Embed Size (px)
Citation preview
8. TRIGONOMETRIJSKI NIVELMAN
8.1. TRIGONOMETRIJSKO MERENJE VISINE
Odredivanje visinskih razlika na osnovu zenitnih odstojanja, odnosno vertikalnih uglova, naziva se trigonometrijsko merenje visina, tj. trigonometrijski nivelman. On se, uglavnom, primenjuje u brdovitim i te~ko pristupa~nim terenima za odredivanje visinskih razlika koje se koriste u geodeziji i inzenjerskoj geodeziji pri odredivanju:
- visinskih razlika izmedu poligonskih ta~aka;
- visinskih razlika izmedu trigonometrijskih tataka nizeg reda; - visinskih razlika izmedu ta~ka na fizi~koj povr~i Zemlje u inzenjerskoj geo-
deziji; - sleganja objekata ili terena u strmim i jako nepristupa~nim podru~jima; - visina objekata (tornjeva, dimnjaka itd.); - preno~enje apsolutnih visina sa jedne na drugu obalu ~irokih reka; - visinska povezivanja ostrva i ostrva sa kopnom itd. Mogucnosti trigonometrijskog nivelmana su velike i raznovrsne. U brdovitim podru~jima se ~esto koristi, jer je trigonometrijski nivelman najce
lishodnija metoda odredivanja visinskih razlika. Kada su odstojanja du:Za i teren ravan, trigonometrijski nivelman ne daje dobre
rezultate. Zbog toga se na ravni~arskom terenu visinske razlike ne odreduju trigonometrijskim nivelmanom. Tada je za odredivanje visinskih razlika bolje primeniti geometrijski nivelman.
Trigonometrijski nivelman daje bolje rezultate kada su odstojanja kraca. Kod duzih rastojanja (preko 6 km) mogu nastati znatne gre~ke odredivanja visinskih razlika, pogotovo kada su jednostrano odredene.
8.2. FORMULE ZA ODREDIVANJE VISINSKIH RAZLIKA
8.2.1. OPSTE RESENJE
Prilikom izvodenja formula za odredivanje visinskih razlika putem trigonometrijskog nivelmana nulta nivoska povr~ aproksimira se loptom polupre~nika r = 6377 km.
Visinska razlika izmedu dveju t11~aka A i B na fizi~koj povr~i Zcmljc jc razlika njihovih apsolutnih vis ina (sl. 8.1 ):
(Kl)
250
Na slici 8.1 oznateno je sa: s- odstojanje izmedu projekcija tatakaA i B na nultu
nivosku povr~ (s = Ao Bo), iA - visina instrumenta na tatki A,
In - visina signala na tatki B, ZA -izmereno zenitno odstojanje na tatki A. Zenitna odstojanja mere se na fizitkoj povr~i Zemlje koja je okruzena atmosfe
rom, tija su optitka svojstva u stalnoj promeni. Zbog toga se vizura nece prostirati
Slika 8.1
s· pravolinijski od teodolita do signala, vee po tzv. refrakcionoj krivoj liniji. Znati, zbog uticaja refrakcije vizura nece biti uperena u pravcu tetiveA 1 B 1
, nego u pravcu tangente A 1 B". Posledica ove pojave je da se umesto istinitog zenitnog odstojanja ZA 1, meri prividno odstojanje ZA- Razlika ova dva zenitna odstojanja predstavlja uticaj refrakcije na izmereno zenitno odstojanjeZA:
(8. 2)
Velitina ugla eA zavisi od temperature, vlaznosti vazduha, atmosferskog pritiska, vegetacije, konfiguracije terena, duzine vizure, visine vizure iznad povr~i Zemlje, doba dana, sastava zemljgta itd. U toku dana temperatura se stalno menja, vlaznost i pritisak vazduha takode, pa samim tim i uticaj refrakcije je u funkciji doba dana.
Promena uticaja refrakcije najveea je izjutra i uvete, a najmanja u podne. Mnogi nabrojani uzroci koji uslovljavaju velitinu refrakcije su u stalnoj promeni,
te njen uticaj nije moguee uzeti u obzir apsolutno tatno pri odredivanju visinskih razlika. Zato su potrebne pretpostavke i aproksimacije, iz kojih proistitu priblizna r~enja.
Pri dokazivanju op~teg re~enja polazi se od trougla A 1 B 1 C. Na pomenuti trougaoA1 B 1 C primeni se tangentna teorema (sl. 8.1):
~ B~C-A 1C tg 2 ~ ~ BIC+AIC = i£1!... = tg 2 ctg 2 (8.3)
tg 2
i kad se uzme u obzir da je:
B 1C- A 1C = r + Hn +In- (r + HA + iA) = Hn- HA + In- iA (8.4)
B 1C +A 1C = HA + Hn + iA + lA + 2r (8.5)
a ; ,8 = 90o ~ ~ (8.6)
o S . H HA +Hn tg2 == 2r 1 m = 2
251
za visinsku razliku dobija se sledeea formula:
a ~ ~H ~HA=S·tg 2 +iA-la+S·tg 2 ·f. (8.7)
Formula (8.7) predstavlja op~te re~enje odredivanja visinske razlike trigonometrijskim nivelmanom.
8.2.2. FORMULA ZA RACUNANJE VISINSKIH RAZLIKA NA OSNOVU JEDNOSTRANO OPAZANIH ZENITNIH
ODSTOJANJA
Kada se zenitno odstojanje opafa samo sa jedne tatke, recimo sa tatke A, tada za
~ s s tg 2 = ctg zA + 2r- 0 kA (8.8)
W' = SctgZA (8.9)
i formula (8. 7) ima oblik:
w~ = S·ctgZA + iA -La+ (1-kA) .; + W' ~m (8.10)
U formuli (8.10) figuri~u tri velitine koje su male po vrednosti i nazivaju se korekcioni tlanovi a nastaju zbog:
- uticaja zakrivljenosti Zemljine povr~i
sz K 1 = 2r (8.11)
- uticaja refrakcije
sz . K2 =-
0kA I
- uticaja apsolutnih visina tataka A i B
K3 = S·ctg zA.Hm_ r
(8.12)
(8.13)
Kao ~to je reteno, korekcioni tlan zbog uticaja zakrivljenosti Zemljine povr~i glasi (8.11):
sz K1 = o·
Za duzine s od 100 m pa do 5 km vrednosti korekcionog tlana K1 prikazane su u tabeli 8.1. ·
Tabela 8.1
Duzina SKm 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1,0 2 3 4 5
KlJm] 0,001 0,003 0,007 0,01 0,02 0,08 0,31 0,71 1,25 1,96
252
Na osnovu vrednosti prikazanih u tabeli 8.1 vidi se da za kraea odstojanja kao ~to su duzine poligonskih strana (S<400 m) pri odredivanju visinskih razlika nije potrebno voditi ra~una o zakrivijenosti Zemijine povr~i, jer je uticaj za S=400 m svega 1 em.
Korekcioni ~Ian zbog uticaja refrakcije ra~una se po formuli sz
K2 =- 2rk.
Korekcioni ~Ian, koji nastaje zbog zakrivljenosti Zemljine povr~i i refrakcije, za koeficijent refrakcije k = 0,13 giasi:
(1 - k) sz = o 87sz
2 r ' 2r
i uzima se iz tabeie 8.2 po argumentu S.
Korekcioni clanovi c 2 k) ~2
za uticaj Zemljine krivine i refrakcije.
Tabela 8.2
1-k 1-k 1-k 1-k -2- -2- -2- -2-
s s sz s sz s sz s sz ·- ·- ·-r r r r
270 O,Ql 2149 0,32 3027 0,63 3702 0,94 4272
468 0,02 2183 0,33 3051 0,64 3722 0,95 4289
605 O,o3 2216 0,34 3075 0,65 3742 0,96 4306
715 0,04 2249 0,35 3099 0,66 3761 0,97 4323
811 0,05 2281 0,36 3122 ' 0,67 3780 0,98 4340
897 0,06 2313 0,37 3146 0,68 3800 0,99 4357
975 0,07 2345 0,38 3169 0,69 3819 1,00 4374
1047 0,08 2276 0,39 3192 0,70 3838 1,01 4391
11 15 0,09 2406 0,40 3215 0,71 3857 1,02 4407
1179 0,10 2437 0,41 3238 0,72 3876 1,03 4424
239 0,11 2467 0,42 3260 0,73 3895 1,04 4440
1297 0,12 2496 0,43 3282 0,74 3914 1,05 4457
1352 0,13 2525 0,44 3305 0,75 3933 1,06 4473
405 0,14 2554 0,45 3327 0,76 3951 1,07 4490
456 0,15 2583 0,46 3349 0,77 3970 1,08 4506
1506 0,16 2611 0,47 3371 0,78 3988 1,09 4522
-- 2639 3392 4006 4538 0,17 0,48 0,79 1,10
0,18 2666 0,49 3141 0,80 4025 1,11 4554
- 2694 3435 4043 4570 0,19 0,50 0,81 1,12
253
1-k -2-
sz ·-r
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
Korekcioni dlan zbog apsolutnih visina tadaka raduna se po formuli:
Kr=S.ctg Z^+=LH'+gde je:LH' = S-ctg Zn.
Ovaj se korekcioni dlan pojavljuje zbog toga Sto se pri radunanju visinskih razllkane koriste horizontalna odstojanja izmedu tadaka, ved svedena na nultu nivoskupovrS.
Vrednost korekcionog Clana k3 moZe se uzeti iz tabele 8.3.
Tabela 8.3
Obidno je poznata pribliZna vrednost visine I{- za podrudje na kome se izvode
radovi, jer se uzima sa plana ili karte. Ova vrednost moZe se poznavati sasvim grubosa tadnosdu do 't- 100 m.
Visinske razlike radunaju se u, trigonometrijskom obrascu br.28. Kod jednostra-nog odredivanja nema kontrole, pa se radunaju na dva nezavisna nadina.
PNMER 8.1. Sraiunati visinske razlike na osnovu jednostrano opaianih zenitnih od-stojanja u trigonometrijskom obrascu br. 28. Srednja nadmorska visina uzeta je sa kartei iznosi Hm=1300m
zu
Korekcioni dlanovi kt = 1JrI' UL irrui"oi u "r
S
AH 500m 1000m 1500m 2000m 2500m 3000m 3500mS
M{
-50 m 0,4 0,8 1,2 1,6 2,O 2,4 2r7 50m
100 0,8 l16 2,4 3r1 319 4,7 s5 100
200 L,6 3,1 4r7 6,3 7,8 9,4 11,0 200
300 2,4 4r7 711 914 11,8 14,1 16,5 300
400 3r7 6,3 914 1.2,5 15,7 18,8 22,0 400
500 319 7,8 11,8 15,7 19,6 23,5 27,4 500
600 4,7 9,4 14,1 18,8 23,5 ?3,2 32,9 600
700 5,5 10,1 16,5 22,0 27,4 32,9 38,4 700
800 6,3 12,5 18,8 25,1 31,4 37,6 43,9 800
900 7,1 14,1 27,2 ?3,2 35,3 42,3 49,4 900
1000 7,8 15,7 23,5 31.,4 39,2 47,0 54,9 1000
1100 8,6 17,3 25,9 34,5 43,1 51,8 60,4 1100
Trigonom. obrazu br. 28 Str.
. (1-k) d' :.H', - dctgz. + lo-lo+ -2--;- A H''a ;;oo d lg (~) ..L ia- ib + la -lb
2 . 2 2
:. H'•=dc•g••+ lo-la+ c -;k)~ :. Ha =4 H"a + .1 tf.!:f,"! Prtmedba
8.2.3. FORMULA ZA RACUNANJE VISINSKIH RAZLIKA NA OSNOVU OBOSTRANO MERENIH ZENITNIH ODSTOJANJA
U cilju kontrole i poveeanja ta~nosti visinske razlike se odreduju na osnovu obostrano merenih zenitnih odstojanja. To zna~i da je u ta~ki A izmereno zenitno odstojanje ZA, a u ta~ki B zenitno odstojanje Zn.
Pomocu zenitnih odstojanja Zn maze se sra~unati visinska razlika /ll!~ analogno formuli (8.10):
!ll!~ = S ctg Zn +in -/A+ (1- kn) ; · + S·ctg Zn~m (8.14)
pri ~emu je: - kn - koeficijent refrakcije u ta~ki B; - in - visina instrumenta u ta~ki B; -lA - visina signata u ta~ki A.
Visinske razlike !ll!~ i /ll!~ treba da su priblizno jednake po apsolutnoj vredno- a suprotnog predznaka. Aka je /ll!~ pozitivna, onda ce tllf'i biti negativna i
tno. Za definitivnu vrednost usvaja se aritmeti~ka sredina, tj.
AU - /ll!~ + (-/ll!~) Lln- 2 (8.14.1)
Aka se u (8.14.1) uvrste izrazi (8.10) i (8.14), dobija se:
s ~-~ ~-~ ~ !ll! = 2 (ctgZA- ctgZn) + - 2- + - 2- + (kn- kA) 4, +
S H + 2 (ctgZA- ctgZn) 78.15)
255
Po~to je:
~ . ~-~ (k8 - kA) 4, ::=:: 0 1 (ctgZA- ctgZ8) = 2tg 2 ,
dobija se sledeci izraz za visinsku razliku:
A u - S ZB - ZA iA - iB LA - IB S Zn - ZA Lll7.- ·tg 2 + -2- + -2- + ·tg 2 (8.16)
NAPOMENE 1. Kada se razlika zenitnih odstojanja (Z8 - ZA) znatno razlikuje ad nule, visin
sku razliku treba ratunati po formuli (8.17):
A uB S Zn - ZA 1 (iA - iB LA - ln) + Lli~A = ·tg 2 + Z -Z -2-+-2-
cosz B A 2
S Zn - ZA Hm (8 17) + ·tg 2 . ,. .
2. Prednosti odredivanja visinskih razlika na osnovu obostrano opaianih zenitnih odstojanja jesu sledeie:
- veta tatnost odredjivanja visinskih razlika, - ne dolazi do izrazaja zakrivljenost Zemljine povr~i, - nije potrebno znati vrednost koeficijenta refrakcije. Aka je ista vrednost koe-
ficijenta refrakcije na abe tatke, u potpunosti se eliminge uticaj refrakcije. Redosled ratunanja je sledeci. 1. Iz (8.10) i (8.14) bez korekcionog clana koji izraiava uticaj apsolutnih visina
tataka sracunaju se visinske razlike !ili~ i !ili~. 2. Razlika izmedu !ili~ i !ili~ mora biti u granicama dozvoljenih odstupanja
fh = !ili~ - (- !ili~) = !ili~ + !ili~ s !J.. gde je tJ. dozvoljeno odstupanje. . Dozvoljeno odstupanje tJ. u trigonometrijskoj mrezi ratuna se po formuli: !J.=4(1,8 + 4,05S) ili se uzima iz tabele 8.4. Duzinu S treba izraziti u kilometrima pa se dozvoljeno odstupanje tJ. dobija u
cen timetrima. Za definitivnu vrednost usvaja se visinska razlika !ili koja se racuna po formuli
(8.16). Njena vrednost bez korekcionog clana koji odrazava uticaj apsolutnih visina tacaka A i B:
A u• - S Zn - ZA iA - in LA - ln Lll7. - ·tg 2 + -2- + -2-
treba da se slate sa srednjan vrednoscu
A TJI - /ili~ + (- /ili~) Lll7. - 2
Razlika mote da iznosi najvise dve jedinice na poslednjem decimalnom mestu. Korekcioni clan usled apsolutnih visina tacaka uzima se iz tabele 8.3 po argu-
mentu !ili' i Hm i sabira sa !ili', tj.
/ili = /ili' + M/'Hm. r
Visinske razlike se racunaju u trigonometrijskom obrascu br. 28.
256
\
PRIMER 8.2. Sracunati visinske razlike iz obostrano opaianih zenitnih odstojanja u trigonometrijskom obrascu br. 28.
Trigonom. obrazac br. 28 Str.
Ll tl'b = d ctg '• + t, - lb -+ ( I -; k) -~ J H" = d lg ( Zb ~ z, ) + ;, ; lb +I, ~ lb
JH'•- d ctgn +•• - •· +(~!.)~ au. - aH". +A H.~..!!
u.,
.. ~~.L ...
!:'':.4_ ... ('/ . 3
Ra~unanje visinske razlike izmcdu ta~aka: T, : S208 ..... To : 0 6.39 s " OdaCit I• a ' ~
z, __ to..L~..oJ~!- 1.v. .. ?. •..... d ... __ t ! 262~.§L H
dR z. ...
d clg z,. ...
.1H'a- ~ H'b
Dozv. odst.
-o.i oo l587
PRIMEDBA
Tabela 8.4. Dozvoljena odstupanja !!t. izmedu visinskih razlika odredenih trigonometrijskim nive/manom napred i nazad !!t. = 4 (1 ,8 + 4,05 S)
S km b. em Skm b. em Skm b. em Skm b. em Skm b. em
0,5 15 1,5 32 2,5 48 3,5 64 4,5 80
0,6 17 1,6 33 2,6 49 3,6 66 4,6 82
0,7 18 1,7 35 2,7 51 3,7 67 4,7 83
0,8 20 1,8 36 2,8 52 3,8 69 4,8 85
0,9 22 1,9 38 2,9 54 3,9 70 4,9 86
1,0 23 2,0 40 3,0 56 4,0 72 5,0 88
1,1 25 2,1 41 3,1 58 4,1 74 5,1 90
1,2 27 2,2 43 3,2 59 4,2 75 5,2 92
1,3 28 2,3 44 3,3 61 4,3 77 5,3 93
1,4 30 2,4 46 3,4 62 4,4 78 5,4 95
Odstupanja se dobijaju u centimetrima, kada je duzina strane S izrazena u kilometrima.
257
8.2.4. RACUNANJE VISINSKIH RAZLIKA U POLIGONSKOJ I LINIJSKOJ MREZI
U poligonskoj i linijskoj mrezi za odredivanje apsolutnih visina poligonskih i linijskih taatka obitno se visinske razlike odreduju generalnim nivelmanom, trigonometrijskim nivelmanom i tahimetrijski.
U gradovima i naseljima gde se razvija posebna nivelmanska mreia po pravilu se ne odreduju visine poligonskih taatka.
U razredima zemlji~ta A, B i V visinske razlike koje sluze za ratunanje visina poligonskih tataka odreduju se generalnim ili trigonometrijskim nivelmanom, a u razredu zemlji~ta G mogu i tahimetrijski.
S' B, -------------- ----, I AHB I A
-= --- _.: -~--- ------ J_j_ S'
Stika 8.2
Iz slike 8.2 sledi:
Kako su poligonske i linijske tatke na relativno kratkim odstojanjima, pri 9dredivanju visinskih razlika trigonometrijskim nivelmanom maze se zanemariti zakrivljenost Zemljine povcli. Takode se zanemaruje uticaj refrakcije i apsolutnih visina taatka. To prakticno znaci da nulta nivoska povrs predstavlja horizontalnu ravan, a vertikale kroz tacke A i B su upravne na tu ravan (sl. 8.2).
/lil~ = S · ctgZA + iA - Is (8.18)
gde je: S - horizontalno odstojanje izmedu taeaka A i ·B; ZA- mereno zenitno odstojanje u tatki A; iA - visina instrumenta u tatki A; Is- odsetak na letvi (visina signata) u tatki B. Ova formula direktno sledi iz (8.10), kada se zanemare korekcioni tlanovi Kb
K2 i K3. Visinske razlike poligonskih i linijskih taeaka racunaju se u trigonometrijskom
obrascu br. 28P. Visinske razlike odreduju se iz obostrano opazanih zenitnih odstojanja pa razlika izmedu /lil~ i /lil~ mora biti u granicama dozvoljenih odstupanja:
fh = /lil~ - ( -!lil~) = /lil~ + /lil~ s 1:!. gde je 1:!. dozvoljeno odstupanje. Dozvoljeno odstupanje ratuna se po formuli:
!!.[em] = 0,00075(1 + tg2a) . s[m] (8.19)
gde je a visinski ugao. U tabeli 8.5 data su dozvoljena odstupanja po argumentu visinskog ugla a i ho
rizontalne duzine S.
PRIMER 8. 3. Izracunati visinske razlike poligonske mreie u trigonometrijskom obrascu br. 28P.
258
Tri~onom . obr.uac 28 P
tza polil:onsk.u mr~tu) lnstr•ment : W.J.kci .. RD_5 Podatak \'trl. kruga ··-··- .... 1.· ..... .
Suana
Merrnje napr~d ~8 Merenje narad B do A a-(a.H._.l Podaci SU UlCti
i~~!:: t.,ji~. log 1 sin a 48 4H'•a ~ Visin. uglo Joe d sinllu 1 4 H'
" -(6H.a) odA Dulina (log) tr "u g iii un. daljlna lor tg a &A i-h"'
; (AH · dozv.) do B 0 a AB iii lAS IIi •-h. ; m
(4H•al . aAaHiZ AB Ui • ~ Broj \'Jak.a (loc)colgZM•<osZ~o~ : (loc)coi&ZuocosZuJ (t.H ••l • m
±! o I · I'''·· Jog~ H' 48 · ' 11±1 o I · I'''" log AH' •• j ~± ·:!:I ID
I 2 3 4 ~ G 7 8 g
1~:.\30 ... 2 i. • 4 5~ + ~ 'lQ 6 i • A t6 !- 0 41 -oos;
o&1 4&.:\ /.•!. 00 Q o6 c67 - 4 4Q s t~~ 00 0 00 204 !_ 4 ?4 (ooos.\
d.= 5S 95 .. ~ t81'3 + 4 00 . - 0 07 0 1- 4 &s 7
o!l1 1& 2 i-..~ 26 ' + 0 !?.!'. I -002
o&2 ~8.'.\ L-::.o 50 a (10 9&3 .j. 0176 4 .0 0,3 0 fl!> (o~)_
ci.:: ~602 + ~~3. & .j. 4 H ll - 4143. Q i • 09 ' ., -
o&2 rz. 2 .t1i (. .( i -o.o~ I I
Q 83 111.3 0 00 858 ll ()0 791 i !oos)
d." ~76 + 02.9. '5 + Qlsf>lt - 0 12'7 4 - ol5t 7_ o83 ~2 -oo6
o84 48.3 lF.i -\) Of 97S l ,(, 0 0.4 93.2 (a~&_
d.'~ --'--·
47,DQ .. 00.0 ... + oleo:; Is - 0 o; !t. - o'ao , ., G84 r,. ,2. i. • 4 20 .j. 41'37 l .{ -:. I ~'.!. - o6B -o,o•
e&s 48.3 (:2 0'1 0 (l~ 467 - 01'78' (.: ( 2'! ia 0{ 216 ... 0 40 • (oo4)
cL= 55. '56 + u.4 8 + ol59 s- 04~ 8 - ols& 7_
e8s r~ .3 •oot
8 86 48.~ lJ, 0 00 0~2. e .(, Q 00 o61 (oo4)
d= 48oo ~ 0 00 t. + QO* 4- 0 02,4 - ao3 7 . I
~ Ta .:\ .. 002
19 87 43 l i 0 OQ ·Jf(f ~ i 0 00 f4o · Loc:>..ll_
c! : 6096 I+ o o~.t\ I+ 0 07 T - o o4 8 - q 09. 1
. &7 •J· i. ~" 15 I+ ol7o i.-4 157 - I 9~ • -oa6r
~ a~ ... &.3 .l ~ ~ n 0 01 08t +- 0.1~2 l·o. l7o p 0!1.. o4B ... 0 8~ , _(_oo6l
r;t .. 7~66 + 037.2 1+- f 4'1 - 4 ll4 0 - 4 05 16 7
-
rr. Ia Ito.· ~ .L .. #:. 0.
a ... 4.4o6S.
I I I I - ..-una·-
259
i I
Tabela 8.5.Dozvo/jena odstupanja A(cmJ = 0,00075(1 + tg2a) S(mJ
0,00075 . 0,000 7733 8338 8494 8724 8986 9Z84 0,000 0,001 04Z9 0,001 1 + tg2 a 7 558 96ZO 0000 091Z
~-S,S' ~
so 100 15° zoo zzo Z4° Z6° 280 30° 3Z0 34°
m em em em em em em em em em em em
10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
zo z z z z z z z z z z z 30 z 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4
40 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5
50 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6
60 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7
70 5 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8
80 6 6 7 7 7 7 8 8 8 9 9
90 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10
100 8 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11
110 9 9 9 9 10 10 10 11 11 1Z 1Z
1ZO 9 9 10 10 11 11 11 1Z 1Z 13 13
130 10 10 11 11 1Z 1Z 1Z 13 13 14 14
140 11 11 1Z 1Z 1Z 13 13 14 14 15 16
150 1Z 1Z 1Z 13 13 14 14 15 15 16 17
160 1Z 13 13 14 14 15 15 16 16 17 18
170 13 13 14 15 15 16 16 17 17 18 19
180 14 14 15 16 16 16 ' 17 18 18 19 zo 190 15 15 16 16 17 17 18 19 19 zo Z1
zoo 15 16 16 17 18 18 19 zo zo Z1 zz 210 16 16 17 18 19 19 20 20 21 Z2 23
zzo 17 17 18 19 19 zo Z1 21 22 23 24
Z30 18 18 19 zo 20 Z1 Z2 22 23 24 25
240 18 19 zo Z1 21 22 23 23 24 25 26
250 19 20 20 Z1 zz 23 Z3 Z4 25 26 Z8
260 20 20 Z1 2Z 23 24 24 25 26 27 Z9
270 21 21 22 23 Z4 25 25 26 27 28 30
280 21 Z2 23 24 25 25 26 Z7 28 29 31
290 Z2 Z3 24 25 26 26 27 28 29 30 32
300 1Z 23 24 Z6 26 27 28 Z9 30 31 33
~ so 100 15° zoo 2Z0 24° Z6° 280 30° 32° 34°
260
8.3. TEZINA VISINSKE RAZLIKE TRIGONOMETRIJSKE I POLIGONSKE STRANE
Tatnost odredivanja visinskih razlika kod trigonometrijskog nivelmana najvi~e zavisi od tatnosti zenitnih odstojanja Z. Te:line visinskih razlika ratunaju se:
- za visinske razlike sratunate na osnovu jednostrano opaianih zenitnih odstojanja:
(8.20)
- za visinske razlike sratunate na osnovu obostrano opal.anih zenitnih odstojanja:
1 Poo. = S2 (8.21)
Bitno je uotiti iz (8.20) i (8.21) da su tezine koje se odnose na visinske razlike sratunate na osnovu obostrano opazanih zenitnih odstojanja dva puta veee od te:lina visinskih razlika odredenih na osnovu jednostrano opal.anih zenitnih odstojanja, tj.
Poo. = 2pj.d. Te:line se uzimaju iz tabele 8.6 po argumentu duzine izrazene u kilometrima
zavisno od toga da li je visinska razlika odredena jednostrano iii obostrano.
PRIMER 8.4. Sracunati teiine za visinske razlike odredene trigonometrijskim nivelmanom, i to: za obostrano opaf.ana zenitna odstojanja S1 = 0,97 km, Sz = 1,5 km i jednostrano S3 = 1,6 km i S4 = 2,2 km.
Odredi se: 1 1
- prema (8.21) p 1 = ~ = 0,972 = 1,063
1 1 p2 = ~ = 1,52 = 0,444;
- prema (8.20) 1 1
P3 = m = 2·1,62 = o,195
1 1 P4 = m = 2·2,22 = o,1o3.
261
Tabela 8.6. TeZ.ine i njihove reciprotne vrednosti
Obostrano Jednostrano Obostrano Jednostrano s odredene odredene s odredene odredene
visinske razlike visinske razlike visinske razlike visinske razlike
km 1 2. = s2 1 2. = 2S2 km 1 2. = s2
1 2. = 2S2 p =--;;[ p=-;:;-;;z p =--;;[ p=-;:;-;;z s p 2S p . s p 2S p
0,5 4,00 0,25 2,00 0,50 3,6 0,08 12,96 0,04 25,92
0,6 2,78 0,36 1,39 0,72 3,8 0,07 14,44 0,03 28,88
0,7 2,04 0,49 1,02 0,98 4,0 0,06 16,00 0,03 32,00
0,8 1,56 0,64 0,78 1,28 4,2 0,06 17,64 0,03 35,28
0,9 1,23 0,81 0,62 1,62 4,4 0,05 19,36 0,03 38,72
1,0 1,00 1,00 0,50 2,00 4,6 0,05 21,16 0,023 42,32
1,1 0,83 1,21 0,41 2,42 4,8 0,04 23,04 0,022 46,08
1,2 0,69 1,44 0,35 2,88 5,0 0,04 25,00 0,020 50,00
1,3 0,59 1,69 0,30 3,38 5,2 0,04 27,04 0,018 54,08
1,4 0,51 1,96 0,26 3,92 5,4 0,03 29,16 0,017 58,32
1,5 0,44 2,25 0,22 4,50 5,6 0,03 31,36 0,016 62,72
1,6 0,39 2,56 0,20 5,12 5,8 0,03 33,54 O,D15 67,28
1,7 0,35 2,89 0,17 5,78 6,0 0,03 36,00 0,014 72,00
1,8 0,31 3,24 0,15 6,48 6,2 0,03 38,44 0,013 76,88
1,9 0,28 3,61 0,14 7,22 6,4 0,02 40,96 0,012 81,92
2,0 0,25 4,00 0,12 9,00 6,6 0,02 43,56 0,012 87,12
2,2 0,21 4,84 0,10 9,68 6,8 0,02 46,24 0,011 92,48
2,4 0,17 5,76 0,09 11,52 7,0 0,02 49,00 0,010 98,00
2,6 0,15 6,76 0,07 13,52 7,2 0,02 51,84 0,010 103,68
2,8 0,13 7,84 0,06 15,68 7,4 0,02 54,76 0,009 109,52
3,0 0,11 9,00 0,06 18,00 7,6 0,02 57,76 0,009 115,52
3,2 0,10 10,24 0,05 20,48 7,8 0,02 60,84 0,008 121,68
3,4 0,09 11,56 0,04 23,12 8,0 0,02 64,00 0;008 128,00
8.3.1. TEZINA VISINSKE RAZUKE VIAKA TRIGONOMEI'RIJSKOG NIVELMANA
Visinska razlika u vlaku trigonometrijskog nivelmana dobija se kao zbir visinskih razlika svih strana u vlaku:
/!JI = /!J/1 + /!J/2 + '" + /!J!n gde je /!JI; visinska razlika jedne trigonometrijske iii poligonske strane.
262
Tezina visinske razlike vlaka trigonometrijskog nivelmana ra~una se po formuli:
pri remu je
1 p=m LPJ
[p.!J 1 1 1 = Pt + P2 + ... + "P;.
i p; tezina visinske razlike trigonometrijske, odnosno poligonske strane.
(8.22)
Za te:linu visinske razlike vlaka trigonometrijskog nivelmana, kada su obostrano opafana zenitna odstojanja, dobiee se zamenom (8.21) u (8.22):
1 P = [Sz] · (8. 23)
Ako u vlaku ima visinskih razlika sra~unate na osnovu jednostrano i obostrano opafanih zenitnih odstojanja o tome semora voditi ra~una pri odredivanju tezina P.
PRIMER 8.5. U vlaku trigonometrijskog nivelmana vertikalni uglovi na tri strane S1 = 0,99 km, S3 = 1,88 km i S4 = 1,66 km opaiani su jednostrano, a na dve obostrano Sz = 2,44 km i Ss = 1,21 km. Sracunati teiinu visinske razlike vlaka.
Teiinaje:
~1~ = _!._ + _!._ + _!._ + _!._ + _!._ = 2·0992 + 2442 + 2·1882 + 2·1662 + 1212 = P Pt P2 P3 P4 Ps ' ' ' ' '
= 1, + 5,95 + 7,07 + 5,51 + 1,46 = 21,95 1
p = 21 95 = 0•046· '
263
