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II Seminario sobre actividades para estimular el II Seminario sobre actividades para estimular el talento precoz en Matemáticas. talento precoz en Matemáticas. POLÍGONOS ESTRELLADOS POLÍGONOS ESTRELLADOS ESTRELLAS ESTRELLAS FORMAS ESTRELLADAS FORMAS ESTRELLADAS MADRID MADRID 13/03/2009 13/03/2009 Inmaculada Fernández Benito Inmaculada Fernández Benito VI reunión nacional de VI reunión nacional de Estalmat Estalmat ESTALMAT CASTILLA Y LE CASTILLA Y LE CASTILLA Y LE CASTILLA Y LEÓ Ó ÓN N N

Polígono estrellado

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1. II Seminario sobre actividades para estimular el talento precoz en Matemticas. VI reunin nacional de EstalmatPOLGONOS ESTRELLADOS ESTRELLAS FORMAS ESTRELLADAS ESTALMAT LE CASTILLA Y LENMADRID 13/03/2009 Inmaculada Fernndez Benito 2. 1. INTRODUCCIN - PROFESORES2. UNIDAD DIDCTICA - ALUMNOS 3. Uniendo vrtices INTERPRETACIN 1ESTRELLASProlongando lados(POLGONOS ESTRELLADOS)INTERPRETACIN 2FORMAS ESTRELLADAS 4. Polgonos estrellados y estrellas 1 CONSTRUCCIN A partir de un polgono regular de n lados. Se elige uno de sus vrtices y se unen vrtices no consecutivos, hasta que todo los vrtices estn unidos. Se denotan por n/q (se saltan q-1 vrtices).EJEMPLOS: polgono estrellado 5/2 (pentalfa o pentagrama)-estrella 6/2 (hexagrama) 5. UN CASO PARTICULAR Si n es par, la construccin de la estrella n/q con q=n:2 slo traza segmentos que dividen al polgono en dos partes de igual rea.Octgono 8/4 (segmentos)Cruz en mosaico. Sevilla 6. Polgonos estrellados y estrellas 2 CONSTRUCCIN Sea un polgono regular convexo de n lados. Se prolongan sus lados hasta que las rectas que los contienen se corten por ltima vez. En este proceso se llama estrella a la figura que se obtiene en cada interseccin de las prolongaciones de los lados del polgono. prolongando ladosuniendo vrtices 7. Pentalfa o Pentagrama Es el polgono estrellado 5/2. Smbolo de los pitagricos. Smbolo de la salud y la vida. Para los judos representa los cinco libros Mosaicos.Iglesia de S. Bartolom-Can del Ro Lobos (S. XIII) 8. Pentalfa o PentagramaLos rosetones mandlicos de San Bartolom estn formados por diez corazones (5 pequeos y 5 largos) entrelazados, que rodean y crean la pentalfa y el pentgono. Esta enigmtica celosa calada es, segn algunos autores, de tracera musulmana. 9. Pentalfa o PentagramaIglesia de S. Juan AYLLN (Segovia) Iglesia de S. Francisco OPORTO 10. Pentalfa o Pentagrama MARCAS DE CANTEROS SOBRE PENTALFAS CATEDRAL DE BURGOS Los maestros constructores dejaban como firma SIGNOS LAPIDARIOS. En esta poca, el conocimiento slo se poda transmitir oralmente o simblicamente mediante el empleo de estos signos. 11. Pentalfas y formas estrelladas de cinco puntas en smbolos masnicos 12. Estrella de cinco puntas (OTRA) La variedad de pentagrama de la figura fue encontrada en la parte inferior de las actas de una logia de 1860, tal vez de esta forma deriva la Estrella Roja de los Soviets. Se traza a partir de un pentgono regular, uniendo el punto medio de cada uno de sus radios con los dos vrtices adyacentes. En la parte central de la construccin aparecen cinco cuadrilteros que forman un decgono equiltero pero no regular. 13. Estrella de cinco puntas (OTRA) 14. Hexagrama Es la estrella 6/2 formada por dos tringulos equilteros girados 60 uno respecto de otro.Baslica ROMASinanoga PRAGAIglesia LOVAINA 15. Hexagrama Esta figura conocida tambin como estrella de David o sello de Salomn, adems de smbolo hebreo, es utilizada, como elemento decorativo, por otras culturas y religiones.Claustro de la Catedral VORA 16. Hexagrama HEXAGRAMAS EN LOS ROSETONES DE LA CATEDRAL DE BURGOS 17. HexagramaCATEDRAL DE VALENCIA CATEDRAL DE PALMA DE MALLORCA 18. Hexagrama 19. Hexagrama MARCAS DE CANTEROS SOBRE HEXAGRAMAS CATEDRAL DE BURGOS 20. Hexagrama FACTAL DE HEXAGRAMASFRACTAL AUTOSEMEJANZA Una parte es rplica a menor escala del total. 21. HexagramaMosaico - Sinagoga PRAGA 22. Polgonos estrellados y estrellas Las estrellas y el polgono estrellado derivados del dodecgono son : 12/2, 12/3, 12/4 y 12/5. 23. Polgonos estrellados y estrellas El crculo central oculta las estrellas denotadas por 12/2 y 12/3 simulando el centro de un sol cuyos radios corresponden a los segmentos de las estrellas 12/4 y 12/5.El Capricho de Gaud COMILLAS 24. Estrella 8/2 Polgono estrellado 8/3ESTELLA (Navarra) 25. Diagramas y signosDiagramas meditativos o cabalsticosEl hexagrama junto con el hexgono regular y la estrella octogonal 8/2 son las formas poligonales que ms relevancia tuvieron en la arquitectura de las catedrales gticas. 26. INTERPRETACIN 2.Conectando los 2n segmentos externos de una estrella construida segn cualquiera de los procedimientos anteriores, resulta un polgono cncavo que tambin se denomina estrella y se denota por |n/q|, con dos tipos de vrtices: punta y mella. Esta nueva denominacin aparece en el segundo libro de la obra Harmonice Mundi de Kepler.Estrella |5/2| - Fachada VALLADOLIDClaustro . Concatedral SORIA 27. INTERPRETACIN 2.-Estrellas |5/2| - MOSC 28. INTERPRETACIN 2.De la estrella 6/2 se obtiene la estrella |6/2| que es un polgono cncavo de 12 lados. 29. Mosaico romano Palacio de Lebrija SEVILLASinagoga de BUDAPEST 30. INTERPRETACIN 2.-ERMITAGE SAN PETESBURGO 31. INTERPRETACIN 2.A partir del polgono estrellado 8/3 se obtiene el polgono cncavo |8/3| que tiene diecisis lados.Pavimento Capilla de la Consolacin (CATEDRAL DE Burgos) 32. Formas estrelladas en la Catedral de BurgosCapilla de la Consolacin Catedral de BURGOS 33. Formas estrelladas en la Catedral de BurgosCimborrio Catedral de BURGOS 34. Estrellas |8/2| y |8/3| en la Abada de WESTMISTERDetalle del abovedado de la Capilla de Enrique VIII 35. INTRODUCCIN - PROFESORESUNIDAD DIDCTICA - ALUMNOS 36. A H '' = 3 A H ' = 9 A H A H ''3 3 2 27 3 2 =9 x = x 2 2