Embed Size (px)
DESCRIPTION
contoh modul pangkat akar dan logaritma
Citation preview
BAB IBENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
A. BENTUK PANGKAT1. Pangkat Bulat Positif
Isilah titik-titik pada kotak berikut dan buatlah kesimpulannyap3 = … ¿ … ¿ …34 = … ¿ … ¿ … ¿ … = …(-2)5 = … ¿… ¿… ¿… ¿… = …
( 15 )
3
= …×…×…= …
(−14 )
2
= …× … = …
Kesimpulan:Jika a ∈R dan n bilangan bulat positif maka an adalah perkalian bilangan a sebanyak n
kali
an = .. . × .. . × .. . × .. . × . . . × . . . × . ..⏟.. . faktor
a adalah bilangan pokok n adalah pangkat dari a
Sifat-Sifat Bilangan dengan Pangkat Bulat Positif1. am ¿ an = am + n
Bukti :
am ¿ an = a × a ×a × . ..×a⏞m faktor a
× a × a ×a × . ..×a⏞n faktor a
=
a × a × a × a × a × .. . × a⏟(m+n ) faktor
= am+n
Contoh :a. 23 . 24 = 23+4 = 27
b. x2 . x = x2+1 = x3
2. ap : aq = ap – q
Contoh :
a.
p4
p2= p4 − 2 = p2
c.
57
58= 1
5
b.
25
23= 25 − 3 = 22 = 4
d.
34
34= 1
3. ( am )n = am×n
Contoh :
a. ( 42 )3 = 42 . 3 = 46
b. ( y 4)5 = y4 . 5 = y20
4. (a ¿ b)n = anbn
Contoh :
(2 × 3 )3 = 23 × 33 = 8 ×27 = 216
1
5.( a
b )n
= an
bn
Contoh :
a. ( 2
3 )3
= 23
33= 8
27 b. ( 3 k
t2 )2
=(3 k )2
( t2 )2= 9 k2
t4
LEMBAR KERJA SISWA
A. Sederhanakan bentuk-bentuk pangkat berikut!
1. 5 a6×2 a7= ...
2. 2×34×23×32=...
3. 10 p8 :2 p2= ...
4. (3 a3 b2 )3 = ...
5. R=4 x2 y2jika x=
12 dan y=1 maka nilai R = ...
B. Sederhanakan bentuk-bentuk pangkat berikut!
1. 4 a3×2 a5=...
2. 32×53×5×3=...
3. 6 t4 :3 t2= ...
4. (2 x2 y5)5 = ...
5. R=2 x2 y2jika x=
12 dan y=2maka nilai R = ...
6. 4 c3×2 c2 : c4= ... .
7. (3m3n2)5×9 mn3=...
8. 8 ( p2 q )4 : (2 pq2 )2 = ...
9.( 2 pq
p2q )4
×( p5qpq )2
=...
10.(m3n2
m )5
:(m4 n3
m2 n6 )= ...
C. Selesaikan masalah berikutSatu bakteri membelah menjadi r bakteri untuk setiap jamnya. Banyaknya bakteri setelah 3 jam adalah 600 dan dua jam berikutnya adalah 2.400. carilaha. banyaknya bakteri sebelum terjadi pembelahanb. banyaknya bakteri setelah 7 jam pembelahan.
2. Pangkat Nol dan Bulat Negatif dan Grafik FungsinyaIsilah titik-titik pada kotak berikut, kemudian gambarlah dalam grafik dan buatlah kesimpulannya
f(x)x
-3 -2 -1 0 1 2 3
f ( x )=2x
f ( x )=( 12 )
x
2
Secara umum bentuk pangkat negatif adalah jika a adalah bilangan real, a ¿ 0 dan n adalah bilangan bulat positif, maka :
a0 = . ..serta
a−n = . .. . dan1
a−n= . .. .
Contoh:
1) 2−4 = . .. . 2)
1
3−2= . .. .
3) 30 = ... 4) ( 2
3 )0
=. . .
LEMBAR KERJA SISWA1. Sederhanakanlah bilangan pangkat berikut ini!
a) 24 p0
b) 7 p0+q0
c) 9 (r12+s12 )0
d) 3(p0 – 2q0) e) 5p0 – 7q0
2. Nyatakan bentuk-bentuk bilangan berpangkat berikut ke dalam pangkat bulat positif!
a. 2−6
b.
5
a−3c. a
−2b3d.
2 a2 b2−1 a2
3. Sederhanakanlah bilangan pangkat berikut ini
a) p0 q0
b) 7 r0c) 5 ( x0+ y 0)2
4. Nyatakan bentuk-bentuk bilangan berpangkat berikut ke dalam pangkat bulat negatif!
a.
1
63b.
3
7 p2c.
2
(a+b )3 d.
12 x5 y−2
3 x2 y−1
5. Nyatakan bentuk-bentuk bilangan berpangkat berikut ke dalam pangkat bulat positif!
a. 4 a7 b−4×2a−6b−3d.
(5 a3 b−2)4
(5 a−4 b−5)−2
b.
72 p2q3 r−7
33 p2q−2r6e.
24 a−7 b−2 c6 a−2 b−3 c−6
c. ( 9 p2q−4
2 p−2q3 )×( p−3q4
4 pq )2
3
3 . Pangkat Pecahan
a. Bentuk a1n
Jika a adalah bilangan real dan n adalah bilangan asli n ¿ 2 maka :
a1n
= n√a
Contoh:
1. √ x = x12
2. √9 = √ (3 )2 = 3 3. 3√ (−27 ) = 3√ (−3 )3 =−3
b. Bentuk amn
Definisi:Jika a bilangan real, m bilangan bulat dan n bilangan asli dan n ¿ 2
amn
= n√am
Contoh :
1. 3√62 = 6
23
2. 1634 =
4√163 =4√( 24 )3 = 23 = 8
Sifat-Sifat Pangkat PecahanSifat-sifat bilangan yang berlaku pada pangkat bulat juga berlaku pada pangkat rasional.Untuk a, b bilangan real dengan a, b¿ 0 dan m, n bilangan rasional, maka berlaku ;
1. am ¿ an = am + n
2. ap : aq = ap - q
3. ( am )n = am×n
4. (a ¿ b)n = anbn
5. ( ab )
n
= an
bn
6. a−n = 1
an
Contoh :
1. a12 × a
13 = a
12+1
3 = a56
2. √√√81 = √√9 = √3 = 312
3. √a (√a + 3 )2 = √a (a + 6√a+ 9 ) = a√a + 6 a + 9√a
LEMBAR KERJA SISWA1. Ubahlah menjadi bentuk pangkat pecahan!
a. √3 b. 3√16 c.
3√54
2. Ubahlah menjadi bentuk akar!
a. 625
b. 834
c. 723
3. Sederhanakan bentuk akar di bawah ini!
a. √√√x2b.
3√√√x c.
4√3√√ y
4. Tentukan hasil dari 412×32
35×128
−37
!
5. Hitunglah
a14 +a
34
a32−a
12
jika a = 816. Ubahlah menjadi bentuk pangkat pecahan!
a. √2 b. 3√7 c.
3√115
7. Ubahlah menjadi bentuk akar!
4
a. 523
b. 335
c. 712
8. Sederhanakan a13×a
23×a
13
!
9. Jika a = 8, tentukan nilai dari
a−2
3 +a13
a13−a
43
!10. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut dan kemudian tuliskan hasilnya dalam pangkat rasional positif!
a)
{[(x25 y
23 )−
14 ]
10
: (x−1
4 y14 )}
−3b)
4√(x−4 y23 )−2
3√(x12 y−3)−
12
×
4√(x−2
13 y−1)2
3√x−1
43√ y
23
c)
( x3 y2 z )13 √ x−2 y
−23 z
−43
3√(x13 y
−23 z )
−3
B. BENTUK AKAR1. Pengertian Bilangan Rasional dan Irasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan
ab dengan a dan b
adalah bilangan bulat serta b ¿ 0. Selain itu, dapat juga dinyatakan dalam bentuk desimal berulang.Contoh bilangan rasional:
1. 4 =
82 ⇒ pecahan
ab dengan a = 8 dan b = 2
2. 0,333... = 3−⇒ desimal berulang, angka yang diulang 3
3. 1
512 =
1712 ⇒ pecahan
ab dengan a = 17 dan b =12
Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan
ab dengan a
dan b adalah bilangan bulat serta b ¿ 0. Selain itu, dapat juga dinyatakan dalam bentuk desimal tidak berulang.Contoh bilangan irasional:1. π = 3,14159265...
2. √2= 1,41421356...3. log 3 = 0,477121254...
2. Pengertian Bentuk AkarBentuk akar adalah akar bilangan yang bukan bilangan rasional.Contoh:
a. √7 b. 3√5
3. Menyederhanakan Bentuk AkarSifat yang digunakan :
√a × √b = √abContoh :
a. √45 = √9 × 5= √9 × √5= 3√5
b. 2√24 = 2√4 × 6 = 2√4 ¿ √6 = 2 ¿ 2 ¿√6 = 4√6
5
LEMBAR KERJA SISWA1. Sederhanakanlah bentuk akar di bawah ini!
a. √18 c. 2√90
b. √360 d. 5√1502. Jika bentuk akar di bawah ini terdefinisi, sederhanakan bentuk akar berikut!
a. √a2 b3c. √49 a4b e. √8 a2b3c5
b. √20 p3d. √54m4 n2
f. √2x3 y 2z 4
3. Sederhanakanlah bentuk akar di bawah ini!
a. √92 c. 3√180
b. √120 d. 2√964. Jika bentuk akar di bawah ini terdefinisi, sederhanakan bentuk akar berikut!
a. √12 x3c. √27 a2 b2
e. √27 a2 b3c6
b. √ x2 y d. √28 p4 q6f. √100 x10 y5 z25
4. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akarOperasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar hanya dapat dilakukan jika bentuk akarnya sejenis. Untuk menjumlahkan atau mengurangkan bentuk akar digunakan sifat distributif, yaitu:
a√b + c √b = (a + c )√ba√b − c √b =(a − c )√b
Ingat! Bentuk √a + √b ≠ √a + b . Demikian juga dengan √a − √b ≠ √a − b , oleh sebab itu kalian harus berhati-hati.
Contoh:
1. 4 √3 + 5√3 = (4 + 5 ) √3 = 9√3
2. 10√5 − 6√5 = (10 − 6) √5 = 4 √5
3. √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2
LEMBAR KERJA SISWA1. Sederhanakanlah operasi penjumlahan dan pengurangan di bawah ini!
a. 2√6+4 √6
b. 3√3−√3+2√3
c. 2√6+3√5−3√6+2√5
d. 2√7−4√28
e. 5√3+6√2+√32−3√272. Sederhanakanlah operasi penjumlahan dan pengurangan di bawah ini!
a. 3√5+4 √5
b. √75−2√3
c. √5−3√5+6√5
d. √2+√8+√32
e. 2√3−√27+√48
5. Perkalian dan pembagian bentuk akarJika akar senama
6
√a x √b = √aba√b x c √d = ac√bd
√a√b
= √ ab
Contoh :
a. √5 × √7 = √35
b. 3√3 × 5√2 = 15√6
LEMBAR KERJA SISWA1. Sederhanakanlah bentuk perkalian dan pembagian di bawah ini!
a. √2×√8 d.
√75√125
b. 2√5×3√2 e.
4√816√32
c. √12×√152. Sederhanakanlah bentuk perkalian dan pembagian di bawah ini!
a. 3√2×5√2 d.
3√7√21
b. 2√2×3√3×4√5 e.
10√445√18
c. √5×√20 f.
12√206√24
6. Perkalian dan pembagian bentuk akar bentuk (a + b)(a - b) , (a - b)2 , dan (a + b)2
Ingat kembali materi yang perkalian bentuk aljabar yang telah diperoleh di SMP/MTs(a + b)(a - b) = a2 – b2
(a - b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Contoh :
1. (√5 + √2 )2 = (√5 )2 + 2 × √5 × √2 + (√2 )2
= 5 + 2 ¿ √5 × 2 + 2
= 7 + 2√10
2. (√3 − √2 )2 = (√3 )2 − 2 × √3 × √2 + (√2 )2
= 3 – 2 ¿ √3 × 2 + 2
= 5 - 2√6LEMBAR KERJA SISWA1. Sederhanakan bentuk pengkuadratan berikut!
a. (√5+√3 )2 e. ( 4√3+2√7 )2
b. (√10−√7 )2 f. (6+√2 )2
c. (√7+4 ) (√7−4 ) g. (8−2√6 )2
d. (2√7−3√2 )2 h. √2 (√6−√8 )2. Sederhanakan bentuk pengkuadratan berikut!
7
a. (√6+√3 )2 d. √5 (√2+√3 )
b. (√7+√2 ) (√7−√2 ) e. (√6−√11 )2
c. ( 4√7+3√5 ) ( 4√7−3√5 ) f. (2√5−3√2 )2
7. Merasionalkan Bentuk AkarMerasionalkan penyebut berbentuk akar dilakukan dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari penyebut tersebut. Perhatikan contoh berikut.
1.
1
√3 =
1
√3 .
√3√3 =
13√3
2.
23√7 =
23√7 .
√7√7 =
2√721
= 221
√7
3.
2√2+1
= 2√2+1
×√2−1√2−1
=2 (√2−1 )2−1
=2 (√2−1 )
4.
5√5−√3
= 5√5−√3
×√5+√3
√5+√3
=5 (√5+√3 )5−3
=52
(√5+√3 )
LEMBAR KERJA SISWA1. Rasionalkan penyebut di bawah ini!
a.
6
√3 c.
√2√6 e.
32+√2
b.
52√3 d.
45−√3 f.
√5−√2√5+√2
2. Rasionalkan penyebut di bawah ini!
a.
8
√2 b.
21−√2 c.
3
√3+√2
d.
√2√6+√3 e.
√3+3√2√3−6√2 f.
√3−√7√3+√7
8. Persamaan Eksponen Sederhana
Contoh: Tentukan nilai x apabila ( 1
3 )x
=81
Jawab
( 13 )
x
=81
3−x=34
-x = 4
8
x = 4LEMBAR KERJ A SISWA1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut ini!
a. 272 x+4=81
b. 5x+1−1=24
c. √42 x−3=64
d. √42 x−3=64
e.25 x+3=1
22. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut ini!
a. √32 x+1=9x−2
b. √5x+2=25x−2
c. 76 x+24=1
d. 10x−102 x−1=0
e. 4 x−3=2x+1
C. LOGARITMAa. Definisi
Misalkan a, b, c bilangan real dengan a, b > 0 dan a ≠ 1 maka logaritma didefinisikan sebagai berikut.
ac = b ⇔ a log b = cContoh :1. Nyatakan tiap bentuk di bawah ini dengan memakai notasi logaritma!
a. 63 = 216 ⇔ 6 log 216 = 3
b.3−3 = 1
27⇔ 3 log
127
=−3
2. Nyatakan tiap bentuk di bawah ini dengan memakai notasi eksponen!
a.2 log 64 = 6 ⇔ 26 = 64
b.2 log √3 = 1
2⇔ 3
12 = √3
3. Dengan definisi logaritma hitunglah!
a.2 log 16 = 4 karena 2
4= 16
b.
2 log1
243=−5
sebab 3−5 = 1
243
LEMBAR KERJA SISWADengan menggunakan definisi logaritma, tentukan nilai dari:
1.7 log 49
2.
13 log 3
3.√2 log 4
4.
3 log1
81
5.27 log3
b. Sifat-Sifat Logaritma :
9
1.a log b + a log c = a log b × c
2.
a log b − a log c = a logbc
3.a log a = 1
4.a log 1 = 0
5.a log b . b log c = a log c
6.
a log b = 1b log a
7.
am
log bn = nm
a log b
8.a log bn = n a log b
9.
a log b =p log bp log a
10. aa log b=b
Contoh :Hitunglah!
a.
2 log 5 + 2 log 12 − 2 log 15 = 2 log5 × 1215 =
2 log 4 = 2
b. 2 log 5 × 5 log 64 = 2 log 64 = 2 log 26=6
c. 22 log 5=5
LEMBAR KERJA SISWA1. Sederhanakanlah!
a. 6 log 3 + 6 log 12
b. 3 log 42 − 3 log14
c. 273 log 5
d. 5 log 9× 9 log 625
e. 27 log 9
2. Jika 2 log 3=p dan
2 log 5=q maka 2 log 225=. . ..
3. Tentukan nilai dari 2 log 9× 3 log √25 × 5 log 8 !
4. Nilai dari 9 log 25× 5 log 2−3 log 54 =…
5. Diketahui 2 log 3=m dan
2 log 5=n . Nilai dari 2 log 90=. . .
6. Hitunglah!
a. 2 log 16
b. 255 log 7
c. 5 log 150− 5 log24+ 5 log 4
d. 2 log 5× 5 log64
e. 6 log 9+6 log8−6 log 2
7. Nilai dari
(2 log 8 ) 2
3 log 27 = …
8. Jika 4 log3=m , nilai dari
9 log 8=.. .
9. Hasil dari
3 log 5 .√5 log 9+8 log 22 log 12−2 log 3 =…
10. Hasil dari 5 log 27 . 9 log 125 + 16 log 32 = …
11. Nilai dari log 24 – log 23 + 2 log 19 + log 2
14 = …
c. Persamaan Logaritma Sederhana
Jika a log f ( x )=a log g( x )maka f ( x )=g( x )dengan f ( x ) , g( x )>0
Contoh:
10
5 log(5 x+1)=25 log(5 x+1)= 5 log52
5x+1=255 x=24
x=245
LEMBAR KERJA SISWA1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan logaritma berikut ini!
a.4 log x=3
b.5 log(9 x−4 )=1
c.3 log 6+ 3 log x=3
d. 4 log(2x+1 )+ 4 log 5=2
e.
16 log x=34
2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan logaritma berikut ini!
a. 4 log5 x=3
b. log (x - 1) = 1
c. 2 log ( x−1 )=2
d. 4log (x – 3) + 4log (x – 4) = 12
e. 9 log(2 x+1)=2
UJI KOMPETENSI
1. Hasil dari ( a3b−2) (a−2b3 )−3
adalah ... .
A. (ab )9 B. ( a
b )9
C. (ab )11D.
( ab )
11
E.
a9
b11
2. Bentuk sederhana dari ( x7 y4
xy3 )3
=. ...
A. x24 y21
B. x18 y3
C. x18 y21
D. x−18 y−3
E.
1
x18 y−3
3. Hasil dari √200+√32+√50−√8 adalah … .
A. 16√2 B. 17√2 C. 18√2 D. 19√2 E. 20√2
4. Nilai dari ( 4−2√3 ) (4+2√3 ) adalah … .
A. 4 B. 5 C. 4 √3 D. 16 + 4 √3 E. 16 - 4 √3
5. Bentuk sederhana dari
32√3 adalah … .
11
A.
112
√3B.
16√3
C.
13√3
D.
12√3
E. √3
6. Bentuk sederhana dari
62+√2 adalah … .
A. 2 - √2 C. 2 +√2 E. 6 + 3√2
B. 6 - √2 D. 6 - 3√2
7. Bentuk sederhana dari √9−2√14 adalah … .
A. 3 - 2√14 C. √9−√2 E. √7−√3
B. √7+√2 D. √7−√2
8. Bentuk sederhana dari √21−8√5 adalah … .
A. 16 - √5 C. 8 - 2√5 E. 6 - √5
B. 4 - 2√5 D. 4 - √5
9. Nilai x yang memenuhi persamaan 4x+2 =
3√16x+5 adalah … .
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 E. 32
10. Bentuk bilangan berpangkat 26 = 64 ke dalam bentuk logaritma adalah ...
A. 6 log 64=6 D.
6 log 64=2
B.2 log 64=6 E.
64 log 6=2
C.2 log 6=64
11. Nilai dari
3 log1
81=. . .
A. -2 B. -3 C. -4 D. -5 E. -6
12.5 log 150− 5 log 24 + 5 log 4=. ..A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
13. 82 log 3=.. .
A.
23 B.
32 C. 4 D.
14 E. 27
14. Nilai dari
15 log √27 . √3 log 25 + 9
3 log 4=.. .A. 6 B. 8 C. 10 D. 16 E. 22
15. Jika log 2 = p dan log 3 = q, maka log( 9
4 )sama dengan .... .
A. 2(p – q) B. 2(q – p) C. 2(p + q) D. 2pq E.
2 pq
16. Nilai dari
2 log2 8−2 log 22 log √8−2 log √2 = …
12
A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 E. 2
17. Diketahui 2log √12 x+4=¿3¿. Nilai x = ….
A. 15 B. 5 C.
35 D.
53 E.
15
18. Diketahui log p = a dan log q = b. Nilai dari log (p3 q5) adalah …A. 8 ab B. 15 ab C. a2 b5 D. 3a + 5b E. 5a + 3b
19. Penyelesaian dari 2log x=1 ialah ...
A. 0 B. 1 C. 2 D. 10 E. 1
10
20. Diketahui 2 log 3 = x dan 2 log 5 = y, maka 2 log 4515 sama dengan …
A.12 (5x + 3y) D.
12 (3x + 5y)
B.12 (5x – 3y} E. x2x + yy
C. x2yxy
13
