Upload
attilaborbely
View
228
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
1/29
ELEMENTE SI PRINCIPII
INGINERIE
Sef lucrari dr. ing. Alin-Iulian DOLAN
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
2/29
PROBLEME DE OPTIMIZARE
OPTIMIZAREA gasirea celei mai bune solutii ale unei probleme,constand in minimizarea (maximizarea) uneifunctii f(x)pe o multime fezabila S:
f (x) min (max),xS
Restrictiile care permit variabilelor de a lua anumite valori si de a exclude alte valori(ex: limitarea pierderilor)
2
Componentele uzuale unei probleme de optimizare
Functia obiectiv este functia care se doreste a fi minimizata (maximizata)(ex: forta intr-o anumita regiune)
Variabilele care afecteaza valoarea functiei obiectiv(ex: geometria si materialul)
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
3/29
Procesul de proiectare a sistemelor
3
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
4/29
Obtinerea de caracteristici prin limitarea dimensiunilor (obtinerea clasei de
precizie impuse pentru transformatoarele de curent integrate intransformatoarele de putere)
Ecranarea optimala a campului electric in echipamentele de IT (obtinereaminimului intensitatii campului electric in domeniul considerat)
Optimizare partiala functie monobiectiv, dependenta de parametrii tehnici aidispozitivului
Probleme de optimizare in inginerie electrica
Probleme de optimizare in camerele de stingere ale aparatelor de IT(obtinerea unei viteze optimale a arcului electric)
Obtinerea de configuratii optimale pentru barele de alimentare
Optimizarea caracteristicilor fortei la electromagneti
Proiectare optimala functie multiobiectiv (volum, masa, cost, consum deenergie, etc.)
4
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
5/29
Abordarea cu modele primare utilizeaza modelul primar direct in
procedura de optimizare
Abordarea problemelor de optimizare
Abordarea cu modele secundare utilizeaza modelele secundare (modele de
de suprafete de raspuns) in procedura de
optimizare
5
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
6/29
TEHNICI DE OPTIMIZARE
Criterii de optimalitate(metode indirecte) Tehnici de cautare(metode directe)
Probleme cu restrictii Probleme fara restrictii
Probleme de programare liniara (PL) functia obiectiv si restrictiile sunt liniare
Probleme de programare neliniara (PN)
functia obiectiv si restrictiile sunt neliniare
6
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
7/29
MINIM GLOBAL / LOCAL
Definitie: Fie x* S intr-o problema PN
O functief(x) den variabile areminim global(absolut) in punctulx*
f(x*) f(x),x S (f(x*) < f(x) minim global strict )
OPTIMIZARE CONCEPTE DE BAZA
Definitie: FieN = {x S, ||x -x*||
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
8/29
VECTORUL GRADIENT (GRADIENTUL)
Definitie: Fie o functie f(x) den variabilex1,x2, ,xnVectorul gradient al functiei f(x) inx* este:
vectorul gradient este normal pe planultangent suprafetei f (x) = ct. in punctul x*
vectorul gradient este orientat in sensul
valorilor crescatoare ale functiei f (x)
8
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
9/29
MATRICEA HESSIANA (HESSIANUL)
Definitie: Fie o functie f(x) de doua ori continua si diferentiabila in punctulx*
Matricea Hessiana a functiei f(x) este:
matricea hessiana este intotdeauna o matricesimetrica joaca un rol important in conditiile
de suficienta pentru optimizare9
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
10/29
FORME PATRATICE. MATRICE DEFINITE
Definitie: Oforma patratica este o functie neliniara avand numai termeni de ordin 2:
undeP = [pij],P M
n x nse numestematricea formei patratice F (x)
Notand aij = (pij +pji)/2, i,j siA = [aij] , (A = matrice simetrica)
Definitie: Daca forma patraticaF(x) > 0,x 0 F(x) =pozitiv definita (PD)
Definitie: O matrice simetricaA este PD, ND, PSD, NSD, IND daca forma patraticaasociata lui A este, respectiv, PD, ND, PSD, NSD, IND 10
(F(x) < 0) (negativ) (ND)
Definitie: Daca forma patraticaF(x) 0,x 0 si cel putin unx 0 a.i.F(x) = 0 F(x) =pozitiv semidefinita (PSD)(F(x)0)
(negativ) (NSD)
Definitie: DacaF(x) > 0 pentru unii vectori siF(x) < 0 pentru alti vectori F(x) =indefinita (IND)
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
11/29
Verificarea valorilor proprii : Fieivalorile proprii ale matriceiA
F(x) este PD (ND) i > 0 (i < 0)
F(x) este PSD (NSD) i 0 (i 0) si cel putin o valoare propriei = 0 F(x) este IND daca unele valorii > 0 si alte valorii < 0
METODE DE VERIFICARE A DEFINIRII / SEMIDEFINIRII
11
Verificarea minorilor principali : FieMk al k-lea minor principal al matriceiA A este PD (ND) Mk > 0 (Mk < 0)
A este PSD (NSD) Mk 0 (Mk 0) si cel putin un minor principalMk = 0
A este IND daca nu se satisfac primele doua conditii
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
12/29
PROBLEME DE OPTIMIZARE FARA RESTRICTII
Conditii necesare si suficiente pentru extremum
Conditii necesare : DacaF(x) are un extremum local (minim, maxim) inx*
sau
Conditii necesare de ordinul 2: DacaF(x) are minim (maxim) local inx*
este PSD (NSD) sau PD (ND) inx*
12
Definitie: Solutia x* senumestepunct stationar
OBS: Un punct stationareste doar candidat pentrupunct optimal
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
13/29
Conditii suficiente de ordinul 2: Daca hessianulH(x*) este PD (ND) inx* x* este un minim (maxim) local pentru functiaf(x*)
OBS: Daca H(x*) este PSD (NSD) atunci este posibil cax* sa nu fie extremum local
Teorema: Daca in punctul stationarx* al functiei f(x), primelen-1 derivate se anuleazasi f(n)(x*) 0 f(x*) are:
13
un punc e n ex une, acan = mpar
un extremum, dacan = par. El va fi un minim (maxim) daca f(n)(x*)0)
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
14/29
PROBLEME DE OPTIMIZARE CU RESTRICTII
Definitie: Un punctx* care satisface restrictiilehi(x*) = 0, i = 1, 2, ,p se numestepunct regular daca gradientii tuturor restrictiilor in punctulx* sunt liniar dependenti
Restrictii egalitate. Conditii necesare. Multiplicatorii lui Lagrange
ex un punc regu ar care es eextremum local si f(x),hi(x*) = 0, i = 1, 2, ,p, diferentiabile intr-o vecinatate a luix*
i* R (multiplicatorii lui Lagrange) astfel incat:
14
Functia lui Lagrange
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
15/29
Restrictii inegalitate
Teorema (conditiile Fritz-John): Fiex* un minim local si f(x),gi(x*) = 0,i = 1, 2, ,m, diferentiabile intr-o vecinatate a luix*
i* R (multiplicatorii lui Lagrange) astfel incat:
si cel putin unul0* 0
(conditii de relaxare)
Numai muliplicatorii Lagrange cecorespund restrictiilor satifacute caegalitati sunt nenuli. Astfel de restrictiise numescactive
I= {i = 1, 2, ,m:gi(x*) = 0} 15
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
16/29
Definitie: Un punctx* care satisfacegi(x*) = 0,i Ise numestepunct regular almultimii fezabile {xRn:gi(x) 0,i = 1, 2, ,m}
gi(x*),iI sunt functii liniar dependente
Teorema (conditiile Kuhn-Tucker): Fiex* un punct regular adica un minimlocal si f(x),gi(x*) = 0, i = 1, 2, ,m, diferentiabile intr-o vecinatate a luix*
i* R (multiplicatorii lui Lagrange) astfel incat:
Definitie: O multimeKse numestecon
xK, 0 xK
K este generat de vectorii x(1),x(2), ,x(m)
16
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
17/29
Restrictii mixte. Conditiile Kuhn-Tucker
Teorema (conditiile KT): Fiex* un punct fezabil si f(x),gi(x),i = 1, 2, ,m,
diferentiabile,hi(x),i = 1, 2, ,p, continuu diferentiabile inx* siI= {i :gi(x*) = 0}
Daca gi(x*),iIsihi(x*),i = 1, 2, ,p sunt liniar independente six* = minim local
i*,i = 1, 2, ,m,i*,i = 1, 2, ,p, (multiplicatorii lui Lagrange) astfel incat:
17
Functia lui Lagrange
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
18/29
1) Teorema (conditiile KT cu variabile slabe): Fiex* solutie locala a PN siconditiile teoremei precedente satisfacute.
Se definestefunctia Lagrange (lagrangeanul) sub forma:
Daca gi(x*),iIsihi(x*),i = 1, 2, ,p sunt liniar independente six* = minim local
variabilele slabe s (m-vector) simultiplicatorii lagrange (m-vector), (p-vector),
Forme echivalente ale conditiilor Kuhn-Tucker
a.i. lagrangeanul este stationar in raport cuxi
,i
,i
si
:
18
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
19/29
2)Impunerea conditiilor de nenegativitate
Conditiile Kuhn-Tucker:
19
Problema demaximizare:
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
20/29
Teorema (conditie necesara de ordinul II)
Fiex* care satisface conditiileKTpentru PN si:
hessianul in punctul de interes al functiei Lagrange. Fieddirectiile fezabile nenule cesatisfac:
Dacax* este punct de minim local
este hessianul lagrangeanului functie dex
Teorema (conditie suficienta de ordinul II)
Fiex* care satisface conditiileKTpentru PN,2L definit analog si directiileda.i.
Fie pentru aceste restrictii cu
Daca x* este un punct de minim local izolat(nu exista nici un alt punct de minim local in vecinatatea luix*) 20
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
21/29
Fie PN
Daca functiaf(x) este continua pe o multime fezabila inchisa si marginita teorema Weirstrass garanteaza existenta minimului global
Pentru PN trebuie verificat daca toate punctele care satisfac restrictiile (egalitati si
PROGRAMARE CONVEXA
21
inegalitati) formeaza o multime inchisa si marginita in n
Apoi se formuleaza conditiileKTpentru PN si se gasesc solutiile
Se evalueazaf (x) in toate puncteleKTsi se selecteaza o solutie care da cea maimica valoare a functieif(x)
OBS: ConditiileKT = conditii necesare pot exista puncteKTcare nu suntpentru minimul local minime globale volum mare de calcule
Daca PN esteconvexa orice minim local = minim global
conditiileKT = conditii suficiente
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
22/29
Definitie: O multimeS se numesteconvexa x(1),x(2) S:
x(1) + (1-)x(2) S, 0 1, adica intregul segment de dreapta dintrex(1)six(2) este inS
Definitie: O functief(x) definita pe o multime convexaS se numesteconvexa (concava)
22
x ,x S, f[x + (1-)x ]f(x ) + (1-)f[x ] 0 1
()
Inegalitati stricte
convexitatestricta
(concavitate)
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
23/29
Teorema: O functief(x) den variabile,x Rn este convexa pe o multime convexaS hessianul Heste PD sau PSDxS
Teorema: Multimea S= {x Rngi(x) 0,i = 1, ,m sihi(x) = 0,i = 1, ,p } esteconvexa dacagi(x) sunt convexe sihi(x) sunt liniare,hi(x) =ai
Tx + bi
Definitie: Dacaf(x),gi(x),i = 1, ,m sunt convexe sihi(x),i = 1, ,p, sunt liniare, problema PN se numesteproblema de programare convexa (PC)
Teorema: Dacax* este minim local pentru pentru o functie convexaf(x) definita pe o
23
mu me convexa x es e m n m g o a
Definitie: Se spune ca este satisfacutaconditia Slater Rn astfel incatgi( ) < 0,gi(x) neliniare,i = 1, ,mx x
Teorema: Fief(x) sigi(x) < 0,i = 1, ,m, diferentiabile si conditia Slater satisfacuta.
x* este solutie a PC conditiile Kuhn-Tucker sunt satisfacute inx*
CONCLUZIE: Dacaf(x) = convexa si multimea fezabilaS = convexa in problema PNconditiile Kuhn-Tucker =conditii necesare si suficiente pentru minimul global
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
24/29
Model de tip circuit magnetic (proiectare optimala) optimizarea electromagnetului unui contactor de curent continuu
Exemple de optimizare in inginerie electrica
1. X1
= A
2. X2 = A1/A
3. X3 = A2/A224. X4 = A3/A34
Variabile de proiectare:
. 5 4 2
Restrictii: geometrice, restrictii pentru bobine,densitatea de flux magnetic in miez,energia cinetica la atingerea contactelor
discretizarea spatiului de proiectare
dupa 5 directii
retea de discretizare 5-dimensionala
24
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
25/29
Model de tip circuit magnetic (proiectare optimala) optimizarea formei polului unui electromagnet de curent continuu
Exemple de optimizare in inginerie electrica
Coordonatele (xi,yi) ale frontiereipolare (punctele de contur)
Variabile de proiectare: Restrictii: densitate de flux magneticconstant B = 0.1T pe zona polara ajugului, limitele coordonatelorxuxi xo,yu yiyo
25
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
26/29
Model de tip camp electric ecranarea campului electric intransformatoarele de curent
Exemple de optimizare in inginerie electrica
ecranarea campului electric intransformatoarele de tensiune
(optimizare partiala)
Variabile: inaltimea si diametrul ecranului
Functia obiectiv: intensitatea campuluielectric pe suprafata exterioara aizolatorului min
Variabile: pozitia si raza ecranelor
Functia obiectiv: intensitatea campuluielectric min
26
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
27/29
Model de tip camp magnetic optimizarea caracteristicii fortei unui electromagnet cu disc feromagnetic in bobina
Exemple de optimizare in inginerie electrica
(optimizare partiala)
Variabile: pozitia si geometria discului
Restrictii: caracteristici electrice si mecanice date
Functia obiectiv: forta initiala F0 max
27
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
28/29
Model de tip mecanic optimizarea miezurilor magnetice la transformatoare
Exemple de optimizare in inginerie electrica
(optimizare partiala)
Variabile: latimile treptelor miezului
a1, , a6
Functia obiectiv: diferentaSdintre ariacercului Sc de diametru Dc si ariaocupata de miez St min
28
7/25/2019 Elemente Si Principii Privind Optimizarea in Inginerie - Curs - A.I.dolan
29/29
Metoda celor mai mici patrate model de ajustare neliniara
Exemple de optimizare in inginerie electrica
(optimizare partiala)
Functia de ajustare: t(x) =a xn +b
29
Variabile: coeficientii a, b, n ai functiei deajustare
Functia obiectiv: suma patratelordiferentelor dintre curba reala sifunctia de ajustare min