85629592 Modulo Fundamentos Fisica

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASILUNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

Licenciatura em Química

FUNDAMENTOS DA FÍSICA

Salvador2009


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ELABORAÇÃO

Antonio Luiz Almeida

DIAGRAMAÇÃO

Nilton Rezende

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP). Catalogação na Fonte

BIBLIOTECA DO NÚCLEO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA – UNEB

ALMEIDA, Antonio Luiz.A447 Fundamentos da física. – licenciatura em química / Antônio Luis Almeida. Salvador: UNEB/ EAD, 2009. 74p.

1. Física fundamental I. Título II. Curso de Licenciatura em química III.Universidade Aberta do Brasil IV. UNEB /NEAD

CDD: 530

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PRESIDENTE DA REPÚBLICALuis Inácio Lula da Silva

MINISTRO DA EDUCAÇÃOFernando Haddad

SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIACarlos Eduardo Bielschowsky

DIRETOR DO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIAHélio Chaves Filho

SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASILDIRETOR DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DA CAPES

Celso Costa

COORD. GERAL DE ARTICULAÇÃO ACADÊMICA DA CAPESNara Maria Pimentel

GOVERNO DO ESTADO DA BAHIAGOVERNADORJaques Wagner

VICE-GOVERNADOREdmundo Pereira Santos

SECRETÁRIO DA EDUCAÇÃOOsvaldo Barreto Filho

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEBREITOR

Lourisvaldo Valentim da Silva

VICE-REITORAAmélia Tereza Maraux

PRÓ-REITORA DE ENSINO DE GRADUAÇÃOMônica Moreira Torres

COORDENADOR UAB/UNEBSilvar Ferreira Ribeiro

COORDENADOR UAB/UNEB ADJUNTOJader Cristiano Magalhães de Albuquerque

DIRETOR DO DEDC – I Antônio Amorim

NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - NEADCOORDENADOR

Arnaud Soares de Lima Junior

VICE-COORDENADOR Silvar Ferreira Ribeiro

COORDENADOR ADMINISTRATIVOJader Cristiano Magalhães de Albuquerque

COORDENADORA PEDAGÓGICASônia Maria da Conceição Pinto

COORDENADORA DE MATERIAL DIDÁTICOKathia Marise Borges Sales

COORDENADOR DE TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃOMarcus Túlio Freitas Pinheiro

COORDENAÇÃO DE ARTICULAÇÃO ACADÊMICAEmanuel do Rosário Santos Nonato

COORDENADOR DO CURSO DE LICENCIATURA EM QUÍMICA Marta Valeria Santana de Andrade

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Prezado estudante,

Este módulo é parte do material didático que dá suporte as suas atividades de auto-estudo e auto-formação no curso de Química na modalidade a distância.

Cada componente curricular dispõe de um material impresso correspondente, especialmente preparado para este curso, por docentes - pesquisadores, selecionados por sua inserção e produção na área de conteúdo específica.Além deste módulo, você também dispõe de material em mídia e do Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA).

Procure conhecer e explorar o máximo possível todo o material disponibilizado para o seu curso.

É importante ter consciência que este é um material básico, especialmente preparado para lhe oferecer uma visão essencial ao estudo do conteúdo de cada componente curricular. Portanto, ele não tem o objetivo de ser o único material para pesquisa e estudo. Pelo contrário, durante o decorrer do texto, o próprio módulo sugerirá outras leituras, apontando onde você pode encontrar fontes para aprofundar, verticalizar ou trazer outros olhares sobre a temática abordada.

Observe que, no decorrer deste módulo, os autores abrem caixas de diálogo para que você construa como interlocutor ativo, a sua leitura do texto. Elas aparecem com os ícones e objetivos listados a seguir:

Você sabia? – convida-o a conhecer outros aspectos daquele tema/conteúdo. São curiosidades ou infor-mações relevantes que podem ser associadas à discussão proposta;

Saiba mais – apresenta notas ou aprofundamento da argumentação em desenvolvimento no texto, tra-zendo conceitos, fatos, biografias, enfim, elementos que o auxiliem a compreender melhor o conteúdo abordado;

Indicação de leituras – neste campo, você encontrará sugestão de livros, sites, vídeos. A partir deles, você poderá aprofundar seu estudo, conhecer melhor determinadas perspectivas teóricas ou outros olhares e interpretações sobre aquele tema;

Sugestões de atividades – consistem em indicações de atividades para você realizar autonomamente em seu processo de auto-estudo. Estas atividades podem (ou não) vir a ser aproveitadas pelo professor-formador como instrumentos de avaliação, mas o objetivo primeiro delas é provocá-lo, desafiá-lo em seu processo de auto-aprendizagem.

Então caro estudante, encare este material como um parceiro de estudo, dialogue com ele, procure as leituras que ele indica, desenvolva as atividades sugeridas e, junto com seus colegas, busque o apoio dos tutores e a orienta-ção do professor formador. Seja autor da sua aprendizagem.

Bom estudo!

Coordenação de Material DidáticoNúcleo de Educação a Distância - NEAD

?? VOCÊ SABIA?

??? ??? SAIBA MAIS

INDICAÇÃO DE LEITURA

SUGESTÃO DE ATIVIDADE

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APRESENTAÇÃO

Caríssimos estudantes;

Temos no corpo de nossa disciplina, Fundamentos da Física, conceitos e idéias que vocês devem aprender, pois eles, com toda certeza, vão tornar-se parte da vida de cada um de vocês. Tanto na vida profissional quanto na maneira de pensar.

Você deve estar preparado para os estudos. O conteúdo aqui apresentado diz respeito à Física Clássica. Portanto, é difícil uma apresentação fiel da disciplina visto que muito já se sabe, nos dias atuais, que a natureza de todo objeto observado depende do observador. Evidentemente, diversas opiniões iniciais são esperadas e muitas outras tantas serão produzidas ao longo dos estudos de nossa disciplina. Entendo que o importante é que tenhamos em mente que devemos estudar porque precisamos estudar. Porque necessitamos estudar. Há quem diga que o homem somente se dedica a transformar as coisas, a transformar suas idéias, a transformar o mundo, apenas e somente por conta de sua necessidade. É preciso ter necessidade de aprender. A construção de um mundo melhor, mais justo, mais saudável, requer muito trabalho e muito estudo. São Tomás de Aquino1 disse que, “a esperança tem duas filhinhas lindas. Uma é a indignação e a outra é a coragem”. Desejo que todos vocês tenham esperança.

A disciplina irá se revelando à medida em que vocês forem se dedicando a ela.

Precisamos agregar valores à nossa formação. Entendo que o papel da escola é o de nos ensinar à ler e a escrever. Precisamos aprender a ler e a escrever física, química, matemática, ou seja, precisamos aprender a ler e a escrever as ciências. Com este aprendizado temos esperança de que bons frutos produziremos. Bons frutos para toda a sociedade. Para o aprendizado da leitura e da escrita é preciso reconhecer e saber sobre os elementos fundamentais e simbólicos do corpo das disciplinas para que se possa alcançar os níveis exigidos por uma formação verdadeiramente impactante e consequente. Procurei apresentar um pouco das motivações da física clássica. E tenho a certeza que esse pouco aqui e por hora apresentado em muito nos será útil como elemento de base para o futuro de nossa compreensão sobre a Física.

Desejo a todos vocês um bom estudo. Saúde, Paz, Amor e Dedicação.

Professor Antonio Luiz de Almeida

1 Os Pensadores – Editora Nova Cultura

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SUMÁRIO

Capítulo 1- INTRODUÇÃO 15

1.1 O que é a Física? 15

1.2 O que faz a Física 15

1.3 Divisões da Física 15

1.4 Áreas da Física 16

1.5 Filosofia da Física 16

Capítulo 2 - GRANDEZAS FÍSICAS 18

2.1 Definição de Grandeza 18

2.2 Grandeza Escalar 18

2.3 Grandeza Vetorial 18

2.3.1 Sistema Métrico Decimal e Sistema Internacional de Unidades 20

Capítulo 3 - VETORES 22

3.1 Introdução 22

3.2 Soma e Subtração de Vetores 22

3.2.1 Cálculo do Módulo de - Lei dos Cossenos 23

3.2.2 Cálculo dos ângulos , e - Lei dos Senos 23

3.2.3 Subtração de Dois Vetores 24

Capítulo 4 - MECÂNICA 26

4.1 Introdução 26

4.2 Cinemática 26

4.2.2 Equações de Movimento 27

Capítulo 5 - PRICÍPIOS DA DINÂMICA 30

5.1 Princípio da Inércia (Primeira Lei de Newton) 30

5.2 Princípio Fundamental da Dinâmica (Segunda Lei de Newton 30

5.3 Princípio da Ação e Reação (Terceira Lei de Newton) 30

5.3.1 Teorema da Conservação do Momento Linear 31

5.3.2 Trabalho e Energia 34

5.3.3 Notas Finais sobre os Princípios de Conservação 35

Capítulo 6 - OSCILAÇÕES 36

6.1 Introdução 36

6.2 Movimento Harmônico Simples 36

6.3 Movimento Oscilatório Harmônico 36

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6.3.1 Período e Freqüência 37

6.3.2 Análise Qualitativa de uma Oscilação 37

6.3.3 Elongação, Velocidade, Aceleração e Força no MHS 38

6.3.4 Elongação, Velocidade e Aceleração em Função do Tempo 40

6.4 Energia no MHS 40

Capítulo 7 - ONDAS 44

7.1 Introdução 44

7.1.1 Ondas Longitudinais e Transversais 44

7.1.2 Ondas bi e tridimensionais 44

7.1.3 Amplitude de uma onda 44

7.1.4 Ondas Elásticas 44

7.1.5 Ondas Eletromagnéticas 45

7.1.6 Espectro da Radiação Eletromagnética 45

7.2 Propagação de Ondas 47

Capítulo 8 - FLUÍDOS 51

8.1 Introdução 51

8.2 Hidrostática 51

8.2.1 Pressão e Densidade 51

8.2.2 Variação de Pressão em um Fluido em Repouso 51

8.2.3 Princípios de Pascal e de Arquimedes 51

Capítulo 9 - TERMODINÂMICA 54

9.1 Princípios da Termodinâmica 54

9.2 Leis da Termodinâmica 54

9.3 Conceitos Fundamentais 54

9.3.1 Sistema 54

9.3.2 Vizinhança: 54

9.3.3 Fronteira: 54

9.3.4 Tipos de Sistema 54

9.3.5 Tratamento Macro e Microscópico da Termodinâmica 54

9.3.6 Propriedades Termodinâmicas 54

9.3.7 Propriedades Extensivas 55

9.3.8 Propriedades Intensivas 55

9.4 Termômetro e Escala de Temperatura Galileu 55


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9.5 Expansão Térmica 55

Capítulo 10 - GASES IDEAIS 57

10.1 Capacidade Térmica e Calor Específico 57

Capítulo 11 - ELETRICIDADE E MAGNETISMO 59

11.1 Introdução 59

11.2 A Natureza Elétrica da Matéria 59

11.3 Lei de Coulomb 60

11.4 Campo Elétrico 60

11.5 Dielétricos 61

11.6 Circuitos Elétricos e Forças Eletromotrizes 61

11.7 Efeitos Térmicos da Eletricidade 62

11.8 Energia Elétrica 62

11.9 Lei de Ohm 62

11.10 Campo Magnético 62

11.11 Eletroímã 63

11.12 Circuitos Elétricos 64

11.13 Resistores 64

11.13.1 Associação de Resistores 64

11.14 Leis de Kirchhoff 65

11.14.1 Leis da Corrente de Kirchhoff (LCK) 66

11.15 Capacitância 66

11.15.1 Associação de capacitores 67

11.16 Circuitos RC 67

11.16.1 Descarga do Capacitor no Circuitos RC 67

11.16.2 Acumulação de carga num capacitor no circuito RC 68

Capítulo - 12 ÓPTICA 70

12.1 Introdução 70

12.2 Óptica Geométrica 70

12.2.1 Reflexão e Refração da Luz 71

12.3 Propagação da Luz 73

12.3.1 Teoria corpuscular da luz 73

12.3.2 Teoria ondulatória da luz 73

Referências 74


QUÍMICA

MAT

EMÁT

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CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO“O Mundo não é uma idéia minha. Mas,

a idéia que eu tenho do mundo é a minha

idéia”.

Fernando Pessoa2

1.1. O que é a Física?Física é a ciência que estuda a natureza em seus

aspectos mais gerais. O termo vem do grego (physiké), que significa natureza. Atualmente, é dificílimo definir qual o campo de atuação da física, pois ela aparece em diferentes campos do conhecimento que, a primeira vista, parecem completamente descorrelacionados. A Física concebe a natureza por meio das radiações e matéria. Como ciência, faz uso do método científico. Baseia-se essencialmente na matemática e na lógica ao formular seus conceitos.

1.2 O que faz a Física

Figura3

A Física estuda a natureza. Entretanto, outras ciên-cias também o fazem: a Química, a Biologia, a Geologia, a Economia (ainda que seja a natureza humana). Como definir a área de atuação de cada uma delas? Esta é uma pergunta difícil, sem resposta consensual. Ainda mais quando áreas interdisciplinares aparecem aos montes: Físico-Química, Biofísica, Geofísica, Econofísica etc.

2 http://www.pensador.info/p/frases_de_fernando_pessoa/13/

3 http://www.forum.clickgratis.com.br/rockcollection/t-1753.html

Alguns dizem que físicos estão interessados em de-terminar a natureza do espaço, do tempo, da matéria, da energia e das suas interações. Esta definição exclui certas áreas mais novas da Física que trabalham com a Biologia, por exemplo. Outros dizem que Física é a única ciência fundamental e que estas divisões são artificiais, ainda que tenham utilidade prática. Seu argumento é simples: a Física descreve a dinâmica e a configuração das partículas fundamentais do universo. O universo é tudo que existe e é composto destas partículas. Então todos os fenômenos, eventualmente abordados em outras ciências, poderiam ser explicados em termos da física destas partículas. Seria como dizer que todos os resultados das outras ciências podem ser derivados em bases físicas. Isso já acontece com explicações de fenômenos antes demonstrados pela Química e hoje explicados pela Física. Entretanto, ainda não é muito fácil explicar a maioria dos fenômenos de outros ramos da ciência, pois isto envolve campos ainda não explorados e uma matemática muito elaborada. Com base nisso, alguns chegam a sugerir que até mesmo o cérebro um dia poderá ser descrito por uma equação ou um conjunto de equações matemáticas (muito provavelmente, envolvendo muitos argumentos de probabilidade). Há os que defendem que as divisões da ciência têm origem social e histórica. Segundo eles, as definições da Física são forjadas para tentar reunir todos aqueles aceitos como físicos na sociedade. Tal-vez quem esteja certo seja quem acredite na máxima: físicos são pessoas diferentes, em lugares diferentes, fazendo coisas diferentes.

1.3 Divisões da FísicaComo outras ciências, a Física é dividida de acordo

com diversos critérios. Em primeiro lugar há uma divi-são fundamental entre física teórica, física experimental e física aplicada (os dois primeiros ramos se reúnem sob a denominação de pesquisa básica).

• A Física Teórica procura criar e definir novas te-orias que condensem o conhecimento advindo das experiências; também vai procurar formular as perguntas e os experimentos que permitam expandir o conhecimento.


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• A física Experimental conduz experimentos ca-pazes de validar ou não teorias científicas, ou mesmo corrigir aspectos defeituosos destas te-orias.

• A Física Aplicada trata do uso das teorias físicas na vida cotidiana.

Uma outra divisão pode ser feita pela magnitude do objeto em análise. A Física Quântica trata do universo do muito pequeno, dos átomos e das partículas que compõem os átomos; a Física Clássica trata dos ob-jetos que encontramos no nosso dia-a-dia; e a Física Relativística trata de situações que envolvem grandes quantidades de matéria e energia. Mas a divisão mais tradicional é aquela feita de acordo com as propriedades mais estudadas nos fenômenos. Daí temos a Mecânica, quando se estudam objetos a partir de seu movimento ou ausência de movimento e também as condições que provocam esse movimento; a Termodinâmica, quando se estudam o calor, o trabalho, as propriedades das substâncias, os processos que as envolvem e as transformações de uma forma de energia em outra; o Eletromagnetismo quando se analisam as propriedades elétricas, aquelas que existem em função do fluxo de elétrons nos corpos; a Ondulatória, que estuda a propa-gação de energia pelo espaço; a Óptica, que estuda os objetos a partir de suas impressões visuais; a Acústica, que estuda os objetos a partir das impressões sonoras; e mais algumas outras divisões menores.

1.4. Áreas da Física• Acústica• Astrofísica• Biofísica• Ciência Planetária• Cosmologia• Dinâmica dos Fluidos• Econofísica• Eletromagnetismo• Eletrônica• Física Atmosférica• Física Atômica• Física Biomédica• Física Computacional• Física da Computação

• Física da Matéria Condensada• Física de Materiais• Física de Partículas• Física de Plasmas• Física Matemática• Física Médica• Física Molecular• Física Nuclear• Física Oceânica• Física Química• Geofísica• Mecânica Clássica• Mecânica Estatística• Mecânica Quântica• Óptica• Relatividade Geral• Relatividade Restrita• Teoria Clássica de Campos• Teoria Quântica de Campos• Termodinâmica• Termologia

1.5 Filosofia da FísicaHá muito de física em Filosofia, Metafísica, Ciência

e Método Científico. Entretanto, existem filosofias peculiares à Física que serão mencionadas aqui. Uma delas é o Determinismo Científico. Ao conceber que tudo não passa de partículas e que seu movimento é definido em qualquer instante quando se determina a posição e a velocidade da partícula no momento atual, pode-se dizer que todo o futuro já está determinado. O Demônio de Laplace nasce assim, apesar de ter sido arranhado pela Mecânica Quântica quanto a sua definição e pelo Caos quanto a sua implementação. Ex-tensões desse pensamento centrado no Determinismo Científico adequadamente adaptadas às dificuldades teóricas têm consequências filosóficas profundas, por exemplo: se aceitamos que o cérebro comanda todas as ações humanas e se é feito somente de átomos (governados apenas por leis da Física), é preciso perguntar se realmente a pessoa tem livre arbítrio para controlar seu comportamento. No entanto, há um debate se cabe à Física ou à Metafísica responder a estas questões filosóficas. Outra questão é a busca e


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a crença em uma teoria geral, única, consistente que descreva todos os processos do universo. Tal teoria deveria contemplar a Mecânica Quântica e a Teoria da Relatividade como casos especiais, bem como todas as outras teorias existentes. Também deveria ser baseada apenas em argumentos matemáticos, ou seja, sem nenhuma constante fundamental. Várias teorias já foram consideradas como teoria fundamental, por exemplo, a Supersimetria. Entretanto, esta é uma questão aberta e talvez sempre seja.

?? VOCÊ SABIA?

Dentre as muitas coisas intrigantes, poucas há tão misteriosas quanto o tempo. A ironia é que mal nos damos conta disso. Estando desde o nascimento submetidos a uma mesma noção de tempo, aceita por todos à nossa volta, tendemos a achar que ela é a única que corresponde à realidade. Causa um grande choque saber que outras culturas têm formas diferentes de perceber o tempo e de representar o curso da história. Ainda assim, acreditamos que elas estão erradas e nós, certos. Ledo engano.Historicamente, o tempo foi percebido de formas diferentes. Os gregos antigos tinham uma noção cíclica do tempo. Para eles, o tempo se iniciava com as prodigiosas eras de ouro e dos deuses, declinando depois, até chegar à crise final com a fraqueza e penúria da era dos homens, quando, então, se reiniciava o ciclo. Para os romanos, o tempo se enfraquecia na medida em que se afastava do mais sagrado dos eventos: a fundação de Roma. Na Idade Média, prevalecia o tempo recursivo, pelo qual os cristãos acreditavam percorrer uma via penitencial, desde a expulsão do Jardim do Éden até o retorno ao Paraíso.Foi só com a consolidação do capitalismo, a partir do Renascimento, que passou a prevalecer uma noção de tempo quantitativo, dividido em unidades idênticas e vazias de qualquer conteúdo mítico, cujo símbolo máximo foi o relógio mecânico, com seu incansável tic-tac. Essa foi também a época em que a ciência e a técnica se tornaram preponderantes. Nesse contexto, o maior dos cientistas modernos, Sir. Isaac Newton, formalizou o conceito de tempo como sendo absoluto. Como pertencemos a esse tempo moderno, é ele que apreendemos, em casa, na escola e nos relógios ao redor. E achamos, como Newton, que ele é o único verdadeiro!Mas o mundo moderno foi-se complicando, e esse conceito fixo e fechado se tornou cada vez menos satisfatório. De fato, o amplo conhecimento de outras culturas e as grandes transformações científicas forçaram a admitir que cada povo cria as noções de tempo que correspondam às suas formas e necessidades de vida.O que é claro, no caso da cultura moderna, é que nossa

percepção de tempo ficou coligada ao desenvolvimento tecnológico. Assim, dos moinhos de vento às caravelas, às ferrovias, aos veículos automotores, aos transatlânticos, aos aviões, ao cinema, ao rádio, e à tevê, sentimos um efeito de aceleração permanente. O último e mais dramático episódio nesta saga da aceleração foi assinalado pela Revolução da microeletrônica, a partir dos anos 70. Num repente, fomos invadidos por inúmeros prodígios técnicos: fax, bips, PCs, celulares, TVs a cabo, modems, e-mail... O aparato digital entrava em cena, em toda a sua multiplicidade de recursos.Tudo parece convergir para tornar as comunicações mais rápidas, o trabalho mais produtivo, a vida mais fácil e para configurar uma nova concepção de tempo: um tempo extremamente célere, controlado, agora, pelo homem e suas tecnologias digitais.

Nicolau Sevcenko


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CAPÍTULO 2

GRANDEZAS FÍSICAS

“Na educação dos filhos é que se revela

a virtude dos pais”.

Coelho Neto4

2.1 Definição de GrandezaGrandeza é qualquer entidade física passível dum

processo de medição. Distingue-se a grandeza intensiva da extensiva. À primeira se pode atribuir uma medida independente da massa do sistema a que se reporta. É o caso, por exemplo, da pressão, da temperatura, do campo eletromagnético etc. A grandeza extensiva depende intrínsicamente da massa do sistema. É o caso do volume, da energia.

2.2 Grandeza EscalarDiz-se de uma grandeza que pode ser caracterizada

exclusivamente por um número e uma unidade. Por exemplo, a massa de um corpo, a temperatura de um sistema, o índice de refração de um cristal isotrópico, a energia de um sistema, o tempo.

2.3 Grandeza VetorialDiz-se de uma grandeza que para ser definida, no

seu processo de medida, além de um número e uma unidade, necessita-se dos conceitos de direção e de sentido bem definidos. Por exemplo, posição, velocida-de, aceleração, força, quantidade de movimento.

??? ??? SAIBA MAIS

PESOS E MEDIDAAntiguidadeEm nossa civilização atual, os processos de medição são bastante complexos, a fim de satisfazerem às necessidades da ciência a da tecnologia. Em épocas remotas, o homem utilizou processos simples, suficientes para a sua técnica primitiva.Mas, quando começou a medir? Começou provavelmente quando ainda nem falava, pois poderia medir ou comparar um peixe com outro, a saber, qual o maior ou o menor. Também

4 http://www.ditados.com.br/AUTOR.ASP?autor=Coelho%20Neto

seria do seu conhecimento que uma certa quantidade de alimento saciava sua fome. Obviamente, eram maneiras intuitivas de medir.A partir do momento em que o homem passou a viver em grupos e à proporção que esses aglomerados cresciam, a necessidade de medir aumentava ainda mais. As maneiras como mediam as grandezas eram bastante simples: usavam partes do próprio corpo, como o comprimento do pé, a largura da mão ou a grossura do dedo, o palmo e a passada. Utilizavam ainda uma vara ou um bastão.Com o surgimento das primeiras civilizações, tais processos não mais satisfaziam às necessidades dos homens, pois os mesmos sabiam constatar as diferenças daquelas partes para cada indivíduo. As construções de casas a navios, a divisão de terras e o comércio com outros povos exigiam medidas padrões, que fossem as mesmas em qualquer lugar. Assim, um mercador de tecidos da Babilônia poderia vender sua mercadoria em Jerusalém, usando uma vara padrão de tamanho aproximado ao da adotada lá.Os povos antigos, os egípcios, os babilônios, os assírios, os chineses, os persas a os gregos - possuíam padrões diferentes de comprimento. A unidade de comprimento dos babilônios era o dedo (aproximadamente ). Usavam também o cúbito, que equivalia a 30 dedos. O pé e a polegada foram, em geral, para esses povos, as unidades padrões.É interessante ressaltar que, segundo L. A. Sanches, os egípcios possuíam uma estranha medida denominada “polegada piramidal”, encontrada na grande pirâmide de Quéops, junto ao Nilo, construída a 3 ou 4 mil a.C. Ao ser estudada, concluíram que o diâmetro da Terra mede um bilhão e meio destas polegadas. O cálculo do perímetro da base da pirâmide resulta polegadas, resultado cujos algarismos exprimem exatamente o número de dias do ano solar (365,242 dias).O homem também precisou pesar, ou melhor, comparar massas, pois peso e massa são duas grandezas diferentes, sendo o primeiro uma força resultante da atração gravitacional, como você verá mais adiante no seu curso de Física. Massa é a quantidade de matéria de um corpo, ou em termos mais físicos, é a resistência que ele oferece a uma força aplicada. O peso pode variar dependendo das condições e a massa é invariante no estado de repouso.Nos primeiros tempos, o homem comparava a massa de dois corpos equilibrando-os um em cada mão. Até que surgiu a primeira máquina de comparação: uma vara suspensa no meio por uma corda. Os objetos eram pendurados nas suas extremidades e, se houvesse o equilíbrio, ou seja, se a vara ficasse na horizontal, eles possuíam a mesma massa.Os povos antigos padronizaram centenas de diferentes pesos e medidas para atender às necessidades de suas civilizações.O grão de trigo tirado do meio da espiga, provavelmente foi o primeiro elemento padrão de peso. Dos sistemas adotados, um deles propagou-se pela Europa toda e hoje ainda é usado pelos países de língua inglesa, após pequenas modificações: trata-se do sistema comercial chamado “avoirdupois”, palavra francesa que significa “bens de peso”. Suas unidades são:• grão (gr)• dracma (dr)• onça (oz)


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• libra (lb)• quintal (cwt)• tonelada (t)

Com relação ao tempo, apesar de não poder segurá-lo ou guardá-lo, o homem conseguia medi-lo registrando as repetições dos fenômenos periódicos. Qualquer evento familiar servia para marcar o tempo: o período entre um e outro nascer do Sol, a sucessão das luas cheias, ou a das primaveras.Você deve saber que, assim como os antigos, os índios contavam os anos por invernos ou verões, os meses por luas e os dias por sóis. Tais cálculos não eram muito exatos. As horas de claridade entre o nascer e o pôr do sol variam muito durante o ano. Já o período que vai de uma lua cheia a outra permanecia constante. Logo os homens perceberam tal fato e concluíram que a maneira mais exata de medir o tempo era baseando-se na periodicidade de eventos em corpos celestes.O nosso ano é o período de tempo em que a Terra faz o seu movimento de translação em torno do Sol. Ele é, às vezes, chamado de ano astronômico, equinocial, natural ou solar. Os cientistas chamam-no geralmente de ano trópico e tem 365 dias, 5 horas, 48 minutos, 45 segundos e 7 décimos. Como no calendário consideramos apenas 365 dias, a cada quatro anos, as horas e os minutos que sobram são reunidos, formando mais um dia, que aparece no ano bissexto.0 mês foi a primeira medida exata de tempo. Era calculado de uma lua cheia a outra e tinha exatamente 29 dias e meio. Entretanto, dividindo-se o ano em meses lunares, obtinha-se 12 meses e uma sobra de 11 dias. Não havia relação exata entre o ano calculado pela translação da Terra em torno do Sole o mês lunar. Isto originava confusão ao iniciar um novo mês. Outras tentativas de divisões em relação a fenômenos naturais foram refutadas pela mesma razão. Júlio César, no ano 46 A.C. aboliu o ano lunar e adotou o ano solar de 365 dias, com um dia a mais a cada quatro anos. Os meses eram baseados aproximadamente nos meses lunares, porém com duração diferente. Os imperadores romanos costumavam subtrair dias de alguns meses para adicioná-los a outros, seus favoritos.A semana de 7 dias não tem relação exata com os corpos celestes e seus movimentos, embora a divisão do mês em quatro semanas tenha origem nas divisões que representavam as quatro fases da Lua.O dia é estabelecido pelo período de rotação da Terra em torno do seu eixo.A hora é a vigésima quarta parte do dia, não existindo, porém, relação entre os fenômenos naturais e as repetições de duração de uma hora: a divisão foi feita arbitrariamente e por conveniência.O relógio de Sol, que consistia em um bastão espetado no chão no centro de um círculo, foi o primeiro instrumento para medir o intervalo de tempo.Uma hora possui 60 minutos e este, 60 segundos. Esta divisão foi feita pelos antigos babilônios (aproximadamente 2000 a.C.), que adotavam um sistema de base sexagesimal, pois já haviam dividido o círculo na base 60, critério que até hoje conservamos.

Idade Média e RenascençaOs pesos e medidas usados nas civilizações anti-

gas eram levados a outras através do comércio ou da conquista. Assim, no início da Idade Média, as unida-des adotadas eram as dos romanos, o último e maior império da Antiguidade, que levaram-nas por toda a Europa, oeste da Ásia e África. Sem dúvida, os mais usados eram ainda aqueles das dimensões humanas. Obviamente eram necessárias medidas mais precisas para certas atividades, como no caso das construções bizantinas e árabes. Esses povos certamente possuíam seus padrões de pesos e medidas, embora fossem diferentes para cada região. Ao que tudo indica, ne-nhum padrão foi criado em termos nacionais, até que, na Inglaterra, Ricardo I (reinou de 1189 a 1199, já no século XII) determinou unidades para comprimento e para capacidade. Estas eram de ferro e mantidas em várias regiões do país por autoridades regionais com o objetivo de comprovar a veracidade de uma medida. Datam desta época a jarda e o galão, até hoje usados pelos países de língua inglesa.

Várias versões existem para explicar o aparecimento da jarda: no norte da Europa, supõe-se que era o tama-nho da cinta usada pelos anglo-saxões e no sul seria o dobro do comprimento do cúbito dos babilônios. Seu valor também pode ter sido determinado por Henrique I (reinou de 1100 a 1135), que teria fixado o seu com-primento como sendo a distância entre o seu nariz e a ponta de seu braço esticado. Informações como esta provavelmente não carecem de verdade, pois a maioria dos padrões da Idade Média era realmente criada pelos soberanos, primeiros interessados nas medidas dos valores de seus reinos.

Os pesos padrões eram aqueles dos povos antigos, conforme a região, em geral mantendo o grão como uni-dade fundamental. Em algumas regiões européias, con-tinuava o uso do sistema “avoirdupois” nas transações comerciais. Para o comércio de jóias e pedras preciosas, que exigia processos de medidas mais delicados, era usado o sistema “troy”, cujas unidades eram:

• grão (gr.)• pennyweight (dw.t)• onça (oz.t)• libra (Ib.t)

Para pedras preciosas, a unidade era o quilate, que equivale aproximadamente a 4 grãos.


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De todos os padrões de pesos e medidas criados, nenhum conseguiu uma utilização internacional e homogênea, existindo ainda aqueles remanescentes da Antiguidade. A situação se tornava mais delicada e confusa, devido a reprodução inexata, erros de inter-pretação e desonestidade de alguns.

O mesmo não aconteceu com as medidas de tempo que já haviam sido padronizadas por Júlio César, sendo seu calendário adotado pelo menos em toda a Europa. Ainda devemos lembrar que nas invenções do fim da Idade Média e Renascença eram adotados padrões cautelosos, pois se tratava de uma nova atividade e podia ser muito bem con-trolada. Como exemplo, a tipografia e a imprensa, cujos tipos móveis de padrões internacionais foram criados em fins do século XV e são até hoje mantidos.

2.3.1 Sistema Métrico Decimal e Sistema In-ternacional de Unidades

Em fins do século XVIII, a diversificação de me-didas era enorme, dificultando muito as transações comerciais. Na França, a situação estava pior e graças às novas idéias trazidas pela Revolução Francesa de 1789 e as imposições que fazia o florescimento da era industrial, foi criada uma comissão de homens de ciência para a determinação e construção de padrões, de tal modo que fossem universais.

Os padrões deveriam reproduzir os fenômenos natu-rais, para não dependerem de futuras mudanças. Após estudos e pesquisas, a comissão que incluía nomes famosos como Borda, Lagrange e Laplace concluíram que a unidade de comprimento deveria pertencer ao sistema decimal, de maior facilidade, e presa a um dos três seguintes fenômenos naturais:

• comprimento de um pêndulo de período (2 osci-lações) igual a 1 segundo, latitude ;

• comprimento de 1/4 do círculo equatorial;• comprimento de 1/4 de meridiano terrestre do

equador a um dos pólos.

Como na primeira a medida iria depender de grande-zas alheias ao comprimento, como o tempo e o peso, e como medidas do equador eram quase impossíveis, foi aceita a proposição do meridiano, pois, além de não apresentar os defeitos das anteriores, já contava com uma boa comparação. 0 meridiano que passa por Paris já havia sido medido precisamente e podia ser comparado com a nova determinação.

Imediatamente foram tomadas as medidas neces-sárias para o trabalho e designadas cinco comissões para a execução, onde figuravam Lavoisier, Coulomb e Legendre. Devido à demora que o empreendimento levaria e à urgência da criação do sistema, foi proposto e aceito pela Assembléia o metro provisório, baseado na medida antiga. Mais tarde verificou-se que a diferença realmente era mínima.

As unidades padrões eram o metro, o quilograma e o segundo.

O metro foi definido como a décima milionésima parte do meridiano terrestre medido de Dunkerke a Barcelona.

A unidade de massa era o quilograma, construído em platina iridiada, massa próxima de 1 litro de água destilada a .

O segundo era a unidade de tempo, de valor 86400 avos do dia solar médio.

Por decreto lei, as unidades tornaram-se oficiais na França e, passados alguns anos, vários países já as adotavam.

Os padrões foram feitos e cópias exatas foram en-viadas aos países que legalizaram o sistema métrico, dentre eles o Brasil.

Anualmente, por volta de 1870, reuniam-se em Paris os membros da Confederação Internacional de Pesos e Medidas e, em 1875, determinou-se a criação do Bu-reau Internacional de Medidas. Participaram 30 países, dentre os quais o Brasil, através de seu representante, Visconde de ltajubá.

A Inglaterra resolveu não adotar o sistema decimal, mantendo até hoje suas unidades, juntamente com os Estados Unidos.

Com o desenvolvimento científico e tecnológico de nosso século, verificou-se, além de melhores maneiras de definir as unidades, a insuficiência destas, pois não havia um padrão para grandezas fundamentais como no caso da eletricidade.

Enfim, em 1960, na XI Conferência Internacional de Pesos e Medidas, foi adotado o Sistema Internacional de Unidades e o metro e o segundo foram redefinidos, como você encontrou neste capítulo.

As grandezas fundamentais do SI são: Comprimen-to, Massa, Tempo, Intensidade Elétrica, Temperatura e Intensidade Luminosa.

Devido a sérios prejuízos que sofre a Inglaterra pela não adoção do SI, ela passou a usá-lo oficialmente.


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Como você deve ter observado, um modelo ou uma teoria científica nunca é eternamente exata, podendo vir a sofrer mudanças conforme a própria ciência e tecno-logia exija, de acordo com o seu desenvolvimento.

Figura5

5 http://www.surfpoint.com.br/fotos/f618_Big_pato_teahupoo2006_onda.jpg


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CAPÍTULO 3

VETORES

“A mente que se abre a uma nova idéia,

jamais volta ao seu tamanho original”.

Albert Einstein6

3.1 IntroduçãoAs grandezas vetoriais seguem os fundamentos

matemáticos da álgebra vetorial. É preciso conhecer os vetores e sua álgebra para sabermos lidar com as grandezas vetoriais. Definimos um vetor como um seguimento de reta orientado, tal como ilustra a figura ( ). Da figura vemos que um vetor tem módulo (comprimento), direção e sentido. A direção de um vetor pode ser vertical, horizontal, ou oblíqua. Mas o fato é que direção é um conceito relativo, ou seja, é preciso outras “entidades” matemáticas, relacionando-se com um vetor para que possa ser possível definir sua direção. Essas outras entidades, as quais me refiro, devem ser, preferencialmente, um outro vetor, ou uma semi-reta ou uma reta. O conceito de direção define-se no ân-gulo formado pelo vetor e aquelas outras “entidades”. Na figura seguinte, vemos que o vetor ( ) forma ângulos diferentes com as diferentes retas, ou seja, a direção do vetor depende da reta a qual tomamos como referência.

Figura 3.1

No caso dos vetores que ilustramos, vemos que, por mero acaso, todos estão na horizontal. Podemos dizer, a priori, que a direção desses vetores é a direção horizontal. Vemos que neles há uma seta. A seta na fi-gura dos vetores define o sentido dos vetores. Podemos dizer que os nossos vetores, anteriores, estão na direção horizontal e sentido para a direita. É fato que em toda direção há, potencialmente, dois sentidos. É preciso, em uma determinada direção “escolhermos” um sentido,

6 http://www.pensador.info/p/frases_de_albert_einstein/1/

o que implica, concomitantemente a “eliminação” do outro sentido, implícito na direção. Quando isso ocorre, dizemos que houve uma orientação na direção do ve-tor. Vetor é um segmento de reta orientado. Assim, as grandezas vetoriais são seguimentos de reta orientadas. Um seguimento de reta orientado (vetor) tem módulo (comprimento), direção e sentido.

NOTA: Ao darmos nome a um vetor, precisamos colocar uma pequena seta sobre o seu nome. Por exemplo, vetor . É bem provável, algumas vezes, que estejamos interessados em saber apenas sobre o comprimento (módulo) do vetor. Quando isso ocorre, escrevemos o nome do vetor, com seta, entre barras de módulo ou escrevemos o nome do vetor sem a seta e sem as barras de módulo. Usando o nosso vetor como exemplo, se estamos interessados apenas em seu módulo, devemos escrevê-lo como ou como .

NOTA: dois ou mais vetores são iguais quando todos têm o mesmo módulo (comprimento), mesma direção e mesmo sentido.

NOTA: dois vetores e são opostos, quando eles têm o mesmo módulo, mesma direção e sentidos contrários.

3.2 Soma e Subtração de VetoresPodemos somar e subtrair vetores. Por, exemplo,

dados dois vetores e , podemos somá-los e obtermos como resultado da soma um terceiro vetor

, ou seja,

(3.1)

Como ilustração da soma de vetores, dada na equação (3.1), temos a figura seguinte:

Da figura temos que é o ângulo (direção) formado

por e , o ângulo (direção) formado por e


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e o ângulo (direção) formado por e .

Da equação (3.1) partimos do princípio que e são completamente conhecidos, ou seja, conhecemos os seus módulos, direções (o ângulo ) e sentidos.

3.2.1 Cálculo do Módulo de - Lei dos Cos-senos

Para a obtensão do módulo de seguimos o se-guinte raciocínio: da figura (3.2) vemos que o triângulo

é um triângulo retângulo e que é a sua hipote-nusa. Assim, usando a Lei de Pitágoras para o triângulo

retângulo , podemos escrever:

(3.2)

Vemos, na equação (3.2), que os seguimentos de reta e ainda são incógnitas. Mas do triângulo

temos que e . Ao substituirmos esses “valores” na equação (3.2), obtemos:

Ou seja,

(3.3)

Com a equação (3.3), podemos calcular o módulo

(comprimento) de . A equação (3.3) é chamada Lei dos Cossenos.

Figura7

7 http://qchose.files.wordpress.com/2008/12/1252724.jpg

3.2.2 Cálculo dos ângulos , e - Lei dos Senos

Os valores dos ângulos , e implicam a definição das respectivas direções relativas dos vetores.

Para obtermos as relações necessárias para os cálculos dos nossos ângulos tal como apresentados na figura (3.2) vemos que:

Do triângulo, , de forma que:

(3.4)

• Do triângulo , , nos permite escrever:

(3.5)

Das equações (3.4) e (3.5) , concluímos que , de modo que:

(3.6)

• Da mesma figura, encontramos, no triângulo

que

(3.7)

Também encontramos, no triângulo , que

(3.8)

Das equações (3.7) e (3.8), encontramos que

(3.9)

• Combinando as equações (3.6) e 3.9), podemos escrever a expressão:

(3.10)

A equação (3.10) é chamada Lei dos Senos.A Lei dos Senos nos fornece a relação dos ângulo , e .


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3.2.3 Subtração de Dois Vetores

A subtração de dois vetores pode ser obtida da expressão:

(3.11)

Ou seja, a subtração de dois vetores é o mesmo que a soma de um vetor com o inverso do outro, tal como ilustra a figura (3.4). Da mesma figura, vemos

que o ângulo formado por e é o ângulo

. Assim, o módulo de pode ser obtido por meio da seguinte expressão:

(3.12)

?? VOCÊ SABIA?

Os Vetores surgiram no início do século XIX com trabalhos de Caspar Wessel (1745–1818), Jean Robert Argand (1768–1822) e Carl Friedrich Gauss (1777–1855) que no estudo dos números complexos como pontos no plano bidimensional os representaram como segmentos de reta orientados com representação bidimensional. Diversos matemáticos e cientistas trabalharam na mesma época com este tipo de representação, sem a denominação de vetores, mas como pares ordenados de números reais. Avanço significativo houve em 1827 com August Ferdinand Möbius quando publicou um pequeno livro, The Barycentric Calculus, no qual introduziu diretamente segmentos de reta denotados por letras do alfabeto, vetores na essência, mas ainda não no nome. No seu estudo de centros de gravidade e geometria projetiva, Möbius desenvolveu uma aritmética destes segmentos de reta; adicionou-os e mostrou como multiplicá-los por um número real. Seus interesses estavam em outro lugar, e ninguém se importou em notar a importância destes cálculos.

“O tempo e o espaço são modos pelos quais pensamos e não condições nas quais vivemos.”

Albert Eisntein8

Exercícios Resolvidos (Exemplos)

Exemplo (3.1)Dois vetores cujos módulos são de 6 e 9 unidades de comprimento, formam um ângulo de (a) , (b) , (c) , (d) e (e) . Determine o módulo da soma desses vetores e a direção do vetor resultante com relação ao vetor menor.• Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):

Com o uso da figura (3.2) e a lei dos cossenos (equa-ção 3.3) podemos obter o módulo do vetor resultante, da soma dos vetores, para cada um dos ítens da ques-tão e igual aos valores definidos em cada item.

Da figura (3.2), tomamos e .

A direção do vetor resultante com o menor vetor é obtida com a lei dos senos, equação (3.10).Letra (a):

No item (a) de forma que a equação (3.3) pode ser posta na forma:

v=15uc

Com o uso da lei dos senos, equação (3.10), obtemos o ângulo formado pelo vetor resultante e o menor vetor

(figura 3.2), como segue:

Isso implica que o ângulo é igual a .



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Sugestões de Atividades (3.1)O vetor resultante de dois outros é de 10 unidades de comprimento ( ) e forma um ângulo de com um dos vetores componentes, que é de 12 unidades de comprimento ( ). Determine o módulo do outro vetor e o ângulo entre os dois.

Resp. (a) , (b)

Sugestões de Atividades (3.2)Determine o ângulo entre dois vetores, de 8 e 10 uni-dades de comprimento, quando o vetor resultante faz um ângulo de com o vetor maior. Calcule também o módulo do vetor resultante. Resp. (a) , (b)

Sugestões de Atividades (3.3)A resultante de dois vetores é de 30 unidades de com-primento e forma, com eles, ângulos de e . Determine os módulos dos dois vetores. Resp. , .

Sugestões de Atividades (3.4)Dois vetores, de 10 e 8 unidades de comprimen-to, formam um ângulo de (a) , (b) e (c)

. Determine o módulo da diferença e o ân-gulo ângulo que esta faz com o vetor maior. Resp. (a) , (b) , (c)

.

Sugestões de Atividades (3.5)São dados quatro vetores coplanares, de 8, 12, 10 e 6 unidades de comprimento, respectivamente; os três últimos fazem, com o primeiro, os ângulos de ,

e , respectivamente. Determine o módulo e a direção do vetor resultante.

Resp. (a) , (b)


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CAPÍTULO 4

MECÂNICA

“El mundo que hemos creado como resultado

de nuestro pensamento hasta hoy día tiene

problemas que no pueden resolverse si seguimos

pensando de la forma como pensamos cuando

lo creamos.”

Albert Einstein9

4.1 Introdução

Mecânica é a parte da Física em que se investiga o movimento e suas causas. Tradicionalmente, compre-ende a cinemática, em que se anilisam os movimentos sem investigar as suas causas, a dinâmica, onde se estudam as forças e os movimentos que provocam e a estática, em que se abordam os problemas de equilíbrio dos sistemas.

Esta divisão corresponde, em geral, a um nível relati-vamente elementar. Em nível mais elevado, os fenôme-nos mecânicos são analisados na mecânica analítica, em que o instrumental matemático é elaborado e muito poderoso. Na mecânica analítica clássica ou newtonia-na, o fundamento teórico é constituído pelas Leis de Newton ou por princípios que lhes sejam equivalentes. Na mecânica relativística, as leis de Newton modificam-se e generalizam-se para que a construção teórica seja feita de acordo com o princípio da relatividade.

A mecânica é uma das partes mais desenvolvidas da Física e constitui, juntamente com a teoria eletromagné-tica de Maxwell, uma construção teórica característica do século XIX. Ainda hoje, é a base de importantes aplicações práticas tais como a engenharia civil, a investigação das propriedades estruturais dos sólidos, a investigação do movimento em meios contínuos e seus inúmeros empregos particulares.

4.2 CinemáticaCinemática é a parte da mecânica em que estudam

os movimentos sem que se indaguem as causas que os produzem, nem os fatores que os influenciam. Fazem parte integrante do seu objeto a investigação sobre as

9 http://www.pensador.info/p/frases_de_al-bert_einstein/1/

relações entre espaço percorrido e tempo; entre espaço, velocidade e aceleração; a integração das equações diferenciais dos movimentos; a representação dos mo-vimentos em diversos sistemas de coordenadas etc.

A cinemática é clássica quando admite a passagem de um referencial a outro mediante uma transformação de Galileu. Na cinemática relativística, esta passagem é feita por uma transformação de Lorentz.

?? VOCÊ SABIA?

Metafísica (do grego de/além de e ou físico) é um ramo da filosofia que

estuda a essência do mundo. A saber, é o estudo do ser ou da realidade. Se ocupa em procurar responder perguntas tais como:O que é real? O que é natural? O que é sobre-natural? O ramo central da metafísica é a ontologia, que investiga em quais categorias as coisas estão no mundo e quais as relações dessas coisas entre si. A metafísica também tenta esclarecer as noções de como as pessoas entendem o mundo, incluindo a existência e a natureza do relacionamento entre objetos e suas propriedades, espaço, tempo, causalidade, e possibilidade.

Figura10: Platão e Aristóteles, de Raphael )Stanza della Segnatura, Roma). Aristóteles é

considerado o “pai” da metafísica. Um detalhe interessante da imagem que podemos obser-var são as mãos, tanto de Aristóteles, quanto de Platão, veja que a mão de Aristóteles está voltada para baixo, representanto seua crença em relação a realidade, e a mão de Platão

para cima, ou seja, o mundo das idéias.

10 http://www.enciclopedia.com.pt/images/platoaristotle.jpg


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4.4.2 Equações de MovimentoLimitaremos o nosso estudo de cinemática aos

movimentos retilíneos. Tomemos a reta X para o des-locamento de móvel, como ilustra a figura. Definimos a posição inicial de um móvel como e a posição final como . Um móvel encontra-se na posição inicial num instante e na posição no tempo . A velocidade média do móvel no deslocamento é dada por:

(4.1)

Se a velocidade do móvel sofre mudança durante o seu deslocamento a taxa de variação da velocidade com o tempo chama-se aceleração. Se em uma posição inicial num instante inicial o móvel possui uma velocidade e se na posição final , no instante final , o móvel possui velocidade , definimos a aceleração

média do móvel como:

(4.2)

Se não há aceleração no movimento do móvel, o movimento é retilíneo uniforme (MRU) e se, há acele-ração e a mesma for constante, o movimento é retilíneo uniformemente variado (MRUV). Limitaremos o nossos estudos àqueles movimentos em que não há aceleração ou aos outros com aceleração constante.

Para um movimento com aceleração constante podemos escrever a equação (4.1) na forma

(4.3)

onde (4.3) é válida apenas para movimentos com ace-leração constante, como esse caso específico.

Com o auxílio de um cronômetro, podemos tomar o tempo inicial do movimento, para assumir um valor zero, ou seja, . Assim, da equação (4.3) podemos escrever que:

(4.4)

Da equação (4.2), assumindo podemos escrever:

Substituindo a expressão anterior na equação (4.4), obtemos:

Assim,

Ou seja,

(4.5)

O conjunto de equações anteriores nos permite analisar e resolver os problemas de cinemática nos MRU e MRUV.


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Exemplo (4.1)Um objeto parte do repouso com aceleração cons-

tante de , ao longo de uma linha reta. Determine: (a) a velocidade ao fim de ; (b) a velocidade média no intervalo de ; (c) a distância percorrida nestes .

* Resolução Passo a Passo : (A. L. Almeida)

Os dados do problema são , e . Como o movimento é uniformemente

acelerado, encontramos: (a)

(b)

(c)

Exemplo (4.2)Um ônibus, movendo-se a uma velocidade de

, começa a parar a uma taxa de a cada segundo. Determine a distância que ele percorrerá antes de parar.* Resolução Passo a Passo : (A. L. Almeida)

Para o trecho em consideração, , e . Note que o ônibus não

está aumentando sua velocidade no sentido positivo do movimento. Ao contrário, ele está parando naquele sentido e, portanto, sua aceleração é negativa (uma

desaceleração). Usando , encontramos que:

Exemplo (4.3)Um elétron atinge uma tela de TV com velocidade de

. Admitindo-se que o elétron percorreu a distância de , acelerado a partir do repouso, determine a sua aceleração.* Resolução Passo a Passo(A. L. Almeida):

Temos , ,

Da equação , obtemos

Exemplo (4.4)Um motorista espera o sinal de trânsito abrir. Quando

a luz verde acende, o carro é acelerado uniformemen-te durante , na razão de , após o que ele passa a ter velocidade constante. No instante em que o carro começou a se mover, ele foi ultrapassado por um caminhão movendo-se no mesmo sentido com velocidade uniforme de . Após quanto tempo e a que distância da posição de partida do carro os dois veículos se encontrarão novamente?

* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):

No término dos 6s iniciais de movimento, a velocidade do carro será

.

No término dos 6s iniciais, o carro encontra-se em

.

No término dos 6s inicias o caminhão encontra-se em

.

Assim, no término dos primeiros de movi-mento, carro e caminhão estarão separados por

Após os iniciais de movi-mento, ambos, carro e caminhão estão em movimento retilíneo uniforme, ou seja, . A velocidade relativa carro-caminhão é definida como


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Obtemos o instante em que carro e caminhão se en-contram fazendo uso da expressão

A posição do encontro pode ser obtida por meio da expressão

Exemplo (4.5)

Um carro está se movendo a quando o motorista nota que o sinal fechou. Se o tempo de reação do motorista é de e o carro desacelera na razão de tão logo se apliquem os freios, calcule a distância percorrida pelo carro desde o instante em que o motorista nota que o sinal fechou até parar. “Tempo de reação” é o intervalo de tempo em que o motorista vê o sinal fechar, até o instante em que ele aplica os freios.* Resolução Passo a Passo(A. L. Almeida):

Do enunciado, temos:

,

, A partir daí encontramos que

Ou seja,

Sugestões de Atividades (4.1)Um automóvel, partindo do repouso, atinge a velocidade de em . (a) Calcule a aceleração média em

e a distância percorrida. (b) Admitindo-se que a aceleração é constante, determine quantos segundos a mais são necessários para o carro atingir a velocidade de

. (c) Qual a distância total percorrida?

Sugestões de Atividades (4.2)Um corpo, movendo-se com velocidade inicial de

, é submetido a uma aceleração de , no mesmo sentido da velocidade. Qual a velocidade do corpo e a distância percorrida após ?

Sugestões de Atividades (4.3)A velocidade de um trem é reduzida uniformemente

de uma velocidade inicial para uma veloci-dade fina , enquanto percorre uma distância de . (a) Calcule a aceleração. (b) Que distância o trem ainda percorrerá antes de parar, supondo que a aceleração permaneça constante?

Sugestões de Atividades (4.4)A velocidade de um caminhão aumenta uniforme-

mente de para , em . De-termine: (a) a velocidade média; (b) a aceleração; (c) a distância percorrida. Tudo nas unidades de metros e segundos.

Sugestões de Atividades (4.5)Um objeto parte do repouso com aceleração cons-

tante de , ao longo de uma linha reta. Deter-mine: (a) a velocidade ao fim de ; (b) a velocidade média no intervalo de ; (c) a distância percorrida nestes .


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CAPÍTULO 5

PRINCÍPIOS DA DINÂMICA

A Dinâmica estuda os movimentos e as causas que os produzem ou os modificam.

5.1 Princípio da Inércia (Primeira Lei de Newton)

O princípio da inércia estabelece que um ponto ma-terial isolado permanece em repouso ou em movimento retilíneo uniforme.• Força é a causa que produz num corpo variação de

velocidade e, portanto, aceleração. A unidade de intensidade de força no SI é o Newton (N).

• Referenciais Inerciais são os referenciais em rela-ção aos quais vale o princípio da inércia.

• Inércia é a propriedade da matéria de resistir a qualquer variação em sua velocidade.

• Massa é a medida da inércia da matéria. No SI sua unidade é o quilograma (símbolo: kg).

• Primeira Lei de Newton: um corpo em repouso ten-de, por inércia, a permanecer em repouso. Quando em movimento retilíneo e uniforme, tem a tendência natural de manter constante sua velocidade.

5.2 Princípio Fundamental da Dinâmica (Se-gunda Lei de Newton)

O princípio fundamental da Dinâmica estabelece que a resultante das forças aplicadas a um ponto ma-terial é igual ao produto de sua massa pela aceleração adquirida:

(54.6)

Peso de um corpo é a força de atração que a Terra exerce no corpo.

Aceleração da gravidade é a aceleração de um cor-po em movimento sob ação exclusiva de seu peso:

(54.7)

5.3 Princípio da Ação e Reação (Terceira Lei de Newton)

O princípio da ação e reação estabelece que toda

vez que um corpo A exerce uma força em outro

corpo B, este também exerce em A uma força tal

que , isto é, e têm mesma inten-sidade, mesma direção e sentidos opostos.


Exemplo (5.1)Um objeto de deverá ter uma aceleração de

. Qual o valor da força resultante que deverá agir sobre ele?* Resolução Passo a Passo(A. L. Almeida): supondo que o peso foi medido na Terra, usamos , para obter:

Agora que sabemos a massa do objeto ( ) e a aceleração desejada ( ), temos:

Exemplo (5.2)Uma força constante atua sobre um objeto de

e reduz sua velocidade de para , em um tempo de . Determine a força.* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida): primeira-mente, devemos achar a aceleração do objeto, que é constante, porque a força é constante. Assim,

Podemos agora usar com .

O sinal de menos indica que a força é retardadora, isto é, tem sentido oposto ao do movimento.

Exemplo (5.3)Um carro de está se movendo em uma estrada

nivelada a . (a) Qual a intensidade de uma


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força retardadora (suposta constante) necessária para parar o carro em ?

* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida): primeira-mente, determinamos a aceleração do carro, de uma equação de movimento. É sabido que , e . Com o uso da expressão

, podemos escrever:

Podemos agora escrever:

Exemplo (5.4)Calcule a aceleração mínima com que uma mulher

de pode deslizar por uma corda abaixo, sendo que a corda pode resistir a uma tensão de apenas .* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):

O peso da mulher é =441N. Como a corda pode somente suportar , a força resultante para baixo, , na mulher deve ser no mínimo

. Sua aceleração mínima para baixo é então,

Exemplo (5.5)Uma caixa está em repouso sobre um lago conge-

lado, que é uma superfície horizontal sem atrito. Se um pescador aplica uma força horizontal de módulo sobre a caixa, produzindo uma aceleração de , qual é a massa da caixa?* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):

Temos que:

Sugestões de Atividades (5.1)Uma única força de atua sobre uma partícula de

massa . A partícula parte do repouso e percorre, so-bre uma reta, a distância de em . Calcule .

Sugestões de Atividades (5.2)

Na Lua, a aceleração da gravidade é apenas da aceleração da gravidade na Terra. Um astronauta, cujo peso na Terra é de , está na superfície da Lua. Qual é a massa do astronauta, medida na Lua?

Sugestões de Atividades (5.3)Uma astronauta chega a um planeta desconhecido. A

visibilidade é ruim e através de um canal de comunica-ção indaga qual a direção para a Terra. “Você já está na Terra”, vem a resposta, “espere que logo estaremos aí” . A astronauta não acredita muito e deixa cair uma bola de chumbo, de de massa, do topo da nave até o solo, abaixo, cronometrando em o tempo de queda. (a) A astronauta tem a massa de ; qual o seu peso no planeta desconhecido? (b) A astronauta está ou não na Terra?

Sugestões de Atividades (5.4)Um corpo de é puxado sobre uma superfície

horizontal sem atrito por uma força horizontal de . (a) Se o corpo está em repouso em , qual a sua velocidade no instante ? (b) Que distância o corpo percorre nestes ?

Sugestões de Atividades (5.5)O Super-homem lança uma rocha de so-

bre seu adversário. Qual é a força horizontal que o Super-homem deve aplicar sobre a rocha para que ela se desloque com uma aceleração horizontal igual a

?

5.3.1 Teorema da Conservação do Momento Linear

NOTA: O Momento Linear ( ) é também chamado de Quantidade de Movimento ou Momentum.

A maioria das interações no cotidiano não é frontal. Num jogo de bilhar ou numa colisão de carros, por exemplo, os objetos podem colidir de lado ou de raspão e os objetos se afastam em direções diferentes. Porém, mesmo nessas situações, a quantidade de movimento se conserva, só que a regra de soma já revela comple-tamente seu caráter vetorial.


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Nas situações em que, após a colisão, os objetos mudam a direção de seus movimentos, podemos analisar a quantidade de movimento de cada um deles, separando-a em duas componentes: uma na direção da quantidade de movimento inicial e outra na direção perpendicular a ela. A conservação da quantidade de movimento deve se dar nas duas direções. Esse pro-cedimento decorre do caráter vetorial da quantidade de movimento.

Por sua generalidade e universalidade, a conserva-ção de quantidade de movimento num sistema é um dos mais fundamentais princípios de conservação da Física. Matematicamente expressamos a quantidade de movimento , da seguinte forma:

(4.8)

onde é a massa e é a velocidade do objeto.

A expressão matemática da conservação da quanti-dade de movimento de um sistema isolado, constituído de massas, ficaria assim:

(4.9)

A unidade SI dessa grandeza é .

Andar a pé é uma interação entre os pés e o chão. Para caminhar, nós nos impulsionamos para frente e ao mesmo tempo empurramos a Terra para trás, resultando num deslocamento para frente, porém, não vemos a Terra se deslocar em sentido oposto. Isto poderia nos dar a impressão de que nosso movimento não estaria acoplado a outro e que no sistema construído por “ca-minhante e planeta Terra”, a conservação da quantidade de movimento não ocorreria. Esse reconhecimento é difícil porque a velocidade de recuo da Terra é desprezí-vel. Isto se deve ao fato de a massa da Terra ser muito grande comparativamente às outras. O princípio da conservação o da quantidade de movimento continua válido, mesmo neste caso.

Vamos imaginar agora a situação de um carro quebrado que deve ser empurrado para entrar em movimento. Uma só pessoa conseguirá, com muito esforço, colocá-lo em movimento. Este trabalho seria facilitado se duas pessoas empurrassem o carro. Isto porque duas pessoas fazem mais força que uma. No caso de um ônibus, precisaríamos de mais pessoas

para empurrar se quiséssemos atingir uma velocidade razoável.

Da situação anterior, podemos concluir que: para al-terar o estado de movimento de um objeto é necessário a ação de uma força; e esta força deve ser tanto maior quanto maior for a massa do objeto e a velocidade que queremos que ele adquira. Isto é, para forças maio-res maior é a variação da quantidade de movimento. Quanto mais tempo se empurrar o carro, maior será a velocidade que se conseguirá. Isto é, quanto maior o intervalo de tempo da aplicação da força, maior a va-riação da quantidade de movimento. Então a variação da quantidade de movimento é proporcional à força aplicada e ao intervalo de tempo de sua aplicação. Matematicamente temos:

(4.10)

A variação do momento linear, , é conhecida como impulso. Se dividirmos por os dois membros temos:

(4.11)

A força também é uma grandeza vetorial, sendo definida por módulo, direção e sentido, sua unidade SI é o Newton, N ( ). Na equação(4.11), a variação da velocidade com o tempo é a aceleração, então temos:

(4.12)


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?? VOCÊ SABIA?

ISAAC NEWTON (1642-1727)Nascido no ano em que morreu Galileu, ingressou em Cambridge aos 18 anos, depois de uma juventude de grandes dificuldades materiais. Com 26 anos, tornou-se doutor e, no ano seguinte, catedrático. No entanto, foi logo depois de seu bacharelado em artes que realizou, longe da Universidade, suas mais duradouras contribuições à Física.

Figura11 Isaac Newton

Em 1666, a região de Cambridge é atingida pela grande peste, chamada peste pneumônica. A Universidade fecha suas portas e Newton refugia-se na propriedade de sua família, no campo. Esse período de isolamento foi extremamente profícuo, lançando as raízes de muitos trabalhos posteriores de Newton. Segundo um relato seu, teria então desenvolvido o teorema binomial, o cálculo diferencial e integral, teoremas sobre séries infinitas, calculado a área da hipérbole, e concebido as idéias da Gravitação Universal e de fundamentos da mecânica, entre outros temas. Não bastasse isso, ainda enunciou uma teoria da luz e das cores.Suas teorias sobre a luz são, no entanto, objeto de intensa crítica em Cambridge, levando Newton a um longo período de ciscunspecção. Seu trabalho em mecânica foi, no entanto, grandemente encorajado pelo astrônomo Halley, que incentivou Newton a publicar seus resultados. Em 1687, publica os Princípios Matemáticos de Filosofia Natural (o Principia), em que sintetiza a mecânica de Galileu e a astronomia de Kepler, acrescentando inúmeros elementos inéditos.Na introdução do Principia, depois de algumas definições básicas, as 3 “Leis de Newton” são enunciadas:1. Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de

movimento em linha reta, a menos que seja obrigado a mudar seu estado por forças nele impressas.

Essa lei já havia sido enunciada, de modo diferente, por Galileu e Descartes.

2. A mudança do movimento é proporcional à força motriz impressa, e se faz segundo a linha reta pela qual se imprime essa força.

Esta lei também fora enunciada, ainda que de maneira menos clara, por Galileu, que tinha a consciência de que a força produziria variações na velocidade, e que a relação era vetorial e não escalar como no enunciado de Descartes.

3. A uma ação sempre se opõe uma reação igual, ou seja, as

11 https://libwebspace.library.cmu.edu:4430/posner/sp09/subcontents/ima-ges/GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg

ações de dois corpos um sobre o outro sempre são iguais e se dirigem a partes contrárias.

A definição de quantidade de movimento de Newton, “... a medida do mesmo, obtida conjuntamente a partir da velocidade e da quantidade de matéria” coincide essencialmente com a de Descartes, embora Newton inclua a direção e sentido tacitamente ao falar em velocidade.Também se encontra no Principia um teorema demonstrando que uma força centrípeta (radial) implica na lei das áreas (de Kepler), independente da lei de variação desta força com a distância. Esta lei é equivalente à conservação do momento angular.Em outro ponto do Principia, demonstra-se que se a órbita do corpo sob ação da força centrípeta for elíptica, a força tem uma lei de variação tipo e vice-versa. Ao constatar por medidas astronômicas que a órbita da Lua seria elíptica, Newton postula que a Terra também produz uma força que cai como . Quanto à natureza desta força (cuja causa última não faz hipóteses), Newton supôs ser a mesma força gravitacional existente na superfície da Terra.Embora o mecanicismo de Descartes tenha sido importante ponto de partida metodológico para Newton, vários aspectos da teoria cartesiana do movimento dos planetas são contestados no Principia. A existência de um fluido (o éter) girando como um turbilhão ou vórtice junto com os planetas é contestada por Newton que, usando como argumento observações em fluidos, sustenta que os planetas devem mover-se no vácuo para permanecerem em movimento, interagindo graças à polêmica ação à distância.A hipótese de força à distância foi atacada, entre outros, pelo contemporâneo Leibnitz, que a apontava como uma volta a uma concepção eclesiástica da natureza, afirmando: “A Gravidade... deve ser considerada como uma qualidade oculta, ou o efeito de um milagre”. No entanto, existe uma diferença qualitativa entre as forças ocultas aristotélicas, que são essencialmente impenetráveis ao conhecimento humano e as de Newton, que se referem à forças cuja existência pode ser constatada, analisada e calculada, mesmo que ainda não se conheçam em detalhe suas causas. A influência de um corpo celeste no movimento de outro seria intermediado pelos choques das partículas de éter existentes no espaço que os separa. A única força reconhecida efetivamente por Descartes seria, portanto, a força de impacto.Newton, embora também atomista, acreditava existirem outros tipos de forças entre as partículas, capazes de agir à distância, de maneira análoga à força gravitacional entre os planetas. Este programa científico de Newton dirige-se portanto à estrutura da matéria. Conforme nos diz Newton no prefácio do Principia:

“Gostaria de que pudéssemos derivar o resto dos princípios da Natureza dos princípios mecânicos pelo mesmo tipo de raciocínio, pois por muitas razões sou induzido a suspeitar de que todos eles possam depender de certas forças pelas quais as partículas dos corpos, por algumas causas até aqui desconhecidas, ou são mutuamente impelidas umas em direção às outras, e se ligam em formas regulares, ou são repelidas e se afastam umas das outras”.

Sua imagem da estrutura da matéria, que se modificou diversas vezes ao longo de sua vida, enfatizava a necessidade de outros princípios além das forças e da inércia para explicar a complexidade do mundo físico. Postulava que elas também fossem movidas por certos Princípios Ativos, responsáveis pelo complexo comportamento químico da matéria, com qual Newton travou intenso e íntimo contato.


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5.3.2 Trabalho e EnergiaAs atividades humanas são realizadas a partir de

transformações de uma quantidade de energia, de natureza eletroquímica, que provém diariamente dos alimentos ingeridos. Da mesma forma, ao assistirmos televisão, somos atingidos por sua energia luminosa, que se originou da energia elétrica, que por sua vez pode ter se originado da energia gravitacional da água de uma hidroelétrica. O que observamos na natureza é uma contínua transformação das diversas formas de energia. Na verdade, não há criação ou perda de energia. Este é o princípio de conservação de energia, muito importante na Física.

Uma forma de energia que analisaremos é a ener-gia cinética, a energia de um objeto devido ao seu movimento. Assim, quanto maior a velocidade de um corredor maior a sua energia cinética. Para variarmos a velocidade de um objeto, por conseguinte sua ener-gia, vimos que é necessário a aplicação de uma força. Este é apenas um exemplo de uma propriedade geral de que as variações de energia ocorrem quando há a aplicação de forças. Nos aparelhos e máquinas, é importante saber com que rapidez ocorrem tais varia-ções ou transformações da energia . É a potência que nos informa de quanto será a variação da energia por unidade de tempo:

(5.13)

A unidade de energia no SI é o , , sendo então a unidade de potência dada por , que é conhecido como , .

A variação de energia de um objeto é definida como a grandeza trabalho. Por exemplo, supomos o caso de um motorista tentando parar um carro com uma certa velocidade (energia). Ele poderia utilizar o sistema de freios ou usar o freio-motor, deixando o carro engata-do, ou ainda deixar o carro desengatado e esperar até o carro parar. Desta situação podemos concluir que quanto maior a força aplicada para frear o carro, me-nor será a distância que ele percorrerá até parar. Nas três situações comentadas, a variação da energia ou trabalho é a mesma, pois nos três casos o carro pára. Matematicamente esta idéia é expressa por:

(5.14)

onde é o trabalho realizado pela força durante a distân-cia e é o ângulo entre a direção de aplicação da força e

a direção do deslocamento ou distância percorrida.A quantidade de movimento e a energia cinética são

dois conceitos físicos semelhantes, que dependem da massa e da velocidade . Há duas formas de energia cinética: uma devido à velocidade translacional e outra devido à velocidade rotacional. A expressão matemática para a energia cinética translacional é dada por:

(5.15)

Sendo a unidade SI de energia o , .

Obs.: Restringiremos os nossos estudos aos casos dedicados apenas à energia cinética translacional, dei-xando a energia cinética de rotação para as próximas disciplinas de Física.

Outra forma de energia importante, e que não está relacionada diretamente com o movimento, é a energia acumulada por um objeto devido à força gravitacional. Por exemplo, sabemos que um objeto parado ao ser dei-xado cair do andar de um edifício chega com menos velocidade (energia) do que um objeto que é deixado cair do andar. Esta energia contida pelo objeto parado é chamada de energia potencial e matematicamente é definida por:

(5.16)

onde é a aceleração da gravidade e é a altura em que se encontra o objeto em relação à superfície da Terra.

A energia mecânica total de um sistema físico como o somatório de suas energias cinética e potencial:

(5.17)

Se o sistema físico, em estudo, for um sistema conservativo de energia, a equação (5.17) deve ser escrita como:

(5.18)

ou seja, (5.19)


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5.3.3 Notas Finais sobre os Princípios de Conservação

“O único lugar onde o sucesso vem antes

do trabalho é no dicionário.”

Albert Eistein12

O movimento de um ponto material é definido em cada instante pelos seus vetores, posição e veloci-dade. A experiência mostra que as leis da dinâmica, acompanhadas do conhecimento das coordenadas e velocidades num dado instante, permitem determinar as equações de movimento de um ponto material, ou seja, conhecer o seu comportamento “mecânico” no pas-sado, presente e futuro. Em muitos casos é impossível determinar as forças que atuam sobre o ponto material, o que inviabiliza, por meio direto às Leis de Newton, o conhecimento da sua trajetória. Esta dificuldade sugere uma questão: “existirão proposições derivadas das equações de Newton que permitam resolver este problema?” A resposta é afirmativa: existem, são os TEOREMAS (Princípios) de Conservação!

Certas quantidades possuem a propriedade im-portante de, sob certas condições, serem constantes no tempo: momento linear, momento angular, energia mecânica total. A descoberta desta propriedade, a conservação, fascinou de tal forma os físicos que passou, em muitos casos, a ser assumida como um postulado implicitamente aceito pela natureza e aplicável a grandezas pertencentes aos mais diversos domínios da Física.

Na Mecânica, a importância destes princípios pode resumir-se do seguinte modo:

(a) não dependem da trajetória e da natureza das forças; o que permite tirar conclusões acerca das propriedades de vários processos sem recorrer às equações de movimento;

(b) como não dependem das forças que atuam, podem ser usados quando as forças são des-conhecidas;

(c) mesmo quando as forças são conhecidas, a Resolução Passo a Passo, recorrendo aos princípios de conservação, é esteticamente muito mais elegante e de cálculo simples.


O que se escreveu para o ponto material ou partícula, pode também ser generalizado para um sistema: a expe-riência mostra que as leis da dinâmica, acompanhadas do conhecimento das coordenadas e velocidades dos constituintes do sistema num determinado instante, per-mitem determinar as equações de movimento, ou seja, conhecer o comportamento do sistema em qualquer instante; a complexidade do sistema e a consequênte análise de todos os seus constituintes torna muito difícil este processo analítico... Daí a importância da utilização dos PRINCÍPIOS (Teoremas) da conservação.


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CAPÍTULO 6

OSCILAÇÕES

“Somos o que fazemos. Mas somos, principalmente,

o que fazemos para mudar o que somos.”

Autor desconhecido

6.1 IntroduçãoOSCILAÇÃO: fenômeno em que o estado de um

sistema - o oscilador - varia periodicamente em fun-ção do tempo. Uma partícula está oscilando quando se move periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio. O movimento de um pêndulo é oscilatório. Um peso amarrado na extremidade de uma mola esticada oscila ao ser abandonado. Os átomos num sólido estão vibrando. Os elétrons, numa antena transmissora ou receptora, executam rápidas oscilações.

Quando o sistema é mecânico, a oscilação se diz mecânica. Aquela que tem freqüência relativamente elevada, costuma denominar-se vibração. Neste tipo de oscilação, atuam fatores de natureza inercial (massa, por exemplo) e forças de natureza elástica.

A oscilação pode ser também elétrica, como as de um dipolo elétrico cuja carga varia periodicamente com o tempo. Este é um exemplo típico de uma oscilação em que se cria uma onda, pois o dipolo, ao oscilar, emite radiação sob forma de uma onda eletromagnética.

Dentre todos os movimentos ondulatórios, o mais importante é o movimento harmônico simples (MHS), porque além de ser o movimento mais simples para se descrever matematicamente, constitui uma descrição bastante precisa de muitas oscilações encontradas na natureza. Neste capítulo, dedicaremos nossa discus-são à esse tipo de movimento. Uma compreensão do movimento vibracional é também essencial para a dis-cussão de fenômenos ondulatórios, de que trataremos no próximo capítulo.

6.2 Movimento Harmônico SimplesTodo movimento que se repete em intervalos de tempo

iguais é chamado de periódico. Mais precisamente, po-deríamos dizer que, no movimento periódico, o móvel ao ocupar, sucessivamente, a mesma posição na trajetória, apresentar sempre a mesma velocidade e aceleração e que o intervalo de tempo para que ele se encontre duas vezes nessa posição, é sempre o mesmo. Deste tipo são:

• movimento circular uniforme,• o movimento da Terra em torno do Sol,• o movimento de um pêndulo,• o movimento de uma lâmina vibrante,• o movimento uma massa presa à extremidade de

uma mola, etc.Como as equações do movimento periódico são

expressas a partir das funções seno e co-seno, ele também é chamado movimento harmônico.

6.3 Movimento Oscilatório HarmônicoUm movimento é dito oscilatório ou vibratório

quando o móvel se desloca periodicamente sobre uma mesma trajetória, indo e vindo para um lado e para outro em relação a uma posição média de equilíbrio. Essa posição é o ponto sobre a trajetória, para o qual a resultante das forças que agem sobre o móvel, quando aí passa, é nula.

Desse tipo são o movimento de um pêndulo, o mo-vimento de uma lâmina vibrante e o movimento de um corpo preso a extremidade de uma mola.

Vejamos, para fixar a idéia, o movimento realizado

por uma régua plástica presa à extremidade de uma mesa e posta a oscilar, figura (6.1), por ação de uma força externa.

Na figura (6.1) temos o ponto 0 como sendo a po-sição de equilíbrio. Na medida em que tiramos a régua dessa posição e a aproximamos do ponto A uma força na régua, de caráter elástico tendendo a conduzi-la de volta à posição de equilíbrio; quanto mais nos aproxima-mos de A, é claro que afastando-nos do ponto 0, essa força - a que chamamos força restauradora - cresce. Se largarmos a régua em A, por ação da força restauradora, ela começa a retornar ao ponto 0. Na medida em que esse retorno ocorre, a velocidade da régua cresce e ao chegar no equilíbrio, em função da inércia, ela não pára, movimentando-se, então, em direção a B. Entretanto, no momento em que passar de 0 novamente surge a força restauradora que fará a sua velocidade decrescer até se anular no ponto B, onde a força será máxima. A partir desse ponto a régua retorna a 0 com velocidade


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crescente. Aí chegando novamente não pára, pela inér-cia. E assim a régua continuará oscilando até cessar o movimento em função do atrito.

Aliás, os movimentos oscilatórios que conhecemos não apresentam a característica da periodicidade devido ao atrito. As oscilações que nos são comuns são os que chamamos movimentos oscilatórios amortecidos. Portanto, para que possamos estudar esse movimento iremos sempre desprezar qualquer forma de atrito.

6.3.1 Período e FreqüênciaPeríodo (T), de um movimento periódico, é o tempo

decorrido entre duas passagens consecutivas do móvel por um mesmo ponto da trajetória (apresentando as mesmas características cinemáticas).

Como se trata de um intervalo de tempo, a unidade de período é o segundo.

Frequência (f), de um movimento periódico, é o inver-so do período. Numericamente, a frequência representa o número de vezes que o móvel passa por um mesmo ponto da trajetória, com as mesmas características cinemáticas, na unidade de tempo.

A unidade de frequência é o inverso da unidade de tempo ou seja 1/segundo. Esta unidade é também chamada “Hertz” (Hz).

(6.1)

6.3.2 Análise Qualitativa de uma OscilaçãoFaçamos, agora, um estudo qualitativo de uma oscilação completa realizada por um móvel, analisando velocidade, aceleração e força atuante, em distintos pontos da trajetória. Para tanto consideremos a figura (6.2) um corpo, apoiado em um plano horizontal, preso à extremidade de uma mola; desprezemos qualquer forma de atrito.

Figura 6.2

Precisamos, entretanto, primeiramente caracterizar dois novos termos que utilizaremos daqui por diante no estudo das oscilações, quais sejam elongação e amplitude.

Elongação de uma oscilação em um dado instante é a distância a que o móvel se encontra da posição de equilíbrio no instante considerado.

Amplitude de um movimento oscilatório é a máxima elongação, isto é, a maior distância que o móvel alcança da posição de equilíbrio em sua oscilação. No exemplo que passaremos a estudar figura (6.2) a amplitude é A e uma elongação é x.

Tomemos um eixo horizontal X onde 0 é origem e representa a posição de equilíbrio. Suponhamos o movi-mento já em desenvolvimento e comecemos a analisá-lo a partir do momento em que o móvel passa pela posição de equilíbrio. Após esse instante a mola passará a exercer sobre o corpo uma força, a já referida força restauradora (de caráter elástico, no caso), que procura fazê-lo retornar a 0. Na medida em que m se afasta do equilíbrio, aumentando as elongações, a força restauradora cresce, mas nota-se que tem orientação contrária à do eixo. Da mesma forma, portanto, a aceleração. A velocidade do móvel decresce até atingir valor zero quando o móvel chega à posição A, onde a força restauradora será máxima. Partindo de A o móvel começa o retorno com velocidade crescente, po-rém, conforme diminuam as elongações, a força atuante sobre ele diminui em intensidade bem como a aceleração. Observamos que de A para 0, os vetores força, aceleração e velocidade têm todos a mesma orientação, contrária à do eixo. Ao atingir o ponto 0 a velocidade do corpo será máxima e, como aí a força é nula, em função da inércia o corpo passa dessa posição indo em direção à -A. De 0 para -A a força restauradora cresce, assim como a acele-ração, sendo máximas em -A. A velocidade, nesse trajeto, decresce até atingir valor nulo no extremo da trajetória. De -A para 0 os vetores velocidade, aceleração e força têm o mesmo sentido do eixo.

Porém, enquanto a força e a aceleração decrescem, o valor da velocidade cresce, na medida em que o corpo aproxima-se de 0.

Se o móvel oscila em torno de sua posição de equilíbrio por ação de uma força que seja proporcional às elongações, então o movimento oscilatório é dito harmônico simples. Assim, sendo o corpo deslocado “x”, do equilíbrio, por ação de uma força restauradora F, essa será dada por

(6.2)


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onde o sinal negativo (-) indica que o sentido da força será contrário ao deslocamento, quando x for positivo, e que terá o mesmo sentido quando x for negativo. é uma constante de proporcionalidade . Observamos que a força restauradora é tal que é sempre dirigida para a posição de equilíbrio, sendo por isso, algumas vezes, chamada força central.

Kepler13

6.3.3 Elongação, Velocidade, Aceleração e Força no MHS

Para que possamos estabelecer as equações que nos permitam o cálculo da elongação, velocidade, aceleração e força atuante em um dado instante de um MHS iremos considerar o deslocamento de um ponto material sobre uma trajetória circular de raio R. Isto é, uma partícula realizando movimento circular uniforme.

Se tomarmos o movimento da projeção P - do ponto material M que realiza Movimento Circular Uniforme (MCU). - sobre um diâmetro da trajetória, veremos que se trata de um MHS. É evidente que a projeção P oscilará em relação ao centro da trajetória com amplitude igual ao raio da mesma. No caso iremos trabalhar com o diâmetro horizontal.

Figura 6.4

13 http://www.ccvalg.pt/astronomia/historia/johannes_kepler/johannes_kepler.gif

Primeiramente, estabeleçamos a equação da elon-gação do MHS.

0 ponto 0 será a posição de equilíbrio e, de acordo com a figura (6.4), a elongação, para a posição em que se encontra o ponto M, é x.

Pelo triângulo diremos que (6.3)

Mas o raio R é igual à amplitude A do movimento oscilatório realizado por P. Pelo que estudamos no MCU, temos que a velocidade angular de M pode ser dada por:

(6.4)

logo (6.5)

ou simplificando (6.6)

em que é o tempo para percorrer o arco que com-preende o ângulo . Então, a equação (6.3) poderá ser escrita:

(6.7)

Porém a velocidade angular poderá também ser dada por

(6.8)

em que é a frequência do movimento circular e, con-sequentemente a frequência da oscilação realizada por

. Logo, a equação (5.7) poderá ser escrita:

(6.9)equação essa que nos permite calcular a elongação x, em um instante t, de um MHS, cuja amplitude é A e cuja frequência é .

Costumamos denominar o ângulo de fase do movimento. Como o movimento de é uniforme crescerá linearmente com o tempo, teremos

(6.10)onde o ângulo é a fase do movimento para e que chamamos fase inicial. Observamos que dois movimentos oscilatórios de mesma amplitude podem


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diferir pela fase, o que determina que eles apresentem mesma velocidade e aceleração num mesmo ponto da trajetória mas em instantes diferentes.

A constante , na equação (6.7) é chamada frequ-ência angular ou pulsação.

A equação da elongação poderá ser escrita mais ge-nericamente

(6.11)

Estabeleçamos, agora, a equação da velocidade do Movimento Harmônico Simples (MHS), determinando a velocidade do ponto . Procederemos analogamente à determinação da equação da elongação, trabalhando, porém, com a velocidade linear do movimento circular, figura (6.5), a velocidade do Ponto será a projeção do vetor velocidade linear do móvel sobre o diâmetro.

Lembramos primeiramente que a velocidade linear em Movimento Circular Uniforme (MCU) é dada por

dado .

Na figura (5.5) vemos que a projeção do vetor veloci-dade linear sobre será:

(6.12)

Como o raio R e igual a amplitude e tere-mos:

(6.13)

Também podendo ser escrita como: (6.14)

A aceleração do MHS, figura (6.6), é a projeção do vetor aceleração centrípeta do ponto sobre o eixo

. No MCU a aceleração centrípeta é dada por

(6.15)

A projeção do vetor será: (6.16)

isto é

(6.17)

Como (5.18)

temos que

(5.19)ou

(6.20)

A intensidade da força restauradora pode ser encon-trada a partir da equação fundamental da dinâmica.

(6.21)

Figura 6.6

Podemos, com o uso da equação (6.19), escrever:

(6.22)

Como e são constantes, podemos escrever

(6.23)

Assim, a equação (6.22) pode ser reescrita como (6.24)

Através dessa equação vemos que a atuante em é de caráter restaurador o que determina que o movi-mento seja realmente harmônico simples.Podemos escrever, a partir da equação (6.23)

(6.25)

De forma que, com o auxílio da equação (6.8), teremos

(6.26)

O que nos permite escrever:

(6.27)


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Essas duas equações nos dão o período e a frequên-cia em função de e e mostram que, tanto o período

como a frequência independem da amplitude do movimento.

6.3.4 Elongação, Velocidade e Aceleração em Função do Tempo

Consideremos para esse estudo, o movimento de um ponto material A, com velocidade constante, figura (6.7). A projeção P do ponto A, sobre o diâmetro verti-cal, realiza MHS. O período será e assumiremos, no instante , elongação nula.

Figura 6.7

A seguir, figuras (6.8) e (6.9), temos a representação da velocidade e da aceleração em função do tempo, feita de forma análoga, porém lembramos que para a elon-gação nula a velocidade é máxima, enquanto a aceleração é nula.

Para um perfeito entendimento do significado dos gráficos vamos tecer as seguintes observações:- entre e : o vetor velocidade decresce, com o mesmo sentido do eixo e o vetor aceleração cresce, com sentido contrário ao mesmo;

- entre e : o vetor velocidade cresce, com orientação contrária à do eixo e o vetor acele-ração decresce, também com sentido contrário ao mesmo;

- entre e : o vetor velocidade de-cresce, com sentido contrário ao eixo e o vetor

aceleração cresce com o sentido do eixo;

- entre e : o vetor velocidade cresce, com a mesma orientação do eixo, enquanto o vetor aceleração decresce, com o mesmo sentido do eixo.

Figura 6.8

Figura 6.9

6.4 Energia no MHSA energia mecânica total de um sistema oscilante

é dada pela soma da energia potencial com a energia cinética em um ponto qualquer da trajetória.

Em ponto de elongação , para o oscilador harmô-nico mostrado na figura (6.2), ao iniciarmos o presente estudo, a energia potencial - no caso de caráter elástico - será:

(6.28)

onde é a constante elástica da mola. Logo, a energia potencial de um sistema oscilante cresce com as elon-gações, sendo máxima nos dois pontos extremos da trajetória . Evidentemente a energia potencial só será nula na posição de equilíbrio .energia cinética de um sistema oscilante, em um pon-to da trajetória onde a velocidade do corpo seja , será dada por:

(6.29)


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Portanto, a energia cinética é máxima onde a velocidade é máxima, isto é na posição de equilíbrio onde, como já foi dito, a energia potencial é nula. Nos pontos extremantes da trajetória a energia cinética será nula pois aí . Assim, a energia cinética cresce dos extremos da trajetória para a posição de equilíbrio.

Figura 6.10

Com o auxílio das equações (6.23), (6.18) e (6.13), podemos escrever a energia potencial na forma:

(6.30)

e a energia cinética na forma:

(6.31)

Como a energia total é dada por

(6.32)

Escrevemos

(6.33)

sabendo que , obtemos:

(6.34)

Vemos que a energia mecânica total no MHS é cons-tante.

?? VOCÊ SABIA?

A maioria das atividades humanas envolve alguma forma de vibração. Nós ouvimos porque o tímpano vibra, nós vemos porque ondas luminosas se propagam. A respiração está associada à vibração dos pulmões, os batimentos cardíacos são movimentos vibratórios do coração, a fala se fundamenta na vibração das cordas vocais e os nossos movimentos envolvem oscilações de braços e pernas. Em muitos outros campos da atividade humana, fenômenos apresentam variáveis cujo comportamento é oscilatório (economia, biologia, química, física, etc.).Em engenharia, as aplicações das vibrações mecânicas são de grande importância nos tempos atuais. Projetos de máquinas, fundações, estruturas, motores, turbinas, sistemas de controle e outros, exigem que questões relacionadas com vibrações sejam levadas em conta. Os primeiros estudos de vibrações em engenharia foram motivados pelo problema de desbalanceamento em motores. O desbalanceamento pode ser tanto devido a problemas de projeto como de fabricação e manutenção. As rodas de locomotivas podem sair até um centímetro dos trilhos devido a desbalanceamentos. Em turbinas, os engenheiros ainda não foram capazes de resolver uma grande parte dos problemas originados em pás e rotores. As estruturas projetadas para suportar máquinas centrífugas pesadas (motores, turbinas, bombas, compressores, etc.) também estão sujeitas a vibração, sendo possível que partes dessas estruturas sofram fadiga devido à variação cíclica de tensões. A vibração também causa desgaste mais rápido em mancais e engrenagens, provocando ruído excessivo. Em máquinas, a vibração pode provocar o afrouxamento de parafusos. Em processos de usinagem, a vibração pode causar trepidação, conduzindo a um pobre acabamento superficial.Sempre que a frequência natural de vibração de uma máquina ou estrutura coincide com a frequência da força externa atuante, ocorre um fenômeno conhecido como ressonância, que leva a grandes deformações e falhas mecânicas. A literatura é rica em exemplos de falhas causadas por vibrações excessivas em virtude da ressonância. Em virtude dos efeitos devastadores que podem surgir em máquinas e estruturas, os testes vibratórios se tornaram um procedimento padrão no projeto e desenvolvimento da maioria dos sistemas em engenharia.Em muitos sistemas de engenharia o ser humano atua como parte integrante do mesmo. A transmissão de vibração para o ser humano resulta em desconforto e perda de eficiência. Vibrações de painéis de instrumentos podem produzir mau funcionamento ou dificuldade de leitura de medidores. Portanto, um dos propósitos importantes do estudo de vibração é a redução dos níveis vibratórios através do projeto e montagem adequados de máquinas. Nesta interface, o engenheiro mecânico tenta projetar a máquina para que a mesma apresente níveis vibratórios baixos, enquanto o engenheiro estrutural tenta projetar a base da máquina de forma a assegurar que o efeito da vibração não se transmita.Por outro lado, a vibração também pode ser utilizada com proveito em várias aplicações industriais. Esteiras transportadoras, peneiras vibratórias, compactadores, misturadores, máquinas de lavar e outras, utilizam a vibração em seu princípio de funcionamento. A vibração também pode ser útil em testes de materiais, processos de usinagem e soldagem. Os ultra-sons são largamente utilizados também em medicina (obstetrícia, destruição de cálculos renais, etc.). A vibração também pode ser empregada para simular terremotos em pesquisas geológicas e para conduzir estudos no projeto de reatores nucleares.


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Exemplo 6.1

Uma mola faz 12 vibrações em . Calcule o período e a frequência das vibrações.* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):

Exemplo 6.2Uma massa de vibra em MHS na extremidade

de uma mola. A amplitude do movimento é e o período é . Calcule: (a) a frequeência, (b) a cons-tante da mola, (c) a velocidade máxima da massa, (d) a aceleração máxima, (e) a velocidade quando o deslo-camento é e (f) a aceleração quando .* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):

(a)

(b) Como ,

(c)

(e)

De obtemos

(f)

Exemplo 6.3As frequências de vibração dos átomos em sólidos, a temperaturas habituais, são da ordem de . Imagine que os átomos estejam ligados entre si por meio de molas. Suponhamos que um único átomo de prata vibre com esta frequência e que todos ous outros estejam em repouso. Determine a constante elástica de uma única mola. Um mol de prata de massa de 108g e contém átomos. Supunha que o átomo interage apenas com o seu vizinho mais próximo.* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):

Como ‘átomos tem 108 gramas, por meio de uma regra de três simples obtemos que a massa de átomo é . Também, como a frequência pode ser definida por , podemos escrever:

Exemplo 6.4A escala de um dinamômetro tem e ele pode medir de 0 a . Um pacote suspenso do dinamô-metro oscila verticalmente com frequência de . Quando pesa o pacote?* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):

; . De acordo com a lei de Hooke:

Para temos: . Sabemos que:

logo, . Assim:


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Exemplo 6.5Um corpo oscila com movimento harmônico simples, cuja equação é:

onde é dado em metros, em segundos e os nú-meros entre parênteses estão em radianos. Qual é (a) o deslocamento, (b) a velocidade, (c) a aceleração e (d) a fase no tempo . Determine também (e) a frequência e (f) o período do movimento.* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida): (a) O deslocamento para :

(b) Velocidade:

Para :

0.5cm

(c) Aceleração:

Para

0.5cm

(d) A equação de deslocamento é da forma: , de modo que

Da equação do deslocamento, tiramos: A fase para é

(e) A frequência é dada por

(f) O período é dado por

Sugestões de Atividades 6.1Um sistema massa-mola oscilante tem energia mecâ-nica de , amplitude de e velocidade máxi-ma de . Determine (a) a constante elástica da mola, (b) a massa e (c) a frequência.

Sugestões de Atividades 6.2Quando o deslocamento de uma partícula em movi-mento harmônico simples for igual a metade da ampli-tude A, que fração da energia total é cinética e que fra-ção é potencial? (b) Para que valor do deslocamento, metade da energia será cinética e metade potencial?

Sugestões de Atividades 6.3Um pequeno corpo de executa movimento har-mônico simples de de amplitude e período de

. (a) Qual o valor máximo da força que atua nele? (b) Se as oscilações são produzidas por uma mola, qual a sua constante elástica?

Daniel Bernoulli14

14 http://www.luschny.de/math/factorial/Daniel_Bernoulli.jpg


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CAPÍTULO 7

ONDAS

“Estou no mundo como os demais homens da

Terra e, assim como a eles, foi-me dada a

oportunidade de conhecer, penetrando em todos

os ambientes, tudo quanto possa interessar a

meu propósito, a meu propósito de bem, que é

a grande obra de superação humana que venho

realizando. Sejamos como os rios, que renovam

constantemente as suas águas”.

Carlos Bernardo González Pecotche15

7.1 IntroduçãoFenômeno periódico em que ocorre o transporte de

energia mediante a perturbação de um meio elástico, ou através de um campo oscilante (campo eletromag-nético). Uma onda caracteriza-se pela velocidade de transporte de energia, pela freqüência do fenômeno periódico e pela amplitude.

Quando a onda só tem uma frequência denomina-se monocromática; com mais de uma frequência policro-mática. Cada partícula de um meio de um meio per-corrido por uma onda efetua um movimento periódico em torno de sua posição de equilíbrio. Não há, porém, um deslocamento global do meio, isto é, a onda não transporta massa. A freqüência do movimento periódico das partículas é a mesma que a da onda.

O lugar geométrico dos pontos do meio que têm, num determinado instante, a mesma fase, constitui as frentes de onda. A distância entre duas frentes con-secutivas que correspondem a fases congruentes é o comprimento de onda.

As frentes de onda deslocam-se no meio e esta velocidade de deslocamento é a velocidade de fase.

É possível que no meio existam pontos que per-manecem sempre na mesma posição de equilíbrio: as frentes de ondas que passam por estes pontos estão sempre estacionárias e a onda se diz estacionária. Em contraposição a esta, existem ondas em que todas as frentes de onda se deslocam - são as ondas caminhan-tes ou progressivas.

15 http://www.pensador.info/p/frases_e_pensamentos_de_gonzalez_peco-tche_-_raumsol_logosofia/1/

7.1.1 Ondas Longitudinais e TransversaisDistingue-se uma onda transversal de uma longi-

tudinal pela relação entre a direção de propagação da onda e a do movimento das partículas do meio: na onda transversal, as duas direções são perpendiculares e na longitudinal são coincidentes. Exemplo das primeiras são as ondas que se estabelecem numa corda metálica vibrante; das segundas as ondas acústicas no ar. As primeiras podem ser polarizadas, pois a vibração pode ocorrer num plano que contenha a direção de propaga-ção. As segundas não se podem polarizar.

Nem todas as ondas enquadram-se numa ou outra espécie; o movimento que a onda provoca nas partícu-las do meio pode ser extremamente complicado. É o que ocorre, por exemplo, nas ondas que se propagam na água: cada partícula descreve, em geral, uma pequena elipse em torno da posição de equilíbrio. A onda não é nem transversal nem longitudinal.

7.1.2 Ondas bi e tridimensionaisAs ondas que se propagam em um meio de duas

dimensões (numa membrana, por exemplo) são bidi-mensionais. Quando o meio tem três dimensões, as ondas são tridimensionais. A forma das frentes de onda nestes meios é um critério para classificá-las. Assim as ondas são esféricas se as frentes de onda forem superfícies esféricas; são planas, se forem planos; cilíndricas, se forem superfícies cilíndricas; circulares, se forem circunferências de círculo etc.

7.1.3 Amplitude de uma ondaA amplitude da onda determina a energia que pode

transportar. Numa onda harmônica, isto é, que é repre-sentada por uma função harmônica, a energia é propor-cional ao quadrado da amplitude. Em geral, mede-se a amplitude pelo máximo afastamento das partículas do meio em relação à posição de equilíbrio. A onda pode ter amplitude constante e se propaga, então, sem dissipação de energia. A sua amplitude pode, também, decrescer. Nesse caso, ou ocorre dissipação de energia ou há uma redistribuição de energia.

7.1.4 Ondas ElásticasAs ondas elásticas são as que se propagam num

meio material elástico. Podem ser ondas acústicas


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(sonoras), como as que se propagam no ar e têm frequência compreendida entre e apro-ximadamente. Podem ser ondas de torção, como as que ocorrem numa viga metálica sujeita a esforços periódicos de torção. Podem ser ondas de compressão, de pressão, etc., resultantes de esforços periódicos exercidos sobre o meio. Uma onda de choque é uma onda de pressão ou de compressão muito intensa e em geral de pequena duração.

7.1.5 Ondas EletromagnéticasDiferentemente das ondas elásticas, as ondas eletromagnéticas são aquelas que se propagam também no vácuo.

7.1.6 Espectro da Radiação EletromagnéticaAs ondas eletromagnéticas cobrem um intervalo bastante grande de frequências ou comprimentos de onda e podem ser classificadas de acordo com sua fonte principal. A classificação não tem fronteiras muito bem definidas uma vez que diferentes fontes podem produzir ondas em intervalos de freqüências que se sobrepõem.

7.1.6.1 A classificação usual do espectro eletromagnético é a seguinte:

1. Ondas de radiofrequencia. Tem comprimentos de ondas variando desde alguns quilômetros até . O intervalo de frequências vai desde alguns até . A energia dos fótons vai desde quase zero até cerca de . Essas ondas, que são usadas em televisão e sistemas de radiodifusão, são produzidas por instrumentos eletrônicos, principalmente circuitos oscilantes.

2. Microondas. Os comprimentos de ondas das microondas variam desde até . O intervalo de frequencias é de até

. A energia dos fótons vai desde cerca de até . Essas ondas são usadas em radares e outros sistemas de comunicação, bem como no estudo e na análise de detalhes muito finos da estrutura atômica e molecular e são, como no caso das radiofrequencias, pro-duzidas por instrumentos eletrônicos. A região de microondas é também designada por (ultrahigh frequency: frequências ultra-elevadas relativamente à radiofrequencia).

3. Espectro infravermelho. Cobre os comprimen-tos de onda de até (ou

). O intervalo de frequências vai desde até e a energia dos fó-

tons de até cerca de . Essa região é subdividida em três: o infravermelho distante, de a , o infravermelho médio, de a , e o infravermelho próximo, que se estende até cerca . Essas ondas são produzidas por moléculas e cor-pos quentes e são muito aplicadas na indústria, medicina, astronomia etc.

4. Luz ou espectro visível. É uma banda estreita formada pelos comprimentos de onda aos quais nossa retina é sensível. Estende-se de comprimentos de onda desde até com frequências variando de

a . A energia dos fótons varia entre e . A luz, como usualmente designamos a parte visível do espectro eletro-magnético, é produzida por átomos e moléculas como resultado do ajustamento interno no movi-mento de seus componentes, principalmente os elétrons. Não é necessário enfatizar a importância da luz em nosso mundo.

A luz é tão importante que constitui um ramo especial da Física Aplicada, chamado óptica. A óptica trata dos fenômenos luminosos, assim como da visão, e também do desenho de ins-trumentos ópticos. Em virtude da semelhança entre o comportamento das regiões do infra-vermelho e ultravioleta do espectro, a óptica inclui, além do espectro visível, também essas regiões. As sensações diferentes que a luz produz no olho, chamadas cores, dependem da freqüência, ou do comprimento da onda eletromagnética e correspondem aos seguin-tes intervalos para uma pessoa média:

Cor , ,

Azul

Azul

Verde

Amarelo

Laranja

Vermelho


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A sensibilidade do olho depende também do compri-mento de onda da luz; essa sensibilidade será máxima para comprimentos de onda de aproximadamente

. Em virtude da relação entre cor e com-primento de onda ou freqüência, uma onda eletromag-nética de comprimento ou freqüência bem definidos é também chamada de onda monocromática (mono: um; chromos: cor).

5. Raios ultravioleta. Seus comprimentos de onda variam de até cerca de com frequências variando entre e

. A energia dos fótons vai desde até . Essas ondas são produzidas por átomos e moléculas em descargas elétricas. Suas energias são da ordem de grandeza da energia envolvida em muitas reações químicas, o que explica muitos de seus efeitos químicos. O Sol é uma poderosa fonte de radiação ultra-violeta, que é o fator mais importante no bron-zeamento da pele. A radiação ultravioleta do Sol também interage com os átomos na atmosfera superior, produzindo um grande número de íons. Isso explica porque a atmosfera superior, a uma altura acima de cerca de 80 quilômetros (60 milhas), é altamente ionizada sendo, por essa razão, chamada ionosfera. Quando algum micro-organismo absorve radiação ultravioleta, pode ser destruido como resultado das reações quí-micas produzidas pela ionização e dissociação das moléculas. Por essa razão, raios ultravioleta são usados em algumas aplicações médicas e também em processos de esterilização.

6. Raios X. Essa parte do espectro eletromagné-tico estende-se de comprimento de onda da ordem de até cerca de , ou frequencias entre e . A energia dos fótons vai de até cerca de . Essa parte do espectro eletro-magnético foi descoberta em 1895 pelo físico alemão W. Roentgen quando estava estudando raios catódicos. Os raios X são produzidos pelos elétrons mais internos dos átomos, ou seja, os mais fortemente ligados. Outra fonte de raios X é o bremsstrahlung ou radiação de freamento. De fato, esse é o meio mais comum de produ-ção comercial de raios X. Um feixe de elétrons, acelerado por um potencial de vários milhares de volt, atinge um alvo metálico chamado anti-

cátodo. Foi esse o processo pelo qual os raios X foram produzidos na experiencia original de Ro-entgen. Os raios X, por causa da grande energia de seus fótons, produzem efeitos pronunciados sobre os átomos e moléculas de substâncias através das quais se propagam, produzindo dissociação e ionização de suas moléculas. Os raios X são também usados em diagnóstico médico porque a absorção relativamente grande da radiação X pelos ossos, em comparação com os outros tecidos, permite uma “fotografia” bastante definida. Como resultado dos proces-sos químicos que induzem, causam também sérios danos aos tecidos e organismos vivos. É por essa razão que os raios X são usados no tratamento de câncer, uma vez que as células afetadas parecem ser mais sensíveis à radiação do que as células normais. Deve ser ressaltado que qualquer radiação X destrói realmente teci-dos bons; uma exposição a uma grande dose pode causar suficiente destruição para produzir doença ou morte.

7. Raios gama ( ). Essas ondas eletromagnéticas são de origem nuclear. Elas se sobrepõem com o limite superior do espectro de raios X. Seus comprimentos de onda vão desde cerca de

até bem abaixo de , com um intervalo correspondente de frequência varian-do de até acima de . A energia dos fótons vai de até cerca de

. Essas energias são da mesma ordem de grandeza daquelas que tomam par te em processos nucleares e portanto a absorção de raios pode produzir algumas mudanças nu-cleares. Esses raios são produzidos por muitas substâncias radioativas e estão presentes em grandes intensidades nos reatores nucleares. Não são facilmente absorvidos pela maioria das substâncias, mas, quando são por organismos vivos, produzem efeitos bastante danosos. Sua manipulação requer proteção por meio de uma blindagem muito grande.

Na radiação cósmica existem ondas eletromagné-ticas de comprimentos ainda menores (ou de maiores frequências) que constituem um campo de pesquisa de interesse da astronomia.


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7.2 Propagação de OndasNesta seção, definiremos as equações que descre-

vem o movimento ondulatório. Por simplicidade, trata-remos das ondas que se propagam em uma dimensão. Tomemos como ilustração do movimento ondulatório unidimensional a figura (6.1). Nela, definimos o com-primento de onda ( ), como a distância entre dois vales ou duas cristas consecutivas. O eixo horizontal (dire-ção de propagação da onda) chamamos de X e o eixo vertical , definimos a direção de oscilação da onda. No mesmo eixo , definimos a amplitude da onda que poderá assumir os valores ou .

Figura 7.1

Nossa onda propaga-se com uma velocidade . A amplitude , em cada ponto da curva da figura (76.1), deve ser certamente uma função das coordenadas , da velocidade e do tempo , ou seja, . Convencionamos que representa uma curva que se move para a direita de X com uma velocidade , chamada velocidade de fase e, de modo análogo, representa uma curva que se move para a esquerda de X com velocidade .

A quantidade pode representar uma grande diversidade de quantidades físicas, tais como a defor-mação em um sólido, a pressão em um gás, um campo elétrico ou magnético etc.

Um caso particularmente interessante é aquele em que é uma função senoidal ou harmônica tal como:

(7.1)

A constante é definida como e é chamada de número de onda, que corresponde ao número de comprimentos de onda em uma unidade de compri-mento. Assim, podemos escrever,

(7.2)A equação (7.2) pode também ser escrita, para uma onda que propaga-se para a direita do eixo X, como:

(7.3)

Análogamente, para uma onda que se propaga para a esquerda do eixo X:

(7.4)

Onde

(7.5)

define a frequência angular da onda. Sendo , onde é a frequência com que a situação física varia em cada ponto , temos a importante relação:

(7.6)

Evidentemente, se P é o período de oscilação em cada ponto, dado por , também podemos escrever a equação (7.2) na forma:

(67.7)

De maneira análoga:

(7.8)

De todas as relações anteriores, também nos é permi-tido escrever que:

(7.9)

A equação (7.9) mostra que também podemos definir o comprimento de onda como a distância percorrida pelo movimento ondulatório em um período.

A velocidade de oscilação ( ) é uma velocidade de-dicada á direção , de forma que:

(7.10)

logo, com podemos escrever:

(7.11)


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“Tenha em mente que tudo que você aprende

na escola é trabalho de muitas gerações.

Receba essa herança, honre-a, acrescente a

ela e, um dia, fielmente, deposite-a nas mãos

de seus filhos.”

Albert Einstein16

?? VOCÊ SABIA?

Não há transporte de matéria por onda. Onda só transporta energia, sem transportar matéria. Um corpo sujeito a ação de uma onda pode receber dela energia mecânica.

James Prescot Joule17

Em ondulatória, os estudos de Galileu foram funda-

mentais. Quanto a Newton, foi a partir de suas análises sobre a velocidade do som que os fenômenos ondu-latórios deixaram de constituir um estudo superficial (se bem que os sons musicais, a apenas eles, já eram estudados desde a antiguidade). Newton também foi primeiro a ligar som à mecânica.

A noção de que as vibrações tanto sonoras como luminosas se propagam através de movimento ondu-latório começou a tomar corpo na segunda metade do século XVII, quando já se pesquisava uma analo-gia entre as ondas de água, o fenômeno sonoro e a propagação da luz.

O grande pesquisador dessa área foi o cientista ho-landês Cristhian Huyghens, que dá o mesmo tratamento


17 http://www.ufpel.tche.br/ifm/histfis/joule.jpg

ao som e à luz. Para ele, que não chegou a estudar ondas de água, o som e a luz seriam constituídos de vibrações longitudinais. Mas foi a luz que despertou neste cientista mais paixão, levando-o a conceber a primeira hipótese das ondulações. Embora os conceitos formulados por eles sejam transmitidos até hoje, sua teoria ondulatória teve pouca influência no estudo do som.

No final do século XVII o conhecimento sobre som já estava avançado. No entanto, é no século seguinte que surgiram análises bastante importantes, inclusive a da medição da velocidade do som: . No final do século XVII a natureza do som já estava caracterizada como um estado vibratório, abrindo a possibilidade de um aprofundamento ainda maior.

“O princípio criador reside na matemática;

a sua certeza é absoluta, enquanto se

trata de matemática abstrata, mas diminui

na razão direta de sua concretização.”

Albert Einstein18


Exemplo (7.1)Um diapasão oscila com uma frequência de . Determine o comprimento de onda do som, sabendo que a velocidade do som no ar é de .* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida): Usando a equação (6.6) temos:

Exemplo (7.2)A luz propaga-se no vácuo com uma velocidade de

. Determine o comprimento de onda cor-respondente a uma freqüência de , que é a da luz na região vermelha do espectro visível.* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):



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Usando novamente a equação (6.6) obtemos

A comparação dos exemplos (7.1) e (7.2) possibi-lita a percepção da diferença nas ordens de grandeza referentes a ondas sonoras e luminosas.

Maxwell19

Exemplo (7.3)Um homem produz ondas, balançando um barco na superfície de um lago cujas águas estão paradas. Ele observa que o barco realiza 12 oscilações em 20 se-gundos, sendo que cada oscilação produz uma onda. A crista de uma dada onda leva para alcançar uma praia que se encontra a uma distância de do bar-co. Calcule o comprimento de onda das ondas na su-perfície do lago.* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida): da equa-ção (6.6) obtemos o comprimento de onda . Do enunciado da questão temos que a velocidade de pro-pagação da onda é igual a:

A frequência de oscilação é dada por:

Assim,

19 http://i188.photobucket.com/albums/z99/fisicomaluco/Maxwell.jpg

Exemplo (7.4)A equação de uma determinada onda é

, em que está em metros e em segundos. Determine a (a) amplitude, (b) o comprimento de onda, (c) a freqüência, (d) a veloci-dade de propagação da onda e (e) faça um esboço da onda, representado a amplitude e o comprimento de onda.* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):

Encontra-se, facilmente, a Resolução Passo a Passo deste exemplo ao compararmos a equação do seu enunciado , com a equação geral (6.7) . Daí resulta que:

Figura 7.4


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Sugestões de Atividades (7.1)Dada a onda:

onde está em metros e em segundos, determine (a) o número de onda, (b) o comprimento de onda, (c) a frequência angular, (d) a frequência, (e) o período, (f) a velocidade de propagação, (g) a amplitude, (h) a direção de propagação, (i) a velocidade de oscilação em função de e e (j) a velocidade máxima de os-cilação.

Sugestões de Atividades (7.2)Dada a onda:

onde está em metros e em segundos, determine (a) o comprimento de onda, (b) a frequência, (c) o pe-ríodo, (d) a velocidade de propagação, (e) a amplitude e (f) a direção de propagação.

A Resolução Passo a Passo deste exemplo é obtida facilmente quando comparamos a equação do enun-ciado com a equação (6.3)

Sugestões de Atividades (7.3)Escrever a equação de uma onda que se propaga no sentido negativo do eixo OX e que tem de am-plitude, frequência de e velocidade de .

Sugestões de Atividades (7.4)Uma onda senoidal propaga-se ao longo de uma cor-da. O intervalo para um ponto particular mover-se do deslocamento máximo até o deslocamento zero é

, quais são (a) o período e (b) a frequência? (c) Se o comprimento de onda for de qual a veloci-dade da onda?

Sugestões de Atividades (7.5)O som mais grave detectável pelo ouvido humano tem freqüência de aproximadamente e o mais agudo consiste em cerca de . Qual é o comprimen-to de onda de cada um, no ar, sabendo que a velocida-de do som no ar é cerca de .

Sugestões de Atividades (7.6)A pressão de uma onda sonora que se propaga é dada pela equação:

em que está expresso em metros, em segundos e em pascals. Determine (a) a amplitude da pressão,

(b) a frequência, (c) o comprimento de onda e (d) a velocidade da onda.

“Nós somos aquilo que fazemos repetidamente.

Excelência, então, não é um modo de agir,

mas um hábito.”

Aristóteles20

20 http://www.pensador.info/p/aristoteles_frases/1/


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CAPÍTULO 8

FLUIDOS

“A vida é como andar de bicicleta.

Para manter seu equilíbrio, você

deve continuar em movimento”.

Albert Eisntein21

8.1 IntroduçãoFluido é designação genérica dos corpos que estão

no estado líquido ou no estado gasoso. Contrapõe-se aos sólidos, pois não tem forma própria e toma, usu-almente, a forma do recipiente que o contém.

Em escala microscopia, caracteriza-se um fluido pela disposição espacial não ordenada de suas partículas, em contraste com a ordenação espacial regular das de um sólido.

Um fluido em repouso não exerce forças tangencias sobre os sólidos nele imersos. Se estiver em movimen-to, porém pode exercê-las.

Um fluido pode ser compressível ou incompressí-vel. A compressibilidade elevada caracteriza os gases, enquanto a incompressibilidade, ou seja, uma compres-sibilidade muito pequena, caracteriza os líquidos.

Uma vez que os fluidos não têm rigidez, o seu movi-mento é bem mais complicado que o dos sólidos. Um fator determinante neste movimento é a viscosidade. Quando ela é nula, o fluido é chamado ideal.

8.2 HidrostáticaParte da Física em que se investiga o equilíbrio dos

líquidos sujeitos à ação da gravidade.

8.2.1 Pressão e DensidadeÉ conveniente descrever as forças que atuam em

fluido, especificando a pressão , definida como o número que mede a força em cada unidade de área, ou seja:

(8.1)

em que é a pressão, a força e a unidade de área.A unidade SI de pressão é o pascal (abreviatura Pa,


Uma propriedade importantíssima e fundamental dos fluidos é a sua densidade definida como o quociente da massa ( ) do fluido pelo volume ( ) que o contém.

(8.2)

A densidade de um fluido homogêneo pode depen-der de vários fatores, quais sejam, sua temperatura e a pressão a qual ele estiver submetido. Nos líquidos, a densidade varia muito pouco para grandes variações nos valores de temperatura e pressão. A densidade de gás, todavia, é muito sensível a variações de tempera-tura e pressão.

8.2.2 Variação de Pressão em um Fluido em Repouso

Imaginemos um fluido em repouso e que esteja confinado em um recipiente aberto. Imaginemos, tam-bém um objeto ou mesmo uma molécula ou partícula, imerso no fluido a uma profundidade da superfície do mesmo. Definimos a pressão em tal “partícula” a partir da expressão matemática:

(8.3)em que é a pressão sobre a “partícula”, a pressão atmosférica, a densidade do fluido, a aceleração da gravidade e a profundidade ou a distância da su-perfície do fluído à partícula.

8.2.3 Princípios de Pascal e de Arquimedes• Princípio de Pascal: a pressão aplicada a um

fluido contido em um recipiente é transmitida integralmente a todos os pontos do fluido e às paredes do recipiente que o contém.

• Princípio de Arquimedes: todo corpo total ou parcialmente imerso em um fluido recebe deste um empuxo vertical dirigido para cima, de módulo igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.


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?? VOCÊ SABIA?

Os cristais líquidos apresentam muitas aplicações práticas interessantes como: painéis de leitura de aparelhos eletrônicos, calculadoras de bolso, relógios de pulso, termômetros domésticos entre outras aplicações.A descoberta do primeiro cristal líquido deve-se a Friedrich Reinitzer em 1888, um botânico austríaco que observou a existência de dois pontos de fusão em um éster quando estudava a função do colesterol nas plantas. O componente mudava a uma certa temperatura do estado cristalino para um estado líquido opaco, e o material mudava novamente quando a temperatura era aumentada para um líquido transparente. Essa mudança de fase era algo reprodutível com o aumento e diminuição da temperatura.Reinitzer enviou algumas amostras a Otto Lehmann, físico alemão, que as estudou com um microscópio equipado com um polarizador e um controlador de temperatura. Lehmann verificou que a fase em que o líquido era opaco, a substância era um líquido homogêneo, mas, que o seu comportamento na presença de uma luz polarizada era igual ao comportamento de um cristal. Esta é a origem da denominação “Cristal Líquido”.Seguidamente Daniel Vorlander, um químico de origem alemã, fez um grande estudo em que conseguiu identificar as características moleculares com maior possibilidades de dar origem a cristais líquidos. A conclusão mais importante do seu trabalho foi a tendência das moléculas lineares em formarem fases líquido-cristalinas.A versatilidade dos cristais líquidos faz com que a pesquisa destes materiais atinja diversas áreas da física, engenharia e química. Induzida por suas aplicações em mostradores, a pesquisa de cristais líquidos tem crescido exponencialmente.


Exemplo (8.1)Um cilindro metálico de , com de compri-

mento e com cada extremidade de área , está colocado verticalmente sobre o chão. Que pressão o cilindro exerce sobre o chão?* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):

Exemplo (8.2)A pressão atmosférica vale aproximadamente

. Que força o ar exerce em uma sala no lado interno de uma vidraça de ?* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):

A atmosfera exerce uma força normal em qualquer superfície colocada nela. Consequentemente, a força na vidraça é perpendicular a ela e é dada por

Naturalmente, uma força quase igual, devida à atmosfera, no lado externo, evita que a vidraça se quebre.

Exemplo (8.3)A que altura a água poderia subir nos encanamentos de um prédio, se a medida da pressão da água mostra que a pressão no andar térreo é de ?* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):

A medida da pressão da água indica o excesso de pressão devida à água, isto é, a diferença entre a pressão da água e a pressão da atmosfera. A pressão da água no fundo da mais alta coluna que pode ser su-portada é . Portanto, , de forma que

Exemplo 7.2.5.4Quando um submarino desce a uma profundidade

de , qual a pressão total a que está sujeita sua superfície exterior? A densidade da água do mar é aproximadamente .* Resolução Passo a Passo(A. L. Almeida):

A pressão sobre a superfície do submarino será igual a pressão atmosférica mais a pressão da água, ou seja:

Exemplo (8.5)

Uma represa segura um lago de atrás dela. Junto à barragem a profundidade do lago é de . Qual é a pressão da água (a) na base da represa? (b) em um ponto a 3m da superfície?* Resolução Passo a Passo(A. L. Almeida):


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A área do lago atrás da barragem não tem qualquer efeito sobre a pressão contra a represa. Em qualquer ponto, .

(a)

(b)

Sugestões de Atividades (8.1)Um equilibrista de equilibra-se na ponta de uma vara. A outra ponta, em contato com o chão, tem uma área de . Calcule a pressão exercida no chão pela vara. Despreze o peso da vara.

Sugestões de Atividades (8.2)Uma cidade recebe água diretamente de um reservató-rio 26 m acima do registro da água de uma casa. Qual é a pressão da água no registro? (Despreze os efeitos de outros usuários de água).

Sugestões de Atividades (8.3)Uma piscina tem as seguintes dimensões:

. (a) Quando ela está cheia de água, qual é a força (devido somente à água) exerce no fundo? E nas paredes longitudinais? E nas paredes transversais? (b) Se, você estivesse interessado em saber se as paredes de concreto resistiriam ou não, seria oportuno levar em consideração a pressão at-mosférica?


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CAPÍTULO 9

TERMODINÂMICA

Se a Teoria da Relatividade estiver correta, os alemães

dirão que sou alemão, os suíços dirão que sou

suíço, os franceses dirão que sou francês, mas se a

Teoria da Relatividade não estiver correta, os franceses

dirão que sou suíço, os suíços dirão que sou alemão

e os alemães me acusarão de Judeo.

Albert Einstein22

9.1 Princípios da Termodinâmica

• Estuda a ENERGIA e suas transformações;

• Fornece a base científica para a análise dos pro-cessos de conversão de energia;

• O estudo da termodinâmica é voltado a duas for-mas principais de energia: CALOR e TRABALHO.

9.2 Leis da TermodinâmicaAs Leis da Termodinâmica sâo baseadas na expe-

riência.

• Lei zero: descreve a possibilidade de definir a temperatura dos objetos.

• Lei: princípio da conservação de energia.

• Lei: - permite- descrever a direção dos processos;- calcular a eficiência de equipamentos e ciclos

termodinâmicos;- verificar se é possível ou não a ocorrência de

um processo.

• Lei: se ocupa das propriedades da matéria a temperaturas muito baixas.

9.3 Conceitos Fundamentais

9.3.1 SistemaObjeto de análise, identificado para estudo das interações

(trocas de energia e/ou matéria) com o meio externo.• A composição da matéria dentro do sistema pode

ser fixa ou variável.


• A forma ou o volume do sistema não é necessa-riamente constante.

9.3.2 Vizinhança:

Tudo externo ao sistema.

9.3.3 Fronteira:

Separa o sistema do meio externo ou vizinhança. Pode estar em repouso ou movimento.

Qualquer análise termodinâmica começa com a seleção do sistema, fronteira e vizinhança.

9.3.4 Tipos de Sistema• Isolados: não trocam matéria ou energia com o

meio externo;• Fechados: não trocam matéria, mas podem

permutar energia;• Abertos: podem trocar matéria e energia com

sistemas vizinhos.

9.3.5 Tratamento Macro e Microscópico da Termodinâmica

9.3.5.1 Tratamento Macroscópico (Termodi-nâmica Clássica):

• Relacionado ao comportamento ou efeitos totais ou médios de moléculas que compõe o sistema;

• Não interessam detalhes moleculares e estrutura atômica.

9.3.5.2 Tratamento Microscópico (Termodi-nâmica Estatística):

• Quando se considera a natureza molecular e atômica da matéria;

• Para aplicações, envolvendo laser, escoamento de gás a alta velocidade, cinética química, criogenia, cálculo de propriedades etc.

9.3.6 Propriedades TermodinâmicasSão características macroscópicas do sistema. Ex:

massa, volume, pressão, temperatura etc.


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9.3.7 Propriedades Extensivas

• Valor da propriedade para um sistema global é a soma de seus valores para as partes nas quais o sistema é dividido;

• Dependem da quantidade de matéria contida no sistema;

• Podem variar com o tempo.

Ex: massa, volume, energia interna, entalpia, en-tropia.

9.3.8 Propriedades Intensivas

Propriedades intensivas são as propriedades de um sistema que não dependem de seu tamanho, ou da quantidade de material que ele contém. Contudo, algumas das propriedades intensivas têm natureza estatística e só fazem sentido na escala de agregados. Não podem ser divididas.

Ex: pressão, temperatura, viscosidade, densidade, resistividade elétrica, ponto de fusão, ponto de ebulição etc.

9.4 Termômetro e Escala de TemperaturaDefine-se temperatura como a energia cinética

média das partículas que formas um sistema de par-tículas, como os sólidos, os gases e os líquidos, por exemplo.

O instrumento de medida de temperatura é o ter-mômetro.

A unidade de temperatura termodinâmica é o Kelvin (símbolo K), sendo o Kelvin a fração da tem-peratura termodinâmica do ponto triplo da água. O ponto triplo da água é um ponto fixo escolhido como sendo aquele em que o gelo, a água e vapor d’água coexistem em equilíbrio. A temperatura deste ponto triplo padrão foi escolhido arbitrariamente como .

Duas escalas termométricas usuais são a escala Celsius e a escala Fahrenheit. Elas são definidas em função da escala Kelvin, que é a escala termométrica fundamental em ciência.

A escala termométrica Celsius emprega um grau (a unidade de temperatura) de mesmo valor que o grau da escala Kelvin. Representando por t a temperatura Celsius, então a equação.

(9.1)

relaciona a temperatura Celsius e a temperatu-ra Kelvin . Vemos que o ponto triplo da água (

, por definição) corresponde a . Experimentalmente, verifica-se que a temperatura na qual o gelo e a água saturada com o ar estão em equi-líbrio, à pressão atmosférica - denominado ponto de fusão do gelo - é de e a temperatura na qual o vapor d’água e a água líquida estão em equilíbrio, à pressão de 1 atm - denominado ponto de vapor - é de

.A escala Fahrenheit, comumente usada em países de

língua inglesa (com exceção da própria Inglaterra, que adotou a escala Celsius para uso comercial e civil em 1964) não é usada em trabalhos científicos. A relação entre as escalas Fahrenheit e Celsius é

(9.2)

Desta relação, podemos concluir que a fusão do gelo ( ) é igual a , que o ponto de vapor ( ) é igual a e que um grau Fahrenheit vale, exatamente, do grau Celsius.

Galileu23

9.5 Expansão TérmicaQuando a temperatura de um corpo é alterada, as

suas dimensões (p.ex. comprimento) também o são. Para intervalos mais ou menos significativos de tem-peratura, o comprimento de um sólido, à temperatura , pode relacionar-se com o comprimento inicial , à

temperatura , pela expressão:

23 http://nossobrog.blog.terra.com.br/files/2009/06/galileu_galilei.jpg


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(9.3)

Definindo, e , podemos escrever a equação (8.3) , na forma,

(9.4)

Sendo a variação no comprimento do material em consequência de sua variação de temperatura .

Nas equações anteriores é denominado coeficiente de dilatação linear, tem valores diferentes para materiais diferentes.

Pode ser mostrado que, com alto grau de precisão, para um sólido isotrópico a variação percentual na área , por grau de variação na temperatura vale , isto é,

(9.5)e que a variação percentual no volume , por grau de variação na temperatura, vale , isto é,

(9.6)


Exemplo (9.1)

Uma régua de aço ( ) deve ser calibrada de modo que as divisões de milímetros apresentem um erro máximo de, aproximadamente,

, em uma certa temperatura. Qual é a máxima variação de temperatura permissível durante a calibração?* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):

Da equação (9.4), temos

De forma que . A temperatura mantida du-rante o processo de calibração deve ser mantida quan-do a escala está sendo usada e ela não poderá sofrer variações maiores do que .

Exemplo (9.2)Uma barra de cobre tem de comprimento a

. Qual será o seu aumento de comprimento quando aquecida a ? O coeficiente de dilatação linear do cobre é .



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CAPÍTULO 10

GASES IDEAIS

Para valores suficientemente baixos da densidade de um gás, a experiência mostra que: (1) para uma dada massa de gás, mantida a temperatura constante, a pressão varia inversamente com o volume (Lei de Boyle), e (2) para uma dada massa de gás mantida a pressão constante, o volume varia diretamente com a temperatura (Lei de Charles e Gay Lussac). Para uma massa fixa de gás, estes dois resultados experimentais podem ser resumidos na relação:

(10.1)

Escrevemos a constante da equação (10.1) como , onde é o número de moles do gás, e é uma constante a ser determinada para cada gás, pela experiência. A experiência mostra que, para desnsidades baixas,

tem o mesmo valor para todos os gases, sendo . é

chamada de constante universal dos gases.

Por isso escrevemos a equação (10.1) como (10.2)

e definimos um gás ideal como aquele que obedece a esta relação sob quaisquer condições. Tal gás na realidade não existe, mas é um conceito útil devido ao fato de que o comportamento de todos os gases reais se aproximam do comportamento do gás ideal, a densidades suficientemente baixas. A equação (10.2) é chamada equação de estado de um gás ideal.

10.1 Capacidade Térmica e Calor EspecíficoPara uma dada massa, a quantidade de calor neces-

sária para produzir um determinado acréscimo de tem-peratura depende da substância. Chama-se capacidade térmica, C, de um corpo o quociente entre a quantidade de calor, , fornecida ao corpo e o correspondente acréscimo de temperatura, :

(10.3)

A palavra “capacidade” não deve ser interpretada

como “a quantidade de calor que um corpo pode reter”, uma vez que ela significa, o calor fornecido a um corpo para elevar de uma unidade sua temperatura.

A capacidade térmica por unidade de massa de um corpo, denominada calor específico, depende da natureza da substância da qual ele é feito e é definido como o cociente entre sua capacidade térmica e sua massa:

(10.4)

Pode-se falar, apropriadamente, por um lado, da capacidade térmica de uma moeda de cobre e, por outro lado, do calor específico do cobre.

Nem a capacidade térmica de um corpo nem o calor específico de um material são constantes. Eles depen-dem do intervalo de temperatura considerado.

“Minhas idéias levaram as pessoas a reexaminar

a física de Newton. Naturalmente alguém um dia

irá reexaminar minhas próprias idéias. Se isto

não acontecer, haverá uma falha grosseira em

algum lugar”.

Albert Eisntein24


Exemplo (10.1)Uma gota de de nitrogênio líquido está presente

em um tubo de quando este é lacrado a uma tem-peratura muito baixa. Qual será a pressão do nitrogênio no tubo quando ele é aquecido a ? Dê sua resposta em atmosfera. (M do nitrogênio é * Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):

Usando , encontramos



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Exemplo (10.2)Um tanque de 590 litros de volume contém oxigênio

a e de pressão. Calcule a massa de oxigênio no tanque. ( para o oxigênio.)* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):

Usamos e escrevemos

Exemplo (10.3)A e , 1,29 litros de um gás ideal “pe-sam” gramas. Calcule o peso molecular do gás.* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):

Usamos e escrevemos

Exemplo (10.4)

Calcule a densidade do metano ( ) a e .


Usamos e e escrevemos

Exemplo (10.5)Quanto calor é liberado por de alumínio quan-do esfria de para ? (Para o alumínio,

).* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):

Exemplo (10.6)Uma garrafa térmica contém de água a . Den-tro dela são colocados de metal a . Depois que o equilíbrio é atingido, a temperatura da água e do metal é . Qual é o calor específico do metal? Su-ponha que não há perdas de calor na garrafa térmica.* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):calor cedido pelo metal é igual ao calor ganho pela água

Resolvendo, encontramos que .


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CAPÍTULO 11

ELETRICIDADE E MAGNETISMO

“Vi muitas pessoas que filosofavam muito mais

doutamente do que eu, mas sua filosofia parecia,

por assim dizer, estranha... Estudavam o universo

como teriam estudado qualquer máquina que

tivessem visto por curiosidade. Estudavam a

natureza humana para poder falar sabiamente

dela, não para conhecerem-se a si mesmos”.

Jean Jacques Rousseau25

11.1 IntroduçãoEletricidade e magnetismo é uma parte da Física em

que se investigam os fenômenos relacionados com a presença de campos elétricos e magnéticos ou com a presença de cargas elétricas em movimento ou em repouso. Compreende, em traços gerais, a eletrostática, que investiga os campos elétricos estacionários, a mag-netostática, em que se estudam os campos magnéticos, e o eletromagnetismo, estudo das cargas elétricas em movimento. A investigação dos fenômenos elétricos estende-se à Física Atômica e permeia as questões de Física Nuclear.

A ciência da eletricidade é um típico rebento do pensamento e da investigação científica que se for-mou e se estruturou na Europa, a partir do século XVI e especialmente nos séculos XVIII e XIX. Não será exagero afirmar que a evolução do conhecimento dos fenômenos elétricos e de suas leis e a da criação das teorias interpretativas constituem modelo característi-co da evolução do pensamento científico. Sem fazer menção a trabalhos esparsos (entre os quais se inclui a notável contribuição de W. Gilber t (1540-1603) sobre magnetismo), a ciência da eletricidade começa a desenvolver-se nos fins do século XVII e, especial-mente, no século seguinte. Datam desta mesma época os primeiros trabalhos sobre eletricidade estática e a construção de máquinas de influência para produzi-las. Os fenômenos estão descobertos (centelhas, choques elétricos etc) constituiram motivos de reuniões sociais em que a nobreza se divertia com a Física dos filósofos naturais. Formou-se sólida base de conhecimentos empíricos sobre a produção e distribuição de cargas elétricas, em que são notáveis os trabalhos de Volta, Galvani, Oersted, Franklin, Coulomb, Faraday, etc., que

25 Coleção: Os Pensadores – Editora: Nova Cultura

se estendem até o século XIX. Estava madura, então, a época para a elaboração teórica aprofundada, o que se deve em boa parte ao notável cientista francês Ampère. O coroamento desta evolução foi a teoria eletromagné-tica de Maxwell, com que a Física do século XIX atingiu o máximo de desenvolvimento.

As aplicações práticas da eletricidade e os fenôme-nos do eletromagnetismo sucederam-se rapidamente à elaboração teórica e ao conhecimento de laboratório. Nos princípios do século XX, os motores elétricos e a iluminação elétrica já se haviam tornado características específicas do presente estágio da civilização. Entre as duas guerras, houve o gigantesco avanço da eletrônica que, nas décadas de 50 e 60, foi revolucionada pela adoção dos semicondutores e pelo emprego de técnicas baseadas na Física do estado sólido.

A teoria da relatividade e a teoria quântica da ma-téria tiveram, e têm, importância primordial para o entendimento dos fenômenos elétricos e magnéticos e constituem campos vastíssimos da investigação teórica e da experimentação.

Além de tudo, podemos conceber o campo da eletri-cidade e magnetismo como uma designação genérica e ampla da causa dos fenômenos que se devem, ou são provocados, pela presença de cargas elétricas em repouso ou em movimento ou provocados, pela presença de campos elétricos e magnéticos.

11.2 A Natureza Elétrica da MatériaSegundo a visão atomista do universo, todos os

corpos são constituídos por partículas elementares que formam átomos. Estes, por sua vez, se enlaçam entre si para dar lugar às moléculas de cada substância. As partículas elementares são o próton e o nêutron, contidos no núcleo e o elétron, que gira ao seu redor e descreve trajetórias conhecidas como órbitas.

A carga total do átomo é nula, ou seja, as cargas positiva e negativa se compensam porque o átomo possui o mesmo número de prótons e elétrons - par-tículas com a mesma carga, mas de sinais contrários. Os nêutrons não possuem carga elétrica. Quando um elétron consegue vencer a força de atração do núcleo, abandona o átomo, que fica, então, carregado positivamente. Livre, o elétron circula pelo material ou entra na configuração de outro átomo, o qual adquire uma carga global negativa. Aqueles átomos que apre-sentam esse desequilíbrio de carga são denominados íons e são encontrados em manifestações elétricas


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da matéria, como a eletrólise, que é a decomposição das substâncias por ação da corrente elétrica. A maior parte dos efeitos de condução elétrica, porém, se deve à circulação de elétrons livres no interior dos corpos. Os prótons dificilmente vencem as forças de coesão nucleares e, por isso, raras vezes provocam fenômenos de natureza elétrica fora dos átomos.

De maneira geral, diante da energia elétrica, as subs-tâncias se comportam como condutoras ou isolantes, conforme transmitam ou não essa energia. Os corpos condutores se constituem de átomos que perdem com facilidade seus elétrons externos, enquanto as substâncias isolantes possuem estruturas atômicas mais fixas, o que impede que as correntes elétricas as utilizem como veículos de transmissão.

Os metais sólidos constituem o mais claro exemplo de materiais condutores. Os elétrons livres dos condu-tores metálicos se movem através dos interstícios das redes cristalinas e se assemelham a uma nuvem. Se o metal se encontra isolado e carregado eletricamente, seus elétrons se distribuem de maneira uniforme so-bre a superfície, de forma que os efeitos elétricos se anulam no interior do sólido. Um material condutor se descarrega imediatamente ao ser colocado em contato com a terra.

A eletrização de certos materiais, como o âmbar ou o vidro, se deve a sua capacidade isolante, pois com o atrito, perdem elétrons que não são facilmente substi-tuíveis por aqueles que provêm de outros átomos. Por isso, esses materiais conservam a eletrização por um período de tempo tão mais longo quanto menor for sua capacidade de ceder elétrons.

11.3 Lei de CoulombA parte da eletricidade que estuda o comportamento

de cargas elétricas estáticas no espaço é conhecida pelo nome de eletrostática. Ela desenvolveu-se pre-cocemente dentro da história da ciência e se baseia na observação das forças de atração ou repulsão que aparecem entre as substâncias com carga elétrica.

Estudos quantitativos de eletrostática foram feitos separadamente por Coulomb e Cavendish. A chamada lei de Coulomb estabelece que as forças de atração ou repulsão entre partículas carregadas são diretamente proporcionais às quantidades de carga dessas partícu-las e inversamente proporcionais ao quadrado da dis-tância que as separa. Determinada de forma empírica, essa lei só é válida para cargas pontuais em repouso.

Sua expressão matemática é:

(11.1)

em que e indicam a grandeza das cargas, é a distância entre elas e é a constante de proporciona-lidade ou constante dielétrica, cujo valor depende do meio em que as partículas elétricas se acham imer-sas. A direção das forças é paralela à linha que une as cargas elétricas em questão. O sentido depende da natureza das cargas: se forem de sinais contrários, se atraem; se os sinais forem iguais, se repelem. A unida-de de carga da lei de Coulomb recebe a denominação de Coulomb no sistema internacional. A força se ex-pressa em newtons e a distância, em metros.

11.4 Campo ElétricoCom o desenvolvimento da eletricidade como ciên-

cia, a Física Moderna abandonou o conceito newtoniano de força como causa dos fenômenos e introduziu a noção de campo. A liberação das partículas passou a ser associada às diferenças de níveis energéticos e não à ação direta de forças.

Define-se campo elétrico como uma alteração in-troduzida no espaço pela presença de um corpo com carga elétrica, de modo que qualquer outra carga de prova localizada ao redor indicará sua presença. Por meio de curvas imaginárias, conhecidas pelo nome de linhas de campo, visualiza-se a direção da força gerada pelo corpo carregado.

As características do campo elétrico são determina-das pela distribuição de energias ao longo do espaço afetado. Se a carga de origem do campo for positiva, uma carga negativa introduzida nele se moverá, espon-taneamente, pela aparição de uma atração eletrostática. Pode-se imaginar o campo como um armazém de ener-gia causadora de possíveis movimentos. É usual medir essa energia por referência à unidade de carga, com o que se chega à definição de potencial elétrico, cuja magnitude aumenta em relação direta com a quantida-de da carga geradora e inversa com a distância dessa mesma carga. A unidade de potencial elétrico é o , equivalente a um coulomb por metro. A diferença de potenciais elétricos entre pontos situados a diferentes distâncias da fonte do campo origina forças de atra-ção ou repulsão orientadas em direções radiais dessa mesma fonte.

A intensidade do campo elétrico se define como a


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força que esse campo exerce sobre uma carga contida nele. Dessa forma, se a carga de origem for positiva, as linhas de força vão repelir a carga de prova e ocorrerá o contrário se a carga de origem for negativa. Diz-se, portanto, que as cargas positivas são geradoras de campos magnéticos e as negativas, de sistemas de absorção ou sumidouros.

11.5 DielétricosAs substâncias dielétricas (que isolam eletricidade)

se distinguem das condutoras por não possuírem cargas livres que possam mover-se através do mate-rial, ao serem submetidas a um campo elétrico. Nos dielétricos, todos os elétrons estão ligados e por isso o único movimento possível é um leve deslocamento das cargas positivas e negativas em direções opostas, geralmente pequeno em comparação com as distâncias atômica. Esse deslocamento, chamado polarização elétrica, atinge valores importantes em substâncias cujas moléculas já possuam um ligeiro desequilíbrio na distribuição das cargas. Nesse caso, se produz ainda uma orientação dessas moléculas no sentido do campo elétrico externo e se constituem pequenos dipolos elétricos que criam um campo característico. O campo é dito fechado quando suas linhas partem do pólo positivo e chegam ao negativo. O campo elétrico no interior das substâncias dielétricas contém uma parte, fornecida pelo próprio dielétrico em forma de polari-zação induzida e de reorientação de suas moléculas, que modifica o campo exterior a que está submetido. O estudo dos dielétricos adquire grande relevância na construção de dispositivos armazenadores de energia elétrica, também conhecidos como condensadores ou capacitores, os quais constam basicamente de duas placas condutoras com potencial elétrico distinto, entre as quais se intercala a substância dielétrica. Cria-se um campo elétrico entre as placas, incrementado pela polarização do dielétrico que armazena energia. A capacidade de armazenamento de um condensador se avalia mediante um coeficiente - conhecido como capacitância -que depende de suas características físicas e geométricas. Essa grandeza tem dimensões de carga por potencial elétrico e se mede comumente em (coulombs por volts).

Einstein26

1.6 Circuitos Elétricos e Forças EletromotrizesDo estudo da eletrólise - intercâmbio eletrônico e

energético entre substâncias químicas normalmente dissolvidas - surgiram as primeiras pilhas ou gerado-res de corrente, cuja aplicação em circuitos forneceu dados fundamentais sobre as propriedades elétricas e magnéticas da matéria.

Uma carga introduzida num campo elétrico recebe energia dele e se vê impelida a seguir a direção das linhas do campo. Em termos elétricos, o movimento das cargas é provocado por diferenças de potencial elétrico no espaço e as partículas carregadas se dirigem de zonas de maior para as de menor potencial. Nessa propriedade se fundamentam as pilhas e, em geral, todos os geradores de corrente, que consistem em duas placas condutoras com potenciais diferentes. A ligação dessas duas placas, chamadas eletrodos, por um fio, produz uma transferência de carga, isto é, uma corrente elétrica, ao longo do circuito. A grandeza que define uma corrente elétrica é sua intensidade, isto é, a quantidade de cargas que circulam através de uma seção do filamento condutor numa unidade de tempo. A unidade de intensidade da corrente é o ampère (coulomb por segundo). Muitos físicos, entre eles Gay-Lussac e Faraday, pesquisaram as relações existentes entre a tensão e a corrente elétrica. Georg Simon Ohm estudou as correntes elétricas em circuitos fechados e con-cluiu que as intensidades resultantes são diretamente proporcionais à diferença de potencial fornecida pelo gerador. A constante de proporcionalidade, denomina-da resistência elétrica do material e medida em (volts por ampères), depende das características físicas

26 http://www-sop.inria.fr/members/Pierre.Kornprobst/personal/cvision/ima/einsten.gif


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e geométricas do condutor. Nesse contexto, dispõem de diferentes recursos que permitem a regulagem e o controle das grandezas elétricas. Assim, por exemplo, a ponte de se emprega para determinar o valor de uma resistência não conhecida e as redes elétricas constituem circuitos múltiplos formados por elementos geradores e condutores de resistências distintas.

11.7 Efeitos Térmicos da EletricidadeA passagem de cargas elétricas a grande velocidade

através de condutores origina uma perda parcial de energia em função do atrito. Essa energia se desprende em forma de calor e, por isso, um condutor sofre au-mento de temperatura quando a corrente elétrica circula através dele. James Joule calculou as perdas de uma corrente num circuito, provocadas pelo atrito. Nesse fenômeno, denominado efeito Joule, se fundamentam algumas aplicações interessantes da eletricidade, como as resistências das estufas. O efeito também ocorre no filamento incandescente - fio muito fino de tungstênio ou material similar que emite luz quando aumenta a temperatura - utilizado nas primeiras lâmpadas de Edison e nas atuais lâmpadas elétricas. Deve-se ao efeito Joule a baixa rentabilidade industrial do sistema de correntes contínuas, em função das elevadas perdas que se verificam. Esse problema foi solucionado com a criação de geradores de corrente alternada, nos quais a intensidade elétrica varia com o tempo.

?? VOCÊ SABIA?

A principal vantagem oferecida por uma rede elétrica é a facilidade de transporte de energia a baixo custo. Diversas formas de energia, tais como a hidráulica e a nuclear, se transformam em elétricas mediante eletroímãs de orientação variável que produzem correntes alternadas. Essas correntes são conduzidas com o auxílio de cabos de alta tensão, com milhares de volts de potência. Normalmente, a eletricidade é utilizada como fonte de energia em diversos tipos de motores com múltiplos usos, cuja enumeração seria interminável: eletrodomésticos, calefação, refrigeração de ar, televisão, rádio etc. Nos centros de telecomunicação, a corrente elétrica funciona como suporte energético codificado que viaja por linhas de condução para ser decifrado por aparelhos de telefonia, equipamentos de informática etc.

11.8 Energia ElétricaJunto com as energias mecânica, química e térmica, a

eletricidade compõe o conjunto de modalidades energéti-cas de uso habitual. De fato, como consequência de sua capacidade de poder ser transformada de forma direta em qualquer outra energia, sua facilidade de transporte e grande alcance através das linhas de alta tensão, a ener-gia elétrica se converteu na fonte energética mais utilizada no século XX. Ainda que a pesquisa de fontes de eletrici-dade tenha se voltado para campos pouco conhecidos, como o aproveitamento do movimento e da energia dos mares, as formas mais generalizadas são a hidrelétrica, obtida pela transformação mecânica da força de quedas d’água e a térmica, constituída por centrais geradoras de energia alimentadas por combustíveis minerais sólidos e líquidos. Desde que se passou a utilizar a eletricidade como fonte energética, sua produção experimentou um crescimento vertiginoso. A importância dessa forma de energia se pode provar pelo fato de, modernamente, os países mais industrializados duplicarem o consumo de energia elétrica a cada dez anos. Entre os países de maior produção e consumo em todo o mundo estão os Estados Unidos, a Rússia, o Reino Unido e a Alemanha. Também ostentam consideráveis índices de produção os países que dispõem de importantes recursos hídricos, como o Canadá e a Noruega.

11.9 Lei de OhmA Lei de Ohm se exprime pela proposição: ́ ´a que-

da de tensão elétrica (V) num condutor percorrido por uma corrente elétrica de intensidade I ( ) é proporcional a esta corrente” . Sob forma analítica, a lei se expressa pela equação:

(11.2)A constante de proporcionalidade é a resistência do

condutor. Chamamos de condutores ômicos aqueles que obedecem a equação (11.2).

11.10 Campo MagnéticoOs campos magnéticos são produzidos por cargas

elétricas em movimento. Quando uma partícula carregada desloca-se em uma região onde há um campo magnético, ela experimenta uma força que é proporcional ao valor de sua carga, ao valor de sua velocidade e ao valor do campo magnético existente na região. De forma que:

(11.3)


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sendo o módulo da força, o valor do módulo da carga elétrica, o valor do módulo da velocidade da partícula, o valor do módulo do campo elétrico e o valor do ângulo formado pela velocidade da partícula e o campo magnético.A unidade do campo magnético é o “Tesla”.

11.11 EletroímãO eletroímã é um dispositivo que utiliza corrente

elétrica para gerar um campo magnético, semelhantes àqueles encontrados nos ímãs naturais. É geralmente construido aplicando-se um fio elétrico espiralado ao redor de um núcleo de ferro, aço, níquel ou cobalto ou algum material ferromagnético.

Quando o fio é submetido a uma tensão, o mesmo é percorrido por uma corrente elétrica, o que gerará um campo magnético na área circunvizinha a essa espira (a intensidade do campo e a distância que ele atingirá a partir do eletroímã dependerão da intensidade da cor-rente aplicada e do número de voltas da espira) através da Lei de Biot-Savart.

A passagem de corrente elétrica, por um condutor produz campos magnéticos nas imediações do con-dutor e se estabelece um fluxo magnético no material ferromagnético envolto pelas espiras do condutor, a razão entre a intensidade do fluxo magnético conca-tenado pelas espiras e a corrente que produziu esse fluxo é a indutância. A intensidade do campo magnético produzido dependerá das características do meio no qual se estabelecerá o fluxo.

O pedaço de ferro apresenta as características de um ímã permanente, enquanto a corrente for mantida circulando e o campo magnético for constante ou variável no tempo, dependendo da corrente utilizada (contínua ou alternada). Ao se interromper a passagem da corrente, o envolto pelas espiras pode tanto manter as características magnéticas ou não, dependendo das propriedades do mesmo.

Uma Bobina cilíndrica de fio, cujo diâmetro é menor quando comparado com o seu comprimento, é desig-nada por solenóide. Pode ser utilizado para gerar um campo magnético essencialmente uniforme, semelhante a uma barra de ímã, Figura (11.2), quando uma corrente corre no solenóide.

Enrolando um solenóide, no qual circula uma corrente, à volta de um núcleo de ferro, o campo magnético anteriormente criado é reforçado, construindo-se, assim, um eletroímã, Figura (9.3).


Exemplo (11.1)Duas moedas estão sobre uma mesa, distantes entre si . Elas têm cargas elétricas idênticas. Qual é a carga elétrica de uma se a força entre elas é de ?* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):

O diâmetro de cada moeda é pequeno comparado com a separação de . Portanto, podemos consi-derar as moedas como sendo cargas puntiformes. A lei de Coulomb nos dá

Figura 11.1 campo magnético é semelhante para o solenóide e para a barra magnética

Figura 11.2


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Exemplo (11.2)Um núcleo de hélio tem carga elétrica e um nú-cleo de neônio , em que é o quantum de carga

. Calcule a força de repulsão exercida por um sobre o outro, quando eles estão distantes 3 nanômetros ( ). Suponha que elas estão no vácuo.* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):

Os núcleos de raio da ordem de . Podemos supor, neste caso, que eles são cargas puntiformes. Então,

Exemplo (11.3)No modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, um elétron ( ) circunda um próton ( ) em uma órbita de raio . A atração do elétron pelo pró-ton fornece a força centrípeta necessária para manter o elétron em órbita. Calcule (a) a força de atração elé-trica entre as partículas e (b) a velocidade do elétron. (A massa do elétron é ).* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):

(a)

(b) A força obtida na letra (a) é a força centrípeta. Por-tanto

donde

Exemplo (11.4)Calcule (a) a intensidade do campo elétrico E no

ar a uma distância de de uma carga puntifor-me , (b) a força sobre uma carga

colocada a de e (c) a força sobre uma carga colocada a de (na ausência de ).* Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):

(a)

O campo elétrico se afasta de .

(b)

(c)

11.12 Circuitos ElétricosExistem três componentes básicos de circuitos ana-

lógicos: o resistor (R), o capacitor (C) e o indutor (L). Estes podem ser combinados em quatro importantes circuitos, o circuito RC, o circuito RL, o circuito LC e o circuito RLC, com as abreviações indicando quais componentes são utilizados. Estes circuitos, entre eles, exibem um grande número de tipos de comportamentos que são fundamentais em grande parte da eletrônica analógica. Em particular, eles são capazes de atuar como filtros passivos.

11.13 ResistoresUm resistor serve para “atrapalhar” (resistir) a pas-

sagem de elétrons, fazendo com que a corrente elétrica fique mais fraca. Se você acendesse um led de 1 Volt numa bateria de 2 Volts após um curto tempo esse led se queimaria, mas cortando um pedaço do fio e colocando uma resistência de 2 ohms no lugar, o led funcionaria normalmente a 1V. Os resistores comuns (ôhmicos) seguem esse padrão (tanto para voltagem como para amperagem): resistor de 2 ohms reduz a tenção a metade (V,A para 1/2V,1/2A), 3 ohms a 1/3, 4 ohms 1/4...

11.13.1 Associação de ResistoresNa construção de circuitos elétricos, os resistores

podem ser associados em série e/ou em paralelo. Quando ocorre uma combinação das duas formas de associações em um mesmo circuito, falamos em uma associação mista.

11.13.1.1 Associação de Resistores em SérieA característica fundamental de uma associação em

série de resistores é que por todos os resistores flui a mesma corrente elétrica. Esse mesmo tipo de asso-


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ciação pode ser substituído por uma única resistência, chamada de resistência equivalente, obtida por meio do somatório de todas as resistências, em série, ou seja,

(11.4)

11.13.1.2 Associação de Resistores em Para-lelo

A característica fundamental de uma associação de resistores em paralelo é que todos os resistores estão sob o mesmo potencial elétrico. Esse mesmo tipo de associação pode ser substituído por uma única resis-tência chamada de resistência equivalente, obtida por meio da expressão:

(11.5)

11.14 Leis de KirchhoffAs Leis de Kirchhoff regem a associação de com-

ponentes num circuito. Ao contrário da Lei de Ohm, cujo âmbito é a resistência, as Leis de Kirchhoff das tensões e das correntes estabelecem as regras às quais devem respeitar as associações de componentes: a Lei de Kirchhoff das correntes afirma que são idênticos os somatórios das correntes incidentes e divergentes em qualquer nó de um circuito, ao passo que a Lei das tensões afirma que é nulo o somatório das tensões aos terminais dos componentes situados ao longo de um caminho fechado. Uma associação de compo-nentes elétricos constitui um circuito quando verifica simultaneamente as Leis de Kirchhoff e as caracterís-ticas tensão-corrente dos componentes, que no caso particular da resistência se designa por Lei de Ohm. A aplicação conjunta das Leis de Kirchhoff e de Ohm permite obter um conjunto de equações cuja resolução Passo a Passo conduz aos valores das correntes e das tensões aos terminais dos componentes.

Para além de permitir resolver os circuitos, as três leis referidas possibilitam ainda a derivação de um con-junto de regras simplificativas da análise dos circuitos. Designadamente, as regras de associação em série e em paralelo de resistências, as regras dos divisores de tensão e de corrente, as regras de transformação entre fontes de tensão e de corrente, as regras de associação de fontes de corrente e de tensão etc.

Aqui serão apresentados os métodos para se de-

terminar a Resolução Passo a Passo de circuitos de corrente contínua, através da utilização de leis funda-mentais.

Ramo, nó, circuito fechado e malhas

• Ramo de um circuito: é um componente isolado tal como um resistor ou uma fonte. Este termo também é usado para um grupo de componentes sujeito a mesma corrente.

• Nó: é um ponto de conexão entre três ou mais ra-mos (entre 2: junção).

• Circuito fechado: é qualquer caminho fechado num circuito.

• Malha: é um circuito fechado que não tem um tra-jeto fechado em seu interior.

A figura (9.4) ilustra as nossas definições. Nela temos que:a - b - e - d - a malhab - c - f - e - b malhaa - b - c - f - e - d - a circuito fechadob, e nóa, d, c, f junçãob - c - f - e ramod - a - b ramo

Figura 11.4

A soma algébrica (os sinais das correntes e quedas de tensão são incluídas na adição) de todas as tensões tomadas num sentido determinado (horário ou anti-horário), em torno de um circuito fechado é nula. Como ilustração veja figura (11.5).Convenção: todas as tensões que estão no sentido da corrente são positivas.

ou seja,


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Figura 11.5

Utilizando a Lei de Kirchhoff na figura (11.5), obte-mos:

resistência equivalentePara o cálculo da corrente deve-se fazer: .

11.14.1 Leis da Corrente de Kirchhoff (LCK)Figura 11.6 A soma algébrica (soma das correntes com os sinais) de todas as correntes que entram num nó é nula.

Figura 11.6

Convenção: as correntes que entram em um nó, figura (11.6), são, por convenção, consideradas como sen-do positivas e as que saem são consideradas como sendo negativas. Assim, podemos escrever, com base na figura (11.6) que:

Figura 11.7 Aplicando LCK ao circuito da figura (11.7), tem-se:

Figura 11.7

é definida como condutância equivalente.

Logo a condutância total de resistores ligados em pa-ralelo é igual a soma das condutâncias individuais (, , , etc).

Se for interessante trabalhar com resistências tem-se:

11.15 CapacitânciaChama-se Capacitância (C) a capacidade de acu-

mulação de cargas elétricas no capacitor, quando aplicamos em seus terminais determinada tensão. Sua capacitância é determinada pelas dimensões das placas e pela distância de uma em relação à outra, ou seja, é diretamente proporcional à área e inversamente proporcional à espessura do Dielétrico.

A Unidades de Medida da capacitância: Farad (F), Mi-crofarad ( ), Nanofarad (nF, ) e Picofarad (pF, ).

A quantidade de cargas (Q, em Coloumb) que um ca-pacitor pode armazenar depende da tensão (V, em Volts) e de sua capacitância (C, em Farad) entre seus terminais:

(11.6)

A energia armazenada em um capacitor e expressa em Joules:

(11.7)

Quando uma tensão contínua é aplicada às placas do capacitor, ocorre uma acumulação de carga elétrica nas placas de tal forma, que a placa ligada ao pólo negativo do gerador acumula elétrons enquanto na placa ligada ao pólo positivo do gerador falta elétrons.

Quando a tensão aplicada é interrompida, a carga


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acumulada mantém-se devido ao campo elétrico que se forma entre as placas.

Quando uma corrente contínua é aplicada a um capacitor, a tensão leva um certo tempo para atingir o valor máximo. Portanto, no capacitor, a corrente está adiantada em relação a tensão.

O tempo necessário para que o capacitor se carregue totalmente depende das resistências do circuito.

Para um circuito RC em série, quanto maior o valor do resistor e do capacitor, mais tempo leva para que o capacitor carregue-se totalmente.

Quando uma tensão alternada é aplicada a um capacitor, o material dielétrico, entre as placas do capacitor, é submetido a solicitações alternadas, pois variam de sinal rapidamente e sua polarização muda com o mesmo ritmo. Se a frequência aumenta, o dielétrico não pode seguir as mudanças com a mesma velocidade com que ocorrem, e a polarização diminui, o que acarreta uma redução da capacitância. Por-tanto, devido ao fato de que a capacitância tende a diminuir com o aumento da frequência, os capacitores Styroflex e cerâmicos são os únicos que podem ser empregados em alta frequência (Amplificadores e Osciladores).

11.15.1 Associação de capacitores

11.15.1.1 Associação em SérieA grande característica de uma associação de

capacitores em série é que, desta forma, todos os capacitores, quando carregados, contém a mesma quantidade ou valor de carga elétrica. Assim, o capa-

citor 1 fica sob uma tensão elétrica dada por

, o capacitor 2 fica sob uma tensão elétrica

,... e o capacitor sob a tensão . Devido a lei da conservação da energia, devemos ter que

, em um circuito elétrico. Assim,

(11.8)

A equação (11.8) também pode ser escrita na forma

(11.9)

(11.10)

é a capacitância equivalente da associação em sé-rie de capacitores.

11.15.1.2 Associação em ParaleloA grande característica de uma associação de

capacitores em paralelo é que, desta forma, todos os capacitores, quando carregados, ficam, todos, sob a mesma tensão elétrica. Assim, o capacitor 1, quando carregado, possuirá uma carga elétrica , o capacitor 2 com carga ,..., e o capacitor com carga elétrica . Da lei de conservação da carga elétrica devemos ter que a carga elétrica total no circuito deve ser igual ao somatório das cargas elétricas contidas nos capacitores:

(11.11)

ou seja (11.12)

(11.13)

é a capacitância equivalente da associação em pa-ralelo de capacitores.

11.16 Circuitos RCUm circuito resistor-capacitor (circuito RC), filtro RC

ou malha RC, é um dos mais simples filtros eletrônicos de resposta de impulso infinita analógicos. Ele consiste de um resistor e de um capacitor, podendo estar ligados tanto em série quanto em paralelo, sendo alimentados por uma fonte de tensão.

11.16.1 Descarga do Capacitor no Circuitos RCConsideremos um capacitor que, após ter sido car-

regado de alguma forma com carga inicial , é ligado em série a uma resistência, figura (11.8).

A partir do instante em que se fecha o inter-ruptor, circulará uma corrente I pela resistência e a diferença de potencial no capacitor será igual à diferença de potencial na resistência:

(11.14)


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Como a carga no capacitor diminui, a corrente também diminuirá até 0. Toda a carga transferida pela corrente sai do capacitor; assim a corrente será igual à taxa de diminuição da carga no capacitor:

(11.15)

Figura 11.8

Combinando as duas equações anteriores, obtemos uma equação diferencial para a carga em função do tempo:

(11.16)

É fácil conferir que a Resolução Passo a Passo dessa equação é:

(11.17)

A corrente obtém-se dividindo a carga por RC. A constante RC, com unidades de tempo, designa-se de constante de tempo. É o tempo que levaria para descarregar o capacitor se a corrente mantivesse o seu valor inicial . Os gráficos da carga e da corrente, em função do tempo, são os apresentados na figura (11.9).

A constante de tempo RC é também igual ao tempo de decaimento da carga e da corrente, dos seus valores iniciais até o valor , ou seja, trata-se do tempo para que diminuam até dos seus valores iniciais.

11.16.2 Acumulação de carga num capacitor no circuito RC

No circuito, figura (11.8), um capacitor sem ne-nhuma carga inicial vai ser ligado a uma fonte para carregá-lo. R representa a resistência interna da fonte, mais a resistência das placas do capacitor, mais qual-quer outra resistência que estiver ligada entre a fonte e o capacitor.

Figura 11.9

Fecha-se o interruptor em para carregar o capa-citor; nesse instante, a carga no capacitor é nula. Con-sequentemente, a diferença de potencial no capacitor também é nula e a corrente que circula pela resistência R nesse instante é:

(11.18)

Se for suficientemente elevado, o capacitor estar a completamente carregado impedindo a transferência de mais cargas, a corrente será nula e a carga no capacitor permanecerá constante com valor:

(11.19) Assim, o capacitor funciona como um interruptor fechado, em , e aberto para tempos suficiente-mente elevados. Para encontrarmos a expressão geral para a carga em função do tempo, usamos a regra das malhas para o circuito:

(11.20)

Neste caso, a corrente faz aumentar a carga no capaci-tor e, portanto, a relação entre a carga e a corrente é:

(11.21)

Combinando as duas equações anteriores, obtemos a equação diferencial do circuito:

(11.22)

É fácil conferir que é uma Resolução Passo a Passo da equação; essa Resolução Passo a Passo será válida no regime estacionário, quando o capacitor está completamente carregado, mas não verifica a condição inicial . Se substituirmos , veremos que verifica a mesma equação diferencial da seção anterior; assim, usando para a Resolução Passo a Passo encontrada na seção anterior, obtemos o resul-


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tado:

(11.23)

a derivada dessa função é a corrente. Os gráficos da carga e da corrente estão apresentados na figura (11.10).

Figura 11.10

11.17 INDUTORUm indutor é um dispositivo elétrico passivo que

armazena energia na forma de campo magnético, normalmente combinando o efeito de vários loops da corrente elétrica. O indutor pode ser utilizado em cir-cuitos como um filtro passa baixa, rejeitando as altas frequências.

Os indutores estão relacionados aos eletromagnetos (eletroímãs) em estrutura, mas são usados para um propósito diferente: armazenar energia em um campo magnético. Por sua habilidade de alterar sinais CA (Corrente Alternada), os indutores são usados extensi-vamente em circuitos analógicos e processamento de sinais, incluindo recepções e transmissões de rádio. Como a reatância indutiva XL muda com a frequência, um filtro eletrônico pode usar indutores em conjunto com capacitores e outros componentes para filtrar partes específicas da frequêência do espectro.Dois (ou mais) indutores acoplados formam um transformador, que é um componente fundamental de qualquer rede elétrica nacional.

As bobinas ou indutores têm várias funcionalidades dependendo do tipo de circuito em que elas estão inseridas, AC (Corrente alternada) ou DC(Corrente continua).

Basicamente uma indutor cria um campo magnético, por causa do movimento das cargas (a corrente) devi-do à diferença de potencial aplicada aos terminais da bobina. Essa é a única funcionalidade em circuitos DC, servindo de eletroímãs e atuadores magnéticos como

em reles. O condutor fica situado dentro desse campo magnético produzido pela sua própria corrente. Esse campo produz no próprio condutor um fluxo magnético. Se a corrente I for variável (AC), o seu campo também será variável e o fluxo magnético será variável. O con-dutor, sendo atravessado por um fluxo variável, sofre indução eletromagnética, isto é, como consequência do fato de a corrente I ser variável aparece no condu-tor uma corrente induzida. Esse fenômeno é chamado auto-indução.

A auto-indução é muito intensa nas bobinas, porque como elas possuem muitas espiras, o fenômeno se dá em todas as espiras e é mais intenso do que numa espira só.

Pela Lei de Lenz, a tensão induzida é no sentido de diminuir a variação do fluxo magnético, o que gera um atraso da corrente em relação à tensão no indutor, visto que essa oposição da tensão induzida depende de vários fatores numa situação não ideal. Essa é a resistência, a passagem de corrente nos indutores, se chama reatância indutiva, porem ao contrario da resis-tência elétrica os indutores consomem muito pouco energia. Eles ora armazenam a energia no seu campo magnético, ora devolvem a fonte ao se descarregarem e por vários fatores essas trocas são finitas limitando assim a corrente no circuito. Essa reatância indutiva aumenta com o aumento da frequência, ao contrario dos capacitores, onde a reatância capacitiva diminui com o aumento da frequência, o que a torna viável para filtrar certas frequências quando utilizados em conjunto, para que o circuito tenha resistência mínima ou máxi-ma, dependendo da configuração, em certa frequência chamada frequência de ressonância (frequência que será filtrada).

Figura 9.12: Campo magnético criado por corrente (a) em um condutor retilíneo ; (b) em uma bonina


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CAPÍTULO 12

ÓPTICA

“As vezes me pergunto como pôde ter acontecido

de eu ter sido o único a desenvolver a Teoria da

Relatividade. A razão, creio eu, é que um adulto

normal nunca pára para pensar sobre problemas

de espaço e tempo.”

Albert Einstein27

12.1 Introdução A óptica é um ramo da Física que estuda a luz ou,

mais amplamente, a radiação eletromagnética, visível ou não. A óptica explica os fenômenos de reflexão, refração e difração, a interação entre a luz e o meio, entre outras coisas.

Geralmente, a disciplina estuda fenômenos envolven-do a luz visível, infravermelha, e ultravioleta; entretanto, uma vez que a luz é uma onda eletromagnética, fenôme-nos análogos acontecem com os raios X, microondas, ondas de rádio e outras formas de radiação eletromag-nética. A óptica, nesse caso, pode se enquadrar como uma subdisciplina do eletromagnetismo. Alguns fenô-menos ópticos dependem da natureza da luz e, nesse caso, a óptica se relaciona com a mecânica quântica.

Segundo o modelo para a luz utilizada, distingue-se entre os seguintes ramos, por ordem crescente de precisão:

• Óptica Geométrica: trata a luz como um conjunto de raios que cumprem o princípio de Fermat. Utiliza-se no estudo da transmissão da luz por meios homogêneos (lentes, espelhos), a reflexão e a refração;

• Óptica Ondulatória: considera a luz como uma onda plana, tendo em conta sua frequência e amplitude de onda. Utiliza-se para o estudo da difração e interferência.

• Óptica Eletromagnética: considera a luz como uma onda eletromagnética, explicando assim a reflexão e transmissão e os fenômenos de pola-rização e anisotrópicos.

• Óptica Quântica: estudo quântico da interação entre as ondas eletromagnéticas e a matéria, no que a dualidade onda-corpúsculo joga um papel crucial.


Van Gogh28

12.2 Óptica GeométricaOs princípios em que se basta a Óptica Geométrica

são três:• Propagação Retilínea da Luz: a propagação da

luz em um meio homogêneo e transparente a luz se propaga em linha reta. Cada uma dessas “retas de luz” é chamada de raio de luz;

• Independência dos Raios de Luz: quando dois raios de luz se cruzam, um não interfere na trajetória do outro, cada um se comportando como se o outro não existisse;

• Reversibilidade dos Raios de Luz: se rever-termos o sentido de propagação de um raio de luz, ele continua a percorrer a mesma trajetória, em sentido contrário.

O princípio da propagação retilínea da luz pode ser verificado no fato de que, por exemplo, um objeto quadrado projeta sobre uma superfície plana, uma sombra também quadrada. O princípio da indepen-dência pode ser observado, por exemplo, em peças de teatro no momento que holofotes específicos iluminam determinados atores no palco. Mesmo que os atores troquem suas posições nos palcos e os feixes de luz sejam obrigados a se cruzar, ainda sim os atores serão iluminados da mesma forma, até mesmo, por luzes de cores diferentes. O terceiro prin-cípio pode ser verificado, por exemplo, na situação em que um motorista de táxi e seu passageiro, este último no banco de trás, conversam, um olhando para

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o outro através do espelho central retrovisor.O domínio de validade da óptica geométrica é

o da escala em estudo ser muito maior do que o comprimento de onda da luz considerada e em que as fases das diversas fontes luminosas não têm qualquer correlação entre si. Assim, por exemplo é legítimo utilizar a óptica geométrica para explicar a refração, mas não a difração.

Todos os três princípios podem ser derivados do Princípio de Pierre de Fermat, que diz que quando a luz vai de um ponto a outro, ela segue a trajetória que minimiza o tempo do percurso.

A óptica geométrica fundamentalmente estuda o fenômeno da reflexão luminosa e o fenômeno da refração luminosa. O primeiro fenômeno tem sua máxima expressão no estudo dos espelhos, enquanto que o segundo, tem nas lentes o mesmo papel.

12.2.1 Reflexão e Refração da LuzO que ocorre quando a luz atinge um objeto? Sob

o ponto de vista da óptica, ela pode ser refletida, re-fratada, transmitida ou absorvida. Vamos descrever estes quatro fenômenos, evidenciando a reflexão e refração.

Em muitas situações, conseguimos perceber a imagem de um objeto ou de uma pessoa através de seu reflexo em um espelho , no vidro de uma janela ou na superfície da água (superfícies refletoras). Por-tanto na reflexão os raios de luz incidentes sobre uma superfície retornam ao mesmo meio após a interação com a superfície. Quando a reflexão ocorre em uma superfície lisa formando uma imagem tal como a de um espelho, é chamada de reflexão especular. Por outro lado, os objetos ao seu redor só são visíveis graças a reflexão, que neste caso é denominada de reflexão difusa. Os feixes de luz provenientes da lâmpada que ilumina o laboratório, ao incidirem em um objeto tal como um caderno sobre a mesa, é espalhado em todas as direções, permitindo que qualquer aluno no laboratório possa ver este caderno. A superfície do caderno é aparentemente lisa, mas na verdade funciona para luz como uma superfície irregular.

Van Gogh29

Observe na figura (12.2) que o feixe de raios pa-ralelos da luz incidente permanecem paralelos após a reflexão especular mas são espalhados após a reflexão em uma superfície irregular, figura (120.3).

As leis da reflexão já eram conhecidas na Grécia antiga. Na figura (10.4) ilustramos os elementos prin-cipais da óptica geométrica: o raio luminoso, a normal no ponto de incidência e os ângulos que sempre são medidos em relação à normal. Na figura, um raio lumi-noso incide sobre uma superfície refletora em um ponto P. Traçamos neste ponto a normal à superfície N, reta perpendicular ao plano da superfície, passando no ponto P e destacamos os ângulos , denominados ân-gulo de incidência e ângulo de reflexão respectivamente. As leis da reflexão afirmam que:

• o raio refletido permanece no plano de incidência, formado pelo raio incidente e a normal à superfície no ponto de incidência;

• o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão , ou seja, .

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Figura 12.2

Figura 12.3

Outro fenômeno fundamental na óptica geométrica é a refração da luz. Este é caracterizado pela mudança na direção de propagação da luz ao mudar de meio de propagação. A figura (12.2) exemplifica também a refração. Observe que o raio de luz aproxima-se da normal à superfície quando passa do ar para a água, alterando sua direção de propagação. No nosso coti-diano são muitos os fenômenos devido a refração: a miragem, causada pela refração da luz nas camadas aquecidas próximas ao solo, o prolongamento do dia pela refração da luz solar na atmosfera, o arco-íris etc. Este último ilustra também a dispersão da luz branca em suas componentes, as cores do arco-íris, mos-trando que a refração e portanto o desvio na direção de propagação da luz é dependente da cor da luz que incide sobre o objeto refrator, que no caso do arco-íris são gotículas de água em suspensão na atmosfera. As leis da refração, descobertas por Willebrord Snell em 1621, afirmam que:

• os raios incidentes e refratados estão em um mesmo plano;

• ângulo de incidência e o ângulo de refração obedecem a seguinte relação:

(12.1)onde é uma constante característica do meio dada pela razão entre a velocidade da luz no meio (que de-pende da cor e portanto da frequência da luz incidente) e a velocidade da luz no vácuo , ou seja,

(12.2)

O índice de refração da água vale , o do vidro comum aproximadamente e o do ar . O índice de refração é uma grandeza adimensional, pois é calcu-lado a partir da razão de duas velocidades. Geralmente quanto maior a densidade de um meio maior é seu índice de refração. Na figura (12.5), exemplificamos em escala a refração na superfície lateral de uma esfera de vidro. Observe que o raio incidente aproxima-se da normal à superfície, caracterizando o fato do índice de refração do vidro ser maior do que o do ar. Como a superfície é curva e esférica, a normal está na direção radial.


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Um fenômeno interessante, denominado reflexão interna total, ocorre quando a luz passa de um meio mais refringente (maior índice de refração) para um meio menos refringente (menor índice de refração). Vamos utilizar como um exemplo a luz que sai do fundo de uma piscina e atinge o olho de um observador fora da piscina. A origem deste fenômeno está no fato da luz se afastar da normal quando sai da água para o ar. Sabemos que o ângulo de afastamento da normal é máximo para um ângulo de refração de , correspondendo de acordo com a lei de Snell a um ângulo de incidência limite . Com isso, para ângulos de incidência maiores que o ângulo limite, não ocorre refração, a luz é refletida na superfície e volta ao meio de incidência. Uma lâmpada no fundo de uma piscina, durante a noite, ilumina com maior intensidade apenas um círculo em sua superfície, caracterizando a reflexão interna total. O restante da piscina é iluminado pela reflexão. O fenômeno também explica o “desaparecimento” de uma moeda no fundo da piscina para um observador, enquanto a mesma é visível para um segundo observador próximo. Em um prisma também verificamos este fenômeno.

Van Gogh30

12.3 Propagação da Luz

12.3.1 Teoria corpuscular da luzEm 1672, o físico inglês Isaac Newton apresentou

uma teoria conhecida como modelo corpuscular da luz. Nesta teoria a luz era considerada como um feixe de partículas emitidas por uma fonte de luz que atingia o olho estimulando a visão. Esta teoria conseguia explicar muito bem alguns fenômenos de propagação da luz .

30 http://2.bp.blogspot.com/_Kt-aZ2vRve4/Smk7R85LfQI/AAAAAAAABjg/QR-nh8D26uNE/s400/vangogh38.jpg

Newton descobriu que a luz poderia se dividir em muitas cores, através de um prisma, fenômeno da dispersão da luz e usou esse conceito experimental para analisar a luz.

12.3.2 Teoria ondulatória da luzNo século XIX, o cientista francês L. Foucault,

medindo a velocidade da luz em diferentes meios (ar/água), verificou que a velocidade da luz era maior no ar do que na água, contradizendo a teoria corpuscular que considerava que a velocidade da luz na água deveria ser maior que no ar (Newton não tinha condições, na época, de medir a velocidade da luz).

Na segunda metade do século XIX, James Clerk Maxwell, através da sua teoria de ondas eletromag-néticas, provou que a velocidade com que a onda eletromagnética se propagava no espaço era igual à velocidade da luz, cujo valor é, aproximadamente:

.Maxwell estabeleceu teoricamente que: a luz é uma

modalidade de energia radiante que se propaga através de ondas eletromagnéticas.

Hertz, 15 anos após a descoberta de Maxwell, com-provou experimentalmente a teoria ondulatória, usando um circuito oscilante.

“O homem jamais se arrependerá de haver proporcionado

a seu espírito todo elemento de juízo requerido pelo

desenvolvimento pleno de suas aptidões e pelo Sugestões

de Atividades sem limitações de sua inteligência”.

Carlos Bernardo González31

INDICAÇÃO DE LEITURA

Recomendo aos estudantes que leiam os livros apresentados na Referência Bibliográfica.Pesquisas na Internet sobre modelagem e simulações de sistemas físicos.Em particular recomendo o endereço eletrônico abaixo, pois nele encontram-se as soluções dos Sugestões de Atividadess dos autores: R. Resnick e D. Halliday.http://www.if.ufrgs.br/ jgallas/AULAS/

31 http://www.frasesnaweb.com.br/carlos-b-gonzalez/


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A

REFERêNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ALONSO, Marcelo; FINN, Edward J. Fisica, Vol I – Mecâni-ca. São Paulo: Edgard Blücher. 2003.

_____. Fisica, Vol II - Campos e Ondas São Paulo: Edgard Blücher. 2003.

NUSSENZVEIG, Herch Moyses, Curso de Física Básica, Vol. I - Mecânica. 4ª Edição. São Paulo: Edgard Blücher. 2002;

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