Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERSIDAD CENTRAL “MARTA ABREU” DE LAS VILLAS VERITATE SOLA NOVIS INPONETUR VIRILIS TOGA
FACULTAD DE CONSTRUCCIONES
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL
TRABAJO DE DIPLOMA
Material de estudio sobre Diseño
Experimental
Diplomante: Karel B. Solares Soler
Tutores: Prof. Msc. Ing. Camilo Adael Díaz
Msc. Siereno Pérez
Curso: 2008 - 2009
1
2
No te alabes delante del rey,
Ni estés en el lugar de lo grandes;
Porque mejor es que te digan:
Sube acá,
Y no que seas humillado delante del
príncipe
A quien han mirado tus ojos
Proverbios 25:6
3
4
A Caridad Soler y a Manuel Solares
5
6
Primeramente quisiera agradecer de forma muy personal a mi DIOS:
Yaveh
por haberme permitido ser quien soy y darme fuerzas para seguir
luchando, a mi madre por su amor incondicional hacia mí en todo
momento y sin ella no hubiera podido llegar hasta donde he llegado hoy,
a mi padre por sus constantes esfuerzos para conmigo y dedicación en el
estudio, a mi hermana por haberme apoyado en todos mis anhelos, a mi
viejita linda por todo el cariño que me ha brindado, a mi esposa Lilibeth
por ser la mujer que amo, a mis suegros por haberme acogido como un
hijo más, a mi cuñado Maikel, a mi tutor por la experiencia brindada y a
todos aquellos que hicieron posible la realización de este trabajo. A todos
Muchas gracias.
7
8
El presente trabajo de diploma contiene un material de estudio complementario
la elaborado para la asignatura de Diseño Experimental con ejercicios
resueltos y propuestos sobre Pruebas de Hipótesis, Bondad de Ajuste, Análisis
de Correlación y Regresión, Bloques Completamente al Azar, Diseño Factorial
22, 23, 32 , para contribuir a mejorar el aprendizaje de los estudiantes de quinto
año de la Especialidad de Ingeniería Civil de la Universidad Central ― Marta
Abreu ― de las Villas.
La Fundamentación de este materia se basa en el aprendizaje desarrollador y
dentro de este sus dimensiones y subdimensiones.
Se realizo un diagnostico de las necesidades a partir de un análisis de trabajos
de diploma de cursos anteriores a partir del resultados de este análisis se
diseñó una encuesta a los estudiantes de 5to año para evaluar hasta se han
apropiado de las técnicas estadísticas y diseños de experimentos.
Se valoro el material a partir de criterio de especialistas y se propone su futura
validación.
9
10
INDICE
Resumen…………………………………………………………………………… 8
Introducción…………………………………………………………………………12
Capítulo I. Fundamentación teórica del problema de investigación…………..21
1.1 Medios de enseñanza en la educación técnica y profesional……………..21
1.2 Características fundamentales de los medios de enseñanza……………..22
1.3 Clasificación de los medios de enseñanza…………………………………..23
1.4 Relación entre los medios de enseñanza y los demás componentes del
proceso de aprendizaje………………………………………………………...28
1.5 El perfeccionamiento en el sistema educacional…………………………….30
1.6 Conclusiones parciales…………………………………………………..…….35
Capitulo II Modelación teórica- práctica de la propuesta……………….…..…...37
2.1 Diagnóstico y determinación de ecesidades…………………….…………...37
2.2 Modelación de la propuesta de intervención………………………...….……43
2.3Valoración de la propuesta………………………………..……………….……46
Conclusiones…………………………………………..……………………………..48
Recomendaciones…………………………………………………………..……….50
Referencias ibliográficas……………………………………………………………52
Bibliografías……………………………………………………………………….…54
Anexos
11
12
INTRODUCCION La Educación en el mundo actual necesita ser cada vez más eficiente. Este es
uno de los más grandes retos de la época contemporánea. Llevar una
educación de calidad a todos, es uno de los más hermosos sueños de la
humanidad y una condición para vencer el resto de sus males. Los países
pobres, alejados de las tecnologías productivas y expuestas a la seudo cultura
que generan los grandes centros de poder, no solo ven morir a sus hijos en
medio del hambre y la desnutrición, sino que corren el riesgo de perder su
propia identidad bajo la corriente de la globalización neoliberal el cuál es en
resumen, un momento en el desarrollo del capitalismo en su fase imperialista,
donde las empresas transnacionales y los estados más poderosas han
impuesto al mundo subdesarrollado un Nuevo Orden Económico Mundial que
ha convertido a la mayoría de las naciones del tercer mundo en neocolonias,
provocando el aumento de la pobreza, la miseria y el hambre.
En Cuba a partir de la transformaciones sociales que se desencadenaron con
el triunfo de la Revolución, comenzaron a atesorarse significativas conquistas,
dentro de las cuáles se pueden señalar la campaña nacional de alfabetización,
la gratuitidad de la enseñanza, la universalización, la educación especial, la
atención a la educación de adultos, el logro de elevadas tasas de
escolarización y retención escolar, entre otras.
En la medida que se extiende la masividad de la educación, se hace más
necesario el perfeccionamiento de la calidad educacional, por esa y otras
razones donde se pretende que la población cubana alcance una cultura
general integral, se han efectuados transformaciones profundas en las
diferentes enseñanzas en aras de multiplicar el aprendizaje con la utilización de
las nuevas tecnologías de la informática y las comunicaciones.
Es por ello que se hace necesario lograr la implicación del estudiante en el
propio proceso de aprendizaje, que este se convierta en sujeto real y como tal
incorpore y produzca el conocimiento de forma personalizada, activa y
creadora.
13
Es necesario que el estudiante trabaje sistemáticamente en la consecución de
metas, proyectos y que sus objetivos de aprendizaje logren un poder
movilizador en el proceso de apropiación de conocimientos. La implicación
personal de los alumnos en el proceso de asimilación de los conocimientos
resulta esencial, así como el carácter activo con que ellos abordan su
aprendizaje, que constituye una condición básica para que se desarrolle y
mejore la utilización de sus recursos en metas que le son propias, ello
redundará en el creciente desarrollo de sus intereses y potencialmente en
nuevos niveles de aprendizaje. El alumno debe estar involucrado en la materia
y en el proceso de aprendizaje, que tenga ante todo un sentido para él, lo que
le permitirá desarrollar intereses, plantearse proyectos y descubrir problemas.
Todo ello exige una constante elevación del nivel profesional y cultural, lo que
agudiza cada vez más la contradicción entre el crecimiento acelerado de la
información y la posibilidad de los escolares de asimilarla, pues en el mundo de
hoy adquiere gran importancia saber orientarse por sí mismo en la amplitud de
los nuevos conocimientos científicos y la utilización eficiente de los ya
adquiridos.
En el proceso de asimilación de los conocimientos se produce la adquisición de
procedimientos, de estrategias que en su unidad conformarán las habilidades
específicas de las asignaturas, así como las del tipo en las que se destacan las
relacionadas con los procesos del pensamiento (análisis, abstracción y
generalización), por ejemplo: la conservación, la organización, la clasificación,
etc. Además de las habilidades que tienen que ver con la planificación, el
control y la evaluación de la actividad de aprendizaje.
Precisamente el tema seleccionado está encaminado a la elaboración de un
material complementario que facilite al estudiante una mejor comprensión en la
aplicación del diseño experimental estadístico y colaborar con la bibliografía
existente.
Partiendo de los objetivos generales de la asignatura Metodología de la
Investigación y Diseño de Experimentos impartido en el quinto año de la
14
especialidad de Ingeniería Civil(Plan C´modificado para la UCLV en la
especialidad de Ingeniería Civi l), que son:
1- Objetivos educativos
Contribuir a consolidar en los estudiantes la concepción científica del
mundo, de modo que al analizar los fenómenos que estudie, vincule en
forma dialéctica y materialista las abstracciones matemáticas con la práctica
y la vida social del hombre, y en particular, con la esfera profesional de la
Ingeniería Civil, para lo cual se prepara.
Contribuir a desarrollar en los estudiantes el carácter partidista en aspectos
tales como la constancia, la voluntad, el hábito de proceder reflexivamente,
a través de una formación matemática que los capacite para poner al
servicio de la construcción de la sociedad socialista, los conocimientos y las
capacidades adquiridas.
Desarrollar las formas del pensamiento lógico y la capacidad de
razonamiento de los alumnos mediante la formación de un sistema de
conocimientos y el desarrollo de habilidades para el cálculo que se derivan
de la aplicación de métodos, algoritmos y reglas a la solución de problemas.
Contribuir a consolidar en los estudiantes, el dominio de las categorías,
sistemas y estructuras y la capacidad para organizar, planificar y evaluar
críticamente los resultados de su trabajo, para que sean capaces de
garantizar el cumplimiento de los planes socioeconómicos en su futura
actividad profesional.
Consolidar en los estudiantes la convicción sobre la necesidad de su
autopreparación político-ideológica, científica, técnica y cultural a partir de
las
relaciones de la Matemática con otras ramas del saber y de la orientación
sobre métodos de estudio adecuados.
2- Objetivos instructivos:
Formular y evaluar de forma preliminar un proyecto de investigación
innovativo, desde una dimensión socioeconómica, técnica y ambiental.
15
Utilizar las pruebas paramétricas y no paramétricas en el análisis y estudio
de problemas de materiales de construcción, sistemas de cargas con
componente aleatoria y aspectos relacionados con la teoría de la seguridad.
Definir los principios, objetivos y pasos a seguir en la realización de un
diseño de experimentos que permitan la obtención de resultados
científicamente fundamentados con criterios de economía y racionalidad en
la determinación de los tamaños de las muestras.
Ampliar el conocimiento de algunas distribuciones paramétricas y su
apllicación a problemas vinculados con las construcciones.
Elaborar diseños de experimentos de planes factoriales del tipo 2k para el
análisis de problemas simples vinculados a las construcciones.
Utilizar los sistemas de programas profesionales para los análisis
estadísticos en la solución de problemas relacionados com la profesión.
La bibliografía que orienta el programa y las indicaciones metodológicas para
esos contenidos son las siguientes:
1. Estadística Elemental, M. Noel, Ediciones, R, T.B.
2. Diseño Estadístico de Experimentos: López, R.,Editorial Científico Técnica,
1988.(203 pag.)
3. Teoría y Problemas de Estadística. M.R. Spiegel, Edició Revolució, 6ta
impresión 1978. (358 pag.)
4. La investigación científica. Bumge, M. Editorial Ciencias Sociales, La
Habana.1977
5. Método de investigación Social. Friedrich, W. Editorial Ciencias Sociales, La
Habana.1988
6. Ciencia, Tecnología y desarrollo. Galvez, T. Editorial Ciencias Sociales, La
Habana.1986
7. Estadística Elemental. Sanchez, R. Editorial Ciencias Sociales, La
Habana.1986
En estas bibliografías el estudiante debe de apropiarse de los conocimientos lo
cual se realiza con poca fluidez debido a que los pocos ejercicios relacionados
con la especialidad de Ingeniería Civil que aparecen en estas bibliografías
16
están desactualizados y la mayoría no se ajustan a la realidad actual ni se
adaptan totalmente a las necesidades del estudiantado, surgiendo así una
contradicción entre el estado real y el necesitado, lo que llevó a plantear la
siguiente problemática: El diseño experimental estadístico que reciben los
estudiantes de quinto año de la especialidad de Ingeniería Civil, que es una
parte de la asignatura de Metodología de la Investigación y Diseño
Experimental no cuenta con un material que contenga ejemplos resueltos y
propuestos reales aplicado a las condiciones actuales. Que permita un enfoque
más completo en la utilización de los conocimientos obtenidos y mejorar la
aplicación de los objetivos generales de la asignatura.
Partiendo de lo antes expuesto la investigación se plantea:
Problema Científico: ¿Cómo contribuir a elevar el aprendizaje de los
estudiantes de quinto año sobre el diseño experimental estadístico en la
asignatura de Metodología de la Investigación y Diseño Experimental en la
especialidad de Ingeniería Civi l de la Universidad Central ―Marta Abreu‖ de las
Villas mediante un material de estudio complementario?
Objeto de estudio: Aprendizaje en el diseño experimental estadístico de la
asignatura de Metodología de la Investigación y Diseño Experimental.
Campo de investigación: El aprendizaje de los estudiantes de quinto año en
el Diseño Experimental de la asignatura de Metodología de la Investigación y
Diseño Experimental.
Objetivo General: Proponer un material de estudio electrónico con ejemplos
prácticos resueltos y ejercicios propuestos, aplicados a investigaciones sobre
la base de situaciones reales en dicha especialidad.
-A partir del objetivo general se formularon las siguientes:
Interrogantes científicas:
1- ¿En la bibliografía orientada en el programa de la asignatura existen
materiales de ejercicios resueltos y propuestos relacionados con la
realidad actual y aplicada concretamente a la especialidad de Ingeniería
Civil?
2- ¿Qué insuficiencias presentan los estudiantes del quinto año de la
especialidad Ingeniería Civil relacionados con el aprendizaje de diseño
17
experimental estadístico de la asignatura de Metodología de la
Investigación y Diseño Experimental?
3- ¿Cómo elaborar un material de estudio complementario que mejore el
aprendizaje de esta parte de la asignatura?
4- ¿Cómo valorar la calidad de la propuesta de investigación?
Para dar cumplimiento a las interrogantes científicas se propone las siguientes
tareas:
Tareas científicas:
1- Determinación de los sustentos teóricos- metodológicos relacionados
con el aprendizaje del diseño experimental estadístico de la asignatura
de Metodología de la Investigación y Diseño Experimental en la
especialidad de Ingeniería Civil.
2- Determinación de las necesidades que tienen los estudiantes de quinto
año de la especialidad en estudio, relacionados con el aprendizaje del
diseño experimental estadístico de la asignatura de Metodología de la
Investigación y Diseño Experimental.
3- Elaboración de un material de estudio complementario a través de
diferentes ejercicios sobre problemas prácticos aplicados a la
especialidad.
4- Valoración del material de estudio propuesto en la investigación por
criterios de especialistas.
Se decidió tomar como población y muestra a los dos grupos de quinto año
de la especialidad de Ingeniería Civil, de la Universidad Central ¨Marta
Abreu¨ de las Villas
Métodos científicos empleados:
Del nivel teórico:
Analítico - Sintético. Permitió a partir de la revisión bibliográfica analizar
y obtener los elementos necesarios para abordar la situación
problémica.
18
Inductivo - Deductivo. Del análisis bibliográfico se deduce que es un
material de estudio, que aspectos debe contener y así llegar a la
inducción del tipo de ejercicio que se planifica.
Del nivel empírico:
Análisis de documentos rectores: Se revisaron diferentes documentos
tales como. Plan de Estudio, Modelo del graduado, Programa de la
Asignatura y bibliografía del programa de la asignatura , con el objetivo
de determinar los temas que contendrá el material de estudio, objetivos
que persigue y habilidades a mejorar, así como la bibliografía a emplear
en la confección de este material.
Encuesta a estudiantes: Se utilizó para determinar las necesidades en el
aprendizaje del Diseño Experimental de la asignatura Metodología de la
Investigación y Diseño Experimental de los estudiantes del quinto año
de la especialidad de Ingeniería Civil.
Criterio de especialista: Consultas a especialistas con el objetivo de
determinar la calidad de la propuesta de investigación así como
enriquecer su contenido.
Novedad científica:
Se propone un material de estudio para ser aplicado en el quinto año de la
especialidad de Ingeniería Civil en la asignatura de Metodología de la
Investigación y Diseño Experimental, con ejercicios que presentan diferentes
niveles de profundidad y ejemplos resueltos con casos reales y actuales.
El Trabajo de Diploma se estructura con una Introducción que abarca el diseño
de la investigación. Cuenta además con un desarrollo compuesto por dos
capítulos.
Capítulo I: Fundamentación teórica del problema de investigación que incluye
el estado del arte del tema tratado.
Capítulo II: Modelación teórica- práctica de la propuesta y a su vez se
subdivide en epígrafes.
2.1 Diagnóstico y determinación de las necesidades.
2.2 Modelación del la propuesta de intervención.
2.3 Valoración de la propuesta.
19
Cuenta además con conclusiones, derivadas del objetivo general y
recomendaciones. Se consulto una amplia bibliografía recogida en el informe
así como anexos que ayudan a comprender lo abordado.
20
21
Capítulo I FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1.1 Medios de enseñanza en la educación técnica y profesional.
Los medios de enseñanza han adquirido una gran importancia en el desarrollo
de la Revolución Científico-Técnica, que se ha reflejado en los centros
educacionales, entre muchas cosas, con la aparición de equipos y tecnologías,
que el profesor pueda hacer uso para el mejoramiento y la optimización de la
enseñanza.
En la pedagogía que se ejerce en Cuba, es indispensable vincular el trabajo
con los medios de enseñanza, como un propósito esencial de la política
educacional y la formación multilateral y armónica del individuo. Los medios de
enseñanza como parte del proceso docente educativo han de contribuir a
desarrollar en el hombre convicciones ideológicas, científicas, filosóficas y
otras.
A los medios de enseñanza tradicionalmente se les designaban como
auxiliares para el trabajo del maestro en una época en que se carecía de la
concepción sistémica y científica que existe hoy sobre el proceso docente-
educativo. Llamar a los medios como auxiliares no sería del todo aceptado, ya
que son componentes esenciales del proceso docente. Los medios se pueden
concebir como facilitadores del proceso.
Los pedagogos definen a los medios de enseñanza generalmente de dos
maneras, unos teniendo en cuenta sus funciones pedagógicas y otros más
preocupados por su naturaleza física.
El conocido pedagogo alemán Lothar Klimberg que considera como medios de
enseñanza a: ―Todos los medios materiales necesarios por el profesor o el
alumno para una estructuración y conducción efectiva y racional del proceso de
instrucción y educación, a todos los niveles en todas las esferas del sistema
educacional y para todas las asignaturas y así satisfacer las exigencias del plan
de enseñanza‖ (1)
22
Entre los materiales del Cuarto Seminario Nacional para Dirigentes,
Metodólogos e Inspectores del Ministerio de Educación se precisa que: ―Los
medios de enseñanza son distintas imágenes, representaciones de objetos y
fenómenos que se confeccionan para el docente. También objetos naturales e
industriales, tanto en su forma normal como preparada que contienen
información y se utiliza como fuente del conocimiento‖ (2)
Como se puede apreciar en cada una de las definiciones planteadas
anteriormente se abarca las funciones de los medios de una manera u otra,
ahora en el sentido más restringido, o sea, incluyendo solamente el proceso
docente educativo, Vicente González Castro plantea: ―Medios de enseñanza
son todos los componentes del proceso docente educativo que actúan como
soporte material de los métodos (instructivos y educativos), con el propósito de
lograr los objetivos planteados.‖ (3)
Cuando se plantea que los medios de enseñanza actúan como soporte material
de los métodos, se deduce que estos sirven los mismos para la labor expositiva
del profesor, para el trabajo independiente del alumno, para las clases
prácticas, teórico prácticas y para la búsqueda o ejercitación, es decir sirven a
los profesores y alumnos para aprender o controlar lo aprendido.
Esta definición sobre los medios de enseñanza dada por González Castro es lo
suficientemente amplia para englobar en ella a todos los recursos que sirven en
el proceso docente educativo como objetos reales, a los libros de texto,
materiales complementarios, talleres docentes y a todos los restantes recursos
materiales que sirven de sustento al trabajo del profesor. Es necesario
puntua lizar que: ―Los medios de enseñanza se desarrollan como consecuencia
de las necesidades sociales del hombre y en especial por el carácter científico
del aprendizaje y la enseñanza‖ (4)
1.2 CARACTERÍSTICAS FUNDAMENTALES DE LOS MEDIOS DE
ENSEÑANZA
Los medios de enseñanza:
Sintetizan un gran volumen de información.
Permiten una racionalización del tiempo necesario para el aprendizaje.
Posibilitan a los estudiantes el trabajo independiente.
23
Permiten una mejor comprensión y asimilación de los contenidos por parte
de los estudiantes.
Dota a los estudiantes de una mejor retención en la memoria de los
conocimientos aprendidos.
Disminuyen el agotamiento intelectual de los estudiantes.
Establecen un alto grado de comprensión y comunicación entre el profesor
y los estudiantes.
Hacen más fácil y productivo el trabajo del profesor (5).
Por tanto los medios de enseñanza no podemos verlos en el proceso
pedagógico como un ente aislado, tenemos que analizarlos con sus nexos y
conexiones en el sistema donde interactúa, en la relación objetivo-contenido-
método-medios de enseñanza.
1.3 CLASIFICACIÓN DE LOS MEDIOS DE ENSEÑANZA.
Según las funciones didácticas que éstos realizan los medios de enseñanza se
clasifican en:
- Los medios de enseñanza que permiten la transmisión de la información.
- Los medios de enseñanza que ayudan a la experimentación escolar.
- Los medios de enseñanza que sirven para el control del aprendizaje.
- Los medios de enseñanza para la programación de la enseñanza.
- Los medios de enseñanza que contribuyen a la ejercitación o entrenamiento.
(5).
Vicente González Castro en su obra ―Teoría y práctica de los medios de
enseñanza‖, los agrupa atendiendo a su representación o soporte material en
los siguientes grupos:
Grupo # 1 - Medios tridimensionales que constituyen representaciones,
materiales de objetos reales que incluyen: Objetos reales, muestras,
especimenes, conservaciones, diagramas, modelos, maquetas.
Grupo # 2 – Medios gráficos que constituyen representaciones de los objetos
de formas esquemáticas y que incluyen: Fotografías, láminas, carteles, y
mapas.
24
Grupo # 3 – Tableros como representaciones simbólicas de los objetos y
fenómenos y que incluyen:
Magnetogramas, franelogramas, componedores, pizarras y murales.
Grupo # 4 – Medio impreso que constituye una descripción de los objetos y
fenómenos que incluye: Libros, manuales, guías de práctica, folletos
programados y otros.
Al consultar la norma cubana NC- 57-08-1982 precisa la nomenclatura de los
índices de calidad del equipamiento escolar y medios de enseñanza, que se
agrupan en:
Libros de textos y otros impresos.
Medios planos.
Medios naturales.
Medios técnicos.
Herramientas e instrumentos.
Medios sonoros.
Medios de proyección.
Medios audiovisuales.
Representación de objetos y fenómenos.
Computación y enseñanza programada. (6)
Se considera que los medios de enseñanza cuando son empleados de forma
eficiente posibilitan un mayor aprovechamiento de nuestros órganos
sensoriales, se crean las condiciones para una mayor permanencia en la
memoria de los conocimientos adquiridos y se puede transmitir mayor cantidad
de información en menos tiempo, motivan el aprendizaje y activan las funciones
intelectuales para la adquisición del conocimiento (4).
Dentro de los diferentes medios de enseñanza encontramos a los materiales
complementarios. Ellos son medios de percepción directa y pueden estar o no
soportados sobre recursos técnicos para su uti lización, son textos
complementarios que permiten la actualización de los conocimientos y fortalece
en los estudiantes los hábitos que se requieren para el trabajo independiente y
el estudio permanente.
25
Los materiales complementarios constituyen la base para el trabajo individual
del estudiante y permiten hacer más ágil el proceso de apropiación del
conocimiento, les ayuda a crear buenos hábitos de trabajo científico
aprovechando mejor el tiempo de la clase para así obtener una mejor
asimilación y comprensión de los contenidos estudiados. Son una fuente de
información científica y práctica que sirve para organizar y sintetizar el
conocimiento y para dirigir la actividad cognoscitiva del estudiante.
Los materiales complementarios pueden ser materiales electrónicos o
impresos.
Los materiales electrónicos:
Son medios de enseñanza de percepción directa que necesitan soporte técnico
para su utilización. Son materiales complementarios que sirven para uso de los
profesores y de los estudiantes independientemente de su nivel de desarrollo.
En la actualidad, los materiales electrónicos como recurso didáctico cumplen
con varias funciones, apoyan en la planificación de estrategias de enseñanza,
en explicaciones científicas, en las adquisiciones autónomas de conocimiento
de forma ordenada y sistemática por parte del estudiante, auxilia a este en la
ejercitación, el repaso y en la profundización de los conocimientos adquiridos
etc.
Los materiales electrónicos están destinados tanto a la transmisión de
información como a la formación de habilidades en la solución de ejercicios y
tareas y la orientación del estudio individual. Sirven para el trabajo experimental
y la educación del individuo en sentido amplio (5).
Con la introducción de este tipo de medio de enseñanza se enriquece la clase,
se mejoran las posibilidades comunicativas que se establecen entre el profesor
y el estudiante y se activan de manera eficaz los procesos del pensamiento. Se
desarrollan hábitos y habilidades en el trabajo independiente (5).
Los materiales impresos:
26
Son medios de enseñanza de percepción directa que no necesitan soporte
técnico para su utilización. Materiales complementarios que transmiten la
información mediante el lenguaje escrito, impreso por medio de máquinas.
Constituyen una fuente de información científica y práctica que sirve para
organizar y sistematizar el conocimiento y para dirigir la actividad cognoscitiva
del estudiante (5).
Los profesores y los estudiantes los utilizan con mayor regularidad en cualquier
forma organizativa del proceso docente educativo, ya sea fuera o dentro del
aula, pueden ser L/T, manuales, cuadernos de trabajo, catálogo, compendios,
periódicos, revistas, guías de laboratorio, documentos históricos, cronologías,
mapas, guía de prácticas de estudio, materiales de estudio etc.
Al igual que los materiales electrónicos este medio de enseñanza enriquece la
clase mejorando las posibilidades comunicativas que se establecen entre el
profesor y el estudiante. Activan de manera eficaz los procesos del
pensamiento, desarrollan hábitos y habilidades en el trabajo independiente y
dan la posibilidad de establecer un estrecho vínculo entre el objeto de estudio y
las generalizaciones y abstracciones que tienen lugar en la mente de ellos (5).
Los materiales impresos son para los estudiantes una importantísima fuente de
conocimientos, el portador del contenido de la enseñanza. Están llamados a
ayudar a los mismos a asimilar el material docente y el volumen de
conocimientos rigurosamente condicionados por el programa escolar. Es más,
los materiales impresos deben contribuir a la asimilación de conocimientos
concretos, a crear habilidades y destrezas, a que los estudiantes sepan
orientarse en la asignatura, a iniciar la experiencia de la actividad creadora
individual y buscar y encontrar la información necesaria en el proceso de
aprendizaje. (5).
En los últimos años nuestro país por e l cruel bloqueo a que está sometido ha
tenido limitaciones en la elaboración de libros de texto, estos se han hecho
escasos y aunque los podemos encontrar en las bibliotecas muchas veces
resulta deficiente el número de ellos para la buena preparación de todos los
estudiantes. Además, el desarrollo de la Revolución Científico - Técnica que
lleva los adelantos en todas las esferas de la vida humana va a paso tan
vertiginoso que resulta prácticamente imposible que un libro esté todo lo
actualizado que debería.
27
Por lo antes expuesto se realizan grandes esfuerzos para suplir los textos
extranjeros por bibliografías actualizadas creadas de acuerdo a nuestras
necesidades. Se han elaborados materiales complementarios (materiales
impresos o materiales electrónicos) para las asignaturas que suplen en gran
medida la carencia de textos.
Entre los diferentes materiales impresos tenemos a:
Los Folletos:
Los folletos son generalmente materiales impresos que desarrollan
monocontenidos y se presentan en extensiones pequeñas. Son textos
complementarios que permiten la actualización de los conocimientos y fortalece
en los estudiantes los hábitos que se requieren para el trabajo independiente y
el estudio permanente. No tienen que presentar actividades a realizar por el
lector. Están dirigidos a la actualización y profundización de conocimientos (5).
Los Cuadernos de Trabajo:
Los Cuadernos de Trabajo permiten evaluar el aprendizaje por el propio
interesado. Son materiales complementarios, impresos, que reúnen
características didácticas. Sirven para organizar y sistematizar el conocimiento
además de dirigir la actividad cognoscitiva del estudiante y permitir el trabajo
independiente, el estudio autodidacta y su auto evaluación por parte del
interesado. Pueden proporcionar el desarrollo del trabajo sobre el mismo (5).
En ellos los textos van dirigidos a la orientación hacia el objetivo como función
didáctica permanente, por eso son eficientes en procesos dirigidos a la auto
preparación o para superaciones como la auto superación (5).
Pueden ser tan largos como un material de estudio o tan cortos como los
folletos en dependencia de los temas que desarrolle .
28
Los Materiales de Estudio:
Los materiales de estudio son materiales complementarios, impresos o
electrónicos, posibilitan el estudio independiente como método y su control por
parte del interesado bajo ciertas orientaciones (5).
Son mucho más voluminosos que un folleto porque pueden desarrollar varios
temas diferentes. Permiten sistematizar el contenido e incluyen ejercicios para
el auto examen que permiten controlar la marcha del proceso del aprendizaje.
Los materiales de estudio constituyen la base para el trabajo individual del
estudiante y permiten hacer más ágil el proceso de apropiación del
conocimiento. Su uso correcto ayuda a crear buenos hábitos de trabajo
científico en los estudiantes, los beneficia durante el tiempo de la clase y en el
desarrollo del trabajo independiente. En ellos los textos van dirigidos a la
orientación hacia el objetivo como función didáctica permanente, por eso son
eficientes en procesos dirigidos a la auto preparación y la auto superación (5).
Nuestro trabajo pretende confeccionar un material de estudio complementario
electrónico en formato PDF que colabore en el desarrollo del proceso de
aprendizaje del Diseño Experimental que se imparte en la asignatura de
Metodología de la Investigación y Diseño Experimental.
1.4 Relación entre los medios de enseñanza y los demás componentes del
proceso de aprendizaje.
En el análisis realizado de la Tesis de Maestría en Ciencias de la Educación de
Hilda Rosa Alba Alfonso (5) respecto a la relación existente entre medios de
enseñanza y el proceso de aprendizaje se deja claro que:
1- Es incuestionable que los medios de enseñanza y los métodos están
íntimamente relacionados, se aprecia no solo en los métodos intuitivos
sino también en el resto de ellos. Los métodos responden al ―cómo
enseñamos‖, o sea, la forma de actuar para lograr lo propuesto y dar
cumplimiento a los objetivos en cualquier asignatura.
29
2- El método refleja el camino del pensamiento humano para alcanzar un
determinado objetivo de su conocimiento o modo de reproducir en el
pensamiento el objeto estudiado.
3- Sea o no el método la categoría rectora para la metodología en el
contexto de la enseñanza, el aprendizaje y la investigación, sí hay que
tener en cuenta que, en dependencia del método que se va a emplear
se decidirá el o los medios de enseñanza que se deben utilizar para
tratar un determinado contenido .
4- Establecidos los métodos, entonces se seleccionarán los medios de
enseñanza a utilizar, estos responden al ―con qué‖ enseñamos, o sea, el
soporte material para ejecutarlo.
5- Resulta muy difíci l en la práctica separar la selección del método de
enseñanza y la del medio, ambos forman una unidad dialéctica, están
estrechamente relacionados y por ello ocurre que en la práctica los dos
se seleccionan sobre la base de las realidades objetivas.
6- El acondicionamiento entre el método y el medio no puede ser mecánico
ya que entre ellos existe una estrecha relación orgánica. Existe la
posibilidad que en una actividad docente, ya sea en la impartición de
una conferencia o un trabajo práctico, el método de enseñanza
empleado que no sea factible para abordar con la calidad requerida un
determinado contenido, se puede buscar apoyo entonces en la
utilización de algún medio de enseñanza y de esta manera enriquecer el
método empleado para lograr el cumplimiento de los objetivos trazados.
El diagrama que a continuación se muestra establece la relación de los medios
de enseñanza con los demás componentes del proceso de enseñanza
aprendizaje.
CONTENIDOS OBJETIVOS
MÉTODOS
MEDIOS
30
1.5 El perfeccionamiento en el sistema educacional.
Recién ha iniciado el tercer milenio y en lo que respecta a estrategia
educacional se presenta prometedor con afinidad de criterios en que el
propósito fundamental del proceso docente educativo está centrado en la
preparación del hombre para asumir los grandes desafíos que deberá
enfrentar.
El hombre medio, aún cuando pasa necesidades y lleve una vida oscura estará
dotado de una innata capacidad cerebral, origen de su capacidad de aprender
que puede estimularse e incrementar mucho más allá de los relativamente
modestos niveles actuales, criterio en el que coincide la mayoría de los
estudiosos del tema teniendo en cuenta las limitadas capacidades del ser
humano.
Cuba participó en el primer estudio internacional comparativo de Lenguaje,
Matemática y factores asociados (OREAL, 1997), primer gran esfuerzo de la
UNESCO y los Estados Latinoamericanos para evaluar el impacto de las
reformas educativas que casi simultáneamente se han venido desarrollando en
los países de esta área geográfica desde los años 90. Como se conoce, obtuvo
en las áreas evaluadas resultados significativamente superiores al de los
restantes países participantes, que inspiraron además, la conveniencia de
continuar sus estudios similares hacia el interior del Sistema Educativo
Nacional.
Alba Alfonso, Hilda Rosa considera que entre las insuficiencias más comunes y
de más peso en el proceso de aprendizaje están entre otras:
1- Carencia de un material complementario con ejercicios que permitan la
preparación de los estudiantes teniendo en cuenta los diferentes niveles de
aprendizaje.
2- El alumno tiende a aprender de forma reproductiva, observándose muy
afectado el desarrollo de habilidades y sus posibilidades para la reflexión crítica
y autocrítica de los conocimientos que adquiere, de ahí que su participación
consciente en el proceso se vea limitada.
31
3- La práctica pedagógica no siempre asegura la suficiente ejercitación y el
control sistemático que permita el proceso de identificación del error y ejercer la
ayuda a tiempo.
En los últimos años, la Universidad ha ido renovándose en la teoría y la
práctica pedagógica, con el influjo de la informática y el desarrollo de las
ciencias de la educación.
Los problemas de aprendizaje existentes constituyen una preocupación
internacional para los estudiosos de la Pedagogía, de ahí que a partir de las
experiencias acumuladas y de las necesidades concretas de la práctica social
se han ido perfeccionando los planes de estudio y los libros de texto.
Un análisis crítico, realizado por especialistas del Instituto Central de Ciencias
Pedagógicas (ICCP) ha señalado que persisten manifestaciones de una
enseñanza tradicional, los docentes enfatizan la transmisión y reproducción de
los conocimientos, centran en ellos la actividad y se anticipan a los
razonamientos de los alumnos, no propiciando su reflexión, tratan el contenido
sin llegar a los rasgos de esencia, controlan atendiendo al resultado, no al
proceso para llegar al conocimiento o a la habilidad, absolutizan el método de
trabajo con el libro de texto, uti lizando este de manera esquemática, se centran
en lo inductivo por encima de lo educativo entre otros elementos (5).
En el documento Pedagogía Colectivo de Autores(1981) se plantea el alumno
por su parte se comporta con la tendencia a reproducir conocimientos y a no
razonar sus respuestas, tiene limitaciones en la generalización y aplicación de
los conocimientos, muy pocos elaboran preguntas, es limitada la búsqueda de
vías para aprender y planificar acciones, centrándose la mayoría en la
respuesta final sin percatarse del error y con pocas posibilidades para la
reflexión crítica y autocrítica de lo que aprende, lo que provoca un limitado
desarrollo en su aprendizaje (7).
Por esas y otras razones en la actualidad dentro de la Batalla de Ideas, que
pretende que la población cubana alcance una cultura general integral, se han
efectuado transformaciones profundas en las diferentes enseñanzas en aras de
32
multiplicar el aprendizaje, a partir de una relación profesor – alumno más
consecuente y la utilización de las nuevas tecnologías de la informática y la
comunicación (8).
Varios autores de diferentes libros en los que se trata los temas referentes a la
pedagogía, fi losofía, psicología, entre otros, tienen sus propios criterios en
cuanto al aprendizaje.
La educación desarrolladora promueve y potencia aprendizajes
desarrolladores.
El aprendizaje resulta ser un proceso complejo, diversificado, altamente
condicionado por factores tales como las características evolutivas del sujeto
que aprende, las situaciones y contextos socioculturales en que aprende, los
tipos de contenidos o aspectos de la realidad de los cuales debe apropiarse y
los recursos con que cuenta para ello, el nivel de intencionalidad, consecuencia
y organización con que tienen lugar estos procesos, entre otros (10).
El aprendizaje es un proceso de carácter dialéctico, implica rescatar su
naturaleza integral y contradictoria, nunca lineal, como un proceso psicológico
de cambio y transformación, que transcurre gradual y progresivamente. Está en
función de los contenidos a aprender y de los mecanismos internos, es de
apropiación individual de la experiencia social ya que se apropia de la
experiencia histórico - social de la cultura. Está determinado por la existencia
de una cultura, posee una naturaleza individual: sus mecanismos son
sumamente personales y constituyen un reflejo de la individualidad de los
procesos que pone en juego cada persona para aprender. Es multidimensional
por sus contenidos, procesos y condiciones (9).
Las condiciones del aprendizaje, o sea, los diferentes tipos de situaciones de
actividad e interacción de los cuales se movilizan en determinados procesos en
función de la apropiación de la experiencia socio histórico (9).
Se define como aprendizaje al proceso integrado en el que toda la personalidad
se moviliza de manera orgánica, es un proceso cualitativo por el cual la
33
persona queda mejor preparada para nuevos aprendizajes. No se trata de un
aumento cuantitativo de conocimientos sino de una transformación estructural
de la inteligencia y de la emocionalidad de la persona (11).
En el sentido didáctico se habla de aprender cuando el alumno se dedica
interiormente al objeto de la asimilación (materia, una tarea, un problema, etc.),
y se enfrenta activamente e este, poniendo en tensión sus fuerzas
intelectuales, psíquicas y físicas. Es meritorio destacar el carácter de proceso
del aprendizaje, ya que este no es un acto único, un episodio, sino una
sucesión de acciones, un desarrollo de acciones que transcurre en diferentes
estadíos, niveles o pases. El alumno no asimila un concepto a primera vista, el
necesita de una cadena de acciones hasta que haya adquirido un
conocimiento, se haya desarrollado una habilidad o formado una capacidad (5).
Ausubel es un representante de la escuela cognitiva y en consecuencia,
propone una explicación teórica del proceso de aprendizaje según el punto de
vista cognitivo. Para él, el aprendizaje significa la organización e integración de
la información en la estructura cognitiva del individuo. Parte de la premisa de
que existe una estructura cognoscitiva es la formas como el individuo tiene
organizado el conocimiento previo a la instrucción. Es una estructura formada
por sus creencias y conceptos que deben ser tomados en consideración al
planificar la instrucción, de tal manera que puedan servir de anclaje para
conocimientos nuevos en el caso de ser apropiados o pueden ser modificados
por un proceso de transición cognoscitiva o cambio conceptual (12).
La variable más importante que influye en el aprendizaje es aquella que el
alumno conoce, nuevas informaciones e ideas pueden ser aprendidas y
retenidas en la medida en que existan conceptos claros e inclusivos en la
estructura cognoscitiva del alumno que sirva para establecer una determinada
relación con la que se suministra (13).
Dentro del aprendizaje es de interés el Aprendizaje Desarrollador y dentro de
este las dimensiones y subdimensiones que lo caracterizan. (Ver Gráfica # 1)
34
Gráfica # 1
Siempre que un medio de enseñanza vaya a actuar positivamente en el
aprendizaje desarrollador lo hará a través de dimensiones y subdimensiones.
Este trabajo persigue mejorar el desarrollo del aprendizaje mediante el
aumento de las motivaciones para aprender y dentro de esta dimensión,
actuando sobre la subdimensión de sistema de autovaloraciones y
expectativas positivas con respecto al aprendizaje. Ya que:
1- El estudiante se enfrenta a situaciones reales y actuales.
2- En muchos casos en estas situaciones están involucrados profesores
y/o investigadores conocidos con los que podrán intercambiar sobre el
tema.
3- El alumno comprenderá mejor la necesidad de racionalizar tiempo y
recurso al utilizar los diseños de experimentos estadísticos.
4- Se pretende además que con la confección de este material se estimule
el interés por la asignatura llegando a comprender en mayor grado la
importancia de la misma en su futura vida profesional.
Dimensiones y Subdimensiones del aprendizaje desarrollador.
Activación-
Regulación
Significatividad
Motivaciones
para aprender
Actividad
intelectual
productiva
creadora
Metacog
-nición
Estableci-
miento de
relaciones
significativas
en el
aprendizaje.
Implicación
en la
formación de
sentimientos,
actitudes y
valores.
Motivaciones
Predominan-
temente
Intrínsecas
hacia el
aprendizaje.
Sistema de
autovalo-
raciones y
expectativas
positivas con
respecto al
aprendizaje.
35
CONCLUSIONES PARCIALES:
1- Los medios de enseñanza no pueden considerarse como auxiliares
para el trabajo del maestro porque sería ignorar su influencia en el
proceso docente educativo.
2- Llamar a los medios como auxiliares no sería del todo aceptado, ya que
son componentes esenciales del proceso docente. Los medios se
pueden concebir: como facilitadores del proceso
3- Las definiciones planteadas que consideran que los medios de
enseñanza solo influyen en el proceso docente educativo son
restringidas.
4- La definición dada por Vicente González Castro sobre medios de
enseñanza es más completa y abarcadora, ya que considera que los
mismo son soporte material de los métodos y no se limita a incluir
solamente el proceso docente educativo.
5- Entonces atendiendo a la definición de Vicente Castro es incuestionable
que existe relación entre medio de enseñanza y aprendizaje.
6- El aprendizaje desarrollador está caracterizado por sus dimensiones y
subdimensiones y atendiendo a ellas pueden dirigirse acciones en aras
de mejorarlo.
7- Mediante la propuesta de nuestro material de estudio podría mejorarse
el aprendizaje del diseño experimental de la asignatura Metodología y
Diseño Experimental actuando sobre la dimensión Motivaciones para
Aprender y dentro de ella en la subdimensión Sistemas de
autovaloraciones y expectativas positivas con respecto al
aprendizaje.
36
37
CAPITULO II MODELACIÓN TEÓRICA- PRÁCTICA DE LA PROPUESTA
2.1 Diagnóstico y determinación de necesidades.
Una de las condiciones más importantes para diseñar el material
complementario es la determinación de necesidades, la cual pone a la luz la
contradicción entre la realidad y el estado deseado estableciendo las carencias
y potencialidades sobre las cuales se debe actuar para transformar el estado
de investigación. Para ello fueron utilizados encuestas destinadas a
diagnosticar el estado actual de la muestra declarada en cuanto al
conocimiento que tienen los estudiantes sobre el Diseño Experimental
impartido en la asignatura Metodología de la Investigación y Diseño
Experimental.
Para el diseño de la encuesta se tuvo en cuenta fundamentalmente un análisis
de trabajos de diplomas de dos cursos anteriores esencialmente de la línea de
materiales este análisis estaba dirigido en dos direcciones fundamentales.
1- Técnicas estadísticas y de diseño de experimentos que debieron ser
aplicadas para la toma de dediciones y que no fueron utilizadas.
2- De las técnicas aplicadas cuales fueron realmente idóneas y si fueron
aplicadas eficientemente.
Como conclusiones de este análisis se obtuvo que.
- No se aplicaron pruebas de hipótesis y análisis de varianza para
comparación de medias y varianzas a pesar que eran adecuadas estas
técnicas en varios casos.
- Se aplicaron en muchos casos análisis de regresión para modelar
procesos sin tener en cuenta el FA y el FR y solo se llegaron a
conclusiones a partir de R2. Además no se probaron los supuestos de la
regresión, ni se hizo referencia a ellos.
38
- A pesar que se diseñaron varios experimentos ninguno se diseño
estadísticamente a pesar que perfectamente se adecuaban los diseños
de bloques al azar y los planes factoriales 22, 23 y 32.
- Se aplicado adecuadamente la estadística descriptiva pero no se probo
la normalidad a pesar que pudo ser posible.
En base a estos antecedentes se diseño la encuesta la cual fue aplicada a 25
de 45 posibles estudiantes de quinto año de la especialidad de Ingeniería Civil
de la Universidad Central de las Villas ¨ Marta Abreu ¨.
Resultados de la revisión de documentos rectores (ANEXO #1).
Se analizó el plan de estudio y los programas de las asignaturas que se
imparten en el quinto año de la especialidad de Ingeniería Civil. Entre las
asignaturas que reciben los estudiantes se encuentra la asignatura
Metodología de la Investigación y Diseño Experimental con una cantidad total
de 64 horas. En lo referido a la relación intermateria esta asignatura sucede a
otras asignaturas de años anteriores, por lo que de la preparación que sean
capaz de adquirir los estudiantes durante el desarrollo de la misma, dependerá
de la integración de los conocimientos que han debido adquirir en los años
antecesores de la carrera. Dentro del modelo del graduado estos estudiantes
trabajarán en:
1- El proyecto, diseño, revisión, construcción y dirección de la ejecución de:
La obra civil de naves industriales y agropecuarias de una sola planta
con y sin puente grúa. Edificaciones Sociales de poca complejidad.
La vialidad y el drenaje de una urbanización pequeña, de un complejo
industrial, u obras equivalentes y áreas de aparcamiento.
Vías rurales de quinta, cuarta, tercera e intersecciones a nivel en
condiciones topogeológicas favorables.
Alcantarillas y puentes isostáticos.
39
2. Trabajos de diagnóstico del estado técnico de vías férreas y
recomendaciones para su reparación y/o reconstrucción en los casos
necesarios.
3. Los problemas más generales y frecuentes de la actividad de mantenimiento
y conservación de carreteras y vías urbanas.
4. Diseño, revisión, construcción y dirección de la ejecución de edificios bajos
de vivienda, obras industriales y sociales en condiciones hidrogeológicas
favorables.
5. Otras habilidades y funciones profesionales más allá de los niveles
señalados anteriormente como son:
Levantamiento y replanteo de obras.
Dirección y control técnico en la producción y recepción de materiales de
construcción en obras.
Control técnico de la calidad de fabricación de elementos de hormigón
hidráulico y hormigón asfáltico.
Comprobaciones del proyecto ejecutivo de obras civiles señaladas en
los puntos anteriores (estructurales y viales), así como la interpretación y
elaboración de planos.
Selección de tecnologías de construcción, incluyendo la selección de los
equipos principales y auxiliares para la ejecución de obras, con sus
correspondientes estudios técnico-económicos.
Efectuar la preparación técnica de la obra.
Control técnico en la ejecución de obras viales y estructurales.
Elaboración de programas de computación elemental para resolver
tareas prácticas o para lograr un mejor aprovechamiento de un
programa existente.
Utilización de sistemas profesionales de computación para la
proyección, diseño, revisión, construcción y montaje de obras
estructurales y viales.
40
PARTICIPA EN:
1. El proyecto, diseño, revisión, construcción y dirección de la ejecución de:
Obras civiles de edificaciones industriales y agropecuarias con mayores
complicaciones tecnológicas y de instalaciones que las correspondientes
a la instalación de un puente grúa.
Edificios de viviendas, obras industriales y obras sociales de mayor
complejidad.
Vías rurales de primera, segunda categoría y vías urbanas, incluyendo
intercambios y vías rurales de quinta, cuarta y tercera categoría e
intersecciones en condiciones topogeológicas desfavorables.
2. Revisión y construcción de puentes de mayor complejidad y de puentes
típicos.
3. Trabajos de mantenimiento, conservación, diagnóstico y reparación de
edificios bajos de viviendas, obras industriales y sociales, así como proyectos
de reconstrucción de carreteras y vías férreas.
4. Análisis de la dimensión ambiental de obras civiles en grupos
multidisciplinarios.
5. Otras habilidades y funciones profesionales más allá de los niveles
señalados anteriormente como son:
Elaboración de tareas técnicas e interpretación de los resultados
levantamientos topográficos e investigaciones ingeniero-geológicas.
Diseño y ejecución de experimentos que le permitan estudiar la
aplicación de nuevos materiales y tecnologías o nuevas aplicaciones de
materiales y tecnologías convencionales.
Realizar análisis técnico-económico de variantes a tareas de proyecto y
ejecución de obras de pequeña o mediana complejidad.
Realización de investigaciones ingeniero geológicas de las obras
definidas en los puntos anteriores.
6. Participa con otros profesionales en el diseño, revisión y construcción de
obras estructurales y viales relacionadas con la defensa del país.
41
De ahí que la preparación de los estudiantes en las diferentes unidades que
contiene la asignatura debe ser la más apropiada para cumplir con las tareas
encomendadas.
Los alumnos cuentan con bibliografías acordes al quinto año de su carrera,
específicamente el programa de la asignatura contiene varias bibliografías de
distintos autores, los cuales integran en sus diferentes unidades los
conocimientos matemáticos necesarios para el desarrollo de los ejercicios
planteados, pero muchos de estos ejercicios que aparecen en estas
bibliografías no tienen una relación práctica de las problemáticas de la
construcción actual, afectando de esta forma el proceso de aprendizaje de los
estudiantes en estudio, de esto se deriva que si se le brindase un material de
estudio que contenga ejercicios y ejemplos prácticos de la realidad actual así el
estudiante podrá adquirir mucho más rápido el conocimiento que se requiere
para el desarrollo de las actividades durante clases y durante su vida laboral,
así como ahorrar tiempo y recursos a la hora de buscar determinada aplicación.
Resulta necesario puntualizar, cómo la aplicación de diferentes instrumentos
permitió conocer la manera de mejorar el aprendizaje y el desarrollo de las
habilidades en el Diseño Experimental.
Resultado de la encuesta a estudiantes (Anexo #2).
La encuesta se les aplicó a 30 estudiantes de Ingeniería Civil de la Universidad
Central ¨ Marta Abreu ¨ de las Villas, con el objetivo de constatar su
preparación en algunos temas del Diseño Experimental, y así saber el
tratamiento que se le debe dar a cada temática del material. A continuación se
muestran los resultados:
Pregunta 1:
a) 6 contestaron Sí (20%), 24 contestaron NO (80%).
b) 4contestaron Sí (13.33%), 26 contestaron NO (86.67%).
c) 5 contestaron Sí (16.67%), 25 contestaron NO (83.33%).
d) 2 contestaron Sí (6.67%), 28 contestaron NO (93.33%).
e) 2 contestaron Sí (6.67%), 28 contestaron NO (93.33%).
f) 3 contestaron Sí (10%), 27 contestaron NO (90%)
42
g) 2 contestaron Sí (6.67%), 27 contestaron NO (90%)
Pregunta 2:
3 contestaron Sí (10%), 27 contestaron NO (90%)
Pregunta 3:
3 contestaron Sí (10%), 27 contestaron NO (90%)
Pregunta 4:
3 contestaron Sí (10%), 27 contestaron NO (90%)
Pregunta 5:
2 contestaron Sí (6.67%), 28 contestaron NO (93.33%)
Pregunta 6:
6 contestaron Sí (20%), 24 contestaron NO (80%)
Pregunta 7:
4 contestaron Sí (13.33%), 26 contestaron NO (86.67%)
Pregunta 8:
2 contestaron Sí (6.67%), 28 contestaron NO (93.33%)
Pregunta 9:
a) 15 contestaron Sí (50%), 15 contestaron NO (50%)
b) 4 contestaron Sí (13.33%), 26 contestaron NO (86.67%)
c) 6 contestaron Sí (20%), 24 contestaron NO (80%)
Pregunta 10:
2 contestaron Sí (6.67%), 28 contestaron NO (93.33%)
Pregunta 11:
2 contestaron Sí (6.67%), 20 contestaron NO (93.33%)
43
Pregunta 12:
4 contestaron Sí (13.33%), 21 contestaron NO (86.67%)
Los resultados demuestran el insuficiente conocimiento y apropiación de las
bondades (ahorro de tiempo y recursos sin decremento del rigor científico) que
ofrecen las técnicas estadísticas y de diseño experimental que se imparten en
la asignatura y por ende su reducido uso.
● Se valora que los estudiantes no han alcanzado una buena preparación
en cuanto a esta parte de la asignatura.
● Dificultad a la hora de formular las hipótesis de un problema así como
identificar qué tipo de hipótesis tienen que emplear para la solución de la
problemática.
● Dificultad a la hora de saber los supuestos para aplicar algunas técnicas
estadísticas.
● Presentan problemas a la hora de identificar e interpretar los resultados de
estas técnicas.
De lo anterior se puede deducir que a pesar de recibir la asignatura
Metodología de la Investigación y Diseño Experimental los estudiantes han
presentado problemas en el aprendizaje en lo referente al diseño estadísticos
de experimentos.
2.2 MODELACIÓN DE LA PROPUESTA DE INTERVENCIÓN.
No solo las clases constituyen un factor predominante para el desarrollo de las
habilidades y poner en funcionamiento el pensamiento lógico para la aplicación
de los contenidos en los programas de las asignaturas, las cuales pueden ser
transferidas más tarde a situaciones concretas durante su vida profesional. El
estudio individual juega un papel no menos importante y para ello es necesario
constar con los materiales de estudio adecuado.
Un material que contenga casos de la realidad actual, que sirvan como
ejemplos de aplicación de diseños experimental puede influir en la motivación y
comprensión de los estudiantes para su aprendizaje.
Nuestro objetivo es proponer un material de estudio que de solución en parte a
la carencia de una bibliografía que se adapte a las necesidades de los
44
estudiantes de quinto año de la especialidad de Ingeniería Civil de la
Universidad Central ¨Marta Abreu¨ de las Villas en el tema de diseño
experimentos estadísticos de la asignatura Metodología de la Investigación y
de Diseño Experimental, facilitando de esta forma mejorar la calidad en el
aprendizaje.
A partir del análisis de trabajos de diplomas anteriores y los resultados de las
encuestas realizadas en este capitulo es que se diseñan los temas a tratar en
este material, quedando estructurado de la siguiente manera;
1. Pruebas de Hipótesis:
Comparación para la media de una población con distribución normal y
varianza conocida.
Comparación para las medias de dos poblaciones con distribuciones
normales y varianzas conocidas.
Comparación para la media de una población con distribución normal y
varianza desconocida.
Comparación para las medias de dos poblaciones con distribuciones
normales y varianzas desconocidas.
Comparación para la varianza de una población con distribución normal
y media desconocida.
Comparación para las varianza de dos poblaciones con distribuciones
normales.
2. Bondad de Ajuste:
Con parámetros conocidos.
Con parámetros desconocidos.
3. Correlación y Regresión lineal
4. Análisis de Varianza:
con efectos aleatorios
con efectos fijos
Pruebas de intervalos múltiples de Duncan.
45
5. Diseños de Bloques completamente al azar.
6. Diseños factoriales 22 y 23
7. Diseños factoriales 32
CONFORMACION DEL MATERIAL DE ESTUDIO QUE SE PROPONE
El material de estudio consta de la siguiente estructura.
Prólogo
Índice
● Estructura: Desarrollo del Material
Temática
Resumen
● Estructura del desarrollo: Desarrollo
Ejercicios (resueltos y propuestos)
Bibliografía
Se precisa puntualizar que los ejercicios que se encuentran en el Material
propuesto se han organizado teniendo en cuenta el diagnóstico de los
estudiantes y la disponibilidad de los casos concretos.
46
2.3 VALORACION DE LA PROPUESTA
Se consultaron criterios de profesores de la Universidad vinculados a esta
materia con el objetivo de valorar el material propuesto.
Tales como:
Yosvany Díaz (Profesor, aplica comúnmente estas técnicas)
Raúl Gonzáles (Profesor de la asignatura)
Camilo Díaz( Profesor de la asignatura)
Los criterios son que el material resulta necesario y úti l ya que debe contribuir en el aprendizaje de la asignatura.
47
48
CONCLUSIONES El presente material de estudio contribuye al aprendizaje a partir de la
dimensión motivaciones para aprender.
Este material no puede considerarse simplemente como un medio de
enseñanza porque por sí solo constituye un método dirigido a la
apropiación de los conocimientos.
El contenido del material está hecho teniendo en cuenta la ausencia
casi total de las técnicas estadísticas y de diseño de experimentos en los
Trabajos de Diplomas de cursos anteriores y el desconocimiento de esta
materia por parte de los estudiantes de acuerdo a los resultados
arrojados en la encuesta, sin descuidar que la fuente de los ejemplos
que se trataron son de temas reales y actuales.
Este material se puede considerar como bibliografía complementaria
para la carrera de Ingeniería Civil de la Universidad Central ¨Marta
Abreu¨ de las Villas que vincula los conocimientos teóricos con su
aplicación práctica.
A pesar de que según criterios de especialistas se esperan resultados
satisfactorios con la aplicación de este material, el mismo no está
validado.
La apropiación de las técnicas estadísticas y de diseño experimento son
de vital importancia en su futuro técnico – investigativo.
49
50
RECOMENDACIONES Validar en el próximo curso el material propuesto.
Enriquecer el material con más ejemplos.
Revisar cada cierto tiempo este material para su actualización.
51
52
Referencia Bibliográfica
1- Colectivo de autores. `` Pedagogía``. Editorial Pueblo y Educación.
Ciudad de La Habana, 113, 1981.
2- Addine Fernández, Fátima. Didáctica teoría y práctica— La Habana:
Editorial Pueblo y Educación, 18-29, 2004.
3- Díaz Bondenave, J y Adair Martins Pereira. ―Estrategias de enseñanza
– aprendizaje‖. 124, 1982
4- Rogers, C. ―Libertad y creatividad en Educación en los 80‖. Editorial
Pueblo, 97, 1991.
5- Ausubel, David. P. ―Aprendizaje por descubrimiento‖. Psicología
educativa: un punto de vista cognoscitivo‖. México. Triallas, 85, 1983.
6- Turner Martí, L y J. A Chávez Rodríguez. ―Se aprende a aprender‖. La
Habana. Editorial Pueblo y Educación, 120 1989.
7- Labarrere, A. F. ―La solución de problemas matemáticos‖. La Habana.
Editorial Pueblo y Educación, 42, 1988.
8- Rico Montero, Pilar. ―Aprendizaje reflexivo‖. La Habana. Editorial
Pueblo y Educación, 35, 1996.
9- Lothar klingberrg. Introducción a la Didáctica general. La Habana.
Editorial Pueblo y Educación, 413, 1976..
10- Cuba. Ministerio de Educación. 4to Seminario Nacional para Dirigentes,
Metodólogos e Inspectores de la Dirección Provinciales y Municipales
de Educación. 3ra parte, Enero. 1980.
11- González Castro, Vicente. Diccionario Cubano de Medios de
Enseñanza y Términos Afines. La Habana. Editorial Pueblo y
Educación., 270, 1990.
12- Normas Cubanas año, 2, 1982
53
54
BIBLIOGRAFIA 1. ADDINE FERNÁNDEZ, FATIMA. Didáctica teoría y práctica.—La
Habana: Editorial Pueblo y Educación, 2004.
2. ÁLVAREZ SÁNCHEZ, RAFAEL. Estadística Elemental —La Habana:
Editorial Pueblo y Educación, 1986.
3. ÁLVAREZ PÉREZ, MARTA. Interdisciplinariedad. Una aproximación
desde la enseñanza-aprendizaje de las ciencias. —La Habana:
Editorial Pueblo y Educación, 2004.
4. BLANCO PÉREZ, ANTONIO. Filosofía de la Educación –La Habana:
Editorial Pueblo y Educación, 2003.
5. BERMÚDEZ, R. Teoría y metodología del aprendizaje.—La Habana:
Editorial Pueblo y Educación, 1996.
6. BUSTILLO GUERRA, CARIDAD W. Estadística.- La Habana: Editorial
Félix Varela, 2004
7. CASTELLANOS SIMONA, DORIS. Aprender y Enseñar en la
Escuela.—La Habana: Editorial Pueblo y Educación, 2002.
8. COLECTIVOS DE AUTORES .Maestría en Ciencias de la
Educación.—La Habana: MINED, 2007.
9. COLECTIVOS DE AUTORES. Pedagogía.- La Habana: -Editorial
Pueblo y Educación, 1984.
10. CHÁVEZ RODRÍGUEZ, JUSTO A. Bosquejo histórico de las ideas
educativas en Cuba. —La Habana: Editorial Pueblo y Educación, 1996.
11. Diccionario Enciclopédico. —Barcelona: ED Grijalbo, 1998.
19. GARCÍA BATISTA, GILBERTO. Compendio de Pedagogía. — La
Habana: Editorial Pueblo y Educación, 2002.
20. GONZÁLEZ SOCA, ANA MARÍA. Nociones de Sociología, psicología y
pedagogía. —La Habana: Editorial Pueblo y Educación, 2002.
21 KLINGBERG, LOTHAR. Introducción a la didáctica general. —La
Habana: Editorial Pueblo y Educación, 1972.
22. LÓPEZ HURTADO, JOSEFINA. Fundamentos de la Educación. — La
Habana: Editorial Pueblo y Educación, 2000.
55
23. M. A. DANILOV. Didáctica de la Escuela Media. — La Habana:
Editorial de Libros para la Educación, 1981.
24. MONTGOMERY C, DOUGLAS. Diseño y Análisis de Experimentos. –
La Habana: Editorial Félix Varela, 2004
25. MORENO CASTAÑEDA, MARIA. Psicología de la personalidad. — La
Habana: Editorial Pueblo y Educación, 2003.
26. NOCEDO DE LEÓN IRMAT. Metodología de la investigación
educacional. –La Habana: Editorial Pueblo y Educación, 2001.--t.2.
27. VIII Seminario Nacional para Educación, 2da parte. –La Habana:
Ministerio de Educación, 2008. —Curso escolar 2007-2008.
28. PÉREZ MARTÍN, LORENZO M. La personalidad: su diagnóstico y su
Desarrollo. –La Habana: Editorial Pueblo y Educación, 2004.
29. RUÍZ AGUILERA ARIEL: Bases de la Investigación –La Habana:
Editorial Pueblo y Educación, [s. a.].
30. Sexto Seminario Nacional para Educadores.—La Habana: MINED,
noviembre 2005.
56
57
Anexos #1:
Análisis Documentos Rectores
Plan de estudio.
Programa asignatura Metodología de la Investigación y Diseño
Experimental.
Modelo del graduado.
Dosificación de las unidades.
Indicadores a medir:
Objeto de estudio.
Esfera de actuación.
Objetivos.
Ubicación de la asignatura en el plan de estudio.
- Año y semestre en que se imparte
- Cantidad de horas y frecuencia semanal.
1. Determinación de la ubicación de la asignatura dentro de la
especialidad.
2. Determinación del tipo de los ejercicios resueltos en clases, así como las
orientaciones para el trabajo independiente.
3. Relación ínter materia de la asignatura con el resto de las demás
asignaturas.
4. Valorar la bibliografía que recomienda el programa de la asignatura.
5. Verificar los objetivos generales y específicos de la asignatura.
Anexo #2:
Encuesta a estudiantes (antes de aplicar la propuesta)
Compañero estudiante:
Con el objetivo de conocer las insuficiencias existentes y la búsqueda de
soluciones apropiadas a continuación le presentamos una serie de preguntas
que tratan sobre las clases de Metodología de la Investigación y Diseño
Experimental para diseñar un material de estudio complementario que le ayude
58
en su preparación antes, después y durante las clases, en el desarrollo de
Trabajos Investigativos y Trabajos de Diploma
Para lograrlo esperamos preste toda su atención y responde con sinceridad y
responsabilidad. Le agradeceremos que leyera más de una vez la encuesta
que a continuación se le presenta
Muchas gracias
CUESTIONARIO
Respecto a comparación de medias y varianzas:
1- De las siguientes pruebas de hipótesis para la comparación de medias y
varianzas que aparecen a continuación marque con una X las que dominas:
a) Comparación para la media de una población con distribución normal y
varianza conocida. Sí ___ No ___
b) Comparación para las medias de dos poblaciones con distribuciones
normales y varianzas conocidas. Sí ___ No ___
c) Comparación para la media de una población con distribución normal y
varianza desconocida. Sí ___ No ___
d) Comparación para las medias de dos poblaciones con distribuciones
normales y varianzas desconocidas. Sí ___ No ___
e) Comparación para la varianza de una población con distribución normal
y media desconocida. Sí ___ No ___
f) Comparación para las varianza de dos poblaciones con distribuciones
normales. Sí ___ No ___ .
g) Comparación de medias para muestras pareadas. Sí ___ No ___
2- De las pruebas de hipótesis a las que se hace referencia en la pregunta
anterior y que son dominadas por usted.
¿Sabes diferenciarlas? Sí ___ No ___
59
3 - ¿Te sientes capaz de aplicarlas en la práctica? Sí ___ No ___
4- ¿Conoces cuando se aplica las pruebas de hipótesis para la comparación de
medias y cuando se apelan al análisis de varianza? Sí ___ No ___
5- ¿Sabes cuales son los supuestos para aplicar el análisis de varianza?
Sí ___ No ___
6-¿Conoces que diferencias existen en el Análisis de varianza entre
clasificación simple y doble? Sí ___ No ___
7- ¿Conoces cual es la diferencia entre análisis de varianza con efectos
aleatorios y efectos fijos? Sí ___ No ___
8- ¿Sabes cuando emplearlos? Sí ___ No ___
9- ¿Del análisis de correlación y regresión conoces que expresan los valores
de?:
a) R2 Sí ___ No ___
b) FR Sí ___ No ___
c) FA Sí ___ No ___
10- ¿Conoces los supuestos del análisis de regresión? Sí ___ No ___
11- ¿Conoces los diseños completamente al azar y que relación guarda con las
pruebas de hipótesis y el análisis de varianza? Sí ___ No ___
12- Conoces los planes factoriales 22 y 23 y sabes como emplearlo.
Sí ___ No ___
60
Material de estudio sobre Diseño
Experimental
Autor: Karel B. Solares Soler
Tutor: Prof. msc. Ing. Camilo Adael Diaz
Curso: 2008 - 2009
Prólogo
Este material que a continuación se presenta se ha elaborado por la necesidad
que existe de una bibliografía que contenga en ella ejercicios propuestos y
resueltos sobre las problemáticas que surgen en el ámbito de la Ingeniería Civil.
Para el estudio y comprensión del contenido de este material se hace necesario
haber cursado un nivel de matemática elemental. Los conceptos y técnicas
estadísticas que se abordan son presentados teniendo en cuenta la intuición en
la medida de lo posible, evitándose de esta forma demostraciones matemáticas
que hagan desviar la atención del lector del objetivo fundamental, el cual
consiste precisamente en mejorar el aprendizaje del uso de las técnicas
estadísticas como herramienta auxiliar de trabajo.
Autor
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
1
2008-2009
Índice
1.0 PRUEBAS DE HIPÓTESIS……………………………………………………...3
Introducción…………………………………………………………………………....3
1.1 Pasos a seguir para docimar hipótesis…………………………………………4
1.2 Error tipo I y error tipo II. Nivel de significación y tamaño de la muestra…...5
1.3 Dócima para la media de una población con distribución normal y varianza
conocida………………………………………………………………………………...8
1.4Dócima referente a las medias de dos poblaciones con distribuciones
normales y varianzas conocidas………………………………………………………8
1.5 Dócima para la media de una población con distribución normal y varianza
desconocida…………………………………………………………………………..…9
1.6 Dócima referente a las medias de dos poblaciones con distribuciones
normales y varianzas desconocidas…………………………………………………11
1.7 Dócima para la varianza de una población con distribución normal y media
desconocida…………………………………………………………………………....12
1.8 Dócima referente a las varianza de dos poblaciones con distribuciones
normales………………………………………………………………………………..13
Ejercicios resueltos……………………………………………………………………15
Ejercicios propuestos………………………………………………………………….21
2.0 BONDAD DE AJUSTE………………………………………………………..….22
Introducción……………………………………………………………………….……22
Ejercicios resueltos:……………………………………………..……………………24
Ejercicios propuestos…………………………………………………………………31
3.0 Análisis de Varianza…………….………………………………….…………….32
Introducción…………………………………………………………………………….32
3.1 Objetivos del Análisis de Varianza………………………………………………32
3.2 Repetición del experimento………………………………………………………35
3.3 Fundamentos del Análisis de Varianza…………………………………………36
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
2
2008-2009
3.4 Propiedades deseables de los estimadores……………………………………39
3.5 Región crítica………………………………………………………………………40
3.6 Comparación de Parejas de Medias de Tratamientos………………………..41
Ejercicios resueltos……………………………………………………………………46
Ejercicios propuestos………………………………………………………………...53
4.0 CORRELACION Y REGRESION LINEAL……………………………………..54
Introducción……………………………………………………………………………54
4.1 Correlación lineal…………………………………………………………………55
4.2 Diagrama de dispersión………………………………………………………….56
4.3 Problemas en la correlación lineal………………………………………………57
4.4 Interpretación de r…………………………………………………..…………….58
4.5 El análisis de regresión simple…………………………………………………..58
4.6 Supuestos del modelos de regresión lineal simple………………………… ...59
4.7 Análisis de la falta de ajuste……………………………………….…………….64
Ejercicios Resueltos…………………………………………………………………..66
5.0 DISEÑO DE BLOQUES AL AZAR. ……………………………………..……. 72
Introducción…………………………………………………………………………...72
5.1 Análisis del modelo………………………………………………………………73
Ejercicios Resueltos…………………………………………………………………..75
6.0 DISEÑOS FACTORIALES………………………………………………………77
Introducción……………………………………………………………………………77
6.1 Análisis Estadístico del modelo de efectos fijos………………………………78
6.2 Planteamientos de las condiciones experimentales…………………………..81
6.4 Cálculo de los coeficientes de regresión y análisis de adecuación
del modelo…………………………..…………………………………………………83
Ejercicios resueltos………………...………………………………………………….84
Ejercicios propuestos………………………………………………………………….93
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
3
2008-2009
1.0 PRUEBAS DE HIPÓTESIS
INTRODUCCIÓN
Un problema que se presenta y puede ser resuelto por la estadística es el de la
toma de decisiones sobre la distribución de una población o sobre sus
parámetros. Tales problemas son comunes en la vida diaria y en el desarrollo
ulterior de los métodos estíptico. Por ejemplo en la agricultura cuando se quiere
decidir si un nuevo fertilizante eleva el rendimiento o no; en el deporte si con un
estilo de juego o no mejoran los resultados; en la medicina si un medicamento
disminuye o no el tiempo de restablecimiento de un paciente; en la técnica si un
aditamento a una maquinaria aumenta o no su tiempo de servicio sin roturas; en
los servicios si el tiempo de espera en un centro de prestación de servicios a
variado o no, etc. También se utiliza para verificar o no las condiciones previas
que permitan aplicar un método estadístico.
Son muy comunes los problemas de toma de decisiones que pueden reducirse a
rechazar o no una hipótesis o suposición sobre la media, la proporción, la
varianza u otro parámetro de la distribución o sobre la propia distribución de una
población.
Una prueba estadística paramétrica es aquella cuyo modelo especifica ciertas
condiciones acerca de los parámetros de la población de que se obtuvo la
muestra investigada, que no se prueban ordinariamente, sino se suponen que se
mantienen. La significación de los resultados de una prueba paramétrica
depende de la validez de estas suposiciones. Las pruebas paramétricas también
requieren que los puntajes analizados sean producto de una medición que por lo
menos tenga la fuerza de una escala de intervalo.
Una prueba estadística no paramétrica es aquella cuyo modelo no especifica
las condiciones de los parámetros de la población de la que se sacó la muestra.
Hay algunas suposiciones que se asocian con la mayoría de las pruebas
estadísticas no paramétricas: observaciones independientes y variable de
continuidad básica; pero estas suposiciones son pocas y mucho más débiles
que las asociadas con las pruebas paramétricas. Además, las no paramétricas
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
4
2008-2009
no requieren de mediciones tan fuertes; la mayoría de las pruebas no
paramétricas se aplican a datos de una escala ordinal, y algunas a los de una
escala nominal.
En este material se brinda una mayor atención a los casos paramétricos, incluso,
las explicaciones generales referentes a este tipo de método estadístico se
hacen con ejemplos de casos paramétricos.
1.1 Pasos a seguir para docimar hipótesis.
1. Se plantean las hipótesis:
Por ejemplo, H0: μ = μ0 , contra la alternativa H1: μ μ0.
2. Se fija el nivel de significación α.
3. Se calcula el valor que toma el estadígrafo.
Por ejemplo, para las hipótesis anteriores:
Z =
n
X 0
donde X es la media de una muestra simple aleatoria de tamaño n de la
población en cuestión, que se supone tiene distribución normal, con media μ y
varianza σ2.
4. Se determina la Región Crítica.
En nuestro ejemplo: {z R: |Z| > z 1 – α/2}
para lo cual basta buscar en la tabla z 1 – α/2, percentil 1- α/2 de la distribución
normal estándar.
5. Se toma la decisión de:
Rechazar H0 si Z RC.
No rechazar H0 si Z RC.
En nuestro ejemplo, RC = {z R: |Z| > z 1 – α/2}.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
5
2008-2009
Región Crítica:
Se denomina región crítica a la región de rechazo de H0 en una dócima, es
decir, al conjunto de valores del estadígrafo que conduce a rechazar la hipótesis
H0.
Un artificio lingüístico (no estadístico) que se usa para no cometer el error de
tipo II, consiste en no aceptar nunca (de palabra), la hipótesis H0. Basta para ello
expresar la decisión de las dos formas siguientes:
a) Rechazar H0
b) No rechazar H0
En tal caso al no expresar ―acepto H0― no se comete el error de ―aceptar H0
siendo falsa― o sea, el error de tipo II.
Claro está, esto es solo una forma de eludir la aceptación que no siempre es
posible lograr en la práctica. De aquí la importancia de la función de potencia.
La forma universal de disminuir las probabilidades de los dos tipos de errores
aumentando la muestra tanto como sea posible.
1.2 Error tipo I y error tipo II. Nivel de significación y tamaño de la muestra.
El procedimiento consiste en rechazar H0 para aceptar la H1 si la prueba estadís-
tica produce un valor cuya probabilidad asociada de ocurrencia bajo H0 es igual
o menor que alguna pequeña probabilidad simbolizada por . Esta pequeña
probabilidad se llama nivel de significación. El valor que el investigador escoge
para deberá determinarse por la estimación que haga de la importancia o del
posible significado práctico de sus descubrimientos y por el factor económico.
Puesto que el valor de puede ser elegido por el que realiza el experimento y su
elección determinará en parte el rechazo o no de la hipótesis, este debe fijarse
antes de comenzar el experimento. Si es de gran importancia rechazar una
hipótesis, el riesgo de cometer éste error debe ser pequeño. Si es de gran
importancia que una hipótesis sea rechazada, si existe únicamente una pequeña
evidencia en contra, puede convenir elegir un mayor. Un convenio que se
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
6
2008-2009
sigue con frecuencia es establecer el resultado significativo si la hipótesis se
rechaza con = 0.05 y muy significativo si la hipótesis se rechaza con =
0.01. Una práctica común, consiste para el investigador en reportar simplemente
el nivel de probabilidad asociado con su descubrimiento señalando que la
hipótesis de nulidad puede rechazarse a ese nivel.
Hay dos tipos de errores que pueden cometerse al decidir acerca de H0. El
primero, o error de tipo I es rechazar H0 siendo verdadera, y la probabilidad de
cometerlo es igual a . El segundo, o error de tipo II, no rechazar H0 siendo
falsa, que suele representarse por , es decir, la probabilidad de cometerlo. Esto
es:
P (error tipo I,rechazar H0 siendo verdadera) =α
P(error tipo II, no rechazar H0 siendo falsa) = β
Cuanto mayor sea , tanto más probable es que H0 sea rechazada
equívocamente. En condiciones ideales, los valores de y deberían ser
especificados por el experimentador antes de comenzar la investigación. Estos
valores determinarán qué tamaño de muestra (n) tendrá que escoger para
calcular la prueba estadística que haya escogido.
Sin embargo, en la práctica ocurre que y n quedan especificados por adelanta-
do. Una vez que estos han sido determinados, queda definido . En vista de que
hay una relación inversa entre las probabilidades de cometer ambos tipos de
errores, al decrecer se incrementará para cualquier n dada. Si se desea dis-
minuir la posibilidad de ambos tipos de errores, se debe incrementar n.
Para algunas pruebas se dispone de gráficos del error tipo II ( ) respecto a n, de
manera que el investigador podría consultarlos al decidir el tamaño de muestra
apropiado.
Debe quedar claro que en cualquier inferencia estadística existe el peligro de
cometer uno de los dos tipos de errores, y que el experimentador debe alcanzar
un equilibrio óptimo entre las probabilidades de cometer cualquiera de los dos
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
7
2008-2009
errores. Las diversas pruebas estadísticas ofrecen posibilidades de equi librio
diferentes. Para obtener este equilibrio es importante la noción de la función de
potencia de una prueba estadística.
La potencia de una prueba estadística se define como la probabilidad de recha-
zar H0 cuando es realmente falsa. Se representa de la forma siguiente:
Potencia = 1 - P(error tipo II, no rechazar H0 siendo falsa) =1- β
La probabilidad de cometer el error de tipo II ( ) disminuye a medida que aumen-
ta el tamaño de muestra (n), de modo que la potencia aumenta. La potencia está
relacionada, también, con la naturaleza de la prueba estadística elegida (una
prueba de una cola es más poderosa que una de dos).
En muchas aplicaciones estadísticas el segundo tipo de error ( ), no está
controlado, pero aun entonces en el que realiza el experimento debe conocer de
la existencia de este error y tener una idea de los grande que puede ser.
Al aumentar el tamaño de la muestra (n), la potencia aumenta y disminuye ( )
para cualquier alternativa del valor de , excepto cuando = 0, que la potencia
es igual a 0.05 para cualquier tamaño de muestra. Esto es de esperar ya que al
ser = 0.05 quedan aún probabilidades de rechazar H0 siendo verdadera.
A medida que el valor de crece (se aleja de 0) para cualquier n y fijos,
aumenta la potencia y disminuye el error de tipo II ( ). En otras palabras, a
medida que n disminuye, mayores tienen que ser las diferencias observadas
para que sirvan de criterio objetivo para rechazar H0, ya que disminuye la
potencia de la prueba.
La observación de que aumenta según disminuye es, en general, verdadera,
y el que hace el experimento quizás desee variar el nivel de significación del
contraste para lograr la correspondiente variación en . Un pequeño valor de
es, ciertamente, deseable, pero tomar demasiado pequeño puede hacer tan
grande que apenas reconozcamos que la hipótesis es falsa cuando lo sea.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
8
2008-2009
1.3 Dócima para la media de una población con distribución normal y
varianza conocida
Hipótesis Estadígrafo Región crítica
H0 :µ = µ0
H1 :µ ≠ µ0
H0 :µ ≤ µ0
H1 :µ > µ0
H0 :µ ≥ µ0
H1 :µ < µ0
Z =
n
X 0
{z R: |Z| > z 1 – α/2}
{z R: Z > z 1 – α}
{z R: Z < - z 1 – α}
Note que se puede sustituir - z 1 – α por zα y ponerse μ = μ0 en todas las hipótesis
nulas
1.4 Dócima referente a las medias de dos poblaciones con distribuciones
normales y varianzas conocidas
Hipótesis Estadígrafo Región crítica
H0 :µ1 = µ2
H1 :µ1 ≠ µ2
H0 :µ1 ≤ µ2
H1 :µ1 > µ2
H0 :µ1 ≥ µ2
H1 :µ1 < µ2
Z =
2
2
2
1
2
1
nn
YX
{z R: |Z| > z 1 – α/2}
{z R: Z > z 1 – α}
{z R: Z < - z 1 – α}
Observaciones:
a) Hay que tener cuidado al asignar la notación X y Y para las medias de
una y otra muestra.Si en el estadígrafo ponemos X - Y en le numerador,
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
9
2008-2009
X debe ser la media de la muestra extraída de la población cuya media
representamos por μ1 en las hipótesis y su varianza por 21
. El tamaño de
esta muestra se representará por n1.la misma precaución hay que tener
con n1 y n2; σ1 y σ2 en el denominador del estadígrafo.
b) Si σ1 = σ2 = σ entonces el estadígrafo se puede poner en la forma:
Z =
21
21
nn
YX
c) Para n1 y n2 suficientemente grande, en muchos casos se pueden aplicar
estas dócimas a poblaciones con distribuciones no normales con resultados
aceptables.
1.5 Dócima para la media de una población con distribución normal y
varianza desconocida
En las dócimas anteriores se conocía la varianza poblacional σ2 y resulta
indispensable este dato para evaluar el estadígrafo Z. No obstante es muy
común no contar con el valor de dicha varianza.
Una solución a este problema es utilizar una estimación de la varianza
poblacional. Pero esto trae aparejado un cambio en la distribución del nuevo
estadígrafo obtenido como vemos a continuación.
Sea X la media de una muestra simple aleatoria de tamaño n de la población.
(Estimador de μ).
μ0 – un número real.
α – el nivel de significación.
tp(k) – el percentil p de la distribución.
t – de student con k grados de libertad.
(k = 1, 2,3,…)
s2 – la varianza muestral.
2s = n
i
i
n
xx
1
2
1
)(
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
10
2008-2009
T =
n
s
X 0
T es un estadígrafo cuya distribución es t – de student con n - 1 grados de
libertad bajo la suposición μ = μ0 y se obtiene sustituyendo σ2 por su estimación
s2 en la fórmula del estadígrafo Z de las dócimas anteriores.
Hipótesis Estadígrafo Región crítica
H0 :µ = µ0
H1 :µ ≠ µ0
H0 :µ ≤ µ0
H1 :µ > µ0
H0 :µ ≥ µ0
H1 :µ < µ0
T =
n
s
X 0
{t R: |T| > t 1 – α/2; (n - 1)}
{t R: T > t 1 – α; (n - 1)}
{t R: T < - t 1 – α; (n - 1)}
Se puede observar que - t 1 – α; (n - 1) = t α; (n - 1) para todo entero n >1 y todo
α [0,1]. Además, se puede poner μ = μ0 en todas las hipótesis nulas.
Observación:
Para n suficientemente grande la distribución del estadígrafo T =
n
s
X 0 , se
aproxima a la normal estándar por lo que pueden ser uti lizados los percentiles
de la distribución normal en las regiones criticas en lugar de la distribución t de
student. Se consideran suficientemente grande en este caso los valores de
n > 30, para estos valores la aproximación es buena. Por esta razón las tablas
corrientes de t de student se limitan a ofrecer los percentiles tp(m) para valores
de m del 1 al 30 y solo algunos pocos valores mayores.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
11
2008-2009
1.6 Dócima referente a las medias de dos poblaciones con distribuciones
normales y varianzas desconocidas.
Hipótesis Estadígrafo Región crítica
H0 :µ1 = µ2
H1 :µ1 ≠ µ2
H0 :µ1 ≤ µ2
H1 :µ1 > µ2
H0 :µ1 ≥ µ2
H1 :µ1 < µ2
T =
21
0
11
nns
YX
2
11
21
2
22
2
110
nn
snsns
{t R: |T| > t 1 – α/2; (n1 + n2 -2)}
{t R: T > t 1 – α; (n1 + n2 -2)}
{t R: T < - t 1 – α; (n1 + n2 -2)}
Observación:
a) Aquí como en las dócimas anteriores, las hipótesis unilaterales se pueden
plantear como igualdades y desigualdades del tipo menor o igual, o mayor
o igual en las hipótesis nulas. Para una misma alternativa, el tratamiento
de la dócima es el mismo cualesquiera que sea el tipo de hipótesis nula
de las dos mencionadas. El plantear una u otra hipótesis nula depende
solo del problema a resolver.
b) Para n1 y n2 suficientemente grande la distribución t de student se
aproxima a la distribución normal y por tanto la distribución del estadígrafo
T será aproximadamente igual a la normal estándar.
c) La condición de que las varianzas poblacionales deben ser iguales para
poder aplicar estas dócimas y cumplir con la condición de normalidad. Se
destaca esto aquí porque estas condiciones no se conocen si se cumplen
o no en la mayoría de los problemas prácticos, y la solución más fácil
pero no excenta de error es de suponer ciertas las condiciones de
normalidad e igualdad de varianzas poblacionales.
d) En el caso en que las varianzas de ambas poblaciones sean distintas
( 2
2
2
1 ), y desconocidas, se podría usar según W.J. Dixon el estadígrafo
de sustituir 2
1 y 2
2 por sus estimados 2
1s y 2
2s en :
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
12
2008-2009
T =
2
2
2
1
2
1
n
s
n
s
YX
Que bajo suposición de las distribuciones poblacionales, y bajo H0: µ1 = µ2 tiene
aproximadamente distribución t de student con m grados de libertad, donde:
2
21 2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
n
n
s
n
n
s
n
s
n
s
m
Que no necesariamente es entero (en tal caso se aproxima al entero más
próximo y se usa esta aproximación).
1.7 Dócima para la varianza de una población con distribución normal y
media desconocida.
No existen dócimas solamente para la media de una población y para la
proporción poblacional sino que también es de interés determinar si la
variabilidad del valor de una magnitud medida con determinado método no
supera ciertos límites, o más preciso si la varianza de esas mediciones difieren o
no de cierto valor dado, con lo que el problema se reduce en tal caso a una
dócima para la varianza de una población.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
13
2008-2009
Hipótesis Estadígrafo Región crítica
H0 :2
0
2
H1 : 2
0
2
H0 : 2
0
2
H1 : 2
0
2
H0 : 2
0
2
H1 : 2
0
2
2
0
22 1sn
{ 2 R: 2 < 2
2/ ; (n -1) ó
2 > 2
2/1 ; (n -1)}
{ 2 R: 2 > 2
1 ; (n -1)}
{ 2 R: 2 < 2 ; (n -1)}
Observación:
a) Si la media poblacional μ es conocida se puede ganar un grado de libertad
utilizando el estadígrafo:
2
1 0
n
i
iXque tiene distribución ji-cuadrado con n grados de libertad en lugar
del estadígrafo 2
0
22 1sn
.
1.8 Dócima referente a las varianza de dos poblaciones con distribuciones
normales
En las dócimas de hipótesis para las medias de dos poblaciones con varianza
desconocidas se exige la igualdad de las varianzas. Por otra parte, puede ser de
interés comparar la variabilidad de los valores de dos variables aleatorias
alrededor de un valor central, lo que se puede resolver en muchos casos
comparando las varianzas.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
14
2008-2009
Hipótesis Estadígrafo Región crítica
H0 :2
2
2
1
H1 : 2
2
2
1
H0 : 2
2
2
1
H1 : 2
2
2
1
H0 : 2
2
2
1
H1 : 2
2
2
1
F = 2
2
2
1
s
s
{F R: F < Fα/2; (n1 -1, n2 -1) ó
F > F1 – α/2; (n1 – 1, n2 - 1)}
{ F R: F > F1 – α/2; (n1 – 1, n2 - 1)}
{ F R: F < Fα; (n1 – 1, n2 - 1)}
Observación:
a) Hay que tener cuidado en no tomar invertido el cociente de F asignando
inadecuadamente los subíndices 1 y 2.
b) Para docimar las hipótesis:
H0 : 2
2
2
1 contra H1 : 2
2
2
1 y los demás pares de hipótesis
correspondientes referentes a las desviaciones estándares y no
directamente a las varianzas, se procederá igual que para docimar las
hipótesis referentes a las varianzas, solo que habrá que tomar la raíz
cuadrada del valor del estadígrafo F y compararlo con las raíces cuadra
das de los percentiles que aparecen en la región crítica correspondiente
para el estadígrafo F . No obstante, no vale la pena sustituir las dócimas
referentes a σ2 por las referentes a σ porque la decisión será la misma y
el trabajo mayor y menos riguroso.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
15
2008-2009
EJERCICIOS RESUELTOS:
1- En 1991 (Período Especial) en Santa Clara existían tres grandes
consumidores de energía: INPUD, Planta Mecánica y Fábrica de Traviesas. Se
necesitaba urgentemente tomar medidas para disminuir el consumo de energía
en la Fábrica de Traviesas. Esta empresa cuenta con 4 líneas de producción
cada una con 2 cámaras de curado, las cuales tenían 4 departamentos con una
capacidad de 40 moldes. Se determinó que cada 100 m3 de hormigón se
desprendía una cantidad de calor aproximadamente igual a 100 kg de hulla, pero
no se estaba aprovechando este calor en el curado de los elementos. Existían
cámaras tapadas herméticamente y otras no. Se recogió una muestra de
temperaturas y resistencia que a continuación se brinda:
Temp. ° C
Cámaras en buen estado
Temp. ° C
Cámaras en mal estado
61.0 58.0
62.0 56.0
61.0 58.0
59.0 54.0
60.0 55.0
59.0 56.0
58.0 55.0
61.0 55.0
62.0 54.0
61.0 54.0
60.0 52.0
61.0 55.0
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
16
2008-2009
Resistencia de los elementos
extraído de las cámaras las 18
horas (Mpa)
Resistencia de los elementos
extraído de las cámaras a los 28
días (Mpa)
BUEN ESTADO MAL ESTADO A VAPOR
36.1 31.7 58.6
36.7 30. 57.9
36.3 31.6 56.3
36.0 31.1 59.0
32.5 29.2 55.0
31.7 32.4 52.1
30.9 26.0 56.3
65.2 30.5 53.1
34.3 29.9
32.4 31.3
33.6 32.0
35.7 31.0
Fíjese para la investigación un α = 0.05
a) ¿Existirá diferencias significativas en cuanto a las temperaturas de las
cámaras en buen estado y mal estado?
b) ¿Se podrá afirmar que las temperaturas de las cámaras en mal estado es
menor que las cámaras en buen estado?
c) La resistencia promedio especificada por la empresa a las 18 horas es de
30.0 Mpa. ¿Se podrá afirmar que los elementos que salen de las cámaras en
mal estado no cumplen con lo especificado?
d) Plantee la misma hipótesis pero esta vez con un α = 0.01
e) La empresa sospecha que las desviaciones estándar en cuanto a resistencia
de los elementos que salen de las cámaras a vapor no cumplen con la
desviación estándar establecida de 2.1 Mpa a los 28 días.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
17
2008-2009
f) A los 28 días los elementos deben salir de las cámaras con una resistencia
media de 55.0 Mpa y una desviación típica de 2.1 Mpa. ¿Se podrá afirmar que la
resistencia media de los elementos que salen de las cámaras con curado a
vapor, no cumplen con lo especificado?
Respuestas
a)
Llamemos a la cámara en buen estado 1 y las cámaras en mal estado 2, a las
temperaturas promedio de las cámaras en buen estado serán x y las cámaras
en mal estado y .
Datos Hipótesis
n = 12 H0: 21
H1: 21
Estadígrafo Región Crítica
t =
21
0
11
nns
yx {t R: |T| > t 1 – α/2; (n1 + n2 -2)}
n
i
i
n
xx
1
= 60.42 2
1s = n
i
i
n
xx
1
2
1
)(= 1.54 s0 =
2
)1()1(
21
2
22
2
11
nn
snsn
n
i
i
n
yy
1
= 55.17 2
2s = n
i
i
n
yy
1
2
1
)( = 2.88 s0 = 1.49
t =
12
1
12
149.1
17.5542.60= 8.63 t1 – α/2; (n1 + n2 - 2) t0.975; (22) = 2.074
|T| > t1 – α/2; (n1 + n2 - 2)
|8.63| > 2.074 Se rechaza H0
R/ Si hay diferencia significativa de las temperaturas de las cámaras para un
α = 0.05.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
18
2008-2009
b) Hipótesis Región Crítica
H0: 21 {t R: T > t 1 – α; (n1 + n2 -2)}
H1: 21
T > t1 – α; (n1 + n2 - 2) t0.995 = 1.717
8.63 > 1.717 Se rechaza H0
R/ Sí se puede afirmar que las temperaturas de las cámaras en mal estado es
menor que las cámaras en buen estado para un α= 0.05.
c) Estadígrafo Región Crítica
T =
n
s
y 0 {t R: T < - t 1 – α; (n -1) ó t > tα; (n -1)}
Hipótesis t0.05; (11) = 1.796
H0: μ ≥ μ0
H1: μ < μ0
n
i
i
n
yy
1
= 30.73 2s =
n
i
i
n
XX
1
2
1= 1.61 T =
1227.1
3073.30= 1.991
s = 1.27
T > tα; (n -1)
1.991 > 1.796 Se rechaza H0
R/ Se puede afirmar que los elementos que salen de la cámara en mal estado
no cumplen con lo especificado con un α = 0.05
d) Hipótesis Estadígrafo Región Crítica
H0: μ ≥ μ0 T = ns
y 0 {t R: t < - t 1 – α; (n -1) ó t > tα; (n -1)}
H1: μ < μ0
n
i
i
n
yy
1
= 30.73 s = 1.27 T = 1227.1
3074.30= 1.991
t0.01; (11) = 2.718
t < tα; (n -1)
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
19
2008-2009
1.991 < 2.718 No Se rechaza H0 Error tipo II
No se pude afirmar que los elementos que salen de la cámara en mal estado no
cumplen con lo especificado con un α = 0.01.
Anteriormente se ha definido que la probabilidad de cometer un error tipo II se
denota β (μ). El cálculo para este caso es muy complicado aunque se puede
realizar, para simplificar esta situación, se han calculado curvas que permiten
encontrar, sin dificultad cuál es el valor de β (μ). A estas curvas se le ha llamado
curvas de operación o curvas características
d = 27.1
30290 = - 0.88 Este valor es para entrar a las curvas
σ - Se desconoce este valor pero se puede precisar empleando su estimación a
través del estimador s.
σ = s = 1.27
β = P {error tipo II | μ < 30}
= Z
12
27.1
3029
= (Z ≥ - 9.45)
= 1- (Z ≥ 9.45)
= 1 – 0.017457
1
R/ Como el valor de β es alto, se acerca mucho a 1 no se puede aceptar H0 con
una baja probabilidad de cometer el error tipo II, que es no rechazar H0 siendo
falsa, se recomienda que cambie el α o aumente la potencia de la prueba
aumentando n.
e) Hipótesis Estadígrafo Región Crítica
H0: σ2 ≤
2
0 2
0
22 1sn
{ 2 R: 2 > 2 1 – α; (n - 1)}
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
20
2008-2009
H1: σ2 > 2
0 2
0 = 4.41 Mpa 0 = 2.1 Mpa
41.4
51.2182 = 10.02 2
1s = n
i
i
n
xx
1
2
1
)(= 2.51
2 > 21 – α; (n1 - 1) 2
1 – α; (n - 1) = 2.167
3.98 > 2.167
Se rechaza H0
R/ Es cierta las sospecha de la empresa que los elementos que salen de las
cámaras a vapor no cumplen con la desviación típica establecida con un
α = 0.05
f) Hipótesis Estadígrafo Región Crítica
H0: μ ≥ μ0 z = n
x 0 {z R: Z< - z 1 – α ó Z > zα}
H1: μ < μ0
Z = n
x 0 = 40.181.2
0.5504.56
zα = 0.5199 n
i
i
n
xX
1
=56.04
Z < zα
1.40< 0.5199 Error tipo II
R/ No se puede afirmar que la resistencia media de los elementos que salen de
las cámaras con curado a vapor, no cumplen con lo especificado con un
α = 0.05.
2 - La fábrica de cemento de Santiago de Cuba posee una serie de máquinas
que llenan sacos de cemento. Cada saco debe pesar alrededor de 42 1/2 kg, sin
embargo una muestra de 13 sacos tomadas al azar de una máquina A, arrojo
una desviación típica de 1.20, mientras que una muestra aleatoria de 16 sacos
de una máquina B es de 0.85. ¿Se podrá afirmar que los sacos de cemento
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
21
2008-2009
llenados por la máquina A tienen más variabilidad que los sacos llenados por la
máquina B? Escoja para la investigación un α = 0.01?
Respuesta
Hipótesis Estadígrafo Región Crítica
H0: 2
1 ≤ 2
0 F = 2
2
2
1
s
s {F R: F > F 1 – α; (n1 – 1, n2 -1)}
H1: 2
1 > 2
0 F 1 – α; (n1 – 1, n2 -1) F 1 – 0.01; (12, 15) = 3.67
F < F 1 – α; (n1 – 1, n2 -1) F = 73.0
44.1= 1.97
1.97 < 3.67 Error tipo II
No se puede afirmar con un α = 0.01 que los sacos llenados por A sean más
variable en cuanto a peso que los llenados por la máquina B.
EJERCICIOS PROPUESTOS.
1- Para determinar la influencia que ejerce la temperatura del medio ambiente en
el error sistemático de un teodolito han sido efectuadas las mediciones del
ángulo horizontal θ de un objeto durante una mañana (10°C) y durante una tarde
(26°C) cuyos resultados se muestran a continuación.
Mañana 38.2 36.4 37.7 36.1 37.9 37.8
Tarde 39.5 38.7 37.8 38.6 39.2 39.1
a) ¿Se puede considerar que la temperatura ambiente influye en el error
sistemático del teodolito? Use un α = 0.01 y emplee una prueba
parámetrica para el análisis de los datos
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
22
2008-2009
2.0 BONDAD DE AJUSTE
INTRODUCCION
El caso típico de una prueba de bondad de ajuste es con una muestra tomada al
azar, donde se prueba la hipótesis de que su extracción viene de una población
con una distribución específica.
Los criterios de bondad de ajuste nos permiten determinar la probabilidad de
que, para una ley de distribución hipotética, las desviaciones observadas en la
muestra se deban a causas aleatorias y no a un error en la hipótesis acerca del
tipo de la distribución. El carácter probabilístico de este criterio no permite
rechazar de forma absoluta la hipótesis sobre el tipo de distribución hipotética,
sino que permite evidenciar, que la hipótesis no contradice los datos si la
probabilidad de la desviación observada de la ley de distribución es grande, y
que la hipótesis no concuerda con los datos experimentales si esta probabilidad
es pequeña.
Una de las aplicaciones más importantes del criterio de Pearson, es la
verificación de la bondad de ajuste a una distribución teórica. Esta aplicación se
basa simplemente en considerar una partición conveniente en el espacio
muestral de la variable y a través de la distribución tipo, calcular las
probabilidades teóricas de estos eventos.
El caso más usual es el caso en que se requiere verificar la bondad de ajuste a
una distribución normal, con parámetros conocidos, aunque también se puede
hacer la misma verificación para casos con parámetros desconocidos.
En la profundización que pueda hacer el lector sobre este tema, el presente
material le brinda de forma sintetizada algunos de los conceptos que se utilizan
en esta parte de la estadística.
Los datos u observaciones pueden ser de dos tipos: cualitativos o
cuantitativos.
Los datos cualitativos son aquellos que reflejan cualidades. Por ejemplo,
cuando se observan los colores de las flores, el estado civil de las
personas de un grupo, etc.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
23
2008-2009
Los datos cuantitativos son aquellos que reflejan cantidades. Como
ejemplo podemos citar el número de trabajadores de una CPA, los
ingresos mensuales de una familia, la ganancia en peso de un animal
doméstico con fines alimenticios, el tiempo de duración de una reacción
química, etc.
Es importante distinguir dos posibles tipos de datos cuantitativos: discretos o
continuos.
Los datos cuantitativos se denominan discretos cuando solo pueden
tomar un número finito o numerable de valores reales diferentes.
Ejemplo de ellos son: el número de hi jos de una familia, el número de peces en
un estanque, el número de árboles frutales de una finca, etc.
Los datos cuantitativos se denominan continuos cuando pueden tomar
cualquier valor en un intervalo de los números reales, o sea, cuando
pueden tomar un número infinito no numerable de valores reales
diferentes.
Ejemplo de ellos son: la estatura de una persona, la producción de una
parcela en un determinado cultivo, el tiempo de duración de una reacción
química, etc.
Algo importante a destacar es que el tipo de dato no depende del instrumento
de medición utilizado, sino que depende única y exclusivamente de la propia
naturaleza del dato.
Por amplitud de la clase o del recorrido, se debe entender la longitud del
intervalo que define a la clase o al recorrido respectivamente.
La distribución empírica de los valores en la muestra se define como la
distribución obtenida al asignarle a cada uno de los valores x1, x2, x3…,xn,
un valor igual a 1/n, es esta una distribución de tipo discreta (donde
algunos valores x1, x2, x3…,xn, pueden coincidir).
Frecuencia absoluta o frecuencia de clase es el número de observaciones
en cada intervalo de clase, J toma los valores 1, 2, 3…, K siendo K el
número total de intervalos.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
24
2008-2009
Frecuencia relativa se define como el resultado del cociente de la
Frecuencia absoluta o frecuencia de clase/n siendo n el número de
observaciones.
EJERCICIOS RESUELTOS
Caso 1: Parámetros conocidos
3- En la construcción de varios objetos de obra en el Hotel ―La Estrella‖ del Polo
Turístico de la Cayería Norte, en el año 2007, se utilizaron diferentes
hormigones con resistencias distintas de acuerdo al elemento en el cual se iba a
emplear. Un investigador recogió muestras de hormigón que iban a ser utilizados
en la elaboración de cimentaciones en balsa, muros de contención de cisternas
y piscinas. A los 28 días la resistencia a la compresión de los hormigones era:
Cimentación
en Balsa
Cisterna Piscina
48.4 47.2 46.8
47.1 47.1 45.9
44.1 43.7 43.6
46.6 46.4 45.9
41.7 41.6 41.1
43.8 43.7 43.5
51.8 50.3 48.3
47.2 47.1 46.9
50.5 50.1 49.1
50.1 49.6 49.1
45.2 44.6 45.2
43.6 42.5 42.9
Diga si los datos obtenidos tienen una distribución normal con μ = 48 y σ2 = 3.1
Respuesta
Hipótesis Región Crítica
H0: X ~ Normal (μ;σ2) 1,22 k
H1: X ~ Normal (μ;σ2)
Xi = Resistencia media de hormigón
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
25
2008-2009
Determinar el recorrido de las observaciones
R = xmáx - xmín
R = 51.8 – 41.1
R = 10.7
Número de intervalos K
Debe estar entre 5 y 20
Aquí el número de intervalos = 5 = K
Tamaño de los intervalos o amplitud de los intervalos
h = 5
7.10
K
R= 2.14 = 3
Observación: Generalmente aquí se redondea al entero superior.
Criterios a la hora de seleccionar un extremo de intervalo
1- No considerar el extremo inferior de la clase como que pertenece a esta.
Ejemplo: 41.1 pertenece al primer intervalo y no al segundo
2- No considerar el extremo superior de la clase como que pertenece.
Ejemplo: 41.1 pertenece al segundo intervalo y no al primero
3- Considerar para los límites de las clases, media unidad más a las que
vienen expresadas los datos.
Si hubiese números enteros por ejemplo 40, se podría poner 40.5 y esto no
afecta los datos.
Aquí se aplicó el primer criterio.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
26
2008-2009
Intervalos
De
clase
(Oi)
Ei
Oi - Ei
(Oi - Ei )2
i
ii
E
EO2
38.1 – 41.1 1 0.43848 0.56152 0.31530471 0.719085728
41.1 – 44.1 5 3.2724 7.7276 59.7158018 18.24831983
44.1 – 47.1 17 10.1556 1.8444 3.40181136 0.334969018
47.1 – 50.1 18 4.9536 4.0464 16.3733530 3.305344194
50.1 – 53.1 17 7.1568 -4.1568 17.2789862 2.414434527
Σ = 25.0221533
Ei = 00
0 iiLS
ZPLI
ZPn
E1 = 1.3
481.41
1.3
481.3836 ZPZP
E1 = 23.219.336 ZPZP
E1 = 23.2119.3136 ZPZP
E1 = 0129.01000720.0136
E1 = 9871.099928.036
E1 = 0.43848
2 = 25.02 1,2 k
1,22 k 15,2
05.0 = 9.488
25.02 > 9.488
Se rechaza la H0: X ~ Normal (μ;σ2).
k – Número de intervalos.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
27
2008-2009
R/ Los datos no siguen una distribución normal, se recomienda que si es de
interés que los datos sigan una distribución normal se aumente el tamaño de la
muestra y se haga nuevamente el análisis de los mismos.
Caso 2: Parámetros desconocidos
4- En un laboratorio del Polo Turístico de la Cayería Norte se sacó una muestra
de 64 briquetas para hacer inferencias estadísticas respecto a la resistencia a la
compresión, se necesita saber si los datos que a continuación se presenta tiene
una distribución aproximadamente igual a la normal. Considere para la
investigación un α = 0.05
35.5 20.9 25.7 27.2 27.5 25.8 23.5 27.7
32.9 26.5 25.1 24.0 24.3 24.8 24.4 22.7
26.3 23.4 25.7 29.0 26.9 29.3 29 26.1
28.6 27.0 28.9 25.1 25.7 22.7 26.9 27.8
27.5 25.9 28.2 31.2 26.1 29.4 27.3 30.3
28.7 26.9 28.1 28.4 29.0 31.8 29.0 26.0
28.1 26.7 29.9 31.1 29.2 24.4 26.3 25.7
23.9 25.7 28.1 25.1 27.4 25.8 25.4 29.7
Hipótesis Región Crítica
H0: X ~ Normal (μ;σ2) 1,22 rk
H1: X ~ Normal (μ;σ2)
Xi = Resistencia media de hormigón
Determinar el recorrido de las observaciones
R = xmáx - xmín
R = 35.5 – 20.9
R = 14.6
Número de intervalos K
Debe estar entre 5 y 20
Aquí el número de intervalos = 8 = K
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
28
2008-2009
Tamaño de los intervalos o amplitud de los intervalos
h = 8
6.14=
K
R= 1.825 = 2
Criterios a la hora de seleccionar un extremo de intervalo
4- No considerar el extremo inferior de la clase como que pertenece a esta.
Ejemplo: 21.9 pertenece al primer intervalo y no al segundo
5- No considerar el extremo superior de la clase como que pertenece.
Ejemplo: 21.9 pertenece al segundo intervalo y no al primero
6- Considerar para los límites de las clases media unidad más a las que
vienen expresadas los datos.
Si hubiese números enteros por ejemplo 20, se podría poner 20.5 y esto no
afecta los datos.
Aquí se aplicó el primer criterio.
La hipótesis nula de este caso es:
H0: X ~ Normal (μ;σ2)
Por tanto primero se estiman los parámetros de la normal que más se acerca a
la distribución empírica, según la distancia 2 .
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
29
2008-2009
Intervalos
De
clase
Punto medio
(di)
Frec.
Abs.
(Oi)
Oidi
di -
Oi
19.9 – 21.9 20.9 1 20,9 -6,06 36,7236 36,7236
21.9 – 23.9 22.9 5 114,5 -4,06 16,4836 82,418
23.9 – 25.9 24.9 17 423,3 -2,06 4,2436 72,1412
25.9 – 27.9 26.9 18 484,2 -0,06 0,0036 0,0648
27.9 – 29.9 28.9 17 491,3 1,94 3,7636 63,9812
29.9 – 31.9 30.9 4 123,6 3,94 15,5236 62,0944
31.9 – 33.9 32.9 1 32,9 5,94 35,2836 35,2836
33.9 – 35.9 34.9 1 34,9 7,94 63,0436 63,0436
Σ=64 Σ= 1725,6 Σ=415,7504
64
6.1725
1
K
i
iiA
n
dOX = 26.96 d = LSi - LIi
d = 21.9 – 19.9
d = 2
K
i
AiiA
d
n
XdOS
1
222
2
12
2
64
7504.415
12= 6.1628
SA = 1628.6 = 2.482
Para calcular las frecuencias teóricas se empleará entonces la normal con
(26.96; 6.1628)
AX2)( Ai Xd 2)( Ai Xd
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
30
2008-2009
Intervalos
De
clase
(Oi)
Ei
Oi - Ei
(Oi - Ei )2
i
ii
E
EO2
19.9 – 21.9 1 1,18016 -0,18016 0,03245763 0,027502733
21.9 – 23.9 5 5,6704 -0,6704 0,44943616 0,079260045
23.9 – 25.9 17 14,3552 2,6448 6,99496704 0,487277575
25.9 – 27.9 18 20,1216 -2,1216 4,50118656 0,223699237
27.9 – 29.9 17 14,912 2,088 4,359744 0,292364807
29.9 – 31.9 4 6,1248 -2,1248 4,51477504 0,737130199
31.9 – 33.9 1 1,32736 -0,32736 0,10716457 0,080735121
33.9 – 35.9 1 0,153664 0,846336 0,71628462 4,661369123
Σ = 6,589338838
Ei = 00
0 iiLS
ZPLI
ZPn
E1 = 482.2
96.269.21
482.2
96.269.1964 ZPZP
E1 = 04.284.264 ZPZP
E1 = 04.2184.2164 ZPZP
E1 = 0207.0100226.0164
E1 = 9793.099774.064
E1 = 1.18016
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
31
2008-2009
2 = 6.59 rk 1,2
1,22 rk 218,2 = 11.070
No se rechaza la H0: X ~ Normal (μ;σ2).
k – Número de intervalos.
r – Cantidad de parámetros a estimar.
R/ No se puede rechazar la hipótesis nula, esto quiere decir que la suposición de
que los datos siguen una distribución normal con media de 26.96 Mpa y una
varianza de 6.1628 Mpa2 es acertada, lo que se puede afirmar con un nivel de
significación de 0.05 y una probabilidad de error tipo II no controlada, pero que
no debe ser muy grande dado que la dócima de 2 para la bondad de ajuste es
una buena dócima y el tamaño de la muestra no es pequeño.
EJERCICIOS PROPUESTOS
2- Basado en los resultados de las mediciones de deflexión con una viga
Beckelman en un tramo de carretera con pavimento flexible.
DEFLEXION DEL TRAMO (mm/100)
240 208 235 200 214
219 254 243 254 212
229 250 235 242 272
232 190 238 225 198
226 225 261 239 204
208 246 217 286 226
a) Halle la función de densidad de probabilidad que poseen los datos con un
nivel de significación de 0.10 y 0.05.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
32
2008-2009
3.0 ANÁLISIS DE VARIANZA
INTRODUCCION
La práctica del trabajo investigativo plantea constantemente la necesidad de que
se comparen simultáneamente más de dos valores medios. Cuando este sea el
caso, es fácil comprender que los conocimientos que se posean sobre las
dócimas de hipótesis que involucran a dos poblaciones, no responden a este
objetivo y se haga necesario utilizar técnicas estadísticas que brinden una
solución satisfactoria a esta situación. El análisis de varianza es precisamente
una solución.
El análisis de las características observadas está basado en la modelación
matemática de ellas mediante el modelo lineal. En el marco del análisis de
varianza se consideran tres tipos de modelos lineales, ellos son:
Efectos aleatorios.
Efectos fijos o constantes.
Efectos mixtos o mezclados
Si todos los niveles se eligen de forma aleatoria, el modelo matemático del
experimento se llama modelo con niveles aleatorios de los factores. Cuando
todos los niveles son fi jados el modelo se nombra modelo con niveles fijos de
los factores. Cuando una parte de los factores se examina en niveles
constantes, y los niveles restantes se eligen de forma aleatoria, el modelo se
llama modelo de tipo mixto de los factores.
La utilización de uno de estos modelos no es arbitraria, sino que responde al
hecho o fenómeno que se estudie y las condiciones bajo las cuales este se
realice. Un modelo muy utilizado en la investigación es el de efectos fijos,
aunque también se pueden encontrar casos en los que es conveniente aplicar el
de efectos aleatorios.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
33
2008-2009
3.1 Objetivos del Análisis de Varianza
Una definición exacta del análisis de varianza es bastante difícil de brindar. En
principio no es nuestro objetivo entrar en estos detalles aunque sí es importante
señalar algunas de sus particularidades, el lector puede considerar el estudio de
otras bibliografías en caso de quiera estudiar con mayor profundidad este tema.
El análisis de varianza se fundamenta en el procesamiento de conjuntos de
datos numéricos, estos últimos considerados como la expresión cuantitativa de
las características de interés que se midan u observen en el fenómeno. Estas
características son consideradas aleatorias. Más concretamente el estudio de
la influencia de uno u otros factores en la variabilidad de las medias
constituye el objetivo del análisis de varianza
La necesidad de un Diseño de Experimentos.
No siempre será posible aplicar, a un conjunto de datos recogidos
arbitrariamente, un análisis de varianzas cuyos resultados permitan arribar a
conclusiones confiables. La recogida de información mediante la realización de
un experimento, debe garantizar el cumplimiento de ciertos supuestos teóricos y
prácticos que avalen el uso correcto del análisis de varianza a realizar, en otras
palabras, a cada experimento que se diseña corresponde un análisis de varianza
específico.
Se supone que el resultado de las observaciones se puede representar por el
modelo lineal:
Yij = µ + W i + eij
Donde:
Yij => Representa el valor que toma la característica aleatoria Y que se observa
en la j-ésima unidad experimental correspondiente al i-ésimo tratamiento.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
34
2008-2009
µ => Es una constante que representa el valor que debiera tomar la
característica Y si no estuviesen presentes el error aleatorio y los efectos del
tratamientos
Wi => Efecto del j-ésimo (incremento o decremento).
eij => Error que se asocia a la observación Yij y que responde a la fluctuación
aleatoria de la medición que no se puede controlar por el investigador.
Supuestos para la aplicación del análisis de varianza:
a) Que los errores ei j tengan una distribución normal con valor medio 0 y
varianza σ2
b) Que estos errores sean independientes.
Estos requisitos se traducen en que:
a) Que los Yij tengan distribución normal con media µ + Wi y varianza σ2
para todo i, j.
b) Que las observaciones estén incorrelacionadas o sean independientes.
De aquí que los grupos de observaciones por cada tratamiento sean muestras
aleatorias normalmente distribuidas con igual varianza y que sean también
independientes las muestras entre ellas.
Estas condiciones de independencia y aleatoriedad de las muestras por grupo
se consiguen mediante la selección apropiada de ellas. Sin embargo, la
normalidad en la distribución y la igualdad de varianzas es intrínseca a las
características medidas.
Estos supuestos representan, a veces, una limitante en las aplicaciones, pues,
existen experimentos que requieren del uso de las técnicas del análisis de
varianza y por no cumplir con estos supuestos no se puede emplear
directamente.
En el caso en que se requieran comparar más niveles de los que se observan, el
modelo expresado anteriormente aplicado al caso de efectos fijos, sufre un
cambio cuando se va a aplicar a modelos de efectos aleatorios, pues los Wi no
son constantes sino variables que dependen del nivel observado, nivel que ha
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
35
2008-2009
sido seleccionado aleatoriamente de un gran número de niveles. Se acostumbra
a suponer que los Wi, en este modelo, son variables aleatorias con distribución
normal, e independientes de los ei j .
3.2 Repetición del experimento.
En el contexto de análisis de varianza, la repetición de la observación se debe
entender como la repetición del experimento, donde dicha repetición (reiteración
o replicación como también se le denomina) se justifica por el fundamento
teórico del análisis de varianza, ya que el no se puede aplicar si solo se efectúa
una realización del experimento. Como se puede comprender, con una sola
observación (dato numérico) es imposible la estimación de la varianza y
precisamente este aspecto es fundamental en la realización de esta técnica
estadística.
El investigador debe tener mucho cuidado a la hora de realizar una
investigación de no confundir el concepto replicación o repetición del
experimento con la toma repetida de mediciones u observaciones sobre el
mismo material experimental. Este señalamiento no significa que esté prohibido
repetir mediciones sobre una misma unidad, es más, quizás la propia
investigación que se realiza lo aconseja, pero ello no autoriza a que estas
mediciones se consideren repeticiones del experimento.
Se debe señalara que la mayoría de las veces la cantidad de repeticiones de un
experimento está determinada por varios factores que van desde la cantidad de
recursos disponibles hasta la confiabilidad que se desee de los resultados.
En forma de resumen se puede decir que: por repetición, replicación o
reiteración de un experimento se debe entender la reproducción o realización
repetida del hecho que se estudia bajo las condiciones que los caracterizan.
Tratamiento
Esta palabra es ampliamente utilizada dentro del contexto del análisis de
varianza y de la experimentación. Ella surgió debido al uso en la investigación
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
36
2008-2009
agrícola, y hoy en día, el significado de esta palabra ha rebasado el marco
agrónomo de su connotación.
Por tratamiento se debe entender el conjunto particular de condiciones
(experimentales) cuyos efectos van a ser medidos y comparados en el desarrollo
del experimento que se ha diseñado y que en consecuencia se realice.
Es bueno señalar que el uso del término ¨ tratamiento ¨ no es obligatorio, pero
mediante él se caracterizan diferentes situaciones prácticas en el planteamiento
de un análisis de varianza.
3.3 Fundamentos del Análisis de Varianza
R. A. Fisher en 1938, por primera vez, determinó el análisis de varianza
(ANOVA) como "la separación de las varianzas, producidas por un grupo de
causas, de las varianzas producidas por otros grupos". En dependencia del
número de fuentes de varianza se diferencian los análisis de varianzas
clasificación simple y clasificación múltiple. En este material solo se hará énfasis
en el de clasificación simple. El análisis de varianza es particularmente efectivo
en el estudio de varios factores. En el método clásico se varia solamente un
factor y los restantes se mantienen constantes. Con esto para cada factor se
realiza su serie de observaciones, no utilizada en el estudio de los otros.
Además en este método de investigación no se consigue determinar la
interacción de los factores para una variación simultánea de los mismos. En el
ANOVA cada observación o ensayo sirve para la valoración o estimado de todos
los factores y sus interacciones al mismo tiempo.
El ANOVA consiste en la separación y valoración de los diferentes factores, que
provocan la variabilidad de la variable aleatoria estudiada. Para esto se
descompone la varianza total muestral en componentes, propiciados por los
diferentes factores independientes. Cada una de estas componentes representa
un estimado de la varianza de la población general. Para determinar si es
significativa o no, la influencia de un factor dado, es necesario valorar o estimar
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
37
2008-2009
la significación de su correspondiente varianza muestral en relación con la
varianza de reproducibilidad, propiciada esta última por los factores aleatorios.
La prueba de la significación de los estimados de las varianzas muestrales de
los factores se realiza por el criterio de Fisher.
Los factores que se examinan en el ANOVA pueden ser de dos tipos:
con niveles aleatorios
con niveles fijos o constantes.
Esquema de la forma de los datos de la ANOVA
Réplicas Medias por
niveles 1 2 3….. c
Niveles del
factor
ó
Tratamientos
1 Y11 Y12 Y13 Y1c 1Y
2 Y21 Y22 Y23 Y2c 2Y
3 Y31 Y32 Y33 Y3c 3Y
. . .
. . .
r Yr1 Yr2 Yr3 .…. Yrc rY
Σ = Y
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
38
2008-2009
Tabla de Análisis de Varianza (ANOVA)
Fuente
De
Variación
Suma
De
Cuadrados
Grados
De
Libertad
Cuadrado
Medio Valor F
Entre niveles SS3=
r
i
i YYc1
2
r – 1
1
3*
3r
SSSS
F =
*
2
*
3
SS
SS
Dentro de
Niveles
SS2
=r
i
iij
c
j
YY1
2
1
r(c – 1) )1(
2*
2cr
SSSS
Total SS = SS2 + SS3 rc -1
1
*
rc
SSSS
Para el caso de modelos de efectos fijos se obtiene:
Hipótesis Región Crítica
H0: w1 = w2 …. = wi = 0. F ≥ Fα;(r – 1 ; rc – r)
H1: Al menos uno de los w i 0.
Es importante señalar que independientemente de que se cumpla la hipótesis
nula o no SS *
2 es un estimador insesgado de σ2, y que SS *
3 no es un estimador
insesgado de σ2 cuando H0 es cierta (ver demostración en la bibliografía que
orienta el programa de la asignatura).
Para el caso de modelos de efectos aleatorios se puede concluir que:
Hipótesis Región Crítica
H0: σw = 0 F ≥ Fα;(r – 1 ; rc – r)
H0: σ1 = 0
A modo de recordatorio le brindamos algunos puntos fundamentales en cuanto a
los estimadores insesgados así como algunas de las propiedades que estos
poseen, se le debe recordar al lector que debido al alcance y contenido de este
material de estudio complementario no se incluyen las demostraciones de
algunas fórmulas, así como las propiedades de sus elementos, por lo que el
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
39
2008-2009
lector deberá de profundizar en caso que desee estos temas en otras
bibliografías del programa de la asignatura.
El muestreo simple aleatorio garantiza en la mayoría de los casos la
representatividad de la muestra siempre que el tamaño de muestra sea lo
suficientemente grande. La estimación basada en una muestra será mejor, más
exacta mientras mayor sea el tamaño de la muestra. Para un tamaño de muestra
fijo, la mejor estimación será la que provenga del mejor estimador si tenemos
más de uno.
Generalmente, existe siempre más de un estimador de un parámetro, por lo que
en la teoría de la estimación se estudian propiedades de los estimadores que
permiten seleccionar entre varios estimadores de un mismo parámetro, el mejor.
Es costumbre denotar el estimador de un parámetro mediante la letra o símbolo
del parámetro con un acento circunflejo ¨^¨. Así un estimador de se denota ˆ
3.4 Propiedades deseables de los estimadores.
Una propiedad deseable de los estimadores de un parámetro es que la media de
sus posibles valores esté lo más próxima posible al parámetro a estimar.
Estimador insesgado: Se llama así a aquel estimador cuya media (media de su
distribución muestral) es igual al parámetro que estima.
Por ejemplo: la media muestral x en el muestreo simple aleatorio, es un
estimador insesgado de la media poblacional μ puesto que la media de la
distribución muestral de x es μ, o sea, X
.
Otra propiedad deseable es que los valores que toma el estimador estén lo más
próximo posible al valor del parámetro, o lo que es lo mismo, que estén cercanos
a su media en el caso de estimador insesgado ya que esta coincide en tal caso
con el parámetro.
Como la varianza de un estimador es una medida de la magnitud de las
diferencias entre los valores del estimador y su media, resulta también una
medida de la eficiencia de un estimador insesgado.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
40
2008-2009
Estimador eficiente (de un parámetro θ): Se llama así a aquel estimador
insesgado de θ que en comparación con otros estimadores insesgados de θ
tiene la menor varianza, o sea, es el estimador insesgado de menor varianza
entre los estimadores insesgados del parámetro θ.
Ejemplo:
n
i
i
n
xx
1
como estimador de la media poblacional μ.
2S =n
i
i
n
xx
1
2
1
)( no es un estimador insesgado de la varianza poblacional
σ2. Sin embargo.
s2 = n
i
i
n
xx
1
2
1
)( si es un estimador insesgado de la varianza poblaciona l σ2.
Es por eso que preferimos utilizar s2 en lugar de S2 como estimador de la
varianza poblacional σ2, sobre todo en casos de muestras pequeñas. Esta es
la razón también de que se llame a s2 varianza muestral en la teoría de
estimación.
En muestras grandes la diferencia entre los valores de S2 y s2 es
despreciable.
Para obtener una expresión de la otra basta usar la relación:
s2 = 2
1S
n
n
3.5 Región crítica.
En la medida en que el nivel de significación α sea lo más pequeño posible y el
valor de F induzca al rechazo de la hipótesis, mayor seguridad se tendrá de que
no todos los efectos del tratamiento son iguales, ya que si a pesar de fijar una
probabilidad pequeña de rechazar H0 bajo la suposición de que ella es válida, se
obtienen valores de F que la rechazan, ello es una prueba bastante fuerte para
considerar que dicho rechazo no es debido a un error, sino a la realidad. Sin
embargo, cualquiera sea el valor de α, si la prueba F no produce el rechazo se
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
41
2008-2009
puede pensar que ello es suficiente para aceptar que todos los tratamientos
tienen efectos iguales, pero con esta conclusión se debe tener cuidado ya que
como se conoce, en las pruebas de hipótesis existe el riesgo de un segundo
error que consiste en no rechazar H0 cuando realmente ella es falsa.
Solo el conocimiento de la probabilidad de cometer este segundo error puede
dar cierta seguridad de la aceptación de H0. Si se conociese que esta
probabilidad es un número pequeño, ello garantiza que se acepte H0 con
bastante seguridad. En la práctica, la probabilidad del error de aceptar H0 siendo
falsa es desconocido y su cálculo es solo aproximado, por lo que cuando no se
rechace no se está afirmando que se acepte sino que no se tiene suficiente
información como para rechazarla.
3.6 Comparación de Parejas de Medias de Tratamientos
A menudo se dan los casos en que el investigador necesita comparar todas las
parejas de medias de tratamientos, por lo que las hipótesis nulas que se desean
prueban son H0: μi = μj, para toda i ≠ j. A continuación se presentan cuatro
métodos para realizar estas comparaciones.
Método de la Mínima Diferencia Significativa (LSD, del inglés least significant
different)
Supóngase que después de haber rechazado la hipótesis nula, con base en una
prueba F de análisis de varianza, se desea probar H0: μi = μj, para toda
i ≠ j. Esto puede hacerse empleando el estadígrafo t:
ji
ji
nnSS
YYt
11*
2
Suponiendo una hipótesis alterna bilateral, la pareja de medias μ i y μ j se
consideran diferentes si | YYi - | > LSD. La cantidad
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
42
2008-2009
LSD = tα/2;r(c - 1)
ji nnSS
11*
2
se denomina mínima diferencia significativa. Si el diseño es balanceado,
entonces n1 = n2 =…. nr = nc y
LSD = tα/2;r(c - 1)
)(2 *
2
c
SS
Para usar el procedimiento de la LSD, simplemente se comparan las diferencias
observadas entre cada par de promedios con el valor correspondiente de la
LSD. Si | YYi - | > LSD se concluye que las medias poblacionales μi y μj son
diferentes.
Comentario sobre la prueba
Hay que hacer algunos comentarios con relación a este procedimiento. Debe
notarse que al usar este método, el nivel de α se puede incrementar en forma
considerable. Específicamente a mediad que r aumenta, el error tipo I del
experimento se hace grande (o sea la razón del número de experimentos en los
que al menos se comete un error tipo I al número total de experimentos). En
ocasiones se encuentra que el método de la LSD falla al determinar alguna
diferencia significativa por pares, a pesar de que el estadígrafo F de análisis de
varianza de la prueba es significativo. Esto sucede porque la prueba de F
considera simultáneamente todas las posibles comparaciones entre las medias
de los tratamientos y no sólo las comparaciones por pares.
Prueba de Intervalos Múltiples de Duncan. Un procedimiento usado
ampliamente para comparar todas las parejas de medias es el de la prueba de
intervalos múltiples desarrollada por Duncan (1955). Para aplicar dicha prueba
en muestras del mismo tamaño, se disponen en orden ascendente los r
promedios de tratamientos y se determina el error estándar de cada promedio,
usando:
c
SSS
iY
*
2=
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
43
2008-2009
Para muestras de diferentes tamaños, c se debe reemplazar por la media
armónica ca de ci en la ecuación anterior.
ca = r
i ic
r
1
1
Hay que notar que ca = c si c1 = c2 = ……= cr. A partir de la tabla de intervalos
significativos de Duncan, se obtienen los valores rα;(p,f), para p = 2, 3, ….., r, en
donde α es el nivel de significación y f es el número de grados de libertad del
error (c(r - 1)).
Estos intervalos deben de transformarse en un conjunto de r – 1 mínimos
intervalos significativos (es decir Rp) para p = 2, 3, ….., r, calculando:
Rp =[ rα;(p,f)]iY
S
A continuación, se prueban las diferencias observadas entre las medias,
comenzando por el valor más alto contra el más pequeño, comparando esta
diferencia con el intervalo mínimo significativo Rr. Después se calcula la
diferencia entre el valor más alto y el segundo más pequeño y se compara con el
intervalo mínimo significativo Rr – 1. Este procedimiento continúa hasta que todas
las medias han sido comparadas con la media más grande. Luego la segunda
diferencia más grande y la más pequeña se calcula y se compara contra el valor
del intervalo mínimo significativo Rr – 1. Este proceso continúa hasta que han sido
consideradas las diferencias entre todos los r(r - 1)/2 posibles pares. Si una
diferencia observada es mayor que el intervalo mínimo significativo
correspondiente, se concluye que la pareja de medias en cuestión es más
significativamente diferente. Para evitar contradicciones, ninguna diferencia
entre una pareja de medias se considera significativa si las dos medias se
encuentran entre otras dos que no difieran significativamente.
Comentario sobre la prueba
A medida que le número de medias incluidas en el grupo aumenta, la prueba de
Duncan requiere una diferencia observada más grande para detectar parejas de
medias significativamente diferentes. Cuando se comparan dos medias
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
44
2008-2009
separadas en p pasos, el nivel de protección es (1 - α)p -1 en donde α es el nivel
de significación especificado para dos medias adyacentes. Así, el nivel del error
de informar al menos una diferencia significativa incorrecta entre dos medias
cuando el tamaño del grupo es p, será igual a 1 – (1 - α)p -1.
Por lo general, si el nivel de protección es α, las pruebas sobre las medias tienen
un nivel de significación mayor o igual que α. En consecuencia, el procedimiento
de Duncan es muy eficiente para detectar diferencias entre medias cuando estas
diferencias en realidad existen. Esta es la razón por la cual la prueba de
intervalos de Duncan es muy utilizada.
Prueba de Newman-Keuls. Esta prueba fue diseñada por Newman en 1939.
Keuls (1952) generó un nuevo interés en la prueba de Newman y por ello el
procedimiento se conoce como la prueba de Newman-Keuls. Desde el punto de
vista operacional, este procedimiento es similar a la prueba de intervalos
múltiples de Duncan, excepto que las diferencias críticas entre las medias son
calculadas de una manera diferente. Específicamente se calcula un conjunto de
valores críticos:
Kp =[ qα;(p,f)]iY
S p = 2, 3, …., r
en donde qα;(p,f) es el punto porcentual superior de tamaño α del intervalo
studentizado¨ para grupos de medias de tamaño p y f grados de libertad del
error. El rango ¨ studentizado¨ se define mediante:
q =
c
SS
YY mínmáx
*
2
en donde máxY y mínY corresponden a las medias máxima y mínima,
respectivamente, en el grupo de p medias muestrales. Una vez que los valores
de Kp se calculan, los pares extremos de medias en grupos de tamaño p se
comparan con Kp.
Comentario sobre la prueba
La prueba de Newman-Keuls es más conservadora que la de Duncan en el
sentido en que la razón del error tipo I es menor. Específicamente el error tipo I
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
45
2008-2009
del experimento es α para todas las pruebas que tienen el mismo número de
medias. En consecuencia, el poder de la prueba de Newman-Keuls, es menor
que el de la de Duncan porque generalmente α es menor. Comparando las
tablas que se usa para la prueba de Duncan y las que usa la prueba de
Newman-Keuls, se puede considerar que es ¨ más difícil ¨ decir que dos medias
son significativamente diferentes al usar la prueba de Newman-Keuls que
usando el procedimiento de Duncan.
Prueba de Tukey
Tukey (1953) propuso un procedimiento de comparación múltiple que también
está basado en los intervalos. Su procedimiento requiere el uso de qα;(r,f) para
determinar el valor crítico de todas las comparaciones por pares,
independientemente de cuántas medias estén en un grupo. Así, la prueba de
Tukey declara dos medias significativamente diferentes si el valor absoluto de
sus diferencias muestrales excede:
Tα = [qα;(r,f)]iY
S
Comentario sobre la prueba
La prueba de Tukey tiene un nivel de error tipo I de α para todas las
comparaciones por pares con base en cada experimento. Esto es más
conservador (un nivel de error tipo I menor) que la prueba de Newman-Keuls o la
de Duncan. En consecuencia, la prueba de Tukey tiene menos poder que el
procedimiento de Duncan o la de Newman-Keuls.
¿Qué método usar?
Desafortunadamente no existe una respuesta clara y simple a esta pregunta y, a
menudo, muchos estadísticos profesionales no están de acuerdo en cuanto a la
utilidad de estos procedimientos. Carmen y Swanson (1973) hicieron estudios de
simulación en Montecarlo con diferentes procedimientos de comparación
múltiple, incluyendo algunos que no se analizan aquí. Concluyeron que el
método de mínima diferencia significativa es una prueba muy eficiente para
detectar diferencias verdaderas en las medias si se aplica hasta después que la
prueba de F del análisis de varianza ha sido significativa en un 5%. También
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
46
2008-2009
informan un buen desempeño para detectar diferencias reales usando la prueba
de intervalos múltiples de Duncan. Esto no debe sorprender ya que estos dos
métodos son los mejores que se han analizado. La prueba de intervalos
múltiples de Duncan también está disponible en muchos paquetes de programas
de computadora para el análisis de varianza. Debe ser satisfactoria en muchas
aplicaciones generales.
En este material la prueba que se va a utilizar es la de Duncan.
EJERCICIOS RESUELTOS:
5- En una Tesis de Diplomado realizada por una estudiante de quinto año de
Ingeniería Civil de la UCLV, se hizo mediciones sobre las velocidades de los
transportes que pasan por la curva ubicada después de la parada de la guagua
de la R-3, con una pistola láser situada en nueve puntos de interés de la curva
(ver figura). Uno de los objetivos de estas mediciones era probar que no era
necesario situarse en los nueve puntos de la curva para medir las velocidades
sino que situándose en cualquier punto de la curva se iba a obtener casi las
mismas velocidades sin mucha variabilidad.
Si se supone que los datos cumplen los requisitos de normalidad, igualdad de
varianzas e independencia, diga si hay diferencia significativa entre los puntos
de la curva, empleando un α = 0.05
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
47
2008-2009
REPLICAS
TRATAM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Σ
1 67 61 60 62 66 85 65 62 65 68 60 62 70 79 71 70 78 63 61 66 67,05 =>1Y
2 62 63 77 65 84 80 66 69 70 79 66 69 70 68 64 70 63 71 65 76 69,85 =>2Y
3 66 67 74 75 62 61 68 70 70 77 67 66 67 64 71 76 72 68 62 65 68,4 => 3Y
PC 71 70 76 62 68 74 70 70 78 79 79 55 74 67 66 72 64 65 61 68 69,45 => 4Y
PM 80 66 63 65 64 61 62 69 63 71 68 74 68 71 76 75 73 67 71 76 69,15 => 5Y
PT 74 63 63 62 80 60 76 67 70 69 65 71 65 77 76 70 76 67 62 62 68,75 => 6Y
7 80 71 67 72 72 63 60 60 70 75 75 63 70 73 71 73 77 60 74 62 69,4 => 7Y
8 78 63 73 70 65 63 75 74 76 79 75 63 76 60 65 72 71 71 67 70 70,3 => 8Y
9 67 71 63 67 56 74 73 65 66 65 66 76 72 66 71 66 66 63 73 79 68,25 => 9Y
68,95555556 =>Y
Respuesta
Como se desea obtener una conclusión válida, respecto a estos nueve puntos
de la curva y se han tomado muestras de cada uno de ellos, el modelo es de
efectos fijos.
Hipótesis Región Crítica
H0: w1 = w2 …. = w9 = 0. F ≥ Fα;(r – 1 ; rc – r)
H1: Al menos uno de los w i 0.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
48
2008-2009
Tabla de Análisis de Varianza (ANOVA)
Fuente
De
Variación
Suma
De
Cuadrados
Grados
De
Libertad
Cuadrado
Medio Valor F
Entre niveles SS3=
r
i
i YYc1
2
SS3 = 151.344444
r – 1
9 – 1 = 8 1
3*
3r
SSSS
F =
*
2
*
3
SS
SS
Dentro de
Niveles
SS2
=r
i
iij
c
j
YY1
2
1
SS2 = 5914.3
r(c – 1)
9(20 – 1) =
171 )1(
2*
2cr
SSSS
Total SS = SS2 + SS3
SS = 6065.644444 rc -1= 179
1
*
rc
SSSS
r => Tratamientos.
c => Número de réplicas por tratamiento.
F =*
2
*
3
SS
SS Fα;(r – 1 ; rc – r)
F = 0.54698 F0.05;(8 ; 171) = 1.98
F < Fα;(r – 1 ; rc – r)
0.54698 < 1.98 No se rechaza H0
R/ Se puede concluir diciendo que las velocidades tomadas en los nueve puntos
no difieren significativamente, con un α = 0.05.
6-En la Empresa de Cerámica Roja ubicada en Piedra Blanca, de la provincia de
Holguín, presentaba problemas de resistencia a la compresión en la producción
de ladrillos en el año 200. Se seleccionó al azar 5 lotes de ladrillos cocidos y se
les aplicó una prueba de resistencia a la compresión.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
49
2008-2009
Lote 1 11.7 12.2 11.9 12.5 12.1
Lote 2 11.3 11.8 12.1 11.5 11.2
Lote 3 12.5 12.7 12.2 12.3 12.5
Lote 4 12.2 11.9 12.8 12.3 11.7
Para investigar esta situación, se seleccionó aleatoriamente muestras de cada
lote y para aplicarles la prueba de resistencia a la compresión.
Decida con un nivel de significación de 0.05, si los lotes difieren
significativamente, de ser posible identifique cuál de ellos es y justifíquelo
estadísticamente. Se supone que se cumplen los requisitos de normalidad e
independencia.
Respuesta
Como se escogió una cantidad de lotes al azar de una producción de lotes
sumamente grandes y se desea llevar la conclusión del mismo a los demás lotes
el modelo es de efectos aleatorios.
Xi => Resistencia de los ladrillos a la compresión.
Debido a las consideraciones hechas, se nota la ausencia de uno de los
supuestos para aplicar el análisis de varianza, el de igualdad de varianzas.
Primero se comprueba este supuesto.
Hipótesis Región Crítica
H0: 2
4
2
3
2
2
2
1 === σσσσ g ≥ gα; (n,k)
H0: Al menos una de las varianzas difiera del resto.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
50
2008-2009
Tratamientos Réplicas
1 2 3 4 5 Σ
Lote 1 11.7 12.2 11.9 12.5 12.1 12.08 =>1Y
Lote 2 11.3 11.8 12.1 11.5 11.2 11.58 =>2Y
Lote 3 12.5 12.7 12.2 12.3 12.5 12.44 => 3Y
Lote 4 12.2 11.9 12.8 12.3 11.7 12.18 => 4Y
12.07 =>Y
Aplicamos el criterio de Cochran
g = 2
4
2
3
2
2
2
1
2
4
2
3
2
2
2
1
+++
),,,(
SSSS
SSSSmáx
c
j
ij
in
YX
1
c
j
iij
ic
YYs
1
2
2
1
)( -
2
1s =0.092 2
3s = 0.038
2
2s = 0.137 2
4s = 0.177
g = 177.0+038.0+137.0+092.0
177.0= 0.399 g0.05 ; (5,4) = 0.6287
g < gα; (n,k)
0.399 < 0.6287
R/ No se rechaza H0, por tanto los 4 lotes poseen igual variabilidad en la
resistencia de los elementos. Se le puede aplicar el análisis de varianza.
Hipótesis Región Crítica
H0: 2
Wσ = 0 F ≥ Fα;(r – 1 ; rc – r)
H0: 2
Wσ ≠ 0
Tabla de Análisis de Varianza (ANOVA)
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
51
2008-2009
Fuente
De
Variació
n
Suma
De
Cuadrados
Grados
De
Libertad
Cuadrado
Medio Valor F
Entre
niveles
SS3=r
i
i YYc1
2
SS3 = 1.5568
r – 1
4 – 1 = 3 1
3*
3r
SSSS
F = *
2
*
3
SS
SS
Dentro
de
Niveles
SS2 =r
i
iij
c
j
YY1
2
1
SS2 = 1.776
r(c – 1)
4(5 – 1) = 16 )1(
2*
2cr
SSSS
Total SS = SS2 + SS3
SS = 3.3328 rc -1= 19
1
*
rc
SSSS
r => Tratamientos.
c => Número de réplicas por tratamiento.
F =*
2
*
3
SS
SS Fα;(r – 1 ; rc – r)
F = 5.844 F0.05;(3 ; 16) = 1.98
F < Fα;(r – 1 ; rc – r)
5.844 > 3.24 Se rechaza H0
R/Si hay diferencias significativas en la resistencia de los lotes
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
52
2008-2009
Prueba de intervalos múltiples de Duncan
Orden normal Orden ascendente
1Y = 12.08 2Y = 11.58
2Y = 11.58 1Y = 12.08
3Y = 12.44 4Y = 12.18
4Y = 12.18 3Y = 12.44
Error estándar de los promedios
c
SSS
iY
*
2 =5
111.0=0.149
Rango mínimo significativo
Rp =[ rα;(p,f)]iY
S f = c(r – 1) = 5(3) = 15
R2 = r0.05;(2,15)0.149 R3 = r0.05;(3,15)0.149 R4 = r0.05;(4,15)0.149
R2 = 3.01 x 0.149 R3 = 3.16 x 0.149 R4 = 3.25 x 0.149
R2 = 0.44849 R3 = 0.47084 R4 = 0.48425
Comparaciones
3 vs 2: 3Y - 2Y = 12.44 – 11.58 = 0.86 > R4 = 0.48425
3 vs 1: 3Y - 1Y = 12.44 – 12.08 = 0.36 < R3 = 0.47084
3 vs 4: 3Y - 4Y = 12.44 – 12.18 = 0.26 < R2 = 0.44849
4 vs 2: 4Y - 2Y = 12.18 – 11.58 = 0.60 > R3 = 0.47084
4 vs 1: 4Y - 1Y = 12.18 – 12.08 = 0.10 < R2 = 0.44849
1 vs 2: 1Y - 2Y = 12.08 – 11.58 = 0.5 > R2 = 0.44849
R/ Hay tres parejas de medias que difieren significativamente que son:
3 vs 2, 4 vs 2, 1vs 2.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
53
2008-2009
EJERCICIOS PROPUESTOS
3- Tres observadores realizan un conteo en la misma intersección y en el mismo
horario. Se desea verificar el hecho de no hay diferencias significativas entre los
observadores. Use un α = 0.05
Observador 1 22 25 32 18 23 15 30 27 19 23
Observador 2 19 22 18 29 28 32 17 33 28 20
Observador 3 30 29 25 24 15 27 30 27 18 32
4- Se realizaron estudios de velocidad media de una longitud de 500 m sobre
seis vías de la red principal de la ciudad en la hora pico. Se desea determinar si
existen diferencias entre las vías para posibles restricciones a su velocidad y
conocer entre cuales son las diferencias. (Análisis de Varianza)
DIAS VELOCIDAD (Km/h)
Via 1 Via 2 Via 3 Via 4 Via 5 Via 6
Lunes 22.81 20.91 19.39 21.43 23.88 28.20
Martes 25.07 27.83 21.60 14.92 25.95 30.79
Miércoles 23.25 18.04 19.88 20.83 21.54 28.49
Jueves 22.24 19.07 11.90 19.13 26.99 29.23
Viernes 17.51 19.49 20.95 24.12 30.02 25.28
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
54
2008-2009
4.0 CORRELACION Y REGRESION LINEAL
Introducción
Otra de las posibles vías de análisis de los resultados es determinar una
ecuación que permita describir la relación existente entre los factores estudiados
y poder predecir el comportamiento de la variable respuesta ante las nuevas
condiciones que se plantean. Las técnicas asociadas a la solución de esta
problemática tienen que ver con lo que se conoce como ―Análisis de Regresión
y Correlación‖.
En muchos problemas hay que establecer y estimar una dependencia entre una
variable aleatoria ―y‖ a estudiar respecto de una o varias variables aleatorias.
Dos variables aleatorias pueden estar relacionadas por una dependencia
funcional (por ejemplo: la función de distribución de probabilidad) o bien por una
dependencia de otro género, llamada estadística, o pueden ser independientes.
Raramente se realiza una dependencia funcional rigurosa porque ambas
magnitudes o una de ellas están expuestas a la acción de factores aleatorios.
Existen dos aspectos distintos, pero relacionados, del estudio de la asociación
entre variables. Un primer aspecto del análisis de asociación se conoce como
análisis de correlación el cual se ocupa de determinar el ―grado de relación‖
entre las variables. En el análisis de correlación la designación de las variables
dependiente e independiente es una elección estrictamente personal y no tiene
significación práctica.
El segundo aspecto se llama análisis de regresión que trata de establecer la
forma de relación entre las variables, es decir, en el análisis de regresión
estudiamos la relación funcional entre las variables, de modo que podamos
predecir el valor de una con base en otra u otras. Convencionalmente la variable
o variables que son la base de la predicción se llaman variable o variables
independientes y la variable que se va a predecir se denomina variable
dependiente.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
55
2008-2009
4.1 Correlación lineal
Estimación del coeficiente de correlación.
En los problemas en que están presentes dos o más variables, lo ideal para
investigar una relación entre ellas es poder disponer de la función de distribución
conjunta, pero en la práctica, esta se desconoce generalmente. Así, pues se
deben utilizar aquellas medidas numéricas inherentes a las distribuciones
conjuntas, que puedan servir para explicar la relación funcional lineal entre dos
variables, una de estas medidas, es el coeficiente de correlación ρXY del que se
conoce que si ρXY ≈ 1, entonces, la relación existente entre X y Y es
aproximadamente lineal.
Como se dijo anteriormente ρXY, en general no se conoce puesto que es
desconocida la distribución conjunta, por tanto, para tener algún conocimiento
acerca de de ρXY hay que utilizar algún procedimiento análogo de estimación, tal
como los que se utilizan para estimar μ = E(X) o σ2 = V(X), a través de X o de
s2 por medio de los datos de la muestra. Como estimador de ρXY se utiliza la
expresión rxy donde rxy = n
i
i
n
i
i
n
i
ii
YnYXnX
YXnYX
1
22
1
22
1
Para realizar el cómputo de rxy se construye una tabla como la que sigue
X Y X2 Y2 XY
X1 Y1 2
1X 2
1Y X1Y1
X2 Y2 2
2X 2
2Y X2Y2
. . . . .
. . . . .
Xn Yn 2
nX 2
nY XnYn
Total Σ Xi Σ Yi Σ 2
iX Σ 2
iY Σ XiYi
A partir de esta tabla se obtienen los valores
n
XX i 2X 2Xn
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
56
2008-2009
n
YY i 2Y 2Yn YX
De manera análoga a cuando se estima μ mediante la medida muestral X , se
obtienen diferentes valores de X , para diferentes muestras, pero de manera tal
que X , se aproxima a μ al aumentar el tamaño de la muestra, también ocurre
que rxy sirve para estimar ρXY y el grado de precisión de esta estimación
aumenta considerablemente cuando la muestra es grande, siendo para valores
pequeños del tamaño de muestra muy imprecisa, debido a que la distribución del
estadígrafo rxy es muy asimétrica, lo cual tiene como consecuencia, que no haya
una adecuada concentración de los valores rxy alrededor del parámetro ρXY.
4.2 Diagrama de dispersión.
Con el objetivo de ilustrar la forma en que se procede a estudiar la relación entre
dos variables se representan las parejas de valores (X,Y) en un plano de ejes
de coordenadas X,Y y así se obtiene un gráfico que recibe el nombre de
Diagrama de dispersión.
El valor de rxy está estrechamente ligado con dicho diagrama. Para poder
comprender mejor esto observe esta figura
Si se observan estos gráficos se podrá apreciar que en los diagramas b), c) y d)
la relación lineal se acentúa cada vez más mientras que en los otros no es así.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
57
2008-2009
Con este ejemplo solo se ha tratado de destacar que el coeficiente de
correlación es una mediad útil del grado de relación solo cuando las variables
estén relacionadas linealmente.
Si el lector pudiera observar estos gráficos por el reverso de la página pudiera
comprobar que las dispersiones tenderían a mostrarse inclinadas hacia abajo en
lugar de hacia arriba. Los cálculos de rxy para las dispersiones resultantes serían
en caso los negativos valores representados.
Luego, el grado de la relación está dado por la magnitud de r, mientras que el
signo de r nos indica el sentido del cambio, es decir, indica si el valor de Y
tiende a crecer o a decrecer con respecto a X. Si el signo es positivo significa
que varían en el mismo sentido y si es negativo significa que varían en
sentido contrario.
4.3 Problemas en la correlación lineal
El primer problema de la teoría de la correlación consiste en establecer la forma
del enlace de correlación y está orientado a determinar el tipo de función de
regresión (lineal, cuadrática, exponencial, etc.). En dependencia del tipo de
función de regresión que permite modelar el problema se habla de regresión
lineal o no lineal. El caso más frecuente es la regresión lineal por lo sencillo que
resultan las valoraciones y predicciones que se derivan de este modelo.
El segundo problema de la teoría de la correlación es estimar la estrechez
(fuerza) del enlace de correlación. Esta estrechez entre las variables se describe
por el coeficiente de correlación, denotado comúnmente por r, que satisface las
propiedades siguientes:
7- El valor de r está en el intervalo -1 r 1.
1. El valor de r es 1 o -1 si todos los puntos se encuentran en la función de
regresión.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
58
2008-2009
4.4 Interpretación de r
Debemos plantear que si algún concepto estadístico se usa y abusa de él es el
del coeficiente de correlación. La interpretación del coeficiente de correlación
como medida del grado de dependencia funcional entre las variables es
matemáticamente pura y está completamente desprovista de implicaciones de
causa y efecto. Es posible encontrar parejas de variables con un alto coeficiente
de correlación y que no se deba realmente a una estrecha relación entre ellas,
sino al efecto común de una tercera variable y entonces este alto valor del
coeficiente de correlación refleja solo este efecto común.
Los coeficientes de correlación se deben manejar con sumo cuidado porque de
no ser así puede llevarnos a conclusiones que pueden ser totalmente erróneas.
Por lo tanto, para usarlos correctamente debemos conocer el campo donde se
está utilizando.
4.5 El análisis de regresión simple
En el análisis de regresión estudia, como se dijo anteriormente, la relación
funcional entre las variables de modo que se pueda predecir el valor de una con
base en otra.
Para realizar inferencias válidas se debe de suponer un modelo poblacional.
Para una población bivariante existen muchos modelos posibles que se pueden
construir para describir las variaciones de las dos variables. El modelo particular
que nos interesa en este momento se llama modelo de regresión lineal simple
que se elabora con el siguiente conjunto de supuestos.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
59
2008-2009
4.6 Supuestos del modelos de regresión lineal simple.
1. El valor de la variable dependiente Y, depende en cierto grado de la
variable independiente X. Se supone que la variable dependiente es una
variable aleatoria, pero se supone que los valores de X son cantidades
fijas que el investigador selecciona y controla. Sin embargo, el requisito
de que la variable independiente asuma valores fijos no es crítico. Se
pueden aún obtener resultados útiles por el análisis de regresión en el
caso en que X como Y sean aleatorias.
2. Se puede describir en forma adecuada la relación media entre X y Y por
una ecuación lineal cuya representación geométrica es una línea recta, La
altura de la línea nos da el valor medio de Y para un valor fijo de X.
Cuando X = 0 el valor medio de Y es igual a β0. El valor de β0 se llama
ordenada en el origen, puesto que es el punto que la línea recta corta al
eje Y. La pendiente de la línea se mide por β1, que da la cantidad media
de cambio de Y por unidad de cambio en el valor de X. El signo de β1
también indica el tipo de relación entre Y y X.
3. Existe una subpoblación de Y asociada con cada valor de X. Se puede
suponer que la distribución de Y es normal o no especificada en el sentido
de que es desconocida. De todos modos, la distribución de cada
subpoblación de Y está condicionada al valor de X.
4. Un valor Y dado en cada subpoblación se puede expresar como:
Yi = β0 + β1Xi + εi i = 1, 2,……, n
en donde ε es la desviación del valor particular de Y con relación a la
ecuación de regresión y se le llama término de error o término de
perturbación estocástico. Se supone que los errores son variables
aleatorias no correlacionadas. La esperanza matemática de estos errores
es 0, E(ε) = 0. Además, si las Y son variables normales, se puede
suponer que el término de error es normal.
5. Finalmente suponemos que las varianzas de todas las subpoblaciones
son idénticas, es decir:
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
60
2008-2009
222
2
2
1 ... n
La relación entre X y Y no es exactamente lineal, o sea, del tipo Y = mX + b, sino
tan solo aproximada, sin embargo, se puede postular que como tendencia los
valores de (X,Y) alrededor de una determinada recta desconocida por el
momento, esto quiere decir que, en la práctica, no se va a obtener el valor de Y
exactamente, sino que por diversas causas aleatorias, ajenas a la voluntad del
investigador, lo que se obtiene es una relación lineal entre el valor esperado de
Y, para valores prefijados de X de la forma:
E(Y/X) = β0 + β1X
Donde β0 y β1 son determinadas constantes (parámetros de la dependencia
lineal) y E(Y/X) se interpreta como el valor esperado de Y para un valor
prefijado de X. A la ecuación de la recta E(Y/X) = β0 + β1X se le conoce con el
nombre de ecuación de la recta de regresión de Y respecto a X.
Estimación de los coeficientes de regresión por el método de los mínimos
cuadrados.
Anteriormente se explico que la ecuación de la recta de regresión de Y respecto
a X es:
Yi = β0 + β1Xi + εi i = 1, 2,……, n
El interés ahora radica ahora en obtener β0 y β1, ya que εi se desconoce en la
ecuación y de hecho es imposible conocerla de antemano, por cuanto varía para
cada observación, no obstante β0 y β1 son constantes pero tampoco se pueden
hallar los valores exactos, a menos que se examinen todos los valores de X yY,
lo que prácticamente es imposible, sin embargo, se puede utilizar la información
que brinda la muestra para obtener las estimaciones de b0 y b1 de β0 y β1. Por
tanto, se puede escribir XbbY 10
donde Y
representa el valor esperado o
pronosticado de E(Y/X) para un valor de X, cuando se conocen b0 y b1.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
61
2008-2009
Aquí en el gráfico por problemas en el dibujo no se puedo insertar ε, es decir las
ei que aparecen en el gráfico corresponden a ε. Se denotará por ε1, ε2, …. εn las
distancias desde los puntos del diagrama de dispersión hasta la recta, en la
forma indicada en el gráfico; y se define a Sc de la forma
22
3
2
2
2
1 ...... ncS
Para determinar la línea recta XbbY 10 más cercana a los puntos del
diagrama, se deben calcular los coeficientes b0 y b1 de manera tal que la
cantidad Sc alcance su valor mínimo. En esto precisamente se resume el
llamado método de los mínimos cuadrados.
Al hacer una solución del cálculo diferencial dSc/db0 = 0 y dSc /dS1 = 0 se
obtiene:
b1 = n
i
i
n
i
ii
XnX
YXnYX
1
22
1 esto es lo mismo que: b1 = n
i
i
n
i
ixy
XX
YYr
1
2
1
2
b0 = XbY 1
a partir de lo cual se obtienen las consecuencias siguientes.
Si rxy = 0, b1 = 0, la mejor recta de regresión es Y = Y .
Si rxy > 0, b1 > 0, pendiente positiva.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
62
2008-2009
Si rxy < 0, b1 < 0, pendiente negativa.
A las diferencias entre Yi y iY se les llama residuos de regresión, de aquí que
la sumatoria de todos estos residuos deben dar aproximadamente 0.
Por demostraciones de ecuaciones se puede obtener:
n
i
i YY1
2=> Suma de cuadrados del error total o suma de cuadrados respecto
a la media (S.C.T)
n
i
ii YY1
2ˆ => Suma de cuadrados de los residuos debido a la regresión o suma
de cuadrados respecto a la regresión (Sc).
n
i
i YY1
2ˆ => Suma de cuadrados explicada por la regresión (SC Reg.)
Ahora en forma de resumen se presenta una tabla con el procedimiento de
cálculo de S.C.T, SC Reg y Sc.
Tabla del Análisis de Varianzas cuando no existen réplicas
Fuente de
variación
Suma de Cuadrados Grados de
Libertad
Cuadrado
Medio
Razón F
Con respecto
a la regresión SC Reg. =
n
i
i YY1
2ˆ
1 CMR =
1
RegSC
FR = 2
xy
R
S
CM
Con respecto
a los residuos Sc =
n
i
ii YY1
2ˆ
n - 2
2
2
n
SS c
xy
Con respecto
a la media
total
S.C.T = Sc + SC Reg. n - 1
Las hipótesis son:
H0: E(Y/X) = β0 + β1X
H1: No existen β0 y β1 tal que E(Y/X) = β0 + β1X
Y la región crítica es:
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
63
2008-2009
FR ≥ Fα;(1,n-2)
Otra información que podemos obtener de la identidad de las sumas de
cuadrados es la referente a la proporción de la variación total explicada por
medio de la regresión y que se conoce como coeficiente de determinación
n
i
i
n
i
i
T
g
yy
yy
SC
SCR
1
2
1
2
Re2
ˆ
El ajuste es mejor mientras mayor este de la unidad el cociente de R2.
A este valor de R2 se acostumbra a dar en por ciento.
4.7Intervalos de confianza para la recta de regresión
El estadígrafo que se utiliza es:
n
i
i
xy
XX
XX
nS
XXbbT
1
2
2
1010
1
Donde Sxy es el estimador de σ.
Luego el intervalo de confianza para la recta de regresión es:
n
i
i
xyn
XX
XX
nStXbb
1
2
2
2;2/10
1
Por tanto:
LI( X ) = n
StXbb
xy
n 2;2/10
LS( X ) = n
StXbb
xy
n 2;2/10
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
64
2008-2009
4.7 Análisis de la falta de ajuste
Hasta ahora se ha considerado siempre un modelo lineal, o sea, que existe una
relación lineal entre la tendencia central de Y y los valores que pueda tomar una
variable X. Este modelo supuesto no uti lizarse sin un análisis previo de la
situación que se plantea, pues existen ocasiones en las que el modelo lineal
puede no ser e correcto.
Como idea importante se analiza el llamado error puro.
Se le denomina error puro a la suma total de las contribuciones de todas las
subpoblaciones y viene dada por:
S.C.E.P =
2
1 1
k
i
n
j
iij
i
YY
Los grados de libertad de esta suma de cuadrados son:
knk
i
i
1
= NEP
Se conoce que la suma de cuadrados, respecto a la regresión lineal, mide la
distribución en torno a un supuesto modelo lineal. Esta suma de cuadrados se
puede descomponer de la forma siguiente:
Sc = S.C.E.P + S.C.F.A
S.C.F.A => Representa la parte de la variabilidad residual debida a la falta de
ajuste, o sea, la dispersión debida a suponer que el modelo es lineal cuando
realmente no lo es
S.C.F.A = k
i
ii YYn1
2con k – 2 grados de libertad.
Según el teorema de Cochran, si una suma de cuadrados, con distribución
)(2 n , puede ser descompuesta en k sumas de cuadrados, de forma tal que la
suma de los grados de libertad de las sumas de los cuadrados es igual a los
grados de libertad de la suma (k
i
nn1
1 ), entonces cada suma de cuadrados
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
65
2008-2009
tiene distribución )(2
in y además son independientes. Las hipótesis a
contrastar con esta situación son:
H0: E(Y/X) = β0 + β1X
H1: No existen β0 y β1 tal que E(Y/X) = β0 + β1X
Bajo H0 se cumple que Sc tiene una distribución )(2
in , empleando entonces el
resultado de dicho teorema se obtiene que S.C.E.P y S.C.F.A, son
independientes y ambas tienen distribuciones Ji-cuadrado con NEP y (k - 2)
grados de libertad, respectivamente. Por tanto, se puede formar el estadígrafo:
FFA =
EPN
PECS
k
AFCS
...
2
...
Debe notarse que si H0 es cierta S.C.F.A. debe ser pequeña, mientras que si es
falsa, entonces ocurriría lo contrario. El denominador, sin embargo, no se afecta
por el hecho de que H0 sea cierta o no. Por tanto la región crítica que se debe
considerar tiene como desigualdad fundamental a :
FFA ≥ Fα;k-2, EPN donde el valor de Fα;k-2, EPN se determina empleando la
distribución de F.
Teniendo en cuenta esto último, la tabla del análisis de varianza cuando hay
repetición de observaciones, adopta la forma siguiente:
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
66
2008-2009
Tabla del Análisis de Varianza cuando hay réplicas
Fuente de
variación
Suma de Cuadrados Grados de
Libertad
Cuadrado
Medio
Razón F
Con respecto a
la regresión SC Reg.=
n
i
i YY1
2ˆ
1 CMR =
1
RegSC
FR = 2
xy
R
S
CM
Con respecto a
los residuos Sc =
n
i
ii YY1
2ˆ
n – 2
2
2
n
SS c
xy
Con respecto a
la falta de
ajuste
S.C.F.A = Sc – S.C.E.P k – 2 CMFA =
2
...
k
AFCS
FA = 2
EP
FA
S
CM
Con respecto al
error puro S.C.E.P=
2
1 1
k
i
n
j
iij
i
YY n – k
kn
PECSSEP
...2
Con respecto a
la media total
S.C.T = Sc + SC Reg.
n – 1
EJERCICIOS RESUELTOS
7- Un investigador desea hacer un estudio sobre la temperatura de las cámaras
de curado de la Fábrica de Traviesas de Santa Clara y la resistencia de los
elementos que salen de ellas. A continuación se brindan los datos
correspondientes:
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
67
2008-2009
Temp.
Cámaras
° C
Resistencia
a las 18 h.
Mpa
57 30.9
58 31.7
59 32.5
59 32.4
60 33.3
60 33.6
60 33.4
61 34.5
61 34.3
62 35.2
62 35.7
63 36.3
63 36.1
63 36.6
a) Diga si es probable una relación de tipo lineal con un nivel de significación
de 0.10.
b) Halle un intervalo de confianza del 90% para la ecuación de la recta en X
= X .
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
68
2008-2009
Respuestas
a) Hipótesis Región Crítica
H0: E(Y/X) = β0 + β1X FFA ≥ Fα;k-2,EPN
H1: No existen β0 y β1 tal que E(Y/X) = β0 + β1X
Como pudo darse cuenta el lector en los datos hay réplicas por lo que la tabla de
análisis de varianza que corresponde es la siguiente.
Tabla del Análisis de Varianza cuando hay réplicas
Fuente de
variación
Suma de Cuadrados Grados de
Libertad
Cuadrado
Medio
Razón F
Con respecto a
la regresión
SC Reg.= n
i
i YY1
2ˆ
SC Reg.= 42.8279
1 CMR =
1
RegSC
CMR = 42.8279
FR = 2
xy
R
S
CM Con respecto a
los residuos
Sc = n
i
ii YY1
2ˆ
Sc = 0.3458
n – 2
14 – 2 = 12
2
2
n
SS c
xy
2
xyS 0.02882
Con respecto a
la falta de
ajuste
S.C.F.A = Sc – S.C.E.P
S.C.F.A = 1.5775
k – 2
7 – 2 = 5
CMFA = 2
...
k
AFCS
CMFA = 0.3155
FA = 2
EP
FA
S
CM Con respecto al
error puro
S.C.E.P=
2
1 1
k
i
n
j
iij
i
YY
S.C.E.P = 41.2504
n – k
14 – 7 = 7
kn
PECSSEP
...2
2
EPS 5.8929
Con respecto a
la media total
S.C.T = Sc + S.C.E.P
S.C.T = 43.1737
n – 1
14 – 1 = 13
Σ 2
ix = 51412 x = 60.57 2x = 3668,7249 n 2x = 51362.1486
Σ 2
iy = 16259.85 y = 34.04 2y = 1158.7216 n 2y = 16222.1024
n
i
ii yx1
= 28906.6 x y = 2061.8028 n x y =28865.2392
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
69
2008-2009
rxy=n
i
i
n
i
i
n
i
ii
YnYXnX
YXnYX
1
22
1
22
1
rxy=1024.1622285.162591486.5136251412
2392.288656.28906= 0.9535
X Y
57 30.9
58 31.7
59 32.5
59 32.4
60 33.3
60 33.6
60 33.4
61 34.5
61 34.3
62 35.2
62 35.7
63 36.3
63 36.1
63 36.6
n
i
i YY1
2= 41.8324
n
i
i XX1
2= 47.4286
b1 = n
i
i
n
i
ixy
XX
YYr
1
2
1
2
= 4286.47
8324.419535.0= 0.8955
b0 = XbY 1
b0 = 34.04 – 0.8955(60.57)
b0 = -20.200
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
70
2008-2009
ii XbbY 10
578955.0200.201 xY
1Y
30.8435
2Y
31.739 3Y
32.6345 4Y
32.6345 5Y
33.53
6Y
33.53 7Y
33.53 8Y
34.4255 9Y
34.4255
10Y
35.321 11Y
35.321 12Y
36.2165
13Y
36.2165 14Y
3 36.2165
SC Reg.= n
i
i YY1
2ˆ = 42.8279
Sc = n
i
ii YY1
2ˆ = 0.3458
S.C.E.P =
2
1 1
k
i
n
j
iij
i
YY = 41.2504
S.C.F.A = Sc – S.C.E.P
S.C.F.A = 1.5775
S.C.T = Sc + S.C.E.P
S.C.T = 0.3458 + 42.8279
S.C.T = 43.1737
Fα;k-2, EPN => F0.10;(5,7) = 2.88 FFA = 0.0535
FFA < Fα;k-2, EPN
R/ No se rechaza H0 y con esto se acepta que la ecuación de regresión es de
tipo lineal, o sea:
E(Y/X) = β0 + β1X
b) b0 = XbY 1 x = 60.57
b0 = 34.04 – 0.8955(60.57) 2
xyS 0.02882
b0 = -20.200 Sxy = 0.1698
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
71
2008-2009
b1 = n
i
i
n
i
ixy
XX
YYr
1
2
1
2
= 0.8955
LI( X ) = n
StXbb
xy
n 2;2/10
LI( X ) = - 20.200 + (0.8955 x 60.57) – (t0.10/2;(14 – 2) x 14
1698.0)
LI( X ) = -20.200 + 54.240 – (1.782 x 0.0454)
LI( X ) = 33.96
LS( X ) = n
StXbb
xy
n 2;2/10
LS( X ) = - 20.200 + (0.8955 x 60.57) + (t0.10/2;(14 – 2) x 14
1698.0)
LS( X ) = 34.121
R/ El intervalo de confianza es (33.96; 34.121) para X= X , como X mide la
temperatura de las cámaras y Y mide la resistencia de los elementos a las 18
horas, se espera que para una temperatura igual a 60.57° la resistencia
promedio de los elementos que salen de las cámaras no se mayor de 34.121
Mpa ni menor de 33.96 Mpa.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
72
2008-2009
5.0 DISEÑO DE BLOQUES AL AZAR.
Introducción
En la práctica suele ocurrir, con bastante frecuencia, que no todas las unidades
experimentales con las que contamos para la realización del experimento sean
homogéneas (por ejemplo: los ensayos se realizan en laboratorios diferentes,
operarios diferentes en la realización del experimento, etc.) y es una limitante
para la realización de un diseño completamente al azar (DCA). Sin embargo,
existe la posibilidad de formar "bloques" de unidades experimentales
homogéneas, aunque ellos no sean homogéneos entre sí. El objetivo de realizar
esta tarea es poder eliminar del error experimental esta variación y lograr una
estimación más limpia de los efectos de los tratamientos.
Un Diseño en Bloques al Azar (DBA) es aquel que distribuye las unidades
experimentales en grupos o bloques de manera que cada una de las unidades
experimentales que lo conforman sean lo más homogénea posible y su número
igual a la cantidad de tratamientos que se comparan, distribuyéndose estos
tratamientos al azar entre las unidades experimentales. El modelo se basa en el
hecho de que cada observación de la variable o característica de interés se verá
afectada por un efecto debido a los tratamientos y otro efecto debido a los
bloques, además de un error aleatorio distribuido independientemente. La
representación de cada observación viene dada por:
ijjiij ey para i = 1, 2 ….. a y j = 1, 2…..b.
a => La cantidad total de tratamientos.
b => La cantidad de bloques.
μ => Media general.
αi => Es el efecto del i-ésimo tratamiento.
βi => Es el efecto del j-ésimo bloque.
eij => Error aleatorio.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
73
2008-2009
5.1 Análisis del modelo.
Cuando se realiza una observación en cada bloque, los datos se pueden
ordenar en una tabla. La elección de cómo colocar el bloque y el tratamiento en
la tabla no influye en los resultados que se derivan del ANOVA que se aplica en
este modelo, se puede hablar en forma general de fila y columna.
Tabla para organizar los datos.
BLOQUES
TRATAMIENTOS 1 2 … b
1 y11 y12 … y1b
2 y21 y22 … y2b
. . . …. .
. . . .
a ya1 ya2 … Yab
Sea iy el total de las observaciones del tratamiento i, jy el total de las
observaciones del bloque j, y el total de todas las observaciones, y N = ab el
número total de observaciones, entonces:
b
j
iji yy1
i = 1, 2, ….., a
a
i
ijj yy1
j = 1, 2, ….., a
a
i
b
j
a
i
b
j
jiij yyyy1 1 1 1
Luego:
SSTratamientos = N
y
b
ya
i
i
1
2
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
74
2008-2009
SSBloques = N
y
a
yb
j
j
1
2
SSTotal = a
i
b
j
ijN
yy
1 1
22
SSError = SSTotal - SSTratamientos - SSBloques
Tabla del Análisis de varianza para un diseño de bloques al azar.
Fuente
De
Variación
Suma
De
Cuadrados
Grados
De
Libertad
Cuadrado
Medio
Valor F
Tratamientos SSTratamientos =
N
y
b
y i
2
a – 1 MSTrat =1-a
SSTrat
F = Bloq
Trat
MS
MS
Bloques SSBloques =
N
y
a
y j
2
b – 1 MSBloq =1-b
SSBloques
Error SSE = (por diferencia) (a - 1)(b - 1) MSE =
11 ba
SSE
Total SSTotal =
N
yy ij
22 N – 1
E(MSTratamientos) = 1
1
2
2
a
ba
i
i
E(MSBloques) = 1
1
2
2
b
ab
i
i
E(MSE) = 2
Región Crítica
F ≥ Fα;a – 1,(a -1)(b - 1)
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
75
2008-2009
EJERCICIOS RESUELTOS
8 - En un laboratorio de materiales de la construcción se desean comparar 3
dosificaciones diferentes en la fabricación de tejas Tevi y ver su efecto a la hora
del desmolde de los elementos. Cada día se hacía una cantidad igual de mezcla
para cada dosificación de tejas; las observaciones representan la cantidad de
tejas rotas a la hora de desmoldarlas. Dichas observaciones se recopilaron
durante 4 días.
DIAS
Dosificación 1 2 3 4
1 2 1 4 3
2 1 3 3 1
3 2 4 3 2
Respuesta
Debido a que los días son una fuente de variabilidad potencial, el
experimentador debe decidir usar un diseño de bloques completamente al azar.
BLOQUES
TRATAMIENTOS 1 2 3 4 iy
1 2 1 4 3 10
2 1 3 3 1 8
3 2 4 3 2 11
jy 5 8 10 6 29 y
SSTratamientos = N
y
b
ya
i
i
1
2
N = a x b = 3 x 4 = 12
SSTratamientos = 71.25 - 12
292
SSTratamientos =1.1667
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
76
2008-2009
b
y i
2
= 4
11810222
= 71.25
SSBloques = N
y
a
yb
j
j
1
2
SSBloques = 75 - 12
292
SSBloques = 4.91667
a
y j
2
= 3
610852222
= 75
SSTotal = a
i
b
j
ijN
yy
1 1
22
SSTotal = 83 - 12
292
SSTotal = 12.91667
SSError = SSTotal - SSTratamientos - SSBloques
SSError = 12.91667 – 1.1667 – 4.91667
SSError = 6.8333
MSTrat =1-a
SSTrat = 13
1667.1= 0.58335
MSE =11 ba
SSE = 1413
8333.6= 1.138883
F = Bloq
Trat
MS
MS=
138883.1
58335.0= 0.5122
Fα;a – 1,(a -1)(b - 1) = 3.46
F < Fα;a – 1,(a -1)(b - 1)
R/ Se puede declarar con un nivel α = 0.10, que no hay efectos significativos
referente a las dosificaciones utilizadas.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
77
2008-2009
6.0 DISEÑOS FACTORIALES
Introducción.
Los diseños factoriales son ampliamente utilizados en experimentos en los que
intervienen varios factores para estudiar el efecto conjunto de éstos sobre una
respuesta. Puede mostrarse que en general los diseños factoriales son los
más eficientes para este tipo de experimentos. Por diseño factorial se entiende
aquel en el que se investigan todas las posibles combinaciones de los niveles de
los factores en cada ensayo completo o réplica del experimento.
Por ejemplo si existiesen a niveles del factor A y b niveles del factor B, entonces
cada réplica del experimento contiene todas las ab combinaciones de los
tratamientos. A menudo, se dice que los factores están cruzados cuando éstos
se arreglan en un diseño experimental.
El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta producida por un
cambio en el nivel del factor. Con frecuencia, éste se conoce como efecto
principal porque se refiere a los factores de interés primordial del experimento.
El diseño 22
Las observaciones en este tipo de diseño se pueden escribir de la siguiente
forma:
Yi jk = µ + τi + βj + (τβi j)+ εijk i = 1, 2, . . ., a
j = 1, 2, . . ., b
k = 1, 2, . . . n
µ = > es el efecto medio general.
τi = > es el efecto del i-ésimo nivel del factor renglón A.
βj = > es el efecto del j-ésimo nivel del factor columna B.
(τβij) = > es el efecto de la interacción entre τi y βj
εijk = > es el componente del error aleatorio.
Inicialmente se supone que ambos factores son fijos y que los efectos
tratamientos se definen como desviaciones de la media general. En un diseño
factorial de dos factores, tanto los factores (o tratamientos) de renglón como de
columna tienen la misma importancia. Específicamente el interés consiste en
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
78
2008-2009
probar hipótesis acerca de la igualdad de los efectos del tratamiento de renglón,
es decir,
H0: τ1 = τ1 = . . . = τa = 0
H1: al menos una de τ1≠ 0
y de la igualdad de los efectos de tratamiento de la columna
H0: β1 = β1 = . . . = β1 = 0
H1: al menos una de β1≠ 0
También es interesante determinar si los tratamientos de renglón y columna
interaccionan. En otras palabras, resulta conveniente probar:
H0: (τβ1)ij = 0
H1: al menos una (τβ1)ij ≠ 0
6.1 Análisis Estadístico del modelo de efectos fijos
El primer diseño de la serie 2k es aquel que tiene solo dos factores, A y B cada
uno con dos niveles. Este diseño se conoce como diseño factorial 22.
Arbitrariamente, los niveles del factor pueden llamarse ¨inferior¨ y
¨ superior¨. Por convención, el efecto de un factor se denota por letra
mayúscula. De este modo ¨A¨ se refiere al efecto del factor A, ¨B¨ se refiere al
efecto del factor B, ¨AB¨ se refiere a la interacción AB. En el diseño 22, los
niveles bajo y alto de A y B se denotan por ¨-¨ y ¨+¨ respectivamente en los ejes
A y B.
Las cuatro combinaciones de tratamientos en el diseño suelen representarse por
letras minúsculas, como se muestra en la figura. En esta figura se aprecia que el
nivel superior de cualquier factor de una combinación de tratamientos está
representado por la presencia de la letra minúscula correspondiente, mie ntras
que la ausencia de esta última representa el nivel inferior del factor. Así a
representa la combinación de tratamientos, en la que A se encuentra en el nivel
superior y B en el inferior; b representa aquella en la que A se halla en el nivel
inferior y B en el superior y ab representa ambos factores en el nivel superior.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
79
2008-2009
Por convención (1) se usa para representar a ambos factores en el nivel inferior.
Esta notación se usará a lo largo de toda la serie 2k.
El efecto promedio de un factor se define como el cambio en la respuesta
producida por un cambio de nivel de ese factor, promediando sobre los niveles
del otro factor. Como se muestra en las figura las letras minúsculas (1), a, b, ab
también se usan para representar los totales de las n réplicas de las
combinaciones de tratamientos correspondientes.
El efecto de A en el nivel inferior de B es [a – (1)]/n , mientras que en el nivel
superior de B es [ab – b]/n. Tomando el promedio de estas dos cantidades se
obtiene:
A = )1(2
1baab
n
B = )1(2
1abab
n
AB = baabn
)1(2
1
Por otro lado se puede definir AB como la diferencia promedio entre los efectos
de B en el nivel superior de A y el efecto de B en el nivel inferior de A.
En muchos experimentos que implican diseños 2k se examina la magnitud y la
dirección de los efectos de los factores para determinar cuáles variables es
probable que sean importantes. Por lo general puede emplearse el análisis de
varianza para confirmar esta interpretación. En el diseño 2k existen algunos
métodos rápidos especiales para realizar los cálculos del análisis de varianza.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
80
2008-2009
SSA = n
baab
4
)1(2
SSB = n
abab
4
)1(2
SSAB = n
baab
4
)1(2
La suma total de cuadrados se determina de la manera usual mediante:
SST = 2
1
2
1
3
1
22
4i j k
ijkn
yy
y
SSE = SST – SSA – SSB - SSAB
A menudo es conveniente escribir las combinaciones de tratamientos en orden
(1), a, b, ab. Este orden se conoce como orden estándar. Cuando se utiliza es
posible apreciar que los coeficientes de los contrastes usados para estimar los
efectos son:
Efectos (1) a b ab
A: - 1 + 1 - 1 + 1
B: - 1 - 1 + 1 + 1
AB: + 1 - 1 - 1 + 1
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
81
2008-2009
Tabla de análisis de varianza para el modelo de 22 de efectos fijos
Fuente de
Variación
Suma de
Cuadrados
Grados de
libertad
Media de
Cuadrados
F0
Tratamiento A SSA a - 1 MSA=
1a
SSA F0 = SEM
SAM
Tratamiento B SSB b - 1 MSB =
1b
SSB F0 = SEM
SBM
Interacción SSAB (a - 1)(b - 1) MSAB =
11 ba
SSAB F0 = SEM
SABM
Error SSE ab(n - 1) MSE =
1nab
SSE
Total SST abn - 1
Para realizar comparaciones se puede utilizar el método de intervalos múltiples
de Duncan.
6.2 Planteamientos de las condiciones experimentales
Los factores se consideran a dos niveles (bajo y alto) y se puede codificar el
valor natural por medio de la fórmula: i
iii
X
XXx 0 donde Xi0 es el valor central
del rango de estudio determinado por el valor máximo y mínimo, mientras que
iX es la distancia del valor central a los valores extremos.
Para obtener las diferentes combinaciones de los niveles de los k factores a
estudiar se sigue el orden siguiente: para el i-ésimo factor se alterna un grupo de
2i-1 –1 con un grupo de 2i-1 +1 hasta completar el número de experimentos N =
2k.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
82
2008-2009
6.3 Planteamiento del modelo de regresión
El modelo de regresión viene expresado por: ji
jiij
k
i
ii xxxy1
0
Por ejemplo:
Para un diseño factorial 22 el modelo es: 211222110 xxxxy
para un diseño factorial 23 el modelo viene dado por:
3223311321123322110 xxxxxxxxxy
La matriz para la regresión se construye de acuerdo a como se plantea la
ecuación de regresión. Para los ejemplos anteriores será:
1111
1111
1111
1111
X :2 diseño el Para 2
Para el diseño factorial 23 resulta:
1111111
1111111
1111111
1111111
1111111
1111111
1111111
1111111
X
En estas matrices la primera columna corresponde al coeficiente de 0 y los
coeficientes de i corresponden con los valores de xi agrupados en las i
columnas siguientes, mientras que los coeficientes de ij correspondiente a las
interacciones xi*xj ocupan las restantes columnas de la matriz.
Sin embargo, las interacciones de tres o más factores casi nunca se determinan,
a no ser que haya indicios a priori de su posible significación. No obstante,
cuando se van a calcular las interacciones (dobles, triples, etc.) la matriz se
amplia, y además de las columnas correspondientes al término independiente
( X0 ) y los efectos lineales ( X1 , X2 , X3 ) se le añaden nuevas columnas que
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
83
2008-2009
corresponden a las interacciones que se quieren determinar ( X X1 2, X X1 3
,
X X2 3, X X X1 2 3
, etc.).
6.4 Cálculo de los coeficientes de regresión y análisis de adecuación del modelo.
La variable respuesta debemos tratarla de la siguiente forma:
1. Para mayor comodidad debemos lograr tener el mismo número de
repeticiones en cada experimento para trabajar las fórmulas que se
describirán más adelante.
2. Se realizan los tests de valores atípicos (de ser necesario) y el de
homogeneidad de las varianzas. Si se rechaza la homogeneidad de
varianzas significa que al menos uno de los experimentos tiene un error
aleatorio mayor que el resto por lo que los datos no son confiables para
realizar el ajuste del modelo. Se debe valorar las causas que propiciaron
estos resultados y repetir el o los experimentos con este problema.
3. Si las varianzas resultan homogéneas entonces se estima la varianza del
error como el promedio de las varianzas de los experimentos:
1
1 1 1
2
.
1
22
rN
yy
sN
s
N
i
r
j
iijN
i
ie donde N es el número de experimentos y r el
número de repeticiones por experimento.
4. Para realizar el ajuste del modelo considerado procedemos con la media .iy
de cada experimento, es decir, la matriz columna Y esta formada por las
medias de cada experimento.
5. Se realiza el cálculo de los coeficientes de la ecuación de regresión por
medio de la expresión matricial.
6. A continuación se hace el análisis de simplificación del modelo, o sea, se
valora si alguno o algunos de los coeficientes se puede considerar igual a
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
84
2008-2009
cero. Si se elimina algún coeficiente de la ecuación se debe reajustar el
modelo lo cual implica calcular los coeficientes del modelo ajustado.
7. Con el modelo obtenido se analiza si resulta adecuado o no por medio de
una comparación de varianzas. Se comparan las varianzas del error 2
es y la
de adecuación del modelo mN
yyr
s
N
i
ii
ad1
2
.2
ˆ
con N-m grados de libertad,
donde m es el número de coeficientes significativos de la ecuación de
regresión obtenida.
8. La prueba de hipótesis se plantea en los términos siguientes:
Hipótesis a contrastar: H0: 2
mod
2
e vs. H1: 2
mod
2
e
Estadígrafo: 22
2
2
22
2
2
ead
e
adade
ad
e sss
sF o ss
s
sF
Región crítica: 21,
2FF siendo 1 los grados de libertad del
numerador y 2 los grados de libertad del denominador.
El no rechazo de la hipótesis nula daría como resultado la
adecuación del modelo.
EJERCICIOS RESUELTOS.
Diseño factorial 22
9- Un investigador trata de conocer la influencia que tiene la relación a/c y
volumen de pasta Vp en una mezcla de hormigón en la que no cambiará las
dosificaciones de árido, es de interés solo dos niveles, a/c con 0.5 y 0.6 y Vp
para 350 y 400 litros. Se realiza el experimento 3 veces y los datos son los
siguientes:
a/c: A
Vp: B
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
85
2008-2009
Réplica
Combinaciones I II III
A baja, B baja 40 39 40
A alta, B baja 38 37 36
A baja, B alta 29 28 30
A alta, B alta 26 26 27
Use un α = 0.05
Respuestas
Hipótesis Región Crítica
H0: (τβ)ij = 0 1- F0 ≥ Fα;(a - 1), ab(n - 1)
H0: al menos (τβ)ij 0 2- F0 ≥ Fα;(b - 1), ab(n - 1)
3- F0 ≥ Fα; (a - 1) (b - 1), ab(n - 1)
Réplica
Combinaciones I II III Total
A baja, B baja 40 39 40 119
A alta, B baja 38 37 36 111
A baja, B alta 29 28 30 87
A alta, B alta 26 26 27 79
b = 87 ab = 79
(1) = 80 a = 111
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
86
2008-2009
A = )1(2
1baab
n B = )1(
2
1abab
n AB = baab
n)1(
2
1
A = 3.833 B = - 4.167 AB = - 6.5
SSA = n
baab
4
)1(2
SSB = n
abab
4
)1(2
SSAB= n
baab
4
)1(2
SSA = 44.08 SSB = 52.08 SSAB= 126.75
SST = 2
1
2
1
3
1
22
4i j k
ijkn
yy SSE = SST – SSA – SSB - SSAB
Fuente de
Variación
Suma de
Cuadrado
s
Grados de
libertad
Media de
Cuadrados
F0
Tratamiento A SSA =
44.08
a – 1
2 – 1= 1 MSA=
1a
SSA
MSA= 44.08
F0 = SEM
SAM
F0 = 2.430
Tratamiento B SSB b – 1
2 – 1= 1 MSB =
1b
SSB
MSB = 52.08
F0 = SEM
SBM
F0 = 2.872
Interacción SSAB (a - 1)(b - 1)
= 1 MSAB =
11 ba
SSAB
MSAB = 126.75
F0 = SEM
SABM
F0 = 6.99
Error SSE ab(n - 1)
= 8 MSE =
1nab
SSE
MSE = 18.1363
Total SST abn – 1
= 11
1- F0 < Fα;(a - 1), ab(n - 1) = 5.32
2- F0 < Fα;(b - 1), ab(n - 1) = 5.32
3- F0 >Fα; (a - 1) (b - 1), ab(n - 1) = 5.32
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
87
2008-2009
R/ Son significativos los efectos principales del a/c y Vp
10- En un proceso de modelación matemática de las mezclas de hormigón un
investigador modela el comportamiento de la resistencia y el asentamiento con
los parámetros δ, KT, αm.
Diseño Factorial 23
EXPERIMENTO PURIO 2
VARIABLE INDEPENDIENTE ASENTEMIENTO RESISTENCIA
δ KT αm Y11 Y12 Y21 Y22
0.28 1.60 17.53 1.33 1.67 28.03 29.07
0.38 1.60 17.53 0.83 0.75 45.43 44.70
0.28 1.80 17.53 14.0 14.0 26.80 24.67
0.38 1.80 17.53 5.92 4.33 43.93 45.27
0.28 1.60 20.04 15.75 16.33 25.63 27.37
0.38 1.60 20.04 5.90 6.25 44.13 44.23
0.28 1.80 20.04 20.50 20.67 25.73 25.47
0.38 1.80 20.04 13.25 11.40 42.80 40.27
Caso 1
Variables independientes:
δ: Concentración de cemento en la pasta.
KT: Coeficiente multiplicador del por ciento de vacío de la mezcla.
αm: Por ciento de vacío de la mezcla de áridos.
Variables dependientes:
AS: Asentamiento de la mezcla de hormigón fresco
Certificación de las variables:
Cálculo de los módulos de cada variable (h)
hδ = ½ (valor alto – valor bajo)
hδ = ½ (0.38 – 0.28)
hδ = 0.05
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
88
2008-2009
hKT = ½ (1.80 – 1.60)
hKT = 0.1
hαm = ½ (1.80 – 1.60)
hαm = 1.255
Matriz experimental:
b0 x1 x2 x3 x1x2 x1x3 x2x3 x1x2x3
1 - 1 - 1 - 1 1 1 1 - 1
1 1 - 1 - 1 - 1 - 1 1 1
1 - 1 1 - 1 - 1 1 - 1 1
X = 1 1 1 - 1 1 - 1 - 1 - 1
1 - 1 - 1 1 1 - 1 - 1 1
1 1 - 1 1 - 1 1 - 1 - 1
1 - 1 1 1 - 1 - 1 1 - 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Multiplicando X por su transpuesta X’ se obtiene la matriz diagonal, cuya inversa
es la matriz de precisión c = |X’ – X|-1. La matriz de regresión es T = cX’.
Los coeficientes del modelo se obtienen entonces como:
B = TY = 1/8 X’ Y
donde Y = =
b0 = 1/8 (Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Y5 + Y6 + Y7 + Y8)
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
1.50
0.19
14.0
5.13
16.04
6.08
20.59
12.33
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
89
2008-2009
b0 = 1/8 (1.50 + 0.19 + 14.0 + 5.13 + 16.04 + 6.08 + 20.59 + 12.33)
b0 = 9.5575
b1 = - 3.475 b2 = 3.455 b3 = 4.2025
b12 = - 0.8075 b13 = -1.080 b23 = - 0.7550
b123 = 1.2325
Finalmente la ecuación del modelo lineal quedaría:
Y = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 + b12X1X2 + b13X1X3+ b123 + X1X2X3
Y = 9.5575 – 3.475X1 + 3.455X2 + 4.2025X3 – 0.8075X1X2 – 1.080X1X3 –
0.755X2X3 + 1.2325X1X2X3
Estimado balanceado o ponderado de la varianza del error puro.
1...11
1...11
21
22
22
2
12
k
nkpe
pemmm
SmSmSmS
-
1
50.167.150.133.1
11
22
1
22
2
1-
-- 1211
m
YYYYS = 0.0578
2
2S = 0.0032 2
3S = 0 2
4S =0.6641 2
5S = 0.1682
2
6S = 0.0613 2
7S = 0.0145 2
8S = 1.7113
Luego:
8
7113.1+0145.0+0613.0+1682.0+6641.0+0+0032.0+0578.0=2
peS
=2
peS 0.33505 => Spe = 0.5788
Coeficientes significativos
Son todos los que resultan > Spe
Todos son mayores que Spe por lo tanto tiene influencia significativa en la
respuesta. Por este motivo no es necesario comprobar la adecuación del modelo
a la zona experimental.
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
90
2008-2009
Caso 2
Variables independientes:
δ: Concentración de cemento en la pasta.
KT: Coeficiente multiplicador del por ciento de vacío de la mezcla.
αm: Por ciento de vacío de la mezcla de áridos.
Variable dependiente:
R: Resistencia
Matriz experimental:
b0 x1 x2 x3 x1x2 x1x3 x2x3 x1x2x3
1 - 1 - 1 - 1 1 1 1 - 1
1 1 - 1 - 1 - 1 - 1 1 1
1 - 1 1 - 1 - 1 1 - 1 1
X = 1 1 1 - 1 1 - 1 - 1 - 1
1 - 1 - 1 1 1 - 1 - 1 1
1 1 - 1 1 - 1 1 - 1 - 1
1 - 1 1 1 - 1 - 1 1 - 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Multiplicando X por su transpuesta X’ se obtiene la matriz diagonal, cuya inversa
es la matriz de precisión c = |X’ – X|-1. La matriz de regresión es T = cX’.
Los coeficientes del modelo se obtienen entonces como:
B = TY = 1/8 X’ Y
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
91
2008-2009
donde Y = =
b0 = 1/8 (Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Y5 + Y6 + Y7 + Y8)
b0 = 1/8 (28.55 + 45.06 + 25.74 + 44.70 + 26.50 + 44.18 + 25.60 + 41.54)
b0 = 35.22
b1 = 8.62 b2 = - 0.8513 b3 = - 0.766
b12 = 0.07625 b13 = -0.218 b23 = - 0.03375
b123 = - 0.511
Estimado balanceado o ponderado de la varianza del error puro.
1...11
1...11
21
22
22
2
12
k
nkpe
pemmm
SmSmSmS
-
1
2222
11
22
1
22
2
1
8.55-9.078.55-8.03-- 2221
m
YYYYS = 0.5408
2
2S = 0.2665 2
3S = 2.2685 2
4S =0.8978 2
5S = 1.5138
2
6S = 0.005 2
7S = 0.0338 2
8S = 3.2005
Luego:
=2
peS 1.0908375 => Spe = 1.044
Coeficientes significativos:
b0 = 35.22 > Spe
b1 = 8.62 > Spe
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
28.55
45.06
25.74
44.60
26.50
44.18
25.60
41.54
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
92
2008-2009
Coeficientes no significativos:
b2 = - 0.8513 < Spe b12 = 0.07625 < Spe
b2 = - 0.766 < Spe b13 = - 0.218 < Spe
b23 = -0.03375 < Spe b123 = - 0.511< Spe
Ni X2, ni X3, ni sus interacciones (X1X2, X1X3, X2X3, X123) son significativos
La ecuación del modelo lineal quedaría:
Y = b0 + b1X1 => δ (La resistencia depende de la concentración de cemento en la
pasta)
Y = 35.22 + 8.62X1
Por tanto hay que evaluar la falta de ajuste:
2
1
2 ˆii
n
I
iA YYjS - => Varianza del error de adecuación del modelo
n = 8
I = 2 (b0 y b1)
J = 2
Cálculo de los Y
iXbbY 101 +=ˆ
1Y = 35.22 + 8.62 ( - 1)
1Y = 26.60
2Y = 43.84 3Y = 26.6 4Y = 43.84 5Y = 26.6
6Y = 43.84 7Y = 26.60 8Y = 43.84
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
93
2008-2009
2
AS = 4.3412
F = 09083.1
3412.4=2
2
pe
A
S
S= 3.9797 Fn1n2,95% = 3.58
F > Fn1n2,95%
3.9797 > 3.58
R/ Por tanto el modelo no es adecuado o conveniente. Hay que repetir el
experimento.
EJERCICIOS PROPUESTOS
5- Con el objetivo de valorar como influye el % de emulsión y la edad(en días )
en la resistencia a compresión simple (kg/cm2), se utilizan probetas elaboradas
con mezcla asfáltica a partir de material reciclado de la reparación vial. Los
ensayos se realizan sin someter a inmersión las probetas. Haga un análisis
estadístico de los resultados experimentales.
28.55
45.06
25.74
44.60
26.50
44.18
25.60
41.54
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
94
2008-2009
Tabla I
Ensayos
DIAS % de Emulsión I II III
7 2 28.86 27.06 30.66
3.5 25.2 26.73 24.72
14 2 27.40 29.28 32.09
3.5 24.89 24.97 24.39
Tabla II
Ensayos
DIAS % de Emulsión I II III
7 2 28.86 27.06 30.66
3.5 25.2 26.73 24.72
5.0 20.43 21.60 19.75
14 2 27.40 29.28 32.09
3.5 24.89 24.97 24.39
5 18.96 20.86 20.28
Tabla III
Ensayos
DIAS % de Emulsión I II III
7 días 2 28.86 27.06 30.66
3.5 25.2 26.73 24.72
14 días 2 27.40 29.28 32.09
3.5 24.89 24.97 24.39
21 días 2 29.22 32.73 31.79
3.5 26.80 26.66 26.83
MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE DISEÑO EXPERIMENTAL
Autor: Karel B. Solares
95
2008-2009
