Bab Vi Atomh Repaired

7/14/2019 Bab Vi Atomh Repaired

http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-atomh-repaired 1/31

BabVI Atom Hidrogen

A. Pendahuluan

Atom hidrogen merupakan atom paling sederhana yang terdiri dari satu proton sebagai nukleus dan satu elektron

yang mengitarinya. Pada bab ini akan diuraikan penyelesaian persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen dan dan

aplikasinya. Persamaan Schrodinger untuk mendiskripsikan gerak elektron relatif terhadap proton sehingga energi

potensial sistem adalah energi potensial elektron yang terikat pada inti. Karena elektron mengorbit inti pada kulit yang

berbentuk bola maka fungsi gelombang dan tingkat-tingkat energi elektron ditentukan berdasarkan penyelesaian

persamaan Schrodinger dengan koordinat bola. Hasil dari penyelesaian persamaan Schrodinger untuk atom Hidrogen

dapat digunakan untuk menjelaskan teori atom menurut Bohr dan sebagai dasar teori atom secara umum.

B. Persamaan Schrodinger Atom Hidrogen

Persaman Schrodinger untuk atom Hidrogen tidak lain adalah persamaan Schrodinger untuk sebuah partikel

yang berupa elektron yang bergerak dalam medan potensial Coulomb yang dihasilkan oleh gaya tarik-menarik antara

elektron dengan inti, maka massa partikel tersebut sebenarnya merupakan massa sistem proton-elektron yang tereduksi,

yaitu

pe

pe

mm

mmm

. Karena m p =1836 m e , maka dalam prakteknya biasanya menggunakan massa elektron saja

karena antara m dan me selisihnya sangat kecil. Untuk penyerdahanaan pembahasan, proton diasumsikan diam di pusat

koordinat dan elektron bergerak mengelilinginya di bawah pengaruh medan atau gaya coloumb.

Karena proton dianggap diam, maka kontribusi energi sistem

hanya diberikan oleh elektron yaitu energi kinetik

e

k m

p E

2

2

=2

2

2m

(6.1)

dan energi potensial sebuah elektron yang berjarak r dari inti

V(r)=r

e 1

4 0

2

(6.2)

Dengan demikian persamaan schrodinger untuk atom hidrogen dapat dituliskan sebagai

)()(1

42 0

22

2

r E r r

e

me

(6.3)

mengingat sistem atom hidrogen memiliki simetri bola, penyelesaian pers. Schrodinger menjadi lebih sederhana bila

oprator 2 disajikan dalam koordinat bola. Di dalam koordinat bola ),,( r , persamaan 6.3 menjadi

E

r

e

r r

r r me

1

4sin

1sin

sin

11

2 0

2

2

2

2

2

2

2 (6.4)

karena

2

2

222

2

2

2

sin

1

sinsin

11

r r r r r r

me

mp y

x

z

θ

r

Gambar 1.1 Posisi relatif antara proton dan elektron



Penentuan fungsi gelombang dan tingkat energi dari PS persamaan (6.4), dapat dilperoleh dengan menyelesaikan pers

(6.4) dengan metode pemisahan variabel )(r

),,( r sebagai berikut

),,( r = ),()( Y r R = )()()(

r R (6.5)

Bila persamaan (6.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (6.4) dan kemudian dikalikan

2

22

r me maka pers (6.4)

menjadi 0

4

2

sin

1sin

sin

1

0

2

2

2

2

2

2

2

Re

R E r m R R

r

Rr r

e

(6.6a)

Dengan mendiferensialkan secara parsiel pers (6.6a) diperoleh

0

4

2

sinsin

sin 0

2

2

2

2

2

2

2

Re

R E r m R R

r

Rr r

e

(6.6b)

dan bila pers (6.6b) dibagi dengan )()()( r R maka diperoleh

01

4

2

sin

1sin

sin

11

0

2

2

2

2

2

2

2

r

e E

r m

d

d

d

d

d

d

dr

dRr

dr

d

Re

(6.7)

Atau

r

e E

r m

dr

dRr

dr

d

R

e 1

4

21

0

2

2

22

}

sin

1sin

sin

1{

2

2

2 d

d

d

d

d

d (6.7 a)

Dapat dilihat pada persamaan 6.7 bahwa suku pertama dan keempat hanya bergantung jari-jari r, suku kedua dan ketiga

hanya bergantung sudut dan , maka kemudian suku yang hanya merupakan fungsi r saja dipisahkan dari suku yang

merupakan fungsi sudut saja.Pada pers (6.7a) dapat dilihat bahwa kedua ruas mempunyai variabel yang berbeda tetapi keduanya identik,

maka msing-masing ruas harus sama dengan konstanta, misalnya dan bila kedua ruas dipisahkan maka diperoleh dua pers diferensial orde dua fungsi radial dan sudut, yaitu

r

e E

r m

dr

dRr

dr

d

Re

2

2

22 21

atau

R Rr

e E

r m

dr

dRr

dr

d e

2

2

22 2

(6.8)

Dengan substitusi variable yang sesuai pada persamaan (6.8) akan diperoleh PD. Fungsi Laguerre

Sedangkan suku yang hanya mengandung sudut dan dapat dinyatakan sebagai

2

2

2sin

1sin

sin

1

d

d

d

d

d

d (6.9a)

setelah dikalikan dengan sin 2, persamaan (6.9a) menjadi

0sin1

sinsin 2

2

2

d

d

d

d

d

d (6.9b)

2sinsinsin

d

d

d

d 2

2

21

md

d



Pada persamaan (1.9b) dapat dilihat bahwa ada bagian yang hanya bergantung pada sudut azimut dan bagian yang

bergantung pada saja sehingga kedua variabel tersebut dapat dipisahkan seperti pada persamaan (6.7a) dan suku

tengah yang merupakan fungsi azimut saja dimisalkan sama dengan konstanta -2m , yaitu.

2

2

21 md d

(6.10a)

atau 2

2

2

md

d

= 0 (6.10b)

dan

22sinsinsin

md

d

d

d

(6.11a)

atau setelah dikalikan 2sin

diperoleh

0

sinsin

sin

12

2

m

d

d

d

d (6.11b)

Dengan demikian, persamaan (6.4) dipisahkan menjadi tiga persamaan deferensial orde dua yang

hanya bergantung pada satu variabel saja, dan kemudian kita tentukan solusi masing-masing

persamaan tersebut di bawah ini.

2. Persamaan Azimuth

Penyelesaian persamaan Schrodinger untuk atom H kita mulai dari persamaan yang paling

sederhana yaitu pers. (6.10a) yakni persamaan azimuth yang menggambarkan rotasi elektron

terhadap sumbu z. Rentangan sudut rotasi disekitar sumbu-z ini adalah 0 sampai 2 , dan

kelipatannya. Itulah sebabnya konstanta (6.10a) dipilih negatif (= 2m ) agar memberi solusi yang

merupakan fungsi sinusoidal yang bersifat periodik. Bila dipilih positif akan memberi solusi fungsi

exponensial sehingga untuk satu posisi yang sama akan diberi nilai yang berbeda, misal

6/6/ e , dan 6/26/2 e padahal posisi 6/ sama dengan posisi 6/2 .

Dapat dijelaskan bahwa pemilihan konstanta positif ini tidak menggambarkan kondisi fisis yang

sesungguhnya.

Penyelesaian pers (6.10a) adalah

imim Be Ae (6.12a)

Karena bilangan bulat m dapat berharga positif atau negatif, m= 0, ±1, ±2….. maka persamaan

(6.12a) dapat ditulis menjadi

im

mme A (6.12b)

dengan keunikan untuk setiap harga yaitu

)()2( atau 1...... 2)2( imimim ekarenaee (6.13)

Dan A merupakan faktor normalisasi yang dapat diperoleh dari penersyarat normalisasi



mnnm d

2

0

nmuntuk

nmuntuk

....0

....1(6.14)

Karena kompleks konjugate dari m

adalah im

mm e A

maka kondisi normalisasi untuk fungsi

gelombang azimutal adalah

1

2

0

*

d Aee A inin

1 =

2

0

2d Am = 2

2

m A

maka 2

1m A

bilangan bulat m disebut bilangan kuantum magnetik.Jadi

im

m e2

1 (6.15)

1.1.2 Persamaan Polar

Bagian persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen yang merupakan fungsi sudut disebut

persamaan polar dan adalah sudut yang dibuat oleh vektor posisi elektron relatif terhadap titik

awal sistem koordinat yang merupakan posisi proton dengan sumbu z, jadi berharga dari 0

sampai . Persamaan polar ditunjukkan oleh pers (6.11b)

0

sinsin

sin1

2

2

m

d d

d d (6.11b)

Persamaan diferensial (6.11b) dengan konstanta dan 2m dikenal sebagai persamaan diferensial

Legendre terasosiasi. Solusi dari persamaan ini dapat diperoleh dengan menggunakan metode

Frobenius yang dinyatakan dalam bentuk deret pangkat tinggi berhingga yang dikenal sebagai

polinom Legendre terasosiasi. Untuk menyederhanakan penyelesaian pers (6.11b), pertama-tama

dimisalkan m = 0, dalam kondisi ini PD Legendre associated berubah menjadi PD Legendre seperti

ditunjukkan pada pers (6.16)

0sinsin

1

d

d

d

d (6.16)

Untuk memudahkan penyelesaian, pers (6.16) disederhanakan lebih dahulu dengan menggunakan

substitusi variable, misal

cos = w , maka sin = =

dan (6.17)

Pers (6.17) dimasukkan ke dalam pers (6.16) diperoleh

0}sin{sin)sin(sin

1

dw

d

dw

d

0sin2

dw

d

dw

d



0)1(2

dw

d w

dw

d

02)1(2

22

dw

d w

dw

d w (6.18)

Pers (6.18) merupakan bentuk umum dari persmaan differensial orde dua fungsi Legendre. Bentuk

penyelesaian PD fungsi Legendre dipilih dalam bentuk deret seperti pada penyelesaian dengan

metode Frobenius yang dibahas pada sistem Osilator Harmonik, dimana bentuk umum PD orde

duanya adalah

+ A(q) + B(q)Q = 0 (6.19)

Bila q = q0 menyebabkan nilai A(q) atau B(q0) adalah tertentu, maka q=q0 disebut titik ordinary

dan penyelesaian pers diff. orde dua adalah merupakan polynom (deret pangkat tinggi) yang

dinyatakan

Q(q) = (6.20)

Tetapi bila untuk q = q0, harga A(q0) atau B(q0) adalah tak terhingga, maka q = q0 disebut titik

regular singular dan bentuk penyelesaian umum nya adalah

Q(q) =sqq )( 0 (6.21)

Bila prinsip di atas diaplikasikan pada PD fungsi legendre pada pers (6.18)

0)1)(1()1)(1(

22

2

wwdw

d

ww

w

dw

d

untuk w = 0,

= = = 0

= =

Maka untuk w = 0 yang merupakan titik ordinary, bentuk umum penyelesaian PD fungsi Legendre

menurut pers (11) adalah

)(w = = c0 + c1w + c2w2

+ c3w3

+ … (6.22)

Tetapi untuk w = 1, yang memberikan harga A dan B sebagai

= = =

= = =

maka w = 1 merupakan titik regular singular yang bentuk penyelesaian PD fungsi Legendre

adalah )(w n

n

n

s wcw )1()1(0

)1(()1( 10 wccw s 4

4

3

3

2

2 )1()1()1( wcwcwc

...)1()1( 6

6

5

5 wcwc 6.23)



Tetapi karena di dalam pembahasan prinsip-prinsip Fisika selalu dipilih bentuk penyelesaian yang

sederhana maka dipilih bentuk penyelesaian pada pers (6.22), maka kemudian pers (6.22)

dimasukkan ke pers (6.18) yang dijabarkan dengan cara sebagai berikut

)(w = (c0 + c1w + c2w2

+ c3w3

+ c4w4

+ c5w5

+ … + cnwn

)

-2wdw

d = -2w( c1 + 2 c2w + 3c3w2 + 4c4w

3 + 5c5w4 + … + ncnw

n-1)

2

2

dw

d = ( 2c2 + 3.2c3w + 4.3c4w2 + 5.4c5w

3 + … + n(n-1)cnwn-2)

0 = c0 + 2c2 + (c1-2c1+6c3)w + (c2 - 4c2 – 2c2 + 12c4)w2 +(

c3-6c3-6c3+20c5)w3 (6.24)

Pers (6.24) adalah pers polynomial atau identitas maka masing-masing koefisien dari semua pangkat w harus sama dengan nol, sehingga diperoleh hubungan antara koefisien-koeficien sebagai

berikut:

w0 c0 + 2c2 = 0 c2 =0

2c

w1 c1 - 2c1 + 6c3 = 0 c3 =

13.2

2c

w2 c2 - 6c + 12c4 = 0 c4 =2

3.4

3.2c

w3 c3-12c3+20c5 = 0 c5 =

34.5

3.4c

Dari beberapa perhitungan di atas dapat digeneralisasikan sebagai

2)1(

)2)(1(

nn c

nn

nnc

(6.25)

Karena koefisien dari variabel w yang saling berhubungan berbeda dua angka, maka penyelesaianumum terbelah menjadi dua yaitu penyelesaian genap dan ganjil

)(w ={ c0 + c2w2 + c4w

4 + c6w6 + … + c2nw

2n}+{ c1w + c3w3 + c5w

5 + c7w7… + c2n-1w

2n-1} (6.26)

Deret pada pers (6.26), baik yang genap ataupun yang ganjil, terputus bila pangkat tertinggi dari

deret ditentukan, misal pangkat tertinggi adalah n, maka cn+2 = 0, karena tidak diperbolehkan

variabelnya mempunyai pangkat yang lebih besar dari n, dari cn+2 = 0

nn cnn

nnc

)1)(2(

))(1(2

= 0 diperoleh )1( nn , n= 0,1,2,3,…. (6.27)

Pada pers (6.27) n disebut bilangan kuantum orbital. Untuk konsistensi penggunaan symbol yang

mendiskripsikan bilangan kuantum orbital baik untuk fungsi gelombang atau tingkat-tingkat energyelektron pada atom biasanya bilangan kuantum n diganti dengan symbol sehingga harga menjadi )1( (6.27a).

Penentuan penyelesaian fungsi Θ(θ) = Θ(w) dalam bentuk deret dapat diperoleh dari pers (6.25),

(6.26) dan (6.27) dengan cara pangkat tertinggi dari deret sudah diketahui, misalnya pangkat

tertinggi deret adalah 4 atau 5, hal ini berarti bahwa 4 atau 5 . Kemudian setelah pangkat

tertinggi ditentukan, dihitung dan digunakan untuk mencari koefisien c secara berturutan dengan

menggunakan pers (6.27) sedemikian hingga semua koefisien dinyatakan dalam c0 atau c1 dan bila

koefisien-koefisien tersebut dimasukkan ke pers (6.26) diperoleh Θ(θ). Penentuan harga c0 atau c1

pada pers (6.26) dihitung dengan menggunakan kondisi bahwa untuk harga w=1, masing-masing

harga )( = )(w untuk setiap harga harus sama dengan 1.

+



Contoh

Marilah kita tentukan )(4 dan )(5 . Untuk )(4 , pangkat tertinggi w dari fungsi ini adalah 4, maka c6 harus sama dengan nol dan

)(4 w

=

c0 + c2w2 + c4w

4

dan dengan menggunakan pers (6.25) 0

5.6

4.546

cc

sehingga diperoleh 20 karena pembilang persaman di atas harus sama dengan nol. Dengan

menggunakan pers (6.25) diperoleh 002 101.2

20ccc

02243

35

6

7

3.4

2.320cccc

dan 4

0

2

0043

3510)( wcwccw untuk w = 1 harga )(4 w =1 sehingga diperoleh

00043

3510)( cccw =1 yang memberikan harga 8

30 c

Jadi }35303{8

1)( 42

4 www

Sedangkan untuk Θ5(w) = c1w + c3w3 + c5w

5, dari kondisi 06.7

5.657

cc

diperoleh 30 , 1133

14

3.2

230ccc

, 1135

5

21

3

14

10

9

4.5

1230cccc

sehingga 5

1

3

115

21

3

14)( wcwcwcw Karena untuk w = 1 harga )(5 w =1 ,

11.5

211.

3

141.)( 111 cccw maka diperoleh harga c1 =

8

15sehingga

53

58

63

4

35

8

15)( wwww

Dengan cara di atas penyelesaian persamaan Schrodinger bagian polar dapat diperoleh dalam

bentuk deret yang dinyatakan seperti pada pers (6.26) dimana harga c0 dan c1 diperoleh dari kondisi

untuk harga w=1, masing-masing harga )(

harus sama dengan 1.

Dengan memasukkan harga )1( pada pers (6.18) maka PD fungsi Legendre dapatdituliskan sebagai

0)1(2)1(2

22

dw

d w

dw

d w (6.28)

Bentuk umum penyelesaian pers (6.28) dapat ditentukan dengan bentuk deret pada pers (6.26) dan

jika pangkat tertinggi fungsi juga sudah ditentukan, kemudian menggunakan pers (6.25) dan (6.27)

untuk menentukan koefisien masing-masing suku dalam deret, namun biasanya masih tersisa satu

parameter yang harus ditentukan yaitu c0 untuk penyelesaian genap dan c1 untuk penyelesaian ganjil

seperti pada contoh yang telah dibahas diatas.

Disamping penyelesaian bentuk deret, PD fungsi Legendre dapat diselesaiakan dengan fungsi

pembangkit PD legendre, yaitu

0

212

21,

n

t wt wt wt g (6.29)



Yang disebut fungsi pembangkit adalah 21221,

t wt wt g . Dengan mendiferensialkan ruas

kiri dan kanan pada pers (6.29), masing-masing terhadap t dan terhadap w, kita akan memperoleh

PD fungsi Legendre. Dengan mengekspansikan fungsi pembangkit dengan menggunakan teorema

binomial, kita akan memperoleh Polynom Legendre atau formula Rodrigues yang dinyatakan

sebagai

)1()(!2

1)( 2 w

dw

d w (6.30)

Pembahasan penjabaran PD fungsi Legendre dan Polinom Legendre dari fungsi pembangkit dapat

di lihat pada lampiran I

Cara ke tiga untuk menyelesaikan PD fungsi Legendre juga dapat dilakukan dengan

mentransformasi PD Legendre menjadi PD fungsi Hypergeometric dengan substitusi variable yangsesuai. Penjabaran penyelesaian PD fungsi Hypergeometric dapat dilihat pada Lampiran 1.

Dengan memasukkan nilai )1( dalam pers (6.11b) diperoleh

0sin)1(sinsin

12

2

m

d

d

d

d

(6.31)

Seperti pada PD fungsi Legendre, variabel diganti dengan w yaitu

0)1

)1((2)1(2

2

2

22

w

m

dw

d w

dw

d w (6.31a)

Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan Legendre associated pada pers (6.31a)

adalah pertama-tama dengan menyelesaiakan PD fungsi Legendre dan kemudian mengubah PD

fungsi legendre menjadi PD fungsi Legendre associated dengan mendiferensialkan PD fungsi

Legendre yang dinyatakan pada pers (6.28) m kali terhadap w, seperti ditunjukkan oleh pers (6.32).

0)}()1()(

2)(

)1{(2

22

w

dw

wd w

dw

wd w

dw

d m

m

(6.32)

Pers (6.32) diselesaikan dengan menggunakan formula Leibnitz’s yang dinyatakan pada pers (6.33)

!)!(

!),()()]()([

0 s sn

n x B

dx

d x A

dx

d x B X A

dx

d n

s

s

s

sn

snn

s

n

s

n

n

, (6.33)

Setelah didiferensialkan m kali terhadap w dengan menggunakan formula Leibnitz’s, pers (6.32)

menjadi

0)1()()1(2)1( 22 uummumwuw

atau

0)1)(()1(2)1( 2 ummumwuw . (6.34).

dimana u ≡ )(wdw

d m

m

Persamaan (6.34) adalah bukan self adjoint, untuk membuatnya menjadi bentuk self-adjoint, kita

melakukan substitusi terhadap fungsi u(w) yang dinyatakan pada pers (6.35)



v(w)=(1-w2 )m/2 u(w) = (1-w2)m/2 m

m

dw

wd )(

(6.35).

atau u(w) = v(w) (1-w2 )-m/2

Dengan memasukkan pers (6.35) ke pers (6.34) diperoleh

(1-w2) v -2w v+ ,01

)1(2

2

v

w

m (6.36),

Pers (6.36) merupakan persamaan yang sama dengan pers persamaan (6.31a)) yaitu PD Legendre

associated dimana2

2

2

2

dw

d

dw

vd m

, atau fungsi )()( wwv m

, yang merupakan fungsi Legendre

associated. Penjabaran PD Legendre associated dari PD Legendre secara lengkap dapat dilihat pada

Lampiran 1.

Jadi penyelesaian umum dari PD fungsi Legendre associated dapat dinyatakan dalam bentuk

polynomial Legendre associated pada pers (6.37)

m

=(1-w2 )m/2 u(w) = (1-w2)m/2

m

m

dw

wd )(

(6.37)

dimana )(w

dapat diperoleh dalam bentuk deret seperti pada pers (6.26) atau dalam bentuk

polinom Legendre

)1()(!2

1)( 2 w

dw

d w

n

Dalam beberapa buku Kuantum, biasanya fungsi legendre atau Legendre associated dinyatakan

dalam istilah )(w P

)(cos

P atau )(w P m

)(cos m P , maka jika seandainya dalam uraian di

beberapa bagian penulis mencantumkan istilah yang berbeda, para pembaca harap maklum.

Penyelesaian fungsi gelombang bagian sudut adalah

)()(),( m

mY

= imm

orb e N )(

(6.38)

Dengan menggunakan syarat normalisasi untuk fungsi gelombang bagian sudut

1sin|),(|2

0

2

0

d d Y m (6.39)

diperoleh faktor normalisasi fungsi gelombang bagian sudut yaitu

|)!|(

|)!|(

4

12)1( 2/|)|(

m

m N mm

orb

(6.40)



Dan pers (6.38) menjadi ),( mY

|)!|(

|)!|(

4

12)1( 2/|)|(

m

mmm

imm e)(

(6.41)

Dari pers (6.41) dapat dilihat bahwa harga 2/|)|()1(mm selalu 1 untuk m genap baik positif maupun

negatif dan untuk harga m yang negative dan ganjil, dan selalu sama dengan -1 untuk harga m yang

positive dan ganjil.

Contoh penentuan fungsi gelombang bagian sudut

Fungsi gelombang bagian sudut ditentukan dengan menggunakan pers (6.41), yaitu ,mY

!

!

4

12)1( 2/|)|(

m

mmm

cosm

l

ime

Mula-mula marilah kita hitung 20111000 ,,, Y Y Y Y :

4

1cos

!00

!00

4

10.2 00

000

ieY

untuk 10Y

cos4

3

1coscos

cos1!02

1

4

3

cos!01

!01

4

112)1(

10

2

1

12/02

110

00

1

0

10

Y

Y

eY i

Untuk lebih mudahnya, kita hitung lebih dahulu polinom Legendre associated )(wm

= )(cos m

dengan menggunakan persamaan (6.37), baik untuk harga m positive maupun negative, karena

harga )(wm

= )(wm

, yaitu.

)()1( 2/||2 wuw mm

=||

||2/||2 )(

)1(m

mm

dw

wd w

dimana

)1()(!2

1)( 2 w

dw

d w ,

Misal untuk 1 , maka harga m= -1, 0, 1

121

11 )1()(!12

1)( w

dw

d w w , maka

dw

dwww 2/121

1 )1()( sin)1( 2/12 w

cos)1()(0

0020

1 wdw

wd ww

Untuk 2 , maka harga m= -2, -1, 0, 1,2

222

22 )1()(!22

1)( w

dw

d w )412(

8

1 2 w )2

1

2

3( 2 w



maka

2

22

2/222

2

)2

1

2

3(

)1()(dw

wd ww 22

sin33).1( w

1

21

2/121

2

)21

23(

)1()(dw

wd ww ww 3)1(

2/12 cossin3

dan

0

20

020

2

)2

1

2

3(

)1()(dw

wd ww

2

1cos

2

3 2

Setelah )(wm

= )(cos m

dihitung, kemudian kita hitung mY dengan menggunakan pers (6.39)

sebagai berikut:

ii eeY sin8

3cos

!11

!11

4

11.2)1( 11

1

2/2

11

dan

ii eeY

sin

8

3cos

!11

!11

4

11.2)1( 11

1

2/0

11

Untuk 2 ,

22

2

2/4

22 cos!22

!22

4

12.2)1( ieY

22sin3.!4

1

4

5 ie

22sin.32

15 ie

2.2

2

2/0

22 cos!22

!22

4

12.2)1(

ieY

22sin.32

15 ie

1cos316

5

2

1cos3

2

1

!02

!02

4

12.2 202

20

ieY

Dengan cara yang sama anda dapat menentukan1221 danY Y . Beberapa fungsi bola harmonik

dituliskan pada tabel 6.1. fungsi ,mY disebut fungsi harmonik bola dan memenuhi

ortonormalitas

mmmm iiii d d Y Y

sin,, (6.42)

Tabel 6.1 Fungsi Harmonik Bola

4

1,00 Y )1cos3(

16

5, 2

20

Y

cos4

3,10 Y

ieY

cossin8

15,12

ieY sin

8

3,11

ieY 22

22 sin32

15,



Mengingat bentuk eksplisit m sebagai fungsi saja, maka rapat probabilitas polar hanya

bergantung pada sudut saja, yaitu

P Y Y P lmmmm ** ,,, (6.43)

Grafik fungsi ,mY dilukiskan dalam diagram tiga dimensi ditunjukkan pada gambar 6.2

Gambar 6.2 Representasi permukaan ,mY

Persamaan Schrodinger Bagian Radial

Bagian radial dari persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen telah dijabarkan pada bagian

awal bab ini seperti yang ditunjukkan pada pers (6.8), dengan mengganti )1( yang diperoleh

dalam pembahasan persamaan polar fungsi Legendre, persamaan Schrodinger bagian radial

dinyatakan sebagai

121 2

2

22

r

e E

r m

dr

dRr

dr

d

Re (6.8)

untuk sistem CGS, atau

0

2

1

4

212

2

0

2

2

2

2

R

r mr

e E

m

dr

dRr

dr

d

r e

e

(6.8a)

untuk sistem SI

Karena elektron dalam keadaan terikat dengan inti maka energi elektron negatif maka energi eigen

nilai dapat ditulis menjadi E E .

Dengan memisalkan

r E me

2/1

2

8

= r dimana 2

82/1

2

E memaka

2

22

r (6.44)



Dan

2/12

82

E

me e

o =

2

0

2

2

eme

2

0

2

4

eme(6.45)

dan bila pers (6.44) dan (6.45) dimasukkan ke persamaan (6.8a) maka diperoleh

0R 4

1R

1)(R 2

2

22

2

2

(6.46)

Kemudian pers (6.46) dibagi dengan 2 akan diperoleh

0R 4

1R

1)(R 12

2

2

(6.47)

Untuk menentukan penyelesaian persamaan (6.47) dicari lebih dahulu penyelesaian pendekatan

untuk daerah di mana jari jari kulit bola sangat besar dan sangat kecil( di sekitar pusat koordinat).

Sebelum diselesaikan untuk ρ yang sangat besar dan mendekati nol, pers (6.47) diuraikan terlebih

dahulu dalam bentuk

0R 4

1R

1)(222

2

d

R R (6.47a)

karena

2

22

R R

Pada persamaan (6.47a) untuk daerah di tak berhingga dimana , mengakibatkan2

)1(

,

, dan

2menuju nol, sehingga pers (6.47a) berubah menjadi

0R 41R d

2

2

d

(6.48)

Pers diferensial orde dua pada pers (6.48) merupakan persamaan diferensial sederhana yang

mempunyai penyelesaian bentuk eksponensial yang dinyatakan sebagai

(6.49)

Sedangkan untuk daerah disekitar titik asal 0 , fungsi gelombang R dimisalkan lebih dahulu

dengan

2

22

2

2

22

1R 1

R R

2/ e R



)U()R( (6.50)

Pers (6.50) kemudian disubstitusikan ke dalam pers (6.47) sehingga untuk suku pertama pers (6.47)

berubah menjadi

U 2

2

1

)

1(

12

2

2

U U

U U U 2

2

2

1

=2

2

U

Dan pers (6.47) tereduksi menjadi persamaan deferensial dengan fungsi gelombang U

0U4

1U

1)(Ud

22

2

d (6.51)

Penyelesaian pers (6.51) untuk harga 0

0U1)(Ud

.0U4

1U

1)(Ud

0

lim22

2

22

2

d d (6.52)

karena harga diabaikan terhadap2

)1(

untuk 0

Kemudian pers (6.52) diselesaikan dengan metode Frobeneus dalam bentuk deret, karena untuk harga 0 menyebabkan harga B( ) =

20

)1( = , maka titik 0 merupakan titik regular

singular dan penyelesaian pers (6.52) berbentuk deret yang dinyatakan sebagai

k

k

k

s cU

0

(6.53)

Pers (6.53) dimasukkan ke dalam pers (6.52)

-2

)1(

U = -2

)1(

{c0 s

+ c11 s + c2

2 s + c33 s + ……….}

2

2

U = 2

2

{ c0

s

+ c1

1 s

+ c2

2 s

+ c3

3 s

+ c4

4 s

+ c5

5 s

…}

0= )}1()1({02 s sc s

+ })1()1({ 11

1 c s sc s + )}1)(2()1({2 s sc s +

(6.54)

Dengan menolkan koefisien dari suku dengan variabel pangkat terendah,2 s

, yaitu

0)1()1( s s merupakan “index equation” sehingga diperoleh

s atau 1 s , (6.54a)

dan untuk penyelesaian pers ( 6.52) dipilih harga 1 s , karena kalau dipilih harga s , untuk

0 menyebabkan harga U atau R menuju tak berhingga sehingga fungsi gelombang tak

ternormalisasi. Untuk 1 s maka penyelesaian pendekatan disekitar titik 0 adalah

U4

1

+



1 U (6.54b)

Penyelesaian umum untuk U adalah perkalian antara penyelesaian pendekatan di titik

dengan penyelesaian untuk 0

dan suatu fungsi L( ) yang dinyatakan sebagai

)(21

LeU

(6.55a)

atau Le R 2/ (6.55b)

Kemudian kita masukkan pers (6.55a) ke dalam persamaan (6.51) sehingga kita akan memperoleh

PD orde dua fungsi Laguerre L dengan langkah-langkah sebagai berikut:

d

U Le 2/1 Le 2/1

2

1.

L

e 2/1. (6.56a)

Kemudian masing-masing bagian A, B, dan C didefernsialkan sekali lagi untuk menghitung2

2

L

A

U 2

2

=

{ Le 2/1

}= Le 2/11 + Le 2/

2

1.)1(

L

e 2/.)1( (b)

B

U 2

2

=

{ Le 2/1

2

1. }= Le 2/

2

1.)1(

+ Le 2/1

4

1. +

L

e 2/1.

2

1 (c)

C

U 2

2

=

{

Le 2/1. }=

L

e 2/.)1(

L

e 2/1.

2

1 2

22/1.

Le (d)

2

2

U = Le 2/11

+2 Le 2/

2

1.)1(

+2

L

e 2/.)1(

L

e 2/1.

2

12

+ Le 2/1

4

1.

2

22/1.

Le

2

2

U = 2/1

e

[ { )(}4

1)1()1(

2 L

+{

)(

}1

)1(2 L 2

2

L }] 6.56(e)

Masukkan pers (6.55a), dan (6.56e) ke dalam pers (6.51) diperoleh

01122

2

L

L L

(6.57)

Pada pers (6.57) dapat diselesaikan secara langsung dengan penyelesaian bentuk deret

menggunakan metode Frobeneus. Pada pers (6.57) dapat dilihat bahwa PD orde dua ini mempunyai

titik ordinary untuk )1(2 dan titik regular singular untuk 0 , karena 0 lebih sederhana

dari pada )1(2 , maka dipilih penyelesaian untuk pers (6.57) dalam bentuk deret di sekitar titik

0 , yaitu

B C

+



1

10

~

0k

k

k

s .aL

s s aa ....3

3

2

2 s s aa (6.58)

Bila pers (6.58) dimasukkan ke dalam pers (6.57) akan diperoleh rumus rekursi dengan langkah penyelesaian sebagai berikut:

L1 1 {1

10

s s aa ....3

3

2

2 s saa }

L12 {12

s s a s sa 1

1

0 )1( ....)3()2( 2

3

1

2 s s a sa s }

2

2 L{

1

1

2

0 ))(1()1( s s a s sa s s ....)2)(3()1)(2( 1

32 s s a s sa s s }

0= {)1(12 00a s s sa

1 s }+ 1100 )1)(1(2)1(1 a sa s s saa }{

s }+ [

11 a + 212 )1)(2(}1{)2(12 a s sa sa s ]{1 s }+ ... (6.59)

Bila setiap koefisien dari variabel ρ pada pers (6.59) harus disamakan dengan nol, maka diperoleh

hubungan antara koefisien dari pangkat yang berturutan sebagai berikut:

Untuk ρs-1: 0)1(12 s s s 0)1(22 s s yang merupakan ”index equation” dan

diperoleh harga s = 0 atau )12( s . Dari dua macam harga s tersebut dipilih harga s=0 supaya

untuk ρ menuju 0 harga fungsi gelombang terdefinisi

ρs :

1100 )1)(1(2)1(1 a sa s s saa = 0

01 )22)(1(

1

a s s

s

a

untuk s = 0 01)22(

1aa

ρs+1

: 11 a + 212 )1)(2(}1{)2(12 a s sa sa s ] =0

12)122)(2(

11a

s s

sa

untuk s = 0 diperoleh

12)122)(2(

11aa

Untuk ρs+2

: 21 a + 323 )2)(3(}2{)3(12 a s sa sa s ] =0

Diperoleh

13

)222)(3(

21a

s s

sa

Di mana untuk s = 0 diperoleh

23

)222)(3(

21aa

Dari penjabaran di atas dapat digeneralisasikan untuk nilai tertentu

+



a

s s

sa

)22)(1(

11

(6.60a)

dan untuk s=0

aa

)22)(1(

11

(6.60b)

Pers (6.60b) merupakan rumus rekursi untuk s = 0 yang menentukan harga koefisien av pada deret

dari fungsi L(ρ). Misalkan nilai koefisien terendah adalah a0 = A dan berharga konstan yang

ditentukan dengan menggunakan kondisi normalisasi fungsi gelombang, dengan menggunakan pers

(6.60b) dapat ditentukan harga a1 , dan dengan diketahui harga a1 akan dapat juga ditentukan harga

a2, dan seterusnya untuk harga koefisien yang lebih tinggi.

Untuk harga v yang besar yang bersesuaian untuk harga ρ yang besar juga, dimana deret

didominasi oleh pangkat tinggi, sehingga pers (6.60b) dapat didekati dengan bentuk persamaan

aaa

11

1))(1(

(6.60b)

Dari rumus rekursi pers (6.60b) diperoleh!

Aa

dan pers (6.58) dapat dituliskan menjadi

Ae A L

0 !)(

Dan fungsi gelombang U(ρ ) pada pers (6.55a) dapat dinyatakan

21

e AU

(6.55a1)

Dapat dilihat bahwa fungsi gelombang pada pers. (6.55a1) akan berharga tak berhingga, yang mana

sebelumnya penyelesaian fungsi gelombang yang merupakan fungsi eksponensial positif sudah

tidak dipilih karena menyebabkan fungsi gelombang berharga tak berhingga dan tak dapat

dinormalisasi. Hanya ada satu cara untuk menghindari harga fungsi gelombang menuju tak

berhingga, yaitu deret harus terputus dan berhingga untuk harga m ax yang merupakan bilangan

bulat tertentu sehingga 01max a , dan dari pers (6.60a) diperoleh

01max (6.61)

Dengan mendefinisikan n 1max , maka n juga harus merupakan bilangan bulat yang

nantinya akan disebut sebagai bilangan kuantum utama, maka n dan adalah merupakan

bilangan kuantum radial.

Dengan menggunakan pers (6.61) dan (6.45) yang dinyatakan sebagai

2/12

82

E

me e

o maka

diperoleh energi dari elektron yang mengorbit inti pada kulit n tertentu, yaitu

222

4

2)4(||

o

enn

em E E , atau

222

4

2)4( n

em E

o

en

(6.62)



Pers (6.62) sama dengan formula energi elektron yang diusulkan oleh Bohr.

Bila didefinisikan m xem

ae

o

10

2

2

0 10529,04

adalah radius bohr, dan

0

2

0

21

4 nan

me

n

, maka pers

(6.62) dapat ditulis menjadi 2

2

2n

e

nm

E (6.62a)

Contoh:

untuk n=1,22

4

12)4( o

eem E

= -13,6 eV

Karena n=1, maka 0 dan berdasarkan pers (6.61) maka 0 sehingga dengan menggunakan

pers (6.55b) diperoleh 2/

010

ea R

sedangkan untuk n=2, dimana elektron berada pada excited state yang pertama, energi elektronadalah

42)4( 22

4

2o

eem E

= -3,4 eV

Untuk n=2 maka harga 0 atau 1 . Untuk 0 dan harga 0 diperoleh 01aa sedangkan

untuk 1 maka 02 a dan diperoleh 2/

020 )1( ea R . Bila 1 , maka 0 sehingga

2/

021

ea R . Masing-masing fungsi gelombang dapat dinormalisasi dengan menggunakan

persamaan

1||3

22

0

d Rn

Dengan substitusi n persamaan (6.57) menjadi

(6.63)

persamaan (6.63) ini tidak lain adalah persamaan differensial Laguerre terasosiasi, yang mempunyai

bentuk umum

012

2

p

q

p

q L pq L p L

(6.64)

Pers (6.64) equivalen dengan pers (6.63), maka 1)1(2 p atau p12 dan dari

pqn )1( diperoleh qn

Pers (6.64) dapat diperoleh dengan menggunakan fungsi pembangkit Laguerre yang dinyatakan

dalam persamaan (6.65)

!1),(

1

q

s L

s

e sU

q

q s

s

(6.65)

01122

2

Ln

L L



Bila kedua ruas kiri dan kanan pada pers (6.65) didiferensialkan terhadap ρ diperoleh

}!

{}1

{),(1

q

s L

d

d

s

e

d

d sU

d

d q

q s

s

atau

!}

1{

1

1

q

s L

s

e

s

sq

q s

s

atau

!

1

q

s L q

q }

!!{

1

q

s L

q

s Lq

q

q

q

(6.66)

Bila pangkat s untuk semua suku pada ruas kiri dan kanan disamakan menjadi sq ,yaitu

untuk ruas kiri

qq s s 1 sehingga 1 qq L L dan )!1(! qq (6.67a)

dan untuk suku ke dua ruas kanan qq s s 1 dan

1

qq L L

dan )!1(! qq (6.67b)

maka bila pernyatan (6.67a) dan (6.67b) dimasukkan ke pers (6.66), pers (6.66) menjadi

1qq Lq L 1 qqL

(6.68)

Kemudian ruas kiri dan kanan pers (6.65) didiferensialkan terhadap s dan diperoleh

}!

{}1

{),(1

q

s L

ds

d

s

e

ds

d sU

ds

d q

q s

s

2

121

)1(

)1(

1

)1(

)1(

1

s

e

s

s

s

se

s

s s

s

=

!

1

q

qs L qq

11)1(

2

1

s

s

s

e s

s

=

!

1

q

qs L qq

s

s

s

e s

s

1

1

)1(2

1

=

!

1

q

qs L q

q

!)1(

q

s L s

q

q 2

1

21!

s sq

qs Lq

q

atau !

(q

s Lq

q

!

1

q

s Lq

q

+ )!q

s L qq

!

(

1

q

qs Lq

q

!

2

q

sqL q

q )!

1

q

sqL qq

(6.69)

Dengan menggunakan pengubahan pangkat dari s sedemikian semua s pangkatnya sama, sq, seperti

pada argumentasi (6.67a) dan (6.67b) pada pers (6.69) akan diperoleh

!

(q

s L qq

)!1(

1

q

s L qq+ )

!q

s L qq

)!1(

)1((

1

q

sq L qq

!

2

q

sqL qq )

)!1(

)1( 1

q

s Lq qq

(6.69a)

Maka pers (6.69a) dapat dituliskan menjadi pers (6.70)

1q L 1

2)12( qq Lq Lq (6.70)

Bila pers (6.70) didiferensialkan terhadap ρ dieroleh pers (6.70a) dan kemudian dikurangi dengan

pers (6.68) yang telah dikalikan dengan q yang menghasilkan pers (6.68a) , yaitu pers (C2a)

dikurangi pers (C1a)

1q L 1

2

)12( qqq Lq L Lq (6.70a)



1

2

q Lq =1

2

qq Lq Lq (6.68a)

1

2

1 qq Lq L qq L Lq )1( (6.71)

Bila pada pers (6.68), variable q diubah menjadi q+1, yaitu qq Lq L )1(1 q Lq )1( dan

kemudian dimasukkan kedalam pers (6.71) diperoleh pers (6.72)

1

2

qq LqqL q L

(6.72)

Kemudian pers (6.72) didiferensialkan terhadap ρ diperoleh

1

2

qq Lq Lq qq L L

(6.72a)

Bila pers (6.72) dimasukkan ke pers (6.68a) maka pers (6.68a) menjadi

qq LqL =1

2

qq Lq Lq atau

1

2

q Lq qqq Lq LqL (6.73)

Kemudian pers (6.73) dimasukkan ke pers (6.72a):q Lq qqq Lq LqL

qq L L

atau

0)1( qqq qL L L (6.74)

Persamaan (6.74) disebut pers diferensial orde dua fungsi Laguerre. Untuk menentukan

penyelesaian fungsi gelombang atom H diperlukan persamaan diferensial fungsi Laguerre

terasosiasi yang dapat diperoleh dengan cara mendiferensialkan PD fungsi Laguerre terhadap

variable ρ sebanyak p kali. Persamaan diferensial orde dua Laguerre terasosiasi pada pers (6.64)

identik dengan persamaan diferensial pada pers (6.63). Pendiferensialan px di lakukan dengan

langkah sebagai berikut:

Mula-mula pers (6.74) didiferensialkan 1x terhadap ρ sehingga diperoleh

0)1(

qqqqq Lq L L L L

Bila

1

qq L L

,

qqq L L L 1

dan qqq L L L

1

, maka pers diatas ditulis dalam bentuk

0)1( 111

qqqqq qL L L L L atau 0)1()11( 111

qqq Lq L L (6.75)

Bila pers (6.75) didiferensialkan 1x lagi terhadap ρ diperoleh

0)1()11( 21221

qqqqq Lq L L L L

Atau 0)2()12( 222

qqq Lq L L

Dari hasil pendiferensialan pers (6.74) terhadap ρ sebanyak 2x dapat ditarik generalisasi untuk

pendeferensialan sebanyak px yaitu

0)()1(

p

q

p

q

p

q L pq L p L (6.76)

karena

p

q

p

q L L 1 , p

q

p

q L L 1

, dan

p

qq p

p

L L

.

Bila pada pers (6.76), harga 12 p dan q n , maka pers (6.76) sama dengan

pers (6.64) yang merupakan persamaan Diferensial orde dua fungsi Laguerre terasosiasi.



Penyelesaian pers (6.76) dinyatakan dalam bentuk polinom Laguerre terasosiasi p

q L yang

dinyatakan dalam rumus Rodrigues

pq

q

q p

q e

d

d e

pq

q L

!

!(6.77)

dimana koefisien p dan q merupakan fungsi dari bilangan kuantum orbital dan bilangan bulat n

yang nantinya disebut bilangan kuantum utama seperti ditunjukkan pada pers (6.78)

p = 2 +1

q = n + (6.78)

maka penyelesaian pers (6.64) adalah

12

n

p

q L L L

)1(

)1(

!)1(

)!(

n

n

n

e

d

d e

n

n

(6.79)

Dengan demikian penyelesaian fungsi gelombang bagian radial diberikan oleh

122/

nnn Le N R R (6.80)

dengann N adalah konstanta normalisasi yang ditentukan dengan prinsip

0

2*, iiiiii

nnnn

nn dr r R R R R

(6.81)

dimana

!12

!2

)!12(

13

nn

n

na N

o

n(6.82)

dengan 2

2

04

ema

eo

adalah radius bohr dan

0

2

0

21

4 nan

me

n

.

Dengan demikian, solusi lengkap persamaan (6.47) adalah

o

n

nar

oo

n

na

r Le

na

r

nn

n

na

r R o 22

!12

!2

)!12(

1 12/

2/13

(6.83)

atau

r Ler nn

nr R nn

r

nnnn

22

!12

!2

)!12(

1 12

2/1

3

(6.83a)

Berdasarkan hubungan p,q, n dan serta penyebut pada pers (6.77) didapat bahwa q-p harus lebih besar atau sama

dengan nol, atau

p q (6.84a)

maka (2 +1) n+ , atau lebih tepatnya n-1 (6.84b)



jadi untuk n tertentu maka

= 0,1,2,3,...,n-1 (6.84c)

Contoh : Tentukan R 10 ,R 20 , R 21 Rumus umum fungsi gelombang bagian radial adalah:

o

n

nar

oo

nna

r Le

na

r

nn

n

nar R o 22

!12

!2

)!12(

1 12/

2/13

Untuk R 10, n=1 dan =0 maka

o

ar

oo a

r Le

a

r

a

r R o

1

2

.1

2

!1011.2

!1

.1

2 10.2

01

.1/

02/1

3

10

o

ar

o a

r Le

ar R o 2.1

12

1

1

/

2/3

10

Dan dari persamaan

pq

q

q p

q ed

d e

pq

q L

!

!diperoleh

12

1

2

12!11

!1

1

2

0

1

1

0

0

1

2

1

0

11

2

0

1

100

a

r L

a

r e

ar d

d e

a

r L a

r

a

r

sehingga oar ear R /2/3

010 .2

Dengan jalan yang sama untuk R 20 diperoleh

r

o

ar

o

ar

oo

no

o

ea

r Le

ar R

a

r Le

a

r

a

r R

2

3

22

/

2/3

0

20

02

.1/

02/1

3

20

}{2.12

11

2

2

2

2

!1022.2

!02

2

2

1

10.2

)2(2

!12

!200000

0

1

0

2

0

2

0

1

2

a

r

a

r

a

r

a

r

a

r

eea

r e

a

r e

a

r d

d e

a

r L



)2(200

1

2

a

r

a

r L , maka oar

ea

r R/

2/3

0

20 .2

11

)2(2

0

a

r

o

ar

o

o

ar

oo

a

r Le

a

r

ar R

ar Le

ar

ar R

o

o

3

11.2

3

2/

2/3

0

21

12

2/

12/1

3

21

6

1

2

11

22

22

!1122.2!12

22

!31

3

.3

!33

!3

0

3

3

0

3

3

0

0

3

0

3

0

3

3

00

00

a

r L

eea

r L

a

r e

a

r d

d e

a

r L

a

r

a

r

a

r

a

r

sehingga oar e

a

r ar R

2/

0

2/3

02162

3

Cara III ; Penyelesaian PD Laguerre dengan menggunakan PD Confluent

Hypergeometrik

Berbagai persamaan diferensial orde dua dapat diubah menjadi PD Hypergeometrik atau

Confluent Hypergeometric, misalnya PD fungsi Hermite dan Laguerre dapat diubah menjadi PD

fungsi Confluent Hypergeometrik dengan substitusi variabel yang tepat, PD fungsi Legendre dapat

diubah menjadi PD fungsi Hypergeometrik. Persamaan diferensial fungsi Hypergeomtrik yang

diusulkan oleh C.F.Gauβ dinyatakan dalam bentuk

0ab-zz))1((czz)-z(1 2

2

ba (6.85)

Pers (6.85) dapat diselesaikan dengan bentuk deret di sekitar titik z = 0 yang merupakan titik

reguler singuler sehingga bentuk penyelesaiannya dinyatakan sebagai

n

n

s z a z (6.86)

Kemudian pers (6.86) dimasukkan ke dalam pers (6.85) sedemikian hingga diperoleh suatu

persamaan identitas atau polinom pangkat tinggi di mana semua koefisien dari variabel polinom

menjadi nol dan diperoleh hubungan antara an yang berturutan dari pers (6.86) dan diperoleh

penyelesaian PD Hypergeometric yang dinyatakan pada pers (6.68) dalam bentuk



n

n nn

nn z c

ba z z cba F

0

112)()1(

)()()();;,(

n

n n

nn z cn

ba

0 )(!

)()(

(6.87)

dimana )1)......(3)(2)(1()( naaaaaa n

(6.88)

1)( 0 a

Penyelesaian di atas mempunyai harga bila semua denominatornya dari deret tersebut tidak nol,

maka c≠ -n, dimana n = 0, 1, 2, 3, 4, ......Bila a = -n atau b = -n, maka bentuk penyelesaian yang

berupa deret menjadi terputus sehingga diperoleh penyelesaian yang berhingga yaitu polynomial

pangkat n. Contoh aplikasi dari penyelesaian PD Hypergeomtrik adalah penyelesaian Persamaan

diferensial fungsi Legendre 0)1(2)(

)1(2

22 P nn

dx

dP x

dx

x P d x

(6.89)

Bila x pada pers (6.89) diubah menjadi (1-2x) maka P(x) menjadi P(1-2x), dx menjadi d(1-2x)=-2dx

dan persamaan diatas dapat ditulis menjadi

0)1(2

)21(24

)1(42

2

P nndx

dP x

dx

P d x x

atau

0)1()21()(

)1(2

2

P nndx

dP x

dx

x P d x x

( 6.90)

Dengan membandingkan antara bentuk pers (6.85) dengan pers (6.90) maka didapat penyelesaian

PD fungsi Legendre sama dengan penyelesaian PD hypergeometric yang ditunjukkan oleh pers

(6.91)

);1;1,()21( 12xnn F x P n

(6.91)

Untuk s =1-c, maka penyelesaian ke 2 dari PD Hypergeometric pada pers (6.85) adalah

);2;1,1()( 12

1

2 z ccbca F z z c

(6.92)

Penyelesaian PD Hypergeometric jenis kedua ini tidak nol bila c≠ 2,3, .....

Dari penyelesaian bentuk pertama dan kedua PD Hypergeomeric , maka penyelesaian umum PD

Hypergeometric dapat dinyatakan sebagai

);2;1,1();;,()( 12

1

12 z ccbca F Bz z cba F A z c

(6.93)

Persaman Diferensial Confl uent Hypergeometr ic

Bila disubstitusikan x=bz pada PD Hypergeometric pers (6.85), diperoleh

0ab-

x1

) b

x)1((c

x1

) b

x-(1

b

x

2

2

2

b

ba

b

(6.85a)

pers (6.68a) dapat disederhanakan menjadi

0a-x

x) b

x)1((c

x)

b

x-x(1

2

2

a

(6.94)



Bila pada pers (6.94) harga b→∞ maka pers (6.94) menjadi persamaan diferensial Kummer yang

dinyatakan sebagai

0a-x

x)(cx

x2

2

(6.95)

Untuk x=0,

x

aatau..

x

x-c,maka titik x=0 disebut titik regular singuler dan titik x=

∞ disebut sebagai titik ordinary . Penyelesaian PD Kummer pada pers (6.95) disekitar titik x=0

dapat dinyatakan sebagai

n

n

s xa x x )( (6.96)

Bila pers (6.96) dimasukkan kedalam pers (6.95) diperoleh hubungan antara harga an yang

berturutan pada pers (6.96), yaitu

na 1))1()((

)1(

na

cn sn s

an s(6.97)

Karena ada dua macam harga s pada pers (6.96) yang diperoleh setelah memasukkan pers (6.96), kedalam pers (6.95), maka juga diperoleh dua macam bentuk penyelesaian PD Kummer, penyelesaian

bentuk pertama untuk s = 0 yang merupakan fungsi Confluen Hypergeometrik dan dinyatakan

sebagai

!)(

)();;()(

0

111n

x

c

a xca F x

nn

n n

n

= xc

a1

!2)1(

)1( 2 x

cc

aa

!3)1)(1(

)2)(1( 3 x

ccc

aaa

+ ……. (6.98)

Dan penyelesaian bentuk ke 2 untuk s=1-c adalah

!)2(

)1();2;1()(

0

112n

x

c

ca xcca F x

nn

n n

n

(6.99)

Dan penyelesaian umum dari PD Kummer adalah jumlah dari penyelesaian bentuk pertama dan

kedua dan dinytatakan sebagai

);;()( 11 xca F A x );2;1(11 xcca F B (6.100)

Untuk |x|→∞ , fungsi );;(1 xca F dapat didekati dengan bentuk

);;(1 xca F

aia xeac

c

)(

)( ca x xea

c

)(

)((6.101)

Dengan menyatakan persamaan diferensial atom H bagian radial dalam bentuk persamaan

differensial Confluent Hypergeometrik, maka fungsi gelombang bagian radial dari atom H dapat

diperoleh dengan sedikit lebih mudah. Dengan membandingkan parameter persamaan diferensial

Confluen Hypergeometrik standard dengan persamaan diferensial bagian radial atom H sebagai

berikut:

01122

2

L

L L

………… (6.63)

Bentuk umum PD Confluent Hypergeometric yang dinyatakan pada persamaan (6.95)



0ax

)xc(Z

x2

2

…………………….. (6.95)

Agar penyelesaian PD berupa polynomial yang berhingga syaratnya: a= -nr

Dan dengan membandingkan pers. (6.63) dan (6.95) diperoleh hubungan

1...,..1,...22 r r nk nataunk ac

dimana:

nr

= bilangan kuantum radial

= bilangan kuantum orbital

k = n =λ= bilangan kuantum utama

Dengan menggunakan syarat batas untuk penyelesaian PD confluent Hypergeometric a= -nr , maka

diperoleh tingkat-tingkat energi elektron yang sama dengan penyelesaian secara langsung fungsi

gelombang bagian radial menggunakan deret, yaitu dengan menggunakan pers (6.45) diperoleh

222

4

2)4( n

em E

o

en

2

2

2n

em

dimana

0

2

0

21

4 nan

me

n

,

Dari pembandingan parameter di atas diperoleh penyelesaian PD Laguerre yang dinyatakan dalam

bentuk Fungsi Confluent Hypergeometrik

);22;1()( 11

12

n F Ln )2;22;1(11 r n F n

(6.102)

Dari pers (6.63) dan (6.95) diperoleh penyelesaian fungsi gelombang bagian radial untuk atom H

dari penyelesaian cara ke 3 yaitu

122/

nnn Le N R R

2/ e N n

)2;22;1(11 r n F n

(6.103)

Dengan mengaplikasikan kondisi normalisasi diperoleh fungsi gelombang atom H bagian radial

secara lengkap, yaitu

r Ler nn

nr R nn

r

nnn

22!12

!2

)!12(

1 12

2/1

3

r

nnn er nn

nr R

2

!12

!2

)!12(

12/1

3)2;22;1(11 r n F n

(6.104)



Contoh penentuan bilangan kuantum radial )1( nnr dan penentuan fungsi Confluent

Hypergeometrik untuk kulit N dengan nomor kulit

Untuk n = 1, )(1

1 L 1)2;2;0(

11

r F n

Untuk n = 4:

n = k nr

k = 4 0

1

2

3

3

2

1

0

untuk harga =0, nr = 3

)2;2;3()2(11

1

4 r F r L = ...!3)(

)2()(

!2)(

)2()(

!1)(

)2()(

!0)(

)2()(

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

0

0 c

r a

c

r a

c

r a

c

r a

= ..0!4)5)(4)(3)(2(

)2)(0)(1)(2)(3(.

!3)4)(3)(2(

)2)(1)(2)(3(

!2)3)(2(

)2)(2)(3(

!1)2(

)2)(3(1

432

r r r r

)2(1

4 r L =24

)2()2(

2

1)2(

2

31

32 r

r r

Untuk

=1, nr = 2,maka diperoleh harga

)2;4;2()2( 11

3

5 r F r L = ..0!3)6)(5)(4(

)2)(0)(1)(2(

!2)5)(4(

)2)(1)(2(

!1)4(

)2)(2(1

32

r r r

)2(3

5 r L =20

)2(

2

)2(1

2r r

Untuk =2, nr = 1, harga )2;6;1(11 r F adalah

)2;6;1(11

5

6 r F L = ..!2)7)(6(

)2)(0)(1(

!1)6(

)2)(1(1

2

r r

)2(5

6 r L = 6

)2(1

r

Dari contoh perhitungan di atas dapat dilihat bahwa untuk setiap nilai deret akan terputus dengan sendirinya karena harga suku tertentu yang menjadi nol.

Untuk n=2;

= 0,1, maka harga bilangan kuantum radial nr = 1, 0 sehingga menghasilkan fungsi

Confluent Hypergeometrik sbb:

)2;2;1()2( 11

1

2 r F r L =

2

)2(1

r r 1

Dan 1)2;4;0()2( 11

3

3 r F r L



r Ler nn

nr R nn

r

nnn 22

!12

!2

)!12(

1 12

2/1

3

r Ler r R r

11

0

1

2/13

110 22!1011.2

!012

)!10.2(

1 1

r e

2

3

1)(2

r Ler r Rr

22

0

22

1

2

3

220 22}))!1(4

!2()2{(

!1

1 1

)1(})2

1()2{( 2

1

2

3

2 r e r )1()(2 2

3

2 r e r

r Ler r R r

23

1

22

1

2

3

221 22}))!0(4

!3()2{(

!3

1 3

r er r R 22

3

221 2)(31

Untuk n=3, harga =0,1,2, maka harga n2 = n - ( +1) =2, 1, 0

Untuk n=3, =0, nr = 2, maka

r Ler r R n

r

nn

22!1033.2

!032

)!10.2(

1 1

3

02/1

3

30

0!3

)2(

)4)(3)(2(

)0)(1)(2(

!2

)2(

)3)(2(

)1)(2(

!1

2

)2(

)2(1)2;2;2()(

3

3

2

33311

1

3

r r r

r F L

2

33311

1

3 )(3

221)2;2;2()( r r r F L

Dan

))(

3

221(2

!23.2

!32 2

33

02/1

3

30 r r er r R r

nn

))(3

221()(2 2

332

3

330 r r er R r

Untuk n=3, =1, nr =1

r Ler r R r

343

2/1

3

331 22!1133.2

!132

)!3(

1 33

0!2

)2(

)5)(4(

)0)(1(

!1

2

)4(

)1(1)2;4;1()(

2

33311

3

4

r r

r F L

2

1)2;4;1()( 3311

3

4

r r F L



)2(3

223

2

5

3313

r rer R

Untuk n=3, =2, nr =0

karena

r Ler r R r

323

2

3

2/1

3

332 22!1233.2

!232

)!12.2(

1 12.2

1)2;6;0()( 311

5

5 r F L

Maka r er r R

2

32

3

332 2103

1 r er 322

7

3103

4

Perhitungan beberapa contoh di atas menunjukkan bahwa penyelesaian fungsi gelombang

bagian radial dapat dilakukan dengan lebih mudah menggunakan penyelesaian PD fungsi

Confluent Hypergeometric yang dinyatakan pada pers (6.102 )

Fungsi gelombang bagian radial

r Rn secara jelas tergantung pada dua bilangan kuantum, n

dan , (atau nr dan

). Ketergantungan r Rn pada sebagai hasil dari penyelesaian persamaan

Schrodinger atom H dengan pemisahan variable seperti yang ditunjukkan pada pers (6.8 ), dengan

dimunculkannya kontribusi dari sumbangan gaya fiktif sentrifugal, yaitu2

)1(

r

, sedangkan bilangan

kuantum utama, n, muncul dari persamaan eigenvalue, yaitu persyaratan bahwa supaya fungsi gelombang

berhingga.

Beberapa fungsin R dituliskan pada tabel 6.2. Dari tabel 6.1 dan 6.2 dapat disimpulkan fungsi

gelombang lengkap ),()(),,( mnmn Y r Rr

dari elektron atom H yang bergerak mengorbit

inti ditunjukkan pada tabel 6.3.

Tabel 6.2 Fungsi Radial yang dinyatakan sebagai fungsi a 0

n n R

1 0 oar o ea /2/32

2 0oar

oo ear a2/2/3

)/2(22

1

2 1oar

oo ear a 2/2/3)/(

62

1

3 0oar

oo ear ar a 3/2

0

22/3)9/4/46(

39

1

3 1oar

ooo ear ar a 3/2/3)3/24)(3/2(

69

1



Grafik rapat probabilitas bagian radial r Rn ditunjukkan oleh gambar 6.3.

Tabel 6.3 Fungsi mn yang dinyatakan sebagai fungsi a 0

3 2oar

oo ear a 3/22/3)3/2(

309

1

n mmn

1 0 0oar

o ea/2/31

2 0 0oar

oo ear a 2/2/3)/2(

82

1

2 1 -1oar

oo ear a 2/2/3)/(

62

1

iesin8

3

2 1 0oar

oo ear a 2/2/3)/(

62

1

cos

4

3

2 1 1oar

oo ear a 2/2/3)/(

62

1

iesin8

3

3 0 0oar

oo ear ar a3/2

0

22/3

)9/4/46(129

1

3 1 0oar

ooo ear ar a 3/2/3)3/24)(3/2(

69

1

cos4

3

3 2 0oar

oo ear a 3/22/3)3/2(

309

1

)1cos3(16

5 2

Gambar 6.3 Rapat Probabilitas sebagai fungsi jarak



Soal

6.1 Persamaan gelombang atom H bagian radial dinyatakan sebagai

0

2

1212

22

2

2

2

R

r mr

e E

m

dr

dRr

dr

d

r e

e

(1)

Bilar

r U r R n

n

)()(

a). Tunjukkan persamaan (1) menjadi

02

122

22

22

2

U

r mr

e E

m

dr

U d

e

e

(2)

b) Bila Bar dimana

2

2

mea B

dan2

2

2 na

e E B

n maka pers (2) berubah menjadi

0

112222

2

nn U

ndr

U d

(3)

c) Bila pers (3) dikalikan dengan

nk nk U k

d

dU

)1(

2

11 dan kemudian diintegralkan secara

bagian, tunjukkan hasilnya adalah 0)12(4

)12()1( 2221

2

k k k k k

k n

k ! (4)

d) tunjukkan bahwa persamaan (4) : d1) menjadi2

1 1

n untuk harga k = 0

d2) menjadi ))1(3(2

1 2 n untuk harga k = 1 dan menjadi 222))1(315(

2

1nn

untuk harga k = 2

6.2 a). Bila pers (1) pada soal 6.1 dibagi dengannU kemudian didiferensialkan ke , tunjukkan

bahwa

2322

122112}{

nnd

d

U

U

d

d

n

n(5)

b). Bila pers (5) dikalikan dengan nU 2 dan kemudian diintegralkan terhadap dari 0 sampai

tunjukkan bahwa hasilnya adalah 132 )21( n (6)

c) Dengan mengkombinasikan pers (4) dan (6) tunjukkan bahwa 133 })1)(2

1({ n

6.3. Dengan menggunakan penyelesaian dengan PD confluen Hypergeometrik, tentukan

40 R , 41 R , 42 R , dan 43 R !

Documents

Bab Vi Atomh Repaired