Beberapa Ulasan Baru Tentang Struktur Aljabar PAPERS/PERT Vol. 9 (2) Aug. 1986/15...aljabar pengecutan

  • View
    217

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Beberapa Ulasan Baru Tentang Struktur Aljabar PAPERS/PERT Vol. 9 (2) Aug. 1986/15...aljabar...

  • Pertanika 9(2), 241-255 (1986)

    Beberapa Ulasan Baru TentangStruktur Aljabar Tensor

    SHAHARIR BIN MOHAMAD ZAIN dan MURIATI BTE MUKHTARfabatan Matematik,

    Pusat Pengajian KuantitatifUniversiti Kebangsaan Malaysia,

    Bangi, Selangor, Malaysia.

    kata Kunci: Tensor; isomorfisma; tarikan balik; tolakan ke depan; pengecutan; hasil darabterkedalam; ruang Riemannan; metrik Riemannan.

    ABSTRAK

    Dalam bidang aljabar tensor klasik, masih terdapat banyak konsep yang belum diformulasi-kan dengan menggunakan konsep-konsep di dalam aljabar multilinear dan analisis atas manifold.Oleh itu, kami cuba menformulasikan semula hal yang dipersoalkan dalam analisis tensor klasikdan beberapa persoalan lain yang kami cam dan leraikan. Persoalan-persoalan tersebut: maknakesetaraan tensor peringkat satu dengan vektor, struktur tarikan balik dan tolakan ke depan, strukturaljabar pengecutan tensor, istilah hasil darab terkedalam, ds2sebagaipembeza dan struktur aljabartensor relatif serta ketumpatan tensor.

    ABSTRACT

    In the field of classical tensor algebra, there still exists a few concepts that have not been for-mulated by using concepts of multilinear algebra and analysis on manifolds. Hence, we have tried toreformulate some matters that arise in classical tensor analysis and a few others that we had identifiedand resolved. These being: the meaning of the equivalence of first order tensor with vector; the pullback and push forward structure, the structure of contraction of tensors, the inner product term, ds"as a differential and the algebraic structure of relative tensors and tensor densities.

    1. PENDAHULUAN

    Usaha ke arah memahami dan menyatukananalisis tensor klasik ke dalam domain analisissejagat dan aljabar multilinear telah dilakukansejak tahun lima puluhan lagi. Walaupunbegitu,sebagaimana yang telab diperkatakan olehShaharir (1984), masih banyak konsep yang ter-dapat di dalam aljabar tensor klasik yang belumdiformulasikan dengan memuaskan denganmenggunakan jargon-jargon dan konsep-konsepdi dalam aljabar multilinear dan analisis atasmanifold. Di dalam kertas ini kami cuba men-jawab sebahagian besar daripada hal yang di-persoalkan itu dan juga persoalan-persoalan lainyang telah kami cam dan leraikannya. Per-soalan-persoalan yang kami leraikan ialahmakna kesetaraan tensor peringkat satu denganvektor, struktur tarikan balik dan tolakan kedepan dalam konteks topologi aljabar, strukturaljabar pengecutan tensor, kesesuaian istilah'hasil darab terkedalam*' di dalam analisis

    tensor klasik dengan hasil darab terkedalam didalam analisis fungsian, ds2 sebagai pembezadan struktur aljabar tensor relatif serta ke-tumpatan tensor.

    2. KESETARAAN TENSORPERINGKAT SATU DENGAN VEKTOR

    Di sini kami akan menjelaskan hubungansebenar antara tensor peringkat satu denganvektor. Memanglah sudah terkenal yang ruangvektor V berisomorfisma dengan ruang dualnyaV* (lihat umpamanya Dodson dan Poston(1979)). Mengikut takrifnya, unsur V* berupatensor kovarian peringkat satu. Oleh itu tensorkovarian peringkat satu berisomorfisma denganvektor.

    Sementara itu memanglah juga terkenalyang V berisomorfisma dengan (V*)* atau ring-kasnya V** menerusi pemetaan v h+ v**

  • SHAHARIR BIN MOHAMAD ZAIN DAN MURIATI BTE MUKHTAR

    (lihat umpamanya Spivak (1970)). Ini menun-jukkan tensor kontravarian peringkat satu(unsur V**) juga berisomorfisma dengan vektor.

    Sekarang kami akan membuktikan bahawadua isomorfisma di atas berbeza di antara satudengan lain. Perbezaan ini akan menjadi jelasapabila kita mempertimbangkan perkaraberikut.

    Andaikan iy : V -K V** sebagai suatupemetaan yang ditakrifkan sebagaii v ( v ) U ) = \ (v)untukvG V, X e V * .

    Jelaslah bahawa i adalah suatu isomor-fisma. Kami akan menunjukkan bahawa, bagisebarang pemetaan linear f : V -* W, gam-barajah berikut kalis tukar tertib.

    w

    v**

    f*

    w**

    Rajah 2.1

    Iaitu, kami akan tunjuk

    w v

    Di sini f** ditakrifkan sebagai

    (f**(S))(\) - s(f*(x))umuk xew*,sev**dan f* : W* -t V* ditakrifkan sebagai(f* ( X)) (u) - X (f(u)), u 6V, X GW*.Pertimbangkan

    vdan v G V

    = i v (v ) ( f (V)). takriff**= (f*(X ))(v)ptakrifiv= X (f(v)), takriff*

    Sementara itu,= (iw

    f(v))( X ), XGW* dan v GV= X(f(v)),takrifiw

    Jadif** o i y = i w = iwo f : iaitu gambarajalkalis tukar tertib.

    Sekarang pertimbangkan gambarajah 1kut pula.

    iV*

    \/

    g -

    w w*

    Rajah 2.2

    Kami akan membuktikan bahawa tidak wuisomorfisma iv : V - V* yang memtgambarajah pada rajah 2.2 di atas kalis txtertib untuk sebarang f yang linear. Kami ]timbahgkan kasusV =W" = W, iaitu gambarajah berikut:

    i x

    g=(f

    Rajah 2.3

    H'

    (f*) ~!Kami hendak tujuk yf

    untuk suatu f dengan sebarang i ^

    Seperti yang disyorkan oleh Spivak (1 e'dengane'(e.) = 5'!.

    Isomorfisma yang tertakrif seperti ini ber-gantung kepada pemilihan asas V; umpamanyajika kita pilih e {^e^.., ^ e J maka kitadapati isomorfisma yang lain pula iaitu:

    B ' : e i e*

    2e'sehinggakan

    Ini berlainan dengan isomorfisma di antaraV dengan V**, kerana untuk itu kita tidak perlumembuat sebarang pemilihan asas.

    Daripada hujah-hujah di atas jelaslah ter-dapat perbezaan di antara kedua-dua jenis iso-morfisma ini. Pencaman V dengan V* jarang

    diamalkan kerana sebab di atas dan juga keranajika kita mempertimbangkan ruang vektor ber-matra tidak terhingga isomorfisma di antara Vdengan V* ini mungkin tidak wujud sama sekali(lihat Dodson & Poston (1979)). Oleh itu didalam analisis, V dengan V** dibezakan; se-dangkan V dengan V** tidak dibezakan lang-sung. Dengan ini pencaman klasik "tensorperingkat satu ialah vektor" haruslah difahamisebagai "tensor kontravarian peringkat satu itu-lah vektor".

    3. STRUKTUR TARIKAN BALIK DANTOLAKAN KE DEPAN DI DALAM

    ANALISIS TENSOR

    Di sini kami mengkaji kesesuaian atautidaknya istilah Tarikan Balik dan Tolakan keDepan di dalam analisis tensor daripada sudutteori kategori dan topologi aljabar. Operasi-operasi ini terdapat di dalam analisis tensormoden seperti Spivak (1965, 1970) danAbraham & Marsden (1978).

    Sifat kefungtoran Tolakan ke Depan(fungtor kovarian) dan Tarikan Balik (fungtorkontravarian) memang sudah diketahui umum(lihat Spivak (1965, 1970) dan Abraham &Marsden (1978)) sungguhpun mereka telahmenyalahgunakan simbol fungtor sebenar yangterbabit di sini, dengan menamakan * atau$ * t sebagai Tarikan Balik (sebenarnya * sahajayang betul) dan * atau * t sebagai Tolakanke Depan (sebenarnya * sahaja yang betul).

    Ini menimbulkan percanggahan tatanama"tensor kovarian" dan "tensor kontravarian"klasik dari segi pandangan kefungtoran sepertiyang telah dibicarakan oleh Spivak (1970),Shaharir (1984) dan Muriati (1984). Hal initidaklah kami minati lagi. Kami lebih berminatkepada struktur aljabar pengoperasi TarikanBalik * dan Tolakan ke Depan * itu. Apakah

    'tatanama ini bersesuaian dengan tatanamaTarikan Balik dan Tolakan ke Luar di dalamtopologi aljabar? Untuk memudahkan perbin-cangan, kami perturunkan takrif-takrif yangberkenaan dahulu.

    PERTANIKA VOL. 9 NO. 2, 1986 243

  • SHAHARIR BIN MOHAMAD ZAIN DAN MURIATI BTE MUKHTAR

    Takrif 3.1 (Tolakan ke Depan dan TarikanBalik dalam analisis tensor)

    Jika : M N difeomorfisma dan

    t ' I [(M), Tolakan ke Depan * (bintang

    ditakrifkan sebagai

    , - 1

    dengan

    C l

    (3.1)

    U l

    c

    mC

    Tarikan Balik * (bintang atas) ditakrifkan se-bagai

    untuk

    t =

    j (N)

    (Takrif ini berupa perbalusan kepada (takrif-takrif dalam susastera yang telah dirujuk diatas).

    Takrif 3.2 (Tolakan ke Luar dan TarikanBalik dalam topologialjabar)

    Andaikan K suatu kategori. Pertimbangkanrajah 3.1 dan 3.2 di bawah. Gambarajah padarajah 3.1 digelar Tolakan ke Luar untuk i ^ ig ,jikkaa) gambarajah itu kalis tukar terbit, iaitu

    *V*i" U 2 Vb) Uj, u 2 memenuhi sifat semesta-^> untuk

    sifat (a); iaitu jika gambarajah pada rajah3.2 kali tukar tertib, maka wujud suatumorfisma unik v : C * C sehinggakanvou { as v r vou2 = v 2 ( i r i f l u J t u 2 , Vjdanv^ morfisma untuk K). Lihat rajah 3.3yang merupakan ikhtisar kepada a) dan b)di atas.

    Rajah (3.2)

    ^ c

    Rajah (3.3)

    Sekarang kami perturunkan takrif TarilBalik. Pertimbangkan rajah (3.4) dan (3.Gambarajah (3.4) digelar Tarikan Balik (uni t > i 2 ) jikkaa) gambarajah itu kalis tukar tertib, iaitu

    b) u i ( u 2 memenuhi sifat semes.ta- 4> unsifat (a); iaitu jika gambarajah pada ra(3.4) kalis tukar tertib maka wujud sumorfisma unik v: C -> C sehinggau io V = v r U 2 v ~ V2* ^ m a t r a J a n 3.6 ymerupakan ikhtisar kepada a) dan b) ini.

    244 PERTANIKA VOL. 9 NO. 2, 1986

  • BEBERAPA ULASAN BARU TENTANG STRUKTUR ALJABAR TENSOR

    i,

  • SHAHARIR BIN MOHAMAD ZAIN DAN MURIATI BTE MUKHTAR

    tensor jenis (r, s) atas manifold M. Di dalamsuatu sistem koordinat piawai jika

    . d x

    3. dx

    maka

    a

    dx

    3 i

    .dxJs);

    iaitu

    Vfi (T)=T *k

    C - l

    jk-lj

    j i

    9i

    j i < .dx J s - l

    = 1 , . . . , r ; k = 1 , 2 , , s .

    Hubungan di antara takrif ini dengan takrifklasik itu jelas, sebab komponen V^(T) ialah

    it . . . i j i . . . i ,1 l r ~ l

    T yang sama dengan

    *1 * V ^k- 1 J Jk * " ' s- 1komponen tensor T yang dikecutkan secaraklasik (Lihat Lawden (1962)).

    Satu pandangan lain tentang proses penge-cutan tensor telah disebut oleh Abraham &Marsden (1978), yang perinciannya telah di-tinggalkan sebagai latihan dan kemudian seba-hagian daripadanya dibincangkan oleh ShaHarir(1984). Cara ini bergantung kepada isomorfismayang wujud di antara ruang tensor jenis (1, 1)dengan ruang pemetaan linear

    L(T q (M); T q ( M ) ) .

    Walau bagaimanapu