Dinamica friccion

DINÁMICADINÁMICA

IntroducciónIntroducciónEn el capítulo anterior, abordamos la descripción del movimiento En el capítulo anterior, abordamos la descripción del movimiento de un cuerpo, describiéndolo en función de la de un cuerpo, describiéndolo en función de la posiciónposición ( (xx), ), tiempotiempo ((tt), ), velocidadvelocidad ( (vv) y ) y aceleraciónaceleración ( (aa), de tal forma que mediante el ), de tal forma que mediante el análisis decíamos hacia donde se mueve, como se mueve, y en análisis decíamos hacia donde se mueve, como se mueve, y en un determinado instante de tiempo predecir en que posición se un determinado instante de tiempo predecir en que posición se encontraba y con que velocidad se estaba moviendo. En tal encontraba y con que velocidad se estaba moviendo. En tal descripción, no nos interesaba el porque se mueve el cuerpo.descripción, no nos interesaba el porque se mueve el cuerpo.En el presente capítulo abordaremos las En el presente capítulo abordaremos las causas del movimiento causas del movimiento de los cuerposde los cuerpos, que es el objeto de estudio de la , que es el objeto de estudio de la DinámicaDinámica. . Desde el punto de vista de la Desde el punto de vista de la Mecánica ClásicaMecánica Clásica que es el nivel que que es el nivel que nos atañe, al igual que en Cinemática, restringiremos nuestro nos atañe, al igual que en Cinemática, restringiremos nuestro estudio considerando:estudio considerando:Cuerpos grandes como si fuesen partículas o corpúsculos (Cuerpos grandes como si fuesen partículas o corpúsculos (modelo modelo corpuscularcorpuscular) y que además se mueven con velocidades mucho ) y que además se mueven con velocidades mucho muy pequeñas en comparación con la velocidad de la luz (muy pequeñas en comparación con la velocidad de la luz (c = 3 x 108 m/s ). ).LasLas causascausas que originan el movimiento de los cuerpos que originan el movimiento de los cuerpos se deben a se deben a lala interaccióninteracción con otros cuerposcon otros cuerpos que conforman su medio que conforman su medio ambiente, entendiendo por medio ambiente todo aquello que lo ambiente, entendiendo por medio ambiente todo aquello que lo rodea, como pueden ser: planos horizontales, verticales, rodea, como pueden ser: planos horizontales, verticales, inclinados, lisos o ásperos; cuerdas; poleas; la Tierra; el Sol, etc.inclinados, lisos o ásperos; cuerdas; poleas; la Tierra; el Sol, etc.

IntroducciónIntroducciónDentro del medio ambiente, restringiremos aún más nuestro problema, Dentro del medio ambiente, restringiremos aún más nuestro problema, considerando únicamente cuerpos cercanos ya que la interacción que considerando únicamente cuerpos cercanos ya que la interacción que ejercen los cuerpos lejanos como el Sol o la Luna es insignificante y se ejercen los cuerpos lejanos como el Sol o la Luna es insignificante y se puede despreciar.puede despreciar.El problema a resolver es el siguiente:El problema a resolver es el siguiente:Se nos proporciona un cuerpo del cual conocemos sus principales Se nos proporciona un cuerpo del cual conocemos sus principales características como pueden ser: su masa, peso, densidad, volumen, características como pueden ser: su masa, peso, densidad, volumen, composición, rugosidad, carga eléctrica, temperatura, etc. composición, rugosidad, carga eléctrica, temperatura, etc. Colocamos dicho cuerpo con una velocidad inicial en un medio Colocamos dicho cuerpo con una velocidad inicial en un medio ambiente adecuado, del cual tenemos una descripción completa, es ambiente adecuado, del cual tenemos una descripción completa, es decir, si hay un plano, si es liso o rugoso, si existen cuerdas, poleas, decir, si hay un plano, si es liso o rugoso, si existen cuerdas, poleas, otros cuerpos, etc.otros cuerpos, etc.Las preguntas a contestar serían:Las preguntas a contestar serían:¿Por que se mueve? ¿Por que se mueve? ¿Como se seguirá moviendo? ¿Como se seguirá moviendo? Dicho problema fue resuelto por Isaac Newton para una gran variedad Dicho problema fue resuelto por Isaac Newton para una gran variedad de medios ambientes y fue cuando formuló las de medios ambientes y fue cuando formuló las Leyes de MovimientoLeyes de Movimiento y y la la Ley de la Gravitación UniversalLey de la Gravitación Universal. .

IntroducciónIntroducciónLas interacciones entre cuerpos se deben a cuatro tipo de fuerzas Las interacciones entre cuerpos se deben a cuatro tipo de fuerzas llamadas fundamentales y son las que gobiernan el Universo:llamadas fundamentales y son las que gobiernan el Universo:

Fuerza GravitacionalFuerza Gravitacional.- M.- Mantiene unidos a cuerpos grandes: antiene unidos a cuerpos grandes: Tierra - personas; Tierra – Luna; Tierra – Sol).Tierra - personas; Tierra – Luna; Tierra – Sol).

Fuerza ElectromagnéticaFuerza Electromagnética.- M.- Mantiene unidas a las moléculas y a antiene unidas a las moléculas y a los átomos y en el interior de estos últimos, hace que los los átomos y en el interior de estos últimos, hace que los electrones permanezcan cerca del núcleo.electrones permanezcan cerca del núcleo.

Fuerza Nuclear FuerteFuerza Nuclear Fuerte.- A.- Actúa a nivel nuclear y hace que las ctúa a nivel nuclear y hace que las partículas se mantengan juntas dentro del núcleo atómico.partículas se mantengan juntas dentro del núcleo atómico.

Fuerza Nuclear DébilFuerza Nuclear Débil.- P.- Permite que algunos núcleos atómicos ermite que algunos núcleos atómicos se separen produciendo radioactividad.se separen produciendo radioactividad.

De acuerdo a su magnitud pueden ser:De acuerdo a su magnitud pueden ser: ConstantesConstantes VariablesVariables

Por su aplicación en sistemas o procesos pueden ser: Por su aplicación en sistemas o procesos pueden ser: Conservativas Conservativas No conservativas o disipativasNo conservativas o disipativas

Por su forma de actuar o interacción con otros cuerpos pueden ser:Por su forma de actuar o interacción con otros cuerpos pueden ser: Por contactoPor contacto A distanciaA distancia

IntroducciónIntroducciónEn nuestro caso, abordaremos el concepto de En nuestro caso, abordaremos el concepto de interaccióninteracción que es que es unauna fuerza, fuerza, la cual se define en función dela cual se define en función de la aceleración que la aceleración que experimenta un cuerpo patrón cuando es colocado en un medio experimenta un cuerpo patrón cuando es colocado en un medio ambienteambiente, estableciendo una técnica para asociarle una masa , estableciendo una técnica para asociarle una masa mm a a cualquier cuerpo, con el fin de entender que cuerpos de la misma cualquier cuerpo, con el fin de entender que cuerpos de la misma naturaleza (por ejemplo madera), experimentan diferentes naturaleza (por ejemplo madera), experimentan diferentes aceleraciones cuando son colocados en el mismo medio ambiente.aceleraciones cuando son colocados en el mismo medio ambiente.El concepto de El concepto de fuerza y masafuerza y masa se encuentran íntimamente se encuentran íntimamente relacionados, asociamos a:relacionados, asociamos a:

la la fuerzafuerza con jalar o empujar un objeto y, con jalar o empujar un objeto y, la la masamasa como la resistencia que presenta un cuerpo a ser como la resistencia que presenta un cuerpo a ser

acelerado (movido). acelerado (movido). Los tres conceptos: Los tres conceptos: fuerza, masa y aceleraciónfuerza, masa y aceleración, se relacionan entre , se relacionan entre sí por medio de:sí por medio de:

las las Leyes de la Naturaleza o Leyes de FuerzasLeyes de la Naturaleza o Leyes de Fuerzas y y las las Leyes de Movimiento o Leyes de NewtonLeyes de Movimiento o Leyes de Newton, ,

Las primeras son aquéllas mediante las cuales se rigen los Las primeras son aquéllas mediante las cuales se rigen los fenómenos naturales e involucran a las propiedades del cuerpo con fenómenos naturales e involucran a las propiedades del cuerpo con su medio ambiente.su medio ambiente.Las segundas, son las que rigen su comportamiento en ese medio Las segundas, son las que rigen su comportamiento en ese medio ambiente. ambiente.

Introducción Introducción ( ( Leyes de FuerzaLeyes de Fuerza ) )Dentro de las Dentro de las Leyes de FuerzaLeyes de Fuerza se tienen dos clasificaciones: se tienen dos clasificaciones:

Interacción por contactoInteracción por contacto Interacción a distanciaInteracción a distancia

Interacción por contactoInteracción por contacto

Fuerzas de fricciónFuerzas de fricción FF = = mmNN Por ejemplo un cuerpo al ser arrastrado por Por ejemplo un cuerpo al ser arrastrado por

una superficie áspera.una superficie áspera. FF = = mmvv Un cuerpo que se mueve en un medio que Un cuerpo que se mueve en un medio que

puede ser aire o un líquido.puede ser aire o un líquido.

Fuerza elástica:Fuerza elástica: FF = k = kxx Por ejemplo al comprimir o estirar un resorte. Por ejemplo al comprimir o estirar un resorte.

Fuerza de sostén o soporte:Fuerza de sostén o soporte: FF = P/ = P/AA Por ejemplo cuando aplicamos una presión Por ejemplo cuando aplicamos una presión

sobre un objeto.sobre un objeto.

Introducción Introducción ( ( Leyes de FuerzaLeyes de Fuerza ) )Interacción a distanciaInteracción a distancia

Fuerza gravitacional (de atracción)Fuerza gravitacional (de atracción) FF = m = maayy Por ejemplo el peso de un cuerpo (donde Por ejemplo el peso de un cuerpo (donde │ │ aayy

││ = g) = g) FF = (GmM∕r = (GmM∕r22) ) rr Por ejemplo la fuerza de atracción que Por ejemplo la fuerza de atracción que

existe entre el Sol y la Tierra.existe entre el Sol y la Tierra.

Fuerza Eléctrica (atracción o repulsión)Fuerza Eléctrica (atracción o repulsión) FF = (kq = (kq11qq22∕r∕r22 ) ) rr Por ejemplo la fuerza de repulsión que Por ejemplo la fuerza de repulsión que

existe entre dos electrones.existe entre dos electrones.

Fuerza magnética (atracción o repulsión)Fuerza magnética (atracción o repulsión) FF = q ( = q (v x Bv x B)) Por ejemplo un electrón que se mueve en Por ejemplo un electrón que se mueve en

un campo magnético.un campo magnético.

Introducción Introducción (Leyes de Movimiento)(Leyes de Movimiento)De las De las Leyes de MovimientoLeyes de Movimiento, tenemos los siguientes enunciados , tenemos los siguientes enunciados de las Leyes de Newton:de las Leyes de Newton:

Primera LeyPrimera Ley.- Todo cuerpo permanecerá en su estado de reposo o .- Todo cuerpo permanecerá en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se vea obligado de movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se vea obligado a cambiar dicho estado por medio de un agente externo que le a cambiar dicho estado por medio de un agente externo que le aplique una fuerza.aplique una fuerza.

Segunda LeySegunda Ley.- La aceleración que experimenta un cuerpo es .- La aceleración que experimenta un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza resultante e inversamente directamente proporcional a la fuerza resultante e inversamente proporcional su masa.proporcional su masa.

Tercera LeyTercera Ley.- A toda acción le corresponde una reacción de igual .- A toda acción le corresponde una reacción de igual magnitud pero en sentido contrario.magnitud pero en sentido contrario.

IntroducciónIntroducciónEn esta primera parte de la Dinámica de los cuerpos, En esta primera parte de la Dinámica de los cuerpos, consideraremos únicamente casos ideales en los cuales:consideraremos únicamente casos ideales en los cuales:

No existe fricciónNo existe fricción,,

adicionalmente, trabajaremos exclusivamente conadicionalmente, trabajaremos exclusivamente con

Fuerzas constantesFuerzas constantes, ,

es decir que en todo el movimiento del cuerpo se esta ejerciendo es decir que en todo el movimiento del cuerpo se esta ejerciendo una fuerza que no cambia de magnitud ni de dirección ni sentido.una fuerza que no cambia de magnitud ni de dirección ni sentido.

En la segunda parte de la Dinámica se abordarán problemas que En la segunda parte de la Dinámica se abordarán problemas que involucran fricción.involucran fricción.

Posteriormente (Capítulo de Trabajo y Energía) se abordarán Posteriormente (Capítulo de Trabajo y Energía) se abordarán fuerzas tanto constantes como variables, así como conservativas fuerzas tanto constantes como variables, así como conservativas y disipativas.y disipativas.

LEYES DE MOVIMIENTOLEYES DE MOVIMIENTOPRIMERA LEY DE NEWTONPRIMERA LEY DE NEWTONEn la época de Aristóteles, se creía firmemente que un cuerpo se En la época de Aristóteles, se creía firmemente que un cuerpo se encontraba en su estado natural cuando estaba en reposo, que se encontraba en su estado natural cuando estaba en reposo, que se requería la presencia de un agente externo que lo impulsara y requería la presencia de un agente externo que lo impulsara y que cambiara dicho estado. Cuando el agente externo dejaba de que cambiara dicho estado. Cuando el agente externo dejaba de impulsarlo, tendía nuevamente a su estado natural.impulsarlo, tendía nuevamente a su estado natural.Dicha aseveración aún persiste en muchas personas en nuestros Dicha aseveración aún persiste en muchas personas en nuestros días, ya que por experiencia propia, cuando arrojamos un objeto días, ya que por experiencia propia, cuando arrojamos un objeto con una cierta velocidad inicial sobre un plano, el cuerpo recorre con una cierta velocidad inicial sobre un plano, el cuerpo recorre una distancia y se detiene. una distancia y se detiene. Nuestro error así como el de Aristóteles lo aclara Galileo con el Nuestro error así como el de Aristóteles lo aclara Galileo con el siguiente experimento:siguiente experimento:Él argumentaba que si arrojábamos un cuerpo sobre una Él argumentaba que si arrojábamos un cuerpo sobre una superficie, este tendería al reposo después de recorrer una superficie, este tendería al reposo después de recorrer una distancia.distancia.

v0 ≠ 0 v = 0

d = │ Δ x│

PRIMERA LEY DE NEWTONPRIMERA LEY DE NEWTONPero que si arrojamos el cuerpo con la misma velocidad inicial Pero que si arrojamos el cuerpo con la misma velocidad inicial una vez pulidas las superficies, el cuerpo recorrerá una mayor una vez pulidas las superficies, el cuerpo recorrerá una mayor distancia.distancia.

Si además de pulir las superficies las lubricamos, entonces el Si además de pulir las superficies las lubricamos, entonces el cuerpo va a recorrer una mayor distancia.cuerpo va a recorrer una mayor distancia.

Si usamos cada vez superficies más tersas y mejor lubricadas, el Si usamos cada vez superficies más tersas y mejor lubricadas, el cuerpo recorrerá cada vez una mayor distancia.cuerpo recorrerá cada vez una mayor distancia.

v0 ≠ 0 v = 0

d = │ Δ x│

v0 ≠ 0 v = 0

d = │ Δ x│

v0 ≠ 0 v = 0

d = │ Δ x│

Primera Ley de NewtonPrimera Ley de NewtonEn el experimento anterior, se está eliminando la fricción, por lo En el experimento anterior, se está eliminando la fricción, por lo que al evitarla completamente, lo que tendremos será un cuerpo que al evitarla completamente, lo que tendremos será un cuerpo que se mueve siempre con la misma velocidad con la que se arroja, que se mueve siempre con la misma velocidad con la que se arroja, es decir, será un movimiento rectilíneo uniforme.es decir, será un movimiento rectilíneo uniforme.

El experimento, Galileo lo resumió en el siguiente enunciado:El experimento, Galileo lo resumió en el siguiente enunciado:

““Se requiere la presencia de un agente externo para cambiar la Se requiere la presencia de un agente externo para cambiar la velocidad inicial de un cuerpo, pero no se requiere tal presencia velocidad inicial de un cuerpo, pero no se requiere tal presencia para que el cuerpo continúe moviéndose con la misma velocidad”.para que el cuerpo continúe moviéndose con la misma velocidad”.

Como se puede apreciar, aunque con otras palabras, la idea de Como se puede apreciar, aunque con otras palabras, la idea de Galileo se encuentra expresada en el enunciado de la Primera Ley Galileo se encuentra expresada en el enunciado de la Primera Ley de Newton.de Newton.

v0 ≠ 0 v = ctte.

Δ x

v = ctte.

Δ x

v = ctte.

Δ x

Primera Ley de NewtonPrimera Ley de NewtonSi nos adelantamos e interpretamos la Segunda Ley, Si nos adelantamos e interpretamos la Segunda Ley, apreciaremos que apreciaremos que si la fuerza neta sobre un cuerpo es cerosi la fuerza neta sobre un cuerpo es cero, , entonces entonces no habrá aceleraciónno habrá aceleración y por consiguiente y por consiguiente el cuerpo el cuerpo estará en reposoestará en reposo o o moviéndose con velocidad constantemoviéndose con velocidad constante. . Por tal razón, algunos autores atribuyen que la Primera Ley es un Por tal razón, algunos autores atribuyen que la Primera Ley es un caso especial de la Segunda Ley, sin embargo, la caso especial de la Segunda Ley, sin embargo, la Primera Ley se Primera Ley se atribuye a marcos de referencia inercialesatribuye a marcos de referencia inerciales, ya que , ya que sobre un sobre un cuerpo puede estar obrando una fuerza neta diferente de cero y cuerpo puede estar obrando una fuerza neta diferente de cero y la aceleración del cuerpo es cero.la aceleración del cuerpo es cero. Ejemplo de lo anterior, es Ejemplo de lo anterior, es cuando una persona parada en tierra observa como se acelera un cuando una persona parada en tierra observa como se acelera un automóvil, un pasajero que vaya en el auto, observará que todas automóvil, un pasajero que vaya en el auto, observará que todas las cosas en el interior del auto están en reposo con respecto a él.las cosas en el interior del auto están en reposo con respecto a él.

x´

y´y

x

aa = 0

Visto desde Tierra, el sistema x´, y´ está acelerado

Visto desde el interior del auto, elsistema está en reposo

SEGUNDA LEY DE NEWTONSEGUNDA LEY DE NEWTONComo se mencionó en la introducción, el concepto de Fuerza lo Como se mencionó en la introducción, el concepto de Fuerza lo relacionamos con jalar o empujar un objeto, sin embargo relacionamos con jalar o empujar un objeto, sin embargo en Física se en Física se requiere una definición mas precisa y se define en función de la requiere una definición mas precisa y se define en función de la aceleración que experimenta un cuerpo patrón en un medio ambiente aceleración que experimenta un cuerpo patrón en un medio ambiente adecuadoadecuado. .

Por convención Internacional, el cuerpo patrón es un cilindro de Platino e Por convención Internacional, el cuerpo patrón es un cilindro de Platino e Iridio, al cual se le a asignado una masa de 1 kilogramo por lo que se le Iridio, al cual se le a asignado una masa de 1 kilogramo por lo que se le denomina denomina kilogramo patrónkilogramo patrón. Como medio ambiente, se elige una . Como medio ambiente, se elige una superficie lisa (sin fricción) y un resorte de longitud superficie lisa (sin fricción) y un resorte de longitud LL

Para determinar la Fuerza que el medio ambiente ejerce sobre el cuerpo, Para determinar la Fuerza que el medio ambiente ejerce sobre el cuerpo, se realiza el siguiente experimento:se realiza el siguiente experimento:

se ata el kilogramo patrón al resorte, colocándolo sobre la superficie se ata el kilogramo patrón al resorte, colocándolo sobre la superficie horizontal y estirando el resorte una cierta longitud horizontal y estirando el resorte una cierta longitud ΔΔLL, de tal forma que , de tal forma que el cuerpo empiece a moverse (al iniciar el movimiento, el cuerpo que el cuerpo empiece a moverse (al iniciar el movimiento, el cuerpo que estaba en reposo cambia de velocidad) acelerándose. Mientras estaba en reposo cambia de velocidad) acelerándose. Mientras mantengamos elongado el resorte la misma longitud mantengamos elongado el resorte la misma longitud ΔΔLL, la aceleración, , la aceleración, que podemos medir experimentalmente, será constante, su valor que podemos medir experimentalmente, será constante, su valor numérico dependerá de que tanto incrementemos la longitud del resorte. numérico dependerá de que tanto incrementemos la longitud del resorte.

Segunda Ley de NewtonSegunda Ley de NewtonSi para un cierto Si para un cierto ΔΔLL encontramos una aceleración de 1 m/s encontramos una aceleración de 1 m/s22, , entonces decimos que el medio ambiente está ejerciendo una entonces decimos que el medio ambiente está ejerciendo una Fuerza de 1 Newton sobre el cuerpo patrón. Luego entonces, el Fuerza de 1 Newton sobre el cuerpo patrón. Luego entonces, el Newton se define como:Newton se define como:

1 Newton = 1 Kg m/s1 Newton = 1 Kg m/s22

Si continuamos con el experimento pero incrementando al doble Si continuamos con el experimento pero incrementando al doble la elongación del resorte, entonces la aceleración que la elongación del resorte, entonces la aceleración que encontraremos será el doble de la anterior y en este caso encontraremos será el doble de la anterior y en este caso decimos que el medio ambiente está ejerciendo una fuerza de 2 decimos que el medio ambiente está ejerciendo una fuerza de 2 Newton sobre el cuerpo.Newton sobre el cuerpo.

L

a= 0

L2 ΔL

2F1

F1

L ΔL

a1 F1

LΔL

L2 ΔL

2F12 a1

Segunda Ley de NewtonSegunda Ley de NewtonUna conclusión de nuestro experimento es que:Una conclusión de nuestro experimento es que:la Fuerza aplicada es directamente proporcional a la aceleración la Fuerza aplicada es directamente proporcional a la aceleración

que experimenta el cuerpoque experimenta el cuerpo..Para determinar la constante de proporcionalidad, incrementamos Para determinar la constante de proporcionalidad, incrementamos nuevamente la elongación del resorte aplicando una mayor nuevamente la elongación del resorte aplicando una mayor fuerza, de tal forma que al medir las aceleraciones encontramos fuerza, de tal forma que al medir las aceleraciones encontramos los siguientes valores para las respectivas elongaciones del los siguientes valores para las respectivas elongaciones del resorte:resorte:

Fuerza(Newton)

Elongación (cm)

Aceleración (m/s2)

F1 = 1 ΔΔLL a1 = 1 F2 = 2 2 2 ΔΔLL 2 a1 = 2 F3 = 3 3 3 ΔΔLL 3 a1 = 3 F4 = 4 4 4 ΔΔLL 4 a1 = 4 F5 = 5 5 5 ΔΔLL 5 a1 = 5 F6 = 6 6 6 ΔΔLL 6 a1 = 6 F7 = 7 7 7 ΔΔLL 7 a1 = 7

Segunda Ley de NewtonSegunda Ley de NewtonAl graficar nuestros resultados de Fuerza contra aceleración, obtenemos:Al graficar nuestros resultados de Fuerza contra aceleración, obtenemos:

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 a (m/s2)

F (Newton)

Pendiente = tan = 6 Newton – 4 Newton6 m/s2 – 4 m/s2

= 6 kg m/s2 – 4 kg m/s2 6 m/s2 – 4 m/s2

Pendiente = tan = 1 kg

Segunda Ley de NewtonSegunda Ley de NewtonComo se podrá observar en la gráfica, se obtiene una línea recta por Como se podrá observar en la gráfica, se obtiene una línea recta por lo que la proporción que guarda la fuerza aplicada con respecto a la lo que la proporción que guarda la fuerza aplicada con respecto a la aceleración del cuerpo patrón es una proporción lineal. Al calcular la aceleración del cuerpo patrón es una proporción lineal. Al calcular la pendiente de la recta y aplicar la definición de fuerza, se tiene que pendiente de la recta y aplicar la definición de fuerza, se tiene que las unidades de la pendiente son unidades de masa, con lo cual se las unidades de la pendiente son unidades de masa, con lo cual se infiere que la constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo infiere que la constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo patrón. patrón.

Luego entonces, Luego entonces, la Fuerza aplicada es directamente proporcional a la la Fuerza aplicada es directamente proporcional a la aceleración del cuerpo, siendo la constante de proporcionalidad aceleración del cuerpo, siendo la constante de proporcionalidad la la masamasa del mismo del mismo, lo cual expresado en terminología matemática es:, lo cual expresado en terminología matemática es:

F = m aF = m a

Dicha ecuación es la segunda Ley de Newton.Dicha ecuación es la segunda Ley de Newton.

Ya que la aceleración es un vector que es multiplicado por un escalar Ya que la aceleración es un vector que es multiplicado por un escalar como lo es la masa, se obtiene un nuevo vector que tiene la misma como lo es la masa, se obtiene un nuevo vector que tiene la misma dirección y sentido que el vector que le da origen. dirección y sentido que el vector que le da origen. Consecuentemente, la Fuerza es una cantidad vectorial, por lo que: Consecuentemente, la Fuerza es una cantidad vectorial, por lo que:

FF = m = m a a

Segunda Ley de NewtonSegunda Ley de NewtonDebemos de realizar nuevos experimentos para conocer los Debemos de realizar nuevos experimentos para conocer los efectos que una misma fuerza ejerce sobre otros cuerposefectos que una misma fuerza ejerce sobre otros cuerpos y y comparar los resultados con el efecto que se producen en el comparar los resultados con el efecto que se producen en el kilogramo patrón. Para ello, escojamos otros cuerpos de masa kilogramo patrón. Para ello, escojamos otros cuerpos de masa desconocida y procedamos a realizar los experimentos.desconocida y procedamos a realizar los experimentos.

1

F Fm 0

Se aplica una fuerza F al kilogramo patróny experimentalmente determinamos la ace- leración que experimenta, teniendo ésta uncierto valor a.

F

A otro cuerpo de masa desconocida M, leaplicamos la misma fuerza F, encontrandoque su aceleración es la mitad de la que --experimento el kilogramo patrón.

m 0

m m

a 0 a 0

a =2

F F

A un segundo cuerpo de masa desconocidam2 le aplicamos la misma fuerza F, encon-trando que su aceleración es el doble de laque experimentó el kilogramo patrón.m m

a = 2

F F

a = 4 Por último, a un tercer cuerpo de masa des-conocida m3 le aplicamos la misma fuerza Fencontrando que su aceleración es el cua---druple de la que experimentó el kilogramo --patrón.m m

1 1

2

2 2

3

3 3

a 0

a 0

a 0

l l

l

l

l

l

l

l

l

l

l l

l

l

l

Segunda Ley de NewtonSegunda Ley de NewtonDe lo anterior concluimos que: De lo anterior concluimos que: cuerpos de la misma naturaleza cuerpos de la misma naturaleza experimentan diferentes aceleraciones cuando son colocados en un experimentan diferentes aceleraciones cuando son colocados en un mismo medio ambiente.mismo medio ambiente.Así mismo, al tomar el cociente de la aceleración que experimenta Así mismo, al tomar el cociente de la aceleración que experimenta el cuerpo patrón y la aceleración que experimenta cualquiera de el cuerpo patrón y la aceleración que experimenta cualquiera de las masas desconocidas, obtenemos:las masas desconocidas, obtenemos:

o bien:o bien:

conocida como conocida como relación de masas y aceleracionesrelación de masas y aceleraciones, con la cual , con la cual podemos determinar la masa de cualquier cuerpo despejándola de podemos determinar la masa de cualquier cuerpo despejándola de la relación. Por ejemplo:la relación. Por ejemplo:

.cttepatrónmasa

adesconocidmasaadesconocidmasaladenaceleració

patróncuerpodelnaceleració

.0

2

0

1

0

0 cttemm

mm

mm

aa

kg

sm

kgsm

amam

41

4

)1(1

2

2

2

002

Segunda Ley de NewtonSegunda Ley de NewtonCuando unimos varios cuerpos y aplicamos una fuerza, los cuerpos Cuando unimos varios cuerpos y aplicamos una fuerza, los cuerpos se moverán en conjunto, experimentando la misma aceleración, lo se moverán en conjunto, experimentando la misma aceleración, lo cual es equivalente a tener un solo cuerpo de masa cual es equivalente a tener un solo cuerpo de masa M = mM = m11 + m + m22 + m + m33 + ... + ...

La aceleración se determina mediante:La aceleración se determina mediante:

donde P es la magnitud de la fuerza aplicada.donde P es la magnitud de la fuerza aplicada.

P

Equivale a:

PM = m1 + m2 + m3

m1m2 m3

321 mmmP

MPa

Segunda Ley de NewtonSegunda Ley de NewtonSin embargo, sobre un cuerpo pueden actuar varias fuerzas como Sin embargo, sobre un cuerpo pueden actuar varias fuerzas como por ejemplo:por ejemplo:

donde FR es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobreo FUERZA RESULTANTE O NETA, lo que equivale a que sobre el cuerpo estuviera actuando únicamente esta fuerza

Como son vectores, debemos sumarloscomo vectores

F5

F1

F2F3

F4

FR

FR

x

y

F1F2

F3

F5

F4

Segunda Ley de NewtonSegunda Ley de NewtonPara determinar analíticamente a la fuerza resultante, debemos Para determinar analíticamente a la fuerza resultante, debemos descomponer a las fuerzas individuales en sus componentes descomponer a las fuerzas individuales en sus componentes rectangulares sobre los ejes, de tal forma que:rectangulares sobre los ejes, de tal forma que:

Donde:Donde:

Además, la segunda ley expresada en forma de componentes es:Además, la segunda ley expresada en forma de componentes es:

En la cual la aceleración del cuerpo se determina mediante cálculos En la cual la aceleración del cuerpo se determina mediante cálculos y y en algunos casos mediante la observación del cuerpoen algunos casos mediante la observación del cuerpo, como por , como por ejemplo, cuando se va deslizando sobre el piso (eje x), la ejemplo, cuando se va deslizando sobre el piso (eje x), la aceleración en el eje vertical es cero (aaceleración en el eje vertical es cero (ayy = 0). = 0).

22

yxrr FFFF F

xxxxxx FFFFFF 54321

yyyyyy FFFFFF 54321

xx maF

yy maF

Segunda Ley de NewtonSegunda Ley de NewtonAl resolver problemas que involucren fuerzas, es conveniente Al resolver problemas que involucren fuerzas, es conveniente realizar realizar Diagramas de Cuerpo Libre o aisladoDiagramas de Cuerpo Libre o aislado en los cuales en los cuales consideramos al cuerpo como si fuese un punto situado en el origen consideramos al cuerpo como si fuese un punto situado en el origen de coordenadas, colocando ahí todas las fuerzas que actúan sobre de coordenadas, colocando ahí todas las fuerzas que actúan sobre él así como los respectivos ángulos que dichas fuerzas forman con él así como los respectivos ángulos que dichas fuerzas forman con respecto a un determinado eje, esto último para poder calcular las respecto a un determinado eje, esto último para poder calcular las componentes de dichas fuerzas sobre los ejes. componentes de dichas fuerzas sobre los ejes. Del ejemplo anterior, el Del ejemplo anterior, el Diagrama de Cuerpo Libre Diagrama de Cuerpo Libre es:es:

F5

F1

F2F3

F4

x +

y +

F1

F2

F3

F5

F4

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

Se elije un sistema de referencia con su convención de signos y las fuerzasse colocan en él y saliendo del origen

Segunda Ley de NewtonSegunda Ley de NewtonPara determinar las componentesPara determinar las componentes, se procede como en el tema de vectores, , se procede como en el tema de vectores, teniendo cuidado al seleccionar el ángulo, ya que en algunos problemas el teniendo cuidado al seleccionar el ángulo, ya que en algunos problemas el ángulo se mide con respecto al eje de las y´s, por lo que ángulo se mide con respecto al eje de las y´s, por lo que las las funciones funciones trigonométricastrigonométricas que relacionan a las componentes con la magnitud del que relacionan a las componentes con la magnitud del vector y el ángulo vector y el ángulo cambiancambian. . Por tal motivo Por tal motivo se recomienda siempre formar el triángulo rectángulo y a él se recomienda siempre formar el triángulo rectángulo y a él aplicarle las funcionesaplicarle las funciones sensen , , coscos y y tantan

Aplicación de las funciones de acuerdo al ángulo

x +

y +

F2

x +

y +

F2

Fx = │F2│cos

Fy = │F2│sen

Fx = │F2│sen

Fy = │F2│cos

Fx

FyFy

Fx

TERCERA LEY DE NEWTONTERCERA LEY DE NEWTONTodas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, provienen de la Todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, provienen de la interacción mutua del mismo con el medio ambiente, debido a que es interacción mutua del mismo con el medio ambiente, debido a que es mutua, mutua, una fuerza sola o aislada es una imposibilidad físicauna fuerza sola o aislada es una imposibilidad física, , las fuerzas las fuerzas actúan por parejasactúan por parejas, una de ellas es la que ejerce el cuerpo sobre el , una de ellas es la que ejerce el cuerpo sobre el medio ambiente y la otra es la que el medio ambiente ejerce sobre el medio ambiente y la otra es la que el medio ambiente ejerce sobre el cuerpo (para efecto de aplicaciones, ésta es la que nos interesa). cuerpo (para efecto de aplicaciones, ésta es la que nos interesa). A una de ellas (cualquiera) se le llama A una de ellas (cualquiera) se le llama Fuerza de AcciónFuerza de Acción en tanto que a en tanto que a la otra la otra Fuerza de ReacciónFuerza de Reacción. .

Ambas Ambas son de igual magnitud pero en sentido diferenteson de igual magnitud pero en sentido diferente, se encuentran , se encuentran sobre la línea de acción que une a los dos cuerpos y sobre la línea de acción que une a los dos cuerpos y lo importante de lo importante de la tercera ley es que actúan sobre cuerpos diferentes.la tercera ley es que actúan sobre cuerpos diferentes.

Si actuasen sobre el mismo cuerpo, al aplicar la segunda ley Si actuasen sobre el mismo cuerpo, al aplicar la segunda ley tendríamos que ambas se anularían y consecuentemente no tendríamos que ambas se anularían y consecuentemente no tendríamos movimiento (aceleración).tendríamos movimiento (aceleración).

Para ilustrar lo anterior, imaginemos que nos recargamos con la palma Para ilustrar lo anterior, imaginemos que nos recargamos con la palma de la mano sobre un muro. El muro nos detiene y evita que caigamos, de la mano sobre un muro. El muro nos detiene y evita que caigamos, esa es la fuerza que el esa es la fuerza que el muromuro ejerce ejerce sobresobre nosotrosnosotros, la otra fuerza, es la , la otra fuerza, es la que que nosotrosnosotros ejercemos ejercemos sobresobre el el muro muro, si éste no estuviese bien , si éste no estuviese bien pegado, al aplicarle una mayor fuerza podríamos derribarlo.pegado, al aplicarle una mayor fuerza podríamos derribarlo.

Tercera Ley de NewtonTercera Ley de NewtonOtro ejemplo es cuando queremos cerrar una puerta de un golpe Otro ejemplo es cuando queremos cerrar una puerta de un golpe utilizando nuestro pie descalzo. Nosotros ejercemos una fuerza utilizando nuestro pie descalzo. Nosotros ejercemos una fuerza sobre la puerta y ésta hace que se cierre (acción); la puerta a su vez sobre la puerta y ésta hace que se cierre (acción); la puerta a su vez ejerce una fuerza sobre nosotros, la cual experimentamos mediante ejerce una fuerza sobre nosotros, la cual experimentamos mediante el dolor del pie (reacción).el dolor del pie (reacción).

Para que nos quede claro el concepto, analicemos el siguiente Para que nos quede claro el concepto, analicemos el siguiente ejemplo donde se tiene un bloque de masa ejemplo donde se tiene un bloque de masa mm colocado sobre un colocado sobre un piso horizontal apoyado en ladrillos. piso horizontal apoyado en ladrillos.

En éste ejemplo tenemos dos cuerpos; uno es el bloque y el otro el En éste ejemplo tenemos dos cuerpos; uno es el bloque y el otro el piso, hagamos el análisis para ambos cuerpos utilizando diagramas piso, hagamos el análisis para ambos cuerpos utilizando diagramas de cuerpo libre:de cuerpo libre:

Tercera Ley de NewtonTercera Ley de NewtonSobre el bloque

x

y

N

W

N = Fuerza que el piso ejerce sobre elbloque (evita que el bloque se hunda)

W = Fuerza que la Tierra ejerce sobre el bloque, (lo que llamamos peso)

Sobre el pisoy

x

N´

W

W´

N´ = Fuerza que los ladrillosejercen sobre el piso

W´ = Fuerza que la Tierra ejerce sobre El Piso (peso del piso)

piso (peso del piso)

W = Fuerza que el bloque ejerce sobre el Piso (peso del bloque)

bloque

piso

ladrillo

Como el sistema está en reposo, las fuerzas que apuntan hacia arriba deben de ser iguales a las que apuntan hacia abajoN = W ; N´ = W´ + W

Tercera Ley de NewtonTercera Ley de NewtonSi deseamos encontrar por parejas a las fuerzas (acción y Si deseamos encontrar por parejas a las fuerzas (acción y reacción), debemos expresarlas de la siguiente forma:reacción), debemos expresarlas de la siguiente forma:

Si se observa bien, al encontrar una de las fuerzas, la otra surge Si se observa bien, al encontrar una de las fuerzas, la otra surge inmediatamente, lo único que tenemos que hacer es invertir los inmediatamente, lo único que tenemos que hacer es invertir los subíndices. Por ejemplo: subíndices. Por ejemplo: FFT / bT / b (acción), (acción), FFb / Tb / T (reacción). (reacción).

Acción Reacción

W = FTierra / bloque Fbloque / Tierra

N = Fpiso / bloque Fbloque / piso

W´ = FTierra / piso Fpiso / Tierra

N´ = Fladrillos / piso Fpiso / ladrillos

Tercera Ley de NewtonTercera Ley de Newton

Sobre la caja

NP´´

W

F

Sobre la cuña

N

W

Sobre el hombre

NP´

W

P

Son las fuerzas Normales y Pesos de los cuerpos.Es la fuerza que el hombre ejerce sobre la cuña.Es la fuerza que la cuña ejerce sobre el hombre.Es la fuerza que el hombre ejerce sobre la caja, y es la suma de P´ + f´ Es la fuerza que el hombre ejerce sobre la Tierra (fuerza de rozamiento), el hombre empuja a la Tierra hacia atrásEs la fuerza que la Tierra ejerce sobre el hombre, es la contraparte de la anterior y es la que nos hace avanzar o caminarEs la fuerza de rozamiento entre la caja y la Tierra, ésta fuerza puede ser menor que f

N, WPP´P´´f

f´

F

f´fP*

P* Es la fuerza que la caja ejerce sobre el hombre, es la contrparte de P´´

Tercera Ley de NewtonTercera Ley de NewtonLa fuerza normal recibe ese nombre debido a que es normal o La fuerza normal recibe ese nombre debido a que es normal o perpendicular a las superficies en contacto.perpendicular a las superficies en contacto.

El peso siempre es vertical y dirigido hacia el centro de la Tierra.El peso siempre es vertical y dirigido hacia el centro de la Tierra.

La fuerza de rozamiento es paralela a las superficies en contacto y La fuerza de rozamiento es paralela a las superficies en contacto y siempre se oponen al movimiento (o bien son contrarias a la siempre se oponen al movimiento (o bien son contrarias a la dirección del movimiento).dirección del movimiento).

Aplicaciones de las Leyes de NewtonAplicaciones de las Leyes de NewtonPara resolver problemas aplicando las leyes de Newton, se Para resolver problemas aplicando las leyes de Newton, se recomienda:recomienda:Hacer el dibujo.Hacer el dibujo.

Hacer el diagrama de cuerpo libre o aislado, considerando al Hacer el diagrama de cuerpo libre o aislado, considerando al cuerpo como si fuese un punto.cuerpo como si fuese un punto.

Colocar en el diagrama y saliendo del punto, todas las fuerzas Colocar en el diagrama y saliendo del punto, todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.que actúan sobre el cuerpo.

Elegir un sistema de referencia (plano cartesiano)Elegir un sistema de referencia (plano cartesiano) Colocar en el sistema la convención de signos.Colocar en el sistema la convención de signos. Tomar como eje positivo el de la dirección de movimiento del Tomar como eje positivo el de la dirección de movimiento del

cuerpo.cuerpo. Marcar los ángulos que forman las fuerzas con respecto a los Marcar los ángulos que forman las fuerzas con respecto a los

ejes.ejes. Descomponer a las fuerzas en sus componentes rectangulares.Descomponer a las fuerzas en sus componentes rectangulares. Cuando se trabaje con planos inclinados, uno de los ejes debe de Cuando se trabaje con planos inclinados, uno de los ejes debe de

ser paralelo al plano.ser paralelo al plano. Aplicar la Segunda Ley de Newton, haciendo la sumatoria de las Aplicar la Segunda Ley de Newton, haciendo la sumatoria de las

componentes de las fuerzas sobre los ejes.componentes de las fuerzas sobre los ejes.xx maF yy maF

Aplicaciones de las Leyes de NewtonAplicaciones de las Leyes de NewtonEJEMPLO: Una persona empuja una caja de 50 kg sobre una EJEMPLO: Una persona empuja una caja de 50 kg sobre una superficie horizontal lisa aplicando una fuerza de 30 Nt. Determine superficie horizontal lisa aplicando una fuerza de 30 Nt. Determine la aceleración de la caja. la aceleración de la caja.

La única fuerza que está actuando sobre el eje de las La única fuerza que está actuando sobre el eje de las x x es la Fuerza es la Fuerza PP aplicada, además, tal fuerza es igual a la componente Paplicada, además, tal fuerza es igual a la componente Px x , por lo , por lo tanto:tanto:

despejando a la aceleración:despejando a la aceleración:

Diagrama de Cuerpo libre

N

PW

x+

y+

xx maF xx maP

26.05030

sm

kgN

mPa

Aplicaciones de las Leyes de NewtonAplicaciones de las Leyes de Newton

En este tipo de problemas donde no existe fricción, no es necesario En este tipo de problemas donde no existe fricción, no es necesario realizar la suma de fuerzas en el eje de las realizar la suma de fuerzas en el eje de las yy a menos que se a menos que se solicite.solicite.

Las fuerzas que actúan sobre el eje de las Las fuerzas que actúan sobre el eje de las yy son la Normal (positiva son la Normal (positiva hacia arriba) y el peso (negativo hacia abajo).hacia arriba) y el peso (negativo hacia abajo).

Como no hay movimiento en dicho eje, la aceleración aquí es cero Como no hay movimiento en dicho eje, la aceleración aquí es cero (no hay cambios de velocidad). Por lo tanto:(no hay cambios de velocidad). Por lo tanto:

ya que el peso es igual a la masa por la aceleración de la ya que el peso es igual a la masa por la aceleración de la gravedad.gravedad.

yy maF

ymaWN

0 WN

NsmkgmgWN 5.490)81.9(50 2


EJEMPLO.-EJEMPLO.- Del ejemplo anterior, la persona le aplica a la caja la misma Del ejemplo anterior, la persona le aplica a la caja la misma fuerza pero haciendo un ángulo de 200 con respecto a la horizontal. fuerza pero haciendo un ángulo de 200 con respecto a la horizontal. Determine la aceleración que tal fuerza le produce a la caja.Determine la aceleración que tal fuerza le produce a la caja.

donde las componentes rectangulares de donde las componentes rectangulares de PP se determinan a partir del se determinan a partir del triángulo que se forma:triángulo que se forma:

Aplicando la suma de fuerzas en Aplicando la suma de fuerzas en x:x:


N P

W

x+

y+

200

Px

Py

NNNPx 19.28)9396.0(30)20(cos30cos 0 P

NNsenNsenPy 26.10)342.0(30)20(30 0 P


xx maF

xx maP

25638.050

19.28sm

kgN

mP

a xx

Como se puede observar de los dos resultados, la aceleración máxima se obtiene cuando la fuerza aplicada es horizontal. A medida que aumentamos el ángulo de aplicación de la fuerza, la aceleración disminuye.

Aplicaciones de las Leyes de NewtonAplicaciones de las Leyes de NewtonEJEMPLOEJEMPLO: Del mismo problema pero cuando la caja es subida : Del mismo problema pero cuando la caja es subida

por un plano inclinado 20por un plano inclinado 2000 con respecto a la horizontal. con respecto a la horizontal.


NP

W

x+

y+

200

200

Wy

Wx

Aplicaciones de las Leyes de NewtonAplicaciones de las Leyes de NewtonSuma de fuerzas en xSuma de fuerzas en x Suma de fuerzas en ySuma de fuerzas en y

xx maF xx maWP

xmasenmgP

mmgsenPax

kg

sensmkgN

ax 50

20)81.9(5030 02

kgnNax 50

76.16730

kgNax 50

76.137

275.2smax

ymaFy ).( ejeesteenmovhaynomaWN yy

0cos mgN

cosmgN

02 20cos)819(50

smkgN

NtN 919.460


Como se obtiene un valor negativo para la aceleración, implica que la Como se obtiene un valor negativo para la aceleración, implica que la dirección de movimiento que supusimos era incorrecta, es decir que el dirección de movimiento que supusimos era incorrecta, es decir que el cuerpo en lugar de subir baja. Lo anterior podemos reforzarlo si cuerpo en lugar de subir baja. Lo anterior podemos reforzarlo si analizamos las fuerzas (o componentes) que actúan en el eje analizamos las fuerzas (o componentes) que actúan en el eje xx..La componente del peso es:La componente del peso es:

y la fuerza aplicada y la fuerza aplicada PP tiene un valor de: tiene un valor de:P =P = 30 30 NtNt..

Como la componente del peso es mayor que la fuerza aplicada, la Como la componente del peso es mayor que la fuerza aplicada, la dirección de la resultante de ambas tendrá esa misma dirección. dirección de la resultante de ambas tendrá esa misma dirección.

Lo cual nos lleva al siguiente ejemplo.Lo cual nos lleva al siguiente ejemplo.

NtsensmkgsenmgWx 76.167)20)(81.9(50 0

2


EJEMPLOEJEMPLO:: Del mismo problema anterior, ¿ cuál debe de ser la Del mismo problema anterior, ¿ cuál debe de ser la magnitud de la fuerza aplicada para poder sostener al cuerpo magnitud de la fuerza aplicada para poder sostener al cuerpo sobre el plano inclinado?sobre el plano inclinado?En este caso, la caja estaría en equilibrio, es decir en reposo, por lo En este caso, la caja estaría en equilibrio, es decir en reposo, por lo que la aceleración que la aceleración aaxx = 0 = 0 y y aay y = 0 = 0 cconsecuentemente,onsecuentemente,P - WP - Wxx = 0 = 0 P - mg sen P - mg sen = 0 = 0P = mg sen P = mg sen P = 167.76 P = 167.76 NtNt

EJEMPLOEJEMPLO:: Del mismo problema, si deseo subir la caja con Del mismo problema, si deseo subir la caja con velocidad constante, ¿qué fuerza debo aplicar?velocidad constante, ¿qué fuerza debo aplicar?En este caso, el cuerpo se estaría moviendo pero con velocidad En este caso, el cuerpo se estaría moviendo pero con velocidad constante, es decir que nuevamente la aceleración sería nula por lo constante, es decir que nuevamente la aceleración sería nula por lo que la fuerza necesaria sería igual a la componente del peso.que la fuerza necesaria sería igual a la componente del peso.P = WP = Wxx = 167.76 = 167.76 NtNt

Aplicaciones de las Leyes de NewtonAplicaciones de las Leyes de NewtonEJEMPLO:EJEMPLO: Si deseo subir la caja Si deseo subir la caja con una aceleración de 2 m/scon una aceleración de 2 m/s2 2

¿Qué fuerza debo de aplicar?¿Qué fuerza debo de aplicar?

EJEMPLO:EJEMPLO: ¿Qué tan grande es esta ¿Qué tan grande es esta fuerza?fuerza?Para darnos una idea de que tan Para darnos una idea de que tan grande es ésta fuerza, debemos de grande es ésta fuerza, debemos de compararla con algo que nos sea compararla con algo que nos sea familiar, por ejemplo, para levantar a familiar, por ejemplo, para levantar a una persona que pesa 80 kg necesito una persona que pesa 80 kg necesito aplicar una fuerza de:aplicar una fuerza de:F = mg = 80 kg (9.81m/sF = mg = 80 kg (9.81m/s22) = 784.1 ) = 784.1 NtNt


N P

W

x+

y+

200

200

Wy

Wx

xx maF 0 xF

xx maWP

xx WmaP

022 20)81.9(50)2(50 sen

smkg

smkgP

NtP 76.267

Aplicaciones de las Leyes de NewtonAplicaciones de las Leyes de NewtonEJEMPLO:EJEMPLO: Si el cuerpo parte del reposo y el plano tiene una Si el cuerpo parte del reposo y el plano tiene una longitud de 25 m. ¿Cuanto tiempo se invierte en subir la caja?, longitud de 25 m. ¿Cuanto tiempo se invierte en subir la caja?, ¿Cuál será su velocidad al llegar a la parte alta del plano?¿Cuál será su velocidad al llegar a la parte alta del plano?Este ya es un problema de cinemática, por lo que tendremos que Este ya es un problema de cinemática, por lo que tendremos que usar las ecuaciones de movimiento rectilíneo uniformemente usar las ecuaciones de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.acelerado.

x = xx = x00 + v + v00 t + t + ½a t½a t22

puesto que la posición inicial es cero en la base del plano y como puesto que la posición inicial es cero en la base del plano y como parte del reposo,parte del reposo,

x = x = ½a t½a t22

despejando el tiempo:despejando el tiempo:

a velocidad se determina a partir de la ecuación:a velocidad se determina a partir de la ecuación:v = vv = v00 + at + at

ss

smm

axt 525

2

)25(22 2

2

sms

smv 10)5(2 2

Dinámica Segunda Parte (Fricción)Dinámica Segunda Parte (Fricción)INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN

Una de las principales fuerzas que existen en la naturaleza son las Una de las principales fuerzas que existen en la naturaleza son las fuerzas de fricción o de rozamiento.fuerzas de fricción o de rozamiento.

Si no existiesen tales fuerzas, nos sería imposible caminar, sostener o Si no existiesen tales fuerzas, nos sería imposible caminar, sostener o agarrar objetos, en pocas palabras, sería un mundo inanimado ya que agarrar objetos, en pocas palabras, sería un mundo inanimado ya que no sería posible el movimiento. no sería posible el movimiento.

Para darnos una idea de lo anterior, imagínese que se encuentra en el Para darnos una idea de lo anterior, imagínese que se encuentra en el centro de un lago congelado al cual se le vertió aceite lubricante en su centro de un lago congelado al cual se le vertió aceite lubricante en su superficie, en esas condiciones, la superficie se puede considerar lisa superficie, en esas condiciones, la superficie se puede considerar lisa y sin rozamiento. y sin rozamiento.

¿Considera Usted que puede salir de ahí?¿Considera Usted que puede salir de ahí?

La respuesta inmediata que le surge tal vez sería que no, ya que al La respuesta inmediata que le surge tal vez sería que no, ya que al intentar caminar empezaría a resbalar o a patinar y se caería por no intentar caminar empezaría a resbalar o a patinar y se caería por no tener apoyo. Si su respuesta es esa (que no), es que no lo meditó bien tener apoyo. Si su respuesta es esa (que no), es que no lo meditó bien y no ésta aplicando la tercera ley de Newton, lo único que tendría que y no ésta aplicando la tercera ley de Newton, lo único que tendría que hacer es soplar.hacer es soplar.

Fricción estática ( fFricción estática ( fs s ))Donde el subíndice Donde el subíndice ss proviene de la palabra proviene de la palabra ""staticsstatics"" cuyo significado es cuyo significado es reposo o estático. reposo o estático. Las fuerzas de rozamiento se dan entre un par de superficies secas no Las fuerzas de rozamiento se dan entre un par de superficies secas no lubricadas que están en contacto mutuo, lubricadas que están en contacto mutuo, son paralelas a las superficiesson paralelas a las superficies en contactoen contacto yy por lo general por lo general se oponen a la dirección de movimiento (no se oponen a la dirección de movimiento (no siempre ocurre así)siempre ocurre así). . Si dos cuerpos están en contacto pero no existe fuerza aplicada a uno Si dos cuerpos están en contacto pero no existe fuerza aplicada a uno de ellos, no hay fuerza de rozamiento. de ellos, no hay fuerza de rozamiento. Las fuerzas de rozamiento aparecen en el momento en que se aplican Las fuerzas de rozamiento aparecen en el momento en que se aplican fuerzas, cuando un cuerpo está en reposo, la fuerza de rozamiento fuerzas, cuando un cuerpo está en reposo, la fuerza de rozamiento empieza a incrementarse en la misma medida en que aumentamos la empieza a incrementarse en la misma medida en que aumentamos la fuerza aplicada.fuerza aplicada.Para ilustrar lo anterior, pongamos el siguiente ejemplo: Tenemos un Para ilustrar lo anterior, pongamos el siguiente ejemplo: Tenemos un camión y queremos moverlo. camión y queremos moverlo. Viene una persona, le aplica una cierta fuerza y se observa que no Viene una persona, le aplica una cierta fuerza y se observa que no puede moverlo. Si aplicásemos la segunda ley de Newton, al aplicar una puede moverlo. Si aplicásemos la segunda ley de Newton, al aplicar una fuerza, ésta debería de producir una aceleración, pero se observó que el fuerza, ésta debería de producir una aceleración, pero se observó que el camión no se movió, por lo tanto inferimos que existe una fuerza de camión no se movió, por lo tanto inferimos que existe una fuerza de igual magnitud y en sentido contrario a la fuerza aplicada, de tal forma igual magnitud y en sentido contrario a la fuerza aplicada, de tal forma que se está anulando. Tal fuerza es la fuerza de rozamiento estática.que se está anulando. Tal fuerza es la fuerza de rozamiento estática.

Fricción estática ( fFricción estática ( fs s ))Viene otra persona a ayudarle a la primera, (supongamos que Viene otra persona a ayudarle a la primera, (supongamos que ambas ejercen la misma fuerza) de tal forma que ambos empujan ambas ejercen la misma fuerza) de tal forma que ambos empujan con una fuerza doble que la anterior. Sin embargo, el camión sigue con una fuerza doble que la anterior. Sin embargo, el camión sigue sin moverse. De ello inferimos que al aumentar la fuerza aplicada, sin moverse. De ello inferimos que al aumentar la fuerza aplicada, aumento también la fuerza de fricción.aumento también la fuerza de fricción.Viene una tercera persona y empuja también con la misma fuerza. Viene una tercera persona y empuja también con la misma fuerza. El camión sigue sin moverse. La fuerza de rozamiento vuelve a El camión sigue sin moverse. La fuerza de rozamiento vuelve a incrementarse.incrementarse.Viene una cuarta persona y se observa que el camión empieza a Viene una cuarta persona y se observa que el camión empieza a moverse, primero muy lentamente y después más rápidamente.moverse, primero muy lentamente y después más rápidamente.En la transición en que el camión pasa del reposo al movimiento, la En la transición en que el camión pasa del reposo al movimiento, la fuerza de rozamiento adquiere su máximo valor. Dicho valor fuerza de rozamiento adquiere su máximo valor. Dicho valor corresponde a la mínima fuerza necesaria para iniciar el corresponde a la mínima fuerza necesaria para iniciar el movimiento. Todo lo anterior se ilustra en los siguientes dibujos:movimiento. Todo lo anterior se ilustra en los siguientes dibujos:

Fricción estática ( fFricción estática ( fs s ))

F = m a x x

F = m a (forma vectorial)(forma escalar)

sistema Observación del sistema

Diagráma decuerpo libre

x

y

no hay mov.

Aplicación de la Segunda ley

F - f = 0 a s F = f a s (a = 0 ) x

N

W

s f

no hay mov.no hay mov.

F = m a x x

F´- f´ = 0 a s (a = 0 ) x F´= f´

no hay mov.

a s con F´ = 2 Fa a

F´ s f´

N

W

x

y

a

F a

F´´ s f´´

N

W

x

y

a

F = m a x x

F´´- f´´ = 0 a s (a = 0 ) x F´´= f´´

no hay mov.

a s con F´´ = 3 Fa a

F´´´ s f´´´

N

W

x

y

a

F = m a x x

F´´´- f´´´ = 0 a s

F´´´ = f´´´ a

Transicción entre reposoy mov., la aceleración se considera nula. En éste momento, la fuerza de rozamiento adquiere su máximo valor, la cual corresponde a la mínimafuerza aplicada para ini-ciar el movimiento.

min. max.s

Fricción cinética ( fFricción cinética ( fk k ))Al igual que la fuerza de rozamiento estática, la de rozamiento Al igual que la fuerza de rozamiento estática, la de rozamiento cinética también se da entre un par de superficies secas no cinética también se da entre un par de superficies secas no lubricadas que se encuentran en movimiento relativo una con lubricadas que se encuentran en movimiento relativo una con respecto a la otra, su dirección es opuesta a la dirección del respecto a la otra, su dirección es opuesta a la dirección del movimiento. movimiento. En la última ilustración del dibujo anterior, con las cuatro personas En la última ilustración del dibujo anterior, con las cuatro personas empujando el camión con la misma fuerza con la que se inició el empujando el camión con la misma fuerza con la que se inició el movimiento, éste empieza a moverse muy lentamente, pero si movimiento, éste empieza a moverse muy lentamente, pero si seguimos ejerciendo esa misma fuerza, observamos que la seguimos ejerciendo esa misma fuerza, observamos que la velocidad empieza a incrementarse paulatinamente, es decir, el velocidad empieza a incrementarse paulatinamente, es decir, el camión empieza a acelerarse de tal forma que después de unos camión empieza a acelerarse de tal forma que después de unos segundos, prácticamente iremos corriendo detrás de él. segundos, prácticamente iremos corriendo detrás de él. La fuerza de rozamiento persiste, pero pasa a ser una de La fuerza de rozamiento persiste, pero pasa a ser una de rozamiento cinético rozamiento cinético ffkk (donde el subíndice (donde el subíndice kk proviene de la palabra proviene de la palabra ""kinematicskinematics" " que significa movimiento). que significa movimiento). La experiencia nos indica que esta fuerza, es menor que la La experiencia nos indica que esta fuerza, es menor que la estática, ya que el camión empieza a acelerarse con la misma estática, ya que el camión empieza a acelerarse con la misma fuerza ejercida al comenzar el movimiento.fuerza ejercida al comenzar el movimiento.

Fricción cinética ( fFricción cinética ( fk k ))

y

W

N

xF´ a

F = m a x x

F´´´- f = ma a k x

x a = 0

a = x

F´´´- f a k m = 0

conComo a es diferentede cero, implica que

F´´´> f a k

x

F´´´ kf

N

x

y

a

4 personas

F = m a´ x x

a´ = x

F´´- f a k m = 0

Con 3 personas, la fuerza aplicada disminuye por lo que la aceleración (a´ < a )pero el camión sigue acele-rado.

2 personas

F´´

N

W

x

y

a

3 personas

kf

kf

Con 2 personas, la fuerza aplicadavuelve a disminuir, pero en este caso,se iguala con la fuerza de rozamientopor lo que no hay aceleración. Sinembargo, como el camión está en movimiento, se seguirá moviendopero con velocidad constante.

F = m a x x

F´- f = ma´´ a k x

a´´ = x mF´- f a k = 0

F´ = f a k

1 persona

W

N

xF´ a kf

En este caso,

a´´´ = x mF - f a k < 0

Con una persona, la fuerza derozamiento será mayor que lafuerza aplicada, por lo que el camión comenzará a disminuirla velocidad (frenarse) hasta que quede en reposo.

F < f a k

W

Fricción cinética ( fFricción cinética ( fk k ))Si empezamos a disminuir la fuerza aplicada, llegará un momento Si empezamos a disminuir la fuerza aplicada, llegará un momento en que ésta se iguale con la fuerza de rozamiento cinético, en cuyo en que ésta se iguale con la fuerza de rozamiento cinético, en cuyo caso la aceleración será igual a cero. caso la aceleración será igual a cero. Pero como el camión ya tiene una velocidad en dicho instante de Pero como el camión ya tiene una velocidad en dicho instante de tiempo, entonces se seguirá moviendo con esa misma velocidad tiempo, entonces se seguirá moviendo con esa misma velocidad (movimiento rectilíneo uniforme). (movimiento rectilíneo uniforme). De continuar disminuyendo la fuerza aplicada, entonces la de De continuar disminuyendo la fuerza aplicada, entonces la de rozamiento cinético será mayor, por lo que nuevamente el camión rozamiento cinético será mayor, por lo que nuevamente el camión entrará a un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado entrará a un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (desacelerado), disminuyendo su velocidad hasta quedar (desacelerado), disminuyendo su velocidad hasta quedar nuevamente en reposo. nuevamente en reposo. De lo anterior se concluye que:De lo anterior se concluye que:ffss > f > fkk

Coeficientes de Fricción Coeficientes de Fricción Veremos ahora de que dependen las fuerzas de rozamiento. Para ello, Veremos ahora de que dependen las fuerzas de rozamiento. Para ello, supongamos que cargamos el camión y que nuevamente queremos supongamos que cargamos el camión y que nuevamente queremos moverlo.moverlo.

Las figuras anteriores nos indican que entre mayor peso tenga el Las figuras anteriores nos indican que entre mayor peso tenga el camión, necesitaremos una mayor fuerza para poder moverlo, eso nos camión, necesitaremos una mayor fuerza para poder moverlo, eso nos indica que la fuerza de rozamiento a crecido en forma proporcional al indica que la fuerza de rozamiento a crecido en forma proporcional al peso del camión. Luego entonces, a grosso modo podemos afirmar peso del camión. Luego entonces, a grosso modo podemos afirmar que:que:La fuerza de rozamiento es proporcional al peso del camión.La fuerza de rozamiento es proporcional al peso del camión.

N

W

Ff

N

W

Ff

Coeficientes de Fricción Coeficientes de Fricción Sin embargo, como no hay movimiento en el eje vertical, el peso es igual a Sin embargo, como no hay movimiento en el eje vertical, el peso es igual a la fuerza normal y consecuentemente, la fuerza de rozamiento está la fuerza normal y consecuentemente, la fuerza de rozamiento está relacionada con dicha fuerza normal. relacionada con dicha fuerza normal.

Para ver esto, analicemos nuevamente el ejemplo anterior en los Para ver esto, analicemos nuevamente el ejemplo anterior en los siguientes casos:siguientes casos:

a) Camión en piso horizontal.a) Camión en piso horizontal.b) Camión en piso inclinadob) Camión en piso inclinado

i) de subida.i) de subida.ii) de bajada.ii) de bajada.

Coeficientes de Fricción Coeficientes de Fricción N

W

Ff

W

W x

W y

A l des c o mp on er e l pes o en s u s c omp on en t es rec t an gu l a r es , l a c omp on en t e en e l e je x s e s u maa la f uerza normal , por l o que laFuerza ap l ic ada ten drá que ser may or. Como en e l ej e vert ica ls igue s in haber mov imient o, la componente ver t ica l es igua l a f uerza nor mal , la cual d isminuye

f

W

W y

W x

N u ev amen te l a c o mp on en te v er t i c a l de l pes o es igu a l a la Fuer za nor mal ,pe r o l a c o mp on en t e d e l p es o en e l eje hor i zonta l l e ayu da a la f uerza ap l i cada, por lo qu e se requ ie r e de u n a f u erz a ap l i c ad a men or p a ra mov er e l c a mió n .

Coeficientes de Fricción Coeficientes de Fricción Por lo anterior, la fuerza de rozamiento, mas que proporcional al Por lo anterior, la fuerza de rozamiento, mas que proporcional al peso, decimos que es proporcional a la Fuerza normal.peso, decimos que es proporcional a la Fuerza normal.La constante de proporcionalidad depende de las superficies que La constante de proporcionalidad depende de las superficies que estén en contacto. Así por ejemplo, si el camión se encuentra en estén en contacto. Así por ejemplo, si el camión se encuentra en una superficie horizontal, no es lo mismo que tal superficie sea de una superficie horizontal, no es lo mismo que tal superficie sea de concreto, de tierra que de arena. Se requiere de una menor fuerza concreto, de tierra que de arena. Se requiere de una menor fuerza cuando se tienen como superficies en contacto cuando se tienen como superficies en contacto concreto-huleconcreto-hule que que cuando se tiene cuando se tiene tierra-huletierra-hule y una fuerza aún mayor cuando las y una fuerza aún mayor cuando las superficies son superficies son arena-hule.arena-hule.

Consecuentemente, la fuerza de rozamiento depende del par de Consecuentemente, la fuerza de rozamiento depende del par de superficies en contacto, tal dependencia es lo que denominamos superficies en contacto, tal dependencia es lo que denominamos coeficientes de rozamientocoeficientes de rozamiento. Cuando está en reposo es . Cuando está en reposo es estático estático ( ( mms s ) y en movimiento, ) y en movimiento, cinético cinético ( ( mmkk ). ). Generalmente, el coeficiente de rozamiento estático es mayor que Generalmente, el coeficiente de rozamiento estático es mayor que el cinético.el cinético.

mmss > > mmkk

Coeficientes de Fricción Coeficientes de Fricción Existen dos tipos de rozamiento, el que hemos analizado es el de Existen dos tipos de rozamiento, el que hemos analizado es el de rodamientorodamiento, el otro es el de , el otro es el de deslizamientodeslizamiento, siendo menor el de , siendo menor el de rodamiento que el de deslizamiento. Por ejemplo, no es lo mismo rodamiento que el de deslizamiento. Por ejemplo, no es lo mismo mover el camión sin freno (rodamiento) que cuando están puestos mover el camión sin freno (rodamiento) que cuando están puestos (deslizamiento).Adicionalmente a que las fuerzas de rozamiento (deslizamiento).Adicionalmente a que las fuerzas de rozamiento son proporcionales a la fuerza normal y a las superficies en son proporcionales a la fuerza normal y a las superficies en contacto, dichas fuerzas son aproximadamente independientes del contacto, dichas fuerzas son aproximadamente independientes del área de contacto. Para ello analicemos los siguientes dibujos:área de contacto. Para ello analicemos los siguientes dibujos:

Coeficientes de Fricción Coeficientes de Fricción El bloque tiene el mismo peso, independientemente de como se El bloque tiene el mismo peso, independientemente de como se coloque, si de lado, de canto o parado, las tres áreas en las que se coloque, si de lado, de canto o parado, las tres áreas en las que se apoya son diferentes, el área Aapoya son diferentes, el área A11 es mayor que el área es mayor que el área A2A2, y ésta a , y ésta a su vez es mayor que el área Asu vez es mayor que el área A33. . La Fuerza aplicada para moverlo es la misma, debido a que al La Fuerza aplicada para moverlo es la misma, debido a que al apoyarse el bloque en un área mayor, la presión que éste ejerce apoyarse el bloque en un área mayor, la presión que éste ejerce sobre la superficie se reduce, y al apoyarse en un área menor, la sobre la superficie se reduce, y al apoyarse en un área menor, la presión que ejerce sobre la superficie aumenta. presión que ejerce sobre la superficie aumenta. Esto hace que el área efectiva de apoyo sea la misma Esto hace que el área efectiva de apoyo sea la misma independientemente de como se coloque el bloque, ya que al estar independientemente de como se coloque el bloque, ya que al estar apoyado en una mayor área, las irregularidades (picos) de las apoyado en una mayor área, las irregularidades (picos) de las superficies no son alteradas, en tanto que al apoyarse en un área superficies no son alteradas, en tanto que al apoyarse en un área menor, si se afectan las irregularidades, quebrándose y menor, si se afectan las irregularidades, quebrándose y aumentando el área efectiva de apoyo. aumentando el área efectiva de apoyo. Lo anterior se explica mejor en los siguientes dibujos a nivel Lo anterior se explica mejor en los siguientes dibujos a nivel microscópico.microscópico.

Coeficientes de Fricción Coeficientes de Fricción

puntos de apoyo

mayor área distribuída en mayor puntos de apoyo, haciendo una área efectiva de apoyo A´

menor área distribuída en menorpuntos de apoyo (pero con mayorárea) haciendo una área efectiva de apoyo A¨

Coeficientes de Fricción Coeficientes de Fricción Resumiendo, las fuerzas de fricción son directamente Resumiendo, las fuerzas de fricción son directamente proporcionales a la fuerza normal, donde la constante de proporcionales a la fuerza normal, donde la constante de proporcionalidad son los coeficientes de rozamiento. Lo anterior proporcionalidad son los coeficientes de rozamiento. Lo anterior expresado en forma de ecuación matemática se reduce a:expresado en forma de ecuación matemática se reduce a:fuerza de rozamiento estática:fuerza de rozamiento estática:

ffss ≤ ≤ mmss

fuerza de rozamiento cinética:fuerza de rozamiento cinética:

ffkk = = mmkk

Donde el signo menor (< ) en la de rozamiento estático indica que Donde el signo menor (< ) en la de rozamiento estático indica que esta fuerza crece a medida que aumentamos la fuerza aplicada y el esta fuerza crece a medida que aumentamos la fuerza aplicada y el signo igual ( = ) es cuando la fuerza de rozamiento estática signo igual ( = ) es cuando la fuerza de rozamiento estática adquiere su máximo valor, siendo éste justo en el instante en que adquiere su máximo valor, siendo éste justo en el instante en que se va a iniciar el movimiento.se va a iniciar el movimiento.

Aplicación de FricciónAplicación de FricciónEJEMPLO: Determinar el coeficiente de rozamiento estático entre EJEMPLO: Determinar el coeficiente de rozamiento estático entre un tablón y un ladrillo.un tablón y un ladrillo.Para determinar el coeficiente, se realiza el siguiente experimento: Para determinar el coeficiente, se realiza el siguiente experimento: Uno de los extremos del tablón se apoya en un cuerpo fijo para Uno de los extremos del tablón se apoya en un cuerpo fijo para evitar que resbale. Con el ladrillo colocado en el otro extremo, evitar que resbale. Con el ladrillo colocado en el otro extremo, gradualmente se va levantando el tablón y se deja de levantar gradualmente se va levantando el tablón y se deja de levantar cuando se observa que el ladrillo empieza a deslizarse.cuando se observa que el ladrillo empieza a deslizarse.Analicemos el experimento mediante los siguientes dibujos.Analicemos el experimento mediante los siguientes dibujos.

N

w

El sistema se encuentra en reposoLas únicas Fuerzas que actúan sobreel ladrillo son la Fuerza normal y el peso, las cuales por la segunda ley deNewton son iguales. Aún no se tienela fuerza de rozamiento estática.

Aplicación de FricciónAplicación de FricciónAl levantar el tablón, hacemos un diagrama de cuerpo libre, donde Al levantar el tablón, hacemos un diagrama de cuerpo libre, donde el eje horizontal se toma paralelo al tablón, de esta forma, la fuerza el eje horizontal se toma paralelo al tablón, de esta forma, la fuerza normal sigue apareciendo en el eje vertical en tanto que el peso normal sigue apareciendo en el eje vertical en tanto que el peso (que es vertical y hacia abajo) forma un ángulo de 5 grados con la (que es vertical y hacia abajo) forma un ángulo de 5 grados con la "vertical", de tal forma que en este sistema de referencia tiene una "vertical", de tal forma que en este sistema de referencia tiene una componente en el eje vertical y otra en el eje horizontal. Como no componente en el eje vertical y otra en el eje horizontal. Como no hay desplazamiento en ninguno de los ejes (de la observación hay desplazamiento en ninguno de los ejes (de la observación vemos que el bloque no se mueve), al aplicar la segunda ley de vemos que el bloque no se mueve), al aplicar la segunda ley de Newton, tenemos que la fuerza normal se equilibra con la Newton, tenemos que la fuerza normal se equilibra con la componente vertical del peso ( N = Wcomponente vertical del peso ( N = Wyy ). En el caso de la ). En el caso de la componente horizontal, ésta es la que debería hacer que el componente horizontal, ésta es la que debería hacer que el ladrillos se deslizara sobre el tablón, pero como no lo hace, ladrillos se deslizara sobre el tablón, pero como no lo hace, inferimos que existe una fuerza que se opone al movimiento, inferimos que existe una fuerza que se opone al movimiento, siendo ésta la fuerza de rozamiento estática ( fsiendo ésta la fuerza de rozamiento estática ( fs = W= Wxx = mg sen = mg sen ) )

N

W

f s

El tablón se levanta 5 grados

Aplicación de FricciónAplicación de Fricción

N

W

f s


Como sigue sin haber movimiento, nuevamente la fuerza Como sigue sin haber movimiento, nuevamente la fuerza normal se equilibra con la componente vertical del peso. La normal se equilibra con la componente vertical del peso. La componente horizontal del peso aumenta y componente horizontal del peso aumenta y consecuentemente la fuerza de rozamiento estática.consecuentemente la fuerza de rozamiento estática.


Se repiten las mismas aseveraciones anteriores, debido a que el ladrillo Se repiten las mismas aseveraciones anteriores, debido a que el ladrillo aún permanece en reposo. Hagámoslo ahora mediante ecuaciones.aún permanece en reposo. Hagámoslo ahora mediante ecuaciones.

WWxx - f - fss = m a = m axx N - WN - Wyy = ma = mayy

((Como no hay movimiento Como no hay movimiento aaxx = 0 ; a = 0 ; ayy = 0 ) = 0 )

WWxx - f - fs s = 0 = 0 N - WN - Wyy = 0 = 0WWxx = f = fs s N = WN = Wy y

mg sen mg sen = f = fss N = mg cos N = mg cos

N

W

f s


xx maF mayFy

Aplicación de FricciónAplicación de FricciónObsérvese que la fuerza de rozamiento estática depende del peso Obsérvese que la fuerza de rozamiento estática depende del peso del cuerpo (que es constante) y del ángulo de inclinación del del cuerpo (que es constante) y del ángulo de inclinación del tablón, el cual estamos variando. Lo mismo sucede con la fuerza tablón, el cual estamos variando. Lo mismo sucede con la fuerza normal. la cual disminuye a medida que aumentamos el ángulo (1 normal. la cual disminuye a medida que aumentamos el ángulo (1 < cos < cos < 0; cos 0 < 0; cos 000 = 1 , cos 90 = 1 , cos 9000 = 0). = 0).Ahora bien, existirá un ángulo al cual denominamos Ahora bien, existirá un ángulo al cual denominamos ss bajo el cual bajo el cual el ladrillo empieza a moverse. Cuando observemos esto, dejamos el ladrillo empieza a moverse. Cuando observemos esto, dejamos de levantar el tablón y con un transportador medimos el ángulo.de levantar el tablón y con un transportador medimos el ángulo.

f s

El tablón se levanta grados s

s

W s

N

se inicia el movimiento


WWxx - f - fss = ma = maxx N - WN - Wyy = ma = mayy

(Como apenas se va a inciar el mov. a(Como apenas se va a inciar el mov. axx = 0 ; a = 0 ; ayy = 0 ) = 0 )

WWx x - f- fss = 0 = 0 N - Wy = 0N - Wy = 0WWxx = f = fss N = WN = Wyy mg senmg senss = f = fss N = mg cos N = mg cos ss PeroPero FFss = = mmssN N ((adquiere el máximo justo cuando se inicia el movimiento)adquiere el máximo justo cuando se inicia el movimiento)

f s

El tablón se levanta grados s

s

W s

N

se inicia el movimiento

xx maF yy maF

Aplicación de FricciónAplicación de Fricciónsustituyendo:sustituyendo:mg sen mg sen ss = = mmssN N sustituyendo nuevamente:sustituyendo nuevamente:mg sen mg sen ss = = mmssmg cos mg cos ss

despejando:despejando:mmss = tan = tan ss

Por lo que para medir el coeficiente de rozamiento estático entre Por lo que para medir el coeficiente de rozamiento estático entre cualquier par de superficies, basta con colocar una encima de la otra y cualquier par de superficies, basta con colocar una encima de la otra y levantar gradualmente la inferior, deteniéndonos y midiendo el ángulo levantar gradualmente la inferior, deteniéndonos y midiendo el ángulo bajo el cual se inicia el movimiento. A éste ángulo le sacamos la bajo el cual se inicia el movimiento. A éste ángulo le sacamos la tangente y listo. Ya tenemos el coeficiente de rozamiento estático.tangente y listo. Ya tenemos el coeficiente de rozamiento estático.

Para el caso del Para el caso del coeficiente de rozamiento cinéticocoeficiente de rozamiento cinético, se procede de igual , se procede de igual manera, pero resulta problemático debido a que manera, pero resulta problemático debido a que debemos medir el debemos medir el ánguloángulo ( ( = = kk ) bajo el cual el ) bajo el cual el cuerpo superior deslizacuerpo superior desliza sobre el inferior sobre el inferior con velocidad constantecon velocidad constante..

Todos los problemas con rozamiento, se resuelven de igual manera que Todos los problemas con rozamiento, se resuelven de igual manera que los problemas sin rozamiento vistos en las aplicaciones de las leyes de los problemas sin rozamiento vistos en las aplicaciones de las leyes de Newton, la única diferencia es que debemos de incorporar una nueva Newton, la única diferencia es que debemos de incorporar una nueva fuerza (fuerza de rozamiento estática o cinética según sea el caso).fuerza (fuerza de rozamiento estática o cinética según sea el caso).

Aplicación de Fricción Aplicación de Fricción EJEMPLO: Determine la fuerza necesaria que debe de ejercer una EJEMPLO: Determine la fuerza necesaria que debe de ejercer una persona para hacer que un bloque de 40 kg empiece a moverse persona para hacer que un bloque de 40 kg empiece a moverse hacia arriba sobre un plano inclinado 300 con respecto a la hacia arriba sobre un plano inclinado 300 con respecto a la horizontal, si el coeficiente de rozamiento estático entre ambas horizontal, si el coeficiente de rozamiento estático entre ambas superficies es de 0.60. Una vez iniciado el movimiento, con esa superficies es de 0.60. Una vez iniciado el movimiento, con esa misma fuerza aplicada, determine la aceleración del bloque si el misma fuerza aplicada, determine la aceleración del bloque si el coeficiente de rozamiento cinético es de 0.40. Y por último, coeficiente de rozamiento cinético es de 0.40. Y por último, determine la fuerza necesaria para que el bloque se deslice hacia determine la fuerza necesaria para que el bloque se deslice hacia arriba con velocidad constante.arriba con velocidad constante.

N

W

W x W y

P

f s

Aplicación de FricciónAplicación de FricciónPara que empiece a moverse:Para que empiece a moverse:De la aplicación de la segunda ley al diagrama de cuerpo libre De la aplicación de la segunda ley al diagrama de cuerpo libre tenemos que:tenemos que: FFx x = ma= max x

P - fP - fss - W - Wxx = 0 = 0 (el cuerpo está en reposo, (el cuerpo está en reposo, aaxx = 0 = 0 ) )P = fP = fss + W + Wx x P = P = mmssN + mg sen N + mg sen De la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerza De la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerza normal.normal. FFyy = ma = mayy N - WN - Wyy = 0 = 0 (el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical (el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical aayy= 0= 0 ) )N = mg cos N = mg cos

Aplicación de FricciónAplicación de Fricciónsustituyendo en la expresión de P encontrada en la sumatoria de sustituyendo en la expresión de P encontrada en la sumatoria de fuerzas en el eje "horizontal" (eje x)fuerzas en el eje "horizontal" (eje x)

P = P = ss mg cos mg cos + mg sen + mg sen P = mg ( P = mg ( s s cos cos + sen + sen ) )

sustituyendo valoressustituyendo valoresP = ( 40kg )( 9.81m/sP = ( 40kg )( 9.81m/s22 )( 0.6 cos 30 )( 0.6 cos 3000 + sen 30 + sen 3000 ) )P = 400.09 NtP = 400.09 Nt

El cuerpo ya se está moviendo y el coeficiente pasa a ser uno de El cuerpo ya se está moviendo y el coeficiente pasa a ser uno de rozamiento cinético, con esa misma fuerza aplicada de 400.09 N el rozamiento cinético, con esa misma fuerza aplicada de 400.09 N el cuerpo se acelera, la aceleración es:cuerpo se acelera, la aceleración es: FFx x = ma= maxx

P - fP - fkk - W - Wxx = ma = maxx

mWfPa xk

mmgsenNPa k

Aplicación de FricciónAplicación de FricciónDe la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerza De la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerza normal.normal. FFyy = ma = may y

N - WN - Wyy = 0 = 0

(el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical (el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical aayy= 0= 0 ) )N = mg cos N = mg cos

sustituyendo en la expresión de la aceleración encontrada en la sustituyendo en la expresión de la aceleración encontrada en la sumatoria de fuerzas en el eje "horizontal" (eje x)sumatoria de fuerzas en el eje "horizontal" (eje x)

sustituyendo valoressustituyendo valoresa = 1.69 m/sa = 1.69 m/s22

Ahora determinaremos la fuerza necesaria para que el cuerpo se siga Ahora determinaremos la fuerza necesaria para que el cuerpo se siga moviendo hacia arriba con velocidad constantemoviendo hacia arriba con velocidad constante FFx x = ma= max x

P - fP - fkk - W - Wxx = 0 = 0 ((el cuerpo está moviéndose con velocidad constanteel cuerpo está moviéndose con velocidad constante , a, axx = 0 ) = 0 )P = fP = fkk + W + Wx x

mmgsenmgPa k cos

Aplicación de FricciónAplicación de FricciónP = P = mmkk N + mg sen N + mg sen

De la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerza De la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerza normal.normal.

FFyy = ma = may y

N - WN - Wy y = 0= 0

(el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical a(el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical ayy = 0 ) = 0 )N = mg cos N = mg cos sustituyendo en la expresión de P encontrada en la sumatoria de sustituyendo en la expresión de P encontrada en la sumatoria de fuerzas en el eje "horizontal" (eje x)fuerzas en el eje "horizontal" (eje x)

P = P = mmkk N + mg sen N + mg sen

P = P = mmkk mg cos mg cos + mg sen + mg sen

P = P = mgmg ( ( mmkk cos cos + sen + sen ))sustituyendo valoressustituyendo valoresP = ( 40 kg )( 9.81m/sP = ( 40 kg )( 9.81m/s22 )( 0.4 cos 30 )( 0.4 cos 3000 + sen 30 + sen 3000 ) )

P = 332.13 N.P = 332.13 N.

Engineering

Dinamica friccion