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Skriptum Kernreaktionen
H. Paetz gen. SchieckInstitut fur Kernphysik
Universitat Koln
15. November 2011
2
Inhaltsverzeichnis
1 Vorwort 9
2 Einfuhrung : Rolle der Kernreaktionen in der Kern- und Teilchen-physik 11
2.1 Ausdehnung der Kerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Typische Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Bindungsenergien der Kerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Coulombbarriere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3 ”Optisches“ Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Kernspektroskopie und Kernreaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Kernreaktionsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Klassischer Wirkungsquerschnitt 17
3.1 Ablenkungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Rutherfordstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Rutherford-Streuquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.2 Minimaler Streuabstand d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.3 Bahn im Coulombfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.4 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.5 Folgerungen aus dem Rutherfordexperiment und seine histo-rische Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3
3.2.6 Abweichungen von der Rutherfordformel . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Streuung, Dichteverteilungen und Kernradien . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.1 Kernradien aus Abweichungen von der Rutherfordstreuung . . 23
3.3.2 Coulombstreuung an einer ausgedehnten Ladungsverteilung . . 24
3.3.3 Modellansatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.4 Momentenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.5 Ergebnisse der Hadronenstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Elektronenstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.1 Materiedichteverteilungen und -radien . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.2 Sonderfalle: Halokerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Rolle von Erhaltungssatzen und Symmetrien in Kernreaktionen 37
4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1.1 Diskrete Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.2 Kontinuierliche Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Erhaltungsgroßen in Kernreaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.1 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.2 Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.3 Reaktionskinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.4 Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.5 Paritatserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.6 Kernreaktionen unter Paritatserhaltung . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.7 Kernreaktionen unter Paritatsverletzung . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Isospin in Kernreaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.1 Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4
4.3.2 Isospin als Erhaltungsgroße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Austauschsymmetrie in Kernreaktionen identischer Teilchen . . . . . 49
4.4.1 Identische Bosonen mit I = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4.2 Identische Fermionen mit I = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5 Zeitumkehrinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5.1 Zeitumkehr und Reziprozitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 Allgemeines Verhalten von Wirkungsquerschnitten 57
5.1 Ungeladene Teilchen (Neutronen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.1 Elastische Streuung (n,n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.2 Inelastische Neutronenstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.3 Exotherme Reaktionen mit thermischen Neutronen (n,γ), (n,p),(n,f) etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.1.4 Endotherme Reaktionen Q < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Geladene Teilchen im Ein- und Ausgangskanal . . . . . . . . . . . . . 59
5.3 Schwelleneffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.4 Andere Phanomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6 Formale Beschreibung von Kernreaktionen 63
6.1 Wellenfunktion und Streuamplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Streuamplitude und Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3 Schrodingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7 Inelastizitat und Absorption 71
8 Niederenergieverhalten der Streuung 75
8.0.1 Streulange a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.1 Analytisch losbare Modelle fur das Niederenergieverhalten . . . . . . 76
5
8.1.1 Beispiel: Streuung von Neutronen an einer harten Kugel . . . 76
8.1.2 Beispiel: Streuung von Neutronen an einem Rechteck-Potentialtopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9 Die Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung 81
9.1 Die Observablen des NN-Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.1.1 NN-Observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.1.2 NN-Streuphasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.1.3 NN-Wechselwirkung als Austauschkraft . . . . . . . . . . . . . 83
9.1.4 Wenignukleonensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10 Bestimmung der T-Matrix 89
10.1 Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.2 Bornsche Naherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.2.1 1. Bornsche Naherung = PWBA = Plane Wave Born Appro-ximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.2.2 Distorted Wave Born Approximation = DWBA . . . . . . . . 91
11 Reaktionsmodelle 93
11.1 Direkte Reaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
11.1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
11.1.2 Elastische Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
11.1.3 Optisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11.1.4 Direkte (Umordnungs-)Reaktionen . . . . . . . . . . . . . . . 95
11.1.5 Stripping-Reaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
11.1.6 Die Bornsche Naherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11.2 Compoundkern (CN)-Reaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
11.2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6
11.2.2 Theoretischer Verlauf der Wirkungsquerschnitte . . . . . . . . 102
11.2.3 Herleitung der Partialbreitenamplituden fur Kerne (nur s-Wellen)103
11.3 Einzelresonanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
11.3.1 Allgemeine Merkmale von Einzelresonanzen . . . . . . . . . . 104
11.3.2 Uberlappende Resonanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
11.3.3 Ericson-Fluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.4 Vollstandige Mittelung uber die CN-Zustande . . . . . . . . . . . . . 110
11.4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
11.4.2 Hauser-Feshbach-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
12 Ausgewahlte Literatur zur Vorlesung 113
12.1 Allgemeine und Lehrbucher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
12.2 Gebietsubergreifende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
12.3 Methoden und Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
12.4 Kernreaktions- u. Streutheorie, Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . 114
12.5 Wenignukleonensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
12.6 Resonanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
12.7 Statistisches Modell und Ericson-Fluktuationen . . . . . . . . . . . . 115
12.8 Intermediare Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
12.9 Optisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
12.10Direkte Reaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
12.11Schwerionenreaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
12.12Coulombanregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
12.13Isospin und Isobar-Analogresonanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
12.14Polarisationsphanomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7
12.15Nutzlich, z.T. auch auf CD-ROM bzw. online . . . . . . . . . . . . . 117
8
Kapitel 1
Vorwort
Kerne sind komplexe Vielteilchensysteme aus Nukleonen (Hadronen). Diese selbsterwiesen sich – v. a. durch Streuexperimente mit Leptonen (Elektronen, Myonenund Neutrinos) – als ausgedehnte Objekte mit komplexer innerer Struktur: Kon-stituentenquarks, Gluonen, deren Austausch die Quarks zusammenhalt, Seequarks(Quark-Antiquark-Paare, in die die Gluonen sich verwandeln und umgekehrt) so-wie - nach außen – virtuelle Mesonen, die einen Kernbereich (den Bag) umgeben.Abbildung 1.1a) zeigt diese innere Struktur des Nukleons.
Abbildung 1.1: a) Struktur des Nukleons b) Austausch virtueller Mesonen verschie-dener Massen als Ursache der Nukleon-Nukleon-Kraftanteile verschiedener Reich-weite
Die virtuellen Mesonenwolken, die die Nukleonen umgeben, sind durch gegenseitigenAustausch von Mesonen auch die Ursache fur die Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung.Dieser ist damit fur die Existenz von Kernen und ihre Wechselwirkung verantwort-
9
lich. Abbildung 1.1b) zeigt diesen Austausch und die symbolische Darstellung alsFeynman-Diagramm.
10
Kapitel 2
Einfuhrung : Rolle derKernreaktionen in der Kern- undTeilchenphysik
2.1 Ausdehnung der Kerne
Seit den bahnbrechenden Streuexperimenten von Geiger, Marsden und Rutherfordbis 1912 und ihrer Deutung ist die Struktur des Atoms bekannt. Es besteht aus einemkompakten (d.h. kleinen und massiven) Kern, der die Ladung Ze (Z=Kernladungs-zahl=Ordnungszahl) und fast die gesamte Masse des Atoms tragt. Schon Rutherfordkonnte aus dem Verlauf der Streuwinkelverteilung in Ubereinstimmung mit dem Ex-periment zusammen mit seinem Ansatz einer Punkt-Coulombwechselwirkung schlie-ßen, daß der Kern ein Objekt sein mußte, das kleiner war als die verwendetenStreuabstande (Großenordnung: 1fm = 10−15m). Die reine Tatsache, daß Streu-ungen unter Ruckwartswinkeln vorkamen, zeigte, daß das Streuzentrum schwererals das α−Teilchen sein mußte. Die Elektronenhulle ist demgegenuber sehr ausge-dehnt (Großenordnung: 1A = 10−10m) und tragt die Ladung -Ze, so daß das Atomexakt neutral ist. Durch Verwendung beschleunigter α−Teilchen erreichte man einEindringen in den Targetkern und konnte die Kernausdehnung anhand der ein-setzenden Abweichungen von der Punkt-Coulombstreuung genauer ermitteln. EineSchlusselrolle spielt hierbei der Begriff des Ladungs-Formfaktors und seiner Fourier-transformierten, der Ladungsdichteverteilung. In ihm druckt sich aus, wie stark dasCoulombpotential einer ausgedehnten (oft vereinfacht als homogen angenommenen)Ladungsverteilung im Kerninnern von dem einer Punktladung abweicht oder wel-chen Einfluß die eigentliche (hadronische) Kernwechselwirkung auf die Observablenhat.
Durch die Verwendung von Leptonen als Sonden, die selbst keine meßbare Ausdeh-nung haben und nicht der starken Wechselwirkung unterliegen, konnten Ladungs-(und Strom-)Verteilungen in Kernen und Nukleonen ausgemessen werden. Bei hoher-en Impulsubertragen (d.h. hohen Energien und großeren Streuwinkeln: inelastischeStreuung) wurden zunachst Anregungszustande, dann (bei tief-inelastischer Streu-
11
ung) aber Substrukturen der Nukleonen (Partonen) entdeckt, die alle Eigenschaftender Quarks hatten: Drittelladungen, Spin 1/2h, Farbladung und Confinement, Ele-mentarteilchencharakter (Punktformigkeit, Strukturlosigkeit), Quellen der starken,elektromagnetischen und schwachen Wechselwirkung.
2.2 Typische Energien
Die Großenordnung der in Kernreaktionen maßgebenden Energien soll an drei Bei-spielen aufgezeigt werden:
2.2.1 Bindungsenergien der Kerne
Um einen Kern aus seinen Nukleonen (Protonen) zusammenzubauen, mussen alleProtonen gegen ihre gegenseitige Abstoßung unter Aufwendung der elektrostatischenBindungsenergie zusammengefuhrt werden. Dies erfordert die Energie:
ECoul =1
4πǫ0
3
5
(Ze)2
R, (2.1)
also z.B. etwa 800 MeV (bzw. etwa 4 MeV/Nukleon) fur einen schweren Kern. DieBindungsenergien der Kerne mussen also großer als dieser Wert sein. Eine Kern-reaktion, bei der das Pojektil das Innere des Targetkerns beruhren soll, muß mitentsprechenden Energien erfolgen. Dies erklart die Notwendigkeit, Beschleuniger zuentwickeln und zu verwenden, da die Energien der Strahlen radioaktiver Praparatenaturgemaß nicht ausreichen. Abbildung 2.1 zeigt die Entwicklung der Beschleuni-gerenergien seit 1930, insbesondere das jeweilige Einsetzen neuer technischer Ent-wicklungen nach der “Sattigung” einer Entwicklungslinie.
2.2.2 Coulombbarriere
Die Hohe der Coulombbarriere
VC =1
4πǫ0
Z1Z2e2
R= 1, 44
Z1Z2
R(fm)(MeV ) = 1, 44
Z1Z2
R0(A1/31 + A
1/32 )(fm)
(MeV )
(2.2)ist maßgebend dafur, ob ein geladenes Teilchen in einen Kern eindringen und dorteine Reaktion auslosen kann oder nicht (diese Energie ist der im “Schwerpunktsy-stem” (der Relativbewegung) berechnete Wert).
12
192519301935194019451950195519601965197019751980198519901995200020052010201510
-1
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
1010
1011
COSY
"Livingston"-Plot
SynchrozyklotronSF-Zyktotron
p-LINAC
LEP II
LEPSLAC Lin. Collider
BetatronAG
AGp-Synchrotron
ISR
SPS
LHC
Tevatron
e-Synchrotrone-LINAC
Zyklotron
Kaskadengenerator
Tandem-Van de GraaffVan de Graaff
(Äqu
iv.)
Ene
rgie
(M
eV)
Jahr
Abbildung 2.1: Zeitliche Entwicklung der Beschleuniger-Energien. Die Gerade ent-spricht einer Verdopplungszeit von ca. 7 Jahren
2.2.3 ”Optisches“ Argument
Die de-Broglie-Wellenlange einer Teilchenstrahlung ist durch ihren Impuls bestimmt:
λdeBroglie =h
p=
hc√
T 2 + 2(m0c2)T=
197(MeV )√
T 2 + 2(m0c2)T(fm). (2.3)
Analog zur Lichtoptik ist das Auflosungsvermogen eines Gerates (Experiments)durch Beugungserscheinungen begrenzt, so daß nur Objekte voneinander getrenntnachgewiesen werden konnen, die mindestens um eine Wellenlange voneinander ent-fernt sind. Details der raumlichen Kernstruktur wird man nur mit Elektronen mitEnergien ≫197 MeV (dort ist λdeBroglie = 1 fm) oder Protonen mit Energien ≫1MeV auflosen. Das Argument ist etwas ungenau: genauer sollte man die Wellenlangeder bei einer Wechselwirkung ausgetauschten Strahlung als Maß nehmen, also dieder virtuellen Photonen bei der Elektron-Kern-Streuung, die der Austauschmesonenbei der Kernwechselwirkung, die der Gluonen bei der starken Wechselwirkung. Derubertragene Impuls h ~K, der hier eingesetzt werden muß, ist außer vom Projektil-impuls auch vom Streuwinkel abhangig. Fur elastische Streuung (
∣∣∣~kin
∣∣∣ = h
∣∣∣~kout
∣∣∣)
ergibt sich z. B. mit dem Kosinussatz)
h∣∣∣ ~K∣∣∣ = h
∣∣∣~kin − ~kout
∣∣∣ = 2h
∣∣∣~kin
∣∣∣ sin(θ/2) (2.4)
13
Die Abbildung 2.2 zeigt die reduzierte de Broglie-Wellenlange von Elektronen, Pio-nen, Protonen und α-Teilchen als Funktion der kinetischen Energie. Im hochrelati-vistischen Bereich ist λ nicht mehr von der Teilchensorte abhangig und nimmt mitT−1 (anstatt nichtrelativistisch mit T−1/2) ab.
10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 105 106
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
T (MeV)
Red
. λ de
Bro
glie (
fm)
e π p α
Abbildung 2.2: Die reduzierte de Broglie-Wellenlange verschiedener Teilchen alsFunktion ihrer kinetischen Energie T
2.3 Kernspektroskopie und Kernreaktionen
Die Kernspektroskopie, die die Eigenschaften der Kernzustande untersucht, ist zuderen Anregung in vielfaltiger Weise auf Kernreaktionen und die hierzu notigenTechniken (Ionenquellen, Beschleuniger) angewiesen. Es seien ein paar Beispiele ge-nannt:
• γ−Ubergange in Kernen lassen sich z.B. nach Coulombanregung untersuchen.Hier dient das schnell wechselnde starke elektrische Feld eines hochbeschleu-nigten Schwerions zur Anregung im Vorbeiflug.
• Fusions-Verdampfungs-Reaktionen (Fusion evaporation reactions) erlauben durchWahl von Reaktionspartnern und Einschußenergien die Drehimpulse und An-regungsenergien bestimmter zu untersuchender Endkerne festzulegen. Ein Bei-
14
spiel ist die Bevolkerung superdeformierter Yrastbanden und deren Spektro-skopie.
• Anregungsfunktionen der elastischen und inelastischen Protonenstreuung uberIsobar-Analogresonanzen ermoglichen die detaillierte Spektroskopie insbeson-dere von Schalenmodell-Kernzustanden.
• Transferreaktionen wie (d,p)-Stripping dienten v.a. historisch zur Auffindungvon Schalenmodellzustanden und ersten Bestatigung des Einteilchen-Schalen-modells.
2.4 Kernreaktionsmodelle
Mangels einer vollstandigen Theorie der Kernwechselwirkung (auch die Anwendungder Quantenchromodynamik als fundamentaler Theorie der starken Wechselwirkungstoßt auf unuberwindliche Schwierigkeiten im “nichtperturbativen” Bereich) gibtes in der Kernphysik, d.h. auch fur die Beschreibung von Kernreaktionen, keinenvollstandigen Hamiltonoperator. Man ist auf Modelle angewiesen, die naturgemaßeinen beschrankten Gultigkeitsbereich haben. Die verschiedenen Kernreaktionsmo-delle lassen sich besonders anschaulich nach der Zeitdauer der Wechselwirkung klas-sifizieren mit den Grenzfallen direkter (schneller) Reaktionen einerseits, (langsamer)Compoundkernreaktionen andererseits. Typische Modelle fur schnelle Reaktionensind z.B.:
• das optische Modell der elastischen Streuung
• DWBA (“Distorted Waves Born Approximation”, CCBA (“Coupled ChannelsBorn Approximation”) fur direkte inelastische Streuung bzw. Reaktionen wiedie Stripping- oder Pickup-Reaktionen
Langsame Prozesse, die uber isolierte Resonanzen ablaufen, werden beschrieben mitder
• R-Matrix und Breit-Wigner-Theorie fur Compoundkern-Resonanzen
Zwischen beiden Grenzfallen liegen z.B. die
• Hauser-Feshbach-Theorie fur Reaktionen uber stark uberlappende Compound-kernzustande
• Chaostheorien zur Beschreibung von Verteilungsfunktionen von Resonanzenund Ericson-Fluktuationen
• Beschreibung von “intermediaren” Strukturen durch “doorway”-Zustande
15
16
Kapitel 3
Klassischer Wirkungsquerschnitt
3.1 Ablenkungsfunktion
Wirkungsquerschnitte sind die zentrale Meßgroße der Kern- und Teilchenphysik.In manchen Bereichen der Kernphysik (Schwerionenphysik) werden Kernreaktio-nen (Streuung) haufig (semi-)klassisch behandelt. Ebenso laßt sich die historischwichtige Rutherfordstreuung klassisch beschreiben. Die klassische Beschreibung im-pliziert, daß Teilchen und ihre Bahnen lokalisiert sind. Es muß jedoch in jedemEinzelfall gepruft werden, ob eine klassische Beschreibung zulassig ist. Ein Kriteri-um fur Klassizitat ist, daß (wie in der Optik fur den Fall der geometrischen Optik)die Wellenlange der verwendeten Strahlung klein gegenuber einer charakteristischenObjektdimension d ist. Im Einklang mit der Unscharferelation heißt das fur Teil-chenstrahlung:
λdeBroglie = h/p≪ d (3.1)
Wahlt man als typische Objektdimension den halben Umkehrabstand d0 beim zen-tralen Stoß, so erhalt man das Sommerfeld-Kriterium fur klassische Streuung:
ηS =Z1Z2e
2
hv= Z1Z2
e2
hc· cv= Z1Z2 ·
α
β≫ 1 (3.2)
oder numerisch (fur ein schweres Target)
ηS = 0, 16 · Z1Z2
√
AProj
Elab(MeV )≫ 1 (3.3)
Es gibt verfeinerte Kriterien, die berucksichtigen, daß die Welleneigenschaften derStrahlung zu Beugungserscheinungen fuhren, besonders dort, wo sich das Potentialstark andert, d.h. am Kernrand. Man fordert also, daß die de Broglie-Wellenlangesich mit r durch den Potentialgradienten nicht stark andert. Fur Coulombstreuung
17
fuhrt das zu dem winkelabhangigen Kriterium
η2S ≫ η2crit =
(
sin2(θ/2)
cos(θ/2)(1− sin(θ/2))
)2
(3.4)
Hiernach ist bei θ = 00 stets, bei θ = 1800 niemals eine klassische Beschreibungmoglich.
Im Falle der Streuung identischer Teilchen ist wegen der Austauschsymmetrie nie-mals eine klassische Beschreibung moglich (s.u.).
Hier wird eine vollstandige Definition des (klassischen) Wirkungsquerschnittes ge-geben, die sich leicht auf die quantenmechanische Definition ubertragen laßt:
Definition 1 Der (differentielle) Wirkungsquerschnitt ist die Anzahl Teilchen ei-ner bestimmten Art aus einer Reaktion, die pro Targetatom und Zeiteinheit in dasRaumwinkelelement dΩ (gebildet durch das Winkelintervall θ...θ+dθ und φ...φ+dφ)gestreut werden, dividiert durch den einfallenden Teilchenfluß j (Stromdichte!).
Bis auf weiteres setzen wir Azimut- (d.h. φ-)unabhangigkeit der Streuung voraus(Teilchen ohne Spins oder Teilchen mit Spins, aber mit spinunabhangiger Wechsel-wirkung). Dann fuhrt diese Definition zur klassischen Formel fur den Wirkungsquer-schnitt. Mit der Anzahl Teilchen jdσ = j · 2πbdb erhalt man:
(dσ
dΩ)cl =
2πbdb
2π sin θdθ=
b
sin θ·∣∣∣∣∣
db
dθ
∣∣∣∣∣
(3.5)
b = b(θ, E) enthalt den Einfluß der Wechselwirkung (Dynamik). θ(b) heißt aus nahe-liegenden Grunden auch Ablenkungsfunktion. Ihre Kenntnis bestimmt die Streuungvollstandig.
3.2 Rutherfordstreuung
3.2.1 Rutherford-Streuquerschnitt
Fur die Ableitung des Rutherford-Streuquerschnittes machen wir folgende Annah-men:
• Das Projektil und das Streuzentrum (Target) seien punktformige Teilchen (diesist wegen des Satzes von Gauß auch fur ausgedehnte Teilchen erfullt, solangesich die Ladungsverteilungen nicht beruhren)
• Der Targetkern sei unendlich schwer (Labor- = Schwerpunktsystem)
18
• Die Wechselwirkung sei die rein elektrostatische Coulombkraft
FC = ± 1
4πǫ0· Z1Z2e
2
r2=
C
r2(3.6)
mit dem zugehorigen Coulomb-Potential VC = ±C/r.
Die klassische Streusituation zeigt Abbildung 3.1.
Θ
Θ
Θ+δΘ
b+dbbv
v
inf
inf
r
φ
d
y
zv
min
Abbildung 3.1: Rutherfordstreuung klassisch
Die Ablenkungsfunktion laßt sich am einfachsten direkt mit Hilfe des Drehimpuls-satzes und der Bewegungsgleichung in einer Koordinate (y) bestimmen:
L = mv∞b = mr2φ = mvmind (3.7)
und daraus
dt = r2dφ/v∞b (3.8)
m∆vy =∫
Fydt
v∞ sin θ =C
mv∞b
∫ ∞
−∞φ sinφdt
=C
mv∞b
∫ π−θ
0sinφdφ =
C
mv∞b(1 + cos θ) (3.9)
Nach Umrechnung auf den halben Streuwinkel ergeben sich die Ablenkungsfunktion
cot(θ/2) = mv2∞b/C = v∞L/C (3.10)
sowie
b =C
2E∞· cot
(
θ
2
)
(3.11)
19
unddb
dθ=
C
2mv2∞· 1
sin2(θ/2)=
C
4E∞· 1
sin2(θ/2)(3.12)
und damit fur den Rutherford-Querschnitt
dσ
dΩ=
1
(4πǫ0)2
(
Z1Z2e2
4E∞
)2
· 1
sin4(θ/2)(3.13)
Numerisch:dσ
dΩ= 1.296
(
Z1Z2
E∞(MeV )
)2
· 1
sin4(θ/2)
[
mb
sr
]
(3.14)
3.2.2 Minimaler Streuabstand d
Hierfur benotigt man zusatzlich den Energieerhaltungssatz:
mv2∞2
=mv2min
2+
C
d(3.15)
Der absolut kleinste Abstand d0 wird beim zentralen Stoß erreicht. Hier gilt:
E∞ =mv2∞2
=C
d0(3.16)
Hieraus und aus dem Drehimpulssatz Gl.(2.3) gewinnt man die Beziehung:
b2 = d(d− d0) (3.17)
mit der Losung:
d =C
2E∞
1 +
√
1 + b24E2∞
C2
=d02
(
1 +1
sin θ/2
)
(3.18)
Den klassischen Streuabstand d, bezogen auf den Minimalabstand d0 als Funktiondes Streuwinkels, zeigt Abbildung 3.2.
20
0 50 100 150
1
10
100
Θ
d / d
0
Abbildung 3.2: Minimaler Streuabstand als Funktion des Streuwinkels
3.2.3 Bahn im Coulombfeld
Fur die Bewegung im Zentralkraftfeld mit einer Kraft ∝ r−2 zeigt die klassischeMechanik, daß die Bahnen Kegelschnitte sind (fur ein Streuproblem Hyperbeln).Fur die Ableitung braucht man wieder Drehimpuls- und Energieerhaltungssatz (hiermit Coulomb-Potential):
L = mr2φ = const (3.19)
E =mr2
2+
L2
2mr2+
C
r(3.20)
Hieraus wird dt eliminiert. Die Integration von
dφ = − L
mr2
[
2
m
(
E − C
r− L2
2mr2
)]−1/2
dr (3.21)
liefert
r =L2
mC· 1
1−√
1 + 4E2b2
C2 cosφ(3.22)
mit b = L/√2mE. Mit k = L2/mC und ǫ =
√
1 + 4E2b2
C2 (Exzentrizitat) entsprichtdies der Standardform fur Kegelschnitte:
1
r=
1
k(1− ǫ cos φ) (3.23)
21
3.2.4 Folgerungen
Es ergibt sich ein Zusammenhang zwischen Stoßparameter b, Streuwinkel θ undBahndrehimpuls L=ℓh:
b =1
2d0 cot
θ
2=
ℓh
p∞(3.24)
Wegen der Quantisierung von L sind den Bahndrehimpulsquantenzahlen l=0,1,2,...Ringzonen um die z-Richtung zugeordnet. Zu großeren Streuwinkeln gehoren kleinereStoßparameter und kleinere Bahndrehimpulse.
3.2.5 Folgerungen aus dem Rutherfordexperiment und sei-ne historische Bedeutung
Rutherford und seine Mitarbeiter Geiger und Marsden (spater auch Chadwick) be-nutzten α-Teilchen aus Praparaten als Projektile. Deren Energien waren so klein,daß fur alle Streuwinkel die Minimalabstande d groß gegen die Summe der beidenKernradien von Projektil und Target waren. Die volle Ubereinstimmung zwischendem Ergebnis der Messungen und der (Punkt-)Rutherford-Streuformel zeigte diesim Einklang mit dem Gaußschen Satz der Elektrostatik, wonach auch eine endlicheLadungsverteilung nach außen wie ein r−1-Potential wirkt. Daruberhinaus zeigt dasVorkommen von Ruckwartsstreuereignissen eindeutig, daß die Targetkerne schwerersein mußten als die Projektile. Damit war der Atomkern als kompaktes (d.h. sehrkleines und schweres Objekt) nachgewiesen.
Die Z-Abhangigkeit des Rutherfordquerschnittes konnte (erganzend zu den charak-teristischen Rontgenspektren mittels des Moseleyschen Gesetzes) benutzt werden,um Kernladungszahlen und die Zuordnung von Elementen zu Positionen im Peri-odensystem zu uberprufen.
3.2.6 Abweichungen von der Rutherfordformel
Gemaß dem oben Gesagten erwartet man Abweichungen in folgenden Fallen:
• bei Modifikationen des Punkt-Coulombpotentials durch die Abschirmwirkungder Atomelektronen (abgeschirmtes Coulombpotential). Diese sollten sich v.a.bei Vorwartswinkeln bemerkbar machen. Naheres hierzu bei der Ableitung desRutherfordquerschnittes mittels der Bornschen Naherung (Kap. 10.2)
• bei ausgedehnter Ladungsverteilung und genugend hoher Energie, so daß dasProjektil in den Kern eintaucht. Leptonische Projektile konnen diese Ladungs-verteilung abtasten. Bei hadronischen geladenen Projektilen erwartet man, daß
22
starke Effekte der Kernwechselwirkung hinzukommen, wahrend Neutronen nurdie Materiedichteverteilung sehen. Aus solchen Streuexperimenten wurden ne-ben den Dichteverteilungen Ladungs- und Materieradien der Kerne und Nu-kleonen und deren Systematik mit der Kernmassenzahl A bestimmt (s.u.).Das Prinzip fand und findet Anwendung bei der Streuung hochstenergetischerLeptonen (Elektronen, Myonen und Neutrinos) an Nukleonen und fuhrte zumNachweis von Partonen (den Quarks) in den Nukleonen und zur Bestimmungvon deren Eigenschaften (Spin, Massen, Ladungen).
3.3 Streuung, Dichteverteilungen und Kernradi-
en
3.3.1 Kernradien aus Abweichungen von der Rutherford-
streuung
Ohne nahere Kenntnis der Dichteverteilung und des Potentials kann man recht ge-naue Aussagen uber Kernradien durch Streuung geladener Projektile an Kernengewinnen. Voraussetzung ist allerdings, daß das Potential, das die Abweichungenvom Punktquerschnitt erzeugt, kurzreichweitig ist, bzw. daß die Ladungsverteilungeinen relativ scharfen Rand besitzt.
Am eindrucksvollsten stellen sich die bei zunehmender Annaherung zwischen Pro-jektil und Target auftretenden Abweichungen vom Punktquerschnitt bei geschick-ter Auftragung dar. Da der Rutherfordquerschnitt selbst stark energie- und win-kelabhangig ist, wahlt man das Verhaltnis
(dσ
dΩ)exp/(
dσ
dΩ)Punkt,theor. (3.25)
als Funktion des Minimalstreuabstandes d. Dies erlaubt, Daten bei sehr verschiede-nen Energien und Winkeln zu vergleichen (s. Abb. 3.2). Wenn man daruberhinausdie Annahme der Systematik der Kernradien r = r0A
1/3 benutzen bzw. uberprufenwill, erhalt man eine universelle Darstellung fur alle moglichen Streupartner mit derAuftragung uber d/(A
1/31 +A
1/32 ). Wie die experimentellen Ergebnisse zeigen, wirken
sich die Ausdehnung der Ladungsverteilung und das Einsetzen der (hadronischen)Absorption als starke Abnahme des Wirkungsquerschnittes bei einem scharf defi-nierten Wert dieses Parameters von 1,5 fm aus. Es ist zu beachten, daß diese Zahleinem universellen Radiusparameter von r0=1,1 fm entspricht, wenn man fur dieReichweite der Kernkrafte 1,5 fm einsetzt.
23
3.3.2 Coulombstreuung an einer ausgedehnten Ladungsver-teilung
Hier soll die quantenmechanische Ableitung des Rutherfordstreuquerschnittes fureine homogene Ladungsverteilung gezeigt werden. Ausgangspunkte sind
• Fermis Goldene Regel der Storungstheorie
• die 1. Bornsche Naherung
Fermis Goldene Regel liefert fur eine ”genugend schwache“ Storung die Ubergang-wahrscheinlichkeit pro Zeit W:
W =2π
h|〈Ψout |Hint|Ψin〉|2 ρ(E)
=V mpdΩ
4π2h4 · |Hif |2 (3.26)
Hier wurde benutzt, daß die Dichte der Endzustande ρ(E) = dn/dE aus demVerhaltnis dn des gegebenen zum minimal moglichen Phasenraumvolumen berechnetwerden kann:
dn
dE=
V 4πp2dpdΩ4π
(2πh)3dE(3.27)
mit E = p2/2m bzw. dp/dE = m/p = E/c2p. Hieraus:
ρ(E) =dn
dE= V
pmdΩ
(2πh)3
= VpEdΩ
(2πh)3c2(3.28)
Der Wirkungsquerschnitt entsteht aus W gemaß der Definition auf S. 18 mit dereinlaufenden Stromdichte j = v/V = p/mV als:
dσ =W
j=
W
( pmV
)=
V 2m2dΩ
4π2h4 · |Hif |2 (3.29)
Die 1. Bornsche Naherung besteht darin, den ersten Term der Bornschen Reihe (s.u.)mit ebenen Wellen im Ein- und Ausgangskanal anzusetzen:
Φin =1√Vei~ki~r und Φout =
1√Vei~kf~r (3.30)
Hint = U(r) kennzeichne eine kleine, zeitunabhangige Storung. Mit ~K = ~kf − ~kierhalt man:
24
|Hif | =∣∣∣∣
1
V
∫
ei~K~rU(r)dτ
∣∣∣∣ (3.31)
und
dσ
dΩ= [
m
2πh2 ]2∣∣∣∣
∫
ei~K~rU(r)dτ
∣∣∣∣
2
= |f(θ)|2 (3.32)
Durch Einsetzen des Coulombpotentials U(r)=C/r erhalt man wieder die auch klas-sisch berechnete Formel fur den Rutherford-Streuquerschnitt.
Der Wirkungsquerschnitt ist also (mit der Konstanten Z1Z2e2/16 und der Substitu-
tion u = iKr cos θ und du = − sin θ dθ(iKr))
dσ
dΩ= const.
∣∣∣∣
∫
ei~K~r · 1
rdτ
∣∣∣∣
2
= const.
∣∣∣∣
∫ ∫ 1
reiKr cos θ2π sin θ dθr2dr
∣∣∣∣
2
= const.2π
∣∣∣∣
∫ ∫ r
iKreu du dr
∣∣∣∣
2
= const.(2π
iK
)2 ∣∣∣∣
∫
r
(
eiKr cos π − eiKr cos 0)
dr
∣∣∣∣
2
= const.(2π
iK
)2 ∣∣∣∣
∫
r
(
e−iKr − eiKr)
dr
∣∣∣∣
2
= const.
[
(2π)(2i)
iK
]2 ∣∣∣∣
∫ ∞
0sinKr dr
∣∣∣∣
2
. (3.33)
Das Integral ist nicht definiert. Daher macht man einen Abschirmansatz nach demVorbild von Bohr, der der realen Situation einer Abschirmung des Punkt-Coulomb-potentials durch die Elektronen der Atomhulle entspricht, mit der Abschirmkon-stanten α. Man benutzt
∫ ∞
0e−αr sinKrdr =
K
K2 + α2(3.34)
und erhalt(
dσ
dΩ
)
R,s
=
[
2µZ1Z2e2
h2(α2 + 4k2 sin2(θ/2)
]2
(3.35)
mit dem Impulsubertrag K = 2k sin(θ/2) fur elastische Streuung. Dieser Wirkungs-querschnitt ist endlich fur θ → 00. Indem man die Abschirmkonstante gegen Nullgehen laßt, erhalt man den Wirkungsquerschnitt, der mit dem aus der klassischenAbleitung identisch ist:
(
dσ
dΩ
)
R
= limα→0
(
dσ
dΩ
)
R,s
=
(
Z1Z2e2
4Ekin
)2
· 1
sin4(θ/2)(3.36)
25
Die Erweiterung der Ableitung des Rutherfordquerschnittes auf eine ausgedehnte(homogene und spharisch-symmetrische) Ladungsverteilung ist einfach und fuhrtzum grundlegenden Konzept des Formfaktors.
Zunachst sei das Coulomb-Potential einer ausgedehnten homogenen spharischen La-dungsverteilung angegeben (Abbildung 3.3). Es berechnet sich aus dem GaußschenSatz der Elektrostatik zu
V (r) =
ze2
4πǫ01rfur r > R
ze2
4πǫ012R
[
3− r2
R2
]
fur r ≤ R(3.37)
Es ist im Außenraum mit dem Potential einer Punktladung identisch, schließt furr=R an dieses an und hat im Innenbereich Parabelform. Es ist zu erwarten, daßbei einer Streuung mit genugend hoher Energie der Streuquerschnitt stark vom Ru-therfordquerschnitt abweicht, sobald die Kernoberflache beruhrt wird, insbesondereauch, weil dann die starke Wechselwirkung mit Streuung und Absorption einsetzt.
0 1 2 3 4 50,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
VC(r
)/V
C(R
)
r / R
Abbildung 3.3: Coulomb-Potential einer spharischen homogenen Ladungsverteilung
Zur Berechnung des Wirkungsquerschnittes integriert man uber die Beitrage allerLadungselemente dq = Zeρ(~r)dτ zum Potential U(~r) = −Z1Z2e2
R· e−αRρ(~r)dτ
U(~r′) = −Z1Z2e2∫
ρ(~r′)e−αR
Rdτ (3.38)
Setzt man dies in die Bornsche Naherung Gl. (3.32) ein (mit d~R = d~r′ und ~R =~r′ − ~r), so ergibt sich:
dσ
dΩ=
(
Z1Z2e2m
2πh2
)2
·[∫
ρ(~rei~K~rdτ ·
∫ e−αR
Rei
~K ~Rd~R
]2
26
=(
F ( ~K2)K
K2 + α2
)2
(3.39)
Der Wirkungsquerschnitt faktorisiert in zwei Anteile, von denen der eine (nachGrenzubergang α → 0 wieder den Punktquerschnitt ergibt, der andere den Form-faktor:
dσ
dΩ=
(
dσ
dΩ
)
Punktkern
·∣∣∣F ( ~K2)
∣∣∣
2(3.40)
Diese Zerlegung ist charakteristisch fur die Wechselwirkung zwischen ausgedehntenObjekten und bedeutet eine Trennung zwischen der eigentlichen Wechselwirkung(z.B. Coulombwechselwirkung) und der Struktur der wechselwirkenden Teilchen.
Experimentell erhalt man den Formfaktor als das Verhaltnis
(
dσ
dΩ
)
experimentell
/
(
dσ
dΩ
)
theor.,Punkt
(3.41)
Die Ladungsverteilung (oder allgemeiner: Dichteverteilung z.B. der hadronischenMaterie) erhalt man durch Fourier-Inversion des Formfaktors:
ρc(~r) =1
(2π)3
∫
0→∞Fc( ~K
2)e−i~K~rd ~K (3.42)
Das bedeutet, daß (im Prinzip) fur eine vollstandige Kenntnis von ρ(~r) F fur alleWerte des Impulstransfers bekannt sein mußte. Da ρ(~r) fur kleine ~r von den hohen
Komponenten von ~K bestimmt wird, ist dies in der Praxis nicht erreichbar. Ausdiesem Grunde wahlt man z.B. folgende Naherungen:
• Man macht Modellannahmen fur die Form der Verteilung: z.B. homogen gela-dene Kugel, exponentieller, Yukawa- oder Woods-Saxon-Verlauf.
• Man wahlt die modellunabhangige Methode der Entwicklung von ei~K~r nach
Momenten.
3.3.3 Modellansatze
Hierzu ist es nutzlich, die Fouriertransformierten verschiedener Modellverteilungendarzustellen:
27
Ganz allgemein laßt sich feststellen, daß ”scharfkantige“ Verteilungen zu oszillie-renden Formfaktoren (und damit Wirkungsquerschnitten), glatte Verteilungen zuglatten Formfaktoren fuhren. In Ubereinstimmung mit unserem Ansatz entsprichteiner δ-Verteilung ein konstanter Formfaktor (”Skaleninvarianz“).
3.3.4 Momentenentwicklung
Mit der Potenzreihenentwicklung von ei~K~r wird der Formfaktor
F ( ~K2) ∝∫
ρ(~r)[1 + i ~K~r − ( ~K~r)2
2!+−...]dτ (3.43)
Bei Annahme einer spharisch-symmetrischen Verteilung (reiner r-Abhangigkeit) undmit einer Normierung so, daß fur ein Punktobjekt der konstante Formfaktor gerade1 ergibt, gilt:
F ( ~K2) = 1− const ·K2∫
0→∞r2ρ(r)dτ ± ... (3.44)
Der zweite Term enthalt den mittleren quadratischen Radius 〈r2〉 = r2rms. Fur kleineWerte von K2〈r2〉 ergibt sich hieraus modellunabhangig (d.h. fur beliebige Formfak-toren):
F ( ~K2) ≈ 1− 1
6K2〈r2〉 (3.45)
Naturlich ist diese Naherung umso schlechter (d.h. man braucht umso hohere Mo-mente), je kleiner r ist, d.h. je feinere Strukturen der Verteilung man auflosen will.
3.3.5 Ergebnisse der Hadronenstreuung
Nachdem Beschleuniger zur Verfugung standen, konnten Ladungs- und Materie-dichteverteilungen der Kerne und deren Radien durch Abtasten der Verteilungenmit hadronischen Projektilen erforscht werden. Sowohl mit leichten und schwerenIonen, aber auch Neutronen als Projektilen ist zu beachten, daß sie Ausdehnungund Struktur besitzen. Das fuhrt dazu, daß detaillierte Aussagen uber die Dichte-verteilungen schwierig bzw. unmoglich sind. Aussagen uber Kernradien sind jedochmoglich. Hier soll auf die Resultate mit geladenen Teilchen eingegangen werden,bei denen die Wechselwirkung bekannt ist, wahrend Neutronen die Behandlung mitKernstreumodellen (z.B. Optisches Modell) voraussetzen.
3.4 Elektronenstreuung
Da Elektronen (und alle Leptonen) als punktformig gelten, sind sie, solange nichtdie hadronische Wechselwirkung direkt abgetastet werden soll, die idealen Projek-tile. Sie ”sehen“ die elektromagnetische (und schwache) Struktur der Kerne. DieBehandlung muß naturgemaß relativistisch sein. Anstelle des Rutherford- (Punkt-Coulomb-)Ansatzes muß die Dirac-Theorie treten.
28
Unterschiede zum (klassischen) Rutherfordquerschnitt entstehen neben der Relati-vistik durch den Spin der Leptonen. Die Ableitung der richtigen Streuquerschnittesetzt die Methoden der Quantenelektrodynamik (QED) und Techniken wie die derFeynman-Diagramme voraus. Hier sollen nur die Ergebnisse genannt werden. DieWechselwirkung zwischen Elektron und Hadron wird durch den Austausch virtuel-ler Photonen ubermittelt, der mit einem Ubertrag von Energie und Impuls einher-geht. Die Wellenlange dieser Photonen ergibt sich direkt aus dem ImpulsubertraghK = 2(hν/c) sin(θ/2) zu
λdeBroglie =h
hK= 1/K (3.46)
Das Beugungsbegrenzungsargument laßt sich auch im komplementaren Zeitbild for-mulieren; man kann sagen, daß man bei großenWellenlangen aufgrund der Unscharfe-relation lange Meßzeiten hat, in denen das Projektil nur ein zeitgemitteltes Bilddes betrachteten Objektes sieht, wahrend kleine Wellenlangen kurze Meßzeiten be-wirken, in denen man Momentaufnahmen des Objektes bzw. seiner Substrukturen(Partonen) erhalt.
Im wesentlichen kann man bei der Leptonenstreuung bei hoheren Energien drei Be-reiche des Impulsubertrages unterscheiden:
• Elastische Streuung bei kleinem Impulsubertrag ist geeignet, die Form des Ha-drons abzutasten. Die resultierenden Formfaktoren (es sind zwei) liefern wiederdurch Fourier-Inversion die Ladungs- und Strom-(magn. Moment-)verteilungenund die Radien der Hadronen.
• (Schwach) inelastische Streuung bei hoherem Impulsubertrag fuhrt zu Anre-gungen des Hadrons (z.B. Delta- oder Roper-Anregung des Nukleons). DieFormfaktoren sind sehr ahnlich denen der elastischen Streuung.
• Tief-inelastische Streuung ist geeignet, die Partonen der Hadronen zu sehen.Auf diese Weise wurden in der Elektronen- und Myonenstreuung die (gebun-denen) Quarks und ihre Eigenschaften (Spin, Impulsbruchteil) und auch dieSeequarks (s-Quark/Antiquarkpaare) identifiziert. Insbesondere zeigte sich diePunktformigkeit dieser Konstituenten durch die naherungsweise Konstanz derFormfaktoren (hier: Strukturfunktionen) mit dem Impulsubertrag (Bjorken-Scaling).
Hier soll nur auf die elastische Streuung naher eingegangen werden. Die QED liefertfur den differentiellen Wirkungsquerschnitt die Rosenbluth-Formel:
dσ
dΩ= (
dσ
dΩ)Punkt ·
F 2E + bF 2
M
1 + b+ 2bF 2
M tan2 θ
2
(3.47)
Der Punktquerschnitt (dσ/dΩ)Punkt ist ein verallgmeinerter Rutherfordquerschnittund ist mit den Methoden der QED (z.B. mittels Feynman-Diagrammen) bere-chenbar. Die allgemeinste Form dieses Querschnittes (der Dirac-Streuquerschnitt)
29
enthalt als Hauptanteil die elektrische Streuung, einen vom Impulsubertrag abhangi-gen Anteil der magnetischen (spinabhangigen) Streuung und eine Korrektur fur denKernruckstoß:
(
dσ
dΩ
)
Dirac
=α2
4p20 sin4(θ/2)
[
1 +2p0M
sin2 θ
2
]
cos2 θ2+
q2
2M2sin2 θ
2 (3.48)
Fur kleine Energien bzw. Impulsubertrage vereinfacht sich dies zu:(
dσ
dΩ
)
Mott
=[2e2(E ′c2)]
2
q4· E′
Ecos2
θ
2(3.49)
Die hier verwendeten Symbole bedeuten: q=Viererimpulsubertrag, b = −q2/(4m2c2),E ′ und E die Energien der aus- bzw. einlaufenden Elektronen. FE und FM sind dieelektrischen und magnetischen Formfaktoren des Nukleons.
Experimentell erhalt man sie aus den Meßdaten durch Anpassung, graphisch durchAuftragen des Rosenbluth-Plots, d.h. von (dσ/dΩ)exp./(dσ/dΩ)Punkt gegen tan2(θ/2).
Analog zum Rutherfordquerschnitt sind hier die Formfaktoren Fouriertransformier-te der Ladungs- bzw. Stromdichteverteilungen (Verteilung der (anomalen) magneti-schen Momente). Wie dort gewinnt man diese Verteilungen durch Fourierinversionder Formfaktoren und zugleich eine Aussage uber Form und Große der Nukleonen.
Die gemessenen Formfaktoren sind als Funktion von q2 so normiert, daß sie furq → 0 in die statischen Werte der elektrischen Ladung bzw. magnetischen Momenteubergehen. Bis auf den elektrischen Formfaktor des Neutrons lassen sich alle durcheinen Dipolansatz beschreiben, dem als Dichteverteilung eine Exponentialfunktionentspricht.
Ein fruher gangiger Modellansatz fur die Ladungsdichteverteilung war neben der ho-mogen geladenen Kugel gleicher Ladung eine modifizierte Woods-Saxon-Verteilung(auch die zentrale Dichte ρ0 muß neben dem Radiusparameter r0 und der Randdickea als Parameter behandelt werden, da er besonders bei leichten Kernen variiert):
ρc(r) =ρ0
1 + er−r
1/2a
(3.50)
“Moderne” Dichteverteilungen lassen sich nicht mehr so einfach beschreiben, sondernhaben komplexere Struktur, ohne daß die wesentlichen Ergebnisse sich andern. Diesewird aus modellunabhangigen Ansatzen (Fourier-Bessel-Entwicklungen) gewonnen.Radien werden als rms-Radien angegeben oder in den Aquivalentradius R (der einerhomogen geladenen Kugel gleicher Ladung) umgerechnet mit
rrms =√
3/5R. (3.51)
Kernradien aus myonischen Atomen sind teilweise genauer als aus der Leptonen-streuung, aber komplementar bezuglich des abgetasteten Radiusbereichs. Daher wer-den die Ergebnisse kombiniert (Abb. 3.5).
Als herausragende Ergebnisse dieser Untersuchungen sind zu nennen:
30
• Fur die Verteilungen erhalt man eine zentrale Dichte, die fur schwerere Kernein erster Naherung konstant ist. Dies und die Radiensystematik sind charakte-ristisch fur die Kernkrafte (Kurzreichweitigkeit, Sattigung und Inkompressibi-litat der Kernmaterie) und legen die Analogie zu dem Verhalten von Flussig-keiten nahe, was zur Entwicklung kollektiver Kernmodelle (Tropfchenmodell)fuhrte.
• Die Radien folgen i.w. dem einfachen Gesetz r = r0A1
3 . Der RadiusparameterR0 fur den rms-Radius wird gut durch 1,24 fm wiedergegeben.
• Die Randdicke aller Kerne ist nahezu konstant (10-90%-Wert t = 2,31 fmentsprechend a = t/4ln3 = 0,53 fm). Das erklart sich durch die Reichweite derKernkrafte unabhangig von der Kernmassenzahl A.
• Die Nukleonen haben keinen Kernrand. Die Ladungs- bzw. Strom- bzw. Mate-riedichte des Protons folgen i.w. einer exponentiellen Verteilung, beim Neutronist die Ladungsverteilung komplizierter, da Bereiche negativer und positiverLadung sich kompensieren mussen.
• Die rms-Radien fur die Stromverteilungen des Protons und Neutrons sowie dieLadungsverteilung des Protons sind 0,88 fm. Fur den rms-Ladungsradius desNeutrons ergibt sich aus dessen Ladungsverteilung 0,12 fm.
• Gerade letzterer Wert zeigt, daß die Nukleonen eine komplizierte Strukturbesitzen.
3.4.1 Materiedichteverteilungen und -radien
Hieruber kann man nur durch zusatzliche hadronische Streuexperimente Auskunfterhalten, da Neutronen und Protonen prinzipiell nicht die gleichen Verteilungenzeigen mussen. Insbesondere die Frage einer Neutronenhaut bei Kernen mit Neu-tronenuberschuß ist von Interesse. Erst neuerdings wurde eine solche uberzeugendnachgewiesen.
3.4.2 Sonderfalle: Halokerne
Es gibt eine Reihe von Kernen an den Randern des Stabilitatstals, die viel großereRadien haben, als der Systematik enstpricht. 11B hat etwa den gleichen Radius wie208Pb. Auch das Deuteron hat einen rms-Radius von etwa 3,4 fm. In allen Fallenscheinen die Kerne einen Halo von schwach gebundenen Neutronen zu besitzen,der sich um einen fester gebundenen Core-Kern ausdehnt. Indizien fur Halos wa-ren ungewohnlich große Wirkungsquerschnitte in Schwerionen-Reaktionen. Da essich um radioaktive Kerne handelt, sind fur ihre Untersuchung die in der Entwick-lung befindlichen “Radioactive Beams”-Beschleuniger geeignet, bei denen Kernreak-tionsprodukte gesammelt und beschleunigt werden und als Projektile in Reaktionenverwendet werden konnen. Die Abb. 3.6 und 3.7 zeigen die fur Halokerne charak-teristischen Eigenbschaften: (gegenuber der A1/3−Systematik) vergrosserte Radien
31
und weiter nach aussen reichende Dichteverteilungen sowie – im Einklang damit– engere Impulsverteilungen der Fragmente eines Aufbruchs des Halokerns (hier:19C →18 C + n, verglichen mit 17C →18 C + n.
32
δ(r)
δ(r −R)
Homogeneous
exp(−r)
exp(−r2)
exp(−r)r
1
(1 +K2)
exp
(−K2
2
)
1
(1 +K2)2
(sin(KR)
KR
)2
const(K)
r
r
r
r
r
r
K
K
K
K
K
K
R
1e–10
1e–09
1e–08
1e–07
1e–06
1e–05
.1e–3
.1e–2
.1e–1
.1
Gauß
Yukawa
Dipole
R
(sin(KR)−KR cos(KR)
(KR)3
)2
Abbildung 3.4: Quadrate der Fouriertransformierten verschiedener Ladungsdichte-verteilungen
33
Abbildung 3.5: Ladungsdichteverteilungen verschiedener Kerne
34
Abbildung 3.6: Fragment-Impulsverteilung und Dichteverteilung in Halokernen
Abbildung 3.7: Radien von Halokernen
35
36
Kapitel 4
Rolle von Erhaltungssatzen undSymmetrien in Kernreaktionen
4.1 Allgemeines
Neben den klassischen Erhaltungssatzen spielen in der Kern- und Teilchenphysikeine Reihe nichtklassischer Erhaltungssatze (z.B. der der Paritat) bzw. Symme-trien (z.B. die der Zeitumkehrinvarianz oder die Austauschsymmetrie identischerTeilchen) eine Rolle. Insbesondere waren historisch die Verletzungen von als selbst-verstandlich fur gultig gehaltenen Symmetrien von großer Bedeutung und kamenkleinen Umsturzen im Weltbild gleich. Es zeigte sich, daß die Gultigkeit von Erhal-tungssatzen/Symmetrien von der Art der fundamentalen Wechselwirkung abhangt,die man betrachtet und daß die Zahl der Erhaltungen mit zunehmender Starke derWechselwirkung zunimmt. Tabelle 1 zeigt dies fur die bekanntesten Symmetrien.
Ist F der Operator einer Erhaltungsgroße und nicht explizit von der Zeit t abhangig,so ist das gleichbedeutend mit der Vertauschbarkeit von F mit dem Hamiltonopera-tor H. Dann existieren Eigenfunktionen von H, die gleichzeitig Eigenfunktionen zuF sind. (Ist F explizit zeitabhangig, so muß zusatzlich noch ∂F/∂t = 0 sein).
In einfachen Fallen laßt sich die Vertauschbarkeit direkt nachrechnen. Beispiele:Hamiltonoperator und Erhaltung der Gesamtenergie E fuhren zu der Aussage, daßder physikalische Vorgang nicht zeitabhangig sein darf, analog fur Impulserhaltungund Ortsunabhangigkeit, Drehimpulserhaltung und Unabhangigkeit vom Winkel beiDrehungen.
Hieraus wird sofort klar, daß Erhaltungssatze an Symmetrien gekoppelt sind (Noether-Theorem (1918): Wenn ein physikalisches Gesetz invariant unter einer Symmetrie-transformation ist, dann existiert dazu ein Erhaltungssatz). U ist dann ein Symme-trieoperator, wenn U|Ψ〉 dieselbe Schrodingergleichung erfullt wie |Ψ〉 :
37
Tabelle 1: Erhaltungsgroßen (und deren Brechung) und fundamentaleWechselwirkungen
Erhaltungsgroße STARKE EL-MAG SCHWACHE
oder Symmetrie WECHSELWIRKUNG
Masse/Energie
+ + +
Impuls, Drehimpuls
Ladung Q + + +
Isospin T + - -
Strangeness S
Charm C,... + + -
Beauty B, Topness T
Paritat P + + -
Ladungskonjugation C + + -
Baryonenzahl B + + +
Leptonenzahl(en) + +
Hyperladung Y + + -
Zeitumkehr T + + (-?)
CP + + (-)
CPT + + +
38
ihd
dt(U |Ψ〉) = HU |Ψ〉 (4.1)
Dann gilt auch (zusammen mit UU−1=1 ):
ihd
dt|Ψ〉 = U−1HU |Ψ〉 , (4.2)
woraus (zusammen mit ihd/dt |Ψ〉) folgt:
[H,U] = 0 (4.3)
Wenn man die explizite Vertauschbarkeit nicht zeigen kann, weil z.B. das im Hamil-tonoperator auftretende Potential gar nicht genau bzw. in analytischer Form bekanntist (ein fur die Kernphysik typischer Fall), muß man das Verhalten unter der entspre-chenden Symmetrieoperation untersuchen. Im Falle der Zeitumkehrinvarianz gibt esauf Grund der Eigenschaften des Zeitumkehroperators keine Erhaltungsgroße, wohlaber eine Symmetrie.
Eine weitere wichtige Unterscheidung ist die zwischen diskreten und kontinuierli-chen Transformationen. Erstere haben multiplikative Quantenzahlen, die anderenadditive. Typische diskrete Transformationen sind die Paritatsoperation oder dieAustauschsymmetrieoperation, kontinuierlich sind die Drehungen im Raum (Erhal-tungsgroße Drehimpuls) oder Isospinraum (Erhaltungsgroße Isospin), Translationenin Raum und Zeit (Erhaltungsgroßen Impuls und Energie).
4.1.1 Diskrete Transformationen
Der Operator einer Symmetrietransformation muß unitar sein: U† = U−1. Die zwei-fache Hintereinanderausfuhrung der Transformation fuhrt zum ursprunglichen Zu-stand zuruck. Die Eigenwerte des Transformationsoperators sind damit ±1. Fur dieParitat:
PΨ = πΨ und P 2Ψ = Ψ (4.4)
Damit der Symmetrieoperator eine Observable darstellt, muß er (um reelle Eigen-werte zu haben) zusatzlich hermitesch sein: U = U†. Fur diskrete Transformationenist dies erfullt und der Symmetrieoperator auch der der Erhaltungsgroße (Beispiel:Paritat).
4.1.2 Kontinuierliche Transformationen
Der Symmetrieoperator schließt sich hier stetig (kontinuierlich, d.h. auch infinitesi-mal) an die Einheitsoperation an und wird durch einen Generator F der Transfor-mation erzeugt.
U = eiǫF = 1 + iǫF+(iǫF)2
2!+ . . . (4.5)
39
mit ǫ reell und < 1. Die Bedingung fur Unitaritat von U ist (zunachst fur infinite-simale Transformationen):
U†U ≈ (1− iǫF†)(1 + iǫF) (4.6)
= 1− iǫ(F† − F) +O[
(iǫF)2]
= 1 (4.7)
d.h.F† = F, (4.8)
also Hermitezitat von F. F ist damit die Observable zu U. Wenn U ein Symmetrie-operator ist, der mit H kommutiert, so auch F:
H(1 + iǫF)− (1 + iǫF)H = 0, (4.9)
d.h.[H,F] = 0. (4.10)
F ist also die zur Symmetrietransformation U gehorende Erhaltungsgroße.
Erhaltungssatze fuhren zu Quantenzahlen, Auswahlregeln (Verboten) und Verzwei-gungsverhaltnissen, die auch den Ablauf von Kernreaktionen bestimmen.
4.2 Erhaltungsgroßen in Kernreaktionen
4.2.1 Energieerhaltung
Die Erhaltung der Gesamtenergie (Ruhe- + kinetische Energie) spielt in der Dy-namik und in der Kinematik von Kernreaktionen eine wichtige Rolle. Hier soll nurdie Kinematik angesprochen werden. Der Q-Wert von Kernreaktionen ist durch dieMassendifferenzen zwischen Aus- und Eingangskanal definiert:
Q =
[
(m1 +m2)−∑
nout
mi
]
c2 (4.11)
Wegen der Konstanz der Gesamtenergie laßt sich Q auch durch die Differenz der ki-netischen Energien ausdrucken. Die je nach dem Wert von Q als endotherm (Q < 0),elastisch (Q = 0) oder exotherm (Q > 0) bezeichneten Reaktionen haben sehr ver-schiedenes Verhalten, besonders bei niedrigen Energien. Die endothermen Reaktio-nen beginnen erst bei einer Schwellenenergie, bei der die Energie der Relativbewe-gung (”Energie im Schwerpunktsystem“ Ec.m.) gerade gleich Q ist.
4.2.2 Impulserhaltung
Die Erhaltung des Impulses ist quantenmechanisch ebenso wichtig wie in klassischenStoßprozessen. Zusammen mit der Energieerhaltung bestimmt sie die Kinematikaller Zerfalle und Kernreaktionen. Bestimmte Prozesse wie die Paarbildung sindnicht moglich, wenn nicht ein schwerer Stoßpartner fur die Impulserhaltung sorgt.
40
4.2.3 Reaktionskinematik
Eine wichtige Anwendung der beiden Erhaltungssatze liegt in der Transformation(nichtrelativistisch: Galilei-Transformation, relativistisch: Lorentz-Transformation)zwischen verschiedenen Koordinatensystemen, speziell zwischen Labor- und demsog. Schwerpunkt(c.m.)-System. Bei der Reduktion des Zweikorpersystems des Ein-gangskanals auf ein Einkorperproblem der Relativbewegung sowohl bei klassischenBewegungsgleichungen wie auch fur die Schrodingergleichung fur Stoßprozesse folgt,daß die Bewegung des Schwerpunktes geradlinig-gleichformig ist und von der Stoß-dynamik nicht beeinflußt wird. Die Stoßdynamik ist nur von der Relativbewegungabhangig. Ihr entspricht die fur eine Reaktion verfugbare Energie, die stets kleiner istals die Gesamtenergie oder die gesamte kinetische Energie im Laborsystem. Theore-tische Betrachtungen erfolgen i.a im c.m.-System; die experimentellen Daten mussendaher kinematisch in dieses umgerechnet werden (oder vice versa).
4.2.4 Drehimpulserhaltung
Die Drehimpulserhaltung ist mit kontinuierlichen Transformationen, namlich Dre-hungen im Raum verbunden. Der Generator infinitesimaler Rotationen z.B. um diez-Achse ist
R = 1 + δφ∂
∂φ. (4.12)
Mit der z-Komponente des Drehimpulsoperators J
Jz = −ih(
x∂
∂y− y
∂
∂x
)
= −ih ∂
∂φ(4.13)
ergibt sich:
Rinf = 1 +i
hJzδφ (4.14)
bzw.
Rfin = limn→∞
(1 +i
hJzδφ)
n = exp(i
hJz∆φ) fur endliche Drehungen. (4.15)
Jz ist dann erhalten ([Jz,H] = 0), wenn das Potential nicht explizit von φ abhangt.Analog ist J bzw. J2 dann erhalten, wenn das Potential explizit nur von r, nichtaber von θ, φ abhangt, d.h. wie in der klassischen Physik fur Zentralkrafte, denn derOperator von J wirkt nur auf Winkelvariable.
Die ubliche Beschreibung von Kernreaktionen berucksichtigt die Erhaltung des Dre-himpulses dadurch, daß die Observablen in der Drehimpulsdarstellung beschriebenwerden. Die Losung der Schrodingergleichung erfolgt i.a. in spharischen Polarkoor-dinaten. Die Drehimpulseigenfunktionen Y m
ℓ (θ, φ) sind die winkelabhangigen Teile
41
der Wellenfunktion und von der Ortswellenfunktion abspaltbar. Fur Teilchen mitSpin ist die Beschreibung wesentlich komplizierter, da die Bahndrehimpulse undKanalspins von Ein- und Ausgangskanal jeweils zum Gesamtdrehimpuls J gekop-pelt werden mussen. Hierzu dienen je nach Observabler 3j- 6j- oder 9j-Symbole. Derallgemeinste Formalismus hierfur wurde von Welton (s. Literaturliste) angegebenund fuhrt auf Drehfunktionen DL
MM ′(θ, φ, β).
Fur spinlose Teilchen und Zentralkrafte ist der Bahndrehimpuls ℓ Erhaltungsgroße,fur Reaktionen mit Teilchen, deren Spin 6= 0 ist, ist nur der Gesamtdrehimpuls Jerhalten. Es gilt also bei (Zweiteilchen-)Kernreaktionen
~ℓin + ~sa + ~sA(→ ~J(Zwischenzustand))→ ~ℓout + ~sb + ~sB (4.16)
Die Vektorsumme ~Sin = ~sa + ~sA bzw. ~Sout = ~sb + ~sB nennt man die Eingangs- bzw.Ausgangskanalspins.
4.2.5 Paritatserhaltung
Die Paritatsoperation P bedeutet die raumliche Spiegelung des physikalischen Sy-stems am Ursprung und ist eine diskrete Transformation:
P~r = −~r (4.17)
bzw.Pr = r, Pθ = π − θ, Pφ = π + φ (4.18)
undPt = t, P~p = −~p, P~ℓ = ~ℓ. (4.19)
Ihr wird die multiplikative Quantenzahl “Paritat” π zugeordnet:
PΨ = πΨ. (4.20)
Nacheinanderausfuhrung zweier Paritatsoperationen fuhrt zuruck zum alten System
P 2Ψ = Ψ, (4.21)
daher ist der Eigenwert der Paritatsoperation
π = ±1. (4.22)
Das System verhalt sich auch bei Paritatserhaltung “paritatsgerade oder -ungerade”.Die P-Operation transformiert daher auch einen (unitaren) Operator entsprechend:
PUg,uP−1 = ±Ug,u. (4.23)
Fur Ubergangsmatrixelemente gilt daher:
〈α|Ug,u|β〉
6= 0
= 0, wenn α und β
gleiche
verschiedeneParitat haben . (4.24)
Entsprechend gilt fur Eigenzustande wohldefinierter Paritat (also bei Paritatserhal-tung): der Erwartungswert eines paritatsungeraden Operators muß verschwinden.Ein Beispiel sind Pseudoskalare wie die Helizitat (longitudinale Polarisation) 〈σ~p〉:
〈α±|σ~p|α±〉 = 0 (4.25)
42
4.2.6 Kernreaktionen unter Paritatserhaltung
Die Paritat tritt in Kernreaktionen in zwei Erscheinungsformen auf:
• Jedem Teilchen kommt eine intrinsische Paritat zu. Ordnet man den Nukleo-nen positive Paritat zu, so folgen daraus die Paritaten aller Teilchen uberentsprechende sie verbindende Kernreaktionen (Beispiel: Aus der Reaktionnp → dπ folgt, zusammen mit der Isospinerhaltung, die negative Paritat derPionen).
• Entsprechend dem Paritatsverhalten der spharischen Kugelflachenfunktionen:
PY mℓ (θ, φ) = (−)ℓY m
ℓ (θ, φ) (4.26)
ist die Paritat der Relativbewegung
π = (−)ℓ (4.27)
Daher gilt fur eine Kernreaktion
πa · πA · (−)ℓin → π(Zwischenzustand) → πb · πB · (−)ℓout (4.28)
Abb. 4.1 zeigt das Verhalten der Kernreaktion bei Raumspiegelung.
Zusammen mit der Drehimpulserhaltung beschrankt die Paritatserhaltung die Zahlder moglichen Drehimpulskanale bzw. Zwischenzustande (bei Compoundkernreak-tionen). So sind fur einen wohldefinierten Zwischenzustand (Resonanz, Compound-kernzustand) mit fester Paritat π die Bahndrehimpulse im Ein- und Ausgangskanalentweder nur gerade oder ungerade; die jeweils andere Moglichkeit, wenn sie durchdie Drehimpulskopplung moglich ware, scheidet aus.
Die Erhaltung der Paritat gilt fur die starke Wechselwirkung als gesichert, eben-so ihre vollstandige Verletzung in der schwachen Wechselwirkung. Dies hat vielfa-che Konsequenzen. Einerseits vereinfacht sich die Beschreibung von Kernreaktionen(insbesondere die der Polarisationsobservablen) u.U. erheblich, da eine Reihe vonObservablen verschwindet. Fur andere gibt es zumindest Einschrankungen, z.B. wasdie moglichen Drehimpulse betrifft. Andererseits bieten Kernreaktionen die reizvolleMoglichkeit, durch Messung “verbotener” Observabler nach Effekten der Paritats-verletzung zu suchen.
4.2.7 Kernreaktionen unter Paritatsverletzung
Eine Wellenfunktion “guter” Paritat ist entweder paritatsgerade oder -ungerade. Ei-ne Wellenfunktion zu Zustanden nichterhaltener Paritat ist stets “paritatsgemischt”mit einem Mischungsparameter F mit
Ψ = (1− F )1/2Ψg + F 1/2Ψu. (4.29)
43
A
A
a
a
b
b
B
B
A a
B
bP
I k k in out
k k in outX
X
k
In =
k
πR :
in
out
Abbildung 4.1: Wirkung der Paritatsoperation in einer Kernreaktion mit Spins
Ein Operator hat nichtverschwindende Erwartungswerte fur solche gemischten Wel-lenfunktionen nur, wenn er paritatsungerades Transformationsverhalten hat:
〈Ψ|U |Ψ〉 = (1−F )1/2[〈Ψg|U |Ψg〉+〈Ψu|U |Ψu〉]+2F 1/2·〈Ψg|U |Ψu〉 = 2F 1/2·〈Ψg|U |Ψu〉(4.30)
Eine longitudiale Polarisation bzw. Analysierstarke ist eine solche Meßgroße. Ge-nauer zeigt man, daß, wenn die Quantisierungsachse y des Spins bei Kernreaktionenmit polarisierten Teilchen durch
y =~kin × ~kout
|~kin × ~kout|(4.31)
gegeben ist, die anderen beiden Komponenten der Polarisation (Analysierstarke) inx− und z-Richtung bei Paritatserhaltung verschwinden mussen, bzw. bei Paritats-verletzung gerade nicht verschwinden.
Damit ergibt sich eine auf diese Verletzung empfindliche Meßgroße Pz bzw. Az. Dieletztere wurde v.a. in der pp-Streuung bei mehreren Energien gemessen. Der durchdie schwache Wechselwirkung bedingte paritatsverletzende Effekt hat im Wirkungs-querschnitt eine Großenordnung von 10−7 des uberlagernden Effekts der starken
44
Wechselwirkung. Er muß daher, um ihn mit einer ausreichenden Statistik nachzu-weisen, mit einer absoluten Genauigkeit von besser als 10−8 und mit kleinen syste-matischen Fehlern gemessen werden. 4.2 zeigt den Stand der Experimente und eineklare Paritatsverletzung im Einklang mit dem Standardmodell.
Abbildung 4.2: Meßwerte der longitudinalen Analysierstarke in der p-p-Streuung bei15 MeV (Los Alamos, Bonn), 45 MeV (SIN/PSI) und 800 MeV (ANL) im Vergleichzur Vorhersage des Standardmodells (Desplanques, Donoghue und Holstein)
4.3 Isospin in Kernreaktionen
Der Isospin (und seine Erhaltung) in Kernreaktionen geht auf Heisenberg (1932)zuruck und wurde durch die Ahnlichkeit der Wirkungsquerschnitte (genauer derStreulangen (s.u.)) in der pp(nach Abzug der Coulombeffekte)-, np- und nn-Wech-selwirkung nahegelegt. Spater wurden weitere Ubereinstimmungen z.B. der magne-tischen Formfaktoren der Nukleonen gefunden. Iso-Multipletts in Spiegelkernen un-terscheiden sich bei gleicher Kernstruktur naherungsweise nur in den Coulombener-giedifferenzen, und in der Teilchenphysik spielen die Iso-Multipletts eine große Rolle(dort sind Coulombenergiedifferenzen klein gegen die Gesamtenergie).
4.3.1 Formalismus
Der Isospin laßt sich formal wie der Spin behandeln. Man definiert fur die hadroni-sche Wechselwirkung Isospinoperatoren (Vektoren mit den ublichen Vertauschungs-relationen, Leiteroperatoren, Isospinkopplung, Isospinunterzustande etc.). Die zu-
45
gehorigen Symmetrietransformationen sind Drehungen im Isospinraum. Isospiner-haltung bedeutet Invarianz unter Drehungen im dreidimensionalen Isoraum
U = eiθ~nT/h (4.32)
mit detU=1. In der starken Wechselwirkung bleibt die Lange√
T (T + 1) des Vek-
tors T bei Drehungen konstant (Skalar im T-Raum). In der elektromagnetischenWechselwirkung werden die T-Multipletts in 2T+1 Komponenten aufgespalten, dieverschiedenen Ladungszustanden entsprechen. Q=T3+Y/2 (Y = Hyperladung; Gell-Mann, Nishijima-Relation, fur Kerne Y=A=Baryonenzahl). T ist also in der elek-tromagnetischen Wechselwirkung keine Erhaltungsgroße. In der starken Wechselwir-kung liegt die Annahme einer Erhaltung von T wegen der Ubereinstimmungen inden Eigenschaften der Mitglieder von Iso-Multipletts nahe, muß aber gepruft wer-den. Tatsachlich findet man, daß die Isospinsymmetrie bis zur Großenordnung vonetwa 1% gebrochen ist. T3 dagegen ist wegen der Ladungserhaltung eine perfekteErhaltungsgroße.
t =-1/23
t =1/23
Nukleon
t=1/2 Proton (Q/e)=1
Neutron (Q/e)=0
mit el.-magn.Wechselwirkung
Abbildung 4.3: Brechung der Isospinsymmetrie durch die elektromagnetische Wech-selwirkung
In der Kernphysik ordnet man dem Nukleon (ein Zweizustandssystem) den Isospint = 1/2, dem Proton die “UP”-Projektion t3 = +1/2, dem Neutron die “DOWN”-Projektion t3 = −1/2 zu. Fur zusammengesetzte Systeme ist der Gesamtisospin dieVektorsumme der Komponentenisospins, fur die Projektionen die skalare:
T =A∑
i=1
t(i); T3 =A∑
i=1
t(i)3 , (4.33)
und es gilt fur Kerne: T3 = −1/2(N − Z) und Tmin = 0 fur gerade A, Tmin = 1/2fur ungerade A, Tmax = A/2.
Formal ist (unter der Annahme der Isospinerhaltung) auch die Verallgemeinerungdes Pauliprinzips durch Einbeziehung des Isospins. Ein Fermionenzustand wird da-nach nur durch eine Wellenfunktion beschrieben, die eine antisymmetrisierte Pro-duktwellenfunktion aus Orts-, Spin- und Isospinwellenfunktion ist. Damit schließtman z.B. im Nukleon-Nukleon-System jeden zweiten im Prinzip moglichen Zweinu-kleonenzustand aus.
Tabelle 2: Erlaubte Partialwellenzustande des Zweinukleonensystems
46
T = 0 T = 1
S = 0 S = 1 S = 0 S = 1
L = 0 − 3S1(d)1S0(d
∗) −L = 1 1P1 − − 3P0,1,2
L = 2 − 3D1,2,31D2 −
Bei Isospinerhaltung ist z.B. der Ubergang vom (gebundenen) Triplett-Deuteronzum (ungebundenen) Singulett-Deuteron in der Endzustandswechselwirkung derAufbruchreaktion
p+ d→ p+ (n + p)1S0=d∗ (4.34)
strikt verboten. Man hat experimentell Hinweise auf diesen Ubergang gefunden, wasdarauf hinweist, daß der Isospin nicht vollstandig erhalten ist. Tatsachlich bricht dieelektromagnetische Wechselwirkung die Isospinerhaltung trivialerweise, so daß dieFrage entsteht, ob die (schwachen) beobachteten Isospinbrechungen durch Einflusseder Coulombkraft entstehen oder ein fundamentaler Zug der starken Wechselwirkungsind. Heute nimmt man an, daß letzteres gilt.
4.3.2 Isospin als Erhaltungsgroße
Die Frage der Isospinerhaltung (-verletzung) geht weit uber den reinen Formalismushinaus. Das Verhalten bestimmter Reaktionen weist zunachst auf eine weitgehendeIsospinerhaltung (von Coulombeffekten abgesehen) hin. Beispiele sind:
• Die Verzweigungsverhaltnisse bestimmter Reaktionen lassen sich weitgehenddurch die Isospinkopplung mittels Clebsch-Gordan-(3j)-Koeffizienten erklaren(dies setzt voraus, daß das Ubergangsmatrixelement nicht wesentlich von derdritten Komponente des Isospins abhangt):
p+ d→3 He+ π0(1) verglichen mit p+ d→3 H + π+(2) (4.35)
Aus den Isospin-CG-Koeffizienten errechnet man das Verhaltnis der Wirkungs-querschnitte im Einklang mit den Experimenten zu:
(dσ/dΩ)1(dσ/dΩ)2
=
(
〈121210|1
212〉
〈12− 1
211|1
212〉
)2
=
−√
1/3√
2/3
2
= 1 : 2 (4.36)
Weitere Beispiele sind die Pion-Nukleon-Streuung oder Reaktionen wie pp →dπ+/pn→ dπ0.
• Resonanzen in isospinverbotenen Compoundprozessen zeigen um Großenord-nungen kleinere Bildungs-(bzw. Zerfalls-) Wahrscheinlichkeiten, die sich in ih-rer totalen Breite Γ ausdrucken, als vergleichbare nichtverbotene Resonanzubergange.Ein Beispiel ist die Reihe schmaler Resonanzen in der elastischen Protonen-streuung an leichten Kernen wie 12C,24Mg u.a., bei denen der Eingangskanal
47
den Isospin T = 1/2 hat, die Resonanzen aber zu Zustanden mit IsospinT = 3/2, T = 5/2 gehoren:
p +12 C →13 N∗(Ep = 14.231MeV )→ p+12 C. (4.37)
Die Resonanz ist nur 1.1 keV breit, vergleichbare benachbarte Resonanzenhaben Breiten von ca. 100 keV. (Diese Resonanz wird wegen ihrer Scharfe zurEnergieeichung von Beschleunigern verwendet). Das Nichtverschwinden derBreite ist allerdings ein Indiz dafur, daß die Isospinerhaltung nicht vollstandigist.
• Isobar-Analog-Resonanzen (IAR) sind ebenfalls ein gutes Beispiel fur Isospin-erhaltung und gleichzeitiger schwacher Isospinbrechung. Bei schweren Kernenhatte man zunachst v.a. wegen der Starke der Coulombwechselwirkung keineIsospinerhaltung erwartet. Das Auftreten ausgepragter IAR jedoch wies aufeine relativ gute Isospinreinheit der Systeme, die durch — wegen der hohenAnregungsenergie — schnellen Zerfall der Zustande, der eine starke Mischungverhindert, erhalten bleibt. Der Doorway-Mechanismus, uber den die IAR mitIsospin T> = T0 + 1/2 in die — mit ihnen mischenden — sehr dichtliegendennormalen Compoundzustande mit T< = T0− 1/2 zerfallen, bevor sie weiter inden Ausgangskanal zerfallen, setzt diese Mischung von Zustanden verschiede-nen Isospins voraus.
Aus der Kernstrukturphysik leichter Kerne kennt man ebenfalls Beispiele der Iso-spinerhaltung (Isobarenmultipletts wie 3H und 3He), bei denen die sorgfaltige Kor-rektur auf Coulombeffekte einen Rest von Isospinbrechung unerklart laßt (Nolen-Schiffer-Anomalie).
Erst 2003 wurde erstmals ein von Null verschiedener, wenn auch sehr kleiner Wir-kungsquerschnitt der isospinverbotenen Reaktion
d+ d→4 He+ π0 (4.38)
gemessen, eine klare Brechung der Ladungssymmetrie.
Nach heutigem Verstandnis der Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung als durch denAustausch von Mesonen vermittelt gelten als nichttriviale Ursache der Isospinbre-chung vor allem:
• Die Massendifferenz von π0 und π±. Auf dem Niveau der QCD ist deren Ur-sache wiederum die Massendifferenz zwischen u- und d-Quark.
• Die Mischung der beiden Mesonen ρ mit t=1 und ω mit t=0 im Mesonenaus-tausch zwischen Nukleonen.
Henley und Miller geben eine detaillierte Klassifizierung der verschiedenen Moglich-keiten der Isospinbrechung bzw. -mischung (Class I bis Class IV). Im Nukleon-Nukleon-System sind davon die Effekte der Ladungsunabhangigkeit (Gleichheit der
48
Observablen des np- und der pp/nn-Systeme) und der Ladungssymmetrie (Gleich-heit der Observablen des nn- und des pp-Systems) bzw. deren Brechung von Inter-esse. Die Streulangen zeigen in empfindlicher Weise die Brechung der Ladungsun-abhangigkeit, wahrend eine kleine Ladungssymmetriebrechung erst vor kurzem inschwierigen Mittelenergieexperimenten nachgewiesen wurde (TRIUMF, IUCF).
4.4 Austauschsymmetrie in Kernreaktionen iden-
tischer Teilchen
Bei der Streuung identischer Teilchen kann ein Detektor beim c.m.-Winkel θ nichtunterscheiden, ob er z.B. unter dem Vorwartswinkel Θ gestreute oder Ruckstoßteil-chen unter dem Winkel π − θ registriert. Dies zeigt Abbildung 4.4.
π−Θ
Θ
c.m.
c.m.
Abbildung 4.4: Trajektorien identischer Teilchen im c.m.-System
Die formale Streutheorie (s.u.) zeigt, daß dies bedeutet, daß die Winkelverteilungsymmetrisch um π/2 sein muß bzw. durch gerade Legendre-Polynome beschriebenwird. Qunatenmechanisch ist daruberhinaus zu erwarten, daß die vor- und ruck-gestreuten Teilchenwellen miteinander interferieren. In einem solchen Fall ist keineklassische Beschreibung des Streuvorganges moglich. Die Details der Interferenz sindzudem noch von der Spinstruktur der wechselwirkenden Teilchen abhangig: identi-sche Bosonen verhalten sich anders als identische Fermionen und bei Teilchen mitSpin (d.h. immer fur Fermionen) mussen die gekoppelten Spinzustande mit ihrendurch die Spinmultiplizitat gegebenen Gewichtsfaktoren im Wirkungsquerschnittuberlagert werden. Das folgende auch experimentell nachgeprufte Beispiel soll dieserlautern.
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Tabelle 3: Henley-Klassifizierung der Isopinbrechung in Zweinukleonen-Kernkraften
KLASSE FORM des Iso-Potentials WIRKUNG BEISPIEL
Isoskalar Ladungssymmetrie (CS) gilt in der starken Ww.
I V Iij = A+B~τ (i) · ~τ (j) Ladungsunabhangigkeit (CI) in erster Naherung
Rotationsinvarianz n-n = n-p = p-p
im Isoraum
Isotensor CS, nicht CI n-n = n-p
II V IIij = C[τ3(i)τ3(j) Invarianz unter Reflexion an n-p(T=1) = n-p(T=0)
−13~τ (i)~τ(j)] der 1-2-Ebene des Isoraums n-p(T=1) 6= n-n/p-p
3. Komponente keine CS, keine CI n-n 6= n-p
III Isovektor aber Symmetrie bei [V IIIij , T 2] ∝ [T3, T
2] = 0
V IIIij = D[τ3(i) + τ3(j)] Vertauschung 1 ←→ 2 kein “Mixing”
wirkt nicht auf n-p
V IVij = E[τ3(i)− τ3(j)] keine CS, keine CI nur fur n-p
IV +F [~τ(i)× ~τ (j)] Antisymmetrie bei [V IVij , T 2] 6= 0
Austausch 1 ←→ 2 ”Mixing”
Ubergange 3Lj ←→1 Lj
d←→ d∗
Ursprung: nicht Coulomb,
sondern
md 6=mu, ρ0 − ω−,
π0 − η−Mixing
Test: z.B. in der n-p-Streuung:
∆P (θ) ≡ Pn(Θ)− Pp(π − θ) 6= 0?
∆A(θ) ≡ An(θ)− Ap(π − θ) 6= 0?
50
4.4.1 Identische Bosonen mit I = 0
Hier gilt(dσ/dΩ(θ))B = |f1(θ) + f2(π − θ)|2 (4.39)
4.4.2 Identische Fermionen mit I = 1/2
Hier gilt fur das Spin-Singulett:
(dσ/dΩ(θ))s = |f1(θ)− f2(π − θ)|2 (4.40)
und fur das Triplett:
(dσ/dΩ(θ))t = |f1(θ) + f2(π − θ)|2 . (4.41)
Beide mussen im Gesamtquerschnitt mit ihren Spingewichten gemittelt (inkoharentaddiert) werden:
(dσ/dΩ(θ))F =1
4|f1(θ) + f2(π − θ)|2 + 3
4|f1(θ)− f2(π − θ)|2 (4.42)
Die Interferenz erfolgt in diesen beiden Fallen mit umgekehrtem Vorzeichen, wasz.B. bei θ = π/2 zur Folge hat, daß im Fall der Bosonen ein Interferenzmaximum,fur Fermionen ein Minimum angenommen wird. Unter der speziellen Annahme, daßkeine Spin-Spin-Kraft wirkt (fs=ft=f), und da dort f(θ)=f(π− θ) ist, erhalt man furidentische Fermionen eine Absenkung, fur identische Bosonen eine Anhebung jeweilsum den Faktor 2 gegenuber dem klassischen Wirkungsquerschnitt.
Fur reine Coulombstreuung identischer Teilchen lassen sich die Streuamplitudenexplizit (d.h. auch uber Partialwellen aufsummiert) angeben, da es sich um die ausder Streutheorie bekannten Rutherfordamplituden handelt:
(
dσ
dΩ
)
Coul
=
(
1
4πǫ0
z2e2
4E∞
)2 1
sin4 θ2
+1
cos4 θ2
+2(−1)2s cos[ηs ln tan2 θ
2]
(2s+ 1) sin2 θ2cos2 θ
2
(4.43)
Es treten neben dem Vorwarts-Rutherford-WQ ein entsprechender Ruckstreu-Ruther-fordterm sowie ein Interferenzterm zwischen beiden auf. Die Abbildung 4.5 zeigt die-ses Verhalten (das dem des Lichtes im Youngschen Doppelspaltversuch entspricht,jedoch zusatzlich den Einfluß von Spin und Statistik zeigt).
4.5 Zeitumkehrinvarianz
Durch die Verletzung der CP-Invarianz in der schwachen Wechselwirkung ist auch(uber das CPT-Theorem) die Gultigkeit der Zeitumkehrinvarianz in Frage gestelltworden.
51
Abbildung 4.5: Experimentelle c.m.-Winkelverteilungen der Coulombstreuung zwei-er identischer Bosonen (12C) bzw. Fermionen (13C), sowie nichtidentischer Teilchennahezu gleicher Massen und theoretische Winkelverteilungen bei Elab=7 MeV. DasBild nichtidentischer Teilchen (links unten) entsteht, wenn die Spektren der elastischvorwarts bzw. ruckwarts gestreuten Teilchen durch den Detektor nicht getrennt wer-den konnen. Andernfalls hatte man die normale Rutherfordstreuung.
Die Zeitumkehrinvarianz stellt eine Besonderheit dar. Zu ihr gibt es keine Erhal-tungsgroße (und Quantenzahl), da der Operator T der Zeitumkehr antilinear undunitar = antiunitar ist. Er wirkt folgendermaßen:
• T t = −t
• T~r = ~r
• T~p = −~p
• T ~L = −~L
• T ~S = −~S
Die Zeitumkehroperation laßt die (zeitabhangige) Schrodingergleichung nicht form-invariant:
T : −∂Ψ∂t
=h2
2µ∇2Ψ→ − ∂Ψ
∂(−t) =h2
2µ∇2Ψ =
∂Ψ
∂t(4.44)
52
Die Forminvarianz unter der T-Operation laßt sich erst durch die zusatzliche Ope-ration der komplexen Konjugation (Operator CC) wiederherstellen:
T = T0 · CC (4.45)
AlsoTΨ(t) = Ψ∗(−t) (4.46)
Die Wellenfunktion des freien Teilchens wird durch die T-Operation in die konjugiertkomplexe umgewandelt:
T : ei(kr−Et/h) → e−i(kr−Et/h) (4.47)
Auf Bewegungsvorgange angewandt bewirkt der Operator T eine Bewegungsumkehr.Bei Kernreaktionen vertauscht er Ein- und Ausgangskanal, ein- und auslaufende Im-pulse und Spins. Die Zeitumkehrinvarianz hat prinzipielle und praktische Bedeutung.Ihre Gultigkeit laßt sich im Prinzip in Kernreaktionen testen. Wenn sie gilt, verein-facht sie die Beschreibung von Kernreaktionen, insbesondere der Polarisationsobser-vablen bei Teilchen mit Spin. Abb. 4.6 zeigt die Wirkung der Zeitumkehroperationauf eine Kernreaktion mit Spins.
Aa
b
B
T
n
n k out
in outX
X In =
k
k in
out
k
k I in
k
T
A
B
b
a
Abbildung 4.6: Wirkung der Zeitumkehroperation auf eine Kernreaktion mit Spins
4.5.1 Zeitumkehr und Reziprozitat
Im Rahmen der Storungstheorie lassen sich aus der Reziprozitat Beziehungen zwi-schen den Observablen von Hin- und Ruckreaktionen herstellen. Die Fermische Gol-
53
dene Regel verbindet beide uber das Ubergangsmatrixelement:
(
dσ
dΩ
)
→
=2π
h|〈Ψout|Hif |Ψin〉|2 ρ→ (4.48)
(
dσ
dΩ
)
←
=2π
h|〈Ψout|Hif |Ψin〉|2 ρ←. (4.49)
Bei Zeitumkehrinvarianz ist fur spinlose Teilchen Hif = Hfi
Hieraus folgt das Prinzip des detaillierten Gleichgewichts: Die Wirkungsquerschnittevon Hin- und Ruckreaktion sind — bis auf Phasenraumfaktoren — gleich. Genauer:
(dσdΩ
)
→(dσdΩ
)
←
=(2sa + 1)(2sA + 1)
(2sb + 1)(2sB + 1)· kinkout
. (4.50)
Diese Relation hat praktische Bedeutung dadurch, daß sie uber die Umkehrreaktiondie Observablen von Reaktionen liefern kann, die direkt nicht meßbar sind, z.B. weilstabile Targets nicht existieren (radioaktive Targets).
Sie kann zum Test der Zeitumkehrinvarianz benutzt werden. Ihre Gultigkeit wurde inMessungen an mehreren Reaktionen (z.B.24Mg(α, p)27Al und ihre Umkehrreaktion)und in verschiedenen Energiebereichen (mit verschiedenen dominierenden Reakti-onsmechanismen) untersucht. Das Ergebnis war die Bestatigung der Nichtverlet-zung der Zeitumkehrinvarianz mit einer Genauigkeit (obere Grenze einer moglichenVerletzung) von ≈ 10−3 [Lit.: Harney, G. Klein, s. Literaturliste]
Abbildung 4.7: Wirkungsquerschnitte der Hin- und Ruckreaktion 24Mg(α, p)27Al
54
Fur Reaktionen mit polarisierten Teilchen sagt die Zeitumkehrinvarianz Relationenzwischen Polarisationsobservablen der Hin- und Ruckreaktion voraus:
(Ay)→ = (Py)← (4.51)
Die Vektoranalysierstarke der Hinreaktion mit polarisierten Teilchen im Eingangska-nal ist gleich der Vektorpolarisation, die mit unpolarisierten Teilchen im Ausgangs-kanal der Ruckreaktion ensteht. Fur die elastische Streuung, bei der Hin- und Ruck-reaktion identisch sind, bedeutet das, daß man mit einem Doppelstreuexperiment(gleiche Reaktion bei gleicher Relativenergie und gleichem c.m.-Winkel) die Analy-sierstarke (bzw. Polarisation) absolut (bis auf das Vorzeichen) bestimmen kann:
(
dσ
dΩ
)
pol
=
(
dσ
dΩ
)
unpol
(1 + A2y). (4.52)
55
56
Kapitel 5
Allgemeines Verhalten vonWirkungsquerschnitten
In gewissen Grenzfallen (z.B. bei niedrigen Energien) laßt sich der Verlauf von Wir-kungsquerschnitten ohne Bezugnahme auf innere Freiheitsgrade der Nukleonenwech-selwirkung verstehen. Setzt man die Gultigkeit der Goldenen Regel von Fermi voraus,so gilt fur eine Zweiteilchenreaktion a+ A→ b+B und Teilchen mit Spins:
dσ
dΩ=
(2Ib + 1)(2IB + 1)
(2πh2)2µiµf
kfki|H ′if |
2. (5.1)
Daraus ergeben sich fur s-Wellen folgende Charakeristika:
5.1 Ungeladene Teilchen (Neutronen)
5.1.1 Elastische Streuung (n,n)
Da Q = 0; vi = vf und Hif = const, ist der (uber Winkel integrierte) Wirkungs-querschnitt konstant.
5.1.2 Inelastische Neutronenstreuung
Die Reaktion (n,n′) ist endotherm, d.h. Q < 0. In der Nahe der Schwelle (d.h. ineinem kleinen Energieintervall) kann man vi = const setzen, und es folgt:
σ ∝ vf =√
2µf(Ei − ESchwelle), (5.2)
also ein parabelformiger Anstieg des Wirkungsquerschnittes von der Schwellenener-gie.
57
Abbildung 5.1: Anregungsfunktion elastischer Neutronenstreuung an Sauerstoff beiniedrigen Energien
Abbildung 5.2: Anregungsfunktion nicht-elastischer Neutronenstreuung (n,n′) bzw.(n,2n) an Al bei niedrigen Energien
5.1.3 Exotherme Reaktionen mit thermischen Neutronen(n,γ), (n,p), (n,f) etc.
Typischerweise ist Q ≈ 1MeV. Dann ist vf ≈ const, und es gilt (s. Abb. 5.3)
σ ∝ 1/vi ∝ E−1/2. (5.3)
5.1.4 Endotherme Reaktionen Q < 0
Bei geladenen Teilchen im Ausgangskanal (typische Reaktionen (n,α), (n,p),...) do-miniert der durch die Coulombbarriere bestimmte Gamow-Faktor e−Gb . Hier gehteine Energieabhangigkeit des Matrixelements H′if in Form einer Penetrabilitat ein.
58
Abbildung 5.3: Anregungsfunktion einer Neutroneneinfangreaktion (n,γ) an Bor beiniedrigen Energien
Wir erhalten also einen von der Schwelle exponentiell ansteigenden integrierten Wir-kungsquerschnitt (Abb. 5.4).
5.2 Geladene Teilchen im Ein- und Ausgangska-
nal
Hier gilt dasselbe, nur daß zwei Gamow-Faktoren vorhanden sind und der Wirkungs-querschnitt mit ∝ e−(Ga+Gb) geht. Das ist fur exotherme wie endotherme Reaktionenanalog.
5.3 Schwelleneffekte
Uberschreitet die Einschußenergie nacheinander mehrere Schwellen sich offnenderKanale, so geht dies jedesmal mit einem entsprechenden Anstieg des Wirkungs-querschnittes einher. Ein typisches Beispel ist die (n,f)-Reaktion (f=Spaltung) mitzunehmender Anzahl n hierbei emittierter Neutronen (n=0, 1,2,...).
Betrachtet man nur einen Kanal, z.B. den rein elastischen, so beobachtet man in
59
Abbildung 5.4: Anregungsfunktion der Reaktion Si(n,p) bei niedrigen Energien
diesem Kanal mit dem Aufgehen eines neuen Kanals ein starkes Absinken des Wir-kungsquerschnittes. Dies erklart sich durch die Erhaltung des Teilchenflusses (=Wahrscheinlichkeitserhaltung), die theoretisch durch die Unitaritat der Streumatrixberucksichtigt wird. Ein Beispiel ist der pp-Wirkungsquerschnitt an der Pionener-zeugungsschwelle.
Gelegentlich zeigen Wirkungsquerschnitte an dieser Stelle resonanzahnliches Ver-halten (Cusps), das aber nicht durch Resonanzverhalten im ublichen Sinne, sondernmit der Unitaritat der S-Matrix beschrieben werden kann. Die Cuspform hat nichtsmit der Breit-Wigner-Form von Resonanzen zu tun.
5.4 Andere Phanomene
Die bisher diskutierten Verhaltensweisen der s-Wellen-Wirkungsquerschnitte warendurch den Phasenraum allein (konstantes Matrixelement) oder durch ein einfa-ches Transmissionsverhalten (Coulomb-Penetrabilitat) bestimmt. In ahnlicher Weisewurde man auch fur Partialwellen mit ℓ > 0 die Penetrabilitat parametrisieren. Inder nuklearen Astrophysik wird dieses Verhalten bei der Diskussion gemessener An-regungsfunktionen “herausdividiert”, indem man statt des Wirkungsquerschnittesdie astrophysikalische S-Funktion auftragt.
60
Abbildung 5.5: Elastische und inelastische Streuuung von Protonen an Protonen. DieInelastizitat beginnt hier an der Pionen-Erzeugungsschwelle und bewirkt einen Ab-fall des rein elastischen Streuquerschnitts zusammen mit einem schwachen Schwel-leneffekt (Cusp)
Jede besondere Energieabhangigkeit des Matrixelements wird dann deutlich sicht-bar. Insbesondere gilt dies fur Resonanzen, die Eigenzustanden des Hamiltonope-rators des Compoundsystems mit endlicher Lebensdauer (Breite) entsprechen. EinBeispiel sind die Neutronenresonanzen der Uran-Isotope, die eine große Rolle beider Neutronenbremsung in Reaktoren spielen, s. Abb. 5.6.
Diese zeigen fur die beiden wichtigsten Target-Isotope 235U und 238U sehr verschiede-nes Verhalten: 235U ist durch thermische Neutronen spaltbar, zeigt also fur niedrigeEnergien den typischen Einfangreaktionsverlauf mit 1/v. 238U ist erst durch schnel-le Neutronen spaltbar, der Spaltwirkungsquerschnitt ist erst ab einer Schwelle vonca. 1.5 MeV ungleich null, darunter dominiert die elastische Streuung (konstanterVerlauf). Beide Reaktionen zeigen zusatzlich im mittleren Energiebereich starke Re-sonanzen, die bei der Neutronenbremsung in Reaktoren eine große Rolle spielen(enstprechend einer starken Energieabhangigkeit des Matrixelements H).
61
Abbildung 5.6: Integrierte Wirkungsquerschnitte der Wechselwirkung von Neutro-nen mit 235U und 238U
62
Kapitel 6
Formale Beschreibung vonKernreaktionen
6.1 Wellenfunktion und Streuamplitude
Die Streuung wird durch eine stationare Wellenfunktion fur asymptotische Zustandebeschrieben. Die einlaufende Welle wird als ebene Welle bei z → −∞, t → −∞prapariert. Die gestreute Welle ist eine auslaufende Kugelwelle, die bei r →∞, t→∞ beschrieben wird. Diese (dem ublichen Experimentaufbau entsprechende) Situa-tion zeigt Abbildung 6.1.
k
k
in
out
e eikz ikr/r
Abbildung 6.1: Streuung quantenmechanisch
Ihre Modifikation durch den Streuprozeß wird durch die Streuamplitude f(θ, φ) be-
63
schrieben. Die Gesamtwellenfunktion
Ψ→ eikinz + f(θ, φ)eikoutr
r, (6.1)
ist die Losung einer Schrodingergleichung mit Randbedingungen oder einer entspre-chenden Integralgleichung (Lippmann-Schwinger-Gleichung). Sie unterliegt mehre-ren Bedingungen. Beim Vorhandensein eines Potentials paßt man die Wellenfunktionim Außenraum, also die des freien Teilchens, an einer geeigneten Stelle (Kernrandr=R, Potential“rand”) an die Wellenfunktion im Kerninneren, also im Potential an.Dabei muß gelten:
• Die Wellenfunktion und ihre Ableitung seien stetig bei r=R
• fur gebundene Zustande geht Ψ→ 0 fur r →∞
• fur Streuzustande geht Ψ→ asymptotische Losung fur eine freies Teilchen mitr →∞
• Ψ→ 0 fur r → 0, um Singularitat im Ursprung zu vermeiden.
6.2 Streuamplitude und Wirkungsquerschnitt
Wir gehen von der allgemeinen Definition des Wirkungsquerschnittes als
dσ =~joutd ~A∣∣∣~jin
∣∣∣
(6.2)
aus und benutzen, daß fur ~j eine klassische Kontinuitatsgleichung gilt:
~j = ρ · ~v (6.3)
Quantenmechanisch ist
~j =ih
2µ[Ψ∗~∇Ψ−Ψ~∇Ψ∗] und ρ = ΨΨ∗, (6.4)
wodurch sich die Verbindung zu denWellenfunktionen, die z.B. Losungen der Schrodin-gergleichung sein konnen, herstellen laßt. Mit
Ψin ≡ Φ = aeikinz und Ψout = af(θ, φ)eikoutr
r(6.5)
ergibt sich:~jin = h/2µ|a|22~kin = |a|2~vin (6.6)
~jout = h/2µ|a|2 |f(θ, φ)|2 koutr2
= |a|2~vout|f(θ, φ)|2
r2. (6.7)
64
Mit dem auslaufenden Fluß ~joutd ~A = ~vout|a|2 |f(θ, φ)|2 dA/r2 durch die Flache dA =r2dΩ wird
dσ =~joutd ~A∣∣∣~jin
∣∣∣
=vout|a|2 |f(θ, φ)|2 dΩ
vin|a|2(6.8)
unddσ
dΩ=
koutkin|f(θ, φ)|2 = kout
kinf · f ∗ (6.9)
bzw.dσ
dΩ= |f(θ, φ)|2 fur elastische Streuung (6.10)
Bemerkung (s.u.):
• Fur Teilchen mit Spin ist die Streuamplitude durch eine Matrix, die die Uber-gange zwischen den verschiedenen Spin-Unterzustanden des Ein- und Aus-gangskanals vermittelt, zu ersetzen (M-Matrix). Das komplexe Betragsquadratf · f ∗ wird dabei durch die Spurbildung ersetzt: dσ/dΩ ∝ Sp(MM †).
• Neben dem (unpolarisierten) Wirkungsquerschnitt gibt es dann weitere (Po-larisations-)Observable wie Polarisation, Analysierstarke, Polarisationstrans-ferkoeffizienten, Spinkorrelationskoeffizienten u.a. Naheres hierzu s. SkriptumSchieck: Kernphysik mit polarisierten Teilchen (Dichtematrix, Beschreibungder Spinpolarisation, Drehungen, Kernreaktionen mit Spin).
6.3 Schrodingergleichung
Fur die Anwendung auf Kernreaktionen sucht man stationare Losungen, d.h. manbenutzt die zeitunabhangige Schrodingergleichung. Entsprechend der Geometrie desStreuproblems ist die Darstellung in spharischen Polarkoordinaten zweckmaßig. Furein Zentralpotential V (~r) ist diese Gleichung:
− h2
2µ
[
1
r2∂
∂r
(
r2∂
∂r
)
+1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ∂
∂θ
)
+1
r2 sin2 θ
∂2
∂φ2
]
Ψ(~r)
+V (~r)Ψ(~r) = EΨ(~r)
(6.11)
Ψ(~r) ist die verkurzte Schreibweise fur Ψ(+)~ki
(~r), entspricht also der stationaren Streu-
wellenfunktion. Der winkelabhangige Teil des Hamiltonoperators laßt sich durch denDrehimpulsoperator ausdrucken:
L2 = L2x + L2
y + L2z = −h2
[
1
sin θ
∂
∂θ(sin θ
∂
∂θ) +
1
sin2 θ
∂2
∂φ2
]
. (6.12)
Eigenwerte und Eigenfunktionen zu L2 bzw. Lz sind durch die EW-Gleichungengegeben:
L2Yℓm(θ, φ) = ℓ(ℓ+ 1)h2Yℓm(θ, φ), (6.13)
65
LzYℓm(hη, φ) = mhYℓm(θ, φ). (6.14)
Es gelten die bekannten Vertauschungsrelationen. Damit kann man den Hamilton-operator schreiben:
H = − h2
2µ
[
1
r2∂
∂r(r2
∂
∂r)− L2
h2r2
]
+ V (r), (6.15)
d.h. die Substitution fuhrt zum Auftreten eines Terms mit L2, der dem Potenti-al zugeschlagen werden kann (Zentrifugalpotential). Wegen [H,L2] und [H,Lz] = 0sucht man die zu H,L2 und Lz gemeinsamen Eigenfunktionen durch einen Pro-duktansatz, der einer Separation von Radial- und Winkelanteil der Wellenfunktionentspricht und gleichzeitig eine Partialwellenzerlegung darstellt:
Ψ(~r) =∞∑
ℓ=0
ℓ∑
m=−ℓ
Cℓm(k)Rℓm(kr)Yℓm(θ, φ). (6.16)
Die separierte Radialgleichung [fur m=0 (Azimutunabhangigkeit des Steuproblems)]ist die Bessel-Differentialgleichung:
[
d2
dr2+ k2 − ℓ(ℓ+ 1)
r2− U(r)
]
uℓ(k, r) = 0, (6.17)
wobei die Ersetzungen vorgenommen wurden: uℓ(k, r) = rRℓ(k, r) und U(r) =2µV (r)/h2.
Die Losungen dieser Gleichung fur das freie Teilchen (U=0) sind:
•jℓ(kr)→r→∞=
sin(kr − ℓπ/2)
kr≡ ei[kr−ℓπ/2] − e−i[kr−ℓπ/2]
2ikr(6.18)
Diese Spharische Besselfunktion ist regular fur r → 0
•nℓ(kr)→r→∞
cos(kr − ℓπ/2)
kr≡ ei[kr−ℓπ/2] − e−i[kr−ℓπ/2]
−2kr . (6.19)
Diese Spharische Neumannfunktion ist irregular fur r → 0.
• Losungen sind auch die Linearkombinationen:
h(1,2)ℓ (kr) = jℓ(kr)± inℓ(kr) (6.20)
(Hankelfunktionen).
Fur gebundene Zustande kann man wegen des Verhaltens am Ursprung nurdie Losung jℓ(kr) verwenden.
Bei Streuung an einem Potential verschiebt sich die Phase der Streuwelle um δℓ:
Die Wellenzahlen im freien Raum (kfrei =√
2µE/h2) und im Potential (kpot =√
2µ(E − V )/h2) unterscheiden sich. Nach Durchgang einer Welle durch eine Po-tential“schicht” der Dicke d hat sich die Phase der transmittierten Welle gegenuberder der freien Welle um δ = (kpot − kfrei)d geandert.
66
Um die Gesamtwellenfunktion ebenfalls nach Partialwellen entwickeln zu konnen,braucht man noch eine solche Entwicklung der ebenen einfallenden Welle eikz. Dieseliefert die mathematische Identitat (Rayleigh):
eikz =∞∑
ℓ=0
(2ℓ+ 1)iℓjℓ(kr)Pℓ(cos θ) (6.21)
Damit wird die Gesamtwellenfunktion:
Ψtot →∝∞∑
ℓ=0
(2ℓ+ 1)iℓei[kr−ℓπ/2] − e−i[kr−ℓπ/2]
2ikrPℓ(cos θ) + f(θ, φ)
eikr
r(6.22)
Andererseits muß diese Gesamtwellenfunktion einer einfachen Partialwellenentwick-lung – aber mit Phasenverschiebung durch das Potential – genugen:
Ψtot →∞∑
ℓ=0
Cℓ1
2ikr
[
ei(kr−ℓπ/2+δℓ) − e−i(kr−ℓπ/2+δℓ)]
Pℓ(cos θ) (6.23)
Durch Koeffizientenvergleich der ein- und der auslaufenden Wellen in beiden Ent-wicklungen erhalt man einerseits die Normierung, namlich:
Cℓ(k) = (2ℓ+ 1)iℓeiδℓ , (6.24)
andererseits f(θ):
∑
ℓ
(2ℓ+ 1)iℓeiδℓ1
2ikrPℓ(cos θ)e
i(kr−ℓπ/2+δℓ)
=∑
ℓ
(2ℓ+ 1)iℓ1
2ikrei(kr−ℓπ/2)Pℓ(cos θ) + f(θ, φ)
eikr
r, (6.25)
woraus folgt:
f(θ) =i
2k
∞∑
ℓ=0
(2ℓ+ 1)(1− e2iδℓ)Pℓ(cos θ)
=1
k
∞∑
ℓ=0
(2ℓ+ 1) sin δℓeiδℓPℓ(cos θ) (6.26)
Die Große ηℓ = exp(2iδℓ) ist die Streufunktion und identisch mit der einfach-sten Form der allgemeinen Streumatrix Sℓ(k). Diese Funktion enthalt die Dynamikder Wechselwirkung und bestimmt uber die Streuamplitude (allgemeiner: uber dieTransfer(T)-Matrix bzw. fur Teilchen mit Spin die M-Matrix) die Observablen wiedσ/dΩ u.a.
Als Beispiel sei hier der differentielle Wirkungsquerschnitt abgeleitet:
dσ
dΩ= |f |2 = ff ∗ =
1
k2
∣∣∣∣∣
∞∑
ℓ=0
(2ℓ+ 1)(e2iδℓ − 1)Pℓ(cos θ)
∣∣∣∣∣
2
=1
k2
∞∑
ℓ=0
(2ℓ+ 1)∞∑
ℓ′=0
(2ℓ+ 1)(2ℓ′ + 1)ei[δℓ(k)−δℓ′ (k)] sin δℓ sin δℓ′PℓPℓ′ (6.27)
=1
k2
ℓ+ℓ′∑
L=|ℓ−ℓ′|
∞∑
ℓ′=0
∞∑
ℓ=0
(2ℓ+ 1)(2ℓ′ + 1)(ℓℓ′00|L0)2ei[δℓ(k)−δℓ′ (k)] sin δℓ sin δℓ′PL(cos θ)
67
Dabei wurde die Beziehung
PℓPℓ′ =ℓ+ℓ′∑
L=|ℓ−ℓ′|
(ℓℓ′00|L0)2PL(cos θ) (6.28)
verwendet.
Aus dem differentiellen Wirkungsquerschnitt gewinnt man den integrierten Wir-kungsquerschnitt durch Integration uber den gesamten Raumwinkel. Bei Φ-Unab-hangigkeit ergibt dies:
σint = 2π∫
dσ
dΩsin θdθ
=4π
k2
∞∑
ℓ=0
(2ℓ+ 1) sin2 δℓ =∞∑
ℓ
σℓ (6.29)
unter Benutzung der Beziehung∫+1−1 Pℓ(cos θ)Pℓ′(cos θ)d(cos θ) = 2
2ℓ+1δℓℓ′ . Der in-
tegrierte Querschnitt ist also eine inkoharente Summe uber Partialquerschnitte zuℓ, und diese zeigen eine Gewichtung mit 2ℓ + 1. Die maximalen integrierten Par-tialquerschnitte, wie sie z.B. in Resonanzmaxima auftreten und fur die δℓ(k) =(n+ 1/2)π;n = 0,±1,±2, ... gilt, wachsen also linear mit ℓ:
σℓ,max(k) =4π
k2(2ℓ+ 1) (6.30)
Andererseits ist der Beitrag hoherer ℓ-Werte (zumindest fur kurzreichweitige Krafte)beschrankt durch das Wirken der Zentrifugalbarriere. Fur eine “Reichweite” d desPotentials konnen nur Partialwellen wichtig sein, fur die
ℓ ≤ kd (6.31)
ist. Dies folgt u.a. aus dem Verhalten der Besselfunktionen: das erste Maximum vonjℓ(kr) liegt bei r0 ≈ ℓ/k; fur kleine r geht jℓ(kr) ∝ rℓ, d.h. fur d ≤ ℓ/k ist jℓ(kr)ebenso wie δℓ klein. Diese obere Grenze fur ℓmax, haufig: ℓgr (gr fur “grazing”),wird nur in Reaktionen erreicht, die am Potentialrand stattfinden, also in direktenProzessen. Bei Compoundkernprozessen, die eher zentral stattfinden, liegt die obereGrenze fur ℓ niedriger (ℓcrit). Fur dissipative Prozesse wie “unvollstandige Fusion”bzw. “tief-inelastische Streuung” liegt ℓmax zwischen ℓcrit und ℓgr. Dieses Verhaltenals Funktion von ℓ zeigt Abb. 6.2.
Schlußfolgerungen fur Reaktionen, die durch einen definierten Zwischenzustand ver-laufen (z.B. eine isolierte Resonanz in der Wechselwirkung von Teilchen ohne Spins):
Der CG-Koeffizient (ℓℓ′00|L0) hat die Eigenschaft, nur dann ungleich 0 zu sein, wennℓ+ ℓ′ +L gerade ist. Das bedeutet hier: wegen ℓ = ℓ′ ist L gerade, und weil deshalbauch L nur die geraden Werte von |ℓ− ℓ′|...ℓ + ℓ′ in der Legendre-Entwicklung an-nimmt mit Lmax = 2ℓ, enthalt die Winkelverteilung nur gerade Legendre-Polynome,die symmetrisch um π/2 sind, und ℓ = J des Zwischenzustandes ist gerade durch diehalbe ”Komplexitat“ L der Winkelverteilung gegeben. Dies dient zur Spinbestim-mung isolierter Resonanzen in der Kern- und Teilchenphysik (Beispiel: ∆-Resonanz,s. Kap. 11.3.1).
68
Bahndrehimpuls l
σ(l)
vollständigeFusionσCN
unvollständigeFusiontief-inelastischeStreuungσDIS
direkteReak-tionen
σDI
elastischeStreuungCoulomb-Anregungσshape-el.
l max
2πk 2
___ l
l crit grl
Abbildung 6.2: Anstieg der integrierten Wirkungsquerschnitte fur Neutronen mit ℓfur verschiedene Reaktionsmechanismen. ℓ ist im semiklassischen Bild auch zuneh-menden Wechselwirkungsabstanden zuzuordnen.
69
70
Kapitel 7
Inelastizitat und Absorption
Unter inelastischen Prozessen sollen alle Prozesse verstanden werden, die nicht-elastisch sind, d.h. solche, die Teilchenfluß aus dem direkten elastischen Kanal ab-zweigen. Hierzu gehoren alle Reaktionen im engeren Sinne (also ohne direkte elasti-sche Streuung, Shape-elastische Streuung), aber auch die compoundelastische Streu-ung, die uber Zwischenzustande verlauft, sowie z.B. die induzierte Kernspaltung und– bei hoheren Energien – die Erzeugung von Teilchen oberhalb der entsprechendenSchwellen. Fur diese Prozesse lassen sich einige allgemeine Aussagen machen, ohnedaß man sich um Details des Reaktionsmechanismus kummern muß.
Der Fluß der einlaufenden Teilchen (Eingangskanal α) verteilt sich also i.a. aufmehrere Ausgangskanale (β). Wir benutzen die Schreibweise fur Reaktionen ηℓ,β ≡ηℓα, fur rein elastische Streuung ηℓ ≡ ηℓ,α, wo η die oben definierte Streufunktion, Sdie aquivalente S-Matrix ist. Die S-Matrix hat einige Eigenschaften, die man sichhier zunutze machen kann. Es gelten z.B.
• Unitaritat:∑
β
∣∣∣Sℓ
β,α
∣∣∣
2= 1
• Reziprozitat (bei Zeitumkehrinvarianz): Sℓα,β = Sℓ
β,α
Auf η ubertragen heißt das:∑
β
|ηℓ,β|2 = 1, (7.1)
wobei β uber alle offenen Kanale einschließlich des elastischen (Eingangs-) Kanals αlauft. Hiermit laßt sich der Absorptionsquerschnitt σabs als Summe uber alle nicht-elastischen Querschnitte definieren:
σabs =∑
β 6=α
σβ =4π
k2
∑
ℓ
(2ℓ+ 1)∑
β 6=α
|ηℓ,β|2
=4π
k2
∞∑
ℓ=0
(2ℓ+ 1)[
1− |ηℓ,α|2]
(7.2)
71
Vereinfacht geschrieben ist dies
σabs =π
k2
∑
ℓ
(2ℓ+ 1)[
1− |ηℓ|2]
(7.3)
Dagegen ist der elastische Streuquerschnitt, wenn man die fruher abgeleitete Formfur einen Kanal auf den allgemeinen Fall einer Streufunktion fur mehrere Kanaleerweitert:
σel =4π
k2
∑
ℓ
(2ℓ+ 1) |δα,β − ηℓ,β|2 , (7.4)
was sich vereinfacht schreiben laßt als:
σel =π
k2
∞∑
ℓ=0
(2ℓ+ 1) |1− ηℓ|2 (7.5)
Fur die Summe, den totalen (integrierten) Wirkungsquerschnitt, ergibt sich daraus:
σtot =2π
k2
∞∑
ℓ=0
(2ℓ+ 1) [1− |ηℓ| cos(2ℜδℓ)] . (7.6)
Die Beziehungen zwischen dem elastischen und dem Absorptionsquerschnitt lassensich grafisch auftragen und ergeben z.B., daß es zwar elastische Streuung ohne Ab-sorption (also fur |ηℓ| = 1) geben kann (z.B. unterhalb der entsprechenden Schwellen-energien), aber umgekehrt Absorption stets begleitet ist von elastischer Streuung. Esist plausibel, daß die elastische Streuung ihren (durch die Unitaritat der S-Matrixgegebenen) Maximalwert des Wirkungsquerschnittes von 4π
k2(2ℓ + 1) auch nur fur
verschwindende Absorption erreicht. Der Maximalwert des Absorptionsquerschnit-tes π
k2(2ℓ + 1) wird fur ηℓ = 0 erreicht, so daß auch fur den totalen Querschnitt die
obere Grenze von 4πk2(2ℓ+ 1) gilt.
Formal beschreibt man die Absorption dadurch, daß man das die Streuung bewir-kende Potential komplex ansetzt:
V = U + iW. (7.7)
Dieser Ansatz ist die Grundlage des Optischen Modells der elastischen Streuungbzw. des Optischen Potentials. Der Imaginarteil W beschreibt die Schwachung deseinlaufenden Teilchenflusses durch Absorption in andere Kanale als den elastischenKanal. Diese Absorption (Teilchensenke) kann man folgendermaßen verstehen: mansetzt die Schrodingergleichung mit komplexem Potential an, bildet die konjugiert-komplexe Gleichung, multipliziert die Gleichungen mit Ψ∗ bzw. Ψ und kommt durchSubtraktion beider zu einer Kontinuitatsgleichung fur einen stationaren Zustand,d.h.mit dρ/dt = 0:
∇2Ψ+ 2µ/h2 [E − (U + iW )] Ψ = 0 | ·Ψ∗ (7.8)
∇2Ψ∗ + 2µ/h2 [E − (U + iW )]Ψ∗ = 0 | ·Ψ
Ψ∗∇2Ψ−Ψ∇2Ψ∗︸ ︷︷ ︸
∇~j
=2iµW
h2 ΨΨ∗
︸ ︷︷ ︸
−kvρ
(7.9)
72
Abbildung 7.1: Elastische Streuung und Absorption. Aufgetragen ist α =σel,ℓ
(2ℓ+1)π/k2= |1 − ηℓ|2 gegen β =
σr,ℓ
(2ℓ+1)π/k2= 1 − |ηℓ|2. Der mogliche Bereich ist
gegeben durch α = 2[1 −√1− β cos(2ℜδℓ)] − β, die Grenzkurve durch die Werte
ℜδℓ = 0, π.
Der Term auf der rechten Seite charakterisiert die Teilchensenke mit W = 12vhk =
12hvλ
und W < 0. Die Wellenzahl ist ebenfalls komplex und laßt sich schreiben als:
k =2µ
h2 [E − (U + iW )]1/2 =
√
2µ
h2 (E − U)
√
1− iW
(E − U)= k0 +
i
λ(7.10)
Das bedeutet z.B. fur eine ebene Welle
eikz = eik0z · e−z/λ = eik0z · e−z 2Whv (7.11)
eine Amplitudenabschwachung mit einer mittleren freien Weglange λ = hv/2W .
Ganz formal kann man die komplexe Wellenzahl mit einer ebenfalls komplexen Streu-phase identifizieren:
ℑδ = ℑ[(kpot − kfrei)d], (7.12)
d.h. der Imaginarteil der Phasenverschiebung beschreibt ebenfalls die Absorption.Die Streufunktion hat dann folgende Form:
ηℓ = e2i(ℜδℓ+iℑδℓ) = e−2ℑδℓe2iℜδℓ = |ηℓ| e2iℜδℓ = ρℓe2iℜδℓ . (7.13)
Der Betrag der Streuamplitude wird durch den Schwachungsterm |ηℓ| verringert. Beieiner Phasenanalyse mussen daher z.B. oberhalb der Teilchenerzeugungsschwelle in
73
der NN-Wechselwirkung die Phasen stets komplex angesetzt werden, wodurch sichdie Zahl der Fitparameter verdoppelt.
74
Kapitel 8
Niederenergieverhalten derStreuung
Das Niederenergieverhalten der Streuung (d.i. fur k → 0) ist durch die Dominanzder s-Wellenstreuung gekennzeichnet. Die folgende Diskussion soll sich daher aufdiese Streuung mit ℓ = 0 von ungeladenen Projektilen beschranken.
8.0.1 Streulange a
Fur k → 0 geht die asymptotische Wellenfunktion im Außenraum gegen eine lineareFunktion von k:
sin(kr)→ kr. (8.1)
Paßt man diese Funktion am Kernrand r=R stetig an die Wellenfunktion im Kern-inneren an und normiert sie so, daß sie den Wert 1 fur r=0 annimmt, so erhalt maneine Gerade, die die kr-Achse in einem Punkt r=a schneidet. Einerseits ist
v0 =sin(kr + δ0)
sin δ0= 1 + kr cot δ0, (8.2)
andererseits ist (mit entsprechender Normierung)
v0 = const(r − a) = −1/a(r − a) = 1− (r/a). (8.3)
Der Vergleich beider Formen liefert −(r/a) = limk→0(kr cot δ0) und damit die Defi-nition der Streulange:
a = − limk→0
tan δ0(k)
k. (8.4)
Damit kann man die s-Wellen-Streuampitude ausdrucken:
f0 =1
keiδ0 sin δ0 =
1
k
sin δ0e−iδ0
=1
k
sin δ0cos δ0 − i sin δ0
=1
k(cot δ0 − i)
=1
(k
tan δ0
)
− ika(8.5)
75
woraus folgt:
limk→0
f0 = −a und limk→0
σ = 4πa2 (8.6)
Der Betrag der Streulange laßt sich also aus dem Grenzwert des totalen Querschnit-tes ermitteln, nicht jedoch ihr Vorzeichen. Dieses kann man z.B. fur geladene Teil-chen aus dem Vorzeichen der Interferenz mit der Coulombamplitude oder aus einerkompletten Streuphasenanalyse ermitteln.
Die geometrische Deutung der Streulange als Achsenabschnitt der Wellenfunkti-on auf der r-Achse zeigt, daß sie besonders empfindlich ist auf das Verhalten derWellenfunktion am Kernrand, d.h. dort, wo die logarithmischen Ableitungen derWellenfunktionen im Innen- und Außenraum aneinander angepaßt werden. Hat dieWellenfunktion dort eine waagerechte Tangente (und das ist der Fall fur einen ge-rade bei der Energie 0 gebundenen Zustand), so geht a → ∞. Kleinste Potential-unterschiede bewirken sehr große Anderungen von a (Lupeneffekt). Die gefundeneBrechung der Ladungsunabhangigkeit (Isospinbrechung) in der Großenordnung von∆V/V ≈ 1% ist verantwortlich fur den Unterschied in den NN-Streulangen von
ann ≈ app,Coul.korr. = 17.1fm und anp = 23.7fm (8.7)
8.1 Analytisch losbare Modelle fur das Nieder-
energieverhalten
8.1.1 Beispiel: Streuung von Neutronen an einer harten Ku-gel
Die Hartkugelstreuung ist die Streuung an einem vollkommen reflektierenden Kern.Es gibt keine Absorption und kein Eindringen der Wellenfunktion in den unend-lich hohen Potentialbereich bei r ≤ d, also kann die Wellenfunktion bei r = d nureinen Knoten haben. Damit gilt fur die Wellenfunktion im Außenraum die besondereBedingung:
tan δℓ = −jℓ(kd)
nℓ(kd). (8.8)
Daraus folgt:
sin2 δℓ =tan2 δℓ
1 + tan2 δℓ=
1
j2ℓ (kd) + n2ℓ(kd)
j2ℓ (kd) = Pℓ(kd) · j2ℓ (kd). (8.9)
Aus der asymptotischen Form von jℓ(kr) und nℓ(kr) fur k →∞ erhalt man fur dasVerhalten der Streuphasen fur große kd:
δℓ →kd>>1 −(kd− ℓπ/2) (8.10)
und daraus den totalen Streuquerschnitt
σℓ = 4πd2(2ℓ+ 1)1
(kd)2Pℓ(kd)j
2ℓ (kd) =
4π
k2(2ℓ+ 1)Pℓ(kd)j
2ℓ (kd). (8.11)
76
Abbildung 8.1 zeigt die Hartkugelstreuphasen und demonstriert damit, daß ein re-pulsives Potential durch (anwachsend) negative Streuphasen charakterisiert wird.
Abbildung 8.1: Hartkugelstreuphasen fur ℓ = 0, 1, 2 und 3
Fur reine s-Wellen (ℓ = 0) ist
tan δ0 = −sin(kd)
cos(kd)= − tan(kd), (8.12)
d.h.δ0 = −kd (8.13)
unda = d. (8.14)
Fur diesen Spezialfall ist die Streulange gerade gleich dem Potentialradius und
σ0 = 4πd2 = 4 · σclass (8.15)
8.1.2 Beispiel: Streuung von Neutronen an einem Rechteck-
Potentialtopf
Das Potential sei gegeben durch:
U(r) =
−U0(U0 > 0) r < d
0 r > d(8.16)
77
Die Radialgleichung[
d2
dr2+ κ2 − ℓ(ℓ+ 1)/r2
]
uℓ(r) = 0 (8.17)
mitκ =
√
k2 + U0 (8.18)
(Wellenzahl im Potentialtopf) hat die regulare Losung im Topfbereich r < d:
uℓ(r) = rCℓjℓ(κr) (8.19)
bzw.Rℓ(r) = Cℓjℓ(κr), (8.20)
im Außenbereich r > d
uℓ(r) = Cℓjℓ(kr + δℓ) = rAℓ[jℓ(kr)− tan δℓnℓ(kr)] = rRℓ(kr) (8.21)
. Die Anpassung von Rℓ und R′ℓ am Potentialrand r=d wird so durchgefuhrt, daßman die logarithmischen Ableitungen
Lℓ =
(
dRℓ
dr
1
Rℓ
)
r=d
(8.22)
der inneren und der außeren Losung gleichsetzt:
κ · j′ℓ(κd)
jℓ(κd=
j′ℓ(kd)− tan δℓn′ℓ(kd)
jℓ(kd)− tan δℓnℓ(kd). (8.23)
Beschrankt man sich auf s-Wellen, so wird mit j0(x) = sin x/x und n0(x) = − cos x/x
tan δ0 =k tan(κd)− κ tan(kd)
κ+ k tan(kd) tan(κd)(8.24)
und
δ0 = −kd+ arctan
[
kd
κdtan(κd)
]
. (8.25)
Fur kleine k (kd << 1):
δ0 = kd
(
tanκd
κd− 1
)
+ nπ. (8.26)
Das Verhalten der s-Phase hangt stark davon ab, ob die Tiefe des Potentialtopfesausreicht, einen oder mehrere gebundene Zustande zu tragen oder nicht. Dies wirdin Abbildung 8.2 deutlich.
Es besteht eine Vieldeutigkeit der Streuphasen modulo π, die in einer Phasenanalyse(bei einer Energie) nicht aufgelost werden kann. Beim Durchlaufen einer isoliertenrein elastischen Resonanz schreitet δ um ∆δ = π fort, mit ∆δ = π/2 bei der Reso-nanzenergie. Die Gesamtstreuphase, die auch die Potentialstreuung enthalt, erhohtsich entsprechend.
78
κ = 2
κ = 4
κ = 1
κ = 3
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
Phase
0 1 2 3 4kd
Abbildung 8.2: s-Wellen-Streuphasen im Potentialtopf fur verschiedene Potentialtie-fen, charakterisiert durch κ.
79
80
Kapitel 9
DieNukleon-Nukleon-Wechselwirkung
Die Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung ist der Prototyp fur das Wirken der Kern-krafte. Hat man diese “verstanden”, so kann man hoffen, auch die Struktur undWechselwirkung komplexer Kerne zu verstehen, mindestens im Sinne einer effekti-ven Wechselwirkung. Heute ist die Beschreibung der NN-Wechselwirkung im Rah-men von Mesonen-Austauschmodellen so gut, daß die neuesten Prazisionspotentialean die Daten mit reduzierten χ2-Werten nahe 1 angepaßt werden konnen.
Dies erlaubt daruberhinaus, diese Potentiale in den nachstschwereren Dreinukleonen-systemen zu testen, wobei die Voraussetzung, daß diese Systeme exakt beschriebenwerden konnen, erfullt sein muß. Heutige Faddeev-Rechnungen sind numerisch ex-akt, so daß sogar neue Phanomene wie Dreikorperkrafte untersucht werden konnen.Hier soll nur knapp auf die NN-Resultate eingegangen werden. Im Zusammenhangmit dem Isospinformalismus wurde bereits die Empfindlichkeit der Streulangen aufIsospinbrechungen angefuhrt.
9.1 Die Observablen des NN-Systems
Zur Bestimmung der NN-Streuphasen, die oberhalb der Pionerzeugungsschwellekomplex sind, mussen eine Vielzahl von (insbesondere Polarisations-)Observablengemessen sein. Es gibt davon im Prinzip 256, die sich aber durch Erhaltungssatze(P- und T-Invarianz) und Austauschsymmetrie (fur die nn- und pp-Systeme) auf 36bzw. 25 linear unabhangige Messgroßen reduzieren. Da die Streuung durch 5 (bzw.6) komplexe Streuamplituden vollstandig beschrieben wird, genugt die Messung vonaus dieser Zahl geeignet auszuwahlenden 9 (pp, nn) bzw. 11 (np) unabhangigenGroßen. Die einfacher zu messenden sind neben differentiellem Wirkungsquerschnittdie Analysierstarke, Polarisationstransfer und Spinkorrelations-Koeffizienten.
Fur NN kann man die Experimente in Teilbereichen als in diesem Sinne vollstandigansehen. In der Praxis wird man mehr Observable als minimal fur eine Losung
81
der Gleichungen zur Bestimmung der M-(T-)Matrix notwendig messen. Die ublicheParametrisierung des Gesamtdatensatzes ist die nach Streuphasen zu jeder (spinge-koppelten) Partialwelle. Es gibt aber auch die direkte Parametrisierung nach Streu-amplituden (Elementen der M-Matrix).
9.1.1 NN-Observable
Hier soll nur eine Auswahl typischer Observabler gezeigt werden, zunachst der totalenp-Querschnitt σ(E) (Abb. 9.1): Die Abb. 9.2 zeigt die glatten Verlaufe reiner Po-
Abbildung 9.1: Totaler Wirkungsquerschnitt der np-Streuung als Funktion der La-borenergie.
tentialstreuung ohne Resonanzen (solche – Dibaryon-Resonanzen – wurden in denAnregungsfunktionen gesucht, aber bisher nicht sicher nachgewiesen), vgl. auch Abb.5.5.
Die Abb. 9.3 zeigt die Analysierstarke der pp- und np-Streuungen bei 25 MeV.Die großen Unterschiede der – was die Kernwechselwirkung betrifft – im Prinzip(Isospin!) als sehr ahnlich erwarteten Reaktionen enstehen durch die Interferenz mitder Coulombwechselwirkung im pp-Fall.
9.1.2 NN-Streuphasen
Diese und alle anderen Observablen bei allen Energien werden laufend einer ge-meinsamen Phasenanalyse unterzogen. Die durch Fit (χ2-Minimierung) erhaltenen
82
Abbildung 9.2: Anregungsfunktion und Winkelverteilung des differentiellen Wir-kungsquerschnitts der pp-Streuung.
Streuphasen parametrisieren die Daten in einer Streuwinkel-unabhangigen Form alsFunktion der Energie. Ab der untersten Teilchenerzeugungsschwelle (Pionenschwel-le) mussen die Phasen komplex angesetzt werden (Abb. 9.4 und Abb. 9.5).
9.1.3 NN-Wechselwirkung als Austauschkraft
Alle fundamentalen Wechselwirkungen werden heute durch den Austausch virtu-eller Teilchen erklart. Im Fall der NN-Wechselwirkung sind die AustauschteilchenMesonen. Die Masse der Austauschteilchen bestimmt uber die Unscharferelation dieReichweite der zugehorigen Kernkraftanteile. Die leichtesten Teilchen, die Pionen,sind fur die Kernkrafte “weit außen” zustandig, die schwereren Mesonen entspre-chend weiter innen. Verschiedene moderne Austauschpotentiale (typ. “CD BONN”,“NIJMEGEN”, “ARGONNE 18” u.a.) beschreiben die Daten mit χ2 ≈ 1. Abb. 9.6zeigt als Feynman-Diagramm den Austauschprozess, den radialen Verlauf des zen-tralen Teils der Kernkraft mit einem anziehenden und weiter innen einem abstos-senden Anteil (“hard core”), den man im innersten Bereich auf die Quark-Quark-Wechselwirkung zuruckfuhrt.
Die Erhaltungssatze (Paritat, Zeitumkehr, Austauschsymmetrie etc.) lassen nur be-stimmte Formen der Kernwechselwirkung zu (Zentral-, Spin-Spin-, Spin-Bahn-, Ten-sorkraft etc.). Experimentell tragen diese in verschiedenen Observablen verschiedenbei. Ein Beispiel ist das Quadrupolmoment des einzigen gebundenen NN-Systems(des Deuterons), das eine D-Wellen-Beimischung zum S-Wellen-Grundzustand ver-langt, die wiederum nur mit der Tensorkraft erklart werden kann. Die Spin-Spin-
83
Abbildung 9.3: Winkelverteilung der Analysierstarke der pp- bzw. np-Streuung bei25 MeV.
Kraft erklart den Energieunterschied zwischen dem gebundenen np-Triplett (demDeuteron) und dem ungebundenen Singulett-np-Streusystem (Singulett-Deuterond∗). Das Spin-Bahn-Potential ist v.a. in den Polarisationsobservablen wie der Ana-lysierstarke wirksam. Die Abb. 9.7 zeigt die Zusammensetzung des Kernpotentialsaus Anteilen verschiedener Form.
9.1.4 Wenignukleonensysteme
Das Dreinukleonensystem ist nach dem 2N-System das nachstkompliziertere. Mit-hilfe von (numerisch-exakten) Rechnungen im Rahmen des Faddeev-Formalismus istes gelungen, das 3N-System mit einer Summe von NN-Wechselwirkungen zu be-schreiben. Hierbei ergeben sich bei einigen Observablen aber Diskrepanzen zu denVorhersagen der exakten Theorie. Solche sind:
• Die Bindungsenergie des Tritons (3H) wird um ca. 1 MeV zu niedrig vorher-gesagt
• verschiedene Observable des Streusystems werden trotz sonst im ganzen guterBeschreibung nicht gut beschrieben:
– Die Analysierstarke Ay der elastischen Streuung 2H(p,p)2H
– Die Tensoranalysierstarke iT11 der elastischen Streuung 1H(d,d)1H
– Der Wirkungsquerschnitt der Aufbruchreaktion 2H(p,pp)n in bestimmtenKonfigurationen u.a.
Diese Beobachtungen und die Tatsache, dass Dreikorperkrafte durch physikalischeGesetze nicht ausgeschlossen sind, fuhrt zum Postulat solcher Krafte, die z.B. in
84
Abbildung 9.4: (Reelle) Streuphasen der pp-Streuung als Funktion der Energie.
Molekulen durchaus bekannt sind (Axilrod-Teller-Kraft), auch in Kernen. SolcheKrafte lassen sich in Faddeev-Rechnungen integrieren (Beispiel: Tucson-Melbourne-Kraft) und damit deren Effekte explizit studieren. Andererseits ist es noch nichtgelungen, die Coulombkraft wegen deren langer Reichweite und daraus folgendenProblemen exakt in die Rechnungen einzubeziehen.
Die experimentellen Tatsachen zeigen aber, dass Dreikorperkrafte – zumindest beiniedrigen Reaktionsenergien – sehr klein sind (< 1%). Neuerdings haufen sich dieIndizien, dass bei mittleren Energien (< 150 MeV) die Effekte der Dreikorperkraftenicht zu vernachlassigen sind. Dieses Verhalten bedeutet in einer semiklassischenBetrachtung, dass diese Krafte von kurzer Reichweite sind.
Bereits fur das Viernukleonensystem kann man zwar den entsprechenden Formalis-mus angeben Faddeev-Yakubowski, aber einer exakten Rechnung stehen auch ohnedie Coulombkraft sehr grosse rechentechnische Schwierigkeiten im Wege. Bei schwe-reren Kernen ist man daher weiterhin zur Beschreibung des Kernpotentials auf aus
85
Abbildung 9.5: Imaginarteil einer Streuphase der pp-Streuung.
der NN-Wechselwirkung abgeleitete “effektive” Wechselwirkungen angewiesen.
Die Theorie bemuht sich, die Kernkrafte auf die Quark-Gluon-Wechselwirkung, be-schrieben durch die QCD, zuruckzufuhren. Bei den typischen Energien der Kern-physik befindet man sich jedoch im “nicht-perturbativen” Energiebereich, in demexakte Losungen der QCD praktisch ausgeschlossen scheinen. Die “chirale Storungs-theorie” konnte hier in der Zukunft approximative Losungen anbieten. Experimentellist bisher kaum eine Notwendigkeit des Ruckgriffs auf die Quark-Gluon-Ebene in derNiederenergie-Kernphysik zu erkennen.
86
Abbildung 9.6: Kernkrafte als Austauschkrafte, Dominanz der verschiedenen ausge-tauschten Mesonen in verschiedenen Abstandsbereichen sowie in den charakteristischverschiedenen Kernkraftanteilen.
87
Abbildung 9.7: Form der verschiedenen Kernpotentialanteile.
88
Kapitel 10
Bestimmung der T-Matrix
10.1 Integralgleichungen
Ausgehend von der Schrodingergleichung
HΨ = EΨ, (10.1)
die umgeschrieben lautet:(E −H)Ψ = 0 (10.2)
erhalt man mit dem AnsatzH = H0 + Uα (10.3)
(α bezeichnet den durch a und A gebildeten Reaktionskanal) und
H0 = Ha +HA −h2
2µ∇2
α (10.4)
zwei Gleichungen (eine inhomogene und eine homogene):
(E −H0)|Ψ〉 = Uα|Ψ〉 (10.5)
(E −H0)|Φ〉 = 0. (10.6)
Die formale Losung der inhomogenen Gleichung ist
|Ψ(+)〉 = limǫ→0
1
E −H0 + iǫUα|Ψ(+)〉. (10.7)
Diese Losung enthalt bereits die Randbedingung einer auslaufenden Welle und dieUmgehung von Polen in der komplexen E-(k-)Ebene. Sie ist eine Integralgleichung.Die allgemeine Losung der inhomogenen Gleichung ist die Summe aus dieser spe-ziellen Losung und der allgemeinen Losung der homogenen Gleichung (der ebenenWelle):
|Ψ(+)〉 = |Φ〉+ limǫ→0
1
E −H0 + iǫ︸ ︷︷ ︸
G0
Uα|Ψ(+)〉. (10.8)
89
Da diese Losung die Losungsfunktion nur implizit enthalt, geschieht die Losung i.a.iterativ mit der ebenen Welle als Startfunktion. Die Bornsche Reihe kann geeignetabgebrochen werden.
|Ψ(+)〉 = |Φ〉+G0U |Φ〉︸ ︷︷ ︸
1. Bornsche Naherung
+G0UG0U |Φ〉 + . . . (10.9)
Man erhalt die Form von G0 aus der Losung der inhomogenen Gleichung mit einemδ−Potential (Green-Funktion):
G0(~r, ~r′) = −1
4π
eik|~r−~r′|
|~r − ~r′|(10.10)
Damit ergibt sich die explizite Form der Lippmann-Schwinger-Gleichung:
Ψ(+) = ei~k~r − 1
4π
∫eik|~r−
~r′|
|~r − ~r′|UΨ(~r′)d~r′ (10.11)
Asymptotisch erhalt man mit
1
|~r − ~r′|−→r→∞ 1/r und |~r − ~r′| −→r→∞ r − ~r
r~r′ (10.12)
die asymptotische Lippmann-Schwinger-Gleichung
Ψ(+)(~k,~r) = ei~ki~r − eikr
r
(µ
2πh2
∫
e−i~k~r′V (~r′)Ψ(+)(~k, ~r′)d~r′
)
(10.13)
Der Vergleich mit dem ublichen Ansatz liefert fur die Streuamplitude (mit V =h2/2µU)
f(θ, φ) = − µ
2πh2
∫
e−i~k~r′V (~r′)Ψ(+)(~k, ~r′)d~r′ = − µ
2πh2 〈Φ|V |Ψ(+)〉 (10.14)
bzw. nach Normierung auf den einfallenden Teilchenfluß:
f(θ, φ) = −µ(2π)2
h2 〈Φ|V |Ψ(+)〉︸ ︷︷ ︸
T-Matrix Tfi
(10.15)
Die Beziehung zwischen T- und S-Matrix ist:
Sfi = δfi − i(2π) · c · δ(~ki, ~kf)δ(Ei, Ef) · Tfi (10.16)
Nur fur elastische Streuung ist δfi 6= 0.
90
10.2 Bornsche Naherung
10.2.1 1. Bornsche Naherung = PWBA = Plane Wave BornApproximation
Ψ(+) = Φ+GV Φ (10.17)
und damit
f(θ, φ) = −(2π)2µ
h2 〈Φ|V |Φ〉 (10.18)
Das Resultat ist dasselbe wie das durch Einsetzen ebener Wellen in Fermis GoldeneRegel.
10.2.2 Distorted Wave Born Approximation = DWBA
Im Rahmen dieser 1.Bornschen Naherung laßt sich eine Verbesserung durch Ver-wendung im Kern- und Coulombfeld “verzerrter” Wellen erreichen. Diese Wellenenthalten Beugungs- und Absorptionsanteile und werden durch das optische Modellelastischer Streuung fur den jeweiligen Ein- und Ausgangskanal beschrieben. Bei-spiel: Zur Beschreibung der Transferreaktion 40Ca(d, p)41Ca benotigt man die ausder Anpassung der optischen Potentiale an die Daten der Streuungen 40Ca(d, d)40Caund 41Ca(p, p)41Ca bei den richtigen Kanalergien erhaltenen Wellenfunktionen. We-gen der Nichtverfugbarkeit von 41Ca−Targets wurde die Streuung 40Ar(p, p)40Argemessen, was wegen der schwachen Massenzahlabhangigkeit der optischen Parame-ter moglich ist. Abb. 10.1.
91
Abbildung 10.1: Beschreibung von Observablen der Transferreaktion40Ca(d, p)39Cadurch Bestimmung der “distorted waves” der elastischen Streuung des Ein- undAusgangskanals im optischen Modell.
92
Kapitel 11
Reaktionsmodelle
Modelle realer Reaktionen haben einen beschrankten Gultigkeitsbereich. Es gibteine Hierarchie von Anregungszustanden, die durch verschiedene Reaktionsmodel-le erfaßt werden. Direkte Reaktionen sind prinzipiell solche, die nur eine geringeZahl von Freiheitsgraden anregen, so daß auch nur wenige Nukleonen involviert sind(Grenzfall: Einteilchen-Anregung) und die daher schnell und peripher ablaufen. Ty-pische Strukturen in Anregungsfunktionen sind daher breit (≈ MeV). Compound-kernreaktionen liegen am anderen Ende des Spektrums moglicher Anregungen undbeziehen viele, im Grenzfall alle Nukleonen in die Wechselwirkung ein. Sie verlan-gen das Erreichen eines (thermischen) Gleichgewichtszustandes aller Freiheitsgrade.Damit sind notwendigerweise lange Aquilibrierungszeiten (d.h. uber die Unscharfe-relation schmale Strukturen in Anregungsfunktionen) verbunden. Zwischen diesenExtremfallen der Hierarchie der Anregungen liegen verschiedene Prozesse, die je nachdem betrachteten Aspekt semi-direkte, Pracompound-, Doorway-, Hallway-Prozessegenannt werden.
11.1 Direkte Reaktionen
11.1.1 Allgemeines
Direkte Reaktionen sind durch ein Hauptmerkmal gekennzeichnet, ihren zeitlichenAblauf. Sie spielen sich i.w. in der Großenordnung der Durchflugszeit des Projektilsdurch das Target ab.
11.1.2 Elastische Streuung
Das wichtigste Reaktionsmodell fur die Beschreibung der direkten (“Shape”-)elas-tischen Streuung ist das Optische Modell. Es basiert darauf, daß man bei etwashoheren Energien immer Absorption annehmen darf und daher das Potential (und
93
daraus folgend die Streuphasen) komplex angesetzt werden mussen (s.a. Kap. 7).
11.1.3 Optisches Modell
Die radiale Schrodingergleichung fur Protonen (Spin s=1/2) lautet:(
d2
dr2+ k2 − ℓ(ℓ+ 1)
r2+ V f(r) + iWg(r)− VC(r) (11.1)
+ (Vs.o. + iWs.o.)h(r) ·
ℓ
−(ℓ+ 1)
u(±)ℓj (kr) = 0 (11.2)
Hier sind: V,W Real- und Imaginarteil des Zentralpotentials, VC das Coulomb-potential und Vs.o.,Ws.o. Real- und Imginarteil des fur die Beschreibung der Po-larisationsobservablen wichtigen Spin-Bahn-Potentials. Fur Neutronen entfallt derCoulombterm. Die Losung dieser Gleichung ist Teil der Gesamtstreuwellenfunktion
Ψ =1
kr
∑
ℓjλ
iℓ [4π(2ℓ+ 1)]1/2 (ℓ0sµ|jm)(ℓλsν|jm)u(±)ℓj (kr)Y λ
ℓ (θ, φ)χµse
iσℓ (11.3)
mit
uℓj →r→∞1
2i
[
e−i(kr−ηln2kr−ℓπ/2) − e2iδℓjei(kr−ηln2kr−ℓπ/2+2σℓ)]
(11.4)
und δℓj = komplexe Kernstreuphasen, σℓ = argΓ(1+ℓ+ iη) = Coulombstreuphasen,ηjℓ = e2iδℓj = Reflexionskoeffizient, η = Z1Z2e
2/hv = Coulombparameter und k =√
2µEc.m.kin /h2 = Eingangskanal-Wellenzahl.
Der Potential-Formfaktor f(r) orientiert sich an der Form der ublichen Kerndichte-bzw. Potentialverteilungen, die auch im klassischen Schalenmodell verwendet werden(Woods-Saxon-Form). Die Absorption findet bevorzugt an der Kernoberflache statt.Daher wahlt man als Form fur g(r) bei niedrigen Energien die Ableitung des Woods-Saxon-Formfaktors, fur den Spin-Bahn-Term h die Thomas-Form g(r)/r. Bei hohenEnergien ist eine Absorption im Volumen plausibel, was sich durch einen graduellenUbergang von der Oberflachenabsorption zur Volumenabsorption berucksichtigenlaßt.
Die besten Parametersatze wurden durch Anpassung mit χ2-Minimierung an sehrviele Datensatze sowohl von Wirkungsquerschnitten als auch Analysierstarken ge-wonnen. Es haben sich einige Ansatze als Standards fur das optische Modell ent-wickelt. Am verbreitetsten fur Nukleonen ist die Parametrisierung von Greenlees &Becchetti, insbesondere weil sie einen globalen Parametersatz angeben (der in Ein-zelfallen, z.B. bei doppelt-magischen Kernen die Daten schlechter wiedergibt als einEinzelfit). Interessant ist, daß die Tiefe des reellen Potentials der des Schalenmo-dellpotentials entspricht ebenso wie beim LS-Term. Fur leichte, aus A Nukleonenzusammengesetzte Projektile (Deuteronen, Alphateilchen etc.) ergeben sich Potenti-altiefen, die das A-fache der Nukleonenpotentialtiefe sind. Fur Schwerionenstreuunggibt es recht verschiedene Ansatze, teils mit sehr flachen Potentialen. Abb. 11.1 zeigtdie Formfaktoren und das Verhalten des Imaginarpotentials mit der Energie.
94
Abbildung 11.1: Formfaktoren des Optischen Modells: a) Woods-Saxon-Form desRealteils f, b) Abgeleitete Woods-Saxon-Form g=f’ des Imaginarteils, c) Gleiten-der Ubergang von Oberflachen- zu Volumenform des Imaginarteils als Funktion derEnergie.
11.1.4 Direkte (Umordnungs-)Reaktionen
Die Vielzahl solcher Reaktionen laßt sich klassifizieren:
• Reaktionen ohne Anderung der Massenzahl
– Elastische Potentialstreuung (s.o., Beschreibung durch das optische Mo-dell)
– Direkte inelastische Streuung ((p, p′γ), (α, α′), ...). Sie fuhrt bevorzugt zukollektiver Kernanregung (Rotation, Vibration).
– Quasielastische (Ladungsaustausch-) Prozesse ((p, n), (n, p), (τ, t), (14N,14 C), ...).Diese fuhren z.B. zu Isobar-Analog-Zustanden des Targetkerns.
• Reaktionen mit Anderung der Massenzahl
– Pickup-Reaktionen (Einnukleontransfer:(p, d), (d,3 He), (d, t), ..., Mehrnu-kleontransfer: (p, α), (d,6Li), ...)
– Stripping-Reaktionen (Einnukleontransfer: (d, p), (d, n), (3He, d), ...) Mehrn-kleonentransfer: (6Li, d), (α, p), (3He, p), ...)
– Knockout-Reaktionen ((p, α), (p, p′), ...)
95
Abbildung 11.2: Globaler Fit des Optischen Modells an elastische Protonen-Streudaten fur einen großen Massenbereich.
– Direkte Aufbruchprozesse wie Knockout mit Mehrteilchen-Ausgangska-nal((p, pp), (α, 2α), ...)
– Prozesse hoherer Ordnung (Mehrstufenprozesse uber angeregte Zwischen-zustande, gekoppelte Kanale)
Hier soll nur der einfachste Fall der Stripping-Reaktion behandelt werden.
11.1.5 Stripping-Reaktion
Ein semiklassischer Ansatz liefert bereits ein qualitatives Bild der Winkelverteilun-gen in Strippingreaktionen. Er erklart das erwartete Verhalten unter der Annahmeeines schnellen, am Kernrand lokalisierten nichtaquilibirierten Prozesses. Der Wel-lenzahlvektor des einlaufenden Deuterons sei ~kd, die des ubertragenen Nukleons unddes auslaufenden Nukleons jeweils ~kn und ~kp. Sie bilden ein Impulsdiagramm, ausdem man den Zusammenhang zwischen dem bevorzugten Streuwinkel θ und demubertragenen Impuls bzw. Drehimpuls entnehmen kann:
pnR = hknR = hℓn (11.5)
96
Abbildung 11.3: Mit Standardparametern des Optischen Modells berechnete Winkel-und Energieabhangigkeit des Wirkungsquerschnittes der elastischen Protonenstreu-ung an 90Zr. Die Interferenzstrukturen der Winkelverteilungen lassen sich auch als“resonante” (Einteilchen-)Strukturen der Anregungsfunktion interpretieren, derenBreiten typisch sind fur schnelle (direkte) Prozesse.
Fur kleine θ gilt
θ0 ≈knkd
=ℓnkdR
(11.6)
Wegen der Quantelung von ℓ gibt es diskrete, mit ℓ monoton ansteigende Wertevon θ fur jedes ℓ. Dieses qualitative Bild andert sich auch nicht, wenn man dieWinkelverteilungen quantenmechanisch rechnet. Als Beispiel seien fur die Reaktion52Cr(d, p)53Cr die Winkel des Strippingmaximums in verschiedenen Ansatzen (s.u.)angegeben:
θDWBA θPWBA θs.c.
ℓ = 0 00 00 00
ℓ = 1 180 130 130
ℓ = 2 340 190 260
ℓ = 3 490 300 390
ℓ = 4 640 400 520
(11.7)
Gemessene Winkelverteilungen des Wirkungsquerschnittes zeigen neben Diffrakti-onsstrukturen ausgepragte Strippingmaxima, die haufig die Bestimmung des Dreh-impulses des ubertragenen Nukleons erlauben.
97
Abbildung 11.4: Charakteristisches Verhalten des Strippingmaximums als Funktiondes ubertragenen Bahndrehimpulses.
Dieser war (und ist) v.a. wichtig fur die Zuordnung der Endkernzustande zu Or-bitalen im Einteilchen-Schalenmodell. Die energetischen Verhaltnisse bei Strippin-greaktionen sind gerade so, daß das ubertragene Nukleon in der Nahe magischerSchalen bevorzugt in niedrigliegende Schalenmodellzustande eingebaut wird. Wegender Spin-Bahn-Aufspaltung gelingt die vollstandige Zuordnung jedoch erst, wennauch der Gesamtdrehimpuls j des ubertragenen Nukleons bekannt ist. Dieser laßtsich durch Messung der Analysierstarke gewinnen.
Auch hierfur gibt es ein einfaches semiklassisches Modell (Newns). Es setzt wieoben angenommen voraus, daß die Reaktion an der Kernoberflache stattfindet, daßrelativ starke Absorption in der Kernmaterie stattfindet, also jeweils die vordere,dem Projektil zugewandte Halfte des Kerns starker zur Reaktion beitragt als diehintere. Der vorderen Halfte ist bevorzugt der Bahndrehimpuls nach oben, senkrechtzur Reaktionsebene, der hinteren der Bahndrehimpuls nach unten zuzuordnen. Dannkann man bei Einfall eines Deuterons, das senkrecht zur Streuebene einmal nachoben, einmal nach unten polarisiert ist, und unter der Annahme der Existenz einerSpin-Bahn-Kraft annehmen, daß im ersten Fall das eingebaute Nukleon bei Streuungnach links bevorzugt im Zustand j = ℓ + 1/2, im anderen Fall mit j = ℓ − 1/2eingebaut wird. Mißt man die auf diese Art die Analysierstarke
Ay =1
Pd
Nup −Ndown
Nup +Ndown, (11.8)
so erwartet man fur die beiden Falle verschiedene Vorzeichen dieser Meßgroße. DiesesVerhalten wird durch viele Beispiele belegt, nicht nur fur die Strippingreaktion.Will man den Grad bestimmen, in dem die betrachteten Ubergange tatsachlichEinteilchenubergange sind, so muß man den spektroskopischen Faktor bestimmen.
98
Abbildung 11.5: Empfindlichkeit (Vorzeichen!) der Analysierstarke der Strippingre-aktion auf den Gesamtdrehimpuls des ubertragenen Nukleons.
Die gelingt jeoch nur im Rahmen einer — wenigsten in Naherung — quantitativenTheorie (DWBA, CC-DWBA).
Da die Einteilchenstarke durch die Restwechselwirkung haufig fraktioniert, d.h.auf viele Zustande in einem Bereich von Energien verteilt ist, sind hier spektro-skopische Untersuchungen an sehr vielen Zustanden notwendig. Besonders geeig-net sind hierfur Magnetspektrometer hoher Auflosung an Tandem-Van-de-Graaff-Beschleunigern mit polarisierten Teilchenstrahlen.
11.1.6 Die Bornsche Naherung
Man benutzt hier stets die erste Bornsche Naherung, d.h. den ersten Term der Born-schen Reihe. Ausgehend von der Fermischen Goldenen Regel der Storungstheorie, diefur den differentiellen Wirkungsquerschnitt liefert:
dσ
dΩ=
(2Ib + 1)(2IB + 1)
2π)2h4 µiµfkfki|Tif |2 (11.9)
muß man Annahmen uber das Ubergangsmatrixelement machen.
In der Plane Wave Born Approximation PWBA (Butler-Theorie) setzt man furdie ein- und auslaufenden Wellen ebene Wellen an. Da die RadialwellenfunktionenBesselfunktionen sind, findet man fur den Wirkungsquerschnitt ein einfaches Dif-fraktionsverhalten
dσ
dΩ∝ [jℓ(kR)]2 (11.10)
99
Die Winkelabhangigkeit des Strippingmaximums steckt nur in der Impulsbeziehungk2 = k2
in + k2out− 2kinkout cos θ. Die PWBA gibt nur in wenigen einfachen Fallen die
Winkelverteilungen in der Nahe des Maximums befriedigend wieder. Sie macht keineAussagen uber Polarisationsobservable und enthalt keine Kernstrukturinformation.
Bessere Ergebnisse zumindest fur Vorwartswinkel erzielt man mit der Distorted Wa-ve Born Approximation DWBA. Sie wurde mit einer Reihe weitergehender Annah-men formuliert:
• Man verwendet im Ein- und Ausgangskanal verzerrteWellen, d.h. man benutztals Wellenfunktionen die Losungen, die man aus Anpassungen der Daten derelastischen Streuung im jeweiligen Kanal bei der entsprechenden Energie andas optische Modell (OM) erhalt. Also braucht man z.B. fur die Beschrei-bung der Reaktion A(d,p)B die OM-Wellenfunktionen aus der Anpassung anDaten sowohl von A(d,d)A, als auch B(p,p)B. Damit berucksichtigt man —immer noch in erster Bornscher Naherung — die Beugung und Absorption derein- und auslaufenden Wellen im Kern- (und evtl. Coulomb-) Feld, sowie dieWirkung des LS-Potentials (s.a. Abb. 10.1).
• Als Kernanfangs- und Endzustande benutzt man Schalenmodell-Zustande
• Die endliche Reichweite der Kernkrafte wird durch eine finite- oder sogar zerorange- Naherung berucksichtigt.
• Die T-Matrix wird nach Partialwellen zu festem Drehimpulstransfer entwickelt
• Die Transfermatrix wird in einen kernstrukturabhangigen und einen kinema-tischen Teil faktorisiert.
Damit schreibt sich der Wirkungsquerschnitt
dσ
dΩ=
µaµb
πh4 (mB
mA
)4
2JB + 1
(2JA + 1)(2sa + 1)
1
kakb
∑
ℓsj
[
|Aℓsj|2∑
m
∣∣∣βℓm
sj
∣∣∣
2]
(11.11)
Der experimentelle Wirkungsquerschnitt wird durch das Produkt eines Anpassungs-faktors, des spektroskopischen Faktors Sℓj und des im Rahmen der DWBA mit Ein-teilchenannahmen berechenbaren theoretischen Wirkungsquerschnittes dargestellt:
(
dσ
dΩ
)ℓj
exp
= Sℓj
(
dσ
dΩ
)ℓj
DWBA
(11.12)
Bei einem Strippingprozeß ist der spektroskopische Faktor das Amplitudenquadrateines Fragments eines Einteilchenzustandes. Wegen dieser Fraktionierung in evtl.viele Zustande mit gleichen Quantenzahlen muß man die Starke dieser Zustandesummieren. Man erhalt bei vollstandiger Erfassung die Gesamtstarke, die bere-chenbar ist, da die Zahl der Nukleonen N in einer Unterschale festliegt. Es gelten
100
daher Summenregeln, z.B. ist bei Einteilchenstripping∑
Sℓj = (2J + 1). Mathe-matisch ist der spektroskopische Faktor das Uberlappintegral zwischen dem (anti-symmetrisierten k-Teilchen-Endkernzustand ΨA(i), in den das Nukleon eingebautwird, und der Einteilchenkonfiguration aus dem antsiymmetrisierten (k-1)-Teilchen-Targetkerngrundzustand (Core) und der Einteilchenwellenfunktion des ubertragenenk-ten Teilchens Ψ(j), gibt also die Wahrscheinlichkeit an, mit der sich ein bestimm-ter Zustand in dieser Konfiguration befindet. Mittelt man uber die Starkeverteilungaller Zustande, die Fraktionen eines Einteilchenzustandes sind (z.B. unter der An-nahme einer Breit-Wigner-Verteilungsfunktion), so gibt die Lage des Mittelwertsdie Energie des Einteilchenzustandes, die Breite der Verteilung dessen Lebensdauer(Spreading-breite), d.h. die des Zerfalls des Einteilchenzustandes in die tatsachlichendurch die Restwechselwirkung aufgepaltenen Kernzustande.
11.2 Compoundkern (CN)-Reaktionen
11.2.1 Allgemeines
Resonanzen sind eine sehr allgemeine Erscheinung der Physik. In der klassischenPhysik treten sie auf, wenn ein schwingungsfahiges System mit seiner Eigenfrequenzangeregt wird, was – abhangig vom Grad der Dampfung – zu großen Schwingungs-amplituden fuhren kann. Diese durchlaufen beim Abstimmen des Systems (Andernder Anregungsfrequenz) eine Resonanzkurve von Lorentzform. In der Kernphysiktreten Resonanzen im Kontinuum (also bei Streuproblemen, bei positiver Gesamt-energie) dann auf, wenn die Projektilenergie im Schwerpunktsystem plus der Q-Wertder Reaktion gerade gleich der Anregungsenergie eines Kernzustandes sind.
Abbildung 11.6: Anpassungsbedingung am Kern-(Potential-)Rand fur das Entsteheneiner Resonanz in der Anregungsfunktion.
101
Die beim Durchlaufen der Einschußenergie entstehende Anregungsfunktion der Ob-servablen (Wirkungsquerschnitt) zeigt charakteristische Exkursionen vom glattenVerlauf (der dem direkten Anteil, z.B. dem Coulomb- oder Shape-elastischen Anteilentspricht). Ebenso andern sich Streuphasen und Streuamplituden in charakteristi-scher Weise uber vergleichsweise kleine Energiebereiche.
11.2.2 Theoretischer Verlauf der Wirkungsquerschnitte
Eine Modellannahme bei Resonanzen ist im Gegensatz zu direkten Prozessen, daßdas System uber einen Zwischenzustand vom Eingangs- in den Ausgangskanal uber-geht. Fur diesen Fall gibt die Storungstheorie fur das Ubergangsmatrixelement fol-gende Form vor:
〈Ψout|Hint|Ψin〉 =const
E − ER
(11.13)
ER ist die Energie des Kerneigenzustandes. Dieser ist jedoch, da er im Kontinuumliegt, kein stationarer, sondern ein zeitabhangig zerfallender Eigenzustand, den manzweckmaßig durch eine komplexe Eigenenergie beschreibt:
ER = ER + iΓ/2 (11.14)
Die Deutung des Imaginarteils ist folgende: die Zeitentwicklung eines Zustandes hatdie Form eiEt/h, andererseits zerfalle der Zustand mit einer Lebensdauer τ , woraussich ergibt:
1/τ = Im(E) = Γ/2. (11.15)
Die Resonanzamplitude hat also folgende Form:
g(E) =F (E)
E −ER + iΓ/2(11.16)
Zu bestimmen ist noch die Bedeutung von F(E). Im Sinne der Bohrschen Unabhang-igkeitshypothese sind Bildung und Zerfall der Resonanz unabhangig, d.h. entkoppelt.Man schreibt daher die Amplitude als das Produkt aus Bildungs-Wahrscheinlich-keitsamplitude und Zerfallswahrscheinlichkeit in den betrachteten Ausgangskanal.I.a. gibt es zu einem Bildungskanal (dem Eingangskanal c) mehrere Ausgangskanalec’.
Die Breite Γ der Breit-Wigner-Funktion ist umgekehrt proportional zur Bildungs-wahrscheinlichkeit P und ergibt sich als Integral uber den Wirkungsquerschnitt uberden Energiebereich der Resonanz als
P =∫
σaAvaAV
· V p2aAdpaA
2π2h3 =∫
σaAk2indE
2π2h≈ k2
inF (ER)
2π2h
∫dE
(E − ER)2 + Γ2/4
=k2inF (ER)
πhΓ(11.17)
102
Im Gleichgewicht ist dies auch gleich der Wahrscheinlichkeit, daß die Resonanz ge-rade in den Eingangskanal zuruckzerfallt (rein elastischer Fall). Ein Maß hierfur isteine analog zu Γ gebildete Partialbreite ΓaA, also:
ΓaA/h =k2inF (ER)
πhΓ, (11.18)
daher:F (ER) =
π
k2aA
ΓaAΓ (11.19)
Definitionsgemaß ist Γ die Summe aller Partialbreiten uber die offenen Kanale. Da-her ist das Verzweigungsverhaltnis fur den Zerfall in einen bestimmten Kanal bB ≡ c′
gleich Γc′/Γ und der Breit-Wigner-Wirkungsquerschnitt fur die Bildung der Reso-nanz uber den Kanal c und den Zerfall uber den Kanal c’ ist:
σ(E) =π
k2in
· ΓcΓc′
(E − ER)2 + Γ2/4(11.20)
Diese Herleitung ist vereinfacht und muß, um die Interferenz mit einem direkten Un-tergrundanteil und uber eine Partialwellenentwicklung auch differentielle Wirkungs-querschnitte in der Nahe einer Resonanz beschreiben zu konnen, fur die komplexeStreuamplitude durchgefuhrt werden. Sie fuhrt fur elastische s-Wellen-Streuung zudem Ergebnis einer resonanten Streuamplitude der Form:
Ares =iΓaA
(E −ER) + iΓ/2(11.21)
Bei Anwesenheit eines direkten Untergrundes tritt neben dem reinen Resonanztermund dem rein direkten (glatten) Term ein typischer Interferenzterm auf, der auchdestruktiv sein kann. Fur σ gilt dann:
σtot = |Ares + Apot|2 = σres + σpot + 2ℜ(AresA∗pot) (11.22)
worin Apot die Amplitude der schwach energieveranderlichen Potentialstreuung ist.
11.2.3 Herleitung der Partialbreitenamplituden fur Kerne(nur s-Wellen)
Die Verbindung zwischen (resonanter) Streuwellenfunktion und der Wellenfunktiondes Eigenzustandes des Kerns macht die R-Matrix-Theorie. Deren Grundzuge sindetwa:
• Die beiden Wellenfunktionen und ihre ersten Ableitungen werden am Kernrand(Potentialrand o.a.) stetig angepaßt.
• Die Bedingung fur Resonanz ist gleichbedeutend damit, daß die Wellenfunk-tionsamplitude im Kerninnern einen Maximalwert annimmt. Dies geschiehtgenau fur eine Anpassung der Wellenfunktion am Rand mit Steigung null.
103
Die beiden Bedingungen lassen sich so zusammenfassen, daß die beiden logarithmi-schen Ableitungen L (L0 fur reine s-Wellen) am Kernrand gerade null sind: Mit derForm der Wellenfunktion im Außenraum
u0(r) = e−ikr − η0eikr, r > a (11.23)
und den Wellenzahlen im Außenraum k und im Innenraum κ ergibt sich:
L0(E) =
(
a
u0
du0
dr
)
r=a
(11.24)
Druckt man Gl. (11.23) durch L0 aus, so erhalt man die Streufunktion η0 als Funk-tion von L0:
η0 =L0 + ika
L0 − ikae−2ika (11.25)
Setzt man diese Streufunktion in die bekannten Ausdrucke fur die elastische Streu-ung und die Absorption ein (und mit L0 = Re(L0) + iIm(L0)), so erhalt man:
σel =π
k2in
|1− η0|2 =π
k2in
∣∣∣∣∣
[
e2ika − 1]
− 2ika
ReL0 + i(ImL0 − ka)
∣∣∣∣∣
2
(11.26)
und
σabs =π
k2in
(
1− |η0|2)
=π
k2in
(
−4kinaImL0
(ReL0)2 + (ImL0 − ka)2
)
(11.27)
Entwickelt man ReL0 in eine Taylorreihe und bricht nach dem ersten Glied ab,so kann man durch Vergleich neben der o.g. Resonanzstreuamplitude (mit Apot ∝e2ika − 1) noch folgende Ergebnisse gewinnen:
σel =π
k2in
∣∣∣∣∣
(
e2ika − 1)
+iΓaA
(E − ER) + iΓ/2
∣∣∣∣∣
2
(11.28)
σabs =π
k2in
ΓaA(Γ− ΓaA)
(E − ER)2 + Γ2/4(11.29)
Hierin wird deutlich, daß gemaß unserer Definition die Absorption alle Ausgangs-kanale außer dem elastischen umfaßt.
11.3 Einzelresonanzen
11.3.1 Allgemeine Merkmale von Einzelresonanzen
Das Vorliegen von (isolierten) Einzelresonanzen ist an folgenden Merkmalen erkenn-bar:
104
• In Wirkungsquerschnitten (und anderen Observablen) als Funktion der Ener-gie sind starke Exkursionen sichtbar. Maxima in Wirkungsquerschnitten sindbedingt durch den Resonanznenner. Fur die elastische s-Wellen-Streuung istder Maximalwert von (4π/k2
in) sin2 δ0 gerade bei δ = π/2 erreicht. Je nachdem,
ob die Resonanz isoliert ist und in einem untergrundfreien Bereich liegt odernicht und ob es sich um Wirkungsquerschnitt oder Polarisationsobservablenhandelt, ist das Erscheinungsbild bei schmalen Resonanzen eine reine Breit-Wigner-Form oder zeigt Dispersionsform durch Interferenz. Das bedeutet, daßauch destruktive Interferenz auftreten kann. Ein Beispiel fur den theoretischenVerlauf des Wirkungsquerschnittes uber eine isolierte (elastische) Resonanzohne Interferenz zeigt Abb. 11.7.
Abbildung 11.7: Reine (elastische) Resonanzform und Bedeutung der totalen BreiteΓ.
Ein gutes Beispiel fur eine gemessene weitgehend isolierte Resonanz ist die∆++-Resonanz in der π+−p-Streuung. Sie zeigt eine geringe Interferenz mitdem Untergrund. Ihre Winkelverteilung ist symmetrisch um 90 und ihr Argand-Plot fullt den Einheitskreis vollstandig aus (keine Inelastizitat).
• Ein wesentliches Merkmal ist also der Anstieg der Resonanzstreuphase uberden Bereich der Resonanz, im Idealfall um +π, mit Durchgang durch π/2 amOrt der Resonanz.
• Die Winkelverteilung in der Resonanz ist symmetrisch um 90.
• Argand-Plot: Tragt man Im(fR) gegen Re(fR) mit der Energie als Parameterauf, so erwartet man im Idealfall einer rein elastischen Resonanz folgendesVerhalten: Die komplexe Streuamplitude durchlauft im Gegenzeigersinn einenKreis um den Mittelpunkt (ER,Γ/2) mit dem Radius Γ/2.
105
Abbildung 11.8: Die ∆-Resonanz (hier in der π+−p-Streuung) ist eine der ausge-pragtesten Resonanzen. Sie ist so stark, daß sie den durch die Wahrscheinlichkeitser-haltung (Unitaritat der S-Matrix) gegebenen Maximalwert des Wirkungsquerschnit-tes erreicht.
Ein Beipiel fur die Resonanzstreuung von Protonen an 12C mit Streuphasenanalyseund Argand-Plot zeigt Abb. 11.11.
11.3.2 Uberlappende Resonanzen
Der Bereich, in dem Γ/D ≫ 1 ist, in dem also die Compoundresonanzen uberlappen,ist durch zwei mogliche Erscheinungsformen der Anregungsfunktionen gekennzeich-net:
• Die experimentelle Auflosung (Energiescharfe des Strahls, kinematische Ver-schmierung durch endliche Detektorwinkeloffnung etc.) ∆E ist klein: ∆E ≪ Γ.In diesem Fall uberlagern sich die vielen Breit-Wigner-Amplituden stocha-stisch und koharent. Die Wirkungsquerschnitte fluktuieren statistisch mit cha-rakteristischen Koharenzbreiten Γcoh, und sie gehorchen statistischen Vertei-lungsfunktionen.
• Die experimentelle Auflosung ist schlecht: ∆E ≫ Γ. Hier wird uber die fluktu-ierenden Wirkungsquerschnitte gemittelt, so daß ein glatter Verlauf entsteht.Da auch die konkurrierenden direkten Prozesse glatt verlaufen, mussen Un-terscheidungsmerkmale zwischen beiden gesucht werden, z.B. der Verlauf der
106
Abbildung 11.9: Die ∆-Resonanz hat eine um π/2 symmetrische Winkelverteilung.
Winkelverteilungen.
11.3.3 Ericson-Fluktuationen
Die ubliche Modellannahme hierbei ist, daß in den Ausdrucken fur die S-Matrix
Scc′ = SDI +∑ acc′
(E −ER) + iΓ/2(11.30)
die Partialbreitenamplituden acc′ = Γ1/2c Γ
1/2c′ cos(Φ)
des Compoundanteils sich stochastisch verhalten: sie sind nach Real- und Ima-ginarteil statistisch gleichverteilt mit dem Mittelwert null:
〈Scc′〉cc′ = 0 (11.31)
〈Scc′〉2cc′ 6= 0 (11.32)
Mit dieser Anahme ergibt sich fur das statistische Verhalten der S-Matrixelemente:Ihre Real- und Imaginarteile fluktuieren unabhangig und gaußverteilt, ebenfalls mitMittelwert null. Der S2
cc′ entsprechende Wirkungsquerschnitt
107
Abbildung 11.10: Der Argand-Plot uber die ∆−Resonanz fullt den Einheitskreisnahezu perfekt.
〈Scc′〉2cc′ 6= 0 (11.33)
fluktuiert um den glatten, namlich 〈Scc′〉2cc′ 6= 0 entsprechenden mittleren Wirkungs-querschnitt, der z.B. mittels der Hauser-Feshbach-Theorie beschrieben werden kann.
Aus dem stochastischen (chaotischen) Verhalten der Amplituden folgen eine Reihevon Vorhersagen, die benutzt werden konnen, einerseits die statistischen Grundan-nahmen zu uberprufen, andererseits Informationen nicht uber einzelne Compound-niveaus, aber uber deren Verhalten im Mittel zu gewinnen.
• Die Niveauabstande D folgen einer Wigner-Verteilung:
P (D)dD =πD
2〈D〉2exp
(
−πD2
4〈D〉2)
(11.34)
um den mittleren Niveauabstand 〈D〉. Eine reine Zufallsverteilung ware ∝1〈D〉
exp(
− D〈D〉
)
, wurde also kleine Niveauabstande bevorzugen. In Wirklichkeit
stoßen sich die Niveaus (mit gleichem Spin und gleicher Paritat) ab, und dieVerteilung wird gleichmaßiger.
• Die Niveaubreiten fur einen (den elastischen) Kanal gehorchen einer Porter-Thomas-Verteilung:
P (x)dx =1√2πx
exp (−x/2) dx (11.35)
108
Abbildung 11.11: Elastische Streuung von Protonen an 12C mit Durchgang der F5/2-Streuphase durch π/2 und Argand-Plot. Letzterer zeigt erhebliche Anteile von In-elastizitat (Abweichung vom Einheitskreis).
mit x = Γ/〈Γ〉. Fur mehrere (n) Kanale geht sie in eine χ2−Verteilung mit nFreiheitsgraden uber.
• Die (rel.) Wirkungsquerschnitte gehorchen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung,die im einfachsten Fall (ein Spinkanal) gegeben ist durch:
P (y)dy = e−y (11.36)
mity =
σ
〈σ〉 (11.37)
Fur N Spinkanale gilt:
P (y) =NN
(N − 1)!yN−1e−Ny (11.38)
• Es gibt keine Kanal-Kanal-Korrelationen
• Die Korrelationen zwischen (differentiellen)Wirkungsquerschnitten fur einenKanal, aber bei verschiedenen Winkeln ist von der Zahl unabhangig fluktuie-render Spinkanale und vom direkten Anteil abhangig. Die Korrelation ist am
109
großten fur 00und 1800, am kleinsten fur 900. Die Zahl der Spinkanale laßt sichberechnen: z.B. fur 900:
Neff,max= g/2 fur g = gerade, Neff,max= (g+1)/2 fur g = ungerade, mit
g = (2Sa + 1)(2SA + 1)(2Sb + 1)(2SB + 1) (11.39)
Fur die Grenzwinkel 00 bzw. 1800 ist Neff,min < Neff,max und abhangig vonder Spinstruktur der Reaktion. Der besonders interessante Fall Neff = 1 ergibtsich bei der Spinstruktur 1/2 + 0 → 1/2 + 0 (bei diesem ist die Fluktuationam starksten ausgepragt). Im allgemeinen Fall braucht man die Transmissi-onskoeffizienten des optischen Modells. Damit laßt sich aus der Messung dieserWinkelkorrelation u.U. der direkte Reaktionsanteil ermitteln.
• Energie(auto)korrelationen: Die Energiekorrelation
C(ǫ) =〈σ(E)σ(E + ǫ)〉〈σ(E)〉〈σ(E + ǫ)〉 − 1, (11.40)
fur die unter den obigen Annahmen gilt:
C(ǫ) =Γ2
Γ2coh + ǫ2
, (11.41)
liefert als die mittlere Niveaubreite (Lebensdauer) der CN-Niveaus. Die Auto-korrelation
C(0) =1
Neff(1− y2DI), (11.42)
kann benutzt werden, den direkten Anteil y2DI der Reaktion zu bestimmen.
11.4 VollstandigeMittelung uber die CN-Zustande
11.4.1 Allgemeines
11.4.2 Hauser-Feshbach-Formalismus
Nach der Bohr-Hypothese sind Bildung und Zerfall von CN-Zustanden unabhangig.D.h. z.B., daß der integrierte Wirkungsquerschnitt faktorisierbar ist:
σαβ = σCNα · Pβ (11.43)
mit
Pβ =Γβ
∑
alleβ Γβ(11.44)
und∑
β
Pβ = 1 (11.45)
110
Der Bildungsquerschnitt wird im Optischen Modell uber TransmissionskoeffizientenTα beschrieben:
σCNα = πhλ2(1− |ηαα|2) = πλ2 · Tα. (11.46)
Damit wirdσαβ = πλ2TαPβ (11.47)
Aus dem Prinzip des detaillierten Gleichgewichtes folgt:
λ2βσαβ = λ2
ασβα (11.48)
TαPβ = TβPα (11.49)
Pα
Tα=
Pβ
Tβ= λ = const (11.50)
∑
Pα = λ∑
γ=alleβ
Tβ = 1 (11.51)
λ =1
∑
γ Tγ(11.52)
Pβ = λ · Tβ =Tβ
∑
γ Tγ(11.53)
Das Endresultat fur den Hauser-Feshbach-WQ. ist dann:
σHFαβ = 〈σCN
αβ 〉 = πλ2α ·
TαTβ∑
γ Tγ(11.54)
Analog und unter Benutzung der Partialwellenentwicklung leitet sich der differenti-elle Hauser-Feshbach-Querschnitt hier fur Teilchen ohne Spins her:
(
dσ
dΩ
)
l
= πλ2α
∑
l
(2l + 1) |Pl(cos(θ))|2 ·TαTβ∑
γ Tγ(11.55)
Beide Wirkungsquerschnitte zeigen die Faktorisierung in Ein- und Ausgangskanal.
Wesentlich fur die Berechnung des Hauser-Feshbach-Querschnittes ist also die Kennt-nis der Transmissionskoeffizienten Tl bzw. TlJ , die man durch Anpassung des Op-tischen Modells an elastische Streudaten fur den Eingangskanal wie auch fur denbetrachteten Ausgangskanal sowie fur alle uberhaupt moglichen Ausgangskanaleerhalt. Sie mussen fur alle Energien bis zu den Anregungsenergien, die im Com-poundkern bzw. Endkern maximal erreicht werden, bekannt sein.
Eine v.a. bei Schwerionenreaktionen (d.h. bei starker Absorption) verwendete Nahe-rung war das Sharp-cutoff-Modell, bei dem die Transmissionskoeffizienten durch einegeeignete Stufenfunktion ersetzt wurden, die ihren Wert bei einer scharfen Energievon Null auf Eins andert.
Bei der Bestimmung der Ubergange, die im Kontinuum (also im Bereich starkerUberlappung der Endzustande) enden, mussen diese statistisch behandelt werdenmit der Niveaudichte als Gewichtsfaktor.
Die wesentlichsten Merkmale der Hauser-Feshbach-Querschnitte sind:
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• Die Winkelverteilungen sind aufgrund des Verhaltens der Legendre-Polynomeund Clebsch-Gordan-Koeffizienten symmetrisch um 90.
Abbildung 11.12: Hauser-Feshbach-Winkelverteilung, angepaßt an Daten der Com-poundreaktion 31P(p,α0).
• Die Wirkungsquerschnitte nehmen mit zunehmender Energie stark ab, dadurch die steigende Zahl offener Zerfallskanale der Transmissionsnenner starkzunimmt. Man erwartet daher, daß bei Konkurrenz mit direkten Prozessenletztere mit steigender Energie dominieren, die Compoundprozesse jedoch aus-sterben werden.
112
Kapitel 12
Ausgewahlte Literatur zurVorlesung
12.1 Allgemeine und Lehrbucher
• T. Mayer-Kuckuk, Kernphysik, Teubner
• P. Marmier/E. Sheldon, Physics of Nuclei and Particles I+II, Academic Press
• E. Bodenstedt, Experimente der Kernphysik und ihre Deutung I-III,B.I.
• P.E. Hodgson, Nucl. Reactions and Nucl. Structure, Oxford
• D. Jackson, Nuclear Reactions, Methuen
• G.R. Satchler, Introduction to Nuclear Reactions, MacMillan
• K. Krane, Introductory Nuclear Physics, Wiley
• K. Bethge, Kernphysik (Eine Einfuhrung), Springer
• H. Feshbach, Theor. Nucl. Phys. II, Nuclear Reactions, Wiley
12.2 Gebietsubergreifende
• H. Frauenfelder/E.M. Henley, Subatomic Physics, Prentice Hall
• dito, Nuclear and Particle Physics, Background and Symmetries, Benjamin
• E. Segre, Nuclei and Particles, Benjamin
• E. Lohrmann, Hochenergiephysik, Teubner
• E. Lohrmann, Einfuhrung in die Elementarteilchenphysik, Teubner
113
• D.H. Perkins, Introduction to High Energy Physics, Addison-Wesley
• K. Gottfried/V. Weisskopf, Concepts of Particle Physics I+II
12.3 Methoden und Technik
• K. Siegbahn (ed.), α−, β−, γ−Ray Spectroscopy, North-Holland
• H. Neuert, Kernphysikalische Meßverfahren, Teubner
• F. Knoll, Radiation Detection and Measurement, Wiley
• K.-H. Rohe, Elektronik fur Physiker, Teubner
• H.U. Schmidt, Meßelektronik in der Kernphysik, Teubner
• H. Daniel, Teilchenbeschleuniger, Teubner
• K. Wille, Physik der Teilchenbeschleuniger und Synchrotronstrahlungsquellen,Teubner
• F. Hinterberger, Physik der Teilchenbeschleuniger und Ionenoptik, Springer
• H. Wiedemann, Particle Accelerator Physics, Springer
12.4 Kernreaktions- u. Streutheorie, Drehimpuls
• M.L. Goldberger/K.M. Watson, Collision Theory, Wiley
• L.S. Rodberg/R.M. Thaler, Intr. to the Quantum Theory of Scattering, Aca-demic Press
• R.G. Newton, Scattering Theory of Waves and Particles, Springer
• C. Joachain, Quantum Collision Theory, North-Holland
• D.M. Brink/G.R. Satchler, Angular Momentum, Oxford
• H. Lindner, Drehimpulse in der Quantenmechanik, Teubner
12.5 Wenignukleonensysteme
• Proc. der Few-Nucleon- bzw. Few-Body-Konferenzen, z.B. Graz (1978), Euge-ne (1980), Kerlsruhe (1983), Rom (1986), Vancouver (1989), Adelaide (1992),Williamsburg (1994), Groningen (1997)
• G.E. Brown/A.D. Jackson, The Nucleon-Nucleon Interaction, North-Holland
• W. Glockle, The Quantum Mechanical Few-Body Problem, Springer
114
12.6 Resonanzen
• The Feynman Lectures in Physics I
• R.G. Sachs, Nuclear Theory
• E. Vogt, Advances in Nucl. Phys. 1(1968)261
• P.E. Hodgson, Nucle. Reactions and Nucl. Structure (s.o.)
• A.M. Lane/R.G. Thomas, Revs. Mod. Phys. 30(1958)145
12.7 Statistisches Modell und Ericson-Fluktuationen
• T. Ericson/T. Mayer-Kuckuk, Ann. Rev. Nucl. Science 16(1966)183
• M.G. Braga Marcazzan/L. Milazzo Colli, Progr. Nucl. Phys. 11(1970) 145
• A. Richter, “Specialized Reactions” in “Nucl. Spectroscopy and Reactions” B,Cerny (ed.), Plenum
• Proc. Int. Conf. on Statistical Properties of Nuclei, Garg(ed.), Albany 1971,Plenum
12.8 Intermediare Strukturen
• H. Feshbach, Ann. of Physics 11(1967)230
• auch: P.E. Hodgson, Nucl. Reactions and Nucl. Structure (s.o.)
12.9 Optisches Modell
• P.E. Hodgson, The Optical Model of Elastic Scattering, Oxford
12.10 Direkte Reaktionen
• N. Austern, Direct Nuclear Reaction Theories, Wiley
• G.R. Satchler, Direct Nuclear Reactions, Oxford
• N.K. Glendenning, Theory of Direct Nuclear Reactions, Academic Press
115
12.11 Schwerionenreaktionen
• W. Norenberg/H.A. Weidenmuller, Intr. Theory of Heavy Ion Collisions, Lect.Notes in Physics 51, Springer, 1976
• A: Bromley, Teatise on Heavy Ion Science I-VIII, Plenum
• R. Bock (ed.) Heavy-Ion Collisions I-III, North-Holland
12.12 Coulombanregung
• K. Alder/A. Winther, Coulomb Excitation, Academic Press
• dito, Electromagnetic Excitation, Theory of Coulomb Excitation with HeavyIons, North-Holland
12.13 Isospin und Isobar-Analogresonanzen
• G.M. Temmer, in “Fundamentals in Nuclear Theory”, IAEA Wien, 1967
• J. Fox/D. Robson (eds.), Conf. on Isobaric Spin in Nuclear Physics, Tallahas-see, Academic Press, 1966
• J.D. Anderson et al., Conf. on Nuclear Isospin, Asilomar, Academic Press,1969
• D. Wilkinson (ed.), Isospin in Nuclear Physics, North-Holland
• Henley & Miller, in “Mesons in Nuclei”, (eds. M. Rho & Wilkinson) Amster-dam, 1979, p. 416
12.14 Polarisationsphanomene
• D. Fick, Kernpyhsik mit polarisierten Teilchen, Teubner
• dito (ed.), Polarization Nuclear Physics, Lect. Notes in Physics 30, Springer1974
• Proc. der Polarisations-Symposia in Basel (1960), Karlsruhe (1965), Madison(1970), Zurich (1975), Santa Fe (1980), Osaka (1985), Paris (1990), Blooming-ton (1994), Amsterdam
• analog fur HE-Spin Physics: ... Bonn (1990), Bloomington (1994), Amsterdam(1996)
• H. Paetz gen. Schieck, Skriptum Kernphysik mit polarisierten Teilchen
• T.A. Welton, in Fast Neutron Physics II, eds. Marion & Fowler, Interscience,N.Y. 1963, p. 1317 ff.
116
12.15 Nutzlich, z.T. auch auf CD-ROM bzw. on-
line
• Nuklidkarte
• Nuclear Data Tables (u.a. Q-Wert-Tabellen, Reaction Lists etc.), AcademicPress
• Nuclear Data Sheets, Academic Press
• Energy Levels of Light Nuclei, Kompilationen in Nuclear Physics A
• C.M. Lederer/V.S. Shirley, neu: R.B. Firestone/V.S. Shirley, Table of Isotopes,Wiley
• Review of Particle Physics, Particle Data Group, Phys. Rev. D 54(1996)1,(Update alle 2 Jahre)
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