Elementos de lógica simbólica

T E L M A B . D E N U D L E R - Ó S C A R N U D L E R

E D I T O R I A L

KAPELUSZ 23403

TELMA BARREIRO DE NUDLER - ÓSCAR NUDLER

ELEMENTOS DE LÓGICA SIMBÓLICA

E D I T O R I A L

M O R E N O 3 7 2 B U E N O S A I R E S

Todos los derechos reservados por (©, 1973) EDITORIAL KAPELUSZ S.A. - Buenos Aires. Hecho el depósito que establece la ley 11.723.

Publicado en setiembre de 1973.

LIBRO DE EDICIÓN ARGENTINA. Printed in Argentina.

Í N D I C E

1. El o b j e t o d e la l ó g i c a

§ 1. ¿De qué se ocupa la lógica? 1 § 2. La lógica y lo "lógico" 3 § 3. ¿Qué es un razonamiento? 4 § 4. Razonamiento deductivo y no deductivo 6 § 5. ¿Qué es un razonamiento correcto? 7 § 6. Validez y verdad 11 § 7. El proceso de abstracción. Las formas lógicas 12

Notas al capítulo 1 14

2 . L ó g i c a p r o p o s i c i o n a l

§ 1. Proposiciones atómicas y moleculares. Conectivas 15 § 2. Tablas de verdad 18 § 3. Funciones de verdad. Extensionalidad de las conectivas 22 § 4. Conectivas lógicas y lenguaje usual 24 § 5. Simbolización 30 § 6. Tautología, contradicción y contingencia. Consistencia e incon­

sistencia. Tautología y ley lógica 32 § 7. Leyes de la lógica proposicional 35 § 8. Validez de razonamientos y tablas de verdad. Condicional

asociado 37 § 9. Implicación, deducibilidad y equivalencia 41 § 10. El método demostrativo 42

Notas al capítulo 2 49

3 . L ó g i c a d e f u n c i o n e s

§ 1. Individuos y predicados 52 § 2. Función proposicional y cuantificación 55 § 3. Concepto de ley en lógica de funciones 57 § 4. Equivalencia y distribución de cuantificadores 59 § 5. Grado de un predicado. Los predicados poliádicos. La cuan­

tificación múltiple 61

§ 6. Leyes del movimiento de cuantificadores 65 § 7. Simbolización en lógica de funciones 67 § 8. La demostración. Reglas de generalización y ejemplificación 70 § 9. Tratamiento tradicional de las proposiciones categóricas. Infe­

rencias inmediatas 78 § 10. Crítica moderna al cuadrado de oposición 81 § 1 1 . Teoría clásica del silogismo; análisis moderno 84

Notas al capítulo 3 87

4 . L ó g i c a d e c l a s e s

§ 1. Clases y propiedades 89 § 2. Clase y pertenencia 90 § 3. Clase universal y clase nula 92 § 4. Operaciones con clases 93 § 5. Relaciones entre clases 97 § 6. Inclusión y pertenencia 98 § 7. Proposiciones categóricas; simbolización y diagramas de Venn 101 § 8. Resolución de silogismos categóricos 103 § 9. Leyes de la lógica de clases 109 § 10. Método demostrativo en lógica de clases 112 § 1 1 . Clases, proposiciones y álgebras de Boole 114

Notas al capítulo 4 115

5 . L ó g i c a d e r e l a c i o n e s

§ 1. Predicados y relaciones 117 § 2. Referente y relato. Dominio, codominio y campo 117 § 3. Propiedades formales de las relaciones 119 § 4 . Análisis de algunos tipos de relaciones; equivalencia, orden,

sene 123 § 5. Vinculación entre propiedades de las relaciones 125 § 6. Univocidad y multivocidad de las relaciones. Funciones . . . . 126 § 7. Álgebra de relaciones 128 § 8. Método demostrativo en lógica de relaciones 131

Notas al capítulo 5 133 índice de la carpeta de ejercicios 134

NOTA PRELIMINAR

El propósito fundamental que nos ha guiado al preparar este texto de Elementos de Lógica Simbólica fue presentar las nocio­nes básicas que conforman el enfoque moderno de la lógica. Por ello tuvimos muy en cuenta no exceder el marco inicial f i jado, es decir, respetar el nivel que debe tener toda obra de carácter aproximativo.

Nuestro objetivo inmediato fue entonces acercar gradualmente al lector al simbolismo y a las técnicas de esta disciplina a partir de los usos lingüísticos corrientes y de nociones intuitivas so­bre la materia; por lo tanto, nos detuvimos particularmente en el problema de la simbolización de enunciados del lenguaje usual y desarrollamos ciertos conceptos fundamentales, como el de validez, sobre la base de nociones comunes y apl icando técnicas intuitivas como, por ejemplo, la de los diagramas.

Asimismo, procuramos iniciar al estudiante en el aspecto ope­rativo de la lógica, para lo cual incluimos un breve desarrollo del método demostrativo en su aplicación a los distintos cálcu­los lógicos.

Hemos tenido en cuenta, f inalmente, que una disciplina como la que nos ocupa requiere una amplia ejercitación que con­tribuya a fijar en forma práctica las nociones teóricas expues­tas en el texto. La CARPETA DE EJERCICIOS, que se pre­senta como unidad independiente, está destinada a cubrir esas exigencias.

Los autores

1 EL OBJETO DE LA LÓGICA

§ 1. ¿De qué se ocupa la lógica?

Se ha dicho muchas veces, y a menudo tal afirmación aparece en las primeras páginas de los libros de tipo introductorio, que resulta difícil explicar en qué consiste el objeto de investigación de una determinada disciplina científica o filosófica a alguien que no se halle familiarizado con ella, pues una visión clara de lo que cada rama del conocimiento es sólo puede obtenerse estudiándola, enfrentándose realmente con sus dife­rentes problemas.

En efecto, nadie puede pretender saber qué es la lógica, o qué es la psicología, o qué es la ética, por el solo hecho de haber estudiado concien­zudamente el capítulo inicial de una introducción a estas disciplinas donde se pretende responder a tal interrogante.

Esta dificultad se hace aún más evidente cuando intentamos caracte­rizar el objeto teórico de una rama del conocimiento en una sola proposi­ción inicial: una definición. En este caso suele ocurrir que la definición misma presupone el uso de un lenguaje que, aunque aparentemente coin­cida con el usual y utilice términos que son por todos conocidos, posee en realidad una significación mucho más precisa, propia de la disciplina en cuestión y que, por lo tanto, no puede comprenderse adecuadamente fuera del marco teórico que se pretende caracterizar. Por lo general en toda defi­nición de este tipo aparecen algunos términos "clave" que tienen esas carac­terísticas, cuya elucidación remite a otros que también requieren aclara­ción, estableciéndose una cadena que va adquiriendo su sentido preciso solamente en la medida en que se penetra más y más en el estudio de la disciplina en cuestión.

Supongamos, por ejemplo, que nuestra tarea fuera definir la ética, y que lo hiciéramos diciendo que es aquella rama de la filosofía que se ocupa del problema moral. Nos encontramos acá con un término clave que no puede entenderse adecuadamente fuera del contexto de la investigación ética (puesto que la investigación ética misma supone un análisis de este concepto): 'moral'. Lo mismo ocurre si intentáramos, v. gr., caracterizar la psicología como la ciencia que estudia la conducta. Porque, ¿qué es, exactamente, la conducta? ¿Entrarán en su definición sólo los fenómenos psíquicos externamente observables o también los que pueden descubrirse exclusivamente a través de la introspección? El intento de definición del

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término 'conducta' lleva así al centro de la polémica entre distintas escue­las de la psicología contemporánea.

De la misma manera nosotros podemos intentar dar una definición inicial de la lógica diciendo que es la ciencia que se ocupa de establecer criterios que permiten determinar la validez o invalidez de los razonamien­tos. Pero sucede que el concepto central de esta definición -validez de un razonamiento- no puede ser entendido adecuadamente sin un estudio dete­nido de nuestra disciplina, pues, como se verá más adelante, el problema de la validez de los razonamientos remite a su vez al de su forma o estruc­tura y este concepto sólo puede explicarse satisfactoriamente desarrollando los diferentes capítulos de la lógica (entre otras cosas porque diferentes capítulos proponen análisis diversos de las formas lógicas).

Otras de las razones que tornan embarazoso -y hasta inconveniente-el tratar de dar una definición inicial es que en ella debemos presentar a la ciencia como una cosa hecha, acabada, cuyo objeto teórico no varía, ni es controvertido por los científicos, todo lo cual no se ajusta a los hechos. Sabemos que toda ciencia crece, se transforma, evoluciona a través del tiempo y que, aun en un momento determinado, su dominio de investiga­ción puede variar según el enfoque teórico que se adopte. En lo que con­cierne a nuestra disciplina, por ejemplo, existen distintas posturas que conciben de modo diverso el objeto de su estudio. Y, en rigor, desde cier­ta perspectiva no resultaría aceptable la definición propuesta precedente­mente. ( 1 )

¿Por qué, pues, insistir en la pretensión de ofrecer en un primer capí­tulo un panorama global de la ciencia que hemos de estudiar en lugar de enfrentar al lector directamente con sus problemas?

La razón fundamental para introducir un primer capítulo de esa índole es que el lector necesita poseer una visión del ámbito teórico en que deberá moverse, del tipo de cuestiones que serán sometidas a su consideración y, sobre todo, necesita entrar en posesión de algunas ideas que oficien de guías o hilos conductores para hilvanar coherentemente los problemas y las soluciones que se le irán presentando a través de su estudio de la ciencia.

A la manera de un mapa rudimentario que orienta los pasos del explo­rador y que luego será perfeccionado por él mismo gracias a su conoci­miento práctico y personal del terreno, trataremos, pues, en lo que sigue, de ofrecer al lector una idea inicial acerca de la naturaleza de la ciencia que se propone abordar, partiendo, en un primer momento, del lenguaje usual, e introduciéndolo paulatinamente en un dominio más técnico, más preciso, y teóricamente más fecundo.

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§ 2 . La lógica y lo "lógico 1

El empleo del término 'lógico' es bastante frecuente en el lenguaje usual.

El análisis de expresiones como: 1. Es lógico que te hayan castigado 2. Fue la culminación lógica de ese proceso 3. Es lógico que al dejar sin sustento un cuerpo éste caiga a tierra 4. Este hombre ha dado una respuesta lógica 5. El discurso de ese orador se caracterizó por su incoherencia lógica 6. El fiscal refutó los argumentos de la defensa con un rigor lógico admirable

indican que en su uso cotidiano el término es de significación bastante vaga y tiende a relacionarse con un dominio heterogéneo de ideas; según el contexto se identifica lo lógico con lo que es previsible o necesario, con lo que obedece a causas conocidas, con lo justo, con lo que posee rigor, orden, etc. Y, en general, todo aquello que se presenta como absurdo, insólito, fuera de lugar, en el plano de la razón y el discurso o en el de los hechos, se considera "ilógico".

¿Existe alguna vinculación entre esta significación vaga de la palabra en su uso cotidiano y el término lógica' como nombre de una ciencia? Un análisis más pormenorizado nos permitirá responder este interrogante.

En primer lugar advertimos que una cierta dimensión de su significado pretende aplicar el atributo 'lógico' al plano de los hechos, como ocurre en los ejemplos 1, 2 y 3 arriba presentados. Decir que un hecho es lógico puede querer significar o bien que es previsible, natural, que obedece a causas conocidas (como en el ejemplo 2 y 3) o bien que se adecúa a las normas y expectativas sociales (como en 1 y, eventualmente, también en 2). Digamos desde ya que este tipo de indagaciones cae fuera del objeto de la lógica. No es en absoluto de competencia de esta ciencia determinar si los hechos se ajustan o no a regularidades, son más o menos razonables, pre­visibles o "lógicos". La lógica no tiene nada que decir acerca de los hechos porque ella no se ocupa de describir y explicar fenómenos, no es una ciencia fáctica como la física, la biología, la historia o la sociología. Así, pues, este significado del término en su uso vulgar no nos aproxima al objeto de nuestra disciplina.

Analicemos ahora los tres ejemplos restantes. Allí el término no se aplica al plano de los hechos, sino al del lenguaje, de los conocimientos, de las afirmaciones, de los argumentos. Pero acá debemos establecer una dife­rencia; en efecto, en esta área el término puede usarse o bien para predicar que una afirmación es sensata, que se ajusta a la naturaleza de los hechos o a las expectativas acerca de lo que es razonable afirmar (lógico como opuesto a patentemente falso, disparatado, tonto) o bien para indicar cierta forma de coherencia interna de las afirmaciones entre sí (lógico como opuesto a contradictorio, inconsistente, incoherente).

El enunciado 4 puede interpretarse como un ejemplo del primer tipo de uso, en tanto que los ejemplos 5 y 6 son casos del segundo.

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En términos generales podemos decir que la cuestión acerca de si los conocimientos son de hecho acertados o erróneos, verdaderos o falsos, cae fuera del dominio de la lógica. No es tarea de esta ciencia juzgar la verdad de las afirmaciones aisladas que se formulan acerca de la realidad, su ade­cuación o inadecuación a los hechos.

Lo que sí cae dentro de su objeto son las relaciones entre los juicios mismos, las vinculaciones internas entre las partes del discurso. Para ilus­trar esto será interesante volver a nuestros ejemplos 5 y 6. En ellos la incoherencia o el rigor lógico se predica como algo interno de ciertas for­mas de expresión del pensamiento; puede ser que el orador del juicio 5 haya pronunciado muchas proposiciones verdaderas a lo largo de su dis­curso; no es precisamente la falsedad de sus juicios lo que se le imputa. Lo que se le critica, en cambio, es la falta de una conexión apropiada entre sus afirmaciones, cierta incompatibilidad entre ellas, es decir, defectos in­ternos de su exposición que no provienen de su inadecuación a los hechos, sino de inapropiadas vinculaciones entre sus partes. Algo semejante ocurre con el ejemplo 6. Lo que se le reconoce al fiscal aludido es la claridad y coherencia con que refutó los argumentos de su adversario; se alaba la forma ajustada, precisa, en que ensambló sus propios juicios, todo lo cual no presupone afirmar que él sostuviera la posición más justa ni, en rigor, reconocer que su manera tan perfecta de argumentar lo haya conducido necesariamente a una conclusión verdadera. Incluso alguien podría llegar a agregar a este respecto: 'Sí, yo sabía que lo que sostenía el fiscal no era verdadero, pero presentó sus argumentos con tanta solidez que resultaba difícil refutarlo'.

Es precisamente esta coherencia o incoherencia interna de los argu­mentos, esta corrección o incorrección en las formas de razonar, esta suerte de coordinación adecuada del pensamiento consigo mismo y no su adecua­ción a la realidad, no la verdad de las afirmaciones empíricas que entran en juego, lo que le interesa a la lógica.

De esta primera caracterización del objeto de la lóL· s·\ virgen, sin embargo, muchas cuestiones que será necesario aclarar. En primer lugar, ¿puede haber coherencia interna en un argumento independientemente de la verdad de sus afirmaciones?; razonar correctamente, ¿no conduce nece­sariamente a la verdad? Este tipo de cuestiones nos llevan a su vez al problema: ¿qué es, en definitiva, un razonamiento correcto? Todo lo cual presupone conocer la respuesta a una pregunta previa, muy simple: ¿qué es, en sentido estricto, un razonamiento?

Nuestra tarea consistirá, pues, en lo que sigue en tratar de responder a estas cuestiones en orden de complejidad creciente.

§ 3- ¿Qué es un razonamiento?

El concepto de razonamiento se vincula comúnmente al de pensamien­to, pero no se identifica con él. En efecto, si bien entendemos que razonar es pensar, también comprendemos que no siempre que pensamos razona-

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mos. Si alguien deja vagar libremente su imaginación, rememorando pai­sajes o situaciones vividas, entregado al placer estético o a la evocación afectiva a través de sus recuerdos, podemos decir que se halla absorto en sus pensamientos, pero nunca diremos que se encuentra razonando. El con­cepto de razonamiento se asocia, en cambio, con un pensamiento de tipo netamente cognitivo, que se manifiesta a través de ciertas afirmaciones y no a través de imágenes de índole perceptiva, vagas intuiciones o asocia­ciones de carácter emotivo.

Alguien razona cuando reflexiona, por ejemplo, del siguiente modo: 'La entrevista era para las diez; ya son las diez y media y Pérez aún no llegó. Pero él es una persona responsable y extremadamente puntual. Sin duda, debe haberle ocurrido algo' o 'Compraré estas obras del escritor X; dado que todas las obras suyas que leí me gustaron, seguramente éstas también me gustarán'.

Debemos reconocer, sin embargo, que pocas veces pensamos del modo metódico y disciplinado que muestran los ejemplos, haciendo explícitos todos nuestros supuestos. A menos que el estudio de un tema en especial nos obligue a seguir rigurosamente los pasos de una inf erencia ( 2 ) -como ocu­rre, v. gr., cuado estudiamos la demostración de un teorema-, nuestro pen­samiento es, por lo general, algo errante e indisciplinado y procede un poco elípticamente, llevándonos a ciertas conclusiones por caminos que a veces nosotros mismos ignoramos.

La situación cambia cuando nos vemos obligados a justificar o funda­mentar nuestras creencias. Entonces debemos reconstruir y expresar me­diante el lenguaje la cadena de conocimientos que se hallaba implícita y desordenada en nuestra mente. Todo el que disputa o polemiza, todo el que debe sustentar una tesis, como v. gr., el abogado, el juez, el expositor científico o filosófico, el estadista, etc., se ve obligado a expresar sus razo­namientos, ordenar los supuestos, marcando las conclusiones y los funda­mentos, etc.

Será, pues, necesario distinguir dos niveles: el que corresponde al proceso psíquico del razonar tal como él se desarrolla de hecho en la mente humana y el que corresponde a su producto objetivo: el razonamiento expresado a través del lenguaje.

El primero no es objeto de investigación lógica, ya que los mecanismos mentales del pensar son fenómenos cuyo estudio compete a una ciencia fáctica: la psicología. Lo que le interesa a la lógica son los razonamientos en sí mismos, como productos, independientemente de su génesis psico­lógica y tal como ellos quedan formulados a través del lenguaje. Así, por ejemplo, en el caso de los razonamientos presentados arriba, será irrele­vante para el lógico si alguien los formuló realmente alguna vez, qué moti­vaciones pueden haberlo movido a ello, etc. Lo único que le interesa al lógico es si esas formas de argumentar son correctas o no lo son.

Ahora bien, ¿cuál es la característica definitoria de un razonamiento, que lo diferencia de otro tipo de expresiones del lenguaje? En primer lugar, digamos que una única afirmación, un juicio aislado, no constituye por sí

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solo un razonamiento. Para que haya razonamiento debe haber un con­junto de juicios o proposiciones (dos o más) y estas proposiciones deben estar vinculadas de una manera tal que una de ellas -la conclusión- se afirme sobre la base de la o las otras -la o las premisas- Para que haya razonamiento debe haber el propósito de fundar unas afirmaciones en otras, de extraer unos conocimientos de otros. Este propósito queda cristalizado en el lenguaje a través de determinadas expresiones que se anteponen a la conclusión (como 'por lo tanto', 'luego', 'por consiguiente', 'en conse­cuencia', etc.) u otras que anteceden a las premisas (como 'dado que', 'puesto que', 'ya que', etc.). En el primer ejemplo dado arriba aparece la expresión 'sin duda' precediendo a la conclusión (que debe interpretarse como 'teniendo en cuenta lo expuesto se sigue sin lugar a dudas q u e . . . ' ) ; en el segundo ejemplo se antepone 'dado que' a la premisa y 'seguramente' a la conclusión (giro que interpretamos como 'dado lo anterior se puede afirmar con seguridad q u e . . . ' ) .

Ahora bien, es sabido que cuando alguien emite una afirmación está expuesto a equivocarse, ya que un juicio puede ser verdadero si corres­ponde o se adecúa realmente al hecho descripto (como cuando decimos, por ejemplo, 'El sol es una estrella') o falso, si no corresponde o se adecúa a él (como en el caso, v. gr., de 'La ballena es un pez'). Del mismo modo es posible también equivocarse al argumentar; cuando alguien formula un razonamiento, expone un argumento de modo tal de extraer determinadas conclusiones a partir de ciertas proposiciones iniciales, puede hacerlo me­jor o peor, como vimos en los ejemplos 5 y 6 del parágrafo anterior. Si acertar al formular un juicio es hacerlo corresponder con los hechos, ¿en qué consiste el acierto al formular un razonamiento? ¿En qué casos un razonamiento es correcto y cuándo no lo es?

Para responder a esta cuestión será necesario previamente efectuar una distinción entre distintos tipos de razonamientos, porque el problema de la corrección o incorrección tiene distinta significación según de qué clase de razonamientos se trate.

§ 4 . Razonamiento deduct ivo y no deduct ivo

Podemos distinguir dos grandes grupos de razonamientos: los deducti­vos y los no deductivos.

En general los razonamientos deductivos son aquellos en que se pre­tende que la conclusión se desprende de las premisas con necesidad, en virtud de ciertas características lógicas, puramente formales de las mismas. En cambio en el caso de los razonamientos que no son deductivos el fun­damento que las premisas dan a la conclusión no se presenta como defini­tivo y concluyente; la conclusión, aunque sustentada o hecha probable por las premisas, no está implicada por éstas. Un caso importante del razona­miento no deductivo es el llamado razonamiento inductivo o, simplemente, inducción. La inducción se caracteriza porque en ella, a partir de la afirma-

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ción de que varios elementos o miembros de una clase dada poseen deter­minada propiedad, se concluye que todos los miembros de dicha clase tienen esa misma propiedad.

Un ejemplo de razonamiento inductivo sería el que se practica en la investigación acerca de las propiedades terapéuticas de una droga. Des­pués de haber confirmado en un importante número de individuos afecta­dos por una misma dolencia que la droga resulta eficaz, se generaliza y se supone que resultará eficaz para todos los miembros de la clase de indivi­duos afectados por esa enfermedad.

Este tipo de razonamiento en que se arriba a una generalización es extremadamente frecuente en la vida cotidiana pero, en rigor, no presenta necesidad lógica, porque del hecho de que en un cierto número de casos se haya verificado una determinada circunstancia no puede inferirse con carácter necesario que en el resto de los casos se seguirá verificando; puede surgir alguna contingencia hasta ese momento no considerada, la verdad de las premisas puede deberse en mayor o menor medida a las condiciones especiales en que se desarrollaron los experimentos u observaciones, etc. Naturalmente, cuanto mayor sea el número de casos considerados en las premisas (y más variadas sean las circunstancias en que éstos se reclu-ten) parece aumentar la probabilidad de que la conclusión sea verdadera, pero nunca se llegará a una certeza definitiva (a menos que el número de casos considerados en las premisas sea igual al número total de miembros de la clase en cuestión, que es el caso de la llamada inducción completa). En el razonamiento inductivo hay, pues, grados de probabilidad, la conclu­sión se ve sustentada en mayor o menor medida por las premisas.

En el razonamiento deductivo, en cambio, esto no ocurre. O bien la conclusión se desprende lógicamente de las premisas o bien no se despren­de de ellas. No hay grados de error ni grados de acierto. Y esto puede determinarse, contrariamente a lo que ocurre en el razonamiento inductivo, teniendo en cuenta exclusivamente sus características formales o estruc­turales, con independencia de su contenido informativo.

De aquí en adelante todo el desarrollo del presente libro girará en torno del razonamiento deductivo. De modo que cuando nos planteemos el pro­blema de la corrección de los razonamientos, hemos de referirnos siempre al razonamiento deductivo que es, en sentido estricto, el objeto propio de la lógica simbólica.

Hecha esta aclaración podemos, pues, retomar el interrogante que nos formuláramos en el parágrafo anterior.

§ 5, ¿Qué es un razonamiento correcto?

En primer lugar debemos introducir una aclaración terminológica. Di­gamos que así como la "virtud" de un juicio se llama verdad, la "virtud" de un razonamiento se llama corrección o validez. Los razonamientos

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no son ni verdaderos ni falsos, es éste un atributo que no les corresponde; ellos son correctos o incorrectos (válidos o inválidos) según cumplan o no con determinados requisitos.

¿Cuáles son esos requisitos? En un primer momento podríamos pensar que el razonamiento correcto es aquel que nos permite arribar a un cono­cimiento cierto, a juicios o afirmaciones que concuerden o se ajusten a los hechos, y que un razonamiento incorrecto es el que nos conduce a un error.

Así, por ejemplo, si nos dieran a elegir entre los razonamientos si­guientes:

1. Todos los insectos son aves y todas las aves son vertebrados; por consi­guiente, todos los insectos son vertebrados

2. Si la Argentina es un país sudamericano, entonces no es un país europeo. Pero la Argentina no es un país europeo. Luego, es un país sudamericano

y nos dijeran que uno de ellos es válido y el otro no lo es, podríamos sen­tirnos inclinados a escoger como inválido al primero, que nos ha conducido a una falsedad, y como válido al segundo, que nos llevó a una verdad. Sin embargo no es así, sino todo lo contrario; 1 es un razonamiento válido y 2 es inválido.

Esto puede resultar un tanto paradójico y llevar al lector a la apresu­rada impresión de que nada hay tan ilógico como la lógica, puesto que ella nos obliga a aceptar la validez de un razonamiento en el que se concluye una afirmación tan disparatada como aquella de que los insectos son verte­brados y nos obliga a rechazar como inválido un razonamiento que nos permite llegar a la irreprochable conclusión de que la Argentina es un país sudamericano.

Este desconcierto se origina en la errónea identificación inicial de dos conceptos diferentes: validez y verdad. Pero esta identificación debe de­jarse de lado ya que, como quedó dicho, la validez se predica de los razo­namientos -no de juicios o proposiciones-, en tanto que la verdad se predica de juicios -no de razonamientos- y designan propiedades diferentes.

Afirmar que un razonamiento es correcto o válido no equivale a decir que todas sus proposiciones componentes son verdaderas, ni siquiera que su conclusión lo es.

Pero si la validez de un razonamiento no se identifica ni se reduce a la verdad de sus juicios componentes, ¿en qué consiste?, ¿y cómo se la reconoce?

Hemos dicho que el razonamiento es un conjunto de proposiciones, una de las cuales presuntamente se desprende o infiere de las anteriores. Esta definición nos sugiere la idea de que un razonamiento es algo así como un encadenamiento o interrelación entre ciertos elementos (proposiciones), uno de los cuales (la conclusión) aparece como último eslabón o elemento final a cuyo sostén contribuyen todos los demás (premisas).

Ahora bien, lo que interesa para que el razonamiento sea correcto es la forma en que están vinculadas entre sí sus partes; lo que importa es que la interrelación de las premisas forme una estructura suficientemente sólida como para que la conclusión se apoye en ella en forma total.

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Tomemos como ejemplo la siguiente forma de razonamiento:

(I) Todo A es B Todo B es C Todo A es C(3)

Las dos premisas se hallan relacionadas entre sí de manera tal que la conclusión se desprende de ellas necesariamente; en otras palabras, es im­posible aceptar las premisas y no aceptar la conclusión. En efecto: si la cla­se de los individuos A se halla incluida en la de los B, y ésta a su vez en la de los C, no existe ninguna posibilidad de hallar un A que no sea C. Esto puede verse claramente en un gráfico donde las clases A, B y C se repre­senten por círculos concéntricos de radios diferentes:

Sea A: B: C:

Todo A es B

Todo B es C

Todo A es C (La conclusión quedó representada.)

No existe ninguna forma de diagramación posible que permita repre­sentar las premisas sin que quede representada al mismo tiempo la con­clusión. A esto llamamos una forma correcta de razonar, porque dadas las premisas, la conclusión se sigue necesariamente; la vinculación es firme, no presenta grietas o intersticios, el eslabón final está definitivamente sostenido por los otros.

Veamos ahora otro ejemplo:

(II) Todo A es B Todo A es C Todo B es C

¿Es esta forma de razonar igualmente correcta? ¿Es cierto que si una clase A está incluida en otras dos clases (B y C) simultáneamente, B esta­rá incluida necesariamente en C? Esto es algo fortuito, no lógicamente

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necesario, puede ocurrir o no ocurrir. Ilustramos ambas posibilidades me­diante dos gráficos diferentes.

Sea A: B: C:

Caso confirmatorio

Sea A: B: C:

Caso disconfirmatorio

En este caso es posible hallar un diagrama que represente las premisas y no represente al mismo tiempo la conclusión. Esto indica que la conclu­sión no se desprende necesariamente de las premisas; dadas las premisas no es necesario, sino contingente, fortuito, accidental, que la conclusión se dé o no se dé; la vinculación, el encadenamiento entre las premisas no es suficiente para sustentar la conclusión, la estructura no es perfecta. Por lo tanto, esta forma de razonar no es correcta.

Ahora bien, el lector puede advertir que para analizar el modo en que las partes de un razonamiento se vinculan entre sí (lo que nos permite decidir, finalmente, si es válido o no lo es) hemos recurrido a cierta esque-matización; hablamos de A, B y C en lugar de aves, insectos o vertebrados, etc. ¿Es esto caprichoso o responde a una necesidad?

Lo cierto es que para analizar la manera en que las proposiciones están vinculadas entre sí es conveniente despojarlas de todo aquello que no es esencial para la cuestión, que no hace a la estructura de la relación que entre ellas se establece, pues la presencia de tales elementos sólo sirve para oscurecer la relación, no permite ver claro en ella. Imaginemos, por ejemplo, el caso de un arquitecto que tratara de establecer el grado de estabilidad, la solidez de un edificio. Para ello deberá dejar de lado sin duda los detalles que hacen a la decoración de la casa, el tipo de reves­timiento empleado, etc., porque estos datos carecen de importancia para la resolución de su problema. Lo que debe hacer el arquitecto es concen­trar su atención en aquellos aspectos que hacen a la estructura del edificio. Algo análogo ocurre cuando se trata de establecer la validez o invalidez

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de un razonamiento. En el caso de nuestro ejemplo I, v. gr., se muestra el esqueleto, la estructura de un razonamiento, que es lo que interesa para determinar su validez; si en lugar de formular el razonamiento de esa manera, esquemáticamente, refiriéndonos a clases de elementos cuales­quiera A, B y C, hubiéramos hecho referencia a insectos, aves y vertebra­dos -como ocurrió en el razonamiento 1- o a otros conjuntos particulares de individuos, nuestra investigación se hubiera visto perturbada por con­sideraciones de otra índole, que habrían entorpecido sin duda el análisis. Por otra parte, tal esquematización no es arbitraria, pues lo que vale para clases de individuos cualesquiera A, B y C vale, a fortiori, para la clase de los insectos, las aves y los vertebrados -aunque, obviamente, no ocurra lo mismo a la inversa-; de modo tal que si la estructura resultó válida, esto es, si la vinculación entre las premisas resultó de naturaleza tal que la conclusión necesariamente se halla sostenida por ellas, la validez no podrá verse alterada por reemplazar 'A' por la clase de los insectos, 'B' por la de las aves, etc.

En síntesis, decimos que un razonamiento es válido cuando su forma lógica lo es, independientemente del contenido informativo de los juicios que lo componen. Y decimos que una forma o estructura de razonamiento es válida si se cumple que ningún razonamiento que posee esa estructura tiene todas sus premisas verdaderas y su conclusión falsa.

Así, pues, dado que el problema de la validez de un razonamiento se reduce al de su forma o estructura, la lógica, en tanto teoría de la inferen­cia válida, es una ciencia formal.

§ 6- Val idez y verdad

Lo que acabamos de ver explica el aparente absurdo planteado al prin­cipio del parágrafo anterior a propósito del razonamiento 1; éste es un razonamiento válido porque su forma o estructura -que es idéntica a la forma (I) analizada en el mismo parágrafo- lo es, a pesar de conducirnos a una falsedad.

Pero, ¿cómo es posible, insistimos, que un razonamiento válido con­duzca a error? Lo que ocurre es que, como quedó dicho, la validez del razonamiento depende de su estructura y ésta es válida porque la conclu­sión se desprende necesariamente de las premisas; si llegamos a una fal­sedad no ha sido por "culpa" de la forma de razonamiento, sino a causa del contenido de las premisas. Como podemos observar, el hecho de haber escogido como clase A la de los insectos y como clase B la de las aves, hace que la primera premisa sea falsa y de allí se deriva la falsedad de la conclusión.

El lector podrá preguntarse aquí, legítimamente, para qué sirve razo­nar correctamente (esto es, a través de estructuras o formas válidas) si de todas maneras esto no nos protege contra el error. Después de todo -se dirá- lo que realmente interesa es que nuestro conocimiento sea ver-

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dadero, se ajuste a la realidad. ¿Por qué ha de ser estimable la validez de una forma de razonamiento si ella no se responsabiliza por la verdad de la conclusión; es decir, si no nos garantiza la obtención de un auténtico conocimiento? Y, por ende, ¿qué valor tiene una disciplina cuyo objeto es estudiar, precisamente, la validez del razonamiento?

En verdad, tal imputación contra la lógica no puede ser pasada por alto; mas, afortunadamente, poseemos una respuesta apropiada para su defensa; en efecto, la estructura válida se hace responsable de la verdad de la con­clusión, y aún más, la garantiza totalmente, siempre y cuando las premisas de las que se parta sean verdaderas.

Si las premisas son verdaderas, y la estructura es correcta o válida, la conclusión del razonamiento ha de ser siempre, necesariamente, verda­dera como se desprende de la definición de forma válida. Y éste es el mérito -nada despreciable- que encierra la validez: permite preservar la ver­dad del conocimiento. En este sentido una forma válida de razonamiento sería algo así como una máquina perfecta, que no fallara jamás: si se la nutre con materia prima (premisas) de buena calidad (verdaderas) el producto obtenido (conclusión) ha de ser siempre bueno (verdadera); pero ninguna máquina, cualquiera sea el grado de su perfección, puede garantizar la bondad del producto si se la alimenta con materia prima defi­ciente; en nuestro caso, ninguna forma de razonamiento, aunque sea válida, puede garantizar que llegaremos a la verdad si partimos del error. Si alguien parte, como en el caso del razonamiento 1, de la creencia de que los insectos son aves, no debemos sorprendernos de que llegue a la con­clusión de que son vertebrados, pero ello no se debe a que haya razonado mal, sino a que sus creencias iniciales eran falsas.

Esto explica también el ejemplo del fiscal que planteamos en el pará­grafo 2. Puede ser que él haya dado a sus razonamientos una forma co­rrecta -y, por lo tanto, imposible de criticar- y concluya, finalmente, un juicio falso; pero si esto fuera realmente así, quien se ocupara de la defensa debería buscar a través de cuál o cuáles de las premisas empleadas se ha filtrado la falsedad.

§ 7. El proceso de abstracción. Las formas lógicas

De lo expuesto en los parágrafos anteriores se desprende que en todos los casos el análisis lógico de los razonamientos -es decir, el análisis de los razonamientos desde el punto de vista de su validez- supone un proceso de abstracción, esto es, de formulación de su forma o estructura.

Este proceso de abstracción aplicado a un razonamiento consiste en eli­minar de él todo lo que hace al contenido informativo de las proposiciones que lo componen (colocando en su lugar ciertos símbolos que permiten indicar la categoría lógica de las expresiones suprimidas) y mantener en cambio aquellos elementos que son esenciales para el armazón lógico del argumento.

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Sean, por ejemplo, los dos siguientes razonamientos:

1. Todo caballo es veloz

Pegaso es un caballo

Pegaso es veloz

2. Todo niño es activo

Pedrito es un niño

Pedrito es activo

Al practicar el proceso de abstracción sobre ambos razonamientos eli­minando los términos lógicamente no esenciales, advertimos que, a pesar de su diverso contenido informativo, su estructura lógica es la misma:

Todo F es G

x es F

x es G

donde las letras 'F' y 'G' indican dos atributos distintos y la letra 'x' repre­senta un individuo cualquiera.

En casos como éstos parece bastante sencillo hallar la estructura lógica de los argumentos. Así, por ejemplo, es claro que la presencia del término 'Pegaso' (o 'Pedrito') no hace a la forma lógica; puede sustituirse por otro nombre de individuo sin que se modifique la estructura. En cambio el tér­mino 'todo' no puede alterarse significativamente sin alterar la estructura. En efecto, si lo sustituimos, v. gr., por 'algún' obtenemos otra forma lógica:

Algún F es G

x es F

x es G

Una muestra concluyente de que esta forma no es lógicamente igual a la anterior lo constituye el hecho de que en este caso la inferencia es invá­lida, mientras que en el primero es válida; en efecto, al decir 'algún F es G' no queda excluida la posibilidad de que haya algún F que no sea G (posi­bilidad que sí queda excluida en la afirmación 'todo F es G'). Por lo tanto el individuo x que aparece en la segunda premisa puede ser F sin ser G. La conclusión no se sigue, pues, necesariamente de las premisas.

Sin embargo, la determinación de cuáles elementos son esenciales para el esqueleto lógico de un razonamiento no siempre es tan obvia, no es algo que pueda realizarse mecánicamente ni dejarse librado a la intuición; en rigor, sólo puede llevarse a cabo con propiedad a la luz del análisis que los distintos capítulos de la lógica proponen para el estudio de las inferencias.

Consideramos, v. gr., el siguiente razonamiento:

3. Si todos se oponen, Pérez retirará la moción

Todos se oponen

Pérez retirará la moción

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En este caso la presencia del término 'todos' no es esencial para el armazón lógico de la inferencia, pues podemos realizar un análisis en los siguientes términos:

Si entonces _P

Q

donde 'p' y 'q' representan respectivamente las proposiciones 'todos se oponen' y 'Pérez retirará la moción'. Un análisis de este tipo, que tome globalmente las proposiciones en juego, es suficiente en este caso (aunque no lo sería en el caso de los ejemplos 1 y 2). Si alguien afirma que, el que ocurra un cierto evento es condición suficiente para que se produzca otro y reconoce a la vez que se ha producido el primero, debe aceptar que también ocurrirá el segundo. Podemos, pues, establecer la validez de la inferencia sin necesidad de penetrar en el estudio de los términos compo­nentes de las proposiciones.

Vemos, pues, que la indagación de las formas o estructuras lógicas no es independiente de la teoría lógica de la inferencia válida; cada capítulo de la lógica que presenta su aporte a la teoría de la inferencia correcta ofrece también, al mismo tiempo, ciertos criterios y determinado lenguaje para la formulación de las formas de los razonamientos.

Al estudio de estos distintos capítulos con su particular enfoque y len­guaje nos dedicaremos de aquí en adelante.

NOTAS AL CAPITULO 1 1 Nos interesa mencionar, en especial, el enfoque formalista, cuyo representante

más típico es el lógico y filósofo Rudolf Carnap (1891-1971). Según este autor la tarea del lógico debe aplicarse, fundamentalmente, a la construcción de len­guajes artificiales, donde se elimine la ambigüedad y vaguedad características del lenguaje natural y se hagan explícitas las reglas para su uso; así un sistema de lógica "no es una teoría, es decir, un sistema de afirmaciones acerca de determinados objetos, sino una lengua, es decir, un sistema de signos con las reglas para su empleo". Carnap, R., Introduction to Symbolic Logic, Dover Publications, N. Y., cap. A, parágrafo 1.

2 Aun cuando, en rigor, podría establecerse una diferencia de significado entre uno y otro término, usaremos a lo largo del texto 'inferencia* como sinónimo de 'razonamiento'.

3 Utilizaremos la línea horizontal como símbolo de inferencia, en lugar de ex­presiones como 'por lo tanto', 'por consiguiente', 'luego', etc. Esta línea sepa­rará siempre la premisa (o el conjunto de premisas) de la conclusión. Así, en el ejemplo que aparece en el texto, 'todo A es B' y 'todo B es C representan las premisas del razonamiento y 'todo A es C, su conclusión. También utiliza­remos el signo '•'•' en el mismo sentido.

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2 LÓGICA PROPOSICIONAL

§ 1 . Proposiciones atómicas y moleculares. Conect ivas

En el presente capítulo nos dedicaremos a estudiar el tipo de análisis de las formas lógicas y de las inferencias válidas que realiza el llamado cálculo proposicional. Para ello debemos comenzar por caracterizar el con­cepto de proposición.

Las proposiciones son aquellas expresiones que afirman o niegan algo y de las que, por lo tanto, tiene sentido predicar, que poseen un valor veri-tativo, esto es, que son verdaderas o falsas.

Así: La Luna es satélite de la Tierra Los arácnidos no son insectos Sócrates nació en Macedonia

son proposiciones, pues ellas afirman (o niegan) algo y tienen, por ende, un valor de verdad: son verdaderas las dos primeras y falsa la última.

En cambio no constituyen proposiciones expresiones como:

¡Retírate inmediatamente! ¿Existe la justicia? ¡Ay!

pues ellas no afirman (ni niegan) nada, no son ni verdaderas ni falsas. Su función no es, como en el caso de las fórmulas anteriores, informativa, sino de otro tipo; así, v. gr., en el primer caso la función es claramente directiva y en el último netamente expresiva.

En una primera aproximación puede decirse, pues, que las proposi­ciones corresponden a lo que los gramáticos llaman oraciones enunciativas o declarativas y no a las oraciones interrogativas, exclamativas o impe­rativas. Sin embargo, no es lícito identificar totalmente oración declara­tiva con proposición. La diferencia existente entre ambas radica en que la primera es una fórmula material (oral u escrita) de una determi­nada lengua (castellano, francés, etc.) que consta de ciertas palabras dis­puestas de un determinado modo. Las proposiciones, en cambio, corres­ponden al significado de estas oraciones. Así entendido resulta que a dos o más oraciones distintas puede corresponder la misma proposición si ellas tienen el mismo significado y, por ejemplo, pertenecen a distintos idiomas

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(v. gr., 'Juan es un buen alumno', 'John is a good pupil', 'Jean est un bon eleve') o contienen sinónimos ('Lo hizo con mucha rapidez', 'Lo hizo muy rápidamente').

Las proposiciones pueden clasificarse de diversas maneras, pero a los efectos que interesan al cálculo proposicional hemos de dividirlas en dos grandes categorías: las compuestas (o moleculares) y las simples (o ató­micas). Una proposición simple (o atómica) es aquella que no contiene ninguna otra proposición como parte constituyente, como, por ejemplo:

Llueve Hay seres inteligentes en Marte El hombre es un animal político

Una proposición compuesta (o molecular) es, por el contrario, aquella que contiene dentro suyo otras proposiciones, como ocurre en los siguientes casos:

Llueve y hace frío Si viene Juan, entonces Pedro se va

Una proposición como 'no llueve' la consideramos, a pesar de su apa­rente simplicidad, como molecular, pues podemos aislar dentro de ella una aún más simple: 'llueve'.

El cálculo proposicional limita su estudio de las formas lógicas a las proposiciones moleculares; analiza su estructura hasta hallar sus proposi­ciones componentes últimas, es decir, las atómicas que la forman, que no pueden a su vez ser descompuestas en nuevas proposiciones, y al llegar a este punto se detiene. Por esta razón el lenguaje de la lógica proposicional se limita, como veremos en seguida, a dos tipos de símbolos: los que repre­sentan proposiciones, y los que representan aquellas partículas destinadas a unir o afectar proposiciones.

Así, por ejemplo, la lógica proposicional realiza el análisis de las pro­posiciones moleculares que acabamos de ver del siguiente modo:

Llueve y hace frío: (prop. atóm. 1) y

(prop. atóm. 2)

Si viene Juan, en­tonces Pedro se va: Si (prop. atóm. 1) entonces (prop. atóm. 2 )

Para indicar el lugar en que aparecen proposiciones atómicas dentro de la molecular hemos recurrido a los puntos suspensivos; pero los puntos suspensivos presentan el inconveniente de ser ambiguos, porque pueden indicar indistintamente proposiciones atómicas diferentes o iguales entre sí. En su lugar utilizaremos ciertas letras, tales como 'p' 'q', 'r' 's', etc., que llamaremos variables proposicionales. En general una variable es un símbolo que representa una entidad cualquiera dentro de determinado do­minio; en este caso el dominio de las variables son proposiciones, es decir que el símbolo 'p' (al igual que 'q', 'r', 's', etc.) sirve para señalar la pre­sencia de una proposición cualquiera. La elección de la variable con que representamos una proposición es, en principio, libre, pero es preciso res-

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petar la restricción de que a proposiciones distintas deben hacerce corres­ponder variables distintas. Así, por ejemplo, podríamos representar la proposición 'Llueve y hace frío' 'como: 'p y q', 'q y p', 'q y r', etc., pero no como 'p y p' o similar.

Las distintas proposiciones atómicas que aparecen dentro de una pro­posición molecular se hallan unidas entre sí por ciertos nexos que deno­minaremos conectivas proposicionales. En las proposiciones que acabamos de ver esas partículas son, respectivamente, 'y' y 'si entonces'. Otras co­nectivas proposicionales son, v. gr., 'o', 'aunque', 'porque', etc. La lógica proposicional limita su análisis a las proposiciones moleculares en que apa­recen conectivas de cierto tipo -conectivas extensionales (véase parágrafo 3 ) - las que define y simboliza de un modo especial. En el cuadro que si­gue presentamos una nómina de las conectivas que se usan en el cálculo con su símbolo propio y la expresión paralela en el lenguaje usual.

I. SÍMBOLO LÓGICO

II. LOCUCIÓN EN LENGUAJE USUAL

III. ILUSTRACIÓN EN LENGUAJE USUAL

IV. SIMBO­LIZACIÓN

DE III

Negación — N o . . . No llueve - P

Conjunción • . . .y . . . Llueve y truena P·Q

Disyunción (inclusiva) V . . . o . . .

Estaba triste o preo­cupado (o ambas co­sas)

p v q

Disyunción (exclusiva) w . . . 0 . . .

Iremos al cine o al teatro (pero no a ambos lados)

p w q

Condicional S i . . . entonces . . . Si l lueve, entonces habrá cosecha P D q

Bicondicional ≡ . . . si y sólo s i . . . Habrá cosecha si y sólo si llueve p≡q

Negación conjunta N i . . . n i . . . Ni trabaja ni estudia p q

Incompatibilidad | No es cierto (a la vez) que . . . y . . .

No es cierto que Juan sea secretario y so­brino del juez

P | q

Todas estas conectivas -con excepción de la primera- son binarias, esto es, permiten unir entre sí dos proposiciones. Con respecto al 'no' ella afecta siempre a una proposición, es una conectiva monádica. Aun cuando su función no es precisamente conectar proposiciones, como ocurre con las otras que acabamos de ver, sino afectar, modificar, una sola proposición, se la llama 'conectiva' por extensión.

A diferencia de 'p', 'q', 'r', etc., que por representar proposiciones cua­lesquiera pueden asumir uno u otro de los dos valores de verdad (verda-

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dero o falso), cada una de las conectivas del cálculo proposicional tiene un único sentido posible que queda fijado, como veremos más adelante, en las tablas de verdad; ellas no son, pues, variables, sino constantes; y puesto que su función dentro de las proposiciones hace a la estructura lógica de las mismas, decimos que son constantes lógicas.

La aplicación de una o varias de estas conectivas a una o varias pro­posiciones da origen a nuevas proposiciones que consideraremos siempre moleculares (aun cuando se trate del caso más simple de una conectiva monádica afectando a una proposición atómica, como 'no hace frío').

Así, si aplicamos la conjunción a dos proposiciones atómicas que afirmen:

Descartes fue un gran filósofo Descartes fue un gran matemático

obtendremos una nueva proposición, de tipo molecular:

Descartes fue un gran filósofo y un gran matemático

cuya forma lógica, expresada en el simbolismo de la lógica proposicional, es: 'p · q\

§ 2 . Tablas de verdad

Una proposición molecular puede descomponerse, pues, en proposicio­nes atómicas y conectivas proposicionales.

Ahora bien, sabemos que toda proposición posee, por definición, un va­lor veritativo: es verdadera (V) o falsa (F). ¿Dependerá el valor verita-tivo de una proposición molecular del valor de verdad de las atómicas que la componen?

Tomemos el caso de la proposición molecular más simple posible, la negación de una atómica, por ejemplo:

1. No llueve (— p )

Es claro que el valor de verdad de '— p' depende del de 'p', pues si 'p' es verdadera (es decir, si llueve) '— p' es falsa (es falso que no llueve) y si 'p' es falsa (esto es, si no llueve) '— p' es verdadera (es verdadero que no llueve).

Analicemos ahora la conjunción:

2. Estaba ebrio y colérico ( p · q )

Esta proposición resultará falsa en todos los casos excepto en uno: cuando ambas atómicas son verdaderas.

A su vez la disyunción:

3. Estaba ebrio o colérico ( p V q )

será verdadera en todos los casos excepto en aquel en que ambas atómicas fueran falsas.

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Los ejemplos 2 y 3 que acabamos de ver nos muestran que si bien el valor de verdad de esas proposiciones moleculares depende del de sus atómicas componentes, varía también de acuerdo con la conectiva que vincula entre sí a éstas; no es lo mismo, ciertamente, afirmar que se dan dos hechos a la vez que sostener que se produce uno u otro. Y lo mismo ocurre con el resto de las conectivas proposicionales: cada una vincula a las proposiciones atómicas de manera diversa; cada una, aplicada a las mis­mas proposiciones atómicas, arrojará, pues, resultados veritativos que le son característicos.

En las siguientes tablas, que llamaremos tablas de verdad, se muestran cuáles son los resultados que las diferentes conectivas arrojan para las mis­mas combinaciones de valores de verdad:

T A B L A S DE V E R D A D

NEGACIÓN P - P

V F F V

CONJUNCIÓN P q P • q

V V V F V F V F F F F F

DISYUNCIÓN INCLUSIVA p q P V q

V V V F V V V F V F F F

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA P q p w q

V V F F V V V F V F F F

CONDICIONAL p q P D q

V V V F V V V F F F F V

BICONDICIONAL P q P ≡ q

V V V F V F V F F F F V

NEGACIÓN CONJUNTA P q p q

V V F F V F V F F F F V

INCOMPATIBILIDAD P q P 1 q

V V F F V V V F V F F V

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El sentido de estas tablas es el siguiente: puesto que cp' y 'q' son varia­bles proposicionales, ignoramos cuál será el valor de verdad de las propo­siciones que ellas estén llamadas a sustituir: pueden representar tanto una proposición verdadera cuanto una falsa. Así, pues, para determinar cuál podría ser el valor de verdad de una proposición molecular que respon­diera a una forma tal como 'p · q\ cp v q\ etc., es necesario contemplar todos los casos posibles de combinaciones entre las atómicas que la com­ponen. Estos casos son enumerados en su totalidad en las columnas que corresponden a las proposiciones atómicas. Podemos observar que en el caso de la negación la tabla consta sólo de dos filas, en tanto que en los otros casos presenta cuatro filas. Esto se debe a que al entrar en juego una sola proposición (v. gr., 'p') por tratarse de una conectiva monádica, las posibilidades son sólo dos: o bien la proposición es verdadera, o bien es falsa. En cambio, en el caso de las conectivas binarias, al tratarse de dos variables ('p' y cq}) el número de combinaciones aumenta; en efecto: puede ocurrir que ambas proposiciones sean verdaderas (fila 1), ambas falsas (fila 4) o una de ellas verdadera y la otra falsa (filas 2 y 3). En general, el número de filas de una tabla de verdad responde a la fórmula 2 n donde la base representa al número de valores de verdad y el exponente el número de variables distintas que intervienen en la fórmula. Si en lugar de dos variables hubiera en juego, por ejemplo, tres, el número de combi­naciones posibles de la tabla sería ocho (2 3 ) :

p q r

V V V F V V V F V F F V V V F F V F V F F F F F

A su vez la columna de cada tabla que hemos destacado con un recua­dro indica cuál es el valor de verdad que le corresponde a la proposición molecular en cada fila, dada la asignación de valores contemplada para las proposiciones atómicas en esa misma fila. Por ejemplo, la conjunción (p · q) resulta verdadera si ambas atómicas (p, q) son verdaderas (fila 1) y falsas en los demás casos (filas 2, 3 y 4). La disyunción inclusiva resulta falsa si ambas atómicas lo son (fila 4) y verdadera en todos los otros casos (filas 1, 2 y 3), y así sucesivamente.

En una fórmula pueden aparecer varias conectivas del mismo tipo o de tipo diferente. En estos casos se requiere el uso de paréntesis para eliminar la ambigüedad. Sea, v. gr., la siguiente expresión: ep D q D r \ Ella es am­bigua, pues puede interpretarse como un condicional cuyo antecedente ( 1 )

fuera 'p' y cuyo consecuente fuera 'q Z) r\ o un condicional cuyo antece-

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dente fuera cp D q' y cuyo consecuente fuera V. Esta ambigüedad queda eliminada, en cambio, en las fórmulas fpD(qDr) ; y '(p D q) D r' donde se adoptan, respectivamente, cada uno de los significados anteriores. Del mismo modo es ambigua una fórmula como 'p · q v r* que podemos inter­pretar como una conjunción uno de cuyos miembros es una disyunción: 'p-(qvr)' o una disyunción uno de cuyos miembros es una conjun­ción: ' (p · q) v r\ En el caso de la conectiva '—' ella puede aparecer en una fórmula juntamente con otra conectiva y sin paréntesis; en esas circuns­tancias interpretaremos que la negación afecta solamente a la primera pro­posición atómica que aparece a su derecha; por ejemplo en la fórmula

q · r' la negación se aplica a cq9 solamente. Si se desea dar al 'no' un alcance mayor debe recurrirse al uso de paréntesis (ver parágrafo 4). Cuando en una fórmula aparecen más de dos conectivas binarias es nece­sario recurrir a más de un par de paréntesis, en cuyo caso es conveniente utilizar para mayor claridad distintos signos de agrupación (corchetes, lla­ves) como en la fórmula: ' { [ ( p · q ) D r] ≡≡ (p v q)} v r\ Para hallar la ta­bla de verdad resultante en este tipo de expresiones se comienza por re­solver primero las más internas (que se hallan dentro de los signos de agrupación más internos) y luego se va avanzando en un sentido que po­dríamos llamar centrífugo. En estos casos se irán obteniendo, pues, resulta­dos parciales hasta obtener el resultado final. En los siguientes ejemplos se han desplegado en sendas columnas los sucesivos pasos en que se divide el ejercicio; el resultado final se ha destacado en recuadro.

1. ( p · q ) D r

p Q r P · q (P · q ) D r

V V V V V F V V F V V F V F V F F V F V V V F V F F V F F V V F F F V F F F F V

2. - [ ( p v q ) ≡ - p ]

p q P V q - P ( p V q ) ≡ - p — [ ( p v q ) ≡ - p ]

V V V F F V F V V V V F V F V F F V F F F V F V

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Pueden diagramarse las tablas de una manera más económica colocan­do los resultados obtenidos directamente debajo de cada conectiva, sin desplegar las fórmulas, como se ilustra a continuación:

4 1 3 2 - [(P V q) ≡ - p]

V V V V F F V F F V V V V F V V V F F F V V F F F F V F

Los números indican el orden en que han sido halladas las tablas: como arriba, la tabla destacada en recuadro corresponde al resultado final.

Como puede observarse en estos ejemplos, en el caso de la negación ella se resuelve primero -independientemente de las otras conectivas- cuan­do afecta proposiciones atómicas; si por el contrario afecta una proposición molecular, debe hallarse en primer término el resultado de esta última y luego aplicarle la negación.

§ 3- Funciones de verdad . Extensionalidad de las conect ivas

Hemos dicho que para conocer el valor veritativo de proposiciones mo­leculares en que intervienen conectivas como las que estamos estudiando es necesario conocer el valor de verdad de sus componentes. El estudio de las tablas de verdad nos indica que este conocimiento es no sólo necesario, sino también suficiente para ese propósito.

En efecto, dada, por ejemplo, la proposición:

1. Juan duerme y Pedro canta

basta con saber si es cierto o no que Juan duerme y si es cierto o no que Pedro canta para conocer su valor veritativo.

No ocurre lo mismo con todas las afirmaciones. Analicemos, v. gr., la proposición:

2. Juan duerme porque Pedro canta

Para determinar si esta proposición es o no verdadera es necesario saber si es verdad que Juan duerme y lo es también que Pedro canta, pero este conocimiento no es suficiente, porque la proposición no se limita a afirmar conjuntamente ambos hechos (como sería el caso de la conjunción), sino que indica entre ambos una conexión causal que debe verificarse adi-cionalmente. Así, por ejemplo, sería necesario saber si el canto de Pedro resulta extremadamente aburrido o extremadamente sedativo para Juan como para provocarle sueño, etc.

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Si observamos ahora la proposición:

3. Creo que Juan duerme y Pedro canta

notaremos que el conocimiento del valor veritativo de las atómicas 'Juan duerme' y 'Pedro canta' no resulta ni suficiente ni necesario para conocer el valor de verdad de la totalidad.

De esto resulta que de los tres ejemplos analizados únicamente en el primero es posible construir una tabla de verdad completa, porque sólo en ese caso podemos determinar unívocamente el valor veritativo de la proposición molecular resultante a partir del de sus atómicas componentes. Así, sea: 'p': Juan duerme; 'q': Pedro canta.

Caso 1. Juan duerme y Pedro canta

p q p · q

V V V F V F V F F F F F

Caso 2. Juan duerme porque Pedro canta

P q p porque q

V V ?

F V F V F F F F F

Caso 3. Creo que Juan duerme y Pedro canta

P q creo que p · q

V V ?

F V ?

V F ?

F F ?

La circunstancia de que el valor de verdad de una proposición mole­cular esté determinado - y determinado unívocamente- por el de sus com­ponentes (es decir que el conocimiento del valor de verdad de éstas sea necesario y suficiente para determinar el de aquélla), se expresa diciendo que dicha proposición molecular es una función de verdad -o función veri­tativa- de sus componentes.

El que una proposición molecular sea o no una función de verdad depende de las conectivas que vinculan entre sí sus proposiciones compo­nentes. Podemos observar, por ejemplo, que en las proposiones 1, 2 y 3 que acabamos de analizar, las atómicas son idénticas y lo único que varía es la conectiva.

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Las conectivas cuyo uso determina la formación de proposiciones mo­leculares que son funciones de verdad son llamadas functores de verdad, o conectivas extensionales; por oposición podemos denominar no extensio-nales a aquellas que, por agregar implícitamente exigencias o condiciones de verdad adicionales o distintas a las que resultan de la mera combinación de los valores veritativos de las proposiciones atómicas, determinan pro­posiciones moleculares que no son funciones de verdad. Una característica definitoria de la extensionalidad de una conectiva es que su significado queda determinado en forma total a través de una tabla de verdad.

La lógica proposicional que estamos estudiando se ocupa sólo de fun­ciones de verdad y todas las conectivas presentadas en el parágrafo 1 son, como se desprende de lo expuesto, extensionales.

§ 4 . Conect ivas lógicas y lenguaje usual

En el parágrafo 2 hemos fijado unívocamente, a través de sus tablas de verdad, el significado de las conectivas extensionales que utilizaremos en el cálculo proposicional.

En alguna medida estas conectivas tienen correspondencia con deter­minadas locuciones del lenguaje usual, como lo señalamos al presentar su nómina; debemos destacar, sin embargo, que no se identifican plenamente con ellas. ( 2 )

Comencemos, por ejemplo, por considerar el caso de la conectiva '—', que hemos interpretado hasta aquí como el 'no' del lenguaje usual. Tomamos hasta el momento como paradigma de proposición de la forma

p' expresiones tales como:

1. No llueve 2. No hace frío

Pero el lenguaje usual suele emplear otras muchas formas para la nega­ción. En primer lugar, ésta no aparecerá siempre precediendo la oración; en rigor éste es un caso más bien excepcional que se presenta en las oraciones llamadas "impersonales" como 1 y 2 o en aquellas en que el sujeto grama­tical ha sido indicado con anterioridad o se desprende del mero uso del verbo, como, por ejemplo: 'No iré', pero más comúnmente el 'no' se pre­senta en medio de la oración:

3. Juan no vino 4. Hasta ahora el peso no se ha estabilizado

En todos estos casos, e independientemente del lugar que ocupe el 'no' en la oración del lenguaje usual, la conectiva '—' se colocará a la izquierda de la variable proposicional respectiva y expresará adecuadamente la negación.

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Por otra parte, en el idioma castellano pueden usarse con el propósito de negar una proposición, expresiones que no se reducen al adverbio 'no, solo. Así, podemos decir:

5. No es cierto que las elecciones hayan sido fraudulentas 6. No se ha dado el caso de que ambos candidatos fusionaran sus partidos

En el cálculo proposicional estos ejemplos se simbolizan del mismo modo que 3 y 4, es decir: '— p'.

Puede ocurrir, no obstante, que la negación afecte a una proposición compuesta, como en:

7 No es cierto que Juan estaba enfermo y Pedro lo reemplazó en el trabajo

En este caso la negación no afecta a cada una de las proposiciones ató­micas aisladas, sino a la conjunción de las dos. Se requiere, entonces, el uso de paréntesis para agrupar la conjunción y negarla en su totalidad:

— ( P · q)

En efecto, lo que se niega acá es que ambos hechos sean ciertos a la vez, es decir, o bien es verdadero 'p', pero falso 'q', o bien es verdadero 'q', pero falso 'p', o bien son falsos ambos; como puede comprobarse, la fórmula tie­ne la misma tabla de verdad que la disyunción de estas tres posibilidades: 4 (P · - q) v ( - p · q) v ( - p · - q)".

Reflexionemos ahora un poco acerca de la disyunción. En los parágra­fos 1 y 2 presentamos símbolos y tablas de verdad para dos tipos diferen­tes de disyunción. Estos dos tipos de disyunción existen en el lenguaje cotidiano. En efecto, la palabra 'o' de nuestro idioma puede entenderse en dos sentidos diferentes. Sean, por ejemplo, los siguientes enunciados:

8. Se prohibe a los pasajeros asomarse o sacar los brazos por la ventanilla 9. Está permitido a los empleados llegar cinco minutos después o retirarse

cinco minutos antes del horario reglamentario

En el primer caso es claro que la disposición prohibe a los pasajeros asomarse, sacar los brazos por la ventanilla y también efectuar ambos mo­vimientos a la vez (está prohibida una cosa, la otra y ambas); en cambio en el segundo caso se trata de una opción; si el empleado llega más tarde no podrá retirarse antes y si se retira antes será a condición de que haya llegado puntualmente (está permitida una cosa u otra, pero no ambas); las dos franquicias son pues, recíprocamente excluyentes. El primer sig­nificado del 'o' corresponde a la disyunción que hemos llamado inclusiva; el segundo a la exclusiva. Suele llamarse también débil al primer tipo de disyunción y fuerte al segundo.

El signo de la disyunción inclusiva, que reproduce la letra V de im­prenta, recuerda el término latino 'vel" que significa, precisamente, 'o' en sentido débil; en tanto que existe otra palabra latina: 'aut" para indicar el sentido exclusivo de la disyunción. En castellano no se ha conservado, sin embargo, esa distinción; como ya se dijo el término 'o, es ambiguo. Esta

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ambigüedad torna difícil decidir muchas veces frente a qué tipo de dis­yunción nos hallamos.

Aun cuando, aparentemente, la más usual sería la disyunción exclusi­va, un análisis más detenido nos indica que, por el contrario, lo más co­mún es usar el 'o' con sentido inclusivo.

Consideremos, por ejemplo, los siguientes casos:

10. Para que ese hombre tan sereno haya reaccionado de un modo violento debe haber estado bajo los efectos del alcohol o dominado por un intenso estado emocional

En este caso se quiere expresar con la disyunción que una de las dos causas señaladas debe explicar el hecho, pero no se excluye la posibilidad de que hayan actuado conjuntamente ambas. En otras palabras, la afir­mación no sería falsa si el hombre en cuestión hubiese estado bajo el im­pacto de un choque emocional y, por añadidura, ebrio.

11. Retenga usted el envío en su domicilio. Mi secretaria, o yo personalmente, iremos a retirarlo

Con este anuncio se quiere advertir que al menos uno de los nombrados pasará a buscar el envío, pero si acuden ambos, no por eso la promesa queda sin cumplir.

Encontrar casos del 'o' exclusivo es más difícil; en verdad, para que se dé este caso debe existir la intención manifiesta (muchas veces sólo discernible claramente en el contexto) de presentar ambas posibilidades como mutuamente excluyentes. Éste sería el caso, v. gr., de un médico que prescribiera a su paciente la ingestión de una dosis diaria de cierto medicamento indicándole que podrá tomarlo después del almuerzo o de la cena (pero, obviamente, no después de ambas comidas, lo cual se despren­de del uso contextual del 'o').

Por regla general interpretaremos, pues, de aquí en adelante, toda disyunción que aparezca como inclusiva, a menos que se indique expresa­mente lo contrario.

Veamos ahora qué ocurre con la conjunción. Un enunciado molecular de este tipo afirma, según hemos visto, que ambos miembros se verifican. En este sentido el símbolo lógico ' ·' se comporta de modo análogo al 'y' del lenguaje usual. Pero no siempre esta analogía se cumple. En efecto, el 'y' no cumple en todos los casos funciones de mera conjunción.

Consideremos, por ejemplo, el caso de un niño que se resistía tenaz­mente a dejarse aplicar cierta vacuna argumentando, para justificar su resistencia, el caso fatal de otro niño que había recibido la vacuna y había muerto. Este argumento logró convencer a sus padres, hasta que éstos des­cubrieron que el niño vacunado había muerto en realidad en un accidente de tránsito, después de lo cual no sólo vacunaron a su hijo, sino que ade­más lo castigaron por haber mentido. El hecho de considerar que el niño había mentido, es decir, que la afirmación:

12. El niño recibió la vacuna y murió

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era falsa, indica con claridad que en este caso el 'y' no tiene el sentido de una mera conjunción, sino que viene a expresar más bien una conexión causal y de ninguna manera puede simbolizarse con el ' ·', porque sus con­diciones de verdad son diferentes; en rigor, en este contexto la conectiva 'y' no puede analizarse al modo extensional.

Existen otros varios usos de esta conectiva que no pueden forzarse a la significación propuesta para la conjunción lógica. En ocasiones ella, sin indicar precisamente una relación causal, señala sin embargo cierta secuen­cia temporal, como en la proposición:

13. Pronunció su discurso más brillante y murió

En este caso e l 4 · ' que opera conmutativamente (ya que ep · q' y 'q · p' son fórmulas equivalentes) no expresaría adecuadamente la relación, pues evidentemente esta expresión no es igual a: 'Murió y pronunció su discurso más brillante'.

También puede usarse para expresar cierta forma de condicionamiento de un suceso con respecto al otro, v. gr.:

14. Prométeme que nunca me olvidarás y me iré

que más bien debería traducirse como una proposición condicional ('Si me prometes que nunca me olvidarás, entonces me iré').

Todo esto indica que no se puede simbolizar el 'y' mecánicamente mediante la conectiva ' ·'. Es necesario reflexionar acerca de cuáles son las condiciones de verdad exigidas por la proposición molecular que se ha for­mado con la ayuda de esta partícula para saber si estamos o no autorizados a considerarla una conjunción.

Así como hay casos de aparición del 'y' que no pueden reducirse a la conectiva de la conjunción hay, por otra parte, ciertos términos del len­guaje cotidiano diferentes de aquél que sí pueden traducirse a esta conec­tiva; esto ocurre, v. gr., con la palabra 'pero'.

Supongamos, por ejemplo, el caso de una mañana de invierno que amaneciera lluviosa y con una temperatura superior a lo previsible. Si en estas circunstancias quisiéramos comunicar a alguien el estado del tiempo, probablemente diríamos:

15. Llueve, pero no hace frío

En este caso podemos simbolizar el 'pero' mediante la conectiva ' · ' puesto que la información objetiva que el interlocutor recibe con respecto al estado del tiempo es que llueve y no hace frío, y esta información será verdadera si, y sólo si, ambas circunstancias se verifican, condición característica de la función veritativa que denominamos conjunción.

Algo análogo a lo que sucede con el 'pero' ocurre también con expre­siones como 'aunque', 'sino', 'no sólo, sino también', 'sin embargo', e incluso con signos de puntuación como la coma o el punto y coma, que sirven para afirmar conjuntamente dos o más proposiciones.

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Analicemos ahora la conectiva que hemos denominado condicional. De todas las conectivas lógicas es ésta la que más difícil resulta justificar por una analogía con el lenguaje usual. En rigor, si realizamos una aproxi­mación intuitiva a esta función de verdad hallamos claramente compren­sibles sólo dos de los casos de su tabla de verdad.

Consideremos, v. gr., la proposición:

16. Si Juan viene, Pedro se va

Este enunciado no afirma separadamente cada uno de sus miembros, no asegura que Juan vendrá ni que Pedro se irá, sino que determina cierto nexo entre antecedente y consecuente: afirma que, de producirse el primer hecho, se producirá también el segundo, establece que el primer hecho es condición suficiente para el segundo (si se produce p se producirá q) y que el segundo es condición necesaria para el primero (sólo si sucede q puede haber sucedido p). Queda, pues, bien claro que esta proposición molecular resultará falsa si se verifica el primer suceso y no se verifica el segundo. Podemos afirmar asimismo que la proposición es verdadera si se producen ambos hechos. Quedarían así justificadas las filas 1 y 3 de la tabla de verdad de la conectiva ' D L o que resulta bastante insólito es que consi­deremos la proposición molecular como verdadera en el caso de que no se cumpla el antecedente (filas 2 y 4 de la tabla). En rigor, como señala Quine, ( 3 ) en el lenguaje usual si el primer hecho no se verifica es como si no hubiéramos hecho la afirmación: nadie dirá que ella era verdadera o falsa; sólo adquiere vigencia una proposición condicional si se produce la circunstancia señalada en el antecedente. Éste es uno de los rasgos que aleja la conectiva 'D' del 'si-entonces' del lenguaje usual.

Otra circunstancia peculiar del condicional utilizado por la lógica es que en él no se requiere la existencia de vinculación alguna entre el ante­cedente y el consecuente para que la molecular sea verdadera; sólo se exige que no sea verdadero el primero y falso el segundo. Así, afirmaciones como:

17. Si la Tierra es un planeta, John Locke es un filósofo inglés 18. Si la Tierra es una estrella, John Locke es un filósofo inglés 19. Si la Tierra es una estrella, John Locke es un filósofo francés

resultan verdaderas para el análisis lógico sólo porque no se da en ellas el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Sin embargo, semejantes proposiciones no serían consideradas verdaderas (aunque tampoco falsas, sino más bien sin sentido) en el lenguaje cotidiano. Aunque este distanciamiento de la lengua corriente parece particularmente grave en el caso del condicional, él es, por cierto, característico de todas las conectivas lógicas, en la medida en que éstas son puramente extensio­nales (véase nota 1).

Así, pues, a pesar de que el condicional cuya tabla estudiamos recoge buena parte del sentido del condicional usual, no corresponde exactamente a él, de modo que para distinguirlo se le da el nombre de condicional material.

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Las razones por las cuales se ha escogido aquella tabla para el condi­cional material no son, sin embargo, arbitrarias. En primer lugar, aun cuando su analogía con el lenguaje usual no es total, podemos asegurar que recoge lo que tiene de común el 'si-entonces' en casi todos sus usos posibles ( 4 ) en el sentido de que la proposición molecular será declarada falsa si siendo verdadero el antecedente es falso el consecuente. En se­gundo lugar, esa tabla veritativa se ajusta perfectamente a las necesidades del análisis lógico en la medida en que el condicional es la conectiva desti­nada a traducir en el lenguaje proposicional la relación de implicación ca­racterística de la inferencia válida. Volveremos sobre esto más adelante (véanse parágrafos 8 y 9).

Convenimos, pues, en que la forma 'p D q' nos servirá para simbolizar aquellas expresiones del lenguaje usual donde se afirma que cp' es condi­ción suficiente de 'q' y 'q' es condición necesaria de 'p' (tal como ocurre en el enunciado 9).

Por otra parte existen, además del 'si-entonces', otras locuciones de la lengua cotidiana que cumplen estos requisitos.

Sea, por ejemplo, la proposición:

20. Sólo si es empleado de la casa puede usar el ascensor principal

A primera vista advertimos que estamos ante una proposición de ese tipo; la conectiva 'D' será apropiada para simbolizar la expresión "sólo si"; sin embargo, debemos estar alertas al realizar el proceso de abstracción. En efecto, quizá nos sentimos inclinados a suponer que la proposición ató­mica que aparece en primer término: 'Es empleado de la casa' (p), obra en la molecular como antecedente, mientras que la segunda: 'Puede usar el ascensor principal' (q), obra como consecuente, con lo cual la molecular se simbolizaría: 'pDq'. Sin embargo no es así, sino a la inversa. En efecto, lo que el juicio enuncia es que el hecho de ser empleado de la casa ('p') es requisito (es decir, condición necesaria) para poder usar el ascen­sor ('q'), pero no dice que sea condición suficiente -pues tal norma puede ser una dentro de una serie mayor de requisitos adicionales, como por ejem­plo, un determinado horario, etc.-. Puesto que la cláusula que fija la con­dición necesaria es el consecuente, la forma de aquella proposición será: 'q D p' (es decir: 'Si usa el ascensor principal, entonces es un empleado de la casa').

Otras expresiones lingüísticas que pueden indicar la relación condicio­nal son 'siempre' -en sentido no temporal-, 'en caso de que', etc. ('Iré, siempre que tú estés allí'; 'En caso de incendio debe romperse el vidrio', etcétera).

Analicemos ahora la conectiva que denominamos bicondicional. Co­mo su nombre lo indica, ésta expresa un condicional doble, es decir, un condicional que se cumple en ambas direcciones: 'p D q' y (q D p'. Como puede verificarse, la conjunción de estos dos condicionales presenta la mis­ma tabla de verdad que el bicondicional 'p ≡ q\

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De lo dicho se infiere que una proposición molecular de forma bicondi-cional expresa que cada uno de sus miembros es condición necesaria y sufi­ciente del otro.

En nuestro idioma, el giro que más adecuadamente se corresponde con este significado es, como quedó dicho, el 'si y sólo si'. Pero hay también otras fórmulas que sirven para expresar un condicional recíproco, tal como la siguiente:

21. Si un hombre es puro, alcanza el Nirvana, y si alcanza el Nirvana, enton­ces es puro

§ 5. Simbolización

Hemos indicado en el parágrafo anterior algunos recursos que permi­ten expresar en el simbolismo de la lógica proposicional enunciados mo­leculares sumamente sencillos. Pero en el lenguaje cotidiano suelen apare­cer proposiciones mucho más complejas, como ésta:

1. Si todos los alumnos cumplen con sus obligaciones y logran aprobar el exa­men, el director de la escuela los recompensará con una semana de descanso; pero si algún alumno resultara reprobado, la dirección no adoptará esa medida

En este enunciado aparecen varias conectivas y proposiciones atómicas diferentes. Por ser todas las conectivas del tipo extensional será posible hallar una fórmula en lógica proposicional que represente adecuadamente su estructura lógica.

Pero, ¿cómo proceder para ello? A pesar de que no existe ninguna fórmula mecánica para abstraer las formas de los enunciados, hay una regla que conviene respetar en todos los casos: la traducción debe reali­zarse de afuera hacia adentro (en dirección centrípeta), esto es hallando en primer lugar la estructura que corresponde a la proposición molecular más amplia para ir analizándola luego en estructuras más y más simples hasta llegar a las atómicas componentes, elementos últimos del análisis que nos ocupa, cuidando de agrupar luego adecuadamente las proposiciones mediante paréntesis.

Según esta técnica debemos proceder con la proposición 1 del siguiente modo: hallamos en primer lugar dos grandes proposiciones moleculares unidas entre sí por la palabra 'pero\ La proposición molecular en su es­tructura más amplia es, pues, una conjunción (decimos entonces que el operador o conectiva principal es el de la conjunción).

Podemos ordenar entonces la proposición de la siguiente manera:

Si todos los alumnos cumplen con sus obliga­ciones, y logran aprobar el examen, el director de la escuela los recompensará con una sema­na de descanso

pero ( • )

si algún alumno resultara reprobado, la dirección no adoptará esa medida

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Debemos ahora analizar cada uno de los miembros de la conjunción, y este análisis puede realizarse con independencia recíproca. Consideremos el primer miembro, dejando por ahora sin analizar el segundo. Él expresa, en su totalidad, un condicional:

Si todos los alumnos cum­plen con sus obligacio­nes y logran aprobar el examen

entonces (=>)

el director los recom­pensará con una sema­na de descanso

pero ( • )

si algún alumno resul­tara reprobado, la di­rección no adoptará esa medida

A su vez, dentro del antecedente del condicional podemos descubrir partes, pues se trata de una conjunción.

Si

todos los alumnos cum­plen con sus obl iga­ciones

y ( • ) logran aprobar el exa­men

entonces O )

el director los recom­pensará con una sema­na de descanso

pero ( • )

si algún alumno resul­tara reprobado, la di­rección no adoptará esa medida

Completado el análisis del primer miembro de la conjunción podemos pasar ahora al del segundo miembro. Esta proposición tiene la forma con­dicional:

Si

todos los alumnos cumplen con sus obligaciones

y ( • ) logran aprobar el examen

ent. (=>)

el director los recompensará con una sema­na de descanso

pero ( • )

si a lgún alumno resultara re­probado,

ent. (=>)

la dirección no adoptará e s a medida

Advertimos por último que el consecuente del condicional que acaba­mos de analizar corresponde a la negación de una proposición atómica, con lo cual completamos el análisis de esta molecular en sus componentes últimas.

Podemos ahora reemplazar cada proposición atómica por una variable proposicional, por ejemplo, del siguiente modo: (/p': todos los alumnos cumplen con sus obligaciones 'q': todos los alumnos logran aprobar el examen (r'\ el director recompensará a los alumnos con una semana de descanso

La proposición 'algún alumno resultara reprobado' es la negación de fq' y 'la dirección no adoptará esa medida' es la negación de V.

Según estas convenciones la forma de la proposición 1 es la siguiente:

[ (p · Q) D r] · (— q D — r)

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§ 6- Tautología, contradicción y contingencia. Consistencia e inconsistencia. Tautología y ley lógica

Las proposiciones moleculares que son funciones de verdad de sus com­ponentes tienen, por definición, como ya dijimos, un valor veritativo que depende únicamente de éstas.

Analicemos qué ocurre, por ejemplo, con la proposición que acabamos de simbolizar:

[ (p · q) D r] • (- q D - r)

V V V V V V F V V F V F F V V V V F V V F V V F F V V F V F F F V F F F V V F V F F F V V V V F F F F V V V F F F V V F V F V V V F V F F V F V V F V V F F F F V F V V F V V F

El resultado final indica que esta afirmación será verdadera en los casos que corresponden a las filas 1, 2, 6, 7 y 8 de la tabla, y falsa en los que corresponden a la fila 3, 4 y 5.

Así, pues, el hecho de que esta proposición (o cualquier otra que tenga su misma forma lógica) resulte realmente verdadera o falsa es algo que no puede determinarse sólo con un análisis lógico. En efecto, la tabla de verdad nos dice sólo cuáles combinaciones de valores veritativos la hacen falsa y cuáles la verifican, pero que estas combinaciones se den o no se den es una cuestión de hecho o, en general, extralógica. El análisis veri­tativo funcional no indica que ella sea necesariamente verdadera ni nece­sariamente falsa. De este tipo de formas proposicionales en cuya tabla de verdad aparece al menos un caso de verdad y al menos un caso de falsedad, se dice que tienen la propiedad de ser contingentes o que expresan una contingencia; también se califica de contingentes a las proposiciones cu­yas formas lógicas lo son. Otros ejemplos de formas proposicionales con­tingentes son: 'p', 'p D q', '(p ≡≡ — q) V r\ etc.

Hay otro tipo de formas proposicionales, en cambio, que presentan como resultado en su tabla de verdad uno solo de los dos valores veritati­vos: son verdaderas en todas las filas o falsas en todas ellas. Reservaremos el nombre de tautología y contradicción para designar respectivamente las formas lógicas de uno y otro tipo; análogamente hablaremos de proposi­ciones tautológicas y contradictorias para referirnos a proposiciones cuyas formas lógicas tienen esas características.

Ejemplos de tautología son: 'p D p"; 'p V — p'; ' (p · q) ≡ (q · p)', etc. Ejemplos de contradicción: (p · — p'; '— (p v — p)'; '— (p ≡p)', etc. Co-

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mo se desprende de lo expuesto la negación de una tautología conduce a una contradicción, y recíprocamente.

Si una proposición es tautológica o contradictoria su valor de verdad no es, entonces, contingente, sino necesario (necesariamente verdadero, necesariamente falso), y puede determinarse con un procedimiento lógico (y, por ende, puramente formal) como el de las tablas de verdad.

Cuando una proposición es contradictoria se dice que es inconsistente; cuando no lo es, se dice que es consistente. Las tautologías y contingencias son, pues, consistentes.

Podemos resumir esta clasificación en el siguiente cuadro:

Consistentes Prop. contingentes Prop. tautológicas

Valor de verdad contingente

Inconsistentes Prop. contradictorias Valor de verdad necesario

Detengámonos ahora un momento en las proposiciones tautológicas, que revisten, como veremos, suma importancia dentro del cálculo propo­sicional. Hemos dicho que ellas resultan verdaderas por su sola forma y, por lo tanto, independientemente de los hechos. Esto puede parecer un tanto extraño; en efecto, puesto que toda proposición afirma (o niega) algo parecería que debe tener incidencia en su valor de verdad que lo que ella asevera se cumpla o no en la realidad.

Así, supongamos una proposición en que se haga alguna afirmación relativa al estado civil de cierta persona, v. gr., Juan Pérez. ¿Cómo puede ser que no tenga incidencia en el valor de verdad de esa proposición el estado civil real de Juan Pérez? Se supone que todos aquellos enunciados que afirmen que él es soltero serán verdaderos sólo si efectivamente lo es, y falsos en caso contrario; y lo mismo ocurrirá con los enunciados donde se afirme que es casado. Por lo tanto, cualquiera fuera el estado civil de este individuo, debería incidir en el valor veritativo del enunciado.

Pero hay casos en que esto no ocurre. Tomemos como ejemplo la afir­mación:

1. Juan Pérez es soltero o no lo es

Esta proposición es siempre verdadera, cualquiera sea el estado civil de la persona a que se refiere. En efecto, hay solamente dos casos lógi­camente posibles: que Juan Pérez sea soltero y que no lo sea, y ambas posibilidades están contempladas en la disyunción; ahora bien, si es soltero, la disyunción resulta verdadera porque su primer disyunto lo es, y si no es soltero, resulta verdadera porque así lo es su segundo disyunto.

Esto nos permite advertir, por otra parte, que si bien esta proposición es siempre verdadera, la información que aporta es vacua; en efecto, ella no agrega nada nuevo a nuestro conocimiento de la realidad.

Éste es un rasgo de todas las proposiciones tautológicas; son siempre verdaderas, pero a costa de la vacuidad de su información. Sin embargo,

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el carácter tautológico de una proposición no siempre es tan evidente co­mo en 1.

Sea, por ejemplo, el enunciado:

2. Si es exacto que, en caso de continuar enfermo, Pedro faltaría hoy al tra­bajo, y es cierto también que él sigue realmente enfermo, entonces Pedro no vendrá a trabajar en el día de hoy

Esta proposición parece informar algo acerca de la posible ausencia de Pedro, pero en realidad no es así. Analizándola confirmaremos este aserto.

Si simbolizamos:

fp\· Pedro continúa hoy enfermo <qí: Pedro vendrá hoy al trabajo

la forma de la proposición 2 puede representarse del siguiente modo:

[ (P D — q) * p] D — q

Observemos que la proposición analizada no afirma que Pedro ven­drá hoy al trabajo (q) ni que faltará (— q). Sólo dice que, en el caso de que sea cierto el condicional ('si Pedro está enfermo entonces no ven­drá hoy al trabajo'), y sea cierto el antecedente de ese condicional ('Pedro está enfermo'), será cierto también el consecuente ('Pedro no vendrá hoy al trabajo'). Pero esto es algo que ocurre siempre, independientemente de lo que pueda sucederle a Pedro (e independientemente de cualquier cosa que acaezca en la realidad), pues si cp D — q' es verdadero y 'p' también lo es, q' necesariamente tiene que serlo, ya que si fuera falso esto haría falso el condicional, y éste, por hipótesis, es verdadero. La única posibili­dad que cabe, dados aquellos supuestos es, pues, que q' sea verdadero. Así, pues, una proposición de esa forma no afirma en realidad nada nuevo, nada que no estuviera ya implícito en el significado de las conectivas mis­mas que usamos.

Este tipo de análisis permite ratificar nuestra afirmación de que la verdad propia de las proposiciones tautológicas no deriva ni depende de su correspondencia con determinados hechos de la realidad, sino de ciertas características puramente formales, de cierto tipo de relaciones que se esta­blecen entre sus partes componentes, es decir, no depende de su contenido informativo, sino de su estructura lógica. De allí que para determinar si una proposición es o no tautológica sea suficiente descubrir su estructura y someterla al análisis lógico (por ejemplo, a través de las tablas de ver­dad) sin consultar en ningún momento los hechos a que el enunciado hace referencia.

Ahora bien, hemos dicho que toda proposición tautológica es necesa­riamente verdadera (verdadera por su sola forma lógica). Debemos añadir ahora que existe otro tipo de proposiciones que, a pesar de no ser tautoló­gicas, son también lógicamente verdaderas.

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Así, por ejemplo, los enunciados:

3. Todos los seres vivos son seres vivos 4. Todo triángulo equilátero es un triángulo 5. Si algún estadista es amante de la justicia, algún amante de la justicia es

estadista

tienen una estructura que garantiza su verdad, como podremos probarlo más adelante (véase cap. 3), pero, traducido a la simbología de la lógica proposicional y sometido al análisis veritativo funcional todos resultan contingentes (ellos pueden ser representados respectivamente por (p\ (q\ 'rDs9).

Esto se debe a que el análisis que puede practicarse dentro del cálculo proposicional tiene, como ya se dijo, un alcance limitado: se detiene en la frontera de las proposiciones atómicas; no penetra dentro de éstas y, por lo tanto, es incapaz de descubrir una verdad lógica cuando ésta se origina en ciertas relaciones que se dan dentro de la estructura de las proposiciones atómicas mismas, entre sus elementos componentes, como ocurre en los juicios 3, 4 y 5.

Llamaremos, pues, verdad lógica a toda proposición que resulte verda­dera en virtud de su sola forma lógica (sea o no tautológica) y denomina­remos ley lógica a la forma o estructura de tales proposiciones. Así, pues, diremos que una forma proposicional es una ley lógica si y sólo si cual­quiera sea la interpretación formalmente correcta ( 5 ) que se haga de la mis­ma se obtiene como resultado una proposición verdadera.

De lo dicho se desprende que las tautologías son las leyes lógicas del cálculo proposicional y que existe otro tipo de leyes -no tautológicas- que son estudiadas en otros capítulos de la lógica.

En el parágrafo siguiente presentamos una nómina de algunas leyes de la lógica proposicional cuyo conocimiento nos será indispensable un poco más adelante.

§ 7. Leyes de la lógica proposicional

Para enunciar estas leyes de un modo que resulte útil a su posterior uso debemos recurrir ahora a una nueva convención terminológica.

Sea, por ejemplo, la siguiente fórmula:

[ (p D q ) · p ] D q

Esta forma proposicional es tautológica, como puede comprobarse reali­zando su tabla de verdad. Corresponde a una ley lógica particularmente importante: el Modus Ponens.

Si tuviéramos que describir qué tipo de vinculación entre los valores de verdad de sus componentes establece esta fórmula, podríamos hacerlo del siguiente modo: 'Si es verdadero un condicional y al mismo tiempo el antecedente de dicho condicional, lo será también el consecuente'.

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Esta descripción pone de manifiesto que no necesariamente el antece­dente y el consecuente del primer condicional deben ser proposiciones atómicas.

Así, el enunciado también sería tautológico si tuviera, v. gr., la siguien­te forma:

{ [ ( p · q) D r ] · ( p · q ) } D r

donde el antecedente del primer condicional ha dejado de ser una propo­sición simple. Lo importante es que esta fórmula sigue respondiendo a la estructura general arriba descripta: se enuncia que, si se afirma un condi­cional 4 [ ( P · <í) ^ r ] ' y el antecedente del mismo '(p-q)\ se sigue como consecuente el consecuente del primer condicinal: V.

Será entonces conveniente formular el esquema del Modus Ponens recurriendo a otro tipo de letras que representen proposiciones cualesquie­ra, sean ellas atómicas o moleculares, del siguiente modo:

[ ( A D B ) - A ] D B

Ejemplos de Modus Ponens serán entonces las dos fórmulas arriba transcriptas e infinitas otras, como, v. gr., las siguientes:

{ [ ( p v q ) D p ] · ( p v q ) } D p {[ (p V - p) D ( - q · r ) ] · (p v - p ) } D ( - q · r )

En estos ejemplos se ve claramente que no es necesario que a cada letra del esquema corresponda una sola variable proposicional; siempre que se ajusten al esquema general previsto las fórmulas pueden construirse con cualquier número de variables; por eso podemos afirmar que existe un infinito número de formas proposicionales posibles que ejemplifican el Modus Ponens y cualquier esquema de ley de la lógica proposicional, como los que presentamos a continuación:

1. [ (A D B) · A] D B Modus Ponens (o Ponendo Ponens) (M. P.) 2. [ (A D B) · — B] D — A Modus Tollens (o Tollendo Tollens) (M. T.) 3. A≡≡A Identidad 4. ADA Identidad 5. A v — A Tercero excluido 6. — (A — A) Contradicción 7. (A · B) D A Simplificación (Simp.) 8. A D (A v B) Adición (Ad.) 9. [(Av B) - — A]D B Silogismo disyuntivo (o Modus Tollendo

Ponens) (S. Disy.) 10. [(A D B) · (B D C)~]D (A D C) Silogismo hipotético (S. Hip.) 11. — (A v B) ≡≡ (— A — B) 1 1 _ m , r x

v > Leyes de De Morgan (De M.) 12. - ( A . B ) ≡ ( - A v - B ) J J &

13. A ≡≡ A Doble negación (D. N.)

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14. (AD B)≡(— AvB) Definición del condicional (Def. Cond.)

15. (ADB)≡≡ — (A- — B) Definición del condicional (Def. Cond.)

16. — (A D B) ≡≡ (A — B) Negación del condicional (Neg. Cond.)

17. (A ≡≡ B) ≡≡ [ (A D B) · (B D A)] Definición del bicondicional (Def. Bicond.)

18. (A ≡≡ B) ≡≡ [ (A · B) v (— A · — B) ] Definición del bicondicional (Def. Bicond.)

19. (A·A)≡≡A Idempotencia de la conjunción (Id. Conj.)

20. (A v A) ≡≡ A Idempotencia de la disyunción (Id. Disy.)

21. [(A D B) · (C D D) · (A v C)] D (B v D) Dilema constructivo (D. C.)

22. [ (A D B) · (C D D) - (— B v — D) ] D (— A v — C) Dilema destructivo (D.D.)

23. [ (A · B) D C] ≡≡ [A D (B D C) ] Exportación (Exp.)

24. (A^B)≡≡(-BD — A) Transposición (Transp.)

25. (A · B) ≡≡ (B · A) Conmutatividad de la conjunción (Conm. Conj.)

26. (A v B) ≡≡ (B v A) Conmutatividad de la disyunción (Conm. Disy.)

27. [(A * B) - C~¡ ≡ [A - (B - C)] Asociatividad de la conjunción (Asoc Conj.)

28. [(Av B)v C]≡≡[Av (Bv C)] Asociatividad de la disyunción (Asoc. Disy.)

29. [A - (B v C)]≡≡[(A · B) v (A · C) ] Distributividad de la conjunción con respecto a la disyunción (Dist. conj ./disy.)

30. [A y (B ^ C)]≡ [(A y B) - (A \/ C)] Distributividad de la disyunción con respecto a la conjunción (Dist. disy./conj.)

§ 8 . Val idez de razonamientos y tablas de verdad . Condicional asociado

Hasta aquí hemos estudiado las técnicas elaboradas por el cálculo pro­posicional para hallar la forma de las proposiones moleculares y sus valores de verdad posibles.

Veamos ahora de qué modo estos recursos pueden aprovecharse en favor de lo que hemos presentado inicialmente como nuestro principal ob­jetivo: determinar qué tipo de estructuras de razonamiento son válidas y cuáles no lo son. Un método para poner el análisis veritáfivo-funcional al servicio de este propósito es el que pasamos a explicar.

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Dado un razonamiento cualquiera -analizable en términos de lógica proposicional- se procede del siguiente modo:

1) Se abstrae su forma lógica. 2) Se forma un condicional -llamado condicional asociado a dicho ra­

zonamiento- que tenga como antecedente la conjunción de sus premisas y como consecuente su conclusión.

3) Se somete el condicional así formado al análisis veritativo funcional a través de las tablas de verdad. Si el resultado obtenido es una tautolo­gía, puede afirmarse que la estructura de razonamiento es válida (y, por ende, que el razonamiento lo es). Si no es una tautología, puede afirmarse que la estructura es inválida (e inválido también, por consiguiente, el razonamiento).

Primer ejemplo:

Sea el razonamiento:

Si hay vida en la Luna, entonces hay atmósfera No hay vida en la Luna Luego, no hay atmósfera

Se abstrae su forma lógica: P D q — P - q

Se forma el condicional asociado:

[ (P D q) · — p] D — q

Se practica el análisis veritativo funcional:

[ (p D q) · — p] D - q

V V V F F V V F V F V V V V F F F V V F F F F V V V F F V F V V F V V F

El condicional asociado no es tautológico. La estructura es inválida.

Segundo ejemplo: Si hay vida en la Luna, entonces hay atmósfera No hay atmósfera en la Luna Luego, no hay vida

Forma lógica: P D q - q - p

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Condicional asociado: [ (p D q) · — q] D — p

Análisis veritativo funcional:

[ (p D q) · - q] D - P

V V V F F V V F V F V V F F V V V F V F F F V F V F V F V F V V F V V F

El condicional asociado es tautológico. La estructura es válida.

Esta técnica es lícita en virtud de la analogía que existe entre las condiciones que hacen válida una estructura de razonamiento y las que hacen tautológico un condicional. En efecto, hemos dicho que:

una estructura de razonamiento es válida si y sólo si no se presenta nunca el caso de que sus premisas sean verdaderas y su conclusión sea falsa.

Sabemos además que:

una forma condicional es tautológica si y sólo si no se presenta nunca el caso de que su antecedente sea verdadero y su consecuente sea faL·o.

Esto avala, por otra parte, la conveniencia de haber escogido aquella tabla de verdad para el condicional, gracias a la cual el análisis veritativo funcional puede utilizarse para el estudio de la validez.

Según lo que acabamos de ver diremos pues que, dentro del cálculo proposicional, un razonamiento tiene una estructura válida (y es, por lo tanto, válido) si y sólo si su condicional asociado es tautológico.

Así como dijimos que una forma proposicional cuyas interpretaciones resultan siempre proposiciones verdaderas reciben el nombre de ley lógica, reservaremos ahora el nombre de regla lógica (o regla de inferencia) para toda forma de razonamiento válida. El método del condicional asociado nos sugiere la idea de que no sólo es posible la reducción de formas de razonamiento a formas proposicionales de tipo condicional, sino también la operación recíproca; así como para todo razonamiento válido (dentro del cálculo proposicional) hay un condicional tautológico (y por ende, una ley lógica asociada), para toda ley lógica de forma condicional hay una forma de razonamiento válida (es decir, una regla lógica) paralela. Esto ocurre, por ejemplo, con todas las leyes de forma condicional enunciadas en el pa­rágrafo anterior, lo que nos permite formular las siguientes reglas lógicas:

39

1. ADB A B

Regla del Modus Ponens (r. de M. P.)

2. ADB — B -A

Kegla del Modus Tollens (r. de M. T.)

3. A • B A

Regla de la simplificación (r. de Simp.)

4. A A v B

Regla de la adición (r. de Ad.)

5. A v B -A

B

Regla del silogismo disyuntivo (r. de. S. Disy.)

6. A D B B D C A D C

Regla del silogismo hipotético (r. de S. Hip.)

7. A D B C D D A v C B v D

Regla del dilema constructivo (r. de D. C.)

8. A D B C D D

- B v - D

- A v - C

Regla del dilema destructivo (r. de D. D.)

Otra regla que nos interesa anotar es la llamada:

9. A B_

A • B

Regla de la conjunción (r. de Conj.)

El condicional asociado a esta regla resulta un caso del principio de identidad: <(A-B)D(A·B)'.

40

§ 9. Implicación, deducibi l idad y equivalencia

Lo estudiado hasta aquí nos permitirá caracterizar algunos conceptos fundamentales de la teoría de la inferencia lógica como son los de impli­cación, deducibilidad y equivalencia.

Cuando a partir de una proposición (o un conjunto de proposiciones), que llamaremos A puede inferirse válidamente otra que llamaremos B (esto es, se puede formar una estructura válida de razonamiento que tenga como premisa (s) a A y como conclusión a B), se dice que A implica B, y que B se deduce de A.

Si tenemos en cuenta lo estudiado en el parágrafo anterior sobre el método del condicional asociado, podremos concluir que dentro de la lógica proposicional una proposición A implica a otra B (y B se deduce de A) si y sólo si es posible formar un condicional tautológico que tenga a A como antecedente y a B como consecuente.

Algunos ejemplos de formas proposicionales que guardan la relación de implicación son éstos:

A i m p l i c a B

1. p · q p 2. p p v q 3. P ≡ q (pDq)-(qDp)

La relación de implicación no es recíproca: puede ocurrir que A im­plique B pero B no implique A, tal como ocurre en los casos 1 y 2 de la lista anterior. Pero es también posible que entre dos proposiciones se dé la relación de implicación en ambos sentidos, como sucede en el caso 3: A implica B, y B implica A. En este caso se dice que A y B son proposi­ciones lógicamente equivalentes. Puesto que la relación de implicación puede traducirse a un condicional lógicamente verdadero, la de implica­ción recíproca halla su expresión a través de un bicondicional de este tipo. Así, pues, diremos que dentro de la lógica proposicional A y B son lógica­mente equivalentes si y sólo si puede formarse con ambas un bicondicional tautológico.

Ejemplos de formas proposicionales lógicamente equivalentes:

A e q u i v a l e a B

1. P · q - ( - P v — q ) 2. p D q — p v q 3. p ≡ q (pDq)'(qDp)

Como las proposiciones lógicamente equivalentes presentan, en todos los casos, como se deriva de la definición anterior, los mismos valores de verdad, pueden sustituirse una por otra en cualquier contexto, pues ello no alterará en absoluto los resultados veritativos de la fórmula en que ellas aparecen. Así, v. gr., en la expresión: ' ( p · q ) Dp ' el antecedente puede reemplazarse legítimamente por una proposición equivalente tal como

41

- ( - p v - q ) ' obteniendo la fórmula '— (— p v — q) D p', cuya tabla de verdad es, como puede verificarse, idéntica a la de la primera.

Esta regla de sustitución de los equivalentes nos será de suma utilidad más adelante. ( 6 )

§ 10 . El método demostra t ivo

La técnica de las tablas de verdad, puesta al servicio del análisis de inferencias mediante el recurso del condicional asociado estudiado en el parágrafo 8, provee un procedimiento efectivo para decidir acerca de la validez. En efecto, a través de una serie de pasos perfectamente predeter­minados se puede arribar siempre, como vimos, a un resultado definido, se puede determinar en cada caso si el razonamiento es válido o inválido. En este sentido se trata de un procedimiento teóricamente adecuado.

Sin embargo, su aplicación resulta en la práctica dificultosa cuando se trata de razonamientos en que intervienen muchas variables preposicio­nales distintas, debido a que el número de filas de la tabla será entonces muy elevado; así, un razonamiento en que aparecen, por ejemplo, siete variables, requerirá una tabla de ciento veintiocho filas, con lo cual el trá­mite de resolución se torna excesivamente lento y fatigoso.

Existen afortunadamente otros procedimientos alternativos para exa­minar la cuestión relativa a la validez de los razonamientos. ( 7 ) En este parágrafo estudiaremos el llamado método demostrativo.

Todo razonamiento consta, como sabemos, de un conjunto de premisas y una conclusión. Ahora bien, dado un razonamiento determinado que se supone válido, el método demostrativo consiste en tratar de probar que la conclusión se infiere legítimamente de las premisas, es decir, que se sigue lógicamente de ellas. Para ello se recurre a un cierto conjunto de reglas de inferencia y de leyes de equivalencia. Tomemos, por ejemplo, el con­junto de reglas lógicas estudiadas en el parágrafo 8.

Las reglas autorizan a extraer determinada conclusión de ciertas premisas, sancionan como legítimas un grupo de inferencias. Así, si la forma del razonamiento cuya validez se trata de demostrar corresponde a una de esas reglas lógicas, podemos decir, sin más análisis, que es válido; éste sería el caso más elemental de demostración, en que la legitimidad de la inferencia se demuestra inmediatamente, por aplicación de una única regla lógica:

Sea, por ejemplo, el siguiente razonamiento: 1. Si John Locke es un filósofo empirista, rechaza la teoría de las ideas innatas.

Locke es, efectivamente, empirista. Por lo tanto, él rechaza la teoría de las ideas innatas

cuya forma lógica podemos representar por: P D q

_P Q

que coincide con la regla del Modus Ponens.

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De allí podemos concluir directamente que este razonamiento es válido.

Pero también reputaremos válido un razonamiento, aunque su forma no coincida con ninguna de las reglas ya establecidas, si es posible practi­car, a partir de las premisas, una serie de inferencias autorizadas por las reglas lógicas que desemboquen, finalmente, en la conclusión.

Consideremos un razonamiento como éste:

2. Si la puerta estaba cerrada, el ladrón debió abrirla. Pero el ladrón habrá podido abrir la puerta sólo si contaba con la llave general. Ahora bien, si él tenía la llave general, entonces se la dio el mayordomo. El mayordomo le daría la llave sólo si él mismo estaba implicado en el robo. Según se comprobó luego, la puerta estaba efectivamente cerrada en el momento del robo. Por lo tanto, el mayordomo estuvo envuelto en el suceso

La forma de este razonamiento puede expresarse así:

P D q q D r

r D s

SDt

V

t

Esta forma no corresponde a ninguna de las reglas de inferencia esta­blecidas en el parágrafo 8, pero puede formarse una cadena de inferencias autorizadas por algunas de estas reglas que lleven de las premisas del razo­namiento a su conclusión; en otras palabras, puede demostrarse que 't' se deduce del conjunto de premisas adoptadas, procediendo, v. gr., del siguien­te modo:

1. P D q 2. q D r

3. r D s 4. SDt

5. p l·'·t 6. p D r de 1 y 2, por r. de S. Hip. 7. P D S de 6 y 3, por r. de S. Hip. 8. pDt de 7 y 4, por r. de S. Hip. 9. t de 8 y 5, por r. de M. P.

Hemos arribado, finalmente, en el paso N? 9 a la conclusión del razo­namiento que estudiamos, por transformaciones lícitas señaladas a la dere­cha en cada paso y partiendo de las premisas dadas. Por lo tanto, se ha demostrado que la conclusión se infiere legítimamente, se desprende lógi­camente de las premisas; en otras palabras, se ha demostrado que el razo­namiento es válido.

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A lo largo de una demostración puede resultar conveniente reemplazar alguna de las premisas (o algunas de las fórmulas inferidas) por otras formas proposicionales, lógicamente equivalentes a ellas. Para poder prac­ticar ese reemplazo que está autorizado por la regla de sustitución de las proposiciones equivalentes ya mencionada, recurrimos a las leyes de equi­valencia que hemos enunciado en el parágrafo 7.

Ejemplo:

3. El gobernador respetará la ley si y sólo si sufre un control adecuado del gobierno nacional. El gobierno nacional ejercerá, sin duda, una vigilancia estrecha sobre el gobernador. Por lo tanto, éste ajustará su mandato a los límites que le fija la ley.

p≡ q _P

q

Una posible demostración de validez de esta forma de razonamiento es la siguiente:

1. p ≡ q 2. p / . \ q 3. (p D q) · (q D p) de 1, por Def. Bicond. 4. (p D q) de 3, por r. de Simp. 5. q de 4 y 2, por r. de M. P.

El método demostrativo presenta, frente al de las tablas de verdad, como ya se dijo, la ventaja de que permite operar cómodamente con una cantidad grande de variables proposicionales. Pero tiene en cambio la des­ventaja de que al no ser un procedimiento mecánico, depende del ingenio de quien lo aplique, de su capacidad para advertir cuál es la regla o la ley que conviene utilizar en cada paso, y puede ocurrir que aun cuando un razonamiento sea válido, no hallemos la forma de demostrarlo. De modo que, del hecho de no haber hallado una demostración para el razonamiento no puede inferirse que el razonamiento es inválido. Además, el método no prevé un resultado que sea explícitamente índice de invalidez, cosa que la técnica del condicional asociado contempla. Acá si la demostración se realiza, se demuestra la validez. Y si no se puede realizar, no queda de­mostrado nada acerca de la validez o invalidez del razonamiento.

Otra característica del método demostrativo es que pueden, en princi­pio, construirse diferentes pruebas para un mismo razonamiento.

Veamos, por ejemplo, una demostración alternativa para el razo­namiento anterior:

1. p ≡ q 2. p / . \ q

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3. ( p · q ) v ( - p · - q) de 1, por Def. Bicond. 4. P V q de 2, por r. de Ad. 5. — (—p· - q) de 4, por De M. 6. (—P· — q ) v ( p · q) de 3, por Conm. Disy. 7. P · Q de 5 y 6, por r. de S. Disy. 8. q . p de 7, por Conm. Conj. 9. Q de 8, por r. de Simp.

Esta demostración es más larga y complicada que la otra, pero ambas son igualmente legítimas y sirven por igual para probar la validez del razonamiento en cuestión.

R E G L A DE C O N D I C I O N A L I Z A C I Ó N

Aparte de las reglas presentadas en los parágrafos 8 y 9 será conve­niente introducir otras dos, que completarán el método demostrativo y facilitarán su aplicación.

Una de estas reglas es la de condicionalización, que formularemos del siguiente modo: si a partir de un cierto conjunto de premisas (que llama­remos A) y una premisa adicional (Ai) se infiere válidamente una cierta conclusión (B), es posible inferir válidamente a partir de A un condicional que tiene como antecedente a A x y como consecuente a B.

En símbolos:

A

A 1 / : . B

A / . ' . A i DB

Podemos justificar esta regla mediante un análisis de los valores veri-tativos del siguiente modo: si la inferencia A, Ai / .'. B es válida, enton­ces no se presentará nunca el caso de que la conjunción (A · A x ) sea ver­dadera y B falsa. Es decir que si B es falsa entonces es falsa A (esto es, es falsa la conjunción de las proposiciones que forman el conjunto A) , o Ai, o ambas. Pero entonces también es válido el argumento A / . ' . A i D B , porque no puede presentarse el caso de que A sea verdadera y Ax D B sea falsa. En efecto, si es verdadera A, debe ser falsa Ai por lo que se dijo antes, y en ese caso el condional Ai D B resulta verdadero.

Por otra parte, si aplicamos lo estudiado acerca de la correspondencia entre razonamientos y proposiciones de forma condicional (parágrafo 8) veremos que esta regla puede hacerse corresponder con el principio de exportación [ (A · B) D C] D [A D (B D C) ] que, como toda ley de la ló­gica proposicional, puede probarse mediante las tablas de verdad.

La regla de condicionalización permite demostrar la validez de razo-

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namientos cuya conclusión presenta forma condicional. Para ello se pro­cede del modo que pasamos a ilustrar.

Sea, por ejemplo, la estructura:

p D q / ." . ( r v p ) D ( q v r )

1. Se parte, como siempre, de las premisas del razonamiento (en este caso hay una sola: 'p D q').

2. Se introduce como supuesto o premisa adicional el antecedente de la conclusión (rvp).

3. A partir del conjunto de premisas así formado y mediante la técnica usual se infiere el consecuente de la conclusión ( q v r ) .

4. Se aplica por último la regla de condicionalización formando un condicional cuyo antecedente es el supuesto y cuyo consecuente es la proposición a la que se ha llegado, con lo cual queda formulada la conclusión del razonamiento original [ ( r v p ) D ( q v r ) ] .

1. p D q /.'• ( rvp) D (qvr )

T 2 · r v p Supuesto 3. r v p de 2, por D. N. 4. — r D p de 3, por Def. Cond. 5. — r D q de 4 y 1, por r. de S. Hip. 6. r v q de 5, por Def. Cond. 7. r v q de 6, por D. N. 8. q v r de 7, por Conm. Disy. 9. ( rvp) D (qvr ) de 2-8, por r. de Cond.

Este procedimiento puede aplicarse reiteradamente.

Ejemplo:

1. p D (— q v t) 2. — t v r / . ' . p D ( q D r )

• 3. P Supuesto 1 4. - q v í de 1 y 3, por r. de M. P.

i > 5. q Supuesto 2 6. — Q de 5, por D. N. 7. t de 4 y 6, por r. de S. Disy. 8. — t de 7, por D. N. 9. r de 2 y 8, por r. de S. Disy.

10. q D r de 5-9, por r. de Cond. 11. pD(qDr) de 3-10, por r. de Cond.

Un caso especial de aplicación de la regla es aquel en que el conjunto de premisas iniciales es vacío; el esquema correspondiente se reduce en­tonces a:

A1/.:B

A,DB

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Este esquema, que representa el paso de una forma de razonamiento a su condicional asociado, tiene una aplicación muy importante dentro del método demostrativo, pues permite demostrar no ya reglas, sino leyes lógicas. En efecto, dada una ley de forma condicional puede procederse del siguiente modo:

1. Se toma como supuesto su antecedente. 2. Mediante la técnica usual se infiere su consecuente. 3. Se aplica por último la regla de condicionalización, llegando a la

fórmula que se quería probar.

Sea, por ejemplo, la fórmula: pD(qDp).

T h P Supuesto 2. P V - q de 1, por r. de Ad. 3. — qvp de 2, por Conm. Disy. 4. q D p de 3, por Def. Cond. 5. pD(qDp) de 1-4, por r. de Cond.

R E G L A DE PRUEBA P O R EL A B S U R D O

La regla de prueba por el absurdo (r. de P. por Abs.) puede formu­larse del siguiente modo: si a partir de un cierto conjunto de premisas (que llamaremos A) y una premisa adicional (A x ) se infiere válidamente una contradicción (B — B) es posible inferir válidamente a partir de A la negación de A x (—Ai) .

En símbolos: A

A 1 / . ' . B - - B 1

A / . ' . - A ,

Podemos justificar esta regla mediante un análisis de los valores veri-tativos del siguiente modo: si la inferencia A, A1 /'.*. B — B es válida, no se presentará nunca el caso de que la conjunción de sus premisas (A · Ai) sea verdadera y su conclusión falsa. Ahora bien, dado que la conclusión (B — B) es falsa, la conjunción de las premisas debe serlo también, de mo­do que o bien es falsa A (es decir, la conjunción de todas las premisas del conjunto A) o bien Ai o bien ambas. Por lo tanto, si A es verdadera, Ai debe ser necesariamente falsa y su contradictoria (—A) debe ser verda­dera, lo que determina la validez de la inferencia A / .'. — Ai .

Para demostrar la validez de un razonamiento por el absurdo se pro­cede del modo que ilustramos a continuación.

Sea la forma:

p v q /•'• ( p · - q ) v q

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1. Se parte de las premisas del razonamiento (en este caso 'p v q').

2. Se introduce como supuesto (o premisa adicional) la negación de la conclusión (— [ (p — q) v q ] ) .

3. A partir del conjunto de premisas así formado se infiere una con­tradicción.

4. Se aplica por último la regla de prueba por el absurdo negando el supuesto ( [ (p — q ) v q ] ) y, puesto que éste era la negación de la conclusión, por aplicación del principio de doble negación que­da formulada la conclusión del razonamiento [ (p · — q) v q] .

1. pv q /.' . (P· — q) v q • 2. — [ (P · - q ) v q ] Supuesto

3. - ( P · - q)· - q de 2, por De M. 4. - <?• - (P· - q) de 3, por Conm. Conj. 5. - Q de 4, por r. de Simp. 6. q v p de 1, por Conm. Disy. 7. P de 6 y 5, por r. de S. Disy. 8. - ( P · - q) de 3, por r. de Simp. 9. - p v q de 8, por De M.

10. - p v q de 9, por D. N. 11. q v - p de 10, por Conm. Disy. 12. - P de 11 y 5, por r. de S. Disy. 13. P · — P de 7 y 12, por r. de Conj.

14. [ (P · - q)v q] de 2-13, por r. de P. por Ab 15. (P· — q) V q de 14, por D. N.

Del mismo modo que para la regla de condicionalización, un caso par­ticular de aplicación de esta regla es aquel en que el conjunto de premisas iniciales es vacío, con lo cual estaríamos en presencia de un esquema como éste:

A1/.'.B--B

- ¿ i

que expresa simbólicamente lo siguiente: si a partir de una proposición se llega a demostrar una contradicción, puede inferirse que la proposi­ción inicial es falsa.

Mediante esta formulación especial de la regla de prueba por el absurdo es posible demostrar leyes lógicas del siguiente modo:

1. Se toma como supuesto la negación de la fórmula.

2. A partir de este supuesto se infiere una contradicción.

3. Se aplica la regla de prueba por el absurdo llegando así a la nega­ción de la negación de la fórmula, de lo cual, por aplicación del principio de doble negación, se obtiene la fórmula que se quería probar.

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Sea, por ejemplo, la fórmula: [ (p v q) · (p D q) ] D q.

• 1. - { [ ( p v q ) · ( p D q ) ] D q} Supuesto 2. [ ( p v q ) · ( p D q ) ] · - q de 1, por Neg. Cond. 3. — q · [ (p V q) · (p D q) ] de 2, por Conm. Conj. 4. — q de 3, por r. de Simp. 5. ( p v q ) · ( p D q) de 2, por r. de Simp. 6. p v q de 5, por r. de Simp. 7. q v p de 6, por Conm. Disy. 8. P de 4 y 7, por r. de S. Disy. 9. (p D q ) · ( p v q ) de 5, por Conm. Conj.

10. P D q de 9, por r. de Simp. 11. Q de 10 y 8, por r. de M. P. 12. q · - q de 11 y 4, por r. de Conj. 13. {[ (p V q) * (p D q) ] D q} de 1-12, por r. de P. por Abs. 14. [ ( p v q ) · ( p D q ) ] D q de 13, por D. N.

NOTAS AL CAPITULO 2 1 Se denomina antecedente al primer miembro del condicional y consecuente al

segundo. Por ejemplo, dada la fórmula: '(p · q) D r\ ' ( p · q ) ' es el anteceden­te y V es el consecuente.

2 En rigor la lógica proposicional recoge sólo una parte del significado de las ex ­presiones del lenguaje usual destinadas a vincular proposiciones. En efecto, las conectivas lógicas, al tener reducido su significado a su tabla de verdad, vincu­lan las proposiciones exclusivamente en lo que respecta a sus valores de ver­dad. En cambio las partículas correspondientes del lenguaje usual suponen por lo general una vinculación entre los contenidos informativos de las pro­posiciones. Así, por ejemplo, dado que lo único que requiere la conjunción f p · q' para ser verdadera es que ambas proposiciones atómicas lo sean, resul­tará verdadero para el análisis lógico cualquier enunciado que tenga esta ca­racterística, aun cuando los contenidos informativos de sus proposiciones ató­micas correspondientes no tengan entre sí ninguna relación, como sería el caso de: '2 -f 2 = 4' y 'Los países latinoamericanos presentan un elevado índice de analfabetismo'. En cambio en el lenguaje usual es muy poco probable que alguien utilice la conjunción de este modo; la conjunción se usa para unir en el discurso proposiciones que presentan alguna vinculación mutua entre sus contenidos. Esto muestra que la conectiva ' · ' con su tabla de verdad refleja sólo una parte del significado del 'y' del lenguaje usual; pero esta parte es la única que importa para el análisis lógico de las inferencias.

3 Véase Quine, W. V. O., Los métodos de la lógica, Ed. Ariel (Barcelona), pri­mera parte, parágrafo 3.

4 Existen algunos usos del 'si . . . entonces' que no pueden asimilarse de ningún modo al condicional material. Un caso interesante es el del llamado "condicio­nal contrafáctico". Este tipo de condicional es el que se enuncia partiendo del conocimiento de que la circunstancia mencionada en el antecedente no se ha producido, como ocurre, por ejemplo, en: 'Si Gandhi no hubiera sido asesina­do, sus ideas habrían podido influir decisivamente en la sociedad occidental'. Si los interpretáramos como condicionales materiales, todos los condicionales

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contrafácticos serían automáticamente verdaderos por el solo hecho de tener su antecedente falso. Sin embargo, esto no respetaría el sentido que pretende dársele a este tipo de expresiones, pues el que enuncia un juicio así sabe que el antecedente es falso y pretende, sin embargo, que su enunciado transmita alguna información, es decir, que no sea verdadero por esta sola circunstancia.

5 Se llama interpretación al proceso inverso al de la abstracción, es decir, al proceso que permite obtener a partir de una forma proposicional o de una forma de razonamiento una proposición o un razonamiento. Para hacer una in­terpretación de una forma lógica es necesario sustituir los símbolos lógicos por términos o expresiones del lenguaje usual que se correspondan con dichos símbolos. Así, por ejemplo, una interpretación de la fórmula e(P'Q.)^>rf

sería: 'Si hace frío y llueve, se suspenderá el partido'. Para que una interpre­tación sea formalmente correcta debe satisfacer ciertos requisitos como, por ejemplo, respetar la categoría lógica de las variables y sustituir siempre la misma variable por la misma expresión. En general, el hecho de que la inter­pretación de una forma lógica sea formalmente correcta no implica que arroje una proposición verdadera (o un razonamiento válido). Así, v. gr., dada la fórmula anterior pueden obtenerse muchas interpretaciones correctas pero falsas como: 'Si llueve y hace frío entonces hay un clima primaveral'. Pero si la forma proposicional es una ley lógica, entonces toda interpretación formal­mente correcta que se haga de la misma será necesariamente verdadera, pues es lógicamente imposible obtener una proposición falsa con esa forma.

6 La implicación y la equivalencia son relaciones lógicas entre proposiciones. Se dice que dos proposiciones están lógicamente relacionadas cuando algunas de las combinaciones lógicamente posibles entre sus valores de verdad no se presentan; en caso contrario, se dice que son lógicamente independientes. Sean, por ejemplo, las siguientes proposiciones: 'Llueve y hace frío' y 'No llueve'. Estos enunciados están lógicamente relacionados porque una de las combina­ciones entre sus valores de verdad no puede darse; en efecto, ambas no pueden ser verdaderas a la vez. En cambio, son lógicamente independientes las afir­maciones: 'Llueve y hace frío' y '2 + 2 = 4'. Las relaciones lógicas que pue­den darse entre dos proposiciones y que resultan de interés para nuestro estudio son las siguientes:

RELACIÓN LÓGICA

CONTRA­RIAS

SUBCON-TRARIAS

CONTRADIC­TORIAS

IMPLICA­CIÓN

(A I M ­PLICA B )

DEDUCI-BILIDAD (A SE

DEDUCE DE B )

EQUIVA­LENTES

Caso(s) que no se presenta (n) V - V F - F

V - V F - F V - F F - V

V - F F - V

Ejemplos - (pvq)

Q p v q - v

p · q (—pv - q)

p · q V

P p · q

p D q - p v q

Para un tratamiento más amplio de este tema puede consultarse, entre otros, Kemeny, Snell y Thompson, Introduction to Finite Mathematics, Prentice Hall, Inc., cap. I, s ec 7.

7 Cualquier procedimiento que permita decidir si una forma proposicional es o no tautológica servirá también para determinar si una forma de razonamiento

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es o no válida, pues gracias al recurso del condicional asociado podemos redu­cir este problema al primero. Además de las técnicas de decisión estudiadas en el texto se han propuesto otras, como, por ejemplo, la reducción a las for­mas normales (véase Copi, Irving M., Symbolic Logic, The Macmillan Com-pany, N. Y., cap. 2, parágrafo V; Hilbert, D., y Ackerman, W., Elementos de Lógica Teórica, Ed. Tecnos, S. A., Madrid, cap. 1, parágrafos 5, 6 y 7) , el mé­todo de los contraejemplos o cuadros semánticos (véase Dopp, Joseph, Notions de Logique Formelle, Université Catholique de Louvain, Lovaina, cap. I, sec­ción 2) , etc.

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3 LÓGICA DE FUNCIONES

§ 1. Individuos y predicados

Como hemos señalado ya en el capítulo anterior, existen cierto tipo de razonamientos que no pueden ser analizados de un modo adecuado por la lógica proposicional.

Sea, v. gr., el siguiente:

Moby Dick es una ballena Las ballenas son cetáceos

Luego, Moby Dick es un cetáceo

Un análisis intuitivo de este razonamiento nos inclina decididamente a considerarlo válido, pues parece imposible que quien razone de esa forma pueda partir de premisas verdaderas y llegar a una conclusión falsa. En efecto, si es cierto que todos los B (ballenas) son M (mamíferos) y que cierto individuo a (Moby Dick) es un B (es una ballena), será también necesariamente cierto que dicho individuo es un M (es un mamífero), ya que si esto es falso, es decir, si a no es M, entonces será falsa por lo menos una de las premisas (o las dos): o no todos los B son M, o a no es B (o ambas cosas).

Sin embargo, dentro de la lógica proposicional este razonamiento resul­ta inválido, pues su estructura lógica para este cálculo es:

P q r

cuyo condicional asociado ' (p · q) D r' es, como puede verificarse median­te las tablas de verdad, contingente.

El hecho de que este razonamiento válido resulte inválido a la luz del análisis de la lógica proposicional se debe a que la relación de implicación entre sus premisas y su conclusión se funda en ciertas características inter­nas de las proposiciones atómicas que lo componen ya que, como puede apreciarse, los términos que aparecen en ellas están vinculados entre sí; en efecto, los dos términos de la conclusión ('Moby Dick' y 'cetáceo') for­man parte, respectivamente, de la primera y la segunda premisa, en tanto que 'ballena' sirve para vincular ambas premisas entre sí. De modo que las proposiciones que figuran en este razonamiento, a pesar de que desde el

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punto de vista de la lógica proposicional son independientes entre sí, re­sultan en un análisis más sutil lógicamente relacionadas en virtud de los términos que contienen. Para realizar un análisis apropiado de razona­mientos de este tipo será necesario, pues, recurrir a un nuevo capítulo de la lógica que no se limite a estudiar las proposiciones moleculares hasta hallar sus proposiciones componentes últimas, sino que estudie la estruc­tura misma de las proposiciones atómicas.

Consideremos, por ejemplo, las dos premisas del razonamiento ante­rior: 'Moby Dick es una ballena' y 'Las ballenas son cetáceos'. Ambas se presentan como proposiciones de carácter atributivo, una cierta propiedad o característica se atribuye a algo o alguien.

Por lo tanto parece posible, en principio simbolizar ambas proposi­ciones con el mismo esquema:

'A es B>

Sin embargo, existe una diferencia entre ellas. La primera es una pro­posición singular] en ella se atribuye cierto carácter a un individuo en particular (el individuo llamado 'Moby Dick'). La segunda, en cambio, es una proposición general] en ella se predica algo de los individuos de una clase en general (de los individuos que son ballenas). Así, en lo que sería gramaticalmente el sujeto de la primera oración aparece un término que denota un individuo, mientras que en el sujeto gramatical de la segunda aparece un término que denota cierta clase de individuos o, dicho de otro modo, cierta propiedad que caracteriza a un conjunto de individuos.

Será necesario entonces adoptar símbolos diferentes para representar uno y otro tipo de términos: ca\ cb\ 'c\ cd\ etc., indicarán individuos determinados, entidades singu­

larmente individualizadas (como, v. gr., Moby Dick), y los llamaremos por eso constantes de individuo.

CF\ 'G\ 'H\ T, etc., indicarán ciertos predicados (como, por ejemplo, 'ser ballena'), y los llamaremos constantes de predicado.(1)

Puede parecer extraño que el término 'ballena' a pesar de correspon­der, según esta convención, a un predicado, figure en la segunda proposi­ción como sujeto gramatical de la oración. Pero nuestro análisis es lógico y no gramatical, y desde esta perspectiva 'ballena' no pertenece a la misma categoría que 'Moby Dick', sino a la misma categoría que 'cetáceo', ya que designa, igual que éste, no un individuo, sino una propiedad que caracteriza a un conjunto de individuos.

En posesión de estos símbolos podríamos representar ahora la estruc­tura de la primera premisa del siguiente modo:

{a es F' o, más correctamente:

'Fa' donde eF' ha absorbido la cópula ( 2 )

Como puede observarse, esta última fórmula permite representar no sólo enunciados como el analizado, que responden a la estructura atributiva

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clásica (sujeto-cópula-predicado), sino también otro tipo de proposiciones singulares, como 'Pedro duerme', 'Juan corre velozmente', etc., donde aparece lo que se conoce en gramática como "predicados verbales" que expresan cierta forma de acción realizada o sufrida por el sujeto. Así, pues, convendrá leer eFa' no tanto como ca es un F' sino, de modo más general, como 'a cumple o satisface el predicado F' (en el caso de nuestra proposi­ción, decimos que Moby Dick satisface el predicado 'ser ballena') . ( 3 )

Veamos ahora cómo podemos representar en nuestro nuevo lenguaje la proposición general que figura como segunda premisa del razonamiento propuesto.

Supongamos que, para destacar que los términos 'ballena' y 'cetáceo' designan en realidad propiedades de individuos, pero no individuos en particular, diéramos a esta proposición la siguiente formulación:

Todos los individuos que tienen la propiedad de ser ballenas tienen también la propiedad de ser cetáceos.

De este modo se pondría de relieve la analogía de categoría entre am­bos predicados a la vez que se caracterizarían los individuos como ciertos entes singulares susceptibles de poseer o no determinadas propiedades. Na­turalmente, en este contexto no nos referimos a individuos determinados (como cuando hablamos de Moby Dick), sino a individuos cualesquiera. Necesitamos, entonces, un tipo de símbolos que represente estos individuos cualesquiera, a diferencia de ea\ 'b', etc., que representan individuos deter­minados. Adoptaremos, pues, las letras: ex\ V , V, para designar un individuo no especificado y denominaremos

a estos signos variables de individuo.{:¥)

La estructura lógica de la proposición en cuestión podría entonces' for­mularse así:

Todo x que satisface el predicado F, satisface también el predicado G. o: Tara todo x se cumple que, si satisface el predicado F, entonces satisface el predicado G\

Si extendemos el uso de las conectivas extensionales de la lógica pro­posicional a este nuevo contexto, se obtiene:

'Para todo x, Fx D Gx'

La forma del razonamiento inicial podrá ser expresada ahora del si­guiente modo:

Fa

Para todo x, Fx D Gx

~Ga

* En caso de requerirse más de tres variables de individuo diferentes pueden utili­zarse letras distintas, tales como u, w, etc., o las mismas letras afectadas con subíndices: x p y p zv x.2, etc.

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Esta simbolización del razonamiento resulta más apropiada que la pro­puesta por la lógica proposicional, pues hace posible probar su validez, como veremos más adelante.

§ 2. Función proposicional y cuantif icación

Si en la proposición singular 'Sócrates es filósofo' que simbolizamos, como se desprende de lo anterior, por cFo! (o (Fb\ 'Gb', Ga\ etc.) sustitu­yéramos la constante de individuo por una variable, obtendríamos una fórmula como:

lx es filósofo' ( W )

Esta fórmula no expresa, en realidad, una afirmación, puesto que, al no especificarse de qué individuo se predica la propiedad de ser filósofo, ella no posee valor veritativo alguno. Sería algo así como una parte de un formulario a completar, donde se hallara en blanco el dato correspondiente al nombre del individuo:

' . . . es filósofo'

o una oración donde, en lugar de un nombre individual, apareciera un pro­nombre, pero sin especificar en el contexto a quién alude dicho pronombre:

'él es filósofo'

Este tipo de expresiones, que contienen variables individuales libres/*> y tales que, si se sustituyen dichas variables por constantes de individuo se obtienen proposiciones, se denominan junciones proposicionales.(4)

Otros ejemplos de funciones proposicionales son los siguientes: 'Fx-Ga'; 'Fa D Gx}; '(Fa-Gb)vHy\ etc. Para transformar estas fórmu­las en formas que representen proposiciones deberíamos reemplazar en cada caso la variable por una constante individual [por ejemplo, 'Fa-Ga\ 'FaDGb', ' {Fa · Gb) v He, etc.].

Otra forma de transformar una función proposicional en una proposi­ción es especificar cuantitativamente el dominio de la variable, es decir, cuantif icaria. ( 5 )

Si decimos, v. gr.:

'Para todo x, x es filósofo' (todos los individuos son filósofos)

obtenemos una proposición (falsa) y si enunciamos:

'Existe al menos un x tal que x es filósofo' (algún individuo es filósofo)

obtenemos una proposición (verdadera).

* Véase más adelante la diferencia entre variables libres y ligadas.

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Hay dos modos de cuantificar las variables: estos dos tipos de cuantifi-cación se denominan, respectivamente, universal y existencial, y han sido ilustrados con los ejemplos que acabamos de dar. En la cuantificación universal se señala como dominio al cual se aplica la predicación la totali­dad de los individuos (el universo); la otra forma de cuantificación indica que existe al menos un individuo en el universo al cual conviene la predi­cación en cuestión.

La cuantificación universal se representa prefijando a la función pro­posicional correspondiente el símbolo '{x)} -cuantificador universal- que se lee 'para todo x'; en el caso de la cuantificación existencial se prefija el símbolo '(3x)' -cuantificador existencial- que se lee 'existe al menos un x tal que' o 'para algún x se cumple que\ Una fórmula precedida por el cuantificador universal o por el existencial puede ser afectada por el signo de la negación (es decir, pueden escribirse fórmulas tales como '— ( x ) . . . ' y '— ( 3 x)...'. En el primer caso se lee: 'no es cierto para todo x que . . . ' ; en el segundo: 'no es cierto que algún x...' o 'no existe ningún x tal que'.

Según esto las proposiciones:

Todo fluye Algo es inmóvil Nada es eterno

se representan respectivamente como:

(x) Fx donde eFx' simboliza: lx fluye' (3x)Gx donde eGx' simboliza: lx es inmóvil'

— (3x)Hx donde eHx' simboliza: lx es eterno'

Aun cuando en las proposiciones con cuantificación universal se alude a la totalidad de una clase y en las precedidas por cuantificador existencial sólo a una parte de ella, ambos tipos de proposiciones son igualmente gene­rales, pues se refieren a individuos no especificados, y se distinguen como tales por igual de las singulares, en que se individualiza la entidad a la cual la proposición se refiere.

Pero la presencia de un cuantificador no siempre es suficiente para transformar una función proposicional en proposición.

Consideremos, por ejemplo, la expresión:

(x) Fx · Gx

En este caso la tercera aparición de la variable 'x' (en 'Gx') no se halla afectada por el cuantificador, de modo que la fórmula sigue correspon­diendo a una función proposicional. En general, se considera que el alcance de un cuantificador se extiende hasta la primera conectiva que aparece a su derecha. Si se desea darle un alcance mayor debe encerrarse entre paréntesis la fórmula que se pretende afectar. Así, v. gr., en el caso de la fórmula que estamos considerando la expresión que figura a la derecha del cuantificador debería estar agrupada por un paréntesis: ' (x) (Fx · Gx)'.

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De esta forma todas las variables quedan comprendidas dentro del alcance del cuantificador y la función proposicional se ha transformado en una proposición.

Puede ocurrir, sin embargo, que a pesar de hallarse dentro del alcance de un cuantificador una variable individual no se vea afectada por éste; tal sería el caso de la variable (y) en el siguiente ejemplo:

(x) (Fx · Gy · fíx)

Para que una variable esté, pues, ligada por un cuantificador deben cumplirse dos requisitos: a) que sea del mismo tipo que la que figura den­tro del cuantificador; b) que se halle dentro del alcance del mismo. Se considera también ligada la variable que figura dentro del cuantificador mismo. Toda variable que no está ligada, está libre. La presencia de una o más variables de individuo libres determina la existencia de una función proposicional.

Presentamos a continuación una lista de diferentes funciones proposi­cionales marcando en cada caso las variables libres con un círculo.

1. (x)Fx D G ® 2. (3y)(x)(Fy.Gx) = H© 3. (3y)(FyGy)^H@ 4. Fa v G@ 5. F a · ( 3 x ) G x · H © 6. (x) (Fx · Gy) D H©

§ 3. Concepto de ley en lógica de funciones

En el capítulo anterior, a través del análisis propuesto por las tablas de verdad, encontramos no sólo un criterio adecuado para decidir cuáles fórmulas son leyes de la lógica proposicional y cuáles no, sino también una clarificación conceptual de lo que debe entenderse por ley lógica dentro del cálculo de proposiciones. Así sabemos que dentro de ese cálculo una forma es ley lógica si y sólo si es tautológica, es decir si y sólo si toda interpreta­ción de la misma resulta verdadera, cualquiera sea el valor de verdad de sus proposiciones atómicas componentes. Esto significa que para que una forma sea una ley de la lógica proposicional debe ser molecular.

Fuera del cálculo proposicional no se verifican estas circunstancias. Podemos hallar proposiciones simples (o, al menos, simples para la lógica proposicional), como, por ejemplo: 'Todos los americanos son americanos', que resultan necesariamente verdaderas por su estructura a la luz del aná­lisis de la lógica de funciones, y son, por lo tanto, leyes de este cálculo.

Podemos hallar asimismo numerosas proposiciones moleculares que a pesar de no ser tautológicas son, según la lógica de funciones, verdaderas en virtud de su sola forma, como, v. gr.: 'Si hay algo que lo destruye todo,

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entonces todo es destruido por algo', o 'Si todo perece, Juan perecerá', enun­ciados ambos que responden según la lógica proposicional a la estructura contingente 'p D q\

Puesto que el concepto de ley lógica no puede clarificarse dentro de la lógica cuantificacional a través de la referencia al análisis veritativo-fun-cional, debemos tratar de esclarecerlo por otras vías, y, sobre todo, debemos procurar hallar una técnica apropiada para decidir dentro de la lógica de funciones si una fórmula dada es o no una ley lógica.

Consideremos, por ejemplo la siguiente proposición:

(3X)FXD {x)Fx

Esta fórmula puede leerse del siguiente modo: 'Si hay algún individuo que cumple el predicado 'Fx' entonces todos lo cumplen'. Ella puede co­rresponder a un enunciado verdadero o falso. Esto dependerá del signi­ficado atribuido al predicado 'Fx'.

Así, si interpretamos 'Fx' como 'ser fauno' la proposición será verda­dera, puesto que, al ser falso el antecedente -ya que no hay faunos-, el condicional será verdadero independientemente del valor de verdad del consecuente. En cambio si interpretamos 'Fx' como 'ser filósofo' la propo­sición será falsa, ya que hay filósofos, pero no todos los individuos del uni­verso lo son: por ende el antecedente de dicho condicional es verdadero, pero el consecuente falso. Hay, pues, dos posibilidades lógicas para esta fórmula:

( 3 x) Fx D (x) Fx verdadera

falsa

Que se cumpla una u otra posibilidad depende, como se dijo, del sig­nificado que demos a 'Fx'. Podríamos, sin embargo, apelar a un recurso ingenioso para lograr que esa forma proposicional fuera siempre verdadera, independientemente del predicado escogido, es decir, se cumpliera para todo predicado posible. Supongamos que adoptamos la convención de re­ferir nuestro lenguaje solamente a un mundo ideal, un universo especial (ad hoc) que tuviera un solo individuo. Dicho universo podría represen­tarse del siguiente modo:

En este universo la proposición sería siempre verdadera cualquiera fue­ra la propiedad simbolizada por cFx' ya que si algún individuo tiene una

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propiedad cualquiera, entonces todos la tienen puesto que en el universo hay un solo individuo (dicho de otro modo, "todos" es igual a uno).

¿Diremos por ello que esta fórmula corresponde a una ley lógica? No, porque si bien es posible concebir tal universo, donde ella es siempre ver­dadera, hay otros universos lógicamente posibles donde ella es a veces falsa (v. gr., en el universo real donde resulta falsa, como vimos, la proposición 'Si hay algún filósofo, todos son filósofos' y muchas otras de esa misma forma).

Para que una fórmula de la lógica de funciones sea una ley lógica es necesario, pues, que ella resulte verdadera para toda interpretación formal­mente correcta de sus símbolos y en cualquier universo lógicamente po­sible/ 6)

Esto ocurre, v. gr., con la forma de la proposición Todos los america­nos son americanos' que mencionamos antes. En efecto, su estructura:

(x) (Fx D Fx)

corresponde a una ley lógica, pues en cualquier universo posible y dada cualquier interpretación de 'Fx' se cumplirá para todos y cada uno de los individuos (es decir, para todo x) que, si tienen una determinada propie­dad 'Fx\ entonces la tienen, con lo cual nunca podría ser verdadero el antecedente y falso el consecuente del condicional que sucede al cuanti-ficador.

Sin embargo, este tipo de reflexiones no son suficientes para probar formalmente el carácter de ley de la forma anterior, ni de ninguna otra. A estos efectos necesitamos contar con una técnica precisa, algo análogo, en lo posible, a tablas de verdad o al método demostrativo. A esa técnica lle­garemos en el parágrafo 8, después de estudiar de manera informal a lo largo del capítulo algunas leyes importantes del cálculo de funciones.

§ 4 . Equivalencia y distr ibución de cuanti f icadores

Entre las leyes de la lógica de funciones que revisten particular im­portancia figura el grupo de las llamadas leyes de equivalencia de cuanti­ficadores que presentamos a continuación ( 7 ):

1. (x) Fx ≡ — ( 3 x) — Fx 2. (3x)Fx≡≡— (x) — Fx 3. — (x) Fx ≡ ( 3 x) — Fx 4. — ( 3 x) Fx ≡ (x) — Fx

Estas leyes ponen de manifiesto las relaciones que guardan entre sí los dos tipos de cuantificación. En 1 se establece que afirmar que todos los individuos tienen determinada propiedad (v. gr., Todo se transforma') equivale a sostener que no hay ningún individuo que no la tenga ('No

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existe nada que no se transforme'); y análogamente, en 2 se postula que afirmar que algo posee determinado atributo (por ejemplo, 'Algo es eter­no') es idéntico a sostener que es falso que todos los individuos carezcan de esa propiedad ('No es cierto que nada sea eterno').

En 3 se afirma que negar que todos los individuos tengan cierta pro­piedad ('No es cierto que todo se transforma') equivale a afirmar que algunos no la tienen ('Algo no se transforma') y en 4 se afirma que negar que exista algún individuo con ciertas características ('No es cierto que algo sea eterno') es lo mismo que sostener que ningún individuo la posee ('Nada es eterno').

Estas leyes en su conjunto muestran que todo aquello que puede ex­presarse mediante la cuantificación universal puede también expresarse mediante la cuantificación existencial, y viceversa. Esto autorizaría a eli­minar del cálculo uno de los dos tipos de cuantificación y retener sólo el otro, pues toda fórmula que contenga cuantificadores universales puede traducirse a otra, lógicamente equivalente, que no los contenga y viceversa.

Sea, por ejemplo, la fórmula:

- (x) [ (Fx · Gx) D Hx]

En virtud de la ley 3 podemos eliminar de esas fórmulas el cuantifica­dor universal, del siguiente modo:

( 3 x ) - [ ( F x · G x ) D Hx]

Sin embargo, a los efectos del desarrollo del cálculo resultará más cómo­do contar con ambos tipos de cuantificadores, pues el trabajar con uno solo de ellos daría origen a fórmulas innecasariamente complejas.

Otras leyes de particular interés son las de distribución de cuantifi­cadores:

5. (x) (Fx · Gx) ≡ [ (x) Fx · (x) Gx]

6. (3x) (FxvGx)≡[(3x)Fxv(3x)Gx]

Estas leyes indican que el cuantificador universal es distributivo con respecto a la conjunción y el existencial lo es con respecto a la disyunción. La primera indica que todos los individuos del universo tienen dos propie­dades si y sólo si todos tienen la primera y todos tienen la segunda pro­piedad. (Es cierto que todo se mueve y se transforma si y sólo si todo se mueve y todo se transforma.) La segunda señala que existe al menos un individuo que tiene una propiedad u otra si y sólo si alguno tiene la primera propiedad o alguno tiene la segunda. (Es cierto que algo es eterno o inmóvil si y sólo si algo es eterno o algo es inmóvil.)

La distributividad no se cumple en los otros dos casos posibles; es decir, el cuantificador universal no es distributivo con respecto a la dis­yunción y el existencial no lo es con respecto a la conjunción.

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Pero sí se cumplen las siguientes implicaciones:

7. [ (x) Fx v (x) Gx] D (x) (Fx v Gx)

8. ( 3 x) (Fx · Gx) D [ ( 3 x) Fx · ( 3 x) Gx]

La primera de estas leyes expresa que si todos los individuos tienen una propiedad o todos tienen otra, entonces todos tienen una u otra pro­piedad (si todo es vivo o todo es inerte, todo es vivo o inerte). La segun­da señala que si algún individuo tiene a la vez dos propiedades, algún indi­viduo tiene la primera y alguno la segunda (si algo vive y se transforma, algo vive y algo se transforma).

Puede hacerse una presentación de las leyes referidas a la distributi-vidad en forma de hexágono, del siguiente modo:

H E X Á G O N O DE LA DISTRIBUTIVIDAD DE L O S C U A N T I F I C A D O R E S

(x) (Fx · Gx) ≡≡ [ (x) Fx · (x) Gx]

( 3 x) (Fx · Gx) (x) Fx v (x) Gx

( 3 x) Fx · ( 3 x) Gx (x) (Fx v Gx)

[ ( 3 x) Fx v ( 3 x) Gx] ≡≡ ( 3 x) (Fx v Gx)

Las flechas indican que se trata de un condicional cuyo antecedente es la fórmula que figura arriba y cuyo consecuente es la que figura debajo.

§ 5. Grado de un predicado. Los predicados poliádicos. La cuantif icación múltiple

Hasta ahora hemos limitado nuestro análisis a proposiciones en que se predica algo de algo o alguien, una propiedad o atributo de un individuo o grupo de individuos, como por ejemplo, la propiedad que tiene Moby Dick de ser ballena o la que tiene todo lo existente de transformarse.

Pero a veces en nuestro discurso predicamos de algo o alguien que se halla en determinada relación o vinculación con alguna otra entidad, como cuando decimos, por ejemplo:

Moby Dick es más famosa que Pegaso Juan admira a Pedro

En principio podríamos considerar que las expresiones 'ser más famoso que Pegaso' o 'admirar a Pedro' denotan ciertos atributos que tienen algu­nos individuos -como Moby Dick y Juan respectivamente-, y en este sen-

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tido sería lícito decir que las proposiciones anteriores expresan también la atribución de una cierta característica a un determinado individuo sim­bolizándolos como:

'Fa' donde 'Fx' y 'a' asuman en cada caso los valores respectivos

Sin embargo, este análisis sería ineficaz para mostrar adecuadamente la estructura de ciertas inferencias donde aparecieran estas proposiciones, como las siguientes:

Moby Dick es más famosa que Pegaso Pegaso es más famoso que Babieca Moby Dick es más famosa que Babieca Juan admira a Pedro Pedro es admirado por Juan

Tanto la primera como la segunda inferencia se basan en el tipo de relación que se establece entre los individuos y un análisis en términos de atributos ocultaría la existencia de tales relaciones y obligaría a declarar inválida la inferencia, como puede verse en la siguiente formulación de sus estructuras:

Para el primer razonamiento:

Fa donde a: Moby Dick Gb b: Pegaso Qa Fx: x es más famoso que Pegaso

Gx: x es más famoso que Babieca

y para el segundo:

Fa donde a: Juan Qb b: Pedro

Fx: x admira a Pedro Gx: x es admirado por Juan

En ninguno de los dos casos la conclusión se sigue de las premisas. ( 8 )

Es, pues, necesario admitir diferentes tipos de predicados, distinguien­do los que denotan propiedades de individuos, que llamaremos predicados monádicos o de primer grado (como sería el caso de 'ser ballena', 'ser cetá­ceo', 'fluir', 'ser inmóvil', 'ser eterno', etc.) de aquellos que establecen rela­ciones o vinculaciones entre individuos, que llamaremos predicados poliá-dicos o de grado mayor que uno (como 'ser más famoso que' o 'admirar a'). El grado de un predicado se halla determinado por el número mínimo de individuos de los cuales tiene sentido predicarlo; así, en el caso del predi­cado 'cetáceo' tiene sentido referirlo a un individuo, tiene sentido afirmar que algo es un cetáceo, en cambio no tiene sentido decir de un individuo que "admira", pues hacen falta como mínimo dos nombres de individuos pa­ra que el predicado 'admirar a' figure en una expresión con sentido; este último es, por lo tanto, de segundo grado. Existen también predicados de

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tercer grado (como 'estar ubicado entre . . . y . . . ' ) , cuarto grado (como 'dar . . . a . . . para . . . ' ) o grado aún mayor.

Puesto que el grado de los predicados juega un papel importante en la cuestión relativa a la validez o invalidez de las inferencias en que inter­vienen, como se mostró más arriba, será necesario disponer de una simbo­lización que permita indicarlo en nuestro análisis de las estructuras lógi­cas; para ello añadiremos a la derecha de las letras de predicado variables de individuo en un número idéntico al del grado que le corresponda. Así, v. gr.:

'ser bueno' puede simbolizarse por 'Fx', 'Gx', etc.

'ser tan alto como', por 'Fxy', cGxy\ etc.

'estar entre', por 'Fxyz', 'Gxyz\ etc.

Si se trata de simbolizar proposiciones singulares debemos reemplazar las variables individuales por constantes del mismo tipo, obteniendo for­mas como ésta: 'Fabc' (por ejemplo, 'El río Uruguay separa la Argentina del Uruguay', 'Juan regaló el "Martín Fierro" a Pedro' etc.).

Según esto, las inferencias que presentamos al principio de este pará­grafo pueden simbolizarse del siguiente modo:

Primer razonamiento:

Fab donde Fxy: lx es más famoso que y' Fbc a: 'Moby Dick' Fac b : 'Pegaso'

c: 'Babieca'

Segundo razonamiento:

Fab donde Fxy: lx admira a y'

GbaO) a: Juan b: Pedro Gxy: lx es admirado por y'

Además de predicar vinculaciones entre individuos determinados es po­sible también formular otro tipo de enunciados con predicados poliádicos. Sea, por ejemplo, el siguiente:

Pedrito lo explora todo

En este caso el predicado ('explorar') vincula a un individuo ('Pedri­to') con la totalidad de los individuos o elementos del universo ('todo').

A efectos de su simbolización deberemos recurrir, pues, a una cons­tante individual y un cuantificador universal, obteniendo una fórmula co­mo ésta:

(x) Fax donde a: Pedrito Fxy: x explora y

expresión que puede leerse: 'Para todo x se cumple que Pedrito explora x' o 'Para todo x se cumple que x es explorado por Pedrito'. El cuantificador universal, aun cuando no afecta a la constante individual 'a', debe colocarse

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al comienzo de la expresión para obtener una fórmula bien formada. Por otra parte, es importante observar el orden de los símbolos de individuo que figuran a la derecha del símbolo de predicado, pues este orden indica el sentido en que se da la relación.

En efecto, si nos halláramos frente a una proposición como ésta: Todo hace dichoso a Pedrito

la simbolización correcta nos conduciría a una fórmula del tipo: (x) Fxa

que, como puede verse, difiere de la anterior por el orden de los símbolos individuales.

También puede presentarse el caso de una proposición simple con pre­dicados poliádicos donde la predicación se hace exclusivamente en términos generales y no se mencionan individuos determinados.

Ejemplo: Todo ilumina todo

En este caso es necesario recurrir al uso de dos cuantificadores, del siguiente modo:

(x) (y)Fxy

En esta fórmula la cuantificación es múltiple y además homogénea, pues se trata de dos cuantificadores del mismo tipo. También puede pre­sentarse el caso de una cuantificación múltiple heterogénea, como en el siguiente ejemplo:

Hay algo que lo ilumina todo ( 3 x ) (y)Fxy

En general para una proposición simple con predicado diádico pueden presentarse los siguientes casos de cuantificación múltiple:

Ejemplo Forma lógica 1. Todo ilumina todo ( x ) ( y ) F x y (predicación directa) 2. Todo ilumina algo ( x ) ( 3 y ) F x y ídem 3. Algo ilumina todo ( 3 x ) ( y ) F x y ídem 4. Algo ilumina algo ( 3 x ) ( 3 y ) F x y ídem 5. Todo es iluminado por todo ( y ) ( x ) F x y (predicación inversa) 6. Todo es iluminado por algo ( y ) ( 3 x ) F x y ídem 7. Algo es iluminado por todo ( 3 y ) ( x ) F x y ídem 8. Algo es iluminado por algo ( 3 y ) ( 3 x ) F x y ídem

Como puede advertirse, la inversión en la predicación se expresa aquí invirtiendo el orden en que aparecen los cuantificadores.

En algunos casos la cuantificación de una predicación directa tiene su equivalente en una fórmula cuantificada con predicación inversa. Así la expresión 'Todo ilumina todo' es lógicamente equivalente a la afirmación 'Todo es iluminado por todo', y la proposición 'Algo ilumina a algo' es equi­valente a 'Algo es iluminado por algo'.

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§ 6. Leyes del movimiento de cuant i f icadores

Las equivalencias que acabamos de mencionar quedan expresadas en las leyes del movimiento o conmutatividad de los cuantificadores:

1. (x) (y) Fxy ≡ (y) (x) Fxy 2. ( 3 x) ( 3 y) Fxy ≡ ( 3 y) ( 3 x) Fxy

Como puede verse, si la cuantificación es homogénea entonces es con­mutativa. Para ilustrar estas leyes gráficamente y darles de este modo un carácter más intuitivo pueden representarse algunos estados de cosas posibles en un universo especialmente concebido. Puesto que estas fórmu­las corresponden a leyes lógicas las equivalencias enunciadas se cumplirán siempre, en cualquier universo (no vacío) posible y cualquiera sea la pre­dicación escogida.

Sea, por ejemplo, un universo de dos individuos a y b que dibujaremos así:

y la relación 'mirar a' que simbolizaremos por 'Fxy' y representaremos grá­ficamente por una flecha que parte del individuo que mira y se dirige al que es mirado. Ahora bien, puede observarse que cualquier representa­ción que ilustre adecuadamente el primer miembro de cada equivalencia ilustrará también correctamente su segundo miembro y viceversa.

Para 1 hay un único estado de cosas que verifica el primero y, por ende, el segundo miembro de la fórmula:

(x) (y) Fxy (Todos miran a todos) (y) (x)Fxy (Todos son mirados por todos)

Para 2 hay varios estados que hacen verdadero el primer miembro de la equivalencia y son exactamente los mismos que hacen verdadero al segundo:

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Ejemplos:

( 3 x ) ( 3 y) Fxy (Alguien mira a alguien) ( 3 y) ( 3 x) Fxy (Alguien es mirado por alguien)

Si la cuantificación es heterogénea, las equivalencias respectivas no se cumplen. En cambio sí pueden probarse las siguientes leyes:

3. ( 3 x) (y) Fxy D (y) (3 x) Fxy 4. ( 3 y) (x) Fxy D (x) ( 3 y) Fxy

Estas fórmulas expresan lo siguiente: si hay un individuo del cual parte la relación hacia todos, entonces todos reciben la relación de alguno; y si hay un individuo que recibe la relación por parte de todos, entonces de todos parte la relación hacia alguno.

Por tratarse de leyes de forma condicional debe cumplirse que todos los estados de cosas que verifican el antecedente verifiquen también el conse­cuente, aunque la inversa no siempre se cumpla. Ejemplos de estados del universo que satisfacen el antecedente (y, por ende, el consecuente) de cada una de las leyes pueden ser éstos:

( 3 x ) (y) Fxy (Alguien mira a todos)

(y) ( 3 x) Fxy (Todos son mirados por alguien)

( 3 y) (x)Fxy (Alguien es mirado por todos)

(x) ( 3 y) Fxy (Todos miran a alguien)

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También estas leyes, a semejanza de las de la distributividad, pueden ordenarse en una figura hexagonal:

H E X Á G O N O DE LA C O N M U T A T I V I D A D DE L O S C U A N T I F I C A D O R E S

(x) (y) Fxy ≡ (y) (x) Fxy

( 3 x) (y) Fxy (3 y) (x) Fxy

(y) ( 3 x) Fxy (x) ( 3 y) Fxy

( 3 y) ( 3 x) Fxy ≡ ( 3 x) ( 3 y) Fxy

Como en el caso del hexágono presentado en el parágrafo 4, las flechas indican la presencia de un condicional.

§ 7. Simbolización en lógica de funciones

Al estudiar los rudimentos del cálculo de funciones adquirimos una nueva simbología que nos permitió expresar la forma lógica de proposicio­nes tales como 'El sol es una estrella' (Fa), 'Todo cambia' (x) Fx, etc.

Así como lo hiciéramos en el capítulo de lógica proposicional, dedicare­mos ahora un parágrafo especial a perfeccionar nuestra técnica de sim­bolización de modo de poder traducir al lenguaje de la lógica de funciones expresiones más complejas del lenguaje usual.

Comenzaremos por indicar cómo se simbolizan las llamadas "propo­siciones categóricas de forma típica" estudiadas por la lógica clásica. Las proposiciones generales de esta clase se dividen teniendo en cuenta su cantidad (universal o particular) y su cualidad (afirmativa o negativa) en cuatro tipos, a cada uno de los cuales se le asignó tradicionalmente una letra a modo de código:

A (Universal Afirmativa): Todo S es P. Ej.: Todo argentino es americano E (Universal Negativa): Ningún S es P. Ej.: Ningún argentino es europeo í (Particular Afirmativa): Algún S es P. Ej.: Algún argentino es salteño O (Particular Negativa): Algún S no es P. Ej.: Algún argentino no es

salteño

En la primera proposición (A) se afirma que todos los individuos que poseen determinado atributo (ser argentinos) tienen también cierta otra propiedad (ser americanos), lo cual puede expresarse en lógica de fun­ciones del siguiente modo:

A: (x) (Fx D Gx)

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Análogamente la segunda proposición (E) niega para todo individuo que posee determinado atributo (ser argentino) que posea también cierta otra propiedad (ser europeo) y la simbolizamos por:

E: (x) (Fx D — Gx)

Según este análisis, las proposiciones categóricas universales no afir­man que haya individuos que efectivamente posean la primera propiedad (Fx); sólo se sostiene en la afirmativa que si los hay, entonces poseen tam­bién la segunda propiedad (Gx) y en la negativa que si los hay, entonces no poseen la segunda propiedad (— Gx). En este sentido estas fórmulas, que corresponden, así analizadas, a un condicional generalizado, compar­ten la nota característica de todo condicional, en que no se afirma el ante­cedente (ni el consecuente) aisladamente; sólo se afirma que, de cumplirse el antecedente, se cumplirá también el consecuente.

En este aspecto las proposiciones particulares difieren de las univer­sales. En (í) se afirma que algún (os) individuo (s) que tiene (n) cierta propiedad [la de ser argentino (s) ] tiene (n) también cierta otra [la de ser salteño ( s ) ] , lo que simbolizamos no ya con un condicional, sino con una conjunción:

I: (3x)(Fx·Gx)

De modo análogo en (O) se niega para algún (os) individuo (s) que poseen cierta propiedad, que posean también cierta otra:

O: (3x) (Fx·-Gx)

De acuerdo con esta interpretación de las proposiciones I y O, hay en ellas una afirmación de existencia y resultarán falsas (ambas) en caso de no existir individuos que cumplan con el primer predicado. Volveremos sobre esta cuestión más adelante (parágrafo 10).

Tomando como base estas simbolizaciones puede hallarse la forma lógica de proposiciones más complejas.

Así, la proposición:

Todo niño feliz es activo

es básicamente de tipo A, sólo que en su antecedente presenta no ya una predicación sino dos, y puede simbolizarse así:

(x) t (Fx · Gx) D Hx] donde Fx: x es niño Gx: x es feliz Hx: x es activo

Un enunciado como:

Ningún hombre noble es racista ni misántropo

es de forma E, aunque presenta cuatro predicados:

(x) [ (Fx · Gx) D — (Hx v Jx) ] donde Fx: x es hombre Gx: x es noble Hx: x es racista Jx: x es misántropo

68

Consideremos ahora algunas proposiciones en que aparecen predicados poliádicos.

Sea, por ejemplo, el enunciado:

Hay alguna estrella que lo ilumina todo

En un primer análisis reconocemos aquí un enunciado de tipo I en que se predica de algún individuo con cierta propiedad (la de ser una estrella) que posee también cierta otra (iluminarlo todo).

Abstraemos, pues, en principio la siguiente forma:

( 3x) (Fx · Gx) donde Fx: x es una estrella Gx: x lo ilumina todo

Pero una investigación más fina nos permite descubrir en el segundo término de la conjunción un predicado diádico (x ilumina a y ) . Se ad­vierte entonces la necesidad de introducir una cuantificación universal para indicar que la acción ejercida por el individuo en cuestión afecta a la tota­lidad del universo:

( 3 x) (y) (Fx · Gxy) donde Fx: x es una estrella

Gxy: x ilumina a y

Un ejemplo algo más complicado sería éste:

Hay alguna estrella que ilumina a todos los planetas

En este caso será necesario indicar que la acción ejercida por la estre­lla recae sobre todos los individuos que poseen cierta propiedad (la de ser planetas):

( 3 x) [Fx · (y) (Gy D Hxy) ] donde Fx: x es una estrella Gx: x es un planeta Hxy: x ilumina a y

La técnica de simbolización procederá, pues, del mismo modo que en el cálculo proposicional, por sucesivos análisis que penetran cada vez más en la estructura de los enunciados.

Presentamos a continuación otros ejemplos de simbolización que el lector podrá someter a análisis del modo propuesto.

Algunos sobrevivientes del naufragio vieron con vida a ese niño, mas ninguno acudió en su ayuda

( 3 x) (Fx · Gxa) · (x) [ (Fx · Gxa) D — Hxa] donde Fx: x es sobreviviente del naufragio

Gxy: x vio con vida a y Hxy: x acudió en ayuda

de y a: ese niño (nombra­

do antes en el con­texto)

69

Los náufragos que abandonaron al niño padecen de algún tras­torno de conducta

(x) [ (Fx · Gxa) D ( 3 y) (fíy · Jxy) ] donde Fx: x es náufrago Gxy: x abandonó a y Hx: x es un trastorno de con­

ducta Jxy: x padece de y a: ese niño (como en el caso

anterior)

Hubo alguna época de la historia en que todos los hombres vivían en armonía

( 3 x) {Fx · (y) (z) [ (Gy · Gz · Hyx · Hzx) D Jyz]} donde Fx: x fue una épo­ca de la his­toria

Gx: x es hombre Hxy: x vivió en y Jxy: x vivió en ar­

monía con y

En el cuadro de pág. 71 presentamos una síntesis referida a las formas más elementales de simbolización en lógica de funciones, de acuerdo con lo estudiado hasta aquí en este capítulo.

§ 8. La demostrac ión. Reglas de general ización y ejemplif icación

La lógica de funciones provee, pues, un lenguaje apto para expresar la estructura de inferencias como la que presentáramos al comienzo del presente capítulo.

Nuestro problema consiste ahora en hallar una técnica apropiada para poner a prueba razonamientos de ese tipo, en que juegan un papel decisivo la estructura de las proposiciones simples.

Puesto que hemos avanzado más allá del campo de la lógica proposi­cional la técnica de las tablas de verdad no podrá ser aplicada, como ya se dijo. En cambio sí será posible utilizar el método demostrativo si se lo enriquece con nuevas reglas.

Sea, por ejemplo, el siguiente razonamiento:

Las células tienen vida Todo lo que tiene vida contiene carbono

Las células contienen carbono

cuya forma lógica la representamos por:

(x) (Fx D Gx) (x) (Gx D Hx) (x) (Fx D Hx)

70

SIMBOLIZACIÓN EN

LÓGICA DE

FUNCIONES

(Ilu

stra

ción

de

algu

nas

form

as b

ásic

as)

I. PROPOSICIONES CO

N PREDICADOS MON

ADIC

OS

Ele

men

tale

s (c

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n so

lo p

redi

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Sing

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a)

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Afi

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(3x)

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(Fx

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Gx)

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(O):

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Fx

· - G

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(Alg

una

estr

ella

no

de

sapa

reci

ó)

II. P

ROPOSICIONES CON

PREDICADOS DIADICOS

Sin c

uantif

icació

n A

firm

ativ

a:

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(E

l So

l ilu

min

a a

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a)

Neg

ativ

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— F

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dica

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In

vers

a

(x)

Fax

(T

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So

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(x) —

Fax

(N

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lum

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no)

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) F

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Tie

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(3

x) —

Fax

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cuanti

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ón m

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In

vers

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Cua

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(x)

(y)

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(T

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) (3

x)

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y (A

lgo

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ina

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x) F

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o es

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por

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do)

(3y)

(3x)

Fxy

(A

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go)

Cua

ntif

icac

ión

hete

rogé

nea

(x) (

3 y)

Fxy

(T

odo

gene

ra

algo

) (3

x) (

y) F

xy

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o ge

nera

to

do)

(y) (

3x

) F

xy

(Tod

o es

ge

nera

do

por

algo

) (3

y) (

x) F

xy

(Alg

o es

gen

erad

o po

r to

do)

Esta estructura tiene cierta analogía con la regla lógica conocida como Silogismo Hipotético (véase parágrafo 8, capítulo 1). Sin embargo, para que ésta pudiera ser aplicada sería necesario en principio transformar las premisas, despojándolas de su cuantificador, del modo siguiente:

Fx D Gx Gx D Hx

Si bien es cierto que todas las reglas lógicas estudiadas hasta aquí fue­ran formuladas en principio para proposiciones, es posible extender su uso a las funciones proposicionales, como si éstas fueran formas sui generis de enunciados. Así, pues, en el ejemplo dado sería lícito obtener de esas premisas, por aplicación de la regla citada, la conclusión: 'Fx D Hx'. Pero luego debería reintroducirse el cuantificador en la fórmula así obtenida, para llegar, finalmente, a la conclusión buscada, es decir: '(x) (FxDHx) ' .

Ejemplos de este tipo nos indican la conveniencia de proveer al méto­do de ciertas reglas que autoricen a eliminar cuantificadores para poder operar con las funciones proposicionales solas, como si fueran una especie de forma proposicional, y también a reintroducirlos.

Con tal objeto introduciremos las siguientes reglas:

Fy (o Fa) (x) Fx Ejemplificación universal (E. U . ) ( * )

Fy (o Fa) ( 3 x) Fx

Generalización existencial (G. E . ) ( * )

- ( 3 x ) Fx 3· Fy

Ejemplificación existencial (E. E.)(*>

4 FV (x) Fx

Generalización universal (G. U. ) ( 5 i í )

Al igual que en el caso de las leyes (véase nota 6) las expresiones 'Fx', 'Fy', denotan en el enunciado de estas reglas una función proposicio­nal cualquiera, que puede ser de mayor o menor complejidad. El único requisito exigido es, como ya se dijo, que figure en la función proposicional algún caso libre de la variable respectiva ('x' para 'Fx', 'y' para 'Fy', etc.). Así, serán ejemplos de aplicación de la regla 1 las siguientes formas, donde se han marcado con círculos, para mayor claridad, las variables sobre las que se aplica la regla:

(x) F © p Fa (x) F®z (x) (z) F®z F@ D Fa F@z (z) F@z

Por otra parte las variables (o constantes) de individuo sobre las que se practique la generalización o la ejemplificación no tienen por qué ser necesariamente las que aparecen en las reglas, ya que ellas han sido elegi-

* Ver restricciones más adelante.

72

das arbitrariamente. Así, v. gr., son también ejemplos adecuados de apli­cación de la regla de ejemplificación universal los siguientes:

(z)Fz (x)Fx (y)Fy (y) (3z)Fyz (x) Fx Fx Fx Fz (3z)Fxz Fb

Pero, como veremos en seguida, será necesario introducir algunas limi­taciones al uso de las reglas, pues su empleo irrestricto permitiría conva­lidar inferencias inválidas.

Tomemos como ejemplo el siguiente razonamiento, patentemente in­válido:

Algo es rojo. Por consiguiente, todo es rojo

Si se hiciera un uso irrestricto de las reglas que acabamos de enunciar podría "justificarse" del siguiente modo:

1. {3x)Fx ¡:.(x)Fx 2. Fy de 1, por E. E. 3. (x)Fx de 2, por G. U.

Incorrecto

Otro ejemplo ilustrativo es el siguiente:

Todos tienen madre. Luego, hay alguien que es madre de todos

Restringiendo el universo al ámbito de los seres humanos podemos simbolizar y "justificar" este razonamiento como sigue:

1. (x) (3 y) Fxy / . ' . ( 3 y ) (x)Fxy 2. (3y)Fzy de 1, por E. U. 3. Fzco de 2, por E. E. 4. (X)FX(Ú de 3, por G. U.

5. (3y)(x)Fxy de 4, por G. E.

Incorrecto

Éstos no son sino algunos de los diversos tipos de errores posibles que es necesario evitar. Una consideración sistemática de los casos en que estas reglas no pueden aplicarse lleva a formular las siguientes restricciones a su uso.

1. Restricción para ambas reglas de generalización

Al introducirse un cuantificador se debe evitar que alcance a variables distintas de la que se quiere cuantificar.

Un ejemplo de violación de esta restricción sería el siguiente:

Sea el razonamiento: 'Todo número es menor que algún número. Por consiguiente, todo número es menor que sí mismo'. Tomando como uni­verso el conjunto de los números enteros, la premisa resulta verdadera y la conclusión falsa. Sin embargo podría "justificarse" así esta inferencia:

1. (x)(3y)Fxy /.'.(y)Fyy 2. (3y)Fzy de 1, por E. U. 3. Fzy de 2, por E. E. 4. (y) Fyy de 3, por G. U. (viola la restricción, pues alcanza a 'y' que no se

pretendía cuantificar)

73

2. Restricción para ambas reglas de ejemplificación

Al introducir una variable por ejemplificación se debe evitar que ella resulte afectada por cualquier cuantificador que aparezca en la fórmula.

Si no se respeta esa restricción puede llegar a probarse, por ejemplo, una inferencia como ésta: Todo hombre es diferente de algún hombre. Luego, algún hombre es diferente de sí mismo\

Tomando como universo el conjunto de los hombres simbolizamos así este razonamiento: 4 (x) ( 3 y) Fxy / . ' . (3 y) Fyy' y puede "demostrarse" del siguiente modo:

1. (x) (3y)Fxy/.'.(3y)Fyy 2. ( 3 y) Fyy de 1, por E. U. (viola la restricción, pues la variable V intro­

ducida resulta alcanzada por el cuantificador existencial)

3. Otra restricción para ambas reglas de ejemplificación

El símbolo de individuo introducido en reemplazo de la variable cuan-tificada debe figurar en todos los casos en que ésta aparezca afectada por el cuantificador que queda eliminado.

La violación de esta restricción nos permitirá convalidar, por ejemplo, la siguiente inferencia: 'Todo número es un número. Luego, existe un in­dividuo tal que si él es un número, todos los son'.

1. (x)(FxDFx)/.\(3x)(y)(FxDFy) 2. Fx D Fy de 1, por E. U. (viola la restricción, pues el símbo­

lo de individuo no figura en todos los casos corres­pondientes)

3. (y) (Fx D Fy) de 2, por G. U. 4. (3x) (y) (Fx D Fy) de 3, por G. E.

4. Restricción general para la regla de ejemplificación existencial

La variable introducida por E. E. no puede aparecer libre en la línea final de una demostración. La fórmula introducida en virtud de esta regla debe ser siempre un paso intermedio entre una fórmula cuantificada y otra.

Un ejemplo de violación de esta regla sería el siguiente: 1. (3x) (Fx-Gx)/:.Gy 2. Fy · Gy de 1, por E. E. 3. Gy-Fy de 2, por Conm. Conj. 4. Gy de 3, por r. de Simp.

El error consiste en terminar aquí la demostración. La variable cy9 no puede aparecer libre en la conclusión, pues fue introducida por E. E. En cambio sería lícita la siguiente demostración:

1. (3x)(Fx·Gx)¡:.(3y)Gy 2. Fy · Gy de 1, por E. E. 3. GyFy de 2, por Conm. 4. Gy de 3, por r. de Simp. 5. (3 y) Gy de 4, por G. E.

74

5. Otra restricción para la regla de ejempliftcación existencial La variable introducida no debe aparecer libre en ningún paso anterior. Un ejemplo de violación de esta restricción lo proporciona una demos­

tración del siguiente razonamiento, inequívocamente inválido: 'Algo es rojo y algo no es rojo. Por consiguiente, algo es rojo y no rojo'.

1. ( 3 x ) F x · ( 3 x ) - F x / . · . ( 3 x ) ( F x · - F x ) 2. Fy · ( 3 x) — Fx de 1, por E. E. 3. Fy · — Fy de 2, por E. E. (viola la restricción, pues la variable

'y' aparece libre en un paso anterior) 4. ( 3 x) (Fx · — Fx) de 3, por G. E.

6. Restricción para la regla de generalización universal El cuantificador introducido debe alcanzar todos los casos de aparición

de la variable que se desea cuantificar. Si se viola esta regla puede justificarse un razonamiento como éste, v.

gr.: 'Todo individuo es semejante a sí mismo. Por lo tanto, todos los indi­viduos son semejantes entre sí', del siguiente modo:

1. (x) Fxx/ • ' . (y) (x) Fyx 2. Fyy de 1, por E. U. 3. (x) Fyx de 2, por G. U. (viola la restricción, pues el cuantificador

no alcanza todos los casos de aparición de la variable que se desea cuantificar)

4. (y) (x)Fyx de 3, por G. U.

7. Otra restricción para la regla de generalización universal La variable que se cuantifica no debe aparecer libre en ningún paso

que haya sido introducido por ejemplificación existencial. Sea, por ejemplo, el siguiente razonamiento inválido: 'Hay algún filó­

sofo. Luego, todos son filósofos'. Violando esta restricción puede demos­trarse su validez:

1. ( 3 x ) F x / . ' . ( x ) F x 2. Fy de 1, por E. E. 3. (x) Fx de 2, por G. U. (viola la restricción, pues la variable 'y' figura

libre en el paso anterior introducido por E. E.) Otro ejemplo ya citado anteriormente: 'Todos tienen madre. Por lo

tanto, alguien es la madre de todos'. 1. (x) ( 3 y ) Fxy / . * . ( 3 y ) (x)Fxy 2. ( 3 y) Fxy de 1, por E. U. 3. Fxy de 2, por E. E. 4. (x) Fxy de 3, por G. U. (viola la restricción, pues la variable ex* fi­

gura libre en el paso anterior introducido por E. E.) 5. ( 3 y ) ( x ) F x y de 4, por E. E.

8. Otra restricción para la regla de generalización universal La variable que se desea cuantificar no debe aparecer libre en ningún

supuesto dentro de cuyo alcance figure la fórmula a la que se aplica la regla.

75

Un ejemplo de inferencia incorrecta que puede justificarse si no se respeta esta restricción es el siguiente: 'Todo cuadrado es un cuadrilátero. Por lo tanto si hay un individuo que sea un cuadrado, todos son cuadri­láteros'.

1. (x) (Fx D Gx) / •"• ( 3 y) Fy D (x) Gx

> 2. Fy Supuesto 3. Fy DGy de 1, por E. U. 4. Gy de 2 y 3, por r. de M. P. 5. (x)Gx de 4, por G. U. (viola la restricción, pues 'y' figura li­

bre en el supuesto 2)

6. Fy D (x) Gx de 2-5, por r. de Cond. 7. (3y)FyD (x) Gx de 6, por G. E.

Si se incorporan las cuatro reglas anteriores a la técnica demostrativa ya estudiada y se limita su uso según las restricciones señaladas, se obtie­ne un método apto para demostrar la validez de inferencias y leyes lógicas en el cálculo de funciones. Como ya se dijo a propósito de su presenta­ción en el cálculo proposicional, este método no puede aplicarse para probar invalidez. Ahora bien, mientras la lógica proposicional posee técnicas alter­nativas de prueba, como las tablas de verdad, que son aptas también para probar la invalidez de una inferencia o el carácter contingente de una forma proposicional, la lógica de funciones no posee tales técnicas; por lo tanto no tiene un método de decisión (en rigor, no puede tenerlo, según ha sido demostrado en 1936 por el lógico norteamericano Alonzo Church).

D E M O S T R A C I Ó N DE A L G U N A S L E Y E S

Como ilustración del uso de las reglas que acabamos de presentar desarrollaremos a continuación una demostración para algunas de las leyes estudiadas en el presente capítulo.

Pero antes debemos hacer una observación general. La demostración de las leyes de equivalencia, esto es, de la forma eA ≡≡ B', se hace a través de dos pruebas: en la primera se demuestra la validez del condicional (A D B' (es decir, se demuestra que 'A, implica 'B'); en la segunda se prueba la validez del condicional inverso: 'B D A3 ('B' implica eA3). Como la equivalencia es una implicación mutua, queda así demostrada la ley.

I. (x) Fx = — ( 3 x) — Fx

• 1. (x )Fx Supuesto 1 < • 2. ( 3 x) - Fx Supuesto 2

3. - F y de 2, por E. E. 4. Fy de 1, por E.U. 5. Fy-Fy de 3 y 4, por r. de Conj. 6. - ( 3 x ) - F x de 1-5, por r. de P. por Abs. 7. (x) Fx D — ( 3 x) —- Fx de 1-6, por r. de Cond.

76

T L· - ( 3 x) - Fx Supuesto 1 • 2. -Fy Supuesto 2

1 3 · ( 3 x ) - F x de 2, por G. E. 4. — Fy D ( 3x) — Fx de 2-3, por r. de Cond. 5. Fy de 1-4, por r. de M. T. 6. Fy de 5, por D. N. 7. (x)Fx de 6, por G. U. 8. -(3X)-FXD (x )Fx de 1-7, por r. de Cond.

II. — ( 3 x) Fx ≡ (x) - Fx

• 1. - ( 3 x ) F x Supuesto 1 4 • 2. Fy Supuesto 2

3. ( 3 x) Fx de 2, por G. E. 4. Fy D ( 3x)Fx de 2-3, por r. de Cond. 5. -Fy de 4-1, por r. de M. T. 6. (x) — Fx de 5, por G. U. 7. — ( 3 x) Fx D (x) — Fx de 1-6, por r. de Cond.

• 1. (x) - Fx Supuesto 1 > 2. ( 3 x ) F x Supuesto 2

3. Fy de 2, por E. E. 4. -Fy de 1, por E. U. 5. Fy-Fy de 3 y 4, por r. de Conj. 6. - ( 3 x ) F x de 2-5, por r. de P. por Abs. 7. ( x ) - - F x D — ( 3 x) Fx de 1-6, por r. de Cond.

III. (x) (Fx · Gx) ≡ [ (x) Fx · (x) Gx]

< » 1. (x) (Fx · Gx) Supuesto 2. FyGy de 1, por E.U. 3. Fy de 2, por r. de Simp. 4. (x )Fx de 3, por G. U. 5. Gy -Fy de 2, por Conm. Conj. 6. Gy de 5, por r. de Simp. 7. (x)Gx de 6, por G. U. 8. (x) Fx · (x) Gx de 4-7, por r. de Conj. 9. (x) (Fx • Gx) D [ (x) Fx • (x) Gx] de 1-8, por r. de Cond.

• 1. (x) Fx • (x) Gx Supuesto 2. (x)Fx de 1, por r. de Simp. 3. Fy de 2, por E. U. 4. (x) Gx • (x) Fx de 1, por Conm. Conj. 5. (x)Gx de 4, por r. de Simp. 6. Gy de 5, por E. U. 7. FyGy de 3-6, por r. de Conj. 8. (x) (Fx -Gx) de 7, por G. U. 9. [ (x) Fx • (x) Gx] D (x) (Fx • Gx) de 1-8, por r. de Cond.

77

IV. [ (x) Fx v (x) Gx] D (x) (Fx v Gx)

• 1. ( x ) F x v ( x ) G x Supuesto 2. F y v ( x ) G x de 1, por E. U. 3. Fy\jGy de 2, por E. U. 4. (x) (Fx v Gx) de 3, por G. U. 5. [ (x) Fxv (x) Gx] D (x) (FxvGx) de 1-4, por r. de Cond.

V. (x) (y) Fxy ≡ (y) (x) Fxy i > 1. (x) (y) Fxy Supuesto

2. (y) Fxy de 2, por E. U. 3. Fxy de 3, por E. U. 4, (x)Fxy de 3, por G. U. 5. (y) (x)Fxy de 4, por G. U. 6. (x) (y) Fxy D (y) (x) Fxy de 1-5, por r. de Cond.

i • 1. (y) (x)Fxy Supuesto 2. (x)Fxy de 1, por E. U. 3. Fxy de 2, por E. U. 4. (y) Fxy de 3, por G. U. 5. (x) (y) Fxy de 4, por G. U. 6. (y) (x) Fxy D (x) (y) Fxy de 1-5, por r. de Cond.

VI. ( 3 x) (y) Fxy D (y) ( 3 x) Fxy i • 1. ( 3x ) (y) Fxy Supuesto

2. (y) Fxy de 1, por E. E. 3. Fxy de 2, por E. U. 4. ( 3 x) Fxy de 3, por G. E. 5. (y) ( 3 x ) F x y de 4, por G. U. 6. ( 3 x ) ( y ) F x y D ( y ) ( 3 x ) F x y de 1-5, por r. de Cond.

§ 9 . T ra tamiento tradicional de las proposiciones categóricas. Inferencias inmediatas

Hemos visto hasta aquí de qué modo las proposiciones consideradas simples por la lógica proposicional son analizadas en sus partes compo­nentes por la lógica de funciones. Es necesario señalar, sin embargo, que el estudio de proposiciones de este tipo no se inicia con la lógica simbólica, sino que encuentra su origen muchos siglos atrás, en Aristóteles (siglo iv a. C ) .

Aristóteles centró su estudio de las inferencias en lo que hoy conoce­mos como proposiciones categóricas de forma típica (véase parágrafo 7). Sobre la base de este tipo de enunciados construyó su teoría de las infe­rencias inmediatas y de los silogismos categóricos que constituye, sin duda, su aporte más decisivo a la lógica formal.

Veamos, en primer término, algo de su análisis acerca de las inferencias inmediatas. Llámase "inmediata" a toda inferencia en que la conclusión

78

se afirma sobre la base de una sola premisa, como, por ejemplo, en el si­guiente caso: 'Ningún número natural es negativo; por consiguiente, nin­gún número negativo es un número natural'. Ahora bien, si tenemos un grupo de enunciados A, E, 1, O que presenten el mismo sujeto y predicado, como, v. gr.: Todo hombre es racionar, 'Ningún hombre es racionar, 'Algún hombre es racionar y 'Algún hombre no es racionar, pueden esta­blecerse entre ellos, según la teoría aristotélica, las siguientes relaciones lógicas: <*>

A y E son entre sí contrarias (no pueden ser ambas verdaderas -aunque pueden ser ambas falsas). Por lo tanto de la verdad de A se infiere la falsedad de E, y de la verdad de E, la falsedad de A.

I y O son entre sí subcontrarias (no pueden ser ambas falsas -aunque pueden ser ambas verdaderas). Por lo tanto, de la falsedad de I se infiere la verdad de O, y de la falsedad de O, la verdad de í.

í es subalterna de A; A es subalternante de I. (En términos modernos A implica I) . Si A es verdadera, I también lo será. Si I es falsa, A también lo será. Puede ser A falsa e I verdadera.

O es subalterna de E; E es subalternante de O (E implica O). Si E es ver­dadera, O también lo será. Si O es falsa, E también lo será. Puede ser E falsa y O verdadera.

A y O son contradictorias entre sí E e I son contradictorias entre sí

Las proposiciones contradictorias tie­nen exactamente sus valores de ver­dad invertidos (si una es verdadera, la otra es falsa, y a la inversa).

Estas relaciones fueron sistematizadas posteriormente en el llamado:

C U A D R A D O C L Á S I C O DE LA O P O S I C I Ó N

DE L O S JUICIOS C A T E G Ó R I C O S

(subalternante de I) A contrarias E (subalternante de O)

R.

de s

ubal

tern

ació

n

R. d

e su

balte

rnac

ión

(subalterna de A) I subcontrarias

O (subalterna de E)

* Véase nota 6 del capítulo segundo.

79

En los cuadros que presentamos a continuación se muestran las infe­rencias inmediatas que pueden l íci tamente practicarse según esta teoría part iendo de las ocho premisas lógicamente posibles:

CASO 1: A es Verdadero CASO 2: E es Verdadero

CASO 3: A es Falso CASO 4: E es Falso

CASO 5: I es Verdadero CASO 6: O es Verdadero

CASO 7: I es Falso CASO 8: O es Falso

* El signo de interrogación indica que a partir de la premisa dada no puede infe­rirse cuál es el valor de verdad de la proposición por él señalada.

80

§ 10 . Crítica moderna al cuadrado de oposición

Durante muchos siglos se consideró válida esta teoría de las inferencias inmediatas. Sin embargo los lógicos modernos la consideran inaceptable en gran parte.

En efecto, en la simbolización moderna el cuadrado se formula así:

(x) (Fx D G x ) (x) (Fx D - G x )

( 3 x) (Fx · G x ) ( 3 x) (Fx · - G x )

Ahora bien, es posible concebir un universo donde A y E sean verda­deras a la vez, A verdadero e í falso, E verdadero y O falso, e í y O ambas falsas.

Sea, por ejemplo, el universo ad hoc U 3 y el siguiente vocabulario:

Fx: x es un triángulo Gx: x es un cuadrado Hx: x es un círculo Jx: x es rojo Kx: x es negro

Con estos predicados es posible formular una serie de proposiciones referentes a este universo; algunas resultarán verdaderas [como: 'a es un triángulo' (Fa), 'b es un cuadrado negro' (Gb'Kb), etc.], otras falsas [como: (c es un triángulo' (Fe), 'c es rojo' (Je), etc.].

Consideremos ahora el siguiente grupo: (A) Todo círculo es rojo (x) (Hx D Jx) (E) Ningún círculo es rojo (x) (Hx D — Jx) (I) Algún círculo es rojo ( 3 x) (Hx · Jx) (O) Algún círculo no es rojo ( 3 x) (Hx · — Jx)

Puesto que el predicado 'ser un círculo' no es satisfecho en este uni­verso por ningún individuo, los antecedentes de A y E resultan falsos, y por lo tanto ambos condicionales son verdaderos, independientemente del valor de verdad del consecuente. A su vez, los primeros miembros de las conjunciones correspondientes a í y a O resultarán siempre falsos y por lo tanto ambas conjunciones serán también falsas. Dicho en otros términos, como no hay círculos en el universo será igualmente verdadero decir que todos ellos son rojos o que ninguno lo es, e igualmente falso decir que exis­ten círculos rojos o que existen círculos que no lo son.

81

En general, si no hay ningún individuo que posea una cierta propie­dad 'S', serán simultáneamente verdaderas la proposición universal afirma­tiva de la forma 'Todo S es P' y la universal negativa respectiva 'Ningún S es P', a la vez que resultarán simultáneamente falsas la particular afir­mativa 'Algún S es F y la particular negativa 'Algún S no es P'. En lógica de funciones esto puede formularse del siguiente modo:

I. - ( 3 x) Fx D (x) (Fx D Gx) II. - ( 3 x) Fx D (x) (Fx D — Gx)

III. - ( 3 X ) F X D -(3x) ( F x · G x ) IV. -(3X)FXD -(3x) (Fx - - Gx)

y demostrarse como sigue: I. * 1. - ( 3 x) Fx Supuesto 1

T 2 · Fy Supuesto 2

1 3 · (3x)Fx de 2, por G. E. 4. Fy D(3x)Fx de 2 y 3, por r. de Cond. 5. -Fy de 4-1, por r. de M. T. 6. — Fy v Gx de 5, por r. de Ad. 7. Fy D Gx de 6, por Def. Cond. 8. (x) (Fx D Gx) de 7, por G.U. 9. - ( 3 x) Fx D (x) (Fx D Gx) de 1-8, por r. de Cond.

II. • 1. - ( 3 x) Fx Supuesto 1

T 2* Fy Supuesto 2

1 3 · (3x)Fx de 2, por G. E. 4. Fy D ( 3 x) Fx de 2 y 3, por r. de Cond. 5. - F y de 4-1, por r. de M. T. 6. — Fyy — Gy de 5, por r. de Ad. 7. Fy D — Gy de 6, por Def. Cond. 8. (x) (Fx D - Gx) de 7, por G.U. 9. - ( 3 x) Fx D (x) (Fx D - Gx) de 1-8, por r. de Cond.

III. • 1. - ( 3 x) Fx Supuesto 1

• 2. Fy Supuesto 2 3. ( 3 x) Fx de 2, por G. E. 4. Fy D ( 3 x) Fx de 2 y 3, por r. de Cond. 5. - F y de 4-1, por r. de M. T. 6. (x) — Fx de 5, por G. U.

< > 7. ( 3 x ) ( F x · G x ) Supuesto 3 8. Fz-Gz de 7, por E. E. 9. — Fz de 6, por E. U.

10. Fz de 8, por r. de Simp. 11. Fz· — Fz de 9 y 10, por r. de Conj. 12. ~(3x) (Fx ·Gx) de 7-11, por r. de P. por Abs. 13. — ( 3 x) Fx D — ( 3 x) (Fx · Gx) de 1-13, por r. de Cond.

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IV.

• 1. - ( 3 x ) F x Supuesto 1 1 • 2. Fy Supuesto 2

3. (3x)Fx de 2, por G. E. 4. Fy D ( 3x)Fx de 2 y 3, por r. de Cond. 5. -Fy de 4-1, por r. de M. T. 6. (x) - Fx de 5, por G. U.

4 • 7. ( 3 x ) ( F x · - G x ) Supuesto 3 8. Fz - - Gz de 7, por E. E. 9. -Fz de 6, por E. U.

10. Fz de 8, por r. de Simp. 11. Fz - — Fz de 9 y 10, por r. de Conj. 12. - ( 3 x ) ( F x · - G x ) de 7-11, por r. de P. por Abs. 13. - ( 3 x ) F x D - ( 3 x ) ( F x · — Gx) de 1-12, por r. de Cond.

Por las razones expuestas la lógica moderna niega que las proposiciones de tipo A-E sean realmente contrarias, que 1-0 sean subcontrarias y que entre A-I y E-0 se dé la relación de subalternación (o implicación).

Las únicas relaciones lógicas expresadas en el cuadrado que se man­tienen vigentes son las de contradicción: Si A es verdadera, O es falsa, etc., independientemente de que existan o no individuos que satisfagan el pri­mer predicado. Esto significa que las siguientes fórmulas corresponden a leyes de la lógica de funciones:

1. (x) (Fx D Gx) ≡≡ — ( 3 x) (Fx · — Gx) 2. (x) (Fx D — Gx) ≡≡ — ( 3 x) (Fx · Gx) 3. — (x) (Fx D Gx) ≡≡ ( 3 x) (Fx · — Gx) 4. — (x) (Fx D — Gx) ≡≡ ( 3 x) (Fx · Gx)

La validez de estas equivalencias puede demostrarse mediante la téc­nica conocida.

El punto clave de esta crítica al cuadrado clásico de la oposición radica en el problema del contenido existencial de los juicios categóricos. En efecto, como vimos en el parágrafo 7, según la interpretación de la lógica moderna los juicios universales A y E no afirman ni explícita, ni implícita­mente, la existencia de individuos. Al decir, por ejemplo: 'Todas las hadas tienen una bella mirada' no se está afirmando que realmente haya hadas. Los enunciados particulares I y O, en cambio, tienen contenido existencial. Al afirmar, v. gr.: 'Algunos gigantes son irascibles', se está afirmando que existen gigantes. En este caso se comprende que 1-0 (proposiciones con contenido existencial) no pueden inferirse de A-E (que no lo tienen). La teoría clásica parece presuponer que todos los juicios (incluso los universa­les) afirman la existencia de individuos que satisfacen la primera propie­dad (si se predica 'Todo S es P' o 'Ningún S es P' es porque creemos que hay individuos del tipo 'S'). Si fuera así, se justificaría la relación de subalternación entre los universales y los particulares respectivos, así como

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la de contrarios entre los dos universales. Pero en cambio no se cumpli­ría la relación de subcontrarios y, lo que es aún más grave, no se cum­pliría tampoco la de contradictorios. En efecto, si todas las proposiciones (A, E, 1, O) afirman la existencia de individuos de tipo 'S', puede ocurrir, en caso de que no existan tales individuos, que todas ellas sean falsas a la vez.

La revisión que del cuadrado de oposición de los juicios hace la lógica moderna no proviene, pues, solamente de su propio análisis de las propo­siciones categóricas, sino que supone una crítica interna a la teoría tradi­cional misma de las inferencias inmediatas.

§ 1 1 . Teoría clásica del silogismo; análisis moderno

Otro importante aporte sistemático de la lógica tradicional al estudio del razonamiento deductivo lo constituye su teoría del silogismo categórico. Se llama "silogismo categórico" (o, más brevemente, "silogismo") a un tipo de razonamiento que tiene las siguientes características:

1) Está formado por tres proposiciones (dos premisas y la conclusión). 2) Cada una de éstas es una proposición categórica de forma típica. 3) En todo el razonamiento aparecen exactamente tres términos: el

término medio (que simbolizaremos por la letra 'M'), que figura en las dos premisas pero no en la conclusión; el término mayor ('P') que es el predicado gramatical de la conclusión y aparece también en una de las premisas (llamada premisa mayor), y el término menor ('S') que corres­ponde al sujeto de la conclusión y figura en la otra premisa (llamada me­nor). Se conviene en que, a los efectos de uniformar el análisis del silo­gismo, la premisa mayor debe figurar en primer lugar.

Un ejemplo de silogismo es el siguiente:

Algún escultor es renacentista Todo escultor es artista Algún artista es renacentista

Forma: Algún M es P (P. mayor) Todo M es S (P. menor) Algún S es P (conclusión)

Llamaremos modo de un silogismo a la combinación de proposiciones que presenta. Así, v. gr., el silogismo anterior corresponde al modo: IAI. Si consideramos que cada una de las tres proposiciones que forman el silo­gismo puede ser del tipo A, E, I u O, hallaremos sesenta y cuatro modos posibles que puede presentar un silogismo categórico (AAA} AAE, AAI, AAO, AEA, AI A, etc., etc.).

Se llama figura de un silogismo a la forma que adopta el mismo según la ubicación de su término medio. Las figuras posibles son cuatro y se ordenan de la siguiente manera:

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MP PM MP PM

SM SM MS MS

1» 2» 3» 4*

El silogismo de nuestro ejemplo corresponde a la tercera figura.

Puesto que cada uno de los sesenta y cuatro modos puede presentar cualquiera de las cuatro figuras, existen doscientas cincuenta y seis formas posibles de silogismo. Entre éstas, sólo una pequeña cantidad corresponde a inferencias válidas. Aunque hubo discrepancias al respecto a lo largo de la historia de la lógica, podemos considerar que las formas generalmente aceptadas como válidas dentro de la teoría clásica son las siguientes:

MODO

1? FIGURA 2? FIGURA 3* FIGURA 4* FIGURA

AAA Barbara EAE Celarent AII Darii EIO Ferio

EAE Cesare AEE Camestres EIO Festino AOO Baroco

AAI Darapti IAI Disamis AII Datisi EAO Felapton OAO Bocardo EIO Ferison

AAI Bamalip AEE Camenes IAI Dimatis EAO Fesapo EIO Fresison

Las palabras que aparecen en el cuadro (Barbara, Celarent, etc.) son los nombres que los lógicos medievales dieron a las distintas formas váli­das del silogismo. En esos nombres las vocales indican el modo (por ejem­plo, en BARBARA las tres apariciones de la letra 'a' indican que se trata del modo AAA) y algunas de las consonantes (V, 'm\ 'p' y 'b' no iniciales) señalan ciertas operaciones que deben practicarse para demostrar la vali­dez de una forma silogística a partir de otra de la primera figura.

Dentro de la lógica moderna el análisis de los silogismos puede reali­zarse en términos de la lógica de funciones.

Sea, v. gr., la forma silogística BARBARA:

Todo M es P

Todo S es M

Todo S es P

En lenguaje de la lógica de funciones puede representarse del siguien­te modo:

(x) (Fx D Gx)

(x) (Hx D Fx)

(x) (Hx D Gx)

donde el predicado monádico 'Fx' corresponde al término medio, y los otros dos 'Hx' y 'Gx' al término menor y mayor, respectivamente.

La validez de esta forma silogística puede probarse mediante el méto­do demostrativo de la siguiente manera:

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Demostración de BARBARA:

1. (x) (Fx D Gx) 2. (x) (Hx D Fx) I:. (x) (Hx D Gx) 3. Fy D Gy de 1, por E. U. 4. Hy D Fy de 2, por E. U. 5. Hy D Gy de 3 y 4, por r. de S. Hip. 6. (x) (Hx D Gx) de 5, por G. U.

De modo parecido puede probarse la validez de CELARENT, DARII, etc. Pero no todas las formas aceptadas como válidas por la lógica tradi­cional reciben igual sanción dentro del cálculo de funciones. Así las formas DARAPTI, FELAPTON, BAMALIP y FESAPO constituyen inferencias in­válidas para la lógica simbólica. Como puede observarse, ellas comparten la característica de que, siendo sus premisas universales, su conclusión es particular. Puesto que las proposiciones universales no tienen, según el análisis moderno, contenido existencial -como vimos en el parágrafo ante­rior-, no puede inferirse válidamente de ellas proposiciones que sí lo tienen.

Consideremos, por ejemplo, la estructura DARAPTI: Todo M es P Todo M es S Algún S es P

Según el análisis moderno ella se formula así: (x) (Fx D Gx) (x) (Fx D Hx) (3x) ( f í x ·Gx)

Ninguna de las dos premisas afirma, según esta formulación, la existen­cia de individuos que satisfagan la propiedad 'Fx'; la conclusión sólo podría inferirse válidamente de las premisas en la medida en que se postulara explícitamente su existencia.

Así, pues, una manera de rescatar en su totalidad la teoría silogística sería agregar en estos casos, como premisa adicional, una cláusula exis­tencial. En nuestro ejemplo:

(x) (Fx D Gx) (x) (Fx D Hx) (3x)Fx (3x) (Gx ·Hx)

Tal forma podría probarse, v. gr., del siguiente modo: 1. (x) (Fx D Gx) 2. (x) (Fx D Hx) 3. ( 3 x ) F x / . * . ( 3 x ) (Gx ·Hx) 4. Fy de 3, por E. E. 5. Fy D Gy de 1, por E. U. 6. Gy de 4 y 5, por r. de M. P. 7. Fy D Hy de 2, por E. U.

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8. Hy de 4 y 7, por r. de M. P.

9. Gy·Hy de 6 y 8, por r. de Conj.

10. (3x)(Gx-Hx) de 9, por G. E.

La teoría silogística resulta, así corregida, un subcapítulo de la lógica de funciones y, por ende, de la teoría lógica moderna.

NOTAS AL CAPÍTULO 3

1 Estos símbolos son presentados por algunos autores no como constantes sino como variables. Sin embargo, en este caso debe reconocerse que su índole de variable no es similar a la de las variables individuales que estudiamos más abajo. Dice, por ejemplo, Blanché en su Introducción a la lógica contemporá­nea: "Las variables predicativas no son variables en el mismo grado que las variables individuales. En la expresión f (x) (para nosotros 'Fx') el símbolo 'f i'F') desempeña respecto de la variable 'x', el papel de una constante. Y simboliza una variable únicamente en este sentido: que yo puedo, por él, representar no importa qué función. Con otras palabras, en 'f (x)' mientras que 'x' ocupa el lugar de un individuo cualquiera, 'f debe ser considerado como representando una función bien determinada, pero que por el momento no es necesario precisar mejor." (Ed. C. Lohlé, Bs. Aires, 1963, pág. 129.)

2 La inversión de lugar de los símbolos de individuo y predicado (Fa en lugar de aF) responde a razones prácticas, pues facilita la simbolización de predi­cados poliádicos (véase parágrafo 5) .

3 Es cierto que, como se alega a veces en defensa del tratamiento dado por la lógica tradicional a las proposiciones simples (véanse parágrafos 7 y 9) , una proposición que describe acción (v. gr., 'Juan corre velozmente') puede redu­cirse a una de la forma sujeto-cópula-predicado mediante cierto recurso lin­güístico ('Juan es un ser que corre velozmente'). En este sentido puede tradu­cirse apropiadamente 'Fa' como 'a es un .F' o 'a tiene la propiedad F \ Pero una traducción de este tipo no es aceptable cuando se trata de predicados po­liádicos, que no expresan propiedades de individuos sino relaciones entre indi­viduos (véase parágrafo 5) . Por eso se adopta para la lectura de las fórmulas con símbolos de predicados una expresión que no queda limitada al campo de los predicados de primer grado. Debe admitirse, sin embargo, que este tipo de lectura presenta, por su parte, el inconveniente de apelar a otro nivel de lenguaje, ya que mientras la palabra 'propiedad' denota algo que las cosas tienen (remite a los hechos), el término 'predicado' denota una cierta catego­ría lógica o gramatical (remite al lenguaje). (Para el concepto de niveles de lenguaje puede consultarse, entre otros, Reichenbach, Hans, Elements of Sym-bolic Logic, The Free Press, N. Y., Introducción, § 3.)

4 En rigor deberíamos distinguir entre una función proposicional (como, por ejemplo, lx es filósofo') y su forma ('Fx'), del mismo modo que distinguimos entre una proposición (como 'Sócrates es filósofo') y su forma ( f Fa') . La ma­yoría de los autores no formula, sin embargo, esta distinción. En aras de la simplicidad del texto tampoco lo haremos aquí; llamaremos a expresiones como 'Fx' directamente 'función proposicional'.

5 Como se verá más adelante existen determinadas reglas a las que debemos ajustamos para transformar una función proposicional en una proposición a lo largo de una demostración (véase parágrafo 8) .

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6 Debemos fijar, sin embargo, un límite a esta generalidad. Para que una fórmu­la de la lógica de funciones sea una ley lógica se exige que ella se verifique en cualquier universo no vacío (es decir, en cualquier universo que tenga al menos un individuo). Esta limitación es necesaria para que se cumplan las relaciones básicas entre los cuantificadores. Si no se introdujera, es decir, si exigiéramos que la fórmula fuera verdadera aun para universos vacíos, no sería lícito inferir a partir de ' (x) Fx' la existencial ' ( 3 x) Fx', pues en el universo vacío esta implicación no se verifica, ya que la universal será verda­dera (vacuamente) y la existencial falsa. Asimismo resultarían verdaderas simultáneamente en un universo sin individuos proposiciones que tuvieran res­pectivamente las formas: (x) Fx y (x) — Fx, y falsas por igual las que res­pondieran a las estructuras ( 3 x ) Fx y ( 3 x) — Fx .

7 En el enunciado de las leyes la expresión que dentro de cada fórmula denota una función proposicional (como 'Fx' en el caso de las leyes de equivalencia de cuantificadores o 'Fx' y 'Gx' en las leyes de distributividad, etc.) debe entenderse como representando una función proposicional cualquiera que tiene libre como mínimo un caso de la variable que aparece dentro del cuantificador respectivo, pero que puede ser de mayor o menor complejidad y contener por ende más de un símbolo de predicado y / o individuo o, incluso, otros cuantifica­dores. Así, por e jemplo , la fórmula: ' (x) (Fx · Gx) ≡ — ( 3 x ) — (Fx · Gx)' puede considerarse un caso de la primera ley de cuantificadores, ya que la ex­presión 'Fx · Gx' aparece aquí en todos los lugares donde 'Fx' figura en la mencionada ley. Un caso más complejo aún de la ley mencionada sería el si­guiente: ' (x ) [Fx D ( 3 y) Gy] ≡ — ( 3 x ) — [Fx D ( 3 y) Gy]', donde la expre­sión: 'Fx D ( 3 y) Gy' ocupa el lugar de 'Fx'. En este sentido las leyes enun­ciadas en este capítulo pueden considerarse también esquemas (a la manera de lo ya explicado en el capítulo II, parágrafo 7 , para la lógica proposicional) aunque evitamos acá introducir una simbología especial para no complicar ex­cesivamente el lenguaje.

8 El hecho de que la lógica moderna haya elaborado una herramienta de análi­sis capaz de tratar adecuadamente inferencias de este tipo es uno de los rasgos que la hacen superior a la lógica aristotélica (véase parágrafo 9) . En efecto, según la teoría clásica las proposiciones simples responden a la forma atribu­tiva básica 'S es P', es decir, atribuyen una cierta propiedad (P) a un cierto sujeto ( S ) . De modo que un enunciado que la lógica simbólica consideraría como relacional como, por ejemplo, '4 es mayor que 3' es analizado por la lógica tradicional del mismo modo que un enunciado atributivo típico como '4 es un número'; para la teoría clásica la forma de ambos es la misma, a saber: 'S es P', sólo que en el primer caso 'P' significa 'mayor que 3' y en el segundo significa 'número'. La insuficiencia de este análisis resulta evidente si se piensa que una ley como la que establece la transitividad de la relación "ser mayor que" resultaría así inválida (véase para esto Simpson, Tomás Mo­ro, Formas lógicas, realidad y significado, EUDEBA, Buenos Aires, cap. 1, pa­rágrafos 4, 5 y 6, y Blanché, Robert, op. ext. capítulo IV, parágrafos 31 y 32).

9 En realidad estas formas de razonamiento no son válidas a menos que agre­guemos cierta fórmula entre sus premisas. Para la primera habría que espe­cificar que la relación 'ser más famosa que' es transitiva; para la segunda, que la relación 'ser admirado por' es la conversa de 'admirar a' (véase capítulo V, parágrafo 3) . Las formas completas de los razonamientos quedarían así ex ­presadas como sigue: Primer razonamiento, 'Fab, Fbc, (x) (y) (z) [(Fxy · Fyz) D Fxz] /•'• Fac'. Segundo razonamiento, 'Fab, (x) (y) (Fxy ≡ Gyx) IGba'.

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4 LÓGICA DE CLASES

§ 1 . Clases y propiedades

Consideremos estos dos enunciados:

1. Aristóteles es filósofo 2. Aristóteles es un filósofo

Aun cuando ambos describen el mismo hecho, puede discernirse entre los dos una sutil diferencia en cuanto a la manera de referirse al hecho en cuestión: mientras el primero indica que Aristóteles posee una deter­minada propiedad (la de ser filósofo), el segundo señala que Aristóteles pertenece a una cierta clase o conjunto de individuos (la clase de los filó­sofos), que es un miembro de ella. En otras palabras: mientras el primero pone el acento en la llamada connotación (intensión o sentido) del término 'filósofo' (todas las notas que caracterizan a un filósofo en cuanto tal son notas que posee Aristóteles), el segundo alude a la denotación (o exten­sión) del mismo término (Aristóteles se halla dentro del conjunto de indi­viduos denotados por 'filósofo', es uno de ellos). Sin embargo, ambos enun­ciados vienen a transmitir la misma información debido a que, al decir que un individuo tiene una determinada propiedad, se está afirmando también que pertenece al conjunto formado por todos aquellos individuos que po­seen esa propiedad, e inversamente, si decimos que un individuo pertenece a una cierta clase, estamos sosteniendo que posee la propiedad que caracte­riza a los miembros de esa clase. Por otra parte, sólo en algunos pocos casos el lenguaje indica claramente un uso extensional o intensional de los términos. La mayoría de las proposiciones admiten por igual una u otra interpretación. Sea, por ejemplo, la proposición:

3. Todo ateniense es griego

Ella podría interpretarse en un sentido intensional (todo aquel que posea la propiedad de ser ateniense posee también la propiedad de ser griego) o en un sentido extensional (todos los individuos que pertenecen al conjunto de los atenienses pertenecen también al conjunto de los griegos).

La lógica, en cambio, ha elaborado, por razones que tienen que ver, en parte, con su desarrollo h i s t ó r i c o d o s lenguajes distintos para una y otra interpretación de los términos: el de la lógica de funciones y el de la lógica de clases. El primero, que fue nuestro objeto de estudio en el capítulo an­terior, corresponde a un punto de vista intensional; así, por ejemplo, los

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predicados monádicos se corresponden con propiedades de individuos. Una proposición como:

4. Juan es honrado

se interpreta como: 'Juan tiene la propiedad de ser honrado' (o, en otro nivel de lenguaje: 'Juan satisface el predicado honrado') y puede simbo­lizarse, como hemos visto, por 'Fa\

La lógica de clases, en cambio, pone de relieve la vinculación entre los individuos y los conjuntos a los cuales éstos pueden o no pertenecer. Así el mismo enunciado sería interpretado en términos de lógica de clases co­mo: 'Juan pertenece a la clase de los seres honrados' y sería simbolizado por: 'a e a' (véase parágrafo 2).

A lo largo del presente capítulo explicaremos cuál es el tipo de aná­lisis de las formas lógicas característico de la lógica de clases y mostrare­mos a la vez la vinculación existente entre este cálculo y el cálculo de predicados.

§ 2. Clase y pertenencia

La noción de clase, a partir de la cual se construye este capítulo de la lógica, es muy intuitiva: las clases son conjuntos, colecciones de cosas (que pueden ser objetos materiales, seres vivos, entes ideales, etc.) que tienen alguna propiedad en común, tales como las formadas por:

a) Todos los planetas b) Todos los hombres famosos de la historia c) Todos los números pares d) Todos los días en que entró en erupción el Etna

La simple enumeración de estas clases indica que de ninguna manera es lícito identificar el concepto de clase con el de agregado material de cierto tipo de entidades en un espacio físico ya que, si bien la clase a) po­dría imaginarse de este modo, los otros conjuntos nombrados arriba son imposibles de concebir en esa forma. Una clase es, pues, una entidad ideal. Aun en el caso de que para una clase dada podamos hallar un agregado material que se le corresponda, ambos siguen siendo diferentes. Así, por ejemplo, el agrupamiento material o físico de los planetas en el espacio celeste no es igual a la clase de los planetas: el primero es un agregado concreto de entidades concretas y como tal puede deteriorarse, ser des­truido, desaparecer. En cambio la clase de los planetas, en la medida en que es una entidad abstracta, no puede ser destruida; a lo sumo lo que puede ocurrir, en el caso de que no haya planetas, es que ella no tenga elementos (es decir, sea igual a la clase nula o conjunto vacío).

Donde puede advertirse muy bien el carácter abstracto de una clase es en el caso de las clases unimembres o unitarias, esto es, las clases que con­tienen un solo individuo, como, por ejemplo, la clase de los satélites natura-

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les de la Tierra. En efecto, esta clase, cuyo único miembro es la Luna, no es, sin embargo, igual a la Luna. Ambas son entidades de naturaleza dife­rente: la Luna es una entidad material, cuyos componentes últimos son millones de átomos; la clase de los satélites naturales de la Tierra es una entidad ideal, cuyo único miembro es la Luna; de esta última podemos predicar que presenta una superficie cubierta por un polvo blanco grisá­ceo, que carece de atmósfera, que gira en torno de la Tierra, etc., de aquélla, en cambio, podemos predicar que tiene un solo miembro, que está inclui­da en la clase universal, que es diferente de la clase nula, etc.

Para ilustrar la relación entre una clase unimembre y su único miem­bro se la ha comparado con la relación que existe entre una caja de fósfo­ros que contiene una sola cerilla y esta única cerilla. Está claro que ambos -continente y contenido- son distintos, a pesar de haber entre ellos corres­pondencia de uno a uno. Esta comparación, sin embargo, tiene el inconve­niente de inducirnos a imaginar una clase como algo concreto, que contiene materialmente a sus individuos como una caja de fósforos contiene a éstos, mientras que, como quedó dicho, las clases son de naturaleza abstracta.

La vinculación que existe entre un individuo y la clase de la cual él es un miembro se denomina relación de pertenencia; cuando un individuo es miembro de una clase se dice que es un elemento de ella, que pertenece a ella. Así, por ejemplo, la Tierra pertenece a la clase de los planetas pero no pertenece a la clase de las estrellas.

En lógica de clases se expresa esta relación mediante el signo 'e ' (la letra griega "épsilon" con que comienza el verbo eaxi - e s - ) . Para negar pertenencia se usa ese mismo símbolo testado: '^', como abreviatura de la expresión afirmativa correspondiente precedida por la conectiva de nega­ción. Como símbolos de clases emplearemos las primeras letras del alfabeto griego: a, (3, y, o. Como símbolos de individuos, los mismos utilizados en la lógica de funciones. Así, pues, una expresión como 'a e a' significa 'el individuo a pertenece a (es un miembro de) la clase a', y (a $ a (o '— a e a') significa 'el individuo a no pertenece a (no es un miembro de) la clase a'.

A continuación mostramos cómo pueden traducirse al simbolismo de la lógica de clases algunas expresiones del lenguaje usual.

Sean, v. gr., los enunciados: 1) La Tierra es un planeta 2) La Tierra es un planeta cercano al Sol 3) La Tierra no es una estrella 4) Mercurio y Júpiter son planetas

si simbolizamos: a = la clase de los planetas P = la clase de los cuerpos celestes cercanos al Sol Y = la clase de las estrellas a: Tierra b: Mercurio c: Júpiter

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sus formas corresponden respectivamente a:

I) a e a II) a e a · a e p

III) a £ Y (o: — a e y) IV) b e a · c e a

Como puede advertirse, para vincular entre sí proposiciones expresadas en este nuevo lenguaje debemos recurrir a las conectivas proposicionales que estudiamos en el capítulo 2. Esto indica que el cálculo de clases, al igual que el de funciones, presupone la lógica proposicional.

Para nombrar una clase haciendo referencia a la propiedad que la

determina (vinculando de esta manera la lógica de clases con la de predi­

cados) se emplea el llamado operador de abstracción: 'x\

Así:

xFx

se lee: 'La clase de todos los individuos que tienen la propiedad F\

Este operador nos permite obtener una clase a partir de un predicado, abstraer el conjunto de todos los individuos que poseen determinada pro­piedad.

Utilizando el operador de abstracción la pertenencia de un individuo a una cierta clase se expresa del siguiente modo:

A

a e xFx

§ 3. Clase universal y clase nula

Dentro del infinito número de clases que pueden concebirse, hemos de distinguir dos, que, como veremos, cumplen un papel especial dentro del cálculo: la clase que contiene a todos los individuos y la que no contiene a ninguno. La primera se denomina "clase universal" y la representamos por 'V'; la segunda se denomina "clase nula" o "vacía" y su símbolo es 'A'.

Ambas clases pueden definirse recurriendo a la relación de igualdad, relación que es satisfecha por todos los individuos con respecto a sí mismos:

A

\y — X X — X A

A = d f . x x^=x

Vale la pena destacar que por lo común el universo de individuos al cual se refiere nuestro discurso se restringe implícitamente a un área de­terminada de entidades. Así, por ejemplo, si alguien dice: 'Todos somos prisioneros de algún prejuicio', intenta indicar con la palabra 'todos' a la totalidad de los seres humanos, y si dice: 'Vinieron todos a la reunión', a pesar de que utiliza también una expresión universal y se refiere asimismo al ámbito de los seres humanos, alude sólo a un grupo reducido de perso-

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ñas: aquellos que habían sido convocados en una determinada ocasión. Incluso en una afirmación que aparentemente expresa una universalidad total como Todo perece' se quiere aludir sin duda a todo lo que tiene vida dejando implícitamente de lado la materia inerte o las entidades idea­les o imaginarias.

En rigor, la clase universal debe interpretarse no como el conjunto de todas las entidades concebibles (reales o posibles), sino como el dominio de individuos a los que se refiere nuestro discurso, es decir, la clase que obra como universo dentro de un determinado contexto (universo del dis­curso).^

§ 4- Operaciones con clases

Dentro del cálculo de clases pueden practicarse varias operaciones que representan, en parte, las operaciones que el pensamiento humano realiza cuando trabaja con conjuntos. En efecto, el adicionar ciertas clases o el separar de cierto conjunto de cosas una parte, o el hallar los elementos en común entre dos o más clases son todas actividades mentales que reali­zamos con frecuencia, aun cuando no seamos conscientes de estar practi­cando operaciones lógicas. Tomemos el caso de un matrimonio que decide invitar a una reunión sólo a aquellas personas que son amigos de ambos; para ello debe hallar previamente lo que tienen en común la clase de los amigos de la mujer y la clase de los amigos del marido. Si por el contrario se trata de invitar a unos y a otros, se realiza una adición entre ambas cla­ses. Si, en cambio, deciden invitar a todos los amigos, comunes o no, que no tengan niños, deberán separar de la clase formada por adición el con­junto formado por todos los que tienen hijos. Y así sucesivamente.

Cada una de las operaciones que se practican puede definirse en forma precisa recurriendo al concepto de pertenencia, el operador de abstracción y conectivas proposicionales, del siguiente modo:

a. Complemento. El complemento de una clase a (a) es la clase for­mada por todos los individuos que no pertenecen a a.

En símbolos: A

a = d f x x $ a

Esta operación presupone la noción de clase universal; en efecto, la clase a será exactamente igual a lo que queda del universo una vez que se ha restado o quitado de éste los miembros de a. Por eso es necesario, cuando se realiza esta operación con una clase determinada, hacer explí­cito cuál es el universo del discurso. Así, por ejemplo, si se aplica la ope­ración de complemento a la clase de los hombres limitando la clase uni­versal al reino animal, el complemento de esa clase estará formado por todos los animales no racionales (es decir, por todos los animales en el sentido restringido del término). Si, en cambio, se toma como universo el conjunto de los seres vivos, el complemento será igual al conjunto forma­do por todos los animales no racionales y los vegetales.

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Para representar la operación de complementación podemos recurrir al siguiente diagrama:

El área del rectángulo representa la clase universal ( V ) , el círculo la clase a y el área sombreada el complemento de ésta, es decir a.

Como se desprende de las definiciones respectivas, la clase universal es el complemento de la clase nula y recíprocamente.

b. Intersección. La intersección (llamada también "producto lógico") de dos clases a y (3 (a D (3) es la clase formada por todos los individuos que pertenecen a a y a |3.

En símbolos: A

a n p = d f r ( x e a · x e f )

Ejemplo:

La intersección de la clase de los mamíferos y la de los animales acuá­ticos es igual a la clase de los mamíferos acuáticos, es decir, los cetáceos.

El operador de intersección es binario, se aplica a dos clases. Puede representarse la operación de intersección mediante la técnica

de círculos que se intersecan de la siguiente manera:

El área sombreada representa la intersección de a y (3 (a f! P). Cuando dos conjuntos no tienen ningún miembro en común (como

ocurre, por ejemplo, con la clase de los peces y la de las aves) se dice que son conjuntos disy untos; la intersección entre conjuntos disy untos es igual a la clase nula. Por definición toda clase y su complemento son conjuntos disyuntos; por lo tanto la intersección de cualquier clase con su comple­mento es igual a la clase nula.

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c Unión. La unión (llamada también "suma lógica") de dos clases a y (3 (a U (3) es la clase formada por todos los individuos que pertenecen a a o (en sentido inclusivo ) a (3.

En símbolos: A

a U (3 = d f x (x e a v x e (3) Ejemplo:

La unión de la clase de los animales unicelulares y la de los animales pluricelulares es igual a la clase de los animales.

Utilizando un diagrama similar al anterior, la representación corres­pondiente sería:

El área sombreada representa la unión de a y (3 (a U (3). De acuerdo con las definiciones de unión, complemento y clase univer­

sal, la unión de cualquier clase con su complemento da como resultado la clase universal.

d. Diferencia. Se llama diferencia entre dos clases a y |3 (a — (3) a la clase formada por todos los individuos que pertenecen a a y no perte­necen a (3.

En símbolos: A

a — (3 = d f x (x e a · x $ (3) Ejemplo:

La diferencia entre la clase de los seres humanos y la clase de las mu­jeres es igual a la clase de los varones.

Gráficamente:

El área sombreada representa la diferencia entre a y (3: (a — (3).

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Como se desprende de las definiciones de diferencia, intersección y complemento, la diferencia entre dos clases a y (3 es igual a la intersección de a con el complemento de (3. Por lo tanto, la diferencia de una clase consigo misma es igual a la clase nula y la diferencia de una clase con su complemento es la clase misma.

Por otra parte, la operación que acabamos de introducir nos permite redefinir el complemento de una clase como la diferencia entre el universo y la clase dada (a = d f . V — «).

Combinación de operaciones. Todas las operaciones definidas de a) a d) pueden combinarse; así, por ejemplo, la fórmula a U (3 indica el com­plemento de la unión entre a y (3; a U a indica la unión de una clase con

su propio complemento; a n (3 señala el complemento de la intersección entre el complemento de a y (3, etc. El resultado de estas operaciones com­binadas también puede representarse gráficamente. Tomemos, v. gr., la primera de las fórmulas nombradas: a U (3. La representación gráfica co­rrespondiente es la siguiente:

Cuando las fórmulas son demasiado complejas, para construir el dia­grama es conveniente proceder por pasos, del modo que ilustramos a con­tinuación:

Sea la expresión: ( a f l p ) n a Primer paso. Representación de a n |3

Segundo paso. Representación de a n í3

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Tercer paso. Representación de ( a n p ) n a

§ 5. Relaciones entre clases

Así como existe la posibilidad de operar con clases obteniendo nuevas clases también es posible establecer entre ellas ciertas relaciones; si com­paramos, v. gr., la clase de los triángulos con la de los polígonos observa­mos que la primera queda totalmente comprendida en la segunda; si com­paramos la clase de los triángulos equiángulos con la de los triángulos equiláteros descubrimos que son iguales; si en cambio intentamos relacio­nar la clase de los triángulos con la de los rectángulos advertimos que no tienen ningún elemento en común, y así sucesivamente.

Como en el caso de las operaciones, nos interesa definir con precisión alguna de estas relaciones, especialmente importantes dentro del cálculo, como la inclusión y la igualdad.

a. Inclusión. Decir que una clase a está incluida en una clase p (a C (3) equivale a afirmar que todo elemento de a es también un elemento de (3.

En símbolos: a C |3 = d f (x) (x e a D x e (3)

Ejemplo:

La clase de los números racionales está incluida en la clase de los números.

Para negar que entre dos clases a y (3 se dé esta relación, puede ape­larse a la conectiva '—' (— (a C (3)) o testarse el símbolo de inclusión: 'ct'·

De la definición de inclusión se desprende que toda clase tiene esta relación consigo misma; en este caso se habla de inclusión impropia.

Cuando una clase a está incluida en una clase (3, se dice que a es una subclase de (3. Por ende, toda clase es una subclase (impropia) de sí misma.

b. Igualdad. Decir que una clase a es igual a una clase (3 (a = P) equivale a afirmar que todo elemento de a es también un elemento de P, y todo elemento de P es también un elemento de a.

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En símbolos: a = p —(U (x) (x e a ≡ x e p)

Ejemplo:

La clase de los números naturales es igual a la clase de los enteros positivos.

La relación de igualdad es, como puede apreciarse, idéntica a la rela­ción de inclusión recíproca:

a = ( 3 = ( a C P · | 3 C a )

Como se desprende de la definición de igualdad, toda clase es igual a sí misma.

Para negar que se dé la relación de igualdad entre clases, puede recu-rrirse a la conectiva '—' (— (a = (3)) o testarse, el símbolo de igualdad ( c x ^ P ) .

§ 6. Inclusión y pertenencia

La relación de inclusión que acabamos de estudiar debe distinguirse cuidadosamente de la relación de pertenencia introducida en el parágrafo 2, con la que aparentemente tiene cierta similitud.

En efecto, la pertenencia se predica de un individuo con respecto a una clase o conjunto ('Juan es hombre', 'El Aconcagua es una montaña', etc). La inclusión, en cambio, sólo puede darse entre clases ('Los cuadra­dos son cuadriláteros', 'Los monotremas son mamíferos', etc.).

Es cierto que siempre que una clase a está incluida en otra (3, cada uno de los individuos de a pertenece también a (3; pero sería erróneo considerar que cada miembro de a está incluido en p.

Sea, por ejemplo, el siguiente razonamiento:

1. Todos los volcanes son peligrosos

El Etna es un volcán

El Etna es peligroso

Las relaciones que se afirman en sus proposiciones son las siguientes: la clase de los volcanes está incluida en la clase de las cosas peligrosas. El Etna, que es una entidad singular, un individuo, pertenece a la clase de los volcanes. Luego, el Etna pertenece a la clase de las cosas peligrosas.

En símbolos:

a c p a e a a e P

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Este razonamiento es válido por la forma en que definimos la relación de inclusión. En efecto, puesto que a está incluida en (3, por definición de inclusión todo individuo que pertenece a a pertenecerá también a (3, y dado que a pertenece a a, a pertenece a (3.

Consideremos ahora este otro razonamiento:

2. Todo ateniense es griego

Todo griego es europeo

Todo ateniense es europeo

Cada una de sus proposisiones predica inclusión de una cierta clase en otra:

a c p

P c Y

a C y

Este razonamiento es válido en virtud de la transitividad de la relación de inclusión (véase parágrafo 9, ley N° 24 y capítulo 5, parágrafo 3).

Una inferencia algo más compleja es la siguiente:

3. La Argentina es un país sudamericano Todos los países sudamericanos tienen una tradición indígena propia Los países con tradición indígena propia poseen un valioso folklore La Argentina posee un valioso folklore

que responde a la siguiente forma:

a e a

a C P P C Y

a e Y

donde a = Argentina; a = países sudamericanos; (3 = países con tradición indígena propia, y y = países que tienen un valioso folklore.

Puede probarse la validez de este razonamiento o bien sobre la base de la transitividad de la inclusión (que permite pasar de la segunda y tercera premisas a la afirmación 'a C y') y la definición de inclusión (que autoriza a extraer de esta fórmula y la primera premisa la conclusión), o bien por dos aplicaciones sucesivas de la definición de inclusión ('a e (3' y luego 'a e y').

En todos estos ejemplos queda ilustrado que la inclusión es una rela­ción entre clases y la pertenencia una relación que va de individuos a clases. Sin embargo, debemos destacar que en ciertos casos se presenta la circunstancia de que la relación de pertenencia se verifique entre clases, es decir, que una clase pertenezca a otra.

Sea, por ejemplo, la clase de las cosas numerosas. ¿Cuáles son las en­tidades que pueden pertenecer a esa clase? Solamente aquellas entidades

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que a su vez contienen miembros, es decir, solamente conjuntos o clases de cosas. En efecto, sólo si algo contiene miembros puede tener "numerosi­dad". Así, por ejemplo, tiene sentido decir que es numeroso el conjunto de las aves, o el conjunto de los habitantes de China, pero no tiene sentido predicar tal cosa de un ave o de un chino individualmente. Por lo tanto, un enunciado como 'Las aves son numerosas' no predica inclusión entre cla­ses (no dice que cada ave sea numerosa), sino pertenencia (el conjunto de las aves es un miembro del conjunto de las cosas numerosas) . ( 3 ) Aná­logamente, predican pertenencia de una clase a otra los siguientes enun­ciados:

Las guerras son frecuentes Los negros son una raza humana Los integrantes de esa orquesta son diez Los hombres crueles son pocos

En todos estos casos la predicación no es distributiva; no se predica de cada uno de los individuos por separado, sino del conjunto mismo que los individuos forman.

Las clases cuyos miembros son a su vez clases de individuos se consi­deran como perteneciendo a un nivel lógico superior que las clases cuyos miembros son individuos (véase nota N9 3), cosa que vamos a indicar simbólicamente afectando las letras que las designan con una prima, v. gr., a', |3', etc.

El confundir inclusión con pertenencia puede dar origen a inferencias como ésta:

4. Los astronautas que visitaron la Luna son hombres Los hombres son numerosos Los astronautas que visitaron la Luna son numerosos

Una consideración superficial de este razonamiento podría llevarnos a suponer que responde a la estructura lógica del razonamiento 2 analizado arriba ('y C |3, (3 C y .'. a C y'), que fue declarada válida. Esto nos enfren­taría con la situación insostenible de tener que declarar válido un razo­namiento cuyas premisas son verdaderas y cuya conclusión es falsa. Un análisis más cuidadoso nos permite determinar que aquélla no es realmente su estructura, pues la segunda premisa no predica inclusión, sino pertenen­cia de una clase a otra. Podríamos expresar, pues, su forma, de la siguiente manera:

a c p P e a ' a e a'

Ahora bien, como en cada una de las premisas se predica una relación distinta, aun cuando se diera el caso de que cada una de esas relaciones fuera transitiva, es claro que no puede aplicarse legítimamente la transiti-

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vidad (como ocurría en el razonamiento 2); la conclusión no se infiere válidamente de las premisas.

Otro caso interesante es el siguiente:

5. Los hombres son numerosos Napoleón es hombre Napoleón es numeroso

Aparentemente este razonamiento (que a partir de premisas verdade­ras conduce a una conclusión no ya falsa, sino absurda) tiene analogía con el primero que vimos en este parágrafo [cuya estructura (a C (3; a e a .". a e (3) fue declarada válida]. Pero esta analogía es sólo lingüística, no lógica, ya que en el presente caso la primera premisa no predica inclusión, sino pertenencia de una clase a otra:

a e a' a e a a e a'

Este razonamiento es inválido en razón de que la pertenencia es una relación intransitiva.

Estos pocos ejemplos bastan para mostrar que las relaciones de inclu­sión y pertenencia distan mucho de ser equivalentes entre sí ya que difie­ren en sus propiedades formales y por lo tanto dan origen a estructuras lógicas distintas. Volveremos sobre este punto más adelante al estudiar en general las relaciones binarias y sus propiedades (véase capítulo 5, pa­rágrafo 3).

§ 7. Proposiciones categóricas; simbolización y d iagramas de Venn

Es importante destacar que siempre que se establece una relación entre clases (sea una relación de inclusión, de pertenencia de una clase a otra de nivel lógico superior, etc.) se está formulando una proposición. Al decir, v. gr., que la clase de los cetáceos está incluida en la de los mamíferos, estamos afirmando que todos los cetáceos son mamíferos. No ocurre lo mis­mo cuando indicamos una operación. Al mencionar, por ejemplo, la in­tersección de la clase de los mamíferos con la de los animales acuáticos, simplemente estamos nombrando una clase (la de los cetáceos), pero no predicamos nada acerca de ella. Podríamos, por cierto, afirmar algo a su respecto (como, por ejemplo, decir que tiene miembros), pero para eso de­bemos recurrir a una relación: ' (a Pi (3) ̂ A' .

Así, pues, la introducción de los símbolos de relación permitirá expre­sar en el lenguaje de la lógica de clases las proposiciones categóricas que simbolizamos anteriormente en el ámbito de la lógica de funciones.

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Consideremos las siguientes proposiciones, que responden a las formas A, E, I, O estudiadas en el parágrafo 7 del capítulo anterior:

A. Todo argentino es americano

E. Ningún argentino es americano

I. Algún argentino es americano

O. Algún argentino no es americano

En cada una de ellas se establecen ciertas relaciones entre dos clases. Si simbolizamos:

a: La clase de los argentinos

|3: La clase de los americanos

podemos decir que en la primera proposición se afirma que la clase a está incluida en la clase (3 (a C (3), es decir que no hay ningún individuo que pertenezca a a y no pertenezca a (3 (af) ¡3 = A ) ·

En la segunda se enuncia que la clase a está incluida en el comple­mento de (3, ya que se afirma que los argentinos, en su totalidad, están fuera de la clase que contiene a los americanos (a C (3) o, en otros tér­minos, no hay ningún individuo que sea a la vez miembro de a y de (3 ( a f i p = A ) .

La tercera afirmación es la negación de la segunda: — (a C (3); en ella se sostiene que hay al menos un individuo que es a la vez miembro de a y de (3 (aí l ( 3 ^ A ) .

La cuarta proposición niega la primera: — (a C (3); esto es, hay algún individuo que pertenece a a, pero no a (3: ( a f i p ^ A ) .

Estos cuatro tipo de proposiciones pueden representarse también grá­ficamente mediante círculos que se intersecan del siguiente modo (técnica debida al lógico inglés John Venn):

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El rayado indica ausencia de miembros (es decir, señala la clase nula); la presencia de una cruz dentro de un área expresa que hay al menos un individuo que pertenece a la clase representada por esa área (es decir, que esa clase es distinta de la clase nula). Los sectores que aparecen en blanco (esto es, sin rayado y sin cruz) representan clases acerca de las cuales no poseemos ninguna información.

Interesa destacar que los diagramas estudiados en el parágrafo 4 son distintos de los que ahora nos ocupan. En efecto, aquéllos sólo represen­taban operaciones con clases, en cambio éstos permiten expresar la existen­cia de determinadas relaciones entre clases, es decir, permiten representar cierto tipo de proposiciones y, por ende, es posible poner a prueba con su ayuda la validez de inferencias donde estas proposiciones intervienen, como los llamados silogismos categóricos.

§ 8- Resolución de si logismos categóricos

Puesto que todas las proposiciones que forman un silogismo categórico son, como estudiáramos en el parágrafo 11 del capítulo anterior, de tipo A , E, I, O, será, entonces, posible representarlas mediante la técnica recién estudiada.

Y dado que, como sabemos, todo razonamiento deductivo válido se caracteriza porque la conclusión se desprende necesariamente de las pre­misas -es decir, al afirmar las premisas resulta afirmada la conclusión-, al representar gráficamente las premisas de un silogismo, si éste es válido, debe quedar representada la conclusión. Si esto no ocurre será índice inequívoco de que la inferencia es inválida.

Tomemos como ilustración en primer término el siguiente silogismo:

Los monotremas son mamíferos Los ornitorrincos son monotremas Los ornitorrincos son mamíferos

En el análisis tradicional su forma es:

Todo M es P Todo S es M Todo S es P

En lógica de clases:

a n p = A y n a = A Y n p = A

Para representar el silogismo será necesario dibujar tres círculos que se intersequen, cada uno de los cuales simboliza uno de sus tres términos:

103

Se representan luego las premisas, del modo establecido en el parágrafo anterior:

Obsérvese que al dibujar las premisas quedó dibujada la conclusión, puesto que el área correspondiente a la clase y H p quedó rayada y, por ende, representa la clase nula; por lo tanto esta forma de razonamiento es válida.

Consideremos ahora este otro razonamiento silogístico: Todo mamífero es implume Algún mamífero es bípedo Algún bípedo es implume

cuya estructura en lógica tradicional y lógica de clases expresamos, res­pectivamente, del siguiente modo:

Todo M es P Algún M es S Algún S es P

a n P = A

y n ^ A

Se representan las premisas:

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A esta altura es necesario introducir la siguiente convención: cuando una de las premisas es particular y la otra universal, debe siempre repre­sentarse en primer lugar la premisa universal, independientemente de la ubicación que tenga en el silogismo. De este modo se fija en primer lu­gar el sector que corresponde a la clase nula, zona en la cual no podrá dibujarse ya ninguna cruz. Esto puede apreciarse bien en el presente diagrama. En efecto, nótese que al dibujar la segunda premisa debe in­corporarse una cruz en el área correspondiente a a í l y . Como una parte de esa zona [la que representa la intersección (a n y) fl ¡3] se halla rayada en virtud de la premisa universal (es decir, no tiene individuos), sólo podemos ubicarla en la sección que quede libre [esto es ( a f l y) np] . Y al colocar allí la cruz quedó dibujada la conclusión puesto que ella indica la presencia de por lo menos un miembro en la clase y n p. Por consi­guiente esta forma también es válida.

Sigamos analizando otras formas silogísticas, algo diferentes a las an­teriores:

Todo M e s P a n p = A

Ningún S e s M y n a = A

Ningún S es P Y n 3 = A

Se representan las premisas:

En este caso no quedó dibujada la conclusión, puesto que el área que representa la clase y n (3 quedó rayada sólo en la zona correspondiente a su intersección con a [es decir (y fl P) n a] pero carecemos de información con respecto a (y fl P) n a y, por ende, no podemos afirmar categórica­mente que la intersección de y y p es igual a la clase vacía. Luego, esta forma es inválida.

Consideremos esta otra:

Todo P e s M a n P = A

Algún M e s S p n v ^ A

Algún S e s P yí)a^ A

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Se representan las premisas:

Al dibujar la cruz correspondiente a la premisa particular se presenta la posibilidad de hacerlo en dos sectores diferentes del área que representa P f l y; uno de esos sectores corresponde a la intersección (p n y) f l a y el otro a ( P f i Y ) n a . Puesto que no poseemos información para decidir a cual de las dos clases pertenece el individuo, se debe colocar la cruz en la línea divisioria indicando con ello que pertenece a una de estas dos clases, pero no se sabe a cuál. Por consiguiente en el diagrama no quedó repre­sentada la conclusión ya que ella afirma que existen individuos en la intersección de y y a y esto no se desprende inequívocamente del dibujo de las premisas. La forma de razonamiento es, pues, inválida.

Al analizar los silogismos a la luz de la lógica de clases surge nueva­mente el problema vinculado con el contenido existencial de los juicios categóricos que llevaba a la lógica moderna a considerar inválidos ciertos razonamientos que la silogística tradicional sancionaba como válidos. En efecto, hemos visto (capítulo 3, parágrafo 11) que formas como DARAPTI o FELAPTON, en que, de dos premisas universales se infiere una particular y que son correctas según la lógica clásica, resultan inválidas para la lógica simbólica.

Analicemos la primera de ellas:

Todo M es P

Todo M es S

Algún S es P

an¡3 = A

an y — A

v n ^ A

En el lenguaje de la lógica de clases se advierte que ninguna de las aos premisas afirma la existencia de elementos en ninguna de las clases men­cionadas. En cambio la conclusión afirma la existencia de individuos en Y n P. La proposición inferida contiene, pues, más información que las pre­misas. La deducción no es correcta.

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El diagrama muestra, en efecto, la invalidez, pues no aparece ninguna cruz dibujada en el sector que representa y n (3, como exigiría la con­clusión.

Como vimos en el capítulo anterior, para rescatar la validez de este tipo de silogismos sería necesario incorporar como premisa la afirmación existencial que subyacía en la interpretación aristotélica de las proposicio­nes universales; así, por ejemplo, en el caso de DARAPTI:

Todo M es P Todo M es S Hay individuos de tipo M

Algún S es P

a n p = A a f i Y = A

A

Como puede apreciarse, la premisa existencial, unida a las otras dos, obliga a ubicar una cruz en la zona correspondiente a y fl (3, y la forma silogística así enriquecida resulta válida:

Aparte de su aplicación en los silogismos categóricos clásicos este tipo de diagramas puede ser útil en el análisis de formas más complejas de razonamiento. Así, por ejemplo, para razonamientos que incluyen cuatro términos en lugar de tres pueden construirse cuatro elipses que se interse­quen de un modo apropiado, dando lugar a una figura como la siguiente:

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Como puede observarse, todas las combinaciones posibles están pre­vistas en este diagrama. Una vez construido el gráfico se procede al análi­sis del razonamiento del modo usual. Tomemos el siguiente ejemplo:

Todos los filósofos de la historia tienen su propia perspectiva del proceso histórico Todos aquellos que tienen un punto de vista personal sobre el proceso histórico relatan los hechos de un modo subjetivo Algunos historiadores son también filósofos de la historia Por lo tanto, algunos historiadores relatan los hechos de un modo subjetivo

En símbolos lógicos:

a n p = A P n Y = A

5 n Y ^ A

Se representan las premisas en el diagrama:

La conclusión ha quedado representada. El razonamiento es válido. Sin embargo, en casos de estructuras como ésta (que responden a lo

que se llama en teoría clásica un "polisilogismo") puede simplificarse el

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procedimiento reduciendo el razonamiento a varias formas con tres térmi­nos, y aplicando luego los diagramas con tres círculos. Así, puede dividirse aquella forma en dos estructuras silogísticas del modo siguiente:

1. AN p = A

p n Y = A

a n Y = A

2. AFL Y = A

& N Y =̂ = A

Estas formas se analizan luego del modo usual.

Por otra parte este tipo de representación gráfica reconoce un límite; si bien se han ideado formas algo insólitas para representar diagramas con cinco figuras, parece materialmente imposible obtener una forma apropia­da para un número mayor de términos.

§ 9 . Leyes de la lógica de clases

Hemos dicho que la introducción de símbolos de relaciones entre clases permite expresar proposiciones en el lenguaje propio de este cálculo.

Análogamente a lo que ocurre con los otros capítulos de la lógica po­demos dividir las formas proposicionales de la lógica de clases en dos gran­des grupos: a) aquellas cuyo valor de verdad puede determinarse sobre la base de su sola forma lógica (es decir, las que resultan verdaderas [o falsas] para cualquiera de sus interpretaciones posibles), y b) aquellas cuyo valor de verdad depende de la interpretación que se dé a los símbo­los de clase.

Así, por ejemplo, la expresión 'a C V ' pertenece al primer grupo, pues resulta verdadera para cualquier interpretación posible de a, puesto que por las definiciones de inclusión y de clase universal toda clase está inclui­da en la clase universal (incluso, por supuesto, la clase universal misma). También la expresión 'a n (3 ^ a n (3' pertenece a ese primer grupo, pues resultará falsa en todos los casos posibles de interpretación de a y (3, ya que por la definición de igualdad entre clases ninguna clase puede ser distinta de sí misma. En cambio la fórmula: ' a n p ^ A ' pertenece al segundo grupo, pues puede representar una proposición verdadera (v. gr., 'Hay filó­sofos españoles') o una proposición falsa (v. gr., 'Hay planetas con luz propia'), según cómo se interpreten los símbolos a y |3; por lo tanto, su valor de verdad no puede determinarse teniendo solamente en cuenta la forma lógica.

Ahora bien, dentro de las formas proposicionales del primer grupo, aquellas que en virtud de su sola forma resultan siempre verdaderas cons­tituyen las leyes lógicas del cálculo de clases.

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Damos a continuación una nómina de algunas de estas l eyes : ( 4 )

1. 2. 3. 4. 5.

a C a a = a a U a = a a fl a = a a = a

Reflexividad de la inclusión Identidad Idempotencia de la unión Idempotencia de la intersección Involución

6. V = A

7. A = V

8. a C V

9. A C a

10. a U V = V

11. a U A = a 12. a n V = a 13. a n A = A

Propiedades de la clase nula y la clase universal

14. a U a = V Complementación 15. a f l a = A Complementación 16. a n (3 = P fl a Conmutatividad de la intersección 17. a U (3 = p U a Conmutatividad de la unión 18. a n (P n y) = (a n P) n y Asociatividad de la intersección 19. a U (P U Y ) = (ot U P) U Y Asociatividad de la unión 20. a H (P U Y ) = (a H P) U (a O Y ) Distributividad de la intersección

sobre la unión 21. a U (P n Y ) = (a U p) H (a U Y ) Distributividad de la unión

sobre la intersección

22. a H p = a U p Dualidad (De Morgan)

23. a U p = a f l p Dualidad (De Morgan)

24. (a C p · P C Y ) 3 a C Y Transitividad de la inclusión

25. a C p ≡ = ( a U p = P) Conformidad

26. a c p ≡ ( a n p = a) Conformidad

27. a fl (a U P) = a Absorción

28. a U (a n P) = a Absorción

29. (a C p · p C a) D a = p Antisimetría de la inclusión

Para algunas de estas fórmulas puede mostrarse gráficamente su ca­rácter de ley a través de la técnica de diagramas para operaciones estUh diadas en el parágrafo 4.

110

En efecto, si una fórmula establece igualdad entre dos clases puede procederse del siguiente modo: se representan en sendos gráficos las cla­ses correspondientes a uno y otro miembro de la igualdad; si efectivamente esos gráficos coinciden en el área representada, la fórmula es una ley, pues­to que al haber hecho el diagrama sin tener en cuenta ningún rasgo espe­cial de las clases representadas y ateniéndonos sólo a las operaciones indi­cadas, el resultado obtenido garantiza que esas dos clases son iguales por razones puramente formales, y por ende la fórmula en cuestión resultará verdadera para cualquier interpretación posible de sus símbolos de clase.

Tomemos como ejemplo la ley N? 27: a n (a U (3) = a.

Se representa su primer miembro: a D (a U (3)

Primer paso: a U (3

Segundo paso: a fl (a U |3)

Se representa su segundo miembro: a

Los dos gráficos coinciden. La fórmula expresa una ley.

En caso de que las fórmulas en lugar de establecer igualdad establezcan inclusión entre clases, las condiciones para considerarlas válidas son menos exigentes: el diagrama correspondiente al primer miembro de la inclusión puede ser igual o menor que el que corresponde al segundo miembro. Así, v. gr., dada una fórmula como: ' (a n P) C a' puede determinarse su carác­ter de ley del siguiente modo:

111

Representación del primer miembro de la inclusión: af lP

Representación del segundo miembro: a

La primera figura marca una zona que queda comprendida totalmente dentro de la correspondiente a la segunda figura; la fórmula es una ley.

Una limitación a esta técnica para mostrar validez aparece cuando las fórmulas contienen el símbolo de clase nula, pues esta clase no puede re­presentarse gráficamente.

Tampoco puede aplicarse, naturalmente, cuando las leyes contienen conectivas proposicionales, pues estos gráficos representan sólo clases.

Un método formal de prueba de leyes que escapa a estas limitaciones será presentado en el parágrafo siguiente.

§ 10 . Método demostra t ivo en lógica de clases

Teniendo en cuenta que las operaciones con clases y también las rela­ciones entre ellas pueden definirse, como ya vimos, en términos que perte­necen a la lógica de proposiciones y de funciones (adicionándole el opera­dor de abstracción), se advierte que, en realidad, el cálculo de clases puede reducirse a los otros dos, pues su lenguaje puede traducirse al de éstos.

Será posible entonces aplicar a la lógica de clases la técnica demostra­tiva que vinimos desarrollando en los dos capítulos anteriores. Así, toman­do como base las reglas y leyes aplicadas para la demostración en el cálculo de funciones (que a su vez toma las de la lógica proposicional) y adicio­nándole las definiciones que introducen operaciones y relaciones entre cla­ses, podemos demostrar la validez de las leyes del cálculo de clases (así

112

como también de las formas de razonamiento correctas expresadas en este lenguaje). Por ejemplo, la ley N° 3, que establece la idempotencia para la unión, puede demostrarse del siguiente modo:

• 1. x e a V x e a Supuesto 2. x e a de 1, por Id. Disy. 3. ( x e a V x e a ) D x e a de 1-2, por r. de Cond. 4. x e ( a U a ) D x e a de 3, por Def. de Unión

T L x e a Supuesto

l·· x € a V x e a de 1, por Id. Disy.

3. x e a D ( x e a \ / x e a ) de 1-2, por r. de Cond. 4. x e a D x e ( a U a ) de 3, por Def. de Unión

Poniendo en conjunción ambas fórmulas obtenidas: [x e ( a U a) D x e a] · [x e a D x e ( a U a) ]

Por definición de bicondicional:

x e ( a U a ) = x e a

Por regla de generalización universal:

(x) [x e ( a U a ) = x e a ]

Por definición de igualdad entre clases: a U a = a

Veamos ahora una demostración posible para la ley N° 16 que establece la conmutatividad de la operación de intersección:

• 1. x e ( a f i p ) Supuesto 2. x e a · x e P de 1, por Def. de Intersección 3. x e p · x e a de 2, por Conm. Conj. 4. x e ( P n a ) de 3, por Def. de Intersección 5. x e ( a n P ) D x e ( P f i a ) de 1-4, por r. de Cond.

• 1. x e ( P n a ) Supuesto 2. x e 3 · x e a de 1, por Def. de Intersección 3. x e a · x e P de 2, por Conm. Conj. 4. x e (an P) de 3, por Def. de Intersección 5. x e (P n a) D x e (a n P) de 1-4, por r. de Cond.

Poniendo en conjunción ambas leyes obtenidas: [x e ( a n P) D x e (P n a ) ] · [x e ((3 n a ) D x e ( a n P) ]

Por definición de bicondicional:

x e ( a n p ) ≡ i e ( p n a )

Por regla de generalización universal:

(x) [x e ( a n P) ≡ x e (P n a ) ]

Por definición de intersección:

a n p = p n a

113

§ 1 1 . Clases, proposiciones y á lgebras de Boole

A pesar de las diferencias de contenido entre la lógica de clases y la lógica proposicional existe entre ambas una analogía estructural.

En efecto, si consideramos el cálculo de clases como la teoría referida a las subclases de un universo dado y el cálculo proposicional como la teoría referida a las proposiciones de un cierto lenguaje, puede verificarse que ambas satisfacen por igual las características de un tipo de estructura abstracta llamada álgebra de Boole, tal como quedan definidas a conti­nuación:

Se denomina álgebra de Boole a todo conjunto de elementos cuales­quiera (que simbolizaremos, por ejemplo, con las letras A, B, C, . . . ) que posea:

a) Dos operaciones binarias (expresadas, v. gr., por los símbolos 1 fl' y ' U') que puedan practicarse entre sus miembros y para los cuales se cum­plan las leyes de idempotencia, conmutatividad, asociatividad y distributi-vidad (recíproca).

En lógica de clases estas operaciones son la intersección y la unión que se aplican entre clases y que cumplen esas leyes (véase parágrafo 8, leyes n° 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20 y 21).

En lógica proposicional las operaciones binarias que cumplen esos re­quisitos son la conjunción y la disyunción (véase capítulo 1, parágrafo 7, leyes n° 19, 20, 25, 26, 27, 28, 29 y 30).

b) Una relación (expresada, v. gr., por el símbolo 'C') que pueda predicarse entre sus miembros y que posea la característica de ser refle­xiva, antisimétrica y transitiva y responder al principio de conformidad.

En lógica de clases la relación es la inclusión (véase parágrafo 8, leyes n° 1, 24, 25, 26 y 29).

En lógica proposicional la relación puede expresarse dentro del cálculo mediante el condicional, para el cual se cumplen leyes de estructura simi­lar a las exigidas (véase capítulo 1, parágrafo 7, leyes n° 4, 17 y 10). En cuanto al principio de conformidad también lo satisface, pues, como puede verificarse, las siguientes fórmulas son tautológicas:

1. (p D q) ≡≡[(p. q) ≡≡p] 2. (pD q ) ≡ [ ( p v q ) ≡ q ]

c) Dos elementos distinguidos que representen cotas del sistema (ex­presados, v. gr., por los símbolos T y '0') para los cuales se cumplan las siguientes leyes:

1. a f l l = a 2. a U l = 1 3. a n o = 0 4. aUO = a 5. 0 C a C 1

114

En lógica de clases las cotas son la clase universal y la clase nula (véase parágrafo 8, l eyes n° 8, 9, 10, 11, 12 y 13).

En lógica proposicional están representadas respect ivamente por el conjunto de todas las proposiciones verdaderas (o, s implemente , por el va­lor Verdad) y el conjunto de todas las proposiciones falsas (Falsedad) . Representando la verdad por una expresión tautológica y la falsedad por una expresión contradictoria encontramos que se cumplen todos los requi­sitos exigidos en c ) , pues las s iguientes fórmulas son tautológicas (es decir, son leyes lóg icas) :

[ P · ( q v — q ) ] = p [ p v ( q v - q ) ] = ( q v - q ) [ p · ( q · - q ) ] ≡ ( q · - q ) [ p v ( q · — q ) ] ≡ p (q· — q) D p p D ( q v - q )

d) Una operación unitaria (simbolizada, v. gr., por ') que cumpla las leyes de complementación, dualidad e involución.

En lógica de clases la operación es el complemento (véase leyes n° 5, 14, 15, 22 y 23).

En lógica de clases la operación es el complemento (véanse l eyes n° 5, reciben el nombre de "ley del tercero excluido", "ley de contradicción", "leyes de De Morgan" y "ley de doble negación" (véase capítulo 1, pará­grafo 7, l eyes n° 5, 6, 11, 12 y 13).

NOTAS AL CAPÍTULO 4 1 La lógica de clases comenzó su desarrollo con el matemático inglés George

Boole (1815-1864) quien mediante un conjunto de s ímbolos y operaciones construye un cálculo puramente algebraico al que puede reducirse la lógica tradicional (particularmente la silogística). Esta primera presentación alge­braica de la lógica aparece en 1847 en su obra The mathematical analysis of Logic. La lógica de funciones y de proposiciones reconoce su fundador en el alemán Gottlieb Frege (1848-1925), cuya fundamental obra Begriffsschrift aparece en 1879.

2 Existe una razón teórica importante para delimitar la clase universal al uni­verso del discurso. En efecto, el concebir una clase de universalidad irrestricta engendra paradojas, pues obliga a considerar miembros de la misma a enti­dades de distinto tipo lógico (véase nota N° 3) .

3 El aceptar en forma irrestricta la posibilidad de que una clase pertenezca a otra da origen a paradojas. Se llama paradoja a un conjunto de proposiciones contradictorias entre sí que se implican recíprocamente. El ejemplo clásico de paradoja engendrado por la pertenencia entre clases es la planteada por B. Russell (en 1902), que formularemos como sigue: puesto que una clase puede pertenecer a otra, parece existir la posibilidad de que una clase se pertenezca a sí misma, sea un elemento de sí misma. Por ejemplo, podríamos decir que la clase de las cosas numerosas es ella misma numerosa; por lo tanto - en prin-

115

cipio-, es un miembro de sí misma. Dividiremos, pues, los conjuntos en aque­llos que se contienen a sí mismos como elementos y aquellos que no se con­tienen a sí mismos como elementos y llamaremos a estos últimos conjuntos normales. Imaginemos ahora un conjunto formado por todas las clases norma­les, al que llamaremos JV. Se plantea entonces la siguiente cuestión: esta cla­se JV que acabamos de concebir, ¿se contiene o no se contiene a sí misma como elemento? La respuesta a esta pregunta engendra la paradoja, pues cualquiera de las dos respuestas lógicamente posibles implica su contradictoria. En efecto, consideremos la siguiente respuesta, que llamaremos A: la clase JV se contiene a sí misma como elemento. Por definición de normalidad, si JV se contiene a sí misma como elemento, no es normal. Ahora bien, si JV no es normal no puede estar dentro del conjunto de las clases normales (JV); por lo tanto, JV no per­tenece a JV, es decir, JV no se contiene a sí misma como elemento. Pero esta última afirmación es la negación de A (—A) . Así hemos probado que la afirmación de A conduce a su contradictoria (A / •'• — A). Consideremos aho­ra la otra respuesta posible; la negación de la anterior: La clase JV no se con­tiene a sí misma como elemento (—A) . Por definición de normalidad, JV será entonces normal. Pero si es normal, JV debe pertenecer al conjunto JV, ya que éste es el conjunto de todas las clases normales; por lo tanto, JV pertenece a JV, es decir, JV se contiene a sí misma como elemento (A) . Así la negación de A conduce a su contradictoria (— A / •'• A). Una solución de esta paradoja puede formularse sobre la base de la teoría de los tipos lógicos de Russell. Aplicada a la lógica de clases, dicha teoría propone, esencialmente, lo siguiente: 19) Postular una clasificación de las entidades denotadas por los símbolos de la lógica de clases de acuerdo con su tipo lógico: los individuos son asignados al tipo lógico más bajo -digamos el tipo 0-; las clases de individuos al tipo lógico inmediatamente superior - e l tipo 1-; las clases de clases de individuos al tipo 2, y así sucesivamente. 29) Introducir una regla sintáctica según la cual la relación de pertenencia sólo puede predicarse de una entidad respecto de otra si, siendo la primera entidad de un tipo n, la segunda es del tipo n + 1. De acuerdo con esto, la paradoja desaparece, ya que para su formula­ción se requiere, como acabamos de ver, introducir las expresiones JV e JV y JV £ JV, ambas violatorias de la regla sintáctica anterior y por consiguiente carentes de sentido. En rigor, la teoría de los tipos lógicos fue formulada por Russell para las funciones proposicionales y no para las clases, pero esto no modifica esencialmente el carácter de la solución; simplemente se requiere un paso previo de traducción del lenguaje de las clases al lenguaje de las funcio­nes proposicionales. Una breve pero clara exposición de la teoría de los tipos lógicos y de sus desarrollos y dificultades puede hallarse en Kneale, W., y Kneale, M., The Development of Logic, Oxford University Press, Londres, 1962, pág. 657 s.

4 Los símbolos de clase que aparecen en las leyes deben entenderse como repre­sentando clases cualesquiera. Así, v. gr., en la primera ley formulada, el sím­bolo 'a ' puede ser sustituido por cualquier expresión que denote una clase (siempre que esa expresión sustituya a 'a ' en todos los casos en que ésta apa­rece) ; fórmulas como, por ejemplo: ( a n p c a n f o ' ( a u P) n Y C ( a u P) n Y ' responden a la ley de reflexividad de la inclusión. Por lo tanto estas leyes pueden considerarse esquemas a la manera de lo explicado en el capítulo 2, parágrafo 7, para la lógica proposicional, aunque al igual que en el caso de la lógica de funciones (véase nota 6 del capítulo tercero) no introducimos acá una nueva simbología por razones de simplicidad.

116

5 LÓGICA DE RELACIONES

§ 1 . Predicados y relaciones

En el capítulo anterior hemos visto cómo la teoría de los predicados monádicos, desarrollada en la lógica de funciones, encuentra un lenguaje alternativo en la lógica de clases.

El cálculo de relaciones, que estudiaremos en el presente capítulo, se vincula con el estudio de los predicados poliádicos. ( 1 )

Como sabemos, un predicado de primer grado expresa un atributo, una propiedad de algo o alguien. No ocurre lo mismo con los predicados poliá-dicos. Así, por ejemplo, en el enunciado:

Buenos Aires tiene más habitantes que Montevideo

el predicado 'tener más habitantes que' no expresa una característica que sea intrínseca a Buenos Aires, algo que sea cierto de esta ciudad en sí misma, sino una cierta característica relacional que puede predicarse de Buenos Aires sólo en la medida en que la comparemos con determinadas ciudades o regiones. Los predicados de grado mayor que uno establecen, pues, relaciones entre dos, tres, o más elementos. En el caso particular de la relación que aparece en el ejemplo, el número mínimo de elementos en­tre los cuales puede establecerse es dos, ya que corresponde a un predicado diádico; las relaciones de este grado se denominan relaciones binarias y a ellas restringiremos nuestro estudio.

§ 2 . Referente y relato. Dominio, codominio y campo

Cada uno de los distintos cálculos lógicos que estudiamos introduce, como vimos, un nuevo lenguaje en función del tipo de análisis que debe practicar.

La lógica de relaciones presenta también una simbología propia. Así, una relación binaria (que en lógica funcional corresponde, como vimos, a un predicado diádico y se representa 'Fxy') se expresa:

xRy

117

que debe interpretarse como (x tiene la relación R con y\ donde cx9 -el primer miembro de la relación- es el referente e 'y' -el segundo miem­bro-, el relato.

En la proposición:

Platón fue discípulo de Sócrates

Platón figura como referente de la relación binaria 'ser discípulo de', y Sócrates como relato.

Así como, dado un predicado monádico puede abstraerse la clase de todos los individuos que satisfacen ese predicado, análogamente dada una relación binaria cualquiera (R) puede abstraerse el conjunto de todos los individuos que satisfacen esa relación como referentes [dominio de la re­lación ( D E ) ] , y el conjunto de todos los individuos que satisfacen esa relación como relatos [codominio o dominio converso de la relación (D^)].

Definimos, pues, el dominio de una relación R como el conjunto de todos los x para los cuales existe algún y tal que se cumple entre ellos la relación xRy.

En símbolos:

= d f . x ( 3 y) xRy

Y el codominio de una relación R como el conjunto de todos los y para los cuales existe algún x tal que se cumple entre ellos la relación xRy.

w A

=(lf. y (3x) xRy Se llama campo de R (CR) a la unión (o suma lógica) del dominio y

el codominio de R.

CR = d f . Dft U DR

Ejemplos:

Dada la relación 'ser discípulo de', el dominio está formado por todos los individuos que son discípulos de alguien y el codominio por todos aque­llos que tienen algún discípulo. Como puede verse, en este caso dominio y codominio no son conjuntos disyuntos, pues hay individuos que pertenecen a uno y a otro (por ejemplo, Platón es discípulo de Sócrates y maestro de Aristóteles). El campo a su vez está formado por todos los individuos que son maestros o (en sentido inclusivo) discípulos de alguien.

Otro ejemplo puede verse en el universo representado a continuación:

118

dada la relación 'estar a la izquierda de' a y c forman el dominio; b y d, el codominio, y a, b, c y d, el campo. En este caso, dominio y codominio son conjuntos disyuntos.

§ 3. Propiedades formales de las relaciones

Consideremos el siguiente razonamiento, donde intervienen relaciones:

1. 8 es mayor que 4 4 es mayor que 2 8 es mayor que 2

Éste, que parece ser un modo correcto de razonar, responde a la si­guiente estructura:

I. xRy yRz xRz

Como sabemos, si una estructura es válida, no conduce nunca de ver­dad a falsedad. Sin embargo es posible hallar razonamientos con esa es­tructura que a partir de premisas verdaderas lleven a una conclusión falsa, como por ejemplo:

2. 8 es el duplo de 4 4 es el duplo de 2 8 es el duplo de 2

Lo que ocurre es que la estructura (I) es válida si la relación que está en juego tiene cierta propiedad -la de ser transitiva-, como sucede, por ejemplo, con la relación 'ser mayor que', pero es inválida si no la tiene, como ocurre, v. gr., con 'ser duplo de\ Esto indica que las relaciones poseen ciertas propiedades que inciden decisivamente en la forma o estructura de un razonamiento; el estudio de estas propiedades constituye, pues, un paso importante para la construcción de una teoría de las inferencias váli­das en que intervienen relaciones.

Las propiedades formales que caracterizan a las relaciones binarias se refieren a los siguientes aspectos: reflexividad, simetría, transitividad y conexidad.

a. Reflexividad Con respecto a la reflexividad definiremos las siguientes propiedades:

a.l . Omnirreflexividad o reflexividad total. Una relación es omnirrefle-xiva o totalmente reflexiva si y sólo si todo individuo tiene esa rela­ción consigo mismo.

Omnirref. R =df. (x) xRx

119

Ejemplos:

'Ser semejante a', 'ser igual a'

Hay ciertas relaciones que a pesar de ser reflexivas no son totalmente reflexivas porque para ciertos individuos no tiene sentido predicar que ellos cumplen esa relación consigo mismos. Así, por ejemplo, no tiene sentido predicar de un número que es contemporáneo de sí mismo porque esta relación supone temporalidad y un número es una entidad intemporal. Pero para todo individuo del cual tenga sentido decir que es contempo­ráneo de alguien se cumplirá que él es contemporáneo de sí mismo. Pode­mos definir entonces del siguiente modo la:

a. 2. Ref lexividad. Una relación es reflexiva si y sólo si todo individuo que pertenece al campo de la relación (es decir, todo individuo que cum­ple esa relación con alguien) tiene esa relación consigo mismo.

Ref. R =(lf. (x) (3y)[(xRy vyRx) D xRx]

Ejemplos:

'Ser contemporáneo de', 'ser tan alto como'

De las definiciones anteriores se desprende que toda relación omnirre-flexiva es reflexiva, pero la recíproca no se cumple.

a. 3. No ref lexividad. Una relación es no reflexiva si y sólo si no es refle­xiva. Esto debe entenderse en el siguiente sentido: es falso que todos los individuos que pertenecen al campo de la relación tienen esa rela­ción consigo mismos.

No ref. R =cir. — (x) ( 3 y) [ (xRy v yRx) D xRx~\

Las relaciones no reflexivas se dividen en dos grupos: a) aquellas que, si bien no son predicables en todos los casos de un individuo con respecto a sí mismo, lo son en algunos, como, por ejemplo, 'herir a' (que alguien se hiera a sí mismo no es lógicamente necesario, pero es lógicamente posi­ble) ; b) aquellas que no pueden predicarse de ningún individuo con respecto a sí mismo como, por ejemplo, 'ser padre de' (es imposible que un indivi­duo sea padre de sí mismo). En este último caso la relación, aparte de ser no reflexiva es irreflexiva. Definimos, pues, del siguiente modo la:

a.4. Irreflexividad. Una relación es irreflexiva si y sólo si ningún indivi­duo tiene esa relación consigo mismo.

Irref. R =df. (x) — xRx

Ejemplos:

'Ser padre de', 'estar a la izquierda de', 'casarse con'

120

b. Simetría Con respecto a la simetría definiremos las siguientes propiedades:

b . l . Simetría. Una relación R es simétrica si y sólo si para todo par de valores x e y, si x tiene la relación R con y, y tiene la relación R con x.

Sim. R =átm (x) (y) (xRy D yRx)

Ejemplos:

'Ser colega de', 'ser igual a'

b.2. No simetría. Una relación R es no simétrica si y sólo si no es si­métrica.

No sim. R =df. — (x) (y) (xRy D yRx)

Como en el caso de la no reflexividad podemos dividir las relaciones no simétricas en dos grupos: a) aquellas para las cuales es lógicamente posible que se verifique la relación en ambos sentidos (como, por ejemplo, 'admirar a'), y b) aquellas en que tal circunstancia no puede verificarse nunca, es lógicamente imposible, como en el caso de la relación 'ser mayor que' (si a > b, no puede ocurrir que b > a). Las relaciones de este último tipo son, además de no simétricas, asimétricas. Definimos, pues, del si­guiente modo la:

b.3. Asimetría. Una relación R es asimétrica si y sólo si para todo par de valores x e y se cumple que si x tiene la relación R con y, enton­ces y no tiene la relación R con x.

Asim. R =df. (x) (y) (xRy D — yRx)

Ejemplos:

'Ser mayor que', 'ser abuelo de', 'ser más joven que'

b.4. Antisimetría. Una relación R es antisimétrica si y sólo si para todo par de valores x e y se cumple que si x tiene la relación R con y, y además y tiene la relación R con x, entonces x e y son iguales.

Antisim. R =df. (x) (y) [ (xRy · yRx) D x = y]

Ejemplos:

'Ser mayor o igual que', 'estar incluido en' (entre clases)

c Transidvidad Con respecto a la transitividad definiremos las siguientes propiedades:

e l . Transitividad. Una relación R es transitiva si y sólo si para todo conjunto de valores x, y, z se cumple que, si x tiene la relación R con

121

y, e y tiene la relación R con z, entonces x tiene la relación R con z.

Trans. R =df. (x) (y) (z) [ (xRy · yRz) D xRz~\

c.2. No transitividad. Una relación R es no transitiva si y sólo si no es transitiva.

No trans. R =df. — (x) (y) (z) [ (xRy · yRz) D xRz]

Como en los casos anteriores, las relaciones no transitivas pueden cla­sificarse en dos grupos: a) aquellas para las cuales es lógicamente posible que si x tiene esa relación con y e y la tiene con z, x tenga la relación con z (como sucede, por ejemplo, con la relación 'ser parecido a'), y b) aquellas para las cuales es lógicamente imposible que se presente esta cir­cunstancia (v. gr.: 'ser padre de'). En este último caso decimos que la relación es, además de no transitiva, intransitiva. Definimos, pues, del siguiente modo la:

c.3. Intransitividad. Una relación R es intransitiva si y sólo si para todo conjunto de valores x, y, z se cumple que, si x tiene la relación R con y, e y la tiene con z, entonces x no tiene la relación R con z.

Intrans. R =df. (x) (y) (z) [ (xRy · yRz) D — xRy]

Ejemplos:

'Ser el duplo de', 'ser perpendicular a', 'ser nieto de'

d. Conexidad Con respecto a la conexidad definiremos las siguientes propiedades:

d. l . Conexidad. Una relación R es conexa si y sólo si entre cualesquiera dos individuos (diferentes) que pertenezcan a su campo se da la rela­ción en alguno de los dos sentidos posibles.

Conex. R =df. (x) (y) [ (x e CR · y e CR - x y) D (xRy v yRx) ]

Ejemplos: Si se toma como universo los paralelos del globo terráqueo la relación

'estar al sur de' es una relación conexa ya que entre dos paralelos cuales­quiera (distintos entre sí) debe verificarse la relación en alguno de los dos sentidos. Tomando como universo el conjunto de los números naturales la relación 'mayor que' es conexa.

d.2. No conexidad. Una relación es no conexa si y sólo si no es conexa.

No conex. R =df. — (x) (y) [ (x e · y e CR · x ^ y) D (xRy v yRx) ]

Cuando una relación es no conexa puede no darse entre .cualesquiera dos individuos diferentes del campo.

122

Ejemplos:

'Ser hermano de' (entre seres humanos); 'estar próximo a' (entre lugares geográficos).

§ 4 . Análisis de algunos t ipos de relaciones; equivalencia, orden, serie

Dada cualquier relación es posible analizar sus propiedades formales por lo que hace a los aspectos que acabamos de considerar. Así descubri­rnos, por ejemplo, que la relación 'ser menor que' es irreflexiva, asimétrica y transitiva; 'ser perpendicular a' es irreflexiva, simétrica e intransitiva, etcétera.

Este tipo de análisis nos permite estudiar, por ende, ciertas relaciones que tienen interés especial para la teoría lógica, como las de implicación y equivalencia entre proposiciones y las de inclusión e igualdad entre clases, que presentamos en los capítulos anteriores. Si comparamos, por ejemplo, las relaciones de implicación y de inclusión advertimos que ambas tie­nen las mismas propiedades: son reflexivas, antisimétricas y transitivas; de allí que pueda establecerse un paralelismo entre ambas en la teoría de la inferencia lógica. Así, v. gr., la forma silogística BARBARA ( a C P ; Y C a .'. y C P) que es válida en virtud de la transitividad de la relación de inclusión entre clases, presenta una analogía formal con el silogismo hipo­tético (pDq; q D r .'. p D r) que permite expresar en el lenguaje propio de la lógica proposicional la transitividad de la relación de implicación entre proposiciones.

También a través de un análisis de sus propiedades formales podemos destacar las diferencias entre la relación de inclusión y la de pertenencia. Mientras la inclusión es, como dijimos, reflexiva, antisimétrica y transitiva, la pertenencia es irreflexiva, asimétrica e intransitiva. Una inferencia si­milar a las anteriores donde estuviera en juego la relación de pertenencia sería inválida debido a la intransitividad de esta relación; por ejemplo, de 'a e a' y 'a e a" no se sigue válidamente 'a e a" (véase parágrafo 6, capí­tulo 4).

Como vemos, entonces, el conjunto de propiedades formales que una relación posea es decisivo para determinar qué tipo de inferencia podemos realizar legítimamente con ella; y como hay grupos de relaciones que tie­nen exactamente el mismo conjunto de propiedades pueden elaborarse teorías lógicas aplicables por igual a relaciones de un mismo grupo.

Precisamente teniendo en cuenta esta identidad de sus propiedades formales, determinados tipos de relaciones reciben un nombre especial.

Así, las relaciones que son simétricas, transitivas y reflexivas ( 2 ) reci­ben el nombre de relaciones de equivalencia. Como puede advertirse, tanto la relación de igualdad (o inclusión recíproca) entre clases como la de equi-

123

valencia (o implicación recíproca) entre proposiciones son relaciones de equivalencia en este sentido general. Otros ejemplos de relación de equi­valencia son: 'ser contemporáneo de', 'estar en el mismo lugar que', etc. En rigor, toda relación que tenga estas tres propiedades indica una cierta forma de igualdad entre el referente y el relato. Así, la relación de impli­cación recíproca entre proposiciones indica igualdad entre sus valores de verdad; la relación de igualdad entre clases, señala igualdad entre sus miembros; la relación 'ser compatriota de', igualdad en cuanto al lugar de nacimiento, etc.

Las relaciones que son a la vez reflexivas, transitivas y antisimétricas se denominan relaciones de orden parcial. Ejemplos de este tipo de relacio­nes son la implicación entre proposiciones y la inclusión entre clases. Si además la relación posee la propiedad de ser conexa se llama relación de orden simple o total. Las relaciones mayor o igual que y menor o igual que entre números racionales son ejemplos de este tipo.

Se denominan, por otra parte, relaciones seriales, series o relaciones de orden estricto simple, a aquellas relaciones que poseen a la vez la propie­dad de ser irreflexivas, transitivas, asimétricas ( 3 ) y conexas. Un ejemplo de este tipo es la relación 'menor que' (o 'mayor que') entre números enteros.

En síntesis:

Equiv. (R) = d f . ref. trans. sim. (R) O. pare (R) = d f . ref. trans. antis. (R) O. simp. (R) = d f . ref. trans. antis, con. (R) (O. pare con.) Serie (R) = d f . irref. trans. asim. con. (R)

Las relaciones de orden parcial pueden representarse gráficamente me­diante los llamados diagramas de Hasse. En estos diagramas se repre­senta cada elemento por un pequeño círculo. Para expresar que entre dos elementos x e y distintos entre sí se verifica la relación xRy, se dibuja una línea ascendente que va d e x a y . Si existe una línea ascendente que una dos círculos cualesquiera se considera que los individuos representados por esos círculos tienen entre sí la relación en el orden indicado, aun cuan­do la línea no sea recta ni directa, es decir, aun cuando pase a través de otro u otros círculos; esta característica permite indicar la transitividad de la relación de orden parcial. Por ejemplo, en el siguiente diagrama:

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se representa aRc, cJRd, aJRd, bRc y bRd, pero no cRa ni dRc, etc. Cuando el orden es simple el diagrama de Hasse tomará la forma de una línea ver­tical, puesto que debido a su carácter de conexo no hay elementos que no tengan entre sí la relación.

Ejemplo:

Diagramas de Hasse de esta forma pueden utilizarse también para re­presentar series.

§ 5. Vinculación ent re propiedades de las relaciones

Como acabamos de ver hay diferentes grupos de propiedades que ca­racterizan una u otra relación. Pero no todas las combinaciones entre pro­piedades son posibles, ya que existen propiedades mutuamente excluyentes.

Por ejemplo, si una relación es asimétrica no puede ser reflexiva, pues de la asimetría se infiere la irreflexividad.

Para probar formalmente vinculaciones de este tipo entre las propie­dades de las relaciones podemos recurrir al método demostrativo empleado ya en los capítulos anteriores. En efecto, considerando las relaciones bina­rias como predicados de segundo grado, puede emplearse todo el equipo de reglas de inferencia y leyes de equivalencia del cálculo de funciones. Así, en el caso que nos ocupa, demostramos la validez de la inferencia enun­ciada arriba del siguiente modo:

1. (x) (y) (xRy D — yRx) / (x) — xRx 2. (y) (xRy D — yRx) de 1, por E. U. 3. xRx D — xRx de 2, por E. U. 4. — xRxv — xRx de 3, por Def. Cond. 5. — xRx de 4, por Id. Disy. 6. (x) — xRx de 5, por G. U.

Además, si una relación es irreflexiva y transitiva, es necesariamente asimétrica.

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1. (x) — xRx 2. (x) (y) ( z ) [ (xRy · yRz) D xRz] /.'. (x) (y) (xRy D - yRx) 3. (y) ( z ) [ (xRy · yRz) D xRz] de 2, por E. U. 4. ( z ) [(xKy · yRz) D xRz] de 3, por E. U. 5. (xRy · yRx) D xRx de 4, por E. U. 6. — xKx de 1, por E. U. 7. — (xfíy · y.Rx) de 5 y 6, por r. de M. T. 8. — xRy v — yfíx de 7, por De M. 9. xRy D — yRx de 8, por Def. Cond.

10. (y) (xRy D — yRx) de 9, por G.U. 11. (x) (y) (xRy D - yRx) de 10, por G.U.

También puede demostrarse que la transitividad y la simetría juntas implican la reflexividad.

1. (x) (y) (xRy D yRx) 2. (x) (y) (z)[(xRyyRz) D x ñ z ] / . ' . ( x ) ( 3y) [ (xRy v yRx) D X R X ]

• 3. ( 3 y) (xRyyyRx) Supuesto 4. xRu v uRx de 3, por E. E. 5. (y) (xRy D yfíx) de 1, por E. U. 6. xfíu D ufíx de 5, por E. U. 7. — uRx D — xKu de 6, por Transp. 8. xfíu v uRx de 4, por D. N. 9. — xRu D uñx de 8, por Def. Cond.

10. — ufíx D u.Rx de 7 y 9, por r. de S. Hip. 11. uRx v uJRx de 10, por Def. Cond. 12. uKx v uRx de 11, por D. N. 13. uRx de 12, por Id. Disy. 14. (y) (uRy D yftu) de 1, por E. U. 15. uKx D xfíu de 14, por E. U. 16. xfíu de 13 y 15, por r. de M. P. 17. xKu · UJRX de 13 y 16, por r. de Conj. 18. (y) ( z ) [ (xKy · yRz) D XRZ] de 2, por E. U. 19. ( z ) [ (xKu · uRz) D xRz] de 18, por E. U. 20. (xRu · uRx) D xRx de 19, por E. U. 21. xRx de 20 y 17, por r. de M. P.

22. ( 3 y) (xJRy v yRx) D XRX de 3-21, por r. de Cond. 23. (x) ( 3 y) [ (xRy v yRx) D XRX] de 22, por G.U.

§ 6. Univocidad y mult ivocidad de las relaciones. Funciones

Los elementos del dominio y del codominio de una relación pueden estar vinculados entre sí de maneras diversas.

Tomemos como ejemplo la relación 'ser padre de'; imaginemos el

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campo de la relación limitado a tres familias: (A, B, C) con uno, dos y tres hijos, respectivamente.

Un diagrama ilustrativo podría ser éste:

El círculo de la izquierda representa el dominio y el de la derecha el codominio. Los elementos están representados por cruces y la relación por flechas.

Como puede verse, para cada uno de los elementos del codominio (hi­jos) hay uno y sólo un elemento del dominio (padres), puesto que cada persona tiene un padre y sólo uno. En cambio para los elementos del do­minio hay uno o varios elementos del codominio (un individuo puede ser padre de uno o más hijos). La relación va, pues, de uno-a-varios (even-tualmente, estos varios pueden ser uno); suelen denominarse unimultí-vocas a relaciones de este tipo.

La presencia de la voz 'multi' no indica que necesariamente para cada referente debe haber muchos relatos (ya que, como se dijo, esos varios relatos pueden reducirse a uno), sino simplemente que esto es posible, en tanto que la univocidad es un rasgo ineludible de la relación: para cada relato hay uno y sólo un referente.

En símbolos:

Unimult. (R) =df. (x) (y) (z) [ (xRy · zRy) D x = z]

Como se desprende de lo anterior, la relación 'tener por padre a' tiene la característica inversa:

Para cada elemento del dominio hay uno y sólo un elemento del co­dominio, pero para un elemento del codominio puede haber varios elemen­tos del dominio. La relación es, pues, multiunívoca.

Multiunív. (R) = d f . (x) (y) (z) [ (xRy · xRz) D y = z]

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Consideremos ahora la relación 'ser esposa de' (en una sociedad mono-gámica y monoándrica):

Para cada elemento del dominio hay uno y sólo un elemento del codo-minio y viceversa.

Como puede verse, se trata de una univocidad que va en ambos sen­tidos. En este caso se dice que la relación es uni-unívoca o, más breve­mente, biunívoca.

Biunív. (R) =df. (x) (y) (z) [ (xRy · zRy) D x — z]. (ce) (y) (z) [ (xRy · xRz) D y = z]

Las relaciones multiunívocas (como 'tener por padre a') se conocen con el nombre de funciones y tienen una importancia especial dentro de las matemáticas. Un ejemplo de función matemática puede ser la relación 'ser raíz cuadrada de'. Cada número puede ser raíz cuadrada solamente de un número, pero dos números distintos pueden ser raíces cuadradas del mismo número. Así, v. gr., 2 es raíz de 4 y sólo de este número. Pero hay dos números (2 y — 2) que son raíces cuadradas de 4. El número 3 es raíz cuadrada de 9 y sólo de 9. Pero 9 tiene dos raíces: 3 y — 3, y así sucesivamente. La relación es, pues, multiunívoca.

Un tipo particular de funciones son las que corresponden a relaciones biunívocas (como 'ser el duplo de' o 'ser sucesor de' entre números enteros).

§ 7. Álgebra de relaciones

La teoría de las relaciones-es susceptible de un tratamiento algebraico análogo al desarrollado en el cálculo de clases. Las mismas operaciones y relaciones definidas en el álgebra de clases, y leyes análogas a las enun-

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ciadas en ella pueden presentarse para las relaciones del modo que se expo­ne a continuación:

a) Relaciones entre relaciones Inclusión. Se dice que una relación R está incluida en otra S (RcS)

si y sólo si para todo par de individuos x-y se cumple que, si tienen en­tre sí la relación xRy, entonces tienen entre sí la relación xSy.

En símbolos: fícS≡(x) (y) (xRy D xSy)

Ejemplos:

La relación 'ser tío de' está incluida en la relación 'ser pariente de'; la relación 'tener diez años más de edad que' está incluida en 'tener mayor edad que', etc.

Igualdad. Se dice que una relación R es igual a una relación S (R — S) si y sólo si para todo par de individuos x-y se cumple que x tiene la relación R con y si y sólo si x tiene la relación S con y.

En símbolos:

R — S≡≡(x) (y) (xRy ≡ xSy)

Ejemplos:

La relación 'ser coetáneo de' es igual a la relación 'tener la misma edad que'; la relación 'ser madre de' es igual a la relación 'ser la progenitura de', etcétera.

b) Operaciones con relaciones Complemento. El complemento de una relación R (R') es la relación

que media entre dos individuos cualesquiera x-y cuando x no tiene la re­lación R con y.

En símbolos:

(x) (y) (xRfy ≡ - xRy)

Ejemplos:

La relación 'no ser hermano de' es el complemento de la relación 'ser hermano de'; la relación 'ser distinto de' es el complemento de la relación 'ser idéntico a', etc.

Suma lógica. La suma lógica de dos relaciones R y S (RUS) es la relación que tienen entre sí dos individuos x-y cuando tienen entre sí la relación R o la relación S.

En símbolos:

(x) (y) [x (R U S) y ≡ (xRy v xSy) ]

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Ejemplos:

La relación 'ser progenitor de' es la suma de las relaciones 'ser padre de' y 'ser madre de'; la relación 'ser abuelo de' es la suma de las relaciones 'ser abuelo materno de' y 'ser abuelo paterno de', etc.

Producto lógico.*** El producto de dos relaciones R y S (Rf iS ) es la relación que tienen entre sí dos individuos x-y cuando tienen entre sí la relación xRy y la relación xSy.

En símbolos: (x) (y) [x (R n S) y ≡≡ (xRy . xSy) ]

Ejemplos:

La relación 'ser un alumno estimado de' es el producto de las relacio­nes 'ser alumno de' y 'ser estimado por'; 'amar y ser amado' (refiriéndonos al mismo par de valores x-y) es el producto de las relaciones 'amar a' y 'ser amado por'.

Aparte de estas operaciones análogas a las que se practican con clases interesa estudiar otras que son propias del cálculo de relaciones, como el producto relativo y la conversa:

Producto relativo. El producto relativo de dos relaciones R y S (R / S) es la relación que tienen entre sí dos individuos x-y cuando existe un indi­viduo z tal que x tiene la relación R con z y z tiene la relación S con y.

En símbolos:

(x) (y) lx{R/S)y≡≡(3z) (xRz·zSy)]

Ejemplos:

La relación 'ser suegra de' es el producto relativo de las relaciones 'ser madre de' y 'ser cónyuge de'. En efecto, si x es madre de z y z es cónyuge de y, x es suegra de y. La relación 'tener la misma dirección que' (entre rectas) es el producto relativo de la relación 'ser perpendicular a' consigo misma, puesto que si x es perpendicular a z y a su vez z lo es con respecto a y, entonces x e y tienen la misma dirección.

Conversa. La conversa de una relación R (R) es la relación que tie­nen entre sí dos individuos x-y cuando y tiene la relación R con x.

En símbolos: (x) (y) (xRy ≡ yRx)

Ejemplos:

La relación 'ser mayor que' es conversa de la relación 'ser menor que'; la relación 'ser esposa de' es conversa de la relación 'ser esposo de'; 'estar a la derecha de' es conversa de 'estar a la izquierda de', etc. Como

* Por oposición al producto relativo -que se estudiará más adelante- suele llamarse a éste "producto absoluto".

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puede advertirse, si una relación es simétrica, entonces ella es idéntica a su conversa. Así, v. gr., en el caso de la relación 'ser cónyuge de' su con­versa es también 'ser cónyuge de', ya que para todo par de valores x-y se verifica que si x es cónyuge de y, y es cónyuge de x.

§ 8. Método demostra t ivo en lógica de relaciones

Ya hemos visto en el parágrafo 5 una aplicación posible del método demostrativo al cálculo de relaciones. Si incorporamos al conjunto de de­finiciones, reglas y leyes que allí utilizábamos todas las definiciones de operaciones y relaciones entre relaciones que acabamos de estudiar, podre­mos emplear aquella técnica para la demostración formal de numerosas inferencias.

Tomemos como ejemplo el siguiente razonamiento:

8 es el cuadruplo de 2 8 es el duplo de 4 2 es la mitad de 4

En esta inferencia las premisas implican lógicamente a la conclusión en virtud de una serie de características propias de las relaciones que están en juego: así la relación 'ser el duplo de' en producto relativo consigo mis­ma arroja como resultado la relación 'ser cuadruplo de', de modo tal que si 8 es cuadruplo de 2 (como afirma la primera premisa) es, entonces, duplo de su duplo. Pero por la premisa segunda sabemos que 8 es el du­plo de 4. Por lo tanto, dado que la relación 'ser duplo de' es biunívoca (y por ende 8 es duplo de un solo número), 4 resulta el duplo de 2. Como a su vez la relación 'ser la mitad de' (entre números) es la conversa de 'ser el duplo de', si 4 es el duplo de 2, 2 es la mitad de 4, que es lo que afirma la conclusión.

El análisis formal de este razonamiento y una demostración de su vali­dez puede presentarse del siguiente modo:

Forma del razonamiento: aRb aSc bTc

Donde las relaciones tienen las siguientes características relevantes para el análisis lógico:

I. R = S / S ('ser el cuadruplo de' es igual a 'ser el duplo del duplo de')

II. S = T (x es el duplo de y si y sólo si y es la mitad de x) III. S es biunívoca (cada x es duplo a lo sumo de un y, y cada y tiene a lo

sumo un x que sea su duplo)

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La demostración se ajustará al siguiente esquema:

1. aS i Sb de Primera premisa, por Igualdad de R y S / S 2. ( 3 z ) (aSz-zSb) de 1, por Def. de Prod. Relat. 3. aSz·zSb de 2, por E. E. 4. aSz de 3, por r. de Simp. 5. (aSc · aSz) D c = z por Biunivocidad de S 6. aSc·aSz por Conjunción de 4 y Segunda premisa 7. C — Z de 5 y 6, por r. de M. P. 8. zSb por Conm. y Simp. en 3 9. cSb de 8 y 7 (4)

10. bSc de 9, por Def. de Conversa 11. bTc de 10, por Igualdad de S y T.

Una demostración completa puede desarrollarse así:

1. aRb Primera premisa 2. aSc Segunda premisa 3. (x) (y) (xRy = xS / Sy) por Igualdad de R y S / S 4. (x) (y) (xSy ≡ xTy) por Igualdad de S y T 5. (x) (y) (z) [ (xSy · zSy) D x - z] · (x) (y) (z) [ (¿cSy · xSz) D y = z]

por Biunivocidad de S / '.bTc 6. (y) (aRy ≡ aS / Sy) de 3, por E. U. 7. (aRb = aS/Sb) de 6, por E. U. 8. (aRb D aS / Sb)·(aS / Sb D aRb) de 7, por Def. Bicond. 9. (aRb D aS / Sb) de 8, por r. de Simp.

10. aS 1 Sb de 9 y 1, por r. de M. P. 11. ( 3z) (aSz-zSb) de 10, por Def. de Prod. Relat. 12. aSz-zSb de 11, por E. E. 13. aSz de 12, por r. de Simp. 14. aSc-aSz de 2 y 13, por r. de Conj. 15. (x) (y) (z) [ (xSy · xSz) D y = z] · (x) (y) (z) [ (xSy · zSy) D x = z]

de 5, por Conm. Conj. 16. (x) (y) (z) [(xSy · xSz) D y — z)] de 15, por r. de Simp. 17. (y) (z) [ (aSy · aSz) D y = z] de 16, por E. U. 18. (z) [ (aSc · aSz) D c — z] de 17, por E. U. 19. (aSc · aSz) D C = z] de 18, por E. U. 20. c — z de 19 y 14, por r. de M. P. 21. zSb · aSz de 12, por Conm. Conj. 22. zSb de 21, por r. de Simp. 23. cSb de 20 y 22(4)

24. (y) (bSy = bTy) de 4, por E. U. 25. bSc ≡ bTc de 24, por E. U. 26. (bSc D bTc) · (bTc D bSc) de 25, por Def. Bicond. 27. bSc D bTc de 26, por r. de Simp. 28. bSc de 23, por Def. de Conversa 29. bTc de 27 y 28, por r. de M. P.

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NOTAS AL CAPÍTULO 5 1 Se considera creadores de la lógica de relaciones a C. S. Peirce (por una serie

de artículos escritos entre 1870 y 1903) y a A. De Morgan (por un trabajo que data de 1854). En rigor, la lógica de relaciones fue concebida por estos autores como una extensión o generalización del cálculo de clases. En efecto, si definimos, v. gr., una relación binaria como un conjunto de pares ordenados podemos reducir, por ejemplo, la relación 'ser madre de' al conjunto que tiene como miembros a todos los pares x-y (dispuestos en ese orden) tal que x sea madre de y, es decir, al conjunto de todos los pares madre-hijo. Entendido de este modo el cálculo de relaciones es un lenguaje extensional paralelo al len­guaje de la lógica de predicados poliádicos.

2 Toda relación que es a la vez simétrica y transitiva es necesariamente refle­xiva (véase parágrafo 5) .

3 Toda relación asimétrica es necesariamente irreflexiva (véase parágrafo 5) . 4 Dos individuos x e y son idénticos (x = y) si y sólo si toda propiedad de x es

una propiedad de y, y recíprocamente, toda propiedad de y es una propiedad de x (principio de identidad de los indiscernibles debido a Leibniz). Según este principio, si x = y resulta lícito sustituir x por y (e y por x) en cual­quier fórmula, o, dicho de otro modo, a partir de una fórmula dada que con­tenga el símbolo x será lícito inferir otra que sea igual a la primera en todo, excepto en que en lugar de x aparezca y (y a la inversa) (véase, por ejemplo, Copi, Irving, Symbolic Logic, cap. 5, § IV).

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Í N D I C E D E L A C A R P E T A D E E J E R C I C I O S

I. Validez de los razonamientos

Verdad y validez; vinculación entre la validez de un razonamiento y el valor de verdad de las proposiciones que lo componen 1, 2 Validez, estructura y diagramas como técnica de mostración 3, 4 Estructuras de razonamientos, ejemplos y contraejemplos 5, 6, 7, 3

II. Lógica proposicional

Reconocimiento de proposiciones y conectivas 9, 10 Simbolización (abstracción) 11, 12 Simbolización (interpretación) 13,14 Resolución de tablas de verdad 15,16 Conceptos de tautología, contradicción, contingencia, consistencia e incon­sistencia 17,13 Validez de razonamientos y técnica de condicional asociado 19, 20 Relación de implicación y deducibilidad 21 Método demostrativo 22 Método demostrativo con regla de condicionalización 23, 24 Método demostrativo con regla de prueba por el absurdo 25 Ejercicio combinado de abstracción, reconstrucción de razonamiento, prue­ba de validez y determinación del valor de verdad de la conclusión 27, 28

III. Lógica de funciones

Reconocimiento de proposiciones y funciones proposicionales 29 Reconocimiento de leyes lógicas 31, 32 Aplicación de leyes de equivalencia y distribución de cuantificadores . . . . 33 Simbolización (abstracción con predicados monádicos) 34 Reconocimiento del grado de un predicado 35 Simbolización (abstracción con predicados monádicos y poliádicos) . . . . 35, 36

Aplicación de leyes de conmutatividad de cuantificadores 37 Método demostrativo; reconocimiento de violación de restricciones a las reglas de generalización y ejemplificación 38 Método demostrativo; construcción de demostraciones para razonamientos válidos 39 Método demostrativo; prueba de leyes lógicas 40,41,42 Método demostrativo; demostración de silogismos 43, 44

IV. Lógica de clases

Simbolización (abstracción) 45 Reconocimiento de clases unimembres, universal y nula 45 Operaciones: complemento, unión, intersección y diferencia 46, 47 Operaciones aplicadas a ejemplos complejos 48 Aplicación de diagramas para resolver operaciones 49, 50 Relaciones entre clases 51,52 Simbolización con operaciones y relaciones 53 Aplicación de diagramas de Venn para resolución de silogismos 54, 55 Aplicación de diagramas para la mostración de leyes 56 Aplicación de leyes para simplificación de fórmulas 57, 58 Paralelismo entre lógica de clases y lógica proposicional 59 Análisis en lógica de clases de la pseudoparadoja del barbero 59, 60 Método demostrativo aplicado a prueba de leyes 61

V. Lógica de relaciones

Reconocimiento de dominio, codominio y campo de una relación 63, 64 Determinación de las propiedades formales de las relaciones 65 Reconocimiento de relaciones de equivalencia, orden parcial, orden simple y serie 65, 66 Relaciones entre propiedades 66 Univocidad y multivocidad de las relaciones; funciones 67 Álgebra de relaciones; complemento, suma lógica, producto lógico, pro­ducto relativo, conversa 67,68,69 Método demostrativo aplicado al cálculo de relaciones 69, 70 Ejercicio combinado: vinculación entre las propiedades de las relaciones, aplicación de leyes de la lógica proposicional y método demostrativo . . . . 71

La EDITORIAL KAPELUSZ S.A. dio término a la presente tirada de la primera edición de esta obra, que consta de 3.500 ejemplares, en el mes de febrero de 1980, en los Talleres Gráficos

Favaro, Independencia 3277, Buenos Aires.

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