Waarskynlikheid

1. Konsepte

afhanklike en onafhanklike gebeurtenisse;

die produk reël vir onafhanklike gebeurtenisse: P (A en B) = P (A) × P (B).

die som reël vir onderling uitsluitende gebeurtenisse A en B: P (A of B) = P (A) + P (B)

die identiteit: P (A of B) = P (A) + P (B) - P (A en B)

die komplementêre reël: P (nie A) = 1 - P (A)

Los waarskynlikheid probleme op met behulp van Venn-diagramme, boomdiagramme,

tweerigting-gebeurlikheidstabelle en ander tegnieke (waar gebeurtenisse nie noodwendig

onafhanklik is)

Die toepassing van die fundamentele telbeginsel om waarskynlikheid probleme op te los.

GRAAD 12

Telmetodes

Fundamentele telbeginsel;

As daar m keuses vir die eerste taak en n keuses vir die tweede taak, dan is daar m × n keuse vir die

eerste taak, gevolg deur die tweede taak.

Voorbeeld 1: Bepaal die aantal van maniere om 'n netbal span bestaande uit 7 spelers te kan rangskik vir 'n

groep foto.

Ons kan hierdie resultaat veralgemeen na die geval waar daar n spelers is.

Indien ons n spelers in ‘n ry rangskik, is die aantan verskillende maniere waarop dit gedoen

kan word n×(n−1 )×(n−2 )×⋯×2×1

‘n Ge-ordendende rangskikking van voorwerpe , word ‘n permutasie genoem. Leerders hoef egter nie die

term “permutasie” te ken nie.”

Let wel die kurrikulum dui nie aan dat ons permutasies en kombinasies moet behandel nie. Dis onderwerpe

uit die studie veld in Wiskunde genaamd kombinatorika. Die meeste van die rangskikkings wat ons

behandel is inderdaad permutasies.

Faktoriaal Notasie

Die uitdrukking n×(n−1 )×(n−2 )×⋯×2×1 is n faktoriaal en word geskryf as n!

Voorbeeld 2: Gestel daar is slegs 4 plekke vir die foto van die netbalspan beskikbaar.. Bepaal die aantal

verskillende maniere waarop die spelers vir die foto in ry gerangskik kan word.

1

.Die aantal permutasies van r voorwerpe gekies uit n voorwerpe is

n !(n−r ) ! en word

gewoonlik geskryf asn Pr ofn Pr

VOORBEELD 3: 8 swemmers hoop om deel te neem in 'n kompetisie, maar die swembad het slegs 6 bane.

Op hoeveel maniere kan 6 van die 8 swemmers toegeken word aan die bane?

Oefening 1

1.1 Gestel jy is by Telley se restaurant en die volgende items is op die spyskaart beskikbaar

Hoofmaaltyd Nagereg Drankies

Big Boy kombo R18,50 Fudge Sundae R6,40 Koffie R1,20

Gebraaide hoender R12,40 Appeltert R4,20 Coca-Cola R1,20

Garnale R17,60 Banana room R5,30 Gemmerbie

r

R1,80

Vis en skyfies R8,20 Aarbeitert R7,20 Melk R1,00

Telley se spesiale

biefstuk

R18,20 Kaaskoek R7,50 Tee R1,20

Roomys R4,20

(a) Indien jy die hoofmaaltyd en ‘n drankie bestel, hoeveel verskillende opsies is beskikbaar?

(b) Indien jy ‘n nagereg ook wil bestel, hoeveel opsies is dan beskikbaar?

(c) Jy eet nie garnale nie en jy is beslis ook nie lus vir kaaskoek nie. Hoeveel keuses

bestaande uit ‘n hoofmaaltyd, drankie, en nagereg is vir jou beskikbaar?

1.2 Hoeveel sekerheidskodes bestaande uit drie syfers kan gevorm word uit die syfers

1; 2; 3;4; 5; 6; 7; 8; 9 indien:

(a) Herhaling nie toegelaat word nie.

(b) Herhaling toegelaat word.

1.3 Hoeveel drie-karakter kodes kan gevorm word indien die eerste karakter ‘n letter moet wees en die

volgende twee karakters syfers moet wees?

1.4 Bepaal hoeveel 4-syfer getalle gevorm kan word uit die 10 syfers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 indien:

(a) Herhaling toegelaat word.

(b) Herhaling nie toegelaat word nie.

(c) Die laaste syfer ‘n 0 moet wees en herhaling nie toegelaat word nie.

2

1.5 Daar is ses lessenaars in die voorste ry van ‘n klaskamer.

(a) Op hoeveel verskillende maniere kan die eerste 6 leerders op die klaslys in die voorste ry

gerangskik word?

(b) Op hoeveel verskillende maniere kan 6 leerders uit ‘n klas van 20 in die eerste ry

gerangskik word?

1.6 Vier(4) verskillende Wiskunde boeke, ses(6) verskillende Rekeningkunde boeke en twee(2)

verskillende Geografie boeke word op ‘n rak geplaas. Hoeveel verskillende rangskikkings is

moontlik indien:

(a) die boeke van elke vak bymekaar moet staan?

(b) slegs die Wiskunde boeke bymekaar moet staan?

1.7 Vier(4) verskillende Latynse boeke, 5 verskillende Engelse boeke en 3 verskillende Franse boeke

Word op ‘n rak geplaas. Op hoeveel moontlike maniere kan jy die boeke rangskik indien:

(a) Hulle in enige volgorde geplaas kan word?

(b) Latynse boeke, Engelse boeke en Franse bymekaar geplaas moet word?

(c) Slegs die Latyunse boeke bymekaar geplaas moet word?

Telmetodes indien identiese letters ter sprake is

VOORBEELD 4: Skryf neer alle moontlike 4 letter rangskikkings wat gevorm kan word uit die volgende

woorde: (a) DAAD (b) EZEE (c) ANNA (d) BULL (e) MIST

Die aantal of permutasies van n voorwerpe, waarvan p is identies is, en dan q van die res identies is

en da weer r van die res identies is, ens. word gegee deur

n !p ! × q ! × r ! × ⋯waar p+q+r+⋯=n

VOORBEELD 5: Beskopu die woord. MISSISSIPPI

(a) Bepaal die aantal willekeurige letter rangskikkings wat gevorm kan word uit die woorde hierbo.

(b) Bepaal die waarskynlikheid dat elkeen van die woorde so gevorm, sal begin en eindig met ‘n klinker.

(c) Bepaal die waarskynlikheid dat elkeen van die woorde gevorm sal begin en eindig met die selfde letter.

Oefening 2

2.1 Wat is die waarskynlikheid dat ‘n willekeurige rangskikking van die letters van die woord

BAFANA met ‘n ‘A’ sal begin en eindig?

2.2 Indien die letters van die woord S O C I O L O G Y willekeurig gerangskik word, wat is die

waarskynlikheid dat:

3

(a) Die “nuwe”woord sal begin en eindig met die letter O?

(b) Die drie O’s langs mekaar sal staan?

2.3 Beskou die woord LETTER.

(a) Hoeveel verskillende letter rangskikkings kan gevorm word uit die letters van die woord?

(b) Wat is die waarskynlikheid dat sodanige woord sal begin met die letter E?

(c) Wat is die waarskynlikheid dat sodanige woord sal begin en eindig met die letter E?

(d) Wat is die waarskynlikheid dat sodanige woord sal begin en eindig met dieselfde letter?

2.4 Daar is 3 verskillende blou boeke en 2 verskillende rooi boeke op die boekerak.

(a) Op hoeveel verskillende maniere kan die boeke gerangskik word?

(b) Op hoeveel verskillende maniere kan die boeke gerangskik word, indien al die blou

boeke langs mekaar moet staan?

(c) Bereken die waarskynlikheid dat die so boeke so gerangskik word sodat al die blou

boeke en al die rooi boeke langs mekaar moet staan?

2.15 Nov 2009

4.1 In ‘n maatskappy daar is die vakante poste beskikbaar. Die maatskappy het ‘n aantal kandidate

vir hierdie poste ge-identifiseer.

4.1.1 Op hoeveel verskillende maniere kan hierdie poste gevul word? (3)

4.1.2 Indien dit seker is dat Craig die pos as klerk sal kry, op hoeveel

verskillende maniere kan die die poste nou gevul word? (2)

4.2 Daar is 20 seuns en 15 dogters in a klas. Die onderwyser kies ewekansig individuele leerders

om ‘n toespraak te lewer.

4.2.1 Bereken die waarskynlikheid dat die eerste leerder wat gekies word, ‘n seun sal

wees. (1)

4.2.2 Teken ‘n boomdiagram as ‘n voorstelling van die situasie waar die onderwyser

drie leerders, een na die ander, kies. Toon ALLE moontlike uitkomste op jou

diagram. (4)

4

POS KANDIDATE

Klerk Craig, Luke en Tom

verkoopsverteenwoordiger Ann, Sandile, Sizwe en Devon

verkoopsbestuurder John en Debby

4.2.3 Bereken die waarskynlikheid dat ‘n seun, dan ‘n dogter en dan nog ‘n seun, in

daardie volgorde gekies sal word. (3)

4.2.4 Bereken die waarskynlikheid dat al drie leerders wat gekies word, dogters sal

wees.. (2)

4.2.5 Bereken die waarskynlikheid dat ten minste een van die leerders wat gekies

word, ‘n seun sal wees. (3)

4.3 In ‘n Wiskunde kompetisie is daar twee spanne wat onafhanlik aan ‘n probeem werk. Hulle word

‘n maksimum van 10 minute gegee om die probleem op te los. Die waarsklynlikhede dat elke span

die probleem sal oplos is

12 en

13 respektiewelik. Bereken die waarskynlikheid dat die probleem

binne 10 minute opgelos sal word. (4)

Maart 2010

4 P(A) = 0,3 en P(B) = 0,5. Bereken P(A of B) indien:

4.1 A en B onderling uitsluitende gebeurtenisse is (2)

4.2 A en B onafhanklike gebeurtenisse is. (3)

5. By ‘n seunsskool is daar 240 leerders in Graad 12. Die volgende

Inligting is ingesamel rakende deelname aan verskillende sportsoorte.

o 122 seuns speel rugby (R)

o 58 seuns speel basketbal (B)

o 96 seuns speel krieket (C)

o 16 seuns speel al die sportsoorte.

o 22 seuns speel rugby en basketbal

o 26 seuns speel krieket en basketbal

o 26 seuns speel nieenige van hierdie sportsoorte nie.

Stel die aantal leerders wat slegs rugby en krieket speel gelyk aan x.

5.1 Teken ‘n Venn diagram om die bostaande inligting voor te stel. (4)

5.2 Bepaal die aantal of seuns wat rugby en krieket speel. (3)

5.3 Bepaal die waarskynlikheid dat ‘n ewekansig gekose leerder in Graad 12:

( gee antwoorde tot 3 desimale plekke)

5.3.1 slegs basketbal speel. (2)

5.3.2 nie krieket speel nie. (2)

5

5.3.3 aan ten minste twee van die sportsoorte deelneem. (2)

Oefeninge

1. M1, M 2 en M 3 is 3 masjiene in ‘n fabriek wat plastiek houers vervaardig.

Hulle produseer 25%, 30% en 45% van die totale produksie van die fabriek.

Van die produktevan M1, M 2 en M 3 is 18%, 5% en 2% defektief.

‘n willekeurige monster van die produkte word getrek

1.1. Stel die inligting voor in ‘n boomdiagram. (6)

1.2 Bepaal die waarskynlikheid dat:

3.2.1. Die defektiewe produkte deur M1 vervaardig is. (2)

3.2.2. Die produkte defektief is (3)

[11]

2. In ‘n graad 11 klas van 30 meisies, speel 15 tennis en 20 netbal. Indien 8 meisies geeneen

van die twee sportkodes speel nie, bereken die waarskynlikheid dat ‘n willekeurig gekose

chosen meisie:

2.1 slegs netbal speel

2.2 ten minste een van die twee sport kodes speel

2.3 geen een van die twee sport kodes speel nie.

3. Uit die syfers wat van die stad se polisiedepartement verkry is, blyk dit dat alle motorvoertuie

wat gesteel word, is 80% deur sindikate op aanvraag gesteel en 20% deur individue vir

persoonlike gebruik gesteel.

Van die voertuie wat waarskynlik deur sindikate gesteel is, word:

24% binne 48 uur opgespoor

16% na 48 uur opgespoor

60% nooit opgespoor nie

Van die voertuie wat waarskynlik deur individue gesteel is, word::

38% binne 48 uur opgespoor

58% na 48 uur opgespoor

4% nooit opgespoor nie

(i) Teken ‘n boomdiagram wat hierdie inligting voorstel

(ii) Bereken die waarskynlikheid dat indien ;n voertuig in die stad getseel word, dit deur ‘n

sindikaat gesteel is en binne 48 uur opgespoor sal word.

6

(iii) Bereken die waarskynlikheid dat ‘n voertuig wat in die stad gesteel word, nooit

opgespoor sal word nie.

4. ‘n Sak bevat 5 rooi en 7 groen albasters. Twee albasters word sonder tereugplasing een na

die ander uit die sak getrek. Bereken die waarskynlikheid dat beide albasters van dieselfde

kleur sal wees deur ‘n boomdiagram te gebruik.(6)

5. Navorsing oor spoedboetes en geslag het die volgende data opgelewer. ( hierdie is

slegs fiktiewe data).

spoedboetes Geen spoedboetes Totaal

Manlike bestuurders 45 25 70

Vroulike bestuurders 35 45 80

Totaal 80 70 150

5.1 Hoeveel persone het aan hierdiedie navorsing deelgeneem

5.2 Bereken die volgende waarskynlikhede

5.2.1 P(manlike bestuurders)

5.2.2 P(spoed boetes)

5.3 Is die gebeurtenisse manlike bestuurders en spoed boetes onafhanklik. Regverdig jou

antwoord deur die toepaslike berekeninge te toon.

6. Die data hieronder is verkry vanaf die finansiële ondersteuningskantoor van ‘n sekere

universiteit.

Ontvang

finansiële

ondersteuning

Ontvang nie

finansiële

ondersteuning

TOTAL

Voorgraads 4 222 3 898 8 120

Nagraads 1 879 731 2 610

TOTAL 6 101 4 629 10 730

(i) Bereken die waarskynlikheid dat ‘n willekeurige student:

(a) finansiële ondersteuning ontvang (2)

(b) ‘n nagraadse student wat nie finansiële ondersteuning ontvang nie.(2)

(c) ‘n voorgraadse student wat finansiële ondersteuning ontvang (2)

(ii) Is die gebeurtenisse ; ‘n voorgraadse student en ontvang finansiële ondersteuning

onafhanklik? Toon alle bewerking om jou antwoord te staaf. (4)

7

7. Die onderstaande gebeurlikheidstabel toon die voorkeur tydbedryf aktiwiteit van seuns

en dogters onderskeidelik, aan:

Lees TV speletjies Stap Totaal

Seuns 16 18 e 45

Meisies a c f 55

Totaal b d g h

7.1 Voltooi die tabel deur die ontbrekende getalle soos aangedui deur die letters a – h in te vul.

7.2 Is die gebeurtenisse seuns en TV speletjies afhanklik of onafhanklik. Regverdig jou

antwoord

7.3 Is die gebeurtenisse seuns and meisies uitputtend

7.4 Is die gebeurtenisse seuns and meisies komplementêr

8

Spreidiagramme, Korrelasie en Regressie:

Tot by hierdie punt het ons slegs met een-veranderlike data gewerk. Ons het beide gegroepeerde data en

ongegroepeerde data gebruik. Hierdie data kon kontinue of diskrete data wees.

In Graad 12 sal ons ook met twee-verandelike data te doen kry. Ons sal leer hoe om hierdie tipe data grafies

voor testel en deur gebruik te maak van regressie en korrelasie konsepte, die verwantskap tussen die twee

veranderlikes analiseer.

‘n Spreidiagram is ‘n statistiese grafiek wat die verwantskap tussen die twee verandelikes in

bivariante (twee-veranderlike) data voorstel.

Tipe spreigrafieke

Verwantskap is:

Eksponensiaal Kwadraties (parabool) Lineêr (reguitlyn)

Die lyn of kromme in die diagramme hierbo heet die beste paslyn of beste pas kromme

Leerders moet op intuitiewe wyse kan aantoon of die beste paslyn of kromme lineêr, kwadraties of

eksponensiaal is. Let wel dat hierdie lyne of krommes slegs benaderings is.

Regressie-analise

Regressie analise is ‘n tegniek om die wiskundige model wat die verwantskap tussen die twee veranderlikes

definieer deur middel van ‘n bepaalde funksie voor te stel.

Ons kan wiskundig die vergelyking van die regressie lyn (kleinste kwadrate regressie lyn) bepaal.

Die vorm is: y=A+Bx, waar B die gradient van die lyn en A die y-afsnit voorstel.

Let op dat indien ons na die kleinste kwadrate regressie funksie verwys hierdie funskie altyd ‘n reguitlyn

voorstel.

Die rede vir die vorm y=A+Bx is slegs om op ‘n logiese wyse te kan uitbrei na Kwadratiese regressie::

y=A+Bx+Cx2. Soortgelyk kan ons ook verwys na Eksponensiële regressie: y=A eBx.

In Graad 12 fokus ons egter net op lineêre regressie

9

Korrelasie

Korrelasie het berekking op die bestaan van al dan nie ‘n wiskundige verwantskap tussen die twee

veranderlikes soos hieronder getoon – die data punte lê in hoofsaak in ‘n smal band om die reguit lyn

versprei

Daar bestaan derhalwe ‘n sterk positiewe korrelasie tussen die twee veranderlikes wat dit moontlik maak

om ‘n reguitlyn as beste paslyn te kan teken. Met hierdie kennis kan ons nou besluite asook

vooruitskattings rakende die data maak.

Kyk na die twee voorbeelde hieronder en let op die gebruik van die terme POSITIEF en NEGATIEF

10

Sterk positiewe korrelasie Sterk negatiewe korrelasie

11

Korrelation is ‘n numeriese maatstaf wat die sterkte van die verwantskap tussen die veranderlikes weerspieël

en word met die simbool r, die korrelasie koëffisient, voorgestel. Die waarde van r varieer vanaf -1 tot 1.

Hoe nader die r waarde aan -1 of 1 is, hoe sterker is die verwantskap tussen die veranderlikes x en y.

1. Die teken van r dui die rigting van die helling aan .

2. Die numeriese waatdr van r dui die sterkte van die verwantskap aan, b.v. +0,9 dui op ‘n a sterk

positiewe korrelasie, -0,9 dui op ‘n sterk negatiewe korrelasie.

12

�̲0,5Sterk negatiewe korrelasie Geen korrelasie Sterk positiewe korrelasie

�̲-1 �̲-0,5 �̲1�̲0

y

y

r = –0,99

‘n sterk negatiewe korrelasie

r = –0,09 Hierdie waarde is baie na-aan 0. Dus geen korrelasie

r = –0,68

‘n relatiewe sterk negatiewe korrelasie

Dit het geen betekenis in beide hierdie gevalle langsaan van korrelasie te praat omdat slegs een van die veranderlikes varieer en die ander konstant bly.

Eksamen tipe vrae

13

Vraag 7Die buite temperatuur in oC word op 10 dae in die middag gemeet en die aantal eenhede elektrisiteit wat verbruik is om die huis op daardie dag te verwarm word op die tabel aangetoon

7.1 Teken ‘n spreigrafiek om die data in die tabel voor te stel. (3)7.2 Bepaal die vergelyking van die kleinste kwadrate regressie lyn. (4)7.3 bepaal die korrelasie koëfisient. (2)7.4 Wat kan jy aflei omtrent die verwantskap tussen die middag temperatuuren die

Middagtemperatuur en die aantal eenhede elektrisiteit wat vir verhittingverbruik word? (2)

7.5 Skat die aantal eenhede elektrisiteit war verbruik is om ‘n huis te verhit op‘n dag waarop die buite temperatuur in die moddal 8oC was (2)

[13]

14

15

VRAAG 5

'n Leerder het 'n eksperiment uitgevoer om die verband tussen ouderdom en rustende hartklop (in

hartklop per minuut) te ondersoek. Hy het by die plaaslike kliniek om hulp aangeklop. Die inligting

van 12 persone word in die tabel hieronder aangedui.

Ouderdom 59 32 42 50 22 39 21 20 27 40 29 47

Rustende hartklop

(hartklop per minuut)88 74 74 93 85 71 78 82 70 75 95 75

5.1 Stel die data voor op 'n spreidiagram. (3)

5.2 Bepaal die vergelyking van die lyn van kleinste kwadrate. (4)

5.3 Teken die lyn van kleinste kwadrate op jou spreidiagram. (2)

16

5.4 Bereken die korrelasiekoëffisiënt van die data. (2)

5.5 Gebruik die korrelasiekoëffisiënt om kommentaar te lewer oor die verband tussen ouderdom

en die rustende hartklop. (2)

5.6 Indien 'n leerder die lyn van kleinste kwadrate gebruik om die hartklop van 'n 45-jarige

persoon te voorspel, sal sy antwoord betroubaar wees? Motiveer jou antwoord.

(2)

[15]

VRAAG 1

'n Platemaatskappy ondersoek die verhouding tussen die getal kere wat 'n CD deur 'n nasionale

radiostasie gespeel word en die nasionale verkoopsyfer van dieselfde CD die volgende week. Die data

hieronder is versamel vir 'n ewekansige steekproef van 10 CD's. Die verkoopsyfers is tot die naaste 50

afgerond.

Getal kere wat die CD gespeel

is47 34 40 34 33 50 28 53 25 46

Weeklikse verkope van die

CD3 950 2 500 3 700 2 800 2 900 3 750 2 300 4 400 2 200 3 400

1.1 Identifiseer die onafhanklike veranderlike. (1)

1.2 Teken 'n spreidiagram van hierdie data op die rooster wat op DIAGRAMVEL 1 voorsien

word. (3)

1.3 Bepaal die vergelyking van die regressielyn van kleinste kwadrate. (4)

1.4 Bereken die korrelasiekoëffisiënt. (2)

1.5 Voorspel, korrek tot die naaste 50, die weeklikse verkoopsyfer van 'n CD wat die vorige week

45 keer deur die radiostasie gespeel is. (2)

1.6 Lewer kommentaar oor die sterkte van die verhouding tussen die veranderlikes. (1)

[13]

17