TEMA 2 ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS · PDF fileCURSO CERO MATEMÁTICAS: 2. ECUACIONES , INECUACIONES Y SISTEMAS 2.1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO • 2.1.1. Método general de

TEMA 2 ECUACIONES, INECUACIONES Y

SISTEMAS

CURSO CERO MATEMÁTICAS: 2. ECUACIONES , INECUACIONES Y SISTEMAS

2.1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO

• 2.1.1. Método general de resolución de ecuaciones

2.2. ECUACIONES CUADRÁTICAS Y BICUADRADAS

• 2.2.1. Ecuaciones cuadráticas

EJEMPLO: Resolver 4𝑥−5

6−

2(𝑥+7)

3= 3(𝑥 − 1)

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es

una igualdad que se puede expresar de la forma

02 cbxax , con Rcba ,, y .0a

Para resolver ecuaciones se segundo grado utilizamos

la fórmula que nos da sus soluciones: a

acbbx

2

42 .

ECUACIONES INCOMPLETAS:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 𝑎𝑥2+ c=0


• 2.2.2. Ecuaciones bicuadradas.

2.2. EJERCICIOS:

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado de la forma:

(1) 024 cbxax .

Estas ecuaciones se resuelven transformando la ecuación en otra de segundo grado por medio

de un cambio de variable. Efectivamente, si realizamos el cambio de variable tx 2 , la ecuación

inicial se transforma en:

(2) 02 cbtat .

Por cada solución t de la ecuación (2) obtendremos dos soluciones de la ecuación (1):

tx 1 y tx 2

.

Por ejemplo, vamos a resolver la siguiente ecuación: 014425 24 xx

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 036213 24 xx

b) 0362 24 xx

c) 01536 24 xx


2.3. Ecuaciones polinómicas

• 2.3.1. Regla de Ruffini

Para dividir un polinomio )(xP por un binomio de la forma )( ax existe un procedimiento

alternativo a algoritmo de la división, denominada Regla de Ruffini que nos proporciona el

cociente y el resto de la división de estos dos polinomios.

Por ejemplo, Consideremos los polinomios 4771226)( 2356 xxxxxxp y

6)( xxq . Utilizando la Regla de Ruffini obtenemos:

Ejemplo 2. Aplicar la Regla de Ruffini para obtener cociente y resto de

)3(:)273( 23 xxxx


Diremos que un polinomio )(xP es irreducible si solo es divisible por sí mismo o por un polinomio de grado 0.

Por ejemplo: son irreducibles 1x y 52 x . El polinomio )1(3 x es irreducible, pues únicamente es divisible por el polinomio de grado 0 3 . El polinomio )1( 2 x no es irreducible pues tiene dos divisores )1(),1( xx . El polinomios 12 x es irreducible pues no tiene raíces reales.

Diremos que ax es una raíz del polinomio )(xP si 0)( aP , es decir, si ax es una

solución de la ecuación 0)( xP . En ese caso, el binomio )( ax es un factor del

polinomio )(xP .

Consideremos el polinomio 1228238)( 234 xxxxxP , si aplicamos la Regla de Ruffini

para dividir )(xP y el binomio )2( x , obtenemos que el resto de la división es nulo.

Diremos entonces que el polinomio tiene una raíz en x=2. Además podríamos afirmar

que )2()6116()( 23 xxxxxP , es decir, el binomio )2( x es un factor divisor del

polinomio )(xP .

2.3.2. Factorización de polinomios.


2.3. Ecuaciones polinómicas

• 2.3.2. Factorización de polinomios (Método)

2.3. EJERCICIOS

Si )(xP es un polinomio de grado mayor que dos, entonces debemos encontrar las raíces del polinomio, teniendo en cuenta que un polinomio de grado n, tiene a lo sumo n-raíces reales (Teorema Fundamental del Álgebra).

Para encontrar las raíces aplicaremos secuencialmente la Regla de Ruffini.

Por ejemplo: Sea el polinomio 12133 xx , como sus coeficientes son enteros entonces

sus raíces enteras pueden ser 12,12,6,6,4,4,3,3,2,2,1,1 . Si aplicamos la regla

de Ruffini

Luego )4)(3)(1(12133 xxxxx .

Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:

a) 0)4)(1)(5(2 2 xxx b) 0)4)(3)(2(6 3 xxxx

c) 015311532 234 xxxx d) 060746192 234 xxxx


2.4. Ecuaciones con radicales. Ecuaciones racionales.

• 2.4.1. Ecuaciones con radicales.

Cuando en una ecuación la incógnita aparece en alguno de los términos dentro del signo radical, decimos que es una ecuación con radicales. Para resolver las ecuaciones con radicales se siguen los siguientes pasos:

1) Aislar en un miembro de la ecuación los términos en los que la incógnita está dentro de un signo radical.

2) Elevar los dos miembros de la ecuación al cuadrado.

3) Si ya no existen radicales, se resuelve la ecuación resultante teniendo en cuenta que las soluciones de la última ecuación pueden no ser soluciones de la ecuación inicial, por lo que es necesario comprobar cuáles de las soluciones obtenidas en la última ecuación son soluciones de la ecuación inicial.

Si todavía existen incógnitas dentro de un radical, iniciamos con esta ecuación el paso 1).

EJEMPLO. Resolver las siguientes ecuaciones con radicales:

a) 514 xx b) 3232 xx


2.4. Ecuaciones con radicales. Ecuaciones racionales.

• 2.4.2. Ecuaciones racionales.

2.4. EJERCICIOS

Las ecuaciones en las que la incógnita aparece en una fracción algebraica se denominan ecuaciones racionales. Para resolver ecuaciones con fracciones algebraicas multiplicamos las fracciones por el m.c.m. de los denominadores y después resolvemos la ecuación obtenida. Las soluciones resultantes deberán ser comprobadas en la ecuación inicial.

EJEMPLO: 2

9

2

32

2

6

xx

x

x

x

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 125 xx

b) 15 xx

c) 15 xx

d) 1132 xx

2. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:

a) 22

12

)2(

21

xx

xx

xxx

x

b) 1

1313

2

x

x

x

x

.


2.5. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

• 2.5.1. Ecuaciones exponenciales.

2) Tomando logaritmos en ambos miembros de la ecuación y aplicando las propiedades de los logaritmos.

Ejemplo: 0001,04 5 x

Son ecuaciones en las que la incógnita está en el exponente de una potencia. Se resuelven utilizando varias técnicas:

1) Expresando los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base y a continuación escribiendo la ecuación formada por la igualdad de los exponentes.

Ejemplo: 16 1522

xx

3)Efectuando el cambio de variable tax .

Ejemplo:

4

11243 2 xx


2.5. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

• 2.5.2. Ecuaciones logarítmicas.

2.5. EJERCICIOS.

Son ecuaciones en que la incógnita está dentro del argumento de un logaritmo. Se resuelven utilizando las propiedades de los logaritmos y comprobando las soluciones obtenidas en la ecuación inicial, ya que solo existen logaritmos de números positivos.

EJEMPLO: 1)5log()4log( xx

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 813 252

xx b) 26222 52 xxx

c) 06

16 22

xx d) 0001,04 5 x

2. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) xxx log3log)log()14log( 2

b) 32 log)6log(log3)14log( xxxxx

c) 0log)43log()2log(4log xxx


2.6. Sistemas de ecuaciones lineales

• 2.6.1. Definición de sistema de ecuaciones lineales

Una ecuación es lineal en las variables n

xxxx ,...,,,321

si se puede expresar de la forma

bxaxaxaxann ...

332211, donde Rbaaa

n,,...,,

21. Un sistema de

ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de varias ecuaciones lineales en las

variables n

xxxx ,...,,,321

:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

,

siendo Rbbaaaaaaaaammnmmnn,,,,,,,,,,,,,,

1212222111211 .


2.6. Sistemas de ecuaciones lineales.

• 2.6. 2. Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones.

Según el número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en:

a) Sistemas compatibles: cuando el sistema tiene alguna solución. Si la solución es única diremos que el sistema es compatible determinado, y si existen infinitas soluciones diremos que es compatible indeterminado.

EJEMPLO:El sistema lineal

1

22

yx

yx es compatible determinado, ya que su única solución es x = 1, y = 0.

Gráficamente son dos rectas que se cortan en el punto (1,0) es compatible determinado única solución x=1, y=0

2) El sistema

424

22

yx

yx es compatible indeterminado, su gráfica consta de dos rectas concurrentes

b) Sistemas incompatibles: si no existe ninguna solución.

EJEMPLO: El sistema

12

22

yx

yx es incompatible, su gráfica consta de dos rectas paralelas.



• 2.6.23. Métodos de resolución por sustitución, igualación y reducción.

SUSTITUCIÓN: Despejar una incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir en las restantes,

hasta conseguir una ecuación con una incógnita.

IGUALACIÓN: Despejar la misma ecuación en todas las ecuaciones e igualar los segundos

miembros de las ecuaciones resultantes.

REDUCCIÓN: Reducir el sistema a otro con menos incógnitas realizando operaciones con las

ecuaciones.

EJEMPLO: Resolvamos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

32

32

0

321

321

321

xxx

xxx

xxx

utilizando los tres métodos.



• 2.6.4. Método de Gauss. Transformaciones para construir sistemas equivalentes:

a) Si sustituimos una ecuación de un sistema por el producto de esta ecuación por un número, el sistema que se obtiene es equivalente.

b) Si sustituimos una ecuación por la suma o diferencia de esta ecuación con otra ecuación del sistema, el sistema que se obtiene es equivalente.

c) Si intercambiamos dos ecuaciones, el sistema que se obtiene es equivalente

Diremos que un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es triangular si tiene la siguiente forma:

33

222

1111

dzc

dzcyb

dzcybxa

Un método de resolución alternativo a los métodos clásicos de sustitución, igualación y reducción consiste en convertir un sistema de ecuaciones lineales en otro equivalente pero triangular: MÉTODO DE GAUSS.

EJEMPLO: Resolver por el método de Gauss:

422

62

32

zyx

zyx

zyx


2.6. EJERCICIOS.

1. Resuelve y clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

1042

932

123

zyx

zx

zyx

b)

3045

1422

122

zyx

zy

zyx


2.7. Inecuaciones.

• 2.7.1. Inecuaciones de primer grado con una incógnitaUna inecuación es una desigualdad ( ,,, ) entre dos expresiones algebraicas en las que aparecen una o más incógnitas y cuya solución es el conjunto de números reales que verifican la desigualdad.

Las inecuaciones de primer gado con una incógnita son inecuaciones que se pueden convertir en una de las siguientes inecuaciones reducidas: bax , bax , bax o

bax con Rba , .

Para reducir una inecuación de primer grado utilizamos las siguientes reglas:

Si 0a : a

bxbax ,

a

bxbax ,

a

bxbax ,

a

bxbax .

Si 0a : a

bxbax ,

a

bxbax ,

a

bxbax ,

a

bxbax .

EJEMPLO: 7𝑥 − 2 +𝑥

2≥ 8𝑥 + 5


2.7. Inecuaciones.

• 2.7.2. Inecuaciones polinómicas con una incógnita

Son inecuaciones que pueden reducirse a una de estas formas: 0)(,0)(,0)(,0)( xpxpxpxp , donde )(xp es un polinomio.

Para resolver las inecuaciones polinómicas seguiremos los siguientes pasos:

1) Simplificar la inecuación de manera que en un miembro obtengamos un polinomio y en el otro miembro el valor nulo.

2) Factorizar el polinomio del primer miembro y obtener sus raíces.

3) Dividir la recta real en un conjunto de intervalos. Sobre estos intervalos analizamos el signo de cada uno de los factores del polinomio, para obtener el signo del polinomio total y determinar en qué intervalos se verifica la inecuación.

EJEMPLO:

652 23 xxx


2.7. Inecuaciones.

• 2.7.3. Inecuaciones racionales con una incógnita

Son inecuaciones que pueden reducirse a una de estas formas:

0)(,0)(,0)(,0)( xrxrxrxr , donde )(xr es una fracción racional.

Para resolver las inecuaciones racionales podemos seguir los siguientes pasos:

1) Simplificar la inecuación a una de las formas reducidas indicadas.

2) Factorizar los polinomios que componen numerador y denominador.

3) Con la raíces del numerador y denominador descomponer la recta real en los intervalos; y analizar los signos de cada factor en cada intervalo para obtener el signo de la fracción racional.

EJEMPLO:

0183

28112

2

xx

xx

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