Bentuk Pangkat, Akar, Dan Logaritma

-1-

BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

1. BENTUK PANGKAT

1.1 PANGKAT BULAT POSITIF

Jika a R dan n A maka didefinisikan : sebanyak n faktor.

a disebut bilangan pokok (dasar) dan n disebut eksponen (pangkat)

Contoh 1 : Tentukan nilai dari 25 dan

1

3

4

Jawab : 25 = …………..

1

3

4

= ……………..

Contoh 2 : Dengan menguraikan menjadi perkalian, tentukan bentuk eksponen yang paling sederhana dari :

a) c) 23 4 e)

2

3

4

b) 3

3

7

2d) pq 5

Jawab : a) = ………….

b) 3

3

7

2 = ………….

c) 23 4 = ………….

d) pq 5 = …………..

e) 2

3

4

= ……………

Dari contoh 2 di atas dapat disimpulkan :Jika a b R, , m A dan n A maka berlaku sifat-sifat eksponen sbb:

1. a am n. .... 4. ab ....

2. a

a

m

n... 5.

a

b

n

....

3. amn....

Contoh 3 : Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen di atas, sederhanakan bentuk berikut :

a) x x2 7. d) x y23

b) n

n

7

2e)

2 2 4p

q

c) x2 5f) 2 3 4 2xy x y.

Jawab : a) x x2 7. = ...

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

-2-

b) n

n

7

2 = ...

c) x2 5 = ....

d) x y23 = ...

e) 2 2 4p

q

= ....

f) 2 3 4 2xy x y. = ...

LATIHAN SOAL

1. Sederhanakan

a) f) x x10 3: k) 3 3 3k

b) g) 8 25 2k k: l) 2 5 2 3p

c) h) 4 23 2 4d x d d: m) 3 2 3p q

d) 1

2

5

i) 12 2 310 2 3a a a: . n) 4

8

2 5 3

2 2

p qr

pq r

e) 2

3

4

j) 2 2 5p o) 2

8

2 3 3

5 4

x y

x y

2. Sederhanakan

a) a

a

n1

b) 2 2 1p pn n c) 2 3x d) 522 1. x

1.2. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL

Contoh 1 : Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen, tentukan hubungannya dari :

a) 2

2

3

3b) 3

3

5

5c) 2

2

3

5d) 3

3

2

6

Jawab : a) 2

2

3

3 = ……………..

b) 3

3

5

5 = ………………

c) 2

2

3

5 = ………………..

d) 3

3

2

6 = ……………….

Dari contoh 1 di atas dapat disimpulkan bahwa :Untuk setiap a R a , 0 dan n R berlaku sifat-sifat :

1. a0 ... 2. a n ...

Contoh 2: Sederhanakan dan jadikan pangkat positif dari :

a) 5 3 b) 1

2 3 c)

2 2 2x y


-3-

Jawab : a) 5 3 = ...

b) 1

2 3 = ...

c)

2 2 2x y = ...

LATIHAN SOAL

1. Sederhanakan dan nyatakan dengan eksponen positif dari :

a) a 5 f) k) 5 2

3

2q

h

b) 3 2k g) l)

c) 2

54k h)

8

2

6

4

a

a

m) 5

6

2 3

5 3

2p q r

pq r

d) 43x i)

56

7

5

2

t

t

e) 42

a j)

8

16

2 3

5

3x y

x y

2. Jika a = 2, b = 3 dan c = -2. maka tentukan :

a) a b

c

2 2

b) 2

4

3 2bc

a

c)

1.3 EKSPONEN RASIONAL (PECAHAN)

Seperti kita ketahui jika 2 83 maka 2 83Maka jika 22 ... maka 2 = ...

24 .... maka 2 = ...

34 .... maka 3 = ...

Misal a xm n / , jika kedua ruas dipangkatkan n, maka :

a xn m n n /

a xn ....

a ......Jadi :

xm n/ ....... sehingga x n1/ .......

Contoh 1: Ubah ke bentuk akar dari : a) 21 2/ b) 63 5/ c) 2 3 2x /

Jawab : a) 21 2/ = ....

b) 63 5/ = ....

c) 2 3 2x / = ....

Contoh 2: Ubah ke bentuk pangkat dari :


-4-

a) 3 b) 123 x

Jawab : a) 3 = ...

b) 123 x

= .....

Contoh 3: Tentukan nilai dari 163 4/

Jawab : 163 4/ = ......./3 4 = ..... = .........

LATIHAN SOAL

1. Ubah menjadi bentuk akar

a) 31 2/ b) 5 1 3 / c) 43 4/ d) x4 9/ e) 1

32 3x /

2. Ubah ke bentuk pangkat

a) 2 5 b) 1

25c) 523 d)

3

343e) 2

7

25 x

3. Tentukan nilainya

a) 643 b) 82 3/ c) 323 5/ d) 813 8/ e) 27

64

2 3

/

4. Sederhanakan dalam bentuk akar

a) 2 23 4 1 8/ /. b) 6 2

c) 2 2 18. d) 2

2 e)

12

2 3.

5. Jika a = 1, b = 3 dan c = -18, maka tentukan x dari xb b ac

a

2 4

2

2. BENTUK AKAR

2.1 OPERASI BENTUK AKAR

Bentuk akar termasuk bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan pecahan a/b, a dan b bilangan bulat dan b 0

Contoh bentuk akar : 2 3 5 2 4 73 3 5, , , , , dsb

bukan bentuk akar : 4 9 8 163 4, , , dsb

Catatan : a adalah bilangan non negatif, jadi a 0

Operasi Pada Bentuk Akar

1. ax a a2. ab a b3. a c b c a b c

4. a

b

a

b

Contoh 1: Sederhanakan :

a) 20 b) 75 c) x3 d) a83


-5-

Jawab : a) 20 = ... b) 75 = ....

c) x3 = ....

d) a83 = ....

Contoh 2: Sederhanakan : a) 3 2 4 2 b) 4 3 7 3 5 3 c) 8 18

Jawab : a) 3 2 4 2 = ... b) 4 3 7 3 5 3 = ... c) 8 18 = ....

Contoh 3 : Sederhanakan : a) b) 5 3 5 3 c) 2 2 3

2

Jawab : a) = ....

b) 5 3 5 3 = ....

c) 2 2 32

= ....

LATIHAN SOAL

1. Sederhanakana) 72 b) 160 c) 1200 d) 2 80 e) 8 2x

f) 3 12 5 3a b g) 2

2h)

9

3i)

8

9j) 2

4

3 2

4

a b

c

2. Sederhanakan

a) 12 50 48 d) 72 180

45 18

b) 2 16 3 18 27 e) 2 8

4

2x x

x

c) 3 20 4 45

2 5

3. Sederhanakana) c)

b) d) x x y2

2.2 MERASIONALKAN PENYEBUT PECAHAN BENTUK AKAR

Jika kita menghitung bilangan, operasi perkalian lebih mudah daripada pembagian. Apalagi operasi pembagian dengan bentuk akar.

Ada 3 cara merasionalkan penyebut bentuk pecahan bentuk akar, yaitu :

1. Pecahan Bentuk a

b


-6-

Diselesaikan dengan mengalikan b

b

Contoh 1: Rasionalkan penyebut dari pecahan :

a) 2

3b)

2

3 3

Jawab : a) 2

3 =

2

3 x ... = .....

b) 2

3 3 =

2

3 3 x ... = .....

2. Pecahan Bentuk a

b c

Diselesaikan dengan mengalikan b c

b c

Contoh 2 : Rasionalkan penyebut pecahan 8

3 5

Jawab : = x ... = ....

3. Pecahan Bentuk

Diselesaikan dengan mengalikan b c

b c

Contoh 3 : Rasionalkan penyebut dari pecahan 12 3

6 2

Jawab : 12 3

6 2 =

12 3

6 2x .... = ........

LATIHAN SOAL

1. Rasionalkan penyebutnya

a) 12

3b)

10

5c)

9

2 3d) 7 3

7e) 4 3

5 22. Rasionalkan penyebutnya

a) 9

5 7b)

20

4 6c)

5

11 6d)

2 5

7 13e)

4 6

8 2 33. Rasionalkan penyebutnya

a) 14

10 13b)

10

2 7c)

8 3

11 7d)

6

10 2 3e)

3 2

3 5 4 2


-7-

3. PERSAMAAN EKSPONEN (SEDERHANA)

Persamaan eksponen yaitu persamaan yang eksponen/pangkatnya mengandung variabel/peubah.

1. Jika a af x p( ) maka f(x) = p

2. Jika a af x g c( ) ( ) maka f(x) = g(x)

dimana p suatu konstanta

Contoh 1: Tentukan HP dari :a) 4 82 3x b) 8 162 1 3 2x x

Jawab : a) 4 82 3x b) 8 162 1 3 2x x

2 22 3.... ....x

.... = ....

2 2............ ... ..... = .... ..........= .... ...... = ..... x = ... x = .... HP:{............} HP:{ ....... }

LATIHAN SOAL

Tentukan HP dari :

1. 27 812 2 5x x 6. 5 259 3x x

2. 8 12 1x 7. 1

282

x

x

3. 91

274 5x 8.

1

251253 2

xx

4. 55

52x 9. 16

8

22 1

1x

x

5. 3 15x 10.

8

4

1

328

2 3x

3. LOGARITMA

3.1 PENGERTIAN LOGARITMA

Seperti telah kita ketahui bahwa :Jika 2552 maka 5 = …

Jika ....23 maka ....2 Jika ....25 maka 2 = …


-8-

Pada 823 , bagaimana menyatakan 3 dengan 2 dan 8?Untuk itu diperlukan notasi yang disebut Logaritma untuk menyatakan pangkat dengan bilangan pokok (basis) dengan hasil pangkat (numerus).

Jadi jika 823 maka 8log3 2 dibaca “2 log 8”

Sehingga logaritma merupakan invers dari perpangkatan.Secara umum dapat dinyatakan :

Jika ya x maka x = …. syarat : 01,0 ydanaa

a : basis logaritmay : numerusx : hasil logaritmaKhusus untuk bilangan pokok 10, bisa dituliskan bisa juga tidak.

Jadi jika log 5 maksudnya 5log10 .

Contoh 1: Nyatakan dalam bentuk logaritma dari perpangkatan :a. 8134 b. 1282 n c. cab

Jawab : a. 8134 4 = ….

b. 1282 n n = ….

c. cab b = ….

Contoh 2 : Nyatakan dalam perpangkatan dari bentuk logaritma :

a. 81log4 3 b. log 100 = 2 c. rqp log

Jawab : a. 81log4 3 ….

b. log 100 = 2 ….

c. rqp log ….

Contoh 3: Hitunglah :

a. 64log2 b. 8

1log2 c. log 1000 d. 27log3

e. 1log5 f. 4log21

g. 81

1log3

1

Jawab : a. 64log2 = x … = 64 x = ….

b. 8

1log2 = x … = … x = ….

c. log 1000 = x … = … x = ….

d. 27log3 = x … = … x = ….

e. 1log5 = x … = … x = ….

f. 4log21

= x … = … x = ….

g. 81

1log3

1

= x … = … x = ….

LATIHAN SOAL

1. Nyatakan dalam bentuk logaritma dari :

a. 2552 b. 9

13 2 c. 150 d. 39 2/1 e.

16

1

2

14

2. Nyatakan dalam bentuk perpangkatan dari :

a. log 10.000 = 4 b. 416

1log2 c. 01log7 d.

2

13log9 e. 2

16

1log4

1

3. Tentukan nilainya dari :


-9-

a. 625log5 b. 4log4 c. 1log7 d. log 0,1 e. 4

1log2

f. 16log2 g. 27

1log3

h. 1log21

i. 8log21

j. 8

1log2

1

k. 8log2 l. 81

1log3

m. 9log33

3.2 SIFAT-SIFAT LOGARITMA

Jika 10,0,0 adancba , maka :

1. cbbc aaa logloglog 5. ba ba

log

2. cbc

b aaa logloglog 6. bm

nb anam loglog

3. bcb aca loglog 7. ccb aba loglog.log

4. a

bb

a

log

1log 8.

a

bb

c

ca

log

loglog

Bukti :

Sifat 1: Misal ....log bmba

....log cnca

Maka bc = …. = …. .....log bca = … + …

Sifat 6: Misal namnamna bmnxbnxbbxbmm

loglog...........log

..............log na bm

Sifat 8: Misal ............logloglog.......log mamabbmb cmcca

......log ba

Contoh 1: Sederhanakan :

a. 5log3

3 b. 3log5

25 c. 2log6log3log 222

d. 5log.8log.3log 352 e. 102 2log f. 16log3log

4log 32

2

g. 256log8

Jawab : a. 5log3

3 = ….

b. 3log5

25 = …..

c. 2log6log3log 222 = ….

d. 5log.8log.3log 352 = …..

e. 102 2log = …..

f. 16log3log

4log 32

2

= ….

g. 256log8 = ….

Contoh 2: Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, maka tentukan log 24


-10-

Jawab : log 24 = ….

Contoh 3: Jika bdana 5log4log 43 , maka tentukan 9log5

Jawab : 9log5 = .....3log 25

LATIHAN SOAL

1. Sederhanakan

a. 9log2log8log 666 f. 9log.16log.15log 1532

b. 10log4log50log 222 g. 8log.3log.4log 423

c. 18log2log3log2 h. 16log8

d. 6log

23log3log2log i. 625log16

e. 15log

2log6log5log9

333 j.

10log

5log25log2log3

333

2. Jika log 2 = 0,3010 dan log 5 = 0,6990, maka tentukan :

a. log 20 b. log 500 c. log 40 d. 5log2 e. 8log5

3. Jika ndanm 5log3log 32 , maka tentukan :

a. 5log2 b. 75log2 c. 500log2 d. 25log8 e. 4log125


Documents

Bentuk Pangkat, Akar, Dan Logaritma