Curs Msded 04

IDentificator: SMT6103004

UVTIDentificator: SMT6102004 Copyright 2008 Radu DOBRESCU Departamentul de Electronica, Telecomunicatii si Inginerie Energetica 01.10.2008

Universitatea VALAHIA din Trgovite Facultatea de Inginerie Electric B-dul Unirii 18-24, Trgovite, Dmbovia, 130056 Tel. 0245 -217683

Universitatea VALAHIA din Targovite Facultatea de Inginerie Electric

Disciplina: Modelarea Sistemelor Dinamice cu Evenimente Discrete Studii de Masterat: Sisteme Moderne de Telecomunicatii, an VI

CURS 4 REPREZENTAREA SED PRIN RETELE PETRI

Retelele Petri permit evidentierea secventei evenimentelor prin marcaje cum ar fi de exemplu cel din figura 2.13.

Pozitie P1 Arc T1 P2 T6 P3 T2 P4 Jeton

1 0 1 Marcaj =0 0 2 0

T3

T4

P5 T5

P6

P7Figura 2.13. Reprezentarea evenimentelor utilizand retele Petri Putem remarca elementele componente ale oricarei retele Petri: pozitii (stari), tranzitii, arce, respectiv jetoane. De asemenea, pentru caracterizarea retelei se utilizeaza marcaje. In esenta, o retea Petri ordinara este definita de multimea pozitiilor (P), multimea tranzitiilor (T), functia de intrare pentru specificarea arcelor care conecteaza pozitiile la tranzitii, functia de iesire pentru specificarea arcelor care conecteaza tranzitiile la pozitii si vectorul de marcaj (M). Marcajul initial la lansarea sistemului se noteaza cu M0.

2.2



In exemplul din figura 2.14 este aratat modul in care se efectueaza o tranzitie intr-un proces specific SED: Se poate observa ca pentru ca sa avem o tranzitie conecta trebuie sa existe cel putin un simbol in fiecare stare precedenta. Efectuarea tranzitiei retrage cate un simbol din fiecare stare de intrare si adauga un simbol in fiecare stare de iesire.

P1 P2 T1 T1

P1 P2 T1

P1 P2

Inainte de efectuarea tranzitiei

P3 P4

P3 P4

P3 P4

P1 P2 T1 T1

P1 P2 T1

P1 P2

Dupa efectuarea tranzitiei

P3 P4

P3 P4

P3 P4

Demonstram in continuare modul in care se poate face modelarea cu retele Petri a unei situatii reale, in cazul nostru utilizarea in comun a unui robot de catre doua masini. Reteau Petri aferenta este prezentata in figura 2.15. Se observa urmatoarele: Exista o situatie de conflict: conflict structural - deoarece pozitia P7 alimenteaza tranzitiile T1 si T4; conflict efectiv - datorat marcajului curent Resursele trebuie partajate intre cele doua masini

P1Apel masina 1

Robot liber

P7

P4Apel masina 2

T1 T3 P2 T2 Masina 1 foloseste robotul Masina 2 foloseste robotul

T4 P5 T5 T6 P6Masina 2 nu are nevoie de robot2.3

Masina 1 nu are nevoie de robot

P3



Modelarea SED cu retele PetriVom incepe prin a constata ca exista doua categorii importante de retele Petri: retele Petri autonome si retele Petri neautonome. Diferenta dintre ele consta in faptul ca in cazul reprezentarii prin retele Petri autonome timpul nu este implicat. In studiul retelelor Petri autonome ne vom limita la prezentarea urmatoarelor tipuri, detaliind si principalele proprietati ale acestora: Retele Petri generalizate Retele Petri colorate Modelarea cu ajutorul retelelor Petri autonome Consideram o retea Petri generalizata. Caracteristica acestui tip de retele este ca fiecare arc are asociata o pondere, iar conectarea si executarea fiecarei tranzitii se face conform ponderii arcului.

P1

inainte de tranzitie

P2 Executare tranzitie 3

P1

Dupa tranzitie

P2

2 T1

2 T1 3

Figura 2.16.

P3

P4

P3

P4

Retele Petri colorate Retelele Petri colorate sunt caracterizate de faptul ca marcajele lor transmit o informatie complexa, permitand de aceea compactarea reprezentarilor grafice, fara a se altera continutul lor informational. Sa consideram de exemplu o coada cu ordinea de servire FIFO (First In First Out primul sosit, primul servit) cu trei celule, asa cum este cea din figura 2.17: Figura 2.17.

Celula 1

Celula 2

Celula 3

Iesire Intrare

2.4



Reprezentarea acestei cozi cu trei celule utilizand o retea Petri obisnuita este urmatoarea:

Celule libere P1 P2 P3

Intrare T0

Iesire T3

T1 P1 Celule ocupate Trecere din celula 1 in celula 2 P2

T2 Trecere din P3 celula 2 in celula 3

Figura 2.18. Reprezentarea cozii sub forma unei retele Petri obisnuite Utilizand retele Petri colorate, reprezentarea aceluiasi proces arata ca in figura 2.19. Se poate observa ca graful de reprezentare este mult mai compact si deci retelele Petri colorate sunt mult mai avantajos de utilizat la reprezentarea proceselor complexe. Figura 2.19. Reprezentarea cozii FIFO utilizand o retea Petri colorata

Celule libere

2 Id +1 Id Id T12 Id {1,2} +1 1 3 P123Salt din celula i in celula i+1 Ieire

Intrare

T0

{1}

T3

{3}

Celule ocupate

Id

Id

O alta observatie care trebuie facuta este aceea ca retelele Petri pot fi utilizate si pentru reprezentarea proceselor continue, cu rezerva ca acestea trebuiesc mai intai transformate in sisteme cu evenimente discrete echivalente, lucru de obicei posibil.

2.5



Modelarea cu ajutorul retelelor Petri neautonome Reamintim ca retelele Petri neautonome depind de timp sau de evenimente externe. Un prim aspect pe care il vom ilustra se refera la sincronizare. Consideram o masina unealta care are doua stari posibile (pornit/oprit). Reprezentarea sub forma de graf a evolutiei masinii utilizand o retea Petri arata astfel:

E1

P1 Masina oprita

T1 P2 E2

Masina lucreaza

T2Se poate observa ca tranzitiile dintr-o stare intr-alta au loc sincron cu producerea urmatoarelor evenimente: Evenimentul E1 - ordin de pornire Evenimentul E2 - ordin de oprire

lucru pus in evidenta in figura 2.21 in care este prezentat graficul evenimentelor.

Momentul initialAparitiile evenimentului E1 Aparitiile evenimentului E2 Marcajul starii P1 Marcajul starii P2

Masina oprit T3 M1 0

M0 =

0 1 Figura 2.21

1 0

0 1

Modelarea prin retele Petri poate insa pune in evidenta si evolutia temporala a sistemului modelat. Sa consideram de exemplu sistemul de productie din figura 2.22: Reteaua Petri care modelelaza acest sistem este prezentata in figura 2.23, punandu-se in evidenta si duratele de prelucrare: 2.6



Masina 1 (1 server)

Masina 2 (2 servere)

Buffer B1

Timp serviciu=5

Buffer B2

Figura 2.22

P1

d1 = 0

T1d2 = 0

P2 T2 P3 T3 M

d2 = 5

P2

d3 = 8

Figura 2.23 Principalele proprietatile ale retelelor Petri Accesibilitate Se spune ca o stare Pi este legata de un marcaj initial M0 daca exista un intreg k astfel incat pentru orice marcaj posibil pornind din M0, numarul de simboluri din Pi nu poate fi mai mare decat k (Pi se spune ca este k-legata). Se spune ca o retea Petri este legata de un marcaj initial M0 daca toate starile sunt legate de M0 (RP este k-legata daca toate starile sunt k-legate). Viabilitatea tranzitie Tj se considera viabila fata de un marcaj initial daca pentru fiecare marcaj Mi *M0 exista o secventa de lansare S din Mi care sa contina tranzitia Tj. o retea Petri se considera viabila fata de un marcaj initial M0 daca toate tranzitiile ei sunt viabile fata de M0. 2.7

Universitatea VALAHIA din Targovite Facultatea de Inginerie Electric Conflicte -


Un conflict structural corespunde existentei unei stari Pj care are cel putin doua stari urmatoare T1,T2,... . Acest conflict este notat prin o pereche continand o stare si un set de tranzitii: Pj,{T1,T2,...}.

-

Un conflict efectiv reprezinta existenta unui conflict structural K si a unui marcaj M astfel incat numarul de simboluri din Pj este mai mic decat numarul de tranzitii urmatoare din Pj care sunt conectate de M. Un conflict efectiv este reprezentat printr-o tripleta: Pj,{T1,T2,...},M.

Metode de reducere a. Reduceri ce conserva probabilitatile de viabilitate si marginire. b. Reduceri cu pastrarea invariantilor Retelei Petri i se poate asocia un graf care reprezinta legaturile intre marcajele corespunzatoare diferitelor pozitii, dupa cum se poate observa din figura 2.24.

P1

P2

M0

T2

T1

T3

P3

P4 T3

T21 1 0 0

1 0 0 1

T1

M0

0 0 1 1 M1 T3 T2

M2

0 1 1 0

M3Figura 2.24.

2.8



Pentru reprezentarea efectelor cantitative, retelelor Petri li se asociaza diferite marimi, ca de exemplu matricea de incidenta, secventa de executare a tranzitiilor, vectorul caracteristic. Matricea de incidenta asociata retelei din figura 2.25 este urmatoarea:

P1

P2

M0

T2

T1

T3

P3T1 T2 T3 1 + 1 0 P 1 1 0 + 1 P 2 W = + 1 1 0 P3 + 1 0 1 P4

P4

Secventa de executie a retelei este: S1=T1 T2 T3 T1 T3 Vectorul caracteristic:

2 T1 S1 = 1 T2 2 T3 Ecuatia fundamentala sau ecuatia starilor: Mi = M0+W*S1 Invariantii marcajelor

1 1 Consideram urmatoarea situatie: F = 0 1 0

1 0 G = 1 0 1

2 1 F + G = 1 1 1

2.9



P T1

P T1

P

P

T1

P

P

P

T2

T3

T2

T3

P

T4

T4

PFigura 2.26.

P

T4

P

P-invarianti (proprietate structurala) F = (1,1,0,1,0) G = (1,0,1,0,1) F+G = (2,1,1,1,1) Componente conservative (proprietate structurala) P(F) = {P1,P2,P4} P(G) = {P1,P3,P5} P(F+G) = {P1,P2,P3,P4,P5} adica reteaua Petri este conservativa Invariantii marcajelor (depind de marcajul initial) m1+m2+m4 = 1 m1+m3+m5 = 1 2m1+m2+m3+m4+m5 = 2 Observatie: Lansarea invariantilor este proprietate duala Astfel, tinand cont de proprietate de conservare structurala si de faptul ca marcajele depind doar de marcajul initial rezulta faptul ca exista posibilitatea reversarii unui ciclu. Exista metode care permit simplificarea retelelor Petri pastrand in acelasi timp si unele proprietati. Astfel metodele de analiza pot fi aplicate pe retele Petri mai simple. Lema1: Reteaua Petri de la punctul a este viabila daca si numai daca reteaua Petri de la punctul e este viabila Lema 2: Reteaua Petri de la punctul a este legata daca si numai daca reteaua Petri de la punctul e este legata

2.10



a

P1

P1

P2

T1

P3 R1

T12

P3

T2

T3

P4

T3

P4 T 4

P5

T4

P5

R2

P1 R1 T123 T12

P1

P3

T4

P5

T3

R1 e P1

T4

P5

T1234

Figura 2.27.

2.11



In continuare vom defini notiunea de graf de evenimente (sau graf de tranzitii). Definitie: O retea Petri este un graf cu evenimente daca si numai daca: fiecare stare are numai o tranzitie de intrare si numai una de iesire ponderea fiecarui arc are valoare unitara

Observatie: intr-un graf de evenimente nu exista conflicte si se respecta proprietatea de sincronizare Definitie: Un graf de evenimente astfel incat, oricare ar fi doua stari Pa si Pq exista un drum PaTa...PiTiPi+1...Pq este denumit graf de evenimente puternic-conectat. Din moment ce exista un drum Pa - Pq si un drum Pq - Pa, atunci exista un drum Pa - Pq - Pa care se numeste circuit. Definitie: Un circuit elementar este un circuit care nu trece de doua ori prin aceeasi stare. Fie R un graf de evenimente avand urmatorul set de circuite elementare C = {C1,C2,...,Ck,...}. Proprietate: Fiecarui circuit elementar ii corespunde un P-invariant astfel incat daca P(Ck) = {P1,P2,...,Pr} este setul de stari din circuitul Ck, atunci M(P1)+M(P2)+...+M(Pr)=M0(P1)+M0(P2)+...+M0(Pr)=M(Ck) Proprietate: Reteaua R este viabila daca si numai daca fiecare circuit elementar contine cel putin un simbol, adica

M(C ) 1 , oricare Ck. k

Proprietate: Fie R un graf de evenimente puternic-conectat cu urmatorul set de tranzitii T = {T1,T2,...,Tm}. Singurul T-invariant este vectorul de m componente {1,1,...,1}. Acesta asigura ca daca exista cateva secvente repetitive, atunci fiecare din ele contine aceeasi tranzitie de acelasi numar de ori. In continuare vom defini notiunea de graf de stari. Definitie: O retea Petri este un graf de stari daca si numai daca: fiecare tranzitie are numai o stare de intrare si una de iesire ponderea fiecarui arc are valoare unitara

Proprietatile grafurilor de stari sunt dualele proprietatilor grafurilor de evenimente. intr-un graf de stari nu exista sincronicitate, dar exista conflicte. Proprietate: Fiecarui circuit elementar din un graf de stari ii corespunde un T-invariant. Proprietate: Fie R un graf de stari puternic-conectat cu urmatorul set de stari P = {P1, P2,..., Pn}. Singurul P-invariant este vectorul cu n componente (1,1,...,1). R este viabila daca si numai daca exista un simbol in retea.

2.12

Documents

Curs Msded 04