Struktur Aljabar I IBU

  • View
    225

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Struktur Aljabar I IBU

  • 8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU

    1/17

  • 8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU

    2/17

  • 8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU

    3/17

    DEFINISI

    (Terhadap perkalian)

    Grup (G, .) disebut siklik, bila ada elemen a G

    sedemikian hingga G ={an| n Z}. Elemen a

    disebut generator dari grup siklik tersebut.

    (Terhadap penjumlahan)

    Grup (G,+) disebut siklik, bila ada elemen a G

    sedemikian hingga G ={na | n

    Z}.

  • 8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU

    4/17

    DEFINISI

    Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a G,

    maka generator a yang membangun suatu

    Subgrup [a] dinamakan Subgrup Siklik dari (G,*).

    Jadi yang dimaksud dengan Subgrup Siklik yaitu

    suatu Subgrup yang dibangkitkan oleh satuunsur.

    Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a G, maka

    generator a yang membangun suatu Subgrup [a]

    dimana [a] = G, maka Subgrup tersebutdinamakan Grup Siklik.

  • 8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU

    5/17

    Dengan kata lain, Grup Siklik adalah Subgrup yang

    unsur-unsurnya merupakan unsur-unsur dariGrup itu sendiri. Suatu Grup Siklik bisa

    beranggotakan terhingga banyaknya unsur, bisa

    juga beranggotakan tak hingga unsur-unsur.

    Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur

    terhingga dinamakan Grup Siklik berhingga dan

    Grup Siklik yang beranggotakan banyaknyaunsur tak terhingga dinamakan Grup Siklik tak

    hingga.

  • 8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU

    6/17

  • 8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU

    7/17

    [1] = {(1)n| n Z}

    = {(1)0, (1)1, (1)2, }

    = {1}

    generator -1 adalah membangun suatu Grup Siklik,

    sehingga : [-1] = {-1, 1}

    generator 1 adalah membangun Subgrup Siklik,sehingga : [1] = {1}.

  • 8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU

    8/17

    Contoh

    Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Grup

    terhadap penjumlahan (G,+). Tentukan GrupSiklik dari Grup tersebut.

    Penyelesaian

    Generator dari G = {0, 1, 2, 3} adalah 0, 1, 2 dan 3[0] = {n(0) | n Z}

    = {0}

    [1] = {n(1) | n Z}= {0.1, 1.1, 2.1, 3.1, }

    = {0, 1, 2, 3}

  • 8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU

    9/17

    Penyelesaian

    [2] = {n(2) | n Z}

    = {0.2, 1.2, 2.2, 3.2, }

    = {0, 2}

    [3] = {n(3) | n Z}

    = {0.3, 1.3, 2.3, 3.3, }= {0, 3, 2, 1}

    generator 1 dan 3 adalah membangun suatu Grup

    Siklik, sehingga : [1] = [3] = {0, 1, 2, 3}

    generator 0 dan 2 adalah membangun Subgrup Siklik,

    sehingga : [0] = {0} dan [2] = {0, 2}

  • 8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU

    10/17

    Contoh

    Grup (Z,+) merupakan Grup Siklik tak hingga yang

    dibangun oleh 1.

    Penyelesaian :

    [1] = {, -2.1, -1.1, 0.1, 1.1, 2.1, }

    = {, -2, -1, 0, 1, 2, }

    Jadi, 1 merupakan genertor yang membentuk Grup

    Siklik tak hingga.

  • 8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU

    11/17

    Contoh

    Misalkan I4 = {1, -1, i, -i} adalah Grup bilangan

    kompleks terhadap perkalian (I4, .). TentukanGrup Siklik dari Grup tersebut.

    Penyelesaian :

    Generator dari I4 = {1, -1, i, -i} adalah 1, -1, i dan -i[1] = {(1)n| n Z}

    = {(1)0, (1)1, (1)2, }

    = {1}[-1] = {(-1)n| n Z}

    = {(-1)0, (-1)1, (-1)2, }

    = {-1, 1}

  • 8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU

    12/17

    [i] = {(i)n| n Z}

    = {(i)0, (i)1, (i)2, (i)3, (i)4, }

    = {1, i, -1, -i}

    [-i] = {(-i)n| n Z}

    = {, (-i)-2, (-i)-1, (-i)0, (-i)1, (-i)2, }

    = {1, -i, i, -1 }

    generator i dan -i adalah membangun suatu Grup

    Siklik, sehingga : [i] = [-i] = {1, -1, i,-i}generator 1 dan -1 adalah membangun Subgrup

    Siklik, sehingga : [1] = {1} dan [-1] = {1, -1}

  • 8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU

    13/17

    DEFINISI

    Setiap Grup Siklik adalah Grup Abelian.Bukti :

    Misalkan (G, .) merupakan Grup Siklik dan a

    merupakan pembangun dariG, sehingga G = {an| n Z}.

  • 8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU

    14/17

    Ambil x, y G, sehingga x = amdan y = an, untuk m, n

    Z.

    x . y = am. an= am+n= an+m= an. am= y . x

    Jadi, (G, .) merupakan Grup Komutatif.

    Misalkan (G, +) merupakan Grup Siklik dan a

    merupakan pembangun dari G, sehingga G ={na | n

    Z}.

    Ambil x, y G, sehingga x = na dan y = ma, untuk m,n Z.

    x + y = na + ma = (n + m)a = (m +n)a = ma + na = y +

    x

    Jadi, (G, +) merupakan Grup Komutatif.

  • 8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU

    15/17

    LATIHAN

    1. Diketahui matriksadalah suatu grup terhadap perkalian.

    Tunjukkan apakah (M, .) merupakan suatu

    grup siklik.

    2. Diketahui matriks

    adalah suatu grup terhadap perkalian. Tunjukkanapakah (N, .) merupakan suatu grup siklik.

    01

    10

    ,01

    10

    ,10

    01

    ,10

    01

    M

    10

    01,

    10

    01,

    10

    01,

    10

    01N

  • 8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU

    16/17

    LATIHAN

    3. Buktikan dengan contoh bahwa Subgrup dari

    Grup Siklik merupakan juga Grup Siklik.

  • 8/10/2019 Struktur Aljabar I IBU

    17/17

    Selamat Belajar