Cap 13 - Gravitacao

Sejam todos bem-vindos! Fsica II

Prof. Dr. Cesar Vanderlei Deimling

Bibliografia:

Plano de Ensino

A engenharia a cincia e a profisso de adquirir e de aplicar os conhecimentos matemticos, tcnicos e cientficos na criao, aperfeioamento e implementao de utilidades, tais como materiais, estruturas, mquinas, aparelhos, sistemas ou processos, que realizem uma determinada funo ou objetivo.

Qual a importncia da Fsica em um curso de Engenharia?

Fsica (do grego antigo, physis, "natureza") a cincia que estuda a natureza e seus fenmenos em seus aspectos mais gerais. Envolve o estudo da matria e energia, alm de suas propriedades, abrangendo a anlise de todas as suas consequncias. Busca a compreenso dos comportamentos naturais do Universo, desde as partculas elementares at o Universo como um todo.

Falkirk wheel (Scotland, UK)

Captulo 13 - Gravitao

A Lei da Gravitao de Newton;

O princpio da Superposio;

A Gravitao nas Proximidades da Terra;

Gravitao no Interior da Terra;

A Energia Potencial Gravitacional;

Planetas e Satlites: As Leis de Kepler;

Satlites: rbitas e Energias;

A Lei da Gravitao de Newton;


Geometria (seno, cosseno, tangente, teorema de Pitgoras...);

Vetores (decomposio, montagem, projees, mdulo, vetor unitrio);

Trabalho, Energia cintica, Conservao de energia;

Conservao do momento angular;

Derivadas;

Integrais;


Pr-requisitos

Cap. 13 - A Lei da Gravitao de Newton

Newton enunciou a lei da Gravitao da seguinte maneira: Matria atrai matria na razo direta das massas e na razo inversa do quadrado da distncia que separa as massas.

2

21

d

MGMF

G = 6,67x10-11 m3/kg*s2

122

12

2112 r

r

MGMF

2112 FF

12F

21F

12r

2112 FF

Na forma vetorial temos:

12

1212

r

rr


G = 6,67x10-11 m3/kg*s2

122

12

2112 r

r

MGMF

1212 rrr

12r

2r1

r

y

x

1M2M

12

12

12

1212

rr

rr

r

rr

kzjyixr 1111

kzjyixr 2222

kzzjyyixxr )()()( 12121212

2

12

2

12

2

1212 )()()( zzyyxxr


rr

MGMF

2

2112

r

y

x1M

2M

yF

xF

jsenr

MGMi

r

MGMF cos

2

21

2

2112

G = 6,67x10-11 m3/kg*s2

Exemplo 1: Determinar as componentes da fora conforme o esquema abaixo.

xF yF

Cap. 13 O Princpio da Superposio das Foras

2m

3m

1m

12r

13r13F

12F

resF1

O princpio da superposio de foras usado para determinar a fora resultante em uma partcula devido a uma distribuio de partculas nas vizinhanas.

13121 FFF res

Sistema de 3 partculas:

Sistema de n partculas:

.... 113121 nres FFFF

n

i

ires FF2

11

Para corpos com dimenses finitas: F

FdF

1

23r

jd

MGMi

d

MGMF ABCBresB

2

1

2

2

,

G = 6,67x10-11 m3/kg*s2

Exemplo 2: Determina o mdulo, a direo e o sentido da fora resultante que atua em B conforme o esquema abaixo.


FBA

FBC

FB,res

rr

MGMF

2

2112

Dados: MA = Mc = 4 kg MB = 6 kg d1 = 2 cm d2 = 2*d1 jFiFF BABCresB

,

NjiF resB 104101 66,

2626, 104101 resBF

NF resB6

, 101,4

BCresB FF

cos,

BAresB FsenF

,BC

BA

F

Ftg

o9,75

rr

MGMF

2

2112

G = 6,67x10-11 m3/kg*s2

Exemplo 13-2) pg. 31: A figura abaixo mostra um arranjo de 5 partculas de massas m1 = 8 kg, m2 = m3 = m4 = m5 = 2 kg; a = 2 cm e = 30. Qual a fora gravitacional resultante que atua sobre a partcula 1?

Na direo do eixo x as foras se anulam!

Na direo y temos:

ja

mGmj

a

mGmF res

coscos2

51

2

31,1

ja

mGmF res

cos22

31,1

53 mm NjF res 104,6 -6,1

Como:



Problema 13-13) pg. 50: A figura abaixo mostra uma cavidade esfrica no interior de uma esfera de chumbo de raio R = 4 cm; a superfcie da cavidade passa pelo centro da esfera e toca o lado direito da esfera. A massa da esfera antes da cavidade ser aberta era de M = 2,95 kg. Com que fora gravitacional a esfera de chumbo com a cavidade atrai uma pequena esfera de massa m = 0,431 kg que se encontra a uma distncia d = 9 cm do centro da esfera de chumbo, sobre a reta que liga os centros das esferas e da cavidade?

O problema se resume em calcular a fora gravitacional da esfera macia de chumbo e descontar a contribuio da cavidade, considerando que a mesma fosse composta por chumbo! Como descobrir a massa da cavidade, mc, de raio, r, caso a mesma fosse de chumbo?

c

c

t V

m

V

M

3

4

3

4 33 r

m

R

M c

8

Mmc

22 )(

8

rd

mMG

d

GMmF

NF 91031,8

rR 2


Problema 13-16) pg. 50: Na figura abaixo uma partcula de massa m1 = 0,67 kg est a uma distncia d = 23 cm de uma das extremidades de uma barra de comprimento L = 3,0 m e massa M = 5 kg. Qual o mdulo da fora gravitacional que a barra exerce sobre a partcula?

Cada elemento dm da barra exercer uma fora gravitacional sobre m1.

dr

dm

L

M

2

1

r

dmGmdF

Para cada dm teremos um valor de r diferente! Dessa maneira precisamos escrever dm em funo de dr.

Integrando temos:

drL

Mdm

dL

d

dL

d

drrL

GMmdr

L

M

r

GmdF 21

2

1

dLd

dLd

L

GMm

ddLL

GMm

rL

GMmF

dL

d

111 111

NdLd

GMmF 10

11

1 100,3)23,03(23,0

67,0)5(1067,6

)(

Cap. 13 Distribuies Contnuas de Massa

Exemplo) Calcule o mdulo da fora gravitacional que atua em uma partcula de massa m, distante de x, devido a presena de um anel de massa M e raio R.

Devido simetria do problema, na direo de y as foras se cancelam aos pares.

cos2r

GmdMdFx

m constante; r constante; cos constante, e por isso a integral torna-se de fcil resoluo.

coscos2

0

2 r

GMmdM

r

GmdF

M

Na direo x negativa temos:

y

dF

dF

r dM

222 Rxr

xr cos

22cos

Rx

x

rx

23

222222

Rx

GMmx

Rx

x

Rx

GMmF

Cap. 13 Distribuies Contnuas de Massa

Exemplo) Calcule o mdulo da fora gravitacional que atua em uma partcula de massa m, distante de z, devido a presena de um disco de massa M e raio R.

cos2h

GmdMdFz

RR

zr

rdr

R

GMmzrdr

R

M

zr

z

zr

GmdF

02

322

2

0

22222

22

)(

222 zrh

zh cos

22cos

rz

z

hz

O Fora Gravitacional est orientado na direo de z negativo.

rdr

dM

dA

dM

R

M

22 rdr

R

MdM 2

2

dF

h

m

dM

22 zru rdrdu 2

uuduu

22 2

12

3

222

0

2221

22

zR

z

R

GMm

zrR

GMmzF

R

Cap. 13 A Gravitao nas Proximidades da Terra

A intensidade da fora gravitacional da Terra sobre uma partcula de massa m, localizada fora da Terra a uma distncia r do centro da Terra :

2r

MmGF

Pela 2a Lei de Newton, temos: gmaF

2r

GMag

acelerao da gravidade

Altitude

(km)

(m/s2) Exemplo

0 9,83 Superfcie mdia da Terra

8,8 9,80 Monte Everest

36,6 9,71 Balo tripulado mais alto

400 8,70 rbita do nibus espacial

35700 0,225 Satlites de comunicao

Massa da Terra: 5,98x1024 kg Raio da Terra: 6,37x106 m

2r

MmGmag

A acelerao da gravidade depende da altura, r. (quanto mais alto menor a acelerao gravitacional)

A acelerao da gravidade depende da massa do planeta, M. (quanto menor a densidade do planeta menor a acelerao gravitacional)

Plor

equadorr

2r

GMag

ag e g so denominadas acelerao gravitacional, porm esta acelerao at agora foi considerada constante (g = 9,8 m/s2) mas na realidade ela varivel de acordo com a localizao do corpo.

1. A massa da Terra no est uniformemente distribuda;

V

M

3. A Terra no uma esfera;

A acelerao em queda livre aumenta a medida que avanamos, no nvel do mar, do equador em direo a um dos plos.

EquadorPlo rr

2. A Terra Gira; Ela no um referencial inercial. Existe acelerao centrpeta.

rmr

mvFc

22



O princpio da equivalncia compe a base do postulado fundamental da teria da relatividade geral proposta por Eistein, segundo o qual a gravitao e a

acelerao so equivalentes.

Uma casca esfrica uniforme de matria atrai uma partcula que se encontra fora da mesma como se toda a massa da casca estivesse concentrada no seu centro, o centro de massa!

Uma casca esfrica uniforme de matria no exerce fora gravitacional resultante sobre uma partcula localizada no seu interior

Cap. 13 Gravitao no Interior da Terra

Exemplo 13-4) pg. 35. Calcular a fora gravitacional de uma cpsula que migra em direo ao centro da terra. Considerar a densidade da terra constante.

Calcular a massa da esfera interna posio da cpsula em funo da densidade.

Escrever a equao da fora gravitacional.

F = 4 (G*m*) r/3

Anlogo com a Lei de HooK



r R m

M

r R

Mint

a) Partcula fora da esfera b) Partcula dentro da esfera

3R

rGMmF

Fora gravitacional sobre uma partcula de massa m (a) fora e (b) dentro de uma esfera de massa M com densidade uniforme.

Cap. 13 A Energia Potencial Gravitacional


A Fora Gravitacional conservativa, pois o trabalho realizado por essa fora no depende da trajetria, apenas do ponto final e inicial.

0sdFW

A toda a fora conservativa podemos associar uma energia potencial!

UsdFW

Considerando o trabalho da fora gravitacional, em um deslocamento

de r1 (ponto inicial) e r2 = (ponto final). Alm do mais =

111

)()( 22

rrr

drrGMmsdrr

GMmsdFW

11

r

GMm

r

GMmW

r

dr


1

1

UUUr

GMmW

1r

GMmU

1

1r

GMmUU

Por converso, sempre adotaremos U = 0, e dessa forma temos:

r

GMmrU )(

Para mais de duas partculas:

23

32

13

31

12

21

r

mGm

r

mGm

r

mGmU

M = massa da Terra; r = dist. entre o corpo e o centro da Terra.

dr


Velocidade de Escape: Qual a velocidade mnima que um objeto necessita para atingir o infinito com v = 0?

Da conservao de energia: fi EE

ffii UKUK

GMm

r

GMmmve 02 1

2

1

2

r

GMve

Velocidade de Escape

Fg

v


Exemplo13-5) pg. 39 Um asteride , em rota de coliso com a Terra, tem uma velocidade de 12 km/s em relao ao planeta quando est a uma distncia de 10 raios terrestres do centro da Terra. Desprezando os efeitos da atmosfera da Terra, determine a velocidade do asteride, vf, quando ele atinge a superfcie da Terra.

Fg 10RT

RT

No podemos usar as equaes da cinemtica pois a acelerao varia!

Pela Conservao da Energia temos:

ffii UKUK

R

GMmmv

R

GMmmv fi 2102

22

21010

10

2

22fi

v

R

GM

R

GMv

R

GMvv if

5

92

)1037,6(5

1098,5)1067,6(912000

6

24112

xxv f

smxv f /106,14

Primeira A Lei das rbitas: Os planetas descrevem rbitas elpticas em torno do Sol, que ocupa um dos focos da elipse descrita.

Cap. 13 As Leis de Kepler

b

a = semi-eixo maior b = semi-eixo menor Ra = raio do aflio Rb = raio do perilio e = excentricidade F = foco da elpse

Caso a excentricidade seja: e = 1; elipse muito alongada e = 0; circunferncia

pRaae )(

ap RRa 2

Segunda Lei de Kepler: O segmento imaginrio que une o centro do Sol e o centro do planeta varre reas proporcionais aos intervalos de tempo dos percursos.


111 ,tSA 222 ,tSA

21 AA 21 tt dtd

rdt

rdr

ctedt

dA

2

2

1)(

2

1

cterdt

dA 2

2

1 Do momento angular:

ctesenrmmvrsenL 2vrmprL

Nas situaes em que v perpendicular a r: ppaa rvrv

Terceira lei de Kepler: O perodo do planeta, T, isto , o intervalo de tempo para ele dar uma volta completa em torno do Sol proporcional ao cubo de r, a medida do semi-eixo maior de sua rbita, tambm denominado raio mdio, expressa por:


32

2 4 aGM

T

b

T = perodo; a = semi-eixo maior da rbita; M = massa do corpo central em torno do qual o planeta gira (Sol).

G = 6,67 10-11 N.m2/kg2 a constante gravitacional universal.

Partindo da segunda lei de Newton, temos:

maFr

mv

r

GMm 2

2 rm

r

GMm 22

T

2

Exemplos 13-6) pg. 42. O cometa Halley gira em torno do Sol com um perodo de 76 anos; em 1986, chegou sua menor distncia do Sol, Rp, que vale 8,9x10

10m. a) Qual a maior distncia do sol - a distncia do aflio - Ra. b) Qual a excentricidade da rbita do cometa Halley?


Com base no perodo do cometa obtemos o semi-eixo maior, a. 32

2 4 aGM

T

mTGM

a s 123

1

2

2301131

2

2

107,24

)60)60(24)365(76)(1099,1(1067,6

4

ap RRa 2 mRaR pa121012 103,51092,8)107,2(22

A excentricidade:

pRaae )( a

Rae

p 97,0e

rbita bastante alongada.

Cap. 13 Satlites: rbitas e Energias

Considerando o planeta uma esfera de raio R, determine a velocidade de orbita para uma trajetria

circular de raio r, de um satlite de massa m.

Da segunda lei de Newton, temos:

r

mv

r

GMm 2

2

r

GMv

A Velocidade de orbita para uma trajetria circular no depende da massa do satlite!

Cap. 13 Satlites: rbitas e Energia

Considerando as energias em uma rbita circular:

r

GMv

r

GMmU

2

2mvK

r

GMmK

2

r

GMmE

2

r

Energia Mecnica para uma rbita circular.

Para rbitas elpticas temos:

a

GMmE

2

UKE


Problema 13-68) pg. 54

Duas pequenas espaonaves, ambas de massa m = 2000 kg, esto em rbita circular

em torno da Terra a uma h = 400 km acima da superfcie. Kirk, o comandante de

uma das naves chega a qualquer ponto fixo da rbita 90 s antes de Picard, o

comandante da segunda nave. a) Determinar o perodo e a velocidade das naves.

r

GMv

32

2 4 rGM

T

365

2411

23

2

)1037,6104()1098,5)(1067,6(

4)(

4

T

T

RhGM

T

min3,921054,5 3 sT

)1037,6104(

)1098,5(1067,665

2411

v

smv /1068,7 3


Problema 13-68) pg. 54 (Continuao) Duas pequenas espaonaves, ambas de massa m = 2000 kg, esto em rbita circular em torno da Terra a uma

h = 400 km acima da superfcie. Kirk, o comandante de uma das naves chega a qualquer ponto fixo da rbita

90 s antes de Picard, o comandante da segunda nave. a) Determinar o perodo e a velocidade das naves.

No ponto P da figura abaixo, Picard dispara um retrofoguete instantneo na direo

tangencial orbita, reduzindo a velocidade em 1 %. Depois do disparo a nave

assume uma rbita elptica. Determine; c) a energia cintica e a energia potencial

imediatamente aps o disparo. Na rbita elptica de Picard, quais so: d) a energia

total, e) o semi-eixo maior a e f) o perodo orbital? g) Quantos segundos Picard

chega antes de Kirk no ponto P.

2

2mvK c) Energia Cintica: JK 10

23

1078,52

)1068,7)99,0((2000

c) Energia Potencial: r

GMmU JU 11

65

2411

1018,1)1037,6104(

2000)1098,5(1067,6

d) Energia Total: JE 101110 1002,61018,11078,5 UKE

e) O semi-eixo maior:

a

GMmE

2 m

E

GMma 61063,6

2


Problema 13-68) pg. 54 (Continuao) Duas pequenas espaonaves, ambas de massa m = 2000 kg, esto em rbita circular em torno da Terra a uma

h = 400 km acima da superfcie. Kirk, o comandante de uma das naves chega a qualquer ponto fixo da rbita

90 s antes de Picard, o comandante da segunda nave. a) Determinar o perodo e a velocidade das naves.

No ponto P da figura abaixo, Picard dispara um retrofoguete instantneo na direo

tangencial orbita, reduzindo a velocidade em 1 %. Depois do disparo a nave

assume uma rbita elptica. Determine; c) a energia cintica e a energia potencial

imediatamente aps o disparo. Na rbita elptica de Picard, quais so: d) a energia

total, e) o semi-eixo maior a e f) o perodo orbital? g) Quantos segundos Picard

chega antes de Kirk no ponto P.

f) Perodo:

c) O Tempo que Picard chega antes que Kirk ao completar uma volta ::

33 1037,51054,5 ec TTT

32

2 4 aGM

T

sT 31037,5

sT 170

st 8090170

Cap. 13 Gravitao

Lista de Exerccios:

1, 3, 4, 7, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 17, 21, 24, 25, 29, 32, 33, 37, 38, 49, 54, 61, 65, 68, 89, 97, 99, 103.

Referncias HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Fsica: Eletromagnetismo. 8a ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. Vol.2. TIPLER, P. A.; Fsica para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v.1. SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Fsica: Eletromagnetismo. 12a ed. So Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v.2.

Documents

Cap 13 - Gravitacao