บทท 3 เรอง อสมการเชงเสนตวแปรเดยว

อสมการ คอ ประโยคทแสดงถงความสมพนธของจานวน โดยมสญลกษณ < ,

> , ≤ , ≥ หรอ ≠ แสดงความสมพนธ

สญลกษณแทนความสมพนธระหวางจานวนสองจานวน ไดแก

< แทนความความสมพนธ นอยกวา

> แทนความความสมพนธ มากกวา

≥ แทนความความสมพนธ มากกวาหรอเทากบ

≤ แทนความความสมพนธ นอยกวาหรอเทากบ

= แทนความความสมพนธ เทากบ

≠ แทนความความสมพนธ ไมเทากบ

แนะนาอสมการเชงเสนตวแปรเดยว

ตวอยาง ใหนกเรยนพจารณาวาประโยคสญลกษณทางคณตศาสตรทกาหนดให เปนอสมการหรอไม โดยทา

เครองหมาย √ ลงในชองวางใหถกตอง

ประโยคภาษาและประโยคสญลกษณ

ประโยคภาษา ประโยคสญลกษณ

1. ศนยนอยกวาสาม

2. สองบวกหนงเทากบสาม

3. สองเทาของจานวนจานวนหนงบวกหามากกวาสบ

4. สามเทาของจานวนจานวนหนงมากกวาหรอเทากบเกา

5. เศษสสวนหาของผลบวกของจานวนจานวนหนงกบแปดไมเทากบสบหา

6. สองเทาของผลตางของจานวนจานวนหนงกบสไมนอยกวาสาม

7. ผลบวกของจานวนจานวนหนงกบสองเมอหารดวยแปด มคาไมมากกวา

สามสบเอด

8. ผลตางของจานวนจานวนหนงกบเจดเมอหารดวยสามมคาไมเทากบสอง

อสมการ คอ ประโยคทแสดงถงความสมพนธของจานวน โดยมสญลกษณ < ,

> , ≤ , ≥ หรอ ≠ แสดงความสมพนธ

ประโยคภาษาทางคณตศาสตร คอ ประโยคทเกยวกบจานวนทเขยนเปนขอความ

ประโยคสญลกษณทางคณตศาสตร คอ ประโยคทใชสญลกษณทางคณตศาสตร

เขยนแทนขอความและคาทแสดงความสมพนธของจานวน

สรป แนะนาอสมการเชงเสนตวแปรเดยว

คาตอบของอสมการ คอ จานวนทนาไปแทนคาตวแปรในอสมการ แลวทาใหไดอสมการทเปนจรง

อสมการเชงเสนตวแปรเดยว อาจมคาตอบไดหลายลกษณะ ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 1 จงหาคาตอบของอสมการ 𝑥 ≥ −3

วธทา เนองจาก เมอแทน X ดวยจานวนจรงทกจานวนทมากกวาหรอเทากบ -3

ในอสมการ 𝑥 ≥ −3 แลวทาใหไดอสมการทเปนจรง

ดงนน คาตอบของอสมการ 𝑥 ≥ −3 คอ จานวนจรงทกจานวนทมากกวาหรอเทากบ -3

คาตอบของอสมการเชงเสนตวแปรเดยว

ตวอยางท 2 จงหาคาตอบของอสมการ 𝑎 ≠ 23

วธทา เนองจาก เมอแทน 𝑎 ดวยจานวนจรงใดๆ ทไมเทากบ 23 ในอสมการ 𝑎 ≠ 23

แลวทาใหไดอสมการทเปนจรง

ดงนน คาตอบของอสมการ 𝑎 ≠ 23 คอ จานวนจรงทกจานวนยกเวน 23

ตวอยางท 3 จงหาคาตอบของอสมการ x + 2 < x + 3

วธทา เนองจาก เมอแทน x ดวยจานวนจรงใดๆ ในอสมการ x + 2 < x + 3

แลวทาใหไดอสมการทเปนจรง

ดงนน คาตอบของอสมการ x + 2 < x + 3 คอ จานวนจรงทกจานวน

ตวอยางท 4 จงหาคาตอบของอสมการ b + 4 < b

วธทา เนองจาก ไมมจานวนจรงใดแทน b ในอสมการ b + 4 < b

แลวทาใหไดอสมการทเปนจรง

ดงนน ไมมจานวนจรงใดเปนคาตอบของอสมการ b + 4 < b

จากตวอยางขางตนแสดงใหเหนถงอสมการ 3 แบบ ตามลกษณะคาตอบดงน

1. อสมการทมจานวนจรงบางจานวนเปนคาตอบ

2. อสมการทมจานวนจรงทกจานวนเปนคาตอบ

3. อสมการทไมมจานวนจรงใดเปนคาตอบ

คาตอบของ อสมการ สามารถแสดงคาตอบโดยใชเสนจานวนได โดยเฉพาะคาตอบของอสมการ

ทมคามากกวา หรอนอยกวาจานวนใดจานวนหนง หรอมคาเปนชวง การแสดงคาตอบโดยใชเสนจานวน

จะทาใหเหนภาพชดเจนยงขน

จดทบ ( )• แสดงวา ตวเลข ณ จดนนเปนคาตอบของสมการหรออสมการดวย

จดโปรง ( ) แสดงวา ตวเลข ณ จดนนไมเปนคาตอบของสมการหรออสมการ

แสดง จานวนทมคามากกวาจานวนทเปนจดเรมตนของลกศร

แสดง จานวนทมคานอยกวาจานวนทเปนจดเรมตนของลกศร

กราฟแสดงคาตอบของอสมการ

ตวอยางท 1 จงเขยนกราฟแสดงคาตอบของอสมการ x ≥ 2

วธทา คาตอบของอสมการ x ≥ 2 คอ จานวนจรงทกจานวนทมากกวาหรอเทากบ 2

กราฟแสดงคาตอบของอสมการ x ≥ 2 เปนดงน

-2 -1 0 1 2 3

ตวอยางท 2 จงเขยนกราฟแสดงคาตอบของอสมการ x < −7

วธทา คาตอบของอสมการ x < −7 คอ จานวนจรงทกจานวนทนอยกวา -7

กราฟแสดงคาตอบของอสมการ x < −7 เปนดงน

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

ตวอยางท 3 จงเขยนกราฟแสดงคาตอบของอสมการตอไปน

1. x ≠ 5

2 3 4 5 6 7 8

2. x ≤ −1

-3 -2 -1 0 1 2 3

3. −2 < x ≤ 5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

4. −3 ≤ x ≤ 2

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

ตวอยางท 4 จงหาวากราฟแสดงคาตอบในแตละขอตอไปนแสดงจานวนใดบาง 1.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

ตอบ จานวนจรงทกจานวนท.......................................................................................

2.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

ตอบ จานวนจรงทกจานวนท.......................................................................................

3.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

ตอบ จานวนจรงทกจานวนท.......................................................................................

4.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

ตอบ จานวนจรงทกจานวนท.......................................................................................

คาตอบของอสมการ คอ จานวนทนาไปแทนคาตวแปรในอสมการ แลวทาใหไดอสมการทเปนจรง

กราฟแสดงคาตอบของอสมการ จดทบ ( )• แสดงวา ตวเลข ณ จดนนเปนคาตอบของสมการหรออสมการดวย

จดโปรง ( ) แสดงวา ตวเลข ณ จดนนไมเปนคาตอบของสมการหรออสมการ

แสดง จานวนทมคามากกวาจานวนทเปนจดเรมตนของลกศร

แสดง จานวนทมคานอยกวาจานวนทเปนจดเรมตนของลกศร

สรป คาตอบของอสมการเชงเสนตวแปรเดยว

การแกอสมการ คอ การหาคาตอบทงหมดของอสมการ

การแกอสมการเราใชสมบตการบวกของการไมเทากนและสมบตการคณของการไมเทากน ดงน

การแกอสมการเชงเสนตวแปรเดยว

สมบตการบวกของการไมเทากน

ให 𝑎 , 𝑏 และ 𝑐 แทนจานวนจรงใดๆ

1. ถา 𝑎 < 𝑏 แลว 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐

เชน

2. ถา 𝑎 ≤ 𝑏 แลว 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐

เชน

3. ถา 𝑎 > 𝑏 แลว 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐

เชน

4. ถา 𝑎 ≥ 𝑏 แลว 𝑎 + 𝑐 ≥ 𝑏 + 𝑐

เชน

สมบตการคณของการไมเทากน

ให 𝒂 ,𝒃 และ 𝒄 แทนจานวนจรงใดๆ

1. ถา 𝑎 < 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงบวก แลว 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐

เชน

2. ถา 𝑎 ≤ 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงบวก แลว 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑐

เชน

3. ถา 𝑎 < 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงลบ แลว 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐

เชน

4. ถา 𝑎 ≤ 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงลบ แลว 𝑎𝑐 ≥ 𝑏𝑐

เชน

5. ถา 𝑎 > 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงบวก แลว 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐

6. ถา 𝑎 ≥ 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงบวก แลว 𝑎𝑐 ≥ 𝑏𝑐

7. ถา 𝑎 > 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงลบ แลว 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐

8. ถา 𝑎 ≥ 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงลบ แลว 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑐

ตวอยางท 1 จงแกอสมการ 4 4 20x + > และเขยนกราฟแสดงคาตอบ

วธทา จาก 4 4 20x + >

นา………………………………………………………………………………………………..

จะได ………………………………………………………

ดงนน ………………………………………………………

นนคอ คาตอบของอสมการ 4 4 20x + > คอ...............................................................

และเขยนกราฟแสดงคาตอบไดดงน

ตวอยางท 2 จงแกอสมการ 3 6 18− > −x และเขยนกราฟแสดงคาตอบ

วธทา จาก 3 6 18− > −x

นนคอ คาตอบของอสมการ 3 6 18− > −x คอ...............................................................

และเขยนกราฟแสดงคาตอบไดดงน

ตวอยางท 3 จงแกอสมการ 5 2 2− ≥x x และเขยนกราฟแสดงคาตอบ

วธทา จาก 5 2 2− ≥x x

นนคอ คาตอบของอสมการ 5 2 2− ≥x x คอ...............................................................

และเขยนกราฟแสดงคาตอบไดดงน

ตวอยางท 4 จงแกอสมการ 7 6 8 10− ≤ −x x และเขยนกราฟแสดงคาตอบ

วธทา จาก 7 6 8 10− ≤ −x x

นนคอ คาตอบของอสมการ 7 6 8 10− ≤ −x x คอ...............................................................

และเขยนกราฟแสดงคาตอบไดดงน

ตวอยางท 5 จงแกอสมการ 2 7− >x และเขยนกราฟแสดงคาตอบ

วธทา จาก 2 7− >x

นนคอ คาตอบของอสมการ 2 7− >x คอ...............................................................

และเขยนกราฟแสดงคาตอบไดดงน

ตวอยางท 6 จงแกอสมการ ( ) ( )5 4 6 2 6+ ≤ −x x

วธทา จาก ( ) ( )5 4 6 2 6+ ≤ −x x

นนคอ คาตอบของอสมการ ( ) ( )5 4 6 2 6+ ≤ −x x คอ.......................................................................

ตวอยางท 7 จงแกอสมการ ( ) ( )5 2 3 4 2 1− − > −x x

วธทา จาก ( ) ( )5 2 3 4 2 1− − > −x x

นนคอ คาตอบของอสมการ ( ) ( )5 2 3 4 2 1− − > −x x คอ..................................................................

การแกอสมการ คอ การหาคาตอบทงหมดของอสมการ

การแกอสมการเราใชสมบตการบวกของการไมเทากนและสมบตการคณของการไมเทากน ดงน

สมบตการบวกของการเทากน สมบตการคณของการเทากน

ให 𝑎 , 𝑏 และ 𝑐 แทนจานวนจรงใดๆ

1. ถา 𝑎 < 𝑏 แลว 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐

2. ถา 𝑎 ≤ 𝑏 แลว 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐

3. ถา 𝑎 > 𝑏 แลว 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐

4. ถา 𝑎 ≥ 𝑏 แลว 𝑎 + 𝑐 ≥ 𝑏 + 𝑐

ให 𝑎 , 𝑏 และ 𝑐 แทนจานวนจรงใดๆ

1. ถา 𝑎 < 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงบวก แลว 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐

2. ถา 𝑎 ≤ 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงบวก แลว 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑐

3. ถา 𝑎 < 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงลบ แลว 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐

4. ถา 𝑎 ≤ 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงลบ แลว 𝑎𝑐 ≥ 𝑏𝑐

5. ถา 𝑎 > 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงบวก แลว 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐

6. ถา 𝑎 ≥ 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงบวก แลว 𝑎𝑐 ≥ 𝑏𝑐

7. ถา 𝑎 > 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงลบ แลว 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐

8. ถา 𝑎 ≥ 𝑏 และ 𝑐 เปนจานวนจรงลบ แลว 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑐

สรป การแกอสมการเชงเสนตวแปรเดยว

ตวอยางท 1 จงแกอสมการ 2 1 33 6 2− >

x x

วธทา 2 1 33 6 2− >

x x

นนคอ คาตอบของอสมการ 2 1 33 6 2− >

x x คอ....................................................................................

ตวอยางท 2 จงแกอสมการ 3 2 9 1 1

3 7− +

+ ≥x x

วธทา 3 2 9 1 1

3 7− +

+ ≥x x

นนคอ คาตอบของอสมการ 3 2 9 1 1

3 7− +

+ ≥x x

คอ...........................................................

ตวอยางท 3 จงหาจานวนเตมทมากทสดทเปนคาตอบของอสมการ ( )2 1 2 53 3− < −

x x x

วธทา ( )2 1 2 53 3− < −

x x x

ดงนน คาตอบของอสมการ ( )2 1 2 53 3− < −

x x x คอ...............................................................

นนคอ จานวนเตมทมากทสดทเปนคาตอบของอสมการทกาหนดใหคอ........................................

ตวอยางท 4 จงหาจานวนเตมทนอยทสดทเปนคาตอบของอสมการ 2 13 42

3 4+ −

> −x x

วธทา 2 13 42

3 4+ −

> −x x

ดงนน คาตอบของอสมการ 2 13 42

3 4+ −

> −x x

คอ...............................................................

นนคอ จานวนเตมทนอยทสดทเปนคาตอบของอสมการทกาหนดใหคอ........................................

สาหรบการแกอสมการทมเครองหมาย ≠ เราจะใชสมบตการบวกของการไมเทากนและสมบต

การคณของการไมเทากน แตจะใชการแกสมการเพอหาคาตอบ ซงเมอไดคาตอบของสมการแลวจะ

ทาใหไดคาตอบของอสมการทมเครองหมาย ≠ เปนจานวนจรงทกจานวนยกเวนจานวนทเปน

คาตอบของสมการนน

ตวอยางท 5 จงแกอสมการ 15 36+ ≠x และเขยนกราฟแสดงคาตอบ

วธทา 15 36+ ≠x

ดงนน คาตอบของสมการ 15 36+ =x คอ....................................................................

นนคอ คาตอบของอสมการ 15 36+ ≠x คอ...............................................................

และเขยนกราฟแสดงคาตอบไดดงน

ตวอยางท 6 จงแกอสมการ ( ) ( )6 2 3 4 1+ ≠ − −x x

วธทา ( ) ( )6 2 3 4 1+ ≠ − −x x

ดงนน คาตอบของสมการ ( ) ( )6 2 3 4 1+ = − −x x คอ....................................................................

นนคอ คาตอบของอสมการ ( ) ( )6 2 3 4 1+ ≠ − −x x คอ....................................................................

ตวอยางท 7 จงแกอสมการ 3 1 7 2

2 5+ −

≠x x

วธทา

3 1 7 22 5+ −

≠x x

ดงนน คาตอบของสมการ 3 1 7 2

2 5+ −

=x x

คอ....................................................................

นนคอ คาตอบของอสมการ 3 1 7 2

2 5+ −

≠x x

คอ..................................................................

การแกอสมการ คอ การหาคาตอบทงหมดของอสมการ

การแกอสมการเราใชสมบตการบวกของการไมเทากนและสมบตการคณของการไมเทากน

สาหรบการแกอสมการทมเครองหมาย ≠ เราจะใชสมบตการบวกของการไมเทากนและสมบต

การคณของการไมเทากน แตจะใชการแกสมการเพอหาคาตอบ ซงเมอไดคาตอบของสมการแลวจะ

ทาใหไดคาตอบของอสมการทมเครองหมาย ≠ เปนจานวนจรงทกจานวนยกเวนจานวนทเปน

คาตอบของสมการนน

สรป การแกอสมการเชงเสนตวแปรเดยว

ตวอยางท 1 เมอนา 50 ไปลบออกจากผลบวกของจานวนเตมบวกจานวนหนงกบ 18 ทาใหผลลพธมคานอย

กวา 6 จงหาวาจานวนเตมบวกเปนจานวนใดไดบาง

วธทา ใหจานวนเตมบวกทตองการ คอ................................

ตวอยางท 2 จานวนบวกสองจานวนไมเทากนใหผลบวกเทากบ 32 และผลตางของสองจานวนนมคาไมเกน

11 จงหาจานวนบวกทมคามาก

วธทา ใหจานวนบวกทมคามาก คอ................................

จานวนบวกทมคานอย คอ................................

ตวอยางท 3 ครมาลซอปากกามาจานวนหนงเพอแจกใหนกเรยนในหอง หลงจากแจกไปแลว 10 ดาม ปรากฎ

วาเหลอปากกาไมถง 24 ดาม คณครมาลซอปากกามากทสดกดาน

วธทา ใหคณครมาลซอปากกามา ................................

ตวอยางท 4 มานตสอบคณตศาสตรทงหมด 4 ครง แตละครงมคะแนนเตม 100 คะแนน มานตสอบ 3 ครง

แรกไดคะแนน 85 , 91 และ 76 คะแนน เขาจะตองไดคะแนนอยางตากคะแนนในการสอบครงท 4 เขาจงจะ

ไดคะแนนเฉลยจากการทดสอบทงสครงมากกวา 85 คะแนน ถาคะแนนทไดเปนจานวนเตมเทานน

วธทา ใหมานตสอบครงทสไดคะแนน ……………………………………………..

มานตสอบ 4 ครงไดคะแนน……………………………………………..

เขาตองการคะแนนเฉลยจากการทดสอบทงสครงมากกวา 85 คะแนน

ตวอยางท 5 จานวนเตมบวกสองจานวนตางกนอย 8 ถานา 3 เทาของจานวนนอยบวกกบจานวนมาก จะ

ไดผลบวกมากกวา 48 แตไมเกน 68 จงหาวาจานวนเตมบวกทเปนจานวนนอยคอจานวนใดบาง

วธทา ใหจานวนเตมบวกทมคานอย คอ................................

จานวนเตมบวกทมคามาก คอ................................

ในการแกโจทยปญหาเกยวกบอสมการเชงเสนตวแปรเดยว มขนตอนดงน

ขนท 1 วเคราะหโจทยเพอหาวาโจทยกาหนดอะไรมาใหและใหหาอะไร

ขนท 2 กาหนดตวแปรแทนสงทโจทยใหหาหรอแทนสงทเกยวของกบสงทโจทยใหหา

ขนท 3 เขยนอสมการตามเงอนไขในโจทย

ขนท 4 แกอสมการเพอหาคาตอบทโจทยตองการ

ขนท 5 ตรวจสอบคาตอบทไดกบเงอนไขในโจทย

สรป โจทยปญหาเกยวกบอสมการเชงเสนตวแปรเดยว