FISICA Modulo 1

7/25/2019 FISICA Modulo 1

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FÍSICA

© Derecho de autor reservados

MG Jorge Mendoza Dueñas

Prof. Universidad Nacional de Ingeniería Lima - Perú

Asesor Técnico:

MG Abel Díaz Carranza

Prof. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas; Lima - Perú

Diagramación y diseño:

NEW IDEA ediciones gráficas

[email protected]

Primera edición, enero del 2015

Impreso en DOSMASUNO SAC

Jr. Juan Chávez Tueros 1224 - Chacra Ríos Lima - Cercado

RUC: 000000000

Se terminó de imprimir en el mes Noviembre de 2014

Tiraje: 5,000 ejemplares

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso

del autor.



La naturaleza está llena de misterios, y éstos normalmente se ubican ante nuestros ojoscomo un juguete nuevo esperando a ser vistos además de mirarlos, para luego ingresaral mundo de la investigación, aplicando comúnmente el llamado método científico.

¿Y que herramientas o conocimientos se requieren para llevar a cabo una investigación?

Es importante el manejo de las matemáticas así como la aplicación de las leyes quegobiernan los fenómenos físicos, pero ante todo la curiosidad del científico en ver fe-nómenos simples que otros normalmente no consideran importante.

El presente libro, pretende complementar los conocimientos elementales del curso defísica, llevando a cabo una exposición cualitativa y cuantitativa, tal como lo exige laciencia.

La explicación cualitativa, se plasma en la exposición detallada de la teoría, ilustradacon ejemplos de la vida diaria, esquemas, fotografías, etc.

La explicación cuantitativa está conformada por los llamados talleres y problemas, éstosúltimos se encuentran divididos en tres partes : nivel uno, dos y tres.

Respecto al test; éste constituye una evaluación de raciocinio rápido, donde el estudiantetendrá la oportunidad de recordar y razonar los principios expuestos por el profesory el presente material en un determinado tema, sin necesidad de realizar operacionesmatemáticas extensas.

El autor espera potenciales investigadores y ojalá el presente libro sea el punto de par-tida para dicho fin, pues nuestro país necesita de investigaciones; acuérdese que lasgrandes potencias, son generadoras de investigaciones y exportan tecnología; y éstasno necesariamente parten de la nada, todo descubrimiento parte de un conocimientoexistente; el mismo Newton lo acepta, al afirmar : SI YO PUDE VER MÁS LEJOS QUEMIS COLEGAS, FUE PORQUE ME APOYÉ EN HOMBROS DE GIGANTES, haciendoalusión a sus antecesores : Galileo, Kepler, Copérnico, entre otros científicos que leantecedieron.

No quiero culminar, sin agradecer el apoyo de muchos profesores y amigos, quienescon su aporte y críticas constructivas, han fortalecido y enriquecido el contenido delpresente libro.

EL AUTOR.

Prólogo



ÍNDICEUNIDAD 1 : LA CIENCIALa cienciaMétodo científicoConcepto de física

UNIDAD 2 : MAGNITUDES FÍSICASMagnitud físicaSistema de unidadesNotación exponencialRedondeo de cifras

Cifras significativas Análisis dimensionalMedición – teoría de errores

UNIDAD 3 : VECTORESVectorOperaciones vectoriales

UNIDAD 4 : ESTÁTICA InteracciónFuerzas notablesLeyes de Newton – primera condición de equilibrioMomento de una fuerza – segunda condición de equilibrioCentro de gravedad

UNIDAD 5 : CINEMÁTICA MovimientoMovimiento rectilíneo uniformeMovimiento rectilíneo uniformemente variadoCaída libreGráficos relacionados al movimientoMovimiento compuestoMovimiento circular

UNIDAD 6 : DINÁMICA Masa de un cuerpoSegunda ley de NewtonDinámica circular

UNIDAD 7 : TRABAJO –POTENCIA – ENERGÍA Trabajo mecánicoPotenciaEnergía

UNIDAD 8 : MOVIMIENTO PLANETARIO – GRAVITACIÓN UNIVERSALMovimiento planetarioGravitación universal



UNIDAD 9 : OSCILACIONES Y ONDAS MECÁNICASMovimiento oscilatorioMovimiento armónico simple

Péndulo simpleOndas mecánicas

UNIDAD 10 : ESTÁTICA DE LOS FLUIDOSConceptos fundamentalesPresiónPrincipio de PascalPrincipios básicos de la hidrostática

UNIDAD 11 : CALORTermometríaDilatación térmicaCalorimetríaCambio de estado en una sustancia

UNIDAD 12 : GASESComportamiento de los gasesTermodinámica

UNIDAD 13 : ELECTRICIDADTeoría electrónicaIntroducción a la electrostáticaCarga – campo eléctricoPotencial eléctricoCapacidad eléctricaElectrodinámicaCorriente eléctricaCircuitos eléctricos

UNIDAD 14 : MAGNETISMOImánElectromagnetismo

UNIDAD 15 : ÓPTICA Naturaleza de la luzFotometríaReflexión de la luzRefracción de la luz

UNIDAD 16 : ONDAS ELECTROMAGNÉTICASEspectro electromagnéticoEstudio experimental del espectro visible

UNIDAD 17 : FÍSICA MODERNA Teoría cuánticaEfecto fotoeléctricoModelo atómicoEl rayo láserTeoría de la relatividad



MagnitudesFísicas

Jorge Mendoza Dueñas

8

N

t

Unidad

La Ciencia - -



MagnitudesFísicas

Física

Aplico la Tecnología

Debo respetar la Naturaleza y el Medio Ambiente



Ciencia yFísica


10

Este término cubre un campo de actividades y conocimientos tan amplio, que cualquier definición corre el riesgode ser incompleta.La ciencia busca una interpretación de todos los fenómenos naturales, siendo su objetivo descubrir y dar formamatemática a las leyes universales que relacionan entre si las magnitudes que intervienen en ellos.

Lo que motiva a los científicos es la emoción que les da la ciencia, el placer que les llega cuando descubren la naturaleza. A continuación se muestra una analogía:Imaginemos que a un niño de dos años se le da un juguete nuevo. Toma el juguete, lo mira con ojos brillosos, juega con él, si hay, por ejemplo, un botón que cuando se aprieta produce un sonido lo presiona varias veces, tratade desarmarlo o romperlo, finalmente, cuando se aburre, lo deja. ¿Qué ha sucedido?. ¿Es qué acaso el pequeño

Explicación Cuantitativa:La fuerza “F” depende en gran medida del brazo de palanca

“X” y la carga P.

Dicha fuerza comprime las estructuras vertebrales ocasionandoel dolor lumbar.

Entiéndase que la ciencia encierra un conocimiento cualitativo y cuantitativo de las leyes naturales; pues si no sepuede medir y expresar en números las leyes de un fenómeno, por más que su explicación cualitativa sea contun-dente, ésta será pobre e insatisfecha; de ahí que las matemáticas se convierten en una herramienta imprescindibleen la formulación de una ley.

Explicación Cualitativa:Para evitar o reducir el dolor lumbar, es recomendable

levantar la carga P sobre el hombro y no como el mostradoen la imagen.

LA CIENCIA

x

P

A

F

y

M

P

A

F

M

P

A

F

1. LA CIENCIA.



Ciencia yFísica

Física

11

detesta el juguete, ya que lo trató de romper. No, lo que pasó es que el chico estabaexperimentando con el juguete, intenta observar de qué está hecho, como es pordentro, lo chupa para sentir como sabe, lo huele para saber si tiene olor. Una vez quelo investigó y descubrió algunas cosas, ya no le divierte; quiere jugar con algo nuevo,

investigar algo nuevo.Los misterios de la naturaleza están puestos ante nosotros como un juguete nuevo, espe-rando a ser descubiertos. Muchas veces el científico, es como un niño curioso, juega conla naturaleza, investiga, descubre, no porque le van a dar una remuneración económica.Su remuneración es similar a aquella que tiene el pequeño que desarma su juguete: laciencia, el descubrimiento de cosas nuevas, hace arder sus pasiones.

2. TIPOS DE CIENCIA

En realidad la ciencia es única, sin embargo, para efectos de la mejor comprensión de ésta, dividiremos la cienciaen dos:

a. Ciencia básicaLlamada también ciencia pura o fundamental, el objeto es el conocimiento en si, la descripción de un modelorazonable que explique el porqué de los fenómenos.Se investiga aparentemente sin ningún beneficio inmediato para el hombre, simplemente porque hacerlo esinteresante, no importa el tiempo que haga falta.Se dice que cuando Michael Faraday explicó su descubrimiento respecto a que un imán en movimiento in-ducía corriente eléctrica en su conductor, el primer ministro británico de la época, Robert Peel, le preguntó“¿Y esto para qué?”, a lo que Faraday respondió “¿Para qué sirve un recién nacido?”. Resulta que todos losgeneradores eléctricos que transforman energía mecánica en eléctrica, se basan en ese principio y gracias aello, hoy podemos hacer uso de los aparatos eléctricos.En este campo, la motivación es el ansia de conocimiento, la actividad es la investigación y el producto resul-

tante es el conocimiento científico.

b.- Ciencia aplicadaLlamada también Tecnología, tiene como objetivo la solución a problemas específicos o tangibles, para asísatisfacer las necesidades de un grupo de personas.

En este campo, la motivación es la satisfacción de necesidades o deseos, la actividad es el desarrollo, el diseñoy/o la ejecución y el producto resultante son los bienes y servicios, o los métodos y procesos.

MOTIVACIÓN ACTIVIDAD PRODUCTO

Ansia de

Conocimiento

Investigacin

Cientíca

Conocimientos

Cientícos

MOTIVACIÓN ACTIVIDAD PRODUCTO

Satisfaccin de

Necesidades y

Deseos

Desarrollo

Diseño

Ejecucin

Bienes y Servicios

Métodos y

Procesos



Ciencia yFísica


12

3. EL DESCUBRIMIENTO DE UNA TECNOLOGÍA

Usted Señor Lector, debe tener presente que (por lo menos en la ciencia aplicada) el invento o descubrimiento deuna tecnología está basada en otra ya existente; tal es así que incluso Newton (uno de los más grandes científicos dela historia) afirmó sin prejuicios que sus descubrimientos tenían como base o cimiento, los estudios realizados porGalileo, Kepler, Copérnico, entre otros científicos que lo antecedieron. A modo de ejemplo, citaremos al GPS: Tecnología actual que nos permite conocer las coordenadas de un punto oincluso conjunto de puntos.

A decir verdad, el GPS nace como consecuencia de la existencia de una serie de tecnologías, tales como los satélitesartificiales, las ondas electromagnéticas, la estación total (equipo topográfico), entre otras. Asimismo, la estación total aparece gracias al uso del radar, el teodolito, el distanciómetro, etc. El teodolito, surgecomo una suerte de combinación entre el telescopio y la dioptría.La dioptría aparece gracias a la presencia del transportador, y este último por la necesidad de medir ángulos. Por otrolado, debemos confesar que todos nosotros somos afortunados, dado que pertenecemos a una era de tecnologíacambiante e innovadora. Solo falta que ustedes jóvenes alumnos sean los protagonistas principales en los descubri-mientos de tecnologías nuevas e innovadoras.En la siguiente página se muestran los principales descubrimientos realizados por el hombre.

Es importante advertir que la tecnología existe gracias a la ciencia básica.Pretender realizar sólo ciencia aplicada es como querer obtener manzanas sin primero cultivar los árboles quelas producen.

En el mundo moderno: sin ciencia básica no hay tecnología; no es posible intentar competir tecnológicamentecon países desarrollados sin una base científica tan sólida y tan extensa como la de ellos. Es como si se preten-diera pelear con lanzas y hachas de piedra contra bombas termonucleares.



Ciencia yFísica

Física

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Invento o Descubrimiento Fecha Inventor o descubridor y país

Escritura 4 000 a.C. MesopotamiaRueda 3 500 a.C. Mesopotamia

Vidrio 3 000 a.C. Egipto

Papel s 1 a.C. China

Pólvora 950 China

Gafas 1 280 Italia

Imprenta de tipos móviles 1 441 Johannes Gutemberg (Alemania)

Microscopio 1 590 H. y Z. Janssen (Holanda)

Termómetro 1 592 Galileo Galilei (Italia)

Telescopio 1 608 Hans Lippershey (Holanda)

Barómetro 1 644 Evangelistas Torricelli (Italia)

Olla de presión 1 679 Denis Papin (Francia)

Máquina de vapor 1 712 Thomas Newcomen (Gran Bretaña)

Pararrayos 1 752 Benjamín Franklin (EE.UU.)

Telar mecánico 1 785 Edmund Cartwrigth (Gran Bretaña)

Batería eléctrica 1 800 Alessandro Volta (Italia)

Cámara fotográfica 1 816 Nicéphore Niépce (Francia)

Electroimán 1 823 William Sturgeon (Gran Bretaña)

Motor Eléctrico 1 834 Moritz H. Jacobi (Rusia)

Telégrafo de un hilo 1 838 Smuel F.B. Morse (EE.UU.)

Bicicleta 1 839 Kirkpatrick Mackmillan (Gran Bretaña)

Vulcanización del caucho 1 841 Charles Goodyear (EE.UU.)

Máquina de coser 1 845 Elías Howe (EE.UU.)

Ascensor 1 852 Elisha Otis (EE.UU.)

Lavadora 1 858 Hamilton Smith (EE.UU.)

Dinamita 1 866 Alfred Nobel (Suecia)Máquina de escribir 1 872 Christopher Scholes (EE.UU.)

Teléfono 1 876 Alexander Graham Bell (EE.UU.)

Fonógrafo 1 877 Thomas Alba Edison (EE.UU.)

Bombilla de incandescencia 1 879 Thomas Alba Edison (EE.UU.)

Automóvil 1 885 Karl Benz (Al.) y Gottieb Daimber (Al)

Radio 1 895 Guglielmo Marconi (Italia)

Cinematógrafo 1 895 Hermanos Lumiere (Francia)

Congelación de alimentos 1 924 Clarence Birdseye (EE.UU.)

Televisión 1 925 John L. Baird (Gran Bretaña) y otros

Penicilina 1 928 Alexander Fleming (Gran Bretaña)

Motor a reacción 1 930 Frank Whittle (Inglaterra)

Nailon 1 938 Wallace Carothers (EE.UU.)

Ordenador electrónico 1 945 J. Presper Eckert y Jhon W. Mauchly (EE.UU.)

Cámara “Polarid” 1 947 Edwin Land (EE.UU.)

Transistor 1 948 Jhon Bardeen. Walter Brattain y Wlliam Schockley (EE.UU.)

Láser 1 960 Theodore Maiman (EE.UU.)

Chip de silicio 1 961 Texas Instruments (EE.UU.)

Microprocesador 1 971 intel Corp. (EE.UU.)

Transbordador espacial 1 981 NASA (EE.UU.)

Disco compacto. 1 991 Phillips y Kodak

PRINCIPALES INVENTOS



Ciencia yFísica


14

4.- EL MÉTODO CIENTÍFICO

Es un método de la ciencia y contempla los pasos a seguir para formular una Ley Científica.

En la práctica, nosotros podemos comprobar la veracidad de una ley utilizando este método.Existen dos formas de aplicar el Método Científico:

Formula leyes generales a partir de hechos particulares.Su aplicación se considera válida mientras no se encuentre ningún caso que no cumpla con el modelo propuesto.Pasos a seguir:

a) La Observación.

Consiste en un simple estudio visual-mental de un fenómeno realizado en condiciones naturales.

Muchas veces las condiciones y circunstancias en que se realiza el fenómeno no es el óptimo, motivo por elcual la observación debe ejecutarse minuciosa y reiteradamente.

Ejemplo:

La caída deun cuerpo.

b) Pregunta.

En este paso, se formulan preguntas que merecen respuestas científicas.Ejemplo: ¿Existirá una relación constante entre la altura soltada y el tiempo de caída?Nótese la presencia de dos variables: altura y tiempo.

c) Formulación de una Hipótesis.

Es una tentativa explicación que da una respuesta a la pregunta formulada. La hipótesis puede ser verdaderao falsa. Una hipótesis para nuestro ejemplo de aplicación, podría ser:

CuerpoCuerpo

t h

t h

K : constanten, m : númeroy : alturat : tiempo



Ciencia yFísica

Física

d) Experimentación.

Es provocar un fenómeno y obtener datos en condicionescontroladas.

Analizando nuestro ejemplo típico.El experimento que hemos realizado es muy simple, puesconsta de una bola de acero y una cámara fotográfica enmodo video (para filmar la caída del cuerpo) con 30 fps(30 fotogramas por segundo). Así pues, hemos filmado la caída de la bola de acero paraluego obtener la foto para cada instante (1/30 segundo);dichas imágenes han sido llevados a la computadora (aescala), obteniendo:

Con ayuda del cuadro mostrado se realiza la tabulación de datos, procediendo a continuación a elegir la curvaque mejor se ajusta a los puntos y generar una ecuación empírica del fenómeno.

e) Análisis y Conclusiones.

Se procede a comparar la hipótesis con el resultado final.

Hipótesis : yn = K . t n

Resultado final : y = -4,90. t 2

Concluyendo que la hipótesis (en nuestro ejemplo) es verdadera.

t y

0,0000

-0,2000

-0,4000

-0,6000

-0,8000

-1,0000

-1,2000

-1,4000

-1,6000

-1,8000

-2,0000

y ( m )

t (s)

0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700

y

x

t (s) y (m)0.033 - 0.0054

0.067 - 0.0218

0.100 - 0.0490

0.133 - 0.0871

0.167 - 0.1361

0.200 - 0.1960

0.233 - 0.2668

0.267 - 0.3484

0.300 - 0.4410

0.333 - 0.5444

0.367 - 0.6588

0.400 - 0.7840

0.433 - 0.9201

0.467 - 1.0671

0.500 - 1.2250

0.533 - 1.3938

0.567 - 1.5734

0.600 - 1.7640



Ciencia yFísica


Cuenta la

historia que

Newton observó

que la manzana

caía hacia la

tierra. También

descubrió que

la luna cae

eternamente

hacia nuestro

planeta.

Newton aprovechó los

estudios realizados por

los c ient í f icos que le

antecedieron como los

de Nico lás Copérnico,

Galileo quién inventó el

telescopio, Tycho Brahe

que se ocupó por 20 años

de hacer mediciones de los

cuerpos celestes con ayuda

del telescopio, así como

Johanes Kepler (amigo de

Galileo) quién formulara sus

famosas “Leyes de Kepler”.

16

g: aceleración de la gravedad.

2

1

M

M A A

M

1r

2r

a) La Observación.

A continuación se repite el experimento para diferentes escenarios (espacio y tiempo); si el resultado final seconserva, se concluye que se ha llegado a una ley.En nuestro caso:

Formula conclusiones particulares a partir de leyes generales.Este método es teórico en su partida, pero totalmente experimental en su validación. A continuación se dará a conocer cada uno de los pasos, utilizando como ejemplo ilustrativo, la ley de la gravitaciónuniversal, formulada por Isaac Newton.

b) Medida y registro de datos.

Para describir un fenómeno físico existen dos tipos: la descripción cualitativa y cuantitativa.

Se dice que una descripción es cualitativa, cuando se describe con palabras y no con números, por ejemplo:el edificio es alto, la temperatura del horno es alta, el caudal de las aguas del río es grande. Obviamente queesta clase de descripción deja muchas preguntas sin respuesta, se necesitará entonces de los números y éstos sebasan en una medición.

El método científico exige comparación y éstas se efectúan mejor en forma cuantitativa, es decir, con números.Esto no significa que el científico necesariamente tenga que partir de una medición inédita, muchas veces élaprovecha las mediciones de sus colegas antecesores, las cuales le sirven como base para describir cuantitativa-mente el fenómeno en estudio.

Luna

cte



Ciencia yFísica

Física

17

M

m

Donde G = cte. de gravitación universal

Con ayuda

de las leyes

de Kepler,

así como de

su segunda

Ley, Newton

llevó a cabo

su modelo

matemático

hasta llegar a

una hipótesis.

c) Formulación de una Hipótesis.

A partir de hechos y leyes conocidas, un científico puede descubrir nuevos conocimientos en una forma teórica.Se entiende por teoría al hecho que el Físico proponga un modelo de la situación física que está estudiando,

utilizando relaciones previamente establecidas; ordinariamente expresa su razonamiento mediante técnicasmatemáticas.

d) Experimentación.

Si esta última se llena satisfactoriamente, la hipótesis pasa a ser un hecho comprobado y puede ser una leyque se enuncia mediante fórmulas matemáticas.

Henry Cavendish

fue quien determinó

experimentalmente el

valor de la constante

G, 70 años después

de la muerte de

Newton; con lo

cual se comprobó

la veracidad de la

hipótesis de Newton

(ley).

masas sostenidas

masas suspendidas

rayo de luzespejo

Es una ciencia básica de tipo experimental, que observa, estudia y gobierna mediante leyes, la materia y sus interac-

ciones, así como los llamados fenómenos físicos.

Es el cambio o modificación que sufren los cuerpos de la naturaleza, bajo la influencia de diversas formas de energía;existen muchos fenómenos. En esta oportunidad nos ocuparemos solo de tres.

a) Fenómeno físico.

Es el cambio que sufre la materia sin alterar sus estructura íntima. Se caracteriza por ser reversible.

Ley de Newton:

Ley de Kepler:

Hipótesis:



Ciencia yFísica


18

c) Fenómeno Fsco-qumico.

Este fenómeno tiene algunas propiedades del fenómeno físico y otras del químico.

Las olas se

producen gracias a

la acción del viento

sobre las aguas del

Mar. Inicialmentees agua, finalmente

también lo es.

Al romper un papel,

la estructura interna

de los pedacitos

de papel son

exactamente igual al

original.

La madera pierde

sus propiedades

químicas por acción

de la combustión.

El efecto que

produce un

ácido sobre un

metal, hace que

ambos pierdansus propiedades

químicas iniciales.

b) Fenómeno qumico.

Son los cambios que presentan las sustancias cuando, al reaccionar unas con otras, pierden sus característicasoriginales y dan lugar a otra sustancia, con propiedades diferentes.

Oxidación del Fierro

DURANTE EL PROCESO DE

FOTOSÍNTESIS

FENÓMENO

a) La hoja toma CO2 del aire, tam-

bién llega el H2O tomada del sue-

lo por la raíz).FÍSICO

b) El agua se transforma en Hidróge-no y Oxígeno. QUÍMICO

c) El Oxígeno se desprende de la

planta y vuelve a la atmósfera. FÍSICO

d) El Hidrógeno reacciona con elDióxido de carbono para formar

Almidón.QUÍMICO

EN LA COMBUSTIÓN

DE LA GASOLINA

FENÓMENO

a) Se inyecta gasolina en un car-burador FÍSICO

b) Se mezcla con aireFÍSICO

c) La mezcla se convierte en vapor FÍSICO

d) Se quema (los productos de la

combustión). QUÍMICO

e) Se expande en el cilindro.FÍSICO

Para un óptimo estudio, ésta se divide en:

6.1. FÍSICA CLÁSICA.

Se encarga del estudio de aquellos fenómenos que ocurren a una velocidad relativamente pequeña comparada conla velocidad de la luz en el vacío.El tamaño de los elementos en estudio no es inferior al de un átomo.



Ciencia yFísica

Física

19

c) Calor y termodinámica. d) Acústica. e) Electricidad.

a) Mecánica de los sólidos.

Cinemática Estática Dinámica

b) Mecánica de los fluidos.

f) Magnetismo. g) Electromagnetismo. h) Óptica.

6.2. FÍSICA MODERNA . FÍSICA MODERNA.Estudia los fenómenos que se producen a la velocidad de la luz o valores cercanos a ella. El tamaño de los elemen-tos en estudio, son generalmente inferiores al de un átomo. Su desarrollo se llevó a cabo desde inicios del siglo XX.

a) Relatividad. b) Mecánica cuántica. c) Física de partículas.

2 000

20

0 x(m)

y(m)vx(m/s)

45°A

B

y

y x

FxPx

Py

P

Po P

A h

B A 1

hEstática de

los fluidos

Dinámica de

los fluidos



Ciencia yFísica


20

Unidad

Magnitudes Físicas

Conoceré los diversos tipos de magnitudes físicas con sus respectivo

sistema de unidades.

Utlizaré números extremadamente grandes y pequeños haciendo uso

de la notación exponencial.

Aprenderé a convertir unidades dentro de una misma magnitud.

Conoceré las reglas generales en el redondeo de cifras y el concepto

de cifras significativas.

Aprenderé el concepto y aplicación del análisis dimensional.

Ingresaré al mundo de las probabilidades matemáticas.

¿ Para qué sirven la magnitudes físicas?Sirven para traducir en números los resultados de las observaciones; así el lenguaje que se utiliza en la Físicaserá claro, preciso y terminante.



Ciencia yFísica

Física

21


Medir la distancia entre dos puntos ubicados en la hoja de unpapel, es tarea muy simple, sin embargo realizar la mismaoperación en el campo, hasta hace algunos años era unalabor muy tediosa; hoy en día con el uso de la estación total,podemos medir la distancia entre dos puntos muy lejanos enfracciones de segundo, gracias al uso de ondas electromag-néticas.

Según el Servicio Nacional de Meteorología e hidrología del Perú SENAMHI, el índice derayos ultravioletas se clasifica según la siguiente tabla :

En nuetro país, es común contar con valores de UV-B en el orden de 13, 14 y 15; por talrazón debemos tomar las medidas pertinentes en aras de evitar el cáncer a nuestra piel.


NIVEL DE RIESGO

MÍNIMO

BAJO

MODERADO

ALTO

MUY ALTO

EXTREMADAMENTE ALTO

INDICE UV - B

1 - 2

3 - 5

6 - 8

9 - 11

12 - 14

> 14



MagnitudesFísicas


22

En nuestro universo, sabemos por propia experiencia que hay cosas que se pueden comparar entre si y otras no. Porejemplo, podemos comparar la altura de un árbol con la de un edificio, en cambio no podemos comparar el amorque sentimos por nuestra madre con el que sentimos por nuestros hijos. Por esto, todo aquello que sea susceptiblede aceptar una comparación con otra de su misma especie, es una magnitud. Así entonces, la longitud, la masa, eltiempo, etc. son magnitudes.¿Para qué sirven las magnitudes físicas?. Sirven para traducir en números los resultados de las observaciones; asíel lenguaje que se utiliza en la Física será claro, preciso y terminante.

1.1. POR SU ORIGEN.

MAGNITUDES FÍSICAS

MAGNITUDES FUNDAMENTALES MAGNITUDES DERIVADAS MAGNITUDES SUPLEMENTARIAS

Son aquellas que sirven de base para

escribir las demás magnitudes. Lasmagnitudes fundamentales son: Longitud (L) Masa (M) Tiempo (T) Intensidad de corriente eléctrica (I) Temperatura termodinámica ()

Intensidad luminosa (J) Cantidad de sustancia()

Son aquellas magnitudes queestán expresadas en función de lasmagnitudes fundamentales; ejemplo: Velocidad Aceleración Fuerza Trabajo Superficie

Densidad Presión Potencia

(Son dos), realmente no son magnitudesfundamentales ni derivadas; sin embar-go se les considera como magnitudesfundamentales: Ángulo plano (

Ángulo sólido ( )

NOTA: En mecánica, tres magnitudes fundamentales son suficientes: la Longitud, la Masa y el Tiempo.

VOLUMEN TEMPERATURA TIEMPO

Como se verá en todos estos casos, sólo se necesita el valor numérico y su respectiva unidad para que la magnitud quede perfectamente determinada.

Sólo necesito

100 mm3 y

estará terminado

Tengo fiebre de

40° C ¡Que fatal!

Son las 12:15 P. M

¡Ya es tarde!

a) Magnitudes Escalares.

Son aquellas magnitudes que están perfectamente determinadas con sólo conocer su valor numérico y surespectiva unidad. Ejemplos:

1.2. POR SU NATURALEZA.



MagnitudesFísicas

Física

23

1 litro1 galón 1 m

3

1 m1 m

1 m

FUERZA

Sabemos que la fuerza que se está aplicando al bloque es de

5 newton; pero de no ser por la flecha (vector) que nos indica que la

fuerza es vertical y hacia arriba; realmente no tendríamos idea si se

aplica hacia arriba o hacia abajo. La fuerza es una magnitud vectorial.

DESPLAZAMIENTO

El desplazamiento indica que mide 6 km y tiene una orientación N 60° E (tiene

dirección y sentido) con lo cual es fácil llegar del punto “o” a la casa.

60°N

S

W

E

1 km

O

2 km3 km

4 km5 km

6 km

¿A qué llamamos Unidad de Medida?

Llamamos así a aquella cantidad elegida comopatrón de comparación. Una misma magnitudpuede tener varias unidades de medida. Así por

ejemplo: si queremos cuantificar el volumen deagua; podemos expresarlo en términos de númerode litros, galones, metros cúbicos, etc.

2. SISTEMA DE UNIDADES

2.1 SISTEMA DE UNIDADES

El hombre siempre se ha visto en la necesidad de realizar mediciones y por ese motivo comenzó a crear diversasunidades de medida, pero sucede que año tras año se han creado tantas unidades que no hicieron más que causarel caos y confusión. Esto obligó a contar con una medida universal basada en un fenómeno físico natural e invariable.El Sistema Internacional de Unidades (S.I.) es importante porque agiliza, facilita y simplifica el intercambio comercial,técnico y científico internacional. Está conformadopor dos rubros importantes que son: Unidades del Sistema Internacional. Múltiplos y submúltiplos decimales de las

unidades del Sistema Internacional (NotaciónExponencial).

A partir del 14 de Octubre de 1960, la 1era. Con-ferencia General de Pesas y Medidas (OrganizaciónInternacional reunida en Paris-Francia) da a conoceroficialmente un sistema de unidades.

1 pulgada

1 pie

1 yarda

ORIGEN DEL SISTEMA DE UNIDADES

b) Magnitudes Vectoriales.

Son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y unidad, se necesita la dirección y sentidopara que dicha magnitud quede perfectamente determinada. Ejemplos:

La elección de alguna parte del cuerpo humano como unidad de

medida, data de hace muchos años atrs.



MagnitudesFísicas


24

b) Unidades Suplementarias.

Son las unidades correspondientes a las magnitudessuplementarias, sin embargo se les considera comounidades de base.

a) Unidades de Base.

Son las unidades respectivas de las magnitudes fundamentales.

MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO PATRÓN PRIMARIO

Longitud metro mBasado en la longitud de onda de la luz emitida por la lámpara de

criptn especial.

Masa kilogramo kgUn cilindro de aleacin de platino que se conserva en el laboratorio

Nacional de Patrones en Francia.

Tiempo segundo sBasado en la frecuencia de la radiacin de un oscilador de cesio

especial.

Intensidad de

corriente eléctricaampere A

Con base en la fuerza magnética entre dos alambres que

transportan la misma corriente.

Temperatura

Termodinámica

kelvin K Definido por la temperatura a la que hierve el agua y se congela

simultáneamente si la presin es adecuada.

Intensidad

Luminosacandela cd

Basada en la radiacin de una muestra de platino fundido

preparada especialmente.

Cantidad de

Sustanciamol mol Con base en las propiedades del carbono 12.

MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO

Ángulo Plano radián rad Ángulo Sólido estereoradián sr

MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO

Fuerza newton N

Superficie (Área) metro cuadrado m2

Velocidad metro por segundo m/s Volumen metro cúbico m3

Trabajo joule J

Presión pascal Pa

Potencia watt W

Prefijo Símbolo Factor de Multiplicación

deca D 101

hecto H 102

kilo k 103

mega M 106

giga G 109


tera T 1012

peta P 1015

exa E 1018

zeta Z 1021

yota Y 1024

c) Unidades Derivadas.

Son las unidades correspondientes a las magnitu-des derivadas. A continuación sólo se presentaránalgunas de ellas.

En la física, es muy frecuente usar números muy grandes, pero también números muy pequeños; para su simplifi-cación se hace uso de los múltiplos y submúltiplos.

3.1. MÚLTIPLOS.

UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL



MagnitudesFísicas

Física

3.2. SUBMÚLTIPLOS

3.3. REGLAS GENERALES

a) Cada unidad SI debe ser escrito por sus nombrescompletos o por su símbolo correspondiente reco-nocido internacionalmente.

b) Después de cada símbolo, múltiplo o submúltiplodecimal no debe colocarse punto.

c) Los respectivos nombres de las unidades serán

escritos con letra inicial minúscula, aunque corres-pondan a nombres propios (con excepción de losgrados Celsius).

Ejemplo Correcto Incorrecto

metro m mt, ms, mts, M

gramo g gr, grs, gs, G

litro l ó L lt, Lt, lts, Lts


Plural moles Mol

Singular metro metros

Plural newtons newton


20 metros 20 m 20m

4 kilogramos 4 kg 4kg


kilogramo kg Kg.

metro m m.

centímetro cm cm.


Nombre propio newton Newton

Nombre propio pascal Pascal

Nombre propio segundo Segundo


deci d 10-1

centi c 10-2

mili m 10-3

micro 10-6

nano n 10-9

pico p 10-12

femto f 10-15

atto a 10-18

zepto z 10-21

yocto y 10-24

d) El símbolo de cada unidad debe escribirse con letraminúscula con excepción de aquellas que derivande un nombre propio.

e) Al escribir y pronunciar el plural de las unidadesde medida, múltiplos y submúltiplos, se deberánaplicar las reglas de la gramática castellana.

f) Los símbolos de las unidades, múltiplos y submúl-tiplos del SI no admiten plural.

g) Los símbolos se escriben a la derecha de los valoresnuméricos separados por un espacio en blanco.

a) El producto de diversas unidades de medida seindicará mediante un punto. Este punto puedeomitirse si no existe riesgo de confusión, pero acambio se dejará un espacio.

Ejemplo:

ampere segundo A.s ó A s

newton metro N.m ó N m


ampere A a

segundo s S

weber Wb wb


Singular 1 mol 1 moles

Singular 0,44 g 0,44 gs

Plural 532 m 532 ms

Plural -38,3 A -38,3 As



MagnitudesFísicas


26

b) Si el símbolo de una unidad derivada SI no tienenombre ni símbolo especial, entonces se deberáformar mediante multiplicaciones y/o divisionesde las unidades SI.

Ejemplo:

Velocidad m/s

Momento de inercia m2 . kg

c) En la multiplicación de las diversas unidades demedida, se recomienda usar el siguiente orden:

x = ma . kgb . sc . Ad . K e . cdf . molg . radh . sri

Donde “x” es símbolo de la unidad derivada quetiene nombre especial; a, b, c..., son exponentesreales y enteros, positivos o negativos.

Ejemplo:

pascal Pa = m-1 . kg . s2

Daremos a conocer especialmente las equivalencias entrelas unidades importantes que utilizaremos en nuestroestudio.

a) Longitud.

1 milla terrestre = 1 609 m1 milla marítima = 1 852 m

1 km = 103 m = 105 cm

1 m = 102 cm = 103 mm

1 yd = 3 pies = 91,44 cm

1 pie = 12 pulg = 30,48 cm

1 pulg = 2,54 cm

1 Å = 10-8 cm = 10-10 m

1 vara = 83,6 cm

1 fermi = 10-15 m = 1 fm

1 spot = 1012 m1 UA = 149 597, 870 x 106 m

1 ly = 9,460 55 x 1015 m (*)

(*) ly = 1 año luz = longitud recorrida a la velocidad de

la luz en un año.

b) Masa.

b) Volumen.

c) Presión.

d) Energía.

1 kg = 103 g = 2,2 lb

1 lb = 543,6 g = 16 onz

1 t = 103 kg = 1 Mg1 onz = 28,35 g

1 quilate = 2.10-4 kg

1 ton USA = 2 000 lb

1 dracma = 3 escrúpulos

1 arroba = 25 libras

1 y = 10-9 kg

1 ton UK = 2 240 lb

1 galón inglés = 4,546 L1 galón Perú = 4 L (doméstico)

1 galón USA = 3,785 L = 4 cuartos

1 pie3 = 28,32 L = 7,48 galón USA

1 barril = 42 L

1 cuarto = 2 pintas

1 m3 = 103 L = 1 stereo (st)

1 L = 103 mL = 103 cm3 = 1 dm3

1 atm = 1 101 325 Pa

1 bar = 105 Pa = 750 torr

1 atm = 760 mmHg = 760 torr

1 atm = 14,7 lb/pulg2 = 14,7 PSI

1 atm = 1 033 gf/cm2 = 1,033 kgf/cm2

1 mmHg = 133,322 39 Pa

1 pieza = 103 Pa

1 W.h = 3,6 x 103 J

1 e.V = 1,602 19 x 10-19 J

1 cal = 4,186 8 J

1 erg = 100 nJ = 10-7 J

1 BTU = 252 cal

1 kcal = 3,97 BTU



Escribiendo en notación científica: F = 6 x 1012 – 4 x 1012 = 2 x 1012

F = 2 x 1012

Escribiendo cada término en notación científica:

Efectuar la operación y el resultado expresarlo en no-tación científica.

F = 6 000 000 000 000 – 4 000 000 000 000

Luego de efectuar, expresar el resultado en notacióncientífica.

E = 0,000 034 5 – 0, 000 019 5

Efectuar y expresar el resultado en notación científica.

Luego: E = 3,45 x 10-5 – 1,95 x 10-5

E= (3, 45 – 1,95) x 10-5

E = 1,50 x 10-5

Expresando los factores en potencias de 10.

C = (3 . 107 . 10-7 . 106)2 C = 9 . 1012

1

2

4

3

Problemas Resueltos

MagnitudesFísicas

Física

27

Consiste en realizar cambio de unidades dentro de una misma magnitud; en el presente libro utilizaremos el métododel factor unitario:

En primer lugar, sustituimos los factores unitarios por cocientes de igual valor.Cada cociente debe relacionar los símbolos deseados con los símbolos a cancelar (equivalencia).Finalmente se procede a la simplificación matemática, obteniéndose las unidades deseadas.

Escribiendo en notación científica:E = (4 x 105 ) (2 x 10-2)E = 4 x 2 x 105-2 = 8 x 103

E = 8 000

Efectuar:400 000 x 0,02

Ejemplo Resolución

Convertir:

E = 20 km a m

Equivalencia a usar: 1 km = 1 000 m

E = 20 km . 1

factorunitario

cocienteigual a launidad



MagnitudesFísicas


28

Expresando el número en potencia de 10.

0,000 065 cm = 65 10-6cm

Convertir 0, 000 065 cm a micrómetros.Pero 1cm = 10-2m

65 . 10-6cm = 65 . 10-6 (10-2m) = 65 . 10-2 . 10-6m

Pero 1 m = 10-6m = 1 micrómetro

65.10-2 . 10-6 m =65 . 10-2 (1 m)

Luego: 0, 000 065 cm = 0, 65 m

Resolver y dar el resultado en notación científica.

Resolver y expresar el resultado en notación científica.

Después de efectuar operaciones, dar la respuesta enterametros:

L = (2 700 000 – 300 000 – 400 000)2 m

Convertir 0, 000 000 022 kg a nanogramos.

Simplificando:

A = 6 . 1020

B = 45. 1021

Convirtiendo los números a potencias de 10:

Expresando cada término en potencias de 10:

Expresando cada término en potencias de 10:

L = (27 105 – 3 105 – 4 105)2 m L = [(27 – 3 – 4) 105 ]2 m

L = (20 105)2m

L = (2 106)2m = 22 106 x 2 m

L = 4 1012 m

Pero: 1 tera (T) = 1012

Luego: L = 4 Tm

Expresando el número en potencia de 10.

0, 000 000 002 kg = 22 10-9kg

Pero 1 kg = 103 g

22 10-9 kg = 22 . 10-9 (103 g) = 22 . 103 . 10-9g

Además:1 ng = 10-9g =1 nanogramo

Luego:22 . 103 . 10-9g = 22.103(1ng)

Finalmente:

0, 000 000 022 kg= 22 x 103ng

8

7

6

9



MagnitudesFísicas

Física

29

4. REDONDEO DE CIFRAS

El número 0,467 13Si representamos este valor en una recta numérica tendremos:

Si queremos utilizar solamente tres cifras para expresar el número 0, 467 13; notamos que éste se encuentra entre0,467 y 0,468; pero está mucho más cerca de 0,467 que de 0, 468.

Por lo tanto la aproximación por redondeo de 0, 467 13 es 0, 467 (con 3 decimales).

4.2 REDONDEO DE NÚMEROS DECIMALES ONDEO DE NÚMEROS DECIMALES

La representación decimal de una cantidad, se usa generalmente con un número pre-establecido de dígitos. Si lacantidad obtenida supera al número de dígitos permitido habrá que emplear un proceso especial que toma el nom-bre de redondeo.

Veamos el siguiente ejemplo:

a) Al escribir los valores numéricos, se separará la parte enteradel decimal mediante una coma. No debe utilizarse el puntopara separar enteros decimales.

b) Al escribir los valores numéricos deben ir separados en gruposde tres cifras dejando un espacio en blanco (un espacio demáquina). Los grupos serán contados a partir de la comadecimal, tanto hacia la derecha como hacia la izquierda.

Correcto Incorrecto

413,51 413.51

Correcto Incorrecto

245 623, 01 24563. 01

1 023 352, 003 214 1 023352, 003214

Analizando otro ejemplo:

El número 0,467 93Si representamos este valor en una recta numérica tendremos:

Si queremos utilizar tres cifras decimales para expresar el número 0,467 93; vemos que este número seencuentra entre 0,467 y 0,468; pero está mucho más cerca de 0,468.

Por lo tanto la aproximación por redondeo de 0, 467 93 es 0, 468 (con 3 decimales).

4.1 REGLAS GENERALES



MagnitudesFísicas


30

En realidad existen reglas que se emplean en el redondeode números decimales una vez decidido la cantidad decifras a usar; éstas son:

Si el dígito que se quiere omitir es menor que 5; éstase elimina y el dígito a redondear se mantiene igual.Ejemplos:

Si el dígito que se quiere omitir es mayor que 5; éstase elimina y el dígito a redondear se incrementa enuno.Ejemplos:

Si el dígito que se quiere omitir es 5 (en el Perú,según el Instituto Nacional de Defensa de la Compe-tencia y de la Protección de la Propiedad Intelectual- INDECOPI); ésta se elimina y el dígito a redondearse incrementa en uno.Ejemplos:

Ejemplos:

Si los dos primeros dígitos a eliminar son mayoresde 50, el dígito a redondear se incrementa en uno.

Ejemplos:

Si los dos primeros dígitos a eliminar son 50 (en elPerú, según el Instituto Nacional de Defensa de laCompetencia y de la Protección de la PropiedadIntelectual-INDECOPI). El dígito a redondear seincrementa en uno.

Ejemplos:

En el caso de tener que eliminar varios dígitos, serecomienda seguir los siguientes pasos (caso general):

Si los dos primeros dígitos a eliminar son menores

de 50, el dígito a redondear se mantiene igual.

Número Original Número Redondeado

5, 6

16, 73

175, 6

0, 22


0,62

7,4

26,327

121,46


0,63

7,5

26,328

121,47


0,43

9,8

42,269

248,047 6


5, 7

16, 74

175, 7

0, 23


1,8

0,3

14,64

132,643

4.3. REDONDEO DE NÚMEROS ENTEROS OPara redondear un número entero se siguen los mismos pasos que en el caso general de números decimales, tansólo hay que añadirle un último paso:Se cambian a cero todos los dígitos que están a la derecha del lugar que se quiere redondear.Ejemplos:


900

26 700

3 230

400 000

5,6 3

16,73 2

175,6 4

0,22 1

5,6 6

16,73 7

175,6 8

0,22 9

1,7 5

0,2 5

14,63 5

132,642 5

0,625 3 26

0,624 3 26

7,47 6 2

7,41 6 2

26,327 8 4 2 3

26,327 3 4 2 3

121,469 2

0,425 0 1

9,75 0 3

42,268 5 0

248,047 55 0 42

86 5

26 74 6

3 227

42 6 230

121,462 2



MagnitudesFísicas

Física

31

Cuando un observador realiza una medición, nota siempre que el instrumento de medición posee una graduación

mínima:Ilustración

Al medir el largo del libro, se observa que su medida es tá entre

33 y 34 cm.

En nuestro ejemplo de la regla:

La mínima graduación marcada en la escala es 1 cm. El error estimado es la mitad de 1 cm, igual

±0,5 cm.

La medida del libro es:

(33 + 0,5) cm = 33,5 cm

ó (34 - 0,5) cm = 33,5 cm

Se deduce que el número de cifras significativas

es tres:

0 10 20 30 40 50 60 70 80 80 90 100

centmetros

Se podrá afirmar entonces, que el largo del libro mide 33 centímetros más una fracción estimada o determinada “alojo”, así por ejemplo, nosotros podemos estimar: L= 33,5 cm (tres cifras importantes ó significativas).

Las cifras significativas de un valor medido, están determinadas por todos los dígitos que pueden leerse directamenteen la escala del instrumento de medición más un dígito estimado (error).Dicho en otras palabras: son cifras significativas aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posicióndel error. El error del instrumento se puede estimar como la mitad de la mínima graduación marcada en la escala.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 80 90 100

centmetros

30

31 32 33 3435

36

1. Si la medida de una longitud arroja un valor de7 246, 264 3 m con un error de 0,7 m; ¿es correctola lectura?.

Respuesta:

No es correcto.

Las cifras del número que ocupan una posiciónmenor que las décimas (en este caso) no aportanninguna información; no tiene sentido dar el nú-mero con precisión de diez milésimas si afirmamosque el error es de casi 1 metro.

La regla graduada tiene como graduación mínima el centímetro.

Cifras que ocupan posición

menor que las décimas

Décima



MagnitudesFísicas


32

La medida con sus cifras significativas será:

7 246, 3 m

Nótese la aplicación del uso de redondeo de cifras.

2. Si en el siguiente número: 4 546,8 m todas suscifras son significativas, estime su error.

Respuesta:

Si todas las cifras son significativas, deducimosque la última cifra ha sido estimada al ojo y quela graduación mínima del instrumento es al metro.

Por tanto el error estimado será la mitad delmetro: 0,5 m.

3. El resultado de la medición de una temperaturase expresa así.

T = (827, 486 ± 0,3) K

¿Es correcto?

Respuesta:

No es correcto, puesto que las dos últimas cifras(86) no tienen significado alguno, al ocupar unaposición menor que el error.

La forma correcta es: T = (827,5 ± 0,3) K

4. Expresar el número 235 846 con dos cifrassignificativas; explique:

Respuesta:

El número 235 846 con dos cifras significativases: 240 000

Las cifras más significativas son las que más a laizquierda se encuentran; dado que en el presente

caso nos piden tan sólo dos cifras, tomaremos losdos primeros dígitos previo redondeo de cifras.

Por otro lado, la única función de los ceros esexpresar correctamente el orden de los millares.

Convencionalmente se suele expresar los números

de esta naturaleza, en notación científica:producto de un número que puede ser decimalmayor que 1 (incluido) y menor que 10 (excluido)por una potencia de 10.En nuestro caso: 2,4 x 105

Se ha establecido que el factor numérico indica elnúmero de cifras significativas que en este caso esdos.

5. Expresar el número 235 846 con tres cifrassignificativas.

Respuesta:

No olvidar que las cifras de mayor significado se

encuentran a la izquierda, en consecuencia elnúmero será: 236 000.

En términos de notación exponencial;

2, 36 x 105

6. ¿Cuántas cifras significativas tiene el número26 000?.

Respuesta:

En realidad no se sabe, pues hace falta otrainformación: la graduación mínima delinstrumento de medición.

Para dicho efecto se hace uso convencionalmente

de la notación exponencial, donde el factornumérico nos precisa el número de cifrassignificativas; por ejemplo:

2,6 x 104 (dos cifras significativas)2,60 x 104 (tres cifras significativas)2,600 x 104 (cuatro cifras significativas)

7. ¿Cuántas cifras significativas tiene el número2,76 x 108?.

Respuesta:

Tiene tres cifras significativas: 2,76. No olvidarque convencionalmente el factor numérico nos

indica el número de cifras significativas.



33

MagnitudesFísicas

Física

1. Los ceros ubicados a la izquierda no sonsignificativos.

Ejemplo 1:

El número 0 236

Solo tiene 3 cifras significativas (236), el cero porestar ubicado a la izquierda no tiene significadoalguno.

Ejemplo 2:

El número 0,47 Sólo tiene 2 cifras significativas (47), el cero

solamente sirve para establecer la posición dela coma decimal.Es preciso resaltar que la notación exponencialse extiende también a números menores que 1.

En nuestro caso: 4,7 x 10-1

2. Para contar las cifras significativas, se parte delprimer dígito distinto de cero (el que se halle mása la izquierda) y se cuentan todos los dígitos a partirde éste.

Ejemplo 1:

El número 2 436

Tiene cuatro cifras significativas.El mássignificativo es el dígito 2 por encontrarse mása la izquierda. El menos significativo es el dígito6 por encontrarse más a la derecha.

Ejemplo 2:

El número 63,271Tiene cinco cifras significativas.

3. Los ceros a la derecha de la coma decimal si sonsignificativos.

Estos ceros deben escribirse si y solamente si son

una parte verdadera de la medición.Ejemplo 1:

Si se mide una longitud y el resultado arroja:26,0 m.Significa que la cinta métrica tiene como mínimagraduación 1 metro y su error estimado de0,5 metros.

Ejemplo 2:Si se mide una longitud y el resultado arroja:26,00 m; significa que la cinta métrica tienecomo mínima graduación el decímetro y su errorestimado de 0,05 metros.

Ejemplo 3:

Si se mide una longitud y el resultado arroja:26,000 m; significa que la cinta métrica tienecomo mínima graduación el centímetro y su errorestimado de 0,005 metros.

4. Cuando un número entero tiene varios ceros a laderecha.El número de cifras significativas se determinatransformando el número a notación exponencial.El factor numérico (entre 1 y 10) nos indicaráconvencionalmente el número de cifras significativas,incluso si tiene ceros a la derecha.

Ejemplo 1:

El número 23 000 Si el número de cifras significativas es dos: se

expresará: 2,3 x 104. Si el número de cifras significativas es tres: se

expresará: 2,30 x 104.

Ejemplo 2:

El número 146 000 000 000 Si el número de cifras significativas es tres: se

expresará: 1,46 x 1011.

O



34

MagnitudesFísicas


Las cifras no significativas aparecen como consecuencia de cálculos matemáticos.

a) En la Suma y Resta.- Se recomienda seguir los siguientes pasos:

Se alinean los números de acuerdo a la coma decimal.

Se realiza la suma o resta.

Se redondea el resultado final hasta quedarse con la precisión igual al que tiene menos cifras significativasdespués de la coma decimal.

b) En la Multiplicación y División.- Se recomienda seguir los siguientes pasos:

Se realiza la operación matemática.

Se redondea el resultado final hasta quedarse con el número de cifras significativas del factor menos preciso.

Cuando se realicen operaciones combinadas, es conveniente que losresultados intermedios se guarden con todas sus cifras, reservando el

redondeo tan solo para el resultado final.

Ejemplo 1 Resolución

Sumar2, 462 + 0, 131 23

El resultado final:


Restar1, 876 234 con 1, 634 1

El resultado final:


Efectuar

4,672 42 x 2,4

El resultado final:


Efectuar El resultado final:

2, 593

0, 242 1

11

54

O

NOTA:



Problemas Resueltos

MagnitudesFísicas

Física

Resolver y expresar el resultado con las cifras significa-tivas correspondientes:

E = 6,201 + 7,4 +0,68+ 12,02

Resolver y expresar el resultado con las cifras significa-tivas correspondientes.

E = 15,8 – 9,364

Resolver y expresar el resultado con las cifras significa-tivas correspondientes.

E = 1,31 4,2 7,356

Resolver y expresar la respuesta con las cifras significa-tivas correspondientes.

E = 64,387 84 13,6

El volumen de un cono está dado por la expresión:V = Ah/3, donde A es el área de la base = 0,306 m2 y hsu altura = 1,02 m. ¿Con cuántas cifras debe expresarseel volumen de este cono y cuál es su valor?

E = 64,387 84 13,6 = 4,734 4

1

2

3

4

Efectuando la operación:


Efectuando la operación.


Reemplazando los valores en la fórmula:

6,201 + 7,4 0,68 12,02 26,301

El sumando que tiene menos cifras significativas despuésde la coma decimal es 7,4.Por lo tanto el resultado final es: E = 26,3

15,800

9,364 6,436

El número que tiene menos cifras significativas despuésde la coma decimal es 15,8.

Por lo tanto el resultado final es: E = 6,4

E = 1,31 4,2 7,356 = 40, 472 712

El factor que posee menos cifras significativas es 4,2(dos cifras significativas).

Redondeando el resultado final a dos cifras signifi-

cativas: E = 40

El número que posee menos cifras significativas es13,6 (tres cifras significativas).

Redondeando el resultado final a tres cifras signifi-cativas.

E = 4, 73

V = 0, 104 04

El factor que tiene menos cifras significativas es 1,02(tres cifras significativas)

Por lo tanto el volumen del cono debe expresarsecon tres cifras significativas.

El resultado final: V =0, 104 m3



MagnitudesFísicas


36

La distancia media del sol a la tierra es de 1,496 x 108 km yde la tierra a la luna de 3,84 x 105 km. Cuando estos tres

astros se encuentran alineados y la tierra en medio delos dos, calcular la distancia del sol a la luna.

Se tiene 22,5 bolsas de 246 048,642 g de sal cada una.Determinar el total de sal estimado en todas las bolsas.

Expresar el resultado final con las cifras significativascorrespondientes.

Expresar el resultado final con las cifras significativascorrespondientes:

(0,036 x 2,76 x 1,04) + 10,732 6 – 10,524 623

6

7

8

9

Al estar alineados los tres astros, la distancia entreel sol y la luna será:

D = 1,496 . 108 km + 3,84 . 105 km

Convirtiendo a potencia 10:

D = 1, 496. 10

8

km + 0, 003 84 x 10

8

km D = 1, 499 84 . 108 km

Comparando los sumandos; el número de menorcantidad de cifras significativas después de la comadecimal es: 1,496 x 108

Luego: D = 1, 500 . 108 km

Total sal = 5 536 094,45

Redondeando: total sal = 5 540 000 g

Total sal = 5,54 x 105 g

(El resultado final contiene 3

cifras significativas)

Total sal =

77,174 944 (El resultado contiene 4


60,874 944(El resultado contiene 1

cifra significativa des-

pués de la coma decimal)

(El resultado contiene 2






(El resultado contiene

0 cifras significativas

después de la coma

decimal)

Redondeando, el resultado final:

28

0,103 334 4

10,835 934 4



después de la coma

decimal)

0,311 311 4



después de la coma

decimal)

Redondeando, el resultado final:

0,31



MagnitudesFísicas

Física

37

Toda unidad física, está asociada con una dimensión física; así, el metro es una medida de la dimensión “longitud” (L),el kilogramo lo es de la “masa” (M), el segundo pertenece a la dimensión del “tiempo”(T). Sin embargo, existenotras unidades, como el m/s que es unidad de la velocidad que puede expresarse como la combinación de las antesmencionadas.

Así también, la aceleración, la fuerza, la potencia, etc., pueden expresarse en términos de las dimensiones (L), (M),y/o (T).

El análisis de las Dimensiones en una ecuación, muchas veces nos muestra la veracidad o la falsedad de nuestroproceso de operación; esto es fácil de demostrar dado que el signo “=” de una ecuación indica que los miembrosque los separa deben de tener las mismas dimensiones.En la aplicación del Método Científico, ya sea para la formulación de una hipótesis, o en la experimentación tambiénes recomendable usar el Análisis Dimensional.

Fines del análisis dimensional

El análisis dimensional sirve para expresar las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales. Sirven para comprobar la veracidad de las fórmulas físicas, haciendo uso del principio de homogeneidad

dimensional. Sirven para deducir las fórmulas a partir de datos experimentales.

6.1. ECUACIONES DIMENSIONALESSon expresiones matemáticas que colocan a las magnitudes derivadas en función de las fundamentales; utilizandopara ello las reglas básicas del álgebra, menos las de suma y resta.Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicas porque sólo operan en las magnitudes.

Analizando las ecuaciones dimensionales de algunas magnitudes.

Estudia la forma como se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales.

6. ANÁLISIS DIMENSIONAL

A : se lee letra “ A ”

[A] : se lee ecuación dimensional de A

Velocidad ( ) Resolución

Ecuación dimensional de v:

Aceleración (a) Resolución

Ecuación dimensional de a:



MagnitudesFísicas


38

6.2 PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD.

Si una expresión es correcta en una fórmula, todos sus miembros deben ser dimensionalmente homogéneos. Así:

Los números, los ángulos, los logaritmos y las funciones trigonométricas,no tienen dimensiones, pero para efectos del cálculo se asume que es

la unidad.

Por lo tanto se tendrá: [E] = [A] = [B] = [C] = [D]

Fuerza (F) Resolución

Ecuación dimensional de F:

Trabajo (W) Resolución

Ecuación dimensional de W:

Potencia (P) Resolución

Ecuación dimensional de P:

Área (A) Resolución

Ecuación dimensional de A:

Presión (P) Resolución

Ecuación dimensional de P:



Problemas Resueltos

MagnitudesFísicas

Física

39

En la siguiente ecuación, hallar [x], sabiendo que: a: aceleración v: volumen t: tiempo

En la siguiente ecuación, determine [B], sabiendo que“C” es adimensional: D: densidad E : energía cinética F : fuerza

En la siguiente ecuación. ¿Qué magnitud puede re-presentar y?, se sabe que P es presión, A es área y mes masa.

Según la ley de gravitación universal, enunciada porNewton, la fuerza de atracción entre dos partículasde masas m1 y m2 separadas por una distancia “r” es:

Calcular [G].

1

2

3

4

Analizando cada elemento:




[a] = LT-2

[v] = L3

[t] = T Luego tendremos:

[x] =L-2 .T- 1

[C] = 1

[D] =ML

-3

[E] = L2 M T -2

[F] = M L T -2

Luego tendremos:

[B] = M.L-2

[A] = L2 .......................área [m] = M ......................masa

[Sen ] = 1 .................número Luego tendremos.

Sabemos que la ecuación dimensional de la acele-

ración es LT -2, por lo tanto “y” puede representara la aceleración.

[] = 1 ........................constante matemática. [P] = M L-1 T -2 ............presión

[F] = M L T -2

[m1] = [m

2] = M

[r] = L Luego tendremos:

[G] = M-1 L3 T-2

v



MagnitudesFísicas


40

Se muestra una ecuación homogénea en donde B y Cson magnitudes desconocidas, D es densidad; hállese

[S]. A = B + CS . D sen

Si la ecuación dada es dimensionalmente correcta,donde S: área, a: aceleración y v: velocidad.Hallar la ecuación dimensional de y.

Determine las dimensiones que deben tener A y B en

la siguiente ecuación homogénea.V: volumenP: pesoM: masaa: aceleración

Hallar la dimensión de “” y “” en la siguiente fórmula

V = . A + . D

Donde V: volumen; A : área ; D : densidad.

6

7

8

Luego tendremos:

[S] [D] [sen ] = 1 [S] (M L-3) (1) = 1

[S] = M-1 L3

Todo exponente es un número y por tanto suecuación dimensional es la unidad

Dado que , pertenece al operador logaritmo,deducimos que su magnitud es adimensional (nú-mero):

Analizando la expresión general. [] = 1 [S] = L2

[X] = T

1[y] = L2 . T . 1

[y] = L2 . T

10 VP = mA + aB

Por el principio de homogeneidad:

Aplicando el principio de homogeneidad.

[V] =[] [A] = [] [D]

Igualando el 1° y 2° término

[10] [v] [P] = [m] [A]

(1) (L3) (M LT -2) = M . [A] [A] = L4.T -2

Igualando el 1° y 3° término.

[10] [v] [P] = [a] [B]

(1) (L3) (MLT -2) = (LT -2) [B]

[B] = M . L3

Determinando []: [V] = [] [A]

L3 = []L2 [] = L

Determinando []:

[V] = [] [D]

L3 = [] ML-3 [] = M-1 L+6



MagnitudesFísicas

Física

41

Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogé-nea, determinar la ecuación dimensional de “x” e “y”.

Ax + By = C

Siendo A: fuerza; B: trabajo; C: densidad

Si la siguiente expresión es dimensionalmente homo-génea:

P = q z Ry Sx

Donde:P: presión ; q: fuerza ; R: volumen ; S: longitudHallar: x – 3y

Hallar la ecuación dimensional de “f” en la siguienteecuación: L: longitud F: fuerza

Un estudiante desea calcular experimentalmente laaceleración de la gravedad. El equipo con el cual trabajóle permitió, hallar la siguiente ecuación:

9

10

1

2

Si la expresión es dimensionalmente homogénea,entonces:

[A] = MLT-2

[B] = ML2T -2

[C] = ML-3

[P] = ML-1T -2

[q] = MLT -2

[R] = L3

[S] =L

Ax + By = C [A][x] = [B][y] = [C] Con lo cual se tiene: [A] [x] = [C] MLT -2[X] = ML-3

[x] = L-4 T 2

[B][y]= [C] ML2T -2[Y] = ML-3

P = q z R-y Sx

[P] = [q] z [R]-y [S]x

ML-1T -2 = (MLT -2) z (L3)-y (L)x

ML-1T-2 = M zL z-3y+xT-2z

M1 = M z z = 1

L-1 = L z-3y + x -1 = z – 3y+ x -1 = 1 – 3y + x Nos piden x – 3y

x – 3y = -2

Reemplazando:

[ f ]= T 1

g : aceleración de la gravedadL y P: longitudesT: período¿Qué dimensiones tiene a?


2



MagnitudesFísicas


42

[4 2] = 1 [ L - P] = L [ cos ] = 1

[ g ] = LT -2

Sustituyendo dimensionalmente.

[a] = L2

3

4

6

¿Qué dimensiones debe poseer la constante “K” en lasiguiente expresión para hacer correcta la ecuación:

E = mv2 + mgh + Fd2 k

Donde:E : energíam: masag: aceleración

¿Qué dimensiones tiene en la siguiente ecuación?

Donde:

Ex: deformación por unidad de longitud

E: módulo de elasticidad =

x : esfuerzo en x =

y y z análogos a x

En la siguiente ecuación, encontrar las dimensiones de P:

mgx = pv1 x1 + pv2 x2 + . . . . . . + pvnxn

Donde: x1; x2; . . . . . ; xn: distancias m: masa g: aceleración v1; v2; ......... vn : volumen

Determinar las dimensiones de “” en la siguienteecuación:

Donde:V: velocidad A; a : áreasP; P1 : densidadg: aceleración

v: velocidadh, d: distanciasF: fuerza

Según el principio de homogeneidad, cada su-mando debe tener la misma dimensión; luegodimensionalmente:

[mgh] = [Fd2K] [m] [g] [h] = [F] [d]2[K] M. LT-2 . L = MLT-2 . L2[K]

[K] = L-1

Operando la expresión inicial.

Contemplando el principio de homogeneidad:

Tener presente: [ x] = [ y]

Aplicando el principio de homogeneidad:

[mgx] = [pv1 x1]

[m] [g] [x] = [p] [v1] [x1]

M . LT-2. L = [p] . L3 . L

[p] = ML-2T -2

Tener presente: [P1 – P] = [P] = ML-3 y [A2 – a2] = [A]2 = L4

Reemplazando dimensionalmente:

Elevando al cuadrado ambos miembros

L -2 . T -2 = L -3 T -2 [] [] = L



MagnitudesFísicas

Física

43

7

8

9

10

Si el siguiente polinomio: (A + + C) es dimensional-mente correcto y además:

Hallar las dimensiones de C:

Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogé-

nea. Hallar “x – 2y”

Siendo: a: aceleración; v: velocidad; t: tiempo.

Para que la expresión sea dimensionalmente correcta:

Hallar las dimensiones de ; m = masa

Si la expresión es homogénea, determinar: [x]

En la expresión: ; Siendo:

m = metro; s = segundo.


Si:

Además:

[1] = [k]y - x

10 = [k]y - x y - x = 0Luego y = x

Por tanto: a = vt x (1 + ky - x) a = vt x (1 + k0) a = vt x (1 + 1) a = 2vt x

Dimensionalmente: [a] = [2][v][t]x LT - 2 = (1)(LT -1)(Tx) LT - 2 = LT -1Tx

LT - 2 = LTx-1

T - 2 = T x-1 x -1 = -2

Con lo cual: x = -1 y = -1 Nos piden: “x – 2y” x - 2y = -1 -2(-1) x – 2y = 1

Dado que las bases de los sumandos son números,se concluye que los exponentes también lo son:

[4my] = [1] [y] = M-1

[5] = [z]2 [z] = 1 x = número [x] = 1

A = 6 m/s

[A] = LT - 1

[B] = L3T -1

C = 20m2

[C] = [20][m]2 = 1. L2

[C] = L2


[x] = L-4T



MagnitudesFísicas


44

Una de las fórmulas del curso de resistencia de mate-riales es:

P: fuerza A : áreaS: presión = fuerza/área e: distanciac: distanciaHallar las dimensiones de K para ser dimensionalmentecorrecta.

Hallar el exponente al cual debe estar elevado el tiempo“t” para que la siguiente ecuación sea correcta:

e: espacio V: velocidada ; g: aceleración t: tiempo.

1

2

Analizando el denominador:

[K]2 = L . L . 1

[K] = L

Por el principio de homogeneidad.

T x = T 2

Finalmente. X = 2

La potencia de la hélice del motor de un avión está

en función de la densidad del aire (y), del radio de lahélice (R) y de la velocidad angular con que gira ().Hallar una fórmula para dicha potencia.

La potencia de un motor de avión se expresa mediantela siguiente ecuación:

Donde: Pot : potencia ; R: radio v: velocidad ; n y númerosHallar las dimensiones de a, b, c, a1 y b1.

Expresando el enunciado dimensionalmente: Pot= k . yx . Rs . z

Además: [pot] = ML 2 T -3 ; [y] = ML-3

[R] = L ; [] = T -1

3

4

Reemplazando:

ML2 T -3 = [K] (ML -3)x (L) s (T -1) z

ML2 T -3 = Mx L-3x+S T -z

De donde: M1 = Mx x = 1 T -3 = T –z

z = 3

L 2 = L -3x +S 2 = -3 (1) + s

S = 5 Finalmente:

Pot = K . Y . R 5 . 3

Dimensionalmente.

Analizando el denominador: [a1] = [b1] = 1

3



MagnitudesFísicas

Física

Reduciendo la expresión.

Luego:

Finalmente:

[a] = ML2 T -3

[b] = ML3

T-4

[c] = ML2 T -3

6

7

La ecuación v = A sen (Bt) + C . t sen30° es dimensional-mente homogéneo en donde:v: velocidad ; t: tiempo.

Determinar .

Se sabe que la altura máxima de alcance de un proyec-til depende de su velocidad inicial vertical (vo sen )y de la aceleración de gravedad (g). Hallar la fórmulacorrespondiente a la altura máxima, si la constante ex-perimental es K = .

La fuerza centrípeta que permite a un móvil desplazarsea lo largo de una circunferencia depende de la masa,de la velocidad y del radio. Asumiendo la constante

experimental igual a la unidad . Hallar la fórmula de lafuerza centrípeta.

Según la expresión.

V = A sen (Bt) + C . t 1/2

Por el principio de homogeneidad.

[v] = [A sen (Bt)] = [ct 1/2]

Según el enunciado:

Hmax = K (vo sen )x (g)y

Expresando el enunciado, dimensionalmente:

Fcp = K . mx . vy . R z

Reemplazando por sus respectivas ecuacionesdimensionales:

si [v] = [A sen (Bt)]

LT -1 = [A] (1) [A] = LT -1

Si [v] = [c . t 1/2]

LT -1 = [c] T ½ [c] = L T -3/2

Bt = ángulo. [B] . T = 1 [B] = T -1

Dimensionalmente: L = 1 (LT -1)x (L T -2)y

L1. T° = Lx+y . T( - x -2 y )

De donde: L1 = Lx+y x + y = 1 T° = T -x -2y

x +2y = 0 Resolviendo: x = 2; y = -1

Finalmente: K =

MLT -2 = Mx Ly+z T - y

De donde:

M1 = Mx x = 1

T - 2 = T - y y = 2 L1 = L y+z 1 = 2 + z Z = -1

Finalmente : dado que k = 1 (dato).

Fcp = 1. m1 . v2 . R -1



MagnitudesFísicas


46

Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogé-nea, determinar la ecuación dimensional “K”.

En la película de ciencia ficción, un pequeño científicoestudia la energía que proviene de una estrella y llega ala conclusión que ésta depende de la velocidad con quese mueve la estrella, la aceleración de la gravedad y de latemperatura que existe en su interior. Determinar si dichoresultado concuerda con los conocimientos energéticos.

Hallar las dimensiones de E:

Donde:m = metroHz = hertz = (1/período) J = joule

W = watts

8

9

10

Dimensionalmente:

De donde:

[M](x + y) = [M](6-2x) x + y = 6 – 2x

[L](z + x) = [T](6-2y) z + x = 6 - 2y [T](y + x) = [T] (6 – 2z)

y + x = 6 – 2z

Resolviendo:

Luego:

[K] = [M](6 – 2x) [L](6 – 2y) [T](6 -2z)

[K] = M3L3T3

v = velocidad ; = temperatura K = constante [E] = [K] [LT -2]x [LT -1]y[] z

[E] = L x +y . T - 2 x - y . z

Igualando las expresiones:

ML2T -2 = Lx+y . T - 2 x - y . z

M1L2T -2 0 = Lx+y . T -2x - 2y . z

Observamos que ambos miembros no son homogé-neos; luego:

E = K . gx . vy . z

No concuerda con los conocimientos energéticos.

Dimensionalmente:

= M -1L -1 T2

La ecuación dimensional de la energía es: [E] = ML2 T - 2

Los resultados obtenidos por el pequeño científicoson de la forma:

E = K . gx . vy . z ; g = aceleración de la gravedad



MagnitudesFísicas

Física

47

O

Todos los días una persona utiliza la actividad “medi-ción”; ya sea en nuestras actividades personales, comoestudiante o como trabajador.

Cuando estamos en el colegio, por ejemplo; al tomar laasistencia, estamos midiendo la cantidad de alumnos que

llegaron a clase; en este caso la unidad será “un alumno”.Cuando jugamos fútbol, el resultado final lo define la di-ferencia de goles a favor; la unidad patrón será “un gol”.En ocasiones cuando nos tomamos la temperatura, nosreferimos siempre respecto a una unidad patrón “1°C”.

Esto significa que toda medición quedará perfectamentedefinida cuando la magnitud al que nos referimos terminepor ser cuantificada respecto a la unidad patrón corres-pondiente. Ahora para realizar la medición, generalmentese hace uso de herramientas y/o equipos especiales asícomo también en algunos casos de los cálculos mate-máticos.

El resultado de la medición nos mostrará cuantitati-vamente el valor de la magnitud; y con ello podemossaber o predecir las consecuencias que conllevan dichoresultado. Así, si medimos la velocidad de un “atleta” yobtenemos como resultado “1 m/s”; sabremos entoncesque éste nunca será campeón en una competencia de100 metros planos; esto significa que gracias a la medi-ción (actividad cuantitativa) podremos saber o predecirlos resultados cualitativos.

Ejemplo ilustrativo

Medición, es el proceso por el cual se comparauna magnitud determinada con la unidadpatrón correspondiente.

9 veces un cuadrito,dicho de otra forma:

9 cuadritos.

Oa) Medición Directa.

Es aquella en la cual se obtiene la medida “exacta”mediante un proceso visual, a partir de una simplecomparación con la unidad patrón.

Ejemplo Ilustrativo:

Magnitud: Longitud

b) Medición Indirecta.

Es aquella medida que se obtiene mediante ciertosaparatos o cálculos matemáticos; dado que se haceimposible medirla mediante un proceso visualsimple.

Fórmula: Área = largo x ancho

A = (3 m)(2 m)

Se recurrió al uso de una fórmula matemática.

En la figura, es fácil entender que la longitud AB mide 3 veces

1 metro: 3 metros (medición directa).

Unidad patrón: 1 metro

A = 6 m2

Se quiere

medir el área

del rectángulo

1 metro 1 metro

3 metros

1 metro

A

B

Unidad Pa trón (un cuadrito)



MagnitudesFísicas


48

La medición es una actividad que lo ejecuta el hombreprovisto o no de un instrumento especializado para dichoefecto.En toda medición hay que admitir, que por más calibradoque se encuentre el instrumento a usar, siempre el resul-tado obtenido estará afectado de cierto error, ahora, enel supuesto de que existiendo un aparato perfecto cuyosresultados cifrados coincidieran matemáticamente con larealidad física, nunca llegaríamos a dicho valor, debido ala imposibilidad humana de apuntar al punto preciso ode leer exactamente una escala.

a) Valor Verdadero.

Es aquel valor que no tiene ninguna clase de errores.

No obstante es preciso anotar que el verdadero valorno se conoce ni se conocerá jamás.

b) Error.

Es la incerteza en la determinación del resultado deuna medición.

c) Exactitud.

Es el grado de aproximación a la verdad o gradode perfección a la que hay que procurar llegar. Uninstrumento inexacto nos entrega resultados sesgadoso desplazados.

d) Precisión.

Es el grado de perfección de los instrumentos y/oprocedimientos aplicados. La precisión de un ins-trumento está determinada por la mínima divisiónde la misma (sensibilidad); ejemplos:

Un cronómetro es más preciso que un reloj depared.

Una balanza de joyería es más preciso que unade camiones pesados.

La sensibilidad o precisión con que se fabrican losaparatos de medida dependen de los fines a los quese destina. No tendría sentido fabricar una balanzaque aprecie el miligramo para usarla como balanzade papas.

Ilustración: exactitud - precisión

Los valores medidos son: Los valores medidos son: Poco precisos Poco precisos

Poco exactos Más exactos

Los valores medidos son: Los valores medidos son: Muy precisos Muy precisos

Pocos exactos Muy exactos

8.1 CAUSAS DE ERRORES.

a) Naturales.

Son aquellos errores ocasionados por las variacionesmeteorológicas (lluvia, viento, temperatura, hume-dad, etc.).

b) Instrumentales.

Son aquellos que se presentan debido a la imperfec-ción de los instrumentos de medición.

Al medir la longitud entre dos puntos, en días calurosos, la cintamétrica se dilata debido a la fuerte temperatura, luego se cometeráun error de medicin.

Error

Medicin

Valor verdadero



L =

1 5 4

15 16

MagnitudesFísicas

Física

49

Las agujas de uncronómetro son sus-

ceptibles al retraso

o adelanto debido almecanismo del mismo

instrumento; luego se

cometerá un error de

medición.

c) Personales.

Son aquellos, ocasionados debido a las limitacionesde los sentidos humanos en las observaciones (vista,tacto, etc.).

8.2 CLASES DE ERRORES

a) Propios.

Son aquellos que provienen del descuido, torpezao distracción del observador, éstas no entran en elanálisis de la teoría de errores.

b) Sistemáticos.

Son aquellos que aparecen debido a una imperfec-ción de los aparatos utilizados, así como tambiéna la influencia de agentes externos como: viento,calor, humedad, etc. Estos errores afectarán nuestrosresultados siempre en un mismo sentido y obedecena una ley matemática o física, por lo cual es posiblesu corrección.

La vista de una perso-

na puede no permitir

observar correcta-

mente las agujas de

un reloj, se cometerá

entonces un error

personal en la medida

del tiempo.

Es posible que el ope-

rador lea en la cinta

métrica 15,40 m y

al anotar, escriba por

descuido L= 154 m;

éste es un error propio,

tan grave que no se

debe considerar en

los cálculos de Teoría

de Errores.

Supongamos que se quiere medir la longitud AB, peroal usar la cinta métrica, ésta se pandea como muestrala figura, la lectura que se toma en estas condicionesno será la verdadera, habrá que corregir.

L = L’ - correción

La corrección se determina mediante la siguiente fórmula:

Dónde: W, L y F son parámetros conocidos.

Esta clase de error no se tomaráen cuenta en este libro.

c) Accidentales o Fortuitos.

Son aquellos que se presentan debido a causas aje-nas a la pericia del observador, y al que no puedeaplicarse corrección alguna, estos errores afectan elresultado en ambos sentidos, y suelen obedecer alas leyes de las probabilidades.

Por tal motivo se recomienda tomar varias lecturasde una misma medición, pues generalmente éstassuelen ser diferentes.

Cuando medi-mos el largo deun libro, cadavez que se mida,la lectura serádiferente.



MagnitudesFísicas


9. TEORÍA DE ERRORESEs imposible encontrar el verdadero valor del error acci-

dental; si así fuese, podríamos entonces calcular el valorexacto de la magnitud en medición, sumando algebrai-camente el valor observado.No obstante, es posible definir ciertos límites de error,impuestos por la finalidad u objeto de la medición. Asípues, queda claro que los errores accidentales tienen unrango establecido, cuyo cálculo irá de acuerdo con losprincipios y métodos de la teoría matemática de errorescon aplicación del cálculo de probabilidades.

9.1 TEORÍA DE PROBABILIDADES

Son entes matemáticos que sirven para aproximar una

cantidad a un rango permisible (de los errores acciden-tales); en esta teoría se supone que:

Los errores sistemáticos no existen o ya han sidocorregidos.

Los errores pequeños son más frecuentes que losgrandes.

No se cometen errores muy grandes. Los errores pueden ser positivos o negativos. El verdadero valor de una cantidad, es la media

de un número infinito de observaciones análogas.

Probabilidad

Es la relación que define el número de veces que unresultado debe ocurrir respecto al número total de po-sibilidades.

En el ejemplo de la figura, se observa que el círculo está dividido en

10 triángulos; el color negro tendrá entonces una probabilidad de

dos a diez (2/10) de ser el ganador en el juego de la ruleta, el celeste

3/10 y el blanco 5/10 como se aprecia.

9.2 TEORÍA DE ERRORES:PARA MEDICIONES DIRECTAS

a) Cuando se realiza una sola medición.

Error Absoluto (∆x).

Es la diferencia entre el valor observado (x) y elverdadero valor ().

x : valor observado o medido

: valor verdadero

En este caso se puede considerar como error abso-luto en “primera aproximación” a la mínima divisióndel instrumento entre dos.

Primera aproximación:

Error Relativo (ER).

Es el cociente entre el error absoluto y el verdaderovalor.

El error relativo también se puede expresar en por-centaje:

El error relativo nos determina según parámetrosestablecidos si el error puede ser aceptable o no.

Para efectos de cálculo de error relativo,

es aceptable considerar la medición xen lugar de , dado que la respuestafinal es aproximadamente igual.

Ejemplo

Tomemos un libro (por ejemplo el texto de física). Acontinuación una regla graduada hasta el centímetro.

Midamos el espesor y el largo.



MagnitudesFísicas

Física

2,7 cm

28 cm

FISICA FISICA

Analizando el espesor del libro.

Error Relativo (ER)

Analizando el largo del libro.

Dado que la regla es la misma, el error absoluto esel mismo.

Error Relativo (ER)

Conclusión:

El error absoluto es igual en ambos casos, dado

que el instrumento es el mismo. La determinación del largo del libro es mucho

mejor que la del espesor, el error relativo reflejaesta diferencia, ya que:

16.2 CUANDO SE REALIZAN DOS O MÁS MEDICIONES.

Si se realizan “n” mediciones de una misma magnitud: x1;

x2; x3; .........; xn; todos estos datos estarán comprendidosen un intervalo [xmín; xmáx].

En el presente texto vamos a referirnos exclusivamentea mediciones de igual precisión; vale decir, tomadas enidénticas condiciones: los mismos instrumentos, las mis-mas personas, el mismo clima, etc.

a) Media (x).

Es el valor que tiende a situarse en el centro delconjunto de datos ordenados según su magnitud. Esla media aritmética de un conjunto de datos.

n

x...xxxx

n321

b) Desviación (V).

Se le llama también error aparente de una medición.Es la diferencia entre la media y el valor correspon-diente a una medición.

Xx V ii

c) Marca de Clase (m).

Consiste en dividir el intervalo máxmín y;y enm sub-intervalos iguales.

d) Frecuencia Absoluta.

Es el número de valores que se encuentran ubicadosen un sub-intervalo definido por la marca de clase.

También se define como la probabilidad de ocurren-cia para un intervalo de error.

e) Histograma.

Es un modelo estadístico donde se puede apreciarcomo es la distribución de valores.

,



MagnitudesFísicas


Ejemplo Ilustrativo:

Se ha medido la longitud en milímetros que existe entredos puntos, para ello se han realizado 100 mediciones, los

valores que se presentan carecen de errores sistemáticos.La tabla muestra los valores medidos y el número de veces.

Valor medido Número de veces

692, 00 1

693, 00 1

694, 00 1

694, 20 1

695, 00 1

695, 20 2

695, 70 2

696, 00 3

696, 80 2

697, 00 4

697, 40 2

697, 90 2

698, 00 5

698, 20 4

698, 70 3

699, 00 6

699, 10 3

699, 60 2

700, 00 10

700, 40 2

700, 70 2

701, 00 8

701, 30 2

701, 90 3

702, 00 5

702, 20 3

702, 80 4

703, 00 4

704, 00 4

704, 40 1

704, 70 1

705, 00 2

706, 00 2

707, 00 1

708, 00 1

Xi(mm) Número

de veces

Vi (mm) V2

692, 00 1 -8,00 64,00 64,00

693, 00 1 -7,00 49,00 49,00

694, 00 1 -6,00 36,00 36,00

694, 20 1 -5,80 33,64 33,64

695, 00 1 -5,00 25,00 25,00

695, 20 2 -4,80 23,04 46,08

695, 70 2 -4,30 18,49 36,98

696, 00 3 -4,00 16,00 48,00

696, 80 2 -3,20 10,24 20,48

697, 00 4 -3,00 9,00 36,00

697, 40 2 -2,60 6,76 13,52

697, 90 2 -2,10 4.41 8,82

698, 00 5 -2,00 4,00 20,00

698, 20 4 -1,80 3,24 12,96

698, 70 3 -1,30 1,69 5,07

699, 00 6 -1,00 1,00 6,00

699, 10 3 -0,90 0,81 2,43

699, 60 2 -0,40 0,16 0,32

700, 00 10 0,00 0,00 0,00

700, 40 2 0,40 0,16 0,32

700, 70 2 0,70 0,49 0,98

701, 00 8 1,00 1,00 8,00

701, 30 2 1,30 1,69 3,38

701, 90 3 1,90 3,61 10,83

702, 00 5 2,00 4,00 20,00

702, 20 3 2,20 4,84 14,52

702, 80 4 2,80 7,84 31,36

703, 00 4 3,00 9,00 36,00

704, 00 4 4,00 16,00 64,00

704, 40 1 4,40 19,36 19,36

704, 70 1 4,70 22,09 22,09

705, 00 2 5,00 25,00 50,00

706, 00 2 6,00 36,00 72,00

707, 00 1 7,00 49,00 49,00

708, 00 1 8,00 64,00 64,00

La media aritmética X ; será:

Calculando la desviación entre cada valor y la media:

n==100 =930,14

XX V ii

x = 700,00 mm



MagnitudesFísicas

Física

Intervalo del

histograma (mm)

Frecuencia

absoluta

-8,5 a -7,5 1

-7,5 a -6,5 1

-6,5 a -5,5 2

-5,5 a -4,5 3

-4,5 a -3,5 5

-3,5 a -2,5 8

-2,5 a -1,5 11

-1,5 a -0,5 12

-0,5 a +0,5 14

+0,5 a +1,5 12

+1,5 a +2,5 11

+2,5 a +3,5 8+3,5 a +4,5 5

+4,5 a +5,5 3

+5,5 a +6,5 2

+6,5 a +7,5 1

+7,5 a 8,5 1

Observamos que el intervalo total de error aparente es: 00,8;00,8 ; a continuación procederemos a dividirdicho rango en sub-intervalos cuya mínima división será aelección nuestra (del usuario) 1 milímetro (Marca de clase).

Tabulando y teniendo presente:

f = frecuencia absolutaf = número de desviaciones en el intervalo

Si unimos mediante líneas rectas los puntos superiorescentrales de las barras del histograma, obtendremos el“polígono de frecuencia”.

Si aumentáramos el número de mediciones tanto como

quisiéramos y ajustamos aún más la precisión, obten-dríamos una marca de clase bastante pequeña al puntoque el polígono de frecuencia pasaría a ser una líneacontínua curva, simétrica respecto al centro y en formade campana.Se observará en la curva, la existencia de dos puntos deinflexión (cambio de concavidad).

Matemáticamente es posible representar dicha curvamediante modelos probabilísticos de variable aleatoriacontínua; el más usado es el Modelo Normal Estándar.

Presentamos a continuación al histograma de frecuenciasabsolutas que viene a ser la representación discreta de lafrecuencia con que se repiten las desviaciones en cadaintervalo de marca de clase.

123456789

101112131415

16

123456789

101112131415

16

- 8

. 5

- 7

. 5

- 6

. 5

- 5

. 5

- 4

. 5

- 3

. 5

- 2

. 5

- 1

. 5

- 0

. 5

Frecuencia absoluta

Error +

8 . 5

+ 7

. 5

+ 6

. 5

+ 5

. 5

+ 4

. 5

+ 3

. 5

+ 2

. 5

+ 1

. 5

+ 0

. 5

1

23456789

101112

13141516

1

23456789

101112

13141516

- 8

. 5

- 7

. 5

- 6

. 5

- 5

. 5

- 4

. 5

- 3

. 5

- 2

. 5

- 1

. 5

- 0

. 5

Frecuencia absoluta

Error + 8

. 5

+ 7

. 5

+ 6

. 5

+ 5

. 5

+ 4

. 5

+ 3

. 5

+ 2

. 5

+ 1

. 5

+ 0

. 5

Polígono de

frecuencia

1

2345678

9101112

13141516

1

2345678

9101112

13141516

- 8

. 5

- 7

. 5

- 6

. 5

- 5

. 5

- 4

. 5

- 3

. 5

- 2

. 5

- 1

. 5

- 0

. 5

Frecuencia absoluta

Error +

8 . 5

+ 7

. 5

+ 6

. 5

+ 5

. 5

+ 4

. 5

+ 3

. 5

+ 2

. 5

+ 1

. 5

+ 0

. 5

Punto de

inflexión

Punto de

inflexión

123456789

1011121314

1516

123456789

1011121314

1516

Probabilidad ofrecuencia

Curva típica de probabilidad Error

- 8

. 5

- 7

. 5

- 6

. 5

- 5

. 5

- 4

. 5

- 3

. 5

- 2

. 5

- 1

. 5

- 0

. 5

+ 8

. 5

+ 7

. 5

+ 6

. 5

+ 5

. 5

+ 4

. 5

+ 3

. 5

+ 2

. 5

+ 1

. 5

+ 0

. 5



MagnitudesFísicas


f) Error Medio Cuadrático de una Observación(Desviación Típica o Estándar) .-Viene a ser una especie de promedio de todas las

desviaciones de las mediciones realizadas. Gráfica-mente corresponde a la proyección del punto deinflexión de la curva típica de probabilidad sobre eleje de error.

El área achurada indica que entre los límites - y

+ se puede esperar que estos errores ocurran el68,27% de veces; matemáticamente:

: desviación típica o estándarV : desviación de cada mediciónn : número de mediciones

Estadísticamente, la primera expresión (2n 30)

es porque el valor resultante representa un mejorestimador de la desviación típica de una poblaciónde la que se ha tomado una muestra. Prácticamentesi n=30, no hay diferencia entre las dos expresiones.

Analizando nuestro ejemplo ilustrativo: (ver pág. 52)

Dado que n = 100 > 30

= 3,05 mm

Este valor significa que de las 100 mediciones toma-das, es probable que 68 de ellas quede dentro delos límites de error [-3,05 mm; +3,05 mm].

EP : porcentaje de error : desviación típica o estándarK : Factor numérico que corres-

ponde al porcentaje de error.

Probabilidad o

frecuencia

Error

Punto de

inflexiónPunto de

inflexión

68,27% del

área total

2 n 30 n > 30

g) Error Probable de una Observación (E50

).

Es aquel intervalo, dentro de cuyos límites existe laprobabilidad de que el 50% del total de mediciones

integren dicho rango. En la actualidad se usa pocoeste error.

E50

= 0,674 5

desviación típica o estándar En nuestro ejemplo ilustrativo:

E50 = 0,674 5 = 0,6745(±3,05)

E50 = ±2,06 mm

Este valor significa que de las 100 mediciones toma-das, es probable que 50 de ellas queden dentro delos límites de error [-2,06 mm; +2,06 mm].

h) Ecuación General del Índice de Precisión.

La probabilidad de un error de cualquier porcentajede probabilidad se determina por la siguiente expre-sión:

EP = K

Expresiones usuales:

E90 = (1,644 9) E95 = (1,959 9) E99,73 = (3)

Comúnmente se usa con mayor frecuencia: E95; ennuestro ejemplo ilustrativo:

E95 = 1,959 9 (±3,05) E95 = ±5,98 mm

+ 3

- 3

+ 2

- 2

+

-

- 0 , 6

7 4 5

+ 0 , 6

7 4 5

Probabilidad

Error

50% del

área total



MagnitudesFísicas

Física

Este valor significa que de las 100 mediciones toma-das es probable que 95 de ellas queden dentro delos límites de error [-5,98 mm; +5,98 mm].

Por otro lado es preciso anotar que la curva de pro-babilidad en el eje de las X es una asíntota, luego; nose puede evaluar el error de 100%, razón por la cualdebe considerarse que estas tres expresiones (E90; E95;E99,73) nos dan los valores máximo que se presentanen la práctica. Errores mayores que 3 ya no seconsideran errores accidentales sino equivocaciones.

i) Error de la Media (Em

).

Está visto que la media, también está sujeto a error. Error de la media a cualquier porcentaje de probabi-

lidad es aquel intervalo (-Em; +Em) dentro de cuyoslímites puede caer el verdadero error accidental de

la media con una probabilidad de P%.

En nuestro ejemplo ilustrativo (si P = 95%)

Hay ocasiones que se hace necesario realizar operacio-nes matemáticas (suma, resta, multiplicación, etc.) paradeterminar el valor de la magnitud; así por ejemplo,supongamos que se desea medir la distancia que hayentre dos puntos del orden de 100 metros, con una cintamétrica de 20 metros; en este caso el valor final vendráafectado de un error que será la resultante de los erroresde las mediciones elementales.

a) Error de una Suma.-

j) Valor más Probable (V.M.P).

Es aquel valor que se acerca más al verdadero valorpero que no lo es. Comúnmente se considera a la

media como el valor más probable de varias medi-ciones.

V.M.P = X

En nuestro ejemplo ilustrativo:V.M.P. = 700,00 m m; comoquiera que el V.M.P.nunca será el valor verdadero, se deduce que existiráun error y que dicho valor exacto estará ubicadodentro del rango de ciertos límites: [V.M.P. -Em;V.M.P. + Em] con una probabilidad de P%. En nuestroejemplo ilustrativo, el valor verdadero estará conte-nido en el rango de [700 - 0,60; 700 + 0,60], lo que

es [-699,40 mm; 700,60 mm] con una probabilidaddel 95%.

k) Error Relativo (ER).

Es la relación entre E50 y la media.

17. TEORÍA DE ERRORES: PARA MEDICIONES INDIRECTAS

b) Error de una Diferencia.-

c) Error de un Producto.-

;

;

EProducto = L1 .E2 + L2

.E1



La longitud de una pared es 1 128,8 cm; al medirlahemos obtenido 1 130,4 cm. Hallar el error absoluto yel error relativo.

Un alumno A mide la longitud de un hilo de 5 m y hallaun valor de 6 m, otro alumno B mide la longitud de unpaseo de 500 m y halla un valor de 501 m. ¿Qué errorabsoluto se cometió en cada caso?. ¿Qué medida fuemás eficiente?.

En un experimento se toma una muestra de uranio cuyo

peso estimado es (8,45 0,04) mg y luego otra muestracuyo peso estimado es (5,34 0,03) mg. Determinarentre que límites varía el peso del conjunto formadopor ambas muestras.

2

3

4

En el cuadro mostrado notamos que ambos alumnos

Con el uranio; analizando el peso:

Con la muestra; analizando el peso:

cometieron el mismo error absoluto: 1 metro por exceso,y la medida más eficiente fue la del alumno B, ya quecometió un error relativo menor.

Analizando el peso del conjunto: x x = x1 + x2 = 8,45 + 5,34

x = 13,79 mg

Analizando el error del conjunto:

Dado que el peso total proviene de una suma:

Alumno Error Absoluto Error Relativo

A 6 - 5 = 1 m (exceso)

B 501 - 500 = 1 m (exceso)

MagnitudesFísicas


Se han obtenido los siguientes valores al determinar lamasa de un cuerpo: 2,350 g; 2,352 g; 2,348 g; 2,350 g.¿Cuál es el valor más probable?.

1

Calculando la media :

= 2,350 Luego:

V.P.M. = 2,350 g

Hay que advertir que el presente problema es totalmen-te teórico, dado que el valor verdadero de una longitudno se puede conocer con exactitud. El error absoluto = 1 128,8 cm…..(V. absoluto) x = 1 130,4 cm…(V. medido) = error absoluto = x - =1 130,4 - 1 128,8

= +1,6 cm (por exceso)

El error relativo

ó

Problemas Resueltos



De una barra de aluminio cuya longitud estimada es de23,74 0,03 cm; se extrae un pedazo cuya longitudse estima en 12,48 0,04 cm. Determinar entre quelímites se estima varía la longitud del trozo que queda.

MagnitudesFísicas

Física

Etotal = 0,05 mg

El peso del conjunto varía entre los siguientes límites:

x = (13,79 0,05) mg ó

x = (13,79 - 0,05; 13,79 + 0,05) mg

x = (13,74; 13,84) mg

Analizando la barra de aluminio completa:

Analizando el pedazo que se extrae:

Analizando el trozo que queda:

L2 = L - L1 = 23,74 12,48

Analizando el largo:

Analizando el ancho:

Cálculo de área del terreno:

Determinar el error relativo.

L2 = 11,26 cm Analizando el error probable del trozo que queda: Dado que la longitud L2 proviene de una diferencia

E2 = 0,05 cm

La longitud, del trozo que queda varía entre los

siguientes límites. L2 = (11,26 0,05) cm ó

L2 = [11,26 – 0,05; 11,26 + 0,05] cm

L2 = [11,21;11,31] cm

A = (L)(a) = (12,64)(8,42)

A = 106,43 m2

Cálculo del error del producto (error del área).

Eproducto

= L .E2

+ a .E1

Eproducto= 12,64 (0,02) + 8,42 (0,03)

Eproducto= 0,51 m2

El área del terreno se encuentra en el siguienterango:

A = (106,43 0,51) m2

Para el largo de un terreno de forma rectangular se obtu-vo: L = (12,640,03) m y el ancho a = (8,420,02) m.Hallar el área estimado de este terreno.

En la determinación de la longitud de una resistencia,se obtuvieron los siguientes resultados:

1,302 cm; 1,284 cm; 1,300 cm;1,292 cm; 1,301 cm; 1,302 cm;1,292 cm; 1,300 cm; 1,294 cm

6

7

Xi (cm)N° deveces Vi (cm)

1,302 2 +0,006 3,6 7,21,284 1 -0,012 14,4 14,4

1,300 2 +0,004 1,6 3,2

1,292 2 -0,004 1,6 3,2

1,294 1 -0,002 0,4 0,4

1,301 1 +0,005 2,5 2,5

9 30,9x10-5



MagnitudesFísicas


; (n<30)

Cálculo de la media:

La desviación típica o estándar:

0,006

Cálculo de E50:

E50 = 0,674 5 .

E50

= 0,674 5(0,006)

E50 = 0,004

Cálculo del error relativo:

Se ha efectuado la medición de una distancia y los

resultados obtenidos son:1° Medición: 800,213 m 3° Medición: 800,603 m2° Medición: 800,220 m 4° Medición: 800,218 m

Se pide calcular el verdadero valor con una probabilidaddel 50%

8

En primer lugar, si analizamos el valor de cada medición,respecto a los demás, será fácil detectar que la terceramedición tiene un valor muy lejano a las otras medicio-nes, lo cual hace deducir que en el proceso de mediciónse debió cometer un error propio (en la 3° medición).por tal motivo no se tomará en cuenta en los cálculos. Luego: 1° Medición: 800,213 m 2° Medición: 800,220 m 3° Medición: 800,218 m n = 3

Tabulando:Medida (m) Vi = Xi -

V2

800,213 -0,004 16 x 10-6

800,220 +0,003 9 x 10-6

800,218 +0,001 1 x 10-6

= 800,217 m

El error de una observación para una probabilidadde 50%

E50 = 0,674 5 0,002 m

El error de la media para una probabilidad de 50%

Em = 0,001 m

El verdadero valor está comprendido en el siguienteintervalo:

L = (800,217 0,001) m

Con una probabilidad de 50% de ocurrencia

Hemos realizado diez veces la pesada de un cuerpo, ob-teniendo los siguientes resultados expresados en gramos:

12,372 12,373 12,372 12,371 12,37012,374 12,372 12,372 12,371 12,373

Calcular el resultado final con una probabilidad de 95%de ocurrencia.

9

Cálculo de la desviación estándar ; (ver cuadropagina siguiente):

0,001



MagnitudesFísicas

Física

N° de pesada Xi (g) Vi (Xi –X) V2(10-6)

1 12,372 0,000 0

2 12,373 0,001 13 12,372 0,000 0

4 12,371 -0,001 1

5 12,370 -0,002 4

6 12,374 +0,002 4

7 12,372 0,000 0

8 12,372 0,000 0

9 12,371 -0,001 1

10 12,373 +0,001 1

= 12,372 V2 = 12x10-6

Mediciones Vi(mm)4,556 mm +0,001 0,000 001

4,559 mm -0,002 0,000 004

4,553 mm +0,004 0,000 016

4,561 mm -0,004 0,000 016

4,562 mm -0,005 0,000 025

4,555 mm +0,002 0,000 004

4,557 mm 0,000 0,000 000

4,553 mm +0,004 0,000 016

4,556 mm +0,001 0,000 0014,558 mm -0,001 0,000 001

x = 4,557 mm V = 0,000 V2 = 0,000 084

; (n<30)

El error probable de una observación paraP = 95% probabilidad:

E95 = 1,959

E95 = 1,959 ( 0,001) E95 = 0,002 g

El error de la media para P = 95% de probabilidad:

Em = 0,001 g

El resultado final se encuentra en el siguienterango:

X = Em

x = (12,372 0,001) g

Consideremos la siguiente serie de mediciones realiza-das con un esferómetro (en mm):4,556; 4,559; 4,553; 4,561; 4,562;4,555; 4,557; 4,553; 4,556; 4,558;

10

Cálculo de la desviación estándar :

0,003 mm

El error probable de una observación para P= 90%de probabilidad:

E90 = 1,644 9 = 1644 9 (0,003) E90 = 0,005 mm

El error de la media para P = 90% de probabilidad.

Em = 0,002 mm

El resultado final se encuentra en el siguienterango.

x = (4,557 0,002) mm

ó [4,555 mm ; 4,559 mm]

Del concepto de teoría de errores, se deduce que hayun 90% de probabilidades de que el verdadero valor seencuentra comprendido entre 4,555 mm y 4,559 mm.

Calcular el resultado final con una probabilidad de 90%de ocurrencia.



Vectores


60

Unidad

Si me propongo dispararuna flecha al blanco, debojalar el arco, lo necesariopara generar una fuerzasuficiente que garantice lallegada a su destino.

Sin embargo , si me vendanlos ojos, perderé la nociónde dirección y sentido,¿sabré a donde apuntar?,la respuesta es no, concluí-mos entonces que la fuerzaes una magnitud vectorial,pues además del valor yunidad respectiva, se nece-sita la dirección y sentido.



Ciencia yFísica

Física

61

Vectores

Física



Antena

Receptor

Punto P Punto P

El GPS, permite

determinar lascoordenadas de la

antena del receptor;

sin embargo el

objetivo es obtener

las coordenadas del

punto P.

Gracias a una

suma vectorial es

posible

determinar las

coordenadas del

punto P.



Vectores


62

Vectores Colineales

Vectores Iguales

Vectores Concurrentes

Vectores Coplanares

Es aquella magnitud que además de conocer su valor numérico y unidad respectiva, es necesario conocer tambiénla dirección y sentido para que así dicha magnitud logre estar perfectamente determinada.

1.- MAGNITUD VECTORIAL

2. VECTOREs un segmento de línea recta orientada que sirve pararepresentar a las magnitudes vectoriales.

módulo del vector A

2.1 ELEMENTOS DE UN VECTOR.

a) Punto de aplicacin.

Está representado por el origen del vector.

b) Intensidad, mdulo o magnitud.

Es el valor del vector, y generalmente está dado enescala. Ejem. 5 unidades de longitud equivale a 5 N(si se tratase de fuerza).

c) Sentido.

Es la orientación del vector.

d) Direccin.

Está representada por la línea de acción del vectoro por todas las líneas rectas paralelas a él.

2.1 ALGUNOS TIPOS DE VECTORES

Son aquellos vectores que están contenidos en una misma

línea de acción. A, B y C son colineales.

Son aquellos vectores cuyas líneas de acción, se cortan en un

solo punto. A, B y C son concurrentes.

Son aquellos vectores que tienen la misma intensidad, direc-

ción y sentido. A y B son iguales

Son aquellos vectores que están contenidos en un mismo

plano. A, B y C son coplanares.

Vector Opuesto (-A)

-

Se llama vector opuesto (-A) de un vector A, cuando tienen el

mismo módulo, la misma dirección, pero sentido contrario.

A y -A son vectores opuestos entre si.

VECTORES



Vectores

Física

63

OPERACIONES VECTORIALES

=

R

3. ADICIÓN DE VECTORESSumar dos o más vectores, es representarlos por uno sólollamado resultante. Este vector resultante produce los mis-mos efectos que todos juntos. Hay que tener en cuenta quela suma vectorial no es lo mismo que la suma aritmética.

a) Método del Paralelogramo.

Este método es válido sólo para dos Vectores Coplanaresy Concurrentes, para hallar la resultante se une ambosvectores por el origen (deslizándolos) para luego formarun paralelogramo, el vector resultante se encontrará enuna de las diagonales, y su punto de aplicación coincidirácon el origen común de los dos vectores.

3.1 ADICIÓN DE VECTORES - MÉTODO GRÁFICO

b) Método del Triángulo.

Válido sólo para dos Vectores Concurrentes y Copla-nares. El método es el siguiente: se unen los dos vec-tores uno a continuación del otro para luego formarun triángulo, el vector resultante se encontrará en lalínea que forma el triángulo y su punto de aplicacióncoincidirá con el origen del primer vector.

R

1 8 0 °

R

c) Método del Polígono.

Válido sólo para dos o más Vectores Concurrentes yCoplanares. El método es el siguiente: se unen los vec-tores uno a continuación del otro para luego formarun polígono, el vector resultante se encontrará en lalínea que forma el polígono y su punto de aplicacióncoincidirá con el origen del primer vector.

R

Cuando el origen del primer vector coincida con el extre-mo del último, el vector resultante es nulo; y al sistemase le llama “polígono cerrado”.



Vectores


64

3.2 ADICIÓN DE VECTORES - MÉTODO ANALÍTICO

a) Suma de Vectores Colineales.

En este caso la resultante se determina mediantela suma algebraica de los módulos de los vectores,

teniendo en cuenta la siguiente regla de signos.

b) Suma de Vectores Concurrentes y Coplanares.

En este caso el módulo de la resultante se hallamediante la siguiente fórmula.

La dirección del vector resultante se halla mediantela Ley de Senos.

En la adición de vectores, se cumplen varias propiedades, éstas son:

Propiedad Conmutativa:

Propiedad Asociativa:

y

x+

+

Ejemplo Resolución

Determinar la resultante de los siguientesvectores:

Sabiendo:

Teniendo en cuenta la Regla de Signos:

R = 4 - 3 - 3 + 1 R = -1

El signo negativo indica que el vector está dirigido hacia la izquierda.



Vectores

Física

65

Si = 0°La resultante será máxima

Si = 180°La resultante será mínima

Si = 90°

A, B, C y D Son componentes del vector R

Rmin = A - BRmax = A + B

4. SUSTRACCIÓN DE VECTORES

a) Método del Tringulo.

En este caso se unen los dos vectores por sus orígenes formando así un triángulo, el vector “ ” será el vector

diferencia.

b) Método del Paralelogramo.

En este caso se invierte el sentido del vector que está acompañado del signo negativo; y luego se sigue el mismo

procedimiento para adición de vectores por el método del paralelogramo.

B

A

5. COMPONENTES DE UN VECTORSe denominan componentes de un vector a todos aquellosvectores que sumados por el método del polígono, dan comoresultado un determinado vector. Hay que tomar en cuentaque un vector puede tener infinitos componentes.



Vectores


66

Ejemplo Resolución

En el sistema mostrado en la figura,expresar el vector “A” en términos delos vectores unitarios rectangulares,sabiendo que su módulo es de 30unidades.

Descomponiendo A:

Ax = 18

Ay = 24

Finalmente:

a) Componentes Rectangulares de un Vector.

Son aquellos vectores componentes de un vectorque forman entre sí un ángulo de 90°.

c) Vectores Unitarios Rectangulares.

Son aquellos vectores unitarios que se encuentranen los ejes coordenados rectangulares.

b) Vector Unitario.

Es un vector cuyo módulo es la unidad y tiene pormisión indicar la dirección y sentido de un deter-minado vector. A dicho vector se le llama tambiénversor.

Ax = A cos

Ay = A sen

x

y

53°

y A A

53°

y

x

y

x

y

x

A A

A

x

y

u

A

u: vector unitario de A

Ahora tendremos:

y

y

x

x

y

x

ó

i : vector unitario en el eje x (positivo)- i : vector unitario en el eje x (negativo)

j : vector unitario en el eje y (positivo)

-j : vector unitario en el eje y (negativo)



Vectores

Física

67

Ejemplo Resolución

En el sistema de vectores mostradoen la figura. Hallar el vector resultantey su módulo.

Por motivos didácticos, trabajaremoscon números.

y

x

A

C

B

53° 37°

y

x

30

10

53° 37°

15 3 0 s e

n

5 3 °

30cos 53°

1 5

s e n

3 7

°

15cos 37°

R

yR

xR x

y

6. SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO DE COMPONENTES RECTANGULARES

Para hallar la resultante por este método, se sigue los siguientes pasos:

Se descomponen los vectores en sus componentes rectangulares. Se halla la resultante en el eje x e y (Rx , Ry), por el método de vectores colineales. El módulo del vector resultante se halla aplicando el teorema de Pitágoras.

7. PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALARCuando un vector se multiplica por un escalar, resulta otro vector en la misma dirección y de módulo igual a tantasveces el escalar por el módulo del vector dado. Ejemplos:

4 unidades 2 unidades 8 unidades

A

1 A

2



Vectores


68

Dos vectores concurrentes forman 120° entre si. Calcularel módulo del vector resultante; siendo: A = 8; B =2.

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Del gráfico:

Luego:

Problemas Resueltos

AB

x

A

BC

D

AX

B

A

O

R

B

Expresar el vector x en función de A y B.

Se tienen los vectores A, B, C, y D inscritos en unrectángulo cuyos lados miden 8 y 10 cm. Calcular elmódulo del vector resultante.

R = A + B + C + D ............

De la figura:

C = D + A + B ................

en

R = C + C = 2C

R = 2 (10) R = 20 cm

Expresar el vector X en función de A y B. El vector resultante,de A y B es el que semuestra a continua-ción:

R = + Dado que “O” es pun-

to medio:



Vectores

Física

69

En el sistema mostrado, cal-

cular el valor de la resultante.

Hallar el módulo del vector A mostrando en la f igura,sabiendo que el vector resultante del conjunto devectores mostrado, forma 45° con el semieje positivode las x (B = 4; C= 10 ; D= )

Hallar el módulo delvector resultante.

Descomponiendo elvector de módulo

Aplicando el método de vectores colineales

Analizando el eje x:

Rx = -1

Analizando el eje y:

Ry = 0

Resultante:

R = 1

Problema 5

Problema 7

Problema 6

Resolución:

Resolución:

Descomponiendo el vector A en sus componentesrectangulares.

x

y

2

2

1

°

°

y

x2

1

s e n

B

C

D

A

60°

x

y



Vectores


70

Resolución:

Descomponiendo:

Ry = ?

Por condición del problema; el vector resultanteforma 45° con el semieje positivo de las x; por lotanto sus componentes deben ser iguales.

Rx = Ry

A = 10

Rx = ?

Nos piden:

….......

De la figura:

Reemplazando en:

R = 3

En el triángulo PQR:

.............

En el triángulo MQP

.............

en

Determinar el vector resultante del sistema de vectoresmostrados en la figura (en función del vector A).

En la figura; “M” es punto medio del vector A; obtenerel vector D en función de los vectores B y C.

Problema 8

Problema 9

Resolución:

Resolución:

y

x

M

R

P

Q



Vectores

Física

71

Determinar el ángulo que forman dos vectores de igual

módulo, si su resultante tiene igual módulo que ellos(cos 120° = -1/2).

Se muestran los vectores

A, B, C, D; hal lar , si:

,

Hallar el módulo delvector resultante delsistema de vectores quese muestra en la figura

a = 3 m.

Considerando dos vectores A y B, tal que:

De la ley de cosenos tenemos:

En el siguiente gráfico.

Problema 10

Problema 1

Problema 2

Resolución:

Resolución:

Resolución:

L2 = L2 + L2 + 2L . L cos

Finalmente: = 120°

Graficando:

60

A

D

C

B

A

D

C

B

L

De triángulo sombreado:

L2 = 82 + 32 - 2 (8) (3) cos 60°

L = 7

Finalmente:

60°

4 m

3

4

b

gf

a

c

Resultante:

R=5

2



Vectores


72

Hallar el módulo del

vector resultante, si:

En el paralelogramo, determinar la resultante del sis-tema, en términos de los vectores A y B. (m y n sonpuntos medios).

En el siguiente gráfico se muestra un triángulo con dosvectores en su interior, si AB = 2 y BC = 4. Determinar

el módulo del vector resultante. AM = MN = NC

Problema 3

Problema 4

Problema 5

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Podemos observar que:

.............

Pero nos piden:

.........

Reemplazando en:

Nótese que y forman 90°.

= 2(10)

I

II

Del triángulo (I):

Del triángulo (II):

y en:

.........

.........

.........

Descomponemos los vectores. MB y NB y obser-vamos que el vector MA y NC se anulan.

Aprovechando lospuntos medios,adicionamos vec-tores A/2 y B/2.



Vectores

Física

73

Finalmente:

Problema 6

Problema 7

Resolución:

Resolución:

Hallando los vectores posición.

A = (2 ; 3) – (-2 ; 1) = (4 ; 2)

B = (3 ; 1) – (1 ; 2) = (2 ; -3)

A) El vector resultante R = A + B

R = (4 ; 2) + (2 ; -3) = (6 ; -1)

B) El módulo del vector resultante ; será :

C) Vector unitario del vector resultante:

En la figura se muestra un cubo de arista a = 2 m;expresar x = 2A – B + 3C, en términos de los vectoresunitarios rectangulares.

(0; 0; 2)

( 2 ; 2 ; 2 )

(0; 2; 2)

(0; 0; 0)

(0; 2; 0)

(2; 2; 0)(2; 0; 0)

(2; 0; 2)

Analizando las coordenadas de cada vértice:

De la figura:

A = (2 ; 2 ; 0) – (0 ; 0 ; 0) = (2 ; 2 ; 0)

B = (2 ; 2 ; 2) – (0 ; 2 ; 0) = (2 ; 0 ; 2)

C = (0 ; 2 ; 2) – (2 ; 0 ; 2) = (-2 ; 2 ; 0)

x = 2A - B + 3C = 2 (2 ; 2 ; 0) - (2 ; 0 ; 2) + 3(-2 ; 2 ; 0)

x = (4 ; 4 ; 0) - (2 ; 0 ; 2) + (-6 ; 6 ; 0) = (-4 ; 10 ; -2)

x = – 4 i + 10 j – 2 K

Para los vectores A y B representados en la figura, hallar: A) El vector resultante en función de los vectores

unitarios principales.B) El módulo del vector resultante.C) El vector unitario del vector resultante.

Lo cual se reduce a:



Vectores


74

Problema 8

Problema 9

Resolución:

Resolución:

Analizando las coordenadas de los vectores delcubo:

Analizando los vértices del volumen.

Determine el vector unitario paralelo a la resultante delconjunto de vectores mostrados, si la arista del cubomide a.

Hallar el vector P; si su módulo es

(0; a; a)(0; 0; a)

(a; 0; a)(a; a; a)

(a; a; 0)

(0; 0; 0)

De la figura:

A = (0 ; 0 ; 0) – (a ; 0 ; a) = ( -a ; 0 ; -a)

B = (0 ; 0 ; a) – (a ; a ; a ) = (-a ; -a ; 0) C = (0 ; a ; a) – (a ; a ; 0) = (-a ; 0 ; a)

La resultante R:

R = A + B + C = (-a ; 0 ; -a) + (-a ; -a ; 0) + (-a ; 0 ; a)

R = (-3a ; -a ; 0) = -3ai – a j

El módulo del vector R:

El vector unitario de R:

4

(0; 0; 2)

(4; 2; 0)

El vector unitario de P:

El vector P:

P = 2i j + k



Vectores

Física

75

Expresando las fuerzas F1 ; F2; F3 y F4

F1 = 50 u1 = 10 (4 ;3) = 40i + 30 j

F2 = 60 u2 = 12 (4 ; -3) = 48 i – 36 j

F3 = 20 = 20 (-1 ; -1) = -20i – 20j

F4 = ?

Analizando la resultante: módulo 50 N y que forma53° con el semieje + x:

R = 30 i+ 40 j

Finalmente:

R = F1 + F2 + F3 + F4

30 i + 40 j = (40 i + 30 j) + (48 i – 36 j) + ( -20 i – 20 j) + F4

F4 = -38 i + 66 j

Problema 10

Resolución:

Analizando los vectores unitarios:

Se sabe que al sumar las tres fuerzas que se indicancon una cuarta fuerza, se obtiene una fuerza resultantede módulo 50 N y que forma 53° con el semieje + x ;determinar la cuarta fuerza.

y

x45°

y

x45°

-1 4

-1(-1;-1)(-4;0)

(0;0)

(0; 3)

(0;-4)

-7(4;-7)

En el triángulo vectorial, en-cuentre el módulo de la sumade fuerzas (vectores).

Tres vectores , tienen componentes x e ycomo se muestra en la tabla; hallar la dirección delvector resultante:

Problema 1

Problema 2

Resolución:

Resolución:

Analizando cada vector.

A B C

x 4 -1 5

y -2 0 10

3

x

y

4050

30

53



Vectores


76

El vector resultante.

Graficando:

8

8

8

y

x

En el triángulo:

= 45°

El vector resultante forma 45° con el eje x.

Problema 3

Resolución:

Resolución:

A)

Graficando:

Dado los vectores: ;

Calcular:

A)

B) El vector unitario del mismo

B)

Rx = (10 cos 30°) + (-20 cos 60°) + (30 cos 45°)

Ry = (10 sen 30°) + (20 sen 60°) + (30 sen 45°)

Finalmente:

= 19,87 + 43,53

Problema 4

Los vectores A ;B y C, ubicados en el plano xy, tienenmódulos A = 10; B = 20; C = 30 y forman con el eje xlos siguientes ángulos: A = 30° ; B = 120° y C = 45°.Determinar el vector resultante.

10 cos30°

10 sen30°

20 cos60°

20 sen60°

30 cos45°

30 sen45°



Vectores

Física

77

De la figura:

De la figura:

a + 7 c = b

Reemplazando c:

5 a + 7x – 7a = 5b

En la figura, pq = 5 ; qr = 2 ; ex-

prese x en términos de a y b.

En el cubo de la figura, determinar el vector que va de

P hasta Q; estando P simétricamente a de la baseinferior.

Dete rminar e l va lor de s i se c umple que|A+B+C|=|B|, y que la resultante de todos losvalores está en el semieje x.

De las condiciones del problema: si la resultante debeestar en el eje + x, gráficamente los vectores se puedeubicar del siguiente modo:

Creando los vectores 5 C y 2 C

Generando el polígono cerrado.

Problema 5

Problema 6

Problema 7

Resolución:

Resolución:

p q r

q-

p

De la figura:

q

p

y

x

Resolución:

y

x

Se aprecia la formación deun triángulo isóscelesLuego: 2 + = 90° = 30°



Vectores


78

Problema 8

Problema 9

Problema 10

Resolución:

Resolución:

Resolución:

AM = M – A= (8 ; 6)

El vector AC, se ha descompuesto en dos vectores pa-ralelos a AM y AN, siendo M y N puntos medios. ¿Cuál

es la magnitud del vector paralelo a AN?

Determinar el módulo de la resultante del sistemamostrado sabiendo que todos los cuadrados son iguales.

Integrando el conjunto a un

sistema de coordenadas

De la figura (b):

Añadiendo vectores unita-

rios a los existentes

Se muestra las diversasposiciones de para que

se ubique en AA’.

El vector más pequeño,es aquel que se ubica per-pendicular a la línea AA’.

¿Qué ángulo forma el vector x más pequeño posible

con el vector y, tal que su resultante x + y, se ubiquesobre AA‘.

20°

x

x20° 110°70°

Rpta: 110°

M

N

y

x

Luego un vector paralelo a AN es K 1 (10 ; 3)

Luego un vector paralelo a AM es K 2 (8 ; 6) Ahora: AC = k1(10;3) + k2(8;6)

(12;6) = k1 (10;3) + k2 (8;6)

12 = 10k1 + 8k2 y

6 = 3k1 + 6k2

donde:

El vector paralelo a AN es:

Su magnitud:

2

1

21 3

fig(a)

4 x

y

2

1

2 3 4 x

y fig(b)

Un vector paralelo a U1 es: (2 ; 1) – (1 ; 1) = (1 ; 0) Luego:

Un vector paralelo a U2 es (4; 2) – (3;1) = (1 ; 1) Luego:

A=(0;0)B=(4;6)C=(12;6)D=(8;0)



Vectores

Física

79

Para que el avión pueda desplazarsedesde el punto A hasta B, el piloto deberáconocer las coordenadas de dichos puntosya sea vía radio o vía satélite, lo cierto esque la obtención de dichos datos no esproblema. Conocidas las coordenadas de A y B, es fácil determinar el vector desplazamiento por donde deberá recorrer elavión (d).

Si el piloto dirige la velocidad del avión enla dirección del desplazamiento calculado,el viento se encargará de desviarlo.

Para evitar que el avión se desvíe, seránecesario conocer la dirección del viento ymediante el método del paralelogramodeterminar la dirección que hay queimprimir al aparato para que su velocidadresultante se dirija en la dirección del

desplazamiento deseado.

En realidad la dirección del viento puede cambiar, para lo cual el piloto deberá estar alerta a ello y cambiartambién la dirección de la velocidad del avión para así conservar la dirección de la velocidad resultante en lalínea del desplazamiento d. Este mismo principio se utiliza también en los barcos para la navegación marítima.

d

CIENCIA Y TECNOLOGÍA



Estática


80

ESTA El concepto y significado físico de fuerza. Los diversos tipos de fuerzas utilizados en Mecánica. Primera y tercera Ley de Newton. La primera y segunda condición de equilibrio mecánico.

Unidad

Si observamos un cuerpo en reposo u otro desplazándose conmovimiento rectilíneo uniforme, estamos frente a fenómenosaparentemente distintos, pero en el fondo obedecen a las mismasleyes, pues ocurre que en física , ambas situaciones corresponden

a un mismo estado, llamado EQUILIBRIO MECÁNICO. El estudio delas leyes y condiciones que deben cumplir los cuerpos paraencontrarse en dicho estado lo realiza la rama de la MECÁNICAllamada ESTÁTICA, ciencia que data de la época de los egipcios ybabilonios y que hoy ha dado lugar a la creación de varias ramas de laIngeniería : Civil, Mecánica, Minera, etc.



Estática

Física

81

TICA



La estabilidad de las partículas de un cerro, una colina o un acan-

tilado depende en gran medida del coeficiente de rozamientoestático del mismo. Por otro lado, el valor de está en fun-ción de la calidad de los materiales en contacto .Esto significa que no debemos generar taludes con ángulos mayo-res a ( dicho ángulo es calculado en el laboratorio), pues de locontrario se corre el riesgo de la presencia de deslizamientos ,más aún si sobrecargamos los acantilados con edificios muycerca a sus bordes.

Como criterio general para lograr la estabilidad de un edificio frente a la acción de cargas gravitato-rias y cargas laterales (viento, sismo), es necesario contar con un minimo de planos resistentes, éstosson: tres planos verticales, no todos ellos paralelos ni concurrentes, y un plano superior perfectamen-te anclado a los planos verticales anteriormente mecionados

Consideraciones sobre diseño estructural de un edificio

Uno de los métodos quese utiliza, está basado enefectos estáticos equiva-lentes. Esto significa quese consideran fuerzashorizontales aplicadas aledificio de manera queproduzcan efectossimilares a los que sufri-ría en el momento del

sismo. En definitiva, sequiere con ello predecirel comportamiento deledificio.

F U E R Z A S

H I P O T É T I C A S

b) Construcción bajo la

acción sismica

c) Fuerzas

Equivalentes

a) Construcción antes de la

acción sismica



Estática


82

ESTÁTICALa Estática es una rama de la Física, que tiene la finalidad de analizar las condiciones que deben reunir un grupo defuerzas actuantes sobre un cuerpo o sistema, con la condición de mantenerlo en equilibrio.

Es una propiedad cualitativa de la materia, que se manifiesta mediante la relación entre dos o más cuerpos.Interactúan las partículas elementales, los átomos ionizados, las moléculas, los planetas, las estrellas, por últimonosotros mismos.

Es la medida CUANTITATIVA de la interacción; siempre que dos cuerpos interactúan entre si, surge entre ellos unamagnitud que además de valor tiene dirección, sentido y punto de aplicación, llamada fuerza.Esta magnitud, es la responsable del equili-brio, cambio de dirección en el movimien-to y deformación de los cuerpos.En general, asociamos la fuerza con losefectos de: sostener, estirar, comprimir, jalar, empujar, tensar, atraer, repeler, etc.

1. INTERACCIÓN

2. FUERZA

Unidad de Fuerza en el S.I. Otras unidades

newton (N)kilogramo fuerza

gramo fuerza

libra fuerza



Estática

Física

83

Llamamos así a la fuerza con que la Tierra atrae a todo cuerpo que se encuentre en su cercanía.

3. FUERZAS NOTABLES

3.1. FUERZA DE GRAVEDAD O PESO (W).

3.2. FUERZA DE REACCIÓN NORMAL (FN).

3.3. TENSIÓN (T).

Se le llama también fuerza de contacto, viene a ser la resultante de las infinitas fuerzas electromagnéticas que segeneran entre la superficie de dos cuerpos cuando éstas se acercan a distancias relativamente pequeñas, predomi-nando las fuerzas repulsivas. La línea de acción de la normal es siempre perpendicular a las superficies de contacto.

NF

N F

N 1 F N 2

F

Está es la fuerza electromagnética resultante que se generaen el interior de una cuerda o un alambre, y que surge paraoponerse a los efectos de estiramiento por parte de fuerzasexternas que actúan en los extremos de aquellos. En estasfuerzas predominan los efectos atractivos.

T T

F

F F

F

corte imaginario

T = F T = F

corteimaginario

FT

El peso del bloque trata de estirar la cuerda haciaabajo, sin embargo la tensión “T” se lo impide.

La fuerza horizontal que ejerce la persona, obliga ala cuerda a estirarse; la tensión “T” no lo permite.

El peso de la barra trata de alargar los cables;no obstante las tensiones “T” no lo permiten.

ww

W

corte

imaginario

peso

TT T

peso



El peso de la persona trata de comprimir elsoporte (barra); la compresión “C” se lo impide.

Estática


84

soporte C

C C

F

F F

F

C = F C = F

corte imaginario

3.5. FUERZA ELÁSTICA.

Es aquella fuerza que aparece en los cuer-pos elásticos cuando son estirados o com-primidos por fuerzas externas; esta fuerza

trata que el cuerpo elástico recupere sulongitud inicial.

Toda fuerza elástica cumple con la ley de Hooke “La fuerza elástica es directamente proporcional a su deformaciónlongitudinal”

Los cables tratan de comprimir el pilar; sin embargo la compresión “C” se lo impide.

punto de

ruptura

límite deelasticidadF

x

maxF

1x

maxx

1F

F = K . x

3.4. COMPRESIÓN (C).

Es aquella fuerza generada internamente en el interior de

una barra cuando fuerzas externas tratan de comprimirlo.

corteimaginario

posición deequilibrio

corteimaginario

x

x

F

F

K

2

1

F : fuerza elásticax : deformaciónK : constante de rigidez (o elástica) del resorte

(depende del tipo de material)

CableCable

CPilar



3.6. FUERZA DE ROZAMIENTO.

F

f

Estática

Física

85

f s(max) = . FNf k = K . FN

v = 0

NF

fs

w

F

f s(max) = fuerza de rozamiento estática máxima s = coeficiente de rozamiento estático FN = reacción normal

f K = fuerza de rozamiento cinética K = coeficiente de rozamiento cinético FN = reacción normal

Cuando un cuerpo se pone en contacto con otro y se desliza o intenta

resbalar respecto a él, se generan fuerzas de oposición a estos movi-mientos, a los que llamamos fuerzas de fricción o de rozamiento. Lanaturaleza de estas fuerzas es electromagnética y se generan debido aque las superficies en contacto tienen irregularidades (deformaciones),las mismas que al ponerse en contacto y pretender deslizar, producenfuerzas predominantemente repulsivas. La fuerza de rozamiento esuna componente de la resultante de estas fuerzas, su línea de acciónes paralela a las superficies, y su sentido es opuesto al del movimientorelativo de los cuerpos. Debido a su compleja naturaleza, el cálculo dela fuerza de rozamiento es hasta cierto punto empírico. Sin embargo, cuando los cuerpos son sólidos, las superficies encontacto son planas y secas, se puede comprobar que estas fuerzas dependen básicamente de la fuerza de reacciónNormal (FN), y son aproximadamente independientes del área de contacto y de velocidad relativa del deslizamiento.

a) Fuerza de Rozamiento Estática (fs).Este tipo de fuerza aparece cuando los cuerpos nodeslizan. Su valor máximo se presenta cuando eldeslizamiento es inminente, y el mínimo cuandola intención de movimiento es nula.

b) Fuerza de Rozamiento Cinética (fK ). Estas fuerzas se presentan cuando las superficies

en contacto se deslizan una respecto a la otra. Suvalor es prácticamente constante.

NF w

F

kf

mov.v 0

c) Coeficiente de Rozamiento (µ).

Es una cantidad adimensional que representa de unmodo indirecto el grado de aspereza o deformación co-mún que presentan las superficies secas de dos cuerpos

en contacto.

Asímismo, “” depende de los materiales que conformanlas superficies.

Superfcies en Contacto s k

Acero sobre acero 0,74 0,57

Cobre sobre cobre 0,53 0,36

Vidrio sobre vidrio 0,94 0,40

Teflón sobre teflón 0,04 0,04

Madera sobre madera 0,50 0,25

Piedra sobre piedra 0,70 0,40



Estática


86

4. LEYES DE NEWTON - 1ERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO.

Las leyes de Newton constituyen verdaderos pilares de la mecánica, fueron enunciadas en lafamosa obra de Newton “Principios Matemáticos de la Filosofía Natural”, publicada en 1686.Ellas son conocidas como la 1ra, 2da y 3ra Ley de Newton, de acuerdo con el orden que apa-

recen en esta obra citada. En este capítulo, estudiamos la 1ra y 3ra ley, que nos permitiránanalizar el equilibrio del cuerpo, esto es el estudio de la estática; la 2da ley será estudiada en

el capítulo: “Dinámica”.

Al introducir el método científico en el estudio de los fenómenos físicos, Galileo realizó una serie de experimentosque lo llevaron a conclusiones diferentes de las de Aristóteles.Estando en reposo una esfera sobre una superficie horizontal, Galileo observó que al empujarla con cierta fuerza,

se ponía en movimiento. Por otra parte, la esfera seguía moviéndose y recorriendo cierta distancia, aún despuésque dejaba de empujarla (ver fig. a). Así, Galileo comprobó que un cuerpo podía estar en movimiento sin la acciónpermanente de una fuerza que lo empujase.

F

F

F

F = 0

V = 0

V = 0

V = 0

(a)

(b)

(c)

F = 0

F = 0

Movimiento Rectilneo Uniforme

Cuando repitió el experimento usando ahora una superficie horizontal más lisa, observó que el cuerpo recorría una dis-tancia mayor luego de cesar la acción de la fuerza (ver fig. b).Basándose en una serie de experimentos semejantes, Galileo concluyó que el cuerpo se detenía después de haberdejado de impulsarlo, en virtud del efecto de la fricción o roce entre la superficie y el cuerpo, que siempre actúapara retardar su movimiento. De modo que si fuese posible eliminar totalmente la acción del rozamiento, el cuerpocontinuaría moviéndose en forma indefinida, sin ninguna retardación, es decir, en movimiento rectilíneo uniforme(ver fig. c). Al generalizar sus conclusiones, Galileo llegó al resultado siguiente:“Si un cuerpo está en reposo, es necesario la acción de una fuerza sobre él para ponerlo en movimiento. Una veziniciado éste, y después de cesar la acción de las fuerzas que actúan sobre él. Seguirá moviéndose indefinidamenteen línea recta, con velocidad constante”.

Los experimentos de Galileo lo llevaron a atribuir a todos los cuerpos por una propiedad denominada inercia por lacual un cuerpo tiende a permanecer en su estado de reposo o de movimiento uniforme rectil íneo. En otras palabras,cuando un cuerpo está en reposo tiende por inercia a seguir inmóvil y solamente por la acción de una fuerza podrásalir de este estado; si un cuerpo se halla en movimiento sin que ninguna fuerza actúe sobre él, el objeto tiende porinercia a moverse en línea recta con velocidad constante; se necesitará la acción de una fuerza para aumentar odisminuir su velocidad, o para hacer que desvíe hacia un lado o hacia otro. Al estructurar los principios de la mecánica, Newton se basó en los estudios realizados por los físicos que le prece-dieron, entre ellos Galileo. Así, la primera ley de Newton no es más que una síntesis de las ideas de Galileo referentes a la inercia, y por esomismo, también se le denomina ley de la inercia.



4.1. PRIMERA LEY DE NEWTON (LEY DE LA INERCIA).

V

V = 0

V

V

Estática

Física

87

“En la ausencia de la acción de fuerzas, un cuerpo de masa constante en reposo, continuaráinmóvil, y uno en movimiento se moverá en línea recta y con velocidad constante”.

Supondremos que un caballo no tenga po-rosidades en su cuerpo, esto para evitar elrozamiento de los cuerpos.En la figura (izquierda) se observa una personay un caballo en reposo. En la figura (derecha) seobserva que el caballo se mueve bruscamentehacia la izquierda y la persona aparentementese mueve hacia atrás. En realidad la personano va hacia atrás, sino más bien queda atrás.¿Por qué? Inicialmente la persona y el caballoestaban en reposo, luego el caballo se movió(por efectos que no estudiaremos todavía);pero ¿quién movió a la persona?. Nadie onada, motivo por el cual; queda en su lugar oen el punto inicial.

Consideremos que un móvil cuya base inferior sea lisa, así comola suela de los zapatos de una persona. Inicialmente el bus semueve con velocidad v; como la persona se encuentra dentro delmóvil, también estará moviéndose con la velocidad v. De prontoel móvil se detiene, pero la persona sigue moviéndose en línearecta y con velocidad v, hasta que algo lo detenga. ¿Por qué?Porque el bus se detuvo por acción de los frenos: pero ¿quiéno qué detuvo a la persona?. Nadie o nada, motivo por el cual lapersona seguirá moviéndose.

CONDICIÓN DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO

Decimos que un cuerpo está en equilibrio cuando se encuentra en uno de los siguientes casos:

El cuerpo se halla inmóvil.

El cuerpo tiene M.R.U.

Como vimos en la primera Ley de Newton, cualquiera de esas situaciones se producecuando la fuerza resultante sobre el cuerpo es nula.

En este caso supondremos que los cubiertos y el mantelson completamente lisos, esto para evitar el rozamiento. Laexplicación es la misma que el ejemplo anterior.

ILUSTRACIONES: Para los ejemplos, idealizaremos varios casos:



Ejemplo Resolución

Si la partícula mostrada, se encuen-tra en equilibrio: calcular F1 y F2.Peso de la partícula = 15 N

Equilibrio en “x”:

18 + 12 F2 = 0

Equilibrio en “y”:

10 + F1 15 = 0

Estática


88

b) Condicin Grca.

Se sabe que si la resultante de un sistema de vectoreses nula, el polígono que se forma será cerrado.

1 + 2 + 3 + 4 = 0

TEOREMA DE LAMY. Cuando se tienen tres fuerzas concurrentesy coplanares actuando sobre un cuerpo enequilibrio, se cumple:

4.3. TERCERA LEY DE NEWTON (LEY DE LA ACCIÓN Y LA REACCIÓN).

Newton se dio cuenta de que las fuerzas siempre aparecen como resultado de la interacción de dos cuerpos. Es decir,la acción de una fuerza sobre un cuerpo que la provoque. Además, Newton pudo comprobar que en la interacciónde dos cuerpos, las fuerzas siempre aparecen en pares. Para cada acción de un cuerpo sobre otro, siempre existiráuna reacción igual y contraria de éste sobre el primero. Tales observaciones de Newton se pueden sintetizar en elenunciado de su tercera ley:

a) Condicin Algebraica.

Si: R = F1 + F2 + F3 + F4

4.2. PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO.

partícula

“Una partícula se encontrará en equilibrio, cuando la fuerza resultante que actúa sobre ella, es igual a cero”.

F2 = 30 N F1 = 5 N



Estática

Física

89

“Cuando un cuerpo A ejerce una fuerza (acción) sobre un cuerpo B, éste reacciona sobre A con una fuerza dela misma magnitud, misma dirección y sentido contrario”.

Ejemplo Análisis

Analicemos el caso en el cual unapersona aplica un golpe a un camión.

Acción Mutua, a lo cual llamaremos:INTERACCIÓN.

Debemos tener presente que en unainteracción surgen 2 fuerzas.

persona

camiónV= 0

REACCIÓN A CCIÓN

persona camión

AF RF

y son colineales, opuestas, actúan sobre cuerpos diferentes y se verifica:

4.4. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L.).

Hacer el D.C.L. de un cuerpo, es representar gráficamente las fuerzas que actúan en él. Para esto se siguen los si-guientes pasos:

Se aisla al cuerpo de todo el sistema.

Se representa al peso (W) del cuerpo mediante un vector dirigido siempre hacia el centro de la Tierra.

Si existiesen superficies en contacto, se representa la reacción mediante un vector perpendicular a dichas su-perficies y empujando siempre al cuerpo (FN ó R).

Si hubiesen cuerdas o cables, se reprenta a la tensión (T) mediante un vector que está siempre jalando al cuerpo,previo corte imaginario.

Si existiesen barras comprimidas, se representa la compresión (C) mediante un vector que está siempre empujando al cuerpo, previo corte imaginario.

Si hubiese rozamiento, se representa la fuerza de roce (f) mediante un vector tangente a las superficies en con-tacto y oponiéndose al movimiento o posible movimiento.

Ley de la acción y la reacción :



Estática


90

f

f 2

4.5. TIPOS DE APOYO.

4.6. MÉTODO PARA RESOLVER PROBLEMAS.

Existen diversos tipos de apoyos, los más importantes son los siguientes:

a) Se dibuja el diagrana de cuerpo libre (D.C.L.)b) Dado las fuerzas (vectores), se elige uno de los siguientes métodos: coordenadas rectangulares, polígono cerrado

o teorema de Lamy.c) Se resuelve el problema aplicando los principios matemáticos.

En contacto Apoyo fijo Apoyo movil Empotramiento

M

Si existiese superficies porosas,

aparece la fuerza de rozamiento R2

En este caso existen dos reacciones

perpendiculares entre si.

En este caso existe solo una reacción

que es perpendicular a la superficie

en contacto

En este caso existen dos reacciones

semejantes al apoyo fijo más un

torque llamado momento de empo-

tramiento.

Si en el problema hubiesen varios cuerpos, no es necesario hacer el D.C.L.de todos ellos; hay dos posibilidades:

Hacer el D.C.L. de dos cuerpos o tal vez tres.

Hacer el D.C.L. de uno de ellos y del sistema completo.



Estática

Física

91

Un cuerpo de 200 newton, se suspende del techo pormedio de un cable. ¿Cuánto vale la tensión en la cuerda?

Determine la fuerza con que debe jalar el obrero paramantener suspendido 600 N de peso.

Problema 1

Problema 2

Resolución:

Resolución:

Equilibrio:

T 200 = 0

T = 200 newton

D.C.L del nudo

1ER método: componentes rectangulares.

F - T sen53°=0

F = Tsen 53° ..........

T cos53°-600=0

600 = T cos 53° ..........

:

F = 800 N

D.C.L. del bloque

T

200 N

600 N

53°

53°

F

T

600 N

2DO método: polígono cerrado.

53°

F

600 N

TSen53°

TCos53°T

T

53°

F

600

143°127°

F

T

600 N

Problemas Resueltos

Del polígono:

F = 600 tg 53°

F = 800 N

3ER método: Teorema de Lamy.

F = 800 N



Estática


92

Una pesa de 200 N se

suspende del techo pormedio de un resorte cuyaconstante de rigidez es de800 N/m. ¿Cuánto se estirael resorte?

Una cubeta de pintura tiene un peso total de 40 N yestá amarrada al techo, como se ve en la figura; hallarlas tensiones en las cuerdas.

Un bloque de madera de 15 N, descansa sobre un pla-no inclinado liso amarrado a una estaca mediante unacuerda, hallar la tensión en esta cuerda.

Problema 3

Problema 4

Problema 5

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Equilibrio:

k x = 200

800 (x) = 200

x = 0,25 m

Observación: Es importante analizar la homogeneidad de lasunidades antes de efectuar las operaciones matemáticas.

Observe que debido a la simetría, las cuerdasamarradas al techo soportan la misma tensión “T”.

x

D.C.L. de la pesa

D.C.L. del nudo.

F=kx

200 N

40 N

30°30° Aplicando el método del polígono cerrado.

Dado que se obtiene un triángulo equilátero.

T = 40 N

Del triángulo vectorial.

T = 9 N

60°

60°

60°

T

T

37°

R

T

53°

15

3 7 °

R

T

15

60° 60°

T T



Estática

Física

93

D.C.L. del bloquede 100 N

Un cable de acero, sostiene un elevador de 5 000N.

¿Cuál es la tensión en el cable cuando el ascensor subea velocidad constante transportando un pasajero de700 N?

Se muestra un sistemaque está en equilibrio, nohay fricción con el plano

inclinado; Hallar el peso“W” si el otro bloque pesa100 N.

¿Con qué fuerza, un hombre debe jalar de la cuerdade modo que la carga suba a velocidad constante?.Desprecie el peso de las poleas. Despreciar la fricciónen las poleas.

Problema 6

Problema 7

Problema 8

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Si el ascensor sube a velocidad constante, está enequilibrio cinético:

Equilibrio vertical: T = W

D.C.L del ascensor

transportando al pasajero.

T = 5000 + 700

T = 5 700 N

T

700 N 5 000 N

1 0 0 N

53°

W

T

W

W = 80 N

Dado que no existefricción en las poleas;la tensión será cons-tante a largo de lamisma cuerda.

2T = 800

T = 400 N

W

53°

100 N

R T =

W

5 3 °R

100 N

800 N

D.C.L. de bloque2T

800

T TT

D.C.L. de W.



Estática


94

Calcular el peso del cuerpo A en la figura.

Un limpiaventanas pesa600 N y se suspende asi-mismo empleando unacanastilla de 120 N y unapolea. ¿Con qué fuerzadebe jalar para subir a ve-locidad constante?

Para comenzar a deslizar un cajón de 60 N de peso; senecesita una fuerza horizontal de 45 N. ¿Cuánto vales entre el cajón y el piso?

La fuerza para iniciar el movimiento (F), es aquellaque está a punto de mover el cajón (movimientoinminente).

Problema 9

Problema 10

Problema 1

Resolución:

Resolución:

Resolución:

T1 = 36 ctg 37°

T1 = 48 N

Como el conjunto sube avelocidad constante, tendre-

mos equilibrio cinético.

T + T = 600 +120

T = 360 N

D.C.L. nudo izquierdo

D.C.L. nudo derecho

W

A

37° 53°

36 N

37°T1

T2

3637° T1

T2

36

Nótese que en la cuerda Horizontal, la tensiónes T1.

W = 48 tg 53°

W = 64 N

W

53°T1

T3

W

53°

T3

T1=48

Verticalmente:

FN = 60 N

Horizontalmente: f s = 45

f s

FN

60

F=45 N

600 N

TT

120 N

D.C.L. del cajón

2



Estática

Física

95

D.C.L. bloque

¿Cuál es el módulo de la mínima fuerza aplicada sobre

el bloque de 20 N que evitará que el bloque deslicehacia abajo?

Un esquiador desciende a velocidad constante por una

colina cubierta por una capa de hielo; la colina forma37° con la horizontal; calcular el coeficiente de roza-miento cinético entre los esquíes y el hielo.

Determine el máximo peso “W” que puede sujetar elobrero que se halla sentado en un piso áspero, s=0,6;el obrero pesa 700 N.

Velocidad constante: Equilibrio.

El peso máximo “W”; sucede cuando el obrero estáa punto de resbalar.

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Resolución:

Resolución:

Resolución:

La fuerza mínima “F” es aquella cuando el bloqueestá a punto de resbalar hacia abajo.

Horizontalmente:FN = F

Verticalmente:

0,8 . F = 20

F = 25 N

f s=s . FN

FNF

20 N

W

FN

37°

K . F

N

W

37°

37°

f k = k

. F N

FN

W

T=W

T=W

700 N

f s=s.FN

FN

Analizando al obrero:

FN = 700 N

W = 0,6 (700)

W = 420 N

F

W

D.C.L. de la persona



Estática


96

Una vasija de 60 N de peso, descansa en una superficie

horizontal; entre la vasija y el piso el coeficiente derozamiento estático es 4/5; calcular la máxima fuerzasin que la vasija resbale.

Una caja de madera que pesa 100 N, sube resbalandoa velocidad constante debido a la fuerza “F” paralela ala rampa de acero cuya inclinación con respecto al pisoes de 37°; el coeficiente de rozamiento cinético entre larampa y el cajón es de 0,2; calcular la fuerza F.

El bloque “A” cae con rapidez constante, hay rozamientoen todas las superficies. Si ; W A= 10 N; calcularla magnitud de la fuerza F.

Los tres bloques A; B y C de la figura pesan 200 N, 400 N y300 N respectivamente. Calcular el coeficiente de roza-miento estático entre el bloque B y el piso, considerandoque el bloque B está a punto de resbalar.

Dado que la caja de madera sube a velocidadconstante, estará en equilibrio cinético.

Equilibrio en el eje y:

FN = 100 cos 37° = 80

Problema 5

Problema 6

Problema 7

Problema 8

Resolución:

Resolución:

Resolución:

FN + F sen 37° = 60

F = 37,5 N

37°

Ff S=S

. FN

FN

37°

F60 N

FCos37°

F S e n 3 7 °

D.C.L. vasija

Equilibrio en el eje x:

F = 76 N

Analizando el cuerpo A

2 (0, 4) FN = 10

FN = 12,5 N

Analizando el cuerpo B F = F

N F = 12,5 N

100 N

F 1 0 0 C o s 3 7 ° 1 0

0 S e n 3 7

° 37°

37°

f S = S

. F NFN

x

y

F A B

10 N

FNFNFN F

AB

k.FN k.FN

Peso B

R

D.C.L. de cada cuerpo

A

B

C200 N 300 N



Estática

Física

97

D.C.L. de cada cuerpo

Analizando el cuerpo B.

Verticalmente FN = 400 N

Horizontalmente

Resolución:

Resolución:

Resolución:

300 N

300 N200 N

200

200 300

f S=S .FN

FN

A

B

C

400 N

A través de una habitación debe moverse un sofá de400 N de peso, los coeficientes de rozamiento

y . Hallar la fuerza horizontal necesaria. A) Para iniciar el movimiento del sofá.B) Para mantener el sofá en movimiento con velocidad

constante.

Calcular las fuerzas normales que deben ejercer las pa-redes móviles sobre el bloque cuyo peso es 10 N paraque pueda mantenerse en equilibrio.

A) La fuerza para iniciar el movimiento equivale a lafricción estática máxima (f s).

Verticalmente: FN = 400 N Horizontalmente:

F = 0,4 . 400

F = 160 N

Problema 9

Problema 10

400 N

f s=s . FNFN

FN

B) Para mantener el sofá moviéndose a velocidadconstante, debemos contrarrestar la fricción ciné-tica (f k).

Verticalmente: FN = 400 N

Horizontalmente:

F = 0,3 . 400

F = 120 N

400 N

f k=k . FNFN

F

=0,2 =0,3

f 1=0,2F f 2=0,3FN2N1

N1F N2F

10 N

D.C.L. (bloque)

Luego

newton

newton



Estática


98

La figura muestra dos es-feras de 40 N, cada unaen reposo. Determine lalectura del dinamómetro.(g=10 m/s2).

Un lápiz de peso 0,10N está colocado verticalmentesobre un resorte en un plumero cerrado, al dar la vueltaa éste , el lápiz comenzó a presionar sobre la tapa conuna fuerza 1,2 veces mayor. ¿Con qué fuerza el lápizpresionaba inicialmente sobre la tapa?

El sistema mostrado se encuentra en equilibrio y elcilindro homogéneo es de 120 N y R = 5r. Determinar

el máximo peso “W” del bloque, (desprecie la fricción).

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Resolución:

Resolución:

Resolución:

D.C.L. del nudo.

D.C.L. de una esfera El tringulo vectorial

D.C.L. del cilindro

Luego: W = 90 N

Descomponiendo fuerzas

2 T sen 30° =2 T1 cos

T = 2 T1 cos ....

Del triángulo en: T1 = 40 sec T = 2 (40 sec ) cos

T = 80 N

P

30° 30°

Dinamómetro

30°30°

y

x

T1 T1

TT

P

30°30°

y

x

T1 T1

TT

T1

40

R

T1

40R

1er Caso 2do Caso

D.C.L. (1° Caso) D.C.L. (2° Caso)

L

F

R=?

0,10N

Tapa

LF

Tapa

1,2 R

0,10N

Del 1° Caso : F = R + 0,10 ...

Del 2° Caso : 1,2R = F + 0,10 ... en: 1,2R = (R+0,10) + 0,10

R = 1 N

R

W

r

W será máximo cuan-do el cilindro esté apunto de subir el obs-táculo, momento en

el cual R1=0 y ten-dríamos tres fuerzasen equilibrio.

El triángulo vectorial

R 2 = 5 ( 3 0

)

120=4(30)

W=3(30)

3

120 N

4r53°

T=W

3rR2

5 r

R1=0

r



Estática

Física

99

Hallar “F” para que la cuña “A”

suba con velocidad constante.Despreciar toda fricción.W A = 200 NWB = 400 N

Si el bloque de 200 N,está a punto de resba-lar. Determine la de-formación del resortede K = 10 N/cm

Problema 4

Problema 5

Problema 6

Resolución:

Resolución:

Resolución:

En la cuña “A”

D.C.L. del bloque

D.C.L. (Barra)

Formando el polígono cerrado.

En la cuña “B”

WB

W AF30°

A

B

R

200 N

FN1

60°

30°

200 N

30°

60°R =

4 0 0 N

400 N60°

R

F

y

x

RCos60°

RSen60°

400 N

F

R

F = R sen60°

0,3S

P53°

vertical

200 N

Sf max

FN

T . FN = 200 newton

.

T = 0,3 (200)

T = 60 newton

D.C.L. del punto “P”

K(x)

T=60 P 53°

Peso

K(x) = 100 newton

Triángulo vectorial:

A B

C 75 N

R

2 1 N

21 N

R75 N

752 = 212 + R2

R =

R = 72 N

En el bloque actúala máxima fuerza derozamiento.

Nótese que:

Para que se produzca

el equilibrio, las tres

fuerzas deben ser

concurrentes.

K ( x ) =

5 ( 2 0

)

60=3(20)

Peso=4(20)

53°

x = 10 cm

En la figura mostrada, determinar la reacción que ejer-ce el plano inclinado sobre la barra, sabiendo que labarra tiene un peso de 75 N y la tensión de la cuerdaBC paralelo al plano inclinado, es igual a 21 N. No hay

rozamiento.



Estática


100

Si el sistema presenta

movimiento inminente.Hallar el coeficiente derozamiento estático en-tre la barra y el cilindro.(Considere el resortevertical).

En la figura se muestra una barra homogénea de 160 Ny una esfera de 60 N en equilibrio mecánico. Determineel ángulo .

Una placa triangular equilátera de 100 N se mantiene

en la posición mostrada. Determine el módulo de lafuerza de rozamiento en Q; (g = 10 m/s2).

Problema 7

Problema 8

Problema 9

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Comoquiera que F y W son verticales, para mante-ner el equilibrio: R tendrá que ser también vertical

como se muestra. R: es la resultante de “FN” y “f”

Luego:

D.C.L. barra

D.C.L. de la barra

53°

Polea lisa

Vertical

Observamos que:

Triángulo vectorial

D.C.L. de la placa

R

160 N

60 N

30°Q

Vertical

100 N

T

30°

60°

60°

60°

30°

Ordenamos las tres fuerzas con-

currentes: Dela terna de vectores, mediante

la ley de senos :

Por otro lado, hay que notar que “R” es la resultantede la reacción normal “FN” y la fuerza de rozamien-to f; luego:

f = Rsen 60°

f = 50 N

60°

100 N

RT

R

80 N

80 N

60 N

37°

53

W

F



5.1. MOMENTO DE UNA FUERZA.

Estática

Física

101

5. MOMENTO DE UNA FUERZA - 2DA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO

Se le llama también TORQUE; es una magnitud vectorial,cuyo valor mide el efecto de giro que se produce unafuerza sobre un cuerpo alrededor de un punto o eje.

b) Representación gráfica del Momento de una

Fuerza.con respecto a un punto, se representa medianteun vector perpendicular al plano de rotación y elsentido se determina aplicando la regla de la manoderecha.

d

F

o

d

F

a) Cálculo del Momento de una Fuerza con res-

pecto a un Punto ( ).

respecto a un punto “o”, se calcula multiplicandoel valor de la fuerza F con la distancia perpendiculardesde el punto “o” a la l ínea que contiene la fuerza.

Si la fuerza “F” no se presenta normal a la distancia “d”;el momento de dicha fuerza respecto al punto “o” es:

; donde “ “ es la componente perpendicular

de “F” respecto a “d”.

o xF

yFF

d

o

1 F

d

d) Casos más comunes.

o d

F

o d F

o d

F

d s e n

Notar que si la línea recta que contiene la fuerza pasa por el

punto de rotacin, la distancia perpendicular entre el punto “o”

y dicha fuerza es cero, por tanto el momento de esta fuerza

también ser cero.



f u e r z a

b r a z o

giro

O

fuerza

giro

brazo grande

punto de apoyo

Al aplicarse la fuerza al martillo

apoyado éste sobre un punto “o”,

se produce un efecto de rotación

(momento) que hace girar el

martillo - clavo con respecto a

dicho punto.

Al encontrarse demasiado duro el

contacto del perno, es muy dificil

extraerlo con una llave por más

grandiosa que sea la fuerza; por tal

motivo se suele aumentar el brazo

de palanca con ayuda de una barra.

La obtención de un momento de giro enorme

con la ayuda de una palanca grande, condujo a

Arquimedes a afirmar: “Dadme un punto de apoyo

y moveré la tierra”. Sin embargo lo que no tuvo en

cuenta Arquímedes, fue que la tierra no está sola,

sino que pertenece a todo un sistema (el sistema

solar, éste a la vía láctea y la totalidad al universo).

fig. a fig. b

Estática


102

e) Signo del Momento de una Fuerza.

Una fuerza aplicada a un cuerpo, puede hacerlo girar en elsentido de las agujas del reloj (horario) o contrario a ellas (an-

tihorario). Es común asumir la siguiente convención:

Supongamos el caso de una placa en la cual actúan tres fuerzas concurrentes (fig. a).Para garantizar el equilibrio del cuerpo, solo basta comprobar: y (primera condición de equilibrio).Pero ¿qué sucede si las fuerzas no pasan todas por un mismo punto? (fig. b). Según el análisis anterior:

y

Estas expresiones garantizan la ausencia de traslación pero no la de rotación.Efectivamente, en la barra mostrada la resultante de fuerzas es cero, sin embargo ella está girando; en el caso parti-cular de nuestra barra, dicha rotación se debe a la presencia de una cupla (par de fuerzas).Una cupla, son dos fuerzas iguales y de sentido contrario separadas una distancia “d”. la resultante de estas fuerzases cero, pero su momento no; al actuar una cupla sobre la barra, el objeto gira pero no se traslada.Es por ello que cuando las fuerzas no pasan por un mismo punto, hay que agregar una nueva ecuación.(Ecuación de momentos); al igualar la suma de momentos a cero, se garantiza el equilibrio de rotación.

Horario Antihorario

placa

barra

d

5.2 CONDICIÓN DE EQUILIBRIO PARA FUERZAS NO CONCURRENTES.



El momento de una cupla o par de

fuerzas, se calcula multiplicando el

valor de la fuerza F por la distancia

perpendicular que las separa.

Para introducir el sacacorcho

es necesario aplicar un par de

fuerzas.

Para hacer girar el volante de un auto, se aplica

un par de fuerzas.

M F

F

d

giro- F

F

Para que un cuerpo permanezca en equilibrio, bajo la acción de fuerzas aplicadas que no pasan necesariamentepor un mismo punto, debe cumplirse:

Recomendaciones:

Es conveniente tomar momentos respecto a un punto que anule alguna incógnita. Generalmente es el puntode apoyo.

No siempre es necesario usar las tres ecuaciones para resolver el problema; algunas veces basta usar la ecuaciónde momentos.

Ejemplo ResoluciónUna barra de longitud 2 m y 100 N de peso,

está sostenida por una cuerda que forma 30°

como indica la figura. Calcular la tensión en la

cuerda. Suponer que el peso de la barra está

aplicado en el centro de la misma.

El centro de momentos pue-

de ser cualquier punto, no

obstante conviene elegirlo

de manera que anule alguna

incógnita: en nuestro caso “A”.

T(2 sen30°) - 100(1) = 0

30

A

2 s e n 3 0

°

HR

A VR

100 N

2 m 30°

T +

-1 m

MOMENTOFuerza Distancia

Nombre Símbolo

newton . metro N . m newton metro

Otras unidades:

kg . m ; g . m ; lb . pie

D.C.L. (Barra)

−F

F

M

T = 100 N

M = Fd

Estática

Física

103

5.3 SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO.

5.3 UNIDAD DE MOMENTO EN EL SISTEMA INTERNACIONAL.

....................................... ............................. Garantiza que no hay traslación en “x”.

....................................... ............................. Garantiza que no hay traslación en “y”.

....................................... ............................. Garantiza que no hay rotación.



6. CENTRO DE GRAVEDAD.

El momento de la resultante de varias fuerzas que actúan sobre un cuerpo, respecto a cualquier punto, es igual a lasuma de los momentos de dichas fuerzas.¿Qué significa esto?

Supongamos que tenemos un sistema de fuerzas F1; F2 y F3; procedemos a determinar la resultante.

6.1 TEOREMA DE VARIGNON.

6.2 RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS PARALELAS.

Teorema de Varignon:

Para determinar la resultante (R) de dos o más fuerzas paralelas, se suman algebraicamente sus módulos; su puntode aplicación (x) se determina aplicando el Teorema de Varignon.

EjemploSe tiene una barra ingrávida (sin peso) en el cual se aplican

varias fuerzas, como se muestran en la figura. Determinar

la fuerza resultante y su posición.

Resolución

20 N

Cálculo de R:

R = 10 + 5 20 = 25

Luego: R = 25 N (hacia abajo)

Cálculo de x: Se traza un sistema de coordenadas rectán-

gulares, cuyo origen es arbitrario; nosotroselegiremos como origen, la parte izquierda dela barra.

20 N

0

x

+

y

x

Posiciónasumida

Estática


104

A A

Aplicando el teorema de Varignon:

-25(x) = -10(1) + 5(3) - 20(5)

-25x = -95 x = 3,8 m



Estática

Física

105

Todo cuerpo está compuesto por un conjunto de partículas, las

cuales están sujetas a la atracción gravitatoria, produciendo asíel peso de cada partícula.Si consideramos paralelas los vectores peso y nos apoyamosen el principio “resultante de un sistema de fuerzas paralelas”,podemos afirmar que la resultante de los diminutos vectores quecomponen el cuerpo toma el nombre de “peso del cuerpo”, cuyopunto de aplicación se denomina centro de gravedad.

Características del Centro de Gravedad.

El centro de gravedad de un cuerpo puede estar dentro o fuera de él.

El centro de gravedad de un cuerpo quedará perfectamente determinado con respecto a un eje de coordenadas,por una abscisa (X) y una ordenada (Y).

El centro de gravedad no varía con la posición, pero si depende de su forma geométrica.

Si un cuerpo presentase un eje de simetría, el centro de gravedad se encontrará en un punto contenido en dichoeje.

Si a un cuerpo se le aplica una fuerza igual al peso, pero en sentido contrario y en el centro de gravedad, dichocuerpo permanecerá en equilibro, independientemente de lo que pudiera inclinarse el cuerpo respecto al centrode gravedad.

6.3 CENTRO DE GRAVEDAD.

6.4 CENTRO DE GRAVEDAD DE ALGUNOS CUERPOS.

C.G

El centro de gravedad es el punto donde se encuentra

concentrado el peso de un cuerpo.

W (peso)

a) Líneas

Segmento de recta Semi - circunferencia

Cuadrado, rectángulo, paralelogramo, rombo Cuarto de circunferencia

C.G

y

xL

C.G

x

y

b

a

C.G

R

y

x

y

x

C . G

R



Estática


106

Prisma

Cuadrado, rectángulo

Círculo

Triángulo

Semi - círculo

Cuarto de círculo

h

b

R

R R

Ry

x

z

C.G

C.G

0 y

z

x

H

H

z

x

y

CG

Esfera

Cono

Semi-esfera

Pirámide

x

z

yH C.G.

C.G

0 y

z

x

b) Áreas c) Volúmenes



Estática

Física

107

¿Cómo se calcula el centro de gravedad de un cuerpo?Primero es preciso descomponer el cuerpo en varias figuras conocidas, luego se calcula el peso de cada una de ellas,instalando sus respectivos vectores peso en el C.G. parcial de cada figura (línea, área o volumen); finalmente se aplica

el principio “resultante de un sistema de fuerzas paralelas” obteniendo así el C.G. del cuerpo total.

El centro de gravedad de un cuerpo, también se puede determinar en función de las longitudes,áreas, volúmenes de éste, solo bastará reemplazar “peso” por “L”, “A” o “V”.

Ejemplo Resolución

Figura 1: A1 = 25

Figura 2: A2 = 10

Centro de gravedad X:

X = 3,93 m

Centro de gravedad Y:

Y = 2,07

Centro de gravedad:Resolución

y

5 m

10 m

2 mx

5 m

2,51m x

7,5

y

2,5 m1

2

C G

C G

Calcular el centro de gravedad de la placahomogénea mostrada.

Descomponiendo la placa en dos:C.G = (3,93 ; 2,07) m

6.5 FUERZAS DISTRIBUIDAS.

Muchas veces un cuerpo se ve afectado por la acción en un conjunto de fuerzas que entre si forman una figurageométrica (rectángulo, triángulo, trapecio, etc.); este conjunto de fuerzas toma el nombre de fuerzas distribuidas.

L

q

Siendo: q = Carga o peso por unidad de longitud L = Longitud donde actúa “q”



Estática


108

Se tiene una barra sin peso como se muestra. Calcularel valor de la fuerza resultante y su posición

Se tiene una barra homogénea cuyo peso es de 100 N.Calcular el valor de la fuerza resultante y su posiciónrespecto a la fuerza de 50 N.

Hallar la suma de los momentos respecto al punto “A”

según el caso.

R = 20 40

R = 60 N R = 60 N hacia abajo

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Teorema de Varignon:

Rx = 20(0) 40 (3) 60x = 120 x = 2 m

R = 50 + 20 – 30 – 100 R = 60 R = 60 N hacia abajo

-R(x) = 50(0) – 100(2) – 30(4) + 20(5)

-60x = -200 – 120 + 100

x = 3, 66 m

1 m 2 m 1 m2 m

1 m 4 m 1 m

A

A

El signo negativo indica que el cuerpo gira respectoal punto “A” en sentido horario.

Calculando la posición:

Problemas Resueltos



Estática

Física

109

Hallar el momento resultante respecto al punto ”O”.

Cada cuadrado tiene lado “a”.

Un tablero uniforme de 480 N de peso y 3,6 m de longi-

tud, se encuentra en reposo horizontalmente sobre doscaballetes. ¿Qué fuerza ejerce el caballete B?

En una varilla de aluminio de peso despreciable se hansuspendido dos esferas, una de ellas pesa 6 N. Calcular.a) El peso de la otra esferita.b) La tensión en la cuerda que sostiene la varilla.

Dado que el tablero es uniforme, su peso (480 N)se representa en el centro del mismo.

Dado que el peso de la varilla es despreciable, noserá representado.

Problema 4

Problema 5

Problema 6

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Equilibrio:

480 (1,8) + RB (2,4) = 0 RB = 360 N

Nótese que R A no produce momento respecto alpunto A.

F

F F F

F

a

a

A B

A

B

6 N W

6 N

O

T

W

Equilibrio:

6 (0,3) + ( W x 0,1) = 0

W = 18 N

Verticalmente : Fv = 0 T = 6 + W T = 24 N



Estática


110

Se muestra una tabla uniforme horizontal de 40 N de

peso y 8 m de longitud, en uno de sus extremos cuel-ga una pesa de 10 N. Determine las tensiones en lascuerdas A y B:

Una viga homogénea de 800 N, está soportada por doscables. Una persona de 600 N de peso se encuentrade pie sobre la viga, calcule las tensiones en los cables.

Hallar F que mantiene la placa en equilibrio si su pesoes despreciable.

Problema 7

Problema 8

Problema 9

Resolución:

Resolución:

Resolución:

10 N

6 m 2 m

A B

40 N 10 N

6 m

4 m

8 m

A

T A TB

Equilibrio:

40 x 4 + TB x 6 + (10 x 8) = 0 TB = 40 N

Verticalmente:T A + TB = 40 + 10

T A = 10 N

Equilibrio: 600 x 3 + ( 800 x 4) + TB x 8 = 0

TB = 625 N

Verticalmente:T A + TB = 600 + 800 T A = 775 N

Equilibrio:

F x 32 + ( - 800 x 40) + 600 x 0 = 0

F = 1 000 N

3 m 5 m

4 m

3 m

8 m

800 N

600 N

A

T A TB

600 N

30 cm

40 cmO

800 NF

600 N40 cm

30 cm3 2

c m

O

800 NF

53°37°



Estática

Física

111

El peso de la barra uniforme en equilibrio es de 9 N,

mide L y en su extremo cuelga un bloque de 6 N. Lafuerza “F” que permite el equilibrio es horizontal y actúaen el punto medio de la barra, halle:a) La fuerza F.b) La reacción en la articulación “o”.

Problema 10

Resolución:

37°O

6 NF

D.C.L. (Barra)

37°

6 NF

A

9 N

Ry

Rx

Equilibrio:

F = 28 N

Verticalmente:

Ry = 9 + 6 Ry = 15 N

Horizontalmente: FH = 0

Rx = F = 28 N

Finalmente:

R = 31,8 N

Una viga homogénea y uniforme tiene un peso de 600 Ny mide 4 m, está articulada en 0, y se mantiene horizon-talmente amarrado por un alambre desde su extremohacia la pared, calcule la tensión en este alambre.

Se muestra una varilla articulada de 4 N de peso dispues-ta verticalmente. Calcule la tensión en el cable cuandoF es horizontal y mide 10 N.

Problema 1

Problema 2

Resolución:

Equilibrio:

T . 4 sen 37 + ( 600 x 2 ) = 0

T = 500 N

37°

Alambre

O

37°

600 N

4 m

2 m

T

O

4 s e n

3 7 °

Ry

Rx

37°2 m

3 m

F = 10 N

o

2



Estática


112

Equilibrio:

T x 5 sen 37° + ( - F x 3) = 0

T = 10 N

Resolución:

37°

3 m 5 m

O

F = 10 NT

5 s e n 3 7 °

Ry

Rx

4 N

El diagrama muestra la fuerza F que se necesita parasoportar la carretilla cuyo peso total, incluyendo la carga,es de 1 800 N, Calcule:

A) La fuerza FB) La reacción normal (N) sobre la rueda.

Un dinamómetro se ha instalado en el cable que sujetala barra uniforme de 60 N de peso. Halle la lectura deeste dinamómetro.

Un alambre homogéneo es doblado formando un ángulo““. Determine el valor de este ángulo para que existaequilibrio en la posición mostrada. Dar como respuestael coseno del ángulo.

Problema 3

Problema 4

Problema 5

Resolución:

Resolución:

A) Equilibrio:

F x 1,5 + 1 800 x 0,5 = 0

F = 600 N

B) Verticalmente:

F + N = 1 800

F + 600 = 1 800

F = 1 200 N

Equilibrio:

T . 2 Lsen 30° + (- 80 x 2 Lcos 60°) + (-60 x Lcos 60°) = 0

T = 110 N

1 m 0,5 mEje

N

F

1 800 N

Dinamómetro

60°

80 N30°

2L cos 60°

L cos 60°

2 L s e

n 3 0 ° 60°

80 N

60 N

T 30°

L

L

Ry

R

O

x

L

3L

Horizontal

g



Estática

Física

113

Asumiremos la existencia de dos alambres: L y 3L Dado que el alambre es homogéneo:

WL = kL ; W3L = k(3L)

D.C.L.

Resolución:

3KL

3L2 cos -L

3L2

cos

R

O

y

KL

L/2

Equilibrio:

Se muestra dos poleas solidarias, cuyos radios estánrelacionados de 1 a 4, si P = 1 600 N. Hallar el pesode “A” para el equilibrio.

Problema 6

Resolución:

Analizando elbloque A.

P

A

4r

r

53°

y

R

W

T

x

W s e n 5

3 °

A W c o

s 5 3 °

A

53°

2

T2 = W A . Sen53° ...

Analizando las poleas:

...

=

W A = 500 N

4r

r

P

T2

O

Una barra homogénea de longitud “L” y peso “W” se

encuentra en movimiento inminente. Hallar el coefi-ciente de rozamiento estático en el plano horizontal.

Problema 7 Resolución:

45°

45°

O

W

L

L

T

L cos 45°FN

2

L c o s

4 5 °

f = FNs

D.C.L. (barra)



Estática


114

Se muestra una barra homogénea MSQ de 9 kg en laposición mostrada. Determine la tensión en el punto

medio de la barra AB.(MS = 2 SQ).

Problema 10 Resolución:

W = 2T

...

T = f

...

en

...............

FN = W

En:

En la figura, calcular el valor de mínimo para que la barrahomogénea se encuentre a punto de resbalar.

Problema 9

Resolución:

FN = P ..............

Para que sea mínimo, tendrá que ser máximo ( )

.............

en

min= ?

s

Liso

min

L/2

L/2

L sen

D.C.L. (barra) A R

f

FP

N

L/2 cos

L cos

= ? ctg = 2 (0, 5)

ctg = 1

= 45°

A Q

SB

polea lisaMhorizontal

53°

D.C.L.

Q

T

S

M

60 N30 N

R53°T

W

5k

5k

2k 2k 3k 3k



Estática

Física

115

30 (8K) + 60 (3K) = T (10 K)

T = 42 N W = 42 N

En el punto medio de la barra:

Ti = 21 N

Ti

W/2

Se muestra una barra homogénea de 600 N, apoyadasobre una pared lisa. Determine el valor de la fuerzade rozamiento necesario para mantener a la barra enreposo.

Determine la lectura del dinamómetro, si el sistema se

encuentra en reposo y la esfera es de 120 N (despreciela fricción).

La placa cuadrada homogénea de 20 N y 2 m delado, se encuentra en equilibrio mecánico. Determinela reacción en la articulación.

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Resolución:

Resolución:

+ f(4) 600 (1) = 0 f = 120 N

3 m

30°

4 m

3 m

600 N

30°

30°

60°

2 m

4 m

O

1 m

FN2

FN1

f

30°

4rDinamómetro

ideal

60

Verticalr

D.C.L. (esfera)

R

FN

120 N

30

30

F = 40 3 newtonN

R = 80 3 newton

120 newton

60

2r

O

F

W

T

N

D.C.L. (barra)

rticulación

Liso

3



Estática


116

...........

De la 1ra condición de equilibrio:

En (1) tenemos:

Resolución:

2 m

2 m

H

P

RRy

Rx

OQ F

N

Finalmente:

R = 70 N

En la figura se muestra un cilindro homogéneo en equi-librio mecánico. Determine el módulo de la fuerza derozamiento, si el dinamómetro indica 120 N.

En la figura el sistemase encuentra en reposo.Determine la longitudde la barra homogénea,desprecie la fricción.

Problema 4

Problema 5

Resolución:

Resolución:

3r r

Dinamómetro

3r

120 N

rO

F

W

NFR

60°

30°

30°

W FN1FN2

H

x / 2

x / 2

5 0 c m

30°



Estática

Física

117

En la figura mostrada se tiene una barra homogénea de

120 N. Determine la compresión del resorte, despreciela fricción; K = 20 N/cm.

La barra homogénea de 10 N de peso se encuentra enreposo. Determine el módulo de la reacción en “M”.

El sistema que se muestra se encuentra en equilibriomecánico. Determine el módulo de la fuerza que ejerceel piso sobre el bloque de 200 N si la barra homogéneapesa 120 N.

Problema 6

Problema 8

Problema 7

Resolución:

Resolución:

Resolución:

3p

2p

R

O

6a

5a 5a

120

4a

Kx

FN1

FN2

O

120 (5a) = Kx (6a)

10(4b)=FN(3b)+0,5FN(8b)

De la 2da condición de equilibrio en la barra:

T (8b) = T (6b) + 120 (3b)

2T = 120 x 3 T = 180 N

Kx = 100 N

x = 5 cm

37°

Polea ideal 37°

37°

53°

5b

120 N

5b

T

R

F

200 N

N

A 3b 3b

T

T

8b

T + FN = 200

180 + FN = 200

FN = 20 N

= 0,5

3b

8b

M

3b

4b 4b

10 N

M

N

FN

R1

f

En el bloque:



Estática


118

Se muestra una barra homogénea doblada por la mitad.

Determine “tg

”si la barra se encuentra en equilibrio.

Si el sistema se encuentra en reposo, además la esferay el bloque son de 180 N y 50 N respectivamente. De-termine la lectura del dinamómetro ideal.

Problema 9

Problema 10

Resolución:

Resolución:

Analizando la polea:

T1 .(2r) = 180 .(r)

T1 = 90 N

Analizando el bloque:

T1 = 50 + T

90 = 50 + T

T = 40 N

W

W

O

L/4

L/4

L/4

L/4

(L/4) cos - (L/2) sen

(L/4) sen

Dinamómetro

polea

homogénea

Polea

lisa

r

R=2r

R

W

T

T 180 N

180 N

180 N

2r rO

1

T1

50 N



Estática

Física

119

Ley de los Cohetes

Fuerzas en un arco

Todos los cohetes son motores de reacción. Su sistema de propulsión se basa en la tercera ley de Newton, queestablece que a cada acción le corresponde una reacción de igual magnitud y sentido contrario. En un cohetela “acción” es la salida de gases calientes a gran velocidad desde una tobera ubicada en su cola,y la “reacción”hace que el cuerpo del cohete salga disparado en el otro sentido. Este principio es común en nuestro entornoy puede demostrarse fácilmente al inflar un globo y soltarlo.

En el caso de un cohete se aplican condiciones de propulsión similares. Al quemar combustible en una cámarade combustión se produce un gas caliente bajo gran presión y este gas ejerce una presión igual en todas direc-ciones sobre las paredes de la cámara. Si ahora se hace una abertura (tobera) en un lado de la cámara, el gassaldrá a velocidades supersónicas, al mismo tiempo, una fuerza de reacción será ejercida en el lado opuestode la cámara, y ésta es la fuerza de reacción o “empuje” que impulsa el cohete hacia arriba. Por esta razón;un cohete puede funcionar independientemente del aire de la atmósfera y en las condiciones cercanas alvacío del espacio exterior; ya que no requiere (como en el caso de los aviones tipo Jet) empujar al aire pordetrás de él. La presencia de aire es de hecho un problema para los cohetes, ya que ofrece resistencia al movi-miento y eso hace que al principio del lanzamiento se muevan más lentamente que en los ambientes menosdensos a medida que se elevan.

Cuando las fuerzas actúan sobre el lado convexo: Analizando el peso P de la piedra central; dicha-fuerza presiona la piedra hacia abajo pero lageometría del conjunto lo impide, lo que seconsigue es presionar mediante sus componentesa la piedras vecinas, sin embargo estas compo-nentes se ven anuladas por fuerzas semejantesque generan las piedras contiguas.



Cinemática


Unidad

La cinemática estudia las propie-dades geométricas del movimien-to, independientemente de lasfuerzas aplicadas y de la masa dela partícula.

¿Por qué se movió

la bola?

Cuál es la trayectoria

de la bola?

Documents

FISICA Modulo 1