CARRETERAS, Alineamiento horizontal

Antes de realizar una carretera, se hacen varios estudios socioeconómicos para la justificación de la construcción de la misma. Una vez realizados los estudios socioeconómicos que justifican la construcción de nuevos caminos es necesario programar los estudios de vialidad. Se realiza una serie de trabajos preliminares que básicamente comprenden el análisis comparativo de todas las rutas posibles y convenientes para seleccionar en cada caso la que ofrezca las mayores ventajas económicas y sociales.

Actividades para seleccionar la Ruta Las actividades principales para el análisis comparativo de las diferentes rutas son el acopio de datos, el análisis de información y los levantamientos topográficos que pueden ser aéreos o terrestres. El acopio de datos requerirá de mapas topográficos, geológicos, hidrológicos y usos de la tierra donde aparecen la ubicación de las poblaciones auxiliándose de estas cartas y con mapas que indiquen la potencialidad económica, se dibujan sobre ella las posibles rutas.

Anteproyecto Es el resultado de estudios y levantamientos topográficos con base en los datos previos para situar el plano obtenido de esos levantamientos a el eje que seguirá el camino.

Proyecto Definitivo La línea preliminar servirá para apoyar al estudio de una franja de terreno de 100 a 200 m de ancho a cada lado del eje, dependiendo de la pendiente transversal del terreno. Deberán obtenerse en esa franja de terreno las características hidrográficas y curvas de nivel para hacer posible el proyecto definitivo.

PROYECTO GEOMÉTRICO.

3.1. - RECONOCIMIENTO TOPOGRÁFICO.

Antes de iniciar propiamente los estudios topográficos se requiere de un reconocimiento preliminar en el cual, primero se hará una entrevista o reunión con los beneficiarios para recoger datos de gran utilidad en el proyecto como lo relativo a afectaciones, características de ríos, nombre de lugares intermedios, localización de zonas bajas o inundables, niveles de agua en crecientes y si es posible alguna de esas personas auxiliara como guía en el reconocimiento técnico del camino.

Una vez hecho esto se procederá a hacer un reconocimiento directo del camino para determinar en general características:

o Geológicas o Hidrológicas o Topográficas y complementarias

Así sé vera el tipo de suelo en el que se construirá el camino, su composición y características generales, ubicación de bancos para revestimientos y agregados para las obras de drenaje, cruces apropiados para el camino sobre ríos o arroyos, existencia de escurrimientos superficiales o subterráneos que afloren a la superficie y que afecten el camino, tipo de vegetación y densidad, así como pendientes aproximadas y ruta a seguir en el terreno.

Este reconocimiento requiere del tiempo que sea necesario para conocer las características del terreno donde se construirá el camino, y para llevarlo a cabo se utilizan instrumentos sencillos de medición como brújulas para determinar rumbos, clisimetro para determinar pendientes, odómetro de vehículos y otros instrumentos sencillos.

A través del reconocimiento se determinan puertos topográficos que son puntos obligados de acuerdo a la topografía y puertos determinados por lugares obligados de paso, ya sea por beneficio social, político o de producción de bienes y servicios.

Con todos los datos recabados, resaltando los más importantes, se establecerá una ruta tentativa para el proyecto.

Existen procedimientos modernos para el reconocimiento como el fotogramétrico electrónico, pero resulta demasiado costoso, muchas veces para el presupuesto que puede tener un camino, también es importante decir que el tipo de vegetación y clima de algunas regiones no permite usar este procedimiento por lo que se tiene que recurrir al reconocimiento directo que se puede auxiliar por cartas topográficas.

Reconocimiento topográfico.

ESPESOR DE PAVIMENTO.

El espesor de los pavimentos de tipo flexible se puede determinar empleando diferentes métodos, sin embargo, en México se fija según el valor relativo de soporte modificado (V.R.S.) del suelo que forma las terracerias ya compactadas al mínimo especificado.

Para fijar este mínimo de compactación es necesario que las terracerias se estudien con mucho cuidado mediante la Razón de compactación a fin de que en el campo se de un peso volumétrico seco adecuado.

Se aconseja el método de la Razón de compactación porque el permite calificar con bastante preescisión el grado de compactación de una estructura de suelo y establecer concretamente los requisitos que deben cumplir los terraplenes, sub-bases y bases para comportarse con eficacia.

Es necesario recordar que algunos materiales en especial las arcillas expansivas, si se les compacta en forma excesiva presentan cambios volumétricos mayores, y además, con el tiempo, pierden algo de su alta compactación.

Relación entre el cálculo de estructuras y las técnicas de la Mecánica del Suelo. El suelo como estructura.

No se dirá nada nuevo, excepto quizá a los más neófitos, al corroborar la gran relación que existe entre el suelo y las estructuras. Cualquier calculista de estructuras debería saber desarrollar correctamente cálculos geotécnicos o al menos tener claros los pasos a seguir al enfrentarse a ellos, ya que al cabo nos seguimos moviendo dentro del mismo lenguaje.

El terreno, como material tiene un comportamiento estructural más complejo que el de los materiales clásicos a los que estamos acostumbrados que son más homogéneos, es por ello que se ha tratado de analizar su conducta de manera sencilla, partiendo de hipótesis de uniformidad macroscópica bajo los que subyace un material mixto confuso conformado por partículas, oquedades, agua y aire.

Si bien al hablar de terreno deberíamos realmente de distinguir entre diversos tipos de terreno o materiales (cohesivos, coherentes, roca), quizás entre los materiales que pudieran estar más cercanos al terreno estaría el hormigón, que comparte con él su naturaleza mixta (cemento, áridos y agua) y muchas propiedades, especialmente en su fase previa al curado, y que no en vano ha dejado tras de sí varios modelos de cálculo que cada día se van refinando a partir de la inclusión de nuevos factores.

La Mecánica del Suelo, una de las ramas incorporada más recientemente de manera oficial a la Mecánica, basa muchos de sus conceptos en la mecánica de los medios continuos y la mecánica de los fluidos, utilizando la mayoría de las veces simplificaciones de aquellas para caracterizar el comportamiento del terreno.

Las similitudes entre dichas ciencias son muchas. Entre ellas podemos destacar:

-Propiedades: la caracterización y clasificación del suelo ha traído consigo una serie de parámetros mecánicos cuyo uso se ha hecho más familiar en el tratamiento del terreno (porosidad, humedad, compactación, consistencia, etcétera). Sin embargo, estas propiedades no son exclusivas del suelo. Así también hablamos de consistencia y porosidad en hormigón, y de humedad en la madera. Otras propiedades comunes se han hecho más específicas en la mecánica del suelo dado que el terreno no se compone exclusivamente de material sólido, sino también de aire y especialmente de agua, lo que ha dado lugar al estudio de la permeabilidad, a la distinción entre densidad seca, húmeda, saturada, sumergida, etc.

-Las leyes de comportamiento: estamos acostumbrados a tratar con materiales elásticos (acero) o elastoplásticos (hormigón) en estructuras. También los suelos se modelizan muchas veces con dichos comportamientos. Muchos de los métodos de cálculo geotécnico se fundan en la consideración de un terreno homogéneo, isótropo y elástico dada la sencillez de dicho modelo (espacio de Boussinesq, teoría de elástica homogénea sobre capa rígida, etcétera); al igual que ocurre con la mayoría de los materiales de estructuras.

Así si una de las formas de dimensionamiento en acero es la de hacer que este trabaje bajo comportamiento elástico, lo mismo ocurre cuando tratamos de dar suficiente área a nuestras fundaciones es para evitar presiones de hundimiento por encima de las que el terreno plastifica (rotura). También como consecuencia de lo anterior podemos, al igual que ocurre en la elasticidad de la mecánica de los medios continuos, estudiar el estado tensional de los suelos en su caracterización elástica mediante el gráfico de Mohr. También son válidos otros gráficos como el elipsoide de Lamé para estudiar las relaciones tensión-deformación en el espacio.

-Resistencia y deformación: al igual que un calculista comprueba un elemento estructural frente a resistencia y deformación, en un cimiento comprobaremos que el suelo no rompa (hundimiento) y que no se deforme por encima de los límites exigidos (asentamiento). Al igual que hablamos de deformaciones instantáneas y diferidas del hormigón, encontraremos asientos instantáneos (sin drenaje) y diferidos (asiento de consolidación).

Un concepto que sin embargo es específico para el estudio tensional del terreno y que por su importancia debemos mencionar aquí es el de tensión efectiva (Terzhagui, 1936), ley fundamental de la Mecánica del Suelo que establece que la deformación y resistencia de un suelo no dependen de la tensión total, sino de la llamada tensión efectiva (σ') que tiene en cuenta la presencia de agua y que se define como

σ' = σ - u

o sea como la tensión total menos la presión del agua que existe en los poros.

-Seguridad: la comparación entre los coeficientes de seguridad utilizados en el cálculo de estructuras y los utilizados en la Mecánica del Suelo, apreciablemente mayores, denotan que hoy por hoy sigue siendo más difícil determinar las condiciones y propiedades reales de un suelo que la de materiales como el hormigón o el acero.

Longitudes mínimas de anclajes de pantallas Con el nuevo Código Técnico, las pantallas de contención han pasado a estar normadas, si bien

quedan todavía muchas cuestiones que el CTE no trata, una de ellas es la longitud de los anclajes, dicha longitud ha de ser mayor que las siguientes longitudes:

- Aquella que haga que el anclaje quede fuera de la cuña de rotura plana (cuña de empuje activo con pendiente 45-�/2 siendo � el ángulo de rozamiento interno del terreno -en el caso de existir varios estratos con ángulos diferentes, del lado de la seguridad bastará tomar el mayor). Conviene además, de manera conservadora, tomar dicha cuña desde el extremo inferior de la pantalla y añadirle a dicha longitud un 15% de la altura de excavación de la pantalla (ver figura inferior).

- La que se necesite para que el bulbo del anclaje quede dentro de terreno competente (firme).

- Al menos 8 m según las «Recomendaciones para el proyecto, construcción y control de anclajes al terreno. H.P.8-96» (Manual G-1 de Geotecnia de la ATEP). En el apartado «2.8 Criterios básicos de predimensionado» de dicha publicación se indica que la longitud libre mínima de cualquier tipo de anclaje será de cinco metros y la longitud mínima del bulbo de tres metros en cualquier caso, en definitiva, ocho metros. No sé aclaran las razones que llevan a los autores del Manual a considerar dichas longitudes mínimas.

Bibliografía: - Rodríguez Ortiz, José María. «Algunos temas de interés en el diseño de muros pantalla.

Jornadas técnicas SEMSIG-AETESS 2ª sesión Muros Pantalla en Ámbito Urbano». SEMSIG, AETESS, CEDEX. Madrid 2002.

- «Recomendaciones para el proyecto, construcción y control de anclajes al terreno. H.P.8-96». Geotecnia, G-1. Asociación Técnica Española de Pretensado (ATEP); Instituto de Ciencias de la Construcción Eduardo Torroja, Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

CLASIFICACION DE LAS CARRETERAS

CAMINOS Y CARRETERAS.

Algunos acostumbran denominar CAMINOS a las vías rurales, mientras que el nombre de CARRETERAS se lo aplican a los caminos de características modernas destinadas al movimiento de un gran numero de vehículos.

La carretera se puede definir como la adaptación de una faja sobre la superficie terrestre que llene las condiciones de ancho, alineamiento y pendiente para permitir el rodamiento adecuado de los vehículos para los cuales ha sido acondicionada.

CLASIFICACION DE LAS CARRETERAS

Las carreteras se han clasificado de diferentes maneras en diferentes lugares del mundo, ya sea con arreglo al fin que con ellas se persigue o por su transitabilidad.

En la practica vial mexicana se pueden distinguir varias clasificaciones dadas en otros países. Ellas son: clasificación por transitabilidad, Clasificación por su aspecto administrativo y clasificación técnica oficial.

CLASIFICACION POR SU TRANSITABILIDAD.- la clasificación por su transitabilidad corresponde a las etapas de construcción de las carreteras y se divide en:

1. Terracerias: cuando se ha construido una sección de proyecto hasta su nivel de subrasante transitable en tiempo de secas.

2. Revestida: cuando sobre la subrasante se ha colocado ya una o varias capas de material granular y es transitable en todo tiempo.

3. Pavimentada: cuando sobre la subrasante se ha construido ya totalmente el pavimento.

La clasificación anterior es casi universalmente usada en cartografía y se presenta así:

CLASIFICACION ADMINISTRATIVA.- por el aspecto administrativo las carreteras se clasifican en:

1. Federales: cuando son costeadas íntegramente por la federación y se encuentran por lo tanto a su cargo.

2. Estatales: cuando son construidos por el sistema de cooperación a razón del 50% aportados por el estado donde se construye y el 50% por la federación. Estos caminos quedan a cargo de las antes llamadas juntas locales de caminos.

3. Vecinales o rurales: cuando son construidos por la cooperación de los vecinos beneficiados pagando estos un tercio de su valor, otro tercio lo aporta la federación y el tercio restante el estado. Su construcción y conservación se hace por intermedio de las antes llamadas juntas locales de caminos y ahora sistema de caminos.

4. De cuota: las cuales quedan algunas a cargo de la dependencia oficial descentralizada denominada Caminos y Puentes Federales de Ingresos y Servicios y Conexos y otras como las autopistas o carreteras concesionadas a la iniciativa privada por tiempo determinado, siendo la inversión recuperable a través de cuotas de paso.

CLASIFICACION TÉCNICA OFICIAL.- esta clasificación permite distinguir en forma precisa la categoría física del camino, ya que toma en cuenta los volúmenes de transito sobre el camino al final del periodo económico del mismo (20 años) y las especificaciones geométricas aplicadas. En México la Secretaria de Comunicaciones y Transportes (S.C.T.) clasifica técnicamente a las carreteras de la manera siguiente:

a. Tipo especial: para transito promedio diario anual superior a 3,000 vehículos, equivalente a un transito horario máximo anual de 360 vehículos o más (o sea un 12% de T.P.D.) estos caminos requieren de un estudio especial, pudiendo tener corona de dos o de cuatro carriles en un solo cuerpo, designándoles A2 y A4, respectivamente, o empleando cuatro carriles en dos cuerpos diferentes designándoseles como A4, S.

Tipo A: para un transito promedio diario anual de 1,500 a 3,000 equivalente a un transito horario máximo anual de 180 a 360 vehículos (12% del T.P.D.).

Tipo B: para un transito promedio diario anual de 500 a 1,500 vehículos, equivalente a un transito horario máximo anual de 60 a 180 vehículos (12% de T.P.D.)

Tipo C: para un transito promedio diario anual de 50 a 500 vehículos, equivalente a un transito horario máximo anual de 6 a 60 vehículos (12% del T.P.D.)

En la clasificación técnica anterior, que ha sufrido algunas modificaciones en su implantación, se ha considerado un 50% de vehículos pesados igual a tres toneladas por eje. El numero de vehículos es total en ambas direcciones y sin considerar ninguna transformación de vehículos comerciales a vehículos ligeros. (En México, en virtud a la composición promedio del transito en las carreteras nacionales, que arroja un 50% de vehículos comerciales, de los cuales un 15% esta constituido por remolques, se ha considerado conveniente que los factores de transformación de los vehículos comerciales a vehículos ligeros en caminos de dos carriles, sea de dos para terreno plano, de cuatro en lomeríos y de seis en terrenos montañosos.)

CURSO DE PUENTES Y VIADUCTOS

1. INTRODUCCIÓN

La gran irregularidad topográfica y el rápido desarrollo de los centros urbanos han determinado que las vías de comunicación requieran con gran frecuencia de la construcción de puentes y viaductos.

Por lo general, el término puente se utiliza para describir a las estructuras viales, con trazado por encima de la superficie, que permiten vencer obstáculos naturales como ríos, quebradas, hondonadas, canales, entrantes de mar, estrechos de mar, lagos, etc.

Por su parte, el término viaducto está generalmente reservado para el caso en que esas estructuras viales se construyan por necesidades urbanas o industriales (como los pasos elevados dentro de las ciudades o de los complejos industriales), o para evitar el cruce con otras vías de comunicación (como los intercambiadores de tránsito en las autopistas).

PUENTES

DEFINICIÓN

Son estructuras que proporciona una vía de paso para salvar obstáculos sobre ríos, lagos,

quebradas, valles, pasos a desnivel, carreteras, entre otros.

LOS PRIMEROS PUENTES

Es probable que los primeros puentes se realizaran colocando uno o más troncos para cruzar un

arroyo o atando cuerdas y cables en valles estrechos. Este tipo de puentes todavía se utiliza. Los puentes

de un tramo (llamamos tramo a la distancia entre dos apoyos) son un desarrollo de estas formas

elementales. El método de colocar piedras para cruzar un río, mejorado con troncos situados entre las

piedras para comunicarlas, es el prototipo de puente de múltiples tramos. Los postes de madera clavados

en el fondo del río para servir de apoyo de troncos o vigas permitieron atravesar corrientes más anchas y

caudalosas. Estos puentes, llamados de caballete, se utilizan todavía para atravesar valles y ríos en los

que no interfieren con la navegación. El uso de pilas de piedra como apoyo para los troncos o maderos

fue otro avance importante en la construcción de puentes con vigas de madera. La utilización de

flotadores en lugar de apoyos fijos creó el puente de pontones. Los puentes de vigas de madera han sido

los más utilizados desde la antigüedad, aunque según la tradición se construyó un puente de arco de

ladrillos hacia el 1800 A.C. en Babilonia. Otros tipos de construcción, como los puentes colgantes y los

cantilever, se han utilizado en la India, China y Tibet. Los puentes de pontones los utilizaban los reyes

persas Darío I y Jerjes I en sus expediciones militares.

Los romanos construyeron muchos puentes de caballete con madera, uno de los cuales se describe

con detalle en la obra Comentarios de Julio Cesar. Sin embargo, los puentes romanos que se mantienen

en pie suelen sustentarse en uno o más arcos de piedra, como el puente de Martorell cerca de Barcelona,

en España, construido hacia el 219 A.C., y el Ponte di Augusto en Rimini, Italia, del siglo I A.C. El Pont du

Gard en Nîmes, Francia, tiene tres hileras de arcos que elevan el puente a 47 m sobre el río Gard; con

una longitud de 261 m es el ejemplo mejor conservado de gran puente romano; fue construido en el siglo I

A.C. La utilización de arcos de medio punto derivó más tarde en la de arcos apuntados. Los arcos

modernos suelen ser escárzanos o con forma semielíptica, ya que permiten tramos más largos sin

interrumpir la navegabilidad y con altura moderada. El puente sobre el río Tweed (1803) en Kelso,

Escocia, ejemplo de puente de arco semielíptico, fue diseñado por el ingeniero británico John Rennie.

Los puentes de vigas tienen limitada la longitud de los tramos por la resistencia de las vigas. Esta

limitación se supera ensamblando las vigas en triángulos. Leonardo da Vinci esbozó puentes de este tipo,

y el arquitecto italiano Andrea Palladio probablemente construyó varios. En Suiza se construyeron dos

puentes de vigas trianguladas en 1760. Sin embargo, la construcción de estos puentes no se desarrolló a

gran escala hasta después de 1840.

TIPOS DE PUENTES

Los Puentes pueden clasificarse en tipos diferentes, de acuerdo a diversos conceptos, entre los

cuales citaremos los siguientes: tipo de material utilizado en su construcción, sistema estructural

predominante, sistema constructivo empleado, uso que tendrá el puente, ubicación de la calzada en

la estructura del puente, etc.

Aclarando lo enunciado anteriormente, vamos a ampliar cada uno de los conceptos, haciendo

una enumeración de algunos ejemplos, los mas comunes.

1. Según el material con el cual se construyen.

1.1.Mampostería ( ladrillo ).

1.2.Madera.

1.3.Concreto armado.

1.4.Concreto precomprimido.

1.5.Acero.

1.6.Hierro forjado.

1.7.Compuestos.

La estructura de un puente no esta constituida por un solo tipo de material, por lo cual esta

clasificación no siempre se adaptara totalmente a la realidad. Aun así no deja de ser válida.

Los puentes de arcos hechos con mampostería de ladrillos, preferiblemente tendrán las bases

construidas con mampostería de piedra, con el objeto de darles mayor consistencia y hacerlas más

duraderas al embate de las aguas de un río.

Así mismo, un puente cuyo tablero sea de madera podría tener las fundaciones de

mampostería de piedra ó de concreto. Los puentes con tableros metálicos, cuando son de cierta

envergadura o cuando el suelo es agresivo al metal, químicamente hablando, tendrán sus bases

construidas con otro material.

En general, la losa de calzada de los puentes cuyo material portante de los tableros es el acero,

será de concreto armado, aún cuando hay muchos ejemplos de calzadas constituidas por láminas de

acero, recubiertas ó no con concreto asfáltico ó con compuestos de arena y epoxy (puentes elevados,

por ejemplo); en este caso, el recubrimiento serviría para proveer a la calzada de un coeficiente de

fricción adecuado ó para hacerla menos ruidosa al paso de los vehículos.

En puentes cuyo tablero es de concreto precomprimido, las columnas de las Pilas y sus

fundaciones, así como los estribos y muros, serán de concreto armado. Las anteriores descripciones

solo son un ejemplo de las combinaciones que pueden lograrse.

2. Según el obstáculo que salva.

2.1.Acueductos. Soportan un canal o conductos de agua.

2.2.Viaductos. Son puentes construidos sobre terreno seco o en un valle y formados por un conjunto de

tramos cortos.

2.3.Pasos elevados. Puentes que cruzan las autopistas y las vías de tren.

2.4.Carretera elevada. Un puente bajo, pavimentado, sobre aguas pantanosas o en una bahía y formado

por muchos tramos cortos.

2.5.Alcantarillas. Un puente por debajo del cual transitan las aguas de un río o quebrada.

3. De acuerdo al sistema estructural predominante.

3.1.Isostáticos.

3.2.Hiperestáticos.

Esto nunca será cierto en toda la estructura de un puente; a menos que se quisiera lograr

con mucho empeño, todos los elementos de un puente no podrán ser isostáticos; basta decir que un

tablero simplemente apoyado de un puente, está formado por un conjunto altamente hiperestático de

losa de calzada, vigas y diafragmas transversales (separadores), cuyo análisis estático es complicado de

realizar. Hoy en día, con la posibilidad de utilizar las computadoras las complicaciones se han

reducido notablemente.

Aun así, la clasificación es cierta si se hacen algunas consideraciones, por ejemplo:

Se denomina "Puente isostático" a aquel cuyos tableros son estáticamente independientes

uno de otro y, a su vez, independientes, desde el punto de vista de flexión, de los apoyos que lo

sostienen.

“Puente hiperestático" es aquel cuyos tableros son dependientes uno de otro desde el

punto de vista estático, pudiendo establecerse ó no una dependencia entre los tableros y sus apoyos.

Otra clasificación podría incluir:

Puentes en arco, en los cuales el elemento estructural predominante es el arco. A su vez, el

material de construcción utilizado, sería el concreto el acero, y podría ser isostático o hiperestático.

Puentes colgantes, cuyos elementos portantes primordiales son los cables, de los cuales cuelgan

las péndolas que, a su vez, soportan el tablero. Los puentes colgantes pueden ser total o parcialmente

suspendidos; estos últimos son los que tienen los tramos de acceso sin péndolas, o sea , el tablero de

los £ramos secundarios se soportan a si mismo, sin depender de los cables.

Puentes de vigas Gerber; - tienen tableros isostáticos apoyados - - sobre voladizos de otros

tramos también isostáticos o hiperestáticos.

4. Según su uso.

4.1.Peatonal: es cuando su uso se circunscribe al tráfico de peatones, exclusivamente.

4.2.Carretero: es el más corriente. Se utiliza para el paso de una carretera sobre un cursó de agua o el

paso sobre otra vía, o a cierta altura sobre un valle.

4.3.Ferrocarrilero: para el paso del ferrocarril.

4.4.Compuestos.

4.5.Acueducto, para el soporte dé tuberías de agua, gas, petróleo etc.

5. De acuerdo al Sistema Constructivo empleado.

En general esta clasificación se refiere al tablero.

5.1.Vaciado en sitio, si la colada de concreto se hace sobre un encofrado dispuesto en el lugar definitivo.

5.2.Losa de concreto armado o postensado sobre vigas prefabricadas (de concreto armado o

precomprimido vigas inetálicas, etc.).

5.3.Tablero construido por voladizo sucesivos (por dovelas prefabricadas o vaciadas en sitio); puede

ser construido por adición sucesiva de elementos de acero, soldados 6 empernados.

5.4.Tableros atirantados (tipos de puente sobre el Lago de Maracaibo).

5.5.Tableros tipo arpa, con doble fila de soporte o una sola fila.

5.6.Tablero lanzado, en el cual el tablero se construye en uno de los extremos del vano a cubrir y se

lleva a su sitio deslizándolo sobre rodillos, suplementando el extremo delantero de la estructura

con un elemento estructural auxiliar, llamado "nariz de lanzamiento"; algunas veces se utilizan

apoyos auxiliares provisionales para facilitar el lanzamiento; otras veces se enlazan provisionalmente

varias estructuras isostáticas para realizar el lanzamiento:, después del cual se desacoplan para que

trabajen de forma isostática.

6. Según la ubicación de la calzada

6.1.De calzada superior es cuando la estructura portante tablero está ubicada íntegramente debajo de la

calzada

6.2.De calzada inferior son los tableros cuya estructura portante esta ubicada a los lados de la

calzada sobresaliendo de su superficie o que esté ubicada por encima de la misma.

Hay casos de puentes que tienen estructura por encima de calzada en algunos sectores y por

debajo de ella, en otro (puente sobre la Bahía de Sydney, Puente Forth en Escocia, etc.

Los puentes de doble nivel de calzada constituyen u mezcla auténtica de los dos tipos de

calzada (Puente sobre Bahía de Oakland, Puente Brooklin, etc.).

7. Puentes en Esviaje.

Se dice que el tablero de un puente tiene esviaje, que está construido en esviaje, cuando la

forma en planta del tablero no es rectangular. Esto quiere decir que los apoyos del tablero forman un

ángulo distinto a 90 grados, con el eje longitudinal del tablero.

Consto que no se habla de relación geométrica de ejes calzada superior con vías inferiores, ya

que el caso de esviaje que se presentara por estas condiciones, podría resolverse con pilas

monocolumnas. Generalmente, los apoyos de un puente suele ubicarse paralelos a las vías inferiores

por razones simplicidad, de menor molestia a los usuarios de las calzadas que pasan debajo de los

tableros, o para facilitar el flujo del flujo de agua. Sin embargo el esviaje en el tablero, complica análisis

y diseño y su construcción.

Los tableros con planta curva también tienen las mismas dificultades, las cuales aumentan

mientras menor sea el radio de curvatura, mayor la longitud de los tramos.

8. Alcantarillas.

Son estructuras menores, aunque pueden llegar a ser obras de cierta importancia, de acuerdo a

circunstancias específicas.

Generalmente se utilizan como pasos a través de terraplene. por lo cual quedan enterradas,

detectándose su presencia por (cabezales que asoman en cada extremo por una cierta

prolongación de la misma alcantarilla).

Pueden ser de cuatro tipos:

8.1. Alcantarillas de cajón, formadas por dos pared laterales, tapa y fondo, generalmente de

sección constante y cartelas en las esquinas. Algunas veces no tienen relleno encima por lo cual

las cargas rodantes estarán en contacto con la lo. de tapa; otras veces tienen relleno encima, no

mayor de unos 8 mts A menor tamaño del cajón, el relleno puede ser mayor.

8.2. Alcantarillas circulares. Son tubos enterrado, diámetros no menores de 90 cm, para facilitar

Sin limpieza;. tubos de diámetros grandes son muy costosos.

8.3. Bóvedas de concreto armado. Son estructuras que resisten grandes rellenos encima de su

techo. Casi siempre formadas por secciones de espesores variables y con geometría de

arcos circulares 6 parabólicos.

8.4. Alcantarillas metálicas, formadas por chapas acanaladas, de acero galvanizado, premoldeadas

para formar tubos de diámetro, previsto. Funcionan como estructuras elásticas ó flexibles, por lo

cual se adaptan a las presiones del relleno que soportan.

El relleno mínimo sobre las alcantarillas metálicas será de 60 cm. y pueden soportar el paso de

grandes cargas rodantes sobre la calzada.

9. Según el fundamento arquitectónico utilizado.

9.1.Colgantes.

9.1.1. Con armadura superior.

9.1.2. Con armadura Inferior.

9.2.Atirantado.

9.2.1. Forma de arpa.

9.2.2. Forma de abanico.

9.2.3. Forma de haz.

9.3.En arco.

9.3.1. Superior.

9.3.2. Inferior.

9.3.3. A nivel intermedio.

9.4.Móviles.

9.4.1. Giratorio.

9.4.2. Basculase.

9.4.3. Levadizo.

9.5.Losa maciza.

9.5.1. Un tramo.

9.5.2. Varios tramos ( isostática e hiperestatica )

9.5.3. Articuladas o gerber.

9.6.Con vigas simplemente apoyadas.

9.6.1. Un tramo.

9.6.2. Varios tramos.

9.6.3. Articuladas o gerber.

9.6.4. Articuladas o gerber con pilas tipo consolas.

9.6.5. Losa apoyada en vigas cajón.

9.7.Pórticos.

9.7.1. Empotrados.

9.7.2. Trilátero biarticulado.

9.7.3. Con soportes inclinados.

9.7.4. De pórticos triangulados.

9.8.Armadura metálica.

9.8.1. Armadura y arriostramiento inferior.

9.8.2. Armadura y arriostramiento superior.

9.8.3. Tipo Bayley.

9.9.Compuestos.

ALGUNOS TIPOS DE PUENTES

PUENTE DE VIGAS SIMPLEMENTE APOYADAS ( ISOSTATICOS ) UN TRAMO

PUENTE DE VIGAS SIMPLEMENTE APOYADAS ( ISOSTATICOS ) VARIOS TRAMOS

PUENTE DE LOSA MACIZA DE CONCRETO ARMADO

PUENTE DE ARCO EN MAMPOSTERÍA

PUENTE DE PÓRTICOS

CAJÓN DE CONCRETO ARMADO

PUENTE CON ARMADURA METÁLICA Y ARRIOSTRAMIENTO INFERIOR

PUENTE CON ARMADURA METÁLICA Y ARRIOSTRAMIENTO SUPERIOR

PUENTE CON ARMADURA METÁLICA INFERIOR TIPO BAYLEY

PUENTE CON ARMADURA METÁLICA SUPERIOR TIPO BAYLEY

DISPOSITIVOS PARA EL CONTROL DE TRANSITO.

Se entiende por volumen de transito cierta cantidad de vehículos de motor que transitan por un camino en determinado tiempo y en el mismo sentido. Las unidades comúnmente empleadas son: vehículos por día o vehículos por hora. Se llama transito promedio diario (T.P.D.) al promedio de los volúmenes de transito que circulan durante 24 horas en un cierto periodo. Normalmente este periodo es el de un año, a no ser

de que se indique otra cosa. El T.P.D. es normalmente empleado en los estudios económicos, ya que representa la utilización de la vía y sirve para efectuar distribuciones de fondo, mas no se pueden emplear para determinar las características geométricas del camino, pues no es un valor sensitivo a los cambios significantes de los volúmenes y no indica las variaciones de transito que pueden presentarse en las horas, días y meses del año.

Los volúmenes horarios son los que resultan de dividir él numero de vehículos que pasan por un determinado punto de un periodo, entre el valor de ese periodo en horas. Los volúmenes horarios máximos son los que se emplean para proyectar los aspectos geométricos de los caminos y se les denomina Volumen Directriz. Este Volumen Directriz usualmente equivale en USA. al 15% de T.P.D. como sé vera a continuación en México se usa el 12% del T.P.D.

CAPACIDAD DE UN CAMINO

El ingeniero necesita saber cual es la capacidad practica de trabajo de un camino tanto para los nuevos que va a construir y en los cuales pueden prever los volúmenes de transito que va a alojar, como para los caminos viejos los cuales pueden llegar a la saturación y entonces requieren la construcción de otro camino paralelo o el mejoramiento del anterior. La capacidad practica de trabajo de un camino es el volumen máximo que alcanza antes de congestionarse o antes de perder la velocidad estipulada, como la estructura del mismo, es necesario que dicho transito sea estimado de la mejor manera posible previendo cualquier aumento.

La manera de conocer el tipo de transito en un camino ya construido no presenta dificultad alguna ya que se reduce de una serie de conteos horarios que indican el volumen de dicho transito y su tipo. No sucede lo mismo cuando apenas sé esta proyectando el camino. En este caso es necesario llevar a cabo estudios geográficos – físicos, socioeconómicos y políticos de la región para poder obtener datos con los cuales proyectar. Para el conteo de los vehículos el método mas empleado es el automático que consiste en un tubo de hule cerrado en un extremo por una membrana.

El tubo se coloca transversalmente a la vía y al paso de cada eje de un vehículo sobre el tubo, se produce un impulso de aire sobre la membrana que establece un contacto eléctrico con un aparato que va sumando él numero de impulsos recibidos. Los contadores automáticos tienen la desventaja de que no pueden clasificarse los vehículos por tipo, cosa que si es factible cuando el conteo se hace manual, sin embargo el conteo manual es caro ya que se necesita alrededor de una persona por cada mil vehículos por hora en la vía, mientras que si se emplea un contador automático se facilita el trabajo.

El departamento de Caminos Federales de los Estados Unidos de América, indica que la capacidad practica máxima total que puede alcanzar un camino de dos carriles es de 900 vehículos totales por hora y por ambos carriles cuando dicho camino tiene condiciones ideales, es decir, dos carriles de 3.66 m cada uno, pendiente y alineamiento adecuado, etc.

La capacidad de una carretera se mide generalmente en vehículos por hora y por carril, o bien en vehículos por hora por ambos carriles, en caso de caminos de dos carriles.

La capacidad teórica de un camino ha sido determinado tomando en cuenta velocidades con promedio entre 70 y 80 kilómetros por hora y separaciones entre vehículos de aproximadamente 30 metros.

Como resultado de los anterior, se ha obtenido una cifra cercana a los dos mil vehículos por hora; aplicando la formula:

Q = 1000 V / S

En la que V es la velocidad media de los vehículos en ese momento y S el intervalo medio entre ellos.

3. DRENAJE DE LA PLATAFORMA Y MARGENES. CRITERIOS DE PROYECTO

3.1 CONDICIONES GENERALES

3.1.1. Factores a considerar

El drenaje superficial deberá proyectarse como una red o conjunto de redes que recoja la escorrentía superficial -y, en algunos casos, las aguas subterráneas- procedentes de la plataforma de la carretera y de los márgenes que viertan hacia ella, y las conduzca a un desagüe. Además del coste, deberán tenerse en cuenta factores:

• Topográficos: altitud, posición de la explanación respecto al terreno contiguo, espacio disponible, origen y posible punto de desagüe de cada red, situación de obras de drenaje transversal o de paso previstas o necesarias, transiciones de peralte, presencia de mediana, puntos altos y bajos.

• Climatológicos: régimen seco con chubascos, régimen de lluvias continuas. • Hidrológicos: presencia, nivel y caudal de aguas subterráneas, aportación y

desagüe de aguas superficiales, escorrentía. • Geotécnicos: naturaleza y condiciones de los suelos, posibilidad de corrimientos y

erosión, permeabilidad.

Se procurará definir tramos homogéneos, en relación con estos factores, a los que se pueda dotar de redes de drenaje superficial del mismo tipo.

Se prestará especial atención a la posibilidad de modificar el trazado donde la inclinación de la línea de máxima pendiente de la plataforma resulte muy baja y a las repercusiones de algunos elementos del drenaje superficial -tales como las cunetas de guarda y las balsas laminadoras de crecidas- en las necesidades de ocupación de terrenos.

Se recomienda elegir soluciones que, además de eficientes, sean sencillas, robustas y de fácil mantenimiento.

Donde se considere aconsejable (por ejemplo, donde se dispongan balsas laminadoras de crecida) deberá comprobarse que el drenaje superficial de la plataforma y sus márgenes funciona satisfactoriamente también en régimen transitorio.

3.1.2. Punto de desagüe

A fin de disminuir todo lo posible los caudales a evacuar, se desaguará la red de drenaje superficial siempre que sea posible, excepto en zonas muy sensibles a la contaminación donde convenga evitar todo vertido de aguas pluviales:

• En zona urbana, donde exista una red de alcantarillado y el uso del suelo conduzca a mayores coeficientes de escorrentía, será generalmente preciso recurrir a sumideros –a menudo mixtos en presencia de aceras- y colectores que desagüen al alcantarillado, cuya capacidad ante estas aportaciones deberá comprobarse. El agua procedente del drenaje superficial deberá llevarse separada de las aguas negras, salvo que el alcantarillado sea unitario y esté provisto de sifones.

• En zona periurbana, donde no se disponga de un sistema generalizado de alcantarillado -aunque haya un cierto uso urbano del suelo- no se podrá desaguar a cauces naturales sin antes comprobar su capacidad ante la aportación del drenaje superficial y, en su caso, prever las medidas a adoptar, acondicionamiento del cauce, colectores, balsas laminadoras de crecidas, etc.

• Fuera de poblado, el desagüe del drenaje superficial deberá hacerse, en general, a dónde y como iría normalmente el agua de no existir la carretera, o a cauces naturales o artificiales, dotados de las protecciones necesarias para evitar erosiones o sedimentaciones perjudiciales, disponiendo si es preciso dispositivos de disipación de energía, especialmente donde se vierta en régimen rápido o sea preciso desviar un cauce. En particular, las aguas procedentes de desmontes no deberán verterse por los terraplenes contiguos sin disponer las cunetas o protecciones necesarias.

Donde sea preciso desaguar por infiltración a un terreno permeable se distribuirá el caudal de forma que la velocidad sea reducida, para facilitar aquélla.

MÉTODO DE ANÁLISIS PARA LA DETERMINACIÓN DE ZONAS VITALES

El método de planeación adoptado para cada una de las subzonas, combina un subprocedimiento analítico con otro grafico. El primero, un estudio socioeconómico, tuvo como finalidad descubrir y valorar

las características de población, el grado de aprovechamiento de los recursos naturales, el rendimiento obtenido de las diferentes actividades productivas y los niveles de consumo; en resumen, la investigación a tenido por objeto mediante la comparación de ciertos coeficientes, encontrar las categorías de cada zona, según la mayor o menor actividad humana que realicen, para después asignarles prioridades en la construcción de caminos.

En cuanto a población se refiere, fue necesario conocer sus tendencias generales de crecimiento, su distribución en núcleos urbanos, suburbanos o rurales, su estructura ocupacional y su repartición sobre la superficie considerada; el cuadro total así obtenido se completo tratando los aspectos sanitarios – asistenciales, mortalidad por enfermedades endémicas, alfabetización, educación y características habitacionales.

El análisis económico por otra parte, comprendió los factores principales de la producción, la distribución y el consumo, a saber:

AGRICULTURA.- Monto de la producción; rendimiento de cada cultivo por hectárea y por trabajador agrícola; índice de productividad o eficiencia de la tierra; irrigación; problemas edafológicos; superficie cosechada y superficie susceptible de abrirse al cultivo; mercado interno y externo de productos agrícolas; tendencia de la tierra; problemas, deficiencias y posibilidades.

GANADERÍA.- Valor de la producción; tipo de explotación pecuaria, calidad y cantidad de los ganados; abundancia, escasez y clase de pastos; posibilidades para formar una industria ganadera integral; tamaño de la propiedad; el mercado de carne; rendimientos obtenidos y productividad del ganado; problemas y perspectivas.

SILVICULTURA.- Valor de la producción forestal; especies explotadas; aprovechamiento eficiente de los bosques; mercados y medios de transporte; posibilidades de la industria de la transformación; conveniencia y rendimiento de la explotación actual; problemas y perspectivas.

PESCA.- Valor de la producción; calculo de los recursos marinos; rendimientos actuales en función de los procedimientos aplicados; perspectivas para la industrialización de los productos pesqueros; problemas y posibilidades.

MINERÍA.- Valor de la producción; principales minerales objeto de explotación; el problema de sus mercados; yacimientos minerales; transportes, posibilidades de establecer empresas que transformen ciertos minerales en manufacturas metálicas; problemas y perspectivas

INDUSTRIA DE LA TRANSFORMACIÓN.- Valor de producción; industrias existentes; facilidades para una conveniente localización; eficiencia y rendimiento de las industrias establecidas; mercado y transportes; problemas y perspectivas.

ACTIVIDADES COMERCIALES.- Estado actual y posibilidades de desenvolvimiento.

CRÉDITO Y HACIENDA.- Difusiones y alcances; crédito de las diversas ramas de la producción, crédito refaccionario agrícola y ganadero; crédito de habilitación y avio; el seguro agrícola; recursos de la hacienda municipal; impuestos; posibilidades y perspectivas.

COMUNICACIONES Y TRANSPORTES.- Estado actual; numero de vehículos; líneas establecidas; posibilidades y perspectivas. Posible transito inducido y generado.

El procedimiento analítico hasta aquí descrito se complementa con el sistema grafico, que se llevo a cabo al mismo tiempo y utilizando los mismos datos estadísticos; este ultimo consiste en plasmar y localizar sobre mapas geograficos regionales, la realidad economica y social.

El transito inducido se obtiene del análisis de origen y destino de caminos existentes, y el generado se obtiene del desarrollo probable de la región al hacerse la vía.

ZONAS VITALES.- Considerando en conjunto todos los factores hasta aquí someramente expuestos, que se reducen al análisis de la población, recursos, producción y consumo, se llega al conocimiento de zonas vitales, como aquellas que soportan una gran actividad humana y económica.

LA MECÁNICA DE SUELOS Y LAS CIMENTACIONES

EN LAS CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES

Introducción

En estos apuntes se trata el suelo y el terreno como un elemento básico que participa de las construcciones en general, y que desarrollaremos especialmente aplicado a las

Construcciones Industriales.

El suelo o terreno desde la selección de la implantación de la Industria hasta como soporte del Edificio industrial juega un papel determinante, bien como elemento estructural-soporte de lo que se le coloca encima, bien como material aprovechable para terraplenes y/o rellenos, bien incluso como material de construcción en diques, presas u otras obras de tierras comunes en nuestras Obras Industriales.

Luego es menester analizar el suelo, según el uso y/o empleo que del mismo hagamos en nuestra Obra.

A) Como lugar de Implantación de la Industria

El análisis de las características del suelo y/o terreno como lugar de implantación de un Complejos Industrial lo desarrollamos en la UD4 de estas Notas de Clases, y tiene como vertientes principales las topográficas, edafológicas, geológicas e hidrogeológicas.

B) Como elemento soporte de las cimentaciones

El análisis de las particularidades del suelo o terreno como elemento soporte de las diferentes tipos de cimentaciones de las Obras Industriales, es un estudio particularizado de su estructura y componentes físico-químicos y el comportamiento de estos ante las cimentaciones superficiales, profundas, con cargas estáticas o dinámicas aplicadas sobre el mismo.

C) Como elemento estructural

En toda obra de tierras y en especial en las de carácter industrial se realizan rellenos (terraplenes o pedraplenes); se hacen obras de sostenimiento o contención; se realizan excavaciones superficiales y subterráneas; se crean infraestructuras para las obras viales, propias o inducidas de la industria y en todas ellas el suelo o terreno juega un papel como elemento estructural.

D) Como producto

Es una manera de ver el suelo o terreno como material de

construcción. De las Canteras de Prestamos o de las Canteras de Grava o Piedras nos abastecemos de los materiales fundamentales para nuestras Obras. Minas a cielo abiertas o subterráneas nos proporcionan de estos importantes componentes de la construcción industrial.

E) Como Acuífero

El suelo o terreno, es nuestra gran reserva de agua y en muchas ocasiones le mantenemos como grandes reservas acuíferas subterráneas o superficiales.

De todo ello se desprende que el suelo o terreno, no es sólo un elemento portante o de soporte de las construcciones sino que participa y aporta innumerables elementos aprovechables.

En este Capítulo, nos encargaremos fundamentalmente del suelo o terreno como elemento portante de las cimentaciones de las Construcciones Industriales.

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EL SUELO COMO ELEMENTO PORTANTE DE LAS CIMENTACIONES

Las cargas que transmite la cimentación a las capas del terreno causan tensiones y por tanto, deformaciones en la capa del terreno soporte. Como en todos los materiales, la deformación depende de la tensión y de las propiedades del terreno soporte. Estas deformaciones tienen lugar siempre y su suma produce asientos de las superficies de contacto entre la cimentación y el terreno.

La conducta del terreno bajo tensión está afectada por su densidad y por las proporciones relativas de agua y aire que llenan sus huecos. Estas propiedades varían con el tiempo y dependen en cierto modo de otros muchos factores.

* Variación del volumen de huecos como consecuencia de la compactación del terreno.

* Variación del volumen de huecos como consecuencia del dezplazamiento de las

partículas.

* Variación del volumen de huecos como consecuencia de la deformación de las partículas del terreno.

Los cimientos constituyen los subsistemas de cualquier edificación que transmiten directamente las cargas de esta hacia el suelo o terreno; su función es distribuir las cargas del edificio, dispersándolas en el suelo adyacente, de modo que éste y los materiales que los sostienen tengan suficiente fuerza y rigidez para soportarlas sin sufrir deformaciones excesivas.

Debido a las interacciones de suelos

y cimientos, las características de los suelo o terrenos sobre los que se construye influyen de modo determinante en la selección del tipo y tamaño de los cimientos usados; estos últimos a su vez, afectan significativamente el diseño de la superestructura, el tiempo de construcción del edificio y, en consecuencia, los costos de la obra.

Por tanto, para lograr una edificación segura y económica es fundamental disponer de cierto conocimiento de la mecánica de suelos y del diseño de cimentaciones.

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El estudio de los suelos, sus propiedades, y comportamiento, desde el punto de vista de la ingeniería civil, es el campo de la Mecánica de Suelos. En el presente capítulo se estudia la aplicación de la mecánica de suelo al diseño y la construcción de cimentaciones para edificaciones industriales.

Propiedades Físicas de los suelos o terrenos

Los geólogos definen los suelos o terrenos como rocas alteradas, mientras que los ingenieros prefieren definirlos como el material que sostiene o carga el edificio por su base.

tipos:

Los materiales que están presentes en los suelos naturales se clasifican en cuatro

- arenas y grava, - limos, - arcillas - materia orgánica.

Las arenas y grava son materiales granulares no plásticos.

Las arcillas, se componen de partículas mucho más pequeñas, exhiben propiedades de plasticidad y son muy cohesivas.

Los limos son materiales intermedios en el tamaño de sus partículas y se comportan, de modo típico, como materiales granulares, aunque pueden ser algo plásticos. La

materia orgánica consta principalmente de desechos vegetales.

El origen de las capas de suelo o terreno (edafológicas) y la forma como se depositan, arroja mucha luz sobre su naturaleza y variabilidad en el campo.

Los suelos son de dos orígenes: residual y sedimentario.

Los suelos residuales se forman in situ por la intemperización química de las rocas y, puesto que jamás han sido perturbados físicamente, conservan las características geológicas menores del material rocoso de origen. (En el campo, la transición de roca a suelo suele ser gradual.)

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Los suelos sedimentarios son transportados y depositados por la acción de ríos, mares, glaciares y vientos. En general, el mecanismo de sedimentación regula la granulometría (tamaño de las partículas), sus variaciones, y la estratigrafía y uniformidad de las capas edafológicas.

Para la completa identificación de un suelo o terreno el ingeniero necesita saber lo siguiente:

- tamaño - granulometría - forma - orientación - composición química de las partículas - las fracciones coloidales y sedimentables que contiene.

No obstante, las propiedades físicas del suelo pueden hacerse variar considerablemente mediante la incorporación de pequeñas cantidades de sustancias químicas la aplicación de métodos electroquímicos.

Cuando las propiedades superficiales de las partículas son importantes, las formas de éstas adquieren por lo menos la misma importancia que la granulometría. En condiciones normales, una característica significativa es la ubicación relativa de las partículas dentro del suelo, lo que determina la resistencia a los desplazamientos internos y constituye, por lo menos, una medida cualitativa de las fuerzas de resistencia a las fuerzas cortantes y a la compresión.

Se han realizado muchos intentos de clasificación de los suelo o terrenos con base en propiedades comunes e identificables. Sin embargo, conforme se ha ido acumulando información acerca de las propiedades de los suelos, los sistemas de clasificación se han tornado cada vez más elaborados y complejos.

Una de las principales dificultades consiste en que se quieren utilizar las mismas clasificaciones para distintos usos; por ejemplo, un sistema utilizable para el diseño de carreteras ya no es tan útil cuando el problema se relaciona básicamente con el diseño de cimentaciones para edificios industriales.

Estados de la materia que afectan el comportamiento de los suelos CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES

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Un suelo o terreno cualquiera puede exhibir propiedades sólidas, viscosas, plásticas o líquidas; por tanto, cuando es posible predecir su verdadero estado físico, el diseño estructural de las cimentaciones se realiza tomando en cuenta esa información.

En contraste, los sólidos son materiales que tienen densidad, elasticidad y resistencia interna constantes, que se ven poco afectados por cambios normales de temperatura, variaciones en la humedad o vibraciones de intensidad inferior a los valores sísmicos. La deformación por fuerzas cortantes ocurre a lo largo de dos conjuntos de planos paralelos, cuyo ángulo es constante para cada material e independiente de la naturaleza o intensidad de las fuerzas externas que inducen a la deformación.

Estas propiedades básicas de los sólidos sirven para el diseño de cimentaciones sólo mientras los suelos siguen siendo sólidos. Pero si los cambios en las condiciones modifican las estructuras del suelo, de modo que éstas ya no se comportan como sólidos, dichas propiedades se anulan y otro conjunto de reglas vienen a gobernar el nuevo estado físico. Casi todos los suelos se comportan como sólidos, aunque sólo dentro de un cierto límite de carga, el cual depende de muchos factores externos, como flujo de humedad, temperatura, vibraciones, edad del suelo y, en algunos casos, velocidad de carga.

No existe subdivisión evidente entre los estados líquidos, plásticos y viscoso. Estos tres estados de la materia tienen la propiedad común de que es muy difícil cambiar su volumen, aunque su forma cambia continuamente. Su diferencia estriba en la cantidad de fuerzas necesarias para comenzar su movimiento.

En el caso de los estados plástico y viscoso existe un valor mínimo necesario, pero en el caso de los líquidos, fuerzas prácticamente insignificantes ocasionan el movimiento.

Cuando la fuerza deja de ser aplicada, los materiales plásticos dejan de moverse, pero los de tipo viscoso y líquidos siguen moviéndose indefinidamente hasta que entran en juego fuerzas contrarrestantes.

En general, la división entre los estados sólido y plástico depende del porcentaje de humedad del suelo.

Dicho porcentaje, sin embargo, no es una constante, sino que disminuye al aumentar la presión a que está sometido el material. Por tanto, en los suelos anegados, la posibilidad de evitar desplazamientos o pérdidas de agua se traduce en la eliminación de problemas por cambio de volumen o por asentamiento.

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Humedad del suelo

El agua suele estar presente en los suelos o terrenos en forma de una delgada capa absorbida a la superficie de las partículas o como líquido libre entre éstas.

Si el contenido de

agua de un suelo está l

principalmente en forma de

capa, o humedad absorbida,

entonces no se comporta

como líquido. Todos los

sólidos tienden a absorber o 1

condensar en su superficie cualquier líquido (y gas) que entra en contacto con ellos.

POROS Va

Vh

AGUA Vw

V

SÓLIDO Vs Vs - es más constante que V

El tipo de ión, o de elemento metálico, presente en la composición química de un sólido, influye considerablemente en la cantidad de agua que éste pueda absorber. Por tanto, los procedimientos de intercambio iónico para la estabilización de los suelos y el control de la percolación forman parte importante de la mecánica de suelo.

Las capas delgadas de agua son más fuertes que el agua de poros. En 1920, Terzaghi

estableció que las películas de agua de menos de 5.04 x 10-5 mm de espesor se comportan como semi-sólidos; no hierven ni se congelan a temperaturas normales.

En consecuencia con lo anterior, los suelos o terrenos saturados se congelan con más facilidad que los suelos anegados, y los cristales de hielo crecen al tomar humedad libre de los poros. Luego un deshielo repentino libera grandes cantidades de agua, lo que suele tener drásticos resultados. Cuando los líquidos se evaporan, lo primero que hacen es formar capas, por lo que se requiere un considerable aumento térmico para efectuar el cambio de estado entre la película líquida y el vapor. Por consiguiente, el efecto de temperatura sobre el estado físico del suelo se explica en términos de la reducción del espesor de las capas de líquido al elevarse dicha temperatura.

La presencia de humedad en el suelo o terreno es fundamental para controlar la

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compactación. La mejor manera de efectuar la compactación de suelos, sea por medios artificiales o naturales, es bajo condiciones de humedad bastante definidas, ya que la redistribución de las partículas del suelo para que ocupen un menor volumen no es posible cuando se carece de suficiente humedad para cubrir cada gránulo. La película de agua hace las veces de lubricante, lo que facilita los movimientos relativos de las partículas, y su tensión capilar las sostiene en su sitio. Desde luego, si los granos son de menor diámetro se necesita más agua a fin de lograr mejor estabilización que en el caso de partículas más gruesas.

Resistencia de los suelos a la presión

Ya desde antes de 1640, Galileo señaló la diferencia entre sólidos, semi-líquidos y líquidos.

Este naturalista aseveraba que los semi-líquidos, a diferencia de los líquidos mantienen su forma cuando se les apila, y que, si se les hace un hueco o cavidad en la superficie , la agitación hace que se rellene el hueco, mientras que en los sólidos, la cavidad no se rellena. Esta es una descripción muy burda de la propiedad llamada pendiente natural de los materiales granulares, una propiedad muy fácil de observar en arenas limpias y secas, aunque los suelo o terrenos con diversas cantidades de arcilla y humedad tienen diferentes pendientes. Es importante no confundir el ángulo de reposo natural con el ángulo de fricción interna, aunque muchos autores han seguido a Woltmann, quien, al traducir los escritos de Coulomb, cometió ese error.

Fue Coulomb (1773) quien aplicó a los suelos las leyes fundamentales de la fricción. Él descubrió que la resistencia a lo largo de una superficie de falla dentro de un suelo es función tanto de la carga por unidad de área como de la superficie de contacto. Puede considerarse como la primera contribución importante a la Mecánica de Suelos.

La resistencia de los suelos a la deformación depende, sobre todo, de su resistencia a la fuerza cortante. Esta resistencia equivale, a su vez, a la suma de dos componentes: fricción y cohesión.

La resistencia friccional surge de la irregularidad de los contactos entre partículas y es proporcional a la fuerza perpendicular entre ellas. La cohesión que es la resistencia máxima a la tensión de un suelo, es resultado de las fuerzas de atracción que hay entre gránulos en contacto íntimo y no depende de la presión normal. Sin embargo es muy raro encontrar esta cohesión verdadera; lo más común es que los suelos tengan cierta resistencia friccional.

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PROPIEDADES DEL SUELO IMPORTANTES EN INGENIERÍA

Las propiedades edafológicas normalmente muy importantes son las que se exponen a continuación.

Densidad:

La cantidad de materia sólida presente por unidad de volumen recibe el nombre de densidad en seco del material. En el caso de los suelos granulares y orgánico-fibrosos, la densidad en seco es el factor más importante desde el punto de vista de sus propiedades ingenieriles. Una de esas propiedades es el estado o grado de compactación, que se expresa generalmente en términos de densidad relativa, o razón (como porcentaje) de la diferencia entre la densidad del suelo natural en seco y su densidad en seco mínima, dividida entre la diferencia que hay en sus densidades máxima y mínima en seco.

Sin embargo, durante la construcción de rellenos ingenieriles, el grado de compactación suele especificarse como el cociente de densidad real en seco, in situ, dividida entre la densidad máxima en seco, determinada con una prueba de laboratorio diseñada para el cálculo de la relación humedad-densidad (ASTM Dl557 o D698).

Fricción Interna:

La fricción pura de Coulomb equivale a la simple resistencia a la fuerza cortante en la teoría de la elasticidad. La fricción interna suele expresarse geométricamente como el ángulo de fricción interna ö (phi), donde tan ö = f, el coeficiente de fricción. Entonces la componente friccional de la resistencia a la cortante, Tmax de una masa de suelo, equivale a

N tan ö , donde N es la fuerza perpendicular que actúa sobre dicha masa.

Los valores de Ö (phi) van desde unos 28en el caso de arenas sueltas y limos no plásticos, hasta unos 48en el de arenas sueltas y gravillas. El valor aumenta junto con la densidad, la angularidad y la granulometría de las partículas; disminuye cuando el suelo contiene mica; es relativamente indiferente a la velocidad de carga y el tamaño de las partículas; y puede aumentar o disminuir bajo cargas repetitivas o cíclicas.

Muchos ingenieros utilizan el valor de Tmax como equivalente de la resistencia total a la fuerza cortante (suposición que también se hace en casi todas las ecuaciones para el cálculo de la presión en suelo o terrenos).

Cohesión: CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES

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Es la máxima resistencia del suelo a la tensión. Resulta de la compleja interacción de muchos factores, como la adherencia coloidal de la superficie de las partículas, la tensión capilar de las películas de agua, la atracción electrostática de las superficies cargadas, las condiciones de drenaje y el historial de esfuerzos. Sólo existe verdaderamente cohesión en el caso de arcillas que tienen contacto de canto con cara entre sus partículas. Los suelo o terrenos no plásticos de grano fino pueden exhibir una cohesión aparente cuando están en condiciones de saturación parcial.

El valor de cohesión que se utiliza al diseñar depende directamente de las condiciones de drenaje bajo la carga impuesta, así como del método de prueba que se emplee para calcularlo, por lo que todo se debe evaluar cuidadosamente.

Compresibilidad:

Esta propiedad define las características de esfuerzo-deformación del suelo. La aplicación de esfuerzos agregados a una masa de suelo origina cambios de volumen y desplazamientos.

Estos desplazamientos, cuando ocurren a nivel de la cimentación, provocan asentamientos en ella. La limitación de los asentamientos a ciertos valores permisibles suele regir el diseño de las cimentaciones, sobre todo cuando los suelo o terrenos son granulares.

En el caso de los suelos granulares, la compresibilidad se expresa en términos del módulo de Young E, el cual suele considerarse equivalente al módulo secante de la curva de esfuerzo-deformación, obtenida por medio de una prueba triaxial estándar. El módulo disminuye al aumentar el esfuerzo axial, pero se incrementa al elevar la presión de confinamiento y al someter la muestra a cargas repetitivas.

La comprensibilidad de las arcillas saturadas se expresa como el índice de compresión Cc, junto con una evaluación de la máxima presión a la que hayan sido

sometidos antes.

Ambos valores se calculan por medio de pruebas de laboratorios unidimensionales

estándar de consolidación (ASTM D2435). Cc, representa el cambio en la proporción de vacíos

por ciclo logarítmico de esfuerzo y es una función del historial de esfuerzos del terreno. Para

fines prácticos, es necesario saber el valor dentro de los límites específicos de esfuerzos que se

desea manejar.

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Permeabilidad:

Es la capacidad de una masa de suelo o terreno de permitir el flujo de líquidos a través de un gradiente hidráulico. En el diseño de cimentaciones, por lo general lo único que es necesario saber es la permeabilidad en condiciones de saturación. Las permeabilidades de casi todos los tipos de suelo son muy variables y dependen en gran medida de variaciones relativamente pequeñas de la masa edafológica.

Puesto que generalmente depende del tamaño y la continuidad del espacio poroso del suelo y, en consecuencia, del tamaño de las partículas de éste, la permeabilidad es típicamente una propiedad anisotrópica cuyo valor es más alto en la dirección horizontal que en la vertical.

Los valores de permeabilidad de las distintas clasificaciones del suelo o terreno varían por un factor de más de 10 millones, lo que se ha constatado directamente por medio de pruebas de permeabilidad en el campo o en el laboratorio, e indirectamente por pruebas de consolidación y análisis del tamaño de las partículas. Las mejores cuantificaciones se obtienen con pruebas de bombeo en pozos a cielo abierto en el campo.

Otras propiedades:

Existen algunas otras propiedades menores de los suelo o terrenos que, en ciertos casos, adquieren relevancia.

Por ejemplo, el contenido de materia orgánica del suelo puede afectar la fijeza de cualquiera de las propiedades inducidas por tratamiento. Así los suelos muy ricos en materia vegetal descompuesta, que contienen ácidos tánicos, no son adecuados para la estabilización con cemento.

A modo de ejemplo, los suelo o terrenos con un alto contenido de polvo de caliza se debilitan con el flujo de agua a través del suelo o se desintegran con la percolación de aguas de albañal o algunos otros líquidos residuales.

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IDENTIFICACIÓN, MUESTREO Y EVALUACIÓN DE SUELOS

Para facilitar la aplicación de la experiencia previa al estudio de las condiciones nuevas del suelo, es necesario disponer de un sistema estándar de identificación de suelos o terrenos. Con ese fin, la clasificación de estos se basa generalmente en propiedades físicas que se evalúan según procedimientos normalizados. Las pruebas de evaluación de las propiedades de los suelos o de sus reacciones ante cargas constan de procedimientos de laboratorio y campo.

Identificación de suelos

Las investigaciones de campo para la identificación de suelo o terrenos se pueden hacer por medio de levantamientos superficiales, estudios aéreos o análisis exploratorios geofísicos o superficiales. El conocimiento completo de la estructura geológica de un área permite hacer una identificación definida a partir de la inspección superficial. Junto con una clasificación mineralógica de las capas más externas, la inspección permite cuando menos identificar la estructura de ciertos suelos. Sin embargo, no basta para conocer el comportamiento del suelo, a menos que se hayan encontrado previamente condiciones idénticas.

En casi todos los países existen mapas geológicos y/o agronómicos del suelo o terreno, junto con informes detallados, que son bastante útiles para este fin.

En Estados Unidos, por ejemplo, dichos mapas son publicados por el U.S. Departament of Agriculture, U.S. Geological Survey y sus correspondientes oficinas estatales. En España los edita el Instituto Geográfico Nacional, Instituto Geológico y Minero, y el Ministerio de Agricultura. Los levantamientos viejos tienen gran valor para la localización de las líneas originales de playas y arroyos, así como para conocer la existencia de cambios superficiales.

Para grandes Obras, se precisa o detallan los mapas existentes y/o en dependencia de la magnitud de la Obra se confeccionan específicamente para ella. En el Anexo... se muestra un ejemplo del editado por el M.O.P.T. para la construcción de la línea del AVE en el tramo Getafe-Córdoba.

Es necesaria una inspección completa del sitio de obra a fin de complementar los

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datos obtenidos a partir de mapas y levantamientos, y en la mayor parte de los casos ayudará también a aclarar las cuestiones de uniformidad. Además, la inspección de las estructuras vecinas servirá para destacar algunas de las posibles dificultades.

La inspección aerofotogramétrica se ha desarrollado hasta el punto en que es factible hacer una rápida evaluación de los suelos, a muy bajo costo en grandes áreas.

Los datos que se obtienen mediante fotografías aéreas estereoscópicas, obtenidas de vuelos propios y/o de satélites, correlacionadas con patrones normalizados, permiten identificar los tipos de suelos o terrenos en base a su color, textura, características de drenaje y cubierta vegetal.

Clasificación de los suelos:

El sistema de clasificación de suelos más aceptado es la Unifield Soil Classification (Clasificación Unificada de Suelos) que se presenta en la Tabla... En ella se encuentran criterios definidos para la nomenclatura de los suelos y una lista en la que éstos se agrupan dentro de divisiones fijas conforme al tamaño de sus partículas y a los resultados de prueba de laboratorio acerca de sus características físicas.

Exploración Sub-superficial

Esta es la fase de campo del análisis de suelos o terrenos y del diseño de sub-estructuras, por lo que es muy importante.

La obtención de información inadecuada, imprecisa o errónea en esta fase del trabajo es la causa más común de que se produzcan diseños excesivamente costosos de excavación y cimentación, que además quedan expuestos a fallas. Por tanto, la palabra clave es: exploración. La finalidad de este trabajo es esclarecer, mediante técnicas exploratorias, la naturaleza de las condiciones sub-superficiales del sitio de obra correspondiente y su impacto sobre el diseño. Por consiguiente, el trabajo se debe planificar y ejecutar de modo que revele la naturaleza de los suelos, y no se debe realizar como un simple procedimiento rutinario. Así el tipo y magnitud de las técnicas de exploración, de las pruebas in situ y de los métodos de muestreo se deben elegir con base en las incógnitas asociadas al terreno, los peligros geológicos que cabe esperar razonablemente, la carga que va a imponer la estructura por construir y el grado de asentamientos que puede tolerar la edificación ya terminada.

La intensidad y metodología del trabajo exploratorio varían mucho (no existe ningún método estándar aplicable a todos los casos, y no conviene imponerlo).

En zonas bastante urbanizadas, donde las condiciones superficiales y características CONSTRUCCIONES INDUSTRIALES

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ingenieriles del terreno ya se conocen bastante bien gracias a trabajos previamente realizados en otras estructuras, una investigación apropiada podría consistir en hacer un trabajo pequeño de confirmación de datos, incluso cuando la estructura en un proceso de diseño sea una edificación grande.

Por el contrario, cuando se va a implantar una estructura ligera en una región aislada, con malas condiciones sub-superficiales, conviene realizar una investigación exhaustiva. Algunos reglamentos de construcción exigen programa de exploración del suelo; sin embargo, no se debe olvidar que sólo se trata de los criterios mínimos. Por tanto, el pliego literal a dichas exigencias no constituyen una práctica ingenieril prudente. La mejor norma es: el ingeniero de cimentación debe estar razonablemente seguro de que no quedan incógnitas de importancia respecto al terreno, y debe conocer cuáles son las características más determinantes de los materiales del subsuelo.

Conforme a esta filosofía profesional general, a menudo es recomendable hacer investigaciones

subsuperficiales en dos o más fases, cada una de las cuales aportan un número mayor de detalles. Se puede comenzar por unos cuantos barrenos o algún otro tipo de

exploración en la que se manejen inter-espacios grandes. A partir de estas técnicas se pueden establecer la

estratigrafía y propiedades generales del suelo o terreno. Luego se planifica una segunda fase, cuya finalidad es llenar

los huecos que dejó la primera, confirmar la uniformidad o predecibilidad del terreno y delinear y definir cualquier

anomalía. En una tercera fase de detalle sólo se acabará de definir las anomalías o se realizaran las pruebas especiales impuestas por los problemas específicos de la edificación que se está diseñando.

Técnicas de detección remotas

Estos métodos aportan pruebas indirectas de la naturaleza de los minerales del subsuelo. No indican de modo directo las propiedades ingenieriles del terreno, pero sí permiten conocer las profundidades de los estratos en muchos casos, así como hacer evaluaciones cualitativas de los materiales.

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Las inspecciones aéreas son muy apropiadas cuando es necesario explorar grandes extensiones. Ver Tabla... Clasificación Unificada de

Suelos, incluyendo datos de

identificación y descripciones. El análisis de fotografías aéreas estereoscópicas ordinarias, fotografías infrarrojas térmicas y de colores falsos, fotografías multiespectrales de satélite o imágenes de radar aéreo de soslayo puede revelar la topografía y drenaje superficial de los terrenos, las características lineales que reflejan la estructura geológicas de éstos, su tipo de suelo superficial y, a menudo, el tipo de roca subyacente.

Estas técnicas son particularmente útiles para localizar sumideros rellenos en regiones de tipo karst, donde estos pueden estar muy próximos entre sí.

La exploración geofísica aporta gran información muy rápidamente y es muy económica como manera de complementar los datos obtenidos mediante barrenos o perforaciones exploratorias. Las técnicas geofísicas incluyen reflexión y refracción sísmica, pruebas sísmicas de tiro y galería, resistividad eléctrica, cuantificaciones microgravimétricas y elaboración de perfiles acústicos del subsuelo.

La exploración sísmica de los subsuelos es resultado secundario de las prácticas estandarizadas de exploración petrolera para la detección de discontinuidades en la estructura del suelo. Los principios que entran en juego son las conocidas características de transmisión, reflexión y refracción de las ondas sonoras al pasar a través de materiales con distintas densidades. El método consiste en registrar el tiempo que tardan las ondas sonoras inducidas por explosiones o golpes de martillo en llegar a diversos puntos del terreno.

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En una técnica parecida, se utiliza la variación en la conductividad eléctrica de las diversas densidades del suelo y de las discontinuidades de contacto de las capas. Para el método microgravimétrico se utilizan pequeñísimas variaciones en el campo de gravedad, lo que permite ubicar huecos subsuperficiales o cambios en el tipo de

roca. La elaboración de perfiles del subsuelo se emplean en estudios marinos para obtener un registro continuo, a partir

de la reflexión sísmica, de los contactos estratigráficos del subsuelo marino.

En muchos casos, los métodos geofísicos permiten obtener un buen cuadro de propiedades del suelo o terreno, profundidad de las capas y profundidad hasta la roca subyacente. Sin embargo, no cabe esperar que produzcan más que un cuadro promedio o estadísticos de las condiciones, o que permitan más que una identificación aproximada de los tipos de suelos. No obstante la información que se obtiene de ellos es una guía excelente para programar una investigación exploratoria completa y puede ser inapreciable para deducir la información correspondiente al terreno ubicado entre barrenos muy distantes entre sí.

Exploración in situ y técnicas de prueba

Existe una amplia variedad de técnicas para la investigación in situ de las condiciones subsuperficiales del suelo.

Algunos de esos métodos se han estandarizado y muchos de ellos se utilizan en todo el mundo.

a) Pozos y zanjas de prueba a cielo abierto

Estos métodos permiten hacer una observación visual directa y posibilitan la toma manual de muestras del suelo, aunque están limitados a profundidades prácticas de 3 ó 4 m. Las zanjas son útiles para ubicar los puntos de contacto con estratos que se profundizan agudamente.

Los pozos de prueba son un medio rápido y económico de obtener información del subsuelo, pero no se deben utilizar por separado, a menos que se conozcan los materiales que hay por debajo del pozo o cuando esta información no tiene importancia. Los suelos descubiertos con los pozos o zanjas a cielo abierto se muestrean fácilmente clavando a mano tubos de pared delgada en el fondo o los taludes de la excavación.

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b) Sondas

Se trata de sondas taladradas o clavadas, sin toma de muestras, cuya finalidad es localizar la roca madre y obtener cortes destinados a la identificación del suelo o terreno. Las sondas clavadas permiten evaluar adecuadamente las propiedades del suelo. Las sondas para la localización de la roca madre también aportan información sobre la solidez relativa de ésta, lo que se mide a partir de la velocidad de penetración de la barrena cuando ésta es sometida a una presión descendente constante.

c) Perforaciones

El método tradicional de exploración del subsuelo consiste en perforar (taladrar) y examinar agujeros y el material que de ellos se extrae. Sin embargo muchos de los problemas de construcción de cimientos, que a menudo son muy costosos, resultan del uso de métodos inapropiado de muestreo por horadación o de una confianza excesiva en la extrapolación de los resultados. En consecuencia, para la planificación y ejecución de las exploraciones del suelo o terreno mediante perforaciones se debe recurrir a una evaluación ingenieril experta.

Sólo cabe esperar que una perforación permita conocer a ciencia cierta las condiciones que prevalecen en el sitio en que ésta se práctica. En consecuencia, la información así obtenida puede ser representativa o no de las condiciones que prevalecen entre una perforación y otra. Por tanto el número y ubicación de las horadaciones requieren una buena experiencia y juiciosa evaluación.

En muchos reglamentos municipales y estatales de construcción se especifican un número mínimo de perforaciones para cada tamaño de terreno. La información así obtenida, sin embargo, puede ser insuficiente para el diseño y la construcción de los cimientos. Muy a menudo, después de haber realizado las perforaciones que exigen los reglamentos, se retira del sitio el equipo de perforación; luego, durante la excavación o construcción de los cimientos, se descubren capas de discontinuidad en el sitio.

Cuando ya se está en esa fase de la construcción, el costo de nuevas perforaciones es muy elevado; no obstante, es necesario hacerlas.

Sin excepción, el costo de esta exploración representa apenas una pequeña parte del desperdicio que representaría, de otro modo, el sobrerefuerzo de la cimentación para compensar la falta de información, o las revisiones de corrección que serían necesarias durante la construcción de los cimientos de la industria.

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La estrategia más usual para realizar las perforaciones complementarias es elegir el punto intermedio de la distancia entre las perforaciones previas que arrojan resultados diferentes. Luego si la nueva perforación no representa un promedio razonable de las dos previas, se efectúa otra perforación entre el par que tiene la mayor discrepancia. Según sean los resultados, es probable que se necesiten más perforaciones. De esta manera se puede precisar razonablemente la ubicación de los cambios encontrados en las condiciones del terreno y se elimina la necesidad de hacer exageraciones innecesarias en la cimentación.

Las perforaciones se ejecutan por medio de extensiones para barrenas rotatorias. Durante la perforación se utiliza un líquido circulante cuya función es retirar el material desprendido. A fin de evitar la contaminación de las muestras de suelo que se toman con la barrena, en general conviene usar el método de perforación con taladro giratorio y lodo bentonítico como líquido circulante.

Independientemente del método al que se recurra, se debe tener mucho cuidado para que el nivel del líquido dentro del agujero jamás sea inferior al nivel del manto friático, incluso durante el intervalo en que se están retirando de la perforación los implementos de la barrena.

Durante la perforación y el muestreo de perforaciones, es necesario que un ingeniero, geólogo o técnico capacitado lleve una bitácora. (Ver Fig..... Bitácora de perforación de suelos) en la que anote las profundidades de perforación a que se toman muestras o realizan pruebas, las profundidades donde ocurren cambios de estratos y la profundidad del manto friático; además conviene anotar también los resultados de cualquier prueba realizada in situ, como la prueba estándar de penetración (ASTM D 1586).

Por otra parte, las bitácoras deben mantener una descripción completa de todos los materiales encontrados o detectados en las escorias y muestras.

Cuando la barrena topa con rocas, en la bitácora se anota el tipo de material extraído, haciendo referencia a la longitud y porcentaje de la distancia perforada en la roca; cualquier filón intemperizado o interrupción en el material del suelo; y cualquier fractura y su inclinación. En el caso de muchas formaciones rocosas, la evaluación de la designación de calidad de la roca (RQD; del inglés rock quality designation) y su anotación en la bitácora son un buen indicador de la solidez del estrato rocoso.

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Las perforaciones son un método que permite muestrear los subsuelos y hacer pruebas al mismo tiempo. La prueba más común en perforaciones es la prueba estándar en penetración (SPT del inglés Standard Penetration Test) (ASTM D 1586). En dicha prueba, se clava en el fondo de la perforación, mediante golpes con una masa de 63 kg (140 lbs) que se deja caer desde una altura de 75 cm, un muestreador de barril hendido, o cuchara, de 5 cm (2 pulg) de diámetro externo. Se registra el número de golpes necesarios para incrustar 30 cm (12 pulg) la cuchara, y esa cifra recibe el nombre de valor N en golpes/pie. N es un indicador de la densidad de los suelos granulares y puede reflejar la resistencia de las arcillas no moldeables.

En la Tabla siguiente se muestran valores de N para suelos clasificados como pobres y por lo tanto de inaceptable aplicación en cimentaciones.

Tipos de Suelos

Valor de N

Suelos Orgánicos

< 4

Suelos Arcillosos

< 4

Suelos Arenosos

< 10

La STP (Standard Penetration Test) da por resultado muestras moderadamente alteradas, pero aceptables para la observación, clasificación y evaluación conforme a índices. Sin embargo el número de golpes está sujeto a muchas influencias durante la perforación y muestreo, así como a ciertos factores de los materiales penetrados. Por tanto, N es una medida que se debe evaluar muy

Penetrometro dinamico

cuidadosamente. Para más detalles véase la referencia Bibliográfica ....

Otros medios de prueba en perforaciones son la cizalla de aspas, que sirve para medir in situ la resistencia de las arcillas y los suelos orgánicos a la fuerza cortante, y el manómetro, en el que una membrana vertical expansible, colocada dentro de una perforación, mide la rigidez y la resistencia del suelo circundante.

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Los aparatos de muestreo de suelos y rocas se deben elegir con cuidado para optimizar la colección de material y reducir al mínimo las alteraciones en la muestra. Las rocas macizas y no intemperizadas se muestrean generalmente con barrenas giratorias con brocas de diamante. Estas existen en varios tamaños, desde las AX hasta las de 10 cm (4.5 pulg) de diámetro externo. La broca NX es la de uso más frecuente, aunque las de mayor tamaño extraen más material cuando las rocas están intemperizadas, fracturadas o porosas.

También mejora la cantidad de material obtenido cuando se usan barrenas de varios tubos. En la figura .... se presenta una bitácora como ejemplo del trabajo de perforación de roca.

La barrena STP es un muestreador relativamente bueno para la mayor parte de los suelos, aunque la muestra exhibe alteraciones moderadas. En el caso de los suelo o terrenos arcillosos de consistencia firme a dura, se obtienen muestras relativamente intactas mediante el uso de tubos de Shelby, de pared delgada, introducido con mecanismos hidráulicos. Cuándo los suelo o terrenos son arcillosos blandos o arenosos sueltos, un muestreador de pistón da mejores resultados. Los suelo o terrenos densos y las rocas muy intemperizadas se pueden muestrear con los muestreadores Tipo Dennison o Pitcher.

El sondeo con un penetrómetro cónico es una técnica completamente eficaz cuando se usa en combinación con muestreos por perforación. En el cono holandés impulsado hidráulica o mecánicamente se utiliza una punta cónica para medir la resistencia a la penetración; detrás de esa punta va una manga o camisa, con la que se mide la resistencia por fricción. Estos dos valores son buenos indicadores de la resistencia y rigidez del suelo, por lo que son índices relativamente confiables del tipo de suelo de que se trata.

Los penetrómetros cónicos también se impulsan dinámicamente con una masa como se hace con el STP. Así obtenidos, los resultados de la prueba son análogos a la cuenta de golpes de la STP y sirven para los mismos fines aplicando las correcciones apropiadas.

Pruebas de laboratorio

Básicamente, las pruebas de laboratorio generan datos más exactos sobre las propiedades ingenieriles del suelo o terreno que las interpretaciones de las pruebas simples de campo (siempre que las muestras sean en verdad representativas de las condiciones del subsuelo). El análisis de suelos en laboratorios se ha desarrollado hasta convertirse en una maraña de pruebas interrelacionadas, con una variedad de criterios y métodos.

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La American Society for Testing and Materials (ASTM) publica periódicamente un resumen de esos procedimientos (SPT 479, Special Procedures for Testing Soil and Rock for Engineering Purposes). Muchas de las técnicas de prueba son exclusivamente aplicables a ciertos grupos de suelos, por lo que los datos resultan incorrectos cuando se intenta su utilización de alguna otra manera. Cuando estructuras afectables por los asentamientos, grandes terraplenes, presas o taludes pronunciados se van a cimentar sobre suelos blandos o de propiedades inciertas, conviene realizar pruebas de laboratorio sobre muestras representativas.

Sin embargo, dichas pruebas son costosas y lentas, por lo que, salvo en proyectos muy importantes, generalmente sólo se realizan unas cuantas de ellas. Por todo lo anterior, las muestras para análisis se deben escoger cuidadosamente.

* Las pruebas de índice, como las de los límites de Atterberg, de densidad y de distribución granulométrica, sirven para clasificar y caracterizar los suelos, conocer sus características ingenieriles generales, evaluar su aptitud como material de relleno y estimar su potencialidad de corrección mediante las técnicas de mejora del terreno. Es común realizar varias de estas pruebas en cada estrato de interés.

* Las pruebas de compresibilidad, como las de consolidación y de compresión triaxial, generan valores que permiten evaluar los asentamientos que ocurren bajo carga. Las pruebas de consolidación se hacen sobre suelos plásticos, mientras que las de compresión triaxial se destinan a suelos granulares. Asimismo, las pruebas de consolidación y la máxima presión a que ha sido sometido el suelo con anterioridad. Las pruebas de compresión triaxial también sirven para evaluar la rigidez de las arenas (una propiedad que aumenta al elevarse la presión de confinamiento) y el incremento de resistencia de las arcillas por consolidación.

* Las pruebas de resistencia en laboratorio miden la resistencia del suelo a fin de calcular su capacidad de carga, la resistencia a los empujes laterales de la propia tierra y la estabilidad de los taludes. La resistencia de las arenas se mide por medio de pruebas triaxiales y directas de esfuerzo cortante. Las pruebas con cizalla de aspas, compresión y confinamiento y compresión triaxial, que se realizan en laboratorio, son aplicables a los suelos de tipo cohesivo.

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Al efectuar las pruebas de resistencia, es necesario que las condiciones de drenaje durante ellas reproduzcan lo más fielmente posible las condiciones que prevalecerán en el estrato del suelo o terreno cuando se imponga la carga esperada. Todas las pruebas, salvo la triaxial, se realizan en condiciones no drenadas y se aproximan a las condiciones de carga rápida del terreno, como sucede con la mayoría de las cimentaciones y excavaciones para construcción. Las pruebas triaxiales permiten realizar los estudios bajo condiciones no drenadas, consolidadas no drenadas y consolidadas drenadas. Las pruebas que se realizan en condiciones drenadas sirven para conocer factores como la estabilidad bajo un terraplén después de haber disipado las presiones excesivas en los poros.

Si existe la posibilidad de que las arenas saturadas sueltas queden sometidas a cargas sísmicas, su resistencia a cargas cíclicas y su potencial de licuefacción se miden mediante pruebas triaxiales cíclicas.

MEJORA DEL SUELO O TERRENO

El suelo como material ingenieril, se diferencia de la piedra, la madera y otros materiales naturales por el hecho de que puede ser modificado para darle las características deseadas. La mejora del suelo es una práctica antiquísima que permite construir en terrenos con condiciones marginales, por lo que se emplea con frecuencia en la ingeniería geotécnica contemporánea.

La corrección se realiza a través de métodos aplicados in situ o mediante la construcción de rellenos artificiales. En cualquier caso, los objetivos son una mayor capacidad de carga y la prevención de asentamientos. Se han desarrollado muchas técnicas, como densificación, sobrecarga, nivelación y construcción de rellenos, que gozan de amplia aceptación.

Estos métodos han sido la causa, en buena medida, del creciente uso de terrenos marginales a bajo costo.

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Rellenos artificiales

En el presente capítulo, el término relleno se refiere a los materiales térreos que se usan principalmente para nivelar o elevar la superficie del terreno, y no a las estructuras de contención, como diques de tierra. Sin embargo, casi todos los principios generales que se presentan son aplicables a ambos tipos de obras.

La mayor parte de los terrenos necesitan algún tipo de relleno artificial, al menos para asentar las losas (firmes) para pisos y pavimentos. No obstante, esos rellenos presentan muchos problemas, como compactación inadecuada, cambios de volumen y asentamientos imprevistos causados por su propio peso. A fin de obviar esos problemas, los rellenos se consideran elementos estructurales del proyecto, de modo que también se diseñan con esmero. Los materiales y su granulometría, colocación, grado de compactación y, ocasionalmente, espesor, deben ser cuidadosamente elegidos para soportar las cargas previstas.

Existen dos tipos básicos de relleno: el que se hace en seco mediante maquinaria y técnicas ordinarias de movimiento de tierras, y el que se realiza en húmedo con dragas hidráulicas. Este último tipo es el que se suele utilizar para la construcción de bordes de contención de aguas o para grandes rellenos.

Hay una amplia variedad de materiales y tamaños de partículas que resultan adecuados para rellenos en la mayor parte de los casos, aunque se debe evitar el uso de materia orgánica y basura. La economía sugiere que el banco de materiales de rellenos esté lo más cerca posible del lugar de la obra y, sin embargo, esto mismo cancela la posibilidad de usar ciertos tipos de material.

Por ejemplo, es probable que los factores económicos impidan el secado de suelos de grano fino saturados con agua. En casi todos los rellenos, el tamaño máximo de los fragmentos para la capa de 45 cm situada inmediatamente por debajo de los cimientos, losas o a la superficie del terreno, debe ser de 7,5 cm de diámetro, es decir, una sexta parte del espesor.

La prueba más común para evaluar la utilidad aproximada de los suelos como material de relleno y fijar una especificación de compactación mínima es la prueba de relación humedad-densidad (ASTM D698 y D1557), a la también se da el nombre de prueba Proctor. En la figura .... se presenta un ejemplo de prueba Proctor, con los resultados correspondientes a arenas, limos y arcillas, así como la línea de saturación del 100%, o de cero burbujas de aire.

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Es necesario realizar varias pruebas sobre el material de relleno y establecer su relación estándar de humedad -densidad. El punto más elevado de la curva representa la máxima densidad obtenible en laboratorio, según el método de prueba, y el contenido óptimo de humedad.

Las dos pruebas de la ASTM representan diferentes niveles de trabajo de compactación. No obstante, en el campo se puede realizar una compactación más intensa que en el laboratorio. De este modo, es factible que exista una diferente relación de humedad-densidad en el terreno; por tanto, los resultados de la prueba Proctor no deben ser considerados como una propiedad inherente del material. Las curvas indican el contenido de humedad y el control que se necesita en el campo a fin de obtener la densidad especificada.

Compactación de terrenos

El grado necesario de compactación de los rellenos se expresa normalmente como un porcentaje mínimo de la máxima densidad en seco, obtenida mediante una prueba de

laboratorio, que se debe lograr dentro de ciertos límites estipulados de humedad. Por lo general se especifican densidades que representan del 90 al 100% de densidad máxima, cuando el

contenido de humedad es del 2 al 4% del contenido óptimo de humedad. (La prueba ASTM D1557 sirve como punto de referencia cuando se necesita una gran capacidad de carga y

baja compresibilidad; la ASTM D698 es adecuada si los requisitos no son tan estrictos, como sucede en zonas de estacionamiento ,aparcamiento). En casi todos los rellenos, basta con un 90 a 95% de

la densidad máxima; la compactación del 100% es necesaria en el caso de carreteras, zapatas de cimentación y otras estructuras de las

edificaciones industriales intensamente cargadas.

Nótese que las densidades del campo pueden representar más del 100% del valor máximo calculado en laboratorio. Además, si se hace un trabajo de compactación más intenso, esas densidades se pueden lograr con humedades por debajo de la curva establecida en el laboratorio.

No obstante, no se debe sobrecompactar los materiales de grano fino que estén en el lado seco de la curva óptima, ya que luego pueden expandirse y aflojarse al saturarlos con agua.

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Los rellenos ordinarios, en las construcciones industriales, se construyen en capas de 10 a 60 cm de espesor. Cada capa se compacta antes de colocar la siguiente. El grado de compactación real se determina por medio de pruebas de densidad, efectuadas en el campo, sobre muestras de cada capa. Para ese fin, es necesario medir la densidad húmeda y el contenido de humedad, aparte de calcular la densidad en seco. Las densidades se miden en el campo con los métodos de cono de arena (ASTM D1556) o de globo volumétrico (ASTM D2167), si la muestra no está alterada, o en caso contrario con el medidor nuclear de humedad-densidad (Densímetro Nuclear). A menudo basta con una prueba por cada

350 a 900 m3 de relleno.

En proyectos a gran escala, en los que se utiliza maquinaria pesada de compactación, es posible tender capas de 45 a 60 cm y más de espesor. Sin embargo, en casi todos los proyectos los espesores de las capas deben ser limitados al máximo que garanticen la densidad exigida los equipos de compactación disponibles en Obra.

Por lo general no es necesario compactar los rellenos hidráulicos que se construyen con suelos dragados en el momento de colocarlos; algunos, incluso, jamás se compactan.

En estos casos, un fenómeno común es la segregación de las fracciones de limos y arcillas dentro del material dragado, pero esto no tiene efectos nocivos; sin embargo, se debe evitar la acumulación de estos materiales finos en los huecos adyacentes a los bordes o debajo de estructuras. El uso adecuado de diques internos, vertederos y técnicas de decantación impide tal acumulación.

Siempre se debe tener presente que los rellenos son cargas muertas muy pesadas, por lo que pueden someter a esfuerzos muy intensos los estratos subyacentes del suelo, incluso los profundos. Una capa de 30 cm de relleno compactado equivale, en carga, a 1.5 niveles de un edificio ordinario de oficinas. Se pueden presentar problemas indeseables, tales como, si una edificación está plantada a horcajadas encima de la línea de contención de un relleno, es muy probable que ocurra un asentamiento diferencial perfectamente delineado.

Los rellenos hidráulicos profundos llegan a ocasionar hundimientos superficiales del orden de varios decímetros.

Las estructuras apoyadas en pilotes, con firmes (losas a nivel del terreno) asentados en rellenos profundos, pueden, conforme el relleno se asienta, sufrir daños ocasionados por la diferencia de movimiento de los firmes, entradas de servicio y entradas principales respecto a la estructura piloteada.

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Los tirantes de anclaje que se utilizan para los bordos de contención de aguas y que pasan a través del relleno hidráulico llegan a tener sobrecargas debidas al asentamiento subsecuente del relleno; a fin de evitar esas sobrecargas, los tirantes deben quedar alojados dentro de tubos antes de cubrirlos con el relleno.

Densificación

Para la densificación se utilizan varias técnicas diferentes, que en general consisten en alguna forma de vibración. La densificación es la compactación in situ de los suelos, principalmente de tipo granular, con el objeto de aumentar su densidad. La posibilidad de aplicar estos métodos depende, como se muestra en el figura..., del tamaño de las partículas del suelo. En consecuencia, la distribución granulométrica es un factor que debe ser evaluado cuidadosamente antes de escoger el método de densificación.

Las arenas limpias pueden ser densificadas fácilmente hasta una profundidad de 1.8 m mediante el simple paso de una pesada aplanadora vibratoria con rodillo de acero. La frecuencia de vibración es ajustable en cierto grado, aunque en general se obtienen resultados óptimos dentro de los límites de 25 a 30 Hz. (Por debajo del nivel de 1.8 m, la densificación es mínima e incluso se da el caso de que se aflojen los 30 cm superficiales si se insiste en la compactación.)

Los métodos de vibroflotación y Terra-Probe incrementan las densidades de las arenas mediante la inserción repetida de las sondas vibratorias. Los huecos

cilíndricos que se forman con el vibrador se rellenan luego con arena acarreada del terreno. Los puntos de inserción del vibrador suelen ir agrupados, con una separación típica de 1.5 m en los sitios donde se van a erigir las columnas del edificio. Con este método se

obtienen densidades relativas de un 85 % o más en toda la profundidad de inserción, la cual puede ser de más de 12 m. Estas técnicas, sin embargo, no sirven cuando el contenido de partículas finas del suelo es de más de un 15 % o cuando hay materia orgánica en forma coloidal en cantidades de más del 5 % en peso.

Los pilotes de compactación son de una alternativa que se emplea para densificar las arenas y permitir el uso subsecuente de cimientos poco profundos. Los pilotes pueden ser de cualquier material, aunque generalmente son de madera o se trata de un pilote de arena por sustitución, el cual se construye hincando en el terreno un casquillo que luego se rellena con arena. El volumen que desplazan los pilotes y la vibración que provoca la operación de hinca, densifican el suelo circundante.

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Por lo general, el elemento estructural de los cimientos no se apoya directamente sobre el pilote de compactación, sino en la masa densificada. Por lo común, los pilotes de compactación se usan bajo las mismas condiciones estructurales y subterráneas de las técnicas de vibroflotación y Terra-Probe.

Otra técnica para la densificación en gran escala es la compactación dinámica, un método diseñado por Techniques Louis Menard, que consiste en dejar caer grandes pesas desde una buena altura sobre el terreno. Las pesas van de 10 a 40 ton de peso y las alturas desde las cuales se dejan caer llegan a ser de hasta 30 m; la distancia entre los sitios de impacto es de hasta 18 m, de centro a centro. En cada punto se realizan varios impactos y es necesario dar varias de estas pasadas sobre el terreno. Con esta técnica se pueden densificar suelo o terrenos con casi todos los tamaños de partículas y materiales, como se aprecia en la figura...

Es posible compactar arenas sueltas, para que alcancen estados que van de densos a muy densos, a profundidades de 7,5 a 10,5 m, mediante el uso de pesas de 15 ton que dejan caer desde una altura de 24 m. Si las pesas son de 40 ton, las profundidades de densificación se amplían hasta 12 a 15 m, con un mayor incremento en la densidad. En el caso de las arenas y limos no plásticos, se pueden lograr asentamientos forzados del terreno de hasta 60 cm.

En esta técnica, la densificación se realiza como si el terreno hubiera sido sometido a una serie de miniterremotos; la compactación es el resultado de una licuefacción parcial (donde el suelo o terreno está saturado de agua) y del paso del tren de ondas. En las masas saturadas se producen mayores presiones en los poros, por lo que es necesario aguardar la disipación de esas presiones antes de hacer las siguiente pasada de golpes; de lo contrario, el efecto del golpe se nulifica y no hay mayor compactación. En la figura .... se dan los resultados de un trabajo de compactación dinámica, en gran escala, realizado en Bangladesh. Dichos resultados se expresan como una gráfica de los valores promedio de la prueba estándar de penetración (SPT), antes y después de la compactación, según la profundidad.

Sc= suelo competente Sd= suelo densificado Snc= suelo no competente Sg= relleno de grava

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Los diferentes métodos para mejorar los terrenos, deben ser, ante todo, económicos. Las ventajas de estas técnicas en comparación con otros métodos de cimentación, como las cimentaciones profundas (pilotes «in situ», módulos portantes, etc.), son las siguientes:

� No precisan excavaciones, no planteando problemas ambientales con el transporte y la eliminación de residuos.

� Condiciones simples de cimentación, son similares a los suelos naturales con suficiente capacidad de carga.

La técnica de ejecución es mediante la introducción del vibrador en el terreno, por su propio peso y con ayuda de la inyección de agua a presión por su punta.

Creación de un estado de licuefacción local mediante vibración que facilita la penetración del vibrador y su conjunto en el suelo hasta alcanzar la profundidad requerida en cada caso, arrastrando el agua en su circulación inversa a los finos procedentes de la perforación.

Alcanzada la profundidad deseada se disminuye la inyección de agua en punta comenzando entonces la aportación de grava. El vibrador sube y baja vibrando e inyectando agua, arrastrando a su vez grava, la cual se compacta en el interior del terreno formando la columna; durante esta operación se forma un cono superficial debiéndose de aportar la grava de forma rápida y continuada con una pala auxiliar.

La extracción lenta y escalonada del vibrador por tongadas crea una zona densificada cuyo diámetro depende de las características del terreno y la potencia empleada.

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Sobrecargas

En ocasiones, los materiales adecuados de cimentación descansan en arcillas blandas y comprimibles, en las que pueden ocurrir asentamientos indeseables. En tales casos, el terreno se puede volver utilizable si se sobrecarga la superficie. La finalidad de la sobrecarga es cargar y consolidar por anticipado las arcillas, lo que cancela la posibilidad de asentamientos ulteriores por debajo de las estructuras. Otra finalidad concurrente es el incremento de la resistencia del suelo arcilloso.

En la práctica, el proceso es muy simple cuando la arcilla está cubierta por los suelos superficialmente sólidos, pues la capacidad de carga no es un problema. El área que se desea mejorar se carga con tierra floja, amontonada, hasta que el peso de ésta es equivalente a la carga que se impondrá posteriormente al construir la estructura definitiva. (Si existen arcillas muy plásticas o capas muy gruesas con escaso drenaje interno, tal vez se necesite hacer drenajes de arena a fin de lograr la consolidación dentro de un plazo razonable). Conviene vigilar los asentamientos de la superficie original del terreno y de la capa arcillosa durante la colocación de la sobrecarga y después de ésta. El relleno debe permanecer en el sitio hasta que deje de haber asentamientos. Luego se retira la sobrecarga y se erigen las estructuras. Si la sobrecarga se realiza en forma adecuada, las estructuras ya no deben estar sometidas a asentamientos ocasionados por consolidaciones primarias; sin embargo, conviene evaluar la posibilidad de que ocurran asentamientos a causa de la compresión secundaria, sobre todo si los suelo o terrenos tienen un alto contenido orgánico.

Esta técnica es eficaz en grandes extensiones de terreno. Las limitaciones son la necesidad de un relleno temporal de bajo precio y los prolongados períodos que a veces se necesitan para el asentamiento.

Lechadeado

La inyección de materiales cementantes o algún otro agente químico de ese tipo en los suelos y masas rocosas los mejora al rellenar huecos o provocar su compactación. El lechadeado suele usarse para rellenar huecos presentes en las masas rocosas, típicamente las rocas de carbonatos, a fin de restringir las filtraciones o evitar el colapso estructural. Para cada fin específico se han creado materiales y métodos especiales. Por ejemplo, la inyección de geles de fraguado rápido es muy eficaz para la estabilización de arenas flojas; la inyección de lechada de cemento a alta presión se traduce en una compactación localizada de las arenas flojas.

El Jet-Grounting es una técnica de mejora de terreno y de cimentaciones consistente en la inyección de lechada moderna de ampliamente difundida en las soluciones de cimentaciones de las grandes obras.

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LA MECANICA DE SUELOS Y LAS CIMENTACIONES

El Jet-Grouting, es una técnica diferente a las demás de consolidación porque destruye la estructura existente del suelo y transforma a la vez en una homogénea masa con la mezcla de una sustancia aglutinante y los granos del suelo.

La maquinaria empleada es altamente especializada (ver figura) e integrada por un complejo de equipos, a saber: � Silos de material aglutinante; � Mezcladora (batching plant); � Bomba de alta presión; � Bomba mezcladora; � Compresor; � Perforadora.

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Drenaje

La profundización permanente de la capa freática casi superficial, en el caso de los suelo o terrenos de arena fina o limo, mejora notablemente las capas superficiales, sobre todo cuando se trata de cimentar caminos, zonas de estacionamiento (aparcamiento) y construcciones residenciales de poca elevación. El drenaje es eficaz porque disminuye la resistencia de los suelos al haber un aumento de la cantidad y presión del agua de los poros.

En los suelos granulares, el manto de agua freática se puede profundizar mediante el uso de bombas y pozos verticales, llevando luego el agua hacia cuencas o resumideros ubicados fuera del terreno en cuestión. En el caso de los limos, cuyo drenaje resulta difícil mediante esos medios, se puede recurrir a la electro-osmosis o drenaje eléctrico. En este método se aplica el principio de que el agua fluye hacia el cátodo cuando se hace pasar una corriente directa a través de suelos saturados de ella; luego, el agua se expulsa de este sitio por bombeo.

Se debe tomar medidas para mantener abatido el nivel del agua freática. Por ejemplo, se deben interceptar y desviar del terreno los aportes de agua superficiales y subterráneos. Con ese fin, la superficie del terreno debe ser modificada de forma que se controle el flujo de aguas superficiales; y para ello son muy útiles los parte aguas. Éstos, que se ubican aproximadamente a lo largo de las líneas de contorno topográfico, son particularmente útiles para la estabilización de los taludes de tierra.

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DISEÑO DE CIMENTACIONES

La elección de los criterios normativos del diseño de cimentaciones -tipo de cimientos, su profundidad y carga permisible o carga de apoyo- suele ser un proceso repetitivo. Para que brinden un apoyo adecuado, todas las cimentaciones deben cumplir dos requisitos simultáneos:

a) Capacidad de carga por apoyo adecuada cimentación. b)

Asentamientos estructurales tolerables.

Aunque relacionados, estos dos requisitos no se satisfacen automáticamente al mismo tiempo.

Una cimentación con insuficiente capacidad de apoyo también se asienta excesivamente; pero lo mismo puede sucederle a una cimentación con capacidad adecuada. Por tanto, los dos factores, capacidad de carga, o apoyo, y asentamiento, deben ser revisados para basar el diseño de los cimientos en la condición que resulte crítica.

Pasos del Diseño de Cimentaciones

En la práctica, el procedimiento general que se sigue para el diseño de cimientos consiste:

1. Determinar la capacidad de carga inherente al tipo o tipos de cimentación posibles, dadas las condiciones del subsuelo y los requisitos estructurales del proyecto.

2. Reducir las capacidades últimas de carga calculadas multiplicándolas por un factor de seguridad de 2 a 3. El factor de seguridad más alto se utiliza donde se tiene menor certeza acerca de las condiciones del subsuelo.

3. Calcular los asentamientos que pueden ocurrirle a una cimentación con capacidad de carga permisible reducida y con las cargas estructurales previstas.

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4. Si los asentamientos son estructuralmente aceptables, calcular los costos de los tipos de cimentación satisfactorios, sobre una base que permita comparaciones, como el precio por tonelada de carga en columnas o el costo por metro cuadrado en área construida. Dichos costos deben incluir todos los elementos estructurales del sistema de cimentación, como el casquete (remate) de los pilotes y cualquier trabajo de mejora del suelo que se considere necesario; no se deben olvidar siquiera los costos excepcionales, como la eliminación de aguas. También es necesario ponderar el tiempo que se requiere para la construcción. Si todos los demás factores son iguales, optar siempre por el sistema de menor costo.

5. Si los asentamientos son inaceptables en todos los tipos de cimentación considerados, explorar otras alternativas, como mejora del suelo, reubicación del edificio, disminución de las presiones o cargas de apoyo, diferentes profundidades de apoyo y revisión de la superestructura. Repetir los casos 3 y 4 hasta que se encuentre una cimentación segura y lo más económica posible.

En resumen se debe garantizar la resistencia y economía del sistema cimiento.

El Prof. Eduardo Torroja decía: en definitiva el problema ha de plantearse con estas cuatro premisas o conjunto de ellas:

- Finalidad Utilitaria. - Función Estructural o Estática. - Exigencia Estética. - Limitación Económica.

Capacidad de carga o apoyo de los cimientos.

La capacidad de carga o apoyo es una característica de cada sistema de suelo- cimentación, y no sólo una cualidad intrínseca del suelo. Los distintos tipos de suelo difieren en capacidad de carga, pero también ocurre que en un suelo específico dicha capacidad varía con el tipo, forma, tamaño y profundidad del elemento de cimentación que aplica la presión.

"Razón y Ser de los tipos estructurales". Eduardo Torroja Miret - Colección Textos Universitarios n 13. CSIC.

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Existen dos tipos básicos de cimentación: superficial y profunda. Asimismo, hay algunas variaciones de cada tipo.

Las cimentaciones superficiales constan de zapatas (llamadas zarpas en algunos países) aisladas, corridas y ligadas, y cimentaciones flotantes compensadas.

Las cimentaciones profundas constan de cajones perforados (pozos descendentes) y muchas variedades de pilotes de concreto hincables o colados en su sitio.

En las Construcciones Industriales-Empresariales existen una enorme variedad de tipos de cimentaciones superficiales y profundas de acuerdo a las estructuras que deben soportar, vgr. Intercambiadores de calor, Torres, Chimeneas, Tanques, Esferas, Naves, etc.

pilotes

viga de atado

El problema que se plantea es la

transmisión de unas cargas del proceso y exteriores al terreno de la forma más económica, que dependerá como hemos visto de;

- Naturaleza del terreno

- Profundidad y Ancho de la cimentación - Características de la estructura.

FLUJO EN CAPA LÍMITE. INTRODUCCIÓN Se sabe que en un fluido ideal las velocidades permanecen invariables en una sección determinada, sin embargo, en un fluido real existe un frenado en la proximidad de la pared debido a la viscosidad. Es debido a la viscosidad que en los fluidos reales no existe deslizamiento en las fronteras rígidas, es decir, la velocidad del fluido con respecto a la frontera es cero (Principio de no deslizamiento). Como resultado de este fenómeno resulta que los gradientes de velocidad y esfuerzo tangencial son máximos en esta zona. La zona donde la velocidad es influenciada por los esfuerzos tangenciales se denomina capa límite, en esta zona la velocidad se aproxima asintóticamente a la velocidad del flujo principal.

La capa límite, aguas arriba de un cuerpo de forma aerodinámica, es muy delgada, pero al moverse esta capa por el cuerpo hay una mayor cantidad de partículas que son retardadas por efecto del esfuerzo de corte. Así, la capa límite aumenta su espesor hacia aguas abajo. En el caso de superficies lisas, la capa límite es laminar, ya que las partículas de fluido se mueven en capas lisas. Pero al aumentar el espesor, ésta se vuelve inestable y se transforma en una capa límite turbulenta, donde las partículas de fluido se mueven con diversas trayectorias. Sin embargo, en esta región aún persiste el flujo laminar por medio de la llamada sub-capa laminar.

Algunas definiciones importantes son: Capa Límite: capa de fluido muy delgada que está en contacto con una superficie sólida, dentro de la cual no se pueden despreciar los efectos viscosos. Capa de fluido cuya velocidad es afectada por la fuerza cortante en la frontera. Espesor de la capa límite, δ: lugar geométrico de los puntos donde la velocidad u paralela a la placa alcanza el 99% del valor de la velocidad exterior U. Espesor de deslizamiento: distancia que deben desplazarse las líneas de corriente para que se satisfaga la conservación de la masa entre la entrada y la salida para un fluido escurriendo por un placa plana.

Para que se satisfaga la ecuación de continuidad se debe tener que:

( ) ( ) ( )

ρ ρ

δ

δ

δ δ

U bdy ubdy

U h U u U dy U h u U dy

h h

h h

0 0

0 0

∫ ∫

∫ ∫

=

= + − = + + −

+

+∗

+∗ ∗

*

Luego:

δδ

∗+

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∗

∫ 10

uU

dyh

(1.1)

Espesor de Momentum, θ: espesor de la capa de fluido de velocidad U cuya cantidad de movimiento es igual al déficit de cantidad de movimiento o, en otras palabras, a la cantidad de movimiento transferida a la pared.

- Cantidad de movimiento que entra: ρ U h2

- Cantidad de movimiento que sale: ∫Y

0

2 dyuρ

La diferencia entre la cantidad de movimiento que entra y la cantidad de movimiento que sale estará dada por:

θρρρ 2Y

0

22 UdyuhU =−∫

Donde: θ: fracción de cantidad de movimiento transferida a la placa.

Por continuidad: ∫=Y

0

dyuhU

( )∫

∫∫

∫

∞

−=

−=

=

0

2

Y

0

2Y

0

2

Y

0

2

dyuuU

dyudyuUU

dyuUhU

ρ

ρρθρ

ρρ

∫∞

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=∴

02

2

dyUu

Uu

θ

∫∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

0

dyUu1

Uu

θ

(1.2)

ESTUDIO DE LA CAPA LÍMITE PARA UN FLUJO QUE ATRAVIESA UNA PLACA PLANA. Aplicación de la Ecuación de Cantidad de Movimiento en su forma integral al estudio de la capa límite. Sea una placa plana, como la que se muestra en la figura y un fluido escurriendo por ella.

Se tiene que la cantidad de fluido que entra al volumen de control por la sección OB está dada por:

Q U hmOB = ρ Por otro lado, la cantidad de fluido que sale del volumen de control por la sección AC es:

( )Q udy U hmAC = + −∫ ρ ρ δδ

0

Luego, la cantidad de fluido que atraviesa la sección BC es:

( ) ( )Q U h udy U h U udy U u dymBC = − − − = − = −∫ ∫ ∫ρ ρ ρ δ ρ δ ρ ρδ δ δ

0 0 0

Por otro lado, la ecuación general de cantidad de movimiento está dada por:

Ft

udV uq dAx

V S∑ ∫ ∫= + ⋅

∂∂

ρ ρ

Considerando flujo permanente incompresible se tiene que la única fuerza que actúa es la fuerza de arrastre en la placa, ya que se considera que la presión es constante alrededor de todo el volumen de control. Luego:

( )

( )

− = − + −

⇒ − = −

∫ ∫

∫

Arrastre u dy U U U u dy

F u U u dy

ρ ρ δ ρ

ρ

δ δ

δ

2

0

2

0

0

El arrastre sobre la placa ocurre en la dirección opuesta, luego:

( )∫ −−=δ

ρ0

dyuUuF

(1.3)

Pero, esta fuerza se puede expresar también en función del esfuerzo de corte a lo largo de la placa, es decir:

F dxx

= ∫ τ 0

0

Así, igualando ambas expresiones y despejando la tensión de corte, se tiene:

( )τ ρ∂

∂

δ

0

0

= −∫xu U u dy

(1.4)

Puede apreciarse que el valor de τ0 depende de:

- La distribución de velocidades en la capa límite. - La manera de como varía el espesor de la capa límite.

Sea: uU

u= ∗ : velocidad relativa a la velocidad inicial.

y yδ

= ∗ : altura relativa al espesor de la capa límite.

Entonces:

( )τ ρ∂

∂δ0

2

0

1

1= −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

∗ ∗ ∗∫Ux

u u dy

(1.5)

Para: y* = 0 ; u* = 0 y* = 1 ; u* = 1 Capa Límite Laminar. Prandtl propone que la distribución de la velocidad en la capa límite laminar está dada por:

u y y∗ ∗

∗= −32 2

3

0 ≤ ≤y δ

u∗ = 1 y ≥ δ Reemplazando en la expresión de la tensión de corte:

τ ρ∂ δ∂

τ ρ∂ δ∂

02

3 3

0

1

02

32 2

1 32 2

0 139

= −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

∴ =

∗∗

∗∗

∗∫Ux

y y y y dy

Ux

.

Por otro lado: τ μ∂∂

μδ

∂∂0

0

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟∗

∗ =∗

uy

U uy

y

Y: ∂∂

uy

y

∗

∗ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

∗ 0

32

Entonces, se tiene que:

τ μδ0

32

=U

Igualando ambas expresiones de la tensión de corte, se tiene finalmente:

32

0 139

10 78

12

10 78

2

2

μδ

ρ∂ δ∂

δ δμδ

δν

U Ux

d dxU

Ux C

=

⇒ =

= +

.

.

.

Para: x = 0 ; δ = 0 ; C = 0 Despejando el espesor de la capa límite, se llega a relacionar esta variable con el número de Reynolds:

δν

δ

ν

2

2

21 56

21 56

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

.

.U

x

x U x

Con: RexU x

=ν

; Luego:

δ

δ

x

x

x

x

=

=

4 65

4 65

.Re.Re

Esta ecuación entrega el espesor de la capa límite para flujo laminar y se puede observar que el valor de δ aumenta con la raíz cuadrada de la distancia a la orilla frontal de la placa. Reemplazando en la ecuación de τ0, se tiene:

τ μ032 4 65

=U

x x.Re

Con: xU U

x x= =Re Reν μ

ρ

Así, para una longitud x = L; se tiene:

∫∫ ==L

0 x

2L

00L dx

ReU322.0dxF ρτ

LReU644.0F

L

2

Lρ

=∴

(1.6)

Donde la resistencia crece con la raíz cuadrada de la longitud de la placa. Esta resistencia o arrastre se puede expresar también en términos de un coeficiente adimensional de arrastre CD multiplicado por la presión de estancamiento y el área de la placa (por unidad de ancho). Así:

F C U LL D=ρ 2

2

(1.7)

Con:

CDL

=1 328.

Re

(1.8)

Cuando el número de Reynolds oscila entre 0.5 × 106 y 106 la capa límite se hace turbulenta. Este valor crítico de Reynolds depende de varios factores, como: - La turbulencia inicial del flujo. - El borde de ataque. - La rugosidad de la placa. Además, se ha visto que para números de Reynolds menores que 2500, la teoría de la capa límite falla, pues el espesor es tan grande que tiene un efecto sobre la corriente exterior. Capa Límite Turbulenta.

Aplicando el mismo análisis integral y aplicado la ecuación de cantidad de movimiento se puede llegar a determinar el crecimiento de la capa límite turbulenta y las tensiones de corte sobre una placa lisa. Prandtl sugirió que los perfiles turbulentos pueden aproximarse a la ley de la potencia a un séptimo. De esta manera se puede suponer que la distribución de velocidades de la capa límite turbulenta es:

( )u y∗ ∗= 1 7/

y τ ρνδ0

21 4

0 0228=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.

/

UU

Desarrollando la expresión integral para encontrar el esfuerzo de corte, se tiene:

( ) ( )( )τ ρ∂ δ∂

τ ρ∂ δ∂

02 1 7 1 7

0

1

02

1

772

= −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

∴ =

∗ ∗ ∗∫Ux

y y dy

Ux

/ /

Igualando ambas expresiones de τ0:

0 0228 0 09722

0 02280 09722

45

0 231

21 4

2

1 41 4

5 41 4

. .

..

.

/

//

//

ρνδ

ρ∂ δ∂

δ δν

δν

UU

Ux

dU

dx

Ux C

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⇒ = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⇒ = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

Para: δ = 0 ; x = 0 ⇒ C = 0

( )

∴ = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

δν

δ ν

0 370

0 370 0 370

1 54 5

1 5

1 5

.

. .

Re

//

/

/

Ux

x U xx

Se puede apreciar de esta expresión que la capa límite turbulenta aumenta de espesor más rápidamente, ya que es proporcional a x4/5, en cambio el espesor de la capa límite laminar es proporcional a x1/2. Reemplazando el valor del espesor de la capa límite en la expresión experimental de τ0, se obtiene:

( ) 5/1x

2

0 ReU029.0 ρ

τ =

( )L

ReU036.0F

5/1L

2

Lρ

=∴

(1.9)

Con:

( )CD

L

= 0 072 11 5.

Re /

(1.10)

Cuando el número de Reynolds tiene valores entre 0.5 × 106 y 107 se cumple que las ecuaciones anteriores son válidas, pero para flujos con números de Reynolds mayores el exponente en la distribución de velocidad se reduce. Experimentalmente se ha encontrado que el arrastre es un poco mayor que el que da la ecuación encontrada. Esto se debe a que la capa límite en contacto con la pared es laminar.

FUNDAMENTOS TEÓRICOS HIDRÁULICA

1.- Los filtros:

a) Van colocados en medio de los conductos para ir filtrando y depurando el fluido a medida que éste avanza.

b) No existen en hidráulica sino en neumática. c) Van colocados a la entrada y salida del depósito de expansión. d) Son una parte del depósito de fugas.

2.- Los principales componentes de una central hidráulica son: un motor eléctrico, una bomba, una válvula de seguridad, unos filtros, y :

a) Un cilindro. b) Una válvula distribuidora. c) Un recipiente o depósito. d) Un acumulador de presión.

3.- La presión en un sistema hidráulico:

a) Se crea cuando el fluido circula libremente. b) Se crea cuando el fluido encuentra un obstáculo a su circulación. c) Es creada por la bomba. d) Se crea cuando la válvula de seguridad es conectada.

4.- Cual de las siguientes propiedades no tienen los fluidos líquidos:

a) Fluidez. b) Viscosidad. c) Resistir esfuerzos cortantes. d) Compresibilidad.

5.- Introducimos un cuerpo en un recipiente con un líquido, en qué caso el cuerpo flota:

a) si E= W b) si E< W c) si E> W d) si E=0

6.- En que caso se utiliza la hidráulica:

a) En el traslado de fuerzas pequeñas a grandes velocidades. b) En el traslado de todo tipo de fuerzas sin que importe la velocidad. c) En el traslado de fuerzas grandes a grandes velocidades. d) En el traslado de fuerzas grandes que requieran velocidades muy precisas.

7.- El principio de Arquímedes dice: “ Todo cuerpo sumergido en un fluido, experimenta una fuerza vertical y hacia arriba, igual al peso del fluido que desaloja.”

a) Falso, la fuerza no tiene que ser necesariamente vertical y hacia arriba. b) Verdadero. c) Falso, porque no influye el peso del fluido que desaloja.

8.- El caudal lo podemos expresar como:

a) El volumen que atraviesa una sección por el tiempo que tarda en atravesarla. b) La velocidad, en un punto, que lleva el fluido por la sección en ese punto. c) El volumen que atraviesa una sección por el área de esa sección.

9.- Cual de este tipo de bombas no se suele utilizar en sistemas hidráulicos:

a) Bombas centrífugas. b) Bombas de engranajes. c) Bombas de paletas. d) Bombas de pistones.

10.- En los sistemas hidráulicos, el encargado de transmitir la potencia es:

a) El actuador. b) La bomba. c) El motor eléctrico. d) El fluido hidráulico.

COMPONENTES BÁSICOS HIDRÁULICA

1.- Si una instalación hidráulica contiene una única válvula de seguridad, ésta se conecta:

a) Antes del actuador. b) Entre el actuador y el tanque. c) Entre la salida de la bomba y el tanque. d) En la entrada a la bomba.

2.- Cuando necesitamos realizar un movimiento lineal de una carga en un único sentido, utilizaremos:

a) Un cilindro doble efecto. b) Un cilindro simple efecto. c) Un motor hidráulico. d) Un cilindro de doble vástago.

3.- Los vacuómetros son instrumentos de medida, que se utilizan para medir presiones, pero, ¿qué tipo de presiones se miden con ellos?

a) Presiones relativas positivas. b) Presiones absolutas negativas. c) Presiones absolutas positivas. d) Presiones relativas negativas.

4.- Para el diseño de una instalación hidráulica sencilla son necesarios como mínimo: un depósito, un cilindro, una bomba, una válvula distribuidora y:

a) Un caudalímetro. b) Una válvula antirretorno. c) Un manómetro. d) Una válvula de seguridad.

5.- Es importante que no circule aire por las componentes del sistema hidráulico porque:

a) El aire es incompresible y no proporciona la adecuada transmisión de potencia. b) El aire muy compresible y no proporciona la adecuada transmisión de potencia. c) El aire lubrica en exceso a los distintos componentes. d) El aire facilita que el aceite sea más fluido.

6.- Para el control de un cilindro de simple efecto, es necesario:

a) Una válvula 5/4. b) Una válvula 4/2. c) Dos válvulas 2/2. d) Dos válvulas 3/2.

7.- Que significa que una válvula esté normalmente cerrada:

a) Que en su posición inicial se encuentre abierta. b) Que en su posición inicial se encuentre cerrada. c) Que en su posición final esté cerrada.

8.- Para que el movimiento del émbolo de un cilindro sea constante y sin saltos, es necesario que el aceite no contenga:

a) Agua b) Aire c) Partículas contaminantes.

9.- ¿Cuántas posiciones tiene una válvula 4/2 ?

a) 2 posiciones b) 4 posiciones c) 2+4= 6 posiciones

10.- Se entiende por vías:

a) Número mínimo de conductos de entrada de fluido. b) Número máximo de conductos de salida de fluido. c) Número mínimo de conductos de entrada y salida de fluido. d) Número máximo de conductos de entrada y salida de fluido

FUNDAMENTOS TEÓRICOS NEUMÁTICA

1.- En toda instalación neumática se trabaja con un tipo de presión, ésta es:

a) Presión relativa o manométrica. b) Presión atmosférica. c) Presión absoluta. d) Presión de vacío.

2.- La elección de la neumática como forma de automatización es debido a:

a) Lo poco costosa que resulta una instalación de este tipo. b) La relación fuerza/velocidad de accionamiento que se consigue. c) Que no es necesario una gran preparación de la fuente de energía. d) El desarrollo que han hecho de la neumática los Norteamericanos.

3.- Al comprimir el aire con la ayuda de un compresor se obtiene:

a) Un aumento de la presión y disminución de la temperatura del aire. b) Una disminución de la presión y aumento de la temperatura del aire. c) Ni aumento ni disminución de la presión y temperatura del aire. d) Aumento de la presión y temperatura del aire.

4.- El COMPRESOR DE ÉMBOLO DE DOS ETAPAS se utiliza cuando se necesita el aire :

a) A una presión elevada. b) A una presión baja. c) A una presión negativa, es decir, a una presión de vacío. d) A 1,023 bares de presión.

5.- El inconveniente más importante que presenta el aire a presión después de salir del compresor es:

a) Polvo. b) Residuos tóxicos. c) Humedad. d) Oxidos.

6.- Un racor es:

a) Un componente del compresor. b) Una junta de estanqueidad. c) Un tipo de válvula de seguridad. d) Un elemento de unión entre las tuberías.

7.-Para la elección del compresor idóneo en una instalación neumática es necesario saber:

a) Presión absoluta del lugar donde e va a colocar la instalación. b) Presión de trabajo y caudal que suministra el compresor. c) Temperatura, presión y humedad del aire comprimido que se desea. d) Los tipos de cilindros que se van a utilizar en la instalación.

8.- Cual de los siguientes elementos no hay en una instalación de aire comprimido:

a) Depósito. b) Compresor. c) Filtro y secador. d) Limitador de presión.

9.- Cual de los siguientes elementos no hay en una unidad de mantenimiento.

a) Filtro. b) Regulador de presión y manómetro. c) Lubricador. d) Silenciador.

10.- Para un buen dimensionado de las tuberías cual de estos factores no es importante:

a) Caudal de aire. b) Longitud de tuberías. c) Presión de trabajo. d) Consumo de aire.

COMPONENTES BÁSICOS NEUMÁTICA

1.- En un cilindro de simple efecto el muelle tiene como función:

a) Facilitar el movimiento de avance del émbolo. b) Impedir que se rompa el vástago. c) Retornar el émbolo a su posición inicial. d) Meramente decorativo.

2.- Para impedir las fugas en un cilindro se colocan:

a) Dispositivos de cierre en todas las salidas. b) Nada, en los cilindros es imposible las fugas. c) Racores. d) Juntas de estanqueidad.

3.- Cuales son los parámetros básicos de los cilindros:

a) La velocidad de accionamiento la fuerza. b) La fuerza y la carrera. c) La carrera y el consumo de aire. d) La carrera y velocidad de accionamiento.

4.- Cuando con un cilindro de gran tamaño, no se puede obtener la fuerza requerida para mover la carga, lo cambiamos por:

a) Un cilindro sin vástago. b) Por uno más grande. c) Un cilindro de doble vástago. d) Un cilindro tándem.

5.- Cuando en una aplicación se requiere fuerza tanto en el avance como en el retroceso se utiliza:

a) Cilindro de doble efecto. b) Cilindro de simple efecto. c) Motor de aire comprimido. d) Cilindro de doble vástago.

6.- De los siguientes medidores de presión, cual es el utilizado en las instalaciones neumáticas:

a) Vacuómetro. b) Manómetros de presión absoluta. c) Manómetro BOURDON. d) Manómetro de émbolo.

7.- Para el control de un cilindro de doble efecto es conveniente utilizar:

a) Dos válvulas distribuidoras 3/2. b) Una válvula distribuidora 4/2. c) Una válvula distribuidora 5/4. d) Una válvula distribuidora 6/2.

8.- Cuando es necesario evacuar aire comprimido que puede haber en un cilindro se utiliza:

a) Válvula de escape rápido. b) Válvula de cierre. c) Válvula de caudal. d) Válvula selectora de circuito.

9.- La función principal de una válvula selectora de circuito es:

a) Seleccionar el circuito conveniente. b) Controlar un cilindro desde dos puntos diferentes del circuito. c) Bloquear el caudal es cualquier punto de circuito. d) Facilitar la purga de aire comprimido.

10.- Cual será la máxima carrera que puede tener un cilindro que tiene una fuerza de 900 N (newton) y un diámetro del vástago de 10 mm (milímetros).

a) Alrededor de 600 mm. b) Alrededor de 550 mm. c) Alrededor de 350 mm. d) Alrededor de 250 mm.

MURO

Se trata de analizar el comportamiento del muro de la figura, empleando el teorema estático: planteando una configuración equilibrada -de bielas y tirantes-.

EQUILIBRIO DE CARGAS Y REACCIÓN DEL TERRENO

Se determina la reacción del terreno considerando que el muro asienta rígidamente en él, por lo que la reacción del terreno tendrá forma lineal -trapezoidal o triangular- con resultante igual y contraria a la de la carga.

Se evalúa, pues, la carga total, y la posición de la resultante (en kN y m, en distancia respecto del lateral izquierdo)

La resultante está en todos los casos situada más cerca del lateral izquierdo que el tercio de la longitud del muro, por lo que la reacción del terreno es triangular. Seguiremos con datos genéricos

obteniendo como ejemplo son los valores para el caso particular ( ) de x=y=5.

La expresión siguiente muestra que la reacción es triangular:

La reacción por unidad de longitud en extremo izquierdo es fácil de obtener si el diagrama es triangular (en kN/m), y con ella puede obtenerse la tensión máxima en el terreno, al ser la reacción por unidad de longitud dividida por la anchura, en kN/m2 (y en N/mm2)

Podemos particularizar para el caso x=y=5 a reacción por metro lineal, así como la tensión media bajo la zapata en el punto de reacción máxima (lado izquierdo del muro).

El coeficiente de seguridad frente a la capacidad del suelo mide la relación entre la carga que provocaría la rotura del suelo y la carga efectiva. Como no estamos analizando el suelo en detalle, sino el muro, buscamos sólo una estimación del grado de seguridad del diseño, y como sólo tenemos un dato de resistencia admisible, medimos sólo el cociente entre dicha resistencia admisible y la mayor tensión media obtenida. Un coeficiente igual o mayor que uno muestra seguridad admisible -al estar usando la esistencia admisible- y si es menor que uno, inseguridad, salvo estudio más detallado de las condiciones del suelo. Particularizamos, como siempre para x=y=5.

DIAGAMAS DE ESFUERZOS GLOBALES

Obtenemos por integrales sucesivas los diagramas de Cortantes y de momentos globales -para una directriz horizontal que abarque el ancho del muro- a partir de las cargas totales -peso y pilares menos la reacción del terreno.

Para poder trazar las gráficas con Maple usamos la delta de Dirac, y su integral, la función de Heaviside para definir las cargas. Vemos un ejemplo para carga puntual unidad en 2 (delta de Dirac en 2)

d := Dirac(x - 2)

La integral de la función de Heaviside queda definida en función de ella misma:

Definimos, pues, la ley de cargas

La reacción del suelo se define a partir de los valores obtenidos antes, y usando Heaviside: se

define en R exclusivamente el triángulo correspondiente a la reacción de terreno. Para ello se elimina (vía Heaviside) toda la región de coordenadas negativas, y se define la recta de carga entre 0 (la carga vale en ese punto) y (donde la carga vale 0), eliminándose asimismo toda reacción a partir de dicho punto, vía Heaviside nuevamente.

Las cargas totales son el peso del muro, mas las puntuales, menos la reacción del suelo.

Trazado de la gráfica de cargas (Las cargas Puntuales no aparecen pues son singularidades, pero están en las coordenadas indicadas por las deltas de Dirac)

Los cortantes se obtienen como suma de todas las cargas a izquierda de cada corte vertical (integrando las cargas). Para trazarlo a mano numéricamente interesan 1: los puntos a izquierda y derecha de cada carga puntual, 2: aproximar las posiciones de cortante nulo (suma de cargas a la izquierda igual a cero) y 3: valor del cortante en el punto de carga nula, pues corresponde al máximo local de cortante.

Los momentos se obtienen tomando momentos de las cargas totales a izquierda de cada corte, o integrando los cortantes. Para su trazado a mano interesa obtener momentos en las posiciones de las cargas puntuales, en los puntos de cortante nulo (momento máximo local), así como estimar las posiciones de los puntos de momento nulo. Tienen interés los valores de cortante local máximo en el vuelo, así como las partes en que se divide la carga del pilar central

La posición y valor del máximo momento -del cortante nulo- son respectivamente:

MECANISMOS DE BIELA-TIRANTE

Trazamos ahora los campos de tensiones internos al muro, como mecanismos de bielas -campos de tensiones de compresión- y tirantes -campos de tracciones que exigen armadura-.

Podemos trazar cualquier mecanismo que garantice el equilibrio de las cargas, y si tanto hormigón como el acero garantizan la resistencia de dicho mecanismo, por el teorema estático, la solución sera al menos segura.

De todos modos tratamos de trazar un mecanismo cercano al modo de trabajo del muro.

Para ello empezamos ignorando los huecos -dado que son relativamente pequeños en relación al resto del muro-, y considerando las gráficas anteriores, con las siguientes consideraciones, que permiten seguir el proceso de trazado de la figura:

1.- El peso del muro y la zapata está en algunas zonas apoyado en el terreno, y en otras, "en el aire". Si consideramos la gráfica de cargas globales, donde la "carga" tiene el sentido de la reacción del terreno, éste soporta la parte del muro que tiene encima, así como cargas adicionales. Donde la carga tiene el sentido del peso del muro y zapata, -en el lateral derecho- éstos se apoyan en el resto del muro en un mecanismo de voladizo. Se requiere ahí, por tanto un tirante para colgar dicho peso de la parte superior del muro (11), y una biela inclinada (12) para llevar el peso al terreno de al lado. La biela requiere de un tirante horizontal (13) y una compresión horizontal (14) para asegurar su equilibrio.

2.- Los puntos de cortante nulo en la gráfica separan tramos de muro sin interacción tangencial entre ellos, de modo que las cargas verticales y reacciones de dichos tramos se deben equilibrar en ellos. Tenemos así tres tramos separados que no pueden ser cruzados por bielas oblicuas, que equilibran con el terreno las cargas del pilar izquierdo, la del derecho, -en el centro del muro- y la del tramo de muro en voladizo. Por tanto las posiciones de las bielas 11 a 14 deben establecerse en base a la posición de la resultante del saldo entre reaccion del terreno y peso del muro destinada a equilibrar el peso del vuelo (21).

3.- La biela izquierda (31) lleva la carga del pilar a la posición de la resultante del saldo entre reacción del terreno y peso del muro. Corresponde a un abanico de compresiones. Requiere de tracción horizontal (32) superior, y compresión horizontal inferior (33).

4.- La carga del pilar "central" se equilibra con reacciones a su izquierda y derecha -saldo entre reacción del terreno y peso del muro- iguales al salto el el diagrama de cortantes, por lo que pueden trazarse las correspondientes bielas comprimidas (41 y 42) y cerrar las horizontales necesarias para el equilibrio completo.

5.- Pueden calcularse los valores de las correspondientes compresiones y tracciones sin más que trazar los polígonos de fuerzas, o cualquier otro método de equilibrio. En las figuras estan trazados los Cremonas en los que el equilibrio de cada nudo es un polígono en el que se trazan sucesivamente las fuerzas de las barras que se encuentran al rotar en torno al nudo en sentido antihorario. (Las barras incluyen las líneas de acción de cargas y reacciones tal como actúan sobre el nudo).

6.- Se considera a continuación la existencia de los huecos, debiendo desglosarse las bielas que cruzan huecos -descomponiéndolas de modo que se mantenga el equilibrio, según la regla del paralelogramo si se usa el calculo gráfico- y "desviándolas" en caso de ser necesario mediante alguno de los mecanismos de la figura -o combinaciones o alteraciones de los mismos-, pero nuevamente manteniendo la equivalencia entre la biela desviada y el mecanismo que la sustituye -la sustituye en la forma, pero no en el efecto, que debe mantenerse-

7.- Como alternativa al desglose individual de bielas, pueden recomponerse grupos de ellas, pero debe asegurarse el equilibrio, como sería el caso bajo la carga del pilar central, en el que se muestra cómo trazar un quiebro en las bielas de modo que ambos tramos sean capaces de equilibrar la resultante en el nudo que forman la carga vertical y las fuerzas desequilibradas horizontales a derecha e izquierda del nudo.

El resultado es el de la figura, que admite refinamientos adicionales, y sobre los que se determinan los valores de las fuerzas definitivas en bielas y tirantes, gráfica o numéricamente.

ARMADOS

Para armar se consideran las mallas mínimas, y se compara su capacidad de carga con la necesaria para resistir las fuerzas sobre los tirantes, que serán concentradas o distribuidas según la naturaleza de la carga: para el tramo de muro en voladizo, se trata de un tirante de cuelgue distribuido, pero para el desvío de la carga del pilar izquierdo es claro que es un tirante bastante concentrado.

En algunas regiones pueden considerarse modelos de vigas, como podrían ser las áreas bajo los huecos, en las que la reacción del terreno, relativamente uniforme en cada una de ellas, puede considerarse, alternativamente al modelo de bielas y tirantes, como una carga aplicada a tramos de vigas doblemente empotradas al muro. Valdrá cualquier modelo que asegure el equilibrio local y global, así como la resistencia de los esfuerzos requeridos por dicho equilibrio. La peor situación concebible sería la equivalente a doblemente apoyada, con hasta un 30% menos de armado si pueden suponerse deformaciones análogas a las del doble empotramiento.

De tal modo que la armadura superior requerida para desviar la carga del pilar izquierdo, que es por ello también la responsable de equilibrar el máximo momento global en la región de cortante nulo, vale, en cm2

Dicha armadura debe anclarse pasado el pilar central, dado que es bajo éste donde cambia el valor de su tracción. Sin considerar la longitud de anclaje tendremos:

Y la armadura en la peor posición bajo el hueco izquierdo será responsable del equilibrio de momentos de la reacción del terreno menos la carga de la zapata bajo ese hueco, siendo, por

tanto . En cm2:

PARAMETRIZACIÓN Y VECTOR NORMAL

FÓRMULAS APLICABLES:

Plano tangente: Z.(Xu × Xv) = X0.(Xu × Xv)

Recta normal: Z = X0 + t.(Xu × Xv)

1) Escribir la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie:

x = u + v y = 1/u z = u.v

en correspondencia a u = 1 y v = 0.

La ecuación es:

X = (u + v, 1/u, u.v)

Sus derivadas son:

Xu = (1, -1/u ², v)

Xv = (1, 0, u)

En el punto son:

Xu|(1,0) = (1, -1, 0)

Xv|(1,0) = (1, 0, 1)

X|(1,0) = X0 = (1 + 0, 1/1, 1.0) � X0 = (1, 1, 0)

El producto vectorial es:

E1 -E2 E3

1 -1 0 Xu × Xv = (1,-1,0)×(1,0,1) =

1 0 1

Xu × Xv = [-1 - 0, -(1 - 0), 0 - (-1)]

Xu × Xv = (-1, -1, 1)

Plano tangente:

Z.(Xu × Xv) = X0.(Xu × Xv) � (x,y,z).(-1,-1,1) = (1,1,0).(-1,-1,1)

- x - y + z = - 1 - 1 � - x - y + z = -2 � x + y - z = 2

Recta Normal:

Z = X0 + t.(Xu × Xv) � (x, y, z) = (1, 1, 0) + t.(-1, -1, 1)

2) Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie:

X(u,v) = (u.v,1/v,log(u + v))

en correspondencia a u = 0 y v = 1.

Sus derivadas son:

Xu = (v, 0, 1/(u + v))

Xv = (u, -1/v ², 1/(u + v))

En el punto son:

Xu|(1,0) = (0, 0, 1)

Xv|(1,0) = (0, -1, 1)

X(1,0) = (0, 1, 1) � X0 = (0, 1, 1)

El producto vectorial es:

E1 -E2 E3

0 0 1 Xu × Xv = (0,0,1)×(0,-1,1) =

0 -1 1

Xu × Xv = [0 - (-1), -(0 - 0), 0 - 0]

Xu × Xv = (1, 0, 0)

Plano tangente:

Z.(Xu × Xv) = X0.(Xu × Xv) � (x,y,z).(1,0,0) = (0,1,1).(1,0,0)

x = 0

3) Escribir la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie:

X(u, v) = (2.v.cos u, v.sin u, v ²)

en correspondencia a (u,v) = (π /4,1).

Sus derivadas son:

Xu = (-2.v.sen u,v.cos u,0)

Xv = (2.cos u,sen u,2.v)

En el punto son:

El producto vectorial es:

Plano tangente:

Z.(Xu × Xv) = X0.(Xu × Xv)

Recta Normal:

4) Escribir la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie:

X(u, v) = (ev.cos u, ev.sin u, v)

en el punto correspondiente a (u0,v0) = (π /2,1).

Sus derivadas son:

En el punto son:

El producto vectorial es:

E1 -E2 E3

-e 0 0 Xu × Xv = (-e,0,0)×(0,e,1) =

0 e 1

Xu × Xv = (0, e, -e ²)

Plano tangente:

Z.(Xu × Xv) = X0.(Xu × Xv) � (x,y,z).(0,e,-e ²) = (0,e,1).(0,e,-e ²)

e.y - e ².z = e ² - e ² � y - e.z = 0

Recta Normal:

Z = X0 + t.(Xu × Xv) � (x,y,z) = (0,e,1) + t.(0,e,-e ²)

5) Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie:

X(u, v) = (u ² - 1, u.v, v + 2)

en el punto (0,2,0), siempre y cuando el problema esté bien puesto.

u ² - 1 = 0 � u ² = 1 � u = ±1

u.v = 2 � u.(-2) = 2 � u = -1

v + 2 = 0 � v = -2

(u,v) = (-1, -2)

Sus derivadas son:

Xu = (2.u,v,0)

Xv = (0,u,1)

En el punto son:

Xu|(-1,-2) = (-2, -2, 0)

Xv|(-1,-2) = (0, -1, 1)

X(-1,-2) = (0, 2, 0)

El producto vectorial es:

E1 -E2 E3

-2 -2 0 Xu × Xv = (-2,-2,0)×(0,-1,1) =

0 -1 1

Xu × Xv = (-2, 2, 2)

Plano tangente:

Z.(Xu × Xv) = X0.(Xu × Xv) � (x,y,z).(-2,2,2) = (0,2,0).(-2,2,2)

-2.x + 2.y + 2.z = 4 � - x + y + z = 2

6) Escribir la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie:

X(u, v) = (2.cos u.cos v, 2.sin u. cos v, sin v)

en el punto correspondiente a (u0,v0) = (π, π /4).

7) Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie:

X(u, v) = (uv, 2.u.v, u + v)

en el punto (1,-2,0).

8) Escribir la ecuación de la recta normal a la superficie:

X(u, v) = (u ² - v ², u + v, 2.u)

en el punto (0,2,2).

9) Escribir la ecuación de la recta normal a la superficie:

X(u, v) = (uv, u + v, v - 2.u)

en el punto (1,1,-2).

10) Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie:

X(u, v) = (u.sin v, u.cos v, v + 2.u)

en el punto (0,- π, π).

METODOS DE INTEGRACION

En este tema se continúa con los métodos de integración iniciados en el capítulo anterior, en el que a partir del concepto de primitiva y de las derivadas de las funciones elementales se obtenían las integrales inmediatas, bien de forma directa, bien por cambio de variable.

Se estudiarán las técnicas más elementales para reducir a inmediatas aquellas integrales que no lo sean: integración por partes, integrales de cocientes de polinomios por descomposición en fracciones simples y fórmulas de reducción.

Todos los métodos de integración tienen por objetivo transformar una integral dada, no inmediata, en otra, o suma de varias, cuyo cálculo resulte más sencillo.

La integración por partes consiste en descomponer una integral en una suma de un producto de funciones más una integral que, pretendidamente, es más sencilla que la de partida.

La descomposición en fracciones simples de un cociente de polinomios transforma éste en una suma de fracciones cuyas integrales pueden solucionarse con facilidad.

Por último, las fórmulas de reducción permiten, en algunos casos, resolver integrales que dependen de un número natural n si se conoce el valor de la integral que depende del número anterior o ante-anterior. Así, por ejemplo,a partir de ∫ sen° x dx = ∫ 1 dx = x y ∫ sen x dx = - cos x, va a ser posible calcular las integrales de sen ² x, sen³ x, sen4 x,etc.

INTEGRACION POR PARTES

Este método permite resolver un gran número de integrales no inmediatas.

1. Sean u y v dos funciones dependientes de la variable x; es decir, u = f(x), v = g(x).

2. La fórmula de la derivada de un producto de dos funciones, aplicada a f(x).g(x), permite escribir,

d(f(x).g(x)) = g(x).f´(x)dx + f(x).g´(x)dx

3. Integrando los dos miembros,

∫ d[f(x).g(x)] =∫ g(x).f´(x).dx + ∫ f(x).g´(x).dx

De la misma manera que ∫ dx = x, también ∫ d[f(x).g(x)] = f(x).g(x) Por tanto, f(x).g(x) = ∫ g(x).f´(x).dx + ∫ f(x).g´(x).dx. De aquí se obtiene que:

∫ f(x).g´(x).dx = f(x).g(x) - ∫ g(x).f´(x).dx Esta no es la fórmula usual de la integración por partes. Puesto que u =f(x), du = f´(x)dx, y al ser v = g(x), dv = g´(x)dx. Llevando estos resultados a la igualdad anterior,

∫ u.dv = u.v - ∫ v.du

CÓMO SE RESUELVE UNA INTEGRAL POR PARTES

Este método consiste en identificar u con una parte de la integral y dv con el resto, con la pretensión de que al aplicar la fórmula obtenida, la integral del segundo miembro sea más sencilla de obtener que la primera. No hay, y éste es el mayor problema de este procedimiento, una regla fija para hacer las identificaciones más convenientes. La resolución de un buen número de problemas es el mejor camino para adquirir la técnica necesaria.

No obstante, se suelen identificar con u las funciones de la forma xm si m es positivo; si m es negativo,es preferible identificar con dv a xm .dx. También suelen identificarse con u las funciones ln x, arc sen x, arc tg x y con dv, ex .dx, sen x dx, cos x dx, etc.

Antes de empezar a practicar este método se ha de tener presente que al hacer la identificación de dv,ésta debe contener siempre a dx.

Ejercicio: integración por partes

1) Calcular ∫ ln x dx

Resolución:

Este es uno de los casos más sencillos; la integral consta de una sola función, ln x.

Haciendo u = ln x, y diferenciando, du = dx/x

Necesariamente, dv = dx. Integrando ambos miembros, ∫ dv =∫ dx. Es decir, v = x.

Aplicando la fórmula, ∫ ln x dx = x.ln x - ∫ x.(1/x).dx = x.ln x - x + C 2) Calcular ∫ sen ² x dx

Resolución:

Se puede resolver efectuando cambios distintos:

a) La identificación, en este caso, puede ser u = sen x y dv = sen x dx

De u = sen x se deduce, diferenciando, que du = cos x dx.

De dv = sen x dx, integrando, ∫ dv = ∫ sen x dx, es decir, v = - cos x

Aplicando la fórmula, ∫ u.dv = u.v - ∫ v.du,

∫ sen ² x dx = sen x . (- cos x) - ∫ (- cos x).cos x dx = - sen x . cos x + ∫ cos ² x dx Puesto que cos ² x =1 - sen ² x,

∫ sen ² x dx = - sen x .cos x + ∫ (1 - sen ² x).dx = - sen x .cos x + ∫ dx - ∫ sen ² x dx

∫ sen ² x dx = - sen x .cos x + x - ∫ sen ² x dx Al volver a obtener en el segundo miembro la integral de partida puede llegarse a la conclusión de no haber avanzado en el propósito de calcular la integral. No es así en este caso, pasando al primer miembro

- ∫ sen ² x dx, se obtiene

2.∫ sen ² x dx = x - sen x .cos x. Y pasando al segundo miembro, ∫ sen ² x.dx = (x - sen x.cos x)/2 + C

b) Esta integral admite también la identificación u = sen ² x, dv = dx

Diferenciando u, du = 2 sen x cos x dx = sen 2 x.dx

Integrando dv, ∫ dv = ∫ dx � v = x.

Aplicando la fórmula de integración por partes, ∫ sen ² x dx = sen ² x .x - ∫ x.sen 2.x dx (1)

Y aquí es necesario volver a integrar por partes ∫ x.sen 2.x dx Si u = x, du = dx.

Si dv = sen 2.x dx, v = ∫ sen 2.x dx = ½ .∫ 2.sen 2.x dx = - ½.cos 2.x

∫ x.sen 2.x dx = - ½.cos 2.x -∫ - ½.cos 2.x dx = - ½.x.cos 2.x + ½.∫ cos 2.x dx = = - ½.x.cos 2.x + ½.½.∫ 2.cos 2.x dx = - ½.x.cos 2.x + ¼.sen 2.x Volviendo a la igualdad (1)

∫ sen ² x.dx = x.sen ² x + (x.cos 2.x)/2 - (sen 2.x)/4 + C

No hay que dejarse engañar por la apariencia de que los resultados que se han obtenido son distintos; en realidad son iguales. Si en la segunda expresión se sustituye cos 2 x por su valor, cos ² x - sen ² x, y sen 2 x por el suyo, 2 sen x.cos x, se obtiene:

x.sen ² x + (x/2).(cos ² x - sen ² x) - (1/4).2.sen x.cos x =

= x.sen ² x + (x/2).cos ² x - (x/2).sen ² x - (1/2).sen x.cos x =

= (x/2).cos ² x + (x/2).sen ² x - (1/2).sen x.cos x =

= (x/2).(sen ² x + cos ² x) - (1/2).sen x.cos x =

= (x/2).1 - (1/2).sen x.cos x =

= (x - sen x.cos x)/2

3) Resolver ∫ arc sen x.dx

Resolución:

La identificación obligada es u = arc sen x; así du = dx

dv = dx, de donde v = ∫ dx = x

Aplicando la fórmula,

∫ arc sen x dx = x.arc sen x - ∫ x. dx =

∫ arc sen x dx = x.arc sen x - ∫ x.(1 - x²)-1/2 dx

∫ arc sen x dx = x.arc sen x - (-1/2). ∫ -2.x.(1 - x²)-1/2 dx =

4) Calcular ∫ x.√1 + x.dx

Resolución:

Llamando u = x, du = dx;

5) Hallar ∫ x ².ex.dx

Resolución:

Se hace la identificación u = x ²; diferenciando, du = 2 x.dx

dv = ex.dx, integrando, v = ∫ ex.dx = ex

Aplicando la fórmula,

∫ x ².ex.dx = x ².ex - ∫ ex.2.x.dx = x ².ex - 2.∫ x.ex.dx (1)

Se vuelve a integrar por partes ∫ x.ex.dx u = x, du = dx; dv = ex.dx, v = ∫ ex.dx = ex Así,

∫ x ².ex.dx = x.ex - ∫ ex.dx = x.ex - ex = ex.(x - 1)

Llevando este resultado a (1),

∫ x ².ex.dx = x ².ex - 2.ex.(x - 1) = ex.[x ² - 2.(x - 1)] = ex.(x ² - 2.x + 2) + C

INTEGRACION POR SUSTITUCION

F(x) = ∫f(x).g(x).dx �F(x) = ∫u.du � u = g(x) � du = f(x).dx

INTEGRACION POR PARTES

La integral de un producto de un factor finito por un factor diferencial es igual al factor finito por una integral del factor diferencial, menos la integral de la integral hallada por la diferencial del factor finito.

F(x) = ∫u.dv � F(x) = u.v - ∫v.du

F(x) = ∫f(x).g5(x).dx � F(x) = f(x).g(x) - ∫g(x).f´(x).dx

u = f(x) � du = f´(x).dx

dv = g5(x).dx � v = g(x)

Método abreviado

f(x) f¹(x) f ²(x) f³(x)

f4(x) = 0

g5(x) g4(x) g³(x) g ²(x) g¹(x)

F(x) = f(x).g4(x) - f¹(x). g³(x) + f ²(x). g ²(x) - ³(x).g¹(x)

INTEGRACION DEL COCIENTE DE DOS POLINOMIOS

F(x) = ∫f(x)/g(x).dx

1) si f(x) y g(x) son polinomios y el grado de f(x) es igual o mayor que el de g(x), se dividen:

f(x) = g(x).c(x) + R

F(x) = ∫c(x).dx + ∫ R/g(x).dx

2) si f(x) y g(x) son polinomios y el grado de f(x) es menor que el de g(x), se factorean:

a)

f(x) = (x + a)

g(x) = (x + b).(x + c)

F(x) = ∫ (x + a) / (x + b).(x + c) dx �F(x) = [(a - b) /(c - b)].ln (x + b) + [(a - c) /(b - c)].ln (x + c)

b)

f(x) = (x + a)

g(x) = (x + b) ²

F(x) = ∫ (x + a) / (x + b) ² dx

u = x + b �x = u - b

du = dx

x + a = u - b + a

F(x) = ∫ du/u + (a - b).∫ du/u ² = ln u - (a - b)/u

INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

a)

x = b.sen t �t = arcsen (x/b)

dx = b.cos t .dt

a.dx b.cos t .dt cos t .dt a.b cos t .dt cos t .dtF(x) =∫

√ b ² - x ² = a. ∫

√ b ² - (b.sen t) ²= a.b.∫

√b ² - b ².sen t ²=

b ∫√ 1 - sen t ²

= a. ∫ √ cos t ²

cos t .dt = a. ∫

cos t = a. ∫ dt = a.t = a.arcsen (x/b)

b)

x = √b. t �t = x/√b

dx = √b.dt

a.dx √b.dt dt a.√b dt a.√b.arctg t a.√b.arctg (x/√b)F(x) = ∫

b + x ² = a. ∫

b + (√b.t) ² = a.√b.∫

b + b.t ²=

b ∫

1 + t ²=

b =

b

INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

F(x) = ∫sen n x.cos m x.dx

siendo m ó n impar, por ej.:

F(x) = ∫sen ² x .cos³ x .dx �F(x) = ∫sen ² x .cos ² x .cos x .dx �F(x) = ∫(1 - sen ² x) .sen ² x .cos x .dx �

F(x) = ∫(sen ² x - sen4 x).cos x .dx F(x) = ∫sen ² x .cos x .dx - ∫sen4 x.cos x .dx

u = sen x

du = cos x .dx

F(x) = ∫u ².du - ∫u4.du �F(x) = u³/3 - u5/5 �F(x) = (sen³ x)/3 - (sen5 x)/5

Parte [A] - [B] - [C] - [D] - [E] - [F]

PARTE A

CUBO

Problemas del Cubo

1) Datos a = 2,5 m

Incógnitas d = ? D = ? SL = ? ST = ? V = ?

Capacidad = ?

Fórmulas Cubo

Ab = 6,25 m ²

Solución d = 3,525 m. D = 4,325 m. SL = 25 m ².

ST = 37,5 m ². V = 15,625 m ³.

Capacidad = 15.625 litros. 2) Datos

d = 2,256 m Incógnitas

D = ? SL = ? ST = ? V = ?

Capacidad = ?

Fórmulas Cubo

a = 1,6 m Ab = 2,56 m ²

Solución D = 2,768 m.

SL = 10,24 m ². ST = 15,36 m ². V = 4,096 m ³.

Capacidad = 4.096 litros. 3) Datos

d = 3,243 m Incógnitas

D = ? SL = ? ST = ? V = ?

Capacidad = ?

Fórmulas Cubo

a = 2,3 m Ab = 5,29 m ²

Solución D = 3,979 m.

SL = 21,16 m ². ST = 31,74 m ². V = 12,167 m ³.

Capacidad = 12.167 litros. 4) Datos

d = 6,8385 m Incógnitas

D = ? SL = ? ST = ? V = ?

Capacidad = ?

Fórmulas Cubo

a = 4,85 m Ab = 23,5225 m ²

Solución D = 8,3905 m.

SL = 94,09 m ². ST = 141,135 m ². V = 114,084 m ³.

Capacidad = 114.084 litros. 5) Datos

d = 7,05 m Incógnitas

D = ? SL = ? ST = ? V = ?

Fórmulas Cubo

a = 5 m Ab = 25 m ²

Solución D = 8,65 m.

SL = 100 m ². ST = 150 m ². V = 125 m ³.

Capacidad = ? Capacidad = 125.000 litros. 6) Datos

d = 9,024 m Incógnitas

D = ? SL = ? ST = ? V = ?

Capacidad = ?

Fórmulas Cubo

a = 6,4 m Ab = 40,96 m ²

Solución D = 11,072 m.

SL = 163,84 m ². ST = 245,76 m ². V = 262,144 m ³.

Capacidad = 262.144 litros. 7) Datos

d = 9,447 m Incógnitas

D = ? SL = ? ST = ? V = ?

Capacidad = ?

Fórmulas Cubo

a = 6,7 m Ab = 44,89 m ²

Solución D = 11,591 m.

SL = 179,56 m ². ST = 269,34 m ². V = 300,763 m ³.

Capacidad = 300.763 litros. 8) Datos

d = 10,293 m Incógnitas

D = ? SL = ? ST = ? V = ?

Capacidad = ?

Fórmulas Cubo

a = 7,3 m Ab = 53,29 m ²

Solución D = 12,629 m.

SL = 213,16 m ². ST = 319,74 m ². V = 389,017 m ³.

Capacidad = 389.017 litros. 9) Datos

D = 3,633 m Incógnitas

d = ? SL = ? ST = ? V = ?

Capacidad = ?

Fórmulas Cubo

a = 2,1 m Ab = 4,41 m ²

Solución d = 2,961 m.

SL = 17,64 m ². ST = 26,46 m ². V = 9,261 m ³.

Capacidad = 9.261 litros. 10) Datos

D = 5,882 m Incógnitas

d = ? SL = ? ST = ? V = ?

Capacidad = ?

Fórmulas Cubo

a = 3,4 m Ab = 11,56 m ²

Solución d = 4,794 m.

SL = 46,24 m ². ST = 69,36 m ². V = 39,304 m ³.

Capacidad = 39.304 litros. 11) Datos

D = 6,747 m Incógnitas

d = ? SL = ? ST = ? V = ?

Capacidad = ?

Fórmulas Cubo

a = 3,9 m Ab = 15,21 m ²

Solución d = 5,499 m.

SL = 60,84 m ². ST = 91,26 m ². V = 59,319 m ³.

Capacidad = 59.319 litros. 12) Datos

D = 36,676 m Incógnitas

d = ? SL = ? ST = ? V = ?

Capacidad = ?

Fórmulas Cubo

a = 21,2 m Ab = 449,44 m ²

Solución d = 29,892 m.

SL = 1.797,76 m ². ST = 2.696,64 m ². V = 9.528,128 m ³.

Capacidad = 9.528.128 litros. 13) Datos

SL = 51,84 m ² Incógnitas

d = ? D = ? ST = ? V = ?

Capacidad = ?

Fórmulas Cubo

a = 3,6 m Ab = 12,96 m ²

Solución d = 5,076 m. D = 6,228 m.

ST = 77,76 m ². V = 46,656 m ³.

Capacidad = 46.656 litros. 14) Datos

SL = 169 m ² Incógnitas

d = ? D = ? ST = ? V = ?

Capacidad = ?

Fórmulas Cubo

a = 6,5 m Ab = 42,25 m ²

Solución d = 9,165 m.

D = 11,245 m. ST = 253,5 m ². V = 274,625 m ³.

Capacidad = 274.625 litros. 15) Datos

ST = 552,96 m ² Incógnitas

d = ? D = ?

Fórmulas Cubo

a = 9,6 m

Solución d = 13,536 m. D = 16,608 m.

SL = ? V = ?

Capacidad = ?

Ab = 92,16 m ² SL = 368,64 m ². V = 884,736 m ³.

Capacidad = 884.736 litros. 16) Datos

V = 15,625 m ³ Incógnitas

d = ? D = ? SL = ? ST = ?

Capacidad = ?

Fórmulas Cubo

a = 2,5 m Ab = 6,25 m ²

Solución d = 3,525 m. D = 4,325 m. SL = 25 m ².

ST = 37,5 m ². Capacidad = 37.500 litros.

17) Datos V = 19,683 m ³

Incógnitas d = ? D = ? SL = ? ST = ?

Capacidad = ?

Fórmulas Cubo

a = 2,7 m Ab = 7,29 m ²

Solución d = 3,807 m. D = 4,671 m.

SL = 29,16 m ². ST = 43,74 m ².

Capacidad = 19.683 litros. 18) Datos

V = 32,768 m ³ Incógnitas

d = ? D = ? SL = ? ST = ?

Capacidad = ?

Fórmulas Cubo

a = 3,2 m Ab = 10,24 m ²

Solución d = 4,512 m. D = 5,536 m.

SL = 40,96 m ². ST = 61,44 m ².

Capacidad = 32.768 litros. 19) Datos

V = 1.728 m ³ Incógnitas

d = ? D = ? SL = ? ST = ?

Capacidad = ?

Fórmulas Cubo

a = 12 m Ab = 144 m ²

Solución d = 16,92 m. D = 20,76 m. SL = 576 m ². ST = 864 m ².

Capacidad = 864.000 litros.

20) Se desea pintar un cubo cuya diagonal mide 15,916 m. Calcular cuánto se debe pagar al pintor si cobra 1.900 $ el m ².

Respuesta: a = 9,2 m; ST = 507,84 m ² y Costo = 964.896 $.

21) Se desea pintar un cubo por dentro y por fuera; si su diagonal mide 2,249 m. Calcular cuánto se debe pagar al pintor si cobra 1.500 $ el m ².

Respuesta: a = 1,3 m; ST = 10,14 m ²; Superficie cubo por dentro y por fuera = 20,28 m ² y Costo =30.420 $.

22) Se desea pintar un cubo por dentro y por fuera; sabiendo que la diagonal de una cara mide 4,089 m. Calcular cuánto se debe pagar al pintor sabiendo que cobra 2.350 $ el metro.

Respuesta: a = 2,9 m; ST = 50,46 m ²; Superficie cubo por dentro y por fuera = 100,92 m ² y Costo =237.162 $.

23) Se desea pintar un recipiente de forma cúbica por dentro y por fuera. ¿Cuánto se deberá pagar al pintor sabiendo que el cobra 1.500 $ el m ² y que la diagonal de una cara del recipiente mide 9,306 m.

Respuesta: a = 6,6 m; ST = 261,36 m ²; Superficie cubo por dentro y por fuera = 522,72 m ² y Costo =784.080 $.

24) Se desea pintar una pared de un cubo por dentro y por fuera; sabiendo que su diagonal mide 3,114 m. Encontrar cuánto se debe pagar al pintor si éste cobra a razón de 1.500 $ el m ².

Respuesta: a = 1,8 m; Ab = 3,24 m ²; Superficie pared por dentro y por fuera = 6,48 m ² y Costo =9.720 $.

25) Se desea pintar un cubo por dentro y por fuera si su superficie lateral es 153,76 m ². Calcular cuánto se debe pagar al pintor si cobra 1.450 $ el m ².

Respuesta: a = 6,2 m; ST = 230,64 m ²; Superficie pared por dentro y por fuera = 461,28 m ² y Costo = 668.856 $.

26) Se desean pintar las paredes laterales externas e internas de un recipiente de forma cúbica al igual que una de sus bases; sabiendo que la diagonal del recipiente es 5,017 m. Cuántos litros de pintura serán necesarios si con cada litro se pintan 2 m ².

Respuesta: a = 2,9 m; SL = 33,64 m ²; Superficie pared externa e interna = 67,28 m ²; Ab = 8,41 m ²;

Superficie pintada =75,69 m ²; y serán necesarios 37,845 litros de pintura.

27) Se desean pintar por dentro y por fuera las paredes laterales de un cubo cuya diagonal mide 3,979 m. Calcular cuánto se debe pagar al pintor sabiendo que cobra a razón de 1.250 $ el metro.

Respuesta: a = 2,3 m; SL = 21,16 m ²; Superficie pared por dentro y por fuera = 42,32 m ² y Costo =52.900 $.

28) En un recipiente de forma cúbica entran 343.000 litros de agua. Calcular cuánto se deberá pagar a un pintor que cobra a razón de 1.500 $ el m ²; y se desean pintar las paredes laterales externas e internas del recipiente.

Respuesta: V = 343 m ³; a = 7 m; SL = 196 m ²; Superficie pared externa e interna = 392 m ² y Costo = 588.000 $.

Observación: Los cálculos matemáticos están hechos con redondeo a 2 decimales.

29) La arista de un cubo mide 1,6 m. Calcular la superficie lateral, la diagonal del cubo y la diagonal de la base.

Respuesta: SL = 10,24 m ²; D = 2,77 m y d = 2,26 m.

30) En un cubo de 2,4 m de arista lateral. ¿Cuál es la superficie total del cubo?.

Respuesta: ST = 34,56 m ².

31) La arista de un cubo es de 4,5 m. Hallar el área de base, la superficie total, el volumen y la capacidad.

Respuesta: Ab = 20,25 m ²; ST = 121,5 m ²; V = 91,125 m ³ y Capacidad = 91.125 litros.

32) La suma de las medidas de todas las aristas de un cubo es 60 m. Calcular la superficie total y el volumen.

Obs: El cubo tiene 12 aristas.

Respuesta: a = 5 m; ST = 150 m ² y V = 125 m ³.

33) En un cubo la diagonal de la cara es 7 m. Calcular la superficie lateral, la superficie total, el volumen y la diagonal del cubo.

Respuesta: a = 4,96 m; SL = 98,41 m ²; ST = 147,61 m ²; V = 122,02 m ³ y D = 8,58 m.

34) La diagonal de una cara de un cubo mide 7,05 m. Calcular la diagonal del cubo, la superficie total, el volumen y la capacidad.

Respuesta: a = 5 m; D = 8,65 m; ST = 150 m ²; V = 125 m ³ y Capacidad = 125.000 litros.

35) La diagonal de una de las caras de un cubo es 9,87 m. Calcular la superficie total, el volumen y la capacidad.

Respuesta: a = 7 m; ST = 294 m ²; V = 343 m ³ y Capacidad = 343.000 litros.

36) La diagonal de una cara de un cubo mide 14,1 m. Calcular la diagonal del cubo, la superficie total y el volumen.

Respuesta: a = 10 m; D = 17,3 m; ST = 600 m ² y V = 1.000 m ³.

37) Sabiendo que una de las diagonales del cubo es de 0,8748 m. Expresar en cm la arista del mismo.

Respuesta: a = 50,57 cm.

38) La diagonal de un cubo mide 8,65 m. Calcular la superficie lateral, la superficie total, el volumen y la capacidad del mismo.

Respuesta: a = 5 m;SL = 100 m ²; ST = 150 m ²; V = 125 m ³ y Capacidad = 125.000 litros.

39) La diagonal de un cubo mide 13,84 m. Calcular la superficie lateral, el volumen y la diagonal de la cara.

Respuesta: a = 8 m; SL = 256 m ²; V = 512 m ³ y d = 11,28 m.

40) ¿Cuánto mide la diagonal de un cubo de arista 17,3 m?.

Respuesta: D = 29,93 m.

41) La superficie de una de las caras de un cubo es de 30,25 m ². ¿Cuál es el volumen del cubo?.

Respuesta: a = 5,5 m y V = 166,38 m ³.

42) De una cartulina de 0,65 m de largo y 0,40 m de ancho se quiere construir un cubo de 0,2 m de arista. ¿Cuántos m ² de cartulina sobran?.

Respuesta: Superficie cartulina = 0,26 m ²; ST cubo = 0,24 m ² y sobran 0,02 m ² de cartulina.

43) La superficie lateral de un cubo es de 9 m ². Calcular la superficie total,el área de base y el volumen.

Respuesta: a = 1,5 m; ST = 13,5 m ²; Ab = 2,25 m ² y V = 3,38 m ³.

44) La superficie lateral del cubo es de 144 m ². Hallar la arista, la superficie total y las diagonales del mismo.

Respuesta: a = 6 m; ST = 216 m ²; D = 10,38 m y d = 8,46 m.

45) La superficie lateral de un cubo es 256 m ². Hallar la diagonal del cubo y la diagonal de una de las caras.

Respuesta: a = 8 m; D = 13,84 m y d = 11,28 m.

46) Un cubo tiene 0,375 m ² de superficie total. Se desea saber cuánto mide la arista de otro cubo cuya superficie es 4 veces mayor que la del primero.

Respuesta: a = 0,5 m.

47) Sabiendo que la superficie total de un cubo es 18 m ². Calcular la superficie lateral, el volumen y la capacidad.

Respuesta: a = 1,73 m; SL = 11,97 m ²; V = 5,177 m ³ y Capacidad = 5.177 litros.

48) ¿Cuántos litros de agua se podrán cargar en una caja cúbica de 96 m ² de superficie total?.

Respuesta: a = 4 m y Capacidad = 64.000 litros.

49) La superficie total de un cubo es de 150 m ². Calcular la superficie lateral,el volumen, las diagonales y la capacidad.

Respuesta: a = 5 m; SL = 100 m ²; V = 125 m ³; d = 7,05 m; D = 8,65 m y Capacidad = 125.000 litros.

50) Se sabe que un cubo tiene 216 m ² de superficie total. Calcular el volumen y la capacidad de ese cubo.

Respuesta: a = 6 m; V = 216 m ³ y Capacidad = 216.000 litros.

51) La superficie total en un cubo es de 726 m ². Calcular su volumen y su capacidad.

Respuesta: a = 11 m; V = 1.331 m ³ y Capacidad = 1.331.000 litros.

52) La superficie total de un cubo es de 1.350 m ². Calcular el área de base, la superficie lateral y el volumen.

Respuesta: a = 15 m; Ab = 225 m ²; SL = 900 m ² y V = 3.375 m ³.

53) Determinar cuántos cm ² de madera son necesarias para fabricar una caja cúbica con las dimensiones indicadas en la figura. La figura indica que la arista es de 22 cm.

Respuesta: Son necesarios para fabricar una caja cúbica 2.904 cm ² de madera.

54) Se han construido una docena de envases cúbicos de lata que medían 0,22 m de arista. ¿Cuántos m ² se empleó?.

Respuesta: ST de 1 cubo = 0,29 m ²; ST empleada en 12 cubos = 3,48 m ².

55) El volumen de un cubo es 64 m ³. Hallar el área de base, la superficie total, las diagonales del mismo y su capacidad.

Respuesta: a = 4 m; Ab = 16 m ²; ST = 96 m ²; d = 5,64 m; D = 6,92 m y Capacidad = 64.000 litros.

56) Un depósito cúbico contiene exactamente 729 litros. Expresar en dm el valor de la arista.

Respuesta: a = 9 dm.

57) Un cubo tiene 8.000 m ³ de volumen. Calcular la arista, la superficie lateral y la superficie total.

Respuesta: a = 20 m; SL = 1.600 m ² y ST = 2.400 m ².

Parte [A] - [B] - [C] - [D] - [E] - [F]

1) Dados tres puntos, A, B y C, no alineados, dibujar: la semirrecta de origen C que contiene al punto B, y la AB´. 2) Dibujar dos semirrectas que tengan el mismo origen y no sean opuestas. 3) ¿Qué figura constituye la unión del conjunto de los puntos de la AB´ y los de la semirrecta de origen A que no contiene al punto B? 4) Dibujar, sobre una recta, cuatro segmentos consecutivos. 5) ¿Cuál es la figura formada por la intersección del conjunto de puntos de la semirrecta de origen A que contiene al punto B y de la semirrecta de origen B que no contiene al punto A? 6) Dados los puntos M, P, Q y S de la figura, hallar:

PS´ ∩ QS´ MQ´ ∩ QP´ MQ´ ∩ PS´ MQ´ � PS MQ � PS

7) Decir cual es el conjunto de los puntos tal que su intersección con XY de por resultado el XY. 8) Comprobar, en un ejemplo, el carácter transitivo de la relación de mayor entre segmentos. 9) Comprobar, en un ejemplo, el carácter transitivo de la relación de menor entre segmentos. 10) ¿Si AB = CD y CD < EF, cómo es EF con respecto a AB? 11) ¿Si AB > MN y MN = EF, cómo es EF con respecto a AB? 12) ¿Si AB > CD, CD = EF y EF no es mayor que MN, cómo es AB con respecto a MN? 13) ¿Si MN = PQ, PQ > RS y RS no es menor que TV, cómo es MN con respecto a TV? 14) Verificar gráficamente en una suma de tres segmentos, la propiedad conmutativa. 15) Verificar gráficamente en una suma de cinco segmentos, la propiedad asociativa. 16) ¿Si AB > CD y MN > PQ, cómo es AB + MN con respecto a CD + PQ? 17) ¿Si RS < CD y AB = MN, cómo es RS + MN con respecto a AB + CD? 18) ¿Si AB < MN, cómo es AB x 6 con respecto a MN x 6?. 19) ¿Si AB + CD + EF = MN, cómo es MN con respecto a AB? 20) Comprobar gráficamente las propiedades de la resta de segmentos. 21) Expresar en símbolos las propiedades de la resta de segmentos. 22) Dibujar un segmento y hallar su duplo, su triplo y su cuádruplo. 23) Si un segmento se divide por tres y a ese resultado se lo multiplica también por tres, ¿qué segmento se obtiene?, comprobarlo gráficamente. 24) Dibujar un segmento, y mediante un hilo dividirlo aproximadamente en dos, tres, cuatro, y seis partes iguales.

Física - Trabajo, Energía y Potencia

RESOLUCIÓN:

Calcular la energía cinética, potencial y mecánica de un cuerpo de 90 N que se encuentra a 95 metros del suelo

a) al comienzo de la caída

b) a 35 metros del suelo

c) al llegar al suelo

Desarrollo

El teorema de la energía mecánica es:

ΔEM = ΔEc +ΔEp + Hf

Como no hay fuerzas de rozamiento:

Hf = 0

ΔEM = ΔEc +ΔEp = 0

Luego:

ΔEM = ΔEc +ΔEp = Ec2 - Ec1 + Ep2 - Ep1

a) En el instante inicial su altura es máxima y su velocidad es nula, por lo tanto:

ΔEM = Ec2 + Ep2 - Ep1

Como aún no se movió:

ΔEM = - Ep1

ΔEM = - Ep1 = -m.g.h

Tomando el eje "y" positivo hacia arriba y g se dirige hacia abajo:

g = 10 m/s ²

Recordemos que:

P = m.g

Si:

P = 90 N � 90 N = m.10 m/s ² � m = 9 kg

Tenemos:

Ep1 = -m.g.h � Ep1 = -9 kg.(-10 m/s ²).95 m � Ep1 = 8.550 J

Para éste caso:

ΔEM = 8.550 J

EC1 = 0 J

b) Para este punto tenemos:

ΔEM = Ec2 + Ep2 - Ep1 = 0 � Ec2 = Ep2 + Ep1 �½.m.v2 ² = - m.g.h2 + m.g.h1

½.v2 ² = - g.h2 + g.h1 � v2 ² = - 2.g.(h2 - h1) � v2 ² = - 2.10 m/s ².(35 m - 95 m) � v2 ² = 1.200 m ²/s ²

Luego:

Ec2 =½.m.v2 ² � Ec2 =½.9 kg.1200 m ²/s ² � Ec2 = 5.400 J

Ep2 = m.g.h2 � Ep2 = 9 kg.10 m/s ².35 m � Ep2 = 3.150 J

EM2 = Ec2 + Ep2 � EM2 = 5.400 J + 3.150 J � EM2 = 8.550 J

c) En el suelo (punto 3) tenemos h3 = 0 m, la velocidad será máxima, y toda la energía potencial se habrá transformado en cinética.

Por lo que tenemos:

ΔEM = Ec3 + Ep3 - Ep1 = 0

EP3 = 0 J

Ec3 - Ep1 = 0 � Ec3 = Ep1 �Ec3 =8.550 J

EM3 = Ec3 + Ep3 � EM3 = 8.550 J

BALANCES MACROSCOPICOS

BALANCE DE MASA

∂/∂t ∫v ρ.dv = ρ2.<v2>.A2 - ρ1.<v1>.A1

BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

∂/∂t ∫v ρ.v.dv = -Δ.(ρ.<v ²>.A + p.A) + F + p

Estado estacionario:

F = Δ(ρ .<v ²>.A + p.A)

Si

Perfiles planos turbulentos:

∂/∂t ∫v ρ.v.dv = -Δ.(<v>.G + p.A) + F + p

BALANCE DE ENERGIA TOTAL

Estado estacionario:

Perfiles planos turbulentos:

<v³>/<v> = <v ²> = <v> ²

BALANCE DE ENERGIA MECANICA

Wf: pérdidas por fricción.

Estado estacionario:

W/G.g: Energía/masa

Expresado en metros:

Altura desarrollada: Δ(< v ² >/2.g) = Hb

Altura geométrica: Δz = Hg

Altura de presión: Δ(p/ ρ .g) = Hp

Potencia de la bomba: Pb = HT.Q. ρ .g/ ηema de la Energía Mecánica.

Movimiento armónico 1) Un cuerpo de 4 kg. de masa está sujeto aun resorte helicoidal, y oscila verticalmente con movimiento armónico simple. La amplitud es de 0,5 m, y en el punto más alto del movimiento el resorte tiene su longitud natural. Calcúlese la energía potencial elástica del resorte, la energía cinética del cuerpo, su energía gravitacional respecto al punto más bajo del movimiento y la suma de estas tres energías, cuando el cuerpo está: m = 4 kg A = 0,5m k = F/x

k = m.g/x �4.9,8/0,5 = 78,4 N/m a) En su punto más bajo. Ep = k.x ²/2 Ec = m.v ²/2 = 0 Ep = 78,4.5 ²/2 � 9,8 J Ec = 0 porque su velocidad es cero. E pg = m.g.h/2 = 0 porque la h (altura es 0). ET = Ep + Ec + E pg = 9,8N.m b) En su posición de equilibrio, y Cuando está en su punto de equilibrio la energía Ep = 0, porque X = 0.

entonces: Ec = 4.2,21 ²/2 � 9,76 J E pg = m.g.h/2 = 4.9,8.0,5/2 = 9,8 J ET = Ep + Ec + E pg = 19,56 J c) En su punto más alto. Ep = k.x ²/2 Ec = m.v ²/2 = 0 Como es en este caso para el punto mas alto se considera la energía como negativa, definida así por su amplitud (-A). Ep = 78,4.0,5 ²/2 = -9,8 J E pg = m.g.h/2 = 4.9,8.1/2 = 19,6 J ET = Ep + Ec + E pg = 9,8 N.m 2) Una masa de 100 kg. Suspendida de una alambre cuya longitud natural to es de 4m, lo alarga 0,004m. La sección transversal del alambre, que se puede suponer constante, es 0,1 cm ².

m = 100 kg l0 = 4 m Δl = 0,004 m A = 0,1 cm ²

a) Si se desplaza la carga hacia abajo una pequeña distancia y se abandona a sí misma, determínese a que frecuencia vibrará. k = m.g/l k = 100 kg.(9,8 m/s ²)/0,004 m k = 245000 kg.s-2 f = (1/2.π).√k/m f = (1/2.π).√245000/100 f = 7,87 Hz c) Calcúlense el módulo de Young del alambre. Y = F.l0 /A.Δl F = k.x F = 245000.0,004 F = 980 kg.m.s-2 Y = 980*4/0,004.10-5 Y = 98.1010 3) Un bloque pequeño ejecuta un movimiento armónico simple en un plano horizontal con una amplitud de 10 cm. En un punto situado a 6 cm de distancia de la posición de equilibrio, la velocidad es de 24 cm/s.

A = 10 cm X = 6 cm �V = 24 cm.s-1 a) ¿Cuál es el período?.

ω = 24/8 = 3/s T = 2.π / ω T = 2.π /3 T = 2,094 s b) ¿Cuál es el desplazamiento cuando la velocidad es ± 12 cm/s.

A ² - x ² = (V/ ω) ² 100 - x ² = (12/3) ² x ² = 100 - 16 x = √100 - 16 = 9,16 cm

c) Si un pequeño cuerpo que oscila sobre el bloque se encuentra justo a punto de deslizar sobre el en el punto final de la trayectoria, ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento?. a = ω ².x �a = 9.10 = 90 cm/s u = F/N �N = m.g u es el coeficiente de rozamiento, N es la normal. De aquí podemos sacar: u = m.a/m.g �u = 0,9/9,8 = 0,0918 adimensional. Nótese que las m(masa) en el instante de armar la ecuación se eliminan por lo que se extrae fácilmente el u 4) Una fuerza de 30N estira 15 cm un resorte vertical.

F = 30 N A = 15 cm = 0,15 m a) ¿Qué masa ha de suspenderse del resorte para que el sistema oscile con un período de (π /4) s. T = π.s/4 m = ? F = k.x k = F/x k = 30/0,15 = 200 N.m-1 T = 2.π.√m/k m = k.(T/2.π) ² m = 200.[(π /4)/(2.π)] ² = 3,12 kg b) Si la amplitud del movimiento es de 5 cm, ¿dónde está el cuerpo y en que dirección se mueve (π /12) s después de haber sobrepasado la posición de equilibrio, dirigiéndose hacia abajo?. A = 5 cm = 0,05 m x = ? t = π s/12 x = 5.cos.8t se tiene que: x = 5.cos (8.π /12) = 4,33 cm v = -40.sin.8t�v = -20 cm/s; esto nos da a conocer que el cuerpo se está moviendo hacia el centro, desde abajo hacia arriba. c) ¿Qué fuerza ejerce el resorte sobre el cuerpo cuando está 3 cm por debajo de la posición de equilibrio y moviéndose hacia arriba?. Tenemos que cuando está 3 cm debajo de la posición de equilibrio la fuerza es: F = -k.x�F = -6N; pero como se necesita la fuerza total que es: FT = F eq + F; entonces: FT = m.g + F FT = 3,125.9,8 + 6 FT = 36,6 N

5) Un cuerpo de masa m se halla suspendido de un resorte helicoidal habiéndose medido el tiempo empleado en 100 oscilaciones completas para los siguientes valores de m:

m(g) Tiempo empleado en 100 oscilaciones(s)

10023,4

20030,6

40041,8

1000 64,7

Dibújense las graficas de los valores medidos de: a) t en función de m T = 2.π.√m/k

m T 100 200 400

1000

62.83 88.857 126.663 168.691

b) t ² en función de m T ² = 4.π ².m/k

M T2 100 200 400

1000

0.39*10¨¨¨4/k 0.79*10¨¨4/¨k 1.5*10¨¨4/k 3.9*10¨¨4/k

c) ¿Concuerdan los resultados experimentales con la teoría?. Si, concuerdan por sus gráfica e t. d) ¿Es alguna de las gráficas recta?. Si la correspondiente a la de t ² e) ¿Pasa la recta por el origen?.

No pasan por el origen, si así fuera no existiría el movimiento, ya que la masa es cero. f) ¿Cuál es la constante de recuperación del resorte?. Haciendo algunas aproximaciones, utilizando la fórmula T ² = 4.π ².m/k,se tiene que K = 8,52 din.cm g) ¿Cuál es su masa?. La masa del resorte utilizando aproximaciones, m = k.(T/2.π) ² = 18,17 g. 6) Un cuerpo de 100g de masa cuelga de un largo resorte helicoidal. Cuando se tira de él 10 cm por debajo de su posición de equilibrio y se abandona a sí mismo, oscila con un período de 2 s. m = 100 g x = 10 cm T = 2 s

a) ¿Cuál es su velocidad al pasar por la posición de equilibrio?. V máximo = ω .A ω = 2.π /T ω = π V máximo = π.10 V máximo = 31,4 cm/s b) ¿Cuál es su aceleración cuando se encuentra 5 cm por encima de la posición de equilibrio?. a = ω ².x a = π ².5 a = 49,34 cm/s ² c) Si se está moviendo hacia arriba. ¿Cuánto tiempo tarda en desplazarse desde un punto situado 5 cm por debajo de su posición de equilibrio a otro situado 5 cm por encima de ella?. X = A.cos ω .t cos ω .t = x/A ω .t = arc cos (x/A) t = arc cos (x/A)/ ω t = arc cos (5/10)/ π t = 0,333 s d) ¿Cuánto se acortará el resorte si se quita el cuerpo?. m.g = k.x x = m.g/k k = ω ².m k = π ².100 x = 100.980/(100.π ²) x = 99,3 cm Se acortaría los 9,33 cm, que para casos de cálculo se toma como si estuviéramos partiendo desde x = 0 que es la posición de equilibrio.

7) Un cuerpo de 5 kg de masa cuelga de un resorte y oscila con un período de 0,5s. ¿Cuánto se acortará el resorte al quitar el cuerpo?. m = 5 kg T = 0,5 s

k = ω ².m k = (2.π /T) ².m k = (2.π /0,5) ².5 k = 789,56 x = m.g/k x = 5.9,8/789,56

DINAMICA DE FLUIDOS O HIDRODINAMICA

Esta rama de la mecánica de fluidos se ocupa de las leyes de los fluidos en movimiento; estas leyes son enormemente complejas, y aunque la hidrodinámica tiene una importancia práctica mayor que la hidrostática,sólo podemos tratar aquí algunos conceptos básicos.

Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinámicas para los fluidos sólo pueden expresarse de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es incompresible e ideal, es decir, si se pueden despreciar los efectos del rozamiento y la viscosidad. Sin embargo, como esto nunca es así en el caso de los fluidos reales en movimiento, los resultados de dicho análisis sólo pueden servir como estimación para flujos en los que los efectos de la viscosidad son pequeños.

a) Flujos incompresibles y sin rozamiento

Estos flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, que afirma que la energía mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es constante a lo largo de una línea de corriente. Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido. El teorema de Bernoulli implica una relación entre los efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la presión disminuye. Este principio es importante para predecir la fuerza de sustentación de un ala en vuelo.

Ecuación de continuidad: (para flujo estacionario e incompresible, sin fuentes ni sumideros, por evaluarse a lo largo de una línea de corriente).

1) Ley de conservación de la masa en la dinámica de los fluidos:

A1.v1 = A2.v2 = constante.

Recordar que p = F/A �F = p.A

Flujo de volúmen: (caudal).

Φ = A .v [m ³/s]

Ecuación de Bernoulli: (principio de conservación de la energía) para flujo ideal (sin fricción).

p1 + δ.v1 ²/2 + δ.g.h1 = p2 + δ.v2 ²/2 + δ.g.h2 = constante

p1/δ + v1 ²/2 + g.h1 = p2/δ + v2 ²/2 + g.h2

p/ δ = energía de presión por unidad de masa.

g.h = energía potencial por unidad de masa.

v ²/2 = energía cinética por unidad de masa.

Ecuación de Bernoulli para flujo en reposo: v1 = v2 = 0

p1 + δ.g.h1 = p2 + δ.g.h2

B) FLUJOS VISCOSOS: MOVIMIENTO LAMINAR Y TURBULENTO

Los primeros experimentos cuidadosamente documentados del rozamiento en flujos de baja velocidad a través de tuberías fueron realizados independientemente por Poiseuille y por Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen. El primer intento de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones matemáticas se debió a Navier e, independientemente, a Sir George Gabriel Stokes, quien perfeccionó las ecuaciones básicas para los fluidos viscosos incompresibles. Actualmente se las conoce como ecuaciones de Navier-Stokes, y son tan complejas que sólo se pueden aplicar a flujos sencillos. Uno de ellos es el de un fluido real que circula a través de una tubería recta.

El teorema de Bernoulli no se puede aplicar aquí,porque parte de la energía mecánica total se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso, lo que provoca una caída de presión a lo largo de la tubería. Las ecuaciones sugieren que, dados una tubería y un fluido determinados, esta caída de presión debería ser proporcional a la velocidad de flujo. Los experimentos demostraron que esto sólo era cierto para velocidades bajas; para velocidades mayores, la caída de presión era más bien proporcional al cuadrado de la velocidad.

Este problema se resolvió cuando Reynolds demostró la existencia de dos tipos de flujo viscoso en tuberías. A velocidades bajas, las partículas del fluido siguen las líneas de corriente (flujo laminar), y los resultados experimentales coinciden con las predicciones analíticas. A velocidades más elevadas, surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo, o remolinos (flujo turbulento), en una forma que ni siquiera en la actualidad se puede predecir completamente.

Reynolds también determinó que la transición del flujo laminar al turbulento era función de un único parámetro, que desde entonces se conoce como número de Reynolds. Si el número de Reynolds (que carece de dimensiones y es el producto de la velocidad, la densidad del fluido y el diámetro de la tubería dividido entre la viscosidad del fluido) es menor de 2.000, el flujo a través de la tubería es siempre laminar; cuando los valores son mayores a 3000 el flujo es turbulento. El concepto de número de Reynolds es esencial para gran parte de la moderna mecánica de fluidos.

Los flujos turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones calculadas, y su análisis depende de una combinación de datos experimentales y modelos matemáticos; gran parte de la investigación moderna en mecánica de fluidos está dedicada a una mejor formulación de la turbulencia. Puede observarse la transición del flujo laminar al turbulento y la complejidad del flujo turbulento cuando el humo de un cigarrillo asciende en aire muy tranquilo. Al principio, sube con un movimiento laminar a lo largo de líneas de corriente, pero al cabo de cierta distancia se hace inestable y se forma un sistema de remolinos entrelazados.

Ecuación de Bernoulli para flujo real (con fricción)

p1/δ + v1 ²/2 + g.h1 = p2/δ + v2 ²/2 + g.h2 + H0

H0 = perdida de energía por rozamiento desde 1 hasta 2.

c) Flujos de la capa límite

Los flujos pueden separarse en dos regiones principales. La región próxima a la superficie está formada por una delgada capa límite donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede simplificarse mucho el modelo matemático. Fuera de esta capa límite, se pueden despreciar los efectos de la viscosidad, y pueden emplearse las ecuaciones matemáticas más sencillas para flujos no viscosos.

La teoría de la capa límite ha hecho posible gran parte del desarrollo de las alas de los aviones modernos y del diseño de turbinas de gas y compresores.

d) Flujos compresibles

El interés por los flujos compresibles comenzó con el desarrollo de turbinas de vapor por el británico Parsons y el sueco Laval. En esos mecanismos se descubrió por primera vez el flujo rápido de vapor a través de tubos, y la necesidad de un diseño eficiente de turbinas llevó a una mejora del análisis de los flujos compresibles. El interés por los flujos de alta velocidad sobre superficies surgió de forma temprana en los estudios de balística,donde se necesitaba comprender el movimiento de los proyectiles.

Uno de los principios básicos del flujo compresible es que la densidad de un gas cambia cuando el gas se ve sometido a grandes cambios de velocidad y presión. Al mismo tiempo, su temperatura también cambia, lo que lleva a problemas de análisis más complejos. El comportamiento de flujo de un gas compresible depende de si la velocidad de flujo es mayor o menor que la velocidad del sonido.

El sonido es la propagación de una pequeña perturbación, u onda de presión, dentro de un fluido. Para un gas, la velocidad del sonido es proporcional a la raíz cuadrada de su temperatura absoluta. La velocidad del sonido en el aire a 20 °C (293 Kelvin en la escala absoluta), es de unos 344 metros por segundo. Si la velocidad de flujo es menor que la velocidad del sonido (flujo subsónico),las ondas de presión pueden transmitirse a través de todo el fluido y así adaptar el flujo que se dirige hacia un objeto. Por tanto, el flujo subsónico que se dirige hacia el ala de un avión se

ajustará con cierta distancia de antelación para fluir suavemente sobre la superficie. En el flujo supersónico, las ondas de presión no pueden viajar corriente arriba para adaptar el flujo. Por ello, el aire que se dirige hacia el ala de un avión en vuelo supersónico no está preparado para la perturbación que va a causar el ala y tiene que cambiar de dirección repentinamente en la proximidad del ala, lo que conlleva una compresión intensa u onda de choque. El ruido asociado con el paso de esta onda de choque sobre los observadores situados en tierra constituye el estampido sónico de los aviones supersónicos. Frecuentemente se identifican los flujos supersónicos por su número de Mach, que es el cociente entre la velocidad de flujo y la velocidad del sonido. Por tanto, los flujos supersónicos tienen un número de Mach superior a 1.

Viscosidad

Propiedad de un fluido que tiende a oponerse a su flujo cuando se le aplica una fuerza. Los fluidos de alta viscosidad presentan una cierta resistencia a fluir; los fluidos de baja viscosidad fluyen con facilidad. La fuerza con la que una capa de fluido en movimiento arrastra consigo a las capas adyacentes de fluido determina su viscosidad, que se mide con un recipiente (viscosímetro) que tiene un orificio de tamaño conocido en el fondo. La velocidad con la que el fluido sale por el orificio es una medida de su viscosidad.

La viscosidad de un fluido disminuye con la reducción de densidad que tiene lugar al aumentar la temperatura. En un fluido menos denso hay menos moléculas por unidad de volumen que puedan transferir impulso desde la capa en movimiento hasta la capa estacionaria. Esto, a su vez, afecta a la velocidad de las distintas capas. El momento se transfiere con más dificultad entre las capas, y la viscosidad disminuye. En algunos líquidos, el aumento de la velocidad molecular compensa la reducción de la densidad. Los aceites de silicona, por ejemplo, cambian muy poco su tendencia a fluir cuando cambia la temperatura, por lo que son muy útiles como lubricantes cuando una máquina está sometida a grandes cambios de temperatura.

Métodos de Integración

I n d i c e

Introducción Cambio

de Variable Integración por

partes

Integrales de funciones trigonométricas

Sustitución Trigonométrica

Fracciones parciales

Introducción.

En esta sección, ya con la ayuda del Teorema Fundamental del Cálculo, desarrollaremos las principales técnicas de Integración que nos permitirán encontrar las integrales indefinidas de una clase muy amplia de funciones. En cada uno de los métodos de integración, se presentan ejemplos típicos que van desde los casos más simples, pero ilustrativos, que nos permiten llegar de manera gradual hasta los que tienen un mayor grado de dificultad.

estudiaremos los principales métodos de integración, consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una integral ya conocida, como por ejemplo una de las de la tabla, ó bien reducirla a una integral más sencilla.

∫ xα dx = x + k

∫ (3x − 5) 4 dx = (3x − 5) + k ?

�

∫3(3x − 5) 4 dx = (3x − 5) + k

El Método de Cambio de Variable.

Antes de ver la fórmula de cambio de variable, resolveremos algunos ejercicios sencillos que nos llevarán de manera natural a la mencionada fórmula.

Tomemos la primera fórmula de la tabla de integrales del capítulo anterior:

� 1

� 1

si � � 1

a partir de ésta podemos encontrar integrales como

1 3 1 5 2 2

∫ x 4 dx � x

k , ∫ x dx � x

k � x

k � 2 x 3 k , etc.

5 1 3 3 1

2 2 Sin embargo, si la variable no aparece de manera sencilla en la función a integrar, ¿podemos afirmar que

5

5

La respuesta es NO, pues al derivar el lado derecho no obtenemos el integrando

d � x 5 �

� (3 5)

� 3(3x 5) 4 dx � 5 �

lo correcto sería

5

5

o bien

Análogamente ¿podemos afirmar que ∫ (cos x) 4 dx = (cos x) + k ?

∫ senx(cos x) 4 dx = − (cos x) + k

∫3(3x − 5) 4 dx = (3x − 5) + k ∫ senx(cos x) 4 dx = − (cos x)

+ k

∫ xα dx = x + k

x

∫ (3x 5) 4

dx �

1 � (3x

�

5) 5 �

� k 3 � 5 �

5

5

De nuevo la respuesta es NO, pues al derivar el lado derecho no obtenemos el integrando

� 5 �

d (cos x) 4 � � � senx(cos x)

dx � 5 � lo correcto sería

5

5

En el cálculo de estas dos integrales

5 5

5 5

como una variante de la fórmula

� 1

� 1

si � � 1

advertimos que si la variable x se reemplaza por una función u(x), para que la integral se calcule sustituyendo u(x) por x, en el integrando debe aparecer u'(x) multiplicando a u(x)�, es decir

∫ �u( x)�

�

u' (

x)dx � �u( )�� 1

k si �

� 1

� 1 En general, si partimos de una integral conocida

∫ f ( x) dx � g ( x) k

y cambiamos la variable x por la función derivable u(x), tal que u'(x) es continua, obtenemos LA FORMULA DE CAMBIO DE VARIABLE

∫ f �u( x)� u' ( x)dx � g�u( x)� k

Podemos comprobar fácilmente su validez, derivando el lado derecho

d

�g�u( x)� k � � g '�u( x)�u ' ( x) � dx

f �u( x)�u' ( x)

este último paso utilizando el hecho de que g es una primitiva para f.

Si en la fórmula anterior escribimos u = u(x) y u'(x)dx = du, la fórmula de cambio de variable nos quedaría como:

∫ f (u)du � g (u) k

En todos los ejemplos que veremos a continuación, trataremos de reducir el grado de dificultad de la integral mediante un cambio de variable, de tal manera que la integral resultante sea más fácil de integrar ó que sea una integral conocida. Para que la fórmula de cambio de variable tenga posibilidades de éxito, debemos identificar en el integrando a una función u y a u', su derivada.

Ejemplo 1. Encuentre

∫(3x 5) 4 dx

Solución. En este caso sencillo podemos observar que esta integral "se parece" a

lo cual nos sugiere tomar el cambio de variable u = 3x-5

u = 3x-5 � du = 3 dx � dx = (1/3)du

Sustituyendo en la integral,

∫u 4 du ,

5 5 5

∫ (3x 5) 4 dx � ∫u 4 du / 3 � 1 ∫u 4 du �

1 ( u

) c � u

c � (3x 5)

c 3 3 5 15 15

coincidiendo con el resultado anterior.

Ejemplo 2. Encuentre

∫ cos 4 x senx dx

∫ (3 ln x − 5)

∫ (3 ln x − 5) ∫

+ c = + c

+ c

Solución. En este caso podemos observar que esta integral "se parece" a

nos sugiere tomar el cambio de variable u = cosx

u = cosx � du = -senx dx � senx dx = -du

Sustituyendo en la integral,

∫u 4 du , lo cual

5 5

∫ (cos x) 4 ( senx dx) � ∫ (u 4 )( du) � ∫u 4 du � ( u

) c � cos x

c 5 5

coincidiendo con el resultado anterior.

4 Ejemplo 3. Encuentre dx

x Solución. Advertimos la presencia de la función lnx y su derivada 1/x, lo cual nos sugiere tomar el cambio de variable:

u = lnx � du = dx/x

Sustituyendo en la integral,

4 dx = (3u 5) 4 du

x A su vez esta integral tendría que resolverse por cambio de variable, tomando w = 3u-5, como se hizo en el ejemplo 1, obteniendo:

4 5 5

∫ (3 ln x 5)

dx � ∫ (3u 5) 4 du � (3u 5) (3 ln x 5)

x 15 15 Sin embargo para evitar tomar dos o más cambios de variable, debemos percatarnos de que lo importante es que aparece la expresión 1/x que es la derivada de lnx, que también lo es de (3lnx-5), salvo constantes.

Más precisamente, podemos tomar el cambio de variable:

u = 3lnx-5 � du = 3dx/x, ò bien dx/x = du/3,

y al sustituir en la integral original:

4 5 5

∫ (3 ln x 5)

dx � 1 ∫ u 4 du �

1 u c �

(3 ln x 5) x 3 3 5 15

∫ x

Observación: De lo anterior podemos concluir que el cambio de variable procede cuando en el integrando aparece una función u y su derivada multiplicada por una constante. Además que la integral de la variable u sea posible resolverla.

Ejemplo 4. Encuentre

∫3x 6 2 x 7 dx

Solución. En este caso aparece la función u = 2-x7 y su derivada (-7x6) multiplicada por la constante (-3/7), precisando:

u = 2-x7 � du = -7x6 dx

Como en la integral tenemos que sustituir 3x6 dx,

du = -7x6 dx � x 6 dx � 1

du 7

� 3x 6 dx � 3

du 7

∫3x 6

2 x 7 dx �

3 ∫ 3 u 3 / 2 2 3 / 2 2 7 3 / 2

u du � ( ) c � u c � (2 x ) c , 7 7 3 / 2 7 7

así pues

∫3x 6

2 x 7

dx � 2 7

(2 x 7 )3 c , Nótese que una vez identificado el cambio de variable u, vemos que la integral por resolver

es ∫

u du

, es decir, resolver nuestra integral

∫3x 6 2 x 7 dx

se reduce a resolver

∫ u du

mediante el citado cambio de variable ó en otras palabras nuestra integral de la

variable x es similar a ∫

u du Existen otras situaciones en que el cambio de variable no es tan evidente en términos de la función u y su derivada, por lo cual tenemos que echar la vista adelante y ver a que función fácil de integrar es similar nuestra función.

Ejemplo 5. Encuentre

2 dx

1 x 6 Solución. En una primera vista no advertimos la presencia de una función u y su derivada, ya que la derivada de 1 + x6 = 6x5 y en el integrando no aparece x5 sino x2. No debemos

∫ x dx = 1 ∫ du = 3

∫ x

∫ x 1 ∫ du = 4

∫ ∫

∫ ∫

perder de vista que al hacer un cambio de variable es por que nuestra integral es similar ó se puede reducir a otra fácil de resolver.

Si pensamos que x2 dx será el nuevo diferencial, entonces u tendría que ser x3, es decir

u = x3 � du = 3x2 dx como se ve al expresar la integral de la siguiente manera:

2 1 1 arctan u c � arctan(x ) c

1 ( x 3 ) 2 3 1 u 2 3 3 Ejemplo 6. Encuentre

3 dx

1 9x8 Solución. En analogía al ejemplo anterior, podemos decir que esta integral se reduce a

∫ du

du , ya que si tomamos el cambio de variable u2 =9x8, ó equivalentemente 1 u 2

u = 3x4 � du = 12x3 dx, es decir x3 dx = (1/12)du, y sustituyendo:

3 dx �

1 1 arcsen(u) c � arcsen(3x ) c

1 9x8 12 1 u 2 12 12 Podemos utilizar el método de cambio de variable para encontrar las integrales de algunas funciones conocidas

Ejemplo 7. Encuentre ∫

tan x dx

Solución. tan x dx �

senx dx

cos x

u = cosx � du = -senx

senx du dx �

� ln u c � ln(cos x) c

cos x u Como -ln(cosx) = ln1 - ln(cosx) = ln(1/cosx) = ln(secx)

Podemos expresar

∫

∫ ∫ ∫

=

∫2

∫ tan x dx � ln sec x C

Análogamente

∫ cot x dx � ln senx C

Ejemplo 8. Encuentre ∫

dx

9 x 2

Solución. Debemos poder reducir esta integral a du

mediante un cambio de variable, 1 u 2

por la similitud de las expresiones. Primeramente vemos que en el denominador la variable al cuadrado esta sumada a 1, lo cual nos sugiere factorizar el 9 para tener algo similar, es decir:

dx 1 dx 1 dx

� � 9 x 2 9 1 x 2 / 9 9 1 ( x / 3) 2

y esto nos sugiere tomar el cambio de variable

u = x/3 � du =dx/3

∫ dx

� 1 ∫ dx � (

3 )∫

du 1 1 arctan u c � arctan(x / 3) c

9 4x 2 9 1 ( x / 3) 2 9 1 u 2 3 3 En general podemos deducir la fórmula que engloba todo este tipo de integrales.

Ejemplo 9. Encuentre ∫

dx

a 2 x 2 Solución. En analogía al problema anterior:

∫ 2 2 �

dx a x

1 dx

a 1 ( 1

) x 2 a 2

y tomando el cambio de variable u =(1/a)x y por lo tanto du =(1/a)dx

=

∫

1 � � 1

1 � �

∫ dx �

∫ dx

�� a

�∫ du

� arctan u c � arctan� x

� c a 2 x 2 a 2

1 ( 1

) x 2 a 2

� a 2 � 1 u 2 a a � a �

es decir:

1 � �

∫ dx � arctan�

x � c

---------- (I)

a 2 x 2 a � a � a reserva de probarlo más adelante, aceptaremos la siguiente fórmula:

∫ dx 1 a x

ln c --------- (II)

a 2 x 2 2a a x y probaremos lo siguiente:

Las integrales de la forma dx

, con a � 0, se reducen a las fórmulas (I) ó ax 2 bx c

(II) mediante cambio de variable. El procedimiento consistirá en completar trinomio cuadrado perfecto y tomar el cambio de variable adecuado.

Ejemplo 10. Encuentre ∫

dx

2x 2 12x 10 Solución. Completemos el trinomio cuadrado perfecto.

2x 2 12x 10 = 2[x2 + 6x + 5] = 2[x2 + 6x + 9-9 +5] = 2[(x2 + 6x + 9) - 4] =2[(x+3)2 - 4] sustituimos en la integral e identificamos con la fórmula (II)

1 1 �

1 �� 1 � 2 ( 3)

∫ dx � ∫

dx � ∫ dx � � �� � ln

x c

2 x 2 12x 10 2 ( x 3) 2 4 2 4 ( x 3) 2 � 2 �� 4 � 2 ( x 3)

∫ 2

∫

∫

2 ∫ ∫

= 5 ∫ ∫

es decir

dx 2x 12x 10

� � � �

1 � � ln

8 �

5 x c

1 x Obsérvese que no importa cual sea el trinomio cuadrado, al completarlo nuestra integral siempre se reducirá a una de las dos fórmulas.

Una vez visto lo anterior, veremos un procedimiento que nos permitirá calcular integrales de la forma

( Ax B) dx ax 2 bx c

con a � 0

Ejemplo 11. Encuentre ∫

(5x 3)dx

3x 2 4x 2 Solución. Por supuesto que el tipo más sencillo de este tipo de integrales es cuando en el numerador aparece la derivada del término cuadrático del denominador.

(6x 4)dx � 3x 2 4x 2

ln 3x 2 4x 2 c Partiremos de esta función y modificaremos el numerador para obtener una expresión fácil de integrar

5 20 5 1

∫ (5x 3)

3x 4x 2

dx � 6 (6x 4) 3

3x 2 4x 2 6 dx �

6 (6x 4) 3

3x 2 4x 2

dx �

(6x 4) 1 dx dx 6 3x 2 4x 2 3 3x 2 4x 2

La primera de las integrales ya está resuelta y la segunda se resuelve con el procedimiento descrito en el ejemplo anterior.

3x2+4x+2 = 3[x2 + 4/3x + 2/3] = 3[(x2 + 4/3x + 4/9) + 2/3-4/9] = 3[(x +2/3)2 + 2/9]

� 3( 2 ) �

dx 1 dx � 1 �� 3 � �

x 3 � ∫ 2 �

∫ 2 2 2 � � �� � arctan� � c 3x 4x 2 3 ( x 3 ) 9 � 3 �� 2 � � 2 �

En consecuencia :

∫ (5 3) 2

1 � 3

2 �

x dx

� ln 3x 4 x 2 arctan� x

� c

3x 2 4x 2 6 3 2 � 3 2 �

Regresar al índice El método de Integración por partes

Este método nos permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse como un producto de una función por la derivada de otra. Más precisamente, deduciremos la fórmula de integración por partes a partir de la regla para derivar un producto de dos funciones.

[f(x)g(x)]' = f '(x)g(x) + f(x)g'(x)

integrando en ambos lados

∫ �f(x)g(x)� 'dx �

∫ f ' (x)g(x) dx

∫ f (x)g' (x) dx

obtenemos:

f ( x) g ( x) �

∫ f ' (x)g(x) dx

∫ f (x)g' (x) dx

y despejando la segunda integral:

∫ f (x)g' (x) dx �

f ( x) g ( x)

∫ f ' (x)g(x) dx

obtenemos finalmente la FORMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES.

A continuación veremos en algunos ejemplos como utilizar esta fórmula.

Ejemplo 1. Encuentre

∫ x cos(x) dx

Solución. Con el fin de utilizar la fórmula anterior, tomaremos f(x) = x y g'(x) = cos(x), es decir el integrando xcos(x) = f(x) g'(x)

f(x) = x g '(x) = cos(x) f '(x) = 1 g(x) = sen(x)

∫ x cos( x) dx � xsen( x)

∫ sen( x) dx � xsen( x) cos( x) c

Observe que también hubiéramos podido hacer la siguiente elección de f y g':

f(x) = cos(x) g '(x) = x f '(x) = -sen(x) g(x) = x2/2

sólo que la función por integrar en el lado derecho tiene un mayor grado de dificultad para resolverse que la original.

2 2

∫ x cos(x) dx � x

cos(x) ∫ x

sen( x) dx 2 2

NOTACIÓN. Con el fin de ser congruentes con la notación utilizada en la mayoría de los libros del mercado, le llamaremos

u = f(x) y v = g(x) y en consecuencia du = f '(x)dx así como du = g '(x)dx. Con esta nueva notación resolveremos los siguientes ejercicios.

Ejemplo 2. Encuentre ∫ xe x dx

Solución. Utilizaremos el siguiente cuadro

u = x v = ex du = dx dv = ex dx

obsérvese que con esta notación, en vez de tomar g' (x) = ex , tomamos su diferencial dv = ekdx y análogamente con f, permitiendo que una parte del integrando sea u y el resto sea dv.

∫ xe x dx � xe x

∫ e x dx � xe x e x c

En estos primeros dos ejemplos, una adecuada elección de u y dv nos lleva en un solo paso a resolver nuestra integral reduciéndola a una integral más fácil de resolver.

Existen otras situaciones, como se verá en los siguientes ejemplos, en que si bien la integral del lado derecho tiene un menor grado de dificultad, no es una integral inmediata, requiere de un nuevo proceso de integración por partes ó resolverla por cambio de variable, ó algún otro procedimiento.

∫ ∫

∫ dx = ∫ 2

∫

Ejemplo 3. Encuentre ∫ x 2e x dx

Solución. Utilizaremos el siguiente cuadro

u = x2 v = ex du = 2xdx dv = ex dx

∫ x 2 e x dx � x 2e x 2

∫ xe x dx

la integral del lado derecho se resuelve por partes (Ejemplo 2), obteniendo:

∫ x 2 e x dx � x 2 e x 2( xe x e x ) c

Observación: La elección u = ex, dv = x2dx nos lleva a una integral con un mayor grado de dificultad.

Ejemplo 4. Encuentre

∫ arctan x dx

Solución. Utilizaremos el siguiente cuadro

u = arctanx v = x

dx du =

1 x 2 dv = dx

arctan x dx � x arctan x x

dx 1 x 2

En este caso, la integral del lado derecho se resuelve por un cambio de variable, obteniendo:

x 1 2x 1 dx � ln(1 x ) c

1 x 2 2 1 x 2 2 y en consecuencia:

arctan x dx � x arctan x 1

ln(1 x 2 ) c 2

Ejemplo 5. Encuentre ∫ sen 2 (x) dx

Solución. Utilizaremos el siguiente cuadro

u = senx v = -cosx du =cos dx dv = senx dx

∫ sen2 ( x) dx � senx cos x

∫ cos2 ( x) dx � senx cos x

∫ cos 2 ( x) dx

La integral del lado derecho, al parecer tiene el mismo grado de dificultad que la integral original, incluso es de la misma naturaleza que la original, lo que nos sugiere utilizar de nuevo el método de integración por partes

u = cosx v = senx du =-sen dx dv = cos dx

∫ cos2 ( x) dx � senx cos x

∫ sen2 ( x) dx � senx cos x

∫ sen2 ( x) dx

que al sustituirse nos da:

∫ sen2 ( x) dx � senx cos x

∫ cos2 ( x) dx � senx cos x senx cos x

∫ sen2 ( x) dx

obteniendo la identidad

∫ sen2 ( x) dx � senx cos x senx cos x

∫ sen2 ( x) dx

en la que si dejamos en el lado izquierdo las integrales, obtenemos 0 = 0, que no nos ayuda a encontrar el valor de nuestra integral.

La alternativa en este caso es utilizar la identidad trigonométrica sen2x + cos2x =1 inmediatamente después de la primera integración por partes.

∫ sen2 ( x) dx � senx cos x

∫ cos2 ( x) dx � senx cos x

∫ (1 sen2 x) dx

∫ sen2 ( x) dx =

∫ sen2 ( x) dx � senx cos x x

∫ sen2 ( x) dx .

Si bien nos vuelve a aparecer la misma integral, esta vez aparece con distinto signo, lo que nos permite despejarla, es decir si dejamos del lado izquierdo las integrales, obtendremos:

2∫ sen2 ( x) dx � senx cos x x .

O bien

x senx cos x c .

2

Ejemplo 6. Encuentre ∫ e x sen( x) dx

Solución. Utilizaremos el siguiente cuadro

u = ex v = -cosx du = ex dx dv = senx dx

∫ e x sen( x) dx � e x cos x

∫ e x cos x

De nuevo como en el ejemplo anterior, la integral del lado derecho es de la misma naturaleza y del mismo grado de dificultad, por lo que podríamos intentar utilizar de nuevo el método de integración por partes.

u = ex v = senx du = ex dx dv = cosx dx

∫ e x cos x dx � e x senx

∫ e x senx dx

Sustituyendo, obtenemos:

∫ e x senx dx =

2 22 2

∫ e x senx dx � e x cos x

∫ e x cos x � e x senx e x cos x

∫ e x senx

∫ e x senx dx � e x senx e x cos x

∫ e x senx

de donde podemos despeja a la integral

2∫ e x senx dx � e x senx e x cos x

y en consecuencia

x x e senx e cos x c

2 A continuación abordaremos unos ejemplos en que, debido a la gran cantidad de posibilidades debe tenerse un criterio preciso para decidir sobre la elección de u y dv.

Ejemplo 7. Encuentre ∫ x3e x

2 dx

Solución. En este tipo de funciones a integrar, hay muchas maneras de expresar al integrando como un producto:

u = x3, dv = e x 2

dx ; u = x2, dv = x e x dx ; u = x, dv = x2 e x dx ; u = 1, dv = x3 e x dx ;

u = x3 e x dx , dv = dx, etc. ¿Cuál de estas opciones elegir?

Lo primero que debemos hacer es asegurarnos que en nuestra elección, dv sea una función fácil de integrar. Si examinamos con detalle las opciones, sólo la opción

u = x2, dv = x e x 2 dx cumple con esto ya que dv es fácil integrar por un simple cambio de variable:

v � ∫ xe x2

dx � 1 ∫ 2xe x

2 dx �

1 e x

2 c

2 2 Así pues el cuadro para la integración por partes será:

u = x2 v = 1 x 2 e 2

2 du = 2x dx dv = xex dx

dx = ∫ − 15x 4 (6 − 3x5 ) 2

= 2 x 5 2 2 2 5 2

∫ x3e x

2 dx � 1

x 2 e x2

∫ xe x

2 dx �

1 x 2e x

2 1

e x2

c 2 2 2

Ejemplo 8. Encuentre ∫ x9 6 3x5 dx

Solución. Con un criterio similar al del caso anterior, tomamos la siguiente elección:

u = x5 v =

3 2 5 (6 3x ) 2 45

du = 5x4 dx dv = x 4 6 3x5 dx

1

� �� � 3

donde v � ∫ dv �

∫ x 4

6 3x5

1 dx � �

1 ��

2 �(6 3x5 ) 2

15 � 15 �� 3 �

5 3 3

∫ x9 6 3x5 dx �

2x (6 3x5 ) 2

10 ∫ x 4 (6 3x5 ) 2 dx

45 45

5 3

� �� �∫

3

= 2 x (6 3x5 ) 2 �

10 ��

1 � 15x 4 (6 3x5 ) 2 dx

45 � 45 �� 15 �

5 3

�

�� � 5

(6 3x ) � �� �(6 3x ) + c 45 � 135 �� 5 �

Así pues:

2 5

� 4 �

∫ x9

3x5 dx �

x (6 3x5 )3 � �

(6 3x5 )5 c

6

45 � 675 �

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Integrales de funciones trigonométricas

A continuación veremos algunas reglas para integrar cierto tipo de funciones trigonométricas, que posteriormente se utilizarán en el método de sustitución trigonométrica.

I. Potencias de senos y cosenos

∫ sen n x dx ∫ cos n x dx

Para resolver este tipo de integrales, consideraremos dos casos:

a) Si n es impar, es decir n = 2k +1, factorizamos el integrando, por ejemplo senn x

dx = sen2k+1 x dx = (sen2 x)k senx dx

Utilizamos la identidad sen2x + cos2x =1 y tomamos el cambio de variable u =cosx. De manera análoga en el caso de las potencias del coseno, tomando el cambio de variable u= senx.

b) Si n es par, es decir n = 2k, factorizamos el integrando, por ejemplo senn x

= sen2k x = (sen2 x)k

ó en el caso del coseno

cosn x = cos2k x = (cos2 x)k y utilizamos las identidades trigonométricas:

sen2 x � 1 cos(2 x)

ó 2

cos 2 x � 1 cos(2 x)

2 Ejemplo 1. Resolver

Solución:

∫ sen3 x dx

∫ sen 3 x dx � ∫ sen 2 x senx dx � ∫ (1 cos 2 x) senx dx

∫ sen4 x dx = ∫ (sen 2 x)2 dx = ∫ ( ) ∫

= ∫ ∫ ∫ 2

sea u = cosx, entonces du = -senx, y al sustituir en la integral obtenemos:

3 3

∫ sen3 x dx � ∫ (1 cos 2 x) senx dx � ∫ (1 u 2 ) du � u

u c � cos x

cos x c 3 3

Ejemplo 2. Resolver

Solución:

∫ cos5 x dx

2 2

∫ cos5 x dx � ∫ (cos 2 x) cos x dx � ∫ (1 sen 2 x) cos x dx

sea u = senx, entonces du = cosx, y al sustituir en la integral obtenemos:

2 3 5 3 5

∫ cos5 x dx �

∫ (1 u 2 ) du � ∫ (1 2u 2 u 4 )du � u

2u u

c � senx 2sen x

sen x

c 3 5 3 5

Ejemplo 3. Resolver ∫ sen 4 x dx

Solución: 1 cos(2 x) 2

2

dx � 1

(1 2 cos(2 x) cos2 (2 x)) dx 4

1 1 1 dx cos(2 x) dx cos (2 x) dx 4 2 4

II. Productos de potencias de senos y cosenos

∫ sen m x cos n x dx .

a) Si m y n son pares, utilizaremos las identidades:

sen 2 x � 1 cos 2 x

y 2

cos 2 x � 1 cos 2 x

2

b) Si m ó n es impar, utilizaremos la identidad sen2x + cos2x = 1 II. Productos de potencias de tangentes y secantes

∫ tan m x sec n x dx .

a) Si n es par, utilizamos la identidad: sec2x = 1 + tan2x.

∫ ∫ ∫

b) Si m es impar, utilizamos la identidad: tan2x = sec2x- 1.

c) Si n es impar y m par usamos algún otro método como por ejemplo integración por partes.

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El Método de Sustitución Trigonométrica

Este método, el cual es un caso especial de cambio de variable, nos permitirá integrar cierto tipo de funciones algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas, como por ejemplo nuestra conocida fórmula:

∫ 1

dx � arcsenx c 1 x 2

la cual "resolveremos" con el fin de motivar el uso del método.

Observe que si tomamos el cambio de variable

x = sen� donde -�/2 < � < �/2 pues -1 < x < 1

y en consecuencia dx = cos� d� y

1 x 2 � 1 sen2� � cos2

� � cos� � cos�

pues cos� > 0 en el intervalo -�/2<�<�/2

Sustituyendo x en términos de �, obtenemos una integral en la variable �, la cual resolvemos fácilmente y del cambio de variable la expresamos en términos de x.

1 1 dx � cos� d� � d� � � c � arcsenx c

1 x 2 cos� Como podemos apreciar, al abordar este tipo de integrales siempre tendremos que resolver una integral trigonométrica, como las que se resolvieron en la sección anterior.

Primer caso.

Si en el integrando aparece un radical de la forma variable

a 2 x 2 tomamos el cambio de

x = a sen�, con a > 0. Como se apreció anteriormente, la variación de x en el intervalo (-a, a) se corresponde con la variación de � en el intervalo (-�/2 , �/2)

En este primer caso la expresión del radical en términos de � será:

a 2 x 2 � a 2 a 2 sen2� � a 2 (1 sen2� ) � a cos2

� � a cos� � a cos�

esta última igualdad pues cos� > 0 en el intervalo (-�/2 , �/2)

También del cambio de variable obtenemos el valor de

� = arcsenx,

pues la función inversa de f(x) = senx se encuentra definida precisamente en el intervalo (-a,a) y con valores en (-�/2, �/2).

Ejemplo 1. Encuentre el área del círculo de radio 2.

Solución. La ecuación de la circunferencia de radio 2 y centro en le origen es:

x2 + y2 = 4 cuya gráfica es:

-2 2 Evidentemente esta gráfica no corresponde a una función, pero podemos restringirnos al intervalo [0, 2], calcular el área bajo la grafica y multiplicarla por 4 para obtener el área deseada.

2

2

La función de la figura la obtenemos despejando a y en términos de x, en la ecuación de la circunferencia:

y � 4 x 2 Así pues el área buscada será:

A � 4∫ 4 x 2 dx

Primeramente encontraremos

∫

0

4 x 2 dx En esta integral, tomamos el cambio de variable trigonométrico

x = 2sen� por lo cual dx = 2cos� d� y 4 x 2 � 2 cos� . sustituyendo en la integral original, en términos de la nueva variable �, e integrando, obtenemos:

∫ 4 x 2 dx �

∫(2 cos� )(2 cos� )d� �

∫ 4 cos 2 � d� �

4 (� sen� cos� ) c

Del cambio de variable x = 2sen� obtenemos que sen� = x/2, es decir, � = arcsen(x/2).

Asimismo del cambio de variable, podemos construir el triángulo:

2 x

�

4 x 2

2

4 − x 2 dx = 2arcsenθ + x 4 − x+ c

∫ ∫ ∫ ∫

∫

2

En este caso particular sen� = x/2 y cos� = 4 x 2

. 2

Así pues la integral resuelta en términos de la variable �, la expresamos en términos de la variable original, x.

∫ 4 x 2 dx � 4

(� sen� cos� ) c � 2(arcsen� x 4 x

) c 2 4

2

2

Calculemos ahora la integral definida

2 2 2

∫ 4 x 2 dx � 2arcsen(1) 2 4 2

2arcsen(0) 0 4 0

� 2arcsen1 � 2(� / 2) � � 0 2 2

y finalmente el área será:

A � 4∫

4 x 2 dx � 4�

0

Ejemplo 2. Encuentre ∫ x

dx

9 x 2 Solución. Tomemos el cambio de variable trigonométrico:

x = 3sen� por lo cual dx = 3cos� d� y 9 x 2 � 3 cos� . sustituyendo en la integral original, en términos de la nueva variable �, e integrando, obtenemos:

dx 3cos� 1 1 1 1 � d� � d� � csc�d� � ln csc� cot� c x 9 x 2 (3sen� )(3cos� ) 3 sen� 3 3

Del cambio de variable x = 3sen� obtenemos que sen� = x/3, y , podemos construir el triángulo:

3

x

�

9 x 2

∫ =

∫ dx = 1 3 9 − x

∫ ∫ ∫

A partir del cual podemos encontrar cualquier función trigonométrica de �.

En este caso particular csc� = 3/x y cot� = 9 x 2

. 3

Así pues la integral resuelta en términos de la variable �, la expresamos en términos de la variable original, x.

dx 1 ln csc� cot � 1 3 9 x 2

c � ln c x 9 x 2 3 3 x x

2 ln c

x 9 x 2 3 x x Ejemplo 3. Encuentre ∫

x dx

16 x 2 Solución. Tomemos el cambio de variable trigonométrico:

x = 4sen� por lo cual dx = 4cos� d� y 16 x 2 � 4 cos� . sustituyendo en la integral original, en términos de la nueva variable �, e integrando, obtenemos:

x dx (4sen� )(4 cos� ) � d� � 4 sen� d� � 4 cos� c

16 x 2 (4 cos� ) Del cambio de variable x = 4sen� obtenemos que sen� = x/4, y , podemos construir el triángulo:

4 x

�

16 x 2

(

81

Y a partir de él calcular cos� = 16 x 2

. 4

Así pues la integral resuelta en términos de la variable � , la expresamos en términos de la variable original, x.

� 2 � 2

∫

x 2

� 4 � 4

x dx

16

� 4 cos� c � 4� �

16 x � c � �

16 x c

Observación: Esta integral puede resolverse también con un sencillo cambio de variable algebraico u = 16 - x2. Compruebe este resultado como ejercicio.

Ejemplo 4. Encuentre ∫ x3 dx

4 9 x 2 Solución. Nótese que para verlo como una integral del primer caso, debemos hacer un cambio de variable ó sencillamente factorizar el 9 en el radical:

4 9x 2 � 9(4 / 9 x 2 ) � 3 4 / 9 x 2 . A continuación tomamos el cambio de variable:

x � 2

sen� 3

por lo cual dx �

2 cos� d�

3 y 4 / 9 x 2 �

2 cos� . 3

sustituyendo en la integral original, obtenemos:

∫ x3 dx

� 1 ∫

( 2

sen� )3 3

2 ( cos� ) 3

d� �

8 ∫ sen3� d� �

8 � 1

� cos3

� � cos� � c

4 9x 2 3 2 cos� ) 3

81 � 3 �

Del cambio de variable

triángulo:

x � 2

sen� , obtenemos que sen� = 3

3x , y podemos construir el 2

2 3x

�

4 9x 2

Y a partir de él, calcular cos� = 4 9x 2

. 2

Finalmente:

3 �

� � 2 �3

� 2 �

∫

x 2

� � � 243 � 2 �

81 � 2 �

x dx

4 9

� 8

� 1

cos3 cos � c �

8 � �

4 9x � 8 �

� � 4 9x

� c �

Segundo caso. Si en el integrando aparece un radical de la forma variable

x = a tan�, con a > 0.

a 2 x 2

tomamos el cambio de

En este tipo de radicales la variación de x es en toda la recta real, razón por la cual se toma a la tangente, la cual varía tiene esta misma variación en el intervalo (-�/2 , �/2) En este

segundo caso la expresión del radical en términos de � será:

a 2 x 2 � a 2 a 2 tan 2 � � a 2 (1 tan 2 � ) � a sec2

� � a sec� � a sec�

y al igual que en el caso anterior como cos� > 0 en el intervalo (-�/2 , �/2), también lo será sec�.

También del cambio de variable obtenemos el valor de

� = arctanx.

Pues la inversa de la función f(x) = tanx se encuentra definida en todos los reales y con valores en (-�/2 , �/2)

Ejemplo 5. Encuentre

∫

2 x 2 dx Solución. Tomamos el cambio de variable:

x � 2 tan � por lo cual dx � 2 sec 2 � d� y 2 x 2 � 2 sec� .

sustituyendo en la integral original, obtenemos:

∫ dx ∫ sec θ dθ ∫

�

∫ 2 x 2 dx �

∫(

2 sec� )(

2 sec 2 � )d� � 2

∫sec3 � d� � 2(sec� tan� ln sec� tan� c

Del cambio de variable x � triángulo:

2 tan � , obtenemos que tan� = x , y podemos construir el

2

2 x 2 x

�

2 Y a partir de él calcular sec� =

obtenemos:

2 x 2

2

y tan� � x

, que al sustituir en la integral 2

∫ 2

�

2 2 � �

� 2 2 � � �

2 x dx �� 2(sec� tan � ln sec� tan � ) c � 2� x

x � 2 ln� x x � c

� 2 � � 2 � En general el método de sustitución trigonométrica se utiliza cuando aparece un radical de las formas señaladas en los casos, lo cual no significa que debe aparecer solo (elevado a la potencia 1). En el siguiente ejemplo calcularemos una integral en la que el radical aparece elevado al cubo.

Ejemplo 6. Encuentre ∫

dx

(1 x 2 )3 Solución. Tomamos el cambio de variable:

x � tan�

por lo cual

dx � sec 2 � d� y 1 x 2

3 � 1 x 2

3 � sec3 � .

sustituyendo en la integral original, obtenemos:

2 � � cos� d� � sen� c

(1 x 2 )3 sec3 � Del cambio de variable x � tan� , podemos construir el triángulo:

1 x 2 x

2

�

1 a partir del cual calculamos sen� = x

. 1 x 2

∫ dx

� sen� c � x

c (1 x 2 )3 1 x 2

A continuación encontraremos la integral de una función en la que no aparece explícitamente el radical.

Ejemplo 7. Encuentre ∫ (1 x 2 ) 2 dx

Solución. Obsérvese que el integrando lo podemos expresar como

(1 x 2 ) 2 � 1

� (1 x 2 )2

1

1 x 2 4

Tomamos el cambio de variable:

x � tan�

por lo cual

dx � sec 2 � d� y 1 x 2

4 � sec4 � .

sustituyendo en la integral original, obtenemos:

∫ (1 x 2 ) 2 dx � ∫ dx

� ∫ sec � d�

� ∫ cos 2 � d� � 1

(� sen� cos �) c (1 x 2 ) 4 sec 4 � 2

Del cambio de variable x � tan� , construimos el triángulo:

1 x 2 x

� 1

a partir del cual calculamos sen� =

Obteniendo finalmente:

x

1 x 2

y cos� = 1

. 1 x 2

∫ (1 x 2 ) 2 dx �

1 (� sen� cos� ) c �

1 (arctan x

x ) c

2 2 1 x 2 Tercer caso.

Si en el integrando aparece un radical de la forma variable x = a sec�, con a > 0.

x 2 a 2 tomamos el cambio de

En este tipo de radicales la variación de x es en (-�, -a)�(a, �), razón por la cual se toma x = asec�, la cual tiene esta misma variación en (0, �/2) �( �/2, �), justamente donde la función

secante tiene inversa. En este tercer caso la expresión del radical en términos de � será:

x 2 a 2 � a 2 sec2 � a 2 � a 2 (sec2 � 1) � a tan 2

� � a tan �

solamente que en este dominio, la tangente toma valores positivos y negativos, por lo que no podemos quitar impunemente el valor absoluto.

Para resolver este conflicto, asociaremos las variaciones de x y de �, de la siguiente manera:

x > k � 0 < � < �/2

x < -a � � < � < 3�/2

siendo la función tangente, positiva en estos intervalos para poder tomar

x 2 a 2 � a tan � tomaremos el valor de � de la siguiente manera:

� �

� � arc sec� x

� � a �

si x � a

� �

� � 2� arc sec� x

� � a �

si x � a

. ∫ x + x + 3

Como ejercicio, encuentre ∫ dx

. x 2 9

Regresar al índice El Método de las Fracciones Parciales

Este método nos permitirá integrar cierta clase de funciones racionales (cociente de polinomios)

A manera de ilustración consideremos la siguiente integral:

2 dx.

x 2 Obsérvese que difícilmente podríamos abordarla con alguno de los métodos que disponemos. Procederemos efectuando la división de los polinomios:

x + 3

x - 2 x2 + x + 3

-x2 + 2x

3x + 3

-3x + 6

9 Posteriormente aplicamos el algoritmo de la división y obtenemos:

x2 + x + 3 = (x - 2 ) ( x + 3 ) + 9 Para obtener en el lado izquierdo de la igualdad la función que queremos integrar, dividimos en ambos lados entre ( x - 2 ):

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

x 2 x 3 � ( x 3)

x 2

9

x 2 descomponiendo de esta manera nuestra fracción "complicada" en una suma de fracciones "sencillas" a las que llamaremos fracciones parciales, las cuales son fáciles de integrar.

2 2 x x 3 9 x dx � ( x 3) dx dx � 3x 9 ln x 2 c

x 2 x 2 2 En general si queremos integrar un cociente de polinomios P( x)

Q( x)

en el que el grado de P(x)

es mayor o igual al grado de Q(x), procederemos como en el caso anterior, aplicando el algoritmo de la división

q(x)

Q(x) P(x) r(x)

Donde r(x) = 0 ó grad r(x) < grad Q(x)

P(x) = Q(x) q(x) + r(x)

Dividiendo entre Q(x), obtenemos:

P( x) � q( x) Q( x)

r( x) Q( x)

en donde la integral buscada,

P( x) r( x) dx � q( x) dx dx

con gr r ( x) � gr Q( x)

Q( x) Q( x) se reduce a calcular la integral de un polinomio q(x) y la integral de una función racional en la cual el numerados tiene grado menos que el denominador.

A continuación describiremos varios casos de descomposición de fracciones racionales (en las cuales el polinomio del numerador tiene grado menor que el denominador) como una suma de fracciones parciales las cuales son fáciles de integrar.

Primer caso.

= + + + ... +

∫

k

[Q(x) tiene todas sus raíces reales y distintas] Cuando la factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales y distintos, es decir:

Q(x) = (x - a1) (x - a2) (x - a3)... (x - an),

hacemos la siguiente descomposición:

P( x) A1 A2 A3 An Q( x) x a1 x a2 x a3 x an

donde A1, A2, A3,... An son constantes reales.

Nótese que una vez efectuada la descomposición, la integración es inmediata pues:

y por lo tanto:

∫ Ak dx � ln x a c

x ak

P( x) Q( x)

dx �

∫ A1

x a1

dx

∫ A2

x a2

dx

∫ A3

x a3

dx ...

∫ An dx

x an

∫ P( x)

dx � ln x a ln x a

ln x a

... ln x a c

Q( x) 1 2 3 n

Ejemplo 1. Calcular ∫

dx

x 2 16 Solución: En este ejemplo Q(x) = x2 -16 = (x-4) (x+4).

La descomposición en fracciones parciales sería:

1 A B

� , x 2 16 x 4 x 4

en la que bastará determinar las dos constantes A y B para poder encontrar nuestra integral.

Procederemos a la determinación de las constantes, efectuando la suma del lado derecho:

1 A( x 4) B( x 4) Ax 4 A Bx 4B x( A B) (4B 4 A)

� � � , x 2 16 ( x 4)( x 4) ( x 4)( x 4) ( x 4)( x 4)

∫ ∫ ∫

∫ =

Observamos que la primera y la última fracción son iguales y tienen el mismo denominador, por lo que sus numeradores forzosamente son iguales, es decir:

1 = x(A+B) + (4B-4A)

o bien

0x +1 = x(A+B) + (4B-4A)

de donde obtenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

A+B = 0

4B -4A = 1

que resolviéndolo nos queda

4A+4B = 0

4B -4A = 1

8B = 1 por lo que B = 1/8, y sustituyendo en la primera ecuación, A = -B = -1/8.

Una vez determinadas nuestras constantes A y B, las sustituimos en la descomposición inicial, obteniendo:

1 A B 1/ 8 1/ 8 � � , x 2 16 x 4 x 4 x 4 x 4

quedando finalmente la integración:

dx 1 / 8 1/ 8 1 1

� dx dx � ln x 4 ln x 4 c x 2 16 x 4 x 4 8 8

o bien , utilizando las propiedades de los logaritmos:

dx 1 x 4

ln c x 2 16 8 x 4

Observación: Esta integral es un caso particular de la fórmula presentada sin demostración en el método de cambio de variable

∫

Ejemplo 2. Calcular ∫ dx

du 1 a u � ln c

a 2 u 2 2a a u la cual puede ahora probarse con el método de fracciones parciales como un ejercicio.

x 2

x 2 2 x 15

Solución: En este ejemplo, Q(x) = x2 -2x - 15 = (x-5) (x+3). La

descomposición en fracciones parciales sería:

x 2 A B � , x 2 2 x 15 x 5 x 3

y siguiendo el procedimiento del ejemplo anterior

x 2 A B A( x 3) B( x 5) x( A B) (3 A 5B)

� � � , x 2 2x 15 x 5 x 3 ( x 5)( x 3) ( x 5)( x 3)

igualando coeficientes, obtenemos el sistema:

A + B = 1

3A -5B = 2

que al resolverlo nos da:

5A + 5B = 5

3A -5B = 2

8A = 7 obteniendo el valor de A = 7/8.

Para encontrar B, la despejamos en la primera ecuación

B = 1 - A = 1 - 7/8 = 1/8

Así pues, la descomposición en fracciones parciales es:

x 2 7 / 8 1/ 8

� , x 2 2 x 15 x 5 x 3

∫ ∫ ∫

A =

y nuestra integral:

x 2 7 / 8 1 / 8 7 1 dx � dx dx � ln x 5 ln x 3 c x 2 2 x 15 x 5 x 3 8 8

Observación: En cada uno de los casos de este método se afirma que se puede dar una descomposición en fracciones parciales, lo cual es un resultado del álgebra y que por lo tanto debería probarse algebraicamente, ya que podría surgir la duda de que en una de estas descomposiciones se produjera un sistema de ecuaciones sin solución. No daremos aquí la demostración pero veremos que por lo menos en el primer caso siempre será posible encontrar las constantes, es decir los sistemas resultantes si tendrán solución.

Otro método para determinar las constantes: Tratemos de "despejar" la constante A de la descomposición deseada:

Multiplicamos en ambos lados de la ecuación por (x-5)

x 2 A B

� ( x 5)( x 3) x 5 x 3

obteniendo:

x 2 B( x 5) � A x 3 x 3

despejamos a la constante A

x 2 B( x 5) x 3 x 3

evaluamos en x = 5 y obtenemos

A =7/8 Obsérvese que estos pasos para determinar A se pueden comprimir en uno solo:

Determinando las constantes por otro método: De la expresión a descomponer en fracciones parciales, se elimina del denominador el factor lineal correspondiente a esta constante y finalmente se evalúa en el punto donde este factor eliminado se anula.

Es decir A �

x 2 x 3

evaluado en x = 5 , resultando A = 7/8.

∫ 2x − 3x +1

∫ 2 x − 3x + 1 dx = 1 ∫ dx 21∫ dx 3 ∫

∫ 2 x − 3x + 1 dx = 1 21 3

Similarmente para obtener el valor de B, multiplicamos en ambos lados de la ecuación original por (x+3), despejamos B y evaluamos en x = -3, obteniendo:

B � x 2 x 5

evaluado en x = -3

B = 1/8.

2 Ejemplo 3. Calcular dx

x 3 6x 2 8x

Solución: En este ejemplo, Q(x) = x3 -6x2 + 8x = x(x-4)(x-2). La

descomposición en fracciones parciales sería:

2x 2 3x 1 A B C � , x( x 4)( x 2) x x 4 x 2

siendo los valores de las constantes:

2x 2 3x 1 A �

( x 4)( x 2)

evaluado en x = 0 � A = 1/8

2x 2 3x 1 B �

x( x 2)

evaluado en x = 4 � B = 21/8

Así pues

2x 2 3x 1 C �

x( x 4)

evaluado en x = 2 � C = -3/4

2 dx

x 3 6x 2 8x 8 x 8 x 4 4 x 2 es decir:

2 ln x ln x 4 ln x 2 c

x 3 6x 2 8x 8 8 4 Segundo caso.

1

m

∫

2 3 n

∫

[Q(x) tiene todas sus raíces reales pero puede haber repetidas] Cuando la factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales no necesariamente distintos, es decir:

Q( x) � ( x a ) m1 ( x a ) m2 ( x a ) m3 ...( x a ) mn Por cada factor lineal aparecerán tantas fracciones parciales como multiplicidad tenga este factor, por ejemplo para el factor (x-ak)mk habrá mk fracciones parciales:

A1 A2 ...

A k 2 mk ( x ak ) ( x ak ) ( x ak )

donde A1, A2, A3,... Amk son constantes reales.

De nuevo como en el caso anterior la integración de las fracciones parciales es sencilla y se reduce a calcular integrales de la forma:

dx

( x a) n las cuales, para n > 1, se resuelven por un sencillo cambio de variable.

Ejemplo 4. Calcular 3x 8

dx x 3 4 x 2 4 x

Solución: En este ejemplo, Q(x) = x3 -4x2 + 4x = x(x - 2)2. La descomposición en fracciones parciales sería:

3x 8 A B C

� x( x 2) 2 x x 2 x 2 2

Al desarrollar e igualar los polinomios del numerador, como en los ejemplos anteriores, obtendremos las constantes de resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Si observamos con detalle la igualdad anterior nos daremos cuenta que la constante B no puede determinarse por el método "corto", pero sí las otras dos, es decir del sistema de tres por tres ya habremos determinado dos de las incógnitas y de cualquiera de las ecuaciones en que aparezca B la despejamos.

A � 3x 8 ( x 2) 2

evaluado en x = 0 nos da A = 2

dx + dx

∫

C � 3x 8

x

evaluado en x = 2 nos da C = 7

Efectuando las operaciones y factorizando x2 y x, tenemos:

3x 8 A B C x 2 ( A B) x( 4 A 2B C ) 4 A � � ... � x( x 2) 2 x x 2 x 2 2 x( x 2) 2

igualando los coeficientes de los numeradores, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

A+B = 0

-4A -2 B + C = 3

4A = 8

Como sólo falta determinar la constante B, la despejamos de la primera ecuación, obteniendo B = -2.

Sustituyendo e integrando:

∫ 3x 8

dx � ∫ 2

dx ∫ 2

∫ 7

x( x 2) 2 x x 2 x 2 2

∫ 3x 8

dx � 2 ln x 2 ln x 2 7

c x( x 2) 2 x 2

Ejemplo 5. Calcular x 8

dx x 6 2x 4 x 2

Solución: En este ejemplo, Q(x) = x6 -2x4 + x2 = x2(x4 -2x2 + 1) = x2(x2 -1)2

Q(x) = x2(x +1)2(x +1)2 La descomposición en fracciones parciales sería:

x 8 A B C D E F

� x 2 ( x 1) 2 ( x 1) 2 x x 2 x 1 x 12 x 1 x 12

Por el método corto podemos fácilmente encontrar que B = 8, D = 7/4 y F = 9/4.

Para determinar el resto de las constantes tenemos que plantear el sistema de ecuaciones:

5 3 4 2 5 4 3 2 x 8 A( x 2x x) B( x 2x 1) C ( x x x x )

� x 2 ( x 2 1) 2 x 2 ( x 2 1) 2

D( x 4 2 x 3 x 2 ) E ( x 5 x 4 x 3 x 2 ) F ( x 4 2x 3 x 2 )

x 2 ( x 2 1) 2 conduciéndonos al siguiente sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas

A + C + E = 0

B - C + D + E + F = 0

-2A - C + 2D - E + 2F = 0

-2B + C + D - E + F = 0

A = 1

B = 8

Como ya tenemos los valores A = 1, B = 8, D = 7/4 y F = 9/4, sustituyéndolos en las primeras dos ecuaciones, encontraremos los valores de C y E resolviendo el sistema:

C + E = -1

-C + E = -12

cuya solución es C = 11/2 y E = -13/2.

El valor de la integral, entonces será:

∫ x 8

dx � ln x 8 11

ln x 1 13

ln x 1 9

c x 6 2x 4 x 2 x 2 2 4( x 1)

Tercer caso.

[Q(x) tiene raíces complejas distintas] Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos de la forma

ax2 + bx + c con b2 - 4ac < 0

Ejemplo 6. Calcular ∫ dx

2

= ∫ ∫= 2 ∫

−

a cada uno de estos factores le corresponderá una fracción parcial de la forma

Ax B

ax 2 bx c donde A y B son constantes reales.

3x 1

x 3 2x 2 5x

Solución: En este ejemplo, Q(x) = x3 +2x2 + 5x = x(x2 +2x + 5) Con

b2 - 4ac = 4-20 = -16 < 0

La descomposición en fracciones parciales sería:

3x 1 A Bx C A( x 2 2x 5) x(Bx C ) � � x( x 2 2x 5) x x 2 2x 5 x( x 2 2x 5)

el sistema a resolver:

A + B = 0

2A + C = 3

5A = 1 y la solución: A = 1/5, B = -1/5 y C = 13/5

∫ 3x 1

dx �

dx �

1 ∫ dx

1 ∫

x 13

dx �

dx �

1 1

1 ∫

(2x 2) 13 1

dx =

x 3 2 x 2 5x 5 x 5 x 2 2 x 5 5 x 5 x 2 2x 5

1 1 (2x 2) 14 dx ln x dx = 5 10 x 2 2x 5 5 x 2 2x 5

1 1 14 dx ln x ln x 2 x 5 � 5 10 5 ( x 1) 2 4

1 1 2 14 � 1 � 1 � � = ln x

5 10 ln x 2x 5 �

5 � 2 arctan�

x � 2

� � c � �

Ejemplo 7. Calcular ∫ x dx

Cuarto caso. [Q(x) tiene raíces complejas repetidas] Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos repetidos de la forma

(ax2 + bx + c)n con b2 - 4ac < 0

a cada uno de estos factores le corresponderán n fracciones parciales de la forma

A1 x B1

A2 x B2 ... An x Bn

ax 2 bx c (ax 2 bx c) 2 (ax 2 bx c) n donde Ak y Bk son constantes reales para k = 1,2 ... n.

2

x 4 2x 2 1

Solución: En este ejemplo, Q(x) = x4 +2x2 + 1 = (x2 +1)2

Con b2 - 4ac < 0 La descomposición en fracciones parciales sería:

x 2 Ax B Cx D Ax 3 Bx 2 Ax B Cx D � � ( x 2 1) 2 x 2 1 ( x 2 1) 2 ( x 2 1) 2

planteándose el sistema de ecuaciones:

A = 0

B = 1

A + C = 0

B + D = 0 Con solución A = 0, B = 1, C = 0 y D = -1

Así pues la integral

∫ x dx = ∫ dx ∫2 dx

x 4 2 x 2 1 x 2 1 ( x 2 1) 2

donde la primera integral es la inversa de la tangente y la segunda se resuelve mediante el segundo caso de sustitución trigonométrica.