Le difficoltà di Apprendimento nel Calcolo Discalculia evolutiva, difficoltà generali e possibilità di facilitazione

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CalcoloCalcolo

Le difficoltà di Le difficoltà di Apprendimento nel Apprendimento nel

CalcoloCalcoloDiscalculia evolutiva, difficoltà Discalculia evolutiva, difficoltà

generali e possibilità di facilitazione.generali e possibilità di facilitazione.

La Discalculia Evolutiva

• E’ il disturbo delle abilità numeriche ed aritmetiche che si manifesta in bambini di intelligenza normale che non hanno subito danni neurologici.

Ma come funziona lo sviluppo normale di tali abilità?

La Discalculia EvolutivaDibattito sulla genesi delle abilità

aritmetiche e di calcolo:• La conoscenza delle relazioni

numeriche avviene attraverso l’osservazione del mondo,

• I bambini riconoscono il significato cognitivo dell’attività di contare e identificano i numeri come base per l’enumerazione. (abilità innate)

La Discalculia EvolutivaPiaget per primo afferma che il saper

contare e il possedere il concetto di numero rappresentano abilità cognitive evolutivamente differenti:

Le strutture che presiedono alla conoscenza numerica sono da ricondurre al passaggio dal pensiero irreversibile e preoperatorio a quello delle operazioni logiche (reversibile).

La Discalculia EvolutivaSi giunge alla padronanza di un

coordinamento di • dati con diverso genere logico• Dati di ordine spaziale, temporale

e spazio-temporale

La Discalculia EvolutivaSono queste operazioni che garantiscono

al bambino il riconoscimento di valori invarianti come:

• I rapporti spaziali di ordine topologico e metrico

• La quantità e la permanenza della sostanza

• Il peso, la durata e la velocità.

La Discalculia Evolutiva• Robbie Case (2000)Il senso dei numeri dei bambini

dipende dalla presenza di potenti schemi organizzatori (strutture concettuali centrali)

Concetti e relazioni che sottostanno ai compiti.


Lo sviluppo del numero si articola in 3 momenti:

1. Consolidamento di due schemi primitivi uno verbale, digitale e sequenziale (prime operazioni di conteggio verbale) l’altro spaziale e analogico che consente di individuare situazioni di numerosità relativa (di più/di meno) e di operatività concreta (aggiungere/togliere).

La Discalculia Evolutiva2. Interconnessione dei due schemi

precedenti: linea mentale di conteggio in cui i movimenti in avanti ed indietro equivalgono all’applicazione del più e del meno

La Discalculia Evolutiva3. Differenziazione di nuovi elementi,

possibile solo attraverso la rappresentazione delle proprietà numeriche.

Il bambino differenzia così unità, decine, centinaia e a distinguere il numero oggetto dal numero operatore.


La neuropsicologia cognitiva studiando le multiformi prestazioni di adulti cerebrolesi ha proposto un modello di sviluppo ( McCloskey, Caramazza e Basili) caratterizzato dall’indipendenza funzionale tra il sistema dei numeri e il sistema del calcolo.

La Discalculia EvolutivaLa rappresentazione mentale della

conoscenza numerica è indipendente dagli altri sistemi cognitivi.


Il sistema di comprensione trasforma la struttura superficiale dei numeri in una rappresentazione astratta della quantità.

Il sistema di calcolo assume questa rappresentazione come imput per poi manipolarla attraverso il funzionamento di tre componenti: i segni delle operazioni, i fatti aritmetici e le procedure di calcolo.

Il sistema di produzione è l’output del sistema e fornisce le risposte numeriche.

Il sistema dei numeri

Comprende: I processi di comprensione e produzione dei

numeri, Le unità funzionali di elaborazione del codice

arabo e del codice verbale, La differenziazione, all’interno del codice

verbale, tra modalità fonologica e modalità ortografica.

Ognuna di tali componenti può essere dissociata dalle altre.

Il sistema dei numeri• Soggetti adulti cerebrolesi in

grado di distinguere il numero più grande nel codice arabico possono non essere in grado di svolgere lo stesso compito con il codice ortografico.

Il sistema dei numeriNei processi di comprensione e produzione i

numeri vengono riconosciuti e riprodotti nei codici arabico e verbale ma anche elaborati con meccanismi lessicali e sintattici:

Il lessico elabora le singole cifre contenute nel numero

La sintassi elabora le relazioni fra le stesse cifre.Da non dimenticare l’elaborazione semantica del

numero che identifica le informazioni relative alla quantità.

Il sistema dei Numeri.

• Nella codifica verbale di un numero ogni cifra assume un nome diverso a seconda della posizione

• I sistemi di comprensione e produzione hanno il compito di selezione adeguata.

Il sistema dei numeriRispetto al nome abbiamo:1. Numeri primitivi2. Elementi miscellaneiI numeri primitivi appartengono a tre classi distinte che

sono “ordini di grandezza” o “livelli”• Le unità • I teens• Le decine.Ogni numero e caratterizzato dalla classe di appartenenza

e dalla posizione assunta all’interno della stessa classe.

Il sistema dei numeriGli errori lessicali sono quelli all’interno

della classe, riguardano la comprensione e produzione delle singole cifre senza coinvolgere la posizione all’interno del numero.

Sono lessicali errori del tipo 4 al posto di 7. Item critici sono per esempio il passaggio dal sedici al diciasette dove si passa dalla struttura “dici” a quella “decina-unità”.

Il sistema dei numeri• Gli elementi miscellanei (-cento,-

mila,-milioni ecc.) si aggiungono ai numeri primitivi a seconda della loro posizione all’interno di un numero. La loro corretta selezione è opera di meccanismi sintattici e semantici.

Il sistema dei numeriLa sintassi del numero riguarda le

relazioni spaziali fra le cifre (valore posizionale)

Meccanismi sintattici e lessicali sono indipendenti.

Si può codificare perfettamente la singola cifra ma non stabilire rapporti fra le stesse cifre.

Il sistema dei numeriErrori sintattici nella prima fase di

apprendimento;Errori che dipendono dal rispetto

dell’incremento ma confondono la categoria lessicale (1,2,3,4,15,16),

Errori che confondono il livello e non attivano l’incremento di posizione (13,14,40,41,42).

Il sistema dei numeri Errori dovuti allo 0. La produzione dei

numeri nel codice verbale non utilizza mai la parola zero (solo quando denota la quantità assoluta 0). Nella produzione del codice arabo lo zero è necessario e ha un valore posizionale come le altre cifre.

Mancato riconoscimento del valore posizionale delle cifre in genere. In questi casi si può avere una lessicalizzazione completa o parziale del numero da produrre, es. duecentocinquantasette/210057 - ottocentosessantuno/8100601

Il sistema dei numeri Caso degli elementi miscellanei. Sono detti

moltiplicatori perché prendono il posto della potenza di dieci corrispondente. Cento moltiplica sempre una sola cifra mentre gli altri possono moltiplicarne fino a tre. Possono innescare relazioni non soltanto moltiplicative ma additive (in 702 cento moltiplica 7 mentre 2 è addizionato). Si possono produrre errori di due tipi:

Relazioni moltiplicative rese additive (duecento/102, tremilasettanta/1073)

Relazioni additive rese moltiplicative (centocinque/500, centoventitrè/2300, millesette/7000).

Il sistema del calcolo:

E’ necessario sia in entrata che uscita ed è indipendente dal sistema dei numeri.

Vi è indipendenza funzionale anche fra le tre sottocomponenti che lo costituiscono:

1. I segni delle operazioni,(algoritmi +,-,x,:)2. I fatti aritmetici, (tabelline e semplici

operazioni)3. Le procedure di calcolo.(prestito, riporto,

incolonnamento)


Errori nel recupero di fatti aritmetici:• 3+3=9Particolare confusione tra quelli di

addizione e moltiplicazioneDerivazione dall’immagazzinamento degli

stessi: rinforzo della risposta errata. Reiterazione dell’esercizio sbagliato con il rischio dell’automatizzazione dell’errore.


Errori nel mantenimento e recupero delle procedure.Nonostante l’apprendimento di procedure che

facilitano il conteggio, la loro immaturità sovraccarica la memoria con un decadimento mnestico nei compiti più complessi.

L’impossibilità di tenere a mente i risultati parziali può essere ovviato dal segnarsi a parte gli stessi.

Nel caso di difficoltà con la memoria a lungo termine l’abilità di contare avanti e indietro può sostituire i processi di accesso diretto.


Errori nell’applicazione delle procedure• La scelta nelle prime cose da fare

(incolonnamento, posizione dei numeri, segno operatorio o riga).

• La condotta da seguire: 75-6….=71 oppure 28-16=32

• Regole del prestito e riporto 75-58=20• Il passaggio ad una nuova operazione

(perseveranza nel ragionamento precedente)• Progettazione e verifica: non c’è analisi

iniziale e si accetta il risultato senza verifica.


La difficoltà visuospaziale ha un ruolo notevole:

Problema del dettaglio visivo, direzione e sequenza.

Difficoltà di decodifica dei segni, incolonnamento e direzione procedurale.

Tali difficoltà lasciano intatti i processi di calcolo

Strumenti di valutazione delle abilità

di calcolo.• Esistono prove di primo livello:

finalizzate ad un primo screening dei soggetti a rischio.

• Prove di secondo livello: prove diagnostiche finalizzate all’individuazione di specifiche componenti del calcolo e dell’elaborazione del numero deficitarie.


di calcolo.• L'AC-MT è una prova oggettiva per l'accertamento del

livello di apprendimento del calcolo e delle eventuali difficoltà. L'uso è raccomandato soprattutto nelle scuole, per l'accertamento delle competenze di base, e nella routine valutativa presso i Servizi.

• La versione AC-MT 6-10 per la scuola elementare ha prove distinte per le diverse ^ classi della scuola elementare (due per la prima elementare) in modo che gli item siano adatti al livello cognitivo dei bambini che frequentano le classi e ai contenuti di apprendimenti propri di quella classe.


di calcolo.Il test AC-MT è formato da due parti:• una prima parte «Carta matita», che può essere

somministrata in modo collettivo a più bambini contemporaneamente;

• una «Parte individuale» da somministrare singolarmente a ciascun bambino.

Le prove della parte «Carta matita» sono contenute in un fascicolo e sono: operazioni scritte (addizioni e sottrazioni per tutte le classi, moltiplicazioni e divisioni per la terza, quarta e quinta), giudizio di numerosità, trasformazione in cifre (per tutte le classi a eccezione della prima intermedia), ordinamento di numerosità dal minore al maggiore, ordinamento di numerosità dal maggiore al minore.


di calcolo.• Lo scopo di questa prima parte è una verifica

del livello della classe ma anche l'analisi delle competenze del singolo bambino. La durata di questa parte è di circa 25-30 minuti.

• La seconda parte è somministrata in modo individuale dall'esaminatore. Si tratta di altre cinque prove in cui, oltre alla correttezza, si misura anche il tempo impiegato per la soluzione degli esercizi proposti. Le prove sono distinte in: calcolo a mente, calcolo scritto, enumerazione, dettato di numeri, recupero di fatti numerici.

La sua durata è di circa 10 minuti.


di calcolo.ABCA - Test delle abilità di calcolo aritmetico• E’ una prova diagnostica per la discalculia

evolutiva che permette di valutare le competenze delle principali componenti di elaborazione cognitiva del sistema dei numeri e del calcolo. È destinata ai bambini che frequentano il secondo ciclo della scuola elementare.


di calcolo.

Uno strumento usato nella diagnosi di eventuali deficit nell'elaborazione cognitiva, deve fornire informazioni utili sulle principali competenze del sistema preso in considerazione. Solo questo consente di identificare la componente o le componenti responsabili della difficoltà evidenziata e quindi di preparare un programma di intervento adeguato.


di calcolo.• Le prove che costituiscono questa

batteria possono essere raggruppate in tre componenti tra loro parzialmente indipendenti proprio perché richiedono competenze e processi cognitivi diversi.

• La batteria è strutturata in prove di calcolo scritto, di calcolo a mente e di approfondimento


di calcolo.• Le prove di calcolo scritto sono finalizzate all'esame

delle capacità di applicare le procedure di calcolo. Durante l'esecuzione delle operazioni, il bambino deve verbalizzare anche il procedimento usato per eseguire quel compito e l'esaminatore deve annotare accuratamente tali verbalizzazioni, in quanto permettono di ricostruire le procedure di calcolo usate.

• Le prove di calcolo a mente servono a verificare quanto le eventuali difficoltà di calcolo scritto dipendano dall'uso delle procedure e quanto invece da difficoltà derivanti da altre componenti. Il calcolo a mente, infatti, non richiede l'applicazione di alcuna procedura, anche se i soggetti potrebbero cercare di utilizzarla mentalmente.


di calcolo.

• Le prove di approfondimento si dividono in prove di comprensione e prove di produzione e vanno a indagare i rispettivi sistemi.


di calcolo.• Le prove di comprensione esaminano la

conoscenza del valore quantitativo dei numeri e del significato dei segni. In questa sezione si presta attenzione agli errori lessicali, semantici e sintattici. Infatti, attraverso la rappresentazione semantica o concettuale vengono identificati tutti gli elementi che costituiscono il numero, specificando per ciascuno di essi le informazioni relative alle quantità e all'ordine di grandezza.


di calcolo.• Le prove di produzione permettono di

ottenere informazioni sul funzionamento del sistema di produzione dei numeri, che può essere influenzato dalla modalità di presentazione dello stimolo (visiva o uditiva), dalla modalità di produzione della risposta (scritta o verbale), dal codice in cui lo stimolo viene presentato (arabico, grafemico o fonologico) e dal codice in cui la risposta viene prodotta (arabica o fonologica).

Le diverse prove sono raggruppabili per esprimere due diversi quozienti, definiti di numero e di calcolo.

Proposte operativeLo strumento più adeguato per il calcolo sono le nostre

mani. • Il sistema delle mani è il più corretto per spiegare la

complessità del calcolo sia dal punto di vista disciplinare, sia dal punto di vista dell'aderenza psicologica alle funzioni della mente, anche perché le mani hanno tre aspetti importanti legati alla loro conformazione:

• le dita sono allineate• ogni dito è mobile• le dita sono raggruppate in cinquine.• La combinazione di queste tre caratteristiche ci porta a

considerare la fortuna di avere nelle mani un vero calcolatore, una sorta di «computer analogico» che, come una macchina visualizzatrice, è in grado di produrre con solo dieci elementi migliaia di combinazioni, fruibili alla nostra mente, che chiamiamo «numeri».

Proposte operative• Le dita, grazie al loro allineamento,

compongono un sistema di ordine abbastanza regolare, comodo alla vista e soprattutto in grado di essere percepito istantaneamente.

• Inoltre, il fatto che ogni elemento sia mobile fa prefigurare la presenza di un sistema operante in codice binario ON-OFF. Ogni dito in posizione aperta significa 1, e ogni dito in posizione chiusa significa zero.

Proposte operative• Nel lavoro didattico proposto la

rappresentazione delle dita è sostituita da una serie di palline divise ugualmente in cinquine, che mantengono la possibilità di un doppio significato per il fatto di essere colorate o meno.

• Quando tutte le palline sono vuote (non colorate) o quando tutte le dita sono chiuse segnaliamo una serie di 10 zeri.

• La linea così congegnata non indica dunque un prodotto logico, ma solo il suo significato analogico. Partendo da tale rappresentazione possiamo immaginare di costituire a livello mentale una serie di punti luminosi, che come dei led neuronici sono in grado di lavorare in tempo reale a quel gioco analogico che è il calcolo mentale.

Proposte operative• L'utilizzo delle mani nell'apprendimento di

abilità di calcolo è avvalorato da ricerche a livello cognitivo che mettono in luce la stretta connessione tra il modo di elaborare i numeri delle mani e il modo di rappresentarli con la mente: i due procedimenti sono analoghi nel senso che funzionano entrambi «analogicamente», cioè utilizzando immagini. Inoltre, sembra accertato che appartengono alla stessa sede cerebrale gli imput specializzati nel comando delle dita e i circuiti responsabili dell'analisi dei fatti numerici: entrambi sono localizzati nel lobo parietale inferiore sinistro (Butterworth, 1999).

Proposte operativeA cosa si pensa quando pronunciamo il suono «sei»

(codice verbale) o quando scriviamo il simbolo «6» (codice numerico)?

• Come in ogni altra operazione linguistica, ognuno «rovista» nel proprio repertorio mentale alla ricerca di un'immagine. Ma mentre nel linguaggio comune questo è abbastanza facile, nel caso dei numeri il bambino è in difficoltà perché a un termine numerico corrisponde una pluralità di referenze semantiche, che non dipendono solo dal fatto che i dati della realtà non sono formalizzati.

• Esistono infatti diverse rappresentazioni del termine «sei» e a volte sono così diverse che il bambino fatica un bel po' ad accettarne l'intrinseca ambivalenza.

• Quali scegliere?

Proposte operative

• Il piccolo salto di contiguità che si trova tra la quinta e la sesta pallina è la piccola differenza in grado di tragittare l'apprendimento dal campo del ragionamento logico al terreno delle operazioni intuitive. Senza questo piccolo spazio le immagini non potrebbero essere fruite dalla mente in termini di lettura immediata, essendo di 3 o 4 al massimo negli adulti il limite di percezione istantanea della numerosità appartenente alla nostra specie (Butterworth, 1999, p. 285).

• Il numero 5, che supera già tale limite, è riconoscibile per convenzione acquisita come se valesse una sola unità di lettura quando operiamo con le dita. Ma ogni volta che percepiamo una quantità scomposta con l'ordine quinario delle dita, è come se computassimo ogni gruppo come una sola unità.

Proposte operative• La capacità di riconoscere le immagini in ogni situazione

scegliendo la direzione di lettura più economica è quella che intendiamo per conoscenza strategica anticipata o, più semplicemente, abilità di calcolo.

• Una caratteristica costante dei bambini con difficoltà è che non riescono spontaneamente a riconoscere le immagini capovolte, perché adottano sempre la stessa direzione di lettura verso destra. Conservano cioè le immagini primitive delle quantità senza riconoscerle quando sono ribaltate.

• Tuttavia è possibile ridurre questa rigidità procedurale impostando una nuova grammatica degli interventi che parta dalla percezione delle quantità piuttosto che dal concetto di numero.

Proposte operativeSembra necessario quindi costruire una linea

dei numeri più adeguata ai nostri scopi didattici.

Dal punto di vista disciplinare possiamo dire che la attuale rappresentazione corrisponde bene all'idea di progressione lineare e regolare dei numeri e alla definizione di quantità come astrazione degli oggetti. Dal punto di vista dell'apprendimento, invece, è causa di notevoli inconvenienti.

Proposte operative• Innanzitutto i bambini non vedono le quantità: le tacche

che si trovano in corrispondenza dei numeri dovrebbero rappresentare le quantità. E invece no, perché il numero 2 si trova già alla terza tacca.

• Dove sono allora le quantità? Possiamo ipotizzare che, scambiando il pieno per il vuoto, le quantità siano gli spazi che si trovano tra due tacche: e come mai il numero si trova fuori da questo spazio? Possiamo spiegare che le tacche sono solo il confine tra i veri numeri che sono gli spazi.

• Ma in questo modo il bambino, abituato a fare corrispondenza biunivoca tra un dito e un numero, si trova a dover riconvertire le idee: i numeri sono gli spazi vuoti tra un dito e l'altro, e le dita sono solo i confini dei numeri.

Proposte operative

Ed ancora, come mai il numero si trova al termine dello spazio percorso, cioè sul suo confine destro e non su quello sinistro?

• Ne consegue che per esigenze giustificative di tipo disciplinare la linea dei numeri così pensata diventa quasi inutilizzabile per l'apprendimento. Il matematico ha avuto la meglio sulla pedagogia a svantaggio del bambino che, per eseguirvi dei calcoli, è costretto a compiere degli strani salti tra una tacca e l'altra, sempre con la preoccupazione di non lasciarsi imbrogliare dal numero delle tacche, perché quello che conta sono i salti.

Proposte operativeVi sono inoltre altri difetti legati a questo modo

di configurazione della linea dei numeri.• la costante presenza della serie numerica

accanto alle tacche, se risulta utile nel breve momento in cui il bambino impara la serie dei simboli, diventa invece di ingombro quando usa la linea dei numeri per calcolare, in quanto l'ordinalità nel calcolo varia sempre. In più, la mancanza di interspazi tra le cinquine e le decine non permette al bambino di «decollare» dalla fase della conta.

Proposte operativeE’ preferibile proporre agli alunni una linea dei

numeri costruita semplicemente come una serie di punti, suddivisi in modo analogo alle mani e senza la presenza di numerali:

• questa semplice struttura di ordine pensata appositamente per il calcolo è quello che serve al bambino per orientarsi avanti e indietro, come se la percorresse fisicamente. E con questo si può cominciare a operare a livello di progressiva interiorizzazione.

Proposte operative• Se la linea dei numeri tradizionalmente

presente nei libri e nelle aule si rivela di modesto aiuto al bambino nei compiti di calcolo, non molto diverso può essere il giudizio per quanto riguarda un altro strumento utilizzato a scuola: i regoli colorati. Questi «strumenti» concorrono certamente a dare la dimensione cardinale dei numeri elencati nella retta graduata, ma per ciascuno di essi si può parlare di rappresentazione iconica simbolizzata più che di immagine.

Proposte operative• Se calcolare significa camminare

avanti e indietro sulla linea dei numeri, quello che dobbiamo fare è imparare le strategie che permettano di abbreviare i tempi con conseguente risparmio di energie.

Proposte operative• Ho 8 oggetti e ne ho bisogno di altri 7: la

conta utilizza le dita per proseguire il conteggio. È una strategia intelligente, ma che non porta lontano dal punto di vista del calcolo mentale.

• Un altro tipo di strategia riguarda la lettura intuitiva delle quantità disposte nella struttura d'ordine fissa, che chiamiamo «linea dei numeri»,

Proposte operative

• Nel caso di una sottrazione 12-9 il bambino sottrae all'inizio invece che alla fine, per evitare di fare la conta alla rovescia.

• Questo tipo di strategia si rivela la più utile a sviluppare competenze di calcolo mentale. Le quantità disposte sulla linea dei numeri sono le uniche, infatti, che è possibile utilizzare a livello sia percettivo che mentale: l'ordine fisso è il loro fattore fondante.

Proposte operative• L'immagine accostata al risultato aiuta,

come «immagine gancio», il rinvenimento delle lettere iniziali del risultato. Specialmente con bambini che hanno difficoltà di apprendimento, questo tipo di memorizzazione associativa si rivela di grande aiuto (Wood et al., 1998, p. 197): il dato numerico privo di significato viene «colorato» emotivamente dall'immagine accostata.

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