BAB I

BAB IALJABAR

1.1 Pendahuluan

Aljabar adalah bagian dari matematika yang mempelajari hubungan dan sifat-sifat dari bilangan dengan menggunakan simbol-simbol umum. Sebagai contoh, luas sebuah empat persegi panjang diperoleh dengan mengalikan panjang dengan lebar; ini dinyatakan secara aljabar sebagai A = I x b, di mana A adalah luas, I adalah panjang, dan b adalah lebar.

Hukum-hukum dasar yang telah diajarkan dalam aritmetika juga digunakan di dalam aljabar.

Misalkan a, b, c, dan d mewakili empat bilangan sembarang. Maka:

(i) a + (b + c) = (a + b) + c

(ii) a(bc) = (ab)c

(iii) a + b = b + a

(iv) a b = b a

(v) a(b + c) = a b + a c

(vi)

(vii) (a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d

Seperti halnya dalam aritmetika, empat operasi dasar yakni, penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian adalah juga merupakan operasi dasar dalam aljabar.1.1.1 Penjumlahan

Penjumlahan bangun aljabar diperoleh dengan menambahkan suku-sukunya yang sejenis. Persamaan aljabar disusun dalam bentuk baris dimana suku-suku yang sejenis disusun pada kolom yang sama, lalu dijumlahkan.Contoh : Jumlahkan 7x + 3y3 4xy, 3x 2y3 + 7xy dan 2xy 5x 6y3. Jawab :7x3y3 4xy

3x2y37xy

5x6y32xy

Jumlah: 5x 5y3 5xy

Sehingga hasilnya adalah : 5x 5y3 + 5xy.

1.1.2 Pengurangan

Pengurangan dua bangun aljabar diperoleh dengan merubah tanda setiap suku pengurangnya, lalu diselesaikan seperti pada penjumlahan. Contoh : Kurangkan 10 x2 2xy 3y2 dengan 2x2 3xy + 5y2Penyelesaian :10 x2 2xy - 3y2 2 x2 3xy + 5y2pengurangan: 8x2 + xy 8y2 Atau dapat ditulis : ( 10 x2 2 xy 3y2 ) ( 2x2 3xy + 5y2)

= 10x2 2xy 3y2 2x2 + 3xy 5y2 = 8x2 + xy 8y21.1.3 Perkalian

1). Mengalikan dua atau lebih monomial

Menggunakan rumus eksponensial, tanda-tanda, dan hokum-hukum komutatif dan assosiatif dari perkalian.Contoh : Kalikan 3x2y3z, 2x4y dan 4xy4z2Penyelesaian : (3x2y3z ) ( 2x 4 y) (4xy4z2)

Susunlah sesuai dengan hukum Assosiatif dan komutatif.

{(3) (2) (4)} {(x2) (x4) (x)} {(y3) (y) (y4)} {(z) (z2)} dengan menggunakan ramus-rumus mengenai tanda dan eksponen, maka hasilnya diperoleh : 24x7y8z3

2). Mengalikan polinomial dengan monomial

Kalikan masing-masing suku polinomial dengan monomial, dan hasilnya dijumlahkan.Contoh : Kalikan 3xy 4x3 + 2xy2 dengan 5x2 y4Penyelesaian : (5x2y4)(3xy 4x3 + 2xy2)

= (5x2 y 4 )(3xy) + (5x2 y 4 )( 4x3) + (5x2 y 4 )(2xy2) = 15x3y 5 20x5 y 4 + 10 x3 y63). Mengalikan polinomial dengan polinomialKalikan masing-masing suku polinomial yang satu dengan yang lain dan jumlahkan hasilnya. Contoh : Kalikan 3x + 9 + x2 dengan 3 x

Penyelesaian : Susun berdasarkan pangkat turun, setiap suku pada pernyataan pertama dikalikan dengan x, kemudian setiap suku dari pernyataan pertama dikalikan dengan 3, dan kedua hasil dijumlahkan.

x2 3x + 9

x + 3Dikalikan dengan x : x3 + 3x2 9xDikalikan dengan 3 : 3x2 9x +27Dijumlahkan : x3 + 6x2 18x + 271.1.4 Pembagian1). Membagi monomial dengan monomial Tentukan hasil bagi angka koefisien, tentukan hasil bagi dari faktor hurufnya dan kalikan hasil baginya.

Contoh: Bagilah 24 x4 y2 z3 dengan 3 x3 y4 z Penyelesaian : 24 x4 y2 z3 3 x3 y4 z

2). Membagi polinomial dengan polinomial

a) Susunlah suku-suku dari kedua polinomial berdasarkan pangkat turun (atau pangkat naik) dari satu huruf yang sama untuk kedua polinomial tersebut.b) Bagilah suku pertama pembilang dengan suku pertama pembagi, maka akan didapatkan hasil bagi suku pertama.

c) Kalikan suku pertama hasil bagi dengan pembagi dan kurangkan pembilangnya dengan hasil perkalian ini, hingga diperoleh pembilang baru.

d) Ulangi langkah-langkah (b) dan (c) hingga sisanya memiliki pangkat yang lebih rendah dari pangkat pembaginya atau nol.

e) Hasilnya ditulis :

Contoh : Bagilah x2 + 2x4 3x3 + x - 2 dengan x2 3x + 2

Penyelesaian :

Tulis berdasarkan pangkat turun dari x, dan susunlah seperti berikut :

1.2 Pangkat, Akar, dan Logaritma1.2.1 Pangkat

Jika suatu bilangan a, dikalikan dengan bilangan a itu sendiri sebanyak n kali, maka hasil kali a.a.aa (n kali) ditulis a n. a n artinya " pangkat ke-n dari a" atau "a pangkat n", a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat.

Contoh: ( 5)3 = ( 5).( 5).( 5) = 125a.a.a.b.b = a3b2(a b).(a b).(a b) = (a b)3Hukum-hukum Perpangkatan :Jika m dan n adalah bilangan real, maka :(i) a m x a n = a m + n(ii)

(iii) (a m)n = amn(iv) a m/n =

(v) a n =

(vi) a 0 = 1

Contoh :x2 x5 = x 2 + (5) = x 3

x6 : x2 = x6 2 = x4

( x2 ) 3 = x6

(ab)3 = (ab) (ab) (ab) = (a.a.a) (b.b.b) = a3b3

1.2.2 AkarPernyataan akar dituliskan dalam bentuk, yang berarti akar ke n dari a. Bilangan bulat positip n adalah indeks dari akar dan a adalah bilangan yang diakarkan. Indeks ini tidak ditulis bila n = 2.

Jika = b maka bn = a, dengan kata lain akan menghasilkan suatu bilangan, dan jika bilangan tersebut dipangkatkan n maka hasilnya a. Aturan akar sama dengan aturan pemangkatan, karena =

A. Sifat-sifat Akar1).

2).

3). , b 0

4).

5).

Catatan : Jika n genap, maka a, b ( 0Contoh :

Sederhanakan : a).

b).

c).

d).

e).

Jawab : a). = 5

b). =

c). =

d).

e). =

B. Penyederhanaan Akar

Bentuk-bentuk Akar dapat diubah atau disederhanakan dengan cara berikut :

1). Menguraikan bilangan dalam tanda akar menjadi faktor-faktor yang dipangkatkan n, dengan n merupakan indeks akar.Contoh : Sederhanakanlah a).

b).

Jawab : a). =

b). =

=

2). Penyederhanaan indeks dari akar

Contoh : Sederhanakanlah a).

b).

Jawab : a). =

b). =

=

3). Rasionalisasi penyebut dalam akarCaranya, mengalikan pembilang dan penyebut dengan suatu bilangan sehingga penyebut bisa dikeluarkan dari akar.Contoh : Sederhanakanlah a).

b).

Jawab : a). =

b). =

=

Suatu akar dikatakan paling sederhana bentuknya, jika :

- Semua pangkat ke n dari bilangan dalam akar telah diganti.

- Indeks akar sekecil mungkin.

- Tak ada pecahan di dalam akar, yaitu penyebut telah telah dirasionalkan.C. Akar seharga

Dua akar atau lebih dikatakan seharga jika setelah disederhanakan menjadi bentuk paling sederhana, mempunyai indeks sama dan bilangan dalam akar juga sama.

, dan adalah seharga, sebab :

Disini, masing-masing bilangan dalam akar 2 dan indeksnya 2.

D. Penjumlahan dan Pengurangan Akar

Dua akar atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan dengan menyederhanakan

bentuk paling sederhana lalu dijumlahkan atau dikurangkan dengan akar-akar seharga yang merupakan faktornya.

Contoh : Hitunglah a).

b).

Jawab : a). =

=

b).

=

= (3 + 5) + (-2 5) =

E. Perkalian Akar

a) Perkalian dua akar dengan indeks sama

Untuk mengalikan dua akar dengan indeks sama, gunakanlah sifat akar (2), yaitu :

Contoh : Hitunglah a).

b).

Jawab : a). = 6 = 6 = 6 . 4 = 24

b). = 3 = 3x

b). Perkalian dua akar dengan indeks berbedaUntuk mengalikan akar dengan indeks berbeda, gunakanlah pangkat pecahan dan sifat perpangkatan.

Contoh : Hitunglah a).

b).

Jawab : a). = = =

= = = 2

b). = = =

=

Kasus ini dapat juga diselesaikan dengan cara menyamakan indeksnya, yaitu :

a). = = 2

b). = . =

F. Pembagian Akar

a). Indeksnya samaUntuk membagi dua akar dengan indeks sama, gunakanlah sifat akar (3), Yaitu :

, b 0

Contoh : Selesaikanlah

Jawab : =

b) Indeksnya berbedaUntuk membagi dua akar dengan indeks berbeda, gunakanlah pangkat pecahan dan sifat perpangkatan.Contoh : Selesaikanlah a).

b).

Jawab : a). =

EMBED Equation.3

b). =

G. Konyugasi

Bentuk kuadrat binomial tak terukur dan disebut konyugasi satu sama lain.

Contoh : - Konyugasi dari adalah

- Konyugasi dari adalah

Manfaat konyugasi, untuk merasionalkan pecahan yang penyebutnya berbentuk kuadrat binomial tak terukur, kalikan pembilang dan penyebutnya masing-masing dengan konyugasi dari penyebutnya. Contoh : Selesaikanlah

Jawab : = . =

= =

1.2.3 LogaritmaJika , dimana N adalah bilangan positif dan b juga bilangan positif kecuali 1, maka eksponen x adalah logaritma dari N dengan b bilangan pokoknya, ditulis

Contoh : 32 = 9, berarti2 adalah logaritma dari 9 dengan bilangan pokok 3 atau 2 = . 3 log 9

2log 8 = x, berarti 2 pangkat x harus sama dengan 8 atau ,

x = 3 jadi 2log 8 = 3

dengan merupakan hubungan ekivalen, disebut "bentuk eksponansial" sedangkan disebut "bentuk logaritma".

Sifat-sifat logaritmaJika M dan N adalah bilangan positif dan b 1, maka :

1)

EMBED Equation.3 +

2)

-

3) =

4) = 0

5) = 1

6) =

7)

EMBED Equation.3 , c 18)

EMBED Equation.3 = , c 1

Catatan : Jika bilangan pokoknya tidak dicantumkan, berarti logaritma tersebut mempunyai bilangan pokok 10, misalnya log 25 = 10 log 25Contoh : a) Hitung 4 log 64

b) Tentukan a dari a log 32 = 5

c) Hitung 2 log 2 - log 8 + log 12

d) Tentukan x dari 2 log 2 - log 6 + 2 log 3 = log xJawab : a) 4 log 64 = 4 log 43 = 3. 4 log 4 = 3b) alog 32 = 5

a log 25 = 5

5 a log 2 = 5

a log 2 = 1, a = 2.

atau, bisa juga dengan cara berikut:

alog 32 = 5

a5 = 32

a5 = 25 , a = 5c) 2 log 2 - log 8 + log 12 = log 22 - log 8 + log 12 = log 4 - log 8 + log 12 = = log 6d) 2 1og 2 - log 6 + 2. log 3 = log x log 22 - log 6 + log 32 = log x

log 4 - log 6 + log 9 = log x = log x log 6 = log x, x = 6

1.3 PersamaanAda dua jenis.lambang yang sering digunakan dalam Matematika, yaitu konstanta dan variabel.

Konstanta mewakili suatu bilangan, sedangkan variabel mewakili suatu unsur yang tidak diketahui.

Contoh : a) 2 + x = 5

b). x adalah alat untuk mengukur kuat arus. x pada kedua contoh merupakan variabel, kita tidak dapat menyatakan benar atau salah persamaan tersebut

Kalimat yang mempunyai variabel merupakan kalimat terbuka dan akan menjadi pernyataan bila variabelnya diganti dengan konstanta.

Jika x pada pada contoh a diganti 3 dan x pada contoh b diganti Voltmeter, maka "2 + 3 = 5" merupakan pernyataan yang benar dan "Voltmeter adalah alat untuk mengukur kuat arus" merupakan pernyataan yang salah.1.3.1 Definisi

Sebelum kita bahas cara menyelesaikan persamaan atau pertidaksamaan, perlu diketahui definisi-definisi berikut :Pernyataan adalah kalimat yang dapat ditentukan benar atau salah.

Kalimat Terbuka adalah kalimat yang niempunyai satu atau beberapa Variabel.

Persamaan merupakan kalimat terbuka yang menyatakan hubungan "sama dengan".

Pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka yang menggunakan simbol , , , < , atau >

Kesamaan merupakan pernyataan yang menyatakan hubungan "sama dengan".

Ketidaksamaan merupakan pernyataan yang mienggunakan simbol , , , < , atau >

Contoh : 2x 5 4(pertidaksamaan)

8 < 2 (ketidaksamaan)

3x + 4 = x 2 (persamaan) = 2 + 3 (kesamaan)

1.3.2 Persamaan linear satu variabel

Persamaan linear satu variabel adalah persamaan yang mempunyai satu variabel dan berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear : ax + b = 0 ; dimana a, b Real dan a 0.

Jika persamaan linear ini diselesaikan, maka hanya terdapat satu nilai yang memenuhi.

Cara yang umum dipakai untuk manyelesaikan persamaan linear dengan satu variabel, adalah mengelompokkan suku-suku yang mangandung variabel dalam satu ruas, sedangkan suku-suku lainya dikelompokkan pada ruas lain.

Contoh : Selesaikan persamaan x 2 = 2(x 4)

Penyelesaian : x 2 = 2x 8 x 2x = 8 + 2

x = 6

x = 6

1.3.3 Persamaan linear dua variabel

Menyelesaikanpersamaan linear dengan dua variabel adalah mungkin, jika terdapat dua persamaan yang terpisah dan tersendiri. Artinya kedua persamaan tersebut terpisah tetapi mempunyai variabel yang sama.

Secara umum : Jika terdapat n variabel maka harus ada n persamaan yang terpisah dan tersendiri.

Ada beberapa cara untuk menyelesaikannya, diantaranya : a. Cara Eliminasi

b. Cara Substitusi

Contoh : Selesaikan persamaan 5x = 8y + 3

x + 3y = 19

Penyelesaian :Pertama kali, susun persamaan yang mengandung variabel dalam satu ruas.

5x - 8y = 3

x + 3y = 19a. Cara eliminasi

Menyamakan koefisien dari salah satu variabel, kemudian kedua persamaan dijumlahkan atau dikurangkan (tergantung tanda koefisien). 5x - 8y = 3 x 1 5x - 8y = 3

x + 3y = 19 x 5 5x + 15y = 95

- 23y = - 92 y = 4

Masukkan y = 4 ke salah satu persamaan :

5x - 8 . 4 = 3 5x = 3 + 32

5x = 35

x = 7b. Cara Substitusi

Tentukan x atau y dari salah satu persamaan, yang paling mudah dalam contoh ini, ambil x dari persamaan kedua.

5x - 8y = 3

(1)

x + 3y = 19

(2)

dari (2) : x + 3y = 19

x = 19 - 3y . (3)

Substitusikan x dari persamaan (3) kepersaman (1) :

5x 8y = 35(19 3y) 8y = 395 15y 8y = 3

23y = 3 95

23y = 92 y = 4

dari (3) : x = 19 3y

x = 19 3 . 4

x = 19 12 x = 7 1.3.4 Persamaan linier tiga variabelUntuk menyelesaikannya, eliminasikan ke salah satu variabel, kemudian selesaikan dua persamaan dengan dua variabel.

Contoh : Selesaikan persamaan 2x y + z = 3 .. (1) x + 3y 2z = 11 ..... (2)

3x 2y + 4z = 1 ... (3) Penyelesaian :Dari (1) dan (2) y dieliminasi :2x y + z = 3 x 3

6x 3y + 3z = 9 x + 3y 2z = 11 x 1

x + 3y 2z = 11 +

7x + z = 20 . (4)

Dari (2) dan (3) y dieliminasi : x + 3y 2z = 11 x 2

2x + 6y 4z = 22 3x 2y + 4z = 1 x 3

9x 6y + 12z = 3 +

11x + 8z = 25 . (5)

Dari (4) dan (5) : 7x + z = 20 x 8

56x + 8z = 160 11x + 8z = 25 x 1

11x + 8z = 25

45x = 135 x = 3

Dari (4) : Dari (1) : 7x + z = 20 2x y + z = 3 7 (3) + z = 20 2(3) y + (1) = 3 21 + z = 20 6 y 1 = 1 z = 1 y = 2

Jadi x = 3 , y = 2 , dan z = 1

1.3.5 Persamaan kuadratPersamaan kuadrat adalah suatu persamaan di mana pangkat tertinggi dari kuantitas yang tidak diketahui adalah 2. Bentuk umum : ax2 + bx + c = 0, dimana a 0, a, b, dan c Real

Sebagai contoh, x2 - 3x + 1 = 0 adalah sebuah persamaan kuadrat.

Terdapat 4 metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu:

a. dengan faktorisasi (jika memungkinkan), b. dengan "melengkapi kuadrat"

c. dengan "rumus kuadrat", atau d. dengan grafik.a) Penyelesaian dengan faktorisasi (pemfaktoran)Contoh : Tentukan x dari 2x 2 5x + 2 = 0Penyelesaian ;2x 2 5x + 2 = 0, berarti dari bentuk umum diperoleh a = 2, b = -5 dan c = 2.

Kita harus menemukan dua bilangan m dan n yang hasil kalinya = ac dan jumlahnya = b. Cara ini dilakukan untuk memudahkan kita, mendapatkan persamaan dalam bentuk pemfaktoran.

Jadi m . n= 4 dan m + n = -5. Kemungkinan-kemungkinan : 4 = 4 x 1 dan 4 + 1 = 5

4 = -4 x -1 dan -4 1 = -5

4 = 2 x 2 dan 2 + 2 = 4 4 = -2 x -2 dan -2 2 = -4

Di sini, kemungkinan ke dua yang memenuhi. Selanjutnya, 2x 2 5x + 2 = 0 2x 2 4x x + 2 = 0 2x (x 2) (x 2) = 0 (2x 1) (x 2) = 0 atau

b) Penyelesaian dengan melengkapi kuadratCara ini biasanya digunakan jika faktor-faktornya sulit ditentukan, Cara untuk menyelesaikan persamaan seperti ini, adalah dengan mengubahnya ke dalam bentuk kuadrat sempurna. Yang dimaksud dengan kuadrat sempurna adalah kuadrat dari persamaan linear satu variabel. Pengubahan tersebut dilakukan dengan cara mengelompokkan semua suku-suku yang ada variabelnya pada satu ruas dan konstanta pada ruas lain, kemudian tambahkan ke dua ruas dengan "kuadrat dari setengah koefisien x".

Contoh : Selesaikan persaman x2 6x 2 = 0Penyelesaian

x2 6x 2 = 0

( koefisien x = 6 )

x2 6x = 2

x2 6x + 9 = 2 + 9 (9 kuadrat dari setengah koefisien x)( x 3 )2 = 11

x 3 =

x = 3

c) Penyelasaian dengan rumus kuadrat (rumus abc)Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, diselesaikan dengan menggunakan rumus abc :

Contoh : Selesaikan 6x2 x 12 = 0 Penyelesaian :Pada soal ini diperoleh a = 6

b = 1 c = 12

atau

atau

Catatan

b2 4 ac disebut diskriminan, dimana :(i) Ada dua akar berbeda, jika b2 4 ac > 0 (ii) Ada dua akar yang sama, jika b2 4 ac = 0 (iii) Akar-akarnya imaginer, jika b2 4 ac < 0d). Penyelesaian dengan grafikPersamaan kuadrat berbentuk ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan menggunakan grafik, yaitu dengan cara :(i) memplot grafik y = ax2 + bx + c, dan

(ii) menandai titik-titik potong pada sumbu x (yaitu ketika y = 0).

Nilai-nilai x dari titik-titik potong memberikan penyelesaian yang dibutuhkan karena pada titik-titik tersebut y = 0 dan ax2 + bx + c = 0

Banyaknya penyelesaian, atau akar dari suatu persamaan kuadrat, tergantung pada berapa kali kurva memotong sumbu x dan bisa jadi tidak terdapat akar real, atau satu akar, atau dua akar.

Contoh : Selesaikanlah persamaan kuadrat 4x2 + 4x - 15 = 0Penyelesaian :Misalkan y = 4x2 + 4x - 15. Sebuah tabel nilai dibuat sebagaimana ditunjukkan di bawah ini.

x321012

4x2361640416

4x1284048

15151515151515

y = 4x2 + 4x - 1597151579

Grafik untuk persamaan y = 4x2 + 4x - 15 tampak pada Gambar 1.1. Satu-satunya titik di mana y = 4x2 + 4x - 15 dan y = 0 adalah titik-titik yang dinamai A dan B. Ini terjadi pada x = -2,5 dan x = 1,5 dan ini adalah penyelesaian untuk persamaan kuadrat 4x2 + 4x - 15 = 0. (Dengan mensubstitusikan x = -2,5 dan x = 1,5 ke dalam persamaan awal, penyelesaian ini dapat diperiksa.) Kurva tersebut mempunyai titik balik pada (-0,5 ; -16) dan jenis dari titik tersebut adalah minimum.

Suatu metode alternatif dengan grafik untuk menyelesaikan persamaan

4x2 + 4x - 15 =0

adalah dengan menyusun ulang persamaan menjadi 4x2 = -4x + 15 dan kemudian memplot dua grafik terpisah dalam hal ini y = 4x2 dan y = -4x + 15. Titik-titik potong keduanya adalah akar dari persamaan

4x2 = -4x + 15

di mana 4x2 + 4x - 15 = 0. Ini ditunjukkan pada gambar 1.2, di mana akar-akarnya adalah x = -2,5 dan x = 1,5 sebagaimana sebelumnya.

1.3.6 Persamaan kubikPersamaan kubik atau persamaan derajat tiga adalah persamaan yang mempunyai pangkat tiga. Cara menyelesaikannya dengan pemfaktoran atau metoda grafik. Contoh : Tentukan x dari x3 3x2 6x + 8 = 0Jawab a. Cara pemfaktoran

Langkah pertama, cari satu nilai x yang memenuhi persaimaan, dengan cara memilih salah satu faktor dari konstanta. Disini faktor-faktor dari konstanta 8 adalah 1, 2, 4, 8Langkah berikutnya, mencoba mensubstitusikan salah satu faktor ke dalam persamaan :f (-1) 0

(x = 1 tidak memenuhi)f (1) = 0

(x = 1 memenuhi)Jika satu saja nilai x telah memenuhi, nilai x lainnya. bisa dicari dengan cara pembagian :

Berarti x3 3x2 6x + 8 = (x 1) (x2 2x 8)

= (x 1) (x 4) (x + 2)Jadi nilai x dari x3 3x2 6x + 8 = 0, adalah x = 1 atau x = 4 atau x = 2

Catatan : cara penyelesaian diatas, dapat digunakan untuk persamaan dengan pangkat yang lebih tinggi lagi.

b. Cara grafik

Sebuah persamaan pangkat tiga dengan bentuk ax3 + bx2 + cx + d = 0 dapat diselesaikan dengan menggunakan grafik dengan carat :

(i) memplot grafik y = ax3 + bx2 + cx + d dan (ii) menandai titik-titik potong pada sumbu x (di mana y = 0). Nilai-nilai x dari titik potong adalah penyelesaian yang dibutuhkan karena pada titik-titik tersebut y = 0 dan ax3 + bx2 + cx + d = 0

Banyaknya penyelesaian, atau akar dari persamaan pangkat tiga, tergantung pada berapa kali kurva memotong sumbu x dan kemungkinannya ada satu, dua, atau tiga akar.

Contoh : Selesaikanlah persamaan pangkat tiga berikut ini 4x3 8x2 15x + 9 = 0, dengan menggunakan grafik.

Penyelesaian :Misalkan y = 4x3 - 8x2 - 15x + 9. Sebuah tabel nilai dibuat sebagaimana tampak berikut ini.x-2-10123

4x3-32-40432108

-8x2-32-80-8-32-72

-15x30150-15-30-45

+9999999

y-25129-10-210

Sebuah grafik y = 4x3 8x2 15x + 9 tampak pada gambar 1.3.

Grafik tersebut memotong sumbu x (di mana y = 0) pada, dan x = 3 dan ini adalah penyelesaian dari persamaan pangkat tiga 4x3 8x2 15x + 9 = 0. Titik balik terjadi pada (-0,6, 14,2) yang merupakan titik maksimum dan (2, -21) yang merupakan titik minimum.

1.3.7 Persamaan tersamarPersamaan tersamar adalah persamaan yang dinyatakan dalam bentuk kalimat. Cara menyelesaikannya dengan mengubah kalimat tersebut ke dalam kalimat matematika, sehingga diperoleh persamaan matematika, setelah itu diselesaikan dengan metoda yang sudah diketahui.

Contoh 1 :

Jika panjang sisi plat metal berbentuk bujur sangkar diperpanjang 5 cm, maka luasnya akan bertambah 125 cm2. Tentukan ukuran panjang sisi plat metal sebelum perpanjangan.

Jawab :Misalkan x adalah panjang sisi awal, x + 5 adalah panjang sisi baru. Luas baru = Luas awal + 125( x + 5 )2 = x2 + 125

x2 + 10 x + 25 = x2 + 125 10 x = 100

x = 10 cm

Jadi, ukuran panjang sisi plat metal sebelum diperpanjang adalah 10 cm.

Contoh 2:Sebuah pabrik memproduksi n buah lampu perhari. Ternyata 5% dari jumlah lampu yang dibuat tidak berguna lagi (terbuang).

Untuk mengimbangi kerugian, setiap lampu yang masih baik harga jualnya dinaikkan Rp. 50,- lebih mahal dari harga pembuatan.

Berapakah harga pambuatan satiap lampu ?

Jawab :

Misal : x rupiah adalah harga pembuatan 1 buah lampu. Berarti, model matematikanya 95% n (x + 50) = n x 0,95 x + 47,5 = x

Jadi harga lampu perbuah adalah 950 rupiah1.3.8 Persamaan eksponenPersamaan eksponen adalah persamaan dimana bilangan yang belum diketahui tampil sebagai pangkat atau bagian dari pangkat. Contoh: 2x = 8 dan

Ada dua cara umum untuk menyelesaikan persamam eksponen:

a. Dengan menyamakan pangkat.b. Dengan pertolongan logaritmaDari kedua cara tersebut, kita pilih cara yang paling mudah. Biasanya cara kedua lebih rumit dari cara pertama.

Dengan cara pertama, penyamaan pangkat, kedua. sisinya dinyatakan dalam pangkat dari bilangan pokok yang sama dan persamaan tersebut dibentuk dengan menyamakan pangkat-pangkat itu.

Contoh 1 : Tentukanlah x dari 2x = 8

Jawab : Bilangan pokok pada ruas kiri = 2, maka nyatakan bilangan 8 sebagai hasil pemangkatan bilangan 2. Maka 8 = 23Jadi 2x = 23 x = 3.Contoh 2 : Tentukanlah x dari

Jawab : Kita ketahui 0,25 = 1/4 = 4-1, sehingga

Jadi x2 2x 1 = 1

x2 2x = 0

x ( x 2 ) = 0

x = 0 atau x = 2

Contoh 3 : Selesaikan persamaan tersamar

Jawab :

Kita ketahui bahwa 9 = 32 dan 0,25 = 1/4 = 4-1, sehingga persamaan tersebut dapat ditulis :

. (1)dan

.. (2)

(1) x 1

(2) x 6 +

dari persamaan (2) :

Jadi x = 0 atau x = 21.4 Pertidaksamaan

Penyelesaian pertidaksamaan diselesaikan dengan menggunakan prosedur yang sama dengan persamaan, kecuali :1) Ketika menukarkan kedua ruas pertidaksamaan, tanda pertidaksamaan harus diubah x > 4 dapat ditulis 4 < x

2) Jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan harus diubah -x < 5 maki x > -5

Sering juga penyelesaian pertidaksamaan dituliskan secara grafis.Contoh 1 : Carilah nilai x dari -2x +3 < 0 , x ( bilangan bulat.

Jawab : -2x + 3 < 0

-2x < -3

x > 3/2

Secara grafis :

Karena x ( bilangan bulat , maka himpunan nilai x yang memenuhi adalah { 2, 3, 4, 5, ... }Contoh 2 : Tentukan nilai x dari x2 + x 12 0Jawab : x2 + x 12 0

( x + 4 ) ( x 3 ) 0Berarti : ( x + 4 ) 0 dan ( x 3 ) 0 . (i) atau

( x + 4 ) 0 dan ( x 3 ) 0 (ii)

Dari (i) x 4 dan x 3 tak ada nilai x yang memenuhi.

Dari (ii) x 4 dan x 3, menghasilkan 4 x 3Jadi nilai x yang memanuhi adalah 4 x 3.

Bisa juga diselesaikan secara grafis, dari ( x + 4 ) ( x 3 ) 0 dibuat garis bilangan :

Ada 3 daerah di sini, yaitu : x 4; 4 x 3; atau x 3 Untuk mendapatkan daerah jawab, substitusikan satu nilai x pada pertidaksamaan awal sehingga memenuhi. Arti memenuhi di sini, adalah daerah jawab harus negatif. Untuk mendapatkan daerah positif atau negatif, substitusikan satu nilai x dari daerah x < -4 atau 4 < x < 3 atau x > 3 pada pertidaksamaan

(x + 4) (x - 3) 0 (Jika x = 4 atau x = 3 disubstitusikan, maka tidak dapat ditentukan daerah positif atau negatif karena hasilnya sama dengan nol). Misalkan : x = 6 disubstitusikan pada (x + 4) (x - 3) 0 didapatkan :

( 6 + 4 ) ( 6 3 ) 0( 2 ) ( 9 ) 018 0

Jadi daerah x < 4 adalah daerah positif.Dengan cara yang sama, dapat digambarkan ketiga daerah tersebut secara grafis :

Jadi daerah yang memenuhi adalah 4 x 31.5 Transposisi rumus

Ketika sebuah simbol yang bukan merupakan subjek suatu rumus perlu dihitung, biasanya rumus diatur ulang untuk mendapatkan subjek yang baru. Proses pengaturan ulang ini disebut mentranspos rumus atau transposisi.

Aturan yang digunakan untuk mentransposisi rumus adalah sama dengan yang digunakan untuk penyelesaian persamaan-persamaan sederhana. Pada dasarnya, kesamaan sebuah persamaan harus dipertahankan.

Beberapa persamaan kadang-kadang diubah susunan rumusnya sesuai dengan yang diinginkan.

Contoh 1 : Ketika sebuah benda jatuh bebas dari suatu ketinggian h, kecepatan v yang dihasilkan adalah v2 = 2gh. Nyatakanlah rumus ini dengan h sebagai subjeknya.

Penyelesaian :

Dengan pengaturan ulang : 2gh = v2Membagi kedua ruas dengan 2g menghasilkan :

, artinya Contoh 2 : Transposisikanlah rumus , agar f menjadi subjeknya.

Penyelesaian :

Dengan pengaturan ulang : dan

Mengalikan kedua ruas dengan m menghasilkan :

, sehingga ft = m (v u)

Dengan membagi kedua ruas dengan t, maka:

, sehingga

Contoh 3 : Jika , nyatakanlah rumus ini dengan G sebagai subjeknya.Penyelesaian :

Jika subjek baru berada dalam tanda akar kuadrat, akan lebih baik jika suku tersebut kita letakkan di ruas kiri, dan kemudian kita kuadratkan kedua ruas persamaan. Dengan pengaturan ulang, maka :

Membagi kedua ruas dengan 2 menghasilkan :

Mengkuadratkan kedua ruas menghasilkan:

Mengalikan kedua ruas dengan I.L menghasilkan :

Dengan Membagi kedua ruas dengan J menghasilkan :

, sehingga

= (24/3)(x4 / x3 )(y2 / y4 )(z3 / z)

= (8)(x)(1/y2) (z2)

= 8 x z2

y2

2x2 + 3x + 6.

x2 3x + 2 2x4 3x3 + x2 + x 2

2x4 6x3 + 4x2

3x3 3x2 + x 2

3x3 9x2 + 6x

6x2 5x 2

6 x 2 1 8 x + 1 2

13x 14

Sehingga : 2x4 3x3 + x2 + x 2

x2 3x + 2

13x 14

= 2x2 + 3x + 6 +

x2 3x + 2

EMBED Equation.3

x2 2x 8

x 1 x3 3x2 6x + 8

x3 x2

2x2 6x

2x2 + 2x

8x + 8

8 x + 8

0

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

1

1

0

2

3

3

2

0

1

1

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

2

3

4

4

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

I

II

III

Gambar 1.1

+

+

Gambar 1.2

Gambar 1.3

+

+

+

+

+

PAGE

_1259956990.unknown

_1259958424.unknown

_1259987136.unknown

_1259992900.unknown

_1260034986.unknown

_1260039307.unknown

_1260092607.unknown

_1260126198.unknown

_1260131934.unknown

_1260133000.unknown

_1260133608.unknown

_1263267706.unknown

_1379233517.unknown

_1379236159.unknown

_1260133803.unknown

_1260133999.unknown

_1260134008.unknown

_1260133724.unknown

_1260133138.unknown

_1260133265.unknown

_1260133055.unknown

_1260132608.unknown

_1260132872.unknown

_1260132920.unknown

_1260132521.unknown

_1260126791.unknown

_1260127579.unknown

_1260131599.unknown

_1260131754.unknown

_1260128284.unknown

_1260128493.unknown

_1260128601.unknown

_1260127818.unknown

_1260127056.unknown

_1260127466.unknown

_1260126947.unknown

_1260126457.unknown

_1260126553.unknown

_1260126364.unknown

_1260094426.unknown

_1260115272.unknown

_1260125890.unknown

_1260125999.unknown

_1260117276.unknown

_1260118685.unknown

_1260094502.unknown

_1260115244.unknown

_1260097280.unknown

_1260094491.unknown

_1260093802.unknown

_1260094275.unknown

_1260094320.unknown

_1260094071.unknown

_1260093372.unknown

_1260093401.unknown

_1260092639.unknown

_1260039621.unknown

_1260042438.unknown

_1260079337.unknown

_1260081370.unknown

_1260079105.unknown

_1260079320.unknown

_1260041927.unknown

_1260039524.unknown

_1260039597.unknown

_1260039369.unknown

_1260038570.unknown

_1260038735.unknown

_1260038828.unknown

_1260038899.unknown

_1260039233.unknown

_1260038856.unknown

_1260038782.unknown

_1260038657.unknown

_1260038658.unknown

_1260038618.unknown

_1260035627.unknown

_1260038558.unknown

_1260037052.unknown

_1260038458.unknown

_1260036391.unknown

_1260037033.unknown

_1260035654.unknown

_1260035448.unknown

_1260035552.unknown

_1260035215.unknown

_1259995110.unknown

_1260034220.unknown

_1260034772.unknown

_1260034904.unknown

_1260034944.unknown

_1260034844.unknown

_1260034381.unknown

_1260034700.unknown

_1260034252.unknown

_1259995670.unknown

_1259996181.unknown

_1260033858.unknown

_1259996079.unknown

_1259996126.unknown

_1259995573.unknown

_1259995647.unknown

_1259995242.unknown

_1259993627.unknown

_1259994151.unknown

_1259994604.unknown

_1259994995.unknown

_1259994210.unknown

_1259994440.unknown

_1259993803.unknown

_1259994046.unknown

_1259993693.unknown

_1259993332.unknown

_1259993394.unknown

_1259993490.unknown

_1259993277.unknown

_1259993308.unknown

_1259993202.unknown

_1259992954.unknown

_1259988633.unknown

_1259991528.unknown

_1259991684.unknown

_1259992739.unknown

_1259992784.unknown

_1259992365.unknown

_1259992454.unknown

_1259991704.unknown

_1259991646.unknown

_1259989791.unknown

_1259989924.unknown

_1259989553.unknown

_1259989666.unknown

_1259988899.unknown

_1259988487.unknown

_1259988555.unknown

_1259988373.unknown

_1259959729.unknown

_1259962153.unknown

_1259985959.unknown

_1259986458.unknown

_1259985147.unknown

_1259985196.unknown

_1259962334.unknown

_1259961722.unknown

_1259961848.unknown

_1259961207.unknown

_1259959756.unknown

_1259958741.unknown

_1259958960.unknown

_1259958530.unknown

_1259957337.unknown

_1259958107.unknown

_1259958207.unknown

_1259957807.unknown

_1259957845.unknown

_1259957737.unknown

_1259957112.unknown

_1259957247.unknown

_1259957027.unknown

_1259955469.unknown

_1259956384.unknown

_1259956720.unknown

_1259955736.unknown

_1259954399.unknown

_1259954508.unknown

_1259948706.unknown