Embed Size (px)
DESCRIPTION
geometrija
Citation preview
U N I V E R Z I T E T U B E O G R A D UU N I V E R Z I T E T U B E O G R A D U
Matematički fakultetMatematički fakultet
AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJEAKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE
Razvoj aksiomatske metode u geometriji. Euklidovi Razvoj aksiomatske metode u geometriji. Euklidovi ElementiElementi i V postulat. Hilbert. i V postulat. Hilbert.
Student: Grujić JasnaStudent: Grujić Jasna Broj indeksa MR 65/92Broj indeksa MR 65/92
1
Geometrija kao disciplina ima svoju veoma dugu i bogatu Geometrija kao disciplina ima svoju veoma dugu i bogatu istoriju. Začeta već u najstarijim ljudskim civilizacijama, ona istoriju. Začeta već u najstarijim ljudskim civilizacijama, ona se vekovima razvijala kao induktivna nauka, nauka u kojoj sese vekovima razvijala kao induktivna nauka, nauka u kojoj se empirijskim putem, pomoću čula i opita, dolazilo do empirijskim putem, pomoću čula i opita, dolazilo do pojedinačnih saznanja iz kojih su se zatim indukcijom pojedinačnih saznanja iz kojih su se zatim indukcijom izvodila opšta tvrđenja. izvodila opšta tvrđenja. Sve u svemu, geometrija je jedna od najstarijih oblasti Sve u svemu, geometrija je jedna od najstarijih oblasti ljudskog saznanja. Rođena kao neminovna potreba ljudskog saznanja. Rođena kao neminovna potreba svakodnevnog života (što ni danas nije prestala da bude), svakodnevnog života (što ni danas nije prestala da bude), geometrija je presla period kada je smatrana kao čista geometrija je presla period kada je smatrana kao čista umetnost, ili najteža vežba uma (što je takođe još uvek umetnost, ili najteža vežba uma (što je takođe još uvek tačno), da bi u današnje vreme zauzela vodeće mesto među tačno), da bi u današnje vreme zauzela vodeće mesto među naukama, u okviru matematike.naukama, u okviru matematike.Pogledajmo kako je prošao njen razvoj, sagledajući pre Pogledajmo kako je prošao njen razvoj, sagledajući pre svega razvoj aksiomatskog metoda u geometriji, koji je imao svega razvoj aksiomatskog metoda u geometriji, koji je imao presudan uticaj u zasnivanju askiomatike svakog naučnog presudan uticaj u zasnivanju askiomatike svakog naučnog sistema i doveo nauku do današnjeg nivoa.sistema i doveo nauku do današnjeg nivoa.
EgipćaniEgipćani.. Premeravanje zemljišta da bi se odredile Premeravanje zemljišta da bi se odredile granice poseda bio je važan zadatak u starim civilizacijama, agranice poseda bio je važan zadatak u starim civilizacijama, a naročito u Egiptu. Tamo su poplave koje je izazivalo naročito u Egiptu. Tamo su poplave koje je izazivalo nadolaženje Nila svake godine prekrivale plodne površine, nadolaženje Nila svake godine prekrivale plodne površine, brišući mnoge granične oznake postavljene prethodne brišući mnoge granične oznake postavljene prethodne godine, pa su Egipćani svake godine morali iznova da godine, pa su Egipćani svake godine morali iznova da parcelišu polja. parcelišu polja.
Egipćani su se izveštili u obavljanju svog godišnjeg Egipćani su se izveštili u obavljanju svog godišnjeg zadatka u određivanju ovih granica i morali su otkriti i koristitizadatka u određivanju ovih granica i morali su otkriti i koristiti mnoge korisne principe o linijama, uglovima i figurama - kao mnoge korisne principe o linijama, uglovima i figurama - kao što je pravilo da je zbir tri ugla jednog trougla jednak dvama što je pravilo da je zbir tri ugla jednog trougla jednak dvama pravim uglovima, kao i da je površina paralelograma jednaka pravim uglovima, kao i da je površina paralelograma jednaka površini pravougaonika koji ima istu širinu i dužinu.površini pravougaonika koji ima istu širinu i dužinu.
Stari Egipćani su do ovih principa morali doći kroz Stari Egipćani su do ovih principa morali doći kroz posmatranje i eksperiment - što će reći induktivnim posmatranje i eksperiment - što će reći induktivnim rasuđivanjem. Na primer, ako je merenjem utvrđeno da je rasuđivanjem. Na primer, ako je merenjem utvrđeno da je kod jednog trougla zbir dveju stranica veći od treće stranice, kod jednog trougla zbir dveju stranica veći od treće stranice, zatim istim postupkom utvrđeno da to svojstvo važi i kod zatim istim postupkom utvrđeno da to svojstvo važi i kod drugog trougla, potom kod trećeg, itd, izvođeno je opšte drugog trougla, potom kod trećeg, itd, izvođeno je opšte pravilo po kome je zbir dveju stranica bilo kog trougla veći odpravilo po kome je zbir dveju stranica bilo kog trougla veći od treće stranice. Tako se postupalo i kod ustanovljavanja drugihtreće stranice. Tako se postupalo i kod ustanovljavanja drugih
2
Tales
geometrijskih tvrđenja kao što su pravila za određivanje geometrijskih tvrđenja kao što su pravila za određivanje površina pravougaone, paralelogramske, trapezne i površina pravougaone, paralelogramske, trapezne i trougaone površi i pravila za određivanje zapremine kvadra, trougaone površi i pravila za određivanje zapremine kvadra, prizme i piramide.prizme i piramide.Takva je bila geometrija drevnih Egipćana, Sumerana, Takva je bila geometrija drevnih Egipćana, Sumerana, Vavilonaca, Indijaca, Kineza i drugih.Vavilonaca, Indijaca, Kineza i drugih.
Grci.Grci. Kada su negde u VI veku pre nove ere vodeću Kada su negde u VI veku pre nove ere vodeću ulogu u nauci i kulturi preuzeli Grci, geometrija počinje da se ulogu u nauci i kulturi preuzeli Grci, geometrija počinje da se razvija jednim potpuno novim putem koji će vremenom da se razvija jednim potpuno novim putem koji će vremenom da se odrazi i u drugim naučnim oblastima.odrazi i u drugim naučnim oblastima.
Grci su videli sta su Egipćani bili u stanju da učine i Grci su videli sta su Egipćani bili u stanju da učine i upoznali su njihove empirijske principe. Tom znanju Grci su upoznali su njihove empirijske principe. Tom znanju Grci su dali ime geometrija - sto će reći, merenje zemljišta. Ali Grci, dali ime geometrija - sto će reći, merenje zemljišta. Ali Grci, za razliku od Egipćana, cenili su geometriju ne samo zbog za razliku od Egipćana, cenili su geometriju ne samo zbog njene praktične korisnosti, već i zbog njene teorijske njene praktične korisnosti, već i zbog njene teorijske zanimljivosti; oni su želeli da razumeju geometriju radi same zanimljivosti; oni su želeli da razumeju geometriju radi same geometrije.geometrije.
Induktivni metod nalaženja geometrijskih tvrđenja bio jeInduktivni metod nalaženja geometrijskih tvrđenja bio je zamenjen novim tzv. deduktivnim metodom kojim se najpre zamenjen novim tzv. deduktivnim metodom kojim se najpre ustanovljuju opšta tvrđenja da bi se zatim iz njih dobila ustanovljuju opšta tvrđenja da bi se zatim iz njih dobila pojedinačna saznanja. Prelasku na taj novi put u razvoju pojedinačna saznanja. Prelasku na taj novi put u razvoju geometrije doprinelo je jedno veoma značajno načelo, to je geometrije doprinelo je jedno veoma značajno načelo, to je načelo dokazivanja geometrijskih tvrdjenja. Do tog načela, načelo dokazivanja geometrijskih tvrdjenja. Do tog načela, kažu, prvi je došao starogrčki filozof kažu, prvi je došao starogrčki filozof TalesTales (624-547, pre (624-547, pre n.e.). Njegovi spisi, ukoliko su uopšte i postojali, do nas nisu n.e.). Njegovi spisi, ukoliko su uopšte i postojali, do nas nisu dospeli, te se ne može pouzdano reći koja je geometrijska dospeli, te se ne može pouzdano reći koja je geometrijska tvrđenja on uspeo da dokaže. Istoričar geometrije Eudem iz tvrđenja on uspeo da dokaže. Istoričar geometrije Eudem iz IV veka pre n.e. pripisivao je Talesu dokaz:IV veka pre n.e. pripisivao je Talesu dokaz:-- drugog stava podudarnosti trouglova (Dva trougla su drugog stava podudarnosti trouglova (Dva trougla su
podudarna ako su jedna stranica i na njoj nalegli uglovi podudarna ako su jedna stranica i na njoj nalegli uglovi jednog trougla jednaki sa odgovarajućom stranicom i jednog trougla jednaki sa odgovarajućom stranicom i odgovarajućim uglovima drugog trougla.)odgovarajućim uglovima drugog trougla.)
-- stava o jednakosti uglova na osnovici jednakokrakog stava o jednakosti uglova na osnovici jednakokrakog trougla i njemu obratnog tvrđenjatrougla i njemu obratnog tvrđenja
-- stava o međusobnoj podudarnosti pravih stava o međusobnoj podudarnosti pravih uglovauglova
-- stava po kome je periferijski ugao nad stava po kome je periferijski ugao nad prečnikom bilo kojeg kruga prav ugao iprečnikom bilo kojeg kruga prav ugao i
3
Pitagora
-- stava po kome svaki dijametar kružne površi razlaže tu stava po kome svaki dijametar kružne površi razlaže tu površ na dva podudarna dela.površ na dva podudarna dela.
Koristeći sličnost jednakokrako pravouglih trouglova odredio Koristeći sličnost jednakokrako pravouglih trouglova odredio je , kažu, visinu Keopsove piramide, a je , kažu, visinu Keopsove piramide, a pomoćupomoću podudarnosti podudarnosti trouglova uspeo je da odredi udaljenost usidrenog broda od trouglova uspeo je da odredi udaljenost usidrenog broda od morske obale. Na koji način je izvodio dokaze tih morske obale. Na koji način je izvodio dokaze tih geometrijskih tvrđenja, pouzdano nam nije poznato. Veruje segeometrijskih tvrđenja, pouzdano nam nije poznato. Veruje se da su, u skladu sa njegovim filozofskim pogledima na svet, da su, u skladu sa njegovim filozofskim pogledima na svet, geometrijski objekti identifikovani sa fizikalnim i da su geometrijski objekti identifikovani sa fizikalnim i da su prilikom dokazivanja geometrijskih tvrđenja u znatnoj meri prilikom dokazivanja geometrijskih tvrđenja u znatnoj meri korišćena fizikalna kretanja.korišćena fizikalna kretanja.
Načelo dokazivanja geometrijskih Načelo dokazivanja geometrijskih tvrđenja u mnogo većoj meri počeo je da tvrđenja u mnogo većoj meri počeo je da sprovodi znameniti starogrcki filozof i sprovodi znameniti starogrcki filozof i matematicar matematicar PitagoraPitagora (oko 580 - oko 500 pre (oko 580 - oko 500 pre n.e.). Upoznavši se već u mlađim godinama san.e.). Upoznavši se već u mlađim godinama sa učenjem Talesa, Pitagora je niz godina proveoučenjem Talesa, Pitagora je niz godina proveo u Egiptu i Vavilonu, gde je bio u mogućnosti u Egiptu i Vavilonu, gde je bio u mogućnosti ne samo da se upozna već i da se kritički ne samo da se upozna već i da se kritički osvrne na sve što se do tada znalo u oblasti osvrne na sve što se do tada znalo u oblasti geometrije. Po povratku u domovinu on geometrije. Po povratku u domovinu on
osniva svoju školu, ne na rodnom Samosu, već u gradu osniva svoju školu, ne na rodnom Samosu, već u gradu Krotonu, grčkoj koloniji u južnoj Italiji. U oblasti matematike Krotonu, grčkoj koloniji u južnoj Italiji. U oblasti matematike Pitagora se posebno bavio geometrijom i teorijom brojeva. U Pitagora se posebno bavio geometrijom i teorijom brojeva. U oblasti geometrije njemu se pripisuje otkriće i dokaz niza oblasti geometrije njemu se pripisuje otkriće i dokaz niza geometrijskih tvrđenja kao sto su:geometrijskih tvrđenja kao sto su:-- stav o zbiru unutrašnjih uglova trouglastav o zbiru unutrašnjih uglova trougla-- stavovi o razlaganju ravni na pravilne trougaone, stavovi o razlaganju ravni na pravilne trougaone,
četvorougaone i šestougaone površi.četvorougaone i šestougaone površi.Smatra se da je Pitagora prvi začeo učenja o paralelnim Smatra se da je Pitagora prvi začeo učenja o paralelnim pravama, o proporcijama, o sličnim likovima. On je začeo pravama, o proporcijama, o sličnim likovima. On je začeo učenje o uzajamnom odnosu pravih i ravni, i učenje o učenje o uzajamnom odnosu pravih i ravni, i učenje o poliedrima. Pouzdano se zna da je otkrio tri, a po nekim poliedrima. Pouzdano se zna da je otkrio tri, a po nekim podacima svih 5 postojećih vrsta pravilnih poliedara. Posebnopodacima svih 5 postojećih vrsta pravilnih poliedara. Posebno je značajna teorema o pravouglom trouglu, koja danas nosi je značajna teorema o pravouglom trouglu, koja danas nosi njegovo ime. Pitagori, ili nekom od njegovih učenika, po svoj njegovo ime. Pitagori, ili nekom od njegovih učenika, po svoj prilici Hipasu iz Metaponta, treba pripisati i teoremu o prilici Hipasu iz Metaponta, treba pripisati i teoremu o egzistenciji nesamerljivih duži koja će podstaći razvoj tzv. egzistenciji nesamerljivih duži koja će podstaći razvoj tzv.
4
H
G F E
D
CBA
a²
K
ab
ab b²
Slika 1
geometrijske algebre. Možda je najznačajnije otkriće geometrijske algebre. Možda je najznačajnije otkriće Pitagorine škole činjenica da postoje nesamerljive duži, tj Pitagorine škole činjenica da postoje nesamerljive duži, tj dokaz da dijagonala kvadrata dokaz da dijagonala kvadrata dd nije samerljiva sa njegovom nije samerljiva sa njegovom stranicom stranicom aa, odnosno da ne postoji broj , odnosno da ne postoji broj rr takav da je takav da je r = d/ar = d/a. . Naravno, pod rečju broj ovde se misli na racionalan broj. Iz Naravno, pod rečju broj ovde se misli na racionalan broj. Iz ovog je izveden zaključak da postoji više duži nego ovog je izveden zaključak da postoji više duži nego (racionalnih) brojeva, pa je smatrano da su tvrđenja (racionalnih) brojeva, pa je smatrano da su tvrđenja geometrije opštija od odgovarajućih tvrđenja o brojevima. geometrije opštija od odgovarajućih tvrđenja o brojevima. Veoma je važan rad Pitagore i njegovih učenika na teoriji Veoma je važan rad Pitagore i njegovih učenika na teoriji brojeva. I ovde se vidi koliki je značaj geometrije u ovom brojeva. I ovde se vidi koliki je značaj geometrije u ovom periodu razvoja matematike. Vezujući brojeve za dužine duži, periodu razvoja matematike. Vezujući brojeve za dužine duži, oni su geometrijskim putem izveli čitav niz algebarskih oni su geometrijskim putem izveli čitav niz algebarskih osobina brojeva. Na primer jednakostosobina brojeva. Na primer jednakost (a + b)(a + b)²² = a= a²² + 2ab + b + 2ab + b²² iskazivana je u obliku :iskazivana je u obliku :
površina kvadrata ACEG jednaka je zbiru površina kvadrata površina kvadrata ACEG jednaka je zbiru površina kvadrata ABKH, KDEF i dvostrukoj površini pravougaonika BCDK; videti ABKH, KDEF i dvostrukoj površini pravougaonika BCDK; videti sliku 1.sliku 1.
Pitagora nije samo dokazivao Pitagora nije samo dokazivao geometrijska tvrđenja, već je zaključio da segeometrijska tvrđenja, već je zaključio da se ona moraju izlagati određenim redosledom, ona moraju izlagati određenim redosledom, što je bio prvi korak ka aksiomatskom što je bio prvi korak ka aksiomatskom zasnivanju geometrije. Obilje dokazanih zasnivanju geometrije. Obilje dokazanih geometrijskih tvrđenja već je bilo dovoljno geometrijskih tvrđenja već je bilo dovoljno da se postavi pitanje redosleda njihovog da se postavi pitanje redosleda njihovog izlaganja. To je zahtevao i sam proces izlaganja. To je zahtevao i sam proces
dokazivanja tvrđenja koji se sastoji u logičkom izvođenju dokazivanja tvrđenja koji se sastoji u logičkom izvođenju zaključaka iz ranije poznatih tvrđenja, tj. tvrđenja koja su već zaključaka iz ranije poznatih tvrđenja, tj. tvrđenja koja su već dokazana, ili se pretpostavljaju. Taj redosled u dokazivanju dokazana, ili se pretpostavljaju. Taj redosled u dokazivanju geometrijskih tvrđenja značio je jedno novo načelo, tzv. geometrijskih tvrđenja značio je jedno novo načelo, tzv. načelo sistematizacije. To načelo prvi je proklamovao i u načelo sistematizacije. To načelo prvi je proklamovao i u oblasti geometrije počeo da sprovodi Pitagora. Veruje se da jeoblasti geometrije počeo da sprovodi Pitagora. Veruje se da je već njemu bilo potpuno jasno da se ideja sistematizacije u već njemu bilo potpuno jasno da se ideja sistematizacije u geometriji ne može dosledno sprovesti od samog početka, jergeometriji ne može dosledno sprovesti od samog početka, jer se prva geometrijska tvrđenja ne mogu dokazivati iz se prva geometrijska tvrđenja ne mogu dokazivati iz prethodnih koja ne postoje. Ne nalazeći bolje rešenje u prethodnih koja ne postoje. Ne nalazeći bolje rešenje u otklanjanju te teškoće, Pitagora se zadovoljava time da otklanjanju te teškoće, Pitagora se zadovoljava time da geometrijska tvrđenja dokazuje polazeći od najočiglednijih geometrijska tvrđenja dokazuje polazeći od najočiglednijih
5
tvrđenja. Koja je tvrđenja u geometriji smatrao tvrđenja. Koja je tvrđenja u geometriji smatrao najočiglednijim nije nam poznato, jer njegovi spisi, kao i spisi najočiglednijim nije nam poznato, jer njegovi spisi, kao i spisi njegovih učenika do nas nisu dospeli. Ima istoričara koji njegovih učenika do nas nisu dospeli. Ima istoričara koji neargumentovano tvrde da je već Pitagora u geometriji uveo neargumentovano tvrde da je već Pitagora u geometriji uveo neke aksiome i postulate izvodeći iz njih ostala geometrijska neke aksiome i postulate izvodeći iz njih ostala geometrijska tvrđenja. Međutim, pouzdano se o tome ne može reći baš tvrđenja. Međutim, pouzdano se o tome ne može reći baš ništa , jer ni pozniji starogrčki spisi ne govore ništa o tome. ništa , jer ni pozniji starogrčki spisi ne govore ništa o tome. Bez obzira da li je Pitagora u geometriji došao do aksioma i Bez obzira da li je Pitagora u geometriji došao do aksioma i postulata, ili ne, načelo sistematizacije dovoljno je da se on postulata, ili ne, načelo sistematizacije dovoljno je da se on smatra tvorcem deduktivne metode ne samo u oblasti smatra tvorcem deduktivne metode ne samo u oblasti geometrije, već u nauci uopšte.geometrije, već u nauci uopšte.
Deduktivni metod u zasnivanju geometrije Deduktivni metod u zasnivanju geometrije prihvaćen je ne samo od strane Pitagorinih učenika, već i prihvaćen je ne samo od strane Pitagorinih učenika, već i drugih starogrčkih matematičara tog vremena. drugih starogrčkih matematičara tog vremena. HipokritHipokrit sa sa ostrva Hija, koji je negde sredinom V veka pre nove ere u ostrva Hija, koji je negde sredinom V veka pre nove ere u ranije osnovanoj školi u Atini predavao geometriju, napisao ranije osnovanoj školi u Atini predavao geometriju, napisao je, kažu, prvo sistematizovano delo iz ove oblasti pod je, kažu, prvo sistematizovano delo iz ove oblasti pod naslovom naslovom ElementiElementi koje do nas nije dospelo. Smatra se da koje do nas nije dospelo. Smatra se da je u tom delu bilo sabrano sve što se do tada znalo u oblasti je u tom delu bilo sabrano sve što se do tada znalo u oblasti geometrije. Pozniji autori pozivali su se na to delo, isticali su ugeometrije. Pozniji autori pozivali su se na to delo, isticali su u njemu strogost u izlaganju gradiva, no nijednom reči nisu njemu strogost u izlaganju gradiva, no nijednom reči nisu pomenuli pojmove i tvrđenja na kojima je Hipokrit zasnovao pomenuli pojmove i tvrđenja na kojima je Hipokrit zasnovao geometriju. Prema nekim podacima i starogrčki filozof geometriju. Prema nekim podacima i starogrčki filozof Demokrit (oko 480 - oko 370. g. pre n.e.) iz Abdere napisao jeDemokrit (oko 480 - oko 370. g. pre n.e.) iz Abdere napisao je jedno delo pod naslovom jedno delo pod naslovom O geometrijiO geometriji koje takođe do nas koje takođe do nas nije dospelo. Nije nam poznat ni sadržaj te rasprave, ali se nije dospelo. Nije nam poznat ni sadržaj te rasprave, ali se pretpostavlja da je bila posvećena pitanjima zasnivanja pretpostavlja da je bila posvećena pitanjima zasnivanja geometrije. geometrije.
Prve nagoveštaje aksiomatskog zasnivanja Prve nagoveštaje aksiomatskog zasnivanja geometrije srećemo u Atinskoj školi zvanoj geometrije srećemo u Atinskoj školi zvanoj AkademijaAkademija istaknutog starogrčkog filozofa istaknutog starogrčkog filozofa PlatonaPlatona (427 - 347 g. pre (427 - 347 g. pre n.e.). Premda je u toj školi prioritetan značaj pridavan filozofijin.e.). Premda je u toj školi prioritetan značaj pridavan filozofiji i društvenim naukama, izučavana je i matematika, posebno i društvenim naukama, izučavana je i matematika, posebno geometrija, kako bi se slušaoci na najefikasniji način naučili geometrija, kako bi se slušaoci na najefikasniji način naučili veštini egzaktnog logičkog rasuđivanja, veštini koja je veštini egzaktnog logičkog rasuđivanja, veštini koja je smatrana kao preduslov bavljenja filozofijom. Sam Platon smatrana kao preduslov bavljenja filozofijom. Sam Platon eksplicitno se nije bavio matematikom, ali su njegova eksplicitno se nije bavio matematikom, ali su njegova
6
rasuđivanja u oblasti filozofije imala snažnog odraza i u ovoj rasuđivanja u oblasti filozofije imala snažnog odraza i u ovoj oblasti. Posebno u poimanju matematičkih objekata kao što oblasti. Posebno u poimanju matematičkih objekata kao što su brojevi i geometrijski likovi. Platon je prvi počeo da su brojevi i geometrijski likovi. Platon je prvi počeo da geometrijska tela razmatra odvojeno od opažajnih koje geometrijska tela razmatra odvojeno od opažajnih koje srećemo oko sebe u fizikalnom prostoru i ukazao na razliku srećemo oko sebe u fizikalnom prostoru i ukazao na razliku koja postoji između naučnog zaključivanja i empirijskog koja postoji između naučnog zaključivanja i empirijskog saznanja. Geometrijske objekte je smatrao idealnim, kakvi se saznanja. Geometrijske objekte je smatrao idealnim, kakvi se ne mogu sresti u prirodi. Oslobođena empirijskih primesa ne mogu sresti u prirodi. Oslobođena empirijskih primesa geometrija je u Akademiji dobila karakter apriorističke geometrija je u Akademiji dobila karakter apriorističke deduktivne teorije zasnovane na izvesnom broju deduktivne teorije zasnovane na izvesnom broju opštepriznatih principa koji su nazvani aksiomama i opštepriznatih principa koji su nazvani aksiomama i postulatima. Kakvi su to bili principi i kakav je po Platonu bio postulatima. Kakvi su to bili principi i kakav je po Platonu bio pravi smisao aksioma i postulata, pouzdano nam nije pravi smisao aksioma i postulata, pouzdano nam nije poznato. Neki pozniji autori skloni su da tvrde da su aksiome poznato. Neki pozniji autori skloni su da tvrde da su aksiome imale deskriptivan, a postulati konstruktivan karakter. imale deskriptivan, a postulati konstruktivan karakter. Izvesno je jedino da u sačuvanim delima Platona pisanih Izvesno je jedino da u sačuvanim delima Platona pisanih najčešće u obliku dijaloga ima više mesta iz kojih se jasno najčešće u obliku dijaloga ima više mesta iz kojih se jasno naslućuje aksiomatička metoda ne samo u izgradnji naslućuje aksiomatička metoda ne samo u izgradnji geometrije već bilo koje naučne teorije.geometrije već bilo koje naučne teorije.
Teorijske osnove deduktivne metode u najopštijoj Teorijske osnove deduktivne metode u najopštijoj formi razvio je najdarovitiji Platonov ucenik, genijalni formi razvio je najdarovitiji Platonov ucenik, genijalni starogrčki filozof starogrčki filozof AristotelAristotel (384 - 322 g. pre n.e.). U više (384 - 322 g. pre n.e.). U više svojih rasprava logičkog karaktera, kao i u raspravi svojih rasprava logičkog karaktera, kao i u raspravi MetafizikaMetafizika Aristotel je pokušao da na svojevrstan način Aristotel je pokušao da na svojevrstan način naučno razotkrije opšte zakonitosti deduktivnog naučno razotkrije opšte zakonitosti deduktivnog zaključivanja. zaključivanja. Način ustanovljavanja pojmova, koji je u izvesnoj meri vec Način ustanovljavanja pojmova, koji je u izvesnoj meri vec naslućivan u delima Platona, Aristotel je podrobnije razradio naslućivan u delima Platona, Aristotel je podrobnije razradio utvrđujući svojevrsno pravilo kojim se novi pojam definise utvrđujući svojevrsno pravilo kojim se novi pojam definise pomocu bližeg, njemu srodnog, pojma i specifične razlike. Biopomocu bližeg, njemu srodnog, pojma i specifične razlike. Bio je to vekovima, sve do XIX veka, jedini naučno priznati način je to vekovima, sve do XIX veka, jedini naučno priznati način koji je nalazio široku primenu u svim naučnim oblastima, pa i koji je nalazio široku primenu u svim naučnim oblastima, pa i u geometriji. Prema tom načinu, definicija novog pojma u geometriji. Prema tom načinu, definicija novog pojma sastojala se u isticanju dveju bitnih odredbi; jedna od njih sastojala se u isticanju dveju bitnih odredbi; jedna od njih odnosila se na pripadnost pojma koji se uvodi nekom širem odnosila se na pripadnost pojma koji se uvodi nekom širem unapred poznatom pojmu za koji se govorilo da predstavlja unapred poznatom pojmu za koji se govorilo da predstavlja njegov bliži rod, druga od tih odredbi odnosila se na njegov bliži rod, druga od tih odredbi odnosila se na specifičnu razliku koja je bila neohodna da bi se novi pojam specifičnu razliku koja je bila neohodna da bi se novi pojam
7
razlikovao od pojma koji predstavlja njegov bliži rod. Tako na razlikovao od pojma koji predstavlja njegov bliži rod. Tako na primer u definiciji romba kao paralelograma sa jednakim primer u definiciji romba kao paralelograma sa jednakim susednim stranicama, pojam romba pripada širem unapred susednim stranicama, pojam romba pripada širem unapred poznatom pojmu paralelograma koji predstavlja njegov bliži poznatom pojmu paralelograma koji predstavlja njegov bliži rod, a jednakost susednih stranica predstavlja specifičnu rod, a jednakost susednih stranica predstavlja specifičnu razliku.razliku.
Ako je na ovakav način definisan neki pojam, tada Ako je na ovakav način definisan neki pojam, tada srodni pojam koji ga obuhvata predstavlja njegovo uopštenje.srodni pojam koji ga obuhvata predstavlja njegovo uopštenje. Taj opštiji pojam najčešce je služio kao predikat pri Taj opštiji pojam najčešce je služio kao predikat pri definisanju njemu podčinjenih pojmova. Ako je razmatranim definisanju njemu podčinjenih pojmova. Ako je razmatranim načinom definisan i taj opštiji pojam, srodni pojam koji ga načinom definisan i taj opštiji pojam, srodni pojam koji ga obuhvata predstavlja njegovo dalje uopštenje. Aristotel je obuhvata predstavlja njegovo dalje uopštenje. Aristotel je smatrao da je takav postupak konačan, naime da se takvim smatrao da je takav postupak konačan, naime da se takvim postupkom neminovno dolazi do pojma koji se ne može postupkom neminovno dolazi do pojma koji se ne može uključiti ni u koji opštiji pojam. Te najopštije vrste pojmova uključiti ni u koji opštiji pojam. Te najopštije vrste pojmova Aristotel je nazivao kategorijama.Aristotel je nazivao kategorijama.
Osnovne principe, tj. osnovna tvrđenja na kojima se Osnovne principe, tj. osnovna tvrđenja na kojima se zasniva deduktivna teorija, Aristotel je takođe razvrstao na zasniva deduktivna teorija, Aristotel je takođe razvrstao na aksiome i postulate. Po njegovom mišljenju aksiome treba da aksiome i postulate. Po njegovom mišljenju aksiome treba da budu osnovna tvrđenja opštijeg karaktera, tj. tvrđenja koja sebudu osnovna tvrđenja opštijeg karaktera, tj. tvrđenja koja se prihvataju bez dokazivanja i koja važe isključivo u toj naučnoj prihvataju bez dokazivanja i koja važe isključivo u toj naučnoj teoriji. Ilustracije radi, pomenimo neka tvrđenja koja Aristotel teoriji. Ilustracije radi, pomenimo neka tvrđenja koja Aristotel smatra aksiomama: smatra aksiomama: Ako se jednakim veličinama dodaju Ako se jednakim veličinama dodaju jednake veličine dobijaju se jednake veličinejednake veličine dobijaju se jednake veličine. Jasno je da ova. Jasno je da ova aksioma ne važi samo u geometriji, već i u teoriji brojeva. Za aksioma ne važi samo u geometriji, već i u teoriji brojeva. Za razumevanje Aristotelove koncepcije zasnivanja naučne razumevanje Aristotelove koncepcije zasnivanja naučne teorije od osobitog je značaja kriterijum u odabiranju teorije od osobitog je značaja kriterijum u odabiranju osnovnih tvrđenja. Aristotel je smatrao da aksiome i postulati osnovnih tvrđenja. Aristotel je smatrao da aksiome i postulati deduktivne teorije moraju predstavljati tvrđenja koja su do te deduktivne teorije moraju predstavljati tvrđenja koja su do te mere opštepriznata i iz svakodnevne prakse poznata i mere opštepriznata i iz svakodnevne prakse poznata i očigledna da ih ne samo nije moguće, već i nije potrebno očigledna da ih ne samo nije moguće, već i nije potrebno dokazivati. Takav kriterijum u izboru osnovnih tvrdjenja dokazivati. Takav kriterijum u izboru osnovnih tvrdjenja intuitivno je vodio ka uverenju da u izgradnji deduktivne intuitivno je vodio ka uverenju da u izgradnji deduktivne naučne teorije nije moguće doći do dvaju protivrečnih naučne teorije nije moguće doći do dvaju protivrečnih tvrđenja. U takvoj teoriji istinitost izvedenih tvrđenja, tj. tvrđenja. U takvoj teoriji istinitost izvedenih tvrđenja, tj. teorema nije mogla podlegati nikakvoj sumnji. Iz tih razloga teorema nije mogla podlegati nikakvoj sumnji. Iz tih razloga nije se ni nametao problem neprotivrečnosti deduktivne nije se ni nametao problem neprotivrečnosti deduktivne teorije aristotelovskog tipa. teorije aristotelovskog tipa.
8
Euklid.Euklid. Najsistematičnije delo iz geometrije antičkih Najsistematičnije delo iz geometrije antičkih vremena koje je dospelo donas pod vremena koje je dospelo donas pod naslovom naslovom ElementiElementi napisao je napisao je starogrčki matematičar starogrčki matematičar EuklidEuklid (oko (oko 365 - oko 270. g. pre n.e.). 365 - oko 270. g. pre n.e.). Obrazovanje je , kažu, stekao u AtiniObrazovanje je , kažu, stekao u Atini kod Platonovih učenika, a oko 300. kod Platonovih učenika, a oko 300. g. pre n.e. prešao u Aleksandriju da g. pre n.e. prešao u Aleksandriju da bi u tek osnovanoj školi predavao bi u tek osnovanoj školi predavao geometriju. Sakupivši sve što se do geometriju. Sakupivši sve što se do tada znalo iz oblasti geometrije, tada znalo iz oblasti geometrije, Euklid je pristupio sistematizaciji te Euklid je pristupio sistematizaciji te građe izloživši je u građe izloživši je u ElementimaElementima koji se sastoje iz 13 knjiga. Ova koji se sastoje iz 13 knjiga. Ova velika knjiga je jedno od velika knjiga je jedno od najuticajnijih klasičnih dela u najuticajnijih klasičnih dela u
literaturi zapadne misli. Kroz stari vek, kroz srednjevekovni literaturi zapadne misli. Kroz stari vek, kroz srednjevekovni period i u moderno doba, sve do devetnaestog veka, period i u moderno doba, sve do devetnaestog veka, Euklidovi Euklidovi Elementi Elementi služili su ne samo kao udžbenik služili su ne samo kao udžbenik geometrije, već i kao model onoga što naučna misao treba dageometrije, već i kao model onoga što naučna misao treba da bude. bude.
Prvih šest knjiga odnose se na planimetriju i ,najkraće Prvih šest knjiga odnose se na planimetriju i ,najkraće rečeno u njima se razvija geometrija trouglova, rečeno u njima se razvija geometrija trouglova, četvorouglova, krugova, poligona, proporcija i sličnosti. četvorouglova, krugova, poligona, proporcija i sličnosti. Naredne četiri se odnose na geometrijsku teoriju brojeva i Naredne četiri se odnose na geometrijsku teoriju brojeva i među tvrđenjima dokazanim u ovim knjigama ističu se među tvrđenjima dokazanim u ovim knjigama ističu se tvrđenje da ima neograničeno mnogo prostih brojeva i tvrđenje da ima neograničeno mnogo prostih brojeva i tvrđenje da je tvrđenje da je 2 iracionalan broj. Poslednje tri se odnose na 2 iracionalan broj. Poslednje tri se odnose na stereometriju - jedanaesta knjiga je uvod u stereometriju, stereometriju - jedanaesta knjiga je uvod u stereometriju, dvanaesta se bavi piramidama, konusima i cilindrima, a dvanaesta se bavi piramidama, konusima i cilindrima, a trinaesta pravilnim poliedrima. Tim knjigama obično se trinaesta pravilnim poliedrima. Tim knjigama obično se prilažu kao dodatak jos dve kraće monografije koje često prilažu kao dodatak jos dve kraće monografije koje često komentatori nazivaju četrnaestom i petnaestom knjigom komentatori nazivaju četrnaestom i petnaestom knjigom Euklidovih Euklidovih ElemenataElemenata. Izvesno vreme smatralo se da je i . Izvesno vreme smatralo se da je i njih napisao Euklid; docnije je ustanovljeno da je prvu od njih njih napisao Euklid; docnije je ustanovljeno da je prvu od njih napisao Euklidov učenik Hipsikle iz Aleksandrije, a drugu neki napisao Euklidov učenik Hipsikle iz Aleksandrije, a drugu neki nepoznati autor nekoliko vekova kasnije. Ove dve nepoznati autor nekoliko vekova kasnije. Ove dve monografije imaju više istorijski značaj, te se u prevodima monografije imaju više istorijski značaj, te se u prevodima najčešće sreću u skraćenoj verziji.najčešće sreću u skraćenoj verziji.
9
U svom grandioznom delu U svom grandioznom delu ElementiElementi Euklid je pokušao Euklid je pokušao da dosledno sprovede deduktivan metod u izlaganju da dosledno sprovede deduktivan metod u izlaganju geometrije. Upravo ta doslednost u dedukciji učinila je da geometrije. Upravo ta doslednost u dedukciji učinila je da njegovo delo vekovima predstavlja savršenstvo i uzor njegovo delo vekovima predstavlja savršenstvo i uzor logičkog rasuđivanja ne samo u oblasti geometrije, već u logičkog rasuđivanja ne samo u oblasti geometrije, već u nauci uopšte. Budući da je više od dva milenijuma to nauci uopšte. Budući da je više od dva milenijuma to Euklidovo delo bilo osnov svakog obrazovanja, njegov uticaj Euklidovo delo bilo osnov svakog obrazovanja, njegov uticaj na kulturu čovečanstva bio je ogroman. Nijedan od udzbenikana kulturu čovečanstva bio je ogroman. Nijedan od udzbenika geometrije napisanih pre njega nije mogao da se održi, a geometrije napisanih pre njega nije mogao da se održi, a posle njega vekovima nije načinjen ni pokušaj da se posle njega vekovima nije načinjen ni pokušaj da se geometrija drugačije utemelji. Zahvaljujući Euklidovim geometrija drugačije utemelji. Zahvaljujući Euklidovim ElementimaElementima geometrija je vekovima doživljavana kao geometrija je vekovima doživljavana kao savršenstvo i stoga se prema njoj ravnalo svako drugo savršenstvo i stoga se prema njoj ravnalo svako drugo sistematisano znanje.sistematisano znanje.
ElementiElementi su podeljeni na 13 knjiga, sa sledećim su podeljeni na 13 knjiga, sa sledećim sadržajem:sadržajem:
Knjiga : I Knjiga : I Podudarnost, paralelnost, Pitagorina teoremaPodudarnost, paralelnost, Pitagorina teorema II II Geometrijska obrada algebarskih identiteta Geometrijska obrada algebarskih identiteta III III KrugoviKrugovi IV IV Upisani i opisani mnogougloviUpisani i opisani mnogouglovi V V Geometrijska obrada proporcijaGeometrijska obrada proporcija VI VI Sličnost mnogouglovaSličnost mnogouglova VII,VIII,IX VII,VIII,IX Geometrijsko izlaganje teorije brojevaGeometrijsko izlaganje teorije brojeva
X X Teorija nesamerljivih duži (iracionalnih Teorija nesamerljivih duži (iracionalnih brojeva)brojeva) XI,XII,XIII XI,XII,XIII StereometrijaStereometrija
Premda je vekovima uživalo epitet najsavršenijeg dela Premda je vekovima uživalo epitet najsavršenijeg dela što ga je uspeo da stvori ljudski um pomenuto delo imalo je što ga je uspeo da stvori ljudski um pomenuto delo imalo je svojih nedostataka koji će povremeno biti predmet svojih nedostataka koji će povremeno biti predmet istraživanja ne malog broja matematičara. Osvrnimo se zato istraživanja ne malog broja matematičara. Osvrnimo se zato na bitne karakteristike Euklidovog zasnivanja geometrije.na bitne karakteristike Euklidovog zasnivanja geometrije.
Euklid počinje izlaganje navođenjem niza definicija Euklid počinje izlaganje navođenjem niza definicija kojima se obrazlažu prvi geometrijski pojmovi kao što su kojima se obrazlažu prvi geometrijski pojmovi kao što su
10
tačka, linija, površ, prava, ravan, itd. Prva knjiga počinje tačka, linija, površ, prava, ravan, itd. Prva knjiga počinje spiskom od 23 definicije. spiskom od 23 definicije.
Evo kako glasi nekoliko prvih definicija:Evo kako glasi nekoliko prvih definicija:
1.1. Tačka je ono što nema delova.Tačka je ono što nema delova.2.2. Linija je dužina bez širine.Linija je dužina bez širine.3.3. Krajevi linije su tačke.Krajevi linije su tačke.4.4. Prava je linija ona, koja za tačke na njoj podjednako Prava je linija ona, koja za tačke na njoj podjednako
leži.leži.5.5. Površina je ono što ima samo dužinu i širinu.Površina je ono što ima samo dužinu i širinu.6.6. Krajevi poršine su linije.Krajevi poršine su linije.7.7. Ravan je površina koja za prave na njoj podjednako Ravan je površina koja za prave na njoj podjednako
leži.leži.itd.itd.
Navedene definicije su krajnje nejasne, čak i logički Navedene definicije su krajnje nejasne, čak i logički nekorektne. Nejasnoće dolaze otuda što autor često nastoji nekorektne. Nejasnoće dolaze otuda što autor često nastoji da definiše neki pojam pomoću pojmova koji prethodno nisu da definiše neki pojam pomoću pojmova koji prethodno nisu definisani. Kako razumeti pojam tačke, šta su to dužina i definisani. Kako razumeti pojam tačke, šta su to dužina i širina, kako shvatiti liniju koja podjednako leži za svoje tačke, širina, kako shvatiti liniju koja podjednako leži za svoje tačke, pitanja su na koja Euklid nije dao odgovor. On to nije mogao pitanja su na koja Euklid nije dao odgovor. On to nije mogao učiniti, jer geometriju zasniva ne uvodeći prethodno nikakve učiniti, jer geometriju zasniva ne uvodeći prethodno nikakve osovne pojmove što je sa logičkog stanovišta nemoguće. Na osovne pojmove što je sa logičkog stanovišta nemoguće. Na primer, pojam tačke sveden je na pojam primer, pojam tačke sveden je na pojam deodeo, uz intuitivno , uz intuitivno shvatanje reči shvatanje reči nemanema, tako da ovim definicijama nije ništa , tako da ovim definicijama nije ništa postignuto.postignuto.
Osnovne stavove geometrije Euklid je podelio na Osnovne stavove geometrije Euklid je podelio na aksiome i postulate. Euklidu izgleda da je osnovna razlika aksiome i postulate. Euklidu izgleda da je osnovna razlika između postulata i aksioma u tome što postulati govore između postulata i aksioma u tome što postulati govore određeno o predmetu geometrije (linije, uglovi itd.), dok određeno o predmetu geometrije (linije, uglovi itd.), dok aksiome ne kažu ništa određeno o geometriji, već su opštije.aksiome ne kažu ništa određeno o geometriji, već su opštije.Najpre su navedeni postulati. Najpre su navedeni postulati.
11
Pogledajmo pet postulata koje Euklid daje u svom Pogledajmo pet postulata koje Euklid daje u svom sistemu. sistemu.
Pretpostavimo sledeće, kaze on:Pretpostavimo sledeće, kaze on:
1.1. Da se može povući od svake tačke ka svakoj drugoj Da se može povući od svake tačke ka svakoj drugoj tački prava linija.tački prava linija.
2.2. I da ograničena prava može biti produžena u svom I da ograničena prava može biti produžena u svom pravcu neprekidno.pravcu neprekidno.
3.3. I da se može opisati iz svakog središta svakim I da se može opisati iz svakog središta svakim rastojanjem krug.rastojanjem krug.
4.4. I da su svi pravi uglovi jednaki međusobno.I da su svi pravi uglovi jednaki međusobno.5.5. I da će se, ako jedna prava u preseku sa drugim I da će se, ako jedna prava u preseku sa drugim
dvema obrazuje sa iste strane dva unutrašnja ugla dvema obrazuje sa iste strane dva unutrašnja ugla čiji je zbir manji od dva prava ugla, te dve prave, čiji je zbir manji od dva prava ugla, te dve prave, beskrajno produžene, seći, i to sa one strane sa koje beskrajno produžene, seći, i to sa one strane sa koje su ovi uglovi manji od dva prava (slika 3).su ovi uglovi manji od dva prava (slika 3).
Prva tri postulata su Prva tri postulata su konstruktivnog karaktera konstruktivnog karaktera i na njima je vekovima i na njima je vekovima zasnivana teorija zasnivana teorija geometrijskih geometrijskih
12
Slika 2Izdanje Euklidovih “Elemenata” iz 1482. godine – deo koji se odnosi na pet postulata
Slika 3
konstrukcija. Za poslednja dva postulata ne može se reći da konstrukcija. Za poslednja dva postulata ne može se reći da su konstruktivnog karaktera. Pomenimo da u savremenoj su konstruktivnog karaktera. Pomenimo da u savremenoj geometriji četvrti postulat predstavlja tvrđenje koje se geometriji četvrti postulat predstavlja tvrđenje koje se dokazuje. O famoznom petom postulatu govorićemo malo dokazuje. O famoznom petom postulatu govorićemo malo kasnije.kasnije.
Euklid navodi devet aksioma koje glase:Euklid navodi devet aksioma koje glase:
1.1. Oni koji su jednaki istom, jednaki su medjusobnom.Oni koji su jednaki istom, jednaki su medjusobnom.2.2. I ako se jednakom dodaju jednaki, celine su jednake.I ako se jednakom dodaju jednaki, celine su jednake.3.3. I ako se od jednakih oduzmu jednaki, ostaci su I ako se od jednakih oduzmu jednaki, ostaci su
jednaki.jednaki.4.4. I ako se nejednakim dodaju jednaki, celine su I ako se nejednakim dodaju jednaki, celine su
nejednake.nejednake.5.5. I udvostručeni jednaki, jednaki su medjusobno.I udvostručeni jednaki, jednaki su medjusobno.6.6. I polovine od jednakih jednake su medjusobno.I polovine od jednakih jednake su medjusobno.7.7. I oni koji se mogu poklopiti, jednaki su medjusobno.I oni koji se mogu poklopiti, jednaki su medjusobno.8.8. I celina je veća od dela.I celina je veća od dela.9.9. I dve prave ne ograničavaju oblast.I dve prave ne ograničavaju oblast.
Samo su sedma i deveta aksioma, za razliku od ostalih, Samo su sedma i deveta aksioma, za razliku od ostalih, geoemtrijskog karaktera. U nekim prepisima geoemtrijskog karaktera. U nekim prepisima ElemenataElemenata deveta aksioma se navodi kao šesti postulat, što dokazuje dadeveta aksioma se navodi kao šesti postulat, što dokazuje da su prepisivači kroz vekove sebi dopuštali da prave manje su prepisivači kroz vekove sebi dopuštali da prave manje intervencije u tekstu koji su prepisivali.intervencije u tekstu koji su prepisivali.
Postulati, aksiome i definicije predstavljaju polazište Postulati, aksiome i definicije predstavljaju polazište Euklidovih dokaza. Njegov cilj je da dokaže sve druge Euklidovih dokaza. Njegov cilj je da dokaže sve druge geometrijske principe, prvo one iz geometrije ravni, a kasnijegeometrijske principe, prvo one iz geometrije ravni, a kasnije one iz geometrije tela, pokazujući da oni nužno proizilaze iz one iz geometrije tela, pokazujući da oni nužno proizilaze iz osnovnih pretpostavki. U osnovnih pretpostavki. U ElementimaElementima se dokazuju dve se dokazuju dve vrste stvari. Jedno su univerzalni zakoni: na primer, Stav 4 vrste stvari. Jedno su univerzalni zakoni: na primer, Stav 4 Prve knjige kaže: Prve knjige kaže: Ako dva trougla imaju po dve Ako dva trougla imaju po dve odgovarajuće strane jednake i ako su im jednaki uglovi koje odgovarajuće strane jednake i ako su im jednaki uglovi koje grade jednake stranice, onda će oni takođe imati jednake grade jednake stranice, onda će oni takođe imati jednake osnovice, jedan trougao će biti jednak drugome i preostali osnovice, jedan trougao će biti jednak drugome i preostali uglovi će biti jednaki odgovarajućim preostalim uglovima, uglovi će biti jednaki odgovarajućim preostalim uglovima, naime onima koji se nalaze naspram jednakih strana. naime onima koji se nalaze naspram jednakih strana.
13
Međutim, postoje teoreme koje nisu iskazane kao univerzalniMeđutim, postoje teoreme koje nisu iskazane kao univerzalni zakoni, nego kao zadaci koje treba uraditi; uputstvo za zakoni, nego kao zadaci koje treba uraditi; uputstvo za obavljanje zadataka tako je razrađeno da omogućuje da obavljanje zadataka tako je razrađeno da omogućuje da ćemo, pridržavajući ga se, obaviti zadatak.ćemo, pridržavajući ga se, obaviti zadatak.
Da bismo sagledali Euklidov metod, pogledajmo kako Da bismo sagledali Euklidov metod, pogledajmo kako on obrađuje Stav 1 iz Prve knjige:on obrađuje Stav 1 iz Prve knjige:
Na datoj konačnoj pravoj liniji konstruisati ravnostran Na datoj konačnoj pravoj liniji konstruisati ravnostran trougao.trougao.
Neka je Neka je ABAB konačna prava linija. konačna prava linija. Zahteva se, dakle, da Zahteva se, dakle, da konstruišemo ravnostran konstruišemo ravnostran trougao na pravoj liniji trougao na pravoj liniji ABAB. . Nacrtajmo krug Nacrtajmo krug BCDBCD sa centrom sa centrom AA i odstojanjem i odstojanjem ABAB (Postulat 3); (Postulat 3); opet, nacrtajmo krug opet, nacrtajmo krug ACEACE sa sa centrom centrom BB i rastojanjem i rastojanjem BABA
(Postulat 3); tačku (Postulat 3); tačku CC, u kojoj krugovi seku jedan drugi, sa , u kojoj krugovi seku jedan drugi, sa tačkama tačkama A, BA, B spojimo pravim linijama spojimo pravim linijama CA, CBCA, CB (Postulat 1). (Postulat 1). Sada, pošto je tačka Sada, pošto je tačka AA centar kruga centar kruga CDBCDB, , ACAC je jednako je jednako ABAB (prema Definiciji 15 : Krug je ravna figura omeđana takvom (prema Definiciji 15 : Krug je ravna figura omeđana takvom jednom linijom, da su sve prave povučene od jedne tačke, jednom linijom, da su sve prave povučene od jedne tačke, koja se nalazi u samoj figuri, prema toj liniji međusobno koja se nalazi u samoj figuri, prema toj liniji međusobno jednake). Opet, pošto je tačka jednake). Opet, pošto je tačka BB centar kruga centar kruga CAE, BCCAE, BC je je jednako jednako BABA (prema definiciji 15). Ali, dokazano je takođe da (prema definiciji 15). Ali, dokazano je takođe da je je CACA jednako jednako ABAB; dakle prave linije ; dakle prave linije CA, CB CA, CB jednake su jednake su ABAB, pa, pa prema Aksiomi 1 prema Aksiomi 1 CA CA je jednako je jednako CBCB. Prema tome, prave linije . Prema tome, prave linije CA, AB, BCCA, AB, BC jednake su među sobom. Dakle, trougao jednake su među sobom. Dakle, trougao ABCABC je je ravnostran i konstruisan je na datoj konačnoj pravoj liniji ravnostran i konstruisan je na datoj konačnoj pravoj liniji ABAB..
Ovaj dokaz je ilustracija načina na koji Euklid upotrebljava Ovaj dokaz je ilustracija načina na koji Euklid upotrebljava postulate, aksiome i definicije kako bi dokazao svoje postulate, aksiome i definicije kako bi dokazao svoje teoreme. teoreme.
Geometrija posle Euklida. Geometrija posle Euklida. Veoma je značajno istaći da Veoma je značajno istaći da Euklidov sistem osnovnih tvrđenja nije bio potpun, naime da Euklidov sistem osnovnih tvrđenja nije bio potpun, naime da se iz njegovih aksioma i postulata ne može izvesti svako se iz njegovih aksioma i postulata ne može izvesti svako geometrijsko tvrđenje. Tu nepotpunost prvi je primetio geometrijsko tvrđenje. Tu nepotpunost prvi je primetio znameniti starogrčki matematičar Arhimed (287-212. g. pre znameniti starogrčki matematičar Arhimed (287-212. g. pre n.e.) U svom delu n.e.) U svom delu O lopti i valjkuO lopti i valjku on je dodao novih pet on je dodao novih pet
14
D E
C
A B
Slika 4
postulata koji omogućuju da se zasnuje teorija merenja postulata koji omogućuju da se zasnuje teorija merenja geometrijskih figura. Jedan od tih postulata i danas ima geometrijskih figura. Jedan od tih postulata i danas ima status osnovnog tvrđenja; to je tzv. Eudoks - Arhimedova status osnovnog tvrđenja; to je tzv. Eudoks - Arhimedova aksioma prestiživosti: aksioma prestiživosti: Od dveju nejednakih linija, dveju Od dveju nejednakih linija, dveju nejednakih površina ili dvaju nejednakih tela, veća veličina nejednakih površina ili dvaju nejednakih tela, veća veličina biće manja od one veličine koja se dobija kada manju biće manja od one veličine koja se dobija kada manju umnožimo potreban broj putaumnožimo potreban broj puta. .
Euklid kao da nije osećao potrebu da u geometriji Euklid kao da nije osećao potrebu da u geometriji strogo zasnuje učenje o neprekidnosti. Neka tvrđenja koja sestrogo zasnuje učenje o neprekidnosti. Neka tvrđenja koja se odnose na to učenje, kao što je stav o preseku prave i kruga,odnose na to učenje, kao što je stav o preseku prave i kruga, Euklid ne dokazuje već smatra očiglednim. Ti nedostaci biće Euklid ne dokazuje već smatra očiglednim. Ti nedostaci biće u geometriji otklonjeni tek u XIX veku uvođenjem tzv. u geometriji otklonjeni tek u XIX veku uvođenjem tzv. aksioma neprekidnosti. Euklidovi elementi obilovali su i aksioma neprekidnosti. Euklidovi elementi obilovali su i drugim nedostacima. Na primer, Euklid je u razmatranjima drugim nedostacima. Na primer, Euklid je u razmatranjima često koristio pojam često koristio pojam izmeđuizmeđu ne pridavajući mu nikakav ne pridavajući mu nikakav poseban značaj. [taviše, on ga i ne definiše, već smatra poseban značaj. [taviše, on ga i ne definiše, već smatra očiglednim i opštepoznatim pojmom. Značaj pojma očiglednim i opštepoznatim pojmom. Značaj pojma izmeđuizmeđu u geometriji je shvaćen tek u XIX veku kada je u geometriji je shvaćen tek u XIX veku kada je uvođenjem tzv. aksioma rasporeda razrađena geometrija uvođenjem tzv. aksioma rasporeda razrađena geometrija poretka na pravoj, u ravni, i prostoru. poretka na pravoj, u ravni, i prostoru. Takođe, treba napomenuti da prilikom dokazivanja svojih Takođe, treba napomenuti da prilikom dokazivanja svojih teorema Euklid se ponekad oslanjao na sliku i time dokaz teorema Euklid se ponekad oslanjao na sliku i time dokaz učinio nekorektnim. učinio nekorektnim.
I posle Arhimeda ređali su se pokušaji da se temelji I posle Arhimeda ređali su se pokušaji da se temelji geometrije upotpune. Ipak, tokom mnogih vekova, sve do geometrije upotpune. Ipak, tokom mnogih vekova, sve do početka XIX veka, niko nije suštinski unapredio osnove početka XIX veka, niko nije suštinski unapredio osnove geometrije izložene u geometrije izložene u ElementimaElementima. Bilo je u tom periodu . Bilo je u tom periodu sjajnih uspeha u matematici koji se ogledaju, pre svega, u sjajnih uspeha u matematici koji se ogledaju, pre svega, u stvaranju novih matematičkih teorija : izgrađena je stvaranju novih matematičkih teorija : izgrađena je simbolička algebra, zasnovana je analitička geometrija, a simbolička algebra, zasnovana je analitička geometrija, a nakon toga i diferencijalni i integralni račun. Tako unapređennakon toga i diferencijalni i integralni račun. Tako unapređen matematički aparat omogućio je rešavanje mnogih matematički aparat omogućio je rešavanje mnogih geometrijskih problema, pa ipak, u osnovima geometrije geometrijskih problema, pa ipak, u osnovima geometrije suštinski se nije ništa promenilo od vremena Euklida i suštinski se nije ništa promenilo od vremena Euklida i Arhimeda. Arhimeda.
15
Za razvoj geometrije, a preko nje i drugih matematičkihZa razvoj geometrije, a preko nje i drugih matematičkih oblasti, ogroman značaj imao je Euklidov peti postulat. S oblasti, ogroman značaj imao je Euklidov peti postulat. S obzirom na ondašnje kriterijume u odabiranju osnovnih obzirom na ondašnje kriterijume u odabiranju osnovnih tvrđenja, mnogi su matematičari posle Euklida opravdano tvrđenja, mnogi su matematičari posle Euklida opravdano smatrali da peti postulat zbog svoje složenosti i smatrali da peti postulat zbog svoje složenosti i neočiglednosti ne treba da bude na spisku osnovnih neočiglednosti ne treba da bude na spisku osnovnih tvrđenja, već da ga treba kao teoremu dokazati. Bili su to tvrđenja, već da ga treba kao teoremu dokazati. Bili su to dovoljni razlozi zbog kojih će mnogi matematičari narednih dovoljni razlozi zbog kojih će mnogi matematičari narednih dvadeset i vise vekova neumorno pokušavati da odgonetnu dvadeset i vise vekova neumorno pokušavati da odgonetnu to pitanje. Generacije Euklidovih nastavljača i pasioniranih to pitanje. Generacije Euklidovih nastavljača i pasioniranih ljubitelja geometrije odgonetale su pitanje petog Euklidovog ljubitelja geometrije odgonetale su pitanje petog Euklidovog postulata. Uvereni da Euklidov peti postulat ne treba da postulata. Uvereni da Euklidov peti postulat ne treba da predstavlja osnovno tvrđenje, već teoremu koju treba predstavlja osnovno tvrđenje, već teoremu koju treba dokazati pomoću ostalih Euklidovih postulata i aksioma, dokazati pomoću ostalih Euklidovih postulata i aksioma, mnogi su matematičari pokušavali da, najčešće indirektnim mnogi su matematičari pokušavali da, najčešće indirektnim postupkom, izvedu dokaz tog tvrđenja. Polazeći od negacije postupkom, izvedu dokaz tog tvrđenja. Polazeći od negacije petog postulata ili negacije nekog stava koji je ekvivalentan petog postulata ili negacije nekog stava koji je ekvivalentan petom postulatu, oni su pomoću ostalih Euklidovih postulata petom postulatu, oni su pomoću ostalih Euklidovih postulata i aksioma izvodili nova tvrđenja nadajući se da će tim putem i aksioma izvodili nova tvrđenja nadajući se da će tim putem doći do dvaju protivrečnih tvrđenja i time rešiti problem doći do dvaju protivrečnih tvrđenja i time rešiti problem petog postulata. petog postulata. Među važnijim pokušajima da se dokaže peti postulat treba Među važnijim pokušajima da se dokaže peti postulat treba pomenuti Ptolomeja, Proklusa, Nasradin-al-Tusija, Volisa, pomenuti Ptolomeja, Proklusa, Nasradin-al-Tusija, Volisa, Sakerija, Lamberta i Ležandra. U stvari, pokazalo se da se Sakerija, Lamberta i Ležandra. U stvari, pokazalo se da se peti postulat ne može dokazati iz ostalih Euklidovih postulatapeti postulat ne može dokazati iz ostalih Euklidovih postulata i aksioma, tako da se sa pravom možemo diviti Euklidu koji i aksioma, tako da se sa pravom možemo diviti Euklidu koji je, izgleda, uvideo da se peti postulat zaista mora uvrstati je, izgleda, uvideo da se peti postulat zaista mora uvrstati među postulate. među postulate.
Međutim, ipak su ovi pokušaji bili korisni, jer se na taj Međutim, ipak su ovi pokušaji bili korisni, jer se na taj način došlo do mnogih stavova koji su ekvivalentni petom način došlo do mnogih stavova koji su ekvivalentni petom postulatu, i svi su oni, polako, ali sigurno, vodili ka otkriću postulatu, i svi su oni, polako, ali sigurno, vodili ka otkriću novih geometrija. Prekretnica je XIX vek i otkriše tzv. novih geometrija. Prekretnica je XIX vek i otkriše tzv. neeuklidskih geometrija neeuklidskih geometrija koje se bitno razlikuju od koje se bitno razlikuju od euklidske. Prioritetne zasluge u otkriću neeuklidske euklidske. Prioritetne zasluge u otkriću neeuklidske geometrije ima ruski matematičar geometrije ima ruski matematičar Nikolaj Ivanovič Nikolaj Ivanovič LobačevskiLobačevski (1792 - 1856). Kao i mnogi prethodnici, (1792 - 1856). Kao i mnogi prethodnici, Lobačevski je nastojao da indirektnim postupkom Euklidov Lobačevski je nastojao da indirektnim postupkom Euklidov peti postulat izvede iz ostalih postulata i aksioma Euklida. U peti postulat izvede iz ostalih postulata i aksioma Euklida. U
16
tom cilju on je pošao od negacije jednog tvrđenja koje je tom cilju on je pošao od negacije jednog tvrđenja koje je ekvivaletno Euklidovom petom postulatu, naime od ekvivaletno Euklidovom petom postulatu, naime od pretpostavke da kroz tačku van jedne prave postoje pretpostavke da kroz tačku van jedne prave postoje najmanje dve prave koje su sa tom pravom komplanarne i najmanje dve prave koje su sa tom pravom komplanarne i disjunktne. Ne koristeći nigde peti postulat niti bilo koje disjunktne. Ne koristeći nigde peti postulat niti bilo koje njemu ekvivalentno tvrđenje, Lobačevski je uspeo da izgradi njemu ekvivalentno tvrđenje, Lobačevski je uspeo da izgradi potpuno novu teoriju ne našavši u njoj nikakvih potpuno novu teoriju ne našavši u njoj nikakvih protivurečnosti. Uveren u logičku ispravnost svojih protivurečnosti. Uveren u logičku ispravnost svojih rasuđivanja, on je smelo razotkrivao nove zakonitosti, tvrdećirasuđivanja, on je smelo razotkrivao nove zakonitosti, tvrdeći da Euklidov peti postulat ne predstavlja posledicu ostalih da Euklidov peti postulat ne predstavlja posledicu ostalih Euklidovih postulata i aksioma i da , štaviše, sem Euklidove Euklidovih postulata i aksioma i da , štaviše, sem Euklidove geometrije postoji i geometrija koja se bitno razlikuje od nje. geometrije postoji i geometrija koja se bitno razlikuje od nje. Rezultate svojih istraživanja Lobačevski je saopstio u Rezultate svojih istraživanja Lobačevski je saopstio u Odelenju fizičko - matematičkih nauka Kazanjskog Odelenju fizičko - matematičkih nauka Kazanjskog univerziteta dana 23. februara 1826. godine, a publikovao u univerziteta dana 23. februara 1826. godine, a publikovao u VesnikuVesniku Kazanjskog univerziteta 1829 - 1830. godine. Kazanjskog univerziteta 1829 - 1830. godine. Potpuno nezavisno od njega do iste geometrije dosao je i Potpuno nezavisno od njega do iste geometrije dosao je i mađarski matematičar Janoš Boljaj (1802 - 1860) koji je mađarski matematičar Janoš Boljaj (1802 - 1860) koji je rezultate svojih istraživanja objavio 1832. godine u vidu rezultate svojih istraživanja objavio 1832. godine u vidu dodatka knjige dodatka knjige GeometrijaGeometrija svojeg oca Farkasa Boljaja. svojeg oca Farkasa Boljaja. Stoga se taj rad u literatiri sreće pod naslovom Stoga se taj rad u literatiri sreće pod naslovom ApendiksApendiks, , što na latinskom jeziku znači dodatak. Tu novootkrivenu što na latinskom jeziku znači dodatak. Tu novootkrivenu geometriju danas nazivamo neeuklidskom geometrijom geometriju danas nazivamo neeuklidskom geometrijom Lobačevskog - Boljaja ili pak hiperboličkom geometrijom. Lobačevskog - Boljaja ili pak hiperboličkom geometrijom. Godine 1854. nemački matematičar Bernhard Riman (1826 - Godine 1854. nemački matematičar Bernhard Riman (1826 - 1866) u svojem radu 1866) u svojem radu O hipotezama koje leže u osnovi O hipotezama koje leže u osnovi geometrijegeometrije razmatrajući tzv. polidimenzione mnogostrukosti razmatrajući tzv. polidimenzione mnogostrukosti dolazi do još jedne neeuklidske geometrije, koju danas dolazi do još jedne neeuklidske geometrije, koju danas nazivamo eliptičkom geometrijom, ili Rimanovom nazivamo eliptičkom geometrijom, ili Rimanovom geometrijom u užem smislu. geometrijom u užem smislu.
Otkriće neeuklidskih geometrija odrazilo se na zasnivanje ne Otkriće neeuklidskih geometrija odrazilo se na zasnivanje ne samo geometrije, već bilo koje deduktivne teorije. Osnovni samo geometrije, već bilo koje deduktivne teorije. Osnovni značaj tog otkrića je u tome što se potpuno izmenila ideja o značaj tog otkrića je u tome što se potpuno izmenila ideja o aksiomatici - naime, aksiome ne moraju da budu aksiomatici - naime, aksiome ne moraju da budu ocigledneocigledne činjenice koje se ne dokazuju. Vekovima neprikosnoveni činjenice koje se ne dokazuju. Vekovima neprikosnoveni kriterijumi odabiranja osnovnih pojmova i osnovnih tvrđenja kriterijumi odabiranja osnovnih pojmova i osnovnih tvrđenja deduktivne teorije koje su svojevremeno proklamovali Platondeduktivne teorije koje su svojevremeno proklamovali Platon i Aristotel nisu mogli i dalje odolevati vremenu. Došlo se do i Aristotel nisu mogli i dalje odolevati vremenu. Došlo se do
17
saznanja da osnovna geometrijska tvrđenja, tj. aksiome i saznanja da osnovna geometrijska tvrđenja, tj. aksiome i postulati, važe ne samo na skupu tačaka, pravih i ravni postulati, važe ne samo na skupu tačaka, pravih i ravni shvaćenih u klasičnom Euklidovom smislu, već i na skupu shvaćenih u klasičnom Euklidovom smislu, već i na skupu tačaka, pravih i ravni shvaćenih u mnogo širem smislu. tačaka, pravih i ravni shvaćenih u mnogo širem smislu. Proširivani su i apstraktnije poimani objekti koji su se nalazili Proširivani su i apstraktnije poimani objekti koji su se nalazili u osnovi skoro svih geometrijskih tvrđenja. Dajući tim u osnovi skoro svih geometrijskih tvrđenja. Dajući tim apstraktnim osnovnim pojmovima konkretna značenja apstraktnim osnovnim pojmovima konkretna značenja ustanovljuju se modeli na kojima je moguće izvoditi ustanovljuju se modeli na kojima je moguće izvoditi realizacije poznatih geometrija Euklida, Lobačevskog i realizacije poznatih geometrija Euklida, Lobačevskog i Rimana. Do koje se mere otišlo daleko u apstrahovanju Rimana. Do koje se mere otišlo daleko u apstrahovanju geometrijskih objekata najbolje ilustruje činjenica da se pod geometrijskih objekata najbolje ilustruje činjenica da se pod pojmom tačka mogla podrazumevati uređena n-torka realnihpojmom tačka mogla podrazumevati uređena n-torka realnih brojeva, a pod prostorom skup svih takvih postojećih n-torki. brojeva, a pod prostorom skup svih takvih postojećih n-torki.
Zasnivanje geometrije na apstraktnim osnovnim Zasnivanje geometrije na apstraktnim osnovnim pojmovima i neočiglednim aksiomama podstaklo je mnoge pojmovima i neočiglednim aksiomama podstaklo je mnoge matematičare poslednjih decenija XIX veka da svoju matematičare poslednjih decenija XIX veka da svoju istraživacku delatnost usmere ka osnovama geometrije, a sa istraživacku delatnost usmere ka osnovama geometrije, a sa njome i osnovama drugih matematičkih disciplina. Počinju senjome i osnovama drugih matematičkih disciplina. Počinju se razmatrati fundamentalni problemi koji karakterišu ne samo razmatrati fundamentalni problemi koji karakterišu ne samo aksiomatiku geometrije, već i aksiomatiku bilo koje aksiomatiku geometrije, već i aksiomatiku bilo koje deduktivne teorije. To su problemi deduktivne teorije. To su problemi neprotivrečnostineprotivrečnosti, , nazavisnostinazavisnosti i i potpunostipotpunosti aksioma te teorije. aksioma te teorije. Kaže se da je sistem aksioma neke deduktivne teorije Kaže se da je sistem aksioma neke deduktivne teorije neprotivrečan, ako u toj teoriji ne postoje dva tvrđenja koja neprotivrečan, ako u toj teoriji ne postoje dva tvrđenja koja bi bila među sobom protivrečna. Za sistem aksioma neke bi bila među sobom protivrečna. Za sistem aksioma neke deduktivne teorije kaže se da je nezavistan ako se nijedna deduktivne teorije kaže se da je nezavistan ako se nijedna od aksioma tog sistema ne može izvesti iz ostalih aksioma od aksioma tog sistema ne može izvesti iz ostalih aksioma tog sistema. Ako je neprotivrečan sistem aksioma neke tog sistema. Ako je neprotivrečan sistem aksioma neke deduktivne teorije dovoljan za ustanovljavanje istinitosti ili deduktivne teorije dovoljan za ustanovljavanje istinitosti ili neistinosti bilo kojeg tvrđenja te teorije, tada se kaže da je neistinosti bilo kojeg tvrđenja te teorije, tada se kaže da je pomenuti sistem aksioma potpun. Mali je broj teorija za koje pomenuti sistem aksioma potpun. Mali je broj teorija za koje znamo da su potpune (takve su na primer baš euklidska znamo da su potpune (takve su na primer baš euklidska geometrija i geometrija Lobačevskog). Problemi geometrija i geometrija Lobačevskog). Problemi neprotivrečnosti, nazavisnosti i potpunosti najčešće se neprotivrečnosti, nazavisnosti i potpunosti najčešće se rešavaju na modelima tih teorija. Tako je 1868. godine rešavaju na modelima tih teorija. Tako je 1868. godine italijanski matematičar Evđenio Beltrami (1835 - 1900) italijanski matematičar Evđenio Beltrami (1835 - 1900) uspeo da dokaže da se u okolini proizvoljne tačke naročite uspeo da dokaže da se u okolini proizvoljne tačke naročite površi, tzv. pseudosfere, zamišljajući prave kao najkraće površi, tzv. pseudosfere, zamišljajući prave kao najkraće
18
Hilbert
linije na toj površi što spajaju dve njene tačke, realizuje linije na toj površi što spajaju dve njene tačke, realizuje planimetrija Lobačevskog. Time je praktično bio izveden planimetrija Lobačevskog. Time je praktično bio izveden dokaz neprotivrečnosti planimetrije Lobačevskog. Nešto dokaz neprotivrečnosti planimetrije Lobačevskog. Nešto docnije, 1871. godine nemački matematičar Feliks Klajn docnije, 1871. godine nemački matematičar Feliks Klajn (1849 - 1925) pojednostavljuje Beltramijevu ideju (1849 - 1925) pojednostavljuje Beltramijevu ideju ustanovljavajući da se u okolini bilo koje tačke euklidske ustanovljavajući da se u okolini bilo koje tačke euklidske ravni , tj. u unutrašnjosti jednog kruga, takođe ostvaruje ravni , tj. u unutrašnjosti jednog kruga, takođe ostvaruje planimetrija Lobačevskog.planimetrija Lobačevskog.
Nova sremljenja u aksiomatičkom zasnivanju Nova sremljenja u aksiomatičkom zasnivanju geometrije podsticala su matematičare da pristupe suptilnoj geometrije podsticala su matematičare da pristupe suptilnoj analizi osnovnih geometrijskih pojmova i tvrđenja. analizi osnovnih geometrijskih pojmova i tvrđenja. Sedamdesetih godina XIX veka dva nemačka matematičara Sedamdesetih godina XIX veka dva nemačka matematičara Rihard Dedekind (1872) i Georg Kantor (1873) skoro Rihard Dedekind (1872) i Georg Kantor (1873) skoro istovremeno na različite nacine, razvili su učenje o istovremeno na različite nacine, razvili su učenje o neprekidnosti. Uvođenjem aksioma neprekidnosti, oni su neprekidnosti. Uvođenjem aksioma neprekidnosti, oni su uspeli da otklone jedan od krupnih nedostataka aksiomatike uspeli da otklone jedan od krupnih nedostataka aksiomatike Euklida. Godine 1882. nemački matematičar Moric Pas u Euklida. Godine 1882. nemački matematičar Moric Pas u svojoj knjizi svojoj knjizi Predavanja iz novije geometrijePredavanja iz novije geometrije uvodi aksiome uvodi aksiome poretka kojima otklanja još jedan nedostatak aksiomatike poretka kojima otklanja još jedan nedostatak aksiomatike Euklida. Tri italijanska matematičara \uzepe Peano (1889), \Euklida. Tri italijanska matematičara \uzepe Peano (1889), \uzepe Veroneze (1891) i Mario Pieri (1899) u svojim uzepe Veroneze (1891) i Mario Pieri (1899) u svojim raspravama daju svoje vizije aksiomatskog zasnivanja raspravama daju svoje vizije aksiomatskog zasnivanja geometrije.geometrije.
Hilbert. Hilbert. Najsistematičniji pristup u geometriji zasnovan na Najsistematičniji pristup u geometriji zasnovan na neprotivrečnom, nezavisnom i potpunom sistemu aksioma neprotivrečnom, nezavisnom i potpunom sistemu aksioma
dao je nemački matematičar David dao je nemački matematičar David Hilbert (1862-1943) u svom delu Hilbert (1862-1943) u svom delu Osnovi geometrijeOsnovi geometrije objavljenom 1899. objavljenom 1899. godine. Geometrijiski objekti koje godine. Geometrijiski objekti koje razmatra Hilbert u ovom delu imaju razmatra Hilbert u ovom delu imaju daleko šire značenje no kod Euklida. Zadaleko šire značenje no kod Euklida. Za osnovne geometrijske objekte on uzimaosnovne geometrijske objekte on uzima tačke, prave i ravni. Ako želimo tačke, prave i ravni. Ako želimo objasniti kojim stepenom apstrakcije poobjasniti kojim stepenom apstrakcije po Hilbertu raspolažu ovi pojmovi, najbolje Hilbertu raspolažu ovi pojmovi, najbolje je poslužiti se citatom kojim počinje je poslužiti se citatom kojim počinje
pomenuto delo: pomenuto delo: Zamisljamo tri različita sistema objekata : Zamisljamo tri različita sistema objekata :
19
objekte prvog sistema koje nazivamo tačkama i označavamoobjekte prvog sistema koje nazivamo tačkama i označavamo sa sa A, B, C,...A, B, C,... ; objekte drugog sistema koje nazivamo ; objekte drugog sistema koje nazivamo pravama i označavamo sa pravama i označavamo sa a, b, ca, b, c... ... ; objekte trećeg ; objekte trećeg sistema koje nazivamo ravnima i označavamo sa sistema koje nazivamo ravnima i označavamo sa , β, γ, β, γ,...,... . . Tačke, prave i ravni nalaze se u izvesnim međusobnim Tačke, prave i ravni nalaze se u izvesnim međusobnim odnosima koje izražavamo rečima : leži na, između, odnosima koje izražavamo rečima : leži na, između, podudarno, paralelno i neprekidno..podudarno, paralelno i neprekidno.. Tačan i za matematičke Tačan i za matematičke svrhe potpun opis ovih relacija postiže se pomoću aksioma svrhe potpun opis ovih relacija postiže se pomoću aksioma geometrije.geometrije.
Dok se aksiomatika Euklida odnosila na geometrijske Dok se aksiomatika Euklida odnosila na geometrijske objekte koji su imali potpuno određena značenja, objekte koji su imali potpuno određena značenja, aksiomatika Hilberta odnosila se na geometrijske objekte kojiaksiomatika Hilberta odnosila se na geometrijske objekte koji su mogli da imaju raznovrsna značenja. Stoga se kaže da je su mogli da imaju raznovrsna značenja. Stoga se kaže da je aksiomatika Euklida sadržajnog, a aksiomatika Hilberta aksiomatika Euklida sadržajnog, a aksiomatika Hilberta poluformalnog karaktera. poluformalnog karaktera.
Hilbertove aksiome geometrije. Hilbertove aksiome geometrije. Kao i svaka druga Kao i svaka druga deduktivna teorija, geometrija se zasniva na izvesnim deduktivna teorija, geometrija se zasniva na izvesnim pojmovima koje smatramo poznatim te ih ne definisemo i na pojmovima koje smatramo poznatim te ih ne definisemo i na izvesnim tvrđenjima koje smatramo poznatim, te ih ne izvesnim tvrđenjima koje smatramo poznatim, te ih ne dokazujemo. Da je takav pristup neminovan sleduje otuda dokazujemo. Da je takav pristup neminovan sleduje otuda što se nijedan geometrijski pojam ne može definisati bez što se nijedan geometrijski pojam ne može definisati bez drugih unapred poznatih geometrijskih pojmova, a nijedno drugih unapred poznatih geometrijskih pojmova, a nijedno geometrijsko tvrđenje ne može dokazati bez drugih unapred geometrijsko tvrđenje ne može dokazati bez drugih unapred poznatih geometrijskih tvrđenja. Te polazne pojmove koje poznatih geometrijskih tvrđenja. Te polazne pojmove koje prihvatamo bez definicija nazivamo osnovnim geometrijskimprihvatamo bez definicija nazivamo osnovnim geometrijskim pojmovima , a polazna tvrđenja koja prihvatamo bez pojmovima , a polazna tvrđenja koja prihvatamo bez dokazivanja nazivamo osnovnim geometrijskim tvrđenjima ilidokazivanja nazivamo osnovnim geometrijskim tvrđenjima ili aksiomama geometrije. aksiomama geometrije.
Kao što smo prethodno naveli, Hilbert uzima za Kao što smo prethodno naveli, Hilbert uzima za osnovne pojmove tačku, pravu i ravan, zatim između i osnovne pojmove tačku, pravu i ravan, zatim između i podudarno i koristi se pojmovima teorije skupova (npr. podudarno i koristi se pojmovima teorije skupova (npr. pripada). On zatim navodi 20 aksioma koje su podeljene u 5 pripada). On zatim navodi 20 aksioma koje su podeljene u 5 grupa grupa 11::
I grupa (I grupa (Aksiome vezeAksiome veze))
1 Navodimo prema knjizi : D. Hilbert, Osnove geometrije (prevod @. Garašanina), Beograd 1957.
20
I1. Za dve tačke, I1. Za dve tačke, A, BA, B, postoji uvek prava , postoji uvek prava aa koja koja pripada svakoj od ovih dveju tačaka, pripada svakoj od ovih dveju tačaka, A, BA, B..
I2. Za dve tačke, I2. Za dve tačke, A, BA, B, ne postoji više od jedne prave , ne postoji više od jedne prave koja bi pripadala svakoj od dveju tačaka , koja bi pripadala svakoj od dveju tačaka , A, BA, B..
I3. Na pravoj postoje uvek najmanje dve tačke. Postoje I3. Na pravoj postoje uvek najmanje dve tačke. Postoje najmanje 3 tačke koje ne leže na jednoj pravoj.najmanje 3 tačke koje ne leže na jednoj pravoj.
I4. Ma za koje tri tačke, I4. Ma za koje tri tačke, A, B, CA, B, C, koje ne leže na istoj , koje ne leže na istoj pravoj, postoji uvek ravan pravoj, postoji uvek ravan koja pripada svakoj od koja pripada svakoj od ove tri tačke, ove tri tačke, A, B, CA, B, C. Za svaku ravan uvek postoji . Za svaku ravan uvek postoji tačka koja joj pripada.tačka koja joj pripada.
I5. Ma za koje tri tačke I5. Ma za koje tri tačke A, B, CA, B, C koje ne leže na istoj koje ne leže na istoj pravoj, ne postoji više od jedne ravni koja pripada pravoj, ne postoji više od jedne ravni koja pripada svakoj od ovih triju tačaka, svakoj od ovih triju tačaka, A, B, CA, B, C..
I6. Ako dve tačke, I6. Ako dve tačke, A, BA, B, prave , prave aa leže u ravni leže u ravni , onda , onda svaka tačka prave svaka tačka prave aa leži u ravni leži u ravni . .
I7. Ako dve ravni, I7. Ako dve ravni, , , imaju zajedničku tačku imaju zajedničku tačku AA, onda , onda one imaju najmanje još jednu zajedničku tačku, one imaju najmanje još jednu zajedničku tačku, BB..
I8. Postoje najmanje četiri tačke koje ne leže u jednoj I8. Postoje najmanje četiri tačke koje ne leže u jednoj ravni.ravni.
II grupa (II grupa (Aksiome rasporedaAksiome rasporeda))
II1. Ako tačka II1. Ako tačka BB leži između tačaka leži između tačaka A i CA i C, onda su , onda su A, B, CA, B, C tri različite tačke prave, i tri različite tačke prave, i BB leži između leži između CC i i AA..
II2. Za dve tačke, II2. Za dve tačke, AA i i CC, uvek postoji najmanje jedna , uvek postoji najmanje jedna tačka tačka BB na pravoj na pravoj ACAC tako da tako da CC leži između leži između AA i i BB..
21
II3. Od ma kojih triju tačaka prave ne postoji više od II3. Od ma kojih triju tačaka prave ne postoji više od jedne koja leži između one druge dve.jedne koja leži između one druge dve.
II4. Neka su II4. Neka su A, B, CA, B, C, tri tačke koje ne leže na jednoj , tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj i neka je pravoj i neka je aa prava u ravni prava u ravni ABCABC koja ne prolazi ni koja ne prolazi ni kroz jednu od tih tačaka, kroz jednu od tih tačaka, A, B, CA, B, C; ako tada prava ; ako tada prava aa prolazi kroz jednu od tačaka duži prolazi kroz jednu od tačaka duži ABAB, ona mora , ona mora prolaziti kroz jednu od tačaka duži prolaziti kroz jednu od tačaka duži ACAC, ili kroz jednu , ili kroz jednu od tacaka duži od tacaka duži BCBC..
III grupa (III grupa (Aksiome podudarnostiAksiome podudarnosti))
III1. Ako su III1. Ako su A,BA,B dve tačke na pravoj dve tačke na pravoj aa i ako je, dalje, i ako je, dalje, AA tačka na istoj ili na drugoj pravoj tačka na istoj ili na drugoj pravoj aa', onda se može ', onda se može uvek naći takva tačka uvek naći takva tačka B'B' prave prave a'a' na datoj strani od na datoj strani od tačke tačke A' A' da duž da duž ABAB bude podudarna ili jednaka duži bude podudarna ili jednaka duži A'B'A'B'. što označavamo . što označavamo ABAB A'B' A'B'..
III2. Ako su duži III2. Ako su duži AA'BB' i i AA'BB' podudarne jednoj istoj duži podudarne jednoj istoj duži ABAB,, biće i duž biće i duž AA'BB' podudarna duži podudarna duži AA'BB',, ili kratko: Ako su ili kratko: Ako su dve duži podudarne trećoj podudarne su i među dve duži podudarne trećoj podudarne su i među sobom.sobom.
III3. Neka su III3. Neka su ABAB i i BCBC dve duži na pravoj dve duži na pravoj aa bez zajedničkih bez zajedničkih tačaka i neka su, dalje, tačaka i neka su, dalje, A'B'A'B' i i B'C' B'C' dve duži na istoj dve duži na istoj pravoj pravoj aa ili na nekoj drugoj pravoj ili na nekoj drugoj pravoj a'a' koje isto tako koje isto tako nemaju zajedničkih tačaka; ako je tada nemaju zajedničkih tačaka; ako je tada AB AB AB AB i i BC BC B'C' B'C', biće uvek i , biće uvek i AC AC A'C' A'C'..
III4. Neka je dat ugao III4. Neka je dat ugao (h,k)(h,k) u ravni u ravni i prava i prava a'a' u ravni u ravni '', kao i određena strana ravni , kao i određena strana ravni '' prema pravoj prema pravoj a'a'. . Neka hNeka h'' označava polupravu prave označava polupravu prave a'a' koja polazi iz koja polazi iz tačke tačke O'O'; onda u ravni ; onda u ravni ' ' postoji jedna i samo jedna postoji jedna i samo jedna poluprava poluprava k'k' tako da je ugao tako da je ugao (h,k)(h,k) podudaran ili podudaran ili jednak uglu jednak uglu (h',k')(h',k') i u isto vreme sve unutrašnje i u isto vreme sve unutrašnje tačke ugla tačke ugla (h',k')(h',k') nalaze se na datoj strani od prave nalaze se na datoj strani od prave a'a', sto ćemo označavati na ovaj način: , sto ćemo označavati na ovaj način: (h,k) (h,k)
22
(h',k').(h',k'). Svaki je ugao podudaran sam sebi, tj uvek je Svaki je ugao podudaran sam sebi, tj uvek je (h,k) (h,k) (h,k).(h,k).
III5. Ako za dva trougla, III5. Ako za dva trougla, ABCABC i i A'B'C'A'B'C', važe podudarnosti , važe podudarnosti AB AB A'B' A'B', , AC AC A'C' A'C', , BAC BAC B'A'C'B'A'C', onda uvek , onda uvek postoji i podudarnost postoji i podudarnost ABC ABC A'B'C'A'B'C'..
IV grupa (IV grupa (Aksioma paralelnihAksioma paralelnih))
IV1. Neka je IV1. Neka je aa proizvoljna prava i proizvoljna prava i AA tačka van a; tada tačka van a; tada postoji u ravni, određenoj pravom postoji u ravni, određenoj pravom aa i tačkom i tačkom AA, , najviše jedna prava koja prolazi kroz najviše jedna prava koja prolazi kroz AA i ne preseca i ne preseca aa..
V grupa (V grupa (Aksiome neprekidnostiAksiome neprekidnosti))
V1. Ako su V1. Ako su ABAB i i CDCD ma koje dve duži, onda postoji neki ma koje dve duži, onda postoji neki takav broj takav broj nn da kada se duž da kada se duž CDCD prenese prenese nn puta od puta od AA, , jedno za drugim, po polupravoj koja prolazi kroz tačkujedno za drugim, po polupravoj koja prolazi kroz tačku BB prelazi se preko tačke prelazi se preko tačke BB..
V2. Sistem tačaka neke prave sa svojim relacijama V2. Sistem tačaka neke prave sa svojim relacijama rasporeda i podudarnosti ne može se tako proširiti da rasporeda i podudarnosti ne može se tako proširiti da ostanu očuvane relacije koje postoje između ostanu očuvane relacije koje postoje između prethodnih elemenata, kao i osnovne osobine prethodnih elemenata, kao i osnovne osobine linearnog rasporeda i podudarnosti koje proističu iz linearnog rasporeda i podudarnosti koje proističu iz aksioma I - III i aksiome V1.aksioma I - III i aksiome V1.
Naravno, Hilbert na odgovarajućim mestima uvodi i potrebneNaravno, Hilbert na odgovarajućim mestima uvodi i potrebne definicije pojmova koji se pojavljuju u aksiomama, a koji nisudefinicije pojmova koji se pojavljuju u aksiomama, a koji nisu uzeti za osnovne pojmove. Tako on između aksioma II3 i II4 uzeti za osnovne pojmove. Tako on između aksioma II3 i II4 daje definiciju duži; između aksioma III3 i III4 navedena je daje definiciju duži; između aksioma III3 i III4 navedena je definicija ugla; itd. Hilbertov sistem aksioma je definicija ugla; itd. Hilbertov sistem aksioma je neprotivrečan, nezavisan i potpun. Neprotivrečnost neprotivrečan, nezavisan i potpun. Neprotivrečnost Hilbertovog sistema dokazuje se pomoću modela, tako da Hilbertovog sistema dokazuje se pomoću modela, tako da ispravan zaključak glasi: Ako je teorija brojeva ispravan zaključak glasi: Ako je teorija brojeva neprotivrečna, tada je Hilbertov sistem aksioma za neprotivrečna, tada je Hilbertov sistem aksioma za geometriju neprotivrečan. Za Hilbertov sistem aksioma geometriju neprotivrečan. Za Hilbertov sistem aksioma takođe se može dokazati da je potpun i da su aksiome takođe se može dokazati da je potpun i da su aksiome međusobno nezavisne. Posebno je važna nezavisnost međusobno nezavisne. Posebno je važna nezavisnost
23
aksioma IV i V1 , čije izostavljanje dovodi , u prvom slučaju aksioma IV i V1 , čije izostavljanje dovodi , u prvom slučaju do neeuklidskih, a u drugom slučaju do nearhimedskih do neeuklidskih, a u drugom slučaju do nearhimedskih geometrija. geometrija.
I danas, geometrija počiva na principima koje je utemeljio I danas, geometrija počiva na principima koje je utemeljio Hilbert. Značaj Hilbertovih Hilbert. Značaj Hilbertovih Osnova geometrijeOsnova geometrije je upravo u je upravo u njihovom formalnom karakteru, koji je bio osnova njihovom formalnom karakteru, koji je bio osnova istraživanja potpunosti, neprotivrečnosti i nezavisnosti istraživanja potpunosti, neprotivrečnosti i nezavisnosti aksiomatskog sistema. aksiomatskog sistema.
24
L i t e r a t u r a:L i t e r a t u r a:
T. L. H e a t h T. L. H e a t h : : A History of Greek Mathematics, vol. I-II,A History of Greek Mathematics, vol. I-II, Dover, Dover, New York 1981.New York 1981.
S. B a r k e r : S. B a r k e r : Filozofija matematikeFilozofija matematike, Nolit, Beograd, 1973, Nolit, Beograd, 1973
D. H i l b e r t : D. H i l b e r t : Osnovi geometrijeOsnovi geometrije, Naučno delo, Beograd, 1957, Naučno delo, Beograd, 1957
D. L o p a n d i ć: D. L o p a n d i ć: Geometrija za III razred usmrenog Geometrija za III razred usmrenog obrazovanja, obrazovanja,
Uvod, Uvod, Načna knjiga , Beograd, 1985Načna knjiga , Beograd, 1985
Fotografije preuzete sa Interneta, na adresiFotografije preuzete sa Interneta, na adresi : :
http://www-groups.dcs.st-and.ac.ukhttp://www-groups.dcs.st-and.ac.uk
Korišćeni tekstovi sa Interneta, na adresiKorišćeni tekstovi sa Interneta, na adresi: :
http://www.rice.eduhttp://www.rice.edu
