UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

“FRANCISCO DE MIRANDA “

DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA

ÁREA DE TECNOLOGÍA

Interpolación del Polinomio de Newton.

De la definición de derivada en un punto x = z se puede encontrar una aproximación para la pendiente

que pasa por los puntos (x, y(x)), (z, y(z)):

f’(z)= zx

zfxflím

zx

)()( f’(z)

zx

zyxy

zx

zfxf

)()()()(= f[z, x] con esta notación indicaremos la

Primera Diferencia Dividida o diferencia dividida de primer orden(DD1).

Otra manera de relacionar la derivada y la diferencia dividida es mediante el teorema del valor medio:

Teorema de Valor Medio: Sea f una función definida y continua en el intervalo [a, b] y diferenciable

en (a, b). Entonces existe al menos un punto c en el abierto (a, b) tal que f’(c) = ab

afbf

)()(,b a.

De esta manera, si x0 , x están en [a, b] en el que f es diferenciable se cumple:

f[x, x0] = 0

0 )()(

xx

xfxf

= f’(c), para algún c en (x0, x).

Deducción del polinomio de interpolación de Lagrange.

Sea Pn el n-ésimo polinomio de Lagrange que coincide con la función f en los n +1 puntos: x0, x1,

xn. Obtendremos las diferencias divididas de f respecto a los n +1 puntos dados con f(x0) = y0, f(x1) =

y1, , f(xn) = yn; para expresar Pn(x) de la siguiente forma:

(*) Pn(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0(x-x1 + +bn(x-x0)(x-x1) (x-xn-1), para constantes apropiadas:

b0, b1, , bn.

Para n = 0 b0 = P0(x0) = y0

n = 1 f(x1) = P1(x1) = b0 + b1(x1 – x0) b1 = [f(x1) – f(x0) ]/ (x1 – x0) = DD1 (diferencias

divididas de orden uno) Luego P1(x) = f(x0) + DD1 (x-x0) = f[x0] + f[x1, x0](x- x0).

f(xi) = f[xi] esta se denomina diferencia dividida de orden cero.

Con n = 2 se puede determinar b2 ya que se conocen b0 y b1: b2 = {f[x2, x1] – f[x1, x0]}/(x2 – x1)= DD2

observe que en el donominador va la diferencia de los puntos extremos: x2 y x0.

Luego P2(x) = f[x0] + f[x1, x0](x - x0) + f[x2, x1, x0](x-x0)(x –x1), y así sucesivamente se obtiene:

Pn(x) = f[x0] + f[x1, x0](x - x0) + f[x2, x1, x0](x-x0)(x –x1) + + f[xn, xn-1, , x1, x0](x-x0)(x –x1) (x – xn-1).

FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON

2

ORDEN NOTACIÓN DEFINICIÓN O EXPRESIÓN

0 f[x0] = y0 f(x0)

1 f[x1, x0]

01

01 )()(

xx

xfxf

2 f[x2, x1, x0]

02

0112 ,,

xx

xxfxxf

3 f[x3, x2, x1, x0]

03

012123 ,,,,

xx

xxxfxxxf

- - - - - - - -

- - - - - - - -

n f[xn , xn-1, , x1, x0]

0

0111 ,,,,,

xx

xxfxxxf

n

nnn

Por ejemplo, para un polinomio de orden cuatro se tiene:

P4(x) = f[x0] + f[x1, x0](x - x0) + f[x2, x1, x0](x-x0)(x –x1) + f[x3, x2, x1, x0](x-x0)(x-x1)(x-x2)

+ f[x4 ,x3, x2, x1, x0](x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3).

¿Cómo calcular las diferencias divididas?.

METODO DE LAS DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON

xi DD0 DD1 DD2 DD3

xo f(xo)

01

01 )()(

xx

xfxf

=fx1,xo

x1 f(x1)

02

0112 ,,

xx

xxfxxf

=fx2, x1, xo

12

12

12 ,)(

xxfxx

xfxf

0123

03

012123 ,,,,,,,

xxxxfxx

xxxfxxxf

x2 f(x2)

123

13

1223 ,,,,

xxxfxx

xxfxxf

23

23

23 , xxfxx

xfxf

1234

14

123234 ,,,,,,,

xxxxfxx

xxxfxxxf

x3 f(x3) 234

24

2334 ,,,,

xxxfxx

xxfxxf

34

34

34 , xxfxx

xfxf

x4 f(x4)

DD4 = f[x4, x3, x2, x1, x0] =

04

01231234 ,,,,,,

xx

xxxxfxxxxf

.

El resto asociado a este polinomio:

Rn(x) f onn xxxxx ,,.....,,, 11 (x – xo)(x – x1)(x – x2) (x – xn-1)(x – xn).

3

Siendo x un valor adicional para poder estimar el error.

Ejercicio resuelto: dada la siguiente tabla de valores:

i xi yi

0 0.1 0.99750

1 0.2 0.99002

2 0.4 0.96040

3 0.7 0.88120

4 1.0 0.76520

5 1.2 0.67113

6 1.3 0.62009

a) Elaborar una tabla de diferencia divididas

b) Escriba la fórmula de interpolación de Newton ajustada a la tabla de diferencias divididas.

c) Evalúe el polinomio resultante en x = 0.3

d) Estime el error en la interpolación.

Solución:

a) En primer término elaboramos la tabla de diferencias divididas:

i xi DDO DD1 DD2 DD3 DD4 DD5 DD6

0 0.1 0.99750

-0.07480

1 0.2 0.99002 -0.24433

-0.14810 0.02088

2 0.4 0.96040 -0.23180 0.01478

-0.26400 0.03418 -0.00236

3 0.7 0.88120 -0.20445 0.01218 0.00122

-0.38667 0.04636 -0.00090

4 1.0 0.76520 -0.16736 0.01119

-0.47035 0.05643

5 1.2 0.67113 -0.13350

-0.51040

6 1.3 0.62009

b) la fórmula de interpolación ajustada a los datos sería:

)2.1)(1)(7.0)(4.0)(2.0)(1.0(00122.0

)1)(7.0)(4.0)(2.0)(1.0(00236.0)7.0)(4.0)(2.0)(1.0(01478.0

)4.0)(2.0)(1.0(02088.0)2.0)(1.0(24433.0)1.0(07480.099750.0)(6

xxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxP

c) 97762.0)3.0(6 P

d) Para estimar la cota del error se debe aplicar la siguiente ecuación:

R6(x) f oxxxxxxxx ,,,,,,, 123456 (x – xo)(x – x1)(x – x2) (x – x4)(x – x5)(x – x6).

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La diferencia dividida de la ecuación se obtiene calculando la diferencia dividida que involucra el

punto x = 0.3, ubicando éste al final de la tabla y recalculando todas las diferencias nuevamente hasta

llegar a la deseada.

R6(0.3) 0.00122 (0.3 – 0.1)(0.3 – 0.2)(0.3 – 0.4) (0.3 – 0.7)(0.3 – 1.0)(0.3 – 1.2) = 6.1488x10-7