LENDUTAN RANGKA BATANG, BALOK DAN PORTAL :METODE KERJA – ENERGI

I. KERJA

Kerja yang dilakukan oleh suatu gaya pada struktur secarasederhana dapat didefinisikan sebagai hasil perkalian gayadengan simpangan pada titik kerjanya dalam arah gayatersebut. Kerja dinyatakan positif jika gaya dan simpangandalam arah gaya tersebut mempunyai arah yang sama, dandinyatakan negatif jika gaya dan simpangan tersebut mempunyaiarah yang berlawanan.

Gambar 1.

Untuk balok pada gambar 1, maka kerja total yang dilakukanoleh gaya P terhadap seluruh simpangan dapat diperolehdengan mengintegrasikan dW sebagai berikut :

(1)

Persamaan (1) mengindikasikan bahwa kerja yang terjadi adalahluas area di bawah diagram gaya-simpangan seperti yangterlihat di bawah ini :

Gambar 2.

Untuk kasus pada gambar 2.b, dimana gaya berubah secaralinear dengan simpangan dari nol sampai dengan simpanganakhir , maka kerja yang dilakukan oleh gaya P dapatdinyatakan sebagai berikut :

(2)

Untuk kasus pada gambar 2.c, dimana gaya tetap konstansebesar P sedangkan titik kerjanya mengalami simpangan darinol sampai dengan simpangan akhir yang disebabkan oleh gayalain, maka kerja yang dilakukan oleh gaya P dapat dinyatakansebagai berikut :

(3)

Persamaan untuk kerja yang dilakukan oleh momen M serupadengan persamaan untuk kerja yang dilakukan oleh gaya P,yaitu :

(4)

Sehingga :a. Kerja yang dilakukan oleh momen M yang berubah secara

linear dengan rotasi dari nol sampai dengan rotasi akhir dapat dinyatakan sebagai berikut :

(5)

b. Kerja yang dilakukan oleh momen M yang tetap konstandengan rotasi dari nol sampai dengan rotasi akhir dapat dinyatakan sebagai berikut :

(6)

II. PRINSIP KERJA MAYA

Prinsip kerja maya diperkenalkan oleh John Bernoulli padatahun 1717.

Prinsip Simpangan Maya untuk Benda Kaku

Prinsip simpangan maya untuk benda kaku dapat dinyatakansebagai berikut :

Jika suatu benda kaku yang berada dalam keseimbangangaya-gaya dan jika benda tersebut mengalami simpanganbenda kaku yang kecil, maka kerja maya yang dilakukanoleh gaya-gaya tersebut mempunyai harga nol.

Gambar 3.

Kerja maya total Wve yang terjadi jika balok mengalamisimpangan maya dari posisi ABC ke A’B’C’ dapat dinyatakansebagai penjumlahan kerja maya Wvx dan Wvy yang terjadi akibattranslasi vx dan vy ditambah kerja maya Wv yang terjadiakibat rotasi maya v, yaitu :

(7)

Sebagai akibat translasi maya vx dan vy, kerja maya yangdilakukan oleh gaya-gaya yang bekerja pada balok di atasdapat dinyatakan sebagai berikut :

(8)

dan

(9)

Sedangkan kerja maya yang terjadi akibat rotasi maya vadalah :

(10)

Jika persamaan (8), (9), dan (10) disubstitusikan ke dalampersamaan (7), maka diperoleh :

(11)

Karena balok di atas berada dalam kesetimbangan, maka :

Fx = 0Fy = 0MA = 0

danWve = 0 (12)

Persamaan (12) adalah bentuk matematis dari prinsip kerjamaya untuk benda kaku.

Prinsip Kerja Maya untuk Struktur yang Dapat Berubah Bentuk

Prinsip kerja maya untuk struktur yang dapat berubah bentukdapat diyatakan sebagai berikut :

Jika suatu struktur yang dapat berubah bentuk dibebanioleh beban maya dan jika struktur tersebut mengalamisuatu perpindahan nyata yang kecil dan konsisten denganperletakan dan kondisi kontinuitas struktur tersebut,

maka kerja maya luar yang dilakukan oleh beban mayasesuai dengan perpindahan nyata adalah sama besarnyadengan kerja maya dalam yang terjadi akibat gaya dalammaya dikalikan simpangan internal nyata.

Gambar 4.

(13)

Dimana FvAC dan FvBC adalah gaya dalam pada batang AC dan BCyang terjadi akibat gaya luar maya Pv dan sudut 1 dan 2adalah sudut kemiringan batang AC dan BC terhadap sumbumendatar x.

Jika sistem di atas diberikan simpangan nyata di titik Csebesar r, maka :

(14)

Seperti di indikasikan pada persamaan (13), maka Wv = 0,karena itu :

(15)

Kerja luar maya = gaya luar maya Pv * simpangan luar nyata r

= Wve

Mengingat r.cos 1 dan r.cos 2 adalah simpangan batang yangterjadi akibat simpangan luar nyata r, maka ruas kananpersamaan (15) merupakan kerja dalam nyata Wvi yang merupakanjumlah hasil perkalian antara gaya dalam maya Fvi dengansimpangan batang akibat simpangan simpangan luar nyata ri.

Maka :

(16)atau :

Kerja Luar Maya = Kerja Dalam Maya (17)

atau :

(18)

III. SIMPANGAN RANGKA BATANG DENGAN METODE KERJA MAYA

Hukum Hooke untuk menghitung perpanjangan batang adalah

Virtual System

Real System

Gambar 4.Berdasarkan hukum Hooke di atas, maka perpanjangan batang rakibat beban luar nyata adalah :

(19)

(20)

(21)

Karena Wve = Wvi, maka :

(22)

Jika persamaan (19) disubstitusikan ke dalam persamaan (22),maka diperoleh :

(23)

Prosedur untuk analisis :

1. Real systemGunakan metode keseimbangan titik untuk mendapatkan gaya-gaya dalam batang Frk akibat gaya luar yang bekerja padastruktur yang ditinjau. Asumsikan gaya tarik sebagai gayapositif dan gaya tekan sebagai gaya negatif.

2. Virtual systemBuang semua gaya luar yang bekerja pada struktur dankerjakan unit load pada titik kumpul yang akan dihitunglendutannya sesuai arah yang dikehendaki.

3. Lendutan yang akan dicari dapat dihitung denganmenggunakan persamaan (23).

Contoh Soal :

1. EA = konstan E = 200 Gpa

A = 1200 mm2

Hitung lendutan horisontal dan vertikal di titik B akibat beban luar -35 kN mendatar di titik D dan -84 kN vertikal di titik B.

Solusi :

Real system :

Virtual system untuk menghitung BH (FvHk) :

Virtual system untuk menghitung BV (FvVk) :

Tabel perhitungan :

Batangk Lk Frk FvHk Frk.FvHk.Lk FvVk Frk.FvVk.Lk

  m kN kN kN2.m kN kN2.m1 4.00 21.00 1.00 84.00 0.43 36.122 3.00 21.00 0.00 0.00 0.43 27.093 5.66 -79.20 0.00 0.00 -0.61 273.454 4.00 84.00 0.00 0.00 1.00 336.005 5.00 -35.00 0.00 0.00 -0.71 124.25

84.00 796.91

Perhitungan BH :

Perhitungan BV :