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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia – RJ Prof.: Janaina S. de Q. Pereira – 1º Semestre/2009

APOSTILA DE

ESTATÍSTICABÁSICA

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CAPITULO 1

O que é estatística?

É a parte da matemática aplicada que fornece métodos para coleta, organização, descrição, análise e interpretação dos dados e para utilização dos mesmos na tomada de decisões.

A estatística se divide em duas partes:

(1) ESTATÍSTICA DESCRITIVA: Responsável pela coleta, organização e descrição dos dados observados.

(2) ESTATÍSTICA INDUTIVA OU INFERENCIAL: Responsável pela análise e interpretação dos dados.

Fases do método estatístico:

- Coleta dos dados: Feito através de registros – nascimento, casamento, óbitos, importação e exportação de mercadoria, banco de dados de empresas, questionários,....

- Crítica dos dados: Para verificar possíveis erros por parte dos informantes, por distração ou má interpretação das perguntas que lhe forem feitas.

- Exposição ou apresentação dos dados: Tabulação e gráficos.

- Análise dos resultados: Conclusão sobre o todo (POPULAÇÃO) a partir de informações fornecidas por parte representativa do todo (AMOSTRA).

POPULAÇÃO: é o conjunto de indivíduos ou objetos que apresentam pelo menos uma característica comum.

AMOSTRA: é um subconjunto finito de uma população.

Exemplo: Digamos que a Secretaria Estadual de Educação queira pesquisar o grau de satisfação dos alunos no que se refere à qualidade da merenda escolar.

População: Alunos da rede estadual.Amostra: Parte do total de alunos que representa o todo (população).Variável em estudo: variáveis que possam informar a satisfação dos alunos com a merenda escolar.

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As variáveis podem ser quantificadas ou qualificadas. Teremos, portanto, variáveis quantitativas e qualitativas.

Qualitativas: quando seus valores são expressos por atributos.

Exemplos:

População: moradores de uma cidade.Variável: cor dos olhos (pretos, castanhos, azuis, etc...).

População: Peças produzidas por uma máquina.Variável: qualidade da peça (perfeita ou defeituosa).

População: Candidatos a um exame de vestibular.Variável: sexo (masculino ou feminino).

Quantitativa: Quando seus valores são expressos em números. Podem ser subdivididas em discretas (assumem valores enumeráveis, números inteiros não-negativos, contagens) e contínuas (assumem valores num certo intervalo, medições).

Exemplos:

População: casais residentes em uma cidade.Variáveis: Número de filhos – (quantitativa discreta) Idade – (quantitativa continua)

População: As jogadas possíveis com um dado.Variável: Ponto obtido em cada jogada (quantitativa discreta)

População: peças produzidas em uma linha de montagem.Variável: Número de defeitos por unidade (quantitativa discreta)

Diâmetro por unidade (quantitativa contínua)

População: Funcionários de uma empresa.Variável: Salário (discreta)

População: Alunos da CEFETEQVariável: Peso dos alunos (contínua)

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LISTA DE EXERCÍCIOS 1

1) O que é estatística?2) O que é população?3) o que é amostra?4) A Estatística se divide em duas partes. Cite e explique cada uma delas.5) Quais são as fases do método estatístico?6) Qual a diferença entre variável qualitativa e quantitativa?7) Classifique as variáveis em qualitativas, quantitativas contínuas ou quantitativas discreta.a) População: Alunos de uma escola. Variável: Cor da pele ___________________________

b) População: Casais residentes em um bairro. Variável: Nº de filhos ___________________________

c) População: Jogadas de um dado. Variável: O ponto obtido em cada jogada____________________

d) População: Peças produzidas por certa máquina. Variável: Número de peças produzidas por hora________________

e) População: Aparelho produzido em uma linha de montagem. Variável: Nº de defeitos por unidade________________________

f) População: Pessoas residentes em uma cidade. Variável: Idade ___________________________

g) População: Bolsa de valores de São Paulo. Variável: Nº de ações negociadas_________________________

h) População: Funcionários de uma empresa. Variável: Salário ___________________________

i) População: Pregos produzidos por uma máquina. Variável: Comprimento do prego_________________________

j) População: Casais residentes em uma cidade. Variável: Sexo dos filhos ___________________________

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8) Dizer quais dos seguintes itens representam dados discretos e quais representam dados contínuos.

a) Altura de precipitação da chuva em centímetros, de uma cidade durante vários meses do ano.____________________________

b) Velocidade de um automóvel em km/h._________________________

c) Número de notas de vinte dólares em circulação nos Estados Unidos, em qualquer época._________________________________

d) Valor total das ações vendidas diariamente na Bolsa de Valores.______________________

e) Número de estudantes matriculados em uma universidade, em certo número de anos._____________________________

9) Estabelecer quais dos dados seguintes são discretos e quais são contínuos.

a) Temperatura registrada a cada meia hora em um posto de meteorologia.______________________

b) Vida média das válvulas de televisão produzidas por uma determinada

companhia.___________________________

c) Comprimento de 1000 parafusos produzidos numa fábrica. __________________

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CAPITULO 2

O objetivo da estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem assumir e isso ela consegue apresentando esses valores em TABELAS E GRÁFICOS.

TABELAS ESTATÍSTICAS

TABELA É UM QUADRO QUE RESUME UM CONJUNTO DE OBSERVAÇÕES

CATEGORIAS TOTAL DE MATRICULAS1º GRAU 2.0002º GRAU 2.5003º GRAU 3.000TOTAL 7.500

FONTE: IBGE.

MATRÍCULAS NAS ESCOLAS DA CIDADE A -1995 TÍTULO

CABEÇALHO

CORPO DA TABELA

RODAPÉ

COLUNA NUMÉRICA

COLUNA INDICADORA

SÉRIES ESTATÍSTICAS

Definição: Série Estatística é toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados em função da época, do local ou da espécie.

Daí, podemos inferir que numa série estatística observamos a existência de três elementos ou fatores: o tempo, o espaço e a espécie.

Conforme varie um dos elementos da série, podemos classificá-la em histórica, geográfica e específica.

SÉRIE HISTÓRICA, CRONOLÓGICA, TEMPORAIS: Descrevem valores da variável, em determinado local, discriminados segundo intervalos de tempo. (OS DADOS VARIAM COM O TEMPO).

PRODUÇÃO MEDIA DE SOJA NO BRASIL2005-06

ANOS PRODUÇÃO (1.000 t)

20052006

51 138 52 223

FONTE: IBGE.

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SÉRIES GEOGRÁFICAS, ESPACIAIS, TERRITORIAIS OU DE LOCALIZAÇÃO: Descrevem valores da variável, em determinado instante, discriminados segundo regiões. (OS DADOS VARIAM NO LOCAL).

DURAÇÃO MÉDIA DOS ESTUDOS SUPERIORES

1994

PAÍSESNÚMERO DE

ANOS

ItáliaAlemanhaFrançaHolanda

7,57,07,05,9

FONTE: APA.

SÉRIES ESPECÍFICAS OU CATEGÓRICAS: Descrevem valores da variável em determinado tempo e local, discriminados segundo especificações e categorias (OS DADOS VARIAM DE ACORDO COM A ESPÉCIE OU QUALIDADE DO FENÔMENO).

SÉRIES CONJUGADAS, TABELAS DE DUPLA ENTRADA: Quando precisamos apresentar em uma única tabela a variação de valores de mais de uma variável (OS DADOS SÃO RELATIVOS A 2 OU 3 ASPECTOS SIMULTANEAMENTE).

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EXPORTAÇÃO BRASILEIRA2005

PRODUTOS QUANTIDADE(em bilhões de toneladas)

GrãosFareloÓleo

20,514,22,4

FONTE: Companhia Nacional de Abastecimento (Conab).


REGIÕES 1991 1992 1993NORTE 342.938 375.658 403.494NORDESTE 1.287.813 1.379.101 1.486.649SUDESTE 6.234.501 6.729.767 7.231.634SUL 1.497.315 1.608.989 1.746.232CENTRO-OESTE 713.357 778.925 884.822Fonte: Revista Veja.

TERMINAIS TELEFÔNICOS EM SERVIÇOS - 1991 - 1993

EXERCÍCIO:

Verificou-se, em 1985 e 1995, a seguinte movimentação de exportação de

mercadorias:

13,0% em 1985 e 13,4% em 1995 oriundas da América Latina, dos Estados

Unidos e Canadá, 28,2% em 1985 e 22,2% em 1995; e da Europa, 33,9% em 1985

e 20,7% e, 1995.

Confeccione a série correspondente e classifique-a, sabendo que os dados acima

foram fornecidos pelo MIC e SECEX.

GRÁFICOS ESTATÍSTICOS

O gráfico estatístico é uma forma de apresentar os dados estatísticos, com

o objetivo de mostrar uma impressão mais rápida do fenômeno em estudo, com

simplicidade, clareza e veracidade.

Títulos completos e o mais claro possível;

Sempre que possível a escala vertical deve ser escolhida de modo a aparecer na

linha o valor zero;

A escala horizontal deve ser lida da esquerda para direita e a escala vertical deve

ser lida de baixo para cima.

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Tipos mais comuns de gráficos:

Gráfico em colunas ou em barras

ANOS QUANTIDADE (1.000 t)1989 18.1961990 11.1681991 10.4681992 9.241

Fonte: Agropalma.

(GRÁFICO DE COLUNAS) (GRÁFICO EM BARRAS)

PRODUÇÃO BRASILEIRA DE CARVÃO MINERAL BRUTO - 1987 - 1992

PRODUÇÃO BRASILEIRA DE CARVÃO MINERAL BRUTO - 1989 - 1992

0

5.000

10.000

15.000

20.000

1989 1990 1991 1992Anos

Mil

to

ne

lad

as

Fonte: Ministério da Agricultura.

PRODUÇÃO BRASILEIRA DE CARVÃO MINERAL BRUTO - 1989 -

1992

0 5.000 10.000 15.000 20.000

1989

1990

1991

1992

An

os

Mil toneladasFonte: Ministério da Agricultura.

Gráfico de linhas ou em curva

ANOS QUANTIDADE (1.000 t)1987 391988 531989 691990 551991 421992 38

Fonte: Agropalma.

PRODUÇÃO BRASILEIRA DE ÓLEO DE DENDÊ - 1987 - 1992

Produção Brasileira de Óleo de Dendê - 1987 a 1992

0

20

40

60

80

1987 1988 1989 1990 1991 1992

Anos

Mil

to

nel

adas

Fonte: Agropalma.

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Gráfico em setores ou de pizza:

Considere a utilização de um gráfico de pizza quando:

Você tiver apenas uma série de dados que deseja plotar.

Nenhum dos valores que deseja plotar for negativo.

Quase nenhum dos valores que deseja plotar for igual a zero.

Você não tiver mais de sete categorias.

As categorias representarem partes de toda a pizza.

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CAPITULO 3

Após a coleta de dados relativos a um determinado fenômeno em estudo, que compõem uma amostra, obtemos um conjunto de dados que será tabulado.

Por exemplo:TABELA 1

ESTATURA DE 40 ALUNOS DA CEFETEQ

Observe que a tabela foi formada por dados que não estão organizados. Dessa forma ela recebe o nome de TABELA PRIMITIVA.

Dessa forma difícil ter uma idéia exata do comportamento da variável em estudo (estatura). Precisamos organizar os dados tabelados através de uma ordenação crescente ou decrescente.

TABELA 2ESTATURA DE 40 ALUNOS DA CEFETEQ

Obteremos uma segunda tabela ordenada que recebe o nome de ROL.

Dessa forma, podemos saber, com relativa facilidade, qual a menor estatura (150) e qual a maior (173); qual a amplitude de variação (173-150=23cm); qual o ponto médio (160+161)/2 = 160,5.

Ainda assim, a variável observada (ESTATURA) será mais facilmente estudada quando dispusermos os valores ordenados em uma coluna e ao lado de cada valor o número de vezes que aparece repetido (FREQÜÊNCIA).Obtemos dessa forma uma tabela que recebe o nome de DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA.

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166 160 161 150 162 160 165 167 164 160162 161 168 163 156 173 160 155 164 168155 152 163 160 155 155 169 151 170 164154 161 156 172 153 157 156 158 158 161

150 154 155 157 160 161 162 164 166 169151 155 156 158 160 161 162 164 167 170152 155 156 158 160 161 162 164 168 172153 155 156 160 160 161 162 164 168 173


ESTATURA (cm) Freq150 1151 1152 1153 1154 1155 4156 3157 1158 2160 5161 4162 2163 2164 3165 1166 1167 1168 2169 1170 1172 1173 1Total 40

Fonte: MEC

Estatura de 40 alunos do colégio A

Outra solução aceitável e mais conveniente para diminui o tamanho da tabela quando o número de valores da variável é grande, seria agrupá-los em vários intervalos (INTERVALOS DE CLASSE).

Nesse caso a tabela passa a ser denominada: DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR INTERVALO DE CLASSE.Lê-se: 4 alunos têm estatura entre 150 e 154 anos (exclusive) – intervalo fechado à esquerda.

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ESTATURA (cm) Freq150 a 154 4154 a 158 9158 a 162 11162 a 166 8166 a 170 5170 a 174 3

Total 40Fonte: MEC



ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA. (1) CLASSE (i): São intervalos de variação da variável.

Ex.: Intervalo 150 a 154 define a 1ª classe (i=1), i = 1, 2, 3,......, ki = classek = número total de classes.

(2) LIMITES DE CLASSE: São os extremos de cada classe. = Limite inferior = Limite superior

Ex.: Na primeira classe: = 150 e = 154. (3) AMPLITUDE DE UM INTERVALO DE CLASSE ( ): É a medida do intervalo que define a classe. Diferença entre o limite superior e inferior da classe.

Ex.: Na primeira classe: = 150 e = 154. = – = 154 – 150 = 4 cm.

(4) AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO (AT): É a diferença entre o Limite superior da ultima classe e o Limite inferior da primeira classe.

AT = L (Max) – l (min)

Ex.: 174 – 150 = 24 cm

Observe que como as classes possuem o mesmo intervalo vale a relação:

24/4 = 6 (6 = Número total de classes)

(5) PONTO MÉDIO DE UMA CLASSE ( ): É o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais.

Ex.: Classe 1: (150 + 154)/2 = 152 cm

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TIPOS DE FREQÜÊNCIA:

(1) FREQÜÊNCIA SIMPLES OU ABSOLUTA ( ): É o número de observações correspondentes a classe ou a um valor.

ESTATURA (cm) fi150 a 154 4154 a 158 9158 a 162 11162 a 166 8166 a 170 5170 a 174 3

Total 40Fonte: MEC


Ex.: = 4 => freqüência da classe 1, = 9 => freqüência da classe 2,...............

A soma de todas as freqüências será: ,

n = número total de observações.

(2) FREQÜÊNCIA RELATIVA ( ): É a razões entre a freqüência simples a freqüência total.

Ex.:

ESTATURA (cm) fi fri150 a 154 4 0,100154 a 158 9 0,225158 a 162 11 0,275162 a 166 8 0,200166 a 170 5 0,125170 a 174 3 0,075

Total 40 1Fonte: MEC


(3) FREQÜÊNCIA ACUMULADA ( ): É o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de classe.

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Ex: , ou seja, existem 24 alunos com estatura

inferior a 162 cm ( da 3ª classe).

ESTATURA (cm) fi fri Fi150 a 154 4 0,100 4154 a 158 9 0,225 13158 a 162 11 0,275 24162 a 166 8 0,200 32166 a 170 5 0,125 37170 a 174 3 0,075 40



(4) FREQÜÊNCIA ACUMULADA RELATIVA ( ): É a freqüência acumulada da classe dividida pela freqüência total da distribuição.

Ex.:

ESTATURA (cm) fi fri Fi Fri150 a 154 4 0,100 4 0,100154 a 158 9 0,225 13 0,325158 a 162 11 0,275 24 0,600162 a 166 8 0,200 32 0,800166 a 170 5 0,125 37 0,925170 a 174 3 0,075 40 1



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OBSERVAÇÃO: Critério para calcular o número de classes a ser utilizado

CRITÉRIO DA RAIZ

Se a seqüência estatística contém n elementos e se indicarmos por i o número de classes a ser utilizado, então:

onde n = número total de observações.Amplitude do intervalo de classe que chamaremos de h é determinada por:

, onde AT é a Amplitude Total e

Exemplo:

n = 40

Então, = 6,324, portanto o inteiro mais próximo é 6.

Devemos trabalhar com o inteiro mais próximo da raiz de n, o inteiro

imediatamente anterior e o inteiro imediatamente superior.

Logo, as opções para i são: 5, 6 ou 7.

Então,

A amplitude do intervalo de classe (h) é determinada por:

Observe que a opção por 6 classes foi feita em função de um valor de h mais fácil

de se operar.

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REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA.

Histograma

- Consiste em um conjunto de retângulos, tantos quantos forem às classes de uma

distribuição.

- As classes são as bases dos retângulos (tantas partes quantas forem às classes)

- A escala para marcação dos pontos no eixo Y corresponde às freqüências.

Exemplo:

Polígono de freqüênciasFreqüência Simples:

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Freqüência Acumulada:

- As bases dos retângulos vão estar centradas nos pontos médios das classes.

Exemplo:

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CAPITULO 4

MEDIDAS DE POSIÇÃO: MÉDIA, MODA e MEDIANA;

O estudo sobre a Distribuição de Freqüência permitiu descrever, de um modo geral, os valores que uma variável pode assumir. Agora precisamos de um “indicativo” generalizado.

O modo mais comum de se obter esse tipo de informação é através das MEDIDAS DE POSIÇÃO, estatística que representa à posição relativa da distribuição em relação ao eixo horizontal.

As medidas de posição mais importantes são as MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL – recebem esse nome pelo fato dos dados observados, em geral, se agruparem em torno dos valores centrais.

São elas:

MÉDIA ARITMÉTICA MODA MEDIANA

Outras medidas de posição são:

SEPARATRIZES QUARTIS PERCENTIS

Essas medidas quando bem interpretadas, podem fornecer-nos informações muito valiosas com respeito às séries estatísticas, ou seja, com estas medidas tenta-se encontrar um valor numérico que represente o comportamento típico da serei em estudo.

(1) MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES ( )

DADOS NÃO AGRUPADOS (dados brutos ou rol): Quando desejamos conhecer a média dos dados não agrupados, determinamos a média aritmética simples.

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, onde ( ) é a média aritmética, ( ) os valores da

variável e (n) o número de valores.

Ex.: Produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros. Qual a produção média da semana.

MÉDIA PARA DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALO DE CLASSE.

,

Observe que é a freqüência simples de cada variável que neste caso funciona como fator de ponderação (MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA).

Exemplo:

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Exercício: Calcule a Média.

Variável estudada X(idade): 2, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8

IDADES fi fixi

2568

Total

MÉDIA PARA DADOS AGRUPADOS COM INTERVALO DE CLASSE.

,

( ) é o ponto médio de cada intervalo de classe.( ) a freqüência simples de cada intervalo de classe.

Exemplo:

Exercício: (resposta: 161 cm)

ESTATURA (cm) fi150 a 154 4154 a 158 9158 a 162 11162 a 166 8166 a 170 5170 a 174 3

Total 40Fonte: MEC


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(2) MODA (MO): É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de dados. Quando uma série de dados não apresentar moda chamaremos de AMODAL. Dois valores na série, duas modas, chamaremos de BIMODAL.

DADOS NÃO AGRUPADOS (dados brutos ou rol)Exemplo:

DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALO DE CLASSE.

Basta verificar o valor da variável de maior freqüência.

Nº de meninos na família fi0 21 62 103 124 4

Total 34

Uma vez agrupado os dados basta fixar o valor da variável de MAIOR freqüência. A moda nesse caso é 3.

Exercício: Qual a moda e o tipo para os dados agrupados em freqüência:

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DADOS AGRUPADOS COM INTERVALO DE CLASSE.

A classe que apresentar a maior freqüência é denominada CLASSE MODAL que servirá de base para os seguintes cálculos:

a) Moda bruta: Ponto médio da classe modal.

Onde: l* é o limite inferior da classe modal;L* é o limite superior da classe modal.

b) Moda de KING

c) Moda de CZUBER

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Exercício: Calcule a moda utilizando os três métodos

Resp.: 50

Observação:

1) A moda é utilizada quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição ou quando o valor da distribuição deve ser o valor mais típico da distribuição.

2) A moda é uma medida de posição, pois indica a região das máximas freqüências.

(3) MEDIANA (Md)

É o valor que divide o conjunto de dados ordenados em duas metades, com metade

dos valores acima da mediana e a metade dos valores abaixo dela. Quando o número de

observações (n) é ímpar, a mediana é o valor que ocupa a posição central. Quando n for

par, há duas posições centrais no conjunto, então a mediana é a média aritmética dos dois

valores que ocupam as posições centrais.

Observação:

1) Se n for ímpar (n=número de observações), o valor mediano será o de ordem

, ou seja, o valor do elemento que ocupa está posição será a mediana.

2) Se n for par, o rol admite dois termos centrais que ocupam as posições.O de ordem

, então, a mediana será a média dos valores que ocupam estas posições.

Exemplos:

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DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALO DE CLASSE.

Se os dados se agrupam em uma distribuição de freqüência será preciso

determinar um valor tal que divida a distribuição em dois grupos que contenham o

mesmo número de elementos. Esse valor será encontrado através da seguinte fórmula:

=> nos fornece a posição do valor na série de dados.

Passos para o cálculo da mediana:

(1) Achar n(2) Calcular Fi(3) Calcular Posição da mediana P(Md)(4) Procurar P(Md) em Fi

Exemplo:

1)

Nº de meninos fi Fi0 2 21 6 82 10 183 12 304 4 34

Total 34

= 34/2 = 17 (é a posição!!)

A mediana vai ser a média entre o 17º valor e o 18º valor da série (pois temo um número par de elementos (n=34).

Então,

Md = (2+2)/2 = 2 meninos.

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2)

X fi Fi12 1 114 2 315 1 416 2 617 1 720 1 8

Total 8

= 8/2 = 4 (4ª posição na série)

A mediana será a média entre o 4º e o 5º elemento da série => Md=(15+16)/2 = 31/2 = 15,5

3) idade fi Fi

2 1 15 5 68 10 1610 6 2212 1 23

total 23

= 23/2=11,5 (POSIÇÃO12ª)

Md = 8

Exercícios: Calcule a mediana.

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DADOS AGRUPADOS COM INTERVALO DE CLASSE.

Passos para o cálculo da Mediana:

(1) Achar n(2) Calcular Fi(3) Calcular P(Md)(4) Determinar a Classe Mediana

Fórmula para o cálculo

Onde:

Exemplo:idade fi Fi

3 |--- 6 2 2 6 |--- 9 5 7 9 |--- 12 7 1412 |--- 15 3 1715 |--- 18 2 19

total 19

=19/2=9,5 =10

O 10º elemento está na 3ª classe.

= =10,1

Exercício: Calcule a mediana para o caso da distribuição de freqüência abaixo:27


idade fi Fi

450 |--- 550 8 550 |--- 650 10 650 |--- 750 11 750 |--- 850 16 850 |--- 950 13 950 |--- 1.050 5 1.050 |-- 1.150 1

total 64

Observação:

No caso de existir uma freqüência acumulada exatamente igual a , a Mediana será o limite superior da classe correspondente.

Por exemplo:

Classes fi Fi

0 |---10 1 1 10 |---20 3 4 20 |---30 9 13 30 |---40 7 20 40 |---50 4 24 50 |---60 2 26

total 26

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Nota:

1) A mediana pode coincidir ou não com um elemento da série. Vimos que, quando

tivermos um número de elementos ímpar na série de dados, há coincidência.

Quanto o número de elementos de uma série é par, na há coincidência.

2) A mediana depende da posição e não dos valores centrais na série ordenada.

3) Usamos a mediana quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em

partes iguais; quando há valores extremos afetando de uma maneira acentuada a

média e quando a variável em estudo é salário.

Exemplo: 5, 7, 10, 13, 15 => Média = 10 e Md = 10

5, 7, 10, 13, 65 => Média = 20 e Md = 10

Observe que a mediana permanece a mesma e a média sofreu influencia dos valores extremos.

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SEPARATRIZES

As separatrizes, como o próprio nome sugere são medidas que separam a série em partes iguais.

Não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente a sua segunda característica, já que se baseiam em sua posição na série.

QUARTIS: São valores de uma série que a dividem em 4 partes iguais. Assim temos:

o = 1º quartil: Separa a seqüência ordenada deixando 25% dos valores a sua esquerda e 75% dos valores a sua direita.



!---------!---------!---------!---------! Q1 Q2 Q3

Pode-se observar que o 2º quartil e a mediana tem os mesmos valores, pois ambos dividem uma série ordenada em duas partes iguais.

!---------!---------!---------!---------! Q1 Q2 Q3

!-------------------!-------------------! Md

QUINTIS: Quando dividimos uma série em 5 partes iguais, cada parte ficará com 20% dos elementos da série. Assim temos:

o = 1º quintil – separa a seqüência ordenada deixando 20% dos valores a sua esquerda e 80% dos valores a sua direita.




!---------!---------!---------!---------!---------!

30


DECIS: Quando dividimos uma série em 10 partes iguais, cada parte ficará com 10% dos elementos da série. Assim temos:

o = 1º decil – separa a seqüência ordenada deixando 10% dos valores a sua esquerda e 90% dos valores a sua direita.



o .o .o .o = 8º decil – separa a seqüência ordenada deixando 80% dos

valores a sua esquerda e 20% dos valores a sua direita.o = 9º decil – separa a seqüência ordenada deixando 90% dos

valores a sua esquerda e 10% dos valores a sua direita.

!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---! D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

PERCENTIS ou CENTIL: São valores de uma série que a dividem em 100 partes iguais. Cada parte ficará com 1% dos elementos da série. Assim temos:

o = 1º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 1% dos valores a sua esquerda e 99% dos valores a sua direita.



o .o .o . oo = 98º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 98%

dos valores a sua esquerda e 2% dos valores a sua direita.o = 99º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 99%

dos valores a sua esquerda e 1% dos valores a sua direita.

!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---! C10 C20 C30 C40 C50 C60 C70 C80 C90

Observação: Podemos separar em quantas partes quisermos.

31


Podemos notar que os quartis, quintis e decis podem ser expressões em termos dos precentis,

Q1=P25 K1=P20 D1=P10

Q2=P50 K2=P40 D2=P20

Q3=P75 K3=P60 D3=P30

K4=P80 D4=P40

D5=P50

D6=P60

D7=P70

D8=P80

D9=P90

Cálculo das medidas separatrizes:

QUARTIL

É o mesmo cálculo de mediana sendo que deve ser substituído por ,

onde k é o número de ordem do quartil.

Exemplo:

1. Calcule o Q1 da seqüência X: 2, 5, 8, 5, 5, 10, 1, 12, 12, 11, 13, 15.

2. Calcule o Q1 e Q3

ESTATURA (cm) fi Fi150 a 154 4 4154 a 158 9 13158 a 162 11 24162 a 166 8 32166 a 170 5 37170 a 174 3 40

Total 40Fonte: MEC


Exercício: Para os dados agrupados em freqüência, encontre o primeiro e segundo quartil.

32


QUINTIS


onde k é o número de ordem do quintil.

Exemplo:

Considerando a tabela de distribuição de freqüência por intervalo de classe, calcule K2.


Total 40Fonte: MEC


33


DECIS


onde k é o número de ordem do decil.

Exemplo: Considerando a tabela de distribuição de freqüência por intervalo de classe, calcule D3.


Total 40Fonte: MEC


PERCENTIS


onde k é o número de ordem do percentil.

Exemplo: Considerando a tabela de distribuição de freqüência por intervalo de classe, calcule P8.


Total 40Fonte: MEC


34


CAPITULO 5

MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE.

As medidas de dispersão ou variabilidade servem para avaliar o quanto os dados são semelhantes, descreve então o quanto os dados distam do valor central. Desse jeito, as medidas de dispersão servem também para avaliar qual o grau de representação da média.

É fácil demonstrar que apenas a média é insuficiente para descrever um grupo de dados. Dois grupos podem ter a mesma média, mas serem muito diferentes na amplitude de variação de seus dados. Por exemplo:

-Grupo A (dados observados): 5; 5; 5.-Grupo B (dados observado): 4; 5; 6.-Grupo C (dados observados): 0; 5; 10.

A média dos três grupos é a mesma (5), mas no grupo “A” não há variação entre os dados, enquanto no grupo “B” a variação é menor que no grupo “C”. Dessa forma, uma maneira mais completa de apresentar os dados (além de aplicar uma medida de tendência central como a média) é aplicar uma medida de dispersão.

Dessas medidas, estudaremos as seguintes:

Medidas de variação absoluta que são: a amplitude total, a variância e o

desvio padrão.

Medidas de variação relativas que são: coeficiente de variação e a

variância relativa.

(1) MEDIDAS DE VARIAÇÃO ABSOLUTA

Amplitude Total

É a diferença entre o maior e o menor valor observado. Tem o inconveniente de só

levar em conta os dois valores extremos da série, não levando em consideração os valores

intermediários. Ela é apenas uma indicação aproximada da dispersão ou variabilidade.

AT = L (Max) – l (min)

35


Variância e Desvio Padrão

A variância e o desvio padrão são medidas que levam em consideração a

totalidade dos valores da variável em estudo, o que faz delas índices de variabilidade

bastante estáveis e, por isso mesmo, os mais geralmente empregados.

A variância é a média aritmética do quadrado dos desvios (em relação à média).

Etapas do cálculo da Variância:

1. - Calcular a média aritmética 2. - Subtrair a média de cada valor do conjunto , o que chamamos de

desvio;3. - Elevar cada desvio ao quadrado

4. - Somar os quadrados dos desvios

5. - Dividir a soma por (n-1) quando se tratar de dados amostrais, ou simplesmente por n se os dados representam todos os valores de uma população.

Sendo a variância calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um número

em unidade quadrada em relação à variável em questão, o que, sob o ponto de vista

prático, é um inconveniente.

Por isso mesmo, imaginou-se uma nova medida que tem a interpretação prática,

denominada desvio padrão, definida como a raiz quadrada da variância.

36


Obs.: (1) O desvio padrão sempre será positivo!

(2) O desvio padrão de uma série indica o quanto os dados estão afastados

da média e, que se os dados são iguais, o valor da medida é zero.

Exemplo 7:

Em uma turma de aluno, verificaram-se através da análise das notas de 15 alunos (amostra), os seguintes desempenhos:

Alunos Conceito na Prova

1 4,3 9,12042 4,5 7,95243 9 2,82244 6 1,74245 8 0,46246 6,7 0,38447 7,5 0,03248 10 7,18249 7,5 0,032410 6,3 1,040411 8 0,462412 5,5 3,312413 9,7 5,664414 9,3 3,9204

15 7,5 0,0324Total 109,8 44,16Média 7,32 3,155 Variância

Desvio Padrão 1,77

Observamos no exemplo, que a média das provas, foi estimada em 7,32 com desvio

padrão em 1,77. Concluímos que a maioria das notas concentrou-se em 9,09 e 5,55.

Exercício: Calcular a média aritmética e o desvio padrão dos seguintes dados relativos à

dosagem de hemoglobina verificada em 12 animais bovinos (mg).

15 14 13 11 13 14 13,5 12 16 14,5 12 9

Resp.: Média = 13,083mg Variância = 3,583mg2 Desvio padrão = 1,892mg

37

2n

1iXXi


( 2) MEDIDAS DE VARIAÇÃO RELATIVA

A variância relativa

A variância relativa de uma série X é definida por:

O coeficiente de variação

O coeficiente de variação de uma série X é definido por:

É a razão entre o desvio padrão e a média aritmética da série dos dados.

Note que o coeficiente de variação, como é uma divisão de elementos de mesma

unidade, é um número puro. Portanto pode ser expresso em percentual .

Exemplo:

Se uma série X apresentar: e

E uma série Y apresentar: e

Do ponto de vista da dispersão absoluta, a série Y apresenta maior dispersão que a

série X.

No entanto, se levarmos em consideração as médias das séries, o desvio padrão de

Y que é 5 em relação a 100 é um valor menos significativo que o desvio padrão de X que

é 2 em relação a 10. Isso nos leva a definir as medidas de dispersão relativas.

Desse modo, se calcularmos os coeficientes de variação das séries X e Y

obteremos: cv(x) = 2/10 = 0,2 ou 20% cv(y) = 5/100 = 0,05 ou 5%

Comparando os valores destes dois coeficientes concluímos que a série X admite

maior dispersão relativa.

38


Como a medida de dispersão relativa leva em consideração a medida de dispersão

absoluta e a média da série, é uma medida mais completa que a medida de dispersão

absoluta.

Portanto, a medida de dispersão relativa prevalece sobre a medida de dispersão

absoluta. Podemos afirmar que a série que tem a maior dispersão relativa, tem de modo

geral a maior dispersão.

Ou seja,

A série Y apresenta maior dispersão absoluta.

A série X apresenta maior dispersão relativa.

Portanto, a série X apresenta maior dispersão.

Exercício: Responda, justificando em cada caso, as questões abaixo:

(a) Qual das séries apresenta maior dispersão absoluta?

(b) Qual das séries apresenta maior dispersão relativa?

(c) Qual das séries apresenta maior dispersão?

Caso 1)

Caso 2)

39


CAPITÚLO 6

EXPERIMENTO ALEATÓRIO, ESPAÇO AMOSTRAL, EVENTOS E PROBABILIDADE.

DEFINIÇÕES:

EXPERIMENTO ALEATÓRIO: São aqueles que, mesmo repetidos várias

vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.

Ex.: Em uma jogada de futebol, é provável que seu time: perca; que ele ganha;

que ele empate.

ESPAÇO AMOSTRAL (S): Cada experimento aleatório corresponde, em geral, a

vários resultados possíveis. O conjunto desses resultados possíveis recebe o nome de

espaço amostral ou conjunto universo, representado por S.

Exemplo: Lançamento de uma moeda: S = {Ca, Co}

Lançamento de um dado: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Cada um dos elementos de “S” que correspondem a um resultado recebe o

nome de PONTO AMOSTRAL, por exemplo, 2 a S => 2 é um ponto amostral de S

(no caso do lançamento do dado).

EVENTOS (A): Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S

de um experimento aleatório.

Exemplo: Lançamento de um dado:

Espaço amostral: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos:

a) Obter um número par na face superior:

A={2, 4, 6} => , logo, A é um evento de S.

b) Obter um número menor ou igual a 6 na face superior:

B={1, 2, 3, 4, 5, 6}

40


Observação:

Seja E um evento qualquer:

Se E = S => E é chamado de EVENTO CERTO

Se e E é um conjunto unitário => E é chamado de EVENTO ELEMENTAR.

Se E= , E é chamado de EVENTO IMPOSSÍVEL.

Exemplos:

No lançamento de um dado, onde S = {1,2,3,4,5,6}, temos:

A: Obter um número para na face superior.

A={2,4,6} = > A é um evento de S.

B: Obter um número menor ou igual a 6.

B={1,2,3,4,5,6} = > logo, B é um evento certo de S = > B=S.

C: Obter o número 4 na face superior.

C={4} = > C é um evento elementar de S.

D: Obter um número maior que 6 na face superior.

D= = > é um evento impossível de S

41


PROBABILIDADE

Seja S o seu espaço amostral. Se todos os elementos de S tem a mesma chance de

acontecer, então, chamamos de PROBABILIDADE DE UM EVENTO A, , o

número real P(A), tal que:

, Onde n(A) é o número de elementos de A e n(S) é o número de

elementos de S.

Exemplos:

a) Considere o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”.

S= {Ca, Co} n(S) = 2 A = {Ca} n(A) = 1

P(A) = , ou seja, 50% de chance de aparecer cara na face superior.

b) Considere o lançamento de um dado:

Evento A: “obter um número par na face superior”.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6

A = {2, 4, 6} n(A) = 3

P(A) =

Evento B: “obter um número menor ou igual a 6 na face superior”.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6

42


B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(B) = 6

P(B) = 1 (podemos chamar esse evento de EVENTO CERTO, pois coincide

com o espaço amostral S).

EVENTOS COMPLEMENTARES

- Se p é a probabilidade de um evento ocorrer (sucesso) e q a probabilidade de que

ele não ocorra (insucesso), então para um mesmo evento existe a relação

p + q = 1 = > q = 1 – p

Ex.: A probabilidade de sair 4 no lançamento de um dado é p=1/6, então, a probabilidade

de não tirar 4 no lançamento de um dado é

q = 5/6.

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS

- Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um

exclui a realização dos outros, ou seja, se os mesmos elementos não podem ocorrer

simultaneamente.

- Se os eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro

se realize é igual a soma das probabilidades.

P(AB) = P(A) + P(B) - Se os eventos não forem mutuamente exclusivos, temos:

P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

EVENTOS INDEPENDENTES

- Dois eventos são independentes quando a ocorrência ou a não ocorrência de um

evento não tem efeito algum na probabilidade de ocorrência do outro evento. Quando

lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no

outro.

- A probabilidade de dois eventos ocorrerem simultaneamente é igual ao produto

das probabilidades.

43


P(A e B) = P(AB) = P(A)P(B)

Exemplo:

Uma moeda é lançada duas vezes, a probabilidade de que ambos os resultados

sejam “cara” é:

Evento A = sair cara nos 2 lançamentos

P(A) = P(A1 A2) = (1/2)x(1/2)

- Quando dois eventos são dependentes, o conceito de probabilidade condicional é

empregado para indicar a probabilidade de ocorrência de um evento relacionado. A

expressão P(B/A) indica a probabilidade de ocorrer o evento B, dado que tenha ocorrido

o evento A. Note que “B/A” não é uma fração.

P(B/A) = =

P(A e B) = P(AB)=P(A)P(B/A)

Exemplo:

Suponha um conjunto de 10 peças contendo 8 em boas condições e duas

defeituosas. O experimento consiste em se retirar duas peças aleatoriamente e sem

reposição. A probabilidade de que as duas peças selecionadas sejam boas é:

Evento B = as duas peças sejam boas

P(B) = P(B1B2)= P(B1)P(B2/B1)= (8/10)(7/9)=56/90=28/45

44


Exercícios:

1) Qual a probabilidade de sair ás de ouros quanto retiramos uma carta de um

baralho de 52 cartas?

2) Qual a probabilidade de sair um rei quanto retiramos uma carta de um baralho de

52 cartas?

3) Um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule?

a- A probabilidade de essa peça ser defeituosa:

b- A probabilidade de essa peça não ser defeituosa:

4) No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter soma igual a 5.

5) De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro

baralho e uma carta do segundo baralho. Qual a probabilidade de a carta do

primeiro baralho ser um rei e a do segundo baralho ser o 5 de paus?

6) Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; Uma urna B contém: 5

bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; Uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas e 4

verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a probabilidade de as 3 bolas

retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca,

preta e verde?

7) De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual

a probabilidade de a primeira carta ser o ás de paus e a segunda ser o rei de paus?

8) Qual a probabilidade de sair uma figura quando retiramos uma carta de um

baralho de 52 cartas?

9) Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros quando retiramos

uma carta de um baralho de 52 cartas?

10) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número não

inferior a 5?

45


Observações:

1) O menor valor que uma probabilidade pode ter é 0 (indica que o evento é impossível) e o maior valor é 1(indica que o evento certamente irá ocorrer). Então em geral: 0 <= P(A) <= 1

2) P(S) = 1

3) Quando desejamos determinar a probabilidade de ocorrer um evento ou um outro (ou ambos) em uma só observação podemos representar, segundo a linguagem da teoria dos conjuntos, como união de A e B => P (AB).

P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

5) Se os eventos forem mutuamente exclusivos a P(AB)=0 (os eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo), então,P (AUB) = P(A) + P(B)

6) Probabilidade condicional indica a probabilidade de ocorrer o evento B, dado que tenha ocorrido o evento A. Note que “B/A” não é uma fração.

P(B/A) =

7) Regra da multiplicação:

Se os eventos são independentes:

P(A e B) = P(AB) = P(A)P(B)

Se os eventos são dependentes:

P(A e B) = P(AB) = P(A)P(B/A) ou P(B e A) = P(BA )= P(B)P(A/B)

46


CAPÍTULO 07

Revisão: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS E CONTÍNUAS

Uma variável aleatória tem um número para cada resultado de um experimento:

Exemplo:

X= número de mulheres entre 10 empregados recém-admitidos.

X = número de alunos que não compareceram à aula de estatística hoje.

X= altura de um adulto do sexo masculino selecionado aleatoriamente.

O termo VARIÁVEL ALEATÓRIA é empregado para descrever o valor que corresponde ao resultado de determinado experimento.

Definições:

Uma VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA: ou admite um número finito de valores ou tem uma quantidade enumerável de valores.

Uma VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA: pode tomar um número infinito de valores em uma escala contínua.

Por exemplo:

a) Número de expectadores que vêem um filme é um número inteiro (variável aleatória discreta).

b) A voltagem de uma pilha de um detector de fumaça pode ser qualquer valor entre 0 volts e 9 volts (variável aleatória contínua).

___________________________________//___________________________________Além de identificar valores de uma variável aleatória, podemos atribuir uma probabilidade a cada um desses valores.

Quando conhecemos todos os valores de uma variável aleatória juntamente com suas respectivas probabilidade, temos uma distribuição de probabilidade.

Definição: Uma DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE dá a probabilidade de cada valor de uma variável aleatória.

47


Exemplo: Distribuição de probabilidade no número de acidentes aéreos com a GOL, dentre sete acidentes.

X p(x)0 0,2101 0,3672 0,2753 0,1154 0,0295 0,0046 0+7 0+

A representação gráfica de uma DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES é feito através do HISTOGRAMA DE PROBABILIDADES, semelhantes ao HISTOGRAMA DE FREQÜÊNCIA, sendo que a escala vertical apresenta probabilidades, em lugar das correspondentes freqüências.

Condições para uma DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE:

1) A soma de todas as probabilidades individuais é 1:

2) Para qualquer evento A implica que p(x) deve estar entre 0 e 1 para qualquer valor de x:

Exemplos:

1) P(x)= x/5 (onde x toma os valores 0, 1, 2, 3) define a distribuição de probabilidades?

Solução: para que fique definida uma distribuição de probabilidades, devem ser satisfeitas as duas condições, ou seja, e .

Como a primeira condição não é satisfeita => neste exemplo não é uma distribuição de probabilidade.

2) P(x) = x/3 (onde x pode ser 0, 1 ou 2) define uma distribuição de probabilidades?

Solução:

48

A probabilidade de 0 acidentes com a GOL (dentre sete acidentes) é 0,210;

Os valores denotados 0+ representam probabilidades muito pequenas;


1ª (condição)=>

2ª (condição) => cada valor de p(x) está entre 0 e 1 inclusive.

Então, como as duas condições são satisfeitas, a função p(x) deste exemplo é uma distribuição de probabilidade.

MÉDIA E VARIÂNCIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

- Valor esperado de uma variável aleatória (E): É a média dos valores possíveis de X, cada um com a sua probabilidade de ocorrência.

- Variância de uma variável aleatória: É uma medida de dispersão da variável aleatória em torno da média

49


Exercícios:

1) Determine se é dada uma distribuição de probabilidade. Nos casos em que não é descrita uma distribuição de probabilidade, identifique a condição que não é satisfeita. E quando for descrita uma distribuição de probabilidade, determine sua média, variância e desvio padrão.

a) Se sua faculdade contrata os 4 próximos funcionários sem distinção de sexo e o conjunto de candidatos é grande, com números iguais de homens e mulheres, a tabela a seguir dá a distribuição de probabilidade do número x de mulheres contratadas.

X p(x)0 0,06251 0,25002 0,37503 0,25004 0,0625

b) Ao avaliar riscos de crédito, Jefferson investiga o número de cartões de crédito que a pessoa tem. Com x sendo o número de cartões de crédito que os adultos possuem a tabela a seguir dá a distribuição de probabilidade para um conjunto de solicitantes.

X p(x)0 0,261 0,162 0,123 0,094 0,075 0,096 0,077 0,14

2) Seja X uma variável aleatória discreta assumido valores no conjunto {1, 2, 3} e com distribuição de probabilidade dada por:

a. Calcule a média de X.b. Calcule a (c. Calcule a (

50


3) O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade:

Calcule o tempo médio de processamento.

(1) VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA: DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Vimos que uma variável aleatória associa um valor numérico a cada resultado de

um experimento aleatório e uma distribuição de probabilidade associa uma probabilidade

a cada valor de uma variável aleatória.

Veremos agora como determinar as probabilidades para uma categoria importante

de distribuição de probabilidades: OS EXPERIMENTOS BINOMIAIS.

Os experimentos binomiais têm a característica de apresentarem exatamente dois

resultados complementares: SUCESSO E FRACASSO.

Exemplo:

Em processos industriais: as peças falham ou não falham. Na medicina: um paciente sobrevive um ano ou morre. Em propaganda, um consumidor reconhece um produto ou não.

Definição:

Um experimento binomial é um experimento que satisfaz as seguintes condições:1. O experimento deve comportar um número fixo de provas.2. As provas devem ser independentes (o resultado de qualquer prova não afeta

as probabilidades das outras provas.)3. Cada prova deve ter todos os resultados classificados em duas categorias.4. As probabilidades devem permanecer constantes para cada prova.

Quando fazemos um experimento binomial, a distribuição da variável aleatória x é chamada uma DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL.

51


NOTAÇÃO:

S => sucesso

F => fracasso

p => probabilidade de sucesso => P(S)=p

q => probabilidade de fracasso => P(F)=q = 1-p

n = número fixo de provas

x => denota um número específico de sucessos em n provas, podendo ser qualquer inteiro entre 0 e n, inclusive.

P(x) => denota a probabilidade de obter exatamente x sucessos em n provas.Exemplo: Dado que 10% das pessoas são canhotas, suponha que queiramos achar a probabilidade de obter exatamente 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes.

b)Trata-se de um experimento binomialb)Em caso afirmativo, identifique os valores de n, x, p e q.

A probabilidade pode ser calculada utilizando-se a seguinte fórmula:

Para x = 0, 1, 2, .....,n

Com n = número de provas.x = número de sucessos em n provas.p = probabilidade de sucesso em qualquer prova.q = probabilidade de fracasso em qualquer prova.

Obs.: lembrando que 0! = 1 (por definição)

Exercícios:

52


1) Aplicando a fórmula da probabilidade binomial, determine a probabilidade de obter 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes, dado que 10% da população são canhotos. Isto é determine P(3), se n=15, x=3, p=0,1 e 1=0,9.

2) Determine se os experimentos são binomiais.

a) 50 jogadas de um dado.b) 200 jogadas de uma moeda equilibrada.c) Selecionar aleatoriamente (sem reposição) um grupo de 12 pneus

diferentes de uma população de 30 pneus, dos quais 5 são defeituosos.d) Pesquisar 2000 espectadores de televisão para saber se recordam o nome

de determinado produto após verem um comercial.e) Pesquisa de 1000 consumidores americanos, perguntando se reconhece a

marca NIKE.

3) Suponha que em um experimento binomial, uma prova se repita n vezes. Determine a probabilidade de x sucessos, dada a probabilidade p de sucesso em uma prova:

a) n = 3, x= 2, p=0,9

b) n=8, x=7, p=0,99

c) n=10, x=4, p=0,30

d) n=6, x=1, p=0,05

4) Uma firma afirma que 20% de suas pastilhas de chocolate M&M são vermelhas. Determine a probabilidade de que, em 15 pastilhas M&M escolhidas aleatoriamente, exatamente 20%, ou seja, 3 pastilhas sejam vermelhas.

5) Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica têm alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso.

6) Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que:

a) Pelo menos 12 tenham feito cursinho?

b) No máximo 13 tenham feito cursinho?

c) Exatamente 12 tenham feito cursinho?

53


7) Em um lote de 50 mudas, qual é a probabilidade de que pelo menos 45 sejam aproveitáveis?

8) Considerando um lote contendo 25 peças das quais 5 são defeituosas. Quatro peças foram escolhidas ao acaso e seja X o número de peças defeituosas encontradas nessa amostra.Determine a distribuição de X se a amostra foi obtida com reposição.

54


(2) VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA - DISTRIBUIÇÃO NORMAL ou de GAUSS

Definição: Se X é uma variável aleatória contínua, então X assume todos os valores em um intervalo de números reais ().

- A distribuição de probabilidade de X é descrita por uma curva de densidade, ou função de densidade.

- A probabilidade de qualquer evento é a área sob a curva de densidade entre os valores de X que compõe o evento.

- A área total sob qualquer curva de densidade é 1, de modo que a probabilidade de um evento varia entre 0 e 1.

Definição Distribuição Normal:

A variável aleatória X, tem distribuição Normal, com parâmetros e 2 se essa

distribuição é simétrica e apresenta a forma de sino (curva normal ou de Gauss).

Sua função de probabilidade é dada por:

Π (Pi): constante matemática (≈ 3,14159)

exp: função exponencial exp(y) = ey

e: constante matemática (≈ 2,71828).

Propriedades:

E(X) =

VAR(X) = 2

P(X=x) = f(X) = 0 (pois não existe a probabilidade no ponto e sim na área)

f(X) é simétrica ao redor da média, ou seja, a probabilidade de ocorrer valor

menor do que a média é igual a probabilidade de ocorrer valor menor do que a

média.55


A curva normal depende de duas constantes, e 2:

- corresponde ao centro da simetria da curva

- 2 graficamente, fornece a distância do centro da simetria aos pontos onde a

curva muda de sentido.

Representação gráfica

Para quaisquer dois valores específicos podemos determinar a proporção de área

sob a curva entre esses dois valores. Para a distribuição Normal, a proporção de valores

caindo dentro de um, dois, ou três desvios padrão da média é:

Exemplo: Suponha que os comprimentos de um particular tipo de peixe podem

ser descritos por uma distribuição normal, com média 140mm e desvio padrão 15mm.

56


Podemos calcular a proporção dos peixes que têm comprimentos entre 110 e 170mm, por

exemplo, como a proporção da área sob a curva entre 110 e 170mm.

Então em nosso exemplo, cerca de 95% dos peixes tem comprimentos entre

110mm e 170mm.

Obs.: Quando temos uma variável aleatória com distribuição Normal, nosso principal

interesse é obter a probabilidade de essa variável aleatória assumir um valor em um

determinado intervalo.

Distribuição Normal Padrão:

Na prática desejamos calcular probabilidades para diferentes valores de e .

Para isso, a variável cuja distribuição é é transformada numa forma

padronizada com distribuição (distribuição normal padrão), pois tal

distribuição é tabelada. A quantidade é dada por

Exemplo:

1) Se já X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por

certa máquina. Suponha que essa variável tenha Distribuição Normal com média 2cm e

desvio padrão 0,04cm.

a) A probabilidade de um parafuso ter um diâmetro com valor entre 2 e 2,05 é:

4) P(-1,25<Z<0)

5) P(-1,25<Z<0)

6) P(0,8<Z<1,23)

7) P(Z>0,6)

57


Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,000000 0,003989 0,007978 0,011966 0,015953 0,019939 0,023922 0,027903 0,0318810,035856

0,1 0,039828 0,043795 0,047758 0,051717 0,055670 0,059618 0,063559 0,067495 0,071424 0,075345

0,2 0,079260 0,083166 0,087064 0,090954 0,094835 0,098706 0,102568 0,106420 0,110261 0,114092

0,3 0,117911 0,121720 0,125516 0,129300 0,133072 0,136831 0,140576 0,144309 0,148027 0,151732

0,4 0,155422 0,159097 0,162757 0,166402 0,170031 0,173645 0,177242 0,180822 0,184386 0,187933

0,5 0,191462 0,194974 0,198468 0,201944 0,205401 0,208840 0,212260 0,215661 0,219043 0,222405

0,6 0,225747 0,229069 0,232371 0,235653 0,238914 0,242154 0,245373 0,248571 0,251748 0,254903

0,7 0,258036 0,261148 0,264238 0,267305 0,270350 0,273373 0,276373 0,279350 0,282305 0,285236

0,8 0,288145 0,291030 0,293892 0,296731 0,299546 0,302337 0,305105 0,307850 0,310570 0,313267

0,9 0,315940 0,318589 0,321214 0,323814 0,326391 0,328944 0,331472 0,333977 0,336457 0,338913

1,0 0,341345 0,343752 0,346136 0,348495 0,350830 0,353141 0,355428 0,357690 0,359929 0,362143

1,1 0,364334 0,366500 0,368643 0,370762 0,372857 0,374928 0,376976 0,379000 0,381000 0,382977

1,2 0,384930 0,386861 0,388768 0,390651 0,392512 0,394350 0,396165 0,397958 0,399727 0,401475

1,3 0,403200 0,404902 0,406582 0,408241 0,409877 0,411492 0,413085 0,414657 0,416207 0,417736

1,4 0,419243 0,420730 0,422196 0,423641 0,425066 0,426471 0,427855 0,429219 0,430563 0,431888

1,5 0,433193 0,434478 0,435745 0,436992 0,438220 0,439429 0,440620 0,441792 0,442947 0,444083

1,6 0,445201 0,446301 0,447384 0,448449 0,449497 0,450529 0,451543 0,452540 0,453521 0,454486

1,7 0,455435 0,456367 0,457284 0,458185 0,459070 0,459941 0,460796 0,461636 0,462462 0,463273

1,8 0,464070 0,464852 0,465620 0,466375 0,467116 0,467843 0,468557 0,469258 0,469946 0,470621

1,9 0,471283 0,471933 0,472571 0,473197 0,473810 0,474412 0,475002 0,475581 0,476148 0,476705

2,0 0,477250 0,477784 0,478308 0,478822 0,479325 0,479818 0,480301 0,480774 0,481237 0,481691

2,1 0,482136 0,482571 0,482997 0,483414 0,483823 0,484222 0,484614 0,484997 0,485371 0,485738

2,2 0,486097 0,486447 0,486791 0,487126 0,487455 0,487776 0,488089 0,488396 0,488696 0,488989

2,3 0,489276 0,489556 0,489830 0,490097 0,490358 0,490613 0,490863 0,491106 0,491344 0,491576

2,4 0,491802 0,492024 0,492240 0,492451 0,492656 0,492857 0,493053 0,493244 0,493431 0,493613

2,5 0,493790 0,493963 0,494132 0,494297 0,494457 0,494614 0,494766 0,494915 0,495060 0,495201

2,6 0,495339 0,495473 0,495604 0,495731 0,495855 0,495975 0,496093 0,496207 0,496319 0,496427

2,7 0,496533 0,496636 0,496736 0,496833 0,496928 0,497020 0,497110 0,497197 0,497282 0,497365

2,8 0,497445 0,497523 0,497599 0,497673 0,497744 0,497814 0,497882 0,497948 0,498012 0,498074

2,9 0,498134 0,498193 0,498250 0,498305 0,498359 0,498411 0,498462 0,498511 0,498559 0,498605

3,0 0,498650 0,498694 0,498736 0,498777 0,498817 0,498856 0,498893 0,498930 0,498965 0,498999

3,1 0,499032 0,499065 0,499096 0,499126 0,499155 0,499184 0,499211 0,499238 0,499264 0,499289

3,2 0,499313 0,499336 0,499359 0,499381 0,499402 0,499423 0,499443 0,499462 0,499481 0,499499

3,3 0,499517 0,499534 0,499550 0,499566 0,499581 0,499596 0,499610 0,499624 0,499638 0,499651

3,4 0,499663 0,499675 0,499687 0,499698 0,499709 0,499720 0,499730 0,499740 0,499749 0,499758

3,5 0,499767 0,499776 0,499784 0,499792 0,499800 0,499807 0,499815 0,499822 0,499828 0,499835

3,6 0,499841 0,499847 0,499853 0,499858 0,499864 0,499869 0,499874 0,499879 0,499883 0,499888

3,7 0,499892 0,499896 0,499900 0,499904 0,499908 0,499912 0,499915 0,499918 0,499922 0,499925

3,8 0,499928 0,499931 0,499933 0,499936 0,499938 0,499941 0,499943 0,499946 0,499948 0,499950

3,9 0,499952 0,499954 0,499956 0,499958 0,499959 0,499961 0,499963 0,499964 0,499966 0,499967

4,0 0,499968 0,499970 0,499971 0,499972 0,499973 0,499974 0,499975 0,499976 0,499977 0,499978

58


CAPITULO 8

INTRODUÇÃO

A REGRESSÃO e a CORRELAÇÃO são técnicas utilizadas para estimar uma

relação que possa existir na população, enquanto as técnicas anteriormente estudadas

(Medidas de Tendência Central e de Dispersão: Média, Desvio Padrão, Variância, etc.)

servem para estimar um único parâmetro populacional.

A análise de correlação e regressão compreende a análise de dados amostrais para

saber se e como duas ou mais variáveis estão relacionadas uma com a outra numa

população.

A correlação mede a força, ou grau, de relacionamento entre duas variáveis; a

regressão dá a equação que descreve o relacionamento em termos matemáticos.

Os dados para análise de regressão e correlação provêm de observações de

variáveis emparelhadas. Na regressão pressupõe-se alguma relação de causa e efeito, de

explanação do comportamento entre as variáveis.

Ex. a idade e a altura de cada indivíduo; a alíquota de imposto e a arrecadação; preço e

quantidade.

Se o relacionamento entre X e Y for consistente e necessitamos fazer uma

predição para o valor de Y, conhecido um valor de X, através de uma formula

matemática adequada, podemos aplicar a chamada análise de regressão simples.

59


(1) CORRELAÇÃO

Definição: Quando duas variáveis estão ligadas por uma relação estatística, dizemos que

existe correlação entre elas.

Por exemplo:

- A circunferência C e o raio r estão perfeitamente correlacionados, porque r.

- As variáveis altura e peso de indivíduos revelariam alguma correlação.

Diagrama de dispersão: O diagrama de dispersão é um gráfico onde pontos no espaço

cartesiano XY são usados para representar simultaneamente os valores de duas variáveis

quantitativas medidas em um conjunto de dados.

Por exemplo:

Um dos objetivos dos pesquisadores neste estudo é encontrar uma maneira de

conhecer o peso do urso através de uma medida mais fácil de se obter do que a direta

(carregar uma balança para o meio da selva e colocar os ursos em cima dela) como, por

exemplo, uma medida de comprimento (altura, perímetro do tórax, etc.).

O problema estatístico aqui é encontrar uma variável que tenha uma relação forte com

o peso, de modo que, a partir de seu valor medido, possa ser calculado (estimado) o valor

peso indiretamente, através de uma equação matemática.

O primeiro passo para encontrar esta variável é fazer o diagrama de dispersão das

variáveis candidatas (eixo horizontal) versus o peso (eixo vertical), usando os pares de

informações de todos os ursos. Você pode tentar as variáveis: idade, altura, comprimento

da cabeça, largura da cabeça, perímetro do pescoço e perímetro do tórax.

A Figura mostra a relação entre peso e altura e entre peso e perímetro do tórax.

60


Analisando o gráfico:

1) Podemos ver que, tanto a altura quanto o perímetro do tórax são fortemente

associados ao peso do urso, no sentido de que quanto mais alto o urso ou quanto

maior a medida de seu tórax, mais pesado ele será.

2) Note que este crescimento é linear para o perímetro do tórax e não-linear para a

altura.

3) Os pontos estão mais dispersos no gráfico da altura, a variável mais adequada

para estimar o peso é o perímetro do tórax (a técnica estatística adequada aqui chama-

se Regressão Linear Simples).

Observação: A correlação entre duas variáveis pode ser POSITIVA, NULA ou NEGATIVA.

Exemplo:

61


-30-25-20-15-10-50510

0 5 10 15 20 25 30

Gráfico 1 Gráfico 2

-10

-5

0

5

10

15

0 5 10 15 20 25 30

Gráfico 3

Coeficiente de correlação linear

É um instrumento utilizado para a medida da correlação linear. Indica o grau de

intensidade entre duas variáveis e ainda o sentido dessa correlação (positivo ou

negativo).

Só deve ser utilizado com variáveis contínuas.

Faremos o uso do coeficiente de correlação de Pearson.

Definição: Dado n pares de valores (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn), o coeficiente entre

as duas variáveis X e Y é dado pela média dos valores dos produtos padronizados das

variáveis.

62

-10-5051015202530

0 5 10 15 20 25 30


A partir dos valores de R ou , podemos verificar o tipo da correlação existente entre as variáveis estudadas, conforme tabela seguinte:

Exercícios:

1) Considerando uma amostra aleatória, formada por dez dos 98 alunos de uma classe da faculdade A e pelas notas obtidas por eles em Matemática e Estatística:

Matemática (x) Estatística (y)1 5,0 6,08 8,0 9,0

24 7,0 8,038 10,0 10,044 6,0 5,058 7,0 7,059 9,0 8,072 3,0 4,080 8,0 6,092 2,0 2,0

NotasAlunos

Calcule o coeficiente de correlação e interprete seu valor.

Matemática (x) Estatística (y) xy1 5 6 30 25 368 8 9 72 64 81

24 7 8 56 49 6438 10 10 100 100 10044 6 5 30 36 2558 7 7 49 49 4959 9 8 72 81 6472 3 4 12 9 1680 8 6 48 64 3692 2 2 4 4 4

Total 65 65 473 481 475

Notas

Alunos2ix 2

iy

63

Valor de R ou Correlação0,0 nula

0,0 ----| 0,3 fraca0,3 ----| 0,6 media0,6 ----| 0,9 forte0,9 ----| 0,99 fortíssima

1,0 perfeita


Gráfico:

Gráfico de dispersão

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

Matemática

Est

atís

tica

Conclusão: O resultado nos indica uma correlação linear positiva altamente significativa entre as duas variáveis.

Exercícios:1) Observou-se que o volume mensal de lixo gerado em uma cidade, em função do

número de dormitórios das residências, é o seguinte (em m3):

No Dormitórios 1 2 3 4Volume de lixo 0,15 0,29 0,45 0,57

a) Calcular o coeficiente de correlação de Pearson. b) Interprete o gráfico de dispersão dessa relação.


0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0 1 2 3 4 5

Número de dormitórios

Vo

lum

e d

e li

xo

64


(2) REGRESSÃO

Objetivo: A regressão linear simples constitui uma tentativa de estabelecer uma equação matemática linear (linha reta) que descreva o relacionamento entre duas variáveis.

Para obter uma reta de regressão, n pares de observações das variáveis são utilizados. Considerando X como a variável independente e Y como a variável dependente, a reta de regressão é dada por:

Y = + X + u

é o coeficiente linear, ou seja, é o ponto onde a reta corta o eixo Y;

é o coeficiente angular, ou seja, determina a inclinação da reta.

Graficamente:

u representa o incremento em Y quando X aumenta em uma unidade;

ESTIMADORES DE E PARA O MODELO DE REGRESSÃO LINEAR

Os valores de a e b serão determinados, através do Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). O objetivo é encontrar a e b tal que a soma dos erros quadráticos médios seja o menor possível.

O erro é determinado por: tal que

Os valores de a e b são encontrados através da seguinte fórmula:

+ X + u

+ X

X X+1

Y

X

65


É importante observar que:

- b mede a variação que ocorre em Y por unidade de variação de X.- Quando não houver relação entre X e Y teremos , pois b=0- Quando as relações entre X e Y forem proporcionais, a reta passa na origem e

a = 0, logo bX

Exemplo:

Sejam duas variáveis X e Y, entre as quais exista uma correlação acentuada, embora não perfeita:

xi yi5 68 97 8

10 106 57 79 83 48 62 2


0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

Podemos concluir que o gráfico se trata de uma correção retilínea, de modo a permitir o ajustamento de uma reta, imagem da função Y = + X + u.

Então, precisamos calcular os valores dos parâmetros da equação que é

uma estimativa da verdadeira equação da reta de regressão, onde é o estimado.

66


xi yi xy x25 6 30 258 9 72 647 8 56 49

10 10 100 1006 5 30 367 7 49 499 8 72 813 4 12 98 6 48 642 2 4 4

Total 65 65 473 481n=10médias 6,5 6,5

Logo,

Para traçar a reta: X=0 => =0,89 X=5 => = 0,89+5.0,86 = 5,19

Estimativa da reta de regressão

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 125

5,19

0,89

XY 8632,08892,0

67


Exercício:

Exemplo 1: Um laboratório está interessado em medir o efeito da temperatura sobre a potência de um antibiótico. Dez amostras de 50 gramas cada foram guardadas a diferentes temperaturas, e após 15 dias, mediu-se a potência. Os resultados estão no quadro abaixo.

Temperatura 30 36 50 54 60 73 78 82 91 95Potência 38 43 32 26 33 19 27 23 14 21

a) Qual a variável dependente?b) Qual a variável independente?c) Encontre os estimadores da reta de regressão.d) Interprete seus valores.

68


Uma importante função de determinar a reta de regressão para duas variáveis é a

possibilidade de realizar previsões, ou seja, uma vez que obtemos a reta de regressão,

podemos escolher um valor de interesse para a variável independente (X) e determinar o

valor esperado para a variável dependente (Y).

Exemplo 1: Determinar a potência do antibiótico quando a exposição for de 65oC. .

COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO

Encontrar uma reta de regressão para duas variáveis não significa encontrar o

melhor modelo matemático para representar a relação entre elas. Isso porque podemos

calcular a equação para quaisquer duas variáveis.

Uma das formas de determinar se o modelo encontrado é satisfatório para explicar

os dados é calculando o COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO do modelo. Esse

coeficiente compara a variabilidade do modelo com a variabilidade total dos dados.

A variabilidade do modelo pode ser calculada como: .

A variabilidade total pode ser calculada como: .

Assim, o coeficiente de determinação R2, é calculado da seguinte forma:

69


Exemplo 1: Calcular e interpretar o coeficiente de determinação R2 para os dados do primeiro exercício.

Temperatura(X)

Potência (Y)

Valores preditos ( )

30 38 39.86 108.16 150.2136 43 37.75 237.16 103.0150 32 32.83 19.36 27.4054 26 31.43 2.56 14.6760 33 29.32 29.16 2.9773 19 24.76 73.96 8.0778 27 23.00 0.36 21.1382 23 21.60 21.16 36.0191 14 18.44 184.96 83.9295 21 17.03 43.56 111.63

27,6

720,4

559,02

R2 0,7759

Interpretação: o modelo explica 77,59% da variabilidade total de Y. Em outras palavras, a variabilidade da potência do antibiótico é 77,59% explicada pela sua temperatura de armazenamento.

70


EXERCÍCIO

Uma amostra de 5 ratos da raça Wistar foi obtida e suas idades (em dias) e pesos (em gramas) são apresentados na tabela abaixo:

Idade (dias) Peso médio (gramas)30 63,9434 74,9138 81,6542 95,0546 105,89

a. Esboce um diagrama de dispersão para essas variáveis.

b. Calcule o coeficiente de correlação de Pearson.

c. Com base nos itens (a) e (b), você acha que há relação entre as duas variáveis? Que

tipo de relação é essa?

d. Deseja-se obter uma reta que explique o peso médio dos ratos em função das suas

idades. Qual deve ser a variável independente e qual deve ser a variável dependente?

e. Obtenha e interprete a reta de regressão.

f. Calcule o coeficiente de determinação para a reta obtida. Você acha que o modelo se

ajusta bem aos dados observados? Por quê?

g. Qual o peso médio, em gramas, para ratos com 32, 40, 43 e 49 dias?

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