Prosti brojevi - fer.hr Relativno prosti brojevi Brojevi a i b su relativno prosti ako je najveؤ‡i zajedniؤچki

  • View
    2

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Prosti brojevi - fer.hr Relativno prosti brojevi Brojevi a i b su relativno prosti ako je...

  • SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

    FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA

    DisKontNa Matematika 1

    SEMINAR

    Prosti brojevi

    Izabela Gucunski

    Petar Žuljević

    Viktor Kolobarić

    Vjeran Crnjak

    Voditelj: Prof. dr. sc. Neven Elezović

    Zagreb, lipanj, 2012

  • SADRŽAJ

    UVOD .................................................................................................... 1

    Djeljivost u skupu prirodnih brojeva .................................................... 1

    Prosti i složeni brojevi ......................................................................... 1

    Relativno prosti brojevi ...................................................................................... 1

    Teoremi ................................................................................................ 1

    Teoremi (1 – 7) ................................................................................................... 1

    Osnovni teorem aritmetike ................................................................................. 3

    Euklidov teorem .................................................................................................. 3

    Eratostenovo sito .................................................................................. 3

    DISTRIBUCIJA PROSTIH BROJEVA ........................................... 4

    Skup prostih brojeva unutar skupa N ................................................... 4

    Definicija funkcije π(x) ...................................................................................... 5

    Gustoća raspodjele prostih brojeva ..................................................................... 5

    Teorem (o prostim brojevima) – engl. Prime Number Theorem (PNT) ........ 6

    Procjena n-tog prostog broja ............................................................................... 7

    Dirichletov teorem ............................................................................... 7

    Red recipročnih prostih brojeva ........................................................... 9

    Ulamova spirala ................................................................................. 11

    TEOREMI I SLUTNJE .................................................................... 12

    Goldbachova hipoteza ........................................................................ 12

    Chenov teorem ................................................................................... 12

    Green-Tao teorem .............................................................................. 13

    Mali Fermatov teorem ........................................................................ 13

    Ogrlice i prijatelji .............................................................................................. 14

    Wilsonov teorem ................................................................................ 15

  • FERMATOVI I MERSENOVI BROJEVI ..................................... 16

    Fermatovi brojevi ............................................................................... 16

    Povijesna crtica ................................................................................................. 16

    Zanimljivosti ..................................................................................................... 17

    Generalizirani Fermat-ovi brojevi .................................................................... 17

    Mersenneovi brojevi .......................................................................... 17

    Zanimljivosti: .................................................................................................... 18

    ZAKLJUČAK .................................................................................... 19

    Potraga za prostim brojevima ............................................................. 19

    LITERATURA ................................................................................... 20

  • 1

    UVOD

    Djeljivost u skupu prirodnih brojeva

    Za prirodni broj a kažemo da je djeljiv sa prirodnim brojem b ( pišemo b|a) onda i

    samo onda ako postoji prirodni broj c takav da je a = bc. Broj b je mjera (divizor, djelitelj)

    broja a, koji je višekratnik (multiplum) broja b.

    Primjer

    Za 3|15 postoji broj 5 takav da je 15 = 5 x 3.

    Prosti i složeni brojevi

    Prirodni broj veći od 1 djeljiv jedino samim sobom i brojem 1 je prost broj. Prirodni

    brojevi veći od 1 koji nisu prosti su složeni.

    Primjer

    Prosti brojevi su 2, 3, 5, 7 ..., a složeni 4, 6, 8, 9, 10...

    Iz navedenog se vidi da su prirodni brojevi podijeljeni u tri klase.

    Broj 1

    Prosti brojevi

    Složeni brojevi

    U skupu prirodnih brojeva broj 1 ima poseban položaj, zato je izdvojen u posebnu klasu.

    Djeljivost u skupu N može se proširiti na skup N0 i reći da je 0 djeljiva sa svakim prirodnim

    broj, jer je 0 = a x 0. Broj 0 nije ni prost ni složen broj.

    Relativno prosti brojevi

    Brojevi a i b su relativno prosti ako je najveći zajednički djelitelj brojeva a i b jednak

    1, tj. brojevi a i b nemaju zajedničkih faktora ili nzd(a,b)=1.

    Teoremi

    Teoremi (1 – 7)

    Teorem 1

    Ako je prirodni broj a djeljiv sa brojem b onda je svaki višekratnik od a djeljiv sa b.

    Dokaz: na = n(bc) = (nc)b

    http://bs.wikipedia.org/wiki/Prirodni_brojevi http://bs.wikipedia.org/wiki/Skup

  • 2

    Teorem 2

    Da bi suma (a + b) bila djeljiva sa c dovoljno je da svaki od brojeva a, b bude djeljiv sa c.

    Dokaz:

    Ako je a = cm i b = cn onda je (a + b) = cm + cn = c (m + n).

    Teorem 3

    Da bi suma (a + b), u kojoj je broj a djeljiv sa c, bila djeljiva sa c potrebno je da i drugi broj

    bude djeljiv sa c.

    Dokaz: a = cm, i (a + b) = cn, imamo cm + b = cn => cn – cn = b => b =c(m – n) .

    Teorem 4

    Svaki prirodni broj djeljiv je sa bar jednim prostim brojem.

    Dokaz:

    Ako je n prost broj djeljiv je samim sobom, a ako je složen među njegovim djeljiteljima

    postoji najmanji. Označimo ga sa p. On mora biti prost broj, jer ako bi bio složen, postojao bi

    manji djelitelj kao faktor od p.

    Svaki prost broj djeljiv je sam sa sobom.

    Teorem 5

    Svaki složen broj možemo napisati kao produkt prostih brojeva.

    Dokaz:

    Neka je p1 najmanji prost broj, sa kojim je složen broj n djeljiv. Za q1 = n p1 imamo n = p1 q1.

    Ako je q1 složen, postoji najmanji prosti broj p2 takav da q1 = p1 p2 q2 . Ovaj postupak

    možemo nastaviti dok ne dođemo do oblika n = p1 p2... pn, a kako je n > q1 > q2 >... jednom

    ćemo doći do qn koji je prost broj.

    Primjer:

    3224 = 2 x 3 x 7 x 7 x 11

    Teorem 6

    Prostih brojeva ima beskonačno mnogo.

    Dokaz: Pretpostavimo da ima konačno mnogo prostih brojeva, i to n njih. Posmatrajmo broj

    2*3*5*7*...*pn + 1. On je veći od svakog prostog broja i kao takav ne može biti prost. Nije

    djeljiv ni sa jednim prostim brojem (pri dijeljenju uvijek ostane ostatak 1). Ovo znači da i taj

    broj mora biti prost, čime se dobiva kontradikcija.

  • 3

    Teorem 7

    Postoji po volji beskonačno mnogo složenih brojeva.

    Dokaz:

    Za bilo koji prosti broj p, postoji složeni broj 2p. Budući da ima beskonačno mnogo prostih

    brojeva, onda ima i ovakvih složenih.

    Osnovni teorem aritmetike

    , n>1 postoji jedinstven rastav na proste faktore:

    Gdje su p1 < p2 < … < pk te su svi pi prosti brojevi.

    Faktorizacija svakog prirodnog broja n > 1 na proste faktore je jedinstvena do na poredak

    prostih faktora.

    Euklidov teorem

    Skup svih prostih brojeva je beskonačan, tj. ne postoji najveći prosti broj.

    Teorem Prostih brojeva ima beskonačno mnogo.

    Dokaz: Pretpostavimo suprotno tj. da ih ima konačno mnogo. Ako ih označimo sa p1,p2,...,pn

    tada definiramo P=∑ni=1pi+1. Tada P nije djeljiv sa niti jednim prostim brojem, a iz prvog

    teorema zaključujemo da je P ili prost ili ima prostog djelitelja koji je tada različit od svih pi.

    To je u kontradikciji sa pretpostavkom te smo dokazali tvrdnju.

    Eratostenovo sito

    Ovo je mehanički postupak pronalaženja prostih brojeva koji nisu veći od n. Ispišemo

    sve brojeve od 2 do n. Pođemo od broja 2 i precrtavamo svaki drugi broj, zatim pođemo od

    broja 3 i precrtavamo svaki treći s time da brojimo i precrtane brojeve, pa od prvog

    neprecrtanog broja itd. Ovaj postupak ponavljamo dok ne dođemo do broja p za koji je p 2 > n.

    Neprecrtani brojevi su prosti.

    Primjer za n=20:

    2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

    2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

    2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

    2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

  • 4

    DISTRIBUCIJA PROSTIH BROJEVA

    Skup prostih brojeva unutar skupa N

    Još uvijek ne post