Skripta Ramnina i Prava

Математика 1, Факултет за информатика - Штип

Д-р Лидија Горачинова – Илиева, м-р Билјана Златановска, Лимонка Лазарова 67

Тема IV: Основни поими од аналитичка геометрија во простор

-Права;

-Рамнина.



IV Основни поими од аналитичка геометрија во простор: права и

рамнина

1. Општа равенка на рамнина

Нека Oxyz е декартов правоаголен координатен систем. Најпрво ќе ја одредиме

равенката на рамнина која е определена со една нејзина точка и ненулти вектор

нормален на неа.

n

0r - r M

0M

r

0r

O

Ако е дадена точка и ненулти вектор, тогаш постои еднозначно определена

рамнина која минува низ дадената точка и е нормална на дадениот вектор.

0000 ,, zyxM

nCBACBAn ,0,,, 222

zyxM ,, - произволна точка

Со менување на M во се менува и векторот MM 0 , но тој секогаш останува

нормален на n (бидејќи лежи во рамнината), па важи

(1)...... 00 MMn , т.е. 00 rrn

( r и 0r се радиус вектори на M и 0M соодветно). Условот (1) го задоволува секоја

точка M од рамнината , а ако M не лежи на рамнината , тој услов е нарушен.

Според тоа, со него се искажува својството на припадност на точките на рамнината,

т.е. условот е исполнет за сите точки од рамнината , а за точките кои се наоѓаат

надвор од рамнината , условот не важи. Затоа природно е, овој услов да го земеме

како равенка на рамнина во векторска форма. Изразувајќи го векторот

0000 ,, zzyyxxMM преку дадените координати го добиваме и аналитичкиот

израз, т.е. координатната форма на равенката на рамнината .

(2) ............. 0000 zzCyyBxxA .



Пример: Да се најде равенката на рамнината што минува низ точката

5,1,20 M и е нормална на векторот 2,3,1 n .

01123

0521321

zyx

zyx

Секоја равенка на рамнина во координатна форма може да се запише во облик:

(3) .............. ,0 DCzByAx каде што 000 CzByAxD .

Значи, секоја равенка на рамнина може да се претстави со линеарна равенка

во однос на координатите yx, и z , но важи и обратното, т.е. дека множеството од сите

точки zyx ,, што ја задоволуваат равенката (3), (каде што CBA ,, и D се четири

дадени реални броеви, при што барем еден од CBA ,, не е нула) определува една

рамнина. За равенката (3) ќе велиме дека е општа равенка на рамнина. Некои нејзини

специјални случаи се:

i) 0

0

CzByAx

D

Тогаш 0,0,0 zyx е едно нејзино решение, па имаме дека во

овој случај рамнината минува низ координатниот почеток.

ii) 0

0

DCzBy

A

Тоа е рамнина нормална на CBn ,,0 . Но CBn ,,0 е нормален

на векторот 0,0,1i , значи оваа рамнина е паралелна со x - оската.

Ако дополнително и 0D , односно 0,0 DA , т.е. равенката е од

облик 0CzBy , тогаш тоа е равенка на рамнина која е паралелна

со x -оската и го содржи координатниот почеток. Со други зборови,

тоа е точно онаа рамнина која минува низ x -оската.

iii) 0

0

DCz

BA

Ова е рамнина нормална на zn ,0,0 кој е колинеарен со векторот

1,0,0k . Значи тоа е равенка на рамнина, паралелна на рамнината

образувана од x -оската и y -оската. Специјално, ако при ваквиот

случај важи дека и 0D , тогаш ја добиваме равенката 0z , која ја

претставува равенката на координатната рамнина Oxy .

Аналогно, може да се дискутираат и другите случаи

( ,0 DCzAx ,0 DAx ,0 DByAx ,0 DBy 0,0 yx ).

Генерално, може да заклучиме дека:



- ако некој од коефициентите BA, или C е нула, тогаш рамнината е паралелна со

координатната оска која е „соодветна“ на тој коефициент;

- ако точно еден од тие коефициенти не е нула, тогаш рамнината е нормална со

соодветната оска, т.е. е паралелна со координатната рамнина определена со

другите две оски.

2. Сегментен облик на равенка на рамнина

Нека сите коефициенти во равенката на рамнината, ,0 DCzByAx се

различни од нула. Тогаш, неа можеме да ја презапишеме во облик

1

1

C

D

z

B

D

y

A

D

x

D

Cz

D

By

D

Ax

1c

z

b

y

a

x .

Ова е т.н. сегментен вид равенка на рамнина, при што C

Dc

B

Db

A

Da ,, .

Терминот сегментен доаѓа од тоа што ba, и c геометриски ги претставуваат

сегментите што на координатните оски OyOx, и Oz ги отсекува дадената рамнина.

z

c,0,0

0,,0 b

O y

x 0,0,a

Овие сегменти можат да бидат и негативни. На пример, таков е случајот овде со

„отсечокот“ на ординатната оска



z

2

-3 y

x 2

Пример: Да се претстави во сегментен вид равенката на рамнината

012382 zyx

14

2

36

14

8

126

112

3

12

8

12

2

12:/12382

012382

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

3. Равенка на рамнина низ три неколинеарни точки

Да си поставиме за задача да ја одредиме равенката на рамнината која минува низ

три точки кои не лежат на иста права (значи, дадените точки не се колинеарни, па

определуваат единствена рамнина). Нека радиус-векторите на дадените точки 21,MM и

3M ги означиме со 321 ,, rrr соодветно, а радиус–векторот на произволна точка M го

означиме со r .

1rr 2M

M

1M

1r 13 rr 3M

2r 3r

O

Векторите 321 ,, rrrrrr се компланарни, па нивниот мешан производ е нула, т.е.

0,, 13121 rrrrrr .................(5)



Ова ја претставува векторската форма на равенката на рамнината која минува низ три

неколинеарни точки.

Изразувајќи ја равенката (5) со координати, ја добиваме равенката на рамнината

која минува низ три неколинеарни точки и во координатна форма:

0

131313

121212

111

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

...............(6)

при што zyxr ,, а iiii zyxr ,, , 3,2,1i .

Пример: Да се најде равенката на рамнината што минува низ точките

5,3,2,3,2,1 21 MM и 5,2,13 M . Дали точката 2,2,0 M лежи во

рамнината?

0

352211

352312

321

zyx

0

242

211

321

zyx

0435

082610

03226110

0182232342412

zyx

zyx

zyx

xyzzyx

Бидејќи со замена на точката 2,2,0 M во равенката на рамнината

0435 zyx се добива дека 0422305 , оттука следува дека

точката 2,2,0 M лежи во добиената рамнина.

4. Параметарски равенки на рамнина

Да претпоставиме дека имаме рамнина која минува низ дадена точка 0M и е

паралелна со неколинеарните вектори a и b . Тогаш за произволна точка M од

рамнината имаме дека MM 0 е компланарен со a и b , па постојат скалари и , така

што baMM 0 . Со r и 0r да ги означиме радиус–векторите на M и 0M

соодветно. Бидејќи barr 0 ................(7)

Имаме дека и ова е една векторска равенка на рамнината. Таа е задоволена за радиус–

векторите на точките од таа рамнина и само за тие точки.



b

0M M

a

0r r

b

a O

Ако избереме координатен систем чиј почеток се совпаѓа со почетокот на

радиус – векторите и во однос на кој координатите се 0000 ,, zyxr , zyxr ,, ,

321 ,, aaaa , 321 ,, bbbb , тогаш равенката (7) може да се запише во облик на

скаларни равенки:

330

220

110

bazz

bayy

baxx

................................(8)

за кои велиме дека се параметарски равенки на рамнината, а за и дека се

параметри.

Да забележиме дека од тоа што 00 rrMM е нормален на вектрот кој

претставува векторски производ на векторите a и b , имаме дека 00 barr , т.е.

мешаниот производ на овие вектори е 0, па можевме и директно да ја запишеме

општата равенка на вака определената рамнина, а тоа е

0

321

321

000

bbb

aaa

zzyyxx

.........................(9)

Пример: Да се најдат параметарските равенки на рамнината определена со

точките 1,2,4,1,1,3 QP и 3,2,1R .

21,1,43

2,1,40,1,11,1,3

2,1,4

0,1,1

1,1,30

zyx

r

PRb

PQa

r

Директно од (9) или од овие параметарски равенки, со елиминирање на и ,

може да ја добиеме општата равенка на оваа рамнина:



09522

11042222

1521

521232

143;

2

1

zyx

zzxyz

zxy

zxzxz

xz

5. Нормирана равенка на рамнина

Ќе дојдеме до уште еден вид равенка на рамнина, претпоставувајќи дека во

векторската равенка (1) на , 00 rrn , n е единечен вектор. Во тој случај

cos,cos,cosn , каде што , и се аглите меѓу n и оските OyOx, и

Oz соодветно. Тогаш

00 rnrn , т.е.

0,0coscoscos rnppzyx ....................(10)

За равенката (10) ќе велиме дека е нормирана равенка на .

Кое е геометриското толкување на скаларот p ?

z

1M

n

O 0r 0M

n y

x

Ако минува низ 0, тогаш 00 rnp , па да претпоставиме дека 0p (т.е. не

минува низ координатниот почеток). Нека 0,rn .

dOMOMnOMnrnp

00

1

00 cos - растојанието од координатниот

почеток до рамнината . Значи dp , при што 1OMp , ако n и 1OM имаат

спротивна насока (т.е. n не е насочен од O кон z , туку спротивно).

Имајќи предвид дека на нормалата од една рамнина постојат два меѓусебно

спротивни ортови, cos,cos,cosn и cos,cos,cosn ,

добиваме дека постојат две форми на нормираната равенка на рамнината, при што

множејќи со (-1) се преминува од едната во другата. Така, ако е определена со



својата општа равенка ,0 DCzByAx тогаш нејзината нормирана равенка е

дадена со

0222

CBA

DCzByAx.......................(11)

затоа што CBAn ,, е вектор на нормалата со должина 222 CBA . Тогаш

0222

CBA

D............................(12)

е растојанието од координатниот почеток до рамнината.

Последново може да го искористиме за пресметување на растојанието од точка

1111 ,, zyxT до рамнината , така што во левата страна на (11) на местата на yx, и z

соодветно ќе се заменат со 11 , yx и 1z и ќе се земе апсолутната вредност на добиениот

број:

222

111

CBA

DCzByAxd

..........................(13)

Пример: Да се запише равенката на рамнината 0822 zyx во нормиран

вид и да се најдат растојанијата на координатниот почеток и точката 5,4,3 до неа.

0

212

822

222

zyx т.е. 0

3

8

3

2

3

1

3

2 zyx

3

8

9

80,0,0 0

dO

4

9

12

212

85241325,4,3

222

dT

6. Односи меѓу рамнини

Нека се дадени две рамнини определени со по една своја точка и вектори нормални

на тие рамнини:

11111111111 ,,,0: nCBAnDzCyBxA

22222222222 ,,,0: nCBAnDzCyBxA

i. Агол меѓу рамнините

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

212121cos

CBACBA

CCBBAA

..............(14)



1n 2n

11 a

22 a

(агол меѓу две рамнини е помалиот од и , каде што е аголот меѓу 1n и 2n )

ii. Услов за паралелност

,21 nn т.е. 212121 ,, CCBBAA

2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A....................(15)

ако додатно и 2

1

D

D, тогаш рамнините се совпаѓаат.

iii. Услов за нормалност

0212121 CCBBAA .....................(16)

iv. Пресек на три рамнини

0: 11111 DzCyBxA

0: 22222 DzCyBxA

0: 33333 DzCyBxA

0

333

222

111

CBA

CBA

CBA

, па ќе следува дека пресекот на трите рамнини е точка.

праваточкизедничкимногубесконечноимаат

точказедничканемаатрамнините0



7. Равенки на права

0M a M

p

0r r

a

Права што минува низ точка 0M и е паралелна со вектор 0a .

atMM

MMrr

0

00

atrr 0 .............(17) – векторска форма на равенката на правата p .

zyxr

zyxr

aaaa

,,

,,

,,

0000

321

tazz

tayy

taxx

30

20

10

....................(18) – параметарски равенки на правата p .

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx

...................(19) – канонична равенка на правата p .

Забелешка: ако некој од 321 ,, aaa е нула, на пример 1a , пишуваме

3

0

2

00

0 a

zz

a

yyxx

што значи ,00 xx

3

0

2

0

a

zz

a

yy

.

Права што минува низ две точки 1111 ,, zyxM и 2222 ,, zyxM

12121221 ,, zzyyxxMM

12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

..................(20)

Права што се добива како пресек на две непаралелни рамнини



0

0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA

0,,22

11

22

11

22

11

21

BA

BA

AC

AC

CB

CBnna - паралелен со правата p .

Наоѓаме точка 0000 ,, zyxM која ги задоволува и двете равенки од

системот, т.е. 0M е точка од правата, па каноничните равенки се:

22

11

0

22

11

0

22

11

0

BA

BA

zz

AC

AC

yy

CB

CB

xx

................(21)

8. Односи меѓу две прави

Две прави во просторот може да се сечат, да се паралелни (специјален случај е да се

совпаѓаат) и да се разминуваат.

321 ,, aaaa

1111 ,, zyxM

3

1

2

1

1

1

3

1

2

1

1

1

b

zz

b

yy

b

xx

a

zz

a

yy

a

xx

321 ,, bbbb

2222 ,, zyxM

1) Агол меѓу правите

2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1

332211cos

bbbaaa

bababa

.............(22)

2) Услов за паралелност

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a ................(23)

3) Услов за нормалност



0332211 bababa .................(24)

4) Услов за компланарност (правите лежат во иста рамнина)

0

321

321

121212

bbb

aaa

zzyyxx

..................(25)

1M a

2r - 1r

2M b

1r 2r

9. Однос меѓу права и рамнина

Права p и рамнина може да се паралелни (специјално, правата лежи на

рамнината), или да имаат една заедничка точка – „правата ја прободува рамнината“

(специјално, правата е нормална на рамнината).

n

a p

3

0

2

0

1

0:a

zz

a

yy

a

xxp

0: DCzByAx

1) Агол меѓу правата p и рамнината

Тоа е помалиот од двата соседни агли што ги образува правата p и

нејзината ортогонална проекција врз рамнината , бидејќи

sinsin , може да сметаме дека 2

; аголот меѓу правата p и



n е

2 и бидејќи

2cossin , за аголот

2 меѓу

321 ,, aaaa и CBAn ,, имаме:

2222

3

2

2

2

1

321sin

CBAaaa

CaBaAa

...........(26)

2) Услов за нормалност на правата p и рамнината

a и n се колинеарни

C

a

B

a

A

a 321 ................(27)

3) Услов за паралелност на правата p и рамнината

0321 CaBaAa ..................(28)

4) Сноп (прамен) прави

Множеството од сите рамнини што минуваат низ дадена права се

нарекува прамен рамнини. Правата се вика оска или носач на праменот.

p

1 2

0:1 DCzByAx

0: 11112 DzCyBxA

Правата 21 p

01111 DzCyBxADCzByAx ...........(29)



Ова е равенка на праменот рамнини чиј носач е правата p (за различни

вредности на се добиваат различни рамнини).

5) Проекција на правата p врз рамнината

Проекцијата на правата p врз рамнината се добива како пресек на

рамнината и рамнината што минува низ p и е нормална на рамнината

. Оваа рамнина што минува низ p и е нормална на рамнината да ја

означиме со .

Равенката на снопот рамнини чиј носач е 3

0

2

0

1

0:a

zz

a

yy

a

xxp

е

01211312 zzayyaaxxa ............(29‟)

Од сите рамнини, нормална на е рамнината која го исполнува условот

02132 aCaaBAa , каде што 32

12

BaCa

BaAa

. Крајно, за

равенката на рамнината имаме

0321

111

CBA

aaa

zzyyxx

...........(30)

Значи, проекцијата на правата p врз рамнината е определена со

рамнината 0 DCzByAx и рамнината дадена со равенката (30).

Решени задачи

1.Дадени се точките А(1,3,2) и В(-1,2,0). Да се определи точка М која ја дели отсечката

AB во однос 2:5.

Решение:

А М В



)7

10,

7

19,

7

3(

7

10

5

21

02

1

7

19

5

21

5

223

1

7

3

5

21

5

21

1

1

1

5

2:

21

21

21

M

zzz

yyy

xxx

BMMA

2.Да се определи равенка на рамнината:

а) која минува низ точката М(2,1,0) и на координатните оски отсекува сегменти кои се

во однос 1:3:2;

б) која минува низ точките А(2,1,0), В(1,2,0) и С(1,3,2).

Решение: а) Сегментен облик на равенка на рамнината е

kpknkm

pnm

p

z

n

y

m

x

2,3,

3:2:1::

1

Рамнината минува низ точката М

3

7

37

13

12

k

k

kk

Равенката на рамнината е

014326

14/114

3

77

3

zyx

zyx

б) Рамнина што минува низ три точки е:



0

221

011

12

0

131313

121212

111

zyx

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

.

3.Да се најде равенката на рамнината што минува низ точката 6,1,20 M и е паралелна

со рамнината 07543 zyx .

Решение: Бараната рамнина минува низ 6,1,20 M , па нејзината равенка е

0612 zCyBxA . Од условот за паралелност меѓу две рамнини имаме

kCkBkAkCBA

5,4,3543

. За нормален вектор CBA ,, на бараната

рамнина можеме да го земеме векторот (3,-4,5) (при к=1). Бараната рамнина ќе има

равенка 040543 zyx .

4.Да се најде равенка на рамнината што минува низ точките 3,1,11 M и 3,2,02M , а е

нормална на рамнината 0725 zyx .

Решение: Рамнината што минува низ 3,1,11 M , па 0311 zCyBxA .

Минува и низ 3,2,02M , добиваме .03 BA Од условот за нормалност на двете

рамнини 0111 CCBBAA , добиваме .025 CBA Од равенките 03 BA и

025 CBA , добиваме BC 7 . Нормалните вектори на рамнината се колинеарни

со BBB 7,,3 . За В=1, CBA ,, = 7,1,3 е нормален на рамнината. Таа го има обликот

01973 zyx .

5.Да се најде равенка на права која минува низ точката М(1,2,3) и низ пресекот S на

рамнините 284,262,423 zyxzyxzyx .

Решение: Пресекот на рамнините

284

262

423

zyx

zyx

zyx

. Решението на системот е

пресечната точка на рамнините S(3,-1,2). Векторот )1,3,2( SM

е носачкиот вектор

на бараната права. Правата има равенка 1

3

3

2

2

1:

zyxp .

6.Да се напише во каноничен облик равенката на правата

32

12:

zyx

zyxp .

Решение: 1,2,1,1,1,2 21 nn



5,3,1

121

11221

kji

nnp

носечки вектор на правата. Да најдеме точка на

правата: 0112

11

. Тогаш можеме да земеме 00 x во системот и тој се сведува

на

32

1

zy

zy. Решението е -4, 5. Точката од правата е М(0,-4,5). Правата е

5

5

3

4

1:

zyxp .

7.Да се напише равенката на нормалата n повлечена од точката М(2,3,1) кон правата

3

2

12

1:

zyxp .

Решение:

n

М(2,3,1)

Р(-1,0,2) N

)3,1,2( p

Се составува рамнина низ М нормална на )3,1,2( p

- 032: Dzyx ,

.4: DM Равенката на рамнината 0432: zyx . Бараме пробод на p со

23

12

:,

tz

ty

tx

p во : 004233122 tttt .

Добиваме 2,0,1,2,0,1 Nzyx .

1

1

3

3

3

2:1,3,3

zyxpMN

.

8.Дадени се правите 3

5,5

8

4

1:

zyxp и

2

2

1

1:

zyxq

. Да се определи λ т.ш

дадените прави се сечат и за така добиено λ да се најде пресечната точка на правите.

Решение: За двете прави да се сечат, потребно е да лежат на иста рамнина т.е

векторите 5.3,4,1),2,,1(),3,8,1( NMqp

се компланарни:

160

21

381

5.341

,,

qpNM

.

За пресечната точка ги запишуваме правите како:



22

16

1

:,

5,53

48:

kz

ky

kx

q

tz

ty

tx

p .

Добиваме:

5,323

4168

1

kt

kt

kt

. Решението е 2

3,

2

1 tk .

Точката е:

1,8,2

3

1,8,2

3

P

zyx

9.Да се најде прободот на рамнината 0122 zyx со правата што минува низ

точката 1,2,2,3,2,3 21 MM ;

Решение: Равенката на правата што минува низ точките 21,MM е

2

3

0

2

1

3

zyx, параметарската е tzytx 23,2,3 .Заменувајќи во

равенката на рамнината .4,2,2

7,

2

1012 zyxtt Прободот е

4,2,

2

7P .

Задачи за домашна работа

1. Да се најде равенка на рамнина што минува низ точката А(-3,2,5) и е нормална на

рамнините 0423,0132 zyxzyx .

2. Дадени се општите равенки на рамнините 054,0122 zyxzyx . Да се

најде:

a) равенката на рамнината што минува низ (3,-1,2) паралелна со рамнината

;0122 zyx

б) равенката на рамнината што минува низ (3,-1,2) и (0,1,2) и е нормална со рамнината

;0122 zyx

в) равенката на рамнината што минува низ (3,-1,2) и е нормална со рамнините

054,0122 zyxzyx .

3. Да се најде прободот на рамнината 0122 zyx со правата што е пресек на

рамнините 04 zyx и 0523 zyx .

4. Да се најде прободот на дадената рамнина со дадената права

12

21,04

z

yxzyx .



5. Дадени се правите

0123

07227:

yx

zyxp и

2

1

2

27:

zy

a

xq . Да се најде а

т.ш р и q да се сечат. Потоа, да се најде пресечната точка на правите.

Documents

Skripta Ramnina i Prava