Akar Dan Pangkat.docx

8/20/2019 Akar Dan Pangkat.docx

1/32

Akar dan Pangkat

A. Konsep bilangan berpangkat positif

Contoh Soal:

Siapkan sebuah kertas gambar, lalu cobalah lipatlah menjadi 2 sama besar dengan cara

melipat pada tengah-tengah kertas. alu lipatlah lagi dengan cara !ang sama.

a. "ika anda mengulangi langkah ini seban!ak # kali, dan anda membuka lipatan tersebut, berapa

ban!ak persegi panjang !ang terbentuk !ang dibatasi oleh garis-garis lipatan !ang anda buat$

b. "ika anda mengulangi langkah ini seban!ak 2 kali, dan anda membuka lipatan tersebut, berapa


c. "ika anda mengulangi langkah ini seban!ak % kali, dan anda membuka lipatan tersebut, berapa


d. &entukan hubungan antara jumlah lipatan !ang anda buat dengan persegi panjang !ang

terbentuk'

"a(ab:

a. Akan terdapat 2 persegi panjang )bisa anda coba sendiri dengan kertas !ang anda pun!a*

b. Akan terdapat + persegi panjang

c. Akan terdapat %+ persegi panjang

d. &erlihat bah(a pada setiap lipatan tambahan !ang anda buat, akan terdapat persegi panjangseban!ak 2 )dua* kali lipat. Sekarang kita akan melihat hubungann!a dengan tabel.

"umlah lipatan an!ak persegi panjang

# 2

2 + 2 2

/ 0 2 2 2

+ #% 2 2 2 2

1 /2 2 2 2 2 2

... ...

n 2 2 2 2 2 ... 2 )2 seban!ak n kali*

Kita mengenal bah(a 2×2×2× … ×2=2n

)dengan angka 2 seban!ak n kali*

Sehingga dapat didefinisikan bah(a:


2/32

an=a × a × a × a × a × … × a )dengan jumlah a seban!ak n faktor*, dengan s!arat a adalah

bilangan real.

engan menggunakan definisi di atas, marilah kita berlatih soal sejenak:

#. &entukanlah nilai dari:

a. 74

b. 23

.32

c. ( 45 )4

d. a

4

. a

3

e. x

6

x2

f. ( p4 )2

2. iketahui pada biakan agar darah suatu bakteri, setiap 2 hari bakteri akan berkembang biak

menjadi / kali lipatn!a. iketahui terdapat #3 bakteri didapat pada hari ke-3 )hari penanaman

biakan bakteri dengan agar darah*, tentukan jumlah bakteri !ang terdapat pada agar darah

tersebut jika dilihat 2 minggu kemudian' )# minggu 4 hari*

/. &entukan sisa pembagian dari 22016

oleh #3. )5int: Cobalah dengan menggunakan bilangan

berpangkat !ang lebih kecil terlebih dahulu, lalu anda simpulkan pola apa !ang terjadi*.

. Pangkat 3 dan pangkat bulat negatif

efinisi #: 6ntuk a bilangan real dan a ≠0 , maka ao=1


3/32

efinisi 2: 6ntuk a bilangan real dan a ≠0 serta m merupakan bilangan bulat negatif, maka

a−m=

1

am

Contoh soal:

#. &entukan nilai dari 2−6

2. &entukan nilai dari

3

−¿¿¿

/. "ika x=8 , y=4 , tentukan nilai dari: x2

y−4

"a(ab:

#.2−6=

1

26=

1

64

2. (−3)−3=

1

(−3 )3=−127

/. x2

y−4=

x2

y

4

alu kita subtitusikan x=8dan y=4 , didapat:

x2

y4=82

44= 64

256=

1

4

Soal:

#. Perhatikan soal berikut:

a. &entukan nilai dari p=55

b. &entukan nilai dari q=5−5

c. &entukan nilai dari pq


4/32

d. "ika x=ab

dan y=a−b

, tentukanlah nilai dari xy

e. Apa !ang dapat anda pelajari dari soal ini$

2. &entukan nilai dari:

a. (−4 )−4

b. (23 )2

(32 )−2

c.

83

.2−9

( 12 )−2

.4−1

+(−1 )−2016

d. (−1 )0+(−1 )−1+ (−1 )−2+(−1)−3+…+(−1 )−2016

C. Sifat-sifat pangkat bilangan bulat

Contoh soal:

Perhatikan soal berikut:

#. iketahui: a= p4

, dan b= p2

a. &entukan nilai dari ab dan ab

b. "ika a= p x

dan b= p y

, tentukan nilai dari ab dana

b

c. &entukan juga nilai dari a3

dan b4

d. &entukan nilai dari an

e. "ikac= pk

, tentukan nilai daric

n

f. Apa !ang dapat anda pelajari dari soal ini$

"a(ab:

a. 7ilai dari ab adalah ¿a . b= p4

. p2= ( p × p × p × p )× ( p × p )= p6


5/32

7ilai daria

b adalah¿

a

b=

p4

p2=

p × p× p× p

p × p = p × p= p2

b. iketahui:a= p x= p × p × …× p ) p seban!ak x faktor*

b= p y= p × p ×… × p ) p seban!ak y faktor*

8aka:

ab= p x . p y=( p × p × …× p)×( p × p × … × p)

Perhatikan bah(a kumpulan p !ang di dalam kurung pertama seban!ak faktor, sedangkan

kumpulan p !ang di dalam kurung pertama seban!ak ! faktor.¿ p × p × … × p )seban!ak x+ y faktor*

¿ p x+ y

engan pendekatan !ang sama, didapatkana

b= p x− y

c. a3=( p4 )3= p4 × p4 × p4= p4+4+4= p12

b4=( p3 )4= p3 × p3 × p3 × p3= p3+3+3+3= p12

d. an=( p4 )

n= p4 × p4× … × p4 )seban!ak n kali* ¿ p

4n

e. c

n

=( pk

)

n

= pk

× p

k

×… × p

k

)sebakn!ak n kali* ¿ pkn


6/32

f. isini kita belajar bah(a:

p x

. p y= p x + y

p x

p y= p x− y

( p x ) y

= p xy

6ntuk p bilangan real dan p≠0 , x , y bilangan bulat.

Contoh soal:

2. &entukan nilai dari a x

. b x

/. &entukan nilai dari:

a.(24 )4

(23 )5 . 2

−2

b.32016+32016+32016

62015+62015+62015+62015+62015+62015

× (22014+22014+22014+22014 )

"a(ab:

2. a x . b x=(a . a . a . … . a ) )seban!ak kali* ×(b . b . b . … . b) )seban!ak kali*

¿(ab.ab.ab.….ab) )seban!ak kali* ¿ (ab) x

Perhatikan bah(a : (ab ) x

≠ a b x

/. a.(24 )4

(23 )5 . 2

−2=2

4×4

23×5

.2−2=

216

215

.2−2

¿216−15.2−2=2.2−2

¿21−2=2−1=1

2


7/32

b.32016+32016+32016

62015+62015+62015+62015+62015+62015

× (22014+22014+22014+22014 )

¿3 .3

2016

6 .62015

× (4 .22014)=32017

62016

× (22 .22014 )= 32017

(2.3)2016 ×2

2016

¿ 3

2017

22016

.32016

×22016=3


8/32

atihan soal:

#. 5itunglah atau sederhanakanlah:

a. 3 x4 y ×5 x

2 y

2×15 x

−6 y

−4

b. x ( x

2

−7 x+3 )−( x3

−7 x2

) x

−1

c.e

x

e1− x

d.36 ( x ×2 y )2

3 x × y2

÷(12 x (3 y )2

9 x2

y )2

e. (−5 )3

×

( 1

15)2

×

(10

3 )4

×

(9

5 )5

f.(37×73 ×2)

423

g.a−2−b−2

a−1+b−1

2. &entukanlah nilai !ang memenuhi:

a. 2 .3 x=162

b. 2 x−3=4 x+1

c. 22 x+22 x+22 x+22 x+4 x+1+4 x+1+4 x+1=8 x

/. 5itunglah

32008

(102013

+52012

×22011

)52012 (62010+32009×22008 )

. Pangkat pecahan dan akar


9/32

8isalkan a adalah bilangan real tak nol, dan m bilangan bulat positif, maka a1

m= p

adalah bilangan real positif sehingga pm=a atau p=

m√ a atau !ang kita sebut dengan

bentuk akar.

Pada bentuk akar pecahan a p

q , maka bentuk akarn!a adalahq√ a p , atau !ang biasa

disebut akar pangkat 9 dari a p

.

Sifat-sifat !ang berlaku di dalam pangkat bilangan bulat juga berlaku di pangkat pecahan.


10/32

Contoh soal:

#. 7!atakan dalam bentuk akar dan pangkat positif'

a. x3

5

b. a1

3 . a1

2 . a1

6

c. p−56

d. (8 x3 y3 )1

3

"a(ab:

a. x3

5=5

√ x3

b. a1

3 . a1

2 . a1

6=a1

3+12+16=a

2

6+36+16=a1=a

c. p

−56 =

1

p5

6

= 1

6

√ p5

d. (8 x3

y3

)

1

3

= (23

x3

y3

)

1

3

=23×

1

3

. x

3×1

3

. y

3× 1

3

=21

. x1

. y1

=2 xy

atihan soal:

#. 7!atakan dalam bentuk pangkat positif:

a.6

√ 729a18b−6 e.(2n+2 )

2

−22 ×22n

3

√ 64 .26n

b. x

2

x √ x f.a

5

3

b

1

2

−a

2

3

b

3

2

a

7

6 b

1

2−a2

3 b

c.3a

−2

5 x−1

y g.( 3√ x− 3√ y ) ( 3√ x2+ 3√ xy+ 3√ y2 )

√ x−√ y


11/32

d.2a

1

2 . a2

3 .6a−73

9a

−53 . a√ a

2. &entukan nilai dari1

1+ xa−b+ xc−b+

1

1+ xb−a+ xc−a+

1

1+ xa−c+ xb−c

/. iketahui r,s , dan t merupakan suatu konstanta sehingga:

xr−2

. y2 s

. z3 t +1

x2 r

. ys−4

. z2 t −3= xyz

untuk semua nilai ,!, dan real. Carilah nilai dari: rs

. t

+. Carilah solusi dari sistem persamaan berikut:

{3 x+ y=8181

x− y=3

1. a. iketahui f ( x )=( 1π ) x

, carilah range dari f ( x) pada inter;al ¿

)Catatan: &anda < atau = menandakan bilangan tersebut ikut dalam inter;al , sedangkan tanda

) atau * menandakan bilangan tersebut tidak ikut dalam inter;al*

b. iketahui f ( x )=π x

, carilah range dari f ( x) pada inter;al ¿

c. Apa !ang dapat anda pelajari dari soal ini$

%. iketahui: (3

√ 7)5 x

=14 , carilah nilai dari (3

√ 7)10 x−6

4. iketahui seseorang menabung 13 juta rupiah dengan bunga x , dan membutuhkan (aktu +

tahun agar uangn!a menjadi 2 kali lipatn!a. "ika anda menabung sebesar 23 juta rupiah di bank

!ang sama dengan bunga !ang sama, maka tentukanlah (aktu !ang dibutuhkan agar uang anda

menjadi %+3 juta rupiah.


12/32

0. Sederhanakanlah:2

n+4−2.2n

2 .(2n+3)

>. "ika diketahui adalah bilangan bulat positif !ang memenuhi:

1

x+2

+2 x+1

+3 x

+4 x−1

=1882

&entukanlah nilai

#3. "ika diketahui: 4a=5 ,5b=6 ,6c=7 ,7d=8 , tentukan nilai dari abcd.

##. &entukan nilai dari:

1−4+3−4+5−4+…

1−4

+2−4

+3−4

+…

#2. &entukanlah nilai dari:

√ 1+2013.2014 .2015 .2016

?. @perasi pada bentuk akar


#. a. &entukan nilai dari a+2a

b. "ika a=√ 2 , maka tentukanlah nilai dari a+2a

c. "ika a=5

√ 8 , tentukanlah nilai dari 5a−3 a

d. &entukan nilai dari a+2b

e. "ika a=√ 5 , b=√ 3 , tentukanlah nilai dari a+2b

f. Apa !ang dapat anda simpulkan dari soal ini$

"a(ab:

a. a+2a=(1+2 ) a=3a

b. a+2a=√ 2+2√ 2=(1+2 )√ 2=3√ 2


13/32

c. 5a−3 a=55

√ 8−35

√ 8=(5−3 ) 5

√ 8=25

√ 8

d. a+2b tidak dapat disederhanakan lebih lanjut

e. a+2b=√ 5+2√ 3 )tidak dapat disederhanakan lebih lanjut

f. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar han!a bisa dilakukan apabila bentuk akarn!a

senama )eksponen dan basis sama*.

Contoh soal:

2. a. √ 24+3√ 24

b. √ 16+√ 32

c.3

√ 16+33

√ 2

d. (2+√ 3)(√ 3+√ 6)

"a(ab:

a. √ 24+3√ 24=(1+3 ) √ 24=4√ 24

7amun apakah bentuk ini sudah paling sederhana$

&ern!ata ja(abann!a adalah belum, dikarenakan √ 24 bisa diubah menjadi 2√ 6

Sehingga: √ 24+3√ 24=(1+3 ) √ 24=4√ 24=4 (2√ 6 )=8√ 6

Atau anda bisa juga memakai cara ini:

√ 24+3√ 24=2√ 6+3 (2√ 6 )=2√ 6+6√ 6=8√ 6

an menghasilkan ja(aban !ang sama'

)ebih direkomendasikan cara kedua , alasann!a dapat dilihat di soal berikutn!a*

b. √ 16+√ 32

Pertan!aan pertama !ang harus muncul di benak anda, apakah bentuk masing-masing akar ini

sudah paling sederhana atau belum$


14/32

"ika dilihat kembali, maka kita tahu bah(a √ 16=4 ,√ 32=4 √ 2 .

Sehingga bentuk penjumlahan pengurangan akan menjadi: √ 16+√ 32=4+4 √ 2 , dimana

bentuk ini tidak dapat disederhanakan lagi.

c.3

√ 16+33

√ 2=23

√ 2+33

√ 2=53

√ 2

engan bertan!a Bapakah bentuk masing-masing akar ini sudah paling sederhana atau belum$ ,

maka soal !ang tadin!a terlihat tidak dapat disederhanakan )karena bentuk akarn!a sekilas tidak

senama* , tern!ata dapat disederhanakan. 5al inilah !ang men!ebabkan mengapa cara kedua tadi

lebih direkomendasikan.

d. (2+√ 3)(√ 3+√ 6)

Pada dasarn!a mengerjakan soal ini sama seperti mengerjakan soal aljabar biasa, seperti:

(a+b ) ( c+d )=ac+ad+bc+bd

8aka:

(2+√ 3 ) (√ 3+√ 6 )=2 (√ 3)+2 (√ 6 )+√ 3 .√ 3+√ 3 .√ 6=2√ 3+2√ 6+3+√ 18=2√ 3+2√ 6+3+3 √ 2 ,

!ang bentuk ini sudah tidak dapat disederhanakan lebih lanjut.

Soal:

#. Perhatikan soal berikut ini:

6ntuk a=9 dan b=16 , tentukan nilai dari:

a. √ a+√ b

b. √ a+b

c. Apa !ang dapat anda pelajari dari soal ini$

2. Sederhanakanlah:

a. √ 90−2√ 40


15/32

b.√ 60×√ 30

√ 2+√ 32

c.

√

75

4−

√

12

4+

√

27

4

d. √4+√ 21+√ 11+√ 19+ 3√ 216

/. iketahui segitiga siku-siku AC, dengan sudut siku-siku di A. iketahui pula panjang A

√ 2+√ 3 , dan panjang AC 1+√ 6 , tentukan nilai dari B C 2

+. iketahui persegi AC dengan panjang sisi (3+4

√ 2 )cm , tentukan luas persegi AC.

1. iketahui persegi panjang AC dengan panjang A 7+2√ 5 dan C 7−√ 20 ,

tentukan keliling dan luas persegi panjang AC.

D. 8erasionalkan pen!ebut !ang berbentuk akar

&ujuan dari melakukan hal ini adalah untuk menghilangkan bentuk akar !ang terdapat di dalam

pen!ebut. Perhatikan soal berikut:

#. "ika diketahui √ 2=1.4142 , tentukan nilai dari4

√ 2

"a(ab:

"ika anda tidak disediakan kalkulator dalam menghitungn!a, tentun!a menghitung

4

√ 2= 4

1.4142 bukanlah hal !ang mudah , sekalipun untuk sa!a sebagai pembuat soal

sembarangan ini :


16/32

@leh karena itu kita akan merasionalkan pen!ebut dari bentuk pecahan berikut, !ang bertujuan

untuk menghilangkan akarn!a. entuk pecahann!a adalah4

√ 2 , pertan!aan pertama !ang

harus muncul di benak anda, harus anda kalikan dengan berapa agar pecahan tersebut bisa

dihilangkan bentuk akarn!a$ )untuk melihat berbagai ja(abann!a, bisa dilihat di halaman

berikutn!a*

an !a' &ern!ata ja(aban !ang muncul cukup ban!ak, bagaimana kalau kita kalikan dengan

beberapa bilangan di ba(ah ini$

√ 2,√ 8 ,√ 32

Coba kita ambil pen!ebut dari pecahan tersebut, !akni √ 2 , dan kita kalikan dengan bilangan-

bilangan tersebut.

√ 2×√ 2=√ 4=2

√ 2×√ 8=√ 16=4

√ 2×√ 32=√ 64=8

Enilah tujuan kita' Sekarang kita akan kembali ke pecahan tersebut , !aitu4

√ 2

Pen!ebut dari pecahan tersebut akan kita kalikan dengan , katakanlah √ 2

Sehingga kita akan mengalikann!a seperti ini:4

√ 2× √ 2

√ 2 )perlu diketahui kita harus

mengalikann!a dengan 1=√ 2

√ 2 agar nilai !ang dimaksud dari soal tidak berubah, ingat bah(a

# dikalikan dengan bilangan apapun , hasiln!a adalah bilangan !ang dikalikan dengan #

tersebut*. @ke mari lanjut:

4

√ 2× √ 2

√ 2=

4 √ 2

2=2√ 2


17/32

7ah sekarang bukanlah hal !ang sulit untuk menghitung 2√ 2 , !aitu :

2√ 2=2×1.4142=2.8284

Sekarang mari kita ke contoh-contoh soal berikut:

2. Fasionalkanlah pen!ebut dari pecahan berikut ini:

a.2

5

√ 4

b.4

√ 3+1

c.

1

3

√ 4+3

√ 2+1

"a(ab:

Seperti biasa , tujuan kita adalah untuk menghilangkan akar !ang merepotkan tersebut.

a.2

5

√ 4=

2

5

√ 22=

2

5

√ 22×

5

√ 23

5

√ 23=

25

√ 23

2 =

5

√ 23

Komentar: 8ungkin pada saat anda melihat soal ini pertama kali, anda akan mengalikann!a

dengan

5

√ 445

√ 44 . 5al ini tidaklah salah )dan akan menghasilkan hasil !ang seharusn!a sama

seperti !ang diatas*, karena ada ban!ak cara !ang bisa ditempuh , dan akan menghasilkan hasil

!ang sama. 7amun untuk angka !ang lebih besar, sebaikn!a anda melihat-lihat terlebih dahulu

harus anda kalikan dengan bilangan apa, agar kesalahan hitung !ang terjadi lebih sedikit.

b.4

√ 3+1

agaimana cara anda menghilangkan bentuk akar seperti ini$

Engatlah bentuk faktorisasi : (a+b ) ( a−b )=a2−b2


18/32

engan menganggap a=√ 3 ,b=1 , kita berarti harus mengalikan pen!ebut dengan

(√ 3−1)

8aka:4

√ 3+1= 4

√ 3+1 ×√ 3−1

√ 3−1=4 (√ 3−1 )

2 =2 (√ 3−1 )=2√ 3−2

c.1

3

√ 4+3

√ 2+1=

1

3

√ 4+3

√ 2+1×

3

√ 2−13

√ 2−1=

3

√ 2−1

( 3√ 2)3

−13=3√ 2−1

)ingat bentukG a3−b3=( a−b ) ( a2+ab+b2 ) *

Catatan: entuk faktorisasi !ang harus anda ingat:

x2− y2=( x+ y ) ( x− y )

x3− y3=( x− y ) ( x2+ xy+ y2 )

x3+ y3= ( x+ y ) ( x2− xy+ y2 )

(an−bn )=(a−b ) (an−1+an−2b+an−3 b2+…+a bn−2+bn−1 )a

n+bn=(a+b ) (an−1−an−2 b+an−3 b2+…−a bn−2+bn−1) , nbilangan ganjil

H. 8en!ederhanakan bentuk √ ( p+q ) 2√ pq


#. uktikan bah(a:

a. (√ p+√ q )2

=( p+q )+2√ pq

b. (√ p−√ q )2

=( p+q )−2√ pq

c. Cobalah anda mengakar-pangkat 2 kan kedua ruas dari soal a dan b , apa !ang anda dapatkan$

"a(ab:

Sesuai dengan identitas:(a+b )2=a2+2ab+b2

(a−b )2

=a2−2ab+b2

idapat:

a. (√ p+√ q )2

=(√ p)2

+2√ p .√ q+(√ q )2

= p+2√ pq+q=( p+q )+2√ pq


19/32

b. (√ p−√ q )2

=(√ p )2

−2√ p .√ q+(√ q )2

= p−2√ pq+q=( p+q )−2√ pq

c. ari soal a:

(√ p+√ q )2

=( p+q )+2√ pq

Kita mengakar-pangkat 2 kan kedua ruas, didapat:

√ p+√ q=√ ( p+q )+2√ pq

alu dari soal b:

(√ p−√ q )2

=( p+q )−2√ pq

Kita mengakar-pangkat 2 kan kedua ruas, didapat:

√ p−√ q=√ ( p+q )−2√ pq )nilai p harus lebih besar dari 9*

Kedua bentuk diatas patut diingat, dan mungkin akan ban!ak ;ariasi soal dari sini.

Contoh soal:

2. Sederhanakanlah bentuk dari:

a. √ 8+2√ 15

b. √ 9−4√ 5

c. √ 2−√ 3

"a(ab:

a. √ 8+2√ 15 sudah merupakan dalam bentuk : √ ( p+q ) 2√ pq

iketahui: p+q=8 ! pq=15

engan menebak-nebak , kita dapat mengetahui bah(a p=3 , q=5

Sehingga: √ 8+2√ 15=√ 3+√ 5

b. √ 9−4√ 5 belum merupakan dalam bentuk : √ ( p+q ) 2√ pq , sehingga kita harus

memanipulasi bentuk akar tersebut , sehingga menjadi bentuk !ang diinginkan.


20/32

√ 9−4√ 5=√ 9−2√ 20 , !ang menjadi bentuk !ang kita inginkan.

engan kita mengetahui bah(a: p+q=9 , pq=20 , didapat: p=5 , q=4 )ingat pI9*

Sehingga: √ 9−2√ 20=√ 5−√ 4=√ 5−2

c. √ 2−√ 3=√(2−√ 3)× 22=√ 4−2√ 3√ 2 =√ 3−1√ 2 =√ 3−1√ 2 × √ 2√ 2=√ 6−√ 22

Soal:

#. Fasionalkanlah:

a.2

√ 6 b.3

√ 5 c.1

3

√ 2 d.4

3

√ 12+ 8

3

√ 96

e.2

√ 5−√ 3 f.4−√ 24+√ 2

g. x

x+√ x2− y2 h.√ 1+ x2−√ 1− x2

√ 1+ x2+√ 1− x2i.

1

3

√ 3−1 j.

14

√ 5−4

√ 3

k.1

√ 2+√ 3+√ 5

2. Carilah nilai dari sederhanakanlah:

a. √ 11+2√ 30 b. √ 10−4√ 6 c. √ 8−√ 15 d.

√ 16−5√ 7

e. √ 1+a2+√ 1+a2+a4 f.

4

√ 17+12√ 2 g.3

√ 72−32√ 5

h. √ 10+2√ 6+2√ 10+2√ 15


21/32

/. Carilah nilai dari:

√ 3−√ 5

√ 2+√ 7−3√ 5

+. Carilah nilai dari:1

√ 2+√ 3+

1

√ 3+√ 4+…+

1

√ 99+√ 100

Setelah anda men!elesaikan semua soal ini , akan ada beberapa paket latihan ujian !ang akan

sa!a berikan, mohon dikerjakan dengan baik. Print lembar ulangan secara terpisah jika perlu.

atihan ulangan #. 7ama: Jaktu: %3 menit

#. iketahui persamaan kuadrat dalam bentuk a x2+bx+c=0 mempun!ai dua nilai !ang

memenuhi persamaan tersebut , !aitu : " =−b+√ b2−4ac

2a dan #=

−b−√ b2−4 ac2a .

uktikan bah(a hasil kali kedua nilai tersebut adalah: " . #=c

a

2. Fumus luas permukaan bola adalah $=4 π r2

dan rumus ;olume bola adalah % =4

3 π r3

.

7!atakan S dalam bentuk .


22/32

/. Fasionalkanlah:

1

√ 2+√ 3+√ 5+

1

√ 2+√ 3−√ 5+

1

√ 2−√ 3+√ 5+

1

√ 2−√ 3−√ 5

+. iketahui: pa3−b3=qa

3+b3=ra2−b2

, buktikan bah(a: ( pq )a2+b2

=r2b. p q−ab

1. Sederhanakanlah:

3

√a+a+83 √a−13 + 3√a−a+83 √a−13


23/32


24/32

atihan ulangan 2. 7ama: Jaktu: %3 menit

#. iketahui persamaan kuadrat dalam bentuk a x2+bx+c=0 mempun!ai dua nilai !ang

memenuhi persamaan tersebut , salah satun!a !aitu : " =−b+√ b2−4ac

2a

uktikan bah(a " juga dapat din!atakan menjadi:" =

2c

−b−√ b2−4ac

2. Selesaikan sistem persamaan berikut: { 2 x+3 y=41

2 x+2+3 y+2=209

/. uktikan bah(a:

1

1+ xa−b+ xa−c+ 11+ xb−c+ xb−a

+ 11+ xc−a+ xc−b

= 11+ xa−b

+ 11+ xb−a


25/32

+. &entukan nilai dari:

√ 2

√ 2+1+

2

√ 3+√ 2+

2

2+√ 3+…+

2

7 √ 2+3√ 11+

2

3√ 11+10

1. iketahui x=

4

(√ 5+1) ( 4√ 5+1) ( 8√ 5+1 ) (16√ 5+1) , tentukan nilai dari( x+1 )48


26/32

atihan ulangan /. 7ama: Jaktu: %3 menit

#. Sederhanakanlah:

(1+(1+ ( (3− x ) . ( x+1 )−1 )−1 )−1)−1

2. 7!atakan dalam bentuk pangkat positif:

( x ( x2− y2 ))3. ( y ( x+ y ) )4

( x3+ y3 )4

. ( x− y )3.( x2− xy+ y2)4

( xy )3

/. "ika √ x=√ a− 1

√ a , tentukan nilai dari:( x+2+√ x2+4 x )( x+2−√ x2+4 x ) dan n!atakan dalam a


27/32

+. Sederhanakan:

√ x+2+3√ 2 x−5−√ x−2+√ 2 x−5

1. Fasionalkanlah:

3√ 2−√ 14

√ 18+6 √ 2+4√ 3+2√ 6+2√ 14+2√ 21+2√ 42


28/32

atihan &ambahan

#. &entukan nilai dari:

a. (√ 3)−3+(√ 3)

−2+(√ 3 )

−1+ (√ 3 )

0

+ (√ 3 )1

+ (√ 3 )2

+ (√ 3 )3

b.3

√ 36× 6

√4

3× √ 27

c.(( 25 )

3

8)1

2 ×( (2.5 )−14 )

1

2

(0.4 )3

16

d.b−1+a b−2

1−a2b−2

e. (a3

√ b4

a1

2 b )6

(ab )−1

2. Carilah nilai !ang memenuhi:

a. 4 x +3=

4

√ 8 x+5

b. √ 5+ x

√ 5− x=1

c. 2 x

2−2 x+2+2 x2−2 x=5

d.√ a√ a√ a

a =a x

e. ((2√ x+3 )1

√ x ) 2

√ x−1=( 3√ 2)

2 x

/. iketahui 2 x+2− x=12 , tentukan nilai dari: 4

x+4− x

+. Hambarlah fungsi ini: f ( x )=4 . x−2

dengan langkah-langkah berikut:


29/32

a. Esilah tabel diba(ah ini:

3.#21 3.21 3.1 # 2 + 0

! +

b. Hambarlah grafik tersebut di kertas berpetak.c. Apa !ang akan terjadi jika anda memasukkan nilai !ang sangat besar$

d. Apa !ang akan terjadi jika anda memasukkan nilai !ang sangat kecil )asumsikan nilai

positif lebih besar dari 3*

e. apatkah fungsi ini bernilai negatif$ "elaskan'

f. "ika f ( x )=4 x2

, bagaimana pertan!aan a-e tersebut dapat terja(ab$

g. Apa !ang dapat anda pelajari dari soal ini$

1. andingkan:

a. 6ntuk a>1 , urutkan ketiga bilangan ini dari !ang terkecil hingga !ang terbesar'

x=√ a+2−√ a+1√ a−√ a−1

, y=√ a+2−√ a+1√ a+1−√ a

, z= √ a−√ a−1

√ a+2−√ a+1

b. p=2500

,q=3300 , r=5200

c.a=334 , b=34

3

, c=344

, d=433 ,e=434

d. a=10

√ 10 & , b=9

√ 9 & )catatan: n &=n × (n−1 )× (n−2 ) × …× 3×2×1¿ untuk n bilangan

bulat positif

%. "ika x=√ 19−8√ 3 , tentukan nilai dari: x

4−6 x3−2 x2+18 x+23 x

2−8 x+15

4. &entukan nilai dari: √ 2√ 2√ 2√ 2…−√ 2+√ 2+√ 2+√ 2+…

0. Sederhanakanlah:


30/32

x2−4 x+3+( x+1 )√ x2−9

x2+4 x+3+ ( x−1 )√ x2−9

>. Fasionalkanlah:

a.1

√ a+√ b+√ a+b

b.1

3

√ 3−√ 2

c.

6

√ 3−6

√ 26

√ 3+6

√ 2

d. √ 6+2√ 333−19√ 3

#3. iketahuif ( n )=

1

3

√ n2+3

√ n2+n+3

√ n2+2n+1 , tentukan nilai dari:

f (1 )+ f (2 )+ f (3 )+…+ f (1000)

##. iketahui √ 5=2.24 , tentukan nilai dari:

10√ 2

√ 18−√ 3+√ 5− √

10−√ 18

√ 8+√ 3−√ 5

#2. iketahui x=√ √ 3+1−√ √ 3−1

√ √ 3+1+√ √ 3−1 , apakah merupakan akar dari persamaan:

x+2=√ 6−√ 30

√ 2−√ 10 $

#/. "ika diketahui:


31/32

3 (22+1 )( 24+1 ) (28+1 ) (216+1 ) …(21024+1 )= ' , tentukan P.

#+. &entukan nilai dari:

( 1

a2−a+1

− 1a2+a+1

− 2aa4−a2+1 )

a3

)L*#1. &entukan digit terakhir dari:

x=(−2a4+a −√ |a|−3+√ 3−|a|3−a )2016

#%. iketahui: a=3

√ 4+3

√ 2+1 , tentukan nilai dari:3

a+ 3

a2+ 1

a3

#4. Sederhanakan:

a. √ 4+√ 15+√ 4−√ 15−2√ 3−√ 5

b. √ 2+√ −2+2√ 5−√ 2−√ −2+2√ 5

#0. &emukan semua solusi real dari:4

√ 97− x+4

√ x=5

#>. "ika 2 x+2 x−1+2 x−2+…=4 x+4 x−1+4 x−2+… , maka nilai !ang memenuhi adalah ...

)L*23. iketahui bah(a: tan2 x+ tan x tan y+ tan2 y=0 , tentukan nilai dari:

( tan x

tan x+ tan y )2012

+( tan y

tan x+ tan y )2012

2#. &entukan bentuk sederhana dari:


32/32

1

√ 7−64

√ 2+5√ 2−44

√ 8

22. Sederhanakanlah:

1

2√ 1+1√ 2+

1

3√ 2+2√ 3+…+

1

100√ 99+99√ 100

2/. Carilah nilai dari: √ 5+√ 5+√ 5+√ …

2+. "ika adalah bilangan bulat positif, dan f ( x )=( x+√ x2−1)4

3+( x+√ x2−1 )−43 , carilah

bilangan bulat lebih kecil dari #333 !ang bisa din!atakan dalam f (m) untuk m bilangan bulat

positif'

21. uktikan1

√ 1+√ 2+

1

√ 3+√ 4+…+

1

√ 79+√ 80

Documents

Akar Dan Pangkat.docx