View
15
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Matematika 1Opci vektori
Katedra za matematiku, FSB
Zagreb, 2017
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 1 / 27
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Opci vektori-definicija i interpretacijePojam matrice-pravokutne sheme brojevaMatrice-tipovi i osnovne klasifikacijeZbrajanje i oduzimanje matricaOperator transponiranja
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 2 / 27
Sadrzaj
Sadrzaj:
1 Opci vektori i matriceOpci vektori
2 MatriceMatrice-definicijaOznakeVrste matricaTransponirana matricaPodmatrice
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 3 / 27
Opci vektori i matrice Opci vektori
Opci vektori
Vektor je potpuno odreden brojevnim komponetama.Npr. −→a = (2,−4,3)
Zato se ustalilo da se svaki objekt koji je potpuno odreden svojimbrojevnim komponentama zove vektor.−→a = (a1,a2,a3,a4,a5) = (ai , 1≤ i ≤ 5).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 4 / 27
Opci vektori i matrice Opci vektori
Primjer 1.Vektor dnevne zarade trgovackog centra:
−→z =( kafic slasticarna restoran ducan
25, 10, −1, 14)
4−orke realnih brojeva4−dimenenzionalni vektori
}cine 4-dim prostor R4
(−3.2,√
5,0,−13) ∈ R4
(2,0,−3) ∈ R3
(π,7,−√
7,4,−12) ∈ R5
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 5 / 27
Opci vektori i matrice Opci vektori
Primjer 1.Vektor dnevne zarade trgovackog centra:
−→z =( kafic slasticarna restoran ducan
25, 10, −1, 14)
4−orke realnih brojeva4−dimenenzionalni vektori
}cine 4-dim prostor R4
(−3.2,√
5,0,−13) ∈ R4
(2,0,−3) ∈ R3
(π,7,−√
7,4,−12) ∈ R5
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 5 / 27
Opci vektori i matrice Opci vektori
Primjer 2.Polinomi stupnja ≤ 4 su potpuno odredeni sa svojih 5 koeficijenata izato ih nazivamo 5-dimenzionalnim vektorima tj. da su iz R5
P(x) =3x4−x3 +2x2−x +3−→p =(3,−1,2,−1,3) ∈ R5
Q(x) =5x3−x +1−→q =(0,5,0,−1,1) ∈ R5
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 6 / 27
Opci vektori i matrice Opci vektori
Racunanje s Opcim vektorima
−→a =(a1,a2,a3,a4)−→b =(b1,b2,a3,a4)
}=⇒
−→a ±−→b = (a1±b1,a2±b2,a3±b3,a4±b4)
k−→a = (ka1,ka2,ka3,ka4), k ∈ R−→0 = (0,0,0,0)
VEKTORI SU JEDNAKI AKO SU IM ODGOVARAJUCEKOMPONENTE JEDNAKE
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 7 / 27
Opci vektori i matrice Opci vektori
Zadatak 1.
Zadani su vektori: −→a = (2,3,−1,0)−→b = (1,0,0,7)−→c = (5,9,−3,−7)Izracunaj:
(1) 2−→a −3−→b
(2)12−→b +−→c
(3) 3−→a −−→b −−→c
(4) suprotni od −→c(5) −→a −2
−→b
(6) 2−→b −−→a
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 8 / 27
Opci vektori i matrice Opci vektori
Rjesenje.
(1) 2−→a −3−→b = (1,6,−2,−21)
(2)12−→b +−→c = (
112,9,−3,−7
2)
(3) 3−→a −−→b −−→c = (0,0,0,0)
(4) −−→c = (−5,−9,3,7)
(5) −→a −2−→b = (0,3,−1,−14)
(6) 2−→b −−→a = (0,−3,1,14)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 9 / 27
Matrice Matrice-definicija
Matrice
PRAVOKUTNE STRUKTURE BROJEVNIH KOMPONENTI ZOVEMOMATRICAMA
Primjer 3.Vektor dnevne zarade trgovackog centra:
Z =
kafic slast . rest . ducan( )1 1 0 1 0h−8h7 2 −2 3 8h−16h
14 7 1 10 16h−24h
Z je tipa 3×4 tj. ima 3 retka i 4 stupca.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 10 / 27
Matrice Oznake
Oznake
A =
[a1,1 a1,2 a1,3 a1,4a2,1 a2,2 a2,3 a2,4
]Krace:
A = [ai ,j ]1≤i≤21≤j≤4
Npr. 2 −1√
2 1/20 5 −3 41 −
√3 2 9
a2,3 =−3, a3,2 =−
√3, a3,4 = 9, . . . itd .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 11 / 27
Matrice Oznake
Oznake
A =
[a1,1 a1,2 a1,3 a1,4a2,1 a2,2 a2,3 a2,4
]Krace:
A = [ai ,j ]1≤i≤21≤j≤4
Npr. 2 −1√
2 1/20 5 −3 41 −
√3 2 9
a2,3 =−3, a3,2 =−
√3, a3,4 = 9, . . . itd .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 11 / 27
Matrice Oznake
Zadatak 2.Kojeg su tipa matrice:[
1 24 3
],
07−1
, [ 2 3 −10 1 5
],[−5 6
], −1 0 1 2
3 2 1 −10 5 6 7
, 1 2
0 3−1 4
Rjesenje.
2×2, 3×1, 2×3, 1×2, 3×4, 3×2.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 12 / 27
Matrice Oznake
Zadatak 2.Kojeg su tipa matrice:[
1 24 3
],
07−1
, [ 2 3 −10 1 5
],[−5 6
], −1 0 1 2
3 2 1 −10 5 6 7
, 1 2
0 3−1 4
Rjesenje.
2×2, 3×1, 2×3, 1×2, 3×4, 3×2.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 12 / 27
Matrice Oznake
Zadatak 3.Napisi po jednu matricu tipa 2×3, 3×1, 2×4, 4×2, 1×1.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 13 / 27
Matrice Oznake
Zadatak 4.
U matrici
1 −7 20 1 42 1 −13 2 5
ocitaj elemente a2,3, a1,4, a2,1, a3,3.
Rjesenje.a2,3 = 4, a4,1 = 3, a2,1 = 0, a3,3 =−1.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 14 / 27
Matrice Oznake
Zadatak 4.
U matrici
1 −7 20 1 42 1 −13 2 5
ocitaj elemente a2,3, a1,4, a2,1, a3,3.
Rjesenje.a2,3 = 4, a4,1 = 3, a2,1 = 0, a3,3 =−1.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 14 / 27
Matrice Oznake
MATRICE SU JEDNAKE AKO SU ISTOG TIPA I AKO SU IMODGOVARAJUCE KOMPONENTE JEDNAKEMATRICE SE ZBRAJAJU, ODUZIMAJU I MNOZE BROJEM POKOMPONENTAMA (MORAJU BITI ISTOG TIPA ZA ZBRAJANJE IODUZIMANJE)PRAVILA RACUNANJA SU KAO I ZA VEKTOREMATRICU TIPA 1×n ZOVEMO MATRICA REDAKnpr. A = (1,−3,2,0)MATRICU TIPA n×1 ZOVEMO MATRICA STUPAC
npr. A =
−3250
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 15 / 27
Matrice Oznake
Zadatak 5.
Za matrice[
1 2 30 1 −2
]i[
0 2 −13 4 2
]izracunati
A+B, B−A, 2A, 3B+2A, 5B−5A.
Rjesenje.
A+B =
[1 4 23 5 0
], B−A =
[−1 0 −43 3 4
], 2A =[
2 4 60 2 −4
], 3B+2A =
[2 10 39 14 2
], 5B−5A =[
−5 0 −2015 15 20
].
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 16 / 27
Matrice Oznake
Zadatak 5.
Za matrice[
1 2 30 1 −2
]i[
0 2 −13 4 2
]izracunati
A+B, B−A, 2A, 3B+2A, 5B−5A.
Rjesenje.
A+B =
[1 4 23 5 0
], B−A =
[−1 0 −43 3 4
], 2A =[
2 4 60 2 −4
], 3B+2A =
[2 10 39 14 2
], 5B−5A =[
−5 0 −2015 15 20
].
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 16 / 27
Matrice Oznake
Zadatak 6.Zadane su matrice
A =
[4 0−2 1
], B =
[1 20 −1
], C =
1 12 1−1 1
D =
[0 0 1−1 0 2
]E =
[1 2 3
], F =
[1 2 40 1 2
]G =
0 12 1−1 6
Izracunajte ono sto se moze izracunati:(1) A+B (2) A+C (3) C +F (4) D−F (5) E +3F (6) 2B−A (7) A−H(8) H +B (9) C +G+F (10) A+2H +3B (11) C +G
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 17 / 27
Matrice Vrste matrica
Vrste matrica
KVADRATNA=TIPA n×n (ISTI BROJ REDAKA I STUPACA) NPR.2 4 −1 03 −4 6 3−2 3 1 −39 0 −1 2
UOCITE GLAVNU DIJAGONALU KVADRATNE MATRICETROKUTASTA=KVADRATNA S NULAMA ISPOD (ILI IZNAD)GLAVNE DIJAGONALE NPR. 1 7 3
0 −1 20 0 0
−1 0 04 0 03 5 2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 18 / 27
Matrice Vrste matrica
Vrste matrica
DIJAGONALNA=KVADRATANA S NULAMA IZVAN GLAVNEDIJAGONALE NPR.
1 0 0 00 2 0 00 0 0 00 0 0 −3
SKALARNA=DIJAGONALNA S ISTIM BROJEM NA GLAVNOJDIJAGONALI NPR.
−2 0 0 00 −2 0 00 0 −2 00 0 0 −2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 19 / 27
Matrice Vrste matrica
Vrste matrica
JEDINICNA=SKALARANA S 1 NA GLAVNOJ DIJAGONALI NPR.1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 20 / 27
Matrice Vrste matrica
Zadatak 7.Koje je vrste matrica
(1)[
2 −20 1
](2)
2 0 00 1 10 0 −7
(3)
2 0 00 1 00 0 −7
(4)
1 0 00 1 00 0 1
(5)
2 0 01 1 05 0 −7
(6)
1 2 3−1 0 12 1 0
(7)[
12 00 12
](8)
[12 00 −12
]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 21 / 27
Matrice Vrste matrica
Zadatak 8.Napisi po dvije matrice koje su
1 Kvadratne
2 Trokutaste3 Dijagonalne4 Skalarne5 Jedinicne
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 22 / 27
Matrice Vrste matrica
Zadatak 8.Napisi po dvije matrice koje su
1 Kvadratne2 Trokutaste
3 Dijagonalne4 Skalarne5 Jedinicne
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 22 / 27
Matrice Vrste matrica
Zadatak 8.Napisi po dvije matrice koje su
1 Kvadratne2 Trokutaste3 Dijagonalne
4 Skalarne5 Jedinicne
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 22 / 27
Matrice Vrste matrica
Zadatak 8.Napisi po dvije matrice koje su
1 Kvadratne2 Trokutaste3 Dijagonalne4 Skalarne
5 Jedinicne
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 22 / 27
Matrice Vrste matrica
Zadatak 8.Napisi po dvije matrice koje su
1 Kvadratne2 Trokutaste3 Dijagonalne4 Skalarne5 Jedinicne
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 22 / 27
Matrice Transponirana matrica
Transponirana matrica
AT , TRANSPONIRANA MATRICA MATRICE A, DOBIJA SE IZ AZAMJENOM REDAKA I STUPACANPR.
A =
2 1−3 40 1
=⇒[
2 −3 01 4 1
]Dakle:
1 A tipa n×m =⇒ AT tipa m×n
2 A = [ai ,j ] =⇒ AT = [aj ,i ]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 23 / 27
Matrice Transponirana matrica
Transponirana matrica
AT , TRANSPONIRANA MATRICA MATRICE A, DOBIJA SE IZ AZAMJENOM REDAKA I STUPACANPR.
A =
2 1−3 40 1
=⇒[
2 −3 01 4 1
]Dakle:
1 A tipa n×m =⇒ AT tipa m×n2 A = [ai ,j ] =⇒ AT = [aj ,i ]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 23 / 27
Matrice Transponirana matrica
Zadatak 9.Napisi transponiranu matricu zadanih matrica
A =
[1 0 12 −4 2
]B =
[0 1−1 3
]C =
[1−5
]D =
0 24 00 −3
E =
[7 0 3 −5
]F =
3 0 00 −2 00 0 5
G =
1 2 −1 23 0 4 −52 1 2 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 24 / 27
Matrice Transponirana matrica
Simetricna i antisimetricna matrica
SIMETRICNA=KVADRATNA U KOJOJ JE A = AT tj. ai ,j = aj ,iNPR. 3 0 5
0 −1 −25 −2 2
ANTISIMETRICNA=KVADRATNA U KOJOJ JE AT =−A tj.ai ,j =−aj ,i(=⇒ ai ,i = 0)NPR. 0 0 5
0 0 −2−5 2 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 25 / 27
Matrice Transponirana matrica
Zadatak 10.Je li neka od ovih kvadratnih matrica simetricna odnosnoantisimetricna?
(1)[
1 22 2
](2)
[0 −33 0
](3)
3 1 01 5 −20 −2 7
(4)
3 1 01 5 −20 2 7
(5)
0 0 −20 0 42 −4 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 26 / 27
Matrice Podmatrice
Podmatrice
PODMATRICA MATRICE A JE SVAKA MATRICA KOJA SE DOBIJEIZBACIVANJEM NEKIH REDAKA I (ILI) STUPACA.NPR. AKO JE
A =
3 2 1 4−5 2 0 30 −1 2 1
ONDA IZBACIVANJEM 2 RETKA I 3 STUPCA DOBIJEMOPODMATRICU: (
3 2 40 −1 1
)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 19. listopada 2017. 27 / 27
Recommended