Trabajo Integral de Duhamel

7/26/2019 Trabajo Integral de Duhamel

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UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE

GROHMANN – TACNA

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL,

ARQUITECTURA Y GEOTÉCNIA

ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGIENIERÍA

CIVIL

TRABAJO DE INVESTIGACION

CURSO : CALCULO NUMERICO

TEMA : RESPUESTA A

EXCITACIONES IMPULSIVAS

HACIENDO USO DE LA INTEGRAL

DE DUHAMEL



DOCENTE : MS. LOZANO

ESTUDIANTES : MIGUEL ALONSO SIERRA

RIOS 2011 129027

JOAS ULQUIORRA MAMANI

2011 129004

FERNANDO ZUÑIGA QUISPE

2011 129019

ANDY FERNANDO HUAYTA

FLORES 2011 129032

TACNA-PERU

2012

INDICE



OBJETIVOS 3

INTRODUCCION 4

RESUMEN 5

CONCEPTOS PREVIOS 6

MARCO TEORICO 9

DIAGRAMA DE FLUJO 16

CODIFICACION 17

CONCLUSIONES 21



OBJETIVOS

1) Explicar el origen de la integral de duhamel, mediante métodos

numericos

2) Elaborar un programa usando métodos numéricos para poder calcular

el desplazamiento producido por fuerzas impulsivas.

3) Ampliar nuestro conocimiento como estudiantes de ingeniería civil, en

este caso dirigido hacia el curso de dinámica estructural.

4) Hacer conocer la utilidad y facilidad que nos puede otorgar el

programa a presentar que depende de la integral de duhamel.

INTRODUCCION



Generalmente las estructuras se encuentran sometidas a fuerzas exteriores o

excitaciones , las cuales pueden ser producidas ya sea por temblores, terremotos,

fuertes vientos o incluso hasta por el paso de camiones cerca de estas

estructuras.

Estas excitaciones son excitaciones impulsivas, en el siguiente informe se buscara

conocer cuáles son los efectos que pueden tener las construcciones ante estas

vibraciones, en este caso encontraremos el desplazamiento producido por dichas

vibraciones.

Para calcular el desplazamiento fue necesario desarrollar métodos numéricos en

este caso se uso la regla de Simpson 1/3

RESUMEN



el tema tratado en este informe es LA RESPUESTA A LA EXCITACIÓNIMPULSIVA APLICANDO LA IDENTIDAD DE DUHAMEL, esto se basa

básicamente a que en estructuras ocurren diversos sucesos que alteran su

permanencia entre ellos las fuerzas exteriores producidas natural o artificialmente.

Básicamente ablaremos en hallar el desplazamiento de estas vibraciones

aplicando la identidad de duhamel, dando el origen del mismo y como influye

realmente estas vibraciones en las estructuras, para ello tocaremos dos fases

importantes en poder hallar dicho desplazamiento; que son el sistema conamortiguamiento que consiste en mitigar una fuerza tratando de minorizar la

energía de la carga inicial y para ello usamos la integral de duhamel en función a

este sistema obteniendo una nueva ecuación; en el caso del sistema sinamortiguamiento es todo lo contrario, no puede disminuir una fuerza o mitigarla,

ya que tenemos una función desconocida y por tal usamos los métodos

numéricos, usando identidades trigonométricas obtenemos dos integrales que

luego agrupándolas nos genera una nueva ecuación en función a la integral de

duhamel y con ella nuestra solución.

finalmente en una posible grafica, introduciendo los datos iniciales en nuestro

programa podemos observar el desplazamiento de estas vibraciones ya sea por

diferentes métodos del punto medio, método del trapecio o método de Simpson;

en este caso usaremos el método de Simpson para nuestros cálculos posteriores.



CONCEPTOS PREVIOS

AMORTIGUAMIENTOEl amortiguamiento es el proceso causante de que un movimiento vibratorio

disminuya su amplitud con el tiempo, es decir se denomina amortiguamiento a la

capacidad de disipar energía. Como se demostrara con la solución de ecuaciones

que controlan la respuesta dinámica del sistema, hay casos en que las máximas

tensiones no dependen del amortiguamiento, mientras que en otros casos el

amortiguamiento juega un papel fundamental en la amplitud de la respuesta

dinámica.

Para una carga de corta duración (frente al periodo T de la estructura) y único

pulso como se indica en la figura anterior el amortiguamiento de la figura no incide

apreciablemente en la magnitud de la máxima respuesta, y con frecuencia no es

considerado para calcular el valor máximo de la respuesta. Por el contrario en el

caso de movimientos vibratorios sostenidos de tipo periódico de larga duración en

el tiempo( frente al periodo T) el amortiguamiento puede tener gran incidencia en

la magnitud de la respuesta dependiendo de la frecuencia de la excitación en

comparacion con la frecuencia natural del sistema. Para cargas de baja frecuencia

frente a la frecuencia natural, el amortiguamiento no afecta a la respuesta.



Similarmente para cargas de alta frecuencia frente a la frecuencia natural, el

amortiguamiento tampoco incide en la amplitud de la respuesta. Por el contrario

cuando la frecuencia de la carga aplicada se encuentra en el entorno de 0.5 a 2

veces la frencia natural de la estructura, el amortiguamiento cumple un rol incisivo

en la amplitud de la respuesta especialmente cuando la frecuencia natural del

sistema y la excitación son muy próximas entre si( resonancia).

VIBRACIONES

El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las

fuerzas asociadas con ellos. Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad,

son capaces de vibrar. Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula

o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las

máquinas y estructuras experimentan vibraciones hasta cierto grado por lo que su

diseño requiere la consideración de este efecto dinámico debido a que ocasiona

un aumento en los esfuerzos y tensiones.

Una vibración se produce cuando el sistema en cuestión es desplazado desde una

posición de equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a dicha posición, bajo la

acción de fuerzas de restitución elásticas o gravitacionales, moviéndose de un

lado a otro hasta alcanzar su posición de equilibrio. El intervalo de tiempo

necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento se

llama periodo de vibración, el número de ciclos por unidad de tiempo define

la frecuencia y el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de

equilibrio se denomina amplitud de vibración.

CARGAS O EXCITACIONES

Son fuerzas cuya magnitud, dirección o punto de aplicación puede variar en

función del tiempo, Existen 2 tipos de excitaciones:



a) Excitaciones periodicas.- Son aquellas que se repiten por ciclos a lo largo

del tiempo.

Funcion periodica con amplitud Fo, repite todas sus características después

de un tiempo determinado llamado periodo.

b) Excitaciones No periodicas.- Se identifican según su duración como

cortas medianas y de larga duración.

Cargas de corta duración, se aplican en periodo de tiempos pequeños que

se denominan impulsos

IMPULSO

Una exitación de impulso es una fuerza aplicada durante un corto intervalo de

tiempo. Se define como el producto de la fuerza por el tiempo de su duración.



MARCO TEORICO

EXCITACIÓN IMPULSIVA E INTEGRAL DE DUHAMEL

EXCITACIÓN IMPULSIVA

Una excitación impulsiva es una excitación aplicada durante un corto intervalo de

tiempo. El impulso correspondiente a este tipo de excitación se define como el

producto de la fuerza por el tiempo de su duración.

En la figura anterior el impulso de la fuerza F(t) en el instante t durante el intervalo

dt esta representado por el area sombreada y es igual a F(t )dt. Cuando este

impulso actua sobre un cuerpo de masa m produce un cambio de velocidad dv

que esta dado por la ley de movimiento de Newton:

Resolviendo para el cambio de velocidad nos da:



Donde F(t) es el impulso y dv el incremento de velocidad. Este incremento puede

ser considerado como la velocidad inicial de la masa en el instante t.Consideremos ahora a este impulso F(t)dt actuando en la estructura representada

por el oscilador simple sin amortiguación, obteniendo

La función de excitación puede entonces considerarse como una serie de

impulsos cortos que se presenta a incrementos de tiempo dt. Por lo tanto podemos

concluir de que el desplazamiento total en el instante t debido a la acción continua

de la fuerza F(t) esta dado por la integral delos desplazamientos diferenciales dy(t)

desde el instante t=0 al instante t=t, esto es:

Para el caso sin amortiguación:

Y para el caso con amortiguación

Donde :

m= masa

t=tiempo

w=sqrt(k/m)= frecuencia circular del sistema

k= constante de elasticidad



Y(t) = Desplazamiento ocasionado.

F(t) = Fuerza en función del tiempo.

Como observamos en ambos casos la manera de desarrollar será parecida, lo

único que hara la diferencia será el exponencial( en el caso del sistema con

amortiguamiento), siendo esta una integral con mayor grado de dificultad. Para

ambos casos aplicaremos la regla de Simpson con un cierto número de intervalos

de tiempo, para la cual a mas intervalos usemos más precisa será nuestra

respuesta.

INTEGRAL DE DUHAMEL

La integral de Duhamel es una de las técnicas mas usadas para análisis dinamico

lineal de estructuras sujetas a cargas variables en el tiempo. Como dicho

procedimiento se basa en el principio de superposición, es valido únicamente para

estructuras lineales, es decir para sistemas cuyas propiedades permanecen

constantes durante todo el proceso dinamico( masa, rigidez, etc.)

A continuacion haremos uso de la integral de duhamel para el caso con

amortiguación y sin amortiguación, utilizando la regla de Simpson 1/3

Sistema sin amortiguamiento

Una estructura sin amortiguamiento viene a ser aquella que no puede absorver,

mitigar, ni dispersar una fuerza, de forma que la carga inicial disminuya.

En muchos casos la función exitadora se conoce sólo por datos experimentales,

como es el caso de los registros de movimientos sísmicos. En tales situaciones la



respuesta debe ser calculada por un método numerico y uno de los métodos de

cálculo numérico es la integral de Duhamel.

Introduciendo la identidad trogonométrica :

Usando esta identidad y suponiendo condiciones iniciales iguales a cero, se

obtiene la integral de Duhamel de la ecuación (1) como:

………..(1)

Donde:

El cálculo de la integral de Duhamel requiere el cálculo numérico de las integrales

A(t) y B(t), en las cuales aplicaremos metodos numericos para asi reemplazar las

integrals por una suma de terminus a intervalos de tiempo .

( ) ( )cos( ) cos( ) ( ) sen t sen t t sen

( ) ( )cos

( )

A t sen t B t t

y t m



En este caso para desarrollar dichas integralEs aplicaremos la regla de simpson

1/3

Considerando la integral de una función I():

La operación elemental en la regla de Simpson es:

Donde:

n=t/t, en la regla de Simpson debe ser par

La aplicación de esta regla es directa, pero los resultados son aproximados porque

se basan en la sustitución de la función I()por segmentos parabólicos en la regla

de Simpson.

Un método alternativo es obtener la solución analítica exacta de la integral de

Duhamel, suponiendo que la función está compuesta por segmentos lineales

sucesivos. Este método no introduce aproximaciones numéricas en la integración,

aparte de las inherentes al error de redondeo, por lo que se considera un método

exacto.

Se supone que la función de la fuerza exitadora F() puede ser representada

aproximadamente por una función de segmentos lineales, como se observa en la

figura inferior.



Figura (I): Función exitadora representada por segmentos lineales

Con el fin de determinar la historia completa de la respuesta es más conveniente

expresar las integrales de la ecuación siguiente en forma incremental:

en forma incremental:



Con estas nuevas ecuaciones podemos hallar los términos A y B haciendo que al

desarrollar toda la ecuación nos de una solución mas precisa.

Sistema con amortiguamiento

Un sistema es amortiguado cuando recibe, absorbe y mitiga una fuerza,

dispersándola o transformando energía de forma que la carga inicial se haya

minorizado. Entre mejor sea la amortiguación inicial, menor será la fuerza recibida

sobre un punto final.

En forma análoga al análisis del sistema amortiguado, obtendremos el

desplazamiento diferencial para un sistema con amortiguamiento.

Sustituyendo la fuerza impulsiva F()d que produce la velocidad inicial dv=F()d,

y t sustituido por (t- ) en la ecuación (*) que corresponde a la solución para un

sistema en vibración amortiguada.

Sumando los términos de las respuestas diferenciales, resulta:



La respuesta de un sistema en función de la integral de Duhamel para el caso

amortiguado será:

Donde:

Para la función de segmentos lineales dada en la ecuación siguiente

Y luego sustituída en las ecuaciones



Resulta:



DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

F(i),m,k,vi:1,g

W=(k/m)^1/2

T(1,1)=0Ai(1,1)=0Bi(1,1)=0Ui(1,1)=0

i: 1,g-1

T(i+1,1)=T(i,1)+V

P=(h/3)*(F(i,1)*cos(w*T(i,1))+4*(((F(i,1)+F(i+1,1))/2)*cos(w*(T(i,1)+T(i+1,1))/2))+F(i+1,1)*cos(w*T(i+1,1)))

h=V/2

Ai(i+1,1)=Ai(i,1)+P

Bi(i+1,1)=Bi(i,1)+Q

U(i+1,1)=(Ai(i+1,1)*sin(w*T(i+1))-Bi(i+1,1)*cos(w*T(i+1)))/(m*w)

Q=(h/3)*(F(i,1)*sin(w*T(i,1))+4*(((F(i,1)+F(i+1,1))/2)*sin(w*(T(i,1)+T(i+1,1))/2))+F(i+1,1)*sin(w*T(i+1,1)))

Imprimir:U

FIN



CODIFICACION

SIN AMORTIGUACION

F=str2num(get(handles.edit6, 'string'))

m=str2double(get(handles.edit1, 'string'))

k=str2double(get(handles.edit2, 'string'))

V=str2double(get(handles.edit5, 'string'))

w=sqrt(k/m)

g=length(F)

T(1,1)=0 Ai(1,1)=0Bi(1,1)=0Ui(1,1)=0

for i=1:g-1T(i+1,1)=T(i,1)+V;h=V/2;

P=(h/3)*(F(i,1)*cos(w*T(i,1))+4*(((F(i,1)+F(i+1,1))/2)*cos(w*(T(i,1)+T(i+1,1))/2))+F(i+1,1)*cos(w*T(i+1,1)));

Q=(h/3)*(F(i,1)*sin(w*T(i,1))+4*(((F(i,1)+F(i+1,1))/2)*sin(w*(T(i,1)+T(i+1,1))/2))+F(i+1,1)*sin(w*T(i+1,1)));

Ai(i+1,1)=Ai(i,1)+P;

Bi(i+1,1)=Bi(i,1)+Q;

U(i+1,1)=(Ai(i+1,1)*sin(w*T(i+1))-Bi(i+1,1)*cos(w*T(i+1)))/(m*w)

end

set(handles.edit4,'string',U)



CON AMORTIGUACION

F=str2num(get(handles.edit1,'string'));m=str2double(get(handles.edit5,'string'));k=str2double(get(handles.edit3,'string'));V=str2double(get(handles.edit4,'string'));am=str2double(get(handles.edit7,'string'));vi=str2num(get(handles.edit6,'string'))

w=sqrt(k/m);g=length(F);sig=am/(2*m*w);wd=w*sqrt(1-sig^2);

T(1,1)=vi(1)Ai(1,1)=vi(2)Bi(1,1)=vi(3)U(1,1)=vi(4)

for i=1:g-1T(i+1,1)=T(i,1)+V;h=V/2;

P=(h/3)*(exp(sig*w*T(i,1))*F(i,1)*cos(wd*T(i,1))+4*((F(i,1)+F

(i+1,1))/2)*cos(wd*(T(i,1)+T(i+1,1))/2)*exp(sig*w*(T(i,1)+T(i+1,1))/2)... +exp(sig*w*T(i+1,1))*F(i+1,1)*cos(wd*T(i+1,1)));

Q=(h/3)*(exp(sig*w*T(i,1))*F(i,1)*sin(wd*T(i,1))+4*((F(i,1)+F(i+1,1))/2)*sin(wd*(T(i,1)+T(i+1,1))/2)*exp(sig*w*(T(i,1)+T(i+1,1))/2)... +exp(sig*w*T(i+1,1))*F(i+1,1)*sin(wd*T(i+1,1)));

Ai(i+1,1)=Ai(i,1)+PBi(i+1,1)=Bi(i,1)+QU(i+1,1)=((exp(-

sig*w*T(i+1,1)))*(Ai(i+1,1)*sin(wd*T(i+1))-Bi(i+1,1)*cos(wd*T(i+1))))/(m*wd);end set(handles.edit2,'string',U)

% --- Executes on button press in pushbutton2. function pushbutton2_Callback(hObject, eventdata, handles)F=str2num(get(handles.edit1,'string'));



m=str2double(get(handles.edit5,'string'));k=str2double(get(handles.edit3,'string'));V=str2double(get(handles.edit4,'string'));am=str2double(get(handles.edit7,'string'));vi=str2num(get(handles.edit6,'string'))

w=sqrt(k/m);g=length(F);sig=am/(2*m*w);wd=w*sqrt(1-sig^2);

T(1,1)=vi(1)Ai(1,1)=vi(2)Bi(1,1)=vi(3)U(1,1)=vi(4)

for i=1:g-1

T(i+1,1)=T(i,1)+V;h=V/2;

P=(h/3)*(exp(sig*w*T(i,1))*F(i,1)*cos(wd*T(i,1))+4*((F(i,1)+F(i+1,1))/2)*cos(wd*(T(i,1)+T(i+1,1))/2)*exp(sig*w*(T(i,1)+T(i+1,1))/2)... +exp(sig*w*T(i+1,1))*F(i+1,1)*cos(wd*T(i+1,1)));

Q=(h/3)*(exp(sig*w*T(i,1))*F(i,1)*sin(wd*T(i,1))+4*((F(i,1)+F(i+1,1))/2)*sin(wd*(T(i,1)+T(i+1,1))/2)*exp(sig*w*(T(i,1)+T(i+1,1))/2)...

+exp(sig*w*T(i+1,1))*F(i+1,1)*sin(wd*T(i+1,1)));Ai(i+1,1)=Ai(i,1)+PBi(i+1,1)=Bi(i,1)+QU(i+1,1)=((exp(-

sig*w*T(i+1,1)))*(Ai(i+1,1)*sin(wd*T(i+1))-Bi(i+1,1)*cos(wd*T(i+1))))/(m*wd);end x=F';y=U';z=T';axes(handles.axes1)

plot(y,x)grid on pan on ylabel('Fuerza')xlabel('desplazamiento')axes(handles.axes2)plot(z,y)grid on



pan on ylabel('Desplazamiento')xlabel('tiempo')

% --- Executes on button press in pushbutton3. function pushbutton3_Callback(hObject, eventdata, handles)set(handles.edit6,'string','');set(handles.edit1,'string','');set(handles.edit2,'string','');set(handles.edit5,'string','');set(handles.edit4,'string','');plot(0,0);axes(handles.axes1)plot(0,0);axes(handles.axes2)

CONCLUSIONES

1) Luego de haber concluido el presente trabajo, se pudo crear el programa

adecuado, el cual nos ayudo a calcular el desplazamiento producido por fuerzas

impulsivas, utilizando la regla de Simpson 1/3, con tan solo ingresar los datos

necesarios.

2) También se puede añadir que luego de haber desarrollado este trabajo de

investigación, se pudo ampliar nuestro conocimiento acerca del curso de dinámica

estructural, especialmente acerca de vibraciones impulsivas.

3) Se pudo conocer el funcionamiento de la integral de duhamel y básicamente su

uso, que nos permitio hallar el desplazamiento a las excitaciones impulsivas

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