Unidad1 Modulo Fisica General

7/25/2019 Unidad1 Modulo Fisica General

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERACONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 100413 Fsica General

UNIDAD UNO

Nombre de la Unidad MECNICA

Introduccin Se estudiaran los conceptos ms bsicos acerca delmovimiento.

Justificacin La mecnica es aquella parte de la fsica que relaciona todoslos conceptos propios de la Ingeniera

IntencionalidadesFormativas

Que el estudiante pueda comprender como se trabajan lasmagnitudes en Fsica, que pueda describir el Movimiento y lopueda aplicar.

Denominacin decaptulos

Captulo 1. Introduccin a la Fsica

Captulo 2. Cinemtica

Captulo 3. Dinmica y Esttica

CONTENIDOS

Captulo UNO. Introduccin a la Fsica

Leccin No 1 Qu estudia la Fsica?Leccin No 2. Magnitudes y UnidadesLeccin No 3. Errores en las mediciones

Leccin No 4 Cifras significativas

Captulo DOS. Cinemtica

Leccin No 5. VectoresLeccin No 6. Operaciones entre vectoresLeccin No 7. El concepto Razn de CambioLeccin No 8. Desplazamiento, Velocidad y AceleracinLeccin No 9. Movimiento en una DimensinLeccin No 10. Movimiento en dos o ms DireccionesLeccin No 11. Algunas Aplicaciones de la Cinemtica

Captulo TRES. Dinmica y Esttica

Leccin No 12. Leyes de NewtonLeccin No 13. Cmo analizar problemas con ayuda de las Leyes de NewtonLeccin No 14. Fuerza de FriccinLeccin No 15. Algunas Aplicaciones de las Leyes de Newton


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CAPTULO UNO. INTRODUCCIN A LA FSICA

En este primer captulo del Mdulo, se van a presentar tres temas de inters paracualquier estudioso de la fsica y las ciencias en general.

En primera instancia se definirn algunos conceptos generales y campos de accin de lafsica como ciencia. Luego se presentarn las principales magnitudes fsicas a utilizar a lolargo del curso, con sus correspondientes unidades. El sistema de unidades que setrabajar en el presente Mdulo ser el Sistema Internacional de Medidas. Por ltimo, seanalizarn algunos tipos de errores en las mediciones y su influencia en los resultados deuna prctica de laboratorio.

Leccin No1. QU ESTUDIA LA FSICA ?1

La palabra fsicase deriva del vocablo griego physos, que significa naturaleza.

En general, la fsica es la ciencia que se ocupa de los componentes fundamentales delUniverso, de las fuerzas que stos ejercen entre s y de los efectos de dichas fuerzas.Estudia sistemticamente los fenmenos naturales, tratando de encontrar las leyesbsicas que los rigen. Utiliza las matemticas como su lenguaje y combina estudiostericos con experimentales para obtener las leyes correctas.

Las ramas de la fsica estudian el movimiento de los cuerpos, el comportamiento de la luzy de la radiacin, el sonido, la electricidad y el magnetismo, la estructura interna de lostomos y ncleos atmicos, el comportamiento de los fluidos ( lquidos y gases ), ylas propiedades de los materiales, entre otras cosas.

La fsica es una ciencia bsica consagrada al estudio de las leyes fundamentales de lanaturaleza. Sus dominios son el movimiento, el calor, el sonido, la luz, la electricidad, elmagnetismo, la electrnica y la energa atmica. Es una ciencia en cambio permanente

hacia una bsqueda de leyes con rangos de validez cada vez ms amplios. Una ley fsicaes correcta cuando su comprobacin da resultados positivos.

La fsica cuenta con tres pilares bsicos: la mecnica clsica, cuyo propsito es estudiarlas leyes que gobiernan el movimiento de los cuerpos; la electrodinmica clsica,

1 Tomado de: http://icarito.tercera.cl/enc_virtual/fisica/


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dedicada al estudio de los fenmenos que involucran cargas electromagnticas y la fsicacuntica, utilizada para describir el mundo macroscpico bajo la hiptesis de que estnformados por cuerpos microscpicos cuyas leyes conocemos.


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Leccin No2. MAGNITUDES Y UNIDADES

Antes de tratar cualquier tema de fsica, es importante aclarar algunos conceptosrelacionados con las magnitudes y unidades de medida que se utilizan en el curso.

Lo primero que diremos es que medir es comparar con un patrn que se ha definidopreviamente. Para Galileo Galilei el objetivo de la fsica era " medir lo que se pueda medir,y lo que no se pueda, se debe hacerse medible ".

Las principales unidades de medida son la longitud, la masay el tiempo.

Estas unidades han sido definidas a partir de estndares que ha fijado la comunidadcientfica. Uno de los objetivos principales que se busca con la fijacin de estosestndares, es lograr una mayor precisin a la hora de realizar experimentos yreproducirlos, y a la vez, proporcionar una definicin acerca de qu es una cantidad fsicadeterminada.

Las cantidades fsicas estn definidas en trminos de mediciones, y se trata de construirmedidas que sean reproducibles casi que en cualquier parte del Universo. En la

antigedad se defina la medida de longitud llamada pie,como la longitud del pie del reyde turno, de tal forma que cuando se mora el rey, su sucesor daba una nueva unidad, yesto dificultaba el comercio con otros pases.

Ahora se ha tratado de adoptar el Sistema Internacional de Medidas ( S. I. ), el cualseusa en la gran mayora de pases y sus unidades fundamentales son: el metro, elkilogramo yel segundo. Se le conoce tambin como Sistema MKS por las siglas de susunidades.

Sin embargo algunos pases an usan unidades de medida como la yarda, el pie (convenientemente definido ahora ) o la milla. Se usan ms por costumbre que por efectosprcticos, y seguramente en el futuro cuando aumente el intercambio comercial estasunidades desaparezcan.

En los laboratorios es ampliamente usado el sistema MKS, y en este Mdulo lo usaremos,ya que va a ser el sistema con el cual en su vida profesional va a trabajar ampliamente.


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Sin embargo vamos a mencionar otros dos sistemas de unidades, los cules puedeencontrar, aunque no muy a menudo.

Sistema CGS: es un derivado del MKS, sus unidades son el centmetro, el gramo y elsegundo.

Sistema Ingls: no se utiliza en mediciones cientficas, pero es utilizado ampliamenteen Inglaterra y Estados Unidos. Sus unidades son el pie, la libra y el segundo.

A continuacin se presentan algunas definiciones de las principales unidades de medidadel Sistema Internacional.

La long i tud

El metro, fue definido primero como la distancia desde la lnea del Ecuador al polo, a lolargo de una lnea imaginaria que pasaba por las ciudades de Dunkirk-Barcelona y dividiresta distancia por 10 millones. Obviamente la distancia no ha sido medida de maneraexacta.

Despus, en 1889, se defini el metro por medio de un patrn, el cual consista en ladistancia entre dos muescas en una barra de platino-iridio. Esta barra an es preservadaen la Oficina Internacional de Pesos y Medidas, en la ciudad de Sevrs en Francia.

En 1960 el metro fue redefinido, con ayuda de la mecnica cuntica, como 1.650.763.73longitudes de onda de la emisin naranja-roja del Kriptn 86. La precisin de esta medidaes de una pocas partes en 108= 100.000.000.

Actualmente el metro se define como la longitud de espacio atravesada por un rayo de luzen el vaco, durante un intervalo de tiempo de 1/299792458 segundos [18]. Su smbolo esm.


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El t iempo

Para Isaac Newton el tiempo era " absoluto, verdadero y matemtico en si mismo, y porsu naturaleza, fluye uniformemente sin relacin a nada externo ". Como se ve esta es una

definicin muy metafsica.

Tradicionalmente fue medido por medio de la rotacin de la tierra; aunque sabemos queesta rotacin sufre cambios a lo largo del ao. Hasta 1956 el segundo, la unidad bsica,fue definida como 1/86.400 el ao solar medio.

Actualmente el segundo es definido como el tiempo empleado en realizar 9.192.631.770ciclos de una transicin hiperfina en Cesio 133. El grado de precisin es de unas partes

en 10

12

.

El tiempo y el espacio son las medidas ms exactamente definidas. El segundo se notacomo s; es un error colocarlo como " sg ".

La masa

De las tres unidades fundamentales, la masa es la nica que an se mide por medio deun patrn. Antiguamente un kilogramo equivala a la masa de 1.000 centmetros cbicosde agua pura a una temperatura de 4C.

Debido a la dificultad en la obtencin de agua pura, se defini el kilogramo en trminos deun patrn, y en 1889 el kilogramo fue definido como la masa de un cilindro de iridio-platinoque se encuentra actualmente en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas en Francia.Sin embargo este peso no se usa. A partir de l se han sacado otros patrones que tienen

una exactitud de una parte en 109. Su smbolo es Kg.

Sera ms conveniente utilizar una medida ms natural como el nmero de tomos en unaregin del espacio; sin embargo existen problemas a la hora de contar efectivamente lostomos.


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CLASIFICACIN DE LAS MAGNITUDES FSICAS.

Las normas internacionales de metrologa suelen clasificar las magnitudes fsicas como:bsicas, suplementarias y derivadas [20].

Magnitudes bsicas:Son la longitud, la masa y el tiempo.

Magnitudes suplementarias: Son aquellas que poseen un carcter geomtrico,como por ejemplo: el ngulo plano y el ngulo slido.

Magnitudes derivadas: Son aquellas que se pueden expresar como funcin de otrasmagnitudes. Por ejemplo la rapidez, la cual es definida como: distancia / tiempo.

A manera de resumen, se presentan en la siguiente tabla las principales unidades fsicasdel Sistema Internacional ( S. I. ), con su correspondiente smbolo.

Tabla 1. Magnitudes y unidades del Sistema Internacional

UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL

Magnitud Fsica Unidad Smbolo

Longitud metro m

Masa kilogramo Kg

Tiempo segundo s

Corriente elctrica Amperio A

Temperatura Kelvin K

Intensidad luminosa candela cd


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Cantidad de sustancia mol Mol

ngulo plano radin Rad

ngulo slido sterradin Sr

De las unidades bsicas se obtienen otras unidades muy usadas e importantespara el desarrollo del curso, las cuales se presentan a continuacin.

Tabla 2. Principales magnitudes y unidades derivadas

Magnitud Fsica Unidad Smbolo

Rapidez metro / segundo m/s

Fuerza Newton N

Trabajo, Energa Joule J

Potencia Vatio W

Frecuencia Hertz Hz

En el estudio de la fsica, algunas unidades resultan demasiado grandes o demasiadopequeas para que su uso sea conveniente. Es por eso que se emplean algunos prefijospara referirnos a ellas con mayor propiedad. Los ms empleados se presentan en lasiguiente tabla.

Tabla 3. Prefijos de mayor uso en fsica

FACTOR PREFIJO SMBOLO

106 Mega M

103 Kilo K


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10-3 Mili m

10-6 Micro

10-9 Nano n

10-12 Pico p

Se recomienda revisar los siguientes Apndices para complementar el tema tratado enesta seccin: Apndice A. Factores de Conversin de Unidades y el Apndice B.Notacin Cientfica.


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Leccin No3. ERRORES EN LAS MEDICIONES

En todo experimento de laboratorio, por muy cuidadosas que hayan sido las medicionesdurante su desarrollo, vamos a tener que considerar la posibilidad de la existencia del

error.

Al realizar un proceso de medida, se tienen dos tipos principales de errores: el errorsistemtico y el error aleatorio o estadstico.

Error sistemtico:son errores producidos por influencias permanentes en la medida.Estas generalmente ocasionadas por una mala calibracin en los equipos. Por ejemplo,un termmetro que no tenga el punto de fusin del agua a cero grados centgrados sino atres grados centgrados, va a tomar medidas corridas en tres grados cada vez que se

utilice. Otro ejemplo es un metro mal calibrado.

No existe un mtodo matemtico para tratar este tipo de errores, ya que dependen de lascaractersticas del instrumento de medida y su adecuado uso a lo largo del proceso demedicin. Su identificacin se logra con base en la experiencia, ya que al realizar unamedida se debe tratar de tener en claro cual es el resultado que se espera, para poderdetectar este tipo de errores.

Los errores sistemticos son incontrolables, por lo general, slo al final de un experimentose puede llegar a saber o detectar la existencia de un error sistemtico. Si nos damos

cuenta del error, este debe ser corregido a lo largo del experimento, o realizando otroensayo. Si el error no es detectado, no sabemos que existi y por lo tanto no lo incluimosen el experimento.

Error aleatorio o estadstico:este tipo de error se produce porque al realizar cadanueva medida el valor resultante flucta, o cambia, sin importar el resultado anterior.

El origen de este tipo de errores se debe a imprecisiones instrumentales, ya que cadainstrumento de medida posee un tipo de resolucin. Por ejemplo en los equipos

electrnicos al realizar dos mediciones seguidas de una cantidad, las ltimas cifrascambiarn un poco debido a la naturaleza misma del equipo.


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Porcentaje de error.

El porcentaje de error es un concepto muy til, ya que me indica la diferenciaporcentual existente entre el valor terico esperadoy el valor real obtenidoenuna experiencia. Se define generalmente como:

El error tambin se propaga cuando se realizan operaciones, los casos mssencillos son las operaciones suma o resta y multiplicacin o divisin. En estoscasos se tienen las siguientes reglas:

Para la suma o resta: Sean dos magnitudes , las cuales se suman o

restan, y sean , los errores absolutos de estas magnitudes, entoncesla variable , tendr un error absoluto igual a la suma de los erroresabsolutos, es decir:

.

Para la multiplicacin o divisin: Sean dos magnitudes , las cuales semultiplican o se dividen, y sean , los errores absolutos de estas

magnitudes, entonces la variable , tendr un error relativoigual a la suma de los errores relativos, es decir:

.

Leccin No4. CIFRAS SIGNIFICATIVAS

En cualquier caso, donde los errores no estn presentes, se puede utilizar el mecanismode las cifras significativas, este mecanismo consiste en que si se da un valor, este valorsolamente tiene algunas cifras que son verdicas o confiables, se considerar que laltima cifra no es confiable y puede cambiar en una unidad.

Por ejemplo, si se da la cifra 3,45 esto quiere decir que el 5 puede cambiar en una unidad,es decir puede ser 4 o 6. Sin embargo, cuando este nmero es cero, no se tendr encuenta dicha regla, solamente se tendrn en cuenta los nmeros diferentes de cero, porejemplo el nmero 340, la ltima cifra que se tendr en cuenta es el 4 y este nmeropuede ser desde 330 hasta 350.

Cuando el nmero tiene el cero como ltima cifra, esta solamente se tendr en cuenta siesta despus de una coma, por ejemplo: 3,40 tiene el cero como cifra significativa, es


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decir este nmero tendr 3 cifras significativas y se debe interpretar este nmero como3,39 hasta 3,41.

La aplicacin de las cifras significativas, se utiliza en las operaciones multiplicacin ydivisin, la regla nos dice que en estas operaciones se debe dejar el nmero de cifras

significativas igual al menor nmero de cifras significativas de las que se estnmultiplicando.


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CAPTULO DOS. CINEMTICA

La cinemtica se encarga de estudiar el movimiento, sin preocuparse por sus causas. Fue

desarrollada desde la antigedad. Sin embargo los aportes ms importantes a lacinemtica, fueron dados por Galileo Galilei e Isaac Newton.

El primero empez a matematizar los resultados de sus observaciones, llegando aconclusiones como que la distancia de cada de un cuerpo es proporcional al cuadradodel tiempo de cada. Newton cre el clculo, junto con Leibnitz, y tambin encuentra lasfrmulas matemticas que rigen los movimientos.

En el presente captulo, comenzaremos con un breve repaso sobre el tema Vectores,definiremos el significado fsico del desplazamiento, la velocidad y la aceleracin ydescribiremos el movimiento en una y dos dimensiones, principalmente.

Leccin No5. VECTORES

Utilizando los vectores, las leyes de la fsica pueden ser escritas en una forma mscompacta. Para ilustrar el anterior enunciado, vamos a utilizar la famosa SegundaLey de Newton .

En la notacin corriente se puede escribir como,

En notacin de vectores simplemente escribimos,


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en donde las letras en negrilla simbolizan los vectores. La principal razn por la cual se

introducen los vectores, es porque simplifican la notacin y adems poseen propiedadesmuy tiles para el manejo de magnitudes fsicas.

Recordemos que un vector es un ente matemtico que posee magnitud y direccin.Adems posee propiedades como la suma, la resta, la multiplicacin por un escalar y dostipos de producto: el escalar o producto punto y el vectorial o producto cruz.

Un vector puede ser representado por un segmento de recta, o una flecha, en un espacio.Por ejemplo, las flechas mostradas a continuacin representan vectores.

Algo para destacar en la figura anterior, es que los vectores se han ubicado dentro de unsistema de coordenadas, esto nos permite identificar su magnitud y su direccin.

Es usual notar los vectores o por letras en negrilla ( A), o por la letra y encima un smbolo

de flecha en este texto utilizaremos las negrillas para identificar vectores.

Los vectores tienen en comn ciertas propiedades con los nmeros naturales, porejemplo, en la suma. Sin embargo poseen ms informacin, la cual permite describirciertas caractersticas fsicas.

Cuando hablamos de los vectores como entes matemticos nos referimos a que con ellospodemos efectuar operaciones. Por ejemplo la suma y la resta de vectores nos da otro


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vector, el producto escalar nos da por el contrario un nmero real, y el producto cruz nosda otro vector.

Las dos caractersticas ms importantes de un vector son su magnitud y su direccin.

Magnitud: es la longitud del vector, o la flecha. La magnitud de un vector Ase indicapor | A|. Si la magnitud de Aes 3 unidades, entonces se dice que | A| = 3. La magnitudde un vector es un nmero real.

Direccin: se refiere hacia donde apunta la flecha del vector, norte-sur, oriente-occidente, 45, etc.

Es usual agregar otra caracterstica denominada sentido, lacual se refiere a la lnea rectasobre la cual se encuentra el vector. Sin embargo, desde el punto de vista fsico slo nos

interesa la magnitud y la direccin.

Si deseamos describir claramente una cantidad vectorial, debemos enunciar su magnitudy su direccin. Por ejemplo:

la velocidad es una magnitud vectorial, y para describirla debemos mencionar sumagnitud ( 700 Km/h, por ejemplo ), y su direccin ( norte-sur, por ejemplo ); es por elloque los aviones tiene un velocmetro, que indica la velocidad del avin con respecto a la

tierra y su direccin. Por el contrario lo carros no poseen velocmetro, slo poseenrapidmetro que es el que mide la rapidez, es decir, la magnitud de la velocidad.

Leccin No6. Operaciones entre vectores

Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y direccin. Esto se representa por,

A= CSi la longitud de un vector es igual a la unidad (1), entonces se dice que este vector es

unitario.Un vector unitario se nota como Adems se dice que para un vector Aexiste

un vector unitario paralelo , tal que,


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es decir que se puede encontrar un vector unitario a partir de cualquier vector.Simplemente tenemos que dividirlo por su magnitud.

De manera inversa todo vector A puede ser expresado como la multiplicacin de su

magnitud | A| por un vector unitario en la misma direccin

El tema de los vectores ha sido tratado con cierta profundidad en otros cursos delprograma. Sin embargo, en el Apndice C. lgebra de Vectores, se resume gran partede las principales operaciones con vectores.

Leccin No7. EL CONCEPTO RAZN DE CAMBIO

En nuestra vida cotidiana, vemos como los eventos transcurren en el tiempo: la cada delas hojas, el movimiento de los carros, el movimiento de las manecillas del reloj. Todosestos fenmenos implican movimiento, y para que este movimiento se realice esimportante que transcurra un tiempo determinado. El concepto de cambio, ya sea en laposicin, o en el estado de algo, est ntimamente ligado a que el tiempo transcurra.

Se define entonces la razn de cambiode una cantidad cualquiera, como la divisin delcambio en la cantidad sobre el tiempo transcurrido en realizar dicho cambio,

Razn de cambio = Cambio en la cantidad / Tiempo transcurrido


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Supongamos, por ejemplo, que una persona se mueve en una plaza desde el punto (0,0)hasta el punto (4,3) en 10 segundos. Vamos a suponer que estas medidas estn enmetros y que el movimiento lo realiza en lnea recta. De esta forma la distancia totalrecorrida puede ser representada por un vector desplazamiento de la siguiente forma.

La magnitud del desplazamiento es:

| A| = ( 42+ 32) = ( 25 ) = 5 metros

Este desplazamiento se realiz en 10 segundos. Se quiere ahora conocer la razn decambio de la distancia, es decir la velocidad:

Velocidad = Cambio en la posicin / Tiempo transcurrido

Velocidad = 5 metros / 10 segundos = 0,5 m/s

El concepto razn de cambio es uno de los ms importantes en fsica.


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Ya se pudo apreciar que la razn de cambio del desplazamiento es la velocidad; de lamisma forma la razn de cambio de la velocidad es la denominada aceleracin. A lo largodel mdulo se har mencin a otras importantes razones de cambio. Lo importante es

tener claro que toda magnitud que cambia en el tiempo tiene asociada una razn decambio.

La razn de cambio de una magnitud nos est dando una medida de cmo esa magnitudest cambiando en el tiempo. Para el ejemplo de la velocidad, vemos cmo si el tiempoempleado hubiese sido menor, por ejemplo 5 segundos, la velocidad hubiese sido mayor,

Velocidad = 5 metros / 5 segundos = 1 m/s

O si por ejemplo, hubisemos recorrido el doble de distancia en el mismo tiempo, tambinhubisemos necesitado una velocidad mayor para lograr esto.

De esta forma la razn de cambio, da una medida de cmo est evolucionando unamagnitud en el tiempo, y permite compararla con cantidades similares.

Por ejemplo, cuando se estn realizando mediciones del peso de dos nios que nacieron

el mismo da, es conveniente mirar la manera como aumenta el peso a lo largo deltiempo. En este caso se puede definir:

Evolucin del peso = Cambio en el peso / Tiempo empleado en camb iar de peso

Se puede observar que el nio que tenga una mayor medida en la evolucin del peso,pesar ms a medida que transcurra el tiempo.

Se suelen definir los cambios en magnitudes por medio de la letra griega delta ( )

Por ejemplo, la razn de cambio de la posicin, es decir la velocidad, se suele notarcomo:


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Velocidad = Cambio en la posicin / Tiempo transcurrido en el cambio

Velocid ad = [ x(t2) x(t1) ] / ( t2t1)

Velocidad =x /t

En donde x(t1)se refiere a la ubicacin del vector posicin en el tiempo t 1, x(t2)se refierea la ubicacin del vector posicin en el tiempo t2. Se ha realizado la resta de los dosvectores, lo cual da como resultado otro vector, y se ha dividido este nuevo vector por unescalar, es decir, por el intervalo de tiempo transcurrido. De esta forma se puede concluirque la velocidad es tambin un vector.

Leccin No 8. DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIN

Como se ha visto anteriormente, el desplazamientode un objeto puede ser descrito por

un vector, y para ello nos valemos de un sistema de coordenadas. Este sistema decoordenadas lo vamos a elegir en principio en tres dimensiones, es decir, que cuenta conlos ejes ortogonales X,Yy Z.

Generalmente se coloca este sistema de coordenadas de tal manera que describaun sistema de referencia. Por ejemplo, podemos colocar nuestro sistema decoordenadas dentro de la habitacin en donde realizamos nuestros experimentos.

Ubicando sistemas de coordenadas adecuadamente dentro de los sistemas de

referencia que deseamos estudiar, podemos describir el mundo fsico.

Vamos por ejemplo a estudiar el movimiento de una pelota dentro de un cuarto,como se muestra en el siguiente dibujo.


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La ubicacin de la pelota dentro del cuarto puede describirse por medio de trescoordenadas (x1, y1, z1), y si esta se desplaza se necesitan otras tres coordenadas paradescribir el movimiento (x2, y2, z2). De esta manera el vector desplazamiento comienza en(x1, y1, z1) y termina en (x2, y2, z2).

Para hallar la distancia total recorrida tenemos que restar la posicin final menos la

posicin inicial,

( x2, y2, z2 ) ( x1, y1, z1 ) = ( x2x1 , y2y1, z2z1)

S= AfinalAInicial

De manera que se puede definir el desplazamiento ( S )como:

la diferencia entre la posicin final y la posicin inicial

La magnitud del desplazamiento, es la magnitud del anterior vector,


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| S| = [(x2x1)2+ (y2y1)

2+ (z2z1)2]

En la siguiente figura se notan los vectores implicados en el desplazamiento estudiado. Elvector con lneas punteadas es el vector desplazamiento resultante.

La magnitud del vector desplazamiento resultante dividido por el tiempo que dura eldesplazamiento se denomina rapidez. La rapidez, es entonces, la magnitud del vectorvelocidad.

De esta forma, se ha visto la importancia de definir un sistema de referencia para realizar

un estudio sobre un sistema fsico. En el caso de la tierra, esta se mueve con respecto alsol, sin embargo para efectos prcticos, los experimentos en la tierra toman como sistemade referencia la tierra misma, y suponen que esta se encuentra en reposo.

Cuando estudiamos sistemas en movimiento es importante definir un sistema dereferencia, tal que se vea claramente el movimiento que el objeto bajo estudio describe.


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En fsica se ubican los sistemas de referencia convenientemente. Pueden estar dentro deun tomo, dentro de un automvil, en una galaxia, etc. de manera que se pueda estudiarms fcilmente el comportamiento de la naturaleza. Puede imaginar cmo describir el

movimiento de un cuerpo sin un sistema de referencia ?

Definicin de Velocidad y Aceleracin

Se puede definir la velocidad como:

La veloc idad es la razn d e cambio del desplazamiento

Es decir, que la velocidad nos est dando informacin acerca de que tan rpido estcambiando la posicin de un objeto en el espacio.

La velocidad es una cantidad vectorial, por lo tanto tiene magnitud y sentido. A lamagnitud de la velocidad, como se haba mencionado anteriormente, se le denominarapidez.

La velocidad promedio v de un punto que se mueve entre los tiempos t1 y t2 estdefinida por,

La velocidad instantneaves el lmite de la velocidad promedio, cuando el intervalo detiempo se aproxima a cero, es decir,


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En los cursos de clculo a esta cantidad se le denomina la derivada del desplazamientocon respecto al tiempo, y se le nota como dx/dt ds/dt. Por ello se dice que la velocidades la derivada del desplazamiento con respecto del tiempo.

Existe una gran diferencia entre la velocidad promedioy la velocidad instantnea.

La velocidad promedioes la velocidad que en " promedio " tiene un cuerpo despus derealizar un recorrido cualquiera. Por ejemplo, si dos pueblos estn separados 2 kilmetrosy una persona invierte 20 minutos en ir de un pueblo al otro decimos que la velocidadpromedio de la persona fue,

Velocidad promedio = 2 Km / 20 min = 0,1 Km/min = 100 m /min

Sin embargo durante el trayecto es posible que la persona se haya detenido unos minutosa descansar, o haya corrido un poco.

La velocidad instantnease refiere a la velocidad que lleva esa persona en un instante

determinado. Una buena aproximacin a la velocidad instantnea es el rapidmetro delcarro, el cual nos indica la rapidez en un instante determinado del trayecto.

Las unidades de la velocidad son distancia / tiempo, y se suele medir enmetros/segundo ( m/s ), kilmetros/hora ( km/h ), etc. de acuerdo a las medidas masconvenientes.

Es muy importante realizar un anlisis de unidades en las ecuaciones, para verificar quese estn realizando correctamente los clculos. Por ejemplo si se encuentra que la

velocidad se est midiendo en m/s2

, entonces las unidades estn mal, por lo que hay querevisar los clculos.

De manera similar, se puede definir la aceleracin como:


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La aceleracin es la razn de cambi o de la velocid ad

La aceleracin nos est dando informacin de cmo cambia la velocidad con respecto altiempo. Una gran aceleracin significa que se obtiene una mayor velocidad en menorcantidad de tiempo.

Se define la aceleracin instantneacomo el lmite cuando el intervalo de tiempo tiendea cero, es decir,

De nuevo, en clculo se dice que la aceleracin es la derivada de la velocidad conrespecto al tiempo, y se denota por dv/dt.

Las unidades de la aceleracinson velocidad / tiempo distancia / tiempo2y se suelenutilizar las unidades m/s2 km/h2.

Si el movimiento se realiza en una sola direccin, podemos ubicar nuestro sistema decoordenadas con el eje Xa lo largo de esta direccin, y tratar el movimiento de una formaunidimensional. Este ser el tema de la siguiente seccin.

Ejemplo. Una gota de agua se desprende de una nube y dos segundos despus llevauna velocidad de 28 m/s. Cul es la aceleracin promedio durante ese periodo?

Definimos entonces aceleracin promedio como,

aceleracin prom edio = v /t


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El signo negativo indica que la direccin de la aceleracin es dirigida hacia abajo.


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Leccin No9. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIN

Hasta el momento se ha visto el movimiento de una forma general y ubicndolo en unsistema tridimensional. Ahora estudiaremos la forma ms sencilla de movimiento, elmovimiento a lo largo de una lnea recta.

Una lnea recta posee una sola dimensin, es por esto que es usual denominar almovimiento en una dimensin como movimiento lineal.

Existen dos tipos principales de movimiento: con velocidad constante y con aceleracinconstante.

Lo anterior no significa que no existan ms tipos de movimiento, sin embargo el estudiode estos dos nos permitir entender una diversidad de fenmenos fsicos.

Movimiento a velocidad constante

Este movimiento se realiza a lo largo de una lnea recta como la siguiente,

Cuando decimos que un movimiento se efecta con velocidad constante, estamosafirmando que la magnitud y la direccin de la velocidad no cambian con el tiempo. Esmuy importante notar el hecho que la velocidad cambia cuando cambia su rapidez cuando cambia su direccin.


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Vamos a calcular la razn de cambio de la velocidad, es decir la aceleracin, de unmovimiento a velocidad constante.

Por lo tanto se puede afirmar que:

Un movimiento se realiza a velocidad constante si su aceleracin es igual a cero.

Cmo se puede predecir la posicin de un cuerpo que se mueve a velocidad constante?,para ello utilizamos la definicin de velocidad:

Generalmente el tiempo inicial t0se toma como cero, el tiempo final t1se toma como t y laposicin inicial se nota como x0. De esta forma llegamos a una de las ecuaciones de lacinemtica, la ecuacin de desplazamiento a velocidad constante:

x(t) = x0+ v t

En esta ecuacin apreciamos el desplazamiento como funcin del tiempo. La velocidad vnos indica la razn de cambio de la distancia con respecto al tiempo.


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El signo de la velocidad nos indica la direccin del movimiento, por convencin, el signoes positivo si la direccin del movimiento es de izquierda a derecha, y es negativo si elmovimiento es de derecha a izquierda.

De la misma forma, por convencin, si el movimiento se realiza verticalmente, la velocidades positiva si la direccin del movimiento es de abajo para arriba, y negativa si la direccindel movimiento es de arriba para abajo.

En este caso es usual notar a los movimientos verticales con la letra y . Estasconvenciones tambin son aplicables a la aceleracin.

Analicemos un poco ms la ecuacin de desplazamiento a velocidad constante:

x(t) = x0+ v t

Si la velocidad v= 0, entonces se tiene que la posicin inicial es igual a la posicin final,x(t) = x0.Esto es lgico, un objeto que no posee velocidad no se mueve y permanecer ensu posicin inicial durante todo el tiempo.

El trmino x0 hace referencia a la posicin inicial del cuerpo en un tiempo t = 0, estetrmino es constante y se suele tomar como cero, es decir, que se ubica el origen decoordenadas en el sitio exacto donde se inicia el movimiento.

De esta forma la ecuacin de movimiento quedara como:

x(t) = v t


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Esta ecuacin es muy usada a diario. Por ejemplo, cuando vamos en un carro y vemos elrapidmetro del carro marcar 60 Km/h, generalmente pensamos que en una horahabremos recorrido 60 kilmetros.

Grficamente un movimiento a velocidad constante puede ser representado en undiagrama de Desplazamiento (x) contra tiempo (t)de la siguiente forma:

Algunas observaciones con respecto a la grfica son:

En el plano Desplazamiento contra Tiempo, si el movimiento es a velocidad constante,la grfica es una lnea recta.

En el grfico se ha colocado en el tiempo inicial t0 la ubicacin inicial x0, es decir elpunto ( t0 , x0). Es usual colocar estos puntos como (t0, x0) = (0 , 0).

En una grfica de distancia contra tiempo, la pendiente de la recta es la velocidad.

Cuando la grfica es una lnea recta, el valor de la pendiente es independiente de la formacomo la medimos, esto se debe a que el movimiento se realiza a velocidad constante.

Ya vimos que la aceleracin en un movimiento a velocidad constante es igual a cero,ahora veamos la grfica de velocidad contra tiempo.


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En la grfica anterior se tiene:

La pendiente de la curva de velocidad contra tiempo es la aceleracin.

La velocidad permanece constate en la grfica, v0, por esto la pendiente es cero, esdecir que la aceleracin es cero.

El rea bajo la curva, desde t0hasta t3, es igual a:

rea = v0( t3- t0)

De manera general esta rea es igual a v0t = v0t, es decir que salvo la posicin inicial,que podemos hacer igual a cero, el rea bajo la curva de la grfica de velocidad contratiempo es igual al desplazamiento.

Movimiento a aceleracin constante

Para comenzar esta seccin es importante notar lo siguiente:

Siempre que hay un cambio en la velocidad, hay una aceleracin diferente de cero


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Todo cambio en la velocidad, implica un cambio en la aceleracin. El movimientouniformemente acelerado es el ms sencillo de estudiar en cuanto a aceleracin. Sinembargo, la aceleracin tambin puede variar, y es importante saberlo. A la razn decambio de la aceleracin se le denomina hertz, aunque es una cantidad poco usada.

Cmo se puede predecir la velocidad de un cuerpo a partir de su aceleracin ? Para ellonuevamente utilizamos la definicin de aceleracin:

Como el tiempo es un parmetro podemos hacer la cantidad t0= 0, t1 = t y v(t1) =v(t). Tambin la velocidad inicial se puede tomar como v(t0) = v0. De esta forma llegamosa otra importante ecuacin de la cinemtica,

v(t) = v0+ a t

Esta ecuacin de la velocidad, est en funcin del tiempo. La aceleracin nos indica la

razn de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, es decir, que tan rpido estcambiando la velocidad y en que direccin. Recordemos que la aceleracin tambin es unvector.

Al igual que la velocidad, el signo de la aceleracin nos indica en que direccin estcambiando la velocidad. La convencin es la misma que se vio en la seccin anterior.

Si la aceleracin a= 0, entonces se tiene que la velocidad inicial es igual a la velocidadfinal, v(t) = v0, un objeto con aceleracin igual a cero mantiene su velocidad constante.

El trmino v0 hace referencia a la velocidad inicial del cuerpo en un tiempo t = 0, sta esconstante y se puede tomar generalmente como cero. Sin embargo este trmino es muyimportante, ya que determina si el sistema de referencia usado se mueve a velocidad


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constante o se encuentra en un reposo tal, que se observa una velocidad inicial del objetobajo estudio.

Cuando se hace v0= 0 la ecuacin de movimiento toma la forma,

v(t) = a t

Sin embargo la ecuacin ms usada y general es,

v(t) = v0+ a t

Grficamente un movimiento a aceleracin constante puede ser representado en undiagrama de Velocidad con tra Tiemp ode la siguiente forma.

Algunas observaciones con respecto a la anterior grfica son:

En el plano Velocidad contra Tiempo, si el movimiento es a aceleracin constante, lagrfica es una lnea recta.

En el grfico se ha colocado en el tiempo inicial t0 la velocidad inicial v0, es decir elpunto (t0; v0). No necesariamente la velocidad inicial es cero.


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La pendiente de la recta en una grfica de velocidad contra tiempo es la aceleracin.Si esta grfica es una lnea recta, su pendiente es independiente de la forma como lamedimos, esto se debe a que el movimiento se realiza a aceleracin constante.

El rea bajo la curva de velocidad contra tiempo es igual a la distancia recorrida.Vamos a calcular esta rea desde el tiempo t0hasta t4.

El rea esta compuesta por dos figuras, un tringulo y un rectngulo. El rea del tringuloes ( base x altura ) / 2 y el del rectngulo es lado lado.

Las figuras las mostramos a continuacin:

El rea de la regin oscura es igual a: (t4- t0) x (v4_v0) / 2

El rea de la regin clara es: v0x (t4- t0)

De esta forma la distancia total recorrida desde t0hasta t4es,


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Si se supone t0 = 0 y t4 = t, obtenemos la ecuacin del desplazamiento para elmovimiento uniformemente acelerado,

si se incluye una posicin inicial de x0, la ecuacin ms general es de la forma,

Una grfica muy interesante es la de posicin (x) contra tiempo (t). En un movimientouniformemente acelerado, esta es de la forma:


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En el plano de Desplazamiento contra tiempo, un movimiento uniformemente aceleradose ve como una parbola.

El punto x0nos indica el origen del movimiento, si x0= 0 la grfica y las ecuaciones tomanla forma,

se observa como el origen de coordenadas es el origen del movimiento, la posicin inicialno afecta la velocidad.


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Cuando la velocidad inicial es igual a cero v0= 0, la forma de la grfica y las ecuacionesde movimiento ahora son:

La curva punteada corresponde a la curva con una velocidad v00, y la curva continuacorresponde a una curva con v0= 0 y positiva. De esta forma se ve como la velocidadinicial afecta la manera como se mueve un objeto.

Una velocidad inicial diferente de cero y en la misma direccin del movimiento indica queel objeto se mover mas rpido. En una carrera de carros tiene ms ventaja el queacelera con una velocidad inicial que aquel que parte del reposo.

Ahora veremos un caso muy sencillo de aplicacin del movimiento uniformementeacelerado, la cada libre.

Cada Libre. Movimiento bajo la accin de la fuerza de gravedad.

La fuerza gravedad en la tierra, tiene el efecto de atraer hacia ella los cuerpos que

poseen masa, adems tiene una caracterstica interesante, la aceleracin producida por lafuerza de la gravedad se mantiene casi constante sobre la superficie. A nivel del mar lafuerza de la gravedad tiene un valor de 9,80665 m/s2 [18], para efectos prcticos se sueletomar este valor como 9,8 m/s2, e inclusive para clculos sencillos se toma hasta de 10m/s2. La fuerza de gravedadse representa por la letra g.


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La fuerza de la gravedad en un sistema de referencia como la tierra, acta dearriba hacia abajo, es decir que la direccin de la aceleracin en las cadas libres,es de la forma,

a= g; sobre el eje Z

Esta ecuacin tiene bastante informacin:

El movimiento se realiza a lo largo de la direccin k , es decir sobre el eje Z.A lo largo de los otros ejes no acta la aceleracin de la gravedad.

El signo negativo nos indica que la direccin del vector aceleracin es de arribahacia abajo, mejor an, del lado positivo del eje Zal lado negativo.

La magnitud del vector aceleracin de la gravedad es: g= 9,8 m/s2.

De esta forma las ecuaciones ms generales que gobiernan el movimiento bajo la accinde la gravedad son,

De nuevo, estas ecuaciones contienen mucha informacin y las vamos a describircuidadosamente:

Para expresar estas ecuaciones se ha usado, de forma explcita, la posicin enfuncin del tiempo, y(t), y la velocidad en funcin del tiempo vy(t). Esta es una notacinmuy comn cuando se est hablando de movimientos a lo largo de un eje determinado.

En la primera ecuacin, el trmino y0es la posicin inicial, es decir la ubicacin quetena el objeto que estamos estudiando en un tiempo t = 0. Esta posicin puede ser cero,por ejemplo cuando tomamos como origen del sistema de coordenadas el suelo para


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estudiar el movimiento de un cohete. O puede ser diferente de cero cuando estudiamos lacada de un paracaidista desde un avin.

El termino v0y es la velocidad inicial del movimiento. Dependiendo de la situacinestudiada este trmino puede ser cero o no ser cero. Por ejemplo cuando estudiamos el

lanzamiento de un cohete espacial la velocidad inicial es cero, ya que el cohete parte delreposo. Pero si estudiamos el movimiento del mismo cohete pero tomamos el tiempoinicial t = 0 en un momento cuando el cohete ya ha iniciado su movimiento, entonces suvelocidad inicial ser diferente de cero.

El signo negativo, en el trmino que afecta la aceleracin, nos est diciendo que ladireccin de la aceleracin se hace de arriba para abajo, en un marco de referencia en elcual el eje aumenta hacia arriba y disminuye hacia abajo. El inicio del sistema decoordenadas se suele colocar en el piso.

La magnitud de la aceleracin es g= 9,8 m/s

2

, sin embargo se ha utilizado el smbolog, esto hace que nuestras ecuaciones de movimiento y velocidad sean muy generales. Sideseamos describir el movimiento en otro planeta, basta con conocer la aceleracin de lagravedad y colocar su valor adecuado en g.

El signo de la gravedad g, depende de la eleccin del sistema de coordenadas. Eneste caso elegimos un sistema en el cual la gravedad apunta hacia abajo y el sistema decoordenadas aumenta hacia arriba.

Ejemplo: Cada libre.

Vamos a suponer que dejamos caer una piedra desde una altura inicial de 10 metros,cul es la ecuacin que describe el movimiento?, cul es la ecuacin que describe lavelocidad?, cunto tiempo demora en caer la piedra? y al llegar al suelo cul es lavelocidad de cada?. Se recomienda tambin hacer una grfica de velocidad contratiempo y desplazamiento contra tiempo.

Generalmente cuando se trabaja con la gravedad, se elige un sistema de coordenadas enel que la gravedad es negativa.


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Para elaborar correctamente las ecuaciones realizamos el siguiente anlisis:

La gravedad respecto a nuestro sistema de referencia tiene signo negativo, es decirg= 9,8m/s2.

La posicin inicial se encuentra a 10 metros sobre el suelo, es decir que y0= 10.Vamos a utilizar unidades de metros.

La velocidad inicial es cero, es decir v0y=0.

Con lo anterior nuestras ecuaciones de movimiento y velocidad toman la forma,

Para hallar el tiempo de cada utilizamos primera ecuacin, ya que sabemos que cuandocaiga la piedra se encontrar en el suelo, es decir y(t) = 0. Despejamos entonces eltiempo,


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de esta forma el tiempo de cada es de 1,42 segundos. Con este tiempo podemos hallar lavelocidad con la que el objeto llega al suelo, utilizando la segunda ecuacin.

v(t=1,42s) = 9,8(m/s2

) 1,42(s) = 14(m/s)

El signo negativo nos indica que la velocidad se dirige hacia abajo. En esta ltimaparte se ha incluido entre parntesis las dimensiones de las cantidadesinvolucradas, para ver que al final las unidades de la velocidad son las correctas,es decir metros sobre segundo.

Las grficas que se obtiene para el desplazamiento y la velocidad se muestran acontinuacin:

A la izquierda tenemos la grfica de desplazamiento contra tiempo. Como se espera deun movimiento uniformemente acelerado, la grfica es una parbola. El movimientocomienza en 10 metros, y es cero en t = 1,4 segundos, a partir de all los valores en la


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posicin son negativos, ya que se encuentra en la regin negativa del eje decoordenadas.

En principio esto no tiene sentido ya que en y= 0 es el piso y la piedra es all donde sedetiene, por lo tanto la parte negativa de la curva no existe.

A la derecha se observa la grfica de velocidad contra tiempo, esta corresponde a unalnea recta, debido a que el movimiento es uniformemente acelerado. Solo se ha graficadola velocidad hasta el tiempo t = 1,42 segundos, ya que all la piedra choca contra el sueloy se detiene.


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Leccin No10. MOVIMIENTO EN DOS O MS DIRECCIONES

En la vida real, el movimiento de un objeto se realiza en un plano, y de manera msgeneral en el espacio. Para una partcula movindose en el plano debemos especificar suposicin mediante dos coordenadas,

En tres coordenadas lo que tenemos es un vector de tres componentes,

Esta notacin es lo que se denomina parametrizacin, en la cual un conjunto de variables,(x,y ) en este caso, es puesto en trminos de otra variable, ( t ). Para un sistema

bidimensional, un plano, tenemos una representacin de la siguiente forma:

Esta vez estamos graficando de manera simultnea los ejes XyY. Se debe tener muchocuidado en no confundir esta representacin con la de distancia contra tiempo. En estecaso lo que tenemos es ya una representacin del movimiento que puede efectuar un


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cuerpo sobre el plano X contra Y. Nuestro vector indica que la posicin en la que seencuentra nuestro objeto bajo estudio est a 3 unidades en el eje Xy 2 unidades en el eje

Y.

Ahora vamos a suponer que el objeto se mueve a la posicin (1,4). Grficamente esto sepuede representar como,

El vector punteado representa la posicin inicial, el vector continuo representa la posicinfinal, la distancia recorrida se representa por el vector con lneas. Este vector es la restadel vector posicin final menos el vector posicin inicial,

La distancia total recorrida es,

Lo anterior es equivalente a tomar dos ecuaciones independientes, una para el eje Xy laotra para el ejeY,


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Ya empezamos a ver por que es importante el estudio del movimiento en una dimensin,ya que los movimientos en mltiples dimensiones se pueden descomponer enmovimientos unidimensionales.

Si el movimiento se realiza en un tiempo t, la velocidad en un movimiento bidimensionales de la forma,

Nuevamente fijmonos que el vector velocidad est compuesto por las dos ecuacionesescalares,

De la misma manera podemos generalizar para un vector en tres coordenadas. Demanera general obtenemos para la velocidad,


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Utilizando los vectores unitarios, el vector velocidad tridimensional es de la forma,

Se observa entonces, que es ms cmodo escribir que cualquiera de lasecuaciones para un espacio particular. Cuando se est trabajando en espaciosmultidimensionales, los vectores proporcionan una muy cmoda forma de efectuarclculos y notaciones.

De la misma forma la aceleracin simplemente es,

en una notacin ms reducida,

El movimiento en tres dimensiones es una generalizacin

del movimiento en una dimensin.


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Para un sistema uniformemente acelerado tenemos tres ecuaciones para eldesplazamiento en funcin del tiempo,

Las cuales pueden ubicarse en un vector desplazamiento de la forma ( x(t), y(t), z(t) ). Ytenemos tres ecuaciones para la velocidad en funcin del tiempo,

Las cuales pueden ubicarse en un vector velocidad de la forma ( vx(t), vy(t), vz(t) ).

El movimiento unidimensional es una clase particular del movimiento tridimensional, en elcual, el vector desplazamiento puede ser de la forma,

( x(t), 0, 0 ),

y el vector velocidad puede ser de la forma,

( vx, 0, 0 ).


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En este caso es ms cmodo solo tratar las componentes diferentes de cero, como se vioen la seccin anterior.

A continuacin desarrollaremos un ejemplo ms general de movimiento, el cual serealizar bajo un campo gravitatorio.

Ejemplo: Movimiento en un campo gravitatorio.

De manera general, el movimiento gravitatorio se efecta en tres dimensiones.

Vamos a colocar nuestro sistema de coordenadas con los siguientes requisitos:

El eje Z estar dirigido hacia arriba, de manera que el vector aceleracin sea de laforma,

El origen de nuestro sistema de coordenadas est en el suelo.

El objeto posee una posicin inicial dada por el vector,

r0= ( x0, y0, z0 )

El objeto es lanzado en un tiempo t = 0, con una velocidad inicial,

v= ( vox ,voy, voz ),

es decir que posee componentes de velocidad en los tres ejes.


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Bajo las anteriores condiciones las ecuaciones de movimiento en los tres ejes son,

Uno de los hechos ms notables, es ver que el movimiento se puede descomponer porejes o dimensiones, las cuales son fcilmente tratables.

Sin perder generalidad podemos hacer r0= (0, 0, 0), y suponer que la velocidad VOY= 0,de esta forma las ecuaciones de movimiento son ahora,

Es decir que el movimiento se realiza en el plano XZ.

Respecto a las ecuaciones de movimiento podemos decir que:

En el eje X el movimiento es a velocidad constante. La grfica de distancia contratiempo es de la forma:


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En el eje Zel movimiento es uniformemente acelerado, y la grfica de desplazamientocontra tiempo es de la forma,

En el eje Zel objeto parte con una velocidad diferente de cero y sube, pero la fuerza de lagravedad lo va frenando, hasta que llega un punto en el cual comienza a bajar, y suvelocidad cambia de direccin, retornando de nuevo al suelo. Esto no ocurre en elmovimiento en el eje X, en el cual el objeto siempre se aleja del origen.

A continuacin vamos a graficar la velocidad del objeto v(t)

z


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Se observa que en todo momento la velocidad est disminuyendo, hasta que llega unpunto en el cual la velocidad es cero, este punto es precisamente el punto en el cual elobjeto alcanza la altura mxima y a partir de all la velocidad se vuelve negativa, es decirque hay un cambio en la direccin de la velocidad.

Desde cuando el objeto es lanzado, hasta que alcanza su altura mxima, la velocidad espositiva, es decir que el objeto se dirige hacia arriba.

Cuando alcanza su altura mxima la velocidad es cero, y el objeto empieza a caerhaciendo que ahora la direccin de movimiento sea hacia el lado negativo, por lo cual lavelocidad es negativa.

Como es el movimiento del objeto?, el movimiento resultante, es decir el que nosotrosvemos, es una combinacin del movimiento en el eje Xy el movimiento e el eje Z.

Para ello utilizamos las ecuaciones de cada eje,

Despejamos el tiempo de la primera ecuacin y obtenemos,


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ahora lo reemplazamos en la segunda ecuacin y obtenemos el desplazamiento en el ejeZcomo funcin del desplazamiento en el eje X,

Esta es la ecuacin de una parbola, y su grfica es de la forma,

Sobre esta ecuacin es importante realizar las siguientes observaciones:

Debido a su comportamiento, hace que el lanzamiento en un campo gravitatorio seatambin llamado movimiento parablico.

Se denomina tambin ecuacin de trayectoria, ya que nos est indicandocomo es el movimiento en el espacio real. Es ampliamente utilizada como primera

aproximacin en balstica y en la descripcin de movimiento de proyectiles libresde friccin del aire.

No se deben confundir las grficas de trayectoria con las de desplazamiento contratiempo. A pesar de que las dos dan parbolas la informacin fsica es distinta. En unagrfica de desplazamiento contra tiempo estamos representando la evolucin delmovimiento en un eje con respecto al tiempo. En una grfica de trayectoria estamos


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representando las posiciones que seguira un objeto en el espacio fsico real. Lainformacin es muy diferente.

Para finalizar este tema, se van a presentar una serie de relaciones muy tiles a la horade estudiar la cinemtica de movimientos acelerados. Estas relaciones se resumen en lasiguiente tabla.

Tabla 4. Ecuaciones para movimientos acelerados

Leccin No11. ALGUNAS APLICACIONES DE LA CINEMTICA

Ejemplo: Disparo de una bala.

Una bala se dispara verticalmente hacia arriba alcanzando una altura de 1900 metros.

a) Cul es la velocidad inicial de la bala ?

b) Cunto tiempo permanece la bala en el aire ?


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c) A qu altura se encuentra la bala 30 segundos despus del lanzamiento?

Solucin:

a) La bala est sometida a la accin de la gravedad. Cuando llega a la mxima alturaposible su velocidad es cero. Utilizando una de las relaciones de la tabla anterior,obtenemos con a= g,

En la vida real, la velocidad inicial de un proyectil est por encima de los 600 m/s, paraque pueda alcanzar esa altura, cul es la razn ? Lo anterior se debe a que se hadespreciado el efecto de la friccin sobre la bala. Ms adelante se ver que la fuerza defriccin ejerce una muy importante accin sobre los cuerpos. Sin embargo en algunos delos clculos la despreciamos.

b)Para encontrar el tiempo de vuelo del proyectil se puede considerar un movimiento encada libre, y se intentar averiguar el tiempo que tarda el proyectil en caer 1900 metros,luego este tiempo se multiplicar por dos, ya que el tiempo de subida es igual al tiempo debajada.


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por lo tanto el tiempo de vuelo del proyectil es dos veces el tiempo de cada libre.

En la ecuacin anterior se ha considerado la velocidad inicial V0 = 0. Recordemos queesta es una caracterstica del movimiento en cada libre. Tambin hemos utilizado valoresnegativos para la distancia, 1900m, y para la aceleracin 9,8m/s2. Esto se debe alsistema de referencia que hemos escogido para analizar nuestro movimiento.

El movimiento de cada libre se inicia en cero para el eje Y y luego cae hacia valoresnegativos hasta 1900 metros; de la misma forma el valor negativo en la aceleracin sedebe a que la aceleracin tiene como efecto hacer que los objetos caigan, es decir, quese vayan hacia valores negativos del ejeY.

c)Para hallar la altura alcanzada a los 30 segundos despus del disparo, utilizamos lavelocidad inicial, v0= 193 m/s, la cual corresponde a un vector dirigido en sentido positivodel ejeY.

A los treinta segundos el cuerpo esta cayendo, despus de alcanzar su alturamxima.

Ejemplo. Una partcula en el plano X-Y, describe un movimiento tal, que su posicin renfuncin del tiempo, est dada por,


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rest en metros.

Encuentre:

a)Su velocidad en un tiempo t.

b)Su aceleracin en un tiempo t.

c)La posicin, velocidad y aceleracin iniciales.

d)La posicin, velocidad y aceleracin, 5s despus de iniciado el movimiento.

Para el desarrollo de las anteriores preguntas tenemos:

a)La velocidad de la partcula es,

Ntese que en el eje X la velocidad es constante, mientras que en el eje Yla velocidadvara con el tiempo.

b)La aceleracin es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo.


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En este caso la aceleracin es una constante en el ejeY, y es aproximadamente igual a laaceleracin de la gravedad. Adems va dirigida hacia el eje negativo.

c)La posicin, velocidad y aceleracin iniciales se determinan para t = 0,

d)La posicin, velocidad y aceleracin para t = 5 s,

Ejemplo.Describa el movimiento de un cuerpo que inicialmente est en reposo y luegose deja caer libremente.

En la siguiente figura se muestra el grfico que podemos asignar para este ejemplo.


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La velocidad inicial del cuerpo es nula, y se van a despreciar los efectos de resistencia delaire. Tambin se va a suponer que el cuerpo se encuentra inicialmente en el origen delsistema de coordenadas, y de esta forma al caer lo hace hacia la direccin negativa deleje Z.

Tenemos entonces que:

La velocidad inicial es cero, v0z= 0.

En los otros ejes, XyY, no hay movimiento, ya que esta es una cada libre simple. Porlo tanto no nos interesar el movimiento a lo largo de otros ejes.

La posicin inicial Z0= 0.

Las ecuaciones de movimiento que podemos utilizar son,


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Estas ecuaciones permiten evaluar la posicin zy la velocidad vz, para cada tiempo.

Utilizando g= 9,8 m/s2obtenemos la siguiente tabla:

Tabla 5. Datos del Ejercicio.

Tiempo (s) Distancia (m) Velocidad (m/s)

0 0 0

1 -4.9 -9.8

2 -19.6 -19.6

3 -44.1 -29.4

4 -78.4 -39.2

5 -122.5 -49.

6 -176.4 -58.8

1 -240.1 -68.6

8 -313.6 -78.4

9 -396.9 -88.2

10 -490. -98.

Los signos negativos en los valores de desplazamiento y velocidad en la anterior tablase deben a que el vector velocidad posee una direccin negativa, como ya se ha indicado.

Ejemplo. Un lanzador de bisbol puede impartir una velocidad mxima a una bola de 120Km/h. Determinar la mxima altura a la que puede lanzar verticalmente la bola.

Para la solucin de este problema el primer paso es convertir la velocidad a unidades quepodamos manejar fcilmente, para ello hacemos un cambio a metros/segundo.


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Ahora podemos utilizar las ecuaciones de movimiento.

Cuando la bola alcance su altura mxima la velocidad de la misma ser cero. Utilizandouna de las ecuaciones de cinemtica de movimientos acelerados, tenemos,

Entonces la altura mxima que alcanzar una bola al ser lanzada verticalmente

hacia arriba es igual a 56,5 metros.

TALLER EXPERIMENTAL: Cinemtica del movimiento unidimensional.

El movimiento ms sencillo de analizar es el unidimensional, y fue el primer movimientoestudiado. Las cantidades de velocidad y aceleracin son las primeras que podemosmedir de forma inmediata. Durante el desarrollo del captulo se introdujo el concepto derazn de cambio, y en esta experiencia lo vamos a utilizar.

En esta prctica se persiguen los siguientes objetivos:

Familiarizar al estudiante con unidades de manejo de tiempo diferente al segundo.


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Registrar con la ayuda de cintas para la obtencin de datos, cantidades como eldesplazamiento y la velocidad como funcin del tiempo.

Determinar el tipo de movimiento del objeto bajo estudio.

Cuestionario

Cmo se suele medir el tiempo en las carreras de frmula 1?.

Cmo es usual medir la distancia en un carro?.

Cules son las unidades de medida para la distancia, la velocidad y la aceleracin msutilizadas en Colombia?.

Por qu es importante unificar las unidades de medida a nivel mundial?.

Cuando dejamos rodar un carro por una pendiente Cmo es el movimiento: a velocidad

constante acelerado?.

La experiencia

Los materiales a utilizar sern:

Timbre registrador. Cinta de papel o de tela de 2cm de grosor y de aproximadamente 2m de largo. Papel carbn. Plano inclinado. Carrito de juguete.

La disposicin de los materiales se muestra en la siguiente figura.


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El timbre registrador es una rueda giratoria con un determinado tiempo de giro, que poseeun pin que deja una muestra cada vez que presiona la cinta contra el papel carbn. Elcarrito se desliza libremente por el plano inclinado halando la cinta. No hay presin alguna

entre el timbre y la cinta, exceptuando cuando se deja la marca por la presin del carbn.

Deje caer el carro por el plano inclinado a la vez que enciende el motor del timbre, elcual le dar la medida de tiempo. Observe el registro que obtiene en la cinta y conteste:

Se encuentran todos los puntos igualmente espaciados?, por qu?.

Qu significa que todos los puntos se encuentren igualmente espaciados?.

Qu significa que todos los puntos no se encuentren igualmente espaciados?.

Permite el registro que se obtuvo en la cinta hacer una grfica de posicin contratiempo?. Utilice como tiempo, el dado en unidades de las marcas del timbre.

Haga la grfica del punto anterior y describa el movimiento en cada parte de la grfica.

Cmo fue el movimiento en su parte inicial?.

Cmo fue el movimiento en su parte final?.


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Para hacer ms precisin acerca del mtodo de medicin vamos a hacer lo siguiente:

Escoja como intervalo de tiempo, t, de 8 a 10 marcas consecutivas del timbre sobrela cinta. Esto ya lo ha hecho anteriormente pero slo con dos marcas consecutivas. Loque va a obtener es algo como lo que mostramos a continuacin:

Con lo anterior haga una tabla de distancia contra tiempo.

Utilizando la anterior tabla realice una grfica de distancia contra tiempo.

Haga una tabla de velocidad contra tiempo partiendo de las mediciones directas sobre

la cinta.

Observe las dos grficas obtenidas y concluya acerca del tipo de movimientopresentado, distancia recorrida, velocidades y aceleraciones posibles.

Haga un anlisis del movimiento utilizando lo estudiado en este captulo.

EVALUACIN FINAL

1. Cul es la diferencia entre velocidad y rapidez?.

2. Puede un cuerpo mantener su velocidad constante si cambia de direccin?.


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3. Puede un cuerpo mantener su rapidez constante si cambia de direccin?.4. Puede un cuerpo tener el vector velocidad en una direccin y el de aceleracinen otra?

5. Cuando camino desde mi casa hasta la tienda de la esquina tengo quemoverme con aceleracin?.

6. Sobre la tierra la velocidad de cada de un objeto depende de su peso?.

7. Desde que altura tiene que ser soltado un objeto para que demore 1 segundocayendo?.

8. Un automvil viaja en lnea recta a una velocidad de 72 Km/h, se le aplican losfrenos para reducir su velocidad de manera que la aceleracin sea constantehasta 18 Km/h en 5 segundos. Hallar:

a) La aceleracin del automvil.b) La distancia recorrida en los 5 segundos que dura frenando.c) La distancia recorrida en los dos primeros segundos que dura frenando.d) En cunto tiempo recorre 30 metros a partir del instante en el cual se leaplican los frenos?.

9. La lectura del velocmetro indica:

a) El mdulo de la velocidad.b) El mdulo de la velocidad instantnea.

c) El vector velocidad.d) El desplazamiento.

10. Con la lectura del cuentakilmetros de un automvil se puede determinar:

a) Su desplazamiento.b) La distancia total recorrida.

Adems, si se conoce el tiempo transcurrido entre la lectura inicial y la final delcuentakilmetros se puede determinar:

a) Su desplazamiento.b) Su rapidez.

11. Cules de las siguientes afirmaciones son correctas?:

a) Dos cuerpos que recorren la misma distancia, efectan el mismodesplazamiento.b) La distancia recorrida por un cuerpo es igual a la longitud de su trayectoria.


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c) La velocidad instantnea y la velocidad media tienen la misma direccin.d) La velocidad se define como espacio recorrido sobre tiempo.e) La aceleracin se define como la velocidad sobre el tiempo.

12. Una hormiga se mueve sobre una superficie plana con una aceleracin

constante En t = 0 la hormiga se encuentraen el punto (2, 1)cm con respecto al punto considerado como origen y lleva una

velocidad

a) Cules son las ecuaciones vectoriales de posicin, velocidad y aceleracin enfuncin del tiempo?.b) Halle la posicin, velocidad y aceleracin de la hormiga 5 segundos despus deiniciado el movimiento.

13. El movimiento de un cuerpo que se desplaza en lnea recta est dado por la

ecuacin,

xest dado en metros y t en segundos.

a) Halle las ecuaciones para la velocidad y la aceleracin en funcin del tiempo.b) Halle la posicin, velocidad y aceleracin del cuerpo en t=0.c) Se puede afirmar que se trata de un movimiento uniformemente acelerado?.d) Haga una grfica de distancia contra tiempo, velocidad contra tiempo yaceleracin contra tiempo. Qu puede concluir al respecto?.

PALABRAS CLAVES PARA BSQUEDA EN INTERNET

A continuacin se presenta una serie de palabras tiles para la bsqueda enInternet. Las palabras se han probado en el buscador

http://www.google.com

No tienen ortografa dado que el buscador es universal, y porque en ocasiones vaa tener que utilizar teclados que no tienen tildes o ees.

curso cinematica, curso fisica, experimentos fisica, vectores matematica,conversion de unidades, experimentos fisica.


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BIBLIOGRAFA Y CIBERGRAFA RECOMENDADA.

Se puede consultar al final del mdulo, en BIBLIOGRAFA, la referencia completadel texto correspondiente a cada nmero, segn el tema de inters.

Frmulas y tablas matemticas en general [ 1 ].

Mediciones y experimentos en cinemtica [ 2, 26 ].

Conversin de unidades [ 18 ].

Cinemtica general [ 7, 8, 20, 21, 22, 23, 24, 25 ].

Sitios de inters en la web:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4070002/index.html

http://www.fisicanet.com.ar/

http://www.fis.usb.ve/cursos/fisica1/

http://www.geocities.com/apuntesyejercicios/fisica.htm

http://icarito.tercera.cl/enc_virtual/fisica/

http://es.encarta.msn.com
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CAPTULO TRES. DINMICA Y ESTTICA

En este captulo nos ocuparemos del estudio de la dinmica y de la esttica, las cualesson las partes de la fsica que se encargan del estudio del movimiento buscando lascausas que lo generan, que lo impiden.

Para ello necesitamos conocer y comprender las leyes de movimiento de Newton. Estasleyes son:

1. Ley de la Inercia.2. Ley de la Fuerza ( Fuerza = masa x aceleracin )3. Ley de la Accin y Reaccin.

Una de las grandes ventajas que trajeron las leyes de Newton, fue el desarrollo deaplicaciones, lo que ha derivado en el desarrollo de tecnologa que ha permitido elevar elnivel de vida de las naciones. En la actualidad las leyes de Newton se siguen utilizandoampliamente en diversos campos, y gran parte del avance social conseguido por pasesindustrializados se debe a un uso intensivo de la ciencia y la tecnologa.

En este captulo, entonces, definiremos conceptos de importancia como el de fuerza,campo gravitatorio, fuerza gravitatoria y peso. Se presentarn tambin diversos ejemplosen los cuales se emplean a fondo las leyes de Newton, haciendo nfasis en fuerzas muyparticulares y de gran importancia, como son: la gravedad y las fuerzas de friccin.

EVALUACIN DE CONOCIMIENTOS PREVIOS

Porqu cuando vamos dentro de un autobs y este frena bruscamente,somos empujados hacia adelante?.

Qu es la inercia?.

Qu hace cambiar la velocidad de un cuerpo?.

Cul es la diferencia entre masa y peso?.

Qu es fuerza?. Porqu es ms difcil mover un objeto que pese una tonelada que uno quepese una libra?.

Porqu se mueven los planetas sin que nada los detenga?.


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Describa las fuerzas que actan sobre una carreta que es tirada por un caballo.

Por qu al frotarnos las manos estas se calientan?.

Cul es la fuerza gravitatoria que ejerce una esfera perfecta de masa M sobre

un punto de masa m?.

Qu es un diagrama de fuerzas?.


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Leccin No12. LEYES DE NEWTON

PRIMERA LEY: LA INERCIA.

Una parte de las leyes de Newton proviene de la observacin y otra parte de definiciones.Nosotros haremos una aproximacin por medio de experimentos mentales, es decir,experimentos que haremos con nuestra imaginacin.

Cuando vamos en un autobs y este frena, nosotros somos empujados hacia adelante, opor lo menos esa es nuestra percepcin.

Revisemos que es lo que entendemos por movimiento. En general, siempre que decimosque algo se mueve implcitamente estamos diciendo: este objeto se mueve con respecto aeste otro objeto.

Por ejemplo, cuando observamos una carrera de autos el movimiento se realiza conrespecto a la pista, la cual, segn nuestra impresin permanece inmvil. Sin embargo lapista tambin se mueve, como es posible que la pista de autos se mueva si yo la veoquieta?, bueno en realidad la pista y nosotros nos movemos con respecto al sol, hemoselegido la pista como sistema de referencia por que nosotros estamos quietos con

respecto a ella. Y con este sistema de referencia es que estudiamos el movimiento ydefinimos velocidad, aceleracin y todas estas cosas.

Cuando estamos observando una carrera de autos elegimos un sistema de referenciaconveniente, de tal forma que sea fcil para nosotros medir los desplazamientos yvelocidades involucradas en el sistema de estudio. Cuando decimos que un auto va a 150Km/h, estamos afirmando que esta velocidad es con respecto a la pista, no con respectoal sol.


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El sistema de referencia es un sistema de coordenadas que hemos elegidoapropiadamente. Si por el contrario nosotros furamos dentro de carro de carreras,estaramos interesados en sobrepasar a nuestros rivales. Entonces nuestro inters sera

saber cual es la diferencia de velocidades entre el carro de adelante y el mo. Si lavelocidad de el es mayor que la nuestra, es obvio que no lo vamos a poder rebasar, peropor el contrario si nuestra velocidad es mayor lo lograremos sobrepasar.

Qu pasa cuando el conductor frena bruscamente?. El espectador lo que ve es que lacabeza del conductor del carro de carreras sigue hacia adelante, y si pudiera medir lavelocidad con la que sigue se dara cuenta de que va a la misma velocidad a la que iba elcarro antes de frenar. Por supuesto, el piloto tiene que hacer un esfuerzo grande paramantener la cabeza en su sitio y no perder la concentracin. Pero si nosotros furamos

los pilotos de lo que sentiramos es un fuerte empujn hacia adelante.

Lo que sucede es que cuando se va a velocidad constante hay una tendencia del cuerpoa seguir manteniendo esta velocidad, por lo tanto cuando tratamos de detener el cuerpovamos a encontrar dificultad en pararlo. Por esta razn cuando vamos en un autobs yeste frena, nuestro cuerpo tiene la tendencia a seguir en estado de movimiento en el cualse encontraba, como nuestro sistema de referencia es el autobs, cuando este frenanosotros sentimos que somos empujados hacia adelante, sin embargo en realidad lo quesucede es que continuamos en nuestro estado de movimiento, y somos nosotros mismos

con ayuda de las sillas de adelante y nuestros brazos y piernas los que nos detenemos.

Cuando se detiene un cuerpo?, nuestra experiencia diaria nos muestra que todo cuerpose detiene despus de estar en movimiento. Cuando un carro se deja rodar sin acelerarloeste se detiene, cuando dejamos rodar por el suelo bolas de cristal estas terminandetenindose. Entonces si todos los cuerpos se detienen es cierta la ley de la inercia?,es decir, que un cuerpo tiene la tendencia a mantenerse en movimiento.

En realidad, si nos fijamos ms detalladamente, un cuerpo es detenido por influenciasexternas, el carro sufre una friccin con el pavimento y su maquinaria interna. Las bolasde cristal son detenidas por mltiples choques con las deformaciones del suelo.

Ahora realizaremos el siguiente experimento: suponga que se tiene una bola de cristal, yun plano inclinado como el de la siguiente figura:


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El plano inclinado lo pulimos muy bien, de tal forma que aminoremos los choques de labola con las imperfecciones de la superficie. Le damos una pequea velocidad en ladireccin x, de manera que la bola rodar hasta llegar al final, y entre mas largo sea elplano, el ngulo de inclinacin ser menor y la bola rodar ms. Qu pasar si el planoinclinado se hace infinitamente largo?, se detendr la bola de cristal si la superficie es

perfectamente lisa y libre de friccin?. En los siguientes dibujos mostramos la situacin.

En (a) el ngulo es menor que en (b), y en (c) suponemos un plano casi horizontal, de talforma que /2. Y a todas las bolas les damos una velocidad inicial solamente en el ejeX.

La respuesta a nuestras dos preguntas es sorprendente, si el plano inclinado se ponehorizontal y se le da una pequea velocidad inicial la bola nunca se detendr !, y seguir

con la misma velocidad inicial. Lo anterior suceder si logramos eliminar completamentela friccin entre la bola y el plano.

Qu pasar si no le damos una velocidad inicial a la bola?, pues que la bola nunca semover, a menos que el plano deje de estar inclinado o algo lo empuje. Este experimento


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fue realizado por Galileo Galilei, y fue el la primera persona que expres esa sorprendentepropiedad de los cuerpos denominada inercia.

Ley de la inercia: Todo cuerpo tiene la tendencia a permanecer en reposo, o acontinuar en su movimiento a velocidad constante.

SEGUNDA LEY: LA FUERZA.

Para fundamentar esta segunda ley vamos a emplear un sistema aislado. Pero surgeentonces la pregunta qu es un sistema aislado? En principio un sistema aislado es unsistema libre de cualquier tipo de influencia externa, es decir, es un sistema en el cual uncuerpo nunca cambia su velocidad, o sea, es un sistema en el cual la aceleracin essiempre cero para un objeto.

Existen realmente sistemas aislados?

El espacio exterior es un buen ejemplo de un sistema casi aislado. Los astronautas flotanel en espacio libre de friccin de casi cualquier tipo, y logran t

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Unidad1 Modulo Fisica General