Geometria Espacial IV

1 Geometria CASD Vestibulares

Matemática Pedro Paulo

GEOMETRIA ESPACIAL IV

1 – ELEMENTOS DO CILINDRO

Cilindro é um sólido limitado por dois círculos, congruentes e situados em planos paralelos, e por uma superfície lateral. Ele também pode ser obtido pela rotação de um retângulo em torno de um eixo que contém um dos lados do retângulo. O eixo é a reta que contém os centros dos círculos. Os dois círculos são congruentes e são denominados bases. Além disso, o raio da base é denominado raio da base (claro) e o segmento de reta paralelo ao eixo com extremidades nas duas bases é denominado geratriz. Finalmente, a altura do cilindro é a distância entre os dois planos das bases. Na prática: o cilindro é um “prisma” com base circular!

Figura 1 – elementos do cilindro

2 – CLASSIFICAÇÃO DE CILINDROS

Se as geratrizes são perpendiculares às bases, o cilindro é denominado reto. Em caso contrário, o cilindro é denominado oblíquo.

Cilindro Reto

Cilindro Oblíquo

Figura 2 – cilindro reto e cilindro oblíquo

3 – SECÇÃO MERIDIANA É a secção feita no cilindro por um plano que contém o seu eixo.

Figura 3 – secção meridiana do cilindro Observação: A seção meridiana de um cilindro oblíquo é um paralelogramo e a de um cilindro reto é um retângulo de dimensões e , com Observação: Se a seção meridiana de um cilindro reto for um quadrado, temos um cilindro equilátero. Nesse

caso, como o quadrado tem os lados iguais,

4 – ÁREAS E VOLUME DO CILINDRO

4.1 – Área lateral

Seja o raio da base de um cilindro e a sua altura. Planificando a superfície lateral do cilindro, é obtido um retângulo de base e altura . Logo a área lateral de um cilindro é:

4.1 – Área da base

Como a base do cilindro é um círculo de raio , a sua área da base é:

4.2 – Área total

A área total de um cilindro é a soma da área lateral com as áreas das bases. Como cada uma

das duas bases tem área , a área total é:

4.3 – Volume

O volume de um cilindro é o produto da área

da base pela sua altura :

CASD Vestibulares Geometria 2

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Nível I 1. (UFRGS - 11) Um tipo de descarga de água para vaso sanitário é formado por um cilindro com altura de e diâmetro interno de . Então, dos valores abaixo, o mais próximo da capacidade do cilindro é a) b) c) d) e) 2. (ENEM 2ª APLICAÇÃO - 10) Uma empresa de refrigerantes, que funciona sem interrupções, produz

um volume constante de de líquido por dia. A máquina de encher garrafas apresentou um defeito durante horas. O inspetor de produção percebeu que o líquido chegou apenas à altura de dos previstos em cada garrafa. A parte inferior da garrafa em que foi depositado o líquido tem forma cilíndrica com raio da base de . Por questões de higiene, o líquido já engarrafado não será reutilizado. Utilizando , no período em que a máquina apresentou defeito, aproximadamente quantas garrafas foram utilizadas? a) b) c) d) e) 3. (ENEM CANCELADO - 09) Em uma padaria, há dois tipos de forma de bolo, formas 1 e 2, como mostra a figura abaixo.

Sejam o lado da base da forma quadrada, o raio da base da forma redonda, e as áreas das bases das formas 1 e 2, e e os seus volumes, respectivamente. Se as formas têm a mesma altura , para que elas comportem a mesma quantidade de massa de bolo, qual é a relação entre e ? a) b) c)

d) √ e)

4. (FATEC - 11) O volume de um cilindro circular reto de raio é do volume de um bloco retangular com base quadrada de lado . Se o cilindro e o bloco retangular têm alturas iguais, conclui-se que a medida de é

a)

√ b)

√ c)

√ d)

√ e)

√

5. Atividade Proposta nº 9, Geometria Espacial VII 6. Atividade para Sala nº 2, Geometria Espacial VII

7. (UNICAMP - 14) Considere um cilindro circular reto. Se o raio da base for reduzido pela metade e a altura for duplicada, o volume do cilindro a) é reduzido em b) aumenta em c) permanece o mesmo d) é reduzido em 8. (UCS - 12) Um cilindro circular reto tem por secção meridiana um retângulo , o qual, representado no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, tem como vértices os pontos , , e Sendo o eixo do cilindro paralelo ao segmento e as medidas do cilindro dadas em centímetros, a área

lateral do cilindro é, em igual a a) b) c) d) e) 9. (ENEM 2ª APLICAÇÃO - 10) O administrador de uma cidade, implantando uma política de reutilização de materiais descartados, aproveitou milhares de tambores cilíndricos dispensados por empresas da região e montou kits com seis tambores para o abastecimento de água em casas de famílias de baixa renda, conforme a figura seguinte. Além disso, cada família envolvida com o programa irá pagar somente por metro cúbico utilizado.

Uma família que utilizar vezes a capacidade total do kit em um mês pagará a quantia de (considere ) a) b) c) d) e) 10. (ENEM 2ª APLICAÇÃO - 10) João tem uma loja onde fabrica e vende moedas de chocolate com diâmetro de e preço de a unidade. Pedro vai a essa loja e, após comer várias moedas de chocolate, sugere ao João que ele faça moedas com de diâmetro e mesma espessura e cobre a unidade. Considerando que o preço da moeda depende apenas da quantidade de chocolate, João a) aceita a proposta de Pedro, pois, se dobra o

diâmetro, o preço também deve dobrar. b) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto

seria c) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto

seria d) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto

seria . e) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria


Nível II 11. (ENEM - 08) A figura abaixo mostra um reservatório de água na forma de um cilindro circular reto, com de altura. Quando está completamente cheio, o reservatório é suficiente para abastecer, por um dia, casas cujo consumo médio diário é de litros de água.

Suponha que, um certo dia, após uma campanha de conscientização do uso da água, os moradores das casas abastecidas por esse reservatório tenham feito economia de no consumo de água. Nessa situação,

a) a quantidade de água economizada foi de b) a altura do nível da água que sobrou no

reservatório, no final do dia, foi igual a c) a quantidade de água economizada seria suficiente

para abastecer, no máximo, casas cujo consumo diário fosse de litros.

d) os moradores dessas casas economizariam mais de

se o custo de de água para o consumidor fosse igual a

e) um reservatório de mesma forma e altura, mas com

raio da base menor que o representado, teria água suficiente para abastecer todas as casas.

12. (ENEM 2ª APLICAÇÃO - 10) Certa marca de suco é vendida no mercado em embalagens tradicionais de forma cilíndrica. Relançando a marca, o fabricante pôs à venda embalagens menores, reduzindo a embalagem tradicional à terça parte de sua capacidade. Por questões operacionais, a fábrica que fornece as embalagens manteve a mesma forma, porém reduziu à metade o valor do raio da base da embalagem tradicional na construção da nova embalagem. Para atender à solicitação de redução da capacidade, após a redução no raio, foi necessário determinar a altura da nova embalagem. Que expressão relaciona a medida da altura da nova embalagem de suco ( ) com a altura da embalagem tradicional ( )?

a)

b)

c)

d)

e)

13. (UNIFESP - 12) Por motivos técnicos, um reservatório de água na forma de um cilindro circular reto (reservatório 1), completamente cheio, será totalmente esvaziado e sua água será transferida para um segundo reservatório, que está completamente vazio, com capacidade maior do que o primeiro, também na forma de um cilindro circular reto (reservatório 2). Admita que a altura interna em

metros, da água no reservatório 1, horas a partir do instante em que se iniciou o processo de esvaziamento, pôde ser expressa pela função

a) Determine quantas horas após o início do processo

de esvaziamento a altura interna da água no reservatório 1 atingiu e quanto tempo demorou para que esse reservatório ficasse completamente vazio.

b) Sabendo que o diâmetro interno da base do

reservatório 1 mede e o diâmetro interno da base do reservatório 2 mede determine o volume de água que o reservatório 1 continha inicialmente e a altura interna em metros, que o nível da água atingiu no reservatório 2, após o término do processo de esvaziamento do reservatório 1.

14. (FATEC - 13) A figura apresenta a vista superior de uma piscina e suas dimensões internas.

Na figura, temos o seguinte: - é um retângulo de dimensões por e

- é uma semicircunferência com diâmetro Considerando que a profundidade da piscina é constante e igual a , a capacidade da piscina é, em litros, Adote: a) b) c) d) e)

15. Atividade Proposta nº 3, Geometria Espacial VII


16. (ENEM - 10) Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a , e diâmetro da base superior igual a e , respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com de altura, de comprimento e de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura.

Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação para o bebedouro 3?

a)

b)

c)

d)

e)

17. (ENEM - 10) Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato cilíndrico, em três tamanhos, com medidas indicadas nas figuras. O preço do tanque é diretamente proporcional à medida da área da superfície lateral do tanque. O dono de um posto de combustível deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade de armazenamento.

Qual dos tanques devera ser escolhido pelo dono do posto? (Considere ) a) , pela relação área/capacidade de armazenamento

de

b) , pela relação área/capacidade de armazenamento

de

c) , pela relação área/capacidade de armazenamento

de

d) , pela relação área/capacidade de

armazenamento de

e) , pela relação área/capacidade de

armazenamento de

18. (ENEM 2ª APLICAÇÃO - 10) Um fabricante de creme de leite comercializa seu produto em embalagens cilíndricas de diâmetro da base medindo e altura . O rótulo de cada uma custa . Esse fabricante comercializará o referido produto em embalagens ainda cilíndricas de mesma capacidade, mas com a medida do diâmetro da base igual à da altura. Levando-se em consideração exclusivamente o gasto com o rótulo, o valor que o fabricante deverá pagar por esse rótulo é de

a) , pois haverá uma redução de

na superfície

da embalagem coberta pelo rótulo.

b) , pois haverá uma redução de

na superfície

da embalagem coberta pelo rótulo. c) , pois não haverá alteração na capacidade da

embalagem.

d) , pois haverá um aumento de

na superfície


e) , pois haverá um aumento de

na superfície



19. (ENEM 2ª APLICAÇÃO - 10) Uma fábrica de tubos acondiciona tubos cilíndricos menores dentro de outros tubos cilíndricos. A figura mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente em um tubo com raio maior

Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá os tubos maiores em que serão colocados, sem ajustes ou folgas, quatro tubos cilíndricos internos. Se o raio da base de cada um dos cilindros menores for igual a , a máquina por você operada deverá ser ajustada para produzir tubos maiores, com raio da base igual a

a) b) √ c) √

d) ( √ ) e) ( √ )

20. (UFMG - 13) O lucro bruto de uma empresa é a diferença entre a receita obtida com as vendas e o custo de produção. Um determinado fabricante de cerveja só vende latas cilíndricas de alumínio, fechadas, cheias de cerveja, com de altura e de raio. O custo da produção de certo número de latas cheias de cerveja é de real por litro de cerveja e mais reais por metro quadrado de alumínio utilizado na fabricação das latas. A receita da empresa por cada litro de cerveja vendido é de dois reais por litro. Considerando estas informações, a) DETERMINE a receita gerada pela venda de cada

lata de cerveja. b) DETERMINE o custo total de produção de cada lata

de cerveja em função de . c) DETERMINE o valor máximo do preço do

alumínio para que o fabricante não tenha prejuízo.

21. (UFMG - 12) João comprou um balde em forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro da base , e cuja altura medem, cada um deles, . Ele precisa introduzir, nesse balde, verticalmente, uma peça metálica, também em forma ver de um cilindro circular reto, cujo diâmetro da base , e cuja altura medem, respectivamente, e . Suponha que o balde contém água até um nível . Considerando essas informações,

a) Calcule o volume total do balde, em .

b) Calcule o volume total da peça metálica, em . c) João observou que, se a peça fosse introduzida no

balde, de modo que

dela ficassem fora do balde, o

nível da água subiria até atingir a borda, sem transbordar. Suponha que, em seguida, a peça foi introduzida, de modo que a metade dela ficou fora do balde. Determine o volume da água que transborda, nesse caso.

22. (ENEM CANCELADO - 09) Em uma praça pública, há uma fonte que é formada por dois cilindros, um de raio e altura , e o outro de raio e altura . O cilindro do meio enche e, após transbordar, começa a encher o outro.

Se √ e

e, para encher o cilindro do

meio, foram necessários minutos, então, para se conseguir encher essa fonte e o segundo cilindro, de modo que fique completamente cheio, serão necessários

a) minutos. b) minutos. c) minutos. d) minutos. e) minutos.


23. (UERJ - 10) Uma caixa cúbica foi dividida em duas partes por um plano que contém duas diagonais de faces opostas da caixa. Uma das partes acomoda, sem folga, uma lata com a forma de um cilindro circular reto, conforme ilustrado a seguir.

Desprezando as espessuras dos materiais utilizados na lata, na caixa e na divisória, calcule a razão entre o volume do cilindro e o da caixa. 24. (UNESP - 10) Na construção de uma estrada retilínea foi necessário escavar um túnel cilíndrico para atravessar um morro. Esse túnel tem seção transversal na forma de um círculo de raio seccionado pela corda e altura máxima , relativa à corda, conforme figura.

Sabendo que a extensão do túnel é de , que

√ e que

, determine o volume

aproximado de terra, em , que foi retirado na construção do túnel.

Dados:

e √

25. (UNICAMP - 13) A embalagem de certo produto alimentício, em formato de cilindro circular, será alterada para acomodar um novo rótulo com informações nutricionais mais completas. Mantendo o mesmo volume da embalagem, a sua área lateral precisa ser aumentada. Porém, por restrições de custo do material utilizado, este aumento da área lateral não deve ultrapassar . Sejam e o raio e a altura da embalagem original, e R e H o raio e a altura da embalagem alterada. Nessas condições podemos afirmar que:

a)

e

b)

e

c)

e

d)

e

26. (UNICAMP - 11) A caixa de um produto longa vida é produzida como mostra a sequência de figuras abaixo. A folha de papel da figura 1 é emendada na vertical, resultando no cilindro da figura 2. Em seguida, a caixa toma o formato desejado, e são feitas novas emendas, uma no topo e outra no fundo da caixa, como mostra a figura 3. Finalmente, as abas da caixa são dobradas, gerando o produto final, exibido na figura 4. Para simplificar, consideramos as emendas como linhas, ou seja, desprezamos a superposição do papel.

a) Se a caixa final tem de altura, de

largura e de profundidade, determine as dimensões e da menor folha que pode ser usada na sua produção.

b) Supondo, agora, que uma caixa tenha seção

horizontal quadrada (ou seja, que sua profundidade seja igual a sua largura), escreva a fórmula do volume da caixa final em função das dimensões e da folha usada em sua produção.

27. (ESPCEX (AMAN) - 12) A figura abaixo representa dois tanques cilíndricos, e ambos com altura , e

cujos raios das bases medem e √ respectivamente. Esses tanques são usados para armazenar combustível e a quantidade de combustível existente em cada um deles é tal que seu nível corresponde a da altura.

O tanque contém gasolina pura e o tanque contém uma mistura etanol-gasolina, com de etanol. Deseja-se transferir gasolina pura do tanque para até que o teor de etanol na mistura em caia para 20%. Nessas condições, ao final da operação, a diferença entre a altura dos níveis de e será

a)

a)

a)

a)

a)


DICAS E FATOS QUE AJUDAM

1. A altura do cilindro é e como o diâmetro é , o raio da base é . Logo:

Lembre-se que e que 2. O volume de líquido em cada garrafa defeituosa é:

Como o volume de líquido produzido durante é

, o número de garrafas defeituosas é:

3. Como as formas têm a mesma quantidade de massa de bolo, . Além disso, e , logo:

4. Seja a altura do bloco retangular e do cilindro. Sejam a área da base do bloco, a área da base do cilindro, o volume do bloco e o volume do cilindro. Então, e . Logo:

√

√

√

5. Sejam o raio da base de cada copinho, o raio da base da leiteira, a altura de cada copinho, a altura da leiteira, o volume de cada copinho e o volume da leiteira. Note que o problema forneceu os diâmetros das bases, em vez dos raios. Assim, tem-se:

Calcule e que cada copo é enchido até a metade 6. A altura do copo é e como o diâmetro é , o raio da base é . Logo:

Note que do volume deve ser de água e do volume deve ser de açúcar (uma parte de açúcar para cinco partes de água). Logo, o volume de água é

. Lembre-se que

7. Sejam o raio inicial da base do cilindro, o raio final da base do cilindro, a altura inicial do cilindro, a altura final do cilindro, o volume inicial do cilindro e o volume final do cilindro. Então:

(

)

8. Note que e que . Como o eixo do cilindro é paralelo a , a altura do cilindro é . Além disso, como o diâmetro da base é , tem-se que . A área lateral do cilindro é:

9. A altura de um cilindro é e como o diâmetro é , o raio da base é . Logo, o volume de cada cilindro é:

Cada kit é formado por cilindros, logo o volume de

cada kit é . Assim, uma família que utilizar vezes a capacidade total do kit

consome e pagará a quantia de 10. A altura (que é igual à espessura) da moeda de chocolate é constante, então o volume da moeda é diretamente proporcional ao quadrado do raio (e ao quadrado do diâmetro) da moeda. Então, se o diâmetro duplica, o volume da moeda quadruplica e o preço da moeda também deve quadruplicar. 11. Como o volume do cilindro é diretamente proporcional à sua altura, se ocorrer uma economia de no consumo de água, então a altura de água economizada ao fim do dia é de , o que equivale a de 12. O volume da embalagem tradicional é

Como o raio da embalagem nova é metade do raio da embalagem tradicional, o volume da embalagem nova é

(

)

Como a capacidade da embalagem nova é um terço da capacidade da embalagem tradicional, tem-se:

(

)


13. No item a), se é o tempo necessário para a água atigir , . Logo:

Se é o tempo necessário para o reservatório ficar completamente vazio, . Logo:

No item b), note que a altura inicial do reservatório é ( quando ):

O reservatório 1 possui diâmetro da base , logo o

seu raio da base é e o seu volume é

. Logo, o volume do

reservatório é . Como o reservatório 2

possui diâmetro da base , o seu raio da base é

. Então:

14. A área do retângulo é . Como o

semicírculo tem diâmetro , o seu raio é e a

sua área é

. Logo, a área da

base da piscina é . Como a

profundidade da piscina é constante e igual a , a

sua altura é . Então, o seu volume é:

Lembre-se que

15. A figura do problema é a seguinte:

Logo, o cilindro externo possui um raio de e uma altura de , enquanto o cilindro interno possui um raio de e uma altura de . Então o volume do concreto é a diferença entre os volumes dos dois cilindros:

Lembre-se que cada metro cúbico custa

16. Note que a superfície do bebedouro 3 é formada por dois semicírculos e por um retângulo, então assinale a única alternativa que possui dois semicírculos e um retângulo

17. Como o dono quer um tanque com o menor custo

por metro cúbico de capacidade de armazenamento, a

razão entre a área lateral e o volume deve ser mínima.

A razão entre a área lateral e o volume é

Logo, a razão é inversamante proporcional ao raio.

Como a razão deve ser mínima, o raio deve ser o

máximo. Logo, o tanque escolhido deve ser o , que

possui o raio máximo (já que o diâmetro é

) e cuja razão área/capacidade é

18. Como o diâmetro da base é , o raio é e o

volume inicial da embalagem é . Além disso, a superfície lateral inicial da embalagem é

. Seja a nova altura da embalagem. Como o novo diâmetro da base é igual à nova altura, o novo raio da base é . Como o volume final da embalagem é igual ao volume inicial:

(

)

O novo raio da base é . Então, a

nova superfície lateral é . Logo a redução na superfície da embalagem é

, o que corresponde a da superfície original.


Como o raio da base dos cilindros menores é , é um quadrado de lado e diagonal

igual a √ . Assim, o valor de é e o valor

de é √ √ . Então, tem-se:

√


20. No item a), note que o volume de uma lata de

cerveja é . Como , o volume de uma lata de cerveja é No item b), note que a área total de uma lata de

cerveja é Como , a área total de uma lata de cerveja é No item c), o valor máximo do preço para que o fabricante não tenha prejuízo é o valor em que a receita gerada pela venda de cada lata é igual ao custo total de produção de cada lata

21. No item a), como o diâmetro do balde é , o seu raio é e o seu volume

(em ) é No item b), como o diâmetro da peça é , o seu raio é e o seu volume (em ) é

No item c), note que na primeira situação (quando da peça estão fora do balde), da peça fica imerso na água (o que é suficiente para a água subir até a borda). No entanto, na segunda situação (quando da peça estão fora do balde), da peça fica imerso na água. Então, o volume de água que transborda é igual à diferença entre o volume imerso da peça na segunda situação ( ) e o volume

imerso da peça na primeira situação ( ):

22. O volume do primeiro cilindro (o do meio) é

Após a água encher completamente o primeiro cilindro, a figura do problema é a seguinte:

Note que após encher completamente o primeiro cilindro, o volume livre (sem água) do segundo cilindro é igual ao volume de um prisma cuja base é uma coroa circular com raios e e cuja altura é :

[( √ ) ]

Logo, se foram necessários minutos para encher completamente o primeiro cilindro, serão necessários mais para encher completamente o segundo cilindro e terminar de encher a fonte


Seja uma base do cubo, a sua aresta e o

raio da base do cilindro. Sejam , e os pontos em

que a base do cilindro tangencia os lados , e ,

respectivamente. Logo, ,

. Além disso, ,

então

Pelo Teorema de Pitágoras, tem-se que:

√

Pelo Teorema do bico, tem-se que e

que . Logo, tem-se:

√

√ ( √ )

√

Como o cilindro e a caixa cúbica têm a mesma altura, a

razão entre o volume do cilindro e o volume da

caixa é a razão entre a área da base do cilindro

e a área da base da caixa:

(

)

(

√

)

( √ )

√ √


24. Seja o ponto mis alto do túnel e o ponto médio de . A seção transversal do túnel tem o seguinte formato:

A altura do túnel é . Então, tem-se:

Logo

No triângulo retângulo , tem-se:

A área da seção transversal do túnel é a área do setor circular superior (com um ângulo central de ) somada com a área do triângulo . Área do setor circular:

Área do triângulo :

√

Área da seção transversal:

O volume de terra retirado é equivalente ao volume de um cilindro com área da base igual à área da seção e altura igual ao comprimento do túnel:

25. O volume da primeira embalagem é e o volume da segunda embalagem é . Como os volumes das embalagens são iguais:

A área lateral da primeira embalagem é e a área lateral da segunda embalagem é . Como o aumento da área lateral não deve ultrapassar , tem-se:

Substituindo em , e lembrando que :

Substituindo em :

(

)

(

)


26. No item a), a figura do problema é a seguinte:

A caixa de leite final é um prisma cuja base é um retângulo com dimensões e . Então a dimensão da folha inicial é igual ao perímetro da base: Observando a figura do problema, tem-se que é a menor dimensão do retângulo da base:

A dimensão da folha inicial é igual à altura da caixa final , mais o dobro da altura das dobras (são

duas dobras), onde cada dobra tem altura :

No item b), seja o lado da seção quadrada e a altura da caixa. Então a dimensão da folha inicial é igual ao perímetro da base: Observando a figura do problema, tem-se que é a menor dimensão do quadrado da base (que é ):

A dimensão da folha inicial é igual à altura da caixa final , mais o dobro da altura das dobras (são duas

dobras), onde cada dobra tem altura :

O volume da caixa final é:

(

)

27. O volume inicial da mistura no tanque é

( √ )

Como a proporção inicial de etanol é , o volume de

etanol é . Logo:

Como a proporção final de etanol é , o volume de

etanol é do volume final da mistura

no tanque . Logo . Então:

O volume transferido do tanque para o tanque

é . Logo:

O volume inicial da mistura no tanque é

O volume final da mistura no tanque é

. Logo:

Seja a altura final do nível da mistura no tanque .

Como a razão entre o volume final e o volume inicial do

tanque é igual à razão altura final e a altura inicial:

Seja a altura final do nível da mistura no tanque .

Como a razão entre o volume final e o volume inicial do

tanque é igual à razão altura final e a altura inicial:

No final, a diferença entre as alturas é :


GABARITO

1. D 2. B 3. D 4. E 5. A 6. C 7. A 8. B 9. B 10. D 11. B 12. D 13. a) A altura atingiu após e o reservatório 1 ficou completamente vazio após

b) O volume inicial do reservatório 1 é e a altura final do reservatório 2 é 14. A 15. D 16. E 17. A 18. B 19. D 20. a) A receita gerada por cada lata é reais b) O custo de cada lata é reais c) O valor máximo de é

21. a) O volume total do balde é

b) O volume total da peça metálica é

c) O volume de água que transborda é 22. C 23. A razão entre o volume do cilindro e o da caixa é

√

24. O volume de terra retirado foi 25. C 26. a) As dimensões são e

b) O volume da caixa final é

.(

)

27. A

Documents

Geometria Espacial IV