, koji su im omogucavali da kreiraju sofisticirani sistemknjigovodstva i da grade mocne gradevine. U stvari, oni su vi-deli matematiku sarno kao alat za resavanje prakticnih problema;motiv za otkrice nekih od bazicnih pravila geometrije je bio da seomoguci rekonstrukcija meda izmedu njiva koje su se gubile svakegodine zbog poplava usled izlivanja Nila. Sarna rec geometrijaznaci 'meriti zemlju'.

Pitagoraje primetio da Egipcani i Vavilonci obavljaju racun uobliku recepta koji se mogao slepo slediti. Ovi recepti, koji su seprenosili sa kolena na koleno, uvek su davali tacan rezultat tako dase ~iko nije zamarao razrnisljanjem 0 njima ili istrazivanjern logikekoja stoji iza jednacina. Ono sto je bilo vazno za ove civilizacijeje to da je racun funkcionisao, a kako, bilo je nevazno.

Posle dvadeset godina putovanja Pitagora je asimilovao sva~atematicka pravila koja su postojala u poznatom svetu. Zatimje okrenuo jedra prema svom rodnom ostrvu Samosu u Egejskommoru sa namerom da osnuje skolu posvecenu studiranju filozofije,sa posebnim interesom za istrazivanje upravo prikupljenih mate-

7

8 FERMAOVA POSLEDNJA TEOREMA

rnatickih znanja. Zeleo je da razume brojeve, a ne sarno da ihkoristi. Ponadao se da ce pronaci puno slobodoumnih studenatakoji bi mu mogli pornoci da razvije radikalno nove filozofije, ali, unjegovom odsustvu, tiranin Polikrat je pretvorio nekada liberalniSamos u netolerantno i konzervativno drustvo. Polikrat je pozvaoPitagoru da se prikljuci njegovom dvoru, ali filozof je na vremeshvatio da se radi 0 postupku kroz koji ce biti utisan i odbio jetakvu cast. Umesto toga napusta grad i odlazi u pecinu na udalje-nom kraju ostrva, gde je mogao da razrnislja bez straha od kazne.

Pitagora, medutim, nije uzivao u izolaeiji pa na kraju dovodijednog mladica da mu bude prvi ucenik. Identitet mladica je ne-poznat, ali neki istoricari misle da se i on zvao Pitagora i da jekasnije stekao slavu time sto je prvi savetovao atletama da jedumeso da bi poboljsali svoju anatomiju. Pitagora, ucitelj, placaoje svom studentu tri obola za svaki cas koji je pohadao i primetioje da se, kako su nedelje odmieale, mladiceva ne prevelika zelja zaucenjem trasformisala u entuzijazam za znanjem. Da bi isprobaosvog studenta Pitagora se pretvarao da vise ne moze da placa i dace zbog toga poducavanje morati da prestane, ali je tada niladicrekao da bi radije placao za svoje obrazovanje nego da se onozavrsi. Ucenik je postao njegov sledbenik. Nazalost, ovo je bionjegov jedini uspeh na Samosu. Doduse, uspeo je da privremenoosnuje skolu, poznatu kao Pitagorin polukrug, ali su njegovi po-gledi na drustvene reforme bili neprihvatljivi i bio je primoran danapusti koloniju zajedno sa majkom i jedinim sledbenikom.

Pitagora zatim odlazi u juznu Italiju, koja je tada bila deoVelike Grcke i nastanjuje se u Krotonu, gde je imao srece danade patrona u Milu, najbogatijem coveku u Krotonu i jednomod najsnaznijih ljudi u istoriji. I mada se Pitagorina reputaeija fi-lozofa sa Samosa vec bila prosirila po citavoj Grckoj, Milova slavaje bila jos veca, Milo je bio covek herkulovskih proporeija, kojije bio sam pion Olimpijskih i Pitijskih igara rekordnih dvanaest

1. "Mislim da cu ovde stet!'

puta. Osirn svoje atletike Milo je takode voleo i studirao filozo-fiju i matematiku. On je odvojio deo kuce i obezbedio Pitagoridovoljno prostora da osnuje skolu. Tako su najkreativnija glava inajsnaznije tela formirali savez.

Obezbeden u svom novom domu, Pitagora je osnovao Pitago- .rejsko bratstvo, grupu od sest stotina sledbenika, koji nisu samobili sposobni da shvate njegovo ucenje vec i da ga nadograde no-vim idejama i dokazima. Po ulasku u Bratstvo svaki clan je moraoda preda sve sto poseduje zajednickom fondu i ako bi neko ikadaotisao iz Bratstva, primio bi dvostruki ulog od pocetnog, a takodebi mu bio podignut i spomenik u znak secanja, Bratstvo je biloegalitarna skola i imala je u svojim redovima i nekoliko sestara.Pitagorin omiljeni student bila je Milova cerka, prelepa Teano,kojom se, uprkos razliei u godinama, na kraju i ozenio.

Odmah posto je osnovao Bratstvo Pitagora je skovao rec "fi-lozof" i uradivsi to definisao je eiljeve skole. Dok je bio na Olim-pijskim igrama, Leon, prine od Fliusa, pitao je Pitagoru kako biopisao samog sebe. Pitagora je rekao: "Ja sam filozof", ali postoI:eon nije do tada cuo za tu rec, trazio je objasnjenje.Zivot se, prince Leone, moie uporediti sa ovim igmma zato sto ugomili koja se ovde okupila, neki su priuuceni sakupljanjem po-ena, a drugi nadom i ambicijama za slavom i uspehom. Ali medunJzma postoji samo nekolicina koja je dosla da posmatm i da probada mzume sve sto se ovde doqtula.

I sto je i.u iiuotu. N eki su pod uticajem ljubavi za bogatstvom,dok su dru?z slepo uodeni ludom groznicom za moci i dominacijom,~ok se najfiniji tip iioueka predaje otkrivanju smisla i cilja samogzzvota. On poku§ava da otkrije tajne prirode. Takvog coueka jazovem filozofom i mada ne postoji couek. koji je mudar u svakompogledu, on zna ceniti mudrost kao kljuc za prirodne tajne.

M~~a su mnogi bili svesni Pitagorinih aspiraeija niko van Brat-stva nije znao d t 1· ·1· . .. e a je 1 1 gramee njegovog uspeha. Svaki clan skoleje morao da se zakune da nikada nece otkriti spoljasnjem svetu

9

10 FERMAOVA POSLEDNJA TEOREMA

ni jedno od njihovih matematickih otkrica. Oak i posle Pitago-rine smrti, jedan clan Bratstva je udavljen zbog krsenja zakletve -on je javno objavio otkrice novog geometrijskog tela dodekaedra,konstruisanog od dvanaest pravilnih petouglova. TajanstvenostPitagorejskog bratstva je jedan od razloga zbog kojeg su se ispre-dali mitovi u vezi sa cudnim ritualima koje su oni mozda sprovo-dili, a slicno tome, ostalo je i malo pouzdanih izvora 0 njihovimmaternatickim dostignuCima.

Ono sto se sigurno zna je da je Pitagora ustanovio etos kojije promenio kurs matematike. Bratstvo je prakticno bilo religij-ska zajednica i jedan od idola koje su oni obozavali bio je Broj.Razumevsi relacije izrnedu brojeva, verovali su da mogu otkritiduhovne tajne univerzuma i pribliziti sebe bogovima. Bratstvoje posebno usmeravalo paznju na proucavanje brojeva koji sluzeza prebrojavanje (1,2,3···) i njihovih delova (razlomaka). Ovibrojevi za prebrojavanje se nazivaju celi brojevi i zajedno sa raz-lomcima (odnosima celih brojeva) cine racionalne brojeve. Medusvim brojevima Bratstvo je trazilo one sa specijalnim znacenjem,a najinteresantniji medu njima su se zvali "savrseni" brojevi.

Prema Pitagori, savrsenost broja je zavisila od njegovih deli-laca (to su brojevi koji bez ostatka dele pocetni broj). Na primer,delioci broja 12 su 1, 2, 3, 4 i 6. Kada je zbir delilaca broja veCiod samog broja, on se naziva "ekscesivan" broj. Stoga, 12 je ek-scesivan broj, jer je suma njegovih delilaca 16. S druge strane,kada je suma delilaca nekog broja manja od samog broja, takavbroj se naziva "defektan". Tako je 10 defektan broj, jer je zbirnjegovih delilaca (1, 2 i 5) samo 8.

Najznacajniji i najredi su oni brojevi Ciji zbir delilaca dajetacno taj broj i oni se nazivaju "savrseni" brojevi. Broj 6 [madelioce 1, 2 i 3 te je zbog toga savrsen broj, jer je 1 + 2 + 3 :::::6.Sledeci savrsen broj je 28, zato sto je 1 + 2 + 4 + 7 + 14 :::::28.

Osim sto je imala maternaticki znacaj za Bratstvo, savrsenost

brojeva 6 i 28 je bila priznata i od drugih kultura koje su primetile

1. "Mislim da CU ovde stati"

da Mesec obide oko Zemlje za 28 dana i koje su smatrale da jeBog stvorio svet za 6 dana. U Boijem gradu, sveti Avgustin jedokazivao da, madaje Bog mogao da stvori svet odjednom, odlucioje da to uradi za sest dana da bi kroz to reflektovao savrsenostuniverzuma. Sveti Avgustin je primetio da sest nije savrsen brojzato sto ga je Bog odabr:ao, vec zato sto je savrsenost inherentnasamoj prirodi broja 6: "Sest je broj savrsen za sebe, ne zato sto jeBog stvorio svet za sest dana; pre je obrnuto istina. Bog je stvoriosvet za sest dana zato sto je to savrsen broj. I ostao bi savrsencak i da ceo posao od sest dana nije postojao."

Kako celi brojevi postaju veci, postaje sve teze naci savrsene~~oje~:. TreCi savrsen broj je 496, cetvrti je 8128, peti je 33 550 3361.sesti Je. 8589869056. Osim sto predstavljaju zbir sopstvenih de-l~laca, P1~agora je primetio da svi savrseni brojevi poseduju neko-hko drug1.h .eleg~ntnih osobina. Na primer, savrseni brojevi uvekpredstavljaju zbir nekoliko uzastopnih celih brojeva. Tako imamo:

6=1+2+3

28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + + 30 + 31

8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + + 126 + 127

Pitagora se zaba li _. .P

ro ti k . v jao savrsenim brojevima, ali nije bio zadovoljanS im sa upljanj ih ...je da tkrii .. jem OV1 .spec1Jallllh brojeva; umesto toga zeleo

je bilao dar~J: nJ1h~vo dublje znacenje. Jedna od njegovih idejaBrojevi 4 (J

2:;)rsenost usko povezana sa urnnoskom broja dva.

kao stepeni d ik 8 P x 2 x 2), 16 (2 x 2 x 2 x 2) itd. su poznatibroj dvoJ.k. kV?J e 1 mogu se napisati kao 2n, gde n predstavlja

1 oje se mnoza S·· ...zato sto je zbir nf . .. VI OV1stepeni dvojke lllSU savrseni,njihovih delilaca uvek za jedan manji od samog

11

12 FERMAOVA POSLEDNJA TEOREMA

broja. avo ih cini sarno pomalo defektnim:

22 = 2 x 2 = 4

23 = 2 x 2 x 2 = 824 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

delioci 1,2

delioci 1,2,4delioci 1,2,4,8delioci 1,2,4,8,16

zbir = 3

zbir = 7

zbir = 15

zbir = 31

Dva veka kasnije Euklid ce fino uobliciti Pitagorinu vezu izmeduovakvih brojeva i savrsenosti. Euklid je otkrio da su savrsenibrojevi uvek proizvod dva broja, od kojih je jedan step en dvojke,a drugi sledeci stepen dvojke minus 1. Tako imamo,

6 = 21 X (22 - 1)

28 = 22 x (23- 1)

496 = 24 x (25 - 1)

8128 = 26 x (27- 1)

Danasnji kompjuteri su nastavili sa trazenjem savrsenih brojeva ipronalaze tako ogromne prim ere kao sto je

2216090 x (2216091 - 1)

broj sa preko 130000 cifara, koji zadovoljava Euklidovo pravilo .Pitagora je bio fasciniran bogatstvom formula i osobina koje

su imali savrseni brojevi i postovao je njihovu suptilnost i skrivenulogiku. Na prvi pogled, savrsenost je relativno prost koncept zarazumevanje, pa ipak anticki Grci nisu uspeli da razumeju nekeod fundamentalnih momenata teme. Na primer, mada ima pu~~brojeva ciji je zbir delilaca za jedan manji od samog broja, l.llda kazemo - sarno su pomalo defektni, izgleda kao da ne postojebrojevi koji bi bili pomalo ekscesivni. Grci nisu bili u stanju dapronadu ni jedan broj cija je suma delilaca za jedan veca od sa-mog broja i nisu mogli da objasne zasto je to tako. Jos gore,

, d t ti"1. "Mislim da ell Oil e s a, 1- 13-----

. ko nisu uspeli da pronadu pomalo ekscesivne brojeve, nisu mo-l~i da dokazu da takvi brojevi ne postoje. Misljenje da navodno negostojc pomalo ekscesivni brojevi nije imalo nikakvog prakticnog~nacaja; bez obzira na to, bio je to problem koji je mogaodaosvctli prirodu brojeva i stoga je bilo vredno studirati ga. Takvezagonetke su zanimale Pitagorejsko bratstvo, a dye i po hiljade go-dina kasnijc, maternaticari jos uvek ne mogu da dokazu da pomaloekscesivni brojevi ne postoje.

Sve je broj

Pored proucavanja relacija ruedu brojevima Pitagoru je takodezanimala veza izmedu brojevai prirode. On je shvatao da su pri-rodne pojave odredene zakonima, a da ti zakoni mogu biti opisanimatematickim jednacinarna. Jedna od prvih veza koju je otkriobila je fundamentalna relacija izmedu harmonije u muzici i har-monije brojeva.

Najvazniji instrument u ranoj helenskoj muzici bio je tetra-kord ili lira sa. cetiri zice. Jos pre Pitagore muzicari su cenili teposebne tonove koji, kada zvuce zajedno, stvaraju prijatan utisaki podesavali su lire tako da trzanje dye zice generise takvu har-moniju. Medutim, rani muzicari nisu shvatili zasto su odredenenote harmonicno i nisu imali objektivan sistem za stimovanje svo-jilt instrumenata. ani su podesavali svoje lire prosto culom sluhasve dok se stanje harmonije ne bi uspostavilo - to je bio proceskoji je Platan nazivao tortura kljuceva. Jarnblikus, uceni covekiz cetvrtog veka, koji je napisao devet knjiga 0 Pitagorinoj sekti,opisu.i(~ kako je Pitagora dosao do otkrica principa na kojem jePociv:~la hiHlnOnija u muzici:

Jednom je bio potpuno obuzet mzmisljanjem 0 tome kako dapronaue rnehanicko pomagalo za cu!o sluha, koje bi bilo ipouzdano; pa1netno. smisljeno. Takvo pomagalo bilo bi slicno sestarima,enJznrna z opiickim instrumentima napravljenim za iiulo vida.

14 FERMAOVA POSLEDNJA TEOREMA

Culo dodim je vee imalo vage i koncept teiine i mere. Imajucineku boiansku sreeu on je slucajno prolazeci pored mdionice nekogkooaca, CUO kako cekiei udamju po gvoiau proizoodeci mznovrsnisklad odjeka, osim u slucaju jedne kombinacije zvukova.

Sudeci po Jamblikusu, Pitagora je istog trenutka utrcao ukovacnicu da bi proucio harmoniju cekica, Primetio je da vecinacekica moze udarajuci simultano da proizvodi harrnonican zvuk,dok je bilo koja kombinacija, koja je ukljucivala jedan odredenicekic, uvek generisala neprijatnu buku. On je analizirao cekice ishvatio da oni koji zvuce harrnonicno imaju prostu matematickurelaciju - kolicnici njihovih masa su bili prosti razlomci. To biznacilo da su cekici polovine, dye trecine ili tri cetvrtine tezineodredenog cekica zajedno proizvodili harrnonicne zvuke. S drugestrane, cekic koji je generisao disharmoniju, kada je udarao za-jedno sa bilo kojim drugim cekicem, imao je tezinu koja nije za-dovoljavala prostu relaciju prema drugim masama.

Pitagora je otkrio da jednostavni numericki odnosi imaju za-slugu za harmoniju u muzici. Naucnici malo osporavaju tacnostJ amblikusove price, ali ono sto je vise izvesno je to kako je Pitagoraprimenio svoju novu teoriju odnosa u muzici na liru, proucavajuciosobine pojedinih zica. Prostim trzajem zice generise se stan-dardni ton koji se proizvodi celom duzinom zice. Ako se zicafiksira na odredenom mestu moguce je generisati druge vibracijei tonove, kao sto je ilustrovano na slici 1. I sto je od najvecegznacaja, harrnonicni tonovi se pojavljuju na tacno odredenim me-stima. Na primer, fiksirajuci zicu na mestu koje je tacno polovinaduzine, a zatim trzanjem zice, generise se ton koji je za oktavu visii koji je u harmoniji sa originalnim tonom. Slicno tome, fiksirajuCizicu na mestima koja su tacno trecina, cetvrtina ili petina duzine,proizvode se drugi harrnonicni tonovi. Medutim, fiksirajuci zicuna mestu koje nije prost a frakcija duzine cele zice, generise se tonkoji nije u harmoniji sa ostalim tonovima.

Pitagora je prvi otkrio matematicki zakon koji je odredivao

1. "Mislim da cu ovde stati"

Slika 1: Otvor •. ko i . .s •. . ena zica oja slobodno vibrira generise osnovni ton. Akoe Zica fikslra tac I'"vis' . cno na po ovim duzine, ton koji se generise je za oktavu

II u harmoniJ'i sa " I'bit'. ongma rum tonom. Ostali harrnonicni tonovi moguI genensani pom . 'k . .prost f' .. eranjem tac e fiksiranja na druge pozicije, koje su

e rakcIJe (na pri ",. .primer trecina, cetvrtma, petma) duzine cele zice.

15

16 FERMAOVA POSLEDNJA TEOREMA

fizicki fen omen i demonstrirao postojanje fundamentalne relacijeizmedu matematike i nauke. Od ovog otkrica, naucnici su tra-gali za matematickim zakonima koji su odredivali svaki ponaosobfizicki proces i pronalazili da se brojevi na razne nacine i iznenadapojavljuju u prirodnim fenomenima. Na primer, pokazuje se dajedan odreden broj karakterise duzine meandrirajucih reka. Pro-fesor Hans Henrik Stolum, geograf sa Univerziteta u Kembridzu,izracunao je odnos izrnedu stvarne duzine reka od izvora do uscai direktne duzine u vazdusnoj liniji. I mada taj odnos varira odreke do reke, prosecna vrednost je nesto malo veca od 3, sto cereci da je prava duzina otprilike tri puta veca od direktne duzine.U stvari, taj odnos je priblizno 3.14, sto je blisko vrednosti brojait , odnosu obima kruznice i njenog precnika.

Broj 7r je originalno izveden iz geometrije krugova, a ipak se po-javljuje stalno i nanovo u raznim naucnim okolnostima. U slucajuodnosa recnih duzina, pojava broja 7r je rezultatat bitke izrnedureda i haosa. Ajnstajn je prvi primetio da reke imaju tendencijuka sve vecern krivudanju zato sto mala krivina stvara brze strujena spoljasnjim obodima, a ovo dalje vodi ka vecoj eroziji iostrijimkrivinama. Sto je ostrija krivina, to su brze struje na spoljasnjimobodima reke, vece su erozije, reka vise zaokrece i tako dalje.Medutim, postoji prirodan proces koji umanjuje haos: povecanjekrivudanja ce dovesti do priblizavanja dye krivine i, praktic~o:do kratkog spajanja. Reka ce postati pravija i krivina ce bltlostavljena na jednoj strani, forrnirajuci jezero u obliku slova U.Ravnoteza izrnedu ova dva suprotna faktora vodi ka prosecnomodnosu 7r izrnedu stvarne duzine i direktnog rastojanja od izvora

do usca. Odnos 7r se najcesce nalazi kod reka koje teku prekoravnica kao sto su one u Brazilu ili sibirskim tundrama.

Pitagora je shvatao da su brojevi skriveni u svemu, od harmo-nija u muzici do orbit a planeta i ovo ga je navelo da objavi: '.'s:,eje broj". Istrazujuci smisao matematike, Pitagora je razvijao jezl~koji bi omogucio njemu samom, a i drugima da opisu prirodu unl-

1. "Mislim de GU ovde stati" 17

verzuma. Od tada naovamo, svaki proboj u matematici davao jenaucnicima recnik koji im je bio potreban da bolje objasne pojaveaka sebe. U stvari, razvoj matematike je inspirisao revolucije unauci

Osim sto je otkrio zakon gravitacije, Isak Njutn je bio i mocanmatematicar. Njegov najveci doprinos matematici bio je pronala-zak diferencijalnog i integralnog racuna, ciji su jezik fizicari ka-snije koristili da bi bolje objasnili zakone gravitacije i pri resavanjugravitacionih problema. Njutnova klasicna teorija gravitacije ne-taknuta j~ prezivela vekove sve dok nije bila zamenjena Ajnstaj-novom opstorn teorijom relativnosti, koja je razvila detaljnije i al-ternativno objasnjenje gravitacije. Ostvarenje Ajnstajnovih idejabilo je ornoguceno novim matematickim konceptima, koji su muobezbedili finiji jezik za njegove slozene naucne misli. Danasje objasnjenje gravitacije ponovo pod uticajem novih dostignucau matematici. Vrlo sveza kvantna teorija gravitacije povezanaje sa razvojem rnatematickih struna, teorije u kojoj geometrij-ske i toploske karakteristike supljeg cilindra izgleda da najboljeobjasnjavajn sile prirode.

Od svih veza izrnedu brojeva i prirode, koje su studirali clanoviBr~tstva, najvaznija je relacija koja nosi irne svog tvorca. Pita- Vgorma teorema nam daje jednakost koja vazi za sve pravougletrouglove i koja, stoga, definise i sam pray ugao. Zauzvrat, pray ?ugao definis« pojam 'perpendikularnosti', tj. relacije vertikalnog \..A Vprema ~orizontalnom i, napokon, relaciju izrnedu tri dimenzije~a~a bhskog univerzuma. Maternatika, pomocu pravog ugla, de- J

lllse neposrednu strukturu prostora u kome zivimo.To je veorna duboko saznanje, a ipak matematika potrebna da

~: shvati Pitagorina teorema je relativno jednostavna. Da bi sezkumela, prosto treba poceti merenjem duzine dye krace stranene og

drate p~avo2uglog trougla (x i y), zatim izracunati njihove kva-kr .. ~x , y ). Tada sabrati ove brojeve (x2 + y2) da bi se dobioaJnJl b . .

rOJ' Ako pronadete ovaj broj za trougao prikazan na

18 FERMAOVA POSLEDNJA TEOREMA

sliei 2, odgovor je 25.

yz

x

x=3, y=4, z=5X2+ y2=z29+16=25

Slika 2: Za: sve pravougle trouglove vazi Pitagorina teorema.

Sada mozete izmeriti najduzu stranieu z, takozvanu hipote-nuzu, i izracunati kvadrat ove duzine. Upecatljiv rezultat je tajsto je ovaj broj z2 identican onom kojeg ste upravo izracunali, tj.52 = 25. To se moze iskazati ovako:

U pravouglom trouglu, kvadrat nad hipotenuzom jed-nak je zbiru kvadrata nad ostale dye straniee.

Ili drugim recima (bolje receno simbolima):

X2 + y2 = z2 .

Ovo je svakako slucaj za trougao na sliei 2, ali ono sto je znacajnO

je to da je Pitagorina teorema istinita za svaki pravougli trougaO

1. "Mislim de. CU ovde steti' 19

+»koji mozete zamisliti. To je univerzalni zakon matematike i mozetese osloniti na njega kad god naiciete na trougao sa pravim uglom.I obratno, ako imate trougao koji zadovoljava Pitagorinu teoremu,mozete biti potpuno sigurni da je to pravougli trougao.

Na ovom mestu potrebno je zapaziti da je ova teorema, madace zauvek biti povezana sa Pitagorom, zapravo bila koriscena odstrane Kineza i Vavilonaea hiljadu godina ranije. Meciutim, ovekulture nisu znale da je ova teorema istinita za svaki pravouglitrougao. Bila je sigurno istinita za trouglove koje su oni testirali,ali nisu imali nacina da pokazu da je istinita za sve pravougletrouglove koje nisu testirali. Razlog sto Pitagora ima pravo nateoremu je taj sto je on bio prvi koji je demonstrirao univerzalnostove istine.

Ali kako je Pitagora znao da je teorema istinita za sve pravo-ugle trouglove? Nije mogao ni da se nada da moze testirati bes-k?~acno mnogo vrsta pravouglih trouglova, a jos uvek je mogaobiti sto proeenata siguran da je teorema apsolutna istina. Razlogovo~ samopouzdanju lezi u koneeptu matematickog dokaza. Tra-~anJe za ~~~ematicki:n dokaz~m je traganje za znanjem koje je

~ps~lutn!Je od znanja nagornilanog od strane bilo koje druge di-scipline. Zelja za dostizanjem univerzalne istine metodom dokazaJe o.no sto je pokretalo matematicare poslednje dye i po hiljadegodma. :=JApsolutni dokaz

Prica 0 Fermao' I d . .zorn k .. vo~ pos e njoj teoremi vrti se oko traganja za doka-od k OJI nedostaJe. Matematicki dokaz je daleko mocniji i strozi

oneepta dokaza ko i . bic ..ziku ili c k OJImi 0 icno koristimo u svakodnevnom je-Razlika ~ od koneepta dokaza po shvatanju fizicara ili hernicara,

iZmeciu na -. .duboka' d i uenog I matematickog dokaza je i suptilna i1 0 IZuzetne - t"tematicar d Pi vaznos I je za razumevanje rada svakog rna-

a 0 Pltagore naovamo.

20 FERMAOVA POSLEDNJA TEOREMA-Klasicni maternaticki dokaz pocinje serijom aksioma, postavki

za koje se pretpostavlja da su istinite ili su same po sebi oCigledne.Tada, dajuci logicke argumente, korak po korak, moguce je doCido zakljucka. Ako su aksiome tacne i ako je logika ispravna, tadace zakljucak biti nesporan. Ovaj zakljucak se naziva teorema.

Matematicke teoreme se oslanjaju na ovaj logicki proces i ied-nomdokazane ostaju istinite zauvek. Matematicki dokazi su ap-solutni. Da bi se uocila vrednost takvih dokaza, trebalo bi ihuporediti sa njihovim siromasnim rodakom naucnim dokazom. Unauci se predlozi hipoteza koja objasnjava fizicku pojavu. Akose opservacije pojave dobro slazu sa hipotezom, ovo postaje do-kaz u korist hipoteze. Dalje, hipoteza ne mora samo objasnjavatipoznatu pojavu, vec moze predvidati rezultat neke druge pojave.Mogu se izvesti eksperimenti koji ce testirati predvidajucu mochipoteze i ako hipoteza nastavi da bude uspesna to je onda samojos jedan dokaz vise koji je podrzava. Na kraju, kolicina dokaza semoze toliko povecati da hipoteza postaje prihvacena kao naucnateorija.

Medutim, dokaz naucne teorije nikada ne rnoze dostici isti ap-solutni nivo dokaza neke maternaticke teoreme: ona se prostosmatra vrlo verovatnom na osnovu postojecih dokaza. Takozvaninaucni dokaz se oslanja na opservaciju i percepciju od kojih suobe podlozne greskama i obezbeduju samo aproksimaciju istine.Kao sto je Bertrand Rasel istakao: "Mada moze zvucati paradok-salno, u svim egzaktnim naukama dominira ideja aproksimacije".Cak i najsire prihvaceni naucni 'dokazi' uvek u sebi sadrze rnalielement sumnje. Ponekad se ova sumnja smanjuje ali nikad nenestaje potpuno, dok se u nekim drugim okolnostima dokaz nakraju moze pokazati i pogresnim. Ova slabost u naucnorn dokaZU

dovodi do naucnih revolucija u kojima se jedna teorija, za kojuse pretpostavljalo da je tacna, zamenjuje drugom, koja maze bitisamo poboljsanje originalne teorije ili kojajoj moze biti kompletna

kontradiktornost.

1. "Mislim da cu ovde stati"

Na primer, traganje za fundamentalnim cesticarna materijeje dovodilo svaku generaciju fizicara do pobijanja ili, u najbo-Ijem slucaju, samo do poboljsanja teorije njihovih prethodnika.Moderno traganje za gradivnom jedinicom univerzuma pocelo jepocetkom devetnaestog veka, kada je niz eksperimenata naveoDzona Daltona da postavi hipotezu da je sve sastavljeno od po-jedinacnih atoma i da su atomi fundamentalni. Na kraju veka, J.J. Tomson je otkrio elektron, prvu poznatu subatomsku cesticu,te tako atom vise nije bio fundamentalan.

Na samom pocetku dvadesetog veka fizicari su razvili "kern-pletnu" sliku atoma - jezgro koje se sastoji od protona i neutronaoko kojeg kruze elektroni. Protoni, neutroni i elektroni su tadapostali kompletan skup sastojaka univerzuma. Tada su eksperi-menti sa kosmickim zracima otkrili postojanje drugih fundamen-talnih cestica - piona i miona. Jos veca revolucija je dosla otkricernant~materije 1932: godine - saznanjem 0 postojanju antiprotona,antmeutrona, antielektrona itd. Tada fizicari cesticari nisu visemogli biti si~~rni koliko razlicitih cestica postoji, ali su ipak moglipouzda_no reci ~a su ove cestice zaista fundamentalne. Tako je bilosve do sezde~etlh godina ovog veka, kada je roden koncept kvarka.Sam. proton Je navodno izgraden od naelektrisanih kvarkova isto~O.I ne~tron i pion. Pouka price je ta da su fizicari stalno'me-njali svoju sliku univerzuma, a ponekad je brisali i pocinjali pot-puno iznova U I d ' . d kadib. k . s e ecoj e I, sam koncept cestice kao tackastog

o Je ta mo - - k bi .. tih ze ca It! zamenjen idejom cestica kao struna onihIS I struna koje 'b I' . .. ... 'da t mogu naj 0 Je objasniti gravitaciju. Teorija je ta

s rune T' diod '1" 'r.nl ijar It I deo od milijarditog dela od milijarditog delarrn IJardltog del t d -' (su tackaste a ~e. ra.u uzm~_.tako ~ale da se cine kao da

proiz d' d) mogu vibrirat] na razlicite nacine, a svaka vibracijavo I rugu c ti 0 .jedna t ~~ ICU. vo je analogno Pitagorinom otkricu da

s runa na liri m - . . l' -'od tog kak '. oze proizvesti raz icite tonove u zavisnostia 0 vibrira.

p'isac naucne f t tik .an as 1 e I futurolog Artur Klark je napisao da

21

22 FERMAOVA POSLEDNJA TEOREMA-ako jedan eminentni profesor tvrdi da je nesto bez sumnje tacno,velika je verovatnoca da ce se to pokazati netacnim sledeceg dana.Naucni dokaz je neminovno nestabilan i loseg kvaliteta. S drugestrane, matematicki dokaz je apsolutan i potpuno bez sumnje.Pitagoraje umro potpuno uveren u znanje da ce njegova teorema,koja je bila istinita 500 godina p.n.e., ostati istinita zauvek.

Nauka funkcionise po principu pravnog sistema. Za teoriju sepretpostavlja da je istinita ako postoje pokazatelji koji je dokazuju'bez svake razumne sumnje'. Matematika se ne oslanja na rezul-tate nepouzdanih eksperimenata nego je izgradena na cvrstoj 10-gici. avo je demonstrirano problemom 'defektne sahovske table',ilustrovanim na slici 3.

Imamo sahovsku tablu sa uklonjena dva polja u suprotnimuglovima, tako da su preostala sarno 62 kvadrata. Sada uzmemo31 dominu takvog oblika da svaka domina prekriva tacno dva kva-drata. Pitanje glasi: da li je moguce poredati 31 dominu tako daone pokriju sva preostala polja (62) na sahovskoj tabli?

Postoje dva prilaza problemu:

(1) Naucni prilazNaucnici bi pokusali da rese problem pornocu eksperimenta i postobi probali nekoliko desetina mogucih kombinacija, otkrili bi da nijedna ne odgovara. Na kraju, naucnici bi verovali da postoji ~~-voljno dokaza da bi se moglo reci da se tabla ne moze prekntLMedutim, oni nikada ne mogu biti sigurni da je ovo zaista ta~ozato sto moze postojati neka kombinacija koja nije testirana ikopresava' problem. Postoje milioni razlicitih kombinacija i moguceje sarno istraziti mali deo njih. Zakljucak da je trazeni zadataknemoguce obaviti baziran je na eksperimentu, ali naucnik ce m.o~rati da zivi sa cinjenicom da njegova teorija jednog dana rnoze bitiopovrgnuta.

(2) Matematicki prilaz

"Mislim da cu ovde stati"1. 23

Slika 3: Problem defektne sahovske table.

Mate.~~tiCar pokusava da odgovori na pitanje razvijajuci logicko~a~~~slJanje koje ce izroditi zakljucak koji je bez sumnje tacan i

lOJl:e ostati neopovrgnut zauvek. Jedno takvo razrnisljanje jes edece:

• Oba ugaona polja uklonjena sa sahovske table su bele boje.Stoga sada imamo 32 crna polja i sarno 30 belih.

• Svaka domina prekri~a dva susedna polja, a susedna poljasu uvek razlicitih boja, tj. jedno crno i jedno belo.

24 FERMAOVA POSLEDNJA TEOREMA-• Zato, bez obzira na to kako su rasporedene, prvih 30 domina

poredanih na tablu mora prekriti 30 belih kvadrata i 30 crnihkvadrata.

• Posledica toga je da ce vas ovo uvek ostavljati sa jednomdominom i nepopunjena dva crna polja.

• Ali, setimo se, sve domine prekrivaju dva susedna kvadratnapolja, a susedna polja su suprotna po boji. Posto su dvapreostala polja iste boje ona ne mogu biti prekrivena jednompreostalom dominom. Zakljucujemo da je prekrivanje tablenemogucel

Iz ovog dokaza se vidi da bilo koja od mogucih kombinacija do-mina nece .uspeti da prekrije defektnu sahovsku tablu. Na slicannacin, Pitagoraje konstruisao dokaz koji pokazuje da svaki mogucipravougli trougao zadovoljava njegovu teoremu. Za Pitagoru, kon-cept matematickog dokaza bio je svetinja, a upravo je metod do-kaza bio taj koji je omogucio Bratstvu da otkrije toliko toga. Naj-skoriji moderni dokazi su neverovatno komplikovani i pracenje nji-hove logike bilo bi nernoguce za neupucene, ali na srecu u slucajuPitagorine teoreme, razmisljanje je relativno jednostavno i osla-nja se na znanje matematike iz osnovne skole. Dokaz je skiciranu Dodatku 1.

Pitagorin dokaz je neoboriv. On pokazuje da je njegova teo-rem a istinita za svaki pravougli trougao u univerzumu. Pronala-zak je bio od takve vaznosti da je stotina volova bila zrtvovan~ ~znak zahvalnosti bogovima. Otkrice je bilo preokret u matematl~1i jedan od najvaznijih proboja u istoriji civilizacije. Znacaj je .~I~

dvostruk. Prvo, razvijena je ideja dokaza. Dokazan matematlc~1rezultat poseduje dublju istinu od bilo koje druge istine zato sto Jerezultat postepene (korak-po-korak) logike. Mada je filozof T~lesvec bio otkrio neku vrstu primitivnog geometrijskog dokaza, Plt~-gora je razvio ideju mnogo dalje i bio je u mogucnosti da dokaze

1. "Mislim de CU ovde sieti"

mnogo genijalnije matematick~ tvrdnje. D:uga kons~~v~nca Pita-orine teoreme je ta da povezuje apstraktni maternaticki metod sa

~eCim opipljivim. Pitagora je pokazao da istine matematike mogubiti primenjene na naucni svet i da mu mogu obezbediti logickuosnovu. Matematika daje nauci rigorozan pocetak, a na ovu sta-bilnu osnovu naucnici dodaju neprecizna merenja i nesavrsene op-servacije.

Beskonacno mnogo triplet a

Pitagorejsko bratstvo je udahnulo novu snagu matematici svojimstrasnim traganjem za istinom pornocu dokaza. Vesti 0 njihovomuspehu su se rasirile, a ipak detalji 0 njihovim otkricima su ostalidobro cuvana tajna. Mnogi su trazili pristup unutar svetilistaznanja, ali su sarno briljantni umovi bivali prihvatani. Jedan ododbijenih bio je i kandidat po imenu Silon. Silon se veoma razlju-tio zbog ovog sramnog odbijanja i dvadeset godina kasnije on se iosvetio. Za vreme sezdeset sedme olimpijade (510. p.n.e.) izbilaje pobuna u obliznjem gradu Sibarisu. Telis, voda pobunjenikakoji su pobedili, je otpoceo varvarsku kampanju kaznjavanja svihonih koji su podrzavali prethodnu vladu, sto je mnoge nateraloda potraza zastitu u Krotonu. Telis je zatrazio da se izdajnicivrate u Sibaris da bi zasluzeno bili kaznjeni, ali su Milo i Pitagoranag~vorili gradane Krotona da ustanu protiv tiranina i zastite iz-beghce. Telis je odmah sakupio vojsku od 300 000 ljudi i krenuo je~a Kroton gde je Milo branio grad sa 100 000 naoruzanih gradana.

dzuzetan dar vojskovode doneo je Milu pobedu posle sedamdesetana rata a ka kt I· . .na S' .' 0 a zas uzene kazne skrenuo je tok reke Kratis

ibaris da bi I" '.' dU pop avio I unistio gra .svad pr~os kraju rata, grad Kroton je i dalje bio u haosu zbogda ,e 0 0 ~oga sta bi trebalo uraditi sa ratnim plenom. U strahuse ~:l'ze~IJ,a. pripasti pitagorejskoj eliti, obican narod je poceo da

1. ec je postojala rastuca ljutnja medu masama zbog toga

25

26 FERMAOVA POSLEDNJA TEOREMA.-sto je tajno Bratstvo i dalje cuvalo svoja otkrica, ali nista se nebi desilo da se Silon nije pojavio kao glas naroda. On se uzdaou strah, paranoju i zavist masa i poveo ih je u misiju unistenjanajbriljantnije skole matematike koju je svet ikada video. Milovakuca i skola koja joj je pripadala bile su opkoljene, sva vratazakljucana i zablokirana sipkarna da bi se sprecilo bekstvo i tadaje otpocelo paljenje. Milo se nekako izborio i uspeo da pobegneiz pakla, ali je Pitagora, zajedno sa mnogim svojim sledbenicimanastradao.

Matematika je izgubila svog prvog velikog heroja, ali pitago-rejski duh je nastavio da zivi. Brojevi sa svojim istinama su be-smrtni. Pitagora je pokazao da je matematika, vise nego bilokoja disciplina, tema koja nije subjektivna. Njegovim sledbeni-cima nije bio potreban njihov ucitelj da bi odlucili 0 ispravno-sti neke odredene teorije. Istinitost teorije je bila nezavisna odneCijeg misljenja, Umesto toga, matematicka logika je postala su-dija istine. avo je bio Pitagorin najveci doprinos civilizaciji - nacindostizanja istine koji je izvan nepouzdanosti Ijudske procene.

Posle smrti svog osnivaca i nakon Silonovog napada, Bratstvoje napustilo Kroton i poslo u druge gradove Velike Grcke, ali pro-ganjanje je nastavljeno, pa su na kraju mnogi od njih morali da senastane u stranim zemljama. Ova nasilna migracija je ohrabrilaPitagorejce da sire svoje matematicko ucenje kroz ceo anticki svet.Pitagorini sledbenici su osnovali nove skole i ucili su svoje ucenikemetodi logickog dokaza. Pored njihovog dokaza Pitagorine te-oreme, takode su objasnili svetu tajnu pronalazenja takozvanihpitagorejskih tripleta.

Pitagorejski tripleti su kombinacija tri cela broja koja zadovo-Ijavaju Pitagorinu jednacinu: X2 +y2 = z2. Na primer, Pitagorinajednacina je tacna za x = 3, y = 4 i z = 5:

32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25 .

Jos jedan nacin da se zamisle pitagorejski tripleti je kombinacija

1. "MisJim da eu ovde stati"- 27

+[9-11++

5225

Slika 4: Pronalazenje celobrojnih resenja koja zadovoljavaju Pitagorinuteoremu se moze zamisliti kao pron alazenje takva dva kvadrata koji semogu 'sabrati' da bi se formirao treci kvadrat. Na primer, kvadratsacinjen od 9 manjih kvadratica moze se dodati na kvadrat od 16 is-tih takvih kvadratica i zatim poredati tako da formira treci kvadratsacinjen od 25 kvadratica.

kva~~ati~~. Ako se ima jedan 3 x 3 kvadrat, nacinjen od 9 kva-dratlca, I jedan 4 x 4 kvadrat, sacinjen od 16 takvih kvadraticatada svi kvadratici zajedno mogu biti poredani tako da forrniraju5 .x. 5 kvadrat, sacinjen od 25 kvadratica, kao sto je prikazano naslici 4 Pitag .. - 1 l' d .l' orejci su ze e I a pronadu ostale pitagorejske tri-~ ~~e, ostale kvadrate koji se mogu 'sabrati' da bi formirali treci,eci kvadrat. Jos jedan pitagorejski triplet je x = 5 y 12 i

z == 13: '

52 + 122 = 132, 25 + 144 = 169 .

Nesto v ". .P't e? pitagoreJski triplet je x = 99 y = 4900 i z = 490l.

I agoreJski tripl ti oostai di '..,. . ..hovo e I pos aju re I kako se brojevi povecavaju 1nJ1-god ;~on~laz:_nje ~ostaje sve teze i teze, Da bi otkrili koliko jeZa njih guce VIse tnpleta Pitagorejci su izmislili rnetodican nacin

ovo pronalazenje i, ucinivsi to, takode su demonstrirali da

28 FERMAOVA POSLEDNJA TEOREMA.-postoji beskonacan broj pitagorejskih tripleta.

Od Pitagorine teoreme do Fermaove poslednje teoreme

Pitagorina teorema i beskonacan broj njenih tripleta obradeni suu knjizi E. T. Bela Poslednji problem, knjizi iz biblioteke kojaje skrenula paznju mladom Endruu Vajlsu. I mada je Bratstvodostiglo kompletno razumevanje Pitagorejskih triplet a, Vajls jeuskoro otkrio da ova naocigled nevina jednacina, X2 + y2 = z2,ima svoju mracniju stranu - Belova knjiga je opisivala postojanjematematickog monstruma.

U Pitagorinoj jednacini, sva tri broja, x, y i z su podignuta nakvadrat (tj. X2 = X X x):

Medutim, knjiga je opisivala srodnu jednacinu u kojoj su x, y i zpodignuti na treci stepen (tj. x3 = X X X X x). Takozvani stepenx-a u ovoj jednacini nije vise 2, vec 3:

Pronalazenje celobrojnih resenja, tj. pitagorejskih tripleta, za ori-ginalnu jednacinu bilo je relativno lako, ali menjanje stepena sa '2'na '3' (kvadrat u kub) i pronalazenje celobrojnih resenja za srodnujednacinu izgledalo je nemoguce. Generacije maternaticara, ispi-sujuci citave sveske, nisu uspele da pronadu brojeve koji bi zada-voljavali jednacinu.

Sa originalnom 'kvadratnom' jednacinorn izazov je bio da sekvadratici iz prva dva kvadrata poredaju taka da forrniraju treCi,veci kvadrat. 'Kubna' verzija izazovaje u tome da se preurede dyekocke tako da formiraju trecu, vecu kocku. Navodno, bez obzirana to sa kojim se kockama pocne, kada se one preurede, rezultat jeili kompletna kocka sa nekoliko suvisnih kockica ili nekompletna

1. "Mislim da eu ovde stati"-

6'216

9'-1729-1

++. 512

Slika 5: Da Ii je moguce dodati kockice od jedne kocke na drugu da bi seformirala treca, veca kocka? U ovom slucaju, 6 x 6 x 6 kocka dodata najednu 8 x 8 x 8 kocku nema dovoljno kockica da bi se formirala 9 x 9 x 9kocka. Ima 216 (63) kockica u prvoj kocki i 512 (83) u drugoj, Ukupnoje 728 kockica, sto je za jedan manje od 93.

kocka. Najblizs sto se ikada primaklo savrsenom slaganju je ono ukojem je jedna kockica viska ili manjka. Na primer, ako pocnemosa ko~kama 63 (x3) i 83 (y3) i preuredimo kockice, onda imamosamo jednu kockicu manjka, pa da napravimo kompletnu 9 x 9 x 9kocku, kao sto je prikazano na slici 5.1 Pronalazenje tri broja koja zadovoljavaju kubnu jednacinu iz-

; :da.d~je nemoguce. Sto ce reci, izgleda da ne postoje celobrojna ./esenJa Jednacine

x3 + y3 = z3 .I dalje kn (t'. 4a 0 se stepen menja sa 3 (kub) na bilo koji drugi veci brojnem~ ',5,6 ... ), tada pronalazenje resenja jos uvek izgleda da jeJedn ~~ce. Izgleda kao da ne postoje celobrojna resenja za opstu

aClllu /

xn + yn = zn, za n vece od 2 .

29

30 FERMAOVA POSLEDNJA TEOREMA-Prostom zamenom broja 2 u Pitagorinoj jednacini za bilo koji veciceo broj, pronalazenje celobrojnog resenja se pretvara iz relativnojednostavnog u iznenadujuce tesko. U stvari, veliki Francuz izsedamnaestog veka, Pjer de Ferma, dao je zapanjujucu tvrdnjuda je razlog zbog kojeg niko ne uspeva da pronade neko resenjetaj sto resenja ne postoje.

Ferma je bio jedan od najbriljantnijih i najzanimljivijih mate-maticara u istoriji. On nije mogao proveriti beskonacno mnogobrojeva, ali je bio apsolutno siguran da ne postoji kombinacijakoja bi zadovoljila jednacinu, zato sto je njegova tvrdnja bila ba-zirana na dokazu. Slicno Pitagori, koji nije morao da proveri svakitrougao da bi demonstrirao ispravnost teoreme, Ferma nije moraoda proveri svaki broj da bi pokazao ispravnost svoje teoreme. Fer-maova poslednja teorema, kao sto je poznato, tvrdi da jednacina

nema celobrojnih resenja za n vece od 2. Citajuci poglavlja Beloveknjige Vajls je shvatio kako je Ferma postao fasciniran Pitagorinimradom i kako je na kraju poceo da proucava izmenjenu formuPitagorine jednacine. Tada je procitao kako je Ferma tvrdio dacak i kada bi svi matematicari sveta potrosili sve vreme trazeciresenje jednacine, oni ne bi uspeli da ga pronadu. Mora biti da jeVajls radoznalo okretao stranice, zadovoljno misleci da ce prouCitidokaz Fermaove poslednje teoreme. Medutim, dokaza nije bilo tu.Nije ga bilo nigde. Bel je zavrsio knjigu tvrdeci da je dokaz davnoizgubljen. Nije bilo nikakvog znaka 0 tome sta se moglo desiti,nikakve ideje 0 konstrukciji ili izvodenju dokaza. Vajls se nasao U

cudu, razljucen i uvucen u sve to. Bio je u dobrom drustvulPreko 300 godina mnogi od najvecih matematicara su pokusa-

vali da ponovo pronadu Fermaov izgubljeni dokaz i nisu uspeli.Buduci da je svaka generacija bila neuspesna, sledeca je postajalajos vise frustrirana i resena da uspe. Godine 1742, skoro jedanvek posle Fermaove smrti, svajcarski matematicar Leonard Ojler

1. "Mislim da CU ovde stati"- 31

. molio svog prijatelja Kleroa da pretrazi Fermaovu kucu, uJe za . . - k Nikaka k niI - 'u da je neki vrlo vazan papir JOSuve tu. I v zna ill-

~;:Jnije pronaden 0 tome kakav bi Fermaov dokaz mogao biti. Udrugom poglavlju saznacerno nesto vise 0 misterioznom Pjeru deFermau i 0 tome kako je izgubljena njegova teorema, ali zasada jedovoljno znati da je Fermaova poslednja teorema, problem koji jezaokupljao matematicare vekovima, zaplenila mastu mladog En-drua Vajlsa.

Sedeo je u biblioteci u ulici Milton desetogodisnjak, zagledanu najskandalozniji problem u matematici. Obicno je polovinateskoca u matematickom problemu u razumevanju pitanja, ali uovom slucaju to je bilo jednostavno - dokazati da z" + yn.= znnema celobrojnih resenja za n vece od 2. Endru nije bio zastrasensaznanjem da najbriljantniji umovi na planeti nisu uspeli da po-novo pronadu dokaz. Odmah se bacio na posao, koristeci sva svojaudzbenicka znanja, da pokusa da ponovo izvede dokaz. Mozda bimogao pronaci nesto sto su svi, izuzev Fermaa, prevideli. Sanjaoje da moze uzdrmati svet.

Trideset godina kasnije Endru Vajls je bio spreman. Stojeciispred auditorijuma u Institutu Isak Njutn, pisao je po tabli itada, pokusavajuCi da suzdrzi svoju radost, pogledao je u publiku.~.redavanje je dostizalo svoj vrhunac i publika je to znala. Jednoili dvoje potajno su uneli kamere u amfiteatar i blicevi su zacinilinjegove poslednje reci,

"hSa kre~om u ruci, okrenuo se poslednji put ka tabli. Posled-nJI nekohko linija logickog izvodenja kompletiralo je dokaz. Prvi~~t u p.reko tri veka Fermaov izazov je bio resen, Jos nekoliko

. cev~ je bljesnulo da uhvati ovaj istorijski trenutak. Vajls je is-PIsao hniju k . .se oja js sadrzala Fermaovu poslednju teoremu, okrenuo

prema publici i rekao: "Mislim da cu ovde stati". Dve stotinematematicar' I . -koj: a je ap audiralo i uzvikivalo u znak slave. Cak i oniren~~u ;redvi~eli sta rezultat moze biti, sirili su osmeh u nepove-

. osle tri decenije Endru Vajls je verovao da je ispunio svoj

32 FERMAOVA POSLEDNJA TEOREMA~

san i nakon sedam godina izolacije mogao je predstaviti svetu svojtajni rad. Medutim, dok je euforija ispunjavala Institut Isak Njutnnesreca je bila blizu da uzvrati udarac. Posto je Vajls uzivao u tre-nutku, on je, zajedno sa svima ostalima u amfiteatru, bio potpunonesvestan uzasa koji se priblizavao.

"Mislim de eu ovde steu"1. 33

Vajls je odrzao predavanje u Institutu Isak Njutn u Kernbridzu 23.juna 1993. Ovo je bio trenutak odmah po objavljivanju svog dokazaFermaove poslednJ·e teo 0 . dno sa svi . .. .. .. reme. n, zaje no sa svima u prostoriji, rnje III

sanJao 0 mori koja ga je ocekivala,