Teorija brojeva Algebraprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat10-2020.pdfDanas se prosti brojevi koji su oblika 22n +1 Fermatovi brojevi. Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Teorija brojeva Algebra

Povijest matematike

Franka Miriam Bruckler

PMF-MO, Zagreb

Svibanj 2019.

Teorija brojeva i algebra u novom vijeku

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


Podsjetnik na”staru” teoriju brojeva

pitagorejske trojke: Babilonci, Indija, Kina, pitagorejci

savrseni brojevi: pitagorejci/Euklid

prijateljski brojevi: pitagorejci/Thabit

diofantske jednadzbe: Diofant, Indija, islam

magicni kvadrati: Kina, Indija, islam

Fibonacci


Povijest matematike


Claude Gaspard Bachet de Meziriac (1587.–1638.)

zabavna matematika, otkrio jednu metodu konstrukcijemagicnih kvadrata neparnog reda

napisao je djelo o diofantskim jednadzbama — rjesavanjepomocu veriznih razlomaka

izdao je novo izdanje latinskog prijevoda DiofantoveAritmetike s komentarima (1621.; podsjetimo se: Bombelli jeponovno otkrio Diofanta)


Povijest matematike


Veliki Fermatov teorem

Teorijom brojeva Pierre de Fermat poceo se baviti pod utjecajemBachetovog prijevoda Aritmetike.

Nije moguce kub rastaviti na dva kuba ili bikvadrat na dvabikvadrata niti opcenitije neku potenciju vecu od druge nadvije potencije s istim eksponentom. Za to imam stvarnocudesan dokaz, no rub je ovdje preuzak, da ga zapisem.

Ovakvi de Fermatovi zapisi na marginama postali su poznati tekkad je njegov sin Samuel 1670. objavio izdanje DiofantoveAritmetike skupa s ocevim biljeskama. Osim tih biljeski namarginama, nakon de Fermatove smrti nadeno je i mnogo papira snesredenim rezultatima. Danas se smatra da je Fermat imaodokaze samo za slucajeve n = 3 i n = 4.


Povijest matematike


Pierre de Fermat (1601.–1665.)

Posebno je zasluzan za obnovu interesa za teoriju brojeva, ali je isuotkrivac kombinatorne teorije vjerojatnosti i analiticke geometrijete neposredni prethodnik otkrica deriviranja.Bio je pravnik,savjetnik u francuskom parlamentu i sudac; uslobodno vrijeme se bavio matematikom. Svoje rezultate nijeobjavljivao, vec ih je zapisivao na marginama knjiga ili u pismimaprijateljima, posebice Mersenneu.Pierre Fermat je diplomirao pravo i 1631. postao clan parlamenta uToulouseu, cime je ostvario pravo na titulu de u imenu. Jos u dobastudija poceo se baviti matematickim problemima i iz tog dobapotjecu njegovi prvi rezultati o ekstremima funkcija.


Povijest matematike


Tijekom svog rada u parlamentu postepeno je napredovao do visihpozicija te je 1652. dosegao najvisi moguci polozaj na kaznenomsudu. Ipak, ta napredovanja su manje posljedica posebneambicioznosti ili zasluga, a vise tada glavnog kriterija: senioriteta.Imao je niz matematickih prijatelja, a jedan od njih, Pierre deCarcavi, je 1636. ostvario kontakt sa Mersenneom i zainteresiraoMersennea za de Fermata.U pismenoj komunikaciji tipican je de Fermatov stil: u svojimpismima poziva druge da pokazu rezultate koje je on vec dobio.De Fermatova matematicka reputacija brzo raste, no zbognesklonosti prema sredivanju rezultata nije objavljivao svojerezultate. Ipak, neki rezultati su objavljeni kao dodaci djelimadrugih matematicara. S druge strane, rast de Fermatova ugleda ikompliciranost problema koje je rijesio poceli su izazivati prigovorei ljutnju drugih matematicara. Medu tim sukobima najpoznatiji jeonaj s Descartesom.


Povijest matematike


U razdoblju 1643.–1654. de Fermat nije komunicirao s ostalimznanstvenicima zbog prevelike kolicine posla u parlamentu, no idalje se bavio matematikom, posebice teorijom brojeva. Nastavioje s postavljanjem matematickih problema drugimmatematicarima, ponajvise iz teorije brojeva, no kako to podrucjemnogi nisu smatrali bitnim nije bilo velikog odaziva.Na molbu jednog Descartesovog studenta koji je skupljaoDescartesovu korespondenciju, de Fermat ponovno pregledavasvoja pisma iz doba sukoba s Descartesom te se ponovno vracageometrijskim pitanjima vezanim za optiku. Tada je razvio zakon,poznat kao Fermatov, koji je jedan od temeljnih zakona optike:svjetlost uvijek ide najkracim putem.


Povijest matematike


Mali Fermatov teorem

Drugi znameniti Fermatov teorem iz teorije brojeva; iskazao ga je ujednom pismu 1640. godine. Prvi objavljeni dokaz ovog teoremadao je Euler 1736. On ga formulira ovako:

Teorem (Mali Fermatov teorem, Eulerova formulacija)

Ako p oznacava neparan prost broj, onda je formula ap−1 − 1uvijek djeljiva s p, osim ako je sam a djeljiv s p.

Eulerov dokaz malog Fermatovog teorema svodi se namatematicku indukciju po a, uz koristenje binomnog teorema.Dokazom malog Fermatova teorema zapravo je dokazan jedansmjer tzv. kineske hipoteze stare vise od 2000 godina da je prirodanbroj n prost ako i samo ako je 2n − 2 djeljiv s n. Njen drugi smjernije istinit, npr. 2341 − 2 je djeljiv s 341, a 341 = 31 · 11.


Povijest matematike


Drugi Fermatovi rezultati iz teorije brojeva

svaki neparan prost broj jednoznacno se moze zapisati kaorazlika dva kvadratna broja;

dokazao je Diofantovu tvrdnju da zbroj dva kvadratna brojane moze imati ostatak 3 pri dijeljenju s 4;postavio je hipotezu da se prosti brojevi oblika 4n + 1jednoznacno mogu zapisati kao zbrojevi dva kvadratna broja(dokaz: Euler);u jednom od svojih pisama Mersenneu postavio je hipotezu dasu brojevi oblika

22n

+ 1

prosti. To je provjerio za n = 0, 1, 2, 3, 4. Ipak, 1732. Euler jepokazao da Fermatova hipoteza nije tocna: broj232 + 1 = 4.294.967.297 je djeljiv sa 641, dakle nije prost.Danas se prosti brojevi koji su oblika 22

n+ 1 Fermatovi brojevi.


Povijest matematike



svaki neparan prost broj jednoznacno se moze zapisati kaorazlika dva kvadratna broja;dokazao je Diofantovu tvrdnju da zbroj dva kvadratna brojane moze imati ostatak 3 pri dijeljenju s 4;

postavio je hipotezu da se prosti brojevi oblika 4n + 1jednoznacno mogu zapisati kao zbrojevi dva kvadratna broja(dokaz: Euler);u jednom od svojih pisama Mersenneu postavio je hipotezu dasu brojevi oblika

22n

+ 1




Povijest matematike



svaki neparan prost broj jednoznacno se moze zapisati kaorazlika dva kvadratna broja;dokazao je Diofantovu tvrdnju da zbroj dva kvadratna brojane moze imati ostatak 3 pri dijeljenju s 4;postavio je hipotezu da se prosti brojevi oblika 4n + 1jednoznacno mogu zapisati kao zbrojevi dva kvadratna broja(dokaz: Euler);

u jednom od svojih pisama Mersenneu postavio je hipotezu dasu brojevi oblika

22n

+ 1




Povijest matematike



svaki neparan prost broj jednoznacno se moze zapisati kaorazlika dva kvadratna broja;dokazao je Diofantovu tvrdnju da zbroj dva kvadratna brojane moze imati ostatak 3 pri dijeljenju s 4;postavio je hipotezu da se prosti brojevi oblika 4n + 1jednoznacno mogu zapisati kao zbrojevi dva kvadratna broja(dokaz: Euler);u jednom od svojih pisama Mersenneu postavio je hipotezu dasu brojevi oblika

22n

+ 1


n+ 1 Fermatovi brojevi.Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


Marin Mersenne (1588.–1648.)

Francuski svecenik, teolog, matematicar i teoreticar glazbe. Zamatematiku je posebno znacajan zbog korespondencije sa svimvaznim matematicarima svoga doba, cime je omogucena razmjenaideja u doba u koje jos nisu postojali matematicki znanstvenicasopisi niti brzi nacini komunikacije. Nakon njegove smrti nadenaje korespondencija s cak 78 znanstvenika (Fermat, Huygens, Pell,Galileo, Torricelli, . . . ).U borbi protiv praznovjerja i misticizma, podrzavao je noveznanstvene ideje i branio Descartesa i Galilea od teoloskih prigovorate se trudio eksponirati alkemiju i astrologiju kao pseudoznanosti.Bavio se i nekim fizikalnim problemima. Primjerice, predlozio jeHuygensu koristenje njihala za mjerenje vremena, cime je inspiriraonjegovo otkrice prvog sata s njihalom.


Povijest matematike


Mersenneovi (prosti) brojevi

Mersenne se bavio prostim i savrsenim brojevima. Podsjetimo se:josu pitagorejci znali da ako je Mn = 2n − 1 prost, onda je 2n−1Mn

savrsen.Mersenneu je cilj bio otkriti opcu formulu za proste brojeve. Takoje poceo razmatrati brojeve Mn. Lako se vidi da ako je n slozen,onda je i Mn slozen.Za n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 vec su i prije Mersennea bili poznatiprosti brojevi oblika Mn, a i da M11 nije prost. Danas se prostibrojevi oblika Mn zovu Mersenneovi brojevi.Mersenne je smatrao se za n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257dobiju prosti brojevi,. Bio je u krivu za n = 67 i n = 257, anedostaju mu n = 61, 89, 107.


Povijest matematike


Mersenneovi brojevi nakon Mersennea

Euler 1772.: M31;M127 vec ima 39 znamenki, a otkrio ga je 1876. E. Lucas1

M61: 1883., I. M. Pervusin;M89 i M107 su otkriveni 1910-ih godina (R. E. Powers)dalje tek pomocu racunala (od 1952. nadalje)do danas (2018.) je nadeno 50 prostih Mersenneovih brojeva(najveci medu njima M77.232.917, ima 23.249.425 znamenki iujedno je i najveci dosad poznati prost broj).Ne zna se ima li ih beskonacno mnogo.

1Edouard Lucas, 1842.–1891., francuski matematicar, bavio seFibonaccijevim nizom kojemu je i dao ime, a srodan niz po njemu nazvan jeLucasovim nizom. Razvio je i vise metoda provjere je li neki prirodan brojprost. Umro je na vrlo neobican nacin: na jednom banketu konobaru je ispaokomad posuda te je komad puknutog tanjura porezao Lucasa po obrazu; umroje par dana kasnije od upale koze.Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


Leonhard Euler (1707.–1783.)

Euler je prvi uocio da se teorija brojeva moze proucavati pomocumetoda matematicke analize i time je postao osnivac analiticketeorije brojeva. Medu ostalim, otkrio je relaciju

∞∑n=1

1

ns=∏p prim

(1− 1

ps

)−1.

Uspio je pokazati divergenciju reda reciprocnih prostih brojeva.Prosirio je Fermatov mali teorem i uveo Eulerovu ϕ-funkciju: Zaprirodan broj n oznacimo s ϕ(n) broj brojeva iz skupa {1, . . . , n}koji su relativno prosti s n. Eulerovo poopcenje malog Fermatovogteorema poznato je kao Eulerov teorem: Za broj a relativno prost sn je aϕ(n) − 1 djeljivo s n.


Povijest matematike


Euler je nasao 58 novih parova prijateljskih brojeva (prije njega bilasu poznata samo 3).Provjerio je niz de Fermatovih hipoteza, medu ostalim je dokazaoveliki Fermatov teorem za n = 3.Pokazao je da su parni savrseni brojevi iskljucivo oblika2n−1(2n − 1) ako je 2n − 1 prost te da je kriva de Fermatovahipoteza da su svi brojevi oblika 22

n+ 1 prosti.


Povijest matematike


Zakon kvadratnog reciprociteta

Izrekao je (1783.), ali nije znao dokazati, zakon kvadratnogreciprociteta, jedan od najpoznatijih problema teorije brojeva togdoba: Za dva neparna prosta broja p i q vrijedi(

p

q

)(q

p

)= (−1)

p−12

q−12 .

Legendreov simbol

(a

p

)se definira ovako:

(a

p

)=

0, p|a1, ∃r ∈ N, a ≡ r2(mod p)−1, ansonsten

.


Povijest matematike


Adrien-Marie Legendre (1752.–1833.)

Objavio je zakon kvadratnog reciprociteta u Theorie des Nombres(1785), no dokaz mu je bio nepotpun. Popravljeni (jos uvijeknesavrsen) dokaz objavio je 1798. U tom je izdanju dao i procjenuvrijednosti funkcije π(x) (broj prostih brojeva koji nisu veci od x):Za velike x je

π(x) ≈ n

ln n − 1.08366.

To je ekvivalentno sljedecoj danas uobicajenoj formulaciji

Teorem (Teorem o prostim brojevima)

limx→∞

π(x) log x

x= 1.

Teorem o prostim brojevima nezavisno jedan od drugog dokazali sutek 1896. Hadamard i de la Vallee Poussin.


Povijest matematike


Legendre je bio iz bogate obitelji i odlicno obrazovan u matematicii fizici. Imao je uspjesnu matematicku karijeru. Bavio segeometrijom, primjenama matematike u fizici i astronomiji,eliptickim funkcijama, a posebno je poznat po rezultatima iz teorijebrojeva.U doba revolucije bio je clan komisije za standardizaciju mjera(1791.). Zbog ukidanja Akademije znanost izgubio dobar prihod, au doba terora se jedno vrijeme morao i skrivati.1795. godine Akademija je ponovno otvorena kao Nacionalniinstitut znanosti i umjetnosti i Legendre postaje clan odjela zamatematiku. Kad je 1803. Napoleon reorganizirao Institut,stvorena je geometrijska sekcija i Legendre je postao njen clan. Usljedecem razdoblju dozivio je par kritika od mladoga Gaußa kojesu ga jako pogodile. Umro je siromasan jer mu je 1824. ukinutapenzija jer je odbio glasovati za vladinog kandidata za Institut.Dokazao da je π2 (i stoga i π) iracionalan.


Povijest matematike


Joseph-Louis Lagrange (1736.–1813.)

Medu njegovim rezultatima iz teorije brojeva najpoznatiji je

Teorem

Ako je p(x) polinom stupnja n s cjelobrojnim koeficijentima cijivodeci koeficijent nije djeljiv prostim brojem p, onda kongruencijap(x) ≡ 0(mod p) ima najvise n rjesenja (modulo p).

Dokazao je i Wilsonov teorem i tereom o cetiri kvadrata (svakiprirodan broj je zbroj 4 kvadratna broja).


Povijest matematike


Johann Karl Friedrich Gauß (1777.–1855.)

Jedan od najznamenitijih matematicara svih vremena, dao jeznacajne rezultate kako u teorijskoj tako i u prakticnoj matematici.O njemu su poznate razne anegdote, znate li koju?

S 19 godinanasao je konstrukciju ravnalom i sestarom pravilnog 17-erokuta.Poznat je i njegov Theorema egregrium iz diferencijalne geometrije(1828.), . . .Ovdje nam je zanimljiv jer je on prvi dao potpun dokaz zakonakvadratnog reciprociteta (Disquisitiones Arithmeticae, 1801.).Pritom je kritizirao Legendreove dokaze i inzistirao na svomprvenstvu, sto je Legendrea vrlo povrijedilo, ali je svejedno u svomkasnijem izdnju Theorie des Nombres (1808.) citirao Gaußa. SamGauß je nasao cak 8 razlicitih dokaza tog teorema kojeg je nazivaozlatnim.


Povijest matematike



Jedan od najznamenitijih matematicara svih vremena, dao jeznacajne rezultate kako u teorijskoj tako i u prakticnoj matematici.O njemu su poznate razne anegdote, znate li koju? S 19 godinanasao je konstrukciju ravnalom i sestarom pravilnog 17-erokuta.Poznat je i njegov Theorema egregrium iz diferencijalne geometrije(1828.), . . .

Ovdje nam je zanimljiv jer je on prvi dao potpun dokaz zakonakvadratnog reciprociteta (Disquisitiones Arithmeticae, 1801.).Pritom je kritizirao Legendreove dokaze i inzistirao na svomprvenstvu, sto je Legendrea vrlo povrijedilo, ali je svejedno u svomkasnijem izdnju Theorie des Nombres (1808.) citirao Gaußa. SamGauß je nasao cak 8 razlicitih dokaza tog teorema kojeg je nazivaozlatnim.


Povijest matematike



Jedan od najznamenitijih matematicara svih vremena, dao jeznacajne rezultate kako u teorijskoj tako i u prakticnoj matematici.O njemu su poznate razne anegdote, znate li koju? S 19 godinanasao je konstrukciju ravnalom i sestarom pravilnog 17-erokuta.Poznat je i njegov Theorema egregrium iz diferencijalne geometrije(1828.), . . .Ovdje nam je zanimljiv jer je on prvi dao potpun dokaz zakonakvadratnog reciprociteta (Disquisitiones Arithmeticae, 1801.).Pritom je kritizirao Legendreove dokaze i inzistirao na svomprvenstvu, sto je Legendrea vrlo povrijedilo, ali je svejedno u svomkasnijem izdnju Theorie des Nombres (1808.) citirao Gaußa. SamGauß je nasao cak 8 razlicitih dokaza tog teorema kojeg je nazivaozlatnim.


Povijest matematike


Disquisitiones Arithmeticae (1801.)

Ovo Gaußovo djelo smatra se pocetkom moderne teorije brojeva.Uz dokaz zakona kvadratnog reciprociteta, tu je i simbol ≡ zakongruencije, prvi potpun iskaz i dokaz osnovnog teoremaaritmetike, te Gaußova procjena za π(x):

limx→∞

π(x)∫ x2

dtln t

= 1

(koja je, kao i Legendreova, ekvivalentna teoremu o prostimbrojevima). I za ovu je Gauß istakao svoju prednost . . .


Povijest matematike


Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805.–1859.)

Njemacki matematicar belgijskog porijekla. S 12 godina zaljubio seu matematiku i sav je dzeparac trosio na kupnju matematickihknjiga. Studirao je u Parizu, djelovao u Berlinu i Gottingenu.Ozenio se Rebeckom Mendelssohn. Bio je prijatelj Jacobija i kad seJacobi uslijed siromasnih prilika razbolio i bio prisiljen ici u Italiju(1843.) uspio je za njega ishoditi financijsku pomoc. Za vrijemeposjeta Montreuxu 1858. prilikom jedne konferencije dozivio jesrcani udar. Tesko bolestan vratio se u Gottingen. Dok je biobolestan zena mu umire od kapi te je ubrzo zatim i on umro.

Opisan je ovako: On je dosta visok, strkljast covjek s brkovima ibradom koji postaju sijedi i pomalo grubim glasom te dosta nagluh. Bioje neopran, sa salicom kave i cigarom. Jedna od mana mu jezaboravljanje vremena, vadio je svoj sat, vidio da je proslo tri, i ondaistrcao bez da zavrsi recenicu.


Povijest matematike


Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805.–1859.)

Njemacki matematicar belgijskog porijekla. S 12 godina zaljubio seu matematiku i sav je dzeparac trosio na kupnju matematickihknjiga. Studirao je u Parizu, djelovao u Berlinu i Gottingenu.Ozenio se Rebeckom Mendelssohn. Bio je prijatelj Jacobija i kad seJacobi uslijed siromasnih prilika razbolio i bio prisiljen ici u Italiju(1843.) uspio je za njega ishoditi financijsku pomoc. Za vrijemeposjeta Montreuxu 1858. prilikom jedne konferencije dozivio jesrcani udar. Tesko bolestan vratio se u Gottingen. Dok je biobolestan zena mu umire od kapi te je ubrzo zatim i on umro.Opisan je ovako: On je dosta visok, strkljast covjek s brkovima ibradom koji postaju sijedi i pomalo grubim glasom te dosta nagluh. Bioje neopran, sa salicom kave i cigarom. Jedna od mana mu jezaboravljanje vremena, vadio je svoj sat, vidio da je proslo tri, i ondaistrcao bez da zavrsi recenicu.


Povijest matematike


Dirichletovi rezultati u teoriji brojeva

Prvi clanak (1825.), kojim je odmah postao poznat, bio jedokaz velikog Fermatovog teorema za slucaj n = 5: Ako jex5 + y5 = z5, jedan od brojeva x , y , z mora biti paran i jedandjeljiv s 5. Dirichlet i Legendre su dokazali po jedan od dvamoguca slucaja (kad je neki od x , y i z djeljiv s 10 ili kadnikoji nije djeljiv s 10, ali je jedan paran, a drugi djeljiv s 5).

Kasnije je Dirichlet dokazao VFT i za n = 14.

u aritmetickom nizu u kome su prvi clan i diferencijamedusobno relativno prosti ima beskonacno mnogo prostihbrojeva (hipotezu je postavio Gauß)

uveo Dirichletov red∑

n ann−s

bavio se analitickom i algebarskom teorijom brojeva


Povijest matematike


Veliki Fermatov teorem

Dovoljno ga je dokazati za eksponent 4 (X) i za proste eksponente;prvi znacajniji generalni pristup: Sophie Germain (Monsieur LeBlanc, 1776.–1783.), dokazala je 1805. da teorem vrijedi zaodredenu klasu prostih p;do pocetka 20. st. dokazan je za sve eksponente manje od 100 te davrijedi za beskonacno mnogo prostih eksponenatarazvoj teorije brojeva sve je vise odmicao od ovog problemado pocetka 1980-ih godina napredak se sastojao uglavnom uracunalnim provjerama, a sredinom 1980-ih je G. Frey uocio da seovaj teorem moze dobiti iz jedne naizgled s njime potpunonepovezane hipoteze (iz granicnog podrucja algebarske topologije iteorije brojeva): Shimura-Taniyama-Weil-ova hipotezaVeze izmedu tih rezultata uspostavili su G. Frey, R. Taylor i A.Wiles. Andrew Wiles je 1995. konacno dokazao i zadnji potrebnikorak.


Povijest matematike


Riemannova hipoteza

Bernhard Riemann (1826.–1866.) je uocio da Eulerov produkt

∞∑n=1

1

ns=∏p prim

(1− 1

ps

)−1.

vrijedi za sve kompleksne s s realnim dijelom vecim od 1 i definiraholomorfnu funkciju koja se moze prosiriti do holomorfne funkcije ζna C \ {1}.Ta funkcija ima beskonacno mnogo trivijalnih nultocki (negativniparni brojevi) i to su jedine nultocke s negativnim realnim dijelom.Ne postoje ni nultocke s realnim dijelom vecim od 1.Promatrajuci vezu izmedu funkcija ζ i Γ Riemann je postavio dodanas nedokazanu hipotezu: Sve netrivijalne nultocke od ζ imajurealni dio jednak 1/2.


Povijest matematike


Jos dvije nedokazane hipoteze iz teorije brojeva

1 Parovi blizanci prostih brojeva su po dva prosta broja razlike2. Ima li ih beskonacno mnogo?

2 Goldbachova hipoteza: Svaki paran broj veci od 2 je zbroj dvaprosta broja.


Povijest matematike


Osnovni teorem algebre

Povijest osnovnog teorema algebre

Teorem

Svaki polinom stupnja n (s kompleksnim ili realnim koeficijentima)ima tocno n nultocaka u skupu kompleksnih brojeva.

Krajem 16. st.: Prve primjere polinomijalnih jednadzbi stupnja n sn rjesenja dao je Viete. Harriot je pak znao da ako su a, b i crjesenja kubne jednadzbe, ona se moze zapisati u obliku(x − a)(x − b)(x − c) = 0.

1629. francuski matematicar Albert Girard (1595.–1632.) tvrdi:Svaka jednadzba stupnja n ima n rjesenja, s tim da dozvoljava dase ta rjesenja nalaze u nekom jos vecem skupu nego je to skupkompleksnih brojeva.


Povijest matematike



Povijest osnovnog teorema algebre

Teorem

Svaki polinom stupnja n (s kompleksnim ili realnim koeficijentima)ima tocno n nultocaka u skupu kompleksnih brojeva.

Krajem 16. st.: Prve primjere polinomijalnih jednadzbi stupnja n sn rjesenja dao je Viete. Harriot je pak znao da ako su a, b i crjesenja kubne jednadzbe, ona se moze zapisati u obliku(x − a)(x − b)(x − c) = 0.1629. francuski matematicar Albert Girard (1595.–1632.) tvrdi:Svaka jednadzba stupnja n ima n rjesenja, s tim da dozvoljava dase ta rjesenja nalaze u nekom jos vecem skupu nego je to skupkompleksnih brojeva.


Povijest matematike



Problem: tu su tvrdnju matematicari prihvatili kao ocitu.Posljedicno, gotovo 200 godina se nije pokusavalo dokazati dapostoji n rjesenja, nego da su rjesenja kompleksni brojevi.

Rene Descartes u La Geometrie (1637.) uvodi danas uobicajeneoznake za konstante i nepoznanice. On navodi i da se mozezamisliti da svaka jednadzba n-tog stupnja ima n rjesenja, ali da ta

”zamisljena rjesenja” ne odgovaraju nikakvoj realnoj vrijednosti.

Zahvaljujuci Descartesu postaje poznato i Harriotovo otkrice daako je x0 nultocka polinoma p, onda je p(x) = (x − x0)q(x).Zanimljivo je i Descartesovo pravilo: Broj pozitivnih rjesenjajednadzbe jednak je ili za paran broj manji od broja promjenapredznaka koeficijenata (u standardnom redoslijedu).Npr. 7x5 − 6x2 + 8x − 9 = 0 ima ili 3 ili 1 pozitivno realnorjesenje. Supstitucija x s −x daje −7x5 − 6x2 − 8x − 9 = 0, daklenema negativnih rjesenja.


Povijest matematike



Problem: tu su tvrdnju matematicari prihvatili kao ocitu.Posljedicno, gotovo 200 godina se nije pokusavalo dokazati dapostoji n rjesenja, nego da su rjesenja kompleksni brojevi.Rene Descartes u La Geometrie (1637.) uvodi danas uobicajeneoznake za konstante i nepoznanice. On navodi i da se mozezamisliti da svaka jednadzba n-tog stupnja ima n rjesenja, ali da ta

”zamisljena rjesenja” ne odgovaraju nikakvoj realnoj vrijednosti.

Zahvaljujuci Descartesu postaje poznato i Harriotovo otkrice daako je x0 nultocka polinoma p, onda je p(x) = (x − x0)q(x).Zanimljivo je i Descartesovo pravilo: Broj pozitivnih rjesenjajednadzbe jednak je ili za paran broj manji od broja promjenapredznaka koeficijenata (u standardnom redoslijedu).Npr. 7x5 − 6x2 + 8x − 9 = 0 ima ili 3 ili 1 pozitivno realnorjesenje. Supstitucija x s −x daje −7x5 − 6x2 − 8x − 9 = 0, daklenema negativnih rjesenja.


Povijest matematike



Pocetkom 18. st. Leibniz je pak mislio da je dokazao da teorem nevrijedi (tvrdio je da se x4 + a4 ne moze faktorizirati na dvakvadratna polinoma jer je mislio da

√i nijek kompleksan broj). Tu

je gresku 1742. ispravio Euler i dokazao teorem za polinome srealnim koeficijentima stupnjeva do 6. Lagrange je nasao gresku uEulerovom pokusaju dokaza opceg slucaja i popravio ga, ali se i on

”zapetljao”. U to doba je pak Jean d’Alembert (1717–1783) dao

opci”dokaz”, koji je uz mnostvo gresaka imao i mnogo korisnih

ideja.

Prvi koji je primijetio gresku svih prethodnika i dao potpuni dokaz:Carl Friedrich Gauß. Zapravo, dao je vise dokaza: 1799. (doktorat;topoloski; ne potpuno rigorozan; komentira ranije pokusaje);1816. (dva rigorozona dokaza); 1849. (slucaj kompleksnihkoeficijenata).


Povijest matematike



Pocetkom 18. st. Leibniz je pak mislio da je dokazao da teorem nevrijedi (tvrdio je da se x4 + a4 ne moze faktorizirati na dvakvadratna polinoma jer je mislio da

√i nijek kompleksan broj). Tu

je gresku 1742. ispravio Euler i dokazao teorem za polinome srealnim koeficijentima stupnjeva do 6. Lagrange je nasao gresku uEulerovom pokusaju dokaza opceg slucaja i popravio ga, ali se i on

”zapetljao”. U to doba je pak Jean d’Alembert (1717–1783) dao

opci”dokaz”, koji je uz mnostvo gresaka imao i mnogo korisnih

ideja.Prvi koji je primijetio gresku svih prethodnika i dao potpuni dokaz:Carl Friedrich Gauß. Zapravo, dao je vise dokaza: 1799. (doktorat;topoloski; ne potpuno rigorozan; komentira ranije pokusaje);1816. (dva rigorozona dokaza); 1849. (slucaj kompleksnihkoeficijenata).


Povijest matematike



U meduvremenu je (1813.) dokaz (temeljen na d’Alembertovojideji) dao i svicarski knjizar Jean Robert Argand (1768.–1822.).Argand prvi formulira OTA i za kompleksne koeficijente. Cauchy je1820. objavio Cours danalyse u kojoj je cijelo jedno poglavlje bezda spomene Arganda posvetio Argandovom dokazu osnovnogteorema algebre. Argandov je dokaz postao poznat tek krajem19. st.

Ostalo je jos pitanje: Moze li se polje kompleksnih brojeva prosiriti?Gauß je vjerovao u postojanje hijerarhije u kojoj su obicnikonpleksni brojevi

”sjena sjena”.

No, 1863. je Karl Weierstrass dokazao: Do na izomorfizam je poljekompleksnih brojeva jedinino polje koje prosiruje polje realnihbrojeva.


Povijest matematike



U meduvremenu je (1813.) dokaz (temeljen na d’Alembertovojideji) dao i svicarski knjizar Jean Robert Argand (1768.–1822.).Argand prvi formulira OTA i za kompleksne koeficijente. Cauchy je1820. objavio Cours danalyse u kojoj je cijelo jedno poglavlje bezda spomene Arganda posvetio Argandovom dokazu osnovnogteorema algebre. Argandov je dokaz postao poznat tek krajem19. st.Ostalo je jos pitanje: Moze li se polje kompleksnih brojeva prosiriti?Gauß je vjerovao u postojanje hijerarhije u kojoj su obicnikonpleksni brojevi

”sjena sjena”.

No, 1863. je Karl Weierstrass dokazao: Do na izomorfizam je poljekompleksnih brojeva jedinino polje koje prosiruje polje realnihbrojeva.


Povijest matematike


Linearna algebra

Nastanak linearne algebre

Temelji moderne linearne algebre nalaze se u rjesavanju sustavalinearnih jednadzbi i vektorskom racunu.

krajem 16. st. S. Stevin: paralelogram sila za slucajortogonalnih sila

pocetkom 17. st. to je poopcio Gilles Personne de Roberval

ipak, vektorski racun ce cekati 19. st.

u 17. st. uvedene su i koordinatne metode, ali i

determinante


Povijest matematike


Linearna algebra







determinante


Povijest matematike


Linearna algebra







determinante


Povijest matematike


Linearna algebra

Determinante

uvedene su kao pomoc za rjesavanje sustava linearnihjednadzbiCardano, 16. st.: Cremerovo pravilo za 2× 2-sustave

1683. Gottfried Wilhelm Leibniz i neovisno o njemu japanskimatematicar Takakazu Shinsuke Seki (1642–1708) uvodebrojeve, koji se danas zovu determinantamaLeibniz opisuje L’Hopitalu uvjet da sustav ima netrivijalnorjesenje, a dokazao je i razne rezultate o sustavima koji sedanas formuliraju pomocu determinanti (Cramerovo pravilo,Laplaceov razvoj), no to se uglavnom nalazi u njegovimneobjavljenim radovimaSeki pak opisuje starije kineske metode i kao pomoc racunadeterminante do velicine 5× 5


Povijest matematike


Linearna algebra

Determinante

uvedene su kao pomoc za rjesavanje sustava linearnihjednadzbiCardano, 16. st.: Cremerovo pravilo za 2× 2-sustave1683. Gottfried Wilhelm Leibniz i neovisno o njemu japanskimatematicar Takakazu Shinsuke Seki (1642–1708) uvodebrojeve, koji se danas zovu determinantamaLeibniz opisuje L’Hopitalu uvjet da sustav ima netrivijalnorjesenje, a dokazao je i razne rezultate o sustavima koji sedanas formuliraju pomocu determinanti (Cramerovo pravilo,Laplaceov razvoj), no to se uglavnom nalazi u njegovimneobjavljenim radovimaSeki pak opisuje starije kineske metode i kao pomoc racunadeterminante do velicine 5× 5


Povijest matematike


Linearna algebra

prvi objavljeni rezultati o determinantama: 1730-ih godinaColin Maclaurin je dokazao Cramerovo pravilo za 2× 2- i3× 3-sustave, koje je 1750. poopcio (bez dokaza) SvicaracGabriel Cramer (1704–1752)

u drugoj polovici 18. st. sve je vise objavljenih rezultata odeterminantama

Alexandre-Theophile Vandermonde (1735–1796) ih odvaja odjedine uloge vezane za rjesavanje sustava

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) uocava njihovu primjenuu analitickoj geometriji (volumeni)

Pierre-Simon Laplace je 1772. objavio poboljsanje starijihmetoda racuna – Laplaceov razvoj


Povijest matematike


Linearna algebra

naziv determinanta potjece od Augustin-Louis Cauchy(1789–1857), iz teksta u kojem (1812) daje dokazBinet-Cauchyjevog teorema

Cauchy je prvi koristio Jakobijan, ali on se zove po Carl GustavJacob Jacobi (1804–1851) koji ga je prvi temeljito proucio

Jacobi 1841. daje prvu algoritamsku definiciju determinante ikroz njegove je tekstove naziv determinanta postao poznat

iste godine je Arthur Cayley uveo ogranicavanje determinantivertikalnim crtama


Povijest matematike


Linearna algebra

Matrice

o pocetku matricnog racuna moze se govoriti tek pocetkom19. st.

Gauß u Disquisitones Arithmeticae (1801) opisuje kvadratneforme

∑i ,j aijxixj i slaze njihove koeficijente u kvadratnu

tablicu te koristi operacije koje bi danas bile mnozenje matricai racunjanje inverza

Cauchy 1826 takve tablice zove tableau i racuna odgovarajucesvojstvene vrijednosti te u kontekstu kvadratnih formudokazuje da se svaka realna simetricna matrica mozedijagonalizirati

apstraktni matricni racun postao je pocetak apstraktne algebre

za to je najzasluzniji Arthur Cayley (1821.–1895.)


Povijest matematike


Linearna algebra

1858 Cayley daje apstraktnu definiciju matrica i operacija smatricama te 2× 2- 3× 3-slucaj Cayley-Hamiltonovog teorema

Sir William Rowan Hamilton, Cayleyev prijatelj, je dokazao4× 4-slucaj, a opci Ferdinand Georg Frobenius (1849–1917)

drugi Cayleyev prijatelj, James Joseph Sylvester (1814–1897)je dokazao razne rezultate o matricama i uveo naziv matrica


Povijest matematike


Linearna algebra

Klasicna algebra vektora

August Ferdinand Mobius je 1827 u Der baryzentrische Calculopisao baricentricke koordinate u ravnini te promatraousmjerene velicine

Giusto Bellavitis (1803–1880) je 1832 objavio djelo u kojemrazlikuje duzine AB und BA unterscheidet, uvodi

”ekvipolentnost” takvih orijentiranih duzina te zbrajanje istih

Mobius 1837 prvi put jasno opisuje razlaganje vektora sobzirom na dvije osi


Povijest matematike


Linearna algebra

William Rowan Hamilton (1805.–1865.) i kvaternioni

1833. je na temelju kompleksne ravnine interpretirao C kaodvodimenzionalni realni vektorski prostor i pokusao ih poopcitina 3D

rezultat je 4D vektorski prostor kvaterniona (1843.), za kojeg

je ideju dobio setajuci uz dublinski Royal Canal :

i2 = j2 = k2 = ijk = −1.

no, mnozenje kvaterniona nije komutativno, dakle oni ne cinepolje (Weierstrass!)

Hamilton je prvi koji koristi pojam vektor (1853)


Povijest matematike

https://www.dias.ie/2017/09/19/annual-hamilton-walk-16th-october-2017/


Linearna algebra

odrastao je kao cudo od djeteta

do 13. rodendana znao je 12 jezika

s 15 je citao Laplacea i Newtona

sa 17 je nasao gresku u Mecanique celeste

djelovao je na Trinity College u Dublinu, poznat je porezultatima u mehanickoj fizici (Hamiltonova mehanika)

privatni zivot mu nije bio sretan, sto je u drugoj polovini zivotadovelo do problema s alkoholom (umro je od napada gihta)


Povijest matematike


Linearna algebra

Hermann Gunter Grassmann (1809.–1877.) je 1844 objavioDie lineale Ausdehnungslehre

tesko razumljivo, ali originalno djelo

popravljenu verziju objavio je 1862

apstraktne algebarske operacije, svojstvakonacnodimenzionalnih apstraktnih vektorskih prostora(tocnije, algebri)

Josiah Willard Gibbs (1839.–1903.) je algebri vektora daomodernu formu

prva aksiomatska definicija vektorskih prostora: GiuseppePeano (1858.–1932.) u Calcolo geometrico secondol’Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalleoperazioni della logica deduttiva (1888); zove ih linearnimsustavima


Povijest matematike


Linearna algebra

Hermann Gunter Grassmann (1809.–1877.) je 1844 objavioDie lineale Ausdehnungslehre

tesko razumljivo, ali originalno djelo

popravljenu verziju objavio je 1862

apstraktne algebarske operacije, svojstvakonacnodimenzionalnih apstraktnih vektorskih prostora(tocnije, algebri)

Josiah Willard Gibbs (1839.–1903.) je algebri vektora daomodernu formu

prva aksiomatska definicija vektorskih prostora: GiuseppePeano (1858.–1932.) u Calcolo geometrico secondol’Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalleoperazioni della logica deduttiva (1888); zove ih linearnimsustavima


Povijest matematike


Linearna algebra

Peanovi aksiomi vektorskih prostora

1 Definirana je ekivalencija = za po dva objekta u sustavu: (a = b)akko (b = a); ako (a = b) i (b = c), onda (a = c).

2 Zbroj dva objekta sustava a i b je definiran, tj. definiran je objekta + b iz istog sistema i pritom: Ako (a = b), onda (a + c = b + c);a + b = b + a; a + (b + c) = (a + b) + c , i zajednicka vrijednost tadva zbroja oznacava se s a + b + c .

3 Ako je a objekt u sustavu i m prirodan broj, onda s ma oznacavamozbroj m objekata jednakih a. Lako se vidi da za objekte a, b, . . . izsustava i prirodne brojeve m, n, . . . vrijedi: Ako (a = b), onda(ma = mb); m(a + b) = ma + mb; (m + n)a = ma + na;m(na) = mna; 1a = a. Pretpostavljamo i da za svaki realan broj moznaka ma ima smisla i da i za nju vrijede iste formule. Objekt mase zove produktom broja m i objekta a.

4 postoji objekt 0 u sustavu koji ima svojstvo 0a = 0 za sve elementesustava; ako a− b znaci isto sto i a + (−1)b, onda je a− a = 0;a + 0 = a.Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


Linearna algebra

Dalje Peano definira zavisne i nezavisne objekte te dimenziju:dimenzija linearnog sustava je maksimalni broj linearno nezavisnihobjekata u tom sustavu. Dokazao je da konacnodimenzionalnilinearni sustavi imaju bazu i dao primjerebeskonacnodimenzionalnih linearnih sustava tj. vektorskih prostora.Slab utjecaj – za 1888. ovo je jos preapstraktno — pocetkom20. st. s nastankom funkcionalne analize (Hahn, Wiener, Banach –normirani prostori) dovode do potpune moderne apstraktne teorijevektorskih prostora


Povijest matematike


Teorija grupa

Nastanak teorije grupa

Pojam grupe

Grupa je skup opskrbljen asocijativnom binarnom operacijom ∗ ukom su jednoznacno rjesive sve jednadzbe tipa A ∗ X = B.

Neka svojstva grupa koristena su davno prije nego su te struktureuvedene: svojstva operacija s brojevima; Eulerov dokaz malogFermatovog teorema 1758 koristi svojstva koja se ticu grupeostataka modulo prostog broja; . . .U drugoj polovici 18. st. su se Joseph-Louis Lagrange iAlexandre-Theophile Vandermonde bavili pitanjem rjesivosti opcealgebarske jednadzbe u radikalima, odnosno pitanjem zasto takvarjesenja postoje za stupnjeve do 4.


Povijest matematike


Teorija grupa


Pojam grupe


Neka svojstva grupa koristena su davno prije nego su te struktureuvedene: svojstva operacija s brojevima; Eulerov dokaz malogFermatovog teorema 1758 koristi svojstva koja se ticu grupeostataka modulo prostog broja; . . .

U drugoj polovici 18. st. su se Joseph-Louis Lagrange iAlexandre-Theophile Vandermonde bavili pitanjem rjesivosti opcealgebarske jednadzbe u radikalima, odnosno pitanjem zasto takvarjesenja postoje za stupnjeve do 4.


Povijest matematike


Teorija grupa


Pojam grupe


Neka svojstva grupa koristena su davno prije nego su te struktureuvedene: svojstva operacija s brojevima; Eulerov dokaz malogFermatovog teorema 1758 koristi svojstva koja se ticu grupeostataka modulo prostog broja; . . .U drugoj polovici 18. st. su se Joseph-Louis Lagrange iAlexandre-Theophile Vandermonde bavili pitanjem rjesivosti opcealgebarske jednadzbe u radikalima, odnosno pitanjem zasto takvarjesenja postoje za stupnjeve do 4.


Povijest matematike


Teorija grupa

Obojica su primijetili da opca verzija Vietinih formula znaci da sukoeficijenti algebarske jednadzbe zapravo simetricne2 racionalnefunkcije njezinih rjesenja i da su stoga sve racionalne funkcijekoeficijenata takoder simetricne s obzirom na x1, x2, . . . , xn.Mi cemo ideju ilustrirati na (normiranim) jednadzbama stupnja 3:

x3 + ax2 + bx + c = 0.

Vietine formule:

−a = x1 + x2 + x3; b = x1x2 + x1x3 + x2x3; −c = x1x2x3

Primjerice:

r(a, b, c) =a

b − c=

−x1 − x2 − x3x1x2 + x1x3 + x2x3 + x1x2x3

2To znaci da im vrijednost ne ovisi o poretku x1, x2, . . . , xn.Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


Teorija grupa

S druge strane, rjesenje u radikalima koristi uz operacije +, −, ·, :takoder i korijene. Buduci da opcenito takvim formulamadobivamo razlicite vrijednosti za x1, x2, . . . , xn, slijedi da korijeni

”ruse” simetriju.

Lagrange je dalje promatrao izraze y =∑n

i=1 ωi−1xi :

n = 3⇒ ω1 = 1, ω2 = ω3 = −1

2+ i

√3

2

y(x1, x2, x3) = x1 +

(−1

2+ i

√3

2

)x2 +

(−1

2− i

√3

2

)x3

Imamo 3! = 0 permutacija rjesenja x1, x2 i x3, dakle najvise 6razlicitih y -a. Kad bismo njih znali (i ako ih je bar 3 razlicita),mogli bismo izracunati x1, x2 i x3. No, vaznije je da dakle imamosest y -a koji su sigurno rjesenja jedne jednadzbe stupnja 6:


Povijest matematike


Teorija grupa




i=1 ωi−1xi :

n = 3⇒ ω1 = 1, ω2 = ω3 = −1

2+ i

√3

2

y(x1, x2, x3) = x1 +

(−1

2+ i

√3

2

)x2 +

(−1

2− i

√3

2

)x3

Imamo 3! = 0 permutacija rjesenja x1, x2 i x3, dakle najvise 6razlicitih y -a. Kad bismo njih znali (i ako ih je bar 3 razlicita),mogli bismo izracunati x1, x2 i x3.

No, vaznije je da dakle imamosest y -a koji su sigurno rjesenja jedne jednadzbe stupnja 6:


Povijest matematike


Teorija grupa




i=1 ωi−1xi :

n = 3⇒ ω1 = 1, ω2 = ω3 = −1

2+ i

√3

2

y(x1, x2, x3) = x1 +

(−1

2+ i

√3

2

)x2 +

(−1

2− i

√3

2

)x3

Imamo 3! = 0 permutacija rjesenja x1, x2 i x3, dakle najvise 6razlicitih y -a. Kad bismo njih znali (i ako ih je bar 3 razlicita),mogli bismo izracunati x1, x2 i x3. No, vaznije je da dakle imamosest y -a koji su sigurno rjesenja jedne jednadzbe stupnja 6:


Povijest matematike


Teorija grupa

(y − y1)(y − y2)(y − y3)(y − y4)(y − y5)(y − y6) = 0

Lagrange je uocio da ce ta jednadzba uvijek biti oblika

y6 + P(x1, x2, x3)y3 + Q(x1, x2, x3) = 0

koja se supstitucijom dade svesti na kvadratnu. Dakle, za kubnejednadzbe (n = 3) s tri rjesenja xi postoji jednadzba stupnja 3! = 6 zay -e, ali ta se jednadzba dade svesti na jednadzbu stupnja 2.

U svimslucajevima s poznatim rjesenjima u radikalima moguce je naci jednadzbunizeg stupnja od polazne, cija su rjesenja racionalne funkcije rjesenjapolazne jednadzbe. Dakle, ako jednadzbu stupnja n! za y -e (koeficijentisu racionalne funkcije xi -ova) znamo svesti na jednadzbu stupnja 4 ilimanjeg, onda se mogu dobiti y -i i iz njih x-evi.Medu ostalim, Lagrange je iz ovih razmatrana zakljucio: Broj polinomakoje iz danog polinoma s n varijabli mozemo dobiti permutacijama uvijekdjelitelj od n!. Sto godina kasnije je to Camille Jordan poopcio naLagrangeov teorem teorije grupa: Red podgrupe konacne grupe G uvijekje djelitelj od reda od G .


Povijest matematike


Teorija grupa

(y − y1)(y − y2)(y − y3)(y − y4)(y − y5)(y − y6) = 0

Lagrange je uocio da ce ta jednadzba uvijek biti oblika

y6 + P(x1, x2, x3)y3 + Q(x1, x2, x3) = 0

koja se supstitucijom dade svesti na kvadratnu. Dakle, za kubnejednadzbe (n = 3) s tri rjesenja xi postoji jednadzba stupnja 3! = 6 zay -e, ali ta se jednadzba dade svesti na jednadzbu stupnja 2. U svimslucajevima s poznatim rjesenjima u radikalima moguce je naci jednadzbunizeg stupnja od polazne, cija su rjesenja racionalne funkcije rjesenjapolazne jednadzbe. Dakle, ako jednadzbu stupnja n! za y -e (koeficijentisu racionalne funkcije xi -ova) znamo svesti na jednadzbu stupnja 4 ilimanjeg, onda se mogu dobiti y -i i iz njih x-evi.Medu ostalim, Lagrange je iz ovih razmatrana zakljucio: Broj polinomakoje iz danog polinoma s n varijabli mozemo dobiti permutacijama uvijekdjelitelj od n!. Sto godina kasnije je to Camille Jordan poopcio naLagrangeov teorem teorije grupa: Red podgrupe konacne grupe G uvijekje djelitelj od reda od G .


Povijest matematike


Teorija grupa

Paolo Ruffini (1765–1822)

1799. prvi tvrdi da opca jednadzba stupnja 5 nema rjesenje uradikalima;koristeci permutacije pokusao je to i dokazati i pritom defacto koristio svojstva grupa permutacija (zove ihpermutazione) – koristi zatvorenost s obzirom na kompoziciju;tako je dobio prve rezultate o grupama prije nego su istedefinirane;

no, nije bilo reakcija!1801. kopiju knjige salje Lagrangeu, ne dobiva odgovor,ponovno salje s molbom da ga upozori ako je sto krivo ilibeskorisno, ponovno bez odgovora;1803. objavio novi, kako se nadao razumljiviji dokaz – samoponeki komentar talijanskih matematicara


Povijest matematike


Teorija grupa

Paolo Ruffini (1765–1822)

1799. prvi tvrdi da opca jednadzba stupnja 5 nema rjesenje uradikalima;koristeci permutacije pokusao je to i dokazati i pritom defacto koristio svojstva grupa permutacija (zove ihpermutazione) – koristi zatvorenost s obzirom na kompoziciju;tako je dobio prve rezultate o grupama prije nego su istedefinirane;no, nije bilo reakcija!1801. kopiju knjige salje Lagrangeu, ne dobiva odgovor,ponovno salje s molbom da ga upozori ako je sto krivo ilibeskorisno, ponovno bez odgovora;1803. objavio novi, kako se nadao razumljiviji dokaz – samoponeki komentar talijanskih matematicara


Povijest matematike


Teorija grupa

trazi recenziju pariskog Nacionalnog instituta – recenzentiLagrange, Legendre i Lacroix – zakljucak: nista bitnog;

trazi i Royal Society – zakljucak: ne slazu se sa svime, alismatraju uglavnom dokazanim;

1808. i 1813. nove verzije dokaza;

jedini matematicar koji je priznao vaznost rezultata i smatraoga tocnim (rupu u dokazu smatrao je minornom) – Cauchy1821. Sam Cauchy je u razdoblju 1813.–1815. napisao djelo ogrupama permutacija u kojemu je prosirio neke Ruffinijeverezultate.

Ipak, svi Ruffinijev pokusaji dokaza imaju rupu. Primijetimo:postoje jednadzbe 5. ili viseg stupnja rjesive u radikalima:

xn = 1


Povijest matematike


Teorija grupa

Niels Henrik Abel (1802.–1829.)

Norveski matematicar, iznimno je poznat i po rezultatima upodrucju matematicke analize.Abelov zivot bio je obiljezen siromastvom. Otac mu je bio teolog ifilolog, norveski nacionalist i aktivan u borbi za norveskunezavisnost od Danske. Majka mu je bila kcer trgovca i vlasnikabrodova, Niels je bio drugo od 7 djece. Kad je Niels imao godinudana, otac mu je nakon smrti svog oca naslijedio mjestoprotestantskog svecenika. Do 13. godine Nielsa je poducavao otac,no zivili su u siromastvu u doba ekonomske krize. Problemi obiteljiipak nisu bili samo ekonomski i politicki. Prema raznim izvorima,Nielsov otac je bio alkoholicar, a majka optuzena za nemoral.


Povijest matematike


Teorija grupa

1815. godine Niels i njegov stariji brat poslani su u katedralnuskolu u Christianii (danas Oslo). Neinspiriran osrednjom skolom,Niels je bio prosjecan ucenik koji je pokazao nesto talenta zamatematiku i fiziku. Kad je ucitelj matematike otpusten jer jenasmrt pretukao djecaka, stvari su se promijenile nabolje dolaskomnovog ucitelja matematike Holmboea. Potican od Holmboea, uroku od godinu dana Abel je bio sposoban citati djela sveucilisnerazine. Sa 16 godina Abel je dokazao binomni teorem za sve realneeksponente (Euler: za racionalne eksponente).


Povijest matematike


Teorija grupa

Nakon smrti oca (1820.) Abelova se obitelj nasla u jos tezimfinancijskim uvjetima, no Holmboe je uspio izboriti stipendiju kojaje Abelu omogucila zavrsetak skole. U to doba Abel je poceo raditina pitanju rjesivosti opce jednadzbe 5. stupnja u radikalima. Prverezultate o jednadzbi 5. stupnja, iz 1821., u kojima je naizgleddokazao rjesivost, Abel je predao na objavljivanje Kraljevskomdrustvu u Copenhagenu, no kad su ga zamolili za konkretanprimjer, otkrio je gresku.Diplomirao je 1822. na sveucilistu u Christianii. Na tom jesveucilistu imao jaku podrsku profesora astronomije C. Hansteena,cija se zena pocela brinuti za Abela kao da joj je vlastito dijete. Prijednom boravku u Kopenhagenu radi matematickih kontakata,upoznao je Christine Kemp i s njom se ubrzo zarucio.


Povijest matematike


Teorija grupa

Po povratku u Christianiu, pokusavao je izboriti financiranje puta uEuropu kako bi upoznao velike matematicare Njemacke iFrancuske. Nije znao ni njemacki ni francuski pa je financiranjeodgodeno za dvije godine, dok ne nauci te jezike.Abel se vratio radu na jednadzbama 5. stupnja i 1824. dokazao dase ne mogu rijesiti u radikalima. Taj je rad objavio na vlastiti racuni na francuskom jeziku, kako bi imao impresivni rezultat zaprezentiranje na svom putovanju. 1825. godine Abel dobiva novceza studijski posjet Francuskoj i Njemackoj. Posjetio je Berlin, gdjese sprijateljio s Augustom Crelleom, matematicarem amaterom kojije osnovao jedan od najznamenitijih matematickih casopisa upovijesti: Journal fur die reine und angewandte Mathematik,poznat kao Crelle’s Journal. U tom je casopisu Abel medu inimobjavio jasniju verziju svog dokaza o nerjesivosti jednadzbe 5.stupnja u radikalima (1827.).


Povijest matematike


Teorija grupa

Za vrijeme boravka u Berlinu, saznao je da je mjesto profesoramatematike na sveucilistu u Christianii (jedinom u Norveskoj)dobio Holmboe, koji bi mjesto bio odbio radi Abela, da mu nisuzaprijetili da ako on odbije, mjesto dobiva stranac. S druge strane,u Berlinu nije bilo mogucnosti za stalno mjesto u iduce cetirigodine te se Abel nasao u ozbiljnim egzistencijalnim problemima.Ostao je u Berlinu i dalje se bavio tad jos nedovoljno rigoroznopostavljenim osnovama matematicke analize. Nakon sto je cuo daGauß nije bio zadovoljan dobivanjem njegova rada o jednadzbamapetog stupnja, Abel odustaje od ideje puta u Gottingen. Nijepoznato zasto je Gauß imao takav stav prema Abelovom radu, jerje sigurno da ga nije procitao — pismo je nadeno neotvoreno nakonGaußove smrti. Moguci su razlozi da je sam to dokazao ili pak daje takav dokaz smatrao nebitnim, sto je vjerojatnije.


Povijest matematike


Teorija grupa

Nakon Berlina, Abel je posjetio Pariz, gdje je nezainteresiranoprimljen. Prema njegovim rijecima

”Francuzi su mnogo

rezerviraniji prema strancima nego Nijemci”. U Parizu je napisaovazno djelo o eliptickim integralima, koje su trebali recenziratiCauchy i Legendre. Legendre je tvrdio da je prestar i da ne vidicitati rukopis, te je posao prepustio Cauchyju.Abel je ostao u Parizu, zlovoljan, zabrinut — i gladan: mogao si jepriustiti samo jedan obrok dnevno. Zdravlje mu slabi i u losemstanju vraca se u Berlin 1826. Tu posuduje novce i nastavlja raditina eliptickim funkcijama. Abelovi rezultati o eliptickim funkcijamapostat ce temelj svih buducih istrazivanja u tom podrucju.


Povijest matematike


Teorija grupa

Crelle je Abela nagovarao da ostane u Berlinu dok mu ne nadeposao, no Abel se odlucio vratiti kuci. U svibnju 1827. stize uChristianiu i dobiva mali kredit od sveucilista, koji mu se odbija odsvih buducih placa. Da bi zaradio malo novca, Abel poducavadjecu, a zarucnica se zaposljava kao guvernanta u Frolandu.Situacija se malo popravlja kad Abel dobiva Hansteenovo mjestona sveucilistu i vojnoj akademiji, nakon sto je Hansteen dobiovelike novce za istrazivanje Zemljinog magnetskog polja u Sibiru.1828. godine Abel saznaje za Jacobijeve rezultate otransformacijama eliptickih integrala i pokazuje da se ti rezultatimogu dobiti kao posljedica njegovih. Ubrzo objavljuje i nekolikonovih rezultata na tu temu, te on i Jacobi postaju znameniti:Legendre ih naziva najvecim analiticarima toga doba. U to se dobaAbel pocinje baviti i pitanjem koje ce nekoliko godina kasnijerijesiti Galois: Koje su algebarske jednadzbe rjesive u radikalima?


Povijest matematike


Teorija grupa

Zdravlje mu je ipak bilo previse naruseno siromasnim zivotom.Saznaje da je njegovo parisko djelo o eliptickim funkcijamazagubljeno (zanimljivo je da je Cauchy zagubio i Galoisove radove)i ponovno pise glavne rezultate: rad od dvije stranice nazvan Jedanteorem. Za Bozic putuje zarucnici u Froland te se ozbiljnorazboljeva nakon jedne voznje sanjkama. Za to saznaje Crelle, kojiopet pojacava trud da mu nade mjesto. Crelle uspijeva, nalazimjesto profesora u Berlinu, no pismo s dobrom vijesti stize dvadana nakon Abelove smrti od tuberkuloze koju je

”zaradio” tijekom

svog boravka u Parizu.


Povijest matematike


Teorija grupa

Nakon njegove smrti, Cauchy trazi zagubljeni clanak i nalazi ga1830. Stampan je 1841., no ponovno nestaje — i ponovno jepronaden tek 1952. u Firenzi.Godine 1830. pariska Akademija znanosti dodjeljuje Grand PrixAbelu i Jacobiju za izvanredna dostignuca. Na natjecaj za tunagradu svoj rad je poslao i Galois, no taj je rad izgubljen i nijeusao u izbor.


Povijest matematike


Teorija grupa

Evariste Galois (1811.–1832.)

Roden je u doba vrhunca Napoleonove vladavine, a roditelji su mubili republikanski nastrojeni. Do dvanaeste godine poducavala ga jemajka, a zatim je pohadao internat. U doba Galoisova skolovanjaFrancuska je ponovno bila kraljevina. Prve dvije godine Galois jebio dobar dak, a onda je 1826. pao razred jer mu rad u retorici nijebio zadovoljavajuci.1827. mu je dozvoljeno da upise tecaj matematike, koja ga je ubrzotako ocarala da ostaloj nastavi vise nije posvecivao paznju. Uciteljisu ga smatrali cudnim, bizarnim, originalnim i zatvorenim.Zanimljivo je da su ga kritizirali zbog originalnosti, a Galois jepostao jedan od najoriginalnijih matematicara u povijesti.1828. se pokusao upisati na Ecole Polyteechnique, ali zbognedovoljne pripremljenosti nije uspio.


Povijest matematike


Teorija grupa

Vrativsi se u svoj internat sve se vise bavi pitanjem rjesivostialgebarskih jednadzbi u radikalima. Pocetkom 1829. objavio je prviznanstveni rad, a zatim je na recenziju predao jos dva na temurjesivosti algebarskih jednadzbi. Kao recenzent imenovan jeCauchy, koji je te radove zagubio, i nikad vise nisu pronadeni.2. srpnja 1829. se ubio Galoisov otac, a razlog je bio klevetaupucena na racun obitelji od strane politickih protivnika. Upotresenom stanju Galois je nekoliko tjedana kasnije opet pokusaopoloziti prijemni ispit za Ecole Polytechnique i ponovno nije uspio.Za taj je pokusaj vezana poznata anegdota: navodno je Galoisiznerviran nedovoljno preciznim pitanjima ispitivaca, kad je shvatioda usprkos svoje genijalnosti nece poloziti ispit, bacio spuzvu u licedoticnog ispitivaca.


Povijest matematike


Teorija grupa

Nakon tog ponovnog neuspjeha, Galois je odabrao Ecole Normale.Tokom 1830. predao clanak za nagradu Akademije znanosti. Taj jeclanak predan na recenziju Fourieru, koji je ubrzo zatim umro. Iovom clanku nakon toga je izgubljen svaki trag.Pocetkom 1830. Galois je objavio tri clanka iz teorije eliptickihkrivulja, a u ljetu saznaje da njegov rad nije bio niti razmatran zanagradu te da je nagrada dodijeljena Jacobiju i Abelu. Tako jeGalois postao uvjeren da je problem sustav koji onemogucavagenijalne pojedince.U srpnju 1830. u Francuskoj dolazi do revolucije, kralj mora bjezatiiz zemlje, a u Parizu dolazi do ulicnih pobuna. Direktor EcoleNormale zabranio je studentima izlazak na ulice i zakljucao ih uskoli. Na to je Galois reagirao pismom u studentskom listu. Iakoga je potpisao, urednik je da ga zastiti pismo objavio anonimno.Direktor skole je usprkos tome saznao tko je autor i optuzivsi ga zaanonimni napad izbacio Galoisa sa skole.


Povijest matematike


Teorija grupa

Galois se tada pridruzio Nacionalnoj gardi, republikanskoj granimilicije. Kad je pobuna smirena, novi je kralj Lous-Philippe 31.prosinca 1830. ukinuo Nacionalnu gardu.Pocetkom 1831. Galois je za zivot zaradivao privatnom podukom.Potaknut od Poissona, predao je trecu verziju svog rada oalgebarskim jednadzbama Akademiji 17. sijecnja 1831.Krajem 1830. godine nekoliko pripadnika Nacionalne garde bilo jezatvoreno pod optuzbom da su htjeli svrgnuti vlast, a pusteni suna slobodu 9. svibnja 1831. Proslavi oslobadanja prisustvovao je iGalois te je te veceri podigao casu i drzeci bodez u ruci izrekaozdravicu kralju koja je protumacena kao prijetnja. Na sudenju 15.lipnja se Galois branio izjavom da je tekst bio

”Louis-Philippeu,

ako izda”, ali da su rijeci nestale u galami. Galois je pusten naslobodu i osloboden optuzbe.


Povijest matematike


Teorija grupa

No, boravak na slobodi nije dugo trajao: na dan Bastille 14. srpnjauhapsen je zbog nosenja zabranjene uniforme Nacionalne garde,puske, nekoliko pistolja i bodeza. Ovaj put je osuden i zatvoren uzatvor Saint-Pelagie. Tokom boravka u zatvoru saznao je da jenjegov posljednji clanak odbijen, s argumentom da je stil izlaganjanejasan i nedovoljno razraden. Ipak, Poissonovo izvjesce poticalo jeGaloisa da izda potpuniji prikaz svojih rezultata. Tokom boravka uzatvoru Galois radi matematiku, ali i pokusava samoubojstvo kojesu sprijecili drugi zatvorenici.Kad je u ozujku 1832. izbila epidemija kolere u Parizu, zatvorenici imedu njima Galois prebaceni su u pansion Sieur Faultrier, koji jebio zatvor otvorenog tipa. Tu se zaljubio u Stephanie, kcerlijecnika.


Povijest matematike


Teorija grupa

Ta njegova jedina ljubavna prica kratko je trajala: kad je pusten izzatvora 29. travnja Stephanie se distancirala. Ubrzo zatim izazvanje na dvoboj. Povod dvoboja je bio vezan za Stephanie, ali nijejasno je li se radilo samo o ljubavnim razlozima (izazvali su ganjezin stric i navodni zarucnik) ili se, kako vecina povjesnicarasmatra, zapravo radilo o politickim motivima. Postoje i misljenjada se namjerno dao navesti u dvoboj, tj. da se u biti radilo oinsceniranom samoubojstvu. Bilo kako bilo, Galois je noc prijedvoboja, siguran da ga nece prezivjeti, proveo pisuci dva pisma.Prvo je pismo upuceno kolegama republikancima i u njemu govorikako je u sukob upleten protiv svoje volje.Drugo pismo upuceno je prijatelju i poznato kao Galoisov

”matematicki testament” u kojemu se mogu naci temelji teorije

grupa. Galois tu kaze: . . . ako u takvoj grupi imamo supstitucije Si T , onda je u njoj i supstitucija ST . Ipak, nigdje nije eksplicitnodefinirao grupe.


Povijest matematike


Teorija grupa

Ostavljajuci zbog nedostatka vremena mnoga mjesta nedokazana,Galois je tu noc zapisao pregled svih svojih rezultata. U dvoboju ujutro 30. svibnja ranjen je u trbuh, a protivnik i sekundant ganapustaju. Tesko ranjenog nalazi ga jedan seljak te Galois umire ubolnici 31. svibnja.Pogreb je trebao biti odrzan 2. lipnja, ali je vecer prije policijarazbila sastanak koji su smatrali uvodom u demonstracije koje sutrebale biti odrzane na pogrebu. Tridesetero prisutnih je uhapseno,a pogreb je odrzan dan kasnije na javnom groblju. Danas nepostoji trag mjestu gdje je Galois pokopan.


Povijest matematike


Teorija grupa

Galoisove su papire skupili brat i prijatelj i poslali ih, kako je bilaGaloisova zelja, Gaußu i drugim matematicarima. Ti su spisi doslido Josepha Liouvillea (koji je najpoznatiji je po dokazu egzistencijetranscendentnih brojeva) 1843., koji ih je izdao 1846.Galois se bavio pitanjem: Kako za zadanu algebarsku jednadzbuutvrditi ima li rjesenja u radikalima? Shvatio je da je odgovor na topitanje vezan za strukturu grupe koja se danas naziva Galoisovomgrupom G jednadzbe (odnosno polinoma). To je podgrupa grupepermutacija svih njezinih korijena (simetricne grupe Sn – OTA). UG se nalaze one permutacije korijena, koje ne mijenjaju nijednuracionalnu funkciju koeficijenata (uocimo utjecaj Lagrangea iRuffinija!).Galoisovi rezultati postali su dostupni javnosti tek kad ih je 1846.objavio Liouville.koristen.


Povijest matematike


Teorija grupa

Teorija grupa u 2. polovici 19. st.

Dvije godine ranije, 1844., Cauchy je objavio djelo o grupamapermutacija i tim djelom teorija permutacija postaje samostalnateorija. Definirao je red permutacije, uveo ciklicku notaciju, itd.Umjesto naziva grupa koristio je naziv systeme des substitutionsconjugues (sustav konjugiranih supstitucija).

Arthur Cayley je pak 1854. dao prvu apstraktnu definiciju grupe iuveo

”tablicu mnozenja”. Dao je i razne primjere ukljucivo grupa

matrica i kvaterniona, no ovaj tekst je imao slab utjecaj. CamilleJordan (1838–1922) od 1860ih preferira izraz grupa i

”popularizira”

teoriju grupa permutacija, a nakon toga je Cayley objavio josradova o grupama, medu ostalim je dokazao da se stvarno svegrupe mogu povezati s grupama permutacija – Cayleyev teorem(svaka grupa je izomorfna nekoj simetricnoj grupi).


Povijest matematike


Teorija grupa


Dvije godine ranije, 1844., Cauchy je objavio djelo o grupamapermutacija i tim djelom teorija permutacija postaje samostalnateorija. Definirao je red permutacije, uveo ciklicku notaciju, itd.Umjesto naziva grupa koristio je naziv systeme des substitutionsconjugues (sustav konjugiranih supstitucija).Arthur Cayley je pak 1854. dao prvu apstraktnu definiciju grupe iuveo


matrica i kvaterniona, no ovaj tekst je imao slab utjecaj.

CamilleJordan (1838–1922) od 1860ih preferira izraz grupa i

”popularizira”



Povijest matematike


Teorija grupa


Dvije godine ranije, 1844., Cauchy je objavio djelo o grupamapermutacija i tim djelom teorija permutacija postaje samostalnateorija. Definirao je red permutacije, uveo ciklicku notaciju, itd.Umjesto naziva grupa koristio je naziv systeme des substitutionsconjugues (sustav konjugiranih supstitucija).Arthur Cayley je pak 1854. dao prvu apstraktnu definiciju grupe iuveo


matrica i kvaterniona, no ovaj tekst je imao slab utjecaj. CamilleJordan (1838–1922) od 1860ih preferira izraz grupa i

”popularizira”



Povijest matematike

Documents

Teorija brojeva Algebraprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat10-2020.pdfDanas se prosti brojevi koji su oblika 22n +1 Fermatovi brojevi. Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb