Jednostavni kamatni račun

Jednostavni kamatni raµcun

doc.dr.sc. Nikola Koceic Bilan

ASPIRA

2009.

(Aspira) 2009. 1 / 21

Osnovni pojmovi

Kapital u �nancijskoj matematici oznaµcava neki iznos novca kojegaobiµcno zaokruµzujemo na dvije decimale (jer je jedna stotina osnovnejedinice valute najmanji njezin dio koji se koristi u platnom prometu)

U trenutku aktiviranja kapitala iznos kapitala nazivamo poµcetnimkapitalom ili glavnicom i oznaµcujemo sa C0 (kapital u poµcetnom,0-tom trenutku)

Od tog trenutka osoba ili institucija koja koristi kapital C0 moravlasniku kapitala placati kamate ili interes. Ukupne kamate zapoµcetni kapital C0 oznaµcujemo sa I .

(Aspira) 2009. 2 / 21

Osnovni pojmovi

Kapital u �nancijskoj matematici oznaµcava neki iznos novca kojegaobiµcno zaokruµzujemo na dvije decimale (jer je jedna stotina osnovnejedinice valute najmanji njezin dio koji se koristi u platnom prometu)

U trenutku aktiviranja kapitala iznos kapitala nazivamo poµcetnimkapitalom ili glavnicom i oznaµcujemo sa C0 (kapital u poµcetnom,0-tom trenutku)

Od tog trenutka osoba ili institucija koja koristi kapital C0 moravlasniku kapitala placati kamate ili interes. Ukupne kamate zapoµcetni kapital C0 oznaµcujemo sa I .

(Aspira) 2009. 2 / 21

Osnovni pojmovi

Kapital u �nancijskoj matematici oznaµcava neki iznos novca kojegaobiµcno zaokruµzujemo na dvije decimale (jer je jedna stotina osnovnejedinice valute najmanji njezin dio koji se koristi u platnom prometu)

U trenutku aktiviranja kapitala iznos kapitala nazivamo poµcetnimkapitalom ili glavnicom i oznaµcujemo sa C0 (kapital u poµcetnom,0-tom trenutku)

Od tog trenutka osoba ili institucija koja koristi kapital C0 moravlasniku kapitala placati kamate ili interes. Ukupne kamate zapoµcetni kapital C0 oznaµcujemo sa I .

(Aspira) 2009. 2 / 21

Kamate se uvijek obraµcunavaju za neki osnovni vremenski interval kojinazivamo razdoblje ukamacivanja ili razdoblje kapitalizacije ilijediniµcno obraµcunsko razdoblje �to se propisuje zakonom ili de�nirau ugovoru. Razdoblje kapitalizacije najµce�ce je jedna godina, ali tomoµze biti i mjesec, kvartal ili bilo koji drugi vremenski interval.

Po isteku jediniµcnog obraµcunskog razdoblja vrijednost kapitala je

C1 = C0 + I

i nazivat cemo je konaµcni kapitalPod pojmom kamatna stopa ili kamatnjak podrazumijeva se iznoskoji se placa za 100 novµcanih jedinica za neki osnovni vremenskiinterval. Odatle dolazi i najµce�ca oznaka za kamatnu stopu, p(percent).

(Aspira) 2009. 3 / 21

Kamate se uvijek obraµcunavaju za neki osnovni vremenski interval kojinazivamo razdoblje ukamacivanja ili razdoblje kapitalizacije ilijediniµcno obraµcunsko razdoblje �to se propisuje zakonom ili de�nirau ugovoru. Razdoblje kapitalizacije najµce�ce je jedna godina, ali tomoµze biti i mjesec, kvartal ili bilo koji drugi vremenski interval.

Po isteku jediniµcnog obraµcunskog razdoblja vrijednost kapitala je

C1 = C0 + I

i nazivat cemo je konaµcni kapital

Pod pojmom kamatna stopa ili kamatnjak podrazumijeva se iznoskoji se placa za 100 novµcanih jedinica za neki osnovni vremenskiinterval. Odatle dolazi i najµce�ca oznaka za kamatnu stopu, p(percent).

(Aspira) 2009. 3 / 21

Kamate se uvijek obraµcunavaju za neki osnovni vremenski interval kojinazivamo razdoblje ukamacivanja ili razdoblje kapitalizacije ilijediniµcno obraµcunsko razdoblje �to se propisuje zakonom ili de�nirau ugovoru. Razdoblje kapitalizacije najµce�ce je jedna godina, ali tomoµze biti i mjesec, kvartal ili bilo koji drugi vremenski interval.

Po isteku jediniµcnog obraµcunskog razdoblja vrijednost kapitala je

C1 = C0 + I

i nazivat cemo je konaµcni kapitalPod pojmom kamatna stopa ili kamatnjak podrazumijeva se iznoskoji se placa za 100 novµcanih jedinica za neki osnovni vremenskiinterval. Odatle dolazi i najµce�ca oznaka za kamatnu stopu, p(percent).

(Aspira) 2009. 3 / 21

Obraµcun kamata za jediniµcno obraµcunsko razdoblje

Obraµcun kamata moµze se obavljati na kraju obraµcunskog razdoblja tj.po formuli

konacni kapital = pocetni kapital + kamate na pocetni kapital

U tom sluµcaju govorimo o dekurzivnom ukamacivanju, a kamteraµcunamo po formuli

I = C0 �p100

odnosno konaµcnu vrijednost po formuli

C1 = C0 + C0 �p100

= C0�1+

p100

�

Izraz r = 1+ p100 nazivamo dekurzivni kamatni faktor

(Aspira) 2009. 4 / 21

Obraµcun kamata za jediniµcno obraµcunsko razdoblje

Obraµcun kamata moµze se obavljati na kraju obraµcunskog razdoblja tj.po formuli

konacni kapital = pocetni kapital + kamate na pocetni kapital

U tom sluµcaju govorimo o dekurzivnom ukamacivanju, a kamteraµcunamo po formuli

I = C0 �p100

odnosno konaµcnu vrijednost po formuli

C1 = C0 + C0 �p100

= C0�1+

p100

�Izraz r = 1+ p

100 nazivamo dekurzivni kamatni faktor

(Aspira) 2009. 4 / 21

Obraµcun kamata moµze se obavljati na poµcetku obraµcunskog razdobljatj. po formuli

pocetni kapital = konacni kapital � kamate na konacni kapital

U tom sluµcaju govorimo o anticipativnom ukamacivanju.

Kod ovakve vrste ukamacivanja kamatnjak oznaµcujemo sa q i vrijedi

C0 = C1 � C1 �q100

�to povlaµci

C0 = C1

�100� q100

�i formulu za konaµcnu vrijednost

C1 = C0100

100� q

(Aspira) 2009. 5 / 21

Obraµcun kamata moµze se obavljati na poµcetku obraµcunskog razdobljatj. po formuli

pocetni kapital = konacni kapital � kamate na konacni kapital

U tom sluµcaju govorimo o anticipativnom ukamacivanju.Kod ovakve vrste ukamacivanja kamatnjak oznaµcujemo sa q i vrijedi

C0 = C1 � C1 �q100

�to povlaµci

C0 = C1

�100� q100

�i formulu za konaµcnu vrijednost

C1 = C0100

100� q

(Aspira) 2009. 5 / 21

Izraz ρ = 100100�q nazivamo anticipativni kamatni faktor

µZelimo li izraµcunati udio kamata u konaµcnoj vrijednosti C1 = C0 100100�q

iz izrazaC1 = C0 + C0

q100� q

je razvidno da su kamate kod anticipativnog ukamacivanja jednake

I = C0q

100� q

(Aspira) 2009. 6 / 21

Izraz ρ = 100100�q nazivamo anticipativni kamatni faktor

µZelimo li izraµcunati udio kamata u konaµcnoj vrijednosti C1 = C0 100100�q

iz izrazaC1 = C0 + C0

q100� q

je razvidno da su kamate kod anticipativnog ukamacivanja jednake

I = C0q

100� q

(Aspira) 2009. 6 / 21

Buduci je za p = q uvijek

q100� q >

p100

to izlazi da su kamate dobivene anticipativnim ukamacivanjem uvijekvece od kamata dobivenih dekurzivnim ukamacivanjem

ExampleIzraµcunajte konaµcnu vrijednost poµcetnog kapitala u iznosu 10000 novµcanihjedinica ako je posu�en duµzniku na godinu dana uz kamatnjak 8 i toposebno dekurzivnim a posebno anticipativnim ukamacivanjem.dekurzivno: C0 = 10000, p = 8,C1 = C0

�1+ p

100

�= 10000 � 1, 08 = 10800

anticipativno: q = 8,C1 = C0 100

100�q = 1000 �10092 = 10000 � 1, 086957 = 10869, 57

(Aspira) 2009. 7 / 21

Buduci je za p = q uvijek

q100� q >

p100

to izlazi da su kamate dobivene anticipativnim ukamacivanjem uvijekvece od kamata dobivenih dekurzivnim ukamacivanjem

ExampleIzraµcunajte konaµcnu vrijednost poµcetnog kapitala u iznosu 10000 novµcanihjedinica ako je posu�en duµzniku na godinu dana uz kamatnjak 8 i toposebno dekurzivnim a posebno anticipativnim ukamacivanjem.dekurzivno: C0 = 10000, p = 8,C1 = C0

�1+ p

100

�= 10000 � 1, 08 = 10800

anticipativno: q = 8,C1 = C0 100

100�q = 1000 �10092 = 10000 � 1, 086957 = 10869, 57

(Aspira) 2009. 7 / 21

ExerciseIzraµcunajte kamatnjak ako je pri dekurzivnom (odnosno anticipativnomukamacivanju) glavnica od 2500 narasla na 2750.

dekurzivno: C0 = 2500, C1 = 2750, p =?

2750 = 2500�1+ p

100

�) 2750

2500 = 1+p100 )

p100 =

27502500 � 1)

p100 =

0, 1) p = 10

anticipativno q =?

2750 = 2500 100100�q ) 100� q = 2500 � 1002750 ) 100� 25000

275 = q ) q =27500�25000

275 ) q = 2500275 ) q = 9, 09

Za dobiti jednaku konaµcnu vrijednost kapitala, uz identiµcnu uloµzenuglavnicu, kod dekurzivnog ukamacivanja je potreban veci kamatnjak.

ExerciseAko se anticipativnim ukamacivanjem uz kamatnjak q = 6 dobije konaµcnavrijednost C1 = 10000 izraµcunajte poµcetni kapital C0.10000 = C0 100

100�6 ) C0 = 10000 � 94100 ) C0 = 9400

(Aspira) 2009. 8 / 21

ExerciseIzraµcunajte kamatnjak ako je pri dekurzivnom (odnosno anticipativnomukamacivanju) glavnica od 2500 narasla na 2750.

dekurzivno: C0 = 2500, C1 = 2750, p =?

2750 = 2500�1+ p

100

�) 2750

2500 = 1+p100 )

p100 =

27502500 � 1)

p100 =

0, 1) p = 10

anticipativno q =?

2750 = 2500 100100�q ) 100� q = 2500 � 1002750 ) 100� 25000

275 = q ) q =27500�25000

275 ) q = 2500275 ) q = 9, 09

Za dobiti jednaku konaµcnu vrijednost kapitala, uz identiµcnu uloµzenuglavnicu, kod dekurzivnog ukamacivanja je potreban veci kamatnjak.

ExerciseAko se anticipativnim ukamacivanjem uz kamatnjak q = 6 dobije konaµcnavrijednost C1 = 10000 izraµcunajte poµcetni kapital C0.10000 = C0 100

100�6 ) C0 = 10000 � 94100 ) C0 = 9400

(Aspira) 2009. 8 / 21

ExerciseIzraµcunajte kamatnjak ako je pri dekurzivnom (odnosno anticipativnomukamacivanju) glavnica od 2500 narasla na 2750.

dekurzivno: C0 = 2500, C1 = 2750, p =?

2750 = 2500�1+ p

100

�) 2750

2500 = 1+p100 )

p100 =

27502500 � 1)

p100 =

0, 1) p = 10

anticipativno q =?

2750 = 2500 100100�q ) 100� q = 2500 � 1002750 ) 100� 25000

275 = q ) q =27500�25000

275 ) q = 2500275 ) q = 9, 09

Za dobiti jednaku konaµcnu vrijednost kapitala, uz identiµcnu uloµzenuglavnicu, kod dekurzivnog ukamacivanja je potreban veci kamatnjak.

ExerciseAko se anticipativnim ukamacivanjem uz kamatnjak q = 6 dobije konaµcnavrijednost C1 = 10000 izraµcunajte poµcetni kapital C0.10000 = C0 100

100�6 ) C0 = 10000 � 94100 ) C0 = 9400

(Aspira) 2009. 8 / 21

ExerciseIzraµcunajte kamatnjak ako je pri dekurzivnom (odnosno anticipativnomukamacivanju) glavnica od 2500 narasla na 2750.

dekurzivno: C0 = 2500, C1 = 2750, p =?

2750 = 2500�1+ p

100

�) 2750

2500 = 1+p100 )

p100 =

27502500 � 1)

p100 =

0, 1) p = 10

anticipativno q =?

2750 = 2500 100100�q ) 100� q = 2500 � 1002750 ) 100� 25000

275 = q ) q =27500�25000

275 ) q = 2500275 ) q = 9, 09

Za dobiti jednaku konaµcnu vrijednost kapitala, uz identiµcnu uloµzenuglavnicu, kod dekurzivnog ukamacivanja je potreban veci kamatnjak.

ExerciseAko se anticipativnim ukamacivanjem uz kamatnjak q = 6 dobije konaµcnavrijednost C1 = 10000 izraµcunajte poµcetni kapital C0.10000 = C0 100

100�6 ) C0 = 10000 � 94100 ) C0 = 9400

(Aspira) 2009. 8 / 21

ExerciseIzraµcunajte kamatnjak ako je pri dekurzivnom (odnosno anticipativnomukamacivanju) glavnica od 2500 narasla na 2750.

dekurzivno: C0 = 2500, C1 = 2750, p =?

2750 = 2500�1+ p

100

�) 2750

2500 = 1+p100 )

p100 =

27502500 � 1)

p100 =

0, 1) p = 10

anticipativno q =?

2750 = 2500 100100�q ) 100� q = 2500 � 1002750 ) 100� 25000

275 = q ) q =27500�25000

275 ) q = 2500275 ) q = 9, 09

Za dobiti jednaku konaµcnu vrijednost kapitala, uz identiµcnu uloµzenuglavnicu, kod dekurzivnog ukamacivanja je potreban veci kamatnjak.

ExerciseAko se anticipativnim ukamacivanjem uz kamatnjak q = 6 dobije konaµcnavrijednost C1 = 10000 izraµcunajte poµcetni kapital C0.10000 = C0 100

100�6 ) C0 = 10000 � 94100 ) C0 = 9400

(Aspira) 2009. 8 / 21

ExerciseIzraµcunajte kamatnjak ako je pri dekurzivnom (odnosno anticipativnomukamacivanju) glavnica od 2500 narasla na 2750.

dekurzivno: C0 = 2500, C1 = 2750, p =?

2750 = 2500�1+ p

100

�) 2750

2500 = 1+p100 )

p100 =

27502500 � 1)

p100 =

0, 1) p = 10

anticipativno q =?

2750 = 2500 100100�q ) 100� q = 2500 � 1002750 ) 100� 25000

275 = q ) q =27500�25000

275 ) q = 2500275 ) q = 9, 09

Za dobiti jednaku konaµcnu vrijednost kapitala, uz identiµcnu uloµzenuglavnicu, kod dekurzivnog ukamacivanja je potreban veci kamatnjak.

ExerciseAko se anticipativnim ukamacivanjem uz kamatnjak q = 6 dobije konaµcnavrijednost C1 = 10000 izraµcunajte poµcetni kapital C0.10000 = C0 100

100�6 ) C0 = 10000 � 94100 ) C0 = 9400

(Aspira) 2009. 8 / 21

ExerciseIzraµcunajte kamatnjak ako je pri dekurzivnom (odnosno anticipativnomukamacivanju) glavnica od 2500 narasla na 2750.

dekurzivno: C0 = 2500, C1 = 2750, p =?

2750 = 2500�1+ p

100

�) 2750

2500 = 1+p100 )

p100 =

27502500 � 1)

p100 =

0, 1) p = 10

anticipativno q =?

2750 = 2500 100100�q ) 100� q = 2500 � 1002750 ) 100� 25000

275 = q ) q =27500�25000

275 ) q = 2500275 ) q = 9, 09

Za dobiti jednaku konaµcnu vrijednost kapitala, uz identiµcnu uloµzenuglavnicu, kod dekurzivnog ukamacivanja je potreban veci kamatnjak.

ExerciseAko se anticipativnim ukamacivanjem uz kamatnjak q = 6 dobije konaµcnavrijednost C1 = 10000 izraµcunajte poµcetni kapital C0.10000 = C0 100

100�6 ) C0 = 10000 � 94100 ) C0 = 9400

(Aspira) 2009. 8 / 21

Obraµcun kamata za vi�e jediniµcnih obraµcunskih razdoblja

Ukoliko se glavnica C0 posudi na n jediniµcnih obraµcunskih razdobljauz odre�eni kamatnjak koji se odnosi na jedno obraµcunsko razdobljetada uvodimo sljedece oznake

C1 je konaµcni kapital po isteku prvog razdoblja, a I1 su kamate zaprvo razdoblje. Oµcito je C1 = C0 + I1.

Ci je konaµcni kapital po isteku i-tog jediniµcnog razdoblja, a Ii sukamate za i-to razdoblje. Vrijedi Ci = Ci�1 + Ii , i = 1, ..., n

Cn je konaµcna vrijednost kapitala po isteku svih n razdoblja, a I suukupne kamate u svih n razdoblja. Oµcito vrijedi

Cn = Cn�1 + In,

I = I1 + � � �+ In,Cn = C0 + I

(Aspira) 2009. 9 / 21

Obraµcun kamata za vi�e jediniµcnih obraµcunskih razdoblja

Ukoliko se glavnica C0 posudi na n jediniµcnih obraµcunskih razdobljauz odre�eni kamatnjak koji se odnosi na jedno obraµcunsko razdobljetada uvodimo sljedece oznake

C1 je konaµcni kapital po isteku prvog razdoblja, a I1 su kamate zaprvo razdoblje. Oµcito je C1 = C0 + I1.

Ci je konaµcni kapital po isteku i-tog jediniµcnog razdoblja, a Ii sukamate za i-to razdoblje. Vrijedi Ci = Ci�1 + Ii , i = 1, ..., n

Cn je konaµcna vrijednost kapitala po isteku svih n razdoblja, a I suukupne kamate u svih n razdoblja. Oµcito vrijedi

Cn = Cn�1 + In,

I = I1 + � � �+ In,Cn = C0 + I

(Aspira) 2009. 9 / 21

Obraµcun kamata za vi�e jediniµcnih obraµcunskih razdoblja

Ukoliko se glavnica C0 posudi na n jediniµcnih obraµcunskih razdobljauz odre�eni kamatnjak koji se odnosi na jedno obraµcunsko razdobljetada uvodimo sljedece oznake

C1 je konaµcni kapital po isteku prvog razdoblja, a I1 su kamate zaprvo razdoblje. Oµcito je C1 = C0 + I1.

Ci je konaµcni kapital po isteku i-tog jediniµcnog razdoblja, a Ii sukamate za i-to razdoblje. Vrijedi Ci = Ci�1 + Ii , i = 1, ..., n

Cn je konaµcna vrijednost kapitala po isteku svih n razdoblja, a I suukupne kamate u svih n razdoblja. Oµcito vrijedi

Cn = Cn�1 + In,

I = I1 + � � �+ In,Cn = C0 + I

(Aspira) 2009. 9 / 21

Obraµcun kamata za vi�e jediniµcnih obraµcunskih razdoblja

Ukoliko se glavnica C0 posudi na n jediniµcnih obraµcunskih razdobljauz odre�eni kamatnjak koji se odnosi na jedno obraµcunsko razdobljetada uvodimo sljedece oznake

C1 je konaµcni kapital po isteku prvog razdoblja, a I1 su kamate zaprvo razdoblje. Oµcito je C1 = C0 + I1.

Ci je konaµcni kapital po isteku i-tog jediniµcnog razdoblja, a Ii sukamate za i-to razdoblje. Vrijedi Ci = Ci�1 + Ii , i = 1, ..., n

Cn je konaµcna vrijednost kapitala po isteku svih n razdoblja, a I suukupne kamate u svih n razdoblja. Oµcito vrijedi

Cn = Cn�1 + In,

I = I1 + � � �+ In,Cn = C0 + I

(Aspira) 2009. 9 / 21

kamate za pojedino razdoblje moµzemo raµcunati na dva naµcina i to:

jednostavnim kamatnim raµcunomsloµzenim kamatnim raµcunomKod jednostavnog ukamacivanja kamate za sva razdoblja su isteI1 = � � � In i bez obzira na razdoblje na koje se odnose raµcunaju se napoµcetni kapital, odnosno ukupne kamate su I = nI1 i vrijedi

C1 = C0 + I1,

C2 = C1 + I1 = C0 + I1 + I1 = C0 + 2I1C3 = C2 + I1 = C0 + 2I1 + I1 = C0 + 3I1

...

Cn = Cn�1 + I1 = C0 + nI1

(Aspira) 2009. 10 / 21

kamate za pojedino razdoblje moµzemo raµcunati na dva naµcina i to:

jednostavnim kamatnim raµcunom

sloµzenim kamatnim raµcunomKod jednostavnog ukamacivanja kamate za sva razdoblja su isteI1 = � � � In i bez obzira na razdoblje na koje se odnose raµcunaju se napoµcetni kapital, odnosno ukupne kamate su I = nI1 i vrijedi

C1 = C0 + I1,

C2 = C1 + I1 = C0 + I1 + I1 = C0 + 2I1C3 = C2 + I1 = C0 + 2I1 + I1 = C0 + 3I1

...

Cn = Cn�1 + I1 = C0 + nI1

(Aspira) 2009. 10 / 21

kamate za pojedino razdoblje moµzemo raµcunati na dva naµcina i to:

jednostavnim kamatnim raµcunomsloµzenim kamatnim raµcunom

Kod jednostavnog ukamacivanja kamate za sva razdoblja su isteI1 = � � � In i bez obzira na razdoblje na koje se odnose raµcunaju se napoµcetni kapital, odnosno ukupne kamate su I = nI1 i vrijedi

C1 = C0 + I1,

C2 = C1 + I1 = C0 + I1 + I1 = C0 + 2I1C3 = C2 + I1 = C0 + 2I1 + I1 = C0 + 3I1

...

Cn = Cn�1 + I1 = C0 + nI1

(Aspira) 2009. 10 / 21

kamate za pojedino razdoblje moµzemo raµcunati na dva naµcina i to:

jednostavnim kamatnim raµcunomsloµzenim kamatnim raµcunomKod jednostavnog ukamacivanja kamate za sva razdoblja su isteI1 = � � � In i bez obzira na razdoblje na koje se odnose raµcunaju se napoµcetni kapital, odnosno ukupne kamate su I = nI1 i vrijedi

C1 = C0 + I1,

C2 = C1 + I1 = C0 + I1 + I1 = C0 + 2I1C3 = C2 + I1 = C0 + 2I1 + I1 = C0 + 3I1

...

Cn = Cn�1 + I1 = C0 + nI1

(Aspira) 2009. 10 / 21

kod sloµzenog kamatnog raµcuna kamate za i-to obraµcunsko razdobljese raµcunaju na Ci�1 konaµcnu vrijednost kapitala po isteku i � 1-vogobraµcunskog razdoblja.

Moµzemo reci da se kod sloµzenog ukamacivanja kamata za i-torazdoblje Ii pripisuje vrijednosti Ci�1 da bismo dobili konaµcnuvrijednost Ci po isteku i-tog razdoblja, ali kamatu Ii+1 za iduce,i + 1-vo, razdoblje, raµcunamo na vrijednost Ci , a ne stalno napoµcetnu vrijednost C0 kao kod jednostavnog ukamacivanja

Jednostavno ukamacivanje se u praksi primjenjuje kod �tednih uloga,µziro raµcuna, zateznih kamata, mjenica i sliµcno

(Aspira) 2009. 11 / 21

kod sloµzenog kamatnog raµcuna kamate za i-to obraµcunsko razdobljese raµcunaju na Ci�1 konaµcnu vrijednost kapitala po isteku i � 1-vogobraµcunskog razdoblja.

Moµzemo reci da se kod sloµzenog ukamacivanja kamata za i-torazdoblje Ii pripisuje vrijednosti Ci�1 da bismo dobili konaµcnuvrijednost Ci po isteku i-tog razdoblja, ali kamatu Ii+1 za iduce,i + 1-vo, razdoblje, raµcunamo na vrijednost Ci , a ne stalno napoµcetnu vrijednost C0 kao kod jednostavnog ukamacivanja

Jednostavno ukamacivanje se u praksi primjenjuje kod �tednih uloga,µziro raµcuna, zateznih kamata, mjenica i sliµcno

(Aspira) 2009. 11 / 21

kod sloµzenog kamatnog raµcuna kamate za i-to obraµcunsko razdobljese raµcunaju na Ci�1 konaµcnu vrijednost kapitala po isteku i � 1-vogobraµcunskog razdoblja.

Moµzemo reci da se kod sloµzenog ukamacivanja kamata za i-torazdoblje Ii pripisuje vrijednosti Ci�1 da bismo dobili konaµcnuvrijednost Ci po isteku i-tog razdoblja, ali kamatu Ii+1 za iduce,i + 1-vo, razdoblje, raµcunamo na vrijednost Ci , a ne stalno napoµcetnu vrijednost C0 kao kod jednostavnog ukamacivanja

Jednostavno ukamacivanje se u praksi primjenjuje kod �tednih uloga,µziro raµcuna, zateznih kamata, mjenica i sliµcno

(Aspira) 2009. 11 / 21

Jednostavni dekurzivni obraµcun kamata

Kod jednostavnog dekurzivnog ukamacivanja kamate za sva razdoblja suiste i iznose

I1 = I2 = � � � In = C0 �p100

Odmah se vidi da je ukupna kamata nakon n razdoblja jednaka

I = n � C0 �p100

a konaµcna vrijednost kapitala je

Cn = C0 + n � C0 �p100

= C0�1+ n � p

100

�.

Tako�er vrijedi da je konaµcna vrijednost kapitala po isteku i-tog razdobljajednaka

Ci = C0 + i � C0 �p100

.

(Aspira) 2009. 12 / 21

Jednostavni anticipativni obraµcun kamata

Kod jednostavnog anticipativnog ukamacivanja kamate za sva razdoblja suiste (raµcunaju se na konaµcnu vrijednost Cn) i iznose

I1 = I2 = � � � In = Cnq100

Odmah se vidi da je ukupna kamata nakon n razdoblja jednaka

I = n � Cnq100

a konaµcna vrijednost kapitala je Cn = C0 + I = C0 + n � Cn q100 )

Cn � n � Cn q100 = C0 ) Cn

�100�n�q100

�) Cn = 100

100�nqC0.

Kamata za i-to razdoblje iznosi I1 = � � � = In = q100�n�qC0 a ukupna

kamataI = n � q

100� n � qC0

(Aspira) 2009. 13 / 21

ExerciseKolika je konaµcna vrijednost glavnice od 12000 kn na kraju µcetvrte godineuz 7 posto jednostavnih dekurzivnih (a posebno anticipativnih ) kamata?dekurzivno: C4 = 12000 �

�1+ 4 � 7

100

�= 15360

anticipativno C4 = 12000 100100�4�7 = 16666, 67

ExerciseKoliko iznose ukupne jednostavne kamate na iznos od 15000 kn zarazdoblje od 5 godina ako je godi�nji kamatnjak u prve 2 godine p=10, a upreostale 3 godine smanjen je za 5%?Kamate za prvije dvije godine su I1 + I2 = 2 � 15000 � 10100 = 3000Kamatnjak za preostale 3 godine je p = 10� 10 � 5

100 = 9, 5 pa su kamateza preostale tri godine jednake I3 + I4 + I5 = 3 � 15000 � 9,5100 = 4275.Ukupne kamate su I = 3000+ 4275 = 7275

Buduci je u praksi rijetko jednostavno anticipativno ukamacivanje tocemo se na dalje baviti iskljuµcivo jednostavnim dekurzivnimukamacivanjem.

(Aspira) 2009. 14 / 21

ExerciseKolika je konaµcna vrijednost glavnice od 12000 kn na kraju µcetvrte godineuz 7 posto jednostavnih dekurzivnih (a posebno anticipativnih ) kamata?dekurzivno: C4 = 12000 �

�1+ 4 � 7

100

�= 15360

anticipativno C4 = 12000 100100�4�7 = 16666, 67

ExerciseKoliko iznose ukupne jednostavne kamate na iznos od 15000 kn zarazdoblje od 5 godina ako je godi�nji kamatnjak u prve 2 godine p=10, a upreostale 3 godine smanjen je za 5%?Kamate za prvije dvije godine su I1 + I2 = 2 � 15000 � 10100 = 3000Kamatnjak za preostale 3 godine je p = 10� 10 � 5

100 = 9, 5 pa su kamateza preostale tri godine jednake I3 + I4 + I5 = 3 � 15000 � 9,5100 = 4275.Ukupne kamate su I = 3000+ 4275 = 7275

Buduci je u praksi rijetko jednostavno anticipativno ukamacivanje tocemo se na dalje baviti iskljuµcivo jednostavnim dekurzivnimukamacivanjem.

(Aspira) 2009. 14 / 21

ExerciseKolika je konaµcna vrijednost glavnice od 12000 kn na kraju µcetvrte godineuz 7 posto jednostavnih dekurzivnih (a posebno anticipativnih ) kamata?dekurzivno: C4 = 12000 �

�1+ 4 � 7

100

�= 15360

anticipativno C4 = 12000 100100�4�7 = 16666, 67

ExerciseKoliko iznose ukupne jednostavne kamate na iznos od 15000 kn zarazdoblje od 5 godina ako je godi�nji kamatnjak u prve 2 godine p=10, a upreostale 3 godine smanjen je za 5%?Kamate za prvije dvije godine su I1 + I2 = 2 � 15000 � 10100 = 3000Kamatnjak za preostale 3 godine je p = 10� 10 � 5

100 = 9, 5 pa su kamateza preostale tri godine jednake I3 + I4 + I5 = 3 � 15000 � 9,5100 = 4275.Ukupne kamate su I = 3000+ 4275 = 7275

Buduci je u praksi rijetko jednostavno anticipativno ukamacivanje tocemo se na dalje baviti iskljuµcivo jednostavnim dekurzivnimukamacivanjem.

(Aspira) 2009. 14 / 21

Jednostavno ukamacivanje za period kraci od jediniµcnogobraµcunskog razdoblja

Ukoliko vrijednost kapitala treba izraµcunati za period kraci odjediniµcnog obraµcunskog razdoblja ili opcenito za period µcije se trajanjene moµze iskazati kao n � jedini cno razdoblje gdje je n 2 N tadajediniµcno obraµcunsko razdoblje dijelimo na m jednakih podrazdoblja.Kamatnjak koji se odnosi na takvo krace razdoblje nazivamo relativnii on iznosi

pr =pm.

Ako je vrijeme ukamacivanja izraµzeno u mjesecima, a kamatnjak p jegodi�nji onda treba uvaµziti da jedna godina ima 12 mjeseci, pa jepr =

p12 . Stoga formula za konaµcne kamate nakon n mjeseci uz

godi�nji kamatnjak p je

I = n � C0 �p12

100= nC0

p1200

(Aspira) 2009. 15 / 21

Jednostavno ukamacivanje za period kraci od jediniµcnogobraµcunskog razdoblja

Ukoliko vrijednost kapitala treba izraµcunati za period kraci odjediniµcnog obraµcunskog razdoblja ili opcenito za period µcije se trajanjene moµze iskazati kao n � jedini cno razdoblje gdje je n 2 N tadajediniµcno obraµcunsko razdoblje dijelimo na m jednakih podrazdoblja.Kamatnjak koji se odnosi na takvo krace razdoblje nazivamo relativnii on iznosi

pr =pm.

Ako je vrijeme ukamacivanja izraµzeno u mjesecima, a kamatnjak p jegodi�nji onda treba uvaµziti da jedna godina ima 12 mjeseci, pa jepr =

p12 . Stoga formula za konaµcne kamate nakon n mjeseci uz

godi�nji kamatnjak p je

I = n � C0 �p12

100= nC0

p1200

(Aspira) 2009. 15 / 21

ExampleVrijednost poµcetnog kapitala C0 = 15250 uz godi�nji kamatnjak p = 12 iuz primjenu jednostavnog dekurzivnog ukamacivanja nakon 20 mjeseci je:

C20 = C0 + 20 � C0121200

= 18300.

Ako je vrijeme ukamacivanja izraµzeno u danima, a kamatnjak p jegodi�nji onda u praksi postoje 3 metode obraµcuna:

(Aspira) 2009. 16 / 21

ExampleVrijednost poµcetnog kapitala C0 = 15250 uz godi�nji kamatnjak p = 12 iuz primjenu jednostavnog dekurzivnog ukamacivanja nakon 20 mjeseci je:

C20 = C0 + 20 � C0121200

= 18300.

Ako je vrijeme ukamacivanja izraµzeno u danima, a kamatnjak p jegodi�nji onda u praksi postoje 3 metode obraµcuna:

(Aspira) 2009. 16 / 21

1 engleska metoda (ili metoda prema kalendaru) uzima se dagodina ima 365 dana (prijestupna 366), n raµcunamo tako da se dani umjesecu raµcunaju prema kalendaru, dan sklapanja ugovora se neraµcuna, dok se dan kada istjeµce ugovor i kad se dug treba vratiti uzimau raµcun, za izraµcunavanje jednostavnih kamata koristi se formula

I = n � C0 �p

36500

2 njemaµcka metoda: uzima se da godina ima 360 dana, n raµcunamotako da svaki mjesec 30 dana, dan sklapanja ugovora se ne raµcuna,dok se dan kada istjeµce ugovor i kad se dug treba vratiti uzima uraµcun, a za izraµcunavanje jednostavnih kamata koristi se formula

I = n � C0 �p

360003 francuska metoda: uzima se da godina ima 360 dana, n raµcunamotako da se dani u mjesecima raµcunaju prema kalendaru, dan sklapanjaugovora se ne raµcuna, dok se dan kada istjeµce ugovor i kad se dugtreba vratiti uzima u raµcun,a za izraµcunavanje jednostavnih kamatakoristi se formula: I = n � C0 � p

36000

(Aspira) 2009. 17 / 21

1 engleska metoda (ili metoda prema kalendaru) uzima se dagodina ima 365 dana (prijestupna 366), n raµcunamo tako da se dani umjesecu raµcunaju prema kalendaru, dan sklapanja ugovora se neraµcuna, dok se dan kada istjeµce ugovor i kad se dug treba vratiti uzimau raµcun, za izraµcunavanje jednostavnih kamata koristi se formula

I = n � C0 �p

365002 njemaµcka metoda: uzima se da godina ima 360 dana, n raµcunamotako da svaki mjesec 30 dana, dan sklapanja ugovora se ne raµcuna,dok se dan kada istjeµce ugovor i kad se dug treba vratiti uzima uraµcun, a za izraµcunavanje jednostavnih kamata koristi se formula

I = n � C0 �p

36000

3 francuska metoda: uzima se da godina ima 360 dana, n raµcunamotako da se dani u mjesecima raµcunaju prema kalendaru, dan sklapanjaugovora se ne raµcuna, dok se dan kada istjeµce ugovor i kad se dugtreba vratiti uzima u raµcun,a za izraµcunavanje jednostavnih kamatakoristi se formula: I = n � C0 � p

36000

(Aspira) 2009. 17 / 21

1 engleska metoda (ili metoda prema kalendaru) uzima se dagodina ima 365 dana (prijestupna 366), n raµcunamo tako da se dani umjesecu raµcunaju prema kalendaru, dan sklapanja ugovora se neraµcuna, dok se dan kada istjeµce ugovor i kad se dug treba vratiti uzimau raµcun, za izraµcunavanje jednostavnih kamata koristi se formula

I = n � C0 �p

365002 njemaµcka metoda: uzima se da godina ima 360 dana, n raµcunamotako da svaki mjesec 30 dana, dan sklapanja ugovora se ne raµcuna,dok se dan kada istjeµce ugovor i kad se dug treba vratiti uzima uraµcun, a za izraµcunavanje jednostavnih kamata koristi se formula

I = n � C0 �p

360003 francuska metoda: uzima se da godina ima 360 dana, n raµcunamotako da se dani u mjesecima raµcunaju prema kalendaru, dan sklapanjaugovora se ne raµcuna, dok se dan kada istjeµce ugovor i kad se dugtreba vratiti uzima u raµcun,a za izraµcunavanje jednostavnih kamatakoristi se formula: I = n � C0 � p

36000

(Aspira) 2009. 17 / 21

ExampleKupac je morao podmiriti fakturu 19. oµzujka 2006. godine iznosom od30000 kn. No, zbog nesolventnosti on je to uµcinio tek 15. lipnja 2006.Ako je dogovoreno s prodavateljem da zbog ka�njenja placa 8% zateznihkamata, kolikim iznosom je podmirio fakturu 15. lipnja 2006? Obraµcunkamata je po jednostavnom kamatnom raµcunu.Izraµcunat cemo traµzene jednostavne kamate prema francuskoj, njemaµckoj iengleskoj metodi. U tu svrhu nuµzno je najprije odrediti broj danazaka�njenja placanja fakture po svakoj metodi. Bez obzira koja metoda zaobraµcun dana se koristi, prvi dan (19. oµzujka) se ne uzima dok seposljednji dan (15. lipnja) uraµcunava u obraµcunu dana.

(Aspira) 2009. 18 / 21

engleska metoda njemaµcka metoda francuska metoda

oµzujak 12 11 12travanj 30 30 30svibanj 31 30 31lipanj 15 15 15

broj dana n 88 86 88

kamate po engleskoj metodiI = n � C0 � p

36500 = 88 � 30000 �8

36500 = 578, 63

kamate po njemaµckoj metodiI = n � C0 � p

36000 = 86 � 30000 �8

36000 = 573, 33

kamate po francuskoj metodiI = n � C0 � p

36000 = 88 � 30000 �8

36000 = 586, 67

(Aspira) 2009. 19 / 21

engleska metoda njemaµcka metoda francuska metoda

oµzujak 12 11 12travanj 30 30 30svibanj 31 30 31lipanj 15 15 15

broj dana n 88 86 88

kamate po engleskoj metodiI = n � C0 � p

36500 = 88 � 30000 �8

36500 = 578, 63

kamate po njemaµckoj metodiI = n � C0 � p

36000 = 86 � 30000 �8

36000 = 573, 33

kamate po francuskoj metodiI = n � C0 � p

36000 = 88 � 30000 �8

36000 = 586, 67

(Aspira) 2009. 19 / 21

engleska metoda njemaµcka metoda francuska metoda

oµzujak 12 11 12travanj 30 30 30svibanj 31 30 31lipanj 15 15 15

broj dana n 88 86 88

kamate po engleskoj metodiI = n � C0 � p

36500 = 88 � 30000 �8

36500 = 578, 63

kamate po njemaµckoj metodiI = n � C0 � p

36000 = 86 � 30000 �8

36000 = 573, 33

kamate po francuskoj metodiI = n � C0 � p

36000 = 88 � 30000 �8

36000 = 586, 67

(Aspira) 2009. 19 / 21

Primjena engleske metode odgovara stvarnom kalendaru i stoga jenajkorektnija.Primijetimo da je primjena francuskog naµcina obraµcuna daje efekt kao dase u engleskoj metodi tj. za stvarni broj dana (n = 88), i uzimajuci dagodina ima stvarni broj dana (m = 365 ili 366), primjenjivala vi�a kamatnastopa koju nazivamo efektivna kamatna stopa, oznaµcimo je sa pe .Dakle za kamate dobivene primjenom francuske metode traµzimo efektivnukamatnu stopu iz jednakosti

88 � 30000 � pe36500

= 586, 67

odakle izlazi da je pe = 586, 67 3650088�30000 = 8, 11.

Sliµcno za kamate dobivene primjenom njemaµcke metode efektivnukamatnu stopu raµcunamo iz jednakosti

88 � 30000 � pe36500

= 573, 33,

odakle slijedipe = 7, 9267

(Aspira) 2009. 20 / 21

ExampleKoliko dana moµze biti nepodmiren minus od 15000 prije nego �to raµcunu�e u nedopu�teni minus od 20000 ako banka zaruµcunava zateznu(dekurzivnu) kamatu od 12% uz jednostavno ukamacivanje primjenomengleske metode.Cn = C0 + n � C0 � p

36500 ) 20000 = 15000+ n � 15000 � 1236500 )

15000 � 1236500 � n = 5000

n = 5000�3650015000�12 = 1013, 88

Dakle, nakon 1014 dana raµcun ce uci u nedopu�teni minus.

(Aspira) 2009. 21 / 21