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CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali

TD 08 Calcul diffrentielE,F deux R-espace vectoriels de dimensions finies respectives p, n 1.U E un ouvert non vide, a U et f : U F .Exercice 1: Etudier les limites des fonctions suivantes en (0, 0) :1)f(x, y) = xy

x2+y22)f(x, y) = xy

2

x2+y2 3)f(x, y) =x sin yx2+y2

4)f(x, y) = x ln(x2 + y2) 5)f(x, y) = x2y3

x4+x2y2+y4

6)f(x, y) = xyx+y 7)f(x, y) =sin(xy)x2+y2 8)f(x, y) =

2xyy2x2+y2 9)f(x, y) =

x2yx42xy+3y2 10)f(x, y) =

x2yx4+y2

Exercice 2: Etudier la continuit des fonctions suivantes en (0, 0) :

1)f(x, y) =

{x2y2

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

2)f(x, y) =

{x32y3x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

3)f(x, y) =

{sin(xy)|x|+|y| si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

4)f(x, y) =

{ ln(x+ey)x2+y2

si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

5)f(x, y) =

{sin(x) sin(y)x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)6)f(x, y) =

{x2y2x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

Exercice 3: Montrer que la fonction f(x, y) =

{xy2

x2+y4 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

est continue en (0, 0) suivant tout vevteur non nul

mais nest pas continue en (0, 0).Exercice 4: Calculer les diffrentielles des fonctions suivantes :1)f : u L(E) 7 tru 2)f :M Mn(R) 7 tM 3)f : (x, y) R2 7 (2x+ 3y, 5x 7y)4)f : (x, y) R2 7 xy 5)f : (x, y) Rn Rn 7< x, y > 6)f : (A,B,C) (Mn(R))3 7 ABCExercice 5: Dterminer la drive de f en a suivant h dans les cas suivants :1)f : (x, y) R2 7 xy; a = (2, 1), h = (1, 2) 2)f : (x, y) R2 7 xyx+y ; a = (1, 1), h = (1, 2)3)f :M Mn(R) 7 exp(M); a = 0, h = H Mn(R) 4)f :M Mn(R) 7Mp; a = A Mn(R), h = In5)f :M Mn(R) 7 detM ; a = In, h = E11 + E22 6)f : (x, y, z) R3 7 xy + yz + zx; a = (1, 1, 1), h = (1, 2, 3)

Exercice 6: Montrer que f(x, y) =

{y3

x si x 6= 00 si x = 0

est drivable en (0, 0) suivant tout vecteur non nul mais nest pas continue

en (0, 0).


{xy2x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

est continue et drivable en (0, 0) suivant tout vecteur mais f

nest pas diffrentiable en (0, 0).Exercice 8: Dterminer les drives partielles en a de f dans les cas suivants :1)f : (x, y) R2 7 xyx2+y2+1 ; a = (0, 0) 2)f : (x, y) R2 7 xy; a = (1, 2) 3)f : (x, y) R2 7 x+yxy ; a = (x, y)1)f : a+ bX + cX2 R2[X] 7 a+ ab+ abc; a = P 2)f : P Rn[X] 7 P 3; a = P 3)f :M Mn(R) 7Mp; a = AExercice 9: Etudier la diffrentiabilit de f dans les cas suivants :

1)f(x, y) =

{x3yx2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

2)f(x, y) =

{x3y3x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

3)f(x, y, z) =

{xy ln(x2 + y2 + z2) si (x, y, z) 6= (0, 0, 0)0 sinon

4)f(x, y) =

{2x3+3xy2

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

5)f(x, y) =

{x2y3

(x2+y2)2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

6)f(x, y) =

{8x2y2

4x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

Exercice 10: Dterminer la matrice Jacobienne de f dans les cas suivants :

1)f : R2 R2

(x, y) 7 (2x+ 3y, 6x 7y) 2)f : R2 R3

(x, y) 7 (x+ y, x2 + y2, x2 y2) .

3)f : R3 R

(x, y, z) 7 x2 + xy3 + y sin z 4)f : R2 R2

(x, y) 7 (x+ y, xy)Exercice 11: Dterminer la diffrentielle de chacune des fonctions suivantes :1)f(x, y) = x3 + 2xy2 + x2y + 3x3y2 2)f(x, y) = xy 3)f(x, y, z) = (xy + yz + zx, xyz, x2 + y2 + z2)4)f(x, y) = x sin y y sinx 5)f(x, y) = sin(xy) 6)f(x, y, z) = (3x+ 2y + z, x 7y + z, 5x y z)Exercice 12: Calculer la diffrentielle de g f dans les cas suivants :1)f(x, y) = (x+ y, xy), g(x, y) = (x2 + y2, x2 y2) 2)f(x, y) = (xy, x+ y, x y), g(x, y, z) = x+ yz3)f(x, y) = (x+ y, x y), g(x, y, z) = (x+ y + z, xy + xz + yz, xyz) 4)f(x, y) = (2x+ y, x+ 2y), g(x, y) = (xy, x2 + y2)5)f(x, y, z) = (xy + yx, xz + zx, yz + zx), g(x, y, z) = x2 + y2 + z2

Exercice 13: Soient n, p N et A Sn(R). Calculer les diffrentielles des applications suivantes :

1)f : X Mn1(R) 7 tXAX 2)g : f :M Mn(R) 7Mp 3)h :M Mn(R) 7 tr(Mp)

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Exercice 14: Soient E un espace euclidien et a E. Calculer les diffrentielles des applications suivantes :1)f : x E 7 x2 2)g : x E 7 a, xx

Exercice 15: Soit f, g : R R drivables sur R. Montrer que les fonctions u(x, y) = f(xy), v(x, y) = f(x + y) etw(x, y) = f(x)g(y) sont diffrentiable sur R2 et calculer leurs diffrentielles.Exercice 16: Soient E un espace euclidien, U un ouvert de E et f : U R diffrentiable sur U .1: Montrer que la fonction u = f2 est diffrentiable sur U et calculer sa diffrentielle et son gradient.2: On suppose que f > 0. Montrer que la fonction v =

f est diffrentiable sur U et calculer sa diffrentielle et son gradient.

Exercice 17: Soient f : R3 R diffrentiable et g : (x, y, z) 7 f(x y, y z, z x). Montrer que gx + gy + gz = 0.Exercice 18: Soient E est euclidien et u L (E).Montrer que f : x xx2 est diffrentiable sur E \ {0} et que si x = 1 alors df(x) est la rflexion dhyperplan x.Exercice 19: Soient E est euclidien et u L (E).1: Montrer que f : x x est diffrentiable sur E \ {0} et dterminer df(x) pour tout x E \ {0}.2: Montrer que g : x x1+x est diffrentiable sur E \ {0} et dterminer df(x) pour tout x E \ {0}.Exercice 20: On suppose que E est euclidien et soit u L (E) autoadjoint.1: Montrer que f : x 7 x, u(x) est diffrentiable sur E. Calculer df(x) pour tout x E.2: Montrer que g : x 7 x,u(x)x2 est diffrentiable sur E \ {0}. Calculer dg(x) pour tout x E \ {0}.3: Soit x E \ {0}. Montrer que dg(x) = 0 ssi x est un vecteur propre de u.4: En dduire que si v L(E), v = max

Sp(vv)

(v = sup

xE\{0}

v(x)x dsigne la norme subordonne de v).

Exercice 21: Dterminer les fonctions f : R2 R diffrentiables sur R telles que : fx = fy (Considrer le changement devariables (u, v) = (x+ y, x y)).Exercice 22: Dterminer les fonctions f :]0,+[2 R diffrentiables sur ]0,+[2 telles que : xfy + y fx = x2+ y2 (Passeraux coordonnes polaires).Exercice 23: Soit U = R2 \R. Dterminer les fonctions f : U R diffrentiables sur U telles que : xfy y fx = 1 (Passeraux coordonnes polaires).Exercice 24: Dterminer les fonctions f :]0,+[2 R diffrentiables sur ]0,+[2 telles que : xfx = y fy (Considrer lechangement de variables (u, v) =

(xy, xy

)).

Exercice 25: Dterminer les fonctions f :]0,+[2 R diffrentiables sur ]0,+[2 telles que : xfy y fx = 4xy (Considrerle changement de variables (u, v) = (x2 + y2, x2 y2)).Exercice 26: Dterminer une quation du plan tangent en (1, 1, 1) la surface z = xy.Exercice 27: Soit la surface dquation z = x2 y2. Etudier sa position relativement sa tangente en A(1, 1, 0).Exercice 28: Dterminer une quation du plan tangent en (0, 2, 1) la surface xy y ln z + sinxz = 0.Exercice 29: Donner une quation du plan tangent la surface x2z + 3xyz = 0 au point (3, 1, 1).Exercice 30: Donner une quation de la tangente la limniscate de Bernoulli (x2 + y2)2 + y2 x2 = 0 au point A(

64 ,24 ).

Exercice 31: Soit (a, b, c) 6= (0, 0, 0). Donner une quation du plan tangent la surface ax2 + by2 + cz2 = 1 au point(x0, y0, z0) S.Exercice 32: Soit U un ouvert de Rn et f : U R de classe C 1 sur U .Montrer que si M 0,x U,i {1, . . . , n},

fxi (x) M alors x, y U, |f(x) f(y)| Mnx y2.Exercice 33: Pour quelles valeurs de p, q N la fonction f(x, y) =

{xpyq

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

est-elle continue ? diff-

rentiable ? de classe C 1 sur R2 ?Exercice 34: Les fonctions suivantes sont-elle continues ? diffrentiables ? de classe C 1 sur R2 ?

1)f(x, y) =

{x3yx4+y2 si(x, y) 6= (0, 0)0 sinon

2)f(x, y) =

{xy3

x4+y2 si(x, y) 6= (0, 0)0 sinon

3)f(x, y) =

{x sin yy sin x

x2+y2 si(x, y) 6= (0, 0)0 sinon

4)f(x, y) =

{x3yxy3x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)

0 sinon5)f(x, y) =

{x55y4x2+4y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

Exercice 35: Soit f : U R convexe.1: Montrer que si f est diffrentiable sur U alors a U,h E, a+ h U f(a+ h) f(a) + df(a)(h).2: Si f est C 2 sur U , montrer que la matrice Hessienne de f sur U est positive.Exercice 36: Soit f : E F telle que > 0,x, y E, f(x) f(y) x y2. Montrer que f est constante sur E.Exercice 37: Soit f : R2 R dfinie par f(x, y) = arctanx+ arctan y arctan x+y1xy .Montrer que f est C 1 sur Df . Calculer df , en dduire une expression simple de f .


{xy(x2y2)x2+y2 Si (x, y) 6= (0, 0)

0 Sinonnest pas de classe C 2 sur R2.



Exercice 39: Soit lapplication f : R2 R2 dfinie par f(x, y) ={

y4

x2+y2 Si (x, y) 6= (0, 0)0 Sinon

.

1: Montrer que f est de classe C 1 sur R2.2: Montrer que

2fyx (0, 0) et

2fxx (0, 0) existent et sont gales.

3: Montrer que 2f

yx et2fxx ne sont pas continues en (0, 0). Conclure.

Exercice 40: Pour quelles valeurs de p N la fonction f(x, y) ={

xpyx2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 sinon

est-elle continue ? diffren-

tiable ? de classe C 1 ? de classe C 2 sur R2 ?


{x3yx2+y2 Si (x, y) 6= (0, 0)0 Sinon

nest pas de classe C 2 sur R2.

Exercice 42:1: Montrer que f :M Mn(R) 7 detM est de classee C et que A,H MnR, df(A)(H) = tr(tCom(A)H).2: Soit A Mn(R). Montrer que A = tr(Com(A XIn)). En dduire A = (1)nXn + (1)n1tr(A)X + tr(Com(A))X + det(A).Exercice 43: Donner le dveloppement de Taylor dordre 2 des fonctions suivante en a :1)f(x, y) = xy+1 , a = (0, 0) 2)f(x, y) =

cos xcos y , a = (0, 0) 3)f(x, y) =

xyx2+y2+1 , a = (0, 0)

4)f(x, y) = sin(2x) sin y + cosx, a = (0, 0) 5)f(x, y, z) = ln(2x y + z), a = (1, 1, 0) .

Exercice 44: Dterminer les fonctions f C 2(R2) telles que 2fx2 2fy2 = (x

2 y2) (Considrer le changement de variables(u, v) = (x+ y, x y)).Exercice 45: Dterminer les fonctions f C 2(R2) telles que 22fx2

2fxy

2fy2 = 0 (Considrer le changement de variables

(u, v) = (2x+ y, x y)).Exercice 46: Dterminer les fonctions f C 2(]0,+[2) telles que x2 2fx2 = y2

2fy2 (Considrer le changement de variables

(u, v) = (xy, xy )).

Exercice 47: Dterminer les fonctions f C 2(]0,+[2) telles que x2 2fx2 + 2xy 2f

xy + y2

2fy2 = 0 (Passer aux coordonnes

polaires).Exercice 48: Dterminer les extremums de f : R2 R dans les cas suivants :1)f(x, y) = x3 + y2 3xy 2)f(x, y) = x3 + x2 + y2 3)f(x, y) = x4 + y4 xy4)f(x, y) = x4 + y4 2(x y)2 5)f(x, y) = (x y)exy 6)f(x, y) = 6xy + (y x)37)f(x, y) = x2 + y2 + xy 3x 6y 8)f(x, y) = xy(1 x2 y2) 9)f(x, y) = (x+ y)2 x3 + x4; ( R)Exercice 49: Montrer que f(x, y) = (y x2)(y 2x2) admet un minimum en (0, 0) suivant toute direction mais que (0, 0)nest pas un minimum de f .

Exercice 50: Dterminer mina,b,cR

11(sinpit a bt ct2)2dt.

Exercice 51: Soit E un espace prhilbertien, F un sous-espace vectoriel de E, a E et b F .Montrer que a b = d(a, F ) b a est orthogonal F .Exercice 52: Soit f(x, y) =

+n=1

cosny

nxsur ]1,+[R.

1: Montrer que f est continue sur ]1,+[R.2: Soit x > 2. Montrer que g(y) =

+n=1

cosny

nxest C1 sur R et dterminer g.

3: Montrer que fy est continue sur ]2,+[R.

4: Soit y R. Montrer que h(x) =+n=1

cosny

nxest C1 sur ]2,+[ et dterminer h.

5: Montrer que fx est continue sur ]2,+[R.6: Etudier la diffrentiabilit de la fonction f sur ]2,+[R.Exercice 53: Montrer que lapplication f(x, y) =

+n=1

(x+ y)n

n2est C sur D = {(x, y) R2/|x + y| < 1} et calculer df

sur D.
