of 24/24
Nekaj dokazov Pitagorovega izreka 1 Nekaj dokazov Pitagorovega izreka 1. 2.

Nekaj dokazov Pitagorovega izreka - Logika4 Nekaj dokazov Pitagorovega izreka 8. Garfieldov dokaz Ploščino trapeza CADE lahko izračunamo na dva načina: kot trapez z osnovnicama

  • View
    11

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Nekaj dokazov Pitagorovega izreka - Logika4 Nekaj dokazov Pitagorovega izreka 8. Garfieldov dokaz...

  • Nekaj dokazov Pitagorovega izreka 1

    Nekaj dokazov Pitagorovega izreka 1.

    2.

  • Nekaj dokazov Pitagorovega izreka 2

    3.

    4.

  • Nekaj dokazov Pitagorovega izreka 3

    5.

    6.

    7. Evklidov dokaz

  • Nekaj dokazov Pitagorovega izreka 4

    8. Garfieldov dokaz

    Ploščino trapeza CADE lahko izračunamo na dva načina: kot trapez z osnovnicama a in b in višino a+b, ali kot vsoto ploščin treh trikotnikov: (a+b)(a+b)/2=c2/2+2a b/2. Enakost pomnožimo z 2 in dobimo: a2+2a b+b2=c2+2a b, kar poenostavljeno pomeni a2+b2=c2.

  • Nekaj dokazov Pitagorovega izreka 5

    9. Da Vincijev dokaz

    A B

    C

    Pitagorov izrek:Če je ABCpravokotnitrikotnik, potemje vsotaploščinrjavega

    in zelenega kvadrata enaka ploščiniroza kvadrata.

    A B

    C

    Nariši trikotnik, ki je skladentrikotnikuABCpodroza kvadratom.

    Novi trikotnik je DKE.

    D E

    K

    A B

    C

    Nariši daljicoHG.Tadeli rjavi kvadrat na dvaskladnatrikotnika

    inenako zeleni kvadrat.

    H

    G

    D E

    K

    A B

    C

    Nariši daljicoCK.Tadeli roza kvadrat na dvaskladnatrapeza,

    ADQOinBOKE.

    H

    G

    D E

    K

    O

    Q

    A B

    C

    Zbriši polovicoploščinna sliki.Štirikotnika ABGHinADKCstaskladna,

    saj imata enake stranicein kote.

    H

    G

    D

    O

    K

    Q

    A B

    C

    Zbriši modre ploščine.Vsotaploščinrjavega in zelenega trikotnika

    je enaka ploščiniroza trapeza.Podvojitevteh treh likovdokazuje izrek.

    H

    G

    D

    O

    Q

  • Nekaj dokazov Pitagorovega izreka 6

    10.

    11. Dva primera pitagorejskih trojk:

    32 42 52

    52 122 132

    12.

    Reference: http://demonstrations.wolfram.com/ http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/

    http://demonstrations.wolfram.com/

  • Ploščina paralelograma in trikotnika 7

    Ploščina paralelograma in trikotnika Izraz za ploščino paralelograma x1y2-x2y1, ki je določen z vektorjema (x1, y1) in (x2, y2), je ena od pomembnejših matematičnih formul. Ploščina trikotnika pa je polovica ploščine paralelograma. Slike prikazujejo grafično izpeljavo te formule.

    Nalogi: Izračunaj ploščino paralelograma.

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    Rešitvi: stran 22

  • Barvni sudoku 8

    Barvni sudoku V n x n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n, tako da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve nastopalo vseh n števil. 1.

    1

    3

    2.

    2 1

    3.

    2

    3

    4.

    3 2

    5.

    1 2

    6.

    3

    1

    7.

    1

    34

    8.

    341

    9.

    31 2

    10.

    3

    14

    11.

    2

    4

    3

    12.

    4

    2

    1

  • Barvni sudoku 9

    13.

    4 1 2

    14.

    3

    2 4

    15.

    3

    1

    2

    16.

    154

    3

    17.

    32

    4

    5

    18.

    23

    14

    19.

    35

    2 1

    20.

    43

    1

    5

    21.

    3 4

    15

    22.

    215

    4

    23.

    45

    3

    1

    24.

    24

    1

    5

    Rešitve: stran 22

  • Labirinti na Fullerjevem zemljevidu 10

    Labirinti na Fullerjevem »dimaxion« zemljevidu Poveži modri piki (rešitve: stran 23): a)

    b)

    c)

  • Poliedri iz plastičnih ploščic 11

    Poliedri iz plastičnih ploščic S plastičnimi ploščicami lahko sestavimo pravilne in delnopravilne poliedre, prizme, antiprizme ter različna tlakovanja.

    Tule pa predstavljamo še nekaj posebnosti. Kocko lahko razdelimo na četverec in štiri pokončne tristrane piramide:

    Kocko lahko razdelimo s šestkotnim presekom na dva skladna dela:

    Kocko lahko razdelimo s pravokotnim presekom na dva skladna dela:

  • Poliedri iz plastičnih ploščic 12

    Poševno tristrano prizmo lahko razdelimo na tri po prostornini enake tristrane piramide:

    Tristrano piramido lahko razdelimo na dve manjši tristrani piramidi (podobni prvotni) in dve tristrani poševni prizmi.

    Razdelitev četverca na dva skladna dela:

    Razdelitev četverca na štiri skladne dele:

    Še ena razdelitev četverca na štiri skladne dele:

    Iz štirih poševnih šeststranih prizem in štirih poševnih kvadratnih prizem lahko sestavimo prisekani osmerec.

    Mreža, iz katere lahko sestavimo dva različna poliedra:

  • Poliedri iz plastičnih ploščic 13

    Kombinacija osmerca in kocke:

    Dvostabilna antiprizma:

    Če nimamo zlatih rombov, si lahko pomagamo z rombi iz dveh enakostraničnih trikotnikov.

    Fleksibilnost Petrijevega satovja:

    Dve satovji iz šestkotnikov:

  • Poliedri iz plastičnih ploščic 14

    Schwartzovi poliedri:

    Infinitezimalno fleksibilen Schwartzov polieder:

    Infinitezimalno fleksibilen Masonov deltaeder:

    Infinitezimalno fleksibilen mali ozvezdeni dvanajsterec iz ploščic Jovo (odnos kraka in osnovnice je 2:1):

    Piramida z dvema naklonoma:

    Stopničasta piramida:

  • Logične naloge 15

    MihaJankoIzidorMarkoigralecpolitikpolicistodvetnik

    kinroG

    kajroG

    cjnarK

    kavoN

    celargi

    kitilop

    tsicilop

    kintevdo

    ToneMarkoAndrejigraleckuharekonomist

    kajroG

    poR

    pujroG

    celargi

    rahuk

    tsimonoke

    Logične naloge 1. Štirje prijatelji (Miha, Janko, Izidor, Marko) z različnimi priimki (Gornik, Gorjak, Kranjc, Novak) imajo različne poklice (igralec, politik, policist, odvetnik). Za vsakega določi ime, priimek in poklic, če veš: 1. Gornik ni ne policist ne igralec. 2. Janko ni ne igralec ne odvetnik. 3. Gorjak je po poklicu politik. 4. Marko ni odvetnik. 5. Miha je policist. 6. Kranjc ni po poklicu policist.

    MihaJankoIzidorMarko

    ime priimek poklic

    2. Trije prijatelji (Tone, Marko, Andrej) z različnimi priimki (Gorjak, Rop, Gorjup) so različnih poklicev (igralec, kuhar, ekonomist). Za vsakega določi ime, priimek in poklic. 1. Gorjup ni ne kuhar ne igralec. 2. Marko ni igralec. 3. Rop ni po poklicu igralec. 4. Tone je kuhar.

    ToneMarkoAndrej

    ime priimek poklic

  • Logične naloge 16

    JanezPeterTonematematikmizarpolitik

    kajroG

    rapiL

    jlirG

    kitametam

    razim

    kitilop

    JanezJureCeneoptikpolicistsodnik

    cnajroG

    renfaH

    rebaG

    kitpo

    tsicilop

    kindos

    Nagrajenci iz prejšnje številke: - EVA ŠTEFANČOČ, IL.

    BISTRICA - TJAŽ SILOVŠEK,

    VELENJE - ANJA STOPAR, LAŠKO - JERNEJ KOBAL,

    RENČE - NINA KUKOVIČIČ,

    SENOVO - MATEJA BABIČ,

    ORMOŽ - JANA MLINAREC,

    JESENICE

    3. Trije prijatelji (Janez, Peter, Tone) z različnimi priimki (Gorjak, Lipar, Grilj) so različnih poklicev (matematik, mizar, politik). Za vsakega določi ime, priimek in poklic. 1. Gorjak ni ne politik ne mizar. 2. Lipar ni po poklicu mizar. 3. Peter ni matematik. 4. Tone je politik.

    JanezPeterTone

    ime priimek poklic

    4. Trije prijatelji (Janez, Jure, Cene) z različnimi priimki (Gorjanc, Hafner, Gaber) so različnih poklicev (optik, policist, sodnik). Za vsakega določi ime, priimek in poklic. 1. Gaber je po poklicu sodnik. 2. Janez se ne piše ne Hafner ne Gorjanc. 3. Gorjanc ni po poklicu policist. 4. Cene ni optik.

    JanezJureCene

    ime priimek poklic

    Rešitve: stran 23

  • Futošiki 17

    Futošiki V n x n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n, tako da bo v vsaki vrstici in v vsakem stolpcu nastopalo vseh n števil ter da bodo izpolnjene vse relacije. x|y pomeni, da x deli y, x·2y pomeni 2x=y, x+2y pomeni x+2=y ... 1.

    2

    1

    3

    2

    2

    2.

    2

    2

    1

    3.

    3

    1

    1

    4.

    2

    2

    1

    5.

    3

    2

    :2

    1 1

    6.

    2

    3

    :2

    7.

    3

    2

    :2

    1

    8.

    4

    2

    2

    :2 1

    9.

    3

    1

    2

    2

    10.

    4

    4

    1

    2

    11.

    4

    3

    1

    12.

    2

    2

    2

    1

  • Futošiki 18

    13.

    3

    4 2

    2

    2

    14.

    5 4

    1

    1

    1 :2

    15. 2

    3

    4

    2

    2

    2

    16.

    2

    5

    5 1

    1

    1

    Rešitve: stran 23

    17.

    2

    5

    1

    2

    18.

    5

    3

    5 2

    1

    1

    19.

    3

    2

    1 5

    1

    2

    20. 5

    4 1

    2

    2

    21. 2 5

    3 4 5

    3

    4

    3

    1

    2

    1

    22. 3 5

    2 6

    6 2

    1

    2

    2 2

    23. 3 1

    4

    6 2

    1 4

    5

    1

    2

    24. 2 4 5

    2

    1

    3 6

    3

    2

    2

  • Poišči nasprotne mejne ploskve 19

    Poišči nasprotne mejne ploskve 1.

    2.

    3.

    4.

    Referenca: Izidor Hafner "Find the Opposite Face" http://demonstrations.wolfram.com/FindTheOppositeFace/ Wolfram Demonstrations Project

    Rešitve: www.logika.si

    http://demonstrations.wolfram.com/author.html?author=Izidor%20Hafnerhttp://demonstrations.wolfram.com/FindTheOppositeFace/http://demonstrations.wolfram.com/FindTheOppositeFace/http://demonstrations.wolfram.com/

  • Grafi funkcij in njihove transformacije 20

    Grafi funkcij in njihove transformacije V naslednjih nalogah bomo uporabili nekaj demonstracij, napisanih v mathematici. 1.

    2.

    3.

  • Grafi funkcij in njihove transformacije 21

    4.

    5.

    6.

    Rešitve: www.logika si

  • Rešitve 22

    Rešitve Stran 7: Ploščina paralelograma in trikotnika: 16, 12 Stran 8: Barvni sudoku 1.

    2

    1

    3

    1

    3

    2

    3

    2

    1

    2.

    3

    1

    2

    2

    3

    1

    1

    2

    3

    3.

    1

    2

    3

    2

    3

    1

    3

    1

    2

    4.

    2

    3

    1

    3

    1

    2

    1

    2

    3

    5.

    1

    2

    3

    2

    3

    1

    3

    1

    2

    6.

    1

    3

    2

    3

    2

    1

    2

    1

    3

    7.

    2

    1

    3

    4

    1

    3

    4

    2

    3

    4

    2

    1

    4

    2

    1

    3

    8.

    1

    2

    3

    4

    4

    1

    2

    3

    3

    4

    1

    2

    2

    3

    4

    1

    9.

    4

    3

    2

    1

    3

    4

    1

    2

    1

    2

    4

    3

    2

    1

    3

    4

    10.

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    4

    3

    3

    4

    1

    2

    2

    1

    3

    4

    11.

    1

    2

    4

    3

    3

    4

    2

    1

    4

    1

    3

    2

    2

    3

    1

    4

    12.

    3

    1

    2

    4

    1

    3

    4

    2

    4

    2

    3

    1

    2

    4

    1

    3

    13.

    3

    2

    4

    1

    4

    3

    1

    2

    1

    4

    2

    3

    2

    1

    3

    4

    14.

    1

    2

    4

    3

    3

    1

    2

    4

    2

    4

    3

    1

    4

    3

    1

    2

    15.

    4

    2

    3

    1

    3

    1

    4

    2

    1

    3

    2

    4

    2

    4

    1

    3

    16. 1

    3

    5

    2

    4

    4

    1

    3

    5

    2

    3

    2

    1

    4

    5

    5

    4

    2

    1

    3

    2

    5

    4

    3

    1

    17. 2

    1

    5

    4

    3

    1

    4

    3

    5

    2

    4

    2

    1

    3

    5

    3

    5

    2

    1

    4

    5

    3

    4

    2

    1

    18. 4

    5

    1

    2

    3

    1

    2

    3

    4

    5

    5

    3

    4

    1

    2

    3

    1

    2

    5

    4

    2

    4

    5

    3

    1

    19. 4

    1

    3

    5

    2

    5

    2

    4

    1

    3

    3

    4

    5

    2

    1

    2

    5

    1

    3

    4

    1

    3

    2

    4

    5

    20. 3

    2

    4

    1

    5

    2

    3

    5

    4

    1

    1

    4

    2

    5

    3

    5

    1

    3

    2

    4

    4

    5

    1

    3

    2

    21. 2

    1

    5

    3

    4

    5

    4

    1

    2

    3

    3

    5

    2

    4

    1

    1

    3

    4

    5

    2

    4

    2

    3

    1

    5

    22. 3

    4

    2

    1

    5

    4

    2

    3

    5

    1

    2

    1

    5

    3

    4

    1

    5

    4

    2

    3

    5

    3

    1

    4

    2

    23. 5

    1

    3

    4

    2

    1

    2

    4

    5

    3

    2

    4

    5

    3

    1

    4

    3

    2

    1

    5

    3

    5

    1

    2

    4

    24. 1

    2

    3

    5

    4

    3

    4

    5

    2

    1

    4

    5

    1

    3

    2

    2

    3

    4

    1

    5

    5

    1

    2

    4

    3

  • Rešitve 23

    Stran 8: Labirinti na Fullerjevem »dimaxion« zemljevidu a)

    28

    7

    8

    3

    5 2023

    2427

    2526

    12

    10

    119

    171819

    16

    2122

    14 15

    13

    1 2

    6

    4

    b)

    23 2

    1

    17

    18

    192021

    25

    3

    4 7

    5

    15

    16

    14

    8 9

    10

    13

    6 11

    12

    24

    22

    26

    c)

    4 23

    35

    16

    17

    18

    6

    14

    15

    79

    3233

    34

    36

    23 24

    22

    2021

    27

    12

    13 19

    8

    11

    31

    10

    28

    25 30

    26 29

    1

    5

    Stran 17: Futošiki 1.

    4 2 3 1

    1 3 2 4

    2 4 1 3

    3 1 4 2

    2.

    4 1 3 2

    3 2 4 1

    2 4 1 3

    1 3 2 4

    3.

    4 1 2 3

    1 2 3 4

    3 4 1 2

    2 3 4 1

    4.

    1 3 2 4

    2 1 4 3

    3 4 1 2

    4 2 3 1

    Stran 15: Logične naloge 1. Marko, Kranjc, igralec; Janko, Gorjak, politik; Miha, Novak, policist; Izidor, Gornik, odvetnik 2. Andrej, Gorjak, igralec; Tone, Rop, kuhar; Marko, Gorjup, ekonomist 3. Janez, Gorjak, matematik; Peter, Grilj, mizar; Tone, Lipar, politik 4. Jure, Gorjanc, optik; Cene, Hafner, policist; Janez, Gaber, sodnik

  • Rešitve 24

    5.

    4 2 1 3

    3 4 2 1

    1 3 4 2

    2 1 3 4

    6.

    1 4 3 2

    4 3 2 1

    2 1 4 3

    3 2 1 4

    7.

    1 4 3 2

    3 2 1 4

    4 1 2 3

    2 3 4 1

    8.

    1 4 3 2

    2 3 4 1

    3 1 2 4

    4 2 1 3

    9.

    4 3 2 1

    3 1 4 2

    1 2 3 4

    2 4 1 3

    10.

    3 2 4 1

    2 3 1 4

    1 4 2 3

    4 1 3 2

    11.

    3 4 1 2

    2 3 4 1

    1 2 3 4

    4 1 2 3

    12.

    3 1 4 2

    2 3 1 4

    4 2 3 1

    1 4 2 3

    13. 1 2 4 3 5

    3 1 5 2 4

    2 5 1 4 3

    5 4 3 1 2

    4 3 2 5 1

    14. 1 2 3 5 4

    2 5 1 4 3

    5 1 4 3 2

    4 3 2 1 5

    3 4 5 2 1

    15. 4 2 5 3 1

    2 4 1 5 3

    1 3 2 4 5

    5 1 3 2 4

    3 5 4 1 2

    16. 1 3 4 2 5

    3 4 5 1 2

    5 2 3 4 1

    2 5 1 3 4

    4 1 2 5 3

    17. 5 4 1 2 3

    2 5 4 3 1

    3 1 2 5 4

    4 2 3 1 5

    1 3 5 4 2

    18. 1 3 2 5 4

    5 4 3 2 1

    2 1 5 4 3

    3 2 4 1 5

    4 5 1 3 2

    19. 3 5 2 4 1

    5 1 4 2 3

    4 2 1 3 5

    2 3 5 1 4

    1 4 3 5 2

    20. 3 4 1 5 2

    4 3 5 2 1

    1 2 3 4 5

    2 5 4 1 3

    5 1 2 3 4

    21. 2 5 3 1 4 6

    1 3 4 2 6 5

    3 4 1 6 5 2

    6 1 2 5 3 4

    5 2 6 4 1 3

    4 6 5 3 2 1

    22. 4 6 3 1 2 5

    2 5 6 3 1 4

    6 2 1 5 4 3

    5 3 2 4 6 1

    1 4 5 2 3 6

    3 1 4 6 5 2

    23. 4 3 5 6 2 1

    1 6 3 2 5 4

    6 2 4 5 1 3

    5 4 6 1 3 2

    2 5 1 3 4 6

    3 1 2 4 6 5

    24. 6 2 3 4 1 5

    2 4 1 5 6 3

    5 1 2 3 4 6

    3 6 5 1 2 4

    4 5 6 2 3 1

    1 3 4 6 5 2

    Izdaja: Založniško podjetje LOGIKA d.o.o., Svetčeva pot 11, 1241 Kamnik. Poslovni račun pri NLB: 02312-0016592829. Davčna številka: SI56917309. Podjetje je obvezni zavezanec po zakonu o DDV. Za izdajatelja: Izidor Hafner. E-mail: [email protected] Spletna stran: http://www.logika.si. Revija Logika & razvedrilna matematika je vpisana v register medijev pri Ministrstvu za kulturo pod številko 759. Revijo je sofinanciralo Ministrstvo za izobraževanje, znanost, kulturo in šport. Strokovni pokrovitelj: Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko - oddelek za teoretično računalništvo.

    Glavni in odgovorni urednik: dr. Izidor Hafner (http://matematika.fe.uni-lj.si/people/izidor/homepage/) Člana časopisnega sveta: prof. dr. Tomaž Pisanski in Darjo Felda, prof. Recenzent: Vilko Domajnko, prof. Sodelavci: mag. Urša Demšar, dr. Gregor Dolinar, Petra Grošelj, Monika Kavalir, dr. Meta Lah, Boštjan Kuzman,Teja Oblak, Hiacinta Pintar, Maja Pohar, mag. Katka Šenk in dr. Aleš Vavpetič. Oblikovanje: Ana Hafner Jezikovni pregled: Barbara Janežič Bizant Tisk: Tiskarna Littera picta, Rožna dolina c. IV/32-36, Ljubljana. Naklada: 600 izvodov.

    Za objavljene prispevke ne plačujemo honorarjev.

    © 2013 LOGIKA d.o.o. ISSN 0354 0359 LOGIKA & RAZVEDRILNA MATEMATIKA, letnik XXII, št. 4 od 4, 2012/2013 Cena revije: letna naročnina 17 € (8,5% DDV je vključen). Posameznih številk ne prodajamo. Naročnina za posameznike velja do pisnega preklica.

    /ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False

    /CreateJDFFile false /Description > /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ > /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ]>> setdistillerparams> setpagedevice