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Operationen auf endlichen Akzeptoren und Transduktoren

Kursfolien

Karin Haenelt

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Notationskonventionen

L reguläre Sprache A endlicher Akzeptor DEA deterministischer endlicher Akzeptor NEA nichtdeterministischer endlicher Akzeptor NEA nichtdeterministischer endlicher Akzeptor mit -

Transitionen T Transduktor

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Begriffe: Abgeschlossenheit

• Das Ergebnis einer Operation auf Elementen einer Menge liegt wiederum innerhalb dieser Menge

• Beispiel: – Vereinigung zweier regulärer Ausdrücke ergibt wieder einen

regulären Ausdruck

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Begriffe: lazy implementation

• In der Praxis sind oft viele Zustände, die als Zwischenergebnis einer Operation entstehen, vom Startzustand aus nicht erreichbar

• lazy implementation:– unerreichbare Zustände gar nicht erst produzieren– Zustände nur nach Bedarf erzeugen

• Konstruktion mit Zustand [0,0] beginnen• weitere Zustände nur hinzufügen, wenn sie

Ergebnis einer Transition sind, die von einem bereits eingefügten Zustand ausgeht

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Unäre Operationen(Operationen auf einem Automaten)

für Abgeschlossenheit L A T

L Komplement (complement) L, A,

T ja ja nicht

generell RL Umkehrung (reversal) L, A,

T ja ja ja

1T Inversion (Eingabe:Ausgabe-Umkehrung) (inversion)

T - - ja

'T Projektion (Umformung von FST in FSA) (projection)

T - - ja

*L Iteration (Hülle, Stern) (closure) L, A, T

ja ja ja

Homomorphismus L, A, T

ja ja ja

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Binäre Operationen(Operationen auf zwei Automaten)

für Abgeschlossenheit L A T

21LL Konkatenation (Produkt, Verkettung) (product, concatenation)

L, A, T

ja ja ja

21 LL Vereinigung (Summe, Disjunktion) (sum, union)

L, A,T ja ja ja

21 LL Durchschnitt (intersection)

L, A, T

ja ja nicht generell

21 TT Komposition T - - sofern endlich-subsequentiell

21 AA Differenz L, A, T

ja ja nicht generell

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Optimierungs-Operationen

für

- Connection A, T - Determinisierung A, T - Epsilon-Entfernung A, T - Pushing T - Minimierung A, T

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Komplement regulärer Sprachen

(Hopcroft/Ullman 1988: 61)

Definition LL *

Bedeutung Sei L eine Sprache über einem Alphabet ,

dann enthält L alle Worte, die in * enthalten

sind, aber nicht in L

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Komplement endlicher Automaten (1)

Definition ),,,,( 0 FqQA DEA

),,,,( 0 FQqQA DEA Bedeutung A akzeptiert genau die Worte aus ,

die A nicht akzeptiert Konstruktion - akzeptierende Zustände aus A werden zu nicht-

akzeptierenden Zuständen in A - und umgekehrt - falls A nicht deterministisch ist, muss A zuerst

determinisiert werden

(Hopcroft/Ullman 1988: 61)

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Komplementendlicher Automaten (2)

NEA

Q adje dete nomn

0 - 1 - 2

1 2 - - 2

2 - - 3 -

3 f - - - -

0dete

1adje

2nomn

3

NEA

Q adje dete nomn

0 - {1,2} 3

1 2 - 3

2 - - 3

3 f - - -

0dete

1adje

2nomn

3

nomnnomn

dete

1. 2.

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3.

Komplementendlicher Automaten (3)

partiell

DEA

Q adje dete nomn

0 [0] - 1 3

1 [1,2] 2 - 3

2 [2] - - 3

3 f [3] - - -

0dete

1adje

2nomn

3

nomnnomn

total

DEA

Q adje dete nomn 0 4 1 3 1 2 4 3 2 4 4 3 3 F 4 4 3 4 4 4 4

4.

0dete

adje

dete, adje,nomn

1adje

2nomn

3nomn

nomn

4dete

dete, adje,nomn

dete,adje

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4.

Komplementendlicher Automaten (4)

DEA Q adje dete nomn 0 F 4 1 3 1 F 2 4 3 2 F 4 4 3 3 4 4 3 4 F 4 4 4

5.DEA Q adje dete nomn 0 4 1 3 1 2 4 3 2 4 4 3 3 F 4 4 3 4 4 4 4

0dete

adje

dete, adje,nomn

1adje

2nomn

3nomn

nomn

4dete

dete, adje,nomn

dete,adje

0dete

adje

dete, adje,nomn

1adje

2nomn

3nomn

nomn

4dete

dete, adje,nomn

dete,adje

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Hülle regulärer SprachenDefinition Kleensche Hülle

0

*i

iLL , und es gilt }{0 L , 1i für LLL ii 1

positive Hülle

1i

iLL

Bedeutung *L bezeichnet die Wörter, die durch die Konkatenation

einer beliebigen Anzahl von Wörtern aus L entstehen.

(Hopcroft/Ullman, 1988: 28)

nL ist die Menge der Ketten, die in genau n Teilketten

zerlegbar sind, die zu L gehören. (Kunze, 2001: 177)

Beispiel }{haL , ,....},,,{* hahahahahahaL ,

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Hülle endlicher Automaten (1)

1A }){,,,,( 11111 FqQ

}){,,,},,{( 001001 fqfqQ

definiert durch

),( 0 q }0,{),( 11 fqf

*1A

),( aq ),(1 aq für }{ 11 fQq und

}{ 1 a

Definition

(Hopcroft/Ullman, 1988: 32)

Bedeutung *A akzeptiert die Wörter, die durch die Konkatenation einer

beliebigen Anzahl von Wörtern aus A entstehen.

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Hülle endlicher Automaten (2)

Konstruktion erzeuge

- Anfangszustand 0q

- Endzustand 0f

- -Transitionen von 0q nach 1q

- -Transitionen von 0q nach 0f

(modelliert Möglichkeit von null Vorkommen)

- -Transitionen von },...,,{ 11211 nfffF nach 1q

(modelliert Wiederholung)

- -Transitionen von },...,,{ 11211 nfffF nach 0f

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Hülle endlicher Automaten (3)

q1 f1q0 f0

q1 f1q0 f0q2

h a

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Konkatenation regulärer Sprachen

Definition }|{ 2121 LyLxxyLL

Bedeutung 21 LL enthält die Verkettung der Worte, die in

1L oder in 2L enthalten sind

Beispiel },{1 machlachL , },,{2 tsteL ,

},,,,,{21 machtmachstmachelachtlachstlacheLL

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Konkatenation endlicher Automaten (1)

1A }){,,,,( 11111 FqQ

2A }){,,,,( 22222 FqQ

}){},{,,,( 212121 fqQQ

definiert durch

),( aq ),(1 aq für }{ 11 fQq und

}{ 1 a

),( aq ),(2 aq für }{ 22 fQq und

}{ 2 a

21 AAA

),( 1 f }{ 2q

Definition

(Hopcroft/Ullman, 1988: 31)

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Konkatenation endlicher Automaten (2)

Bedeutung 21 AA akzeptiert die Verkettung der Worte, die 1L bzw.

2L akzeptieren

Konstruktion erzeuge -Transitionen von den Endzuständen von 1A zu

den Anfangszuständen von 2A

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Konkatenation endlicher Automaten (3)

q1 f1 q2 f2

l ca

m10 11 12 1413

h e

s t20 21

22

t

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Vereinigung regulärer Sprachen

Definition }|{ 2121 LxLxxLL

Bedeutung Seien 1L und 2L Sprachen über einem Alphabet , dann

enthält 21 LL alle Worte, die in 1L oder in 2L enthalten sind

Beispiel },{1 waldbahnL , },{2 lachbauL ,

},,,{21 waldlachbaubahnLL

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Vereinigung endlicher Automaten (1)

1A }){,,,,( 11111 FqQ

2A }){,,,,( 22222 FqQ

}){,,,},,{( 00210021 fqfqQQ

0q neuer Anfangszustand

0f neuer Endzustand

definiert durch

),( 0 q },{ 21 qq

Definition

21 AAA

),( aq ),(1 aq für }{ 11 fQq und }{ 1 a

),( aq ),(2 aq für }{ 22 fQq und }{ 2 a

}{),(),( 021 fff

(Hopcroft/Ullman, 1988: 61)

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Vereinigung endlicher Automaten (2)

Konstruktion erzeuge - Anfangszustand 0q

- -Transitionen von 0q zu den

Anfangszuständen von 1A und 2A

- Endzustand 0f

- -Transitionen von den Endzuständen

von 1A und 2A zu 0f

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Vereinigung endlicher Automaten (3)

q1 f1

q2 f2

f0q0

b ha

w l da10 11 12 14

15 16 17

13n

b ua

l c ha20 21 22 23

24 25 26

0100

b ha

u

00 1121

1222 0113

n

w l da15 16 17

l c ha24 25 26

Prinzip

Beispiel alsNEA

Beispiel als“DEA“

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Durchschnitt regulärer Sprachen

Definition }|{ 2121 LxLxxLL

Bedeutung Seien 1L und 2L Sprachen über einem

Alphabet , dann enthält 21 LL alle Worte,

die in 1L und in 2L enthalten sind

Beispiel {bau, glas, honig, wald} {bau, glas, lach,

mach} = {bau, glas}

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Durchschnitt endlicher Automaten (1)

1A ),,,,( 111 FqQ

2A ),,,,( 222 FqQ

21 AAA ),,,,,( 212121 FFqqQQ

wobei für alle 11 Qp , 22 Qp und a

gilt: ),(),,(),,( 221121 apapapp

Definition

(Hopcroft/Ullman, 1988: 61)

Falls die Eingabealphabete der Automaten nicht identisch

sind, ist die Vereinigung der Alphabete der beiden

Automaten.

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Konstruktion Sei Q1 = {q1, q2, …, qm} die Zustandsmenge von A1 Sei Q2 = {s1, s2, …, sm} die Zustandsmenge von A2

Ergebnis der Schnittbildung:

- das Kartesische Produkt Q1 x Q2 beider Zustandsmengen,

- Kante mit dem Etikett von Zustand ji sq zu Zustand

lk sq gibt es genau dann,

wenn es in den Originalautomaten Kanten mit dem Etikett

o von Zustand iq zu Zustand kq und

o von Zustand js zu Zustand ls gibt.

- Der Zustand ji sq ist nur dann ein Endzustand, wenn beide

Zustände der Originalautomaten iq aus Q1 und js aus Q2 Endzustände sind.

- Der Startzustand: Zustand sq , wobei q und s die Startzustände der Originalautomaten sind

Durchschnitt endlicher Automaten (2)

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Durchschnitt endlicher Automaten (3)

b ha

u0 1 2 43

n

b ha

u

l c ha

0 1 2 4

5 6 7

3n

b ha

u

w l da

0 1 2 4

5 6 7

3n

21 AAA

1A

2A

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Durchschnitt endlicher Automaten

green/0.3 blue/0

yellow/0.8

0.81 2

red/0.5

0 red yellow

blue0 1 2

green

3redgreenblueyellow

red

greenblueyellow

redgreenblueyellow

red green blue yellow A B A B A B A B A B 0 0 0 1 1 3 - - 0 1 0 3 1 1 - - 0 3 0 3 1 3 - - 1 1 - - 2 0 2 2 1 3 - - 2 3 2 3 2 0 - - - - 2 2 - - - - 2 3f - - - -

A B

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Durchschnitt endlicher Automaten

green/0.3 blue/0

yellow/0.813 23

red/0.5red/0.500 03

red/0.5

green/0.3

blue/02011green/0.3

22

01

yellow/0.8

red green blue yellow A B A B A B A B A B 0 0 0 1 1 3 - - 0 1 0 3 1 1 - - 0 3 0 3 1 3 - - 1 1 - - 2 0 2 2 1 3 - - 2 3 2 3 2 0 - - - - 2 2 - - - - 2 3f - - - -

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Differenz regulärer Sprachen

Definition }|{ 2121 LxLxxLL

Bedeutung Seien 1L und 2L Sprachen über einem Alphabet , dann

enthält 21 LL alle Worte, die in 1L aber nicht in

2L enthalten sind

Beispiel {bau, glas, honig, wald} - {bau, glas, lach, mach} = {honig,

wald}

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Differenz endlicher Automaten (1)

Definition )]([)]([ 2121 xAAxAA (Mohri/Riley 2002: I, 19)

Bedingung 2A ungewichtet und deterministisch

Konstruktion Konstruktionsschritte vgl. Komplementbildung:

Wenn ein A bzw. T nicht vollständig ist (d.h. ist nur

eine partielle Funktion, d.h. nicht für alle Zustände gibt es

Kanten für alle Symbole aus ), muss zuerst ein „toter

Zustand“ konstruiert werden, zu dem die fehlenden

Übergänge führen.

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Differenz endlicher Automaten (2)

BA

green/0.3 blue/0

yellow/0.8

0.83 4red/0.5red/0.5

0 2

red/0.5

1

green/0.3 blue/0

yellow/0.8

0.81 2

red/0.5

0red yellow

blue0 2

green

1

A B

(Mohri/Riley 2002: I, 24)

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Differenz endlicher Automaten (3) - Konstruktionsschritte

red yellow

blue0 2

green

1

B1. 2. B komplettieren

red yellow

blue0 1 2

green

3redgreenblueyellow

red

greenblueyellow

redgreenblueyellow

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Differenz endlicher Automaten (4) - Konstruktionsschritte

3. B Komplementbildung

red yellow

blue0 1 2

green

3redgreenblueyellow

red

greenblueyellow

redgreenblueyellow

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Differenz endlicher Automaten (5) - Konstruktionsschritte

4. BA Schnittbildung

green/0.3 blue/0

yellow/0.813 23

red/0.5red/0.500 03

red/0.5

green/0.3

blue/02011green/0.3

22

01

yellow/0.8

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Differenz endlicher Automaten (6) - Konstruktionsschritte

5. BA Tilgung der Pfade, die nicht zu akzeptierenden Zuständen führen

green/0.3 blue/0

yellow/0.813 23

red/0.5red/0.500 03

red/0.5

green/0.3

01

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Vielen Dank

für das Aufspüren von Fehlern in früheren Versionen und für Verbesserungsvorschläge danke ich

Maximilian Albert, Christian Roth

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Literatur

• Haenelt, Karin (2004). Operationen auf endlichen Automaten und Transduktoren. Definitionen, Algorithmen, Erläuterungen und Beispiele – eine Übersicht. Kursskript 25.04.2004. http://kontext.fraunhofer.de/haenelt/kurs/folien/FSOperationenDef.pdf

• Hopcroft, John E. und Jeffrey D. Ullman (1988). Einführung in die Automatentheorie, formale Sprachen und Komplexitätstheorie. Bonn u.a.: Addison-Wesley (engl. Original: Introduction to automata theory, languages and computation)

• Kunze, Jürgen (2001). Computerlinguistik. Voraussetzungen, Grundlagen, Werkzeuge. Vorlesungsskript. Humboldt Universität zu Berlin. http://www2.rz.hu-berlin.de/compling/Lehrstuhl/Skripte/Computerlinguistik_1/index.html

• Mohri, Mehryar und Michael Riley (2002). Weighted Finite-State Transducers in Speech Recognition (Tutorial). Teil 1, Teil 2